| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Метрическое описание изгибаемых октаэдров С. Н. Михалев Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9635e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОдним из центральных объектов исследований в метрической теории многогранников являются изгибаемые многогранники. Первые примеры нетривиально изгибаемых многогранников в $\mathbb{R}^3$ были построены Р. Брикаром в его работе [1], в которой дается классификация изгибаемых многогранников, комбинаторно эквивалентных правильному октаэдру. Брикар выделил три типа октаэдров, допускающих нетривиальное изгибание, из которых первые два имеют простое описание, а третий тип устроен довольно сложным образом. Простота изучаемого объекта (у октаэдра всего шесть вершин!) в сочетании с нетривиальностью результата (как в части получения, так и в части даже его описания) подталкивала в дальнейшем и других исследователей находить все новые и новые способы “повторения” результатов Брикара и их интерпретации: упомянем работы Г. Беннета [2], А. Л. Лебега [3], Х. Штахеля [4] и совсем свежую работу [5]. В работе [6] октаэдры Брикара возникают как частный случай общего результата, полученного для пространств произвольной размерности. Тем не менее существует класс задач, для решения которых ни одно из известных описаний октаэдров Брикара не является в каком-то смысле подходящим. Развитие метрической геометрии многогранников получило новый мощный импульс с доказательством в середине 1990-х годов И. Х. Сабитовым (см. [7]–[9]) гипотезы кузнечных мехов о постоянстве обобщенного объема изгибаемого многогранника. Использованный в отмеченных работах метод (его можно называть методом “геометрии расстояний”), основанный на применении соотношений Кэли–Менгера, был задействован позднее в работах [10], [11] и потенциально может быть использован при решении широкого круга задач метрической геометрии многогранников. Однако при этом все метрические характеристики многогранников должны быть заданы в терминах расстояний (длин ребер и диагоналей). А именно, центральный результат Сабитова состоит в том, что для всякого многогранника $P$ величина $V$ – квадрат его обобщенного объема – является корнем некоторого многочлена $Q(V)$, старший коэффициент которого равен единице, а остальные коэффициенты $a_k(l)$ являются многочленами от квадратов длин ребер, и коэффициенты этих многочленов $a_k(l)$ уже определяются только комбинаторным строением многогранника $P$. Доказательство теоремы Сабитова конструктивно: в ходе доказательства предлагается способ построения многочлена $Q(V)$. Однако этот способ дает даже для многогранников с малым числом вершин многочлен большой степени. Поэтому для реальных вычислений важное значение имеют специальные методы конструирования многочленов с указанными свойствами. Так, в работе [12] установлено, что в случае октаэдра (имеется в виду многогранник, комбинаторно эквивалентный правильному октаэдру, но имеющий произвольные длины ребер) минимально возможная степень многочлена $Q(V)$ равна 8, и, таким образом, Но даже в этом случае для произвольного октаэдра (когда все его ребра обозначены разными буквами) многочлен $Q(V)$ содержит миллионы слагаемых (в работе [12] приводится не сам многочлен $Q(V)$, а лишь алгоритм построения матрицы, элементы которой являются многочленами от длин ребер и величины $V$, а определитель равен многочлену $Q(V)$).Однако если рассматривать октаэдры, длины ребер которых удовлетворяют некоторым соотношениям, то при подстановке этих соотношений в выражения для $a_k(l)$ могут произойти упрощения. Например, для октаэдров Брикара 1-го типа, которые характеризуются попарным равенством противолежащих сторон (всего шесть пар равенств), оказывается, что коэффициент $a_7(l)$ содержит всего 22 слагаемых (от шести переменных) и $a_k(l)=0$ при $k<7$. Этот результат был также получен в [12], а позже в [13] были найдены многочлены $Q(V)$ для всех случаев метрически симметричных октаэдров, в число которых попадают и октаэдры Брикара первых двух типов. Однако ни одно из известных описаний не позволяет вычислить коэффициенты $a_k(l)$ многочлена $Q(V)$ для октаэдров Брикара 3-го типа. Ведь для такого вычисления необходимо иметь набор соотношений (характеризующих октаэдр 3-го типа), в которых ребра выражаются через некоторые параметры, в частности через другие ребра. А все известные в литературе описания октаэдров 3-го типа в значительной степени геометричны. Легко выписываются уравнения, которым подчиняются ребра, но нет упомянутой “параметризации”. В настоящей работе мы, не опираясь на известные результаты (ни Брикара, ни его последователей), находим новое описание всевозможных изгибаемых октаэдров сразу в удобной метрической записи (теоремы 2–6), попутно получив условия приводимости многочлена Кэли–Менгера (для пяти точек), представляющие также и самостоятельный интерес (теорема 1). В § 5 мы сопоставляем наш метод и результаты с известными методами и результатами. § 2. Обозначения и определенияРассмотрим метрический симплициальный комплекс $K$, комбинаторно эквивалентный правильному октаэдру, ребрам которого приписаны (так, как указано на рис. 1, a) строго положительные удовлетворяющие строгим неравенствам треугольника на гранях числа (длины ребер). Под нетривиальным изгибанием понимается непрерывное семейство изометрических реализаций $P_t\colon K\to \mathbb{R}^3$ такое, что при изменении $t$ непрерывно меняются все три диагонали октаэдра (диагоналями называются отрезки между вершинами, которые не соединены ребрами). Наше определение нетривиального изгибания отличается от классического, когда требуется, чтобы менялась хотя бы одна диагональ. Мы тем самым заранее исключаем из рассмотрения известные случаи реализации комплекса $K$: 1) в виде дважды покрытого четырехгранного угла; 2) в виде пары смежных по ребру граней, на каждую из которых накладываются три другие грани. Из известной теоремы Глюка (см. [14]) вытекает, что в общем случае любая реализация комплекса $K$ неизгибаема, а изгибаемость возможна лишь при выполнении определенных условий на метрику (длины ребер) комплекса $K$. Мы найдем условия на