| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева в случае Д. М. Столяровab a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9645 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Основная теоремаПусть $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ – класс Шварца $\mathbb{R}^\ell$-значных функций $d$ переменных, а $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ – двойственное к нему пространство обобщенных функций умеренного роста со значениями в пространстве $\mathbb{R}^\ell$. Сформулированный ниже главный результат работы можно интерпретировать как исправление классического неравенства Харди–Литтлвуда–Соболева в предельном случае $p=1$ (в настоящей статье через $p$ обозначен параметр суммируемости в левой части неравенства, в классическом неравенстве его обычно обозначают $q$; параметр суммируемости в правой части неравенства у нас будет всегда равен $1$). Теорема 1. Пусть $\mathcal{W}$ – замкнутое линейное подпространство пространства $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, инвариантное относительно сдвигов и растяжений, пусть также $\alpha \in (0,d]$. Неравенство верно с абсолютной константой для всех функций $f\in \mathcal{W}$, для которых правая часть неравенства конечна, тогда и только тогда, когда пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, $a\in \mathbb{R}^\ell \setminus \{0\}$. Теорема 1 (а также ее более сильная версия, теорема 2, которую мы приведем ниже) имеет многочисленные применения в теории неравенств, содержащих векторные дифференциальные операторы и нормы в пространстве $L_1$ (так называемые неравенства Бургейна–Брезиса). Основная цель настоящей работы – продемонстрировать силу мартингального подхода, предложенного в статье [4], к доказательству неравенств такого типа и решению связанных с ними задач. В частности, упомянутый подход позволяет избавиться от структур дифференциальных операторов или преобразования Фурье (хотя преобразование Фурье и присутствует неявно в теореме 1 в требовании инвариантности относительно сдвигов); теорема 1 применима к различным версиям пространств Харди. С точки зрения чистого анализа основное преимущество предлагаемого подхода – в его точности: мы доведем до наилучших значений интерполяционные параметры в левой части неравенства, это даст ответы на многие вопросы в этой области. Изложение в настоящей работе немного более сжатое, чем в препринте [52]: изменено введение, а также некоторые технические леммы лишены доказательств. Заинтересованный читатель может найти их в препринте. Более подробному изложению предпошлем два примера. Пример 1. Рассмотрим случай соленоидальных обобщенных функций. Положим $\ell = d$ и Этот частный случай также был недавно рассмотрен Хернандесом и Спектором в работе [20] при помощи других методов. Пример 2. Перейдем к более классическому случаю мер-градиентов. Положим $\ell = d$ и Пример 3. Можно обобщить примеры 1 и 2 и рассмотреть векторный однородный порядка $m$ эллиптический дифференциальный оператор $A$, отображающий $V$-значные функции в $E$-значные функции; здесь $V$ и $E$ – конечномерные пространства. Обозначим через $\mathcal{L}(V,E)$ пространство линейных операторов с областью $V$ и образом в пространстве $E$. С оператором $A$ можно естественным образом связать его символ $\mathbb{A}$, т.е. такое отображение $\mathbb{A}\colon \mathbb{R}^d \to \mathcal{L}(V,E)$, что Теорема 1 гласит, что неравенство
$$
\begin{equation}
\|\operatorname{I}_{\alpha}[A[g]]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|A[g]\|_{L_1}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
верно с равномерной константой тогда и только тогда, когда уравнение $A[u] = a\otimes \delta_0$, $a\in E$, не имеет решений в обобщенных функциях; это условие имеет ясную переформулировку в терминах символа $\mathbb{A}$ (см. формулы (1.6), (1.8), а также замечание 4 ниже). Удовлетворяющие такому условию операторы называют сокращающими, следуя работе [42]. Частный случай $\alpha = 1$ неравенства (1.3) решает проблему 8.3 из работы [42]. Отметим, что аналогичное неравенство с классическим пространством Лебега $L_{d/(d-\alpha)}$ в левой части было доказано в работе [42]. Почему же столь важно улучшить параметры вложения в $L_p$ до $L_{p,1}$? Различие между пространствами Лоренца и Лебега можно подчеркнуть следующим неравенством типа Харди (которое следует из вложения в пространство $L_{d/(d-\alpha),1}$, так как $|\,\cdot\,|^{-\alpha} \in L_{d/\alpha,\infty}$, и напрямую не следует из вложения в пространство $L_{d/(d-\alpha)}$, так как $|\,\cdot\,|^{-\alpha}\notin L_{d/\alpha}$). Следствие 1. Пусть $\mathcal{W}$ – инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное замкнутое подпространство класса $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, не содержащее обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, $a\ne 0$. Пусть $\alpha \in (0,d)$. Тогда для всякого $x_0 \in \mathbb{R}^d$ и $f\in \mathcal{W} \cap L_1$. Автор полагает, что основная новизна теоремы 1 состоит в отказе от такой дифференциальной структуры, как в приведенных примерах. Одна из целей работы – показать, что феномен неравенств Бургейна–Брезиса принадлежит, скорее, к области гармонического, чем классического вещественного анализа дифференциальных операторов. Теорему 1 можно интерпретировать как сообщение о том, что пространства $\mathcal{W}$, не содержащие дельта-мер, служат “пространствами Харди для операторов дробного интегрирования”. Теперь введем в рассмотрение разложение Литтлвуда–Пэли, которое позволит еще усилить теорему 1. 1.2. Разложение Литтлвуда–Пэли и шкала БесоваВ наших рассмотрениях естественным образом возникнет шкала пространств Бесова–Лоренца. Подробное изучение этой шкалы можно найти1 в [33; гл. 3], мы дадим лишь краткое резюме (по сути мы не будем пользоваться какими-либо тонкими свойствами этих пространств, и они не будут встречаться нигде, кроме § 1). Более того, нам понадобится не вся шкала, а лишь пространство $\dot{B}_{p,1}^{0,1}$. Норма в этом пространстве определена формулой
$$
\begin{equation}
\|g\|_{\dot{B}_{p,1}^{0,1}} = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \|g*(\psi_k - \psi_{k-1})\|_{L_{p,1}},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где функции $\psi_k(x) = A^{dk}\psi(A^{k}x)$ образуют аппроксимативную единицу, построенную по гладкой функции $\psi$ с компактным носителем, преобразование Фурье которой равно $1$ в окрестности начала координат; здесь $A > 1$ – вспомогательный параметр (выбор различных значений параметра $A$ порождает эквивалентные нормы). Теорема 2. Пусть $\mathcal{W}$ – это замкнутое линейное подпространство класса $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, инвариантное относительно сдвигов и растяжений, и пусть $\alpha \in (0,d)$. Неравенство выполнено с равномерной константой для всех $f\in \mathcal{W}$, для которых правая часть конечна, тогда и только тогда, когда пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, $a\in \mathbb{R}^\ell \setminus \{0\}$. Пользуясь предельными соотношениями
$$
\begin{equation*}
g*\psi_k \xrightarrow{L_{p,1}} g, \quad k \to \infty, \qquad g*\psi_k \xrightarrow{L_{p,1}} 0, \quad k\to -\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенством треугольника в пространстве $L_{p,1}$ (отметим, что $p > 1$), получаем
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{L_{p,1}} \lesssim \|g\|_{\dot{B}_{p,1}^{0,1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, теорема 1 следует из теоремы 2. Воспользовавшись другим вложением, $\dot{B}_{d/(d-\alpha),1}^{0,1} \hookrightarrow \dot{B}_{d/(d-\alpha)}^{0,1}$ (которое получается из вложения $L_{p,1}\hookrightarrow L_p$), приходим к еще одному полезному следствию, которое решает проблему 8.2 из работы [42] (см. также проблему 1 из работы [41]). Следствие 2. Пусть $A$ – эллиптический сокращающий дифференциальный оператор порядка $m$. В таком случае Замечание 1. Благодаря классическому вложению Бесова Теорема 2 находит и другие приложения, например, она влечет классическое неравенство Харди (которое можно проследить вплоть до работы [19])
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\mathbb{R}_+} \frac{|\widehat{f}(\xi)|^2}{|\xi|}\,d\xi\biggr)^{1/2} \lesssim \|f\|_{\operatorname{H}_1};
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\operatorname{H}_1$ – аналитический класс Харди на прямой, состоящий из комплекснозначных функций, носитель преобразования Фурье которых лежит на положительной полуоси. Соответствующее пространство $\mathcal{W}$ задано по правилу
$$
\begin{equation*}
\mathcal{W} = \bigl\{(f_1,f_2) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R},\mathbb{R}^2)\mid\operatorname{spec} f \subset [0,\infty),\, f=f_1 + if_2\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 влечет также и другое следствие в духе неравенства Харди; в этом неравенстве через $\sigma_r$ обозначена мера Хаусдорфа размерности $d-1$ на сфере $\{\zeta \in \mathbb{R}^d\mid|\zeta| = r\}$. Следствие 3. Пусть $d \geqslant 2$. Пусть $\mathcal{W}$ – замкнутое линейное подпространство класса $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, инвариантное относительно сдвигов и растяжений и не содержащее обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, $a\in \mathbb{R}^\ell \setminus \{0\}$. Пусть $A > 1$. Неравенство верно для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$. Доказательство. Достаточно доказать оценку
$$
\begin{equation*}
A^{(1-d)k}\sup_{r\in [A^{k-1},A^{k})} \int_{|\zeta| = r} |\widehat{f}(\zeta)|\,d\sigma_r(\zeta) \lesssim A^{-\alpha k}\|f*(\psi_k - \psi_{k-1})\|_{L_{d/(d-\alpha)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$ – достаточно малый положительный вспомогательный параметр; благодаря ей неравенство (1.5) последует из теоремы 2. Инвариантность относительно растяжений позволяет свести рассмотрение к случаю $k=0$. Предположим, что функция $\widehat{\psi}_0 - \widehat{\psi}_{-1}$ не обращается в нуль на области $\{|\zeta|\in [A^{-1},1)\}$ (мы вольны подобрать функцию $\psi$ в определении пространства Бесова так, чтобы это требование выполнялось). Достаточно доказать неравенство Так как параметр $\alpha$ близок к нулю, параметр суммируемости $d/(d\,{-}\,\alpha)$ близок к $1$, и желаемое неравенство следует из теоремы Томаса–Стейна. Следствие доказано. Следствие 3, в частности, влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|\widehat{f}(\xi)|}{|\xi|^{d-1}}\,d\xi \lesssim \|f\|_{\dot{W}_1^1},
\end{equation*}
\notag
$$
доказанное Бургейном в неопубликованном препринте [9]; см. также [34]. В случае первого градиента следствие 3 было получено Колядой в работе [26] с ограничением $d \geqslant 3$ (случай $d=2$ оставался не разобранным даже для первого градиента). Появление классов Харди в наших рассмотрениях неслучайно. Оказывается, что пространства типа Соболева и классы Харди – примеры пространств, заданных ограничениями на преобразование Фурье, которые мы опишем в следующем пункте. 1.3. Пространства, заданные ограничениями на преобразование ФурьеПусть $l$ и $d$ – натуральные числа. Мы будем работать с функциями, отображающими пространство $\mathbb{R}^d$ в $\mathbb{C}^l$. Последнее пространство снабдим стандартной евклидовой нормой на $\mathbb{R}^{2l}$:
$$
\begin{equation*}
|a|^2 = \sum_{j=1}^l a_j\overline{a}_j, \qquad a\in \mathbb{C}^l.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p \in [1,\infty)$. Через $L_p(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$ обозначим пространство $L_p$-функций со значениями в пространстве $\mathbb{C}^l$. Также введем в рассмотрение пространство $\boldsymbol{\mathrm{M}}(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$, состоящее из зарядов (т.е. счетно-аддитивных борелевских функций множеств, принимающих значения в пространстве $\mathbb{C}^l$) конечной вариации. Здесь и в дальнейшем мы различаем понятие меры, которое подразумевает скалярность и положительность, и понятие заряда; заряды могут принимать значения в пространствах $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^\ell$ или $\mathbb{C}^l$. Норма в пространстве $\boldsymbol{\mathrm{M}}$ – полная вариация заряда $\mu$. Пусть $k \leqslant l$ – натуральное число. Рассмотрим гладкое отображение $\Omega$: $S^{d-1}\to G(l,k)$. Через $S^{d-1}$ и $G(l,k)$ обозначены соответственно единичная сфера с центром в начале координат пространства $\mathbb{R}^d$ и (комплексный) грассманиан, т.е. множество всех (комплексных) линейных $k$-мерных подпространств пространства $\mathbb{C}^l$. Отображение $\Omega$ позволяет определить обобщение пространства Соболева как
$$
\begin{equation*}
