| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Интегралы от разности субгармонических функций по мерам и характеристика Неванлинны Б. Н. Хабибуллинab a Факультет математики и информационных технологий, Башкирский государственный университет, г. Уфа b Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9642 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Цель и истокиОсновные задачи – это получение верхних оценок для интегралов от разности субгармонических функций по мерам Бореля на подмножествах комплексной плоскости $\mathbb C$ или конечномерного евклидова пространства через произведение характеристики Неванлинны на количественные параметры меры и/или носителя этой меры. Их следствия для $\mathbb C$ – новые неравенства для интегралов от логарифма модуля мероморфной функции по мерам. Исходная точка исследования – лемма А. Эдрея и В. Фукса о малых дугах (см. [1]), которая нашла важные применения в теории мероморфных функций, отраженные, например, в [2; гл. I, теорема 7.4]. Приводится она дословно в формулировке из [2], но с обозначением $\lambda_{\mathbb R}$ для линейной меры Лебега на вещественной прямой $\mathbb R$, в отличие от распространенного обозначения $\operatorname{mes}$ в [2]–[6] и др. Для мероморфной функции $f\neq \infty$ в открытом круге
$$
\begin{equation}
D(R):=\bigl\{z\in \mathbb C\mid |z|<R\bigr\}\subset \mathbb C
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
радиуса $R\in \overline{\mathbb R}^+:= \mathbb R^+\,{\cup}\, \{+\infty\}$, где $\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R\mid x\geqslant 0\}$ – положительный луч на $\mathbb R$, ее характеристика Неванлинны – это функция на интервале $[0,R):=\{r\in \mathbb R^+\mid r<R\}$ со значениями на расширенной вещественной прямой $\overline{\mathbb R}:=\overline{\mathbb R}^+\cup (-\overline{\mathbb R}^+)$, определяемая и обозначаемая (как в [2]) через
$$
\begin{equation}
T(r, f):=m(r,f)+N(r,f) \quad\text{при }\ 0\leqslant r<R,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
m(r,f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ln^+|f(re^{i\varphi})|\,\mathrm{d} \varphi, \qquad \ln^+x:=\max\{0, \ln x\},\quad x\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
N(r,f):=\int_{0}^{r}\frac{n(t,f)-n(0,f)}{t}\,\mathrm{d} t+n(0,f)\ln r, \qquad \ln 0:=-\infty;
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$n(r,f)$ – число полюсов функции $f$, подсчитанное с учетом их кратности в замкнутом круге $\overline D(r):=\{z\in \mathbb C\mid |z|\leqslant r\}\subset \mathbb C$ с соглашением $0\cdot \ln 0:=0$. Следующий результат начала 1960-х гг. часто называют леммой или теоремой Эдрея–Фукса о малых дугах. Теорема 1 (см. [1; лемма III], [2; теорема 7.3]). Пусть $f$ – мероморфная функция, $k$ и $\delta$ – некоторые числа, $k>1$, $0< \delta \leqslant 2\pi$, $r>1$. Существует такая постоянная $c_1(k,\delta)$, что для любого $\lambda_{\mathbb R}$-измеримого $E_r\subset [-\pi,\pi]$ такого, что $\lambda_{\mathbb R}(E_r)=\delta$, выполняется где $c_1(k,\delta)=\dfrac{6k}{k-1}\delta \ln \dfrac{2\pi e}{\delta}\to 0$, когда $\delta \to 0$ при фиксированном $k$. Ключевой момент в теореме 1 – порядок малости величины $c_1(k,\delta)$ при $\delta \to 0$. Перенос этой леммы на разности субгармонических функций и снятие условия $r>1$ дополнением в правой части (1.5) слагаемого порядка $O(\ln r)$ при точно таком же интегрировании обсуждается в работе М. Гирныка (см. [7; теорема E]). Лемма Эдрея–Фукса о малых интервалах – лишь исходная точка нашего исследования. Более детальное обсуждение содержания статьи и перспектив применений ее результатов проведено в п. 1.5. 1.2. Сводка для мероморфных функцийПроиллюстрируем часть результатов настоящей статьи применительно лишь к мероморфным функциям в окрестности замкнутого круга $\overline D(R)\subset \mathbb C$ радиуса $R>0$, т.е. на $\overline D(R)$, которые тем более справедливы для мероморфных функций на $\mathbb C$. Через $\overline D_z(r):=z+\overline D(r)\subset \mathbb C$ обозначаем замкнутые круги с центром $z\in \mathbb C$ радиуса $r\in \mathbb R^+$, а для меры Бореля $\mu$ на $\mathbb C$ полагаем
$$
\begin{equation}
\mu^{\operatorname{rad}}_z(r):=\mu(\overline D_z(r)), \quad {\mathrm N}^{\mu}_z(r):=\int_0^r\frac{\mu^{\operatorname{rad}}_z(t)}{t}\,\mathrm{d} t, \qquad r\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Основное следствие. Пусть $0<r\in \mathbb R^+$, $\mu$ – мера Бореля на $\overline D(r)\subset \mathbb C$. Тогда следующие два утверждения эквивалентны. I. Существуют $r_0>0$ и $R>r$, для которых $\sup_{z\in \overline D(R)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r_0)<+\infty$. II. При любом $R>r$ для каждой мероморфной функции $f\neq \infty$ на $\overline D(R)$ функция $\ln^+|f|$ $\mu$-суммируема и По определению (1.4) очевидно, что $N(r, f)$ – возрастающая функция, поэтому в первом неравенстве утверждения II в $N( r, f)$ можно заменить $r$ на любое $r'\in [0,r]$ с сохранением конечности правой части при $r'\neq 0$. Кроме того, в случае $r\geqslant 1$ или $n(0,f)=0$, т.е. при $f(0)\in \mathbb C$, имеем $N( r, f)\stackrel{(1.4)}{\geqslant}0$, и в этом неравенстве в таких случаях можно убрать вычитаемое $N( r, f)$ в скобках. Ввиду декларируемой в утверждении II конечности промежуточной части неравенства утверждение I очевидным образом следует из утверждения II при выборе $r_0:=R$. Вывод утверждения II из I – следствие основной теоремы из § 3 о пяти эквивалентных утверждениях, связанных с интегралами от разности субгармонических функций по мере в круге $\overline D(r)$ и шаре в многомерной версии. Для функции $h\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ $h$-обхват Хаусдорфа подмножества в $\mathbb C$ определяем как точную нижнюю грань сумм значений функции $h$ на радиусах всевозможных конечных множеств кругов, покрывающих это подмножество. Следствие 1. Пусть $\mu$ – мера Бореля на круге $\overline D(r)\subset \mathbb C$ полной меры $M:=\mu(\overline D(r))$, а $f\neq\infty$ – мероморфная функция на круге $\overline D(R)$ радиуса $R>r$. I. Если для модуля непрерывности ${\mathrm h}_{\mu}\colon t\mapsto \sup_{z\in D(R)} \mu_z^{\operatorname{rad}}(t)$ меры $\mu$ выполнено условие Дини в нуле, задаваемое как
$$
\begin{equation}
\int_0 \frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t}\,\mathrm{d} t< +\infty,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
то существует интеграл Лебега
$$
\begin{equation}
\int_{\overline D(r)} \ln^+|f|\,\mathrm{d} \mu \leqslant 5\frac{R+r}{R-r} \bigl(T(R, f)-N(r, f)\bigr) \biggl(M+ \int_0^{r}\frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t}\,\mathrm{d} t\biggr),
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где правая часть конечна, а полную меру $M$ меры $\mu$ справа можно заменить на ${\mathrm h}_{\mu}$-обхват Хаусдорфа носителя $\operatorname{supp} \mu$ меры $\mu$. II. Если функция $h\colon [0,r]\to \mathbb R^+$ непрерывна с $h(0)=0$ и дифференцируема на открытом интервале $(0,r)$, а также
$$
\begin{equation}
{{\mathrm s}_h}:=\sup_{t\in (0,r)}\frac{h(t)}{th'(t)}<+\infty,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
то при ${\mathrm h}_{\mu}(t)\leqslant h(t)$ для всех $t\in [0,r]$ существует интеграл Лебега
$$
\begin{equation}
\int_{\overline D(r)} \ln^+|f|\,\mathrm{d} \mu \leqslant 5\frac{R+r}{R-r}\bigl(T(R, f)-N(r, f)\bigr)M \ln\frac{e^{1+{\mathrm s}_h}r}{h^{-1}(M)},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $M$ справа можно заменить на $ h$-обхват Хаусдорфа носителя $\operatorname{supp} \mu$. При этом $r$ из $N(r,f)$ в (1.8) и (1.10) можно заменить на любое $r'\in [0,r]$, а в случаях $f(0)\in \mathbb C$ или $r\geqslant 1$ вообще убрать $-N(r,f)$ из (1.8) и (1.10). Следствие 1 будет обосновываться поэтапно в комментариях к теоремам статьи, а здесь из части II следствия 1 будет выведено доказательство леммы Эдрея–Фукса о малых дугах. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим мероморфную функцию на единичной окружности $\partial \overline D(1)$ с мерой длины дуги $\sigma$ на $\partial \overline D(1)$. Интеграл в левой части (1.5) – это в точности интеграл от $\ln^+|f_r|$ по сужению $\sigma_\llcorner$ меры $\sigma$ на $e^{iE_r}:=\{e^{i\theta}\mid \theta \in E_r\}\subset \partial \overline D(1)$. Условие $\lambda_{\mathbb R}(E_r)=\delta$ означает, что полная мера этого сужения $\sigma_\llcorner$ равна $\delta=:M$. Для любого круга $\overline D_z(t)$ из элементарной геометрии $\sigma(\overline D_z(t))\leqslant \pi t$. Отсюда для модуля непрерывности ${\mathrm h}_{\sigma_\llcorner}$ сужения $\sigma_\llcorner$ тем более имеем ${\mathrm h}_{\sigma_\llcorner}(t)\leqslant \pi t$ при всех $t\in \mathbb R^+$. Таким образом, для функции $h(t)\equiv \pi t$ выполнены условия (1.9) с ${\mathrm s}_h=1$ и $h^{-1}(x)=\frac{1}{\pi}x$. При выборе в следствии 1 значения $1$ на роль $r$ и значения $k>1$ вместо $R>1$ по части II из неравенства (1.10) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E_{r}} \ln^+|f(re^{i\varphi})|\,\mathrm{d} \varphi &\stackrel{(1.11)}{=}\int_{\overline D(1)} \ln^+|f_r|\,\mathrm{d} \sigma_\llcorner \\ &\stackrel{(1.10)}{\leqslant} 5\frac{k+1}{k-1}\, T(k, f_r) \delta\ln\frac{e^2}{\frac{1}{\pi}\delta}= 5\frac{k+1}{k-1} \delta\ln\frac{\pi e^2}{\delta} T(kr, f). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Это неравенство демонстрирует тот же порядок малости вида $\delta\ln \frac{1}{\delta}$ при $\delta\to 0$ для фиксированных $k>1$, что и в лемме Эдрея–Фукса о малых дугах, а некоторое увеличение абсолютных констант в итоговом неравенстве вызвано лишь существенно более общим характером следствия 1. 1.3. Об интегралах с максимумом модуля мероморфной функцииВ случае, когда множества интегрирования выбираются исключительно на положительной полуоси $\mathbb R^+$, имеется возможность устанавливать оценки сверху через $T(r,f)$ для интегралов от $\ln^+ M(r,f)$ для мероморфной функции $f$, где
$$
\begin{equation}
M(r,f):=\sup\bigl\{|f(z)| \mid |z|=r\bigr\},\qquad r\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Если учитывать и такие результаты, то лемме Эдрея–Фукса предшествовала одна из классических теорем Р. Неванлинны. Теорема 2 (см. [8], [2; гл. I, теорема 7.2] вместе с обсуждением в [6; введение, п. 1.1]). Пусть $1<k\in \mathbb R^+$, $0<r_0\in \mathbb R^+$. Тогда существует $c_0(k)\in \mathbb R^+$, с которым для любой мероморфной функции $f\neq \infty$ на $\mathbb C$ имеем “Прямолинейная” версия леммы Эдрея–Фукса о малых дугах – это следующая лемма Гришина–Содина о малых интервалах. Теорема 3 (см. [3; лемма 3.1]). Существует $C\in \mathbb R^+$, с которым для любых мероморфной функции $f\neq \infty$, чисел $r>1$ и $k>1$, а также $\lambda_{\mathbb R}$-измеримого подмножества $E\subset [1,r)$ выполнено неравенство Замечание 1. Оценки интегралов по подмножествам положительной полуоси от логарифмов максимума модуля (1.12) мероморфной функции $f$, как в теореме Р. Неванлинны и теореме 3, – это отдельная специфическая задача, которая тесно завязана на интегралах по подмножествам $E$ именно в $\mathbb R^+$ и включает в себя суперпозицию двух операций: точная верхняя грань по окружностям из (1.12) с последующим интегрированием по части $\mathbb R^+$. Первая операция не позволяет выводить такие результаты непосредственно из неравенств для интегралов от собственно функций $\ln^+ |f|$, поэтому требует отдельного исследования. Оно проведено нами в [9], а здесь не обсуждается и не может быть использовано. 1.4. Предшествующие субгармонические результатыВ совместной работе А. Ф. Гришина и Т. И. Малютиной доказана (см. [4; теорема 8]) и неоднократно применяется (см. [4; теоремы 2, 4]) версия леммы Гришина–Содина для субгармонических функций формального уточненного порядка $\boldsymbol \rho$ в смысле Валирона (см. [10; гл. III, § 6], [11; гл. I, § 12], [2; гл. II, § 2], [12; п. 7.4]), который можно определить в эквивалентной форме через единственное условие как дифференцируемую функцию $\boldsymbol \rho\geqslant 0$ на $\mathbb R^+\setminus \{0\}$ с конечным пределом
$$
\begin{equation*}
\rho :=\lim_{r\to +\infty}r(\boldsymbol \rho(r)\ln r)'\in \mathbb R^+,
\end{equation*}
\notag
$$
что отмечено в [13; следствие], а для существенно более общих уточненных, или модельных, функций роста – в [13; теорема]. Следующий результат называем теоремой Гришина–Малютиной о малых интервалах. Теорема 4 (см. [4; теорема 8]). Пусть $v\not\equiv -\infty$ – субгармоническая функция на $\mathbb C$, для которой $\sup_{z\in \mathbb C}v(z)|z|^{-\boldsymbol \rho (|z|)}<+\infty$ при некотором уточненном порядке $\boldsymbol \rho $. Тогда существует $C\in \mathbb R^+$, с которым для любых числа $r>1$ и $\lambda_{\mathbb R}$-измеримого подмножества $E\subset [1,r)$ выполняется неравенство Теорема Гришина–Малютиной о малых интервалах легко выводится из результатов недавней статьи Л. А. Габдрахмановой и автора (см. [5; п. 1.3]), где она была распространена на произвольные субгармонические функции на $\mathbb C$. Для расширенной числовой функции $v$ на окружности $\partial \overline D(r)$ со значениями в $\overline{\mathbb R}$
$$
\begin{equation}
{\mathrm M}_v(r):=\sup_{0\leqslant \theta < 2\pi } v(re^{i\theta})
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
– максимальная радиальная характеристика функции $v$, а
$$
\begin{equation}