длины ребер, выполнение которых необходимо для существования изометрической реализации комплекса $K$ в виде нетривиально изгибаемого октаэдра, и исходя из этих условий выделим классы изгибаемых октаэдров. В дальнейшем будем, как правило, использовать одинаковые обозначения для метрических комплексов и их реализаций в $\mathbb{R}^3$. Кроме того, примем соглашение, что одна и та же строчная буква обозначает и длину отрезка (положительное число), и сам этот отрезок как геометрический объект. Далее, две или более подряд записанные строчные буквы будут обозначать соответствующий одномерный метрический комплекс (или его изометрический образ). Например, $pcq$ обозначает “проволочный” треугольник $v_1v_2v_3$, а $cfhg$ – реберный цикл $v_2v_3v_4v_5$. Обозначим квадраты длин диагоналей $v_2v_4$, $v_3v_5$, $v_1v_6$ буквами $x$, $y$, $z$ соответственно (снова теми же буквами будем обозначать также и сами диагонали как геометрические объекты). Будем считать ребра октаэдра известными величинами (совокупность их длин определяет метрику октаэдра и будет обозначаться $l$), а диагонали $x$, $y$, $z$ – неизвестными. Цикл из четырех ребер, никакие два из которых не инцидентны одной и той же грани, будем называть экватором октаэдра. Метрический симплициальный комплекс $K_j\subset K$, являющийся звездой вершины $v_j$ комплекса $K$, будем называть четырехгранным углом с вершиной $v_j$. Диагональю произвольного комплекса мы называем отрезок, соединяющий вершины, не соединенные ребром. В соответствии с этими определениями у октаэдра имеется три диагонали, три экватора (в каждом из которых по две диагонали) и шесть четырехгранных углов (в каждом из которых тоже по две диагонали). Каждый четырехгранный угол “опирается” на некоторый экватор, являющийся для него краем. Пусть длины ребер некоторого экватора обозначены в циклическом порядке $a$, $b$, $c$, $d$. Будем называть экватор метрически симметричным, если выполняется хотя бы одно из трех условий: или $a=c$, $b=d$, или $a=b$, $c=d$, или $a=d$, $b=c$. Будем говорить, что экватор имеет нулевую сумму, если Экватор имеет нулевую сумму в том и только том случае, когда в соотношении (2.1) по крайней мере одна из скобок равна нулю. Это означает, что сумма длин некоторых двух ребер экватора равна сумме длин двух других его ребер. Отметим, что экватор, сумма длин трех ребер которого равна длине четвертого ребра, может быть реализован только в виде “дважды покрытого отрезка”; это означает, что диагонали такого экватора не могут меняться в ходе изгибания октаэдра (что означает тривиальность изгибания). Метрически симметричный экватор всегда имеет нулевую сумму, обратное, вообще говоря, неверно. Таблица 1
Определение 1. Введем классы экваторов, длины ребер которых удовлетворяют определенным соотношениям, в соответствии с табл. 1 (имеется в виду, что, например, $sqad$ принадлежит классу $S_0$ по определению тогда и только тогда, когда $s-q+a-d=0$). Таким образом, классы, в обозначение которых входит буква $S$, состоят из экваторов с нулевой суммой (поэтому класс экваторов с нулевой суммой без конкретизации соотношения на ребра будем обозначать буквой $S$ без индекса), а классы, в обозначение которых входит буква $M$, состоят из метрически симметричных экваторов (аналогично класс всех метрически симметричных экваторов будем обозначать буквой $M$ без индекса). Лемма 1. Справедливы равенства $S\cap R_0=M_y\cup M_z$ (для экватора $sqad$), $S\cap R_0=M_x\cup M_z$ (для экватора $bpre$), $S\cap R_0=M_x\cup M_y$ (для экватора $cfhg$). Доказательство. Рассмотрим, например, случай экватора $sqad$. Принадлежность экватора $sqad$ к классу $S$ означает, что $sqad\in S_0 \cup S_y \cup S_z$. Непосредственная проверка показывает, что $S_0\cap R_0=M_y\cup M_z$, $S_y\cap R_0=M_y$, $S_z\cap R_0=M_z$, откуда и следует справедливость первого утверждения леммы. Остальные два утверждения доказываются аналогично.
Лемма доказана. Лемма 2. Справедливы равенства $M_y\cap M_z=M_e$ (для экватора $sqad$), $M_x\cap M_z=M_e$ (для экватора $bpre$), $M_x\cap M_y=M_e$ (для экватора $cfhg$). Доказательство также сводится к простой проверке. Определение 2. Если экваторы $sqad$, $bpre$, $cfhg$ октаэдра $K$ принадлежат классам $\mathcal{M}_1$, $\mathcal{M}_2$, $\mathcal{M}_3$ соответственно, будем говорить, что октаэдр $K$ принадлежит классу $[\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_3]$. В случае, когда все экваторы октаэдра метрически симметричны (тогда класс каждого экватора обозначается символом $M_i$, где индекс $i$ принимает одно из значений $x$, $y$, $z$, $0$ или $e$), для обозначения метрического класса такого октаэдра наряду с записью $[M_i,M_j,M_k]$ будем использовать символ $M_{ijk}$. Введем в рассмотрение классы $A_1$ и $A_2$, соответствующие изгибаемым октаэдрам Брикара 1-го и 2-го типов. § 3. Условия приводимости многочлена Кэли–МенгераИзвестно (см. [15]), что попарные расстояния $d_{ij}=d_{ji}$, $1\leqslant i,j\leqslant 5$, между пятью точками в $\mathbb{R}^3$ удовлетворяют следующему условию (это равенство часто называют уравнением Кэли–Менгера, а его левую часть – определителем или многочленом Кэли–Менгера):
$$
\begin{equation}
\begin{vmatrix} 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& d_{12}^2& d_{13}^2& d_{14}^2& d_{15}^2\\ 1& d_{21}^2& 0& d_{23}^2& d_{24}^2& d_{25}^2\\ 1& d_{31}^2& d_{32}^2& 0& d_{34}^2& d_{35}^2\\ 1& d_{41}^2& d_{42}^2& d_{43}^2& 0& d_{45}^2\\ 1& d_{51}^2& d_{52}^2& d_{53}^2& d_{54}^2& 0 \end{vmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Выполнение условия (3.1) необходимо для того, чтобы данные числа $d_{ij}$ являлись попарными расстояниями для некоторых пяти точек. Достаточным это условие само по себе не является: чтобы гарантировать существование соответствующей пятерки точек, нужно наложить на числа $d_{ij}$ некоторые дополнительные условия. Рассмотрим четырехгранный угол $K_1$ (см. рис. 1, b). Запишем умноженный на $-1$ многочлен Кэли–Менгера (3.1) для расстояний между его вершинами по степеням $x$ и $y$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q(x,y) &=x^2y^2-2(s^2+q^2)x^2y-2(p^2+r^2)x y^2 \nonumber \\ &\qquad+(s^2-q^2)^2x^2+(p^2-r^2)^2y^2+\dotsb. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