W_1^\Omega = \bigl\{f\in L_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)\mid\forall\, \xi \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\} \ \ \widehat{f}(\xi) \in \Omega(\xi/|\xi|)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и пространства функций ограниченной вариации $\operatorname{BV}$ как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{BV}^\Omega = \bigl\{\mu\in \boldsymbol{\mathrm{M}}(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)\mid \forall\, \xi \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\} \ \ \widehat{\mu}(\xi) \in \Omega(\xi/|\xi|)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти пространства наследуют нормы объемлющих пространств $L_1$ и $\boldsymbol{\mathrm{M}}$ соответственно. Замечание 2. Подпространства $W_1^\Omega$ и $\operatorname{BV}^\Omega$ замкнуты в пространствах $L_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$ и $\boldsymbol{\mathrm{M}}(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$ соответственно. Эти подпространства инвариантны относительно сдвигов и растяжений. Пример 4. Пусть $l=d$ и $k=1$. Рассмотрим отображение т.е. вектор $\zeta$ отображается в комплексную прямую, порожденную им самим. В таком случае Иными словами, можно получить классические пространства $\dot{W}_1^1$ и $\operatorname{BV}$, выбрав определенную функцию $\Omega$. Пример 5. Пусть $l=d$ и $k=d-1$. Зададим отображение $\Omega$ формулой т.е. $\Omega(\zeta)$ – ортогональное дополнение прямой, порожденной вектором $\zeta$. В таком случае пространство $\operatorname{BV}^\Omega$ – пространство соленоидальных зарядов. Пример 6. Для случая, рассмотренного в примере 3, определим соответствующую функцию $\Omega$ при помощи формулы Так как оператор $A$ эллиптичен, размерность образа пространства $V$ равна $\dim V$ при всяком $\zeta \in S^{d-1}$, и отображение $\Omega$ действительно гладко действует в множество $G(\dim E,\dim V)$. Получающиеся пространства $W_1^{\Omega}$ и $\operatorname{BV}^\Omega$ обычно обозначают через $W_1^{A}$ и $\operatorname{BV}^{A}$. В случае $A = \nabla$, рассмотренном в примере 4, имеем $V = \mathbb{C}$, $E = \mathbb{C}^d$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}(\zeta)[\lambda] = \zeta \lambda, \qquad \zeta \in \mathbb{R}^d, \quad \lambda \in V = \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай, рассмотренный в примере 5, соответствует дифференциальному оператору $A = \mathrm{curl}$, здесь $V = E =\mathbb{C}^d$; отметим, что такой дифференциальный оператор не является эллиптичным, это лишь так называемый оператор постоянного ранга. Пример 7. Другой важный пример – пространства, заданные ограничениями на преобразование Фурье функцией, удовлетворяющей условию асимметрии для всех $\zeta \in S^{d-1}$. Знаменитая теорема Учиямы из работы [59] гласит, что в этом случае $W_1^\Omega \subset \mathcal{H}_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, где второе пространство – вещественный класс Харди. Необходимость условия асимметрии для вложения $W_1^\Omega \subset \mathcal{H}_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ была ранее установлена Янсоном в работе [21]. Можно показать, что шварцевы функции плотны в пространстве $W_1^\Omega$ (см. препринт [52]). Удобное определение пространства обобщенных функций $\mathcal{W}$, порождаемых функцией $\Omega$, было дано Айющем и Войчеховским в работе [5]. Пусть $L \in G(l,k)$, обозначим через $\pi_L$ ортогональную проекцию пространства $\mathbb{C}^l$ на подпространство $L$. Определение 1. Определим пространство $\boldsymbol{\mathrm{W}}$ по правилу Здесь $H$ – вспомогательная скалярная функция класса Шварца, имеющая в начале координат глубокий нуль (т.е. для всякого числа $N\in \mathbb{N}$ соотношение $H(x) = O(|x|^{N})$ выполнено при $x\to 0$) и положительная вне начала координат. Функция $H$ нужна для придания формуле математического смысла, умножение на нее уничтожает негладкость проекции в начале координат. Отметим, что пространство $\boldsymbol{\mathrm{W}}$ содержит все многочлены. Замечание 3. Пространство $\boldsymbol{\mathrm{W}}$ инвариантно относительно сдвигов и растяжений. Оно замкнуто как подпространство $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$. Это условие было независимо введено Войчеховским и Рогинской в работе [38] и Ван Шафтингеном в работе [42]. Замечание 4. Условие сокращения (1.8) равносильно отсутствию зарядов вида $a\otimes \delta_0$, $a\in \mathbb{C}^l \setminus \{0\}$, в пространстве $\boldsymbol{\mathrm{W}}$. Действительно, если $a\otimes \delta_0 \in\boldsymbol{\mathrm{W}}$, то этот заряд также принадлежит пространству $\operatorname{BV}^\Omega$. В таком случае $a \in \Omega(\xi)$ для всякого $\xi$ и пересечение (1.8) содержит вектор $a$. С другой стороны, если пересечение в левой части формулы (1.8) содержит вектор $a\,{\in}\, \mathbb{C}^l$, то $a\,{\otimes}\, \delta_0 \,{\in}\, \boldsymbol{\mathrm{W}}$. Таким образом, теорема 2 влечет следующую теорему. Теорема 3. Пусть отображение $\Omega$ удовлетворяет условию сокращения (1.8). Тогда если $\alpha \in (0,d)$. 1.4. Об истории вопросаНеравенство Харди–Литтвуда–Соболева впервые появилось в работе С. Л. Соболева [45] как средство доказательства теорем, теперь называемых теоремами вложения Соболева. К сожалению, методы работы [45] не работали в случае предельного показателя суммируемости $1$. Больше информации о классическом неравенстве Харди–Литтлвуда–Соболева и его применениях можно почерпнуть в [50; гл. 5]. Самый простой и естественный предельный случай, описанный в примере 2, оказывается равносильным (в силу теории Кальдерона–Зигмунда) предельным соболевским вложениям пространства $\dot{W}_1^1(\mathbb{R}^d)$. Если $\alpha = 1$ и пространство вкладывается в пространство Лебега $L_{d/(d-1)}$, то получится классическое вложение Гальярдо и Ниренберга, полученное ими в работах [16] и [32] соответственно; более развернутую историческую справку об этом замечательном случае можно найти в книге [31]. Вложение в наилучшее пространство Лоренца $L_{d/(d-1),1}$ было впервые доказано Альвино в работе [2], а переоткрыто Пурнимой в [35] и Тартаром (более подробный исторический комментарий приведен в [58]). Для гладкостей более высокого порядка и шкалы пространств Бесова полный результат был получен Колядой в работе [25]; см. также работы [7] и [46] и работу [48], содержащую другое доказательство. Отметим, что основная часть этих результатов верна и в более общей анизотропной ситуации, т.е. в случае, когда дифференцирования по различным переменным могут иметь разные порядки. Теория обычных анизотропных вложений изложена в книге [8]. Неравенство
$$
\begin{equation}
\|\operatorname{I}_1[f]\|_{L_{d/(d-1)}} \lesssim \|f\|_{L_1}, \qquad \operatorname{div} f=0,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
было доказано Бургейном и Брезисом в [11] и в некотором смысле послужило точком к дальнейшему развитию. Рассуждения в работе [11] опирались на теорему Смирнова (см. [44]), которая раскладывает всякий соленоидальный заряд в среднее касательных потоков к гладким кривым, и частный случай неравенства (1.9) для зарядов такого вида, рассмотренный ранее в работе [13]. Другое доказательство неравенства (1.9) было предложено Ван Шафтингеном в работе [39]; см. также работы [10] и [40]. Вопрос о справедливости неравенства
$$
\begin{equation*}
\|\operatorname{I}_1[f]\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|f\|_{L_1}, \qquad \operatorname{div} f=0,
\end{equation*}
\notag
$$
довольно долго оставался открытым (вопрос сформулирован в работе [12]), пока Хернандес и Спектор не разрешили его в работе [20] (препринт [52] появился почти одновременно с ней). Их доказательство также опирается на теорему Смирнова. Автор не нашел в литературе неравенства
$$
\begin{equation*}
\|\operatorname{I}_1[f]\|_{\dot{B}^{0,1}_{d/(d-1),1}} \lesssim \|f\|_{L_1}, \qquad \operatorname{div} f=0,
\end{equation*}
\notag
$$
являющегося полной формой теоремы 2 в этом случае. Случай дифференциальных операторов общего вида, описанный в примере 6, с $\alpha = 1$ и пространством Лебега вместо пространства Бесова–Лебега был разобран Ван Шафтингеном в работе [42]. Частные случаи ранее рассматривались в работах [55] (случай симметричного градиента), [27] (дифференциалы Ходжа), [29] (поиск точных констант в неравенствах такого вида) и [12] (производные высших порядков и связанные с неравенствами Бургейна–Брезиса вопросы о приближении); см. также обзоры [43] и [47]. Дифференциальные операторы, удовлетворяющие условию (1.8) (см. также (1.6)) называют сокращающими; условие эллиптичности может быть заменено более слабым условием постоянного ранга; см. работу [37]. Результаты в стиле неравенства Харди такие, как в следствии 1, получены в работах [30] и [14]. Вложения в пространство Лоренца $L_{d/(d-1),1}$ в случае, когда $A$ – оператор первого порядка, установлены в работе [49]. Возможны обобщения на некоторые другие метрические пространства (кроме $\mathbb{R}^d$); см. работу [15]. С задачей о предельных неравенствах в духе теоремы Харди–Литтлвуда–Соболева связана задача оценки сингулярности зарядов пространства $\operatorname{BV}^\Omega$. Вопрос ставится так: какова наилучшая нижняя оценка нижней размерности Хаусдорфа заряда $\mu \in \operatorname{BV}^\Omega$? Вопрос был поставлен в работе [38]. Отметим, что если функция $\Omega$ асимметрична (условие (1.7) выполняется для всякого вектора $\zeta \in S^{d-1}$, как в примере 7), то оба пространства $\operatorname{BV}^\Omega$ и $W_1^\Omega$ содержатся в вещественном классе Харди $\mathcal{H}_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^l)$ согласно теореме Укиямы из работы [59]. Следовательно, любой заряд $\mu \in \operatorname{BV}^\Omega$ абсолютно непрерывен относительно меры Лебега. В случае произвольной функции $\Omega$ задача остается нерешенной. Частичные продвижения были получены в работах [3], [5], [38] и [54]. Вполне возможно, что методы настоящей работы могут быть полезны и в этой смежной задаче; см. [51]. Работа [17] посвящена родственной задаче о следах (классический случай первого градиента см. в [31]). Из теоремы 2 (с учетом неравенств о следах для потенциалов Рисса; см. [1]) получаем следующую “теорему о следе”. Следствие 4. Пусть $\mathcal{W}$ – инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное замкнутое подпространство класса $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$, не содержащее зарядов вида $a\otimes \delta_0$, $a\in \mathbb{R}^\ell\setminus\{0\}$. Пусть $\alpha \in (0,d)$. В таком случае отображение $\operatorname{I}_{\alpha}\colon \mathcal{W}\cap L_1 \to L_q(\mu)$ непрерывно, если $q > 1$ и мера $\mu$ удовлетворяет условию типа Фростмана для всякого радиуса $r>0$ и центра $x\in \mathbb{R}^d$ евклидова шара $B_r(x)$ (с равномерной константой). Как упоминалось выше, классические теоремы вложения (для классических пространств Соболева) имеют анизотропные обобщения (см. самый точный результат для классического случая чистых производных в работе [25]). Некоторые частичные результаты для пространств типа $W_1^\Omega$ в анизотропном случае были получены работах [23], [24] и [53]; в [24] также получены приложения к вопросам теории банаховых пространств (идея использовать неравенства, аналогичные обсуждаемым, для получения интересной информации об изоморфном типе банаховых пространств появилась еще в работах [22] и [28]). Методы настоящей работы отличаются от обычно используемых в этой области; можно наблюдать некоторую преемственность с работами [10] и [12]. Мы будем использовать методы гармонического анализа, например, частотно-временные разложения и неравенства Гарнака. Такой подход позволяет отказаться от дифференциальной структуры и работать в большей общности ограничений на преобразование Фурье. Перейдем к описанию наших методов и последовательности их применения. 1.5. План доказательстваВ работе [4] была предложена дискретная модель обсуждавшихся выше задач: пространства $\operatorname{BV}^\Omega$ имеют аналоги в мире мартингалов с дискретным временем, согласованных с регулярными фильтрациями. В дискретных моделях задачи упрощаются, и работа [4] содержит их решения. Подход основан на четырех идеях: полуинварианте (в мире дискретных мартингалов полуинвариантность выражается простой формой выпуклости пространства $L_p$), разбиении на выпуклые и плоские атомы, усилении неравенства, выражающего полуинвариантность, в случае, если выполнено соответствующее условие сокращения, а также комбинаторном рассуждении. Наш план состоит в перенесении методов работы [4] на случай евклидова пространства, для его реализации нужно найти подходящие интерпретации понятий мартингала, атома, полуинварианта и других объектов той работы. “Перевод” окажется далеким от подстрочного, придется обратиться к новым сущностям (основное новшество – горизонтальные графы в § 6, в дискретном мире горизонтальное взаимодействие отсутствует; из-за этого придется ввести дополнительную классификацию атомов: насыщенные и ненасыщенные). В § 2 содержится интерпретация понятий мартингала и полуинварианта. Первое понятие заменено продолжением уравнением теплопроводности; более точно, мы рассмотрим мартингал с дискретным временем через $\operatorname{H}[f] = \operatorname{H}[f](x,t)$ обозначено продолжение функции $f$ уравнением теплопроводности, а $A$ – очень большой параметр, точное значение которого указано в § 7. Что касается полуинварианта, то мы воспользуемся существенно более общим полуинвариантом, найденным Беннеттом, Кэрбери и Тао в работе [6] (мы слегка обобщим упомянутый простой случай до некоторого весового неравенства). Свойство полуинвариантности сформулировано в предложении 1. Мы будем избегать вероятностной терминологии, хотя вероятностная точка зрения на рассматриваемый круг вопросов оказывается вполне естественной, если не сказать необходимой.