{\mathrm C}_v(r):=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} v(re^{i\theta})\,\mathrm{d} \theta
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
– среднее по этой окружности от $v$ при условии существования интеграла. Имеет место следующая теорема о малых интервалах. Теорема 5 (см. [5; теорема 1]). Существует число $a\geqslant 1$, с которым для произвольной субгармонической на $\mathbb C$ функции $u\not\equiv -\infty$ для любых чисел $b\in (0,1]$ и $0\leqslant r_0\leqslant r<R<+\infty$, $\lambda_{\mathbb R}$-измеримого подмножества $E\subset [r,R]$, а также функции $g\colon E\to \overline{\mathbb R}$ с существенной верхней гранью Еще один общий результат, установленный в [6; основная теорема], можно назвать теоремой о малых интервалах с $L^p$-весом. Его формулировка потребует некоторой подготовки. Для меры Бореля $\mu$ на $\overline D(R)$ положим
$$
\begin{equation}
\mu^{\operatorname{rad}}(r):=\mu(\overline D(r))\stackrel{(1.6)}{=} \mu_0^{\operatorname{rad}}(r)\in \overline{\mathbb R}^+, \qquad r\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathrm N}_{\mu}(r,R):=\int_{r}^{R}\frac{\mu^{\operatorname{rad}}(t)}{t}\,\mathrm{d} t \stackrel{(1.6)}{=}{\mathrm N}_0^{\mu}(R)-{\mathrm N}_0^{\mu}(r) \in \overline{\mathbb R}^+, \qquad 0\leqslant r<R\leqslant +\infty,
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
где последнее равенство корректно лишь при конечности ${\mathrm N}_0^{\mu}(R)$. Для числа или функции верхний индекс “плюс” определяет его положительную часть, а знак “минус” в верхнем индексе выделяет отрицательную часть. Пусть $U=u-v$ – разность субгармонических функций $u\not\equiv -\infty$ и $ v\not\equiv -\infty$ в окрестности замкнутого круга $\overline D(R)$ с мерами Рисса соответственно $\varDelta_u\geqslant 0$ и $\varDelta_v\geqslant 0$, т.е. $\delta$-субгармоническая нетривиальная ($\not\equiv\pm\infty$) функция (см. [14], [15], [16], [17; п. 3.1]) с зарядом Рисса $\varDelta_{U}=\varDelta_u-\varDelta_v$. В наших статьях [6] и [18] использовалась разностная характеристика Неванлинны функции $U$ вида
$$
\begin{equation}
{\mathrm T}_U(r,R)={\mathrm C}_{U^+}(R)-{\mathrm C}_{U^+}(r)+ {\mathrm N}_{\varDelta_U^-}(r,R) , \qquad 0<r< R\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
где мера Бореля $\varDelta_U^-\geqslant 0$ – нижняя вариация заряда Рисса $\varDelta_{U}$. Для $\lambda_{\mathbb R}$-измеримых $E\subset \mathbb R$ и $g\colon E\to \overline{\mathbb R}$ наряду с существенной верхней гранью $\|g\|_{\infty}$ на $E$ из (1.18) используем и $L^p$-полунорму функции $g$ на $E$:
$$
\begin{equation*}
\|g\|_p:=\biggl(\int_E |g|^p\,\mathrm{d}\lambda_{\mathbb R}\biggr)^{1/p} \quad\text{при }\ 1\leqslant p\in \mathbb R^+ \quad\text{на }\ E.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 (см. [6; основная теорема]). При ${0< r_0< r\in\mathbb R^+}$, ${1<k\in\mathbb R^+}$, ${1<p\leqslant+\infty}$, ${1/p+1/q=1}$, ${1\leqslant q<+\infty}$ и $\lambda_{\mathbb R}$-измеримых $E\subset [0,r]$ и $g\colon E\to \overline{\mathbb R}$ пусть функция $U\not\equiv \pm\infty$ $\delta$-субгармоническая на $\mathbb C$, а $u\not\equiv -\infty$ – субгармоническая функция на $\mathbb C$. Тогда Нетрудно видеть, что теорема о малых интервалах с $L^p$-весом при $p\,{:=}\,{+}\infty$ содержит в себе и уточняет как теоремы 2, 3, так и теоремы 4–7, но из нее не может быть выведена лемма Эдрея–Фукса о малых интервалах, как и следующая качественно новая теорема о малых плоских множествах, позволяющая охватить и множества малой плоской меры Лебега $\lambda_{\mathbb C}$ на $\mathbb C$. Теорема 7 (см. [18; теорема 2]). Пусть $0< r_0< r\in \mathbb R^+$, $1<k\in \mathbb R^+$. Для любых $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ и субгармонической функции $u\not\equiv {-}\infty$ на $\mathbb C$, а также $\lambda_{\mathbb C}$-измеримого подмножества $E\subset \overline D(r)$ имеем 1.5. Содержание, структура и перспективы примененийВсе итоговые оценки сверху интегралов и их доказательства в статье будут даваться для $\delta$-субгармонических функций через видоизмененную разностную характеристику Неванлинны
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{T}_U(r,R)\stackrel{(1.22)}{:=}{\mathrm T}_U(r,R)+{\mathrm C}_{U^+}(r),
\end{equation*}
\notag
$$
которая обсуждается ниже в § 2. Приведенные в § 2 равенства, связывающие разностную характеристику Неванлинны ${\boldsymbol T}_U$ с классической характеристикой Неванлинны для мероморфных функций, позволяют легко адаптировать эти оценки сверху для случая мероморфных функций в традиционных обозначениях (1.2)–(1.4) и (1.12), как в основном следствии и следствии 1. Основная теорема, сформулированная и доказанная в § 3, имеет более развернутую форму критерия, чем вытекающее из нее основное следствие из п. 1.2, и состоит из пяти эквивалентных утверждений. Теоремы 8 и 9 из § 4, основанные на понятии модуля непрерывности меры Бореля $\mu$ из определения 2 и априорных ограничениях на него сверху через достаточно общую функцию $h$, позволяют придать правым частям интегральных оценок основной теоремы явно записываемый наглядный вид. В § 5 оцениваются интегралы от $U^+$ по мерам, мажорируемым $h$-обхватами или $h$-мерами Хаусдорфа на носителях возможной фрактальной природы и, в частности, $p$-мерными обхватами или мерами Хаусдорфа. Весьма частными и крайними вариантами таких мер являются линейная мера Лебега $\lambda_{\mathbb R}$, равная одномерной мере Хаусдорфа на $\mathbb R$, и плоская мера Лебега $\lambda_{\mathbb C}$, равная двумерной мере Хаусдорфа на $\mathbb C$, которые только и рассматривались в предшествующих результатах. Результаты в § 5 в значительной степени опираются на классическую теорему Фростмана из теории потенциала. Теорема 11 показывает, что в интегральных оценках количественные параметры меры $\mu$, по которой ведется интегрирование, всегда можно заменить в правых частях интегральных оценок на $h$-обхваты и $h$-меры Хаусдорфа носителя $\operatorname{supp} \mu$. При этом из теоремы 12 следует, что при любом выборе носителя $S$ меры найдутся меры $\mu$, для которых, с одной стороны, оценки через параметры самой меры $\mu$ (подобно основной теореме и теоремам 8 и 9) и, с другой стороны, оценки через $h$-обхваты и $h$-меры Хаусдорфа носителя $\operatorname{supp} \mu=S$ (подобно теореме 11) равносильны с точностью до констант, зависящих только от размерности пространства. В § 6 сосредоточены частные случаи основных результатов статьи и следствия из них, представляющие самостоятельный интерес. В п. 6.1 отдельно расписаны случаи оценок только через $p$-мерные обхваты или меры Хаусдорфа носителя $\operatorname{supp} \mu$, являющиеся довольно частными, но наиболее часто используемыми случаями $h$-обхватов и $h$-мер Хаусдорфа. В п. 6.2 даны оценки для функций на комплексной плоскости и на всем пространстве. В п. 6.3 то же самое проделано для функций в единичном круге или шаре, что ранее нигде, насколько нам известно, в рамках оценок интегралов от мероморфных и $\delta$-субгармонических функций через характеристику Неванлинны не рассматривалось. В п. 6.4 мы ограничиваемся рассмотрением сужений плоской меры Лебега $\lambda_{\mathbb C}$ и соответственно пространственной меры в многомерном случае на подмножества в роли меры $\mu$, что, как обосновывается в замечании 6, усиливает теорему о малых плоских множествах из п. 1.4. В п. 6.5 как непосредственное существенное развитие леммы Эдрея–Фукса о малых дугах рассмотрены следствия 7 и 8 об интегрировании по подмножествам на билипшицевых кривых и кривых ограниченного наклона, а как их прямое многомерное обобщение – следствие 9 об интегрировании по подмножествам на билипшицевых гиперповерхностях, завершающее статью. Значение полученных в статье новых интегральных оценок для мероморфных функций и разностей субгармонических функций через характеристику Неванлинны отнюдь не исчерпывается внутренними потребностями теории Неванлинны. Эти оценки могут использоваться и в иных вопросах теории роста мероморфных и (плюри)субгармонических функций, а также ее приложениях. Так, наши интегральные оценки тесно связаны с оценками снизу голоморфных и субгармонических функций вне малых исключительных множеств в круге, на $\mathbb C$, в шаре или в пространстве, которым посвящены целые главы классических монографий (как, например, в [19; гл. 6 и 7]), а сами оценки снизу имеют разнообразные применения в теории функций и ее приложениях. Более того, полученные в настоящей статье интегральные оценки в некотором смысле даже эквивалентны оценкам снизу, что совершенно справедливо было подмечено одним из рецензентов. Переход от оценок снизу к интегральным неравенствам нашел отражение, например, в методах доказательств из [4] и [5], а идея обратного перехода в некоторой мере затронута в [20; теорема 2]. Другой тип оценок слабого типа для мероморфных на круге или в $\mathbb C$ функций $f$ можно извлечь из сочетания теорем 11 и 12. В нулевом приближении эти оценки показывают, что на фрактальном множестве $E\subset D(R)$ размерности $p>0$ с отличной от нуля $p$-мерой Хаусдорфа всегда можно найти точку $z\in E$, в которой значение $\ln |f(z)|$ не больше произведения характеристики Неванлинны $T(r,f)$ на логарифм величины, обратной к $p$-мере Хаусдорфа множества $E$. В случае голоморфных функций в круге или в $\mathbb C$, а также субгармонических функций в шаре или пространстве это позволяет получить аналогичные оценки снизу в точке из $E$ через максимум функции на окружностях или сферах. Мы отказались от первоначальной попытки включить эти результаты об оценках снизу и оценках слабого типа на фрактальных множествах в статью, так как полномасштабное исследование этих вопросов требует отдельного рассмотрения в естественном сочетании с результатами об интегральных оценках с интегралами от $M(r,f)$, о которых шла речь в п. 1.3. В статье не рассмотрены и интегральные неравенства для плюрисубгармонических функций и их разностей, хотя задел для такого развития в значительной степени в статье подготовлен, поскольку постоянные в оценках зависят по существу только от размерности. Это позволяет для мероморфных функций многих переменных и плюрисубгармонических функций в шаре или пространстве перейти к их срез-функциям на комплексных прямых или подпространствах с общим началом в нуле с последующими равномерными интегральными оценками на каждой прямой или подпространстве и усреднениями по сферам, сохраняя вид интегральных оценок. Такие интегральные оценки напрямую могут быть использованы для развития теорем типа Лиувилля о глобальной ограниченности или постоянстве целых, голоморфных, (плюри)субгармонических функций в круге, плоскости, шаре или пространстве при ограниченности их роста вне малых множеств, рассмотренных в [21], [22]. БлагодарностьВыражаю глубокую признательность рецензентам за ценные и полезные замечания, способствовавшие как ряду уточнений в изложении материала, так и более широкому взгляду на предмет нашего исследования. § 2. Разностная характеристика НеванлинныДля мероморфной функции $f\neq 0,\infty$ на $\mathbb C$ ее логарифм модуля $\ln |f|\not\equiv \pm \infty$ – это $\delta$-субгармоническая функция на ${\mathbb{C}}$, и следующие взаимосвязи традиционных характеристик функции $f$ с введенными в п. 1.4 характеристиками для $\delta$-субгармонических функций очевидны:
$$
\begin{equation}
\ln M(r, f) \stackrel{(1.12),(1.16)}{=}{{\mathrm M}}_{\ln|f|}(r), \qquad r\in {\mathbb{R}}^+,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
m(r, f) \stackrel{(1.3),(1.17)}{=}{\mathrm C}_{\ln^+|f|}(r), \qquad r\in {\mathbb{R}}^+,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
N(R, f)-N(r, f) \stackrel{(1.4),(1.21)}{=} {\mathrm N}_{\varDelta_{\ln|f|}^-}(r,R), \qquad 0<r< R\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
T(R, f)-T(r, f) \stackrel{(1.2),(1.22)}{=}{\mathrm T}_{\ln|f|}(r,R), \qquad 0<r<R\in {\mathbb{R}}^+.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Исходя из вида правых частей в (1.23) и (1.25) далее удобнее использовать видоизмененную разностную характеристику Неванлинны, которую можно определить через предшествующую форму разностной характеристики Неванлинны ${\mathrm T}_{U}$ из (1.22) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\boldsymbol T}_U(r,R) &:={\mathrm T}_{U}(r,R)+{\mathrm C}_{U^+}(r) \\ &\!\!\stackrel{(1.22)}{=}{\mathrm C}_{U^+}(R)+{\mathrm N}_{\varDelta_U^-}(r,R), \qquad 0<r<R\in \mathbb R^+, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где правая часть теперь позволяет определить характеристику Неванлинны так:
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol T}_U(R):={\boldsymbol T}_U(0,R)\stackrel{(1.21)}{:=}{\mathrm C}_{U^+}(R)+{\mathrm N}_{\varDelta_U^-}(0,R)\in \overline{\mathbb R}^+.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В этом случае (2.4) согласно (2.2), (2.5) и (2.3) заменится на
$$
\begin{equation}
T(R, f)-N(r, f)\stackrel{(2.6)}{=}{\boldsymbol T}_{\ln|f|}(r,R), \qquad 0< r<R\in {\mathbb{R}}^+.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Перейдем к определениям для конечномерного евклидова пространства. Одноточечные множества часто записываем без фигурных скобок, если это не вызывает разночтений. Расширенная числовая прямая $\overline{\mathbb R}:=\mathbb R\cup \{\pm \infty\}$ – это двухточечная компактификация $\mathbb R$ путем добавления двух концов
$$