(Иногда, как здесь, мы будем опускать часть слагаемых и заменять их многоточием для удобства восприятия и экономии места.) Отметим, что, в отличие от замкнутых поверхностей, которые почти все являются неизгибаемыми, любой четырехгранный угол (за исключением некоторых очевидных вырожденных случаев) допускает нетривиальное изгибание. Условие Кэли–Менгера можно трактовать как уравнение, описывающее изгибание четырехгранного угла $K_1$, форма которого определяется диагоналями $x$ и $y$. Такая интерпретация наглядно объясняет тот факт, что многочлен Кэли–Менгера имеет вторую степень по каждой из переменных $x$ и $y$: для каждого значения одной из диагоналей существует (в невырожденных случаях) два возможных значения другой диагонали (пару граней $pqc$ и $psg$ можно отразить относительно плоскости $qsy$, а пару $pqc$ и $qrf$ – относительно $prx$). Нас будет интересовать существование нетривиального разложения многочлена Кэли–Менгера на рациональные относительно $x$ и $y$ множители, иными словами, приводимость многочлена в $\mathbb{R}[x,y]$. Такое разложение возможно в случае, когда длины ребер удовлетворяют некоторым соотношениям. Наша ближайшая цель – найти эти соотношения и соответствующие им разложения многочлена Кэли–Менгера. Стоит отметить, что в общем случае определитель Кэли–Менгера абсолютно неприводим (см. [15]). Обозначим $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$ величины плоских углов $pq$, $qr$, $rs$, $sp$ (см. рис. 1, b). Из выполнения строгих неравенств треугольника на гранях следует, что $0<\alpha_k<\pi$. Разобьем множество всех четырехгранных углов на попарно не пересекающиеся классы $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}_x$, $\mathrm{II}_y$, $\mathrm{III}$ следующим образом. Определение 4. Пусть Все величины $\alpha_k$ и $\pi-\alpha_k$ лежат в диапазоне от 0 до $\pi$, поэтому каждый угол однозначно определяется своим косинусом. Для каждого равенства из определения 4, используя теорему косинусов, получаем эквивалентную запись в терминах длин ребер (знак в формулах выбирается тот же, что знак в обозначении класса). Лемма 3. Справедливы следующие утверждения: Из элементарно-геометрических соображений получим дополнительные необходимые условия принадлежности к введенным классам. Обозначим $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ площади треугольников $pqc$, $qrf$, $rsh$, $psg$ (см. рис. 1, b). По условию невырожденности граней $S_k>0$ для всех $k=1,2,3,4$. Лемма 4. Справедливы следующие утверждения: Для доказательства достаточно перейти от равенств углов к равенствам синусов этих углов. Теорема 1. Пусть четырехгранный угол $K_1$ нетривиально изгибаем. Тогда справедливо в точности одно из утверждений: 1) $K_1\in \mathrm{I}$ и многочлен $Q(x,y)$ неприводим; 2) $K_1\in \mathrm{II}_x$, многочлен $Q(x,y)$ приводим и в случае $K_1\in \mathrm{II}_x^{\pm}$ разложение $Q(x,y)$ на неприводимые множители имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &Q(x,y) =[y-(q\mp s)^2]\cdot\biggl[x^2y-(s\pm q)^2x^2-2(p^2+r^2)xy+(p^2-r^2)^2y \\ \notag &\qquad+\biggl(2(p^2+r^2)(q^2+s^2)\pm 4\biggl(sq(g^2+h^2)-s^3q+ (h^2-r^2)(p^2-g^2)\frac{q}{s}\biggr)\biggr)x \\ \notag &\qquad \pm 2\biggl((p^2-r^2)(p^2-r^2-2g^2+2h^2)qs +2(r^2g^2-p^2h^2)(p^2-r^2-g^2+h^2)\frac{q}{s}\biggr) \\ &\qquad -(p^2-r^2)^2(q^2+s^2)\biggr]; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
3) $K_1\in \mathrm{II}_y$, многочлен $Q(x,y)$ приводим и в случае $K_1\in \mathrm{II}_y^{\pm}$ разложение $Q(x,y)$ на неприводимые множители имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &Q(x,y) =[x-(p\mp r)^2]\cdot\biggl[y^2x-(p\pm r)^2y^2-2(s^2+q^2)xy+(s^2-q^2)^2x \\ \notag &\qquad+\biggl(2(p^2+r^2)(q^2+s^2)\pm 4\biggl( pr(c^2+g^2)-p^3r+ (g^2-s^2)(q^2-c^2)\frac{r}{p}\biggr)\biggr)y \\ \notag &\qquad\pm 2\biggl((q^2-s^2)(q^2-s^2-2c^2+2g^2)pr +2(c^2s^2-q^2g^2)(q^2-s^2-c^2+g^2)\frac{r}{p}\biggr) \\ &\qquad-(q^2-s^2)^2(p^2+r^2)\biggr]; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
4) $K_1\in \mathrm{III}$, многочлен $Q(x,y)$ приводим и в случае $K_1\in \mathrm{III}^{\pm}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &Q(x,y) =\biggl[xy-(s\pm q)^2x-(p+r)^2y+(p+r)^2(s^2+q^2) \\ \notag &\qquad\mp\frac{1}{prs}\bigl((p+r)qs^2(s^2p+s^2r-2ph^2-2g^2r) +(r^2p+p^2r-g^2r-ph^2)^2q\bigr)\biggr] \\ \notag &\qquad\times\biggl[xy-(s\mp q)^2x-(p-r)^2y+(p-r)^2(s^2+q^2) \\ &\qquad\mp\frac{1}{prs}\bigl((p-r)qs^2(s^2p-s^2r-2ph^2+2g^2r) +(r^2p-p^2r+g^2r-ph^2)^2q\bigr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Замечание 1. Формулировка теоремы 1 корректна, так как из четырех утверждений никакие два не могут быть справедливыми одновременно. Замечание 2. В (3.14) неприводимость сомножителей не гарантируется. Доказательство теоремы 1. Простая проверка показывает, что подстановка (3.6) в (3.2) дает (3.12). Аналогично, подстановка (3.7) в (3.2) дает (3.13), а подстановка (3.8) в (3.2) дает (3.14).
Далее, дискриминант $\Delta(x)$ квадратичного многочлена (3.2) относительно переменной $y$ имеет вид где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_1(x) &=s^2x^2+(-g^2r^2+s^4-s^2h^2-p^2s^2+p^2r^2-p^2h^2+g^2h^2-g^2s^2-s^2r^2)x \\ &\qquad+p^4h^2-p^2h^2g^2+r^2h^2s^2-p^2h^2s^2+r^4g^2-p^2r^2h^2+p^2g^2s^2+p^2h^4 \\ &\qquad-p^2g^2r^2+r^2g^4-r^2g^2h^2-r^2g^2s^2, \\ P_2(x) &=q^2x^2+(-r^2q^2-q^2f^2-r^2c^2-p^2f^2+c^2f^2+q^4-c^2q^2 -q^2p^2+p^2r^2)x \\ &\qquad+r^4c^2-r^2c^2p^2-f^2r^2c^2-p^2f^2c^2-p^2f^2r^2-c^2q^2r^2-p^2f^2q^2+r^2c^4 \\ &\qquad+q^2f^2r^2+p^4f^2+p^2f^4+q^2c^2p^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Дискриминант многочлена $P_1(x)$ равен $S_3^2 S_4^2>0$, а дискриминант многочлена $P_2(x)$ равен $S_1^2 S_2^2>0$. Старшие коэффициенты $P_1(x)$ и $P_2(x)$ положительны. Поэтому $\Delta(x)$ является полным квадратом тогда и только тогда, когда коэффициенты $P_1(x)$ и $P_2(x)$ пропорциональны, что эквивалентно тождественному (при всех $x$) выполнению равенства $q^2P_1(x)-s^2P_2(x)=0$ или тому, что