В § 3 содержится усиление свойства полуинвариантности Беннетта–Кэрбери–Тао для мер ранга 1 пространства $\mathcal{W}$ в случае, когда это пространство не содержит дельта-мер. Основная идея состоит в том, что неравенство, выражающее свойство полуинвариантности, обращается в равенство только в случае, когда $f$ – дельта-мера. Теорема 4 утверждает, что меры $\mu$ такие, что $a\otimes \mu \in \mathcal{W}$, в некотором смысле отделены от множества дельта-мер и, стало быть, для таких мер $\mu$ предложение 1 можно усилить. Отделенность выражена при помощи понятия инвариантного конуса мер, введенного в работе [36] (определение слегка изменено для работы с классом Шварца). Хотя мы и не будем пользоваться понятиями касательного конуса или касательной меры, материал из § 3 напоминает некоторые части работы [36]. В § 4 дана интерпретация понятия атома. Мы будем пользоваться версией разложения по системе всплесков. Более точно, мы не будем разбивать на части функцию, а будем лишь рассматривать ее нормы в различных весовых пространствах $L_1$, веса же будут локализованы в окрестностях атомов. Согласно принципу неопределенности функция $f_k = \operatorname{H}[f](\,\cdot\,, A^{-2k})$ похожа на функцию на решетке $A^{-k}\mathbb{Z}^d$. Мы воспользуемся этим принципом, рассматривая выражения $\|f_k\|_{L_1(w_{k,j})}$, где вес $w_{k,j}$ сосредоточен в окрестности точки $A^{-k}j$, $j \in\mathbb{Z}^d$; величина $\|f_k\|_{L_1(w_{k,j})}$ в таком случае интерпретируется как значение мартингала $f$ на атоме $(k,j)$. Мы определим выпуклые и плоские атомы подобно работе [4] и докажем несколько полезных лемм о наших весах. Это позволит оценить часть суммы по выпуклым атомам так же, как в работе [4]; эта оценка дана в предложении 3. В § 5 приведено рассуждение о компактности, которое позволит “пошевелить” (т.е. сделать слегка более гибким) улучшение полуинварианта Беннетта–Кэрбери–Тао, доказанное в § 3, т.е. доказать аналогичное неравенство для функций $f \in \mathcal{W}$, в некотором смысле близких к мерам ранга 1; точная формулировка дана в теореме 5. В работе [4] было показано, что приращение $L_p$-нормы мартингала на плоском атоме меньше, чем приращение той же величины для мартингала, порожденного дельта-мерой. В евклидовом случае все несколько сложнее, потому что у нас нет точной локализации по пространственным переменным (из-за принципа неопределенности). Приходится сделать дополнительное предположение о концентрации. При этом предположении мы доказываем, что если атом плоский, то функция $f$ близка к положительной мере ранга 1 и ее $L_p$-норма в определенном весовом пространстве растет медленнее, чем соответствующая характеристика дельта-меры. В наших рассмотрениях графы будут иллюстрировать подчинение атомов: стрелка из атома $\mathfrak{A}$ в атом $\mathfrak{B}$ означает, что некоторая величина, связанная с атомом $\mathfrak{B}$, может быть оценена соответствующей величиной атома $\mathfrak{A}$ с определенной равномерностью оценки. В § 6 вводятся графы, которые отмечают горизонтальное подчинение атомов. Мы изучим простые комбинаторные свойства этих графов и введем вторую классификацию атомов (первая – разбиение на плоские/выпуклые атомы). Атомы могут быть насыщенными и ненасыщенными. Для насыщенных атомов получены хорошие оценки приращения $L_p$-нормы (они следуют из теоремы 5, так как насыщенные атомы удовлетворяют условию концентрации, требуемому в этой теореме). Кроме того, если ненасыщенный атом подчинен насыщенному, т.е. определенный контроль приращения $L_p$-нормы при смещении веса от первого атома ко второму (теорема 6 содержит точную формулировку). В § 7 завершается доказательство. Здесь появляется граф $\Gamma$, аналогичный графу работы [4]. Теперь его структура усложнилась, он не является так называемым равномерным графом. В нем даже могут быть вершины с бесконечным числом потомков. Тем не менее $\Gamma$ – по-прежнему лес, т.е. дизъюнктное объединение деревьев. Усиленный полуинвариант позволяет вести индукцию по каждому дереву (предложение 4). Комбинаторный аргумент, подобный рассуждению из работы [4], сводит оценку суммы по плоским атомам к уже полученной оценке суммы по выпуклым атомам. § 2. Гауссовы функции и полуинвариантыРассмотрим продолжение функции $f\,{\in}\, L_1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ в верхнее пространство уравнением теплопроводности, т.е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{H}[f](x,t) = (4\pi t)^{-d/2} \int_{\mathbb{R}^d}f(y)\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,dy, \qquad x\in \mathbb{R}^d, \quad t > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение можно обобщить на случай $f\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ стандартным методом. Построенное продолжение действительно удовлетворяет уравнению теплопроводности
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{H}[f])_t = \Delta_x \operatorname{H}[f]
\end{equation*}
\notag
$$
и полугрупповому свойству
$$
\begin{equation}
\operatorname{H}\bigl[\operatorname{H}[f](\,\cdot\,,s)\bigr](x,t) = \operatorname{H}[f](x,t+s), \qquad t,s > 0, \quad x\in\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Оператор $f\mapsto \operatorname{H}[f](\,\cdot\,,t)$ можно описать как мультипликатор Фурье с символом $\exp(-4\pi^2 t|\xi|^2)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}\bigl[\operatorname{H}[f](\,\cdot\,,t)\bigr](\xi) = \exp(-4\pi^2 t|\xi|^2)\widehat{f}(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $f\in \mathcal{W}$, то $\operatorname{H}[f](\,\cdot\,,t) \in \mathcal{W}$ при всяком $t > 0$. Пусть $A$ – большой параметр, точное значение которого мы укажем позже. Для дальнейших рассмотрений будет удобно предположить, что $A$ – натуральное нечетное число. Мы будем использовать обозначения
$$
\begin{equation}
p = \frac{d}{d-\alpha}, \qquad \alpha = d\,\frac{p-1}{p},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
которые связывают параметры суммируемости и гладкости в теореме 2. Через $p'$ обозначен сопряженный к $p$ параметр суммируемости, $p' = p/(p-1)$. Замечание 5. Утверждение теоремы 2 следует из неравенства Действительно, неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\operatorname{I}_{\alpha}[f]*(\psi_k - \psi_{k-1})\|_{L_{p,1}} \lesssim A^{-\alpha k} \|\operatorname{H}[f](\,\cdot\,, A^{-2k})\|_{L_{p,1}}
\end{equation*}
\notag
$$
следует из равномерной (по параметру $k$) ограниченности $L_1$-нормы преобразования Фурье функции
$$
\begin{equation*}
\frac{\widehat{\psi}(A^{-k}\xi) - \widehat{\psi}(A^{-k+1}\xi)}{A^{-\alpha k}|\xi|^\alpha \exp(-4\pi^2 A^{-2k}|\xi|^2)};
\end{equation*}
\notag
$$
благодаря формуле (1.4) суммирование таких неравенств по всем $k\in\mathbb{Z}$ и дает неравенство Замечание 6. Используя инвариантность задачи относительно растяжений, неравенство (2.3) можно свести к или, что то же самое, где $f_k(x) = \operatorname{H}[f](x, A^{-2k})$. Определение 3. Под весом мы будем понимать локально суммируемую почти всюду положительную функцию $w$, задающую обобщенную функцию умеренного роста, т.е. такую, что для некоторого числа $M \in \mathbb{N}$ при всех $R > 1$ выполнена оценка $\displaystyle\int_{B_R(0)} w(x)\,dx \lesssim R^M$. Определим норму в пространстве $L_p(w)$ посредством формулы функция $f$ может быть векторнозначной.Следующие лемма и следствие стандартны, мы приводим их доказательства, так как нам понадобятся используемые в них формулы. Лемма 1. Пусть $w$ – вес, $g\in L_{1,\operatorname{loc}}\cap \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ – функция и $p \geqslant 1$. Для всякого $t > 0$ выполнено неравенство в случае, если правая часть конечна. Доказательство. Возведем левую часть в степень $p$ и применим неравенство Йенсена и теорему Фубини: Лемма доказана. Доказательство. Согласно полугрупповому свойству (2.1) уравнения теплопроводности
$$
\begin{equation}
f_k(x) = \operatorname{H}[f_m](x,A^{-2k} - A^{-2m}),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
поэтому искомое неравенство следует из леммы 1 с $w = 1$, так как $\operatorname{H}[1](x,t) = 1$ для всяких $x$ и $t$. Следствие доказано. Лемма 2. Пусть $p=1$. Если неравенство (2.5) обратилось в равенство при некотором $t > 0$, то $g = a\otimes h$, где $a\in \mathbb{R}^\ell$, а $h$ – неотрицательная скалярнозначная функция. Доказательство. Формула (2.6) влечет равенство
$$
\begin{equation}
\|g\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,t))} - \|\operatorname{H}[g](\,\cdot\,,t)\|_{L_1(w)} = \int_{\mathbb{R}^d}\bigl(\operatorname{H}[|g|](x,t) - |\operatorname{H}[g](x,t)|\bigr)w(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Следовательно, если неравенство (2.5) обратилось в равенство, то $\operatorname{H}[|g|](x,t) = |\operatorname{H}[g](x,t)|$ для всех $x \in \mathbb{R}^d$. Подставляя $x= 0$, получаем где $\mu$ – определенная мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега и обладающая гауссовой плотностью. Пусть $\displaystyle a = \int g\,d\mu$. Напомним, что $\pi_a$ обозначает ортогональную проекцию на вектор $a$. Запишем цепочку неравенств Оба неравенства обращаются в равенства. Так как $|\pi_a[g]| = |g|$ почти всюду, вектор $g(x)$ пропорционален вектору $a$ для почти всех $x$. Это равносильно тождеству $g = a\otimes h$ со скалярной функцией $h$. В таком случае, поскольку второе неравенство в цепочке тоже обращается в равенство, получаем, что $h \geqslant 0$ почти всюду. Лемма доказана. Предложение 1. Пусть $\mu$ – неотрицательная скалярная мера умеренного роста, и пусть $w$ – непрерывный вес. В таком случае если правая часть конечна. Безвесовой случай этого предложения был доказан в работе [6], это частный случай предложения 3.1 той работы (см. также предложение $5$ публикации в блоге [57]). Неравенство (2.9) можно считать интерполяцией двух предельных случаев, $p=1$ и $p=\infty$. Не ясно, как интерполировать утверждения такого рода. До конца § 2 мы будем придерживаться обозначений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(x,t) = \operatorname{H}[\mu](x,t), \qquad v(x,t) = \operatorname{H}[w]\biggl(x,\frac{1-t}{p}\biggr), \\ Q_p[\mu,w](t) = t^{d(p-1)/2}\int_{\mathbb{R}^d} u^p(x,t)v(x,t)\,dx, \qquad x\in \mathbb{R}^d, \quad t \in (0,1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Мы часто будем опускать зависимость от первых двух аргументов функции $Q_p$, если это не приведет к двусмысленности. Отметим, что функция $u$ является решением классического уравнения теплопроводности, а функция $v$ – решением перенормированного обратного уравнения теплопроводности Утверждение предложения 1 последует из неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial Q_p(t)}{\partial t} \geqslant 0, \qquad t\in(0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
а это неравенство в свою очередь – из замечательного тождества
$$
\begin{equation}
\frac{\partial Q_p(t)}{\partial t} = \frac{p-1}{4} (4\pi)^{-dp/2} t^{-d/2-2} \int_{\mathbb{R}^d}\mathbb{D}(x- Y_x)(\mu_{x,t}(\mathbb{R}^d))^pv(x,t)\,dx.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Поясним эту формулу. Меры $\mu_{x,t}$ заданы равенством
$$
\begin{equation*}
d\mu_{x,t}(y) = \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,d\mu(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы интерпретируем пространство $\mathbb{R}^d$ как вероятностное пространство, снабженное вероятностной мерой $\mu_{x,t}/\mu_{x,t}(\mathbb{R}^d)$. Через $Y_x$ обозначена векторная случайная величина $y$, заданная на нашем вероятностном пространстве. Отметим, что так как величина $x$ постоянна, в формуле (2.12) величину $\mathbb{D}(x-Y_x)$ можно заменить на $\mathbb{D}\, Y_x$. Мы пользуемся вероятностным языком, чтобы сформулировать результат в стиле, близком оригинальной работе [6]. В дальнейшем вероятностная терминология не используется. Доказательство формулы (2.12). Не умаляя общности, будем считать, что мера $\mu$ имеет компактный носитель, так как общий случай может быть сведен к этому при помощи стандартного предельного перехода. В таком случае функции $u$ и $v$ быстро убывают на бесконечности по переменной $x$, и во всех манипуляциях с интегрированием по частям относительно пространственных переменных мы можем не заботиться о граничных подстановках. Начнем с прямого дифференцирования $Q_p$, пользуясь определением этой функции (мы опускаем аргументы функций):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial Q_p(t)}{\partial t} = t^{d(p-1)/2}\int_{\mathbb{R}^d}\biggl(\frac{d(p-1)}{2t}u^pv + pu^{p-1} u_tv + u^pv_t\biggr)\,dx.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Пока что оставим это выражение и преобразуем правую часть формулы (2.12) к более классическому виду. Начнем с тождества
$$
\begin{equation*}
\mathbb{D}(x- Y_x) = \mathbb{E}|x- Y_x|^2 - |\mathbb{E}(x-Y_x)|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и преобразуем эти слагаемые по отдельности:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{E}|x-Y_x|^2 = \frac{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}|y-x|^2 \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,d\mu(y)} {\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,d\mu(y)} = \frac{4t^2 \widetilde{u}_t}{\widetilde{u}}, \\ |\mathbb{E}(x-Y_x)|^2 = \left|\frac{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}(y-x) \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,d\mu(y)} {\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4t}\biggr)\,d\mu(y)}\right|^2 = \biggl|\frac{-2t\nabla_x\widetilde{u}}{\widetilde{u}}\biggr|^2 = 4t^2\frac{|\nabla_x\widetilde{u}|^2}{\widetilde{u}^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{u}(x,t) = (4\pi t)^{d/2}u(x,t)$, или, что то же самое, $\widetilde{u}(x,t) = \mu_{x,t}(\mathbb{R}^d)$. Подставив эти выражения в правую часть формулы (2.12), получаем
$$
\begin{equation*}
(p-1)(4\pi)^{-dp/2}t^{-d/2}\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(\widetilde u_t \widetilde u^{p-1} - |\nabla_x\widetilde u|^2 \widetilde u^{p-2}\bigr)v\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Выразим эту величину через $u$ при помощи формулы $\widetilde{u}_t = (4\pi t)^{d/2}(u_t + \frac{d}{2t}u)$: правая часть (2.12) равна