\begin{equation*}
\inf \mathbb R=:-\infty=:\sup \varnothing,\qquad \sup \mathbb R=:+\infty=:\inf \varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varnothing$ – пустое множество, дополненная отношениями порядка $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ для всех $x\in \overline{\mathbb R}$ и операциями $-(\pm\infty)=\mp\infty$, $|\pm\infty|:=+\infty$, $x\pm(\pm \infty)=+ \infty$ при $x\in \overline{\mathbb R}\setminus-\infty$, $x\pm (\mp \infty)=-\infty$ при $x\in \overline{\mathbb R}\setminus +\infty$, $x\cdot (\pm\infty):=\pm\infty=:(-x)\cdot (\mp\infty)$ при $x\in \overline{\mathbb R}^+\setminus 0$, ${\pm x}/{0}:=\pm\infty$ при $x\in \overline{\mathbb R}^+\setminus0$, ${x}/{\pm\infty}:=0$ при $x\in \mathbb R$, но
$$
\begin{equation}
0\cdot\pm \infty:=0=:\pm \infty \cdot 0, \quad \text{если не оговорено иное},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
а не определены только пары сумм и разностей и пять операций деления
$$
\begin{equation*}
\nexists!\bigl( (\pm\infty)+(\mp\infty)\bigr), \quad \nexists!\,\bigl((\pm\infty)-(\pm \infty)\bigr), \quad \nexists!\,\frac{0}{0}, \quad \nexists!\,\frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \quad \nexists!\,\frac{\pm\infty}{\mp\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интервал $I$ на $\overline{\mathbb R}$ – связное подмножество в $\overline{\mathbb R}$ с левым концом $\inf I$ и правым концом $\sup I$. Как обычно, $[a,b]:=\{x\in \overline{\mathbb R}\mid a\leqslant x\leqslant b\}$ – отрезок, $(a,b]:=[a,b]\setminus a$, $[a,b):=[a,b]\setminus b$ – полуоткрытые интервалы, а $(a,b):=(a,b]\cap [a,b)$ – открытый интервал. Через $x^+:=\sup \{0,x\}$ обозначаем положительную часть от $x\in \overline{\mathbb R}$, а $x^-:=(-x)^+$ – его отрицательная часть. Вообще всюду далее положительность – это $\geqslant 0$, а отрицательность – это $\leqslant 0$. Если $0<x\in \overline{\mathbb R}$, то $x$ строго положительно, а если $0>x\in \overline{\mathbb R}$, то $x$ строго отрицательно. Для расширенной числовой функции $f\colon X\to \overline{\mathbb R}$, вообще говоря, могут быть и не определены значения $f(x)$ для некоторых $x$, а ее положительная часть $f^+\colon x\mapsto(f(x))^+$, $x\in X$, определена в тех же точках, что и функция $f$. Так же для отрицательной части $f^{-}:=(-f)^+$. Функция $f$ положительна на $X$, и пишем $f\geqslant 0$, если $f=f^+$. Функция $f$ возрастающая на $X\subset \overline{\mathbb R}$, если из $x'\in X$, $x\in X$ и $x'< x$ следует $f(x')\leqslant f(x)$, и строго возрастающая, если из того же следует уже строгое неравенство $f(x')< f(x)$. Аналогично для убывания. Всюду далее $n\in \mathbb N:=\{1,2,\dots\}$, но $n\geqslant 2$, – размерность евклидова пространства $\mathbb R^n$ с евклидовой нормой $|x|:=\sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2}$ для $x:=(x_1,\dots ,x_n)$ из $\mathbb R^n$. По теории мер и интегрирования придерживаемся терминологии, но не обозначений, из монографий Г. Федерера [23], Л. К. Эванса и К. Ф. Гариепи [24], Н. С. Ландкофа [25; введение, § 1]. Так, расширенная числовая положительная функция $\mu$ на множестве подмножеств некоторого множества $X$ называется (внешней) мерой на множестве $X$, если она счетно субаддитивна и $\mu(\varnothing)=0$. Понятия меры Бореля и регулярной меры на подмножествах в $\mathbb R^n$ общепринятые. Мера Радона – регулярная мера Бореля, конечная на компактах. Сужение меры $\mu$ на $S\subset \mathbb R^n$ обозначаем через $\mu{\lfloor}_S$. Мера $\mu$ сосредоточена на множестве $S\subset \mathbb R^n$, если $\mu(\mathbb R^n\setminus S)=0$. Как обычно, $\operatorname{supp} \mu$ – носитель меры Бореля $\mu$. Разности мер Радона называем зарядами соответственно с верхней, нижней и полной вариацией $\nu^+:=\sup\{\nu,0\}$, $\nu^-:=(-\nu)^+$ и $|\nu|:=\nu^++\nu^-$. Как и в [24], если интеграл от функции по мере $\mu$ существует и принимает значение из $\overline{\mathbb R}$, то эту функцию называем $\mu$-интегрируемой, а если этот интеграл еще и конечен, т.е. принимает значения в $\mathbb R$, то эту функцию называем $\mu$-суммируемой. Интеграл Стилтьеса (Римана–Стилтьеса или Лебега–Стилтьеса) по интервалу с концами $a<b$ по функции $g$ ограниченной вариации на этом интервале понимаем как интеграл по интервалу $(a,b]\subset \overline{\mathbb R}$, если не оговорено иное:
$$
\begin{equation*}
\int_a^b \dots \,\mathrm{d} g:=\int_{(a,b]} \dots \,\mathrm{d} g.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $B_x(r):=\bigl\{y\in \mathbb R^n\mid |y-x|<r \bigr\}$ и $\overline B_x(r):=\bigl\{y\in \mathbb R^n\mid |y-x|\leqslant r \bigr\}$, а также $\partial \overline B_x(r):=\overline B_x(r)\setminus B_x(r)$ обозначаются соответственно открытый и замкнутый шары, а также сфера радиуса $r\in \mathbb R^+$ с центром $x\in \mathbb R^n$. Таким образом, $B_x(0)=\varnothing$ – пустое множество, но $\overline B_x(0)=\partial \overline B_x(0)=\{x\}$. Кроме того, для шаров допускается и радиус $r=+\infty$, и по определению $\overline B_x(+\infty):= B_x(+\infty):=\mathbb R^n$. Для шаров или сфер с центрами в нуле нижний индекс $0$, как правило, не пишем:
$$
\begin{equation}
B(r):=B_0(r), \qquad \overline B(r):= \overline B_0(r), \qquad \partial \overline B(r)=\partial \overline B_0(r).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Всюду $\mathbb R^{2}$ отождествляем с $\mathbb C\ni z=x+iy \longleftrightarrow (x,y)\in \mathbb R^{2}$, $x,y\in \mathbb R$, где $B_z(r)=D_z(r)$, $\overline B_z(r)=\overline D_z(r)$ и $\partial \overline B_z(r)=\partial \overline D_z(r)$ – круги и окружность с центрами в $z$, a $B(r)\stackrel{(1.1)}{=}D(r)$, $\overline B(r)=\overline D(r)$, $\partial \overline B(r)=\partial \overline D(r)$ – с центрами в нуле. Площади поверхностей единичных сфер $\partial \overline B(1)$ в $\mathbb R^n$ обозначаем через
$$
\begin{equation}
s_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2)}, \qquad s_{1}=2\pi, \quad s_{2}=4\pi, \quad s_{3}=\pi^2, \quad \dots\,.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Для поверхностной меры площади $\sigma_{n-1}^r$ на сфере $ \partial \overline B(r)\subset \mathbb R^n$ и интегрируемой по мере $\sigma_{n-1}^r$ функции $U\colon \partial \overline B(r)\to \overline{\mathbb R}$ среднее по сфере $\partial \overline B(r)$ функции $U$ обозначаем аналогично (1.17) как
$$
\begin{equation}
{\mathrm C}_U(r):=\frac{1}{s_{n-1}r^{n-1}}\int_{\partial \overline B(r)}U\,\mathrm{d} \sigma_{n-1}^r.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Меры Бореля $\mu$, заданные на борелевских подмножествах в $\mathbb R^n$, часто рассматриваем как продолженные на все $\mathbb R^n$, и, как в (1.6),
$$
\begin{equation}
\mu_y^{\operatorname{rad}}(t):=\mu(\overline B_y(t))\in \overline{\mathbb R}^+,\qquad t\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
– радиальная считающая функция меры $\mu$ с центром $y\in \mathbb R^n$. В случае центра $y=0$ нижний индекс $0$, как правило, не используем, как и в (1.20) для $\mathbb C$. Неоднократно будет использоваться связанное с размерностью $n\in \mathbb N$ число
$$
\begin{equation}
\widehat{n}:=\max\{{1,n-2}\}=1+({n-3})^+\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Как и в (1.21) для $\mathbb C$,
$$
\begin{equation}
{\mathrm N}_{\mu}(r,R):={\widehat{n}}\int_r^R \frac{\mu^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t\in \overline{\mathbb R}^+ \quad\text{при }\ 0\leqslant r<R<R_0\in \overline{\mathbb R}^+
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
– ее радиальная разностная проинтегрированная считающая функция, а
$$
\begin{equation}
{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\stackrel{(1.6)}{:=}\widehat{n}\int_0^r \frac{\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t\in \overline{\mathbb R}^n, \qquad r\in \overline{\mathbb R}^+,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
– ее радиальная проинтегрированная считающая функция с центром $y\in \mathbb R^n$. По субгармоническим функциям используются монографии [26]–[28], [25]. Область в $\mathbb R^n$ – открытое связное множество. Для связного подмножества $S\subset \mathbb R^n$ через $\operatorname{sbh}(S)$ обозначаем множество всех функций, субгармонических на какой-либо области $D_u$, содержащей $S$, или, другими словами, на $S$. Через сужение меры на $S$ для субгармонической функции $u\not\equiv -\infty$ на $D_u\supset S$ оператор Лапласа ${\bigtriangleup}$, действующий в смысле в теории обобщенных функций, определяет меру Рисса функции $u$ на $S$, обозначаемую и задаваемую как
$$
\begin{equation}
\varDelta_u\stackrel{(2.13)}{:=} \frac{1}{s_{n-1}{\widehat{n}}} {\bigtriangleup} u.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Подмножество $\operatorname{sbh}_*(S)\subset \operatorname{sbh}(S)$ состоит из всех функций, не равных тождественно $-\infty$ в области $D_u\supset S$, для которых пишем $u\not\equiv -\infty$ на $S$. Класс $\operatorname{dsh}(S)$ $\delta$-субгармонических функций на $S$ состоит функций, заданных как разность $U=u-v$ пары функций $u, v\in \operatorname{sbh}(S)$, исключая разность функций, тождественно равных $-\infty$, а $\operatorname{dsh}_*(S)$ – разности ${U=u-v}$ функций $u, v\in \operatorname{sbh}_*(S)$, для которых пишем $U\not\equiv \pm\infty$ на $S$. Различные эквивалентные формы определения $\delta$-субгармонических функций, их корректность и основные свойства исследуются в [14], [15], [29; п. 2.8.2], [16], [17; п. 3.1], [30]. Для $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ на $S$ корректно определен ее заряд Рисса $\varDelta_U:=\varDelta_u-\varDelta_v$ как разность мер Рисса субгармонических функций $u,v\in \operatorname{sbh}_*(S)$. Определение 1. Разностной характеристикой Неванлинны ${\boldsymbol T}_U(r,R)$ для $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ на шаре $B(R_0) \stackrel{(2.9)}{\subset} \mathbb R^n$ называем сумму из (2.5) в обозначениях и определениях (2.11) и (2.14), а именно Определение разностной характеристики Неванлинны ${\boldsymbol T}_U$ можно дать и иначе. Для $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ на шаре $\overline B(R)\stackrel{(2.9)}{\subset} \mathbb R^n$ с зарядом Рисса $\varDelta_U$ существуют канонические представления где $u_*\not\equiv -\infty$ и $v_*\not\equiv -\infty$ – субгармонические функции на $\overline B(R)$ с мерами Рисса соответственно $\varDelta_{u_*}=\varDelta_U^+:=\sup\{0,\varDelta_U\}$ (верхняя вариация заряда Рисса $\varDelta_U$) и $\varDelta_{v_*}=\varDelta_U^-$ (нижняя вариация заряда Рисса $\varDelta_U$). Канонические представления определены с точностью до общего гармонического слагаемого. Из очевидных равенств по определению (2.11) получаем равенства
$$
\begin{equation}
{\mathrm C}_{U^+}(R)={\mathrm C}_{\sup\{u_*,v_*\}}(R)-{\mathrm C}_{v_*}(R) \quad\text{для всех }\ 0<R<+\infty,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где функция $\sup\{u_*,v_*\}$ субгармоническая на $\overline B(R)$, а по формуле Пуассона–Йенсена–Привалова (см. [31], [32], [33; гл. II, § 2], [27; п. 3.7])
$$
\begin{equation}
{\mathrm N}_{\varDelta_{v_*}}(r,R)={\mathrm C}_{v_*}(R)-{\mathrm C}_{v_*}(r) \quad\text{для всех }\ 0<r<R<+\infty.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Сложение равенств (2.18) и (2.19) дает равенство
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol T}_U(r,R)\stackrel{(2.17)}{=} {\mathrm C}_{\sup\{u_*,v_*\}}(R)-{\mathrm C}_{v_*}(r) \in \mathbb R^+, \qquad 0< r<R\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
При этом для любой $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ на $\overline B(R)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\boldsymbol T}_U(r,R) &\stackrel{(2.20)}{=}{\mathrm C}_{\sup\{v_*, u_*\}}(R)-{\mathrm C}_{u_*}(r) +{\mathrm C}_{u_*}(r) -{\mathrm C}_{v_*}(r) \\ &\stackrel{(2.20)}{=} {\boldsymbol T}_{-U}(r,R)+{\mathrm C}_{u_*-v_*}(r) ={\boldsymbol T}_{-U}(r,R)+{\mathrm C}_U(r). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
В частности, если функция $u$ субгармоническая на $\overline B(R)$ с мерой Рисса $\varDelta_u$, то
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol T}_{-u}(r,R)\stackrel{(2.21)}{=} {\boldsymbol T}_u(r,R)-{\mathrm C}_u(r)\stackrel{(2.17)}{=} {\mathrm C}_{u^+}(R)-{\mathrm C}_u(r)\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Функция $f\colon I\to \mathbb R$ выпукла (соответственно вогнута) на открытом интервале $I\subset \mathbb R$ относительно строго возрастающей непрерывной функции $k\colon I\to \mathbb R$, если суперпозиция $f\,{\circ}\, k^{-1}$ выпукла (соответственно вогнута) на образе $k(I)\subset \mathbb R$. Расширенная числовая функция
$$
\begin{equation}
\Bbbk_{n-2} \colon t\mapsto \begin{cases} \ln t &\text{при }\ n=2, \\ -\dfrac{1}{t^{n-2}} &\text{при }\ n>2, \end{cases} \quad 0<t\in \mathbb R^+,\quad \Bbbk (0):=-\infty \in \overline{\mathbb R},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