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (s^2q^2-f^2s^2+s^2r^2)c^2-q^2p^2h^2-p^2r^2s^2-q^2g^2s^2+q^2p^2r^2+f^2q^2s^2 \\ \quad-\,q^2h^2s^2-q^2g^2r^2+p^2f^2s^2+q^2h^2g^2+q^2s^4-s^2q^4=0, \\ r^2s^2c^4+(-p^2f^2s^2-p^2r^2s^2-s^2q^2r^2-f^2s^2r^2+s^2q^2p^2+r^4s^2)c^2 \\ \quad+\,r^2q^2p^2h^2+r^2q^2g^2s^2-q^2p^2g^2s^2+r^2q^2g^2p^2+g^2q^2p^2h^2 \\ \quad+\,s^2q^2p^2h^2-r^2q^2g^4-p^2f^2s^2r^2+q^2h^2g^2r^2-r^4q^2g^2-q^2p^4h^2 \\ \quad+\,p^4f^2s^2-q^2h^2s^2r^2+s^2r^2q^2f^2-s^2p^2f^2q^2-q^2p^2h^4+p^2f^4s^2=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Решим систему (3.16) относительно $c^2$ и $f^2$. Легко проверить, что система имеет в точности четыре решения: это пары $(c^2,f^2)$ из (3.6) и (3.8). Рассуждая аналогично, получим, что $\Delta(y)$ является полным квадратом тогда и только тогда, когда выполняются условия одной из четырех пар (3.7) и (3.8). Пусть дано нетривиальное разложение $Q(x,y)=Q_1(x,y)\cdot Q_2(x,y)$. Так как старший коэффициент в $Q(x,y)$ не равен нулю, обязательно реализуется один из случаев: (A) один из множителей – квадратный трехчлен относительно $x$, а другой – квадратный трехчлен относительно $y$; (B) “степени $Q_1$ и $Q_2$ относительно $y$ равны 1” эквивалентно тому, что “корни $Q(x,y)$ как квадратного трехчлена относительно $y$ рационально выражаются через $x$”, а это в свою очередь означает, что “дискриминант $\Delta(x)$ является полным квадратом”; (C) “степени $Q_1$ и $Q_2$ относительно $x$ равны 1” эквивалентно тому, что “корни $Q(x,y)$ как квадратного трехчлена относительно $x$ рационально выражаются через $y$”, а это в свою очередь означает, что “дискриминант $\Delta(y)$ является полным квадратом”. Если не выполнено ни условие (B), ни условие (C), то выполнено условие (A). Но тогда длины ребер таковы, что нетривиальное изгибание невозможно (каждая диагональ может принимать не более двух фиксированных значений), что противоречит условию теоремы. Пусть выполнено условие (B), но не выполнено условие (C). Это означает, что для одного из знаков выполнено условие (3.6) и ни для какого из знаков не выполнено (3.7) и (3.8). Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \alpha_1=\alpha_4, \\ \alpha_2=\alpha_3 \end{cases} \quad\text{или}\qquad \begin{cases} \alpha_1=\pi-\alpha_4, \\ \alpha_2=\pi-\alpha_3 \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
и ни для какой системы в (3.4) и (3.5) входящие в нее равенства не выполняются одновременно. В частности, нарушается хотя бы одно из равенств $\alpha_1=\alpha_3$, $\alpha_2=\alpha_4$ и хотя бы одно из равенств $\alpha_1=\pi-\alpha_3$, $\alpha_2=\pi-\alpha_4$. С учетом этого из (3.17) можно получить
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \alpha_1=\alpha_4, \\ \alpha_2=\alpha_3, \\ \alpha_1\ne\alpha_3, \\ \alpha_1\ne\pi-\alpha_3 \end{cases} \quad\text{или}\qquad \begin{cases} \alpha_1=\pi-\alpha_4, \\ \alpha_2=\pi-\alpha_3, \\ \alpha_1\ne\alpha_3, \\ \alpha_1\ne\pi-\alpha_3 \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
(т.е. $K_1\in \mathrm{II}_x$). Кроме того, множитель третьей степени в (3.12) неприводим: иначе корни $x$ этого квадратного трехчлена рационально выражались бы через $y$, что не так в рассматриваемом случае.
Если, наоборот, выполнено условие (C), но не выполнено условие (B), то для одного из знаков выполнено условие (3.7) и ни для какого из знаков не выполнено (3.6) и (3.8). Рассуждая аналогично, получаем, что $K_1\in \mathrm{II}_y$ и множитель третьей степени в (3.13) неприводим. Наконец, пусть выполнено и условие (B), и условие (C). Такое может произойти в двух случаях: 1) для одного из знаков выполнено условие (3.8), тогда $K_1\in \mathrm{III}$ и выполняется (3.14); 2) для одного из знаков выполнено условие (3.6) и для одного из знаков выполнено условие (3.7). В этом случае
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} \alpha_1=\alpha_4, \\ \alpha_2=\alpha_3 \end{cases} \quad\text{или}\qquad \begin{cases} \alpha_1=\pi-\alpha_4, \\ \alpha_2=\pi-\alpha_3, \end{cases} \\ \begin{cases} \alpha_1=\alpha_2, \\ \alpha_3=\alpha_4 \end{cases} \quad\text{или}\qquad \begin{cases} \alpha_1=\pi-\alpha_2, \\ \alpha_3=\pi-\alpha_4. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Отсюда снова вытекает, что $K_1\in \mathrm{III}^{+}$ или $K_1\in \mathrm{III}^{-}$. Поэтому снова для одного из знаков выполняется условие (3.8), а значит, верно (3.14). Итак, мы доказали, что приводимость $Q(x,y)$ эквивалентна выполнению одного из утверждений 2)–4). Делаем отсюда вывод, что класс $\mathrm{I}$ состоит из тех и только тех четырехгранных углов, для которых $Q(x,y)$ неприводим, что и завершает доказательство. Теорема 1 доказана. Замечание 3. В качестве неизвестных, относительно которых решалась система (3.16), были выбраны переменные $c$ и $f$. Если выбрать переменные $g$ и $h$ (соответствующие ребрам, лежащим по другую сторону от диагонали $x$), то приходим к тем же самым линейным соотношениям (3.6) между $c^2$ и $g^2$ и между $f^2$ и $h^2$, отличие лишь в том, что разрешены они будут относительно $g^2$ и $h^2$. Замечание 4. Каждому из двух множителей в разложении $Q(x,y)$ отвечает свое непрерывное семейство пространственных положений четырехгранного угла $K_1$. Например, это может быть выпуклый четырехгранный угол (изгибание описывается одним из множителей) и самопересекающийся четырехгранный угол, полученный из исходного путем отражения двух граней относительно “диагональной” плоскости (изгибание описывается вторым множителем). Линейному множителю (согласно теореме 1 он тогда зависит только от одной переменной, $x$ или $y$) при этом соответствует тривиальное изгибание. Так, в (3.12) один из множителей имеет вид $y-y_0$. Длины ребер здесь таковы, что отраженные грани накладываются на две другие грани, а одна из вершин экватора попадает на противолежащее ей ребро (это становится возможным в силу равенства плоских углов прилежащих граней). Такая фигура с самоналожениями изгибается тривиальным образом: в ходе изгибания диагональ $y$ не меняется. Поэтому нас будет интересовать только положение, соответствующее множителю третьей степени. В таких случаях для единообразия формулировок мы иногда будем вместо общего многочлена Кэли–Менгера сразу рассматривать его сомножитель третьей степени. Замечание 5. Во всех случаях из неприводимости многочлена