$$
\begin{equation*}
(p-1)t^{d(p-1)/2}\int_{\mathbb{R}^d}\biggl(u_tu^{p-1} + \frac{d}{2t}u^p - |\nabla_x u|^2u^{p-2}\biggr) v\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря тождеству (2.13) и приведенным здесь рассуждениям нам осталось доказать равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d} \biggl(\frac{d(p-1)}{2t} u^pv + pu^{p-1}u_tv + u^pv_t\biggr)\,dx \\ &\qquad= (p-1)\int_{\mathbb{R}^d}\biggl(\frac{d}{2t}u^pv + u^{p-1}u_tv - |\nabla_x u|^2u^{p-2}v\biggr)\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое равносильно
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}(u^{p-1}u_t v + u^p v_t)\,dx = - (p-1) \int_{\mathbb{R}^d}|\nabla_x u|^2 u^{p-2}v\,dx.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Воспользуемся тем, что функция $u$ удовлетворяет уравнению теплопроводности, а функция $v$ – уравнению (2.11), чтобы переписать левую часть равенства (2.14) в виде
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}(u^{p-1}u_t v + u^p v_t)\,dx = \int_{\mathbb{R}^d}u^{p-1}v\Delta_x u-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^d}u^p\Delta_x v.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Несколько раз проинтегрировав по частям, перепишем правую часть равенства (2.14) (угловые скобки обозначают скалярное произведение в пространстве $\mathbb{R}^d$) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{-}(p-1)\int_{\mathbb{R}^d}|\nabla_x u|^2u^{p-2}v = -\int_{\mathbb{R}^d}\langle(p-1)u^{p-2}\nabla_x u,v\nabla_x u\rangle \\ &\qquad= \int_{\mathbb{R}^d}u^{p-1}\operatorname{div}[v\nabla_x u] =\int_{\mathbb{R}^d}u^{p-1}v\Delta_xu + \int_{\mathbb{R}^d}u^{p-1}\langle\nabla_xu,\nabla_x v\rangle \\ &\qquad = \int_{\mathbb{R}^d}u^{p-1}v\Delta_xu -\frac1p\int_{\mathbb{R}^d}u^{p}\Delta_x v. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А эта величина совпадает с правой частью формулы (2.15). Таким образом, мы доказали равенство (2.14), а с ним и тождество (2.12). Замечание 7. Мы доказали предложение 1. Из формулы (2.12) также следует, что неравенство (2.9) обращается в равенство тогда и только тогда, когда $\mu = \delta_x$ для некоторой точки $x\in \mathbb{R}^d$. Действительно, равенство $\mathbb{D}(x-Y_x) = \mathbb{D}(Y_x)= 0$ имеет место тогда и только тогда, когда случайная величина $y$ постоянна $\mu_{x,t}$ почти всюду, что равносильно равенству меры $\mu_{x,t}$ дельта-мере. Замечание 8. Предложение 1 можно интерпретировать как усредненную версию неравенства Гарнака для уравнения теплопроводности. § 3. Усиление полуинвариантаНам потребуется контролировать степень регулярности (“гладкости на бесконечности”) наших весов при помощи некоторой версии модуля непрерывности. Определение 4. Пусть $w$ – непрерывный положительный вес. Определим его функцию гладкости $\operatorname{s}[w]\colon \mathbb{R}_+\to[1,\infty]$ согласно формуле Пример 8. Пусть $\theta > 0$. Тогда $\operatorname{s}[(1+|\cdot|)^{-\theta}](\zeta) = (1+\zeta)^{\theta}$. Лемма 4. Пусть $t \in (0,1)$, а $w$ – непрерывный вес. В таком случае растянутый вес $W$, заданный по правилу $W(x) = w(tx)$, удовлетворяет поточечному неравенству $\operatorname{s}[W] \leqslant \operatorname{s}[w]$. Следующее определение вдохновлено работой [36]. Определение 5. Будем называть подмножество $\mathbb{M}$ класса Шварца $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ инвариантным конусом, если оно удовлетворяет следующим свойствам: 1) всякий элемент $\mu \in\mathbb{M}$ является мерой, т.е. неотрицательной обобщенной функцией; 2) множество $\mathbb{M}$ замкнуто в топологии класса $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$; 3) множество $\mathbb{M}$ инвариантно относительно растяжений; 4) множество $\mathbb{M}$ инвариантно относительно сдвигов; 5) множество $\mathbb{M}$ – конус в том смысле, что имеет место включение $c\mu\in\mathbb{M}$, коль скоро $c \geqslant 0$ и $\mu \in \mathbb{M}$. Пример 9. Пусть $q \in [1, d-1]$ – натуральное число. Через $\mathbb{M}_q$ обозначим множество всех неотрицательных обобщенных функций, заданных на пространстве $\mathbb{R}^d$ и зависящих не более чем от $q$ координат в том смысле, что для всякой меры $\mu \in \mathbb{M}_q$ найдется такое линейное пространство $L\in G(d,q)$, что мера $\mu$ не изменяется при сдвигах на элементы множества $L^{\perp}$. Нетрудно видеть, что множество $\mathbb{M}_q$ – инвариантный конус мер. Пример 10. Множество Теорема 4. Пусть $\mathbb{M}$ – не содержащий дельта-меру $\delta_0$ инвариантный конус мер. Пусть непрерывный положительный вес $G$ удовлетворяет оценке гладкости а $p \in (1,\infty)$ – фиксированное число. Существует такая малая постоянная $\delta$, выбор которой зависит от параметров $\mathbb{M},\theta_G,C_G$ и $p$, но не от конкретных $G$ или $\mu\in \mathbb{M}$, что неравенство выполнено в случае, если его правая часть конечна. Эту теорему можно считать количественной версией замечания 7. Доказательство весьма громоздко (хотя вполне прямолинейно) и занимает всю оставшуюся часть § 3. Сначала избавимся от зависимости от времени. Мы будем пользоваться величиной $Q_p = Q_p[\mu,G]$, определенной формулой (2.10). Лемма 5. Оценка (3.3) следует из неравенства Заметим, что согласно предложению 1, если величина $Q_p(1)$ конечна, то конечна и $Q_p(t)$ при всяком $t\in (0,1)$. Стало быть, в доказательстве, приведенном ниже, мы всегда будем работать с конечными величинами. Доказательство леммы 5. Предположим, что неравенство (3.4) выполнено с некоторой равномерной по параметрами $\mu$ и $G$ константой $\delta$. Оценку (3.3) можно переписать в терминах функции $Q_p$: $Q_p(t) \leqslant t^{p\delta}Q_p(1)$, $t \in (0,1]$; последнее неравенство, очевидно, следует из
$$
\begin{equation}
\frac{Q_p'(t)}{Q_p(t)} \geqslant \frac{p\delta}{t}, \qquad t\in (0,1).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Зафиксируем $\mu$ и $G$ и построим по ним функции $u$ и $v$ согласно формулам (2.10) (полагаем $w:= G$). Также рассмотрим растянутые функции
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}(x,\theta) = u(tx,t^2\theta), \quad \widetilde{v}(x,\theta) = v(tx,t^2\theta), \qquad x\in \mathbb{R}^d, \quad \theta > 0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Эти функции являются решениями тех же уравнений (уравнения теплопроводности и обратного уравнения теплопроводности), что и $u$ и $v$ соответственно. Установим, какие мера $\widetilde{\mu}$ и вес $\widetilde{G}$ порождают эти функции согласно формулам (2.10). Случай меры $\widetilde{\mu}$ проще: мера $\widetilde{\mu}$ – предел функций $\widetilde{u}(\,\cdot\,,\theta)$ при $\theta\to 0$, стало быть, $\widetilde{\mu}$ – некоторое растяжение меры $\mu$. Благодаря инвариантности конуса $\mathbb{M}$ относительно растяжений имеем $\widetilde{\mu}\in \mathbb{M}$. Вес $\widetilde{G}$ совпадает со значением функции $\widetilde{v}$ в момент $\theta = 1$ и
$$
\begin{equation*}
\widetilde v(x,\theta) = v(tx,t^2\theta) = \operatorname{H}[G]\biggl(tx,\frac{1-t^2\theta}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde G(x) = \operatorname{H}[G]\biggl(tx,\frac{1-t^2}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\widetilde G(x) = G\,{*}\,\Phi(tx)$, где $\Phi$ – некоторая гауссова функция. Напомним, что $t < 1$, следовательно, по леммам 3 и 4
$$
\begin{equation*}
\operatorname{s}[\widetilde G](\zeta) \leqslant \operatorname{s}[G](\zeta) \stackrel{ (3.2)}{\leqslant} C_G(1+|\zeta|)^{\theta_G}.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, справедливо применение нашего предположения (3.4) к мере $\widetilde{\mu}$ и весу $\widetilde G$:
$$
\begin{equation}
Q_p'[\widetilde \mu, \widetilde G](1) \geqslant p\delta Q_p[\widetilde \mu, \widetilde G](1).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Остается выразить величину $Q_p[\widetilde \mu,\widetilde G]$ в терминах $Q_p[\mu,G]$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_p[\widetilde \mu,\widetilde G](\theta) &= \theta^{d(p-1)/2}\int_{\mathbb{R}^d} \widetilde u^p(x,\theta)\widetilde v(x,\theta)\,dx \\ &= \theta^{d(p-1)/2}\int_{\mathbb{R}^d}u^p(tx,t^2\theta)v(tx,t^2\theta)\,dx \notag \\ &=\theta^{d(p-1)/2}t^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}u^p(y,t^2\theta)v(y,t^2\theta)\,dy = t^{-dp}Q_p[\mu,G](t^2\theta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Подставляя $\theta = 1$, получаем
$$
\begin{equation}
Q_p[\mu,G](t^2) = t^{dp}Q_p[\widetilde \mu,\widetilde G](1).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Продифференцировав формулу (3.8) по параметру $\theta$ и подставив $\theta = 1$, получим
$$
\begin{equation}
Q_p'[\mu,G](t^2) = t^{dp-2}Q_p'[\widetilde \mu,\widetilde G](1).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Желаемое неравенство получается совмещением формул (3.7), (3.9) и (3.10). Лемма 5 доказана. Предложение 2. Пусть $\rho$ – фиксированный вес: Замечание 10. Замена величины $\mathrm m(x)$ любой иной функцией параметра $x$ сделает условие (3.13) сильнее. Доказательство теоремы 4 в предположении верности предложения 2. Согласно лемме 5 достаточно доказать неравенство (3.4) с определенным условием равномерности выбора параметра $\delta$. Предположим противное: пусть существуют такие последовательность $\{\mu_n\}_n$ мер, лежащих в конусе $\mathbb{M}$, и последовательность весов $\{G_n\}_n$, каждый из которых удовлетворяет условию (3.2) с равномерными константами, что Согласно формуле (2.10) пара $(\mu_n,G_n)$ удовлетворяет условию (3.12), а благодаря формуле (2.12) она удовлетворяет и условию (3.13) с некоторым параметром $\eta_n$, стремящимся к нулю при $n\to\infty$ (здесь необходимо условие $p > 1$; см. формулу (2.12)). Таким образом, благодаря предложению 2 и инвариантности относительно сдвигов (мы сдвигаем меры, чтобы было выполнено условие $x_0 = 0$) мы также можем предположить, что
$$
\begin{equation}
\nu_n\mu_n(B_{\nu_n}(0)) \geqslant \int_{|x| \geqslant \nu_n}\rho(x)\,d\mu_n(x),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
и верно предельное соотношение $\nu_n \to 0$ при $n\to \infty$. Рассмотрим меры $\widetilde \mu_n = \mu_n/\mu_n(B_{\nu_n}(0))$. Отметим, что они по-прежнему лежат в конусе $\mathbb{M}$. Чтобы прийти к противоречию, достаточно проверить предельное соотношение
$$
\begin{equation*}
\widetilde\mu_n \xrightarrow{\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)} \delta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы его доказать, выберем произвольную шварцеву функцию $f$ и запишем значение на функции $f$ порождаемого мерой $\widetilde\mu_n$ функционала: так как $|f(x)| \lesssim \rho(x)$. Остается заметить, что так как $\nu_n\to 0$ и функция $f$ непрерывна.Таким образом, для доказательства теоремы 4 осталось лишь проверить предложение 2. Доказательство предложения 2. Не умаляя общности, можем считать, что $\nu < d^{-1/2}$. Разобьем пространство $\mathbb{R}^d$ на кубы $Q_k$, $k\in \mathbb{Z}^d$, Также введем обозначение $a_k\,{=}\,\mu(Q_k)$. Рассуждение естественным образом разбивается на четыре шага. Первый шаг: величина $\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}a_k^pG(\nu k)$ ограничена и отделена от нуля. Для того чтобы показать ограниченность указанной суммы, обратимся к локальной оценке
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y) \geqslant \frac12 a_k, \qquad x\in Q_k.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2^{-p}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}a_k^pG(\nu k) \leqslant \sum_{k\in\mathbb{Z}^d} 2^{-p} a_k^p\nu^{-d}\operatorname{s}[G](\nu\sqrt{d})\int_{Q_k}G(x)\,dx \\ &\qquad \stackrel{(3.16)}{\leqslant} \nu^{-d}\operatorname{s}[G](\nu\sqrt{d})\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\int_{Q_k} \biggl(\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y)\biggr)^pG(x)\,dx \\ &\qquad \stackrel{(3.12)}{=} \nu^{-d}\operatorname{s}[G](\nu\sqrt{d}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы доказали неравенство Обратное неравенство получить немного сложнее. Начнем его доказательство с другой локальной (относительно $x$) оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y) \lesssim \sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k|- \sqrt{d})^2}{4}\biggr)a_k \\ &\quad\leqslant\biggl(\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k|- \sqrt{d})^2}{4}\biggr)a_k^p\biggr)^{1/p} \biggl(\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k|- \sqrt{d})^2}{4}\biggr)\biggr)^{1/p'} \\ &\quad \lesssim \biggl(\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k|-\sqrt{d})^2}{4}\biggr)a_k^p\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\stackrel{(3.12)}{\lesssim} \int_{\mathbb{R}^d} \sum_{k\in\mathbb{Z}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k|-\sqrt{d})^2}{4}\biggr)a_k^p G(x)\,dx \\ &\qquad= \sum_{k\in\mathbb{Z}^d}a_k^p\int_{\mathbb{R}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k| - \sqrt d)^2}{4}\biggr)G(x)\,dx \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
повлекут желаемую отделенность от нуля, как только нам удастся доказать оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k| - \sqrt d)^2}{4}\biggr)G(x)\,dx \lesssim G(\nu k).
\end{equation*}
\notag
$$