очевидно, строго возрастающая и непрерывная на $ \mathbb R^+$. Средние по сфере (2.11) для субгармонических функций возрастающие и выпуклые относительно $\Bbbk_{n-2}$ (см. [26; теорема 2.6.8], [27; п. 3.9]), и из представления (2.20) для разностной характеристики Неванлинны сразу следует Предложение 1. Разностная характеристика Неванлинны ${\boldsymbol T}_U$ $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm \infty$ на шаре с центром в нуле положительная и возрастающая и выпуклая относительно $\Bbbk_{n-2}$ по второй большей переменной, а также убывающая и вогнутая относительно $\Bbbk_{n-2}$ по первой переменной. § 3. Основной результатОсновная теорема. Пусть $0<r\in \mathbb R^+$, $\mu$ – мера Бореля на $\overline B(r)\subset \mathbb R^n$. Следующие пять утверждений эквивалентны. I. В обозначении (2.15) выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\sup_{y\in \overline B(R)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r_0)<+\infty \quad\text{для некоторых }\ r_0>0, \quad R>r.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
II. Для любого $R>r$ каждая функция $U\in {\operatorname{dsh}}_*(\overline B(R))$ $\mu$-суммируема и
$$
\begin{equation}
\int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant A_n(r,R){\boldsymbol T}_U( r, R) \Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\max\{1, r^{2-n}\} +\sup_{y\in \overline B(r)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\Bigr),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где правая часть неравенства конечна и
$$
\begin{equation}
A_n(r,R):=5 \max\{1, n-2\} \biggl(\frac{R+r}{R-r}\biggr)^{n-1}\max\{1, (R-r)^{n-2}\},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
а первый аргумент $r$ в ${\boldsymbol T}_U( r, R)$ можно заменить на любое $r'\in [0,r]$. III. Существуют число $R>r$, для которого $\mu$-интегрируемы все $\delta$-субгармонические на $\overline B(R)$ функции $U\not\equiv \pm\infty$, и число $T>0$ такие, что
$$
\begin{equation}
\sup\biggl\{\int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu \biggm| {\boldsymbol T}_U( r, R)\leqslant T, \, U\in \operatorname{dsh}_*(\overline B(R))\biggr\}<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
IV. Мера $\mu$ конечна, а ее $\mu$-потенциал, обозначаемый и определяемый как
$$
\begin{equation}
{\operatorname{pt}}_{\mu}\colon x\mapsto \int_{\mathbb R^n} \Bbbk_{n-2}(|y-x|)\,\mathrm{d} \mu(y),\qquad x\in \mathbb R^n,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
ограничен снизу на носителе $\operatorname{supp} \mu\subset \overline B(r)$. V. Мера $\mu$ конечна и Доказательство. При $\mu= 0$ все очевидно, поэтому далее считаем, что $\mu\neq 0$. I $\Rightarrow$ II. При доказательстве этой импликации неоднократно будет использована следующая элементарная лемма. Лемма 1 (см. [34; предложение 2.2]). Пусть $0<r\in \mathbb R^+$ и $h\colon (0,r]\to \mathbb R^+$ – возрастающая функция. Если сходится интеграл Римана Обратно, если выполнено (3.9), то существуют пределы
$$
\begin{equation}
h(0):=\lim_{0<t\to 0} h(t)\in \mathbb R^+, \qquad \lim_{0<t\to 0}\bigl(h(t)-h(0)\bigr)\Bbbk_{n-2}( t)=0
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
и сходится интеграл
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{r}\frac{h(t)-h(0)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Для $\widehat{n}\stackrel{(2.13)}{=}\max \{1, {n-2}\}$ при любом из условий (3.7) или (3.9) имеем
$$
\begin{equation}
{\widehat{n}}\int_{0}^{r}\frac{h(t)-h(0)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t= \int_{0}^{r}\bigl(\Bbbk_{n-2}(r)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr)\,\mathrm{d} h(t),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
а при условии (3.7) и $r_0\in (0,r]$ выполняется неравенство Также несколько раз будет использована следующая лемма. Лемма 2. При условии (3.1) мера $\mu$ конечна, Доказательство. Из (3.1) по определению (2.15) $\mu$-меры шаровых слоев ${B_y(r_0)\setminus B_y(\min\{R-r,r_0\}/2)}$ равномерно ограничены при $y$, пробегающем $\overline B(R)$. Такие шаровые слои покрывают компакт $\overline B(r)$, откуда получаем, что мера $\mu$ конечна. Из неравенства (3.13) с $h:=\mu_y^{\operatorname{rad}}$ получаем
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_y^{\mu}(t)\leqslant \mu(\mathbb R^n) \bigl(\Bbbk_{n-2}(t)-\Bbbk_{n-2}(r_0)\bigr)+{\mathrm N}_y^{\mu}(r_0) \quad\text{для любых }\ y\in \mathbb R^n, \quad t\geqslant r_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применение к обеим частям этого неравенства точной верхней грани по всем $y\in \overline B(r)$ дает строгое неравенство $<\!+\infty$ из (3.14). Для любой точки $y$ вне шара $\overline B(r)$ по неравенству треугольника пересечение $\overline B_y(t)\cap \overline B(r)$ содержится в шаре $\overline B_{y'}(t)$ с центром $y':=ry\,{/}\,|y| \in \overline B(r)$, откуда по определению (2.15) следует ${\mathrm N}_y^{\mu}(t)\leqslant {\mathrm N}_{y'}^{\mu}(t)$ при $|y|>r$, и мы получаем первое равенство в (3.14). Из (3.1) по лемме 1 с $h:=\mu_y^{\operatorname{rad}}$ в силу существования пределов (3.8)
$$
\begin{equation}
\lim_{0<t\to 0} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)=0, \qquad \lim_{0<t\to 0} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)\Bbbk_{n-2}( t)=0
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
и равенства (3.12) для любого $R\in \mathbb R^+\setminus 0$ по определению (2.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathrm N}_y^{\mu}(R) &\stackrel{(2.15)}{=}\widehat{n}\int_0^R \frac{\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \stackrel{(3.12)}{=} \int_{0}^{R}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t) \\ &\ \ =\mu^{\operatorname{rad}}(R)\Bbbk_{n-2}(R)- \int_{\overline B_y(R)} \Bbbk_{n-2}(|x-y|)\,\mathrm{d} \mu(x) \quad\text{для всех }\ y\in \mathbb R^n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но при выборе $R\geqslant 2r$ шар $\overline B_y(R)$ содержит в себе шар $\overline B(r)$, и тогда
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_y^{\mu}(R)\stackrel{(3.5)}{=} \mu^{\operatorname{rad}}(R)\Bbbk_{n-2}(R) -{\operatorname{pt}}_{\mu}(y) \quad\text{для всех }\ y\in \mathbb R^n, \quad R\geqslant 2r.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для конечной меры $\mu$, удовлетворяющей (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\inf_{y\in \mathbb R^n} {\operatorname{pt}}_{\mu}(y)>-\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и потенциал ${\operatorname{pt}}_{\mu}$ ограничен снизу на всем $\mathbb R^n$. Тогда интеграл энергии
$$
\begin{equation*}
I[\mu]:=\int_{\mathbb R^n}{\operatorname{pt}}_{\mu}\,\mathrm{d} \mu
\end{equation*}
\notag
$$
конечен и $\mu$ – мера конечной энергии, а для таких мер мера любого борелевского полярного множества равна нулю (см. [26; теорема 3.2.3], [28; теорема II.2]). Лемма 2 доказана. Пусть $u\not\equiv -\infty$ и $v\not\equiv -\infty$ – пара субгармонических функций на $\overline B(R)$, определяющих функцию $U$ как $U:=u-v$. Значения этой разности определены и конечны в каждой точке $x\in \overline B(R)\setminus E$ вне полярного борелевского множества
$$
\begin{equation}
E=\bigl\{x\in B(R)\mid u(x)=-\infty\bigr\}\cup \bigl\{x\in B(R)\mid v(x)=-\infty\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
На $\overline B(r)\setminus E$ функция $U^+$ всюду определена как положительная часть разности $u-v$ полунепрерывных сверху функций $u$ и $v$ со значениями в $\mathbb R$ и является измеримой по сужению $\mu{\lfloor}_{\overline B(r)\setminus E}$ меры Бореля $\mu$ на $\overline B(r)\setminus E$, а значит, и интегрируемой по этому сужению. В то же время из заключительной части леммы 2 следует, что $\mu(E)=0$, откуда получаем $\mu$-интегрируемость функции $U^+$ на всем шаре $\overline B(r)$, а $\mu$-суммируемость функции $U^+$ будет следовать из неравенства (3.2), поскольку правая часть в этом неравенстве по соотношениям (3.14) из леммы 2 конечна. Переходим к доказательству неравенства (3.2) для функции $U=u-v$. Применяя формулу Пуассона–Йенсена (см. [27; формула (3.7.3)]) в шаре $B(R)$ к $u(x)$ и $v(x)$ в каждой точке $x\in \overline B (r)$, а затем вычитая одно равенство из другого в каждой точке $x\in \overline B(R)$, лежащей вне $E$ из (3.16), получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U(x)&=\frac{1}{{\mathrm s}_{n-1}}\int_{\partial \overline B(R)} \frac{R^2-|x|^2}{R|y-x|^n}U(y)\,\mathrm{d} \sigma_{n-1}^R (y) \\ &-\int_{B(R)}\biggl( \Bbbk_{n-2}\biggl(\biggl|\frac{R}{|y|}y-\frac{|y|}{R}x\biggr| \biggr)-\Bbbk_{n-2}(|y-x|)\biggr)\,\mathrm{d} \varDelta_U(y), \qquad x\in \overline B(r)\setminus E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Здесь для положительного ядра Пуассона (см. [27; п. 1.5.4]) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{{\mathrm s}_{n-1}} \frac{R^2-|x|^2}{R|y-x|^n}\leqslant \frac{1}{{\mathrm s}_{n-1}} \frac{R+r}{R(R-r)^{n-1}} \quad\text{при всех }\ y\in \partial \overline B(R), \quad x\in \overline B(r),
\end{equation*}
\notag
$$
а для положительной функции Грина (см. [27; теорема 1.10]) –
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Bbbk_{n-2}\biggl(\biggl|\frac{R}{|y|}y-\frac{|y|}{R}x\biggr| \biggr)-\Bbbk_{n-2}(|y-x|) \\ &\qquad \leqslant \Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(|y-x|) \quad \text{при всех }\ y\in B(R), \quad x\in \overline B(r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (3.17) следует, что при всех $x\in\overline B(r)\setminus E$ с учетом (3.16)
$$
\begin{equation*}
U^+(x)\leqslant \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}{\mathrm C}_{U^+}(R) +\int_{B(R)}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(|y-x|)\bigr) \,\mathrm{d}\varDelta_U^-(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь ввиду $\mu$-интегрируемости функции $U^+$ можем интегрировать по мере $\mu$ это неравенство и использовать теорему Фубини о повторных интегралах:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant \int_{\overline B(r)}\frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}{\mathrm C}_{U^+}(R)\,\mathrm{d} \mu(x) \\ \notag &\qquad+\int_{\overline B(r)}\int_{B(R)} \bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk(|y-x|)\bigr) \,\mathrm{d}\varDelta_U^-(y)\,\mathrm{d} \mu (x) \\ \notag &\!\!\!\!\stackrel{(2.17)}{\leqslant} \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}{\boldsymbol{T}_U}(r, R)\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad+\int_{B(R)}\int_{\overline B(r)} \bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk(|y-x|)\bigr) \,\mathrm{d} \mu (x)\,\mathrm{d}\varDelta_U^-(y), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где при последнем переходе использовано неравенство ${\mathrm C}_{U^+}(R)\stackrel{(2.17)}{\leqslant} {\boldsymbol{T}_U}(r, R)$, вытекающее из определения разностной характеристики Неванлинны (2.17). Кроме того, при $y\in B(R)$ и $x\in \overline B(r)$ имеем $|y-x|<R+r$, и последний внутренний интеграл по мере $\mu$ можно переписать как интеграл Римана–Стилтьеса по интервалу $(0,R+r)$ по возрастающей функции $\mu_y^{\operatorname{rad}}$, вследствие чего можем продолжить эти неравенства как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu &\stackrel{(2.12)}{\leqslant} \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}{\boldsymbol{T}_U}(r, R)\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad +\int_{B(R)}\int_0^{R+r}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr) \,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}} (t)\,\mathrm{d}\varDelta_U^-(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последний интеграл представляет собой одну из форм взаимной энергии мер $\mu$ и $\varDelta_U^-$ (см. [25; гл. I, § 4], [28; гл. 11]). Поскольку рассматриваются произвольные $\delta$-субгармонические функции $U$, то заряд Рисса $\varDelta_U$ и его нижняя вариация $\varDelta_U^-$ могут быть любыми, например, с бесконечной энергией. Поэтому традиционные оценки взаимной энергии через произведение энергий в данной ситуации, вообще говоря, могут оказаться бесполезными, и мы используем более грубую оценку для последнего интеграла через меру $(\varDelta_U^-)(\overline B(R))=(\varDelta_U^-)^{\operatorname{rad}}(R)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu +\int_{B(R)}\leqslant \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}}{\boldsymbol T}_{U}(r,R)\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad\qquad +(\varDelta_U^-)^{\operatorname{rad}}(R) \sup_{y\in B(R)} \int_0^{R+r}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr) \,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}} (t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Для последнего интеграла Римана–Стилтьеса, используя последовательно равенство (3.12) и неравенство (3.13) леммы 1 с $h:=\mu_y^{\operatorname{rad}}$, а также определение (2.15) вместе с очевидным неравенством $\mu_y^{\operatorname{rad}} (r)\leqslant \mu^{\operatorname{rad}} (r)$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{R+r}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr) \,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}} (t) \stackrel{(3.12)}{=} \widehat{n}\int_0^{R+r}\frac{\mu_y^{\operatorname{rad}} (t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \\ &\qquad \stackrel{(3.13)}{\leqslant} \bigl(\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(r)\bigr) \mu^{\operatorname{rad}} (r)+{\mathrm N}_y^{\mu}(r). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Все установленные выше соотношения остаются справедливыми и для любого промежуточного $R_*>r$, не превышающего $R$:
$$
\begin{equation}