в $\mathbb{R}[x,y]$ следует его неприводимость в $\mathbb{C}[x,y]$. Это вытекает из представления дискриминанта $\Delta(x)$ в виде (3.15) и аналогичного представления для $\Delta(y)$: если бы, например, $Q(x,y)$ был неприводим над полем $\mathbb{R}$, но приводим над $\mathbb{C}$, это означало бы, что или $\Delta(x)=-P^2(x)$, где $P(x)\in\mathbb{R}[x]$, что невозможно, так как коэффициент при $x$ в старшей степени в $\Delta(x)$ равен $q^2s^2>0$, или $\Delta(y)=-\widetilde{P}^2(y)$, что, аналогично, невозможно. § 4. Условия изгибаемости октаэдраВ дальнейшем предполагаем, что нам дан комплекс $K$ (см. рис. 1, a), изометрически реализуемый в $\mathbb{R}^3$ в виде изгибаемого октаэдра, который мы также будем обозначать $K$. Рассмотрим один из экваторов октаэдра $K$, например, $cfhg$. Он разбивает $K$ на два четырехгранных угла: $K_1$ и $K_6$ (такие четырехгранные углы, пятерки точек и их многочлены Кэли–Менгера будем называть соответствующими данному экватору). Каждое из соответствующих экватору $cfhg$ условий Кэли–Менгера задает некоторое алгебраическое многообразие в плоскости переменных $x$, $y$. Из нетривиальной изгибаемости октаэдра вытекает, что эти два многообразия должны пересекаться по нетривиальному (не сводящемуся к дискретному набору точек) алгебраическому многообразию. Так как для любых $f,g\in\mathbb{C}[x,y]$ таких, что $g$ не делится на $f$, из неприводимости $f$ следует конечность множества общих нулей $f$ и $g$ (это простой алгебраический факт), то приходим к выводу, что либо оба уравнения Кэли–Менгера неприводимы (и тогда их коэффициенты должны быть попарно равны), либо оба они приводимы (и тогда, аналогично, должны быть равны степени и пропорциональны коэффициенты некоторой пары неприводимых сомножителей). Отметим также, что указанные сомножители должны иметь степень 2 или 3 по совокупности переменных $x$ и $y$ (линейному многочлену одной переменной соответствует лишь тривиальное изгибание, а линейный многочлен двух переменных появиться не может в силу того, что старший коэффициент в (3.2) равен 1; полный набор возможных случаев приводимости дает теорема 1). Аналогичные рассуждения справедливы и для остальных двух экваторов. Получаем, что для каждого экватора соответствующие ему четырехгранные углы принадлежат одному и тому же классу ($\mathrm{I}$, $\mathrm{II}_x$, $\mathrm{II}_y$ или $\mathrm{III}$). Классом экватора будем называть класс соответствующих ему четырехгранных углов. Каждый экватор относится к одному из классов ($\mathrm{I}$, $\mathrm{II}_x$, $\mathrm{II}_y$ или $\mathrm{III}$) независимо от других. Классификацию изгибаемых октаэдров будем строить, исходя из полного перебора возможных случаев, который дается набором теорем 2–5 (см. ниже). Напомним, что классы, соответствующие брикаровским классам 1 и 2, определены как $A_1=M_{000}$, $A_2=M_{0xx}\cup M_{y0y}\cup M_{zz0}$ (см. определение 3). Оказывается, метрическая симметричность всех трех экваторов и в любых других сочетаниях всегда влечет принадлежность октаэдра к (хотя бы) одному из классов $A_1$ или $A_2$. Лемма 5. Если все три экватора нетривиально изгибаемого октаэдра $K$ метрически симметричны, то $K\in A_1\cup A_2$. Доказательство. Выпишем многочлены Кэли–Менгера для четырехгранных углов $K_1,\dots,K_6$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1(x,y) &=x^2y^2-2(s^2+q^2)x^2y-2(p^2+r^2)x y^2 \\ &\qquad+(s^2-q^2)^2x^2+(p^2-r^2)^2y^2+\dotsb , \\ Q_6(x,y) &=x^2y^2-2(a^2+d^2)x^2y-2(b^2+e^2)x y^2 \\ &\qquad+(a^2-d^2)^2x^2+(b^2-e^2)^2y^2+\dotsb , \\ Q_3(x,z) &=x^2z^2-2(a^2+q^2)x^2z-2(c^2+f^2)x z^2 \\ &\qquad+(a^2-q^2)^2x^2+(c^2-f^2)^2z^2+\dotsb , \\ Q_5(x,z) &=x^2z^2-2(s^2+d^2)x^2z-2(g^2+h^2)x z^2 \\ &\qquad+(s^2-d^2)^2x^2+(g^2-h^2)^2z^2+\dotsb , \\ Q_2(y,z) &=y^2z^2-2(b^2+p^2)y^2z-2(c^2+g^2)y z^2 \\ &\qquad+(b^2-p^2)^2y^2+(c^2-g^2)^2z^2+\dotsb , \\ Q_4(y,z) &=y^2z^2-2(e^2+r^2)y^2z-2(f^2+h^2)y z^2 \\ &\qquad+(e^2-r^2)^2y^2+(f^2-h^2)^2z^2+\dotsb. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию $K\in M_{ijk}$, где $i\in\{0,y,z\}$, $j\in\{0,x,z\}$, $k\in\{0,x,y\}$; возможны $27=3^3$ случаев. В некоторых из этих случаев доказывать нечего (например, если $i=0$, $j=0$, $k=0$, то получаем $K\in M_{000}=A_1$). Проведем доказательство для содержательных случаев с $i=0$ (остальные случаи разбираются аналогично). 1) $K\in M_{00x}$. Рассматривая разность уравнений $Q_1(x,y)=0$ и $Q_6(x,y)=0$ и делая соответствующую (по определению 1) классу $M_{00x}$ подстановку
$$
\begin{equation*}
s=a, \quad q=d, \quad b=r, \quad p=e, \quad c=g, \quad f=h,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем равенство которое должно выполняться для бесконечного семейства пар $(x,y)$, отвечающего нетривиальному изгибанию, что возможно, только если $e=r$ (и тогда $bpre\in M_e$) или $g=h$ (и тогда $cfhg\in M_e$). Так как $M_{0ex}\subset M_{0xx}$ и $M_{00e}\subset M_{000}$, то получаем $K\in A_1\cup A_2$.
2) $K\in M_{00y}$. Рассматривая разность уравнений $Q_1(x,y)=0$ и $Q_6(x,y)=0$, получаем а значит, $a=d$ (и тогда $sqad\in M_e$) или $g=f$ (и тогда $cfhg\in M_e$). Так как $M_{e0y}\subset M_{y0y}$ и $M_{00e}\subset M_{000}$, то получаем $K\in A_1\cup A_2$.3) $K\in M_{0x0}$. Рассматривая разность уравнений $Q_3(x,z)=0$ и $Q_5(x,z)=0$, получаем а значит, $p=r$ (и тогда $bpre\in M_e$) или $g=h$ (и тогда $cfhg\in M_e$). Так как $M_{0e0}\subset M_{000}$ и $M_{0xe}\subset M_{0xx}$, то получаем $K\in A_1\cup A_2$.4) $K\in M_{0z0}$. Рассматривая разность уравнений $Q_3(x,z)=0$ и $Q_5(x,z)=0$, получаем а значит, $e=r$ (и тогда $bpre\in M_e$) или $d=a$ (и тогда $sqad\in M_e$). Так как $M_{0e0}\subset M_{000}$ и $M_{ez0}\subset M_{zz0}$, то получаем $K\in A_1\cup A_2$.5) $K\in M_{0xy}$. Рассматривая разность уравнений $Q_1(x,z)=0$ и $Q_6(x,z)=0$, получаем а значит, $g=f$ (тогда сразу $K\in M_{0xe}\subset M_{0xx}$) или $a=d$ (тогда $K\in M_{exy}$, откуда еще не следует, что $K\in A_1\cup A_2$). Делая отвечающую классу $M_{exy}$ подстановку
$$
\begin{equation*}
s=d, \quad q=d, \quad a=d, \quad b=p, \quad e=r, \quad c=f, \quad h=g
\end{equation*}
\notag
$$
в уравнение $Q_2(y,z)=Q_4(y,z)$, получаем а значит, $p=r$ (и тогда $K\in M_{eey}\subset M_{y0y}$).