Она подтверждается следующей цепочкой неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k| - \sqrt d)^2}{4}\biggr)G(x)\,dx \\ &\qquad\leqslant G(\nu k) \int_{\mathbb{R}^d}\exp\biggl(-\frac{(|x-\nu k| - \sqrt d)^2}{4}\biggr) \operatorname{s}[G](|x-\nu k|)\,dx \\ &\qquad \stackrel{(3.2)}{\leqslant} G(\nu k) C_G\int_{\mathbb{R}^d} \exp\biggl(-\frac{(|x|-\sqrt{d})^2}{4}\biggr)(1+|x|)^{\theta_G}\,dx \lesssim G(\nu k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенство доказано. Второй шаг: добрые точки. Пусть $R$ – большое число, точное значение которого будет указано впоследствии. Напомним, что определение веса $\rho$ дано в формуле (3.11). Точку $k\in\mathbb{Z}^d$ назовем доброй, если
$$
\begin{equation*}
\nu^pa_k^p \geqslant \sum_{\nu|k-m|\geqslant R}\rho(\nu(k-m))a_m^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы покажем, что большинство точек добрые в том смысле, что
$$
\begin{equation}
\sum_{\text{точка }k\text{ добрая}} a_k^pG(\nu k) \geqslant \frac{1}{2}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}a_k^pG(\nu k).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Отметим, что обе части этого неравенства конечны согласно оценке (3.17). Точки, не являющиеся добрыми, назовем злыми. В таком случае
$$
\begin{equation*}
\sum_{\text{точка }k\text{ злая}} a_k^pG(\nu k) \leqslant \nu^{-p} \sum_{\substack{k,m\in\mathbb{Z}^d \\ \nu|k-m| \geqslant R}}\rho(\nu(k-m))a_m^pG(\nu k),
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (3.19) будет доказано, как только мы установим, что
$$
\begin{equation*}
\nu^{-p}\sum_{k\colon \nu|k-m|\geqslant R}\rho(\nu(k-m)) G(\nu k) \leqslant \frac12 G(\nu m) \quad \text{для любого }\ m\in\mathbb{Z}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Эту оценку в свою очередь можно обосновать так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nu^{-p}\sum_{k\colon \nu|k-m|\geqslant R}\rho(\nu(k-m)) G(\nu k) \\ &\qquad\leqslant \frac{G(\nu m)}{\nu^{p}} \sum_{k\colon \nu|k-m|\geqslant R}\rho(\nu(k-m)) \operatorname{s}[G](\nu|k-m|) \\ &\ \stackrel{(3.2), (3.11)}{\leqslant} \frac{C_GG(\nu m)}{\nu^p}\sum_{k\colon \nu|k-m|\geqslant R}(1+\nu|k-m|)^{-2d} \leqslant \frac{G(\nu m)}{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
если число $R$ достаточно велико. Положим число $R$ настолько большим, что последнее неравенство выполнено вместе с условием
$$
\begin{equation}
\sum_{\nu|m| > R}\rho(\nu m) \leqslant (2\operatorname{s}[\rho](1))^{-p'};
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
здесь $p'$ – сопряженный к $p$ показатель суммируемости. Отметим, что выбор параметра $R$ зависит от $\nu$. Третий шаг: хорошие точки. Введем в рассмотрение параметр $\tau$, точное значение которого укажем позже. Точку $k\in \mathbb{Z}^d$ назовем хорошей, если
$$
\begin{equation}
\tau a_k \geqslant b_k, \quad \text{где }\ b_k = \min\biggl\{\sum_{\substack{m\colon\nu|k-m|\leqslant R \\ \sqrt{d} < |l-m|}} a_m \Bigm|l\in \mathbb{Z}^d\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Иными словами, через $b_k$ обозначена сумма величин $a_m$ с индексами $m$, пробегающими $\nu^{-1} R$-окрестность индекса $k$, исключая индексы из некоторого маленького шара (мы исключаем индексы таким образом, чтобы сделать оставшуюся сумму как можно меньше). Покажем, что существует хотя бы одна добрая хорошая точка. Точнее, мы докажем существование $R$-доброй и $\tau$-хорошей точки $k$ в предположении $\tau > \Theta(\nu,R)\eta$. Через $\Theta$ обозначена вполне конкретная положительная функция двух положительных аргументов. Пришло время воспользоваться условием (3.13). Начнем рассуждение с локальной оценки снизу в духе (3.16). Пусть $x\in Q_k$ и $m(x) \in Q_l$ для некоторого $l \in \mathbb{Z}^d$. В таком случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d}|\mathrm m(x)-y|^2\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y) \\ &\qquad \geqslant \sum_{\substack{m\colon \nu|k-m|\leqslant R \\ \sqrt{d} < |l-m|}} \int_{Q_m}|\mathrm m(x)-y|^2\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y) \\ &\qquad \geqslant\nu^2 \exp\biggl(-\frac{|R+\sqrt{d}|^2}{4}\biggr) \sum_{\substack{m\colon\nu|k-m|\leqslant R \\ \sqrt{d} < |l-m|}} a_m, \qquad x\in Q_k, \quad m(x) \in Q_l. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}|\mathrm m(x)-y|^2\exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4}\biggr)\,d\mu(y) \geqslant \nu^2 \exp\biggl(-\frac{|R+\sqrt{d}|^2}{4}\biggr)b_k, \qquad x\in Q_k,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} a_k^{p-1}b_kG(\nu k) \stackrel{(3.13), (3.16)}{\leqslant} \operatorname{s}[G](\nu\sqrt{d})\frac{2^{p-1} \exp\bigl(\frac{|R+\sqrt{d}|^2}{4}\bigr)}{\nu^{2+d}}\eta.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Предположим противное: пусть все добрые точки оказались $\tau$-плохими (т.е. не $\tau$-хорошими). В таком случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau &\stackrel{(3.18)}{\lesssim} \tau \sum_{k\in\mathbb{Z}^d}a_k^pG(\nu k) \stackrel{(3.19)}{\leqslant} 2\tau \sum_{\text{точка }k\text{ добрая}}a_k^pG(\nu k) \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{добрые точки плохие}}{<} 2\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} a_k^{p-1}b_kG(\nu k) \stackrel{(3.22)}{\leqslant} \operatorname{s}[G](\nu\sqrt{d})\frac{2^{p}\exp(\frac{|R+\sqrt{d}|^2}{4})}{\nu^{2+d}}\eta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы пришли к противоречию, если $\tau := \Theta(\nu,R)\eta$, а $\Theta$ – конкретная положительная функция, явное выражение которой нетрудно привести (нужно “собрать” константы в неравенстве (3.18) и подставить их в приведенную выше формулу). В итоге наших рассуждений мы доказали существование хорошей доброй точки $k_0$. Четвертый шаг: завершение доказательства. Отметим, что если $k$ – хорошая точка и $\tau < 1$, то член $a_k$ не может присутствовать в сумме, определяющей величину $b_k$ (в противном случае было бы $b_k\,{\geqslant}\, a_k$). Иными словами, если точка $k$ хорошая, то значение параметра $l$, при котором достигается минимум в формуле (3.21), лежит недалеко от $k$: $|k-l| \leqslant \sqrt{d}$. Следовательно, если точка $k$ хорошая, то
$$
\begin{equation}
\tau a_k \geqslant \sum_{\substack{\nu|k-m|\leqslant R \\ 2\sqrt{d} < |k-m|}} a_m.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Положим $x_0 = k_0$ и покажем, что такой выбор действительно удовлетворяет неравенству (3.14) с параметром $\nu := 5\sqrt{d}\,\nu$ (мы слегка увеличили этот параметр). Не умаляя общности, будем считать, что $x_0 = 0$. Напомним, что мы по-прежнему вольны выбрать значение параметра $\eta$ по своему усмотрению. Мы хотим доказать неравенство
$$
\begin{equation}
\nu a_0 \geqslant \int_{|x|\geqslant 5\sqrt{d}\nu}\rho(x)\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Разобьем его правую часть на два интеграла, с которыми будем работать по отдельности:
$$
\begin{equation*}
\int_{|x|\geqslant 5\sqrt{d}\nu} \leqslant \int_{\substack{\bigcup Q_m\colon 2\sqrt{d} < |m|\\ \nu |m|<R}}+ \int_{\bigcup Q_m\colon R \leqslant \nu|m|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первый интеграл оценим при помощи неравенства (3.23):
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{\nu|m|<R \\ 2\sqrt{d}<|m|}}a_m \stackrel{\text{точка }0\text{ хорошая}}{\leqslant} \tau a_0 < \frac{\nu}{2}a_0,
\end{equation*}
\notag
$$
коль скоро число $\eta$ достаточно мало (конкретное выражение малости можно получить в терминах функции $\Theta$). Второй интеграл оценим так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{s}[\rho](1) \sum_{R < \nu |m|}a_m\rho(\nu m) \\ &\qquad\leqslant\operatorname{s}[\rho](1) \biggl(\sum_{R < \nu |m|}a_m^p\rho(\nu m)\biggr)^{1/p} \biggl(\sum_{R < \nu |m|}\rho(\nu m)\biggr)^{1/p'} \stackrel{\text{точка }0\text{ добрая}}{\leqslant} \frac{\nu}{2}a_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как мы дополнительно предположили оценку (3.20). Стало быть, неравенство (3.24) доказано. Остается заметить, что оценка (3.24) влечет желаемую формулу (3.14), так как $\mu(B_{5\nu\sqrt{d}}(0)) \geqslant a_0$. Предложение 2 доказано. Нам потребуется слегка “пошевелить” (сделать более гибкими) условия теоремы 4. Следствие 6. Пусть $\mathbb{M}$ – инвариантный конус мер, не содержащий $\delta_0$. Пусть $p > 1$ – фиксированное число. Также зафиксируем постоянные $C_G$ и $\theta_G$. Существует такой малый параметр $\widetilde \delta > 0$, что для всякого достаточно малого числа $t > 0$ выполнено следующее. Пусть $H$ – такое решение уравнения теплопроводности в области $\mathbb{R}^d\times [t^2,1]$, что $H(\,\cdot\,,t^2) \in \mathbb{M}$. В таком случае неравенство Доказательство. Переформулируем теорему 4 в терминах функций $u$ и $v$, определенных формулой (2.10) с $\mu$ и $G$ вместо $\mu$ и $w$. Теорема устанавливает истинность неравенства
$$
\begin{equation*}
\|u(\,\cdot\,,t)\|_{L_p(v(\,\cdot\,, t))}\leqslant t^{-(d/2)(p-1)/p + \delta}\|u(\,\cdot\,,1)\|_{L_p(v(\,\cdot\,, 1))}, \qquad t \in (0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
для всяких функций $u$ и $v$, заданных на области $\mathbb{R}^d\times (0,1)$ и таких, что $u$ решает уравнение теплопроводности, $v$ решает обратное уравнение теплопроводности (2.11), $u(\,\cdot\,,0) \in \mathbb{M}$, а вес $v(\,\cdot\,,1)$ подчинен условию (3.2). Понятно, что утверждение теоремы не изменится от сдвига области $\mathbb{R}^d \times (0,1)$ в любом направлении в $\mathbb{R}^{d+1}$. Растяжение же области в $\lambda$ раз (т.е. замена переменной в духе формулы (3.6)), если число $\lambda$ отделено от нуля и ограничено для сохранения оценки (3.2) (возможно, с несколько худшим параметром $C_G$), позволяет получить неравенство
$$
\begin{equation*}
\|u(\,\cdot\,, t)\|_{L_p(v(\,\cdot\,,t))}\leqslant \biggl(\frac{t-t_0}{t_1 - t_0}\biggr)^{-(d/2)(p-1)/p + \delta}\|u(\,\cdot\,,t_1)\|_{L_p(v(\,\cdot\,, t_1))}, \qquad t\in (t_0,t_1),
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой пары функций $u$ и $v$, заданных на области $\mathbb{R}^d\times [t_0, t_1]$ и удовлетворяющих тем же уравнениям и граничным условиям: $u(\,\cdot\,,t_0) \in \mathbb{M}$ и $v(\,\cdot\,,t_1)$ удовлетворяет оценке (1.3). Подставив в последнее утверждение $t_0 := t^2$ и $t_1 := 1$, $u:= H$ и $v(x,t):= \operatorname{H}[G](x,(1-t)/p)$, получим
$$
\begin{equation*}
\|H(\,\cdot\,,t)\|_{L_p(\operatorname{H}[G](\,\cdot\,,(1-t)/p))} \leqslant \biggl(\frac{t-t^2}{1-t^2}\biggr)^{-(d/2)(p-1)/p + \delta} \|H(\,\cdot\,,1)\|_{L_p(G)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, остается показать, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{t-t^2}{1-t^2}\biggr)^{-(d/2)(p-1)/p + \delta} \leqslant t^{-(d/2)(p-1)/p + \widetilde \delta},
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
если число $t$ достаточно мало. При этом параметр $\widetilde{\delta}$ мы можем выбрать сколь угодно малым. Положим $\widetilde \delta = \delta/2$ и преобразуем формулу (3.25) к виду
$$
\begin{equation}
(1+t)^{(d/2)(p-1)/p - \delta} \leqslant t^{-\delta/2}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Это неравенство, безусловно, верно, если число $t$ достаточно мало, так как его левая часть – непрерывная в нуле функция, а правая стремится к бесконечности при стремлении $t$ к нулю. Следствие 6 доказано. § 4. Разложение в духе всплесков и контроль выпуклых атомовНапомним, что наша главная цель – доказать неравенство (2.4). Представим его правую часть в виде телескопической суммы:
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_1} = \|f_0\|_{L_1} + \sum_{k \geqslant 0}\bigl(\|f_{k+1}\|_{L_1} - \|f_k\|_{L_1}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Для дальнейших рассуждений будет очень важно, что благодаря следствию 5 каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно. С технической точки зрения нам будет удобнее работать с суммой
$$
\begin{equation}
\sum_{k \geqslant 0}\bigl(\|f_{k+3}\|_{L_1} - \|f_k\|_{L_1}\bigr),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
которая ограничена величиной $3\|f\|_{L_1}$. Пусть $\theta_1 > d$ – некоторый параметр, точное значение которого мы укажем впоследствии. Определим вес $w$ согласно формуле
$$
\begin{equation}
w(x) = \frac{(1+|x|)^{-\theta_1}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}^d} (1+|x-j|)^{-\theta_1}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Этот вес удовлетворяет оценкам
$$
\begin{equation}
c_w(1+|x|)^{-\theta_1} \leqslant w(x) \leqslant C_{w}(1+|x|)^{-\theta_1}, \qquad x\in \mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
которые, в частности, влекут неравенство (3.2) с параметрами $\theta_G:= \theta_1$ и $C_G := C_{w}/c_w$ (см. пример 8). Более того, сдвиги веса $w$ образуют регулярное разбиение единицы:
$$
\begin{equation}
\sum_{j\in \mathbb{Z}^d}w(x-j) = 1, \qquad x\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Рассмотрим разбиение пространства $\mathbb{R}^d$ на $A$-адические кубы. Центры кубов $\{Q_{0,j}\}_{j}$ суть точки решетки $\mathbb{Z}^d$, а сами кубы замощают все пространство (с точностью до множества нулевой меры):
$$
\begin{equation*}
Q_{0,j} = \biggl\{x\in \mathbb{R}^d\Bigm||x-j|_{\ell_{\infty}^d} \leqslant \frac12\biggr\}, \qquad j\in \mathbb{Z}^d;
\end{equation*}
\notag
$$
под $\ell_\infty^d$-нормой мы понимаем стандартную $\sup$-норму на пространстве $\mathbb{R}^d$. Построим набор кубов $\{Q_{k,j}\}_j$ при помощи растяжений:
$$
\begin{equation*}
Q_{k,j} = \biggl\{x\in \mathbb{R}^d\Bigm||A^kx - j|_{\ell_\infty^d} \leqslant \frac12\biggr\}, \qquad j\in \mathbb{Z}^d, \quad k\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что мы предполагаем число $A$ нечетным. Благодаря этому предположению семейство $\{Q_{k,j}\}_{k,j}$ обладает замечательным комбинаторным свойством: любые два куба либо дизъюнктны (с точностью до множества меры нуль), либо один из них содержит другой. Приспособим разбиение единицы (4.5) к различным масштабам:
$$
\begin{equation*}
w_{k,j}(x) = w(A^kx - j), \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad j\in \mathbb{Z}^d, \quad k \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всякого фиксированного значения параметра $k$ такие веса образуют разбиение единицы, и удовлетворяют оценкам регулярности,
$$
\begin{equation*}
c_w(1+|A^kx -j|)^{-\theta_1} \leqslant w_{k,j}(x) \leqslant C_{w}(1+|A^kx -j|)^{-\theta_1}, \qquad x\in \mathbb{R}^d;
\end{equation*}
\notag
$$
в частности,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{s}[w_{k,j}](\zeta) \leqslant \frac{C_{w}}{c_w}(1+A^k\zeta)^{\theta_1}, \qquad \zeta \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определенные нами веса позволяют разбить сумму (4.2) на более мелкие части:
$$
\begin{equation*}
\|f_{k+3}\|_{L_1} - \|f_k\|_{L_1} = \sum_{j \in \mathbb{Z}^d}\bigl(\|f_{k+3}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6}))} - \|f_k\|_{L_1(w_{k,j})}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
так как веса $\operatorname{H}[w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6})$ также образуют разбиение единицы при всяком фиксированном значении параметра $k$. По лемме 1 каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно. Мы применили лемму со значением параметра $t := A^{-2k} - A^{-2k-6}$, а также воспользовались формулой (2.7). Определение 6. Пару чисел $(k,j)$, где ${k \in \mathbb{N}\cup\{0\}}$ и $j \in \mathbb{Z}^d$, будем называть атомом. Пусть $\varepsilon$ – малый параметр, значение которого мы уточним позже. Определение 7. Атом $(k,j)$ будем называть $\varepsilon$-выпуклым, если выполнено неравенство и $\varepsilon$-плоским в противном случае. Множество выпуклых атомов будем обозначать через $\operatorname{Co}$, а плоских – через $\operatorname{Fl}$. Часто мы будем опускать зависимость от параметра $\varepsilon$ и называть атомы просто плоскими или выпуклыми. Замечание 11. Если атом $(k,j)$ $\varepsilon$-плоский, то С выпуклыми атомами проще работать, и в предложении 3 мы получим “половину” неравенства (2.4), относящуюся к выпуклым атомам. Предложение 3. Неравенство выполнено при всяком значении параметра $\varepsilon$. Константа в неравенстве может зависеть от параметров $A$, $\varepsilon$ и $\theta_1$. Доказательство предложения 3, которое приведено в конце § 4, требует подготовки и основывается на нескольких полезных леммах. Лемма 6. Пусть $p,q\in [1,\infty)$, а $\{\Omega_j\}_j$ – набор измеримых подмножеств пространства $\mathbb{R}^d$. Предположим, что все подмножества имеют ненулевую меру и дизъюнктны с точностью до множеств нулевой меры. В таком случае для всякой функции $g$ (функция $g$ может принимать значения в векторном пространстве). Уточним выбор квазинормы в пространстве Лоренца:
$$
\begin{equation}
\|h\|_{L_{p,q}(\Omega)} = p^{1/q} \bigl\|t |\{x\in \Omega\mid|h(x)| \geqslant t\}|^{1/p}\bigr\|_{L_q(\mathbb{R}_+,dt/t)};
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
здесь модуль множества – его мера Лебега; мы предполагаем, что борелевское множество $\Omega$ имеет ненулевую меру. Отметим, что выражение в формуле (4.6) не обязательно задает норму. Лемма 7. Пусть $G$ – вес на пространстве $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющий оценкам с некоторым параметром $\theta_G > d$. Тогда существуют такие постоянные $\widetilde c_G$ и $\widetilde C_G$, зависящие от параметров $\theta_G, c_G$ и $C_G$, но не от самого веса $G$, что при всяком $t\in [0,2]$ верно неравенство Замечание 12. Лемму 7 можно уточнить: первое неравенство в формуле (4.7) влечет первое неравенство в формуле (4.8), а второе неравенство в формуле (4.7) в свою очередь влечет второе неравенство в формуле (4.8). Лемма 8. Пусть $\theta_u$ и $\theta_v$ – две постоянные, большие $d$. Предположим, что веса $u$ и $v$ удовлетворяют оценкам Пусть $p \in [1,2]$ и $\theta_v \geqslant p\theta_u$. В таком случае для всякого числа $s\in [1/2,2]$ и любой функции $f\in L_1(u)$ неравенство выполнено, а константы в нем не зависят от выбора конкретных значений параметров $s,u$ и $v$; эти константы могут зависеть от параметров $\theta_u$, $\theta_v$, $p$, $c_u$ и $C_v$. Введем в рассмотрение пространство $L_{p,1}(v)$. Зададим “норму” формулой
$$
\begin{equation*}
\|h\|_{L_{p,1}(v)} = p^{} \biggl\|\biggl(\int_{\Omega_t} v(x)\,dx\biggr)^{1/p}\biggr\|_{L_1(\mathbb{R}_+)}, \qquad \Omega_t = \{x\in \mathbb{R}^d\mid |h(x)| \geqslant t\}, \quad t > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что такое определение согласуется с формулой (4.6) в случае $v\,{=}\, \chi_\Omega$ (поскольку мы предпочитаем работать с непрерывными весами, даем два отдельных определения). Следствие 7. При помощи стандартной теории интерполяции можно получить, что если $\theta_v > p\theta_u$ в обозначениях и предположениях леммы 8, то Иногда нам придется следить за зависимостью констант в наших неравенствах от различных параметров. На самом деле лишь зависимость от параметра $A$ будет нам действительно важна (небольшое исключение из этого правила появится только в § 7). Запись $\lesssim_A$ означает, что постоянная, “спрятанная” за знаком $\lesssim$, не зависит от параметра $A$. Во избежание двусмысленности мы обычно будем пояснять независимость такого толка. Следствие 8. Пусть $(k,j)$ – атом. Пусть веса $u_{k,j}$ и $v_{k,j}$ удовлетворяют оценкам Предположим также, что $\theta_v > p\theta_u$ и $p \leqslant 2$. Неравенство верно, если $s\in [\frac 12 A^{-2k},2A^{-2k}]$. Константа в неравенстве не зависит от параметров $s$, $A$, $k$, $j$, $u$, $v$ и $f$, однако она может зависеть от $p$, $\theta_u$, $\theta_v$, $c_u$ и $C_v$. Приведенное далее следствие 9 понадобится лишь в § 6. Напомним, что $\alpha =d(p-1)/p$. Следствие 9. Пусть $p \leqslant 2$. Неравенство выполнено при всех $f$, $i \in \mathbb{Z}^d$ и $A > 2$ равномерно (константы могут зависеть от параметра $\theta_1$). Доказательство. Не умаляя общности, будем считать, что $i = 0$. По лемме 6 достаточно доказать оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{j\colon Q_{1,j}\subset Q_{0,0}}\|f_1\|_{L_p(Q_{1,j})} \lesssim_A A^{\alpha} \|f_2\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{0,0}](\,\cdot\,,1-A^{-4}))}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
По формуле (2.7) и следствию 8 (с параметрами $k=1$, $s = A^{-2} - A^{-4}$, $v_{1,j}:= \chi_{Q_{1,j}}$, $u_{1,j} := w_{1,j}$; т.е. $\theta_u = \theta_1$ и $\theta_v = p\theta_1 + 1$) имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\colon Q_{1,j}\subset Q_{0,0}}\|f_1\|_{L_p(Q_{1,j})} \lesssim_A A^{\alpha}\sum_{j\colon Q_{1,j}\subset Q_{0,0}}\|f_2\|_{L_1(w_{1,j})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, желаемое неравенство (4.11) мы получим при помощи леммы 7, как только докажем оценку Чтобы проверить (4.12), сначала заметим, что веса $\{w_{1,j}\}_{j\in\mathbb{Z}^d}$ образуют разбиение единицы. Это, в частности, означает, что левая часть неравенства (4.12) не превосходит $1$. Следовательно, достаточно рассмотреть случай $|x| \geqslant 2\sqrt{d}$. Отметим, что в этом случае величины $w_{1,j}(x)$ сравнимы, так как $Q_{1,j} \subset Q_{0,0}$:
$$
\begin{equation*}
w_{1,j}(x) \lesssim_A (1+|Ax - j|)^{-\theta_1} \lesssim_A (1+A|x|)^{-\theta_1}, \qquad A|x| \geqslant 2|j|.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть,
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\colon Q_{1,j} \subset Q_{0,0}}w_{1,j}(x) \lesssim_A A^{d} (1+A|x|)^{-\theta_1}\leqslant A^{d-\theta_1}|x|^{-\theta_1} \lesssim_A w_{0,0}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
если $A > 2$, $\theta_1 > d$ и $|x| \geqslant 2\sqrt{d}$. Следствие доказано. Доказательство предложения 3. Сначала применим лемму 6:
$$
\begin{equation}
\sum_{k\geqslant 0}A^{-\alpha k}\|f_k\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(k,j)\in \operatorname{Co}} Q_{k,j})} \leqslant \sum_{k\geqslant 0}A^{-\alpha k}\sum_{j\colon (k,j)\in \operatorname{Co}} \|f_{k}\|_{L_{p,1}(Q_{k,j})}.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Далее мы воспользуемся представлением
$$
\begin{equation*}
f_k = \operatorname{H} [f_{k+3}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6})
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (2.7)) и применим следствие 8 с
$$
\begin{equation*}
u_{k,j} := \operatorname{H}[w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6})
\end{equation*}
\notag
$$
(по лемме 7 этот вес удовлетворяет неравенству (4.10) с $\theta_u:= \theta_1$), $v_{k,j}:= \chi_{Q_{k,j}}$ (т.е. полагаем $\theta_v = p\theta_u + 1$) и $s = A^{-2k} - A^{-2k-6}$, что корректно, если $A \geqslant 2$:
$$
\begin{equation*}
A^{-\alpha k}\|f_{k}\|_{L_{p,1}(Q_{k,j})} \lesssim \|f_{k+3}\|_{L_1(\operatorname{H} [w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6}))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим оценку (4.13), воспользовавшись определением выпуклого атома:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k\geqslant 0}\,\sum_{j\colon (k,j)\in \operatorname{Co}} \|f_{k+3}\|_{L_1(\operatorname{H} [w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6}))} \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{\varepsilon} \sum_{k \geqslant 0}\sum_{j\in\mathbb{Z}^d} \bigl(\|f_{k+3}\|_{L_1(\operatorname{H} [w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-6}))} - \|f_k\|_{L_1(w_{k,j})}\bigr) \\ &\qquad =\frac{1}{\varepsilon}\sum_{k \geqslant 0}\bigl(\|f_{k+3}\|_{L_1} - \|f_k\|_{L_1}\bigr) \stackrel{(4.1)}{\lesssim} \|f\|_{L_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. § 5. Рассуждение о компактностиМы классифицируем атомы как плоские/выпуклые, потому что $\varepsilon$-плоские атомы отмечают части пространства $\mathbb{R}^d$, на которых функция $f_k$ близка к положительной функции ранга 1. Напомним читателю лемму 2 о том, что наличие $0$-плоского атома влечет представление $f_{k+3} = a\otimes h$ с $h \geqslant 0$. Таким образом, было бы желательно найти эффект типа “компактности” (множества функций), который позволит заменить $0$ на $\varepsilon$, получить, что функция $f_k$ в некотором смысле похожа на положительную функцию ранга 1, после чего применить к ней следствие 6. К сожалению, такой способ рассуждения, скорее всего, невозможен. Представим себе, что функция $f_k$ сконцентрирована далеко от куба $Q_{k,j}$ и принимает произвольные значения на этом кубе. По-видимому, “плоскость” атома $(k,j)$ не влечет ничего, так как поведение функции $f_k$ в окрестности куба $Q_{k,j}$ не сильно связано с рассматриваемыми нами нормами в весовых пространствах. Эти рассуждения подсказывают, что желаемый “принцип компактности” должен иметь предположение о том, что функция $f_k$ сконцентрирована в окрестности куба $Q_{k,j}$. Зафиксируем параметр $\theta_2$, точное значение которого укажем позже; пока лишь будем предполагать, что $\theta_2 < \theta_1$. Рассмотрим вес Пусть также $C$ – некоторая фиксированная постоянная. Условие концентрации функции $f_0$ на атоме $(0,0)$ будем выражать неравенством
$$
\begin{equation}
\|f_2\|_{L_1(u)} \leqslant C\|f_2\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{0,0}] (\,\cdot\,,1 -A^{-4}))}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Появление функции $f_2$ вместо $f_0$ обосновано чисто техническими причинами. Такое условие концентрации можно перенести на любой атом стандартным образом. Пусть $\theta_3 > d$ – еще один параметр, точное значение которого мы укажем позже. Пока будем лишь предполагать, что выполнено неравенство Рассмотрим вес Напомним, что конус $\mathbb{M}^\mathcal{W}$ естественным образом порождается пространством $\mathcal{W}$ посредством формулы (3.1). Теорема 5. Предположим, что $\delta_0 \notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть $\widetilde \delta$ – число, полученное применением следствия 6 к конусу $\mathbb{M}^\mathcal{W}$ и весу $G:= v$. Зафиксируем параметры $\theta_1, \theta_2$ и $\theta_3$. Для всякой постоянной $C$ и всякого достаточно большого числа $A$ существует число $\varepsilon$, зависящее от всех параметров (кроме функции $f\in L_1\cap \mathcal{W}$), такое, что если атом $(0,0)$ $\varepsilon$-плоский, а функция $f$ удовлетворяет условию концентрации (5.2), то Более того, неравенство верно, если число $\varepsilon$ достаточно мало (константа в неравенстве не зависит от конкретных значений чисел $\varepsilon$ и $A$, коль скоро $\varepsilon$ достаточно мало). Доказательство теоремы 5 занимает всю оставшуюся часть § 5 и начинается с нескольких полезных лемм. Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ – открытое выпуклое множество. Определим полунорму Липшица:
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{\operatorname{Lip}(\Omega)} = \sup_{\substack{x,y\in\Omega \\ x\ne y}}\frac{|g(x) - g(y)|}{|x-y|},
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что $\|g\|_{\operatorname{Lip}(\Omega)} = \|\nabla g\|_{L_{\infty}(\Omega)}$. Лемма 9. Пусть число $R > 0$ фиксировано, а вес $G$ удовлетворяет оценке (4.9) с параметрами $\theta_G$ и $c_G$. В таком случае если $s\in [1/2,2]$. Константы в этих неравенствах не зависят от числа $s$. Замечание 13. В случае $s\in (0,1]$ неравенства (5.5) и (5.6) сохраняют силу, однако константы в них уже не будут равномерными по параметру $s$. До конца § 5 мы будем использовать обозначение где вес $w$ задан формулой (4.3). Лемма 10. Предположим, что функция $f$ плоская в том смысле, что выполнено неравенство Доказательство. Сначала установим справедливость похожего неравенства, в котором отсутствуют нежелательные сокращения:
$$
\begin{equation}
\operatorname{H}[|f|](x,1-t) \geqslant c_1\|f\|_{L_1(\widetilde{w})}, \qquad |x| \leqslant R.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Проверка относительно несложна:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{H}[|f|](x,1-t) &= (4\pi(1-t))^{-d/2}\int_{\mathbb{R}^d} |f(y)| \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4(1-t)}\biggr)\,dy \\ &\geqslant(4\pi(1-t))^{-d/2}\int_{|y|\leqslant R} |f(y)| \exp\biggl(-\frac{|x-y|^2}{4(1-t)}\biggr)\,dy \\ &\geqslant \widetilde c\int_{|y|\leqslant R}|f(y)|\widetilde w(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde c = \inf_{|x|,|y| \leqslant R} \frac{(4\pi)^{-d/2}(1-t)^{-d/2}\exp(-\frac{|x-y|^2}{4(1-t)})}{\widetilde{w}(y)} \gtrsim \exp(-R^2)(1+R)^{\theta_1}
\end{equation*}
\notag
$$
(мы воспользовались леммой 7). Чтобы завершить доказательство неравенства (5.11), просто воспользуемся оценкой (5.9) и положим $c_1:= \widetilde{c}/2$. Приступим теперь к доказательству неравенства (5.10). Покажем, что оно выполнено с константой $c := c_1/2$. Вспомним формулу (2.8), которая показывает, что наше предположение (5.8) о плоскости функции $f$ влечет
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(\operatorname{H}[|f|](x,1-t) - |\operatorname{H}[f](x,1-t)|\bigr)w(x)\,dx \leqslant \varepsilon \|f\|_{L_1(\widetilde{w})}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Предположим противное: пусть существует такая точка $x_0\in B_R(0)$, что
$$
\begin{equation*}
|\operatorname{H}[f](x_0,1-t)| \leqslant \frac12 c_1\|f\|_{L_1(\widetilde{w})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно уже доказанной оценке (5.11)
$$
\begin{equation*}
\operatorname{H}[|f|](x_0,1-t) - |\operatorname{H}[f](x_0,1-t)| > \frac{c_1}{2}\|f\|_{L_1(\widetilde{w})}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 9 выражение в левой части этого неравенства – липшицева функция параметра $x_0$ с постоянной Липшица не более $L\|f\|_{L_1(\widetilde{w})}$; здесь постоянная $L$ зависит лишь от $R$ и параметров веса $\widetilde{w}$ (т.е. $\theta_1$ и $c_{w}$; мы опять воспользовались леммой 7). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{H}[|f|](x,1-t) - |\operatorname{H}[f](x,1-t)| > \frac{c_1}{5}\|f\|_{L_1(\widetilde{w})}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in B_R(0) \cap B_{c_1/(10 L)}(x_0)$. Проинтегрируем это неравенство по переменной $x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B_R(0) \cap B_{c_1/(10 L)}(x_0)} \bigl(\operatorname{H}[|f|](x,1-t) - |\operatorname{H}[f](x,1-t)|\bigr)w(x)\,dx \\ &\qquad \geqslant\frac{\pi_d}{d!}\biggl(\frac{c_1}{10L}\biggr)^d (\operatorname{s}[w](R))^{-1}\frac{c_1}{5} \|f\|_{L_1(\widetilde{w})}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
через $\pi_d$ обозначен объем единичного шара пространства $\mathbb{R}^d$ (не умаляя общности, мы предположили, что число $R$ больше, чем $c_1/(10L)$, чтобы оценить объем пересечения двух шаров, центр меньшего из которых лежит в большем, $(d!)^{-1}$-частью объема меньшего шара). Последнее неравенство противоречит оценке (5.12), если
$$
\begin{equation*}
\varepsilon < \frac{\pi_d}{d!}\biggl(\frac{c_1}{10L}\biggr)^d (\operatorname{s}[w](R))^{-1}\frac{c_1}{5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Лемма 11. Предположим, что неравенство В частности, подставляя $\gamma =1/2$, получаем, что условие концентрации (5.2) влечет неравенство (5.9) с $f:= f_2$ и $t:=A^{-4}$. Доказательство леммы 11. Оценим левую часть неравенства (5.14):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{|x| \geqslant R} |g(x)|\widetilde{w}(x)\,dx &\leqslant \int_{|x|\geqslant R}|g(x)|u(x)\,dx \sup_{|x|\geqslant R}\frac{\widetilde{w}(x)}{u(x)} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{лемма 7, (5.13)}}{\leqslant} C\|g\|_{L_1(\widetilde{w})}\sup_{|x|\geqslant R}\frac{C_{\widetilde{w}} (1+|x|)^{-\theta_1}}{(1+|x|)^{-\theta_2}} \\ &\!\!\!\!\!\stackrel{\theta_2 < \theta_1}{\leqslant} CC_{\widetilde{w}} (1+R)^{\theta_2 - \theta_1}\|g\|_{L_1(\widetilde{w})}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что множитель, стоящий перед величиной $\|g\|_{L_1(\widetilde{w})}$, сколь угодно мал, когда $R\to \infty$, так как $\theta_2 < \theta_1$. Лемма доказана. Лемма 12. Пусть $\{L_R\}_{R \in \mathbb{N}}$ – последовательность положительных чисел. Множество компактно в пространстве $L_1(\widetilde{w})$. Доказательство теоремы 5. Воспользуемся леммой 11 с параметрами $g:= f_2$ и $t := A^{-4}$, чтобы выбрать такое число $R > \sqrt{d}$, что оценка (5.9) имеет место для $f:=f_2$, т.е. выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{|x| \geqslant R} |f_2(x)|\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4})(x)\,dx \leqslant \frac12 \|f_2\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4}))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 10 с $f:= f_2$ и $t := A^{-4}$ (применение леммы корректно, так как условие (5.8) в нашем случае следует из предположения о том, что атом $(0,0)$ плоский согласно замечанию 11) имеем
$$
\begin{equation}
|f_0(x)| = \bigl|\operatorname{H}[f_2](x,1-A^{-4})\bigr| \geqslant c\|f_{2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4}))}, \qquad x\in B_R(0),
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
коль скоро число $\varepsilon$ достаточно мало. Отметим, что постоянная $c$ не зависит ни от $A$, ни от $\varepsilon$ (если число $\varepsilon$ достаточно мало). Неравенство (5.15) доказывает оценку (5.4). Зафиксируем параметр $A$ и теперь разрешим числу $\varepsilon$ зависеть от $A$. Наша цель – доказать неравенство (5.3). Предположим противное: пусть существует такая последовательность функций $f^n \in L_1\cap\mathcal{W}$, что атом $(0,0)$ является $(1/n)$-плоским для функции $f^n$, условие (5.2) выполнено с $f_2:=f_2^n$, а неравенство (5.3) нарушается в том смысле, что
$$
\begin{equation}
\|f_1^n\|_{L_p(\operatorname{H}[v](\,\cdot\,,(1-A^{-2})/p))} > A^{d(p-1)/p -\widetilde \delta/4} \|f_0^n\|_{L_p(v)}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Не умаляя общности, можем предположить, что Так как атом $(0,0)$ является $(1/n)$-плоским для функции $f^n$, имеем
$$
\begin{equation}
\|f_3^n\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-6}))} \leqslant 2,
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
а согласно замечанию 13 также получаем для некоторых постоянных $L_R$, которые не зависят от параметра $n$; они точно будут зависеть от $A$, так как
$$
\begin{equation*}
f_2^n = \operatorname{H}[f_3^n](\,\cdot\,,A^{-4} - A^{-6}), \qquad s = A^{-4} - A^{-6}
\end{equation*}
\notag
$$
в обозначениях замечания 13. Благодаря оценке (5.18) получаем
$$
\begin{equation*}
\|f_2^n\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4}))} \leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 12, выберем подпоследовательность последовательности $\{f_2^n\}_{n}$, сходящуюся в $L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4}))$ к функции $F$. Не умаляя общности, будем считать, что сама последовательность $\{f_2^n\}_n$ сходится к функции $F$. Так как топология пространства $L_1(\widetilde{w})$ сильнее топологии $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^\ell)$ (мы пользуемся тем, что вес $\widetilde{w}$ удовлетворяет оценке (4.4) в силу леммы 7), получаем, что $F\in \mathcal{W}$. Согласно лемме 8 с $u := \widetilde{w}$ и $v := w$ получаем сходимость в пространстве $L_1(w)$. В частности, наша нормировка (5.17) влечет, что $F\ne 0$. Следовательно, по предположению о плоскости атома $(0,0)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{L_1(\operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1-A^{-4}))} = \|\operatorname{H}[F](\,\cdot\,,1-A^{-4})\|_{L_1(w)}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2 $F = a\otimes h$, где $a\in \mathbb{R}^\ell$ и $h \geqslant 0$. Отметим, что $h\in \mathbb{M}^\mathcal{W}$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0^{n} \to \operatorname{H}[F](\,\cdot\,,1-A^{-4}) \quad \text{в}\ L_p(v), \\ f_1^n \to \operatorname{H}[F](\,\cdot\,, A^{-2}-A^{-4}) \quad \text{в }\ L_p\biggl(\operatorname{H}[v]\biggl(\,\cdot\,,\frac{1-A^{-2}}p\biggr)\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
благодаря лемме 8, так как мы предположили, что $\theta_3 \geqslant p\theta_1$ (как обычно, мы несколько раз воспользовались леммой 7). Таким образом, неравенство (5.16) влечет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\operatorname{H}[h](\,\cdot\,, A^{-2}-A^{-4})\|_{L_p(\operatorname{H}[v](\,\cdot\,,(1-A^{-2})/p))} \\ &\qquad\geqslant A^{d(p-1)/p - \widetilde \delta/4} \|\operatorname{H}[h](\,\cdot\,,1-A^{-4})\|_{L_p(v)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит следствию 6, так как $h \in \mathbb{M}^\mathcal{W}$ (мы применили следствие к функции $H(x,\theta) := \operatorname{H}[h](x,\theta - A^{-4})$, весу $G:= v$ и времени $t:= A^{-2}$). Теорема 5 доказана. Следствие 10. По леммам 7 и 8 имеем § 6. Горизонтальное взаимодействиеПусть $(k,j)$ – атом. Мы будем пользоваться обозначениями
$$
\begin{equation*}
f_{k,j}^* = \|f_{k+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{k,j}](\,\cdot\,, A^{-2k} - A^{-2k-4}))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величину $f^*_{k,j}$ следует интерпретировать как “размер” функции $f_k$ на кубе $Q_{k,j}$ (или величину мартингала $f$ на атоме $(k,j)$ в момент времени $k$). Отметим, что (например, по лемме 8 и предположению $f\in L_1$) последовательность $\{f_{k,j}^*\}_{j\in\mathbb{Z}^d}$ ограничена при всяком $k$, поэтому вводимые ниже максимальные функции конечны. Определение 8. Пусть $\theta_4 > d$ – параметр, точное значение которого мы укажем позже. Рассмотрим набор максимальных функций $\operatorname{M}_k^{\theta_4}\colon \mathbb{Z}^d\to \mathbb{R}^+$, $k \in\mathbb{N}\cup\{0\}$, заданных формулой Подобные максимальные функции использовались в работе [12]. Это определение заимствовано из [56]. Зафиксируем на время параметры $k$, $\theta_4$ и $f$. Будем опускать зависимость от этих параметров в наших обозначениях и просто писать $f^*_j$ и $\operatorname{M}_j$. Только что введенный максимальный оператор порождает интересный ориентированный граф. Определение 9. Опишем граф $\widetilde\Gamma_k$, который мы будем называть горизонтальным. Зафиксируем параметр $\lambda > 1$, точное значение которого будет указано позже (число $\lambda$ будет близко к $1$). Множеством вершин графа $\widetilde\Gamma_k$ будет решетка $\mathbb{Z}^d$. Для каждой точки $j$ выберем такую точку $\vec{j} \in \mathbb{Z}^d$, что Если $\vec j = j$, то мы ничего не делаем. В противном случае мы проводим ориентированное ребро из вершины $\vec j$ в вершину $j$. Отметим, что у каждой веришны не более одного входящего ребра. Неформально ребро $\vec j \to j$ отмечает, что атом $\vec j$ доминирует над атомом $j$ в том смысле, что мы можем оценить величину $f_j^*$ величиной $f_{\vec j}^*$ с равномерной константой. Лемма 13. Если число $\lambda$ достаточно близко к $1$ (в зависимости лишь от параметра $\theta_4$ и вне зависимости от функции $f$), то в графе $\widetilde\Gamma_k$ отсутствуют ориентированные пути длины $2$. Доказательство. Предположим противное, пусть есть путь длины 2. Не умаляя общности, будем считать, что это путь $j\to 0 \to i$, где $i\ne 0$ и $j\ne 0$ по построению. В таком случае
$$
\begin{equation*}
\operatorname{M}_i \leqslant \lambda (1+|i|)^{-\theta_4}f_0^*, \qquad \operatorname{M}_0\leqslant \lambda (1+|j|)^{-\theta_4}f_j^*,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{M}_i \leqslant \lambda^2 \bigl((1+|i|)(1+|j|)\bigr)^{-\theta_4} f_j^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Совмещая его с определением величины $\operatorname{M}_i$ и замечая, что $f_j^* > 0$, получаем
$$
\begin{equation*}
(1+|i-j|)^{-\theta_4} \leqslant \lambda^2\bigl((1+|i|)(1+|j|)\bigr)^{-\theta_4},
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно Заметим, что $|i|\,|j| \geqslant \frac13(1+|i|+|j|)$ для всяких $i,j \in \mathbb{Z}^d\setminus \{0\}$, стало быть, что не может быть верным, если $\lambda <(4/3)^{\theta_4/2}$. Лемма доказана. В частности, в построенном графе $\widetilde\Gamma_k$ нет пар стрелок $i\to j$ и $j \to i$, т.е. это действительно ориентированный граф. Зафиксируем
$$
\begin{equation}
\lambda = \min\biggl(2, \frac{1+ (4/3)^{\theta_4/2}}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Лемма 14. Если в графе $\widetilde\Gamma_k$ не существует входящего в вершину $j$ ребра, то атом $(k,j)$ $2$-насыщенный. Если атом $(k,j)$ не $2$-насыщенный, то у него есть входящее ребро в графе $\widetilde\Gamma_k$. Доказательство. Докажем первое утверждение. По построению, если у атома $(k,j)$ нет входящих ребер, то что означает, что атом $(k,j)$ $2$-насыщенный. Второе утверждение следует из первого, если предположить противное. Лемма доказана. Леммы 13 и 14 влекут следующее следствие. Следствие 11. Если у некоторой вершины в графе $\widetilde{\Gamma}_k$ есть исходящее ребро, то соответствующий ей атом является $2$-насыщенным. Напомним, что вес $u$ определен формулой (5.1). Лемма 15. Пусть $\theta_2 > \theta_4 + d$. Существует такая константа $C$, зависящая лишь от параметров $\theta_1, \theta_2$ и $\theta_4$, что если атом $(0,0)$ является $2$-насыщенным, то он удовлетворяет условию концентрации в форме Доказательство. Достаточно доказать неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f_{2}\|_{L_1(u)} \leqslant \frac{C}{2}\operatorname{M}_{0,0}^{\theta_4}[f].