r<R_*<R , \qquad \overline B(r)\subset B(R_*)\subset \overline B(R).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Таким образом, (3.19) с учетом (3.20) можем записать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant \frac{R_*^{n-2}(R_*+r)}{(R_*-r)^{n-1}}{\boldsymbol{T}_U}(r,R)\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad\qquad +(\varDelta_U^-)^{\operatorname{rad}}( R_*)\Bigl( \mu^{\operatorname{rad}}(r)\bigl(\Bbbk_{n-2}(R_*+r)-\Bbbk_{n-2}(r)\bigr)+ \sup_{y\in \overline B(r)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\Bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где использовано равенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in B(R)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)=\sup _{y\in \overline B(r)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из равенства в (3.14) в лемме 2. Доказательство. В силу возрастания считающей функции $\varDelta^{\operatorname{rad}}$
$$
\begin{equation*}
\varDelta^{\operatorname{rad}}(R_*)\leqslant \int_{R_*}^{R}\frac{\varDelta^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t\biggm/ \int_{R_*}^{R} \frac{\mathrm{d} t}{t^{n-1}} \stackrel{(2.14)}{=} \frac{{\mathrm N}_{\varDelta} (R_*,R)}{\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(R_*)},
\end{equation*}
\notag
$$
и лемма 3 доказана. Возвращаемся к доказательству основной теоремы. По лемме 3 применительно к $(\varDelta_U^-)^{\operatorname{rad}}(R_*)$ с учетом неравенств
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_{\varDelta_U^-}(R_*,R)\stackrel{(2.14)}{\leqslant} {\mathrm N}_{\varDelta_U^-}(r,R)\stackrel{(2.17)}{\leqslant} {\boldsymbol{T}}_U(r,R)
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть неравенства (3.22) оценивается сверху через
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &{\boldsymbol{T}}_U(r,R) \frac{1}{\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(R_*)} \\ &\qquad\qquad \times\Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\bigl(\Bbbk_{n-2}(R_*+r)-\Bbbk_{n-2}(r)\bigr) +\sup_{y\in \overline B(r)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\Bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Рассмотрим отдельно случаи $n=2$ и $n>2$. Случай $n=2$. В (3.21) выберем $R_*:=\sqrt{rR} $ как среднее геометрическое чисел $r$ и $R$. Тогда правая часть неравенства (3.22) согласно (3.24) оценивается сверху через
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\boldsymbol{T}}_U(r,R) \frac{1}{\ln \sqrt{R/r}}\biggl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\ln \frac{\sqrt{Rr}+r}{r}+ \sup_{z\in \overline D(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r)\biggr) \\ &\qquad={\boldsymbol{T}}_U(r,R) \biggl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)+\mu^{\operatorname{rad}}(r)\frac{\ln(1+\sqrt{r/R})}{\ln \sqrt{R/r}}+\frac{2}{\ln (R/r)}\sup_{z\in \overline D(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r)\biggr) \\ &\qquad\leqslant {\boldsymbol{T}}_U(r,R) \biggl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)+\mu^{\operatorname{rad}}(r)\frac{2\ln 2}{\ln (R/r)}+ \frac{2}{\ln (R/r)}\sup_{z\in \overline D(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\ln (R/r)}=\biggl(\int_r^R\frac{\mathrm{d} t}{t}\biggr)^{-1} \leqslant \frac{R}{R-r}\geqslant 1 \quad\text{при }\ 0<r<R,
\end{equation*}
\notag
$$
можем оценить правую часть неравенства (3.22) сверху через
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\boldsymbol{T}}_U(r,R) \biggl(\frac{R}{R-r}\mu^{\operatorname{rad}}(r) +\frac{R}{R-r}\mu^{\operatorname{rad}}(r)\, 2\ln 2+2\frac{R}{R-r}\sup_{z\in \overline D(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \biggr) \\ &\qquad \leqslant \frac{R}{R-r}{\boldsymbol{T}}_U(r,R) \Bigl((1+2\ln 2)\mu^{\operatorname{rad}}(r) +2\sup_{z\in \overline D(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r)\Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда согласно (3.22) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant {\boldsymbol{T}_U}(r,R) \biggl(\frac{\sqrt R+\sqrt r}{\sqrt R-\sqrt r}\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad\qquad +\frac{R}{R-r}\Bigl((1+2\ln 2)\mu^{\operatorname{rad}}(r)+2\sup_{z\in D(R)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \Bigr)\biggr) \\ &\qquad\leqslant {\boldsymbol{T}_U}(r,R) \biggl(\biggl(2\frac{R+r}{ R- r}+\frac{(1+2\ln 2)R}{R-r}\biggr)\mu^{\operatorname{rad}}(r)+\frac{2R}{R-r}\sup_{z\in D(R)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \biggr) \\ &\qquad\leqslant 5\frac{R+r}{R-r}\Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)+\sup_{z\in D(R)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что устанавливает требуемое неравенство (3.2) с выписанным в (3.3) Случай $n>2$. Из очевидного неравенства
$$
\begin{equation*}
\Bbbk_{n-2}(R_*+r)-\Bbbk_{n-2}(r)\leqslant \frac{1}{r^{n-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
для $n>2$ и элементарного неравенства
$$
\begin{equation*}
{\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(R_*)}=\frac{1}{n-2}\int_{R_*}^R\frac{\mathrm{d} t}{t^{n-1}}\geqslant \frac{1}{n-2}\frac{R-R_*}{R^{n-1}}
\end{equation*}
\notag
$$
при выборе $R_*:=\frac12(R+r) $ как среднего арифметического чисел $r$ и $R$ для правой части неравенства (3.22) получаем оценку сверху через
$$
\begin{equation*}
{\boldsymbol{T}}_U(r,R)\frac{2(n-2)R^{n-1}}{R-r}\biggl( \mu^{\operatorname{rad}}(r)\frac{1}{r^{n-2}}+ \sup_{z\in \overline B(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r)\biggr) \quad \text{при }\ n>2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\overline B(r)}U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant 2\biggl(\frac{R+r}{R-r}\biggr)^{n-1} {\boldsymbol{T}_U}(r,R)\mu^{\operatorname{rad}}(r) \\ &\qquad\qquad+2(n-2){\boldsymbol{T}}_U(r,R) \frac{R^{n-1}}{R-r}\biggl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\frac{1}{r^{n-2}}+ \sup_{z\in \overline B(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \biggr) \\ &\qquad\leqslant 2\biggl(\frac{R+r}{R-r}\biggr)^{n-1}{\boldsymbol{T}}_U(r,R) \Bigl(\bigl(1+(n-2)(R-r)^{n-2}\bigr)\mu^{\operatorname{rad}}(r)\max\{1, r^{2-n}\} \\ &\qquad\qquad+(n-2)(R-r)^{n-2} \sup_{z\in \overline B(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \Bigr) \\ &\qquad\leqslant 2\biggl(\frac{R+r}{R-r}\biggr)^{n-1} {\boldsymbol{T}}_U(r,R) \cdot 2(n-2)\max\{1, (R-r)^{n-2}\} \\ &\qquad\qquad\times\Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\max\{1, r^{2-n}\}+ \sup_{z\in \overline B(r)}{\mathrm N}_z^{\mu}(r) \Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что дает требуемое неравенство (3.2) с $A_n(r,R)$ из (3.3) при $n>2$. Правая часть неравенства (3.2) конечна, если учесть (3.14). II $\Rightarrow$ III. Для какого-нибудь фиксированного числа $R>r$ рассмотрим неравенство (3.2) для гармонической функции $U\equiv 1$, для которой, очевидно, ${\boldsymbol{T}}_1(r,R)=1$. Из конечности правой части в (3.2) при выборе $U\equiv 1$ следует существование числа $M>0$, не зависящего от $U\in \operatorname{dsh}_*(\overline B(R))$, для которого
$$
\begin{equation*}
A_n(r,R)\Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\max\{1, r^{2-n}\}+\sup_{y\in \overline B(R)} {\mathrm N}_y^{\mu}(r)\Bigr)\leqslant M<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для любой функции $U\in \operatorname{dsh}_*(\overline B(R))$ при $ {\boldsymbol T}_U( r, R)\leqslant T$ вновь из неравенства (3.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant MT<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где произведение $MT$ не зависит от $U$, что доказывает (3.4). III $\Rightarrow$ IV. Соотношение (3.4) справедливо для любого $T>0$, поскольку умножение функции $U\in \operatorname{dsh}_*(\overline B(R))$ на положительное число умножает на него и разностную характеристику Неванлинны. Кроме того, из соотношения (3.4) следует, что гармоническая функция, тождественно равная единице, $\mu$-суммируема, откуда получаем, что мера $\mu$ конечна. Для $y\in \mathbb R^n$ рассмотрим субгармонические функции
$$
\begin{equation}
k_y\colon x\overset{(2.10)}{\longmapsto} \Bbbk_{n-2} (|x-y|),\quad x \in \mathbb R^n,\quad \text{с мерой Рисса }\ \varDelta_{k_y}=\boldsymbol{\delta}_y,
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
где $\boldsymbol{\delta}_y$ – вероятностная мера Дирака в точке $y$, т.е. с носителем $\operatorname{supp} \boldsymbol{\delta}_y= \{y\}$. Из формулы Пуассона–Йенсена (3.17), примененной к значениям функций $U:= k_y$ в нуле, сразу следует равенство
$$
\begin{equation}
{\mathrm C}_{k_y}(R)= \Bbbk_{n-2}(R) \quad\text{при всех }\ y\in B(R), \quad 0<R\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Для существующего значения $R>r$ из утверждения III рассмотрим семейство супергармонических функций $\{K_y\}_{y\in \mathbb R^n}$ на всем $\mathbb R^n$, определенных как
$$
\begin{equation}
K_y\colon x\mapsto \Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(|x-y|),\qquad x\in \mathbb R^n.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Если $y$ лежит на $\overline B(r)$, то функции $K_y$ положительны на $\overline B(R)$ и
$$
\begin{equation}
{\mathrm C}_{K_y^+}(R)={{\mathrm C}_{K_y}}(R)\stackrel{(3.26)}{=}\Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(R), \qquad y\in \overline B(r).
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
При этом заряд Рисса супергармонической функции $K_y$ противоположен мере Дирака в точке $y$, и справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\varDelta_{K_y}=-\boldsymbol{\delta}_y=-\varDelta_{K_y}^- , \qquad \varDelta_{K_y}^-(t)= \begin{cases} 0&\text{при }\ t\in [0,|y|), \\ 1&\text{при }\ t\in [|y|, +\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $|y|\leqslant r$ получаем
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_{\varDelta_{K_y}^-}(r, R)=\widehat{n}\int_{r}^R\frac{1}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \stackrel{}{=}\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(r), \qquad y\in \overline B(r),
\end{equation*}
\notag
$$
что с (3.28) по определению разностной характеристики Неванлинны дает
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol{T}_{K_y}}(r,R)={\mathrm C}_{K_y^+}(R)+ {\mathrm N}_{\varDelta_{K_y}^-}(r, R)= \Bbbk_{n-2}(R+r)-\Bbbk_{n-2}(r),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
где правая часть строго положительна и не зависит от $y\in \overline B(r)$. Выберем число $T$ равным правой части (3.29). Тогда по соотношению (3.4) с функциями $U\stackrel{(3.27)}{:=}K_y$ существует число $C$, для которого
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in \overline B(r)} \int_{\overline B(r)}K_y(x)\,\mathrm{d} \mu(x)\leqslant C<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а из явного вида (3.27) функции $K_y$ получаем
$$
\begin{equation*}
\inf_{y\in \overline B(r)} \int_{\overline B(r)}\Bbbk_{n-2}(|x-y|)\,\mathrm{d} \mu(x)\geqslant \Bbbk_{n-2}(R+r)\mu^{\operatorname{rad}}(r)-C > -\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
IV $\Rightarrow$ I. Выберем произвольное число $R>r$. Из ограниченности снизу потенциала ${\operatorname{pt}}_{\mu}$ на $\operatorname{supp} \mu\subset \overline B(r)$ следует его ограниченность снизу всюду на $\mathbb R^n$ (см. [26; теорема 3.1.4], [25; теорема 1.10]), что в силу представления потенциала ${\operatorname{pt}}_{\mu}$ интегралом Римана–Стилтьеса дает
$$
\begin{equation}
\inf_{y\in \overline B(R)}\int_0^{+\infty}\Bbbk_{n-2}(t) \,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)>-\infty.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Но при $y\in \overline B(R)$ шар $B_y(R+r)$ включает в себя шар $\overline B(r)$, следовательно, $\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)\equiv \mu^{\operatorname{rad}}(r)$ при $t\geqslant R+r$, а верхний предел интегрирования в (3.30) можно заменить на $R+r$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in \overline B(R)}\int_0^{R+r}\bigl( \Bbbk_{n-2}(R+r)- \Bbbk_{n-2}(t) \bigr)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и по лемме 1 с $h:=\mu_y^{\operatorname{rad}}$ в условиях (3.9) из равенств (3.10) и (3.12) получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in \overline B(R)} \widehat{n}\int_0^{R+r}\frac{\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}} \,\mathrm{d} t <+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это при $r_0:=R+r$ дает требуемое в утверждении I соотношение (3.1). I $\Rightarrow$ V. Конечность меры $\mu$ следует из леммы 2, а (3.6) – это частный случай соотношения (3.1). V $\Rightarrow$ IV. Положим $R:=r_0+2r>2r>r$. В силу конечности меры $\mu$
$$
\begin{equation}
\sup_{y\in \operatorname{supp} \mu}{\mathrm N}_y^{\mu}(R) \leqslant \sup_{y\in \operatorname{supp} \mu}{\mathrm N}_y^{\mu}(r_0)+ \mu^{\operatorname{rad}}(r)\int_{r_0}^R\frac{\mathrm{d} t}{t^{n-1}} <+\infty.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Отсюда, в частности, следует условие (3.7) леммы 1 для $h:=\mu_y^{\operatorname{rad}}$ при каждом $y\in \operatorname{supp} \mu$. Следовательно, по равенствам (3.8) и (3.12) имеем
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_y^{\mu}(R)={\widehat{n}}\int_{0}^{R}\frac{\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t\stackrel{(3.12)}{=} \int_{0}^{R}\bigl(\Bbbk_{n-2}(R)-\Bbbk_{n-2}(t)\bigr)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)
\end{equation*}
\notag
$$
и, как следствие,
$$
\begin{equation}