6) $K\in M_{0zx}$. Рассматривая разность уравнений $Q_3(x,z)=0$ и $Q_5(x,z)=0$, получаем а значит, $e=r$ (тогда сразу $K\in M_{0ex}\subset M_{0xx}$) или $a=d$ (тогда $K\in M_{ezx}$). Делая отвечающую классу $M_{ezx}$ подстановку в уравнение $Q_2(y,z)=Q_4(y,z)$, получаем а значит, $g=h$ (и тогда $K\in M_{eze}\subset M_{zz0}$).7) $K\in M_{0zy}$. Рассматривая разность уравнений $Q_3(x,z)=0$ и $Q_5(x,z)=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
4x\bigl[(f^2-g^2)x-(e^2-r^2)(a^2-d^2)\bigr]\cdot \bigl[z-d^2-a^2-e^2-r^2+g^2+f^2\bigr]=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $g=f$, $e=r$ (тогда $K\in M_{0ee}\subset M_{000}$) или $g=f$, $a=d$ (тогда $K\in M_{eze}\subset M_{zz0}$).
Лемма 5 доказана. Теорема 2. Если хотя бы два экватора принадлежат классу $\mathrm{I}$, то октаэдр принадлежит классу $A_1$ или классу $A_2$. Доказательство. Без ограничения общности считаем, что $cfhg, bpre\in \mathrm{I}$.
Экватору $cfhg$ соответствуют многочлены $Q_1(x,y)$ и $Q_6(x,y)$. По предположению они неприводимы, следовательно, имеют пропорциональные коэффициенты. Получаем четыре условия, которые удобно записать в виде двух систем уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} s^2+q^2=a^2+d^2, \\ (s^2-q^2)^2=(a^2-d^2)^2, \end{cases} \qquad \begin{cases} p^2+r^2=b^2+e^2, \\ (p^2-r^2)^2=(b^2-e^2)^2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуя эти системы, получаем Повторяя это рассуждение для экватора $bpre$, которому соответствуют неприводимые многочлены $Q_3(x,z)$ и $Q_5(x,z)$, получим Применяя лемму 5, делаем вывод, что $K\in A_1\cup A_2$. Теорема доказана. Теорема 3. Если хотя бы два экватора принадлежат классу $\mathrm{II}$, то октаэдр принадлежит классу $A_1$ или классу $A_2$. Доказательство. Без ограничения общности считаем, что $bpre, cfhg\in \mathrm{II}$. Необходимо рассмотреть четыре случая.
Случай (A): $bpre, cfhg\in \mathrm{II}_x$. Запишем многочлены Кэли–Менгера для четырехгранных углов $K_1$, $K_6$, $K_3$, $K_5$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1(x,y)=x^2y-(s\pm q)^2x^2-2(p^2+r^2)xy+(p^2-r^2)^2y+\dotsb, \\ Q_6(x,y)=x^2y-(a\pm d)^2x^2-2(b^2+e^2)xy+(b^2-e^2)^2y+\dotsb, \\ Q_3(x,z)=x^2z-(a\pm q)^2x^2-2(c^2+f^2)xz+(c^2-f^2)^2z+\dotsb, \\ Q_5(x,z)=x^2z-(s\pm d)^2x^2-2(h^2+g^2)xz+(h^2-g^2)^2z+\dotsb. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(Знаки выбираются независимо, всего получается 16 вариантов.)
Приравнивая коэффициенты при $x^2$, $xy$, $y$ первой пары уравнений и при $x^2$, $xz$, $z$ второй пары уравнений, получаем шесть условий, которые удобно записать в виде трех систем уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} (s\pm q)^2=(a\pm d)^2, \\ (a\pm q)^2=(s\pm d)^2, \end{cases} \qquad \begin{cases} p^2+r^2=b^2+e^2, \\ (p^2-r^2)^2=(b^2-e^2)^2, \end{cases} \\ \begin{cases} c^2+f^2=h^2+g^2, \\ (c^2-f^2)^2=(h^2-g^2)^2. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Исследуя системы для $bpre$ и $cfhg$ в (4.1), установим, что Осталось проверить, что экватор $sqad$ также метрически симметричен. Отметим, что без дополнительных условий из (4.1) следует, вообще говоря, лишь, что экватор $sqad$ имеет нулевую сумму, но не его метрическая симметричность. Некоторые варианты расстановки знаков в (4.1) приводят к вырождениям (например, из $s+q+a+d=0$ следует равенство ребер нулю, а $s-q-a-d=0$ соответствует тривиальному изгибанию). Такого рода вырождений не получается лишь в четырех случаях, а именно когда
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (s+\varepsilon_1 q)^2=(a+\varepsilon_1 d)^2, \\ (a+\varepsilon_2 q)^2=(s+\varepsilon_2 d)^2, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\varepsilon_1=\pm1$, $\varepsilon_2=\pm1$.
Вспомним, что приводимость многочленов Кэли–Менгера обеспечивается условиями вида (3.6), которые в рассматриваемых случаях имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c^2=q^2+p^2+\varepsilon_1 \frac{q}{s}(g^2-p^2-s^2), \qquad f^2=q^2+r^2+\varepsilon_1 \frac{q}{s}(h^2-r^2-s^2), \\ c^2=a^2+b^2+\varepsilon_1 \frac{a}{d}(g^2-b^2-d^2), \qquad f^2=a^2+e^2+\varepsilon_1 \frac{a}{d}(h^2-e^2-d^2), \\ b^2=a^2+c^2+\varepsilon_2 \frac{a}{q}(p^2-q^2-c^2), \qquad e^2=a^2+f^2+\varepsilon_2 \frac{a}{q}(r^2-q^2-f^2), \\ b^2=d^2+g^2+\varepsilon_2 \frac{d}{s}(p^2-s^2-g^2), \qquad e^2=d^2+h^2+\varepsilon_2 \frac{d}{s}(r^2-s^2-h^2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Сложим уравнения левого столбца (формулы для $c^2$ и $b^2$), предварительно умножив их соответственно на $-\varepsilon_1 asd$, $\varepsilon_1\varepsilon_2 qsd$, $\varepsilon_1\varepsilon_2 qsd$, $-\varepsilon_2 asq$. После преобразований (учитывая, что $\varepsilon_1^2=1$, $\varepsilon_2^2=1$) получим
$$
\begin{equation}
2sqad(s-\varepsilon_1 q+\varepsilon_1 \varepsilon_2a-\varepsilon_2d)=0 \quad \Longrightarrow\quad s-\varepsilon_1 q+\varepsilon_1 \varepsilon_2a-\varepsilon_2d=0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Объединяя (4.2) и (4.3) и исследуя систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (s+\varepsilon_1 q-a-\varepsilon_1 d)(s+\varepsilon_1 q+a+\varepsilon_1 d)=0, \\ (s-\varepsilon_2 q-a+\varepsilon_2 d)(s+\varepsilon_2 q+a+\varepsilon_2 d)=0, \\ s-\varepsilon_1 q+\varepsilon_1 \varepsilon_2a-\varepsilon_2d=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
получаем, что при $\varepsilon_1=\varepsilon_2=1$ $sqad\in M_e\subset M_0$, при $\varepsilon_1=-\varepsilon_2=\pm1$ $sqad\in M_0$, а в случае $\varepsilon_1=\varepsilon_2=-1$ экватор вырождается.