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d}|f_2(x)|u(x)\,dx = \sum_{i\in\mathbb{Z}^d}\int_{Q_{0,i}} |f_2(x)|u(x)\,dx \\ &\!\qquad \stackrel{(5.1)}{\leqslant} \operatorname{s}[u](\sqrt{d}) \sum_{i\in\mathbb{Z}^d} (1+|i|)^{-\theta_2}\int_{Q_{0,i}}|f_2(x)|\,dx \\ &\quad\stackrel{\text{лемма 3}}{\lesssim} \frac{\operatorname{s}[u](\sqrt{d})\operatorname{s}[w](\sqrt{d})}{\widetilde{w}(0)} \sum_{i\in\mathbb{Z}^d} (1+|i|)^{-\theta_2}f_{0,i}^* \\ &\qquad\leqslant \frac{\operatorname{s}[u](\sqrt{d})\operatorname{s}[w](\sqrt{d})}{\widetilde{w}(0)} \sum_{i\in\mathbb{Z}^d} (1+|i|)^{\theta_4-\theta_2}\operatorname{M}_{0,0}^{\theta_4}[f] \lesssim \operatorname{M}_{0,0}^{\theta_4}[f]; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
как обычно, мы используем обозначение $\widetilde{w} = \operatorname{H}[w](\,\cdot\,,1 - A^{-4})$. Лемма доказана. Лемма 16. Пусть атом $(k,i)$ подчинен атому $(k,j)$ в том смысле, что в графе $\widetilde\Gamma_k$ есть ребро $j \to i$. В таком случае верно неравенство константа в нем не зависит ни от функции $f$, ни от параметра $A$, ни от конкретного выбора точек $i$ и $j$. Доказательство. Не умаляя общности, будем предполагать, что $k=0$. Применим следствие 9:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f_1\|_{L_p(Q_{0,i})} &\lesssim_A A^{\alpha}\|f_2\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{0,i}](\,\cdot\,,1-A^{-4}))} \\ &= A^{\alpha}f^*_{0,i} \leqslant A^{\alpha}\operatorname{M}_{0,i}^{\theta_4}[f] \stackrel{j\to i}{\leqslant}\lambda A^{\alpha} (1+|i-j|)^{-\theta_4} f_{0,j}^*. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 6. Пусть $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$, а параметры $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ и $p$ зафиксированы. Пусть эти параметры удовлетворяют условиям Пусть также $\theta_5$ – такое фиксированное число, что $d < \theta_5 < \theta_4$. Для всякого достаточно большого числа $A$ выполнено следующее. Существует число $\varepsilon > 0$, возможно, зависящее от параметра $A$, и положительный параметр $\delta^*$, не зависящий от $A$, такие, что если атом $(k,j)$ $\varepsilon$-плоский и $2$-насыщенный, а атом $(k,i)$ подчинен $(k,j)$ в графе $\widetilde\Gamma_k$, то Доказательство. Не умаляя общности, можем считать, что $k=0$ и $j=0$. Желаемая оценка следует из двух приведенных ниже неравенств (напомним, что число $\widetilde{\delta}$ определено в следствии 6):
$$
\begin{equation}
\|f_1\|_{L_p(Q_{0,i})} \lesssim_A A^{\alpha}(1+|i|)^{-\theta_4}\|f_0\|_{L_p(Q_{0,0})},
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
\|f_1\|_{L_p(Q_{0,i})} \lesssim_A A^{\alpha - \widetilde \delta/4} (1+|i|)^{\theta_3/p}\|f_0\|_{L_p(Q_{0,0})}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Согласно лемме 15 атом $(0,0)$ удовлетворяет условию концентрации (5.2). Следовательно, применение теоремы 5 и следствия 10 к атому $(0,0)$ корректно. Неравенство (6.2) просто следует из леммы 16 и формулы (5.4). Докажем неравенство (6.3):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f_1\|_{L_{(Q_{0,i})}}^p &\stackrel{\text{лемма 7}}{\lesssim_A} \operatorname{s}[v](\sqrt{d})(1+|i|)^{\theta_3}\int_{Q_{0,i}}|f_1(x)|^p\operatorname{H}[v] \biggl(x,\frac{1 - A^{-2}}{p}\biggr)\,dx \\ &\!\quad \leqslant \operatorname{s}[v](\sqrt{d}) (1+|i|)^{\theta_3} \|f_1\|_{L_p(\operatorname{H}[v](x,(1 - A^{-2})/p))}^p \\ &\ \stackrel{(5.19)}{\lesssim_A} A^{p(\alpha -\widetilde \delta/4)} (1+|i|)^{\theta_3}\|f_0\|_{L_p(Q_{0,0})}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. § 7. Вертикальное взаимодействие и контроль плоских атомовВведем в рассмотрение граф $\Gamma$, описывающий вертикальное взаимодействие атомов. В этом графе стрелки всегда будут направлены вниз, т.е. из атома $(k,j)$ в атом $(k+1,j')$. Определение 11. Множество вершин вертикального графа $\Gamma$ – множество всех $\varepsilon$-плоских атомов. Проведем ориентированное ребро из атома $(k,j)$ в атом $(k+1,j')$, если атом $(k,j)$ $2$-насыщенный и либо $Q_{k+1,j'} \subset Q_{k,j}$, либо $Q_{k+1,j'}\subset Q_{k,i}$, атом $(k,i)$ не $2$-насыщенный и $j\to i$ в графе $\widetilde\Gamma_k$. Для наших построений важно, что любые два куба $Q_{k,j}$ и $Q_{k',j'}$ либо дизъюнктны с точностью до множества меры нуль, либо один из них полностью содержит другой (это утверждение следует из нечетности числа $A$). Замечание 14. Граф $\Gamma$ является лесом, т.е. дизъюнктным объединением максимальных по включению ориентированных деревьев $\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2,\dots$ . Действительно, в графе $\Gamma$ отсутствуют неориентированные циклы, так как каждая вершина имеет не более чем одно входящее ребро и все стрелки “направлены вниз” (т.е. из вершины $(k,j)$ в вершину $(k+1,j')$). Через $(k_q,j_q)$ будем обозначать атом, соответствующий вершине дерева $\mathcal{T}_q$, $q\in \mathbb{N}$. Замечание 15. Согласно определению 11 и следствию 11 лишь $2$-насыщенные атомы могут иметь исходящие ребра в графе $\Gamma$. Таким образом, в любом дереве $\mathcal{T}_q$ лишь листья могут не быть $2$-насыщенными. Мы полагаем число $\varepsilon$ достаточно малым (в зависимости от параметра $A$) в формулируемых ниже лемме 17 и следствии 12. Лемма 17. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть атом $(k,j)$ плоский, а атомы $\{(k+1,i)\}_{i\in J}$ – все его потомки в графе $\Gamma$. В таком случае Доказательство. Не умаляя общности, будем предполагать, что $k=0$ и $j=0$. По построению
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{i\in J} Q_{1,i} \subset \Omega_{0,0} := Q_{0,0} \cup \biggl(\bigcup_{j\colon(0,0)\xrightarrow{\widetilde{\Gamma}_0} (0,j)}Q_{0,j}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно замечанию 15 атом $(0,0)$ $2$-насыщенный (в противном случае у него нет потомков в графе $\Gamma$ и доказывать нечего), поэтому мы можем воспользоваться теоремами 5 и 6. В таком случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f_1\|^p_{L_p(\bigcup_{i\in J} Q_{1,i})} &\leqslant \|f_1\|^p_{L_p(\Omega_{0,0})} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{(5.20), теорема 6}}{\lesssim_A} A^{p(\alpha - \delta^*)} \biggl(1+ \sum_{j\in \mathbb{Z}^d} (1+|j|)^{-p\theta_5}\biggr) \|f_0\|^p_{L_p(Q_{0,0})} \\ &\!\lesssim_A A^{p(\alpha - \delta^*)}\|f_0\|^p_{L_p(Q_{0,0})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Положим $\delta^{**} = \delta^*/2$. Приведенные ниже следствия леммы 17 не нуждаются в доказательствах. Следствие 12. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть атом $(k,j)$ плоский, а атомы $\{(k+1,i)\}_{i\in J}$ – все его потомки в графе $\Gamma$. В таком случае если число $A$ достаточно велико. Теперь зафиксируем настолько большое число $A$, что выполнено неравенство (7.1). Зафиксируем число $\varepsilon$, малое настолько, насколько предписано теоремами 5 и 6 для только что сделанного выбора параметра $A$. Следствие 13. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть $\mathcal{T}_q$ – максимальное по включению дерево в графе $\Gamma$, и пусть атом $(k_q,j_q)$ соответствует его корню. В таком случае для всякого числа $N\in\mathbb{N}$. Изучим более подробно корни деревьев $\mathcal{T}_q$. Лемма 18. Пусть атом $(k_q,j_q)$ соответствует корню дерева $\mathcal{T}_q$, и пусть $k_q \geqslant 1$. Тогда атом $(k_q-1,j')$ такой, что $Q_{k_q,j_q}\subset Q_{(k_q-1,j')}$, либо сам $\varepsilon$-выпуклый, либо подчинен $\varepsilon$-выпуклому атому в графе $\widetilde\Gamma_{k_q-1}$. Доказательство. Предположим, что атом $(k_q-1,j')$ является $\varepsilon$-плоским, в противном случае доказывать нечего. Покажем, что атом $(k_q-1,j')$ подчинен выпуклому атому в графе $\widetilde\Gamma_{k_q-1}$. Отметим, что атом $(k_q-1,j')$ не $2$-насыщенный, так как в графе $\Gamma$ отсутствует ребро $(k_{q}-1,j')\to (k_q,j_q)$. Следовательно, по лемме 14 этот атом подчинен некоторому другому атому $(k_q-1,\vec{j})$ в графе $\widetilde\Gamma_{k_q-1}$. Следствие 11 утверждает, что в этом случае атом $(k_q-1,\vec{j})$ является $2$-насыщенным и, следовательно, не может быть $\varepsilon$-плоским, так как в графе $\Gamma$ отсутствует стрелка $(k_q-1,\vec{j})\to (k_q,j_q)$. Следовательно, атом $(k_q-1,\vec{j})$ выпуклый, и лемма доказана. Отметим, что так как мы уже зафиксировали параметр $A$, константам в наших неравенствах отныне “разрешено” зависеть от него. А вот независимость констант от параметра $N$ нам по-прежнему важна. Предложение 4. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть $\{\mathcal{T}_q\}_q$ – все деревья, растущие на уровне $K \geqslant 1$, т.е. такие, что $k_q = K$. В таком случае для всякого числа $N \in \mathbb{N}$ и константа в этом неравенстве не зависит от параметра $N$. Доказательство. Будем опираться на лемму 18, отдельно проанализируем два возможных случая вывода этой леммы. Пусть $\mathcal{T}_q$ – некоторое дерево с корнем $(K,j_q)$ и $Q_{K,j_q} \subset Q_{K-1,j'}$. Рассмотрим первый случай: атом $(K-1,j')$ выпуклый. В таком случае
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|f_{K+N}\|_{L_p(\bigcup_{(K+N,i) \in \mathcal{T}_q} Q_{K+N,i})} \stackrel{(7.2)}{\leqslant} A^{(\alpha - \delta^{**})N}\|f_{K}\|_{L_p(Q_{K,j_q})} \\ \notag &\qquad\stackrel{\text{следствие 8}}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N+ \alpha K}\|f_{K+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, j'}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 4}))} \\ \notag &\!\!\qquad\stackrel{(K-1,j')\in \operatorname{Co}}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N +\alpha K} \\ &\qquad\qquad\times \bigl(\|f_{K+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, j'}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 4}))} - \|f_{K-1}\|_{L_1(w_{K-1,j'})}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Рассмотрим второй случай: пусть теперь атом $(K-1,j')$ подчинен выпуклому атому $(K-1,\vec{j})$ в графе $\widetilde\Gamma_{K-1}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|f_{K+N}\|_{L_p(\bigcup_{(K+N,i) \in \mathcal{T}_q}Q_{K+N,i})} \stackrel{(7.2)}{\leqslant} A^{(\alpha - \delta^{**})N}\|f_{K}\|_{L_p(Q_{K,j_q})} \\ \notag &\,\qquad \stackrel{\text{следствие 8}}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K}\|f_{K+1}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, j'}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 2}))} \\ \notag &\!\qquad\qquad=A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K} f_{K-1,j'}^* \\ \notag &\stackrel{(K-1,\vec{j})\stackrel{\widetilde \Gamma_{K-1}}{\xrightarrow{\hspace{0.5cm}}} (K-1,j')}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K} (1+|j'-\vec{j}|)^{-\theta_4} f_{K-1,\vec{j}}^* \\ \notag &\!\!\qquad\qquad =A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K}(1+|j'-\vec{j}|)^{-\theta_4}\|f_{K+1}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, \vec{j}}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 2}))} \\ \notag &\!\!\!\quad\qquad \stackrel{\text{лемма 1}}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K}(1+|j'-\vec{j}|)^{-\theta_4}\|f_{K+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, \vec{j}}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 4}))} \\ \notag &\!\!\qquad \stackrel{(K-1,\vec{j})\in \operatorname{Co}}{\lesssim} A^{(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K}(1+|j'-\vec{j}|)^{-\theta_4} \\ &\qquad\qquad\quad\times \bigl(\|f_{K+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, \vec{j}}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 4}))} - \|f_{K-1}\|_{L_1(w_{K-1,\vec{j}})}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Сложим оценки (7.4) или (7.5) по всем деревьям $\mathcal{T}_q$, растущим на уровне $K$. Левая часть полученного неравенства в точности совпадает с левой частью формулы (7.3). А величина в правой части ограничена величиной
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &A^{d+(\alpha - \delta^{**})N+\alpha K}\sum_{\vec{j}\in\mathbb{Z}^d}\sum_{j'\in\mathbb{Z}^d} (1+|\vec{j}-j'|)^{-\theta_4} \\ &\qquad\qquad\times \bigl(\|f_{K+2}\|_{L_1(\operatorname{H}[w_{K -1, \vec{j}}](\,\cdot\,,A^{-2K+2} - A^{-2K - 4}))} - \|f_{K-1}\|_{L_1(w_{K-1,\vec{j}})}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
так как любой куб $Q_{K-1,j'}$ содержит не более $A^d$ кубов следующего поколения. Напомним, что мы полагали $\theta_4 > d$, и, следовательно, сумма по параметру $j'$ равномерно ограничена некоторой постоянной. Остается воспользоваться тем фактом, что веса $w_{K-1,\vec{j}}$ образуют разбиение единицы, чтобы оценить величину (7.6) правой частью формулы (7.3). Предложение 4 доказано. Замечание 16. В случае $K = 0$ неравенство (7.3) следует заменить оценкой Предложение 5. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть $\{\mathcal{T}_q\}_q$ – все растущие на уровне $K \geqslant 1$ деревья, т.е. такие, что $k_q = K$. В таком случае для всякого числа $N > 0$ где $\delta^{***} > 0$ – некоторое фиксированное число, а константа в неравенстве не зависит от параметра $N$. В случае $K=0$ имеем Доказательство. Во-первых, лемма 6 позволяет вывести аналогичные оценки, в которых норма Лоренца заменена классической $L_p$-нормой, из предложения 4 и замечания 16 (положив $\delta^{***} = \delta^{**}$). Во-вторых, заметим, что все наши комбинаторные построения (определения атомов и конструкции графов) не зависят от параметра $p$, коль скоро число $A$ достаточно велико. Таким образом, простое интерполяционное неравенство где числа $p_1$ и $p_2$ – малые возмущения числа $p$, удовлетворяющие условию однородности ${1}/{p_1} + {1}/{p_2} =2/p$, позволяет получить желаемую оценку нормы Лоренца из уже полученных оценок норм в пространствах $L_{p_1}$ и $L_{p_2}$ (параметр $\delta^{***}$ будет средним арифметическим параметров $\delta^{**}$ для числа $p_1$ и $\delta^{**}$ для числа $p_2$). Предложение доказано. Приведенное ниже следствие можно легко вывести из предложения 5: нужно вычислить сумму членов геометрической прогрессии. Следствие 14. Предположим, что $\delta_0\notin \mathbb{M}^\mathcal{W}$. Пусть $\{\mathcal{T}_q\}_q$ – все деревья, растущие на уровне $K$. Тогда Доказательство теоремы 2. Согласно замечанию 1 достаточно рассмотреть случай $p \leqslant 2$. Благодаря замечанию 6 достаточно доказать неравенство (2.4). Зафиксируем следующий выбор параметров:
$$
\begin{equation*}
\theta_1 = 2d+4, \qquad \theta_2 = 2d+3, \qquad \theta_3 = 4d+9, \qquad \theta_4 = d+2, \qquad \theta_5 = d+1,
\end{equation*}
\notag
$$
и отметим, что он удовлетворяет всем нашим требованиям. Это позволяет выбрать числа $\lambda$ (см. формулу (6.1)) и $A$ (это число должно быть достаточно большим, чтобы оценка (7.1) была верна для чисел $p, p_1$ и $p_2$, введенных в доказательстве предложения 5). Выберем также число $\varepsilon$, как указано в теореме 5 (с параметром $C$ из леммы 15) и теореме 6. Это позволяет нам построить множества $\operatorname{Co}$ и $\operatorname{Fl}$ и графы $\{\widetilde\Gamma_k\}_k$ и $\Gamma$. По лемме 6 достаточно доказать оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{k\geqslant 0}A^{-\alpha k}\|f_k\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(k,j)\in \operatorname{Co}} Q_{k,j})}\lesssim \|f\|_{L_1}, \\ \sum_{k\geqslant 0}A^{-\alpha k}\|f_k\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(k,j)\in \operatorname{Fl}} Q_{k,j})}\lesssim \|f\|_{L_1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливость первого неравенства установлена в предложении 3. Верность второго неравенства обеспечена следствием 14 и формулой (4.1), так как всякий плоский атом – вершина графа $\Gamma$, а именно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k\geqslant 0}A^{-\alpha k}\|f_k\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(k,j)\in \operatorname{Fl}} Q_{k,j})} \\ &\quad\stackrel{\text{лемма 6}}{\leqslant} \sum_{k\geqslant 0} A^{-\alpha k}\sum_{K \leqslant k} \|f_{k}\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(k,j)\in \bigcup_{k_q = K} \mathcal{T}_q} Q_{k,j})} \\ &\qquad= \sum_{K \geqslant 0} \sum_{N \geqslant 0} A^{-\alpha (K+N)}\|f_{K+N}\|_{L_{p,1}(\bigcup_{(K+N,j)\in \bigcup_{k_q = K} \mathcal{T}_q} Q_{K+N,j})} \\ &\qquad\lesssim \|f_{2}\|_{L_1} + \sum_{K \geqslant 1}\bigl(\|f_{K+2}\|_{L_1} - \|f_{K-1}\|_{L_1}\bigr) \lesssim \|f\|_{L_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. БлагодарностиАвтор выражает благодарность Рами Айющу и Михалу Войчеховскому за многолетнее плодотворное сотрудничество и ценные идеи, а также Дэниэлу Спектору за обсуждение результатов работы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sto22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|