\inf_{y\in \operatorname{supp} \mu}\int_{0}^{R}\Bbbk_{n-2}(t)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)\geqslant -|\Bbbk_{n-2}(R)| \mu^{\operatorname{rad}}(r) -\sup_{y\in \operatorname{supp} \mu}{\mathrm N}_y^{\mu}(R).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Но при всех $y\in \operatorname{supp} \mu\subset \overline B(r)$ имеем $\overline B_y(R)\supset \overline B(r)$, откуда получаем $\mu_y(t)\equiv \mu_y(R)$ при всех $t\geqslant R$. Это дает при всех $y\in \operatorname{supp} \mu$ равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{R}\Bbbk_{n-2}(t)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t)=\int_{0}^{+\infty}\Bbbk_{n-2}(t)\,\mathrm{d} \mu_y^{\operatorname{rad}}(t) =\int_{\mathbb R^n}\Bbbk_{n-2}(|x-y|)\,\mathrm{d} \mu(x)={\operatorname{pt}}_{\mu}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
что в сочетании с (3.32) и (3.31) обеспечивает ограниченность снизу потенциала ${\operatorname{pt}}_{\mu}$ на носителе $\operatorname{supp} \mu$ и выполнение утверждения IV. Основная теорема доказана. Замечание 2. Импликация I $\Rightarrow$ II основного следствия вытекает из импликации I $\Rightarrow$ II основной теоремы. Замечание 3. Равенства (2.20) позволяют из оценок интегралов от $U^+$ в (3.2) как здесь, так и далее сразу получать оценки интегралов от $|U|$ путем удвоения правой части. Аналогично для субгармонических функций $u$ равенства (2.21) дают возможность оценивать соответствующий интеграл от $|u|$ сверху через усреднение ${\mathsf C}_{u^+}(R)$ и тем более через положительную часть радиального максимума ${\mathsf M}_u(R)\stackrel{(1.16)}{:=}\sup\{u(x)\mid |x|=R\}$ функции $u$ вместо характеристики Неванлинны ${\boldsymbol T}_u(r,R)$ подобно тому, как это делалось в теоремах 4–7. Во всех последующих результатах такая возможность, как правило, не расписывается, но это наблюдение имеет прямое отношение к оценкам снизу, обсуждавшимся в п. 1.5. § 4. Модуль непрерывности меры и интегральные неравенстваПредложение 2. Пусть $\mu$ – мера Бореля на $\mathbb R^n$ и Тогда ${\mathrm h}_{\mu}$ – возрастающая функция, удовлетворяющая неравенству а если носитель $\operatorname{supp} \mu$ меры $\mu$ содержится в шаре $\overline B(r)$, то Доказательство. Из (4.2) по определению (4.1) возрастание ${\mathrm h}_{\mu}$ и неравенство (4.3) очевидны. Согласно включению $\overline B(r)\subset \overline B(t)$ при $t\geqslant r$ имеем
$$
\begin{equation*}
{\mathrm h}_{\mu}(t)\geqslant {\mathrm h}_{\mu}(r)\stackrel{(4.1)}{=} \sup_{y\in \mathbb R^n}\mu (\overline B_y(t))\geqslant \mu(\overline B(r))\stackrel{(4.2)}{=}M \quad\text{при всех }\ t\geqslant r,
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с (4.3) дает (4.4) и доказывает предложение 2. Несложное следствие импликации I $\Rightarrow$ II основной теоремы – следующая теорема. Теорема 8. Пусть $0<r\in \mathbb R^+$, а $\mu$ – мера Бореля на $\overline B(r)\subset \mathbb R^n$ полной меры (4.2) с модулем непрерывности ${\mathrm h}_{\mu}$ из (4.1) и выполнено условие Доказательство. По определению (2.15) очевидны неравенства
$$
\begin{equation*}
{\mathrm N}_y^{\mu}(x)\stackrel{(2.15)}{:=}\widehat{n}\int_0^x \frac{\mu_y^{\operatorname{rad}}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \stackrel{(4.1)}{\leqslant} \widehat{n}\int_0^x \frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $x\in \mathbb R^+$. Поскольку правая часть здесь не зависит от $y\in \overline B(r)$ и по условию (4.5) при некотором $x>0$ конечна, то выполнено условие (3.1) из основной теоремы. При этом по лемме 2 мера $\mu$ конечна, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in B(r)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\leqslant \widehat{n}\int_0^r \frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая последнее неравенство, из импликации I $\Rightarrow$ II основной теоремы по неравенству (3.2) получаем $\mu$-суммируемость функции $U\in \operatorname{dsh}_*(\overline B(R))$ на $\overline B(R)$ с конечной правой частью в неравенстве (4.6). Теорема 8 доказана. Следующая теорема дает неравенства с более явными выражениями для правых частей неравенств, оценивающих интегралы сверху. Теорема 9. Пусть $0<r\in \mathbb R^+$ и $h\colon [0,r]\to \mathbb R^+$ – непрерывная функция с $h(0)=0$, дифференцируемая на $(0,r)$, для которой Доказательство. Если точная нижняя грань в (4.7) равна $+\infty$, то $h=0$ на $(0,r)$, по условию (4.8) мера $\mu$ нулевая и неравенства (4.9), (4.10) по соглашению (2.8) тривиальны. Поэтому далее ${\mathrm s}_h>0$. Отметим некоторые свойства функции $h$. Прежде всего, из условия (4.8) следует, что производная $h'$ строго положительна на $(0,r)$, откуда получаем, что функция $h$ строго возрастающая на открытом интервале $(0,r)$, а в силу непрерывности – строго возрастающая на отрезке $[0,r]$. В частности, $h(t)>0$ при $t\in (0,r]$. Исходя из определения числа ${\mathrm s}_h>0$ в (4.8), непосредственными вычислениями убеждаемся, что
$$
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\biggl(\frac{h(t)}{t^{n-2}}\biggr)= \biggl(\frac{th'(t)}{h(t)}\,{+}\,{2\,{-}\,d}\biggr)\frac{h(t)}{t^{n-1}}\stackrel{(4.8)}{\geqslant} \frac{1}{{\mathrm s}_h}\frac{h(t)}{t^{n-1}}>0 \quad\text{при всех }\ t\in (0,r),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и функция $t\mapsto h(t)/t^{n-2}$ строго возрастающая на $(0,r]$. Продолжение по непрерывности этой функции в точку $0$ как $\lim_{0<t\to 0}h(t)/t^{n-2}\geqslant 0$ с сохранением строгого возрастания очевидно. При этом
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^{x}\frac{h(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t &\leqslant {\mathrm s}_h\int_0^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\biggl(\frac{h(t)}{t^{n-2}}\biggr)\,\mathrm{d} t ={\mathrm s}_h \frac{h(x)}{x^{n-2}}-{\mathrm s}_h \lim_{0<t\to 0}\frac{h(t)}{t^{n-2}} \\ &\leqslant {\mathrm s}_h \frac{h(x)}{x^{n-2}} <+\infty \quad \text{при всех }\ x\in [0,r]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Отсюда, в частности, следует, что при выполнении неравенства (4.8) модуль непрерывности ${\mathrm h}_{\mu}$ удовлетворяет условию (4.5), а, кроме того, функция $h$ достигает значения $M$ не правее, чем модуль непрерывности ${\mathrm h}_{\mu}$. Последнее по тождеству (4.4) означает, что определено значение $h^{-1}(M)\leqslant r$. По теореме 8 для любой $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm\infty$ выполнено неравенство (4.6), где в правой части первые два сомножителя те же, что и в (4.9), (4.10), а дополнительных преобразований в виде верхних оценок требует только последний сомножитель в скобках, заданный как сумма
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M \max\{1, r^{2-n}\}+\widehat{n}\int_0^{r}\frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \\ &\qquad =M\max\{1, r^{2-n}\}+\widehat{n}\int_0^{h^{-1}(M)}\frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t +\widehat{n}\int_{h^{-1}(M)}^{r}\frac{{\mathrm h}_{\mu}(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \\ &\!\!\!\!\!\!\!\qquad\stackrel{ (4.8),(4.3)}{\leqslant} M\max\{1, r^{2-n}\}+\widehat{n}\int_0^{h^{-1}(M)}\frac{h(t)}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t +\widehat{n}\int_{h^{-1}(M)}^{r}\frac{M}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \\ &\!\!\qquad \stackrel{(4.12)}{\leqslant} M\max\{1, r^{2-n}\}+\widehat{n}\,{\mathrm s}_h\frac{h(h^{-1}(M))}{(h^{-1}(M))^{n-2}} +\widehat{n}\int_{h^{-1}(M)}^{r}\frac{M}{t^{n-1}}\,\mathrm{d} t \\ &\!\!\qquad \stackrel{(2.23)}{=}M\biggl(\max\{1, r^{2-n}\}+\frac{{\mathrm s}_h\widehat{n}}{(h^{-1}(M))^{n-2}} +\bigl(\Bbbk_{n-2}(r)-\Bbbk_{n-2}(h^{-1}(M))\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$ правая часть здесь равна
$$
\begin{equation*}
M\biggl(1+{\mathrm s}_h+\ln\frac{r}{h^{-1}(M)}\biggr) =M\ln\frac{e^{1+{\mathrm s}_h}r}{h^{-1}(M)}
\end{equation*}
\notag
$$
и совпадает с фрагментом правой части из (4.9), содержащим $M$, а при $n>2$ эта правая часть равна
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M\biggl(\max\{1, r^{2-n}\}+\frac{{\mathrm s}_h(n-2)}{(h^{-1}(M))^{n-2}} +\biggl(\frac{1}{(h^{-1}(M))^{n-2}} -\frac{1}{r^{n-2}}\biggr)\biggr) \\ &\qquad =M\biggl((1- r^{2-n})^++\frac{{1+\mathrm s}_h(n-2)}{(h^{-1}(M))^{n-2}} \biggr) \leqslant M\biggl(1+\frac{1+(n-2){\mathrm s}_h}{(h^{-1}(M))^{n-2}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и совпадает с фрагментом правой части (4.10), содержащим $M$. Теорема 9 доказана. Замечание 4. Условие (4.7) теоремы 9 можно записать и в виде § 5. Обхват и мера Хаусдорфа в интегральных неравенствах Определение 3 (см. [35], [23], [36]–[39]). Для функции $h\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ и величины $t\in \overline{\mathbb R}^+\setminus 0$ функцию множеств Здесь и далее классические и широко известные свойства обхватов и мер Хаусдорфа из основных источников, указанных в начале определения 3, часто используются без явно прописанных конкретных ссылок. Пример. Линейная мера Лебега $\lambda_{\mathbb R}$ на $\mathbb R$ и плоская мера Лебега $\lambda_{\mathbb C}$ на $\mathbb C$, использованные в § 1 и § 2, совпадают соответственно с одномерной мерой Хаусдорфа $1\text{-}{\mathfrak m}^{0}$ на $\mathbb R$ и с двумерной мерой Хаусдорфа $2\text{-}{\mathfrak m}^{0}$ на $\mathbb C$, а число элементов множества $S$ – это нульмерная мера Хаусдорфа этого множества $0\text{-}{\mathfrak m}^{0}(S)$, но для большей корректности полезно учесть [40]. Кроме того, $n$-мерная пространственная мера Лебега $\lambda_{\mathbb R^n}$ на $\mathbb R^n$ совпадает с $n$-мерной мерой Хаусдорфа $n\text{-}{\mathfrak m}^{0}(S)$. Если $p>n$, то $p$-мерная мера Хаусдорфа $p\text{-}{\mathfrak m}^{0}$ в $\mathbb R^n$ нулевая. Неоднократно будет использована следующая фундаментальная в теории потенциала теорема Фростмана. Теорема 10 (см. [35; теорема II.1], [37; теорема 5.1.12]). I. Если $h\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ – некоторая функция, а $\mu$ – мера Бореля на $\mathbb R^n$ с модулем непрерывности то II. При каждой размерности $n$ существует такое число $A>0$, что для любой возрастающей функции $h\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ с $h(0)=0$ и для любого компакта $E\subset \mathbb R^n$ найдется мера Радона $\mu$ на $E$, для которой выполнено (5.5) и, как следствие, (5.6), а также одновременно неравенство противоположной направленности Замечание 5. Обе части I и II теоремы 10 в известных нам формулировках даются с едиными посылками и, как следствие, с “перегрузкой” условий на функцию $h$ в части I, которая для $N$, $x_j$ и $r_j$ из требования в фигурных скобках из (5.1) получается применением к крайним частям неравенств операции $\inf$ по всем таким $N$, $x_j$ и $r_j$. Содержательность значительно более глубокой части II теоремы 10 для настоящей статьи состоит уже в том, что для теорем 8 и 9 она обеспечивает существование ненулевых мер $\mu$, удовлетворяющих условиям этих теорем. Теорема 11. Пусть мера Бореля $\mu$ полной меры $M$ с модулем непрерывности ${\mathrm h}_{\mu}$ сосредоточена на $\mu$-измеримом множестве $S\subset \overline B(r)$. Тогда а для любой функции $h\colon [0,r]\to \mathbb R^+$ при $h\geqslant {\mathrm h}_{\mu}$ на $[0,r]$ и продолжении $h$ на луч $(r,+\infty)$ значением $h(r)$ имеют место неравенства В частности:
Доказательство. По части I теоремы 10 при $h:={\mathrm h}_{\mu}$ имеем
$$
\begin{equation}
M=\mu(\mathbb R^n)=\mu(S)\leqslant {\mathfrak m}_{{\mathrm h}_{\mu}}^{{\infty}}(S) \stackrel{(5.2)}{\leqslant} {\mathfrak m}_{{\mathrm h}_{\mu}}^{t}(S),
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
откуда сразу получаем (5.9). При радиусе обхвата $t\geqslant r$ шар $\overline B(r)$ включает в себя $S$ и в то же время по определению (5.1) имеем ${\mathfrak m}_{{\mathrm h}_{\mu}}^{t}(S)\leqslant {\mathrm h}_{\mu}(r)$, где по неравенству (4.3) предложения 2 правая часть не превышает $M$. Это вместе с (5.10) дает равенства (5.8). По неравенствам (5.9) утверждение (i) очевидно. Для доказательства утверждения (ii) потребуется следующая лемма. Лемма 4. Пусть функция $h$ такая же, как в теореме 9, с числом ${\mathrm s}_h>0$ из (4.7), а значит, строго возрастающая на $[0,r]$, и пусть $r\leqslant B\in \mathbb R^+$. Тогда – возрастающие функции на отрезке $[0, h(r)]$. Доказательство. Произведем замену $y:=h^{-1}(x)\in [0,r]$ и перейдем от функций (5.11), (5.12) к функциям
$$
\begin{equation}
y \stackrel{(5.11)}{\longmapsto} \frac{h(y)}{y^{n-2}},\qquad y\in [0,r], \quad \text{при }\ n>2,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