Итак, в случае (A)
$$
\begin{equation*}
sqad\in M_0, \qquad bpre\in M_0\cup M_x, \qquad cfhg\in M_0\cup M_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 5, делаем вывод, что $K\in A_1\cup A_2$. Случай (B): $bpre\in \mathrm{II}_z$, $cfhg\in \mathrm{II}_y$. Запишем многочлены Кэли–Менгера для четырехгранных углов $K_1$, $K_6$, $K_3$, $K_5$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1(x,y)=y^2x-(p\pm r)^2y^2-2(s^2+q^2)xy+(s^2-q^2)^2x+\dotsb, \\ Q_6(x,y)=y^2x-(b\pm e)^2y^2-2(a^2+d^2)xy+(a^2-d^2)^2x+\dotsb, \\ Q_3(x,z)=z^2x-(c\pm f)^2z^2-2(a^2+q^2)zx+(a^2-q^2)^2x+\dotsb, \\ Q_5(x,z)=z^2x-(h\pm g)^2z^2-2(s^2+d^2)zx+(s^2-d^2)^2x+\dotsb. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты при $y^2$, $xy$ первой пары уравнений и при $z^2$, $zx$ второй пары уравнений, получаем четыре условия, которые удобно записать в виде двух систем уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (p\pm r)^2=(b\pm e)^2, \\ (h\pm g)^2=(c\pm f)^2, \end{cases} \qquad \begin{cases} s^2+q^2=a^2+d^2, \\ s^2+d^2=a^2+q^2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Исследуя систему для $sqad$ в (4.5), получаем $sqad\in M_0$. Используем ранее введенные обозначения $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ (площади треугольников $pqc$, $qrf$, $rsh$, $psg$) и дополнительно обозначим $S_5$, $S_6$, $S_7$, $S_8$ площади треугольников $bac$, $aef$, $edh$, $dbg$ (см. рис. 1, a). По лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_1\in \mathrm{II}_y \quad \Longrightarrow \quad pS_2=rS_1, \quad rS_4=pS_3, \\ K_6\in \mathrm{II}_y \quad \Longrightarrow \quad eS_5=bS_6, \quad eS_8=bS_7, \\ K_3\in \mathrm{II}_z \quad \Longrightarrow \quad fS_1=cS_2, \quad cS_6=fS_5, \\ K_5\in \mathrm{II}_z \quad \Longrightarrow \quad gS_3=hS_4, \qquad gS_7=hS_8. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Перемножая равенства, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, pS_2\cdot eS_5\cdot fS_1\cdot cS_6=rS_1\cdot bS_6 \cdot cS_2 \cdot fS_5 \quad \Longrightarrow \quad br=pe \quad \Longrightarrow \quad bpre\in R_0, \\ pS_2\cdot fS_1\cdot gS_3\cdot rS_4=rS_1\cdot cS_2 \cdot hS_4 \cdot pS_3 \quad \Longrightarrow \quad ch=fg \quad \Longrightarrow \quad cfhg\in R_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения первой системы в (4.5) означают, что экваторы $bpre$ и $cfhg$ имеют нулевую сумму. Следовательно, по лемме 1 получаем $bpre\,{\in}\, M_x\,{\cup}\, M_z$, $cfhg\,{\in} M_x\cup M_y$. Итак, в случае (B)
$$
\begin{equation*}
sqad\in M_0, \qquad bpre\in M_x\cup M_z, \qquad cfhg\in M_x\cup M_y.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 5, делаем вывод, что $K\in A_1\cup A_2$. Случай (C): $bpre\in \mathrm{II}_z$, $cfhg\in \mathrm{II}_x$. В этом случае получается (см. теорему 1), что: 1) переменная $x$ рационально выражается через переменную $z$, но не наоборот ($z$ не выражается рационально через $x$); 2) переменная $y$ рационально выражается через переменную $x$, но не наоборот ($x$ не выражается рационально через $y$). Отсюда вытекает, что переменная $y$ рационально выражается через переменную $z$, но не наоборот ($z$ не выражается рационально через $y$). Следовательно (используем здесь теорему 1), $sqad\in \mathrm{II}_z$. Так как при этом $bpre\in \mathrm{II}_z$, мы попадаем в (уже разобранный) случай (A) применительно к экваторам $sqad$ и $bpre$. Случай (D): $bpre\in \mathrm{II}_x$, $cfhg\in \mathrm{II}_y$. В этом случае получается, что: 1) переменная $z$ рационально выражается через переменную $x$, но не наоборот ($x$ не выражается рационально через $z$); 2) переменная $x$ рационально выражается через переменную $y$, но не наоборот ($y$ не выражается рационально через $x$). Отсюда вытекает, что переменная $z$ рационально выражается через переменную $y$, но не наоборот ($y$ не выражается рационально через $z$). Следовательно, $sqad\in \mathrm{II}_y$. Так одновременно $cfhg\in \mathrm{II}_y$, мы попадаем в (уже разобранный) случай (A) применительно к экваторам $sqad$ и $cfhg$. Теорема 3 доказана. Теорема 4. Не существует октаэдра, имеющего по одному экватору каждого из классов $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$ и $\mathrm{III}$. Доказательство. Предположим противное. Без ограничения общности считаем, что $sqad\in \mathrm{I}$, $bpre\in \mathrm{II}$, $cfhg\in \mathrm{III}$.
Пусть $bpre\in \mathrm{II}_x$. Тогда $z$ рационально выражается через $x$. Кроме того, $x$ рационально выражается через $y$ (это следует из того, что $cfhg\in \mathrm{III}$). Поэтому $z$ рационально выражается через $y$, что противоречит условию $sqad\in \mathrm{I}$. Аналогично, пусть $bpre\in \mathrm{II}_z$. Тогда $x$ рационально выражается через $z$. Кроме того, $y$ рационально выражается через $x$. Поэтому $y$ рационально выражается через $z$, что противоречит условию $sqad\in \mathrm{I}$. Теорема доказана. Введем в рассмотрение соотношения
$$
\begin{equation}
qge=pfd, \qquad bhq=cdr, \qquad rga=sfb, \qquad ahp=ces,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
которые мы будем в дальнейшем называть условиями метрической пропорциональности октаэдра. Отметим, что любое из четырех уравнений в (4.6) является следствием трех других. Лемма 6. Пусть ребра октаэдра удовлетворяют условиям метрической пропорциональности, один из экваторов принадлежит классу $M_0$, а остальные два экватора имеют нулевую сумму. Тогда эти два экватора метрически симметричны. Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $sqad\in M_0$. Пусть где $\varepsilon_k=\pm1$, $k=1,\dots ,6$.