y \stackrel{(5.12)}{\longmapsto} h(y)\ln \frac{Be^{{\mathrm s}_h}}{y},\qquad y\in [0,r], \quad \text{при }\ n=2.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Ввиду строгого возрастания непрерывной функции $h$ на $[0,r]$ достаточно показать, что возрастают функции (5.13), (5.14). Строгое возрастание функции (5.13) было обосновано соотношениями (4.11) и далее после (4.11) при доказательстве теоремы 9. Для функции (5.14) ее дифференцирование на $(0,r)$ дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}h(y)\ln \frac{Be^{{\mathrm s}_h}}{y} &=h'(y)\ln \frac{Be^{{\mathrm s}_h}}{y}-\frac{h(y)}{y} \\ &\!\!\stackrel{(4.7)}{\geqslant} h'(y)\ln \frac{Be^{{\mathrm s}_h}}{y}-{\mathrm s}_hh'(y)=h'(y)\ln \frac{B}{y}\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на $(0,r)$ при $B\geqslant r$, откуда следует возрастание функции (5.14) на $(0,r)$, а в силу непрерывности – и на отрезке $[0,r]$. Лемма доказана. Теперь по лемме 4 в силу возрастания функции (5.11) в неравенстве (4.10) теоремы 9 можно заменить $M$ на $h$-обхват ${\mathfrak m}_h^{t}(S) \stackrel{(5.9)}{\geqslant} M$ множества $S$ любого радиуса обхвата $t\in \overline{\mathbb R}^+$. Для неравенства (4.9) теоремы 9 снова по лемме 4 в силу возрастания функции (5.12) с $B:=er\geqslant r$ можно заменить $M$ на $h$-обхват ${\mathfrak m}_h^{t}(S)\stackrel{(5.9)}{\geqslant} M$ множества $S$ любого радиуса обхвата $t\in \overline{\mathbb R}^+$. Теорема 11 доказана. Допускаемая теоремой 11, (i) замена в неравенстве (4.6) теоремы 8 полной меры $M$ на $h$-обхват Хаусдорфа ${\mathfrak m}_{h}^{{\infty}}(S)$ при радиусе обхвата $t\geqslant r$ согласно равенствам (5.8) не ослабляет это неравенство. Но и для неравенств (4.10) и (4.9) теоремы 9 при любой функции $h$ возможны ситуации, когда замена полной меры $M$ на $h$-обхват Хаусдорфа ${\mathfrak m}_{h}^{{\infty}}(S)$ радиуса обхвата $+\infty$ ослабляет эти оценки разве что на постоянную-множитель, что отражает следующая теорема. Теорема 12. Существует зависящее только от размерности $n$ такое число $A\geqslant 1$, что для любого $r\in \mathbb R^+\setminus 0$, для всякого компакта $S\subset \overline B(r)$ и для каждой функции $h\colon [0,r]\to \mathbb R^+$, удовлетворяющей всем условиям теоремы 9 с постоянной ${\mathrm s}_h>0$, определенной равенством (4.7), найдется такая мера Бореля $\mu$ на $\overline B(r)$ полной меры $M>0$ с носителем $\operatorname{supp} \mu \subset S$ и с модулем непрерывности, удовлетворяющим (4.8), что одновременно с неравенствами (4.9), (4.10) как с $M$, так и с ${\mathfrak m}_{h}^{{\infty}}(S)$ вместо ${M}$ для произвольной $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv\pm\infty$ на шаре $\overline B(R)$ радиуса $R>r$ выполнены и неравенства с множителем $A$ перед $M$ вида Доказательство. Пусть $E:=S\subset \overline{B}(r)$ и $h$ – функция из условия теоремы 9 с постоянным продолжением значением $h(r)$ на луч $(r,+\infty)$. По части II теоремы 10 выберем меру Радона $\mu\neq 0$ со всеми прописанными в II свойствами. Тогда выполнены условия теорем 9 и 11 с их заключениями соответственно (4.9), (4.10) и (ii), и в то же время из (5.9) и (5.7) следует
$$
\begin{equation*}
M=\mu(S)\stackrel{(5.9)}{\leqslant} {\mathfrak m}_h^{{\infty}}(S) \stackrel{(5.7)}{\leqslant} A\mu(S)=AM.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая возрастание функции $h^{-1}$ в знаменателях левых частей (5.16) и (5.15), получаем оба неравенства из (5.15), (5.16). Теорема доказана. § 6. Частные случаи неравенств для интегралов от разностей субгармонических функций6.1. Случай $p$-мерных обхватов и мер Хаусдорфа Теорема 13. Пусть $0<r\leqslant t\in \overline{\mathbb R}^+$, $p\in (n-2,n]$, $b\in \mathbb R^+$. Для любой меры Бореля $\mu$ на $\overline B(r)$ с носителем $\operatorname{supp} \mu\subset S \subset \overline B(r)$ и модулем непрерывности Доказательство. Положим $h(x):=bx^p$ при всех $x\in [0,r]$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\frac1{{\mathrm s}_h}\stackrel{(4.7)}{=}p-({n-2})>0, \qquad h^{-1}(y)= \biggl(\frac{y}{b}\biggr)^{1/p}, \qquad h\stackrel{(5.3)}{=}\frac{b}{c_p}h_p.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
По условию (6.1) выполнено и условие (4.8) теоремы 9, из применения которой вместе с теоремой 11, (ii) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant 5\frac{R+r}{R-r} {\boldsymbol T}_U(r,R) \, {\mathfrak m}_h^{t}(S) \ln\frac{e^{1+1/p}r}{h^{-1}({\mathfrak m}_h^{t}(S))} \quad\text{при }\ n=2, \\ \int U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant A_n(r,R) {\boldsymbol T}_U(r,R)\, {\mathfrak m}_h^{t}(S) \biggl(1+\frac{1+p/(p-(n-2))}{(h^{-1}({{\mathfrak m}_h^{t}(S)}))^{n-2}}\biggr) \quad\text{при }\ n>2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что согласно равенству
$$
\begin{equation*}
h^{-1}({{\mathfrak m}_h^{t}(S)})\stackrel{(6.4)}{=} \biggl(\frac{{\mathfrak m}_h^{t}(S)}{b}\biggr)^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
можно переписать как
$$
\begin{equation}
\int U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant 5\frac{R+r}{R-r} {\boldsymbol T}_U(r,R) \, {\mathfrak m}_h^{t}(S)\frac{1}{p} \ln\frac{be^{p+1}r^p}{{\mathfrak m}_h^{t}(S)} \quad\text{при }\ n=2, \quad\text{т.е. в }\ \mathbb C,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \int U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant A_n(r,R) {\boldsymbol T}_U(r,R)\, {\mathfrak m}_h^{t}(S)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times \biggl(1+\frac{b^{(n-2)/p}(2p-({n-2}))}{(p-({n-2}))({{\mathfrak m}_h^{t}(S)})^{(n-2)/p}}\biggr) \quad\text{при }\ n>2.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
При этом по определению 3 $h$-обхвата Хаусдорфа в (5.1) и $p$-мерного обхвата Хаусдорфа в (5.4) по последнему равенству в (6.4) имеем равенства
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak m}_h^{t}\stackrel{(6.4)}{=}\frac{b}{c_p} {\mathfrak m}_{h_p}^{t}\stackrel{(5.4)}{=} \frac{b}{c_p}p\text{-}{\mathfrak m}^{t},
\end{equation*}
\notag
$$
и подстановка правой части в (6.5) и в (6.6) дает соответственно
$$
\begin{equation}
\int U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant \frac{5b}{pc_p}\frac{R+r}{R-r} {\boldsymbol T}_U(r,R)\, p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S) \ln\frac{c_pe^{1+p}r^p}{p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S)} \quad\text{при }\ n=2,
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \int U^+\,\mathrm{d} \mu \leqslant bA_n(r,R) {\boldsymbol T}_U(r,R)p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times\biggl(\frac{1}{c_p}+\frac{c_p^{(n-2)/p-1}(n+2)}{(p-({n-2})) (p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S))^{(n-2)/p}}\biggr) \quad\text{при }\ n>2
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
ввиду $p\leqslant n$. При $n=2$ из определения (5.3) имеем оценку сверху
$$
\begin{equation*}
\pi \geqslant c_p\stackrel{(5.3)}{:=}\dfrac{\pi^{p/2}}{\Gamma(p/2+1)}\geqslant 1 \quad\text{при }\ p\in (0,2],
\end{equation*}
\notag
$$
что согласно (6.7) влечет за собой (6.2). При $n\geqslant 3$ и $p\in (n-2,n]$ ввиду $(n-2)/p-1<0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_p^{(n-2)/p-1} &= \biggl(\frac{\Gamma(p/2+1)}{\pi^{p/2}}\biggr)^{1-(n-2)/p} \leqslant \biggl(\Gamma\biggl(\frac p2+1\biggr)\biggr)^{1-(n-2)/p} \\ &\leqslant \biggl(\Gamma\biggl(\frac n2+1\biggr)\biggr)^{2/n}\leqslant \frac{n}{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда для последней скобки в (6.8) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{1}{c_p}+\frac{c_p^{(n-2)/p-1}({n+2})}{(p-({n-2})) (p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S))^{(n-2)/p}}\biggr) &\leqslant \biggl(\frac n2\biggr)^{n/2}+\frac{n({n+2})/2}{(p-({n-2})) (p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S))^{(n-2)/p}} \\ &\leqslant n^{n}\biggl(1+\frac{1} {(p-({n-2})) (p\text{-}{\mathfrak m}^{t}(S))^{(n-2)/p}} \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что согласно (6.8) влечет за собой (6.3), и теорема 13 доказана. 6.2. Функции на комплексной плоскости и пространстве $\mathbb R^n$В оценках сверху в правых частях один из первых сомножителей $(R+r)/(R-r)$ в случае комплексной плоскости, как и явно выписываемый сомножитель $A_n$ из (3.3) для $\mathbb R^n$ с $n>2$, позволяют в явном виде учитывать близость $R>r$ к $r$. Не менее важным может оказаться случай существенной удаленности $R$ от $r$, когда функции и меры рассматриваются на всем $\mathbb R^n$, а характеристика Неванлинны достаточно медленно растет. Следствие 2. Пусть $\mu$ – мера Радона на $\mathbb R^n$, $U\not\equiv \pm \infty$ – $\delta$-субгармоническая функция на всем $\mathbb R^n$, а функция $s\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+\setminus 0$ произвольная. Тогда справедливы следующие утверждения. I. Если для каждого $R\in \mathbb R^+$ (ср. с (3.1))
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in \overline B(R)}{\mathrm N}_y^{\mu}(r_0)<+\infty \quad\textit{при некотором }\ r_0>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то функция $U$ локально суммируема по мере $\mu$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant 5n \biggl(1+\frac{2r}{s(r)}\biggr)^{n-1} (1+s(r))^{n-2}{\boldsymbol T}_U(r,r+s(r)) \\ &\qquad \times \Bigl(\mu^{\operatorname{rad}}(r)\max\{1, r^{2-n}\} +\sup_{y\in \mathbb R^n}{\mathrm N}_y^{\mu}(r)\Bigr) \quad\textit{при любом }\ r\in \mathbb R^+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
II. Если $h\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ – непрерывная функция с $h(0)=0$, дифференцируемая на $\mathbb R^+\setminus 0$, и при любом $r\in \mathbb R^+$, т.е. при $r:=+\infty$, выполнены условия (4.7) и (4.8), то функция $U$ локально $\mu$-суммируема и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\overline D(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant 5\biggl(1+\frac{2r}{s(r)}\biggr) {\boldsymbol T}_U(r,r+s(r)) \\ &\qquad\times \mu^{\operatorname{rad}}(r)\ln\frac{e^{1+{\mathrm s}_h}r}{h^{-1}( \mu^{\operatorname{rad}}(r))}\quad\textit{при }\ n=2, \quad\textit{т.е. в }\ \mathbb C, \\ \int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \mu &\leqslant 5n \biggl(1+\frac{2r}{s(r)}\biggr)^{n-1} (1+s(r))^{n-2}{\boldsymbol T}_U(r,r+s(r)) \\ &\qquad \times \mu^{\operatorname{rad}}(r)\biggl(1+\frac{1+(n-2){\mathrm s}_h}{(h^{-1}(\mu^{\operatorname{rad}}(r)))^{n-2}}\biggr) \quad\textit{при }\ n>2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в правых частях обоих неравенств парные вхождения $\mu^{\operatorname{rad}}(r)$ можно заменить одновременно на $h$-обхват Хаусдорфа ${\mathfrak m}_h^{{\infty}}(\overline B(r)\cap \operatorname{supp} \mu)$ бесконечного радиуса обхвата или на $h$-меру Хаусдорфа ${\mathfrak m}_h^{0}(\overline B(r)\cap \operatorname{supp} \mu)$ части носителя меры Радона $\mu$, попавшей соответственно в круг $\overline D(r)\subset \mathbb C$ или в шар $\overline B(r)\subset \mathbb R^n$ при $n>2$. Всюду первый аргумент $r$ в ${\boldsymbol T}_U(r,r+s(r))$ из правых частей приведенных неравенств можно заменить на любое число $r'\in [0,r]$. Доказательство. Утверждение I – это переписанное при неравенство (3.2) основной теоремы для сужений $\mu{\lfloor}_{\overline B(r)}$ меры $\mu$ на $\overline B(r)$ с некоторыми огрублениями-упрощениями для
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag A_n(r,r+s(r)) &\stackrel{(3.3)}{:=} 5\max\{1, n-2\}\biggl(\frac{(r+s(r))+r}{s(r)}\biggr)^{n-1}\max\bigl\{1,(s(r))^{n-2}\bigr\} \\ &\stackrel{(6.9)}{\leqslant} 5(n-1) \biggl(1+\frac{2r}{s(r)}\biggr)^{n-1} \max\bigl\{1,(s(r))^{n-2}\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
где последний максимум допустимо заменить на бо́льшую сумму $(1+s(r))^{n-2}$. Утверждение II получается применением теоремы 9 при каждом $r\in \mathbb R^+$ к сужениям меры Радона $\mu$ соответственно на круги $\overline D(r)$ или шары $\overline B(r)$ с неравенствами (4.9), (4.10) с учетом (6.10), а также использованием теоремы 11, (ii) в заключительной части. Это завершает доказательство следствия 2. 6.3. Функции на круге $\mathbb D:=D(1)$ и шаре $\mathbb B:=B(1)\subset \mathbb R^n$Теоремы 1–7 не приспособлены для применения к мероморфным функциям и к разностям субгармонических функций на единичном круге. Всюду в этом пункте $\mu$ – мера Бореля, сосредоточенная в $\mathbb B\subset \mathbb R^n$ и конечная на $r\overline{\mathbb B}=\overline B(r)$ при каждом $r\in [0,1)$, $U\not\equiv \pm \infty$ – это $\delta$-субгармоническая функция на $\mathbb B$, а функция $s\colon [0,1)\to \mathbb R^+$ такова, что Следствие 3. Пусть $n\geqslant 2$ и $\mu_r:=\mu{\lfloor}_{r\mathbb B}$ – сужение меры $\mu$ на $r\mathbb B$. Если для каждого $r\in [0,1)$ (ср. с (3.6)) то при каждом $r\in [0,1)$ существует интеграл Доказательство. По условию (6.12) справедливо утверждение V основной теоремы с неравенством (3.6) для сужения $\mu_r$ вместо $\mu$. Из импликации V $\Rightarrow$ II в основной теореме с учетом для $r<1$ неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &A_n(r,r+s(r)) \\ &\qquad \stackrel{(6.10)}{\leqslant} 5{(n}-1) \biggl(1+\frac{2r}{s(r)}\biggr)^{n-1} \max\bigl\{1,(s(r))^{n-2}\bigr\} \stackrel{(6.11)}{\leqslant} \frac{5(n-1)3^{n-1}}{(s(r))^{n-1}} \notag \\ &\qquad\ \, \leqslant \frac{1}{(s(r))^{n-1}} \begin{cases} 15,&\text{если }\ n=2, \\ 3^{2n},&\text{если }\ n\geqslant 2, \end{cases} \qquad \text{при всех }\ r\in [0,1) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
по неравенству (3.2) с $\mu_r$ вместо $\mu$ и $r+s(r)$ в роли $R$ получаем (6.13), что завершает доказательство следствия. Следствие 4. Если $h\colon [0,1]\to \mathbb R^+$ – непрерывная функция с $h(0)=0$, дифференцируемая на $(0,1)$, и при $r:=1$ выполнены (4.7) и (4.8), то функция $U$ является $\mu$-суммируемой на каждом соответственно круге $r\overline{\mathbb D}$ или шаре $r\overline{\mathbb B}$ радиуса $r<1$ и имеют место неравенства Доказательство состоит из двух шагов: первый – применение теоремы 9 вместе с теоремой 11, (ii) к сужениям $\mu{\lfloor}_{r\mathbb B}$ меры $\mu$ вместо $\mu$ при значениях $r+s(r)$ в роли $R$; второй – упрощение константы в оценках за счет неравенств (6.14). 6.4. Случай $n$-мерной пространственной меры Лебега в $\mathbb R^n$Рассмотрим в теореме 13 в качестве меры Бореля $\mu$ сужение $\lambda_{\mathbb C}$ на $\lambda_{\mathbb C}$-измеримое $E\subset \overline D(r)$ или $\lambda_{\mathbb R^n}$ на $\lambda_{\mathbb R^n}$-измеримое $E\subset \overline B(r)$. Тогда по теореме 13 при выборе $p:=n$, $t:=0$ и $b$ в (6.1), равном соответственно площади $\pi$ единичного круга $D(1)\subset \mathbb C$ при $n=2$ или объему единичного шара $B(1)\subset \mathbb R^n$
$$
\begin{equation}
\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}\leqslant \frac{\pi^{{5}/2}}{\Gamma({5}/2+1)}=\frac{8}{15}\pi^2< 6 \quad\text{при всех }\ n>2,
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
согласно совпадению меры Лебега $\lambda_{\mathbb R^n}$ и $n$-мерной меры Хаусдорфа $n\text{-}{\mathfrak m}^{0}$ в $\mathbb R^n$, отмеченному в примере, сразу получаем такое следствие. Следствие 5. При $0<r\in \mathbb R^+$ и $\lambda_{\mathbb R^n}$-измеримом $E\subset \overline B(r)$ для каждой $\delta$-субгармонической функции $U\not\equiv \pm \infty$ на шаре $\overline B(R)$ радиуса $R>r$ где $r$ в ${\boldsymbol T}_U(r,R)$ можно заменить на любое число $r'\in [0,r]$. Замечание 6. Неравенство (6.16) даже несколько усиливает неравенство (1.25) теоремы 7 о малых плоских множествах, и не только на уровне абсолютных констант. Так, для $R:=kr$ с $k>1$ под логарифмом в правой части неравенства (1.25) можно удалить параметр $k$, что может быть существенным при больших $k$ и рассмотрении $\delta$-субгармонических и мероморфных функций на $\mathbb C$ с очень медленно растущей характеристикой Неванлинны. Следующее утверждение – это пересечение следствий 5 и 2 с учетом (6.10). Следствие 6. Пусть $U\not\equiv \pm \infty$ – $\delta$-субгармоническая функция на всем $\mathbb R^n$, а функция $s\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+\setminus 0$ произвольная. Тогда для любого $\lambda_{\mathbb R^n}$-измеримого подмножества $E\subset \mathbb R^n$ при любом $r\in \mathbb R^+$ выполнено неравенство 6.5. Случай $(n-1)$-мерной поверхностной меры в $\mathbb R^n$Здесь мы лишь в некоторой мере затронем интегрирование разностей субгармонических функций в $\mathbb C$ по мере длины кривых в $\mathbb C$ или по поверхностным мерам на гиперповерхностях в $\mathbb R^n$, поскольку возможны и более общие следствия для интегрирования $\delta$-субгармонических функций по римановым поверхностям (см. [30]) или по многообразиям фрактальной размерности. В использовании известных сведений о липшицевых функциях и их взаимосвязях со спрямляемостью и мерами Хаусдорфа мы следуем в основном [23; п. 3.2], [41], [24; п. 3.3], [42; п. 3.7], опуская конкретные ссылки. 6.5.1. Случай кривой в $\mathbb C$Пусть $O\neq \varnothing $ – открытое множество на $\mathbb R$ и $l$: $O\to \mathbb C$ – липшицева инъективная функция с постоянной Липшица
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lip}(l):=\sup_{\stackrel{x_1\neq x_2}{x_1,x_2\in O}}\frac{|l(x_2)-l(x_1)|}{|x_2-x_1|}\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
которую в этом пункте мы называем также и липшицевой кривой (без самопересечений и без концов). По теореме Радемахера такая функция дифференцируема почти всюду по линейной мере Лебега $\lambda_{\mathbb R}$, а для модуля ее производной определена, как в (1.18), существенная верхняя грань
$$
\begin{equation}
\|l'\|_{\infty}:=\inf \bigl\{a\in \mathbb R\mid \lambda_{\mathbb R}(\{x\in E\mid |l'(x)|>a\})=0 \bigr\}\leqslant \sqrt{2}\,\operatorname{Lip}(l) \in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Для борелевского подмножества $E\subset l(O)$ его длина
$$
\begin{equation}
\sigma(E):=\int_{l^{-1}(E)}|l'|\,\mathrm{d} \lambda_{\mathbb R}
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
совпадает с одномерной мерой Хаусдорфа $1\text{-}{\mathfrak m}^{0}(E)$ множества $E$. В частности, мера длины $\sigma$ на $l(O)$ – регулярная мера Бореля на $\mathbb C$. Липшицеву кривую $l\colon O\to \mathbb C$ называем билипшицевой, если
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lip}(l^{-1}):= \sup_{\stackrel{z_1\neq z_2}{z_1,z_2\in l(O)}}\frac{|l^{-1}(z_2)-l^{-1}(z_1)|}{|z_2-z_1|}= \sup_{\stackrel{x_1\neq x_2}{x_1,x_2\in O}}\frac{|x_2-x_1|}{|l(x_2)-l(x_1)|}\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
Следствие 7. Пусть $l\colon O\to \mathbb C$ – билипшицева кривая и $l(O)\subset \overline D(r)$ для некоторого $r\in \mathbb R^+$. Тогда каждая $\delta$-субгармоническая функция $U\not\equiv \pm\infty$ на круге $\overline D(R)$ радиуса $R>r$ суммируема по мере длины $\sigma$ на $l(O)$, и для любого борелевского подмножества $E\subset l(O)$ имеем неравенство Доказательство. Согласно (6.28) длина пересечения круга $\overline D_z(t)$ с борелевским множеством $E\subset l(O)$ при произвольном $z\in \mathbb C$ равна
$$
\begin{equation*}
\int_{l^{-1}(E\cap \overline D_z(t) )}|l'|\,\mathrm{d} \lambda_{\mathbb R} \stackrel{(6.19)}{\leqslant} \sqrt{2}\,\operatorname{Lip}(l) \lambda_{\mathbb R}\bigl(l^{-1}(\overline D_z(t))\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где ввиду $\operatorname{Lip}(l^{-1})\stackrel{(6.21)}{<}+\infty$ диаметр множества $l^{-1}(\overline D_z(t))=l^{-1}(l(O)\cap \overline D_z(t))$ не больше $\operatorname{Lip}(l^{-1}) \cdot 2t$. Отсюда получаем, что для любых $z\in \mathbb C$ и $t\in \mathbb R^+$ определенная в (6.20) длина $\sigma(l(O)\cap \overline D_z(t))$ попавшей в $\overline D_z(t)$ части $l(O)\cap \overline D_z(t)$ не превышает $\sqrt{2}\,\operatorname{Lip}(l) \,\operatorname{Lip}(l^{-1}) \cdot 2t$. Таким образом, для модуля непрерывности ${\mathrm h}_{\sigma_E}$ сужения $\sigma_E:=\sigma{\lfloor}_E$ меры $\sigma$ на $E$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
{\mathrm h}_{\sigma_E}(t)\leqslant {\mathrm h}_{\sigma}(t)\leqslant 2\sqrt{2}\,\operatorname{Lip}(l) \,\operatorname{Lip}(l^{-1})\, t,
\end{equation*}
\notag
$$
что означает выполнение условия (6.1) теоремы 13 с
$$
\begin{equation*}
p:=1, \qquad b:=2\sqrt{2}\,\operatorname{Lip}(l) \,\operatorname{Lip}(l^{-1})
\end{equation*}
\notag
$$
для меры Бореля $\mu:=\sigma_E$. По теореме 13 требуемое неравенство (6.22) – это расписанное (6.2) с учетом равенства $1\text{-}{\mathfrak m}^{0}(E)=\sigma (E)=\sigma_E(E)$ для $E\subset l(O)$. Следствие доказано. Замечание 7. При дифференцируемости $l$ на $O$ по теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем довольно грубую оценку Замечание 8. Можно рассмотреть и кривые $l$ с самопересечениями, снимая условие инъективности $l$ и используя так называемую функцию кратности для кривой и формулу площади (см. [23; п. 3.2], [24; п. 3.3], [42; п. 3.7]). Рассмотрим также липшицевы кривые со специальной параметризацией. Пусть по-прежнему $O\subset \mathbb R$ – открытое множество на $\mathbb R$, $y\colon O\to \mathbb R$ – липшицева функция с постоянной Липшица $\operatorname{Lip}(y)\in \mathbb R^+$. Соответствующую липшицеву кривую (без самопересечений и без концов)
$$
\begin{equation}
l_y\colon x\mapsto x+iy(x)\in \mathbb C,\qquad x\in O,
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
в $\mathbb C$ с очевидной постоянной Липшица
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lip}(l_y)=\sqrt{1+(\operatorname{Lip}(y))^2}\in \mathbb R^+
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
называют кривой ограниченного наклона $q:=\operatorname{Lip}(y)$ в $\mathbb C$, часто несколько некорректно рассматривая ее как образ $l_y(O)\subset \mathbb C$ функции (6.24) или ее график $\{x+iy(x)\mid x\in O\}\subset \mathbb C$. Липшицева кривая вида (6.24) автоматически билипшицева, поскольку
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lip}(l_y^{-1})\stackrel{(6.21)}{=} \sup_{\stackrel{x_1\neq x_2}{x_1,x_2\in O}}\frac{|x_2-x_1|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y(x_2)-y(x_1))^2}} \leqslant 1.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Следствие 8. Пусть $l_y$ из (6.24) – кривая ограниченного наклона $q\in \mathbb R^+$ в $\mathbb C$ с мерой длины $\sigma$, а $s\colon \mathbb R^+\to \mathbb R^+\setminus 0$ – произвольная функция. Тогда каждая $\delta$-субгармоническая функция $U\not\equiv \pm\infty$ на $\mathbb C$ локально суммируема по мере длины $\sigma$ на $l_y(O)$ и для любого борелевского $E\subset l_y(O)$ при любом $r\in \mathbb R^+$ Доказательство. Рассмотрим открытое множество $O_r :=l_y^{-1}(l(O)\cap D(r))$ и билипшицеву кривую $l_y^r\colon O_r\to D(r)\subset \overline D(r)$, равную сужению билипшицевой кривой $l_y$ на $O_r$. По следствию 7, примененному к билипшицевой кривой $l_y^r$ из неравенства (6.22) с $R:=r+s(r)$, учитывая (6.25) и (6.26), получаем требуемое в следствии 8 неравенство. 6.5.2. Случай гиперповерхности в $\mathbb R^n$Пусть $O\neq \varnothing$ – открытое подмножество в $\mathbb R^{n-1}$ и $s\colon O\to \mathbb R^n$ – липшицева инъективная функция с конечной постоянной Липшица $\operatorname{Lip}(l)$, определенной, как в (6.18). Такую функцию в этом пункте мы называем также и липшицевой гиперповерхностью в $\mathbb R^n$ (без самопересечений и без края). По теореме Радемахера для почти всех точек $x\in O$ по мере Лебега $\lambda_{\mathbb R^{n-1}}$ определен модуль якобиана $ |Jl|(x)$, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов $n$ всех миноров порядка $n-1$ матрицы Якоби в точке $x$. В частности, почти всюду на $O$ по мере $\lambda_{\mathbb R^{n-1}}$ корректно определена существенная верхняя грань модуля якобиана
$$
\begin{equation}
\|Jl\|_{\infty}\leqslant \sqrt{(n-1)!\,n}\,(\operatorname{Lip}(l))^{n-1}\in \mathbb R^+.
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Для борелевского подмножества $E\subset l(O)$ его $(n-1)$-мерная площадь
$$
\begin{equation}
\sigma(E):=\int_{l^{-1}(E)} |Jl|\,\mathrm{d} \lambda_{\mathbb R^{n-1}}
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
совпадает с $(n\,{-}\,1)$-мерной мерой Хаусдорфа $(n\,{-}\,1)\text{-}{\mathfrak m}^{0}(E)$ множества $E$. В частности, мера площади $\sigma$ на $l(O)$ – регулярная мера Бореля на $\mathbb R^n$. Липшицеву гиперповерхность называем билипшицевой, если конечна величина $\operatorname{Lip}(l^{-1})$, определенная в (6.21). Следствие 9. Пусть $l \colon O\to \mathbb R^n$ – билипшицева гиперповерхность в $\mathbb R^n$ и $l(O)\subset \overline D(r)$ для некоторого $r\in \mathbb R^+$. Тогда каждая $\delta$-субгармоническая функция $U\not\equiv\pm\infty$ на шаре $\overline B(R)\subset \mathbb R^n$ радиуса $R>r$ суммируема по мере площади $\sigma$ на $l(O)$ и для любого борелевского $E\subset l(O)$ выполнено неравенство Доказательство. Площадь пересечения $\overline B_x(t)$ с борелевским множеством $E\subset l(O)$ при произвольном $x\in \mathbb R^n$ согласно (6.28) равна
$$
\begin{equation}
\int_{l^{-1}(E\cap \overline B_x(t) )}|Jl|\,\mathrm{d} \lambda_{\mathbb R^{n-1}} \stackrel{(6.27)}{\leqslant} \sqrt{(n-1)!\,n}\,(\operatorname{Lip}(l))^{n-1} \lambda_{\mathbb R^{n-1}}\bigl(l^{-1}(\overline B_x(t))\bigr),
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
где ввиду $\operatorname{Lip}(l^{-1})<+\infty$ диаметр множества $l^{-1}(\overline B_x(t))=l^{-1}(l(O)\cap \overline B_x(t))$ не превышает $\operatorname{Lip}(l^{-1}) \cdot 2t$. Следовательно, множество $l^{-1}(\overline B_x(t))\subset \mathbb R^{n-1}$ содержится в некотором шаре из $\mathbb R^{n-1}$ радиуса $2\,\operatorname{Lip}(l^{-1})\,t$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_{\mathbb R^{n-1}}\bigl(l^{-1}(\overline B_x(t))\bigr) &\leqslant \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}(2\,\operatorname{Lip}(l^{-1})t)^{n-1} \\ &\stackrel{(6.15)}{\leqslant}6\cdot 2^{n-1}(\operatorname{Lip}(l^{-1}))^{n-1}t^{n-1}\quad\text{при }\ n>2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $x\in \mathbb R^n$ и $t\in \mathbb R^+$. Согласно (6.30) это означает, что для модуля непрерывности ${\mathrm h}_{\sigma_E}$ сужения $\sigma_E:=\sigma{\lfloor}_E$ меры $\sigma$ на $E\subset l(O)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathrm h}_{\sigma_E}(t) &\leqslant {\mathrm h}_{\sigma}(t) \leqslant 6\cdot 2^{n-1}(\operatorname{Lip}(l^{-1}))^{n-1}t^{n-1} \sqrt{(n-1)!\,n}\, (\operatorname{Lip}(l))^{n-1} \\ &\leqslant 3n^n (\operatorname{Lip}(l)\operatorname{Lip}(l^{-1}))^{n-1} t^{n-1} \quad\text{при всех }\ t\in \mathbb R^+ \quad\text{для }\ n>2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для меры $\mu:=\sigma_E$ получаем, что выполнено условие (6.1) теоремы 13 с
$$
\begin{equation*}
p:={n-1}, \qquad b:=3n^n \bigl(\operatorname{Lip}(l)\,\operatorname{Lip}(l^{-1})\bigr)^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 13 каждая $\delta$-субгармоническая функция $U\not\equiv \pm \infty$ на шаре $\overline B(R)$ радиуса $R>r$ $\sigma_E$-суммируема для любого борелевского $E\subset l(O)$, и по неравенству (6.3) с $\mu:=\sigma_E$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E} U^+\,\mathrm{d} \sigma &=\int_{\overline B(r)} U^+\,\mathrm{d} \sigma_E \leqslant 3n^{2n} \bigl(\operatorname{Lip}(l)\,\operatorname{Lip}(l^{-1})\bigr)^{n-1} A_n(r,R) {\boldsymbol T}_U(r,R) \\ &\qquad \times (n-1)\text{-}{\mathfrak m}^{0}(E) \biggl(1+\frac{1}{((n-1)\text{-}{\mathfrak m}^{0}(E))^{(n-2)/(n-1)}}\biggr) \quad\text{для }\ n>2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но, как отмечено после (6.28), $\sigma(E)=(n-1)$-${\mathfrak m}^{0}(E)$, и такая замена в правой части последнего неравенства дает требуемое неравенство (6.29). Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|