Если $\varepsilon_2=-1$, то из третьего уравнения в (4.7) вытекает, что $\varepsilon_1=\varepsilon_3=1$, а если $\varepsilon_2=1$, то $\varepsilon_3=-\varepsilon_1$. В обоих случаях $\varepsilon_3= -\varepsilon_1\cdot \varepsilon_2$. Аналогично получаем, что $\varepsilon_6=-\varepsilon_4\cdot \varepsilon_5$. Поэтому (4.7) можно переписать так:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} s=a, \\ q=d, \\ b-\varepsilon_1 p-\varepsilon_2 r+\varepsilon_1\cdot\varepsilon_2 e=0, \\ c-\varepsilon_4 f-\varepsilon_5 h+\varepsilon_4\cdot\varepsilon_5 g=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Подставляя условия $s=a$, $q=d$ в условия метрической пропорциональности (4.6), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{cases} ge=pf, \\ bh=cr, \\ rg=fb \end{cases} \quad \Longrightarrow\qquad \begin{cases} be=pr, \\ cf=hg. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
После этого из (4.8) и (4.9) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{cases} b-\varepsilon_1 p-\varepsilon_2 r+\varepsilon_1\cdot\varepsilon_2 e=0, \\ be=pr, \\ c-\varepsilon_4 f-\varepsilon_5 h+\varepsilon_4\cdot\varepsilon_5 g=0, \\ cf=hg \end{cases} \quad \Longrightarrow\qquad \begin{cases} (p-\varepsilon_2 e)(r-\varepsilon_1 e)=0, \\ (f-\varepsilon_5 g)(\varepsilon_5 h+\varepsilon_4 f)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Непосредственно проверяется, что равенство нулю любой пары скобок в (4.10) влечет метрическую симметрию экваторов $bpre$ и $cfhg$. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть ребра октаэдра удовлетворяют условиями метрической пропорциональности, не все его экваторы метрически симметричны, но все они имеют нулевую сумму, а именно Замечание 6. Формулы (4.11) записаны уже с учетом рассуждения, приведенного в начале доказательства леммы 6. Доказательство леммы 7. Если известно, что знаменатели в (4.12) отличны от нуля, то сами эти формулы получаются в результате решения относительно переменных ($d$, $q$), ($p$, $e$), ($f$, $g$) систем уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} \varepsilon_1 \cdot (q-\varepsilon_2 d)=s-\varepsilon_2 a, \\ bh\cdot q-cr\cdot d=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \varepsilon_3 \cdot (p-\varepsilon_4 e)=b-\varepsilon_4 r, \\ ah\cdot p-cs\cdot e=0, \end{cases} \\ \begin{cases} \varepsilon_5 \cdot (f-\varepsilon_6 g)=c-\varepsilon_6 h, \\ sb\cdot f-ra\cdot g=0. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Поэтому остается проверить, что знаменатели в (4.12) отличны от нуля в любой допустимой ситуации (очевидно, не все комбинации знаков $\varepsilon_k=\pm1$, $k=1,\dots ,6$, в (4.11) являются допустимыми).
Если $\varepsilon_2=-1$, то знаменатель формул для $d$ и $q$ в (4.12) отличен от нуля. Если же $\varepsilon_2=1$, то первое уравнение в (4.11) приобретает вид Пусть $s=a$. Тогда из (4.14) получаем, что $q=d$, и экватор $sqad$ принадлежит классу $M_0$, что по лемме 6 влечет метрическую симметрию экваторов $bpre$ и $cfhg$. Таким образом, случай $s=a$ невозможен (метрическая симметрия всех трех экваторов противоречит условию). Далее считаем, что $s\ne a$. Тогда из (4.14) получаем, что $q\ne d$, а значит, с учетом (4.6) $bh\ne cr$, т.е. снова знаменатель формул для $d$ и $q$ в (4.12) отличен от нуля. Итак, мы доказали, что знаменатель формул для $d$ и $q$ в (4.12) отличен от нуля во всех допустимых случаях. Для остальных знаменателей в (4.12) рассуждения полностью аналогичны. Лемма доказана. Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_{0}(a,b,c,s,r,h)=B_{1,1,1}, \qquad P_{1}(a,b,c,s,r,h)=B_{1,-1,-1}, \\ P_{2}(a,b,c,s,r,h)=B_{-1,1,-1}, \qquad P_{3}(a,b,c,s,r,h)=B_{-1,-1,1}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3} &=abc(s^2+r^2+h^2)-srh(a^2+b^2+c^2) \\ &\qquad +\varepsilon_1\cdot(sbc(h^2+r^2-s^2)-arh(b^2+c^2-a^2)) \\ &\qquad+\varepsilon_2\cdot(arc(s^2+h^2-r^2)-sbh(a^2+c^2-b^2)) \\ &\qquad+\varepsilon_3\cdot(abh(s^2+r^2-h^2)-src(a^2+b^2-c^2)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Если хотя бы два экватора принадлежат классу $\mathrm{III}$, то справедливы утверждения: 1) третий экватор также принадлежит классу $\mathrm{III}$; 2) выполняются условия метрической пропорциональности (4.6); 3) все экваторы имеют нулевую сумму; 4) если не все экваторы метрически симметричны, то $P_{k}(a,b,c,s,r,h)=0$ для некоторого $k=0,1,2,3$. Доказательство. Без ограничения общности считаем, что $cfhg, bpre\in \mathrm{III}$. Тогда уравнения Кэли–Менгера для $K_1$ и $K_3$ имеют вид
Каждое условие разлагается на два одинаковых по структуре множителя. Изгибание четырехгранного угла в некотором конкретном положении описывается одним из двух (неприводимых) множителей. Таким образом, $y$ дробно-линейно выражается через $x$, а $x$ дробно-линейно выражается через $z$. Тогда $y$ дробно-линейно выражается через $z$, что по теореме 1 влечет $sqad\in \mathrm{III}$. Утверждение 1) доказано. По лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} afS_1=cqS_6, \\ hrS_6=feS_3, \\ pqS_3=srS_1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Перемножая эти уравнения, получаем
$$
\begin{equation*}
qrf(ahp-ces)S_1S_3S_6=0 \quad \Longrightarrow\quad ahp=ces.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получаются и остальные равенства утверждения 2).
Запишем условия принадлежности четырехгранных углов $K_1$ и $K_6$ классу $\mathrm{III}$ (см. соотношения (3.8) леммы 3):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (c^2-p^2-q^2)rs=\lambda pq(h^2-r^2-s^2), \qquad (f^2-q^2-r^2)sp=\lambda qr(g^2-p^2-s^2), \\ (c^2-b^2-a^2)ed=\widetilde{\lambda} ba(h^2-e^2-d^2), \qquad (f^2-a^2-e^2)db=\widetilde{\lambda} ae(g^2-b^2-d^2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Здесь $\lambda=\pm1$, $\widetilde{\lambda}=\pm1$, причем значение $+1$ соответствует случаю попарного равенства плоских углов при вершине четырехгранного угла, а значение $-1$ соответствует случаю их попарной дополнительности до $\pi$.
Выпишем многочлены Кэли–Менгера для $K_1$ и $K_6$ (их приводимость обеспечивается соотношениями (4.16)):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1(x,y)\,{=}\,\bigl[xy\,{-}\,(s\,{+}\,\lambda q)^2x\,{-}\,(p\,{+}\,r)^2y+\dotsb \bigr]\,{\cdot}\,\bigl[xy\,{-}\,(s\,{-}\,\lambda q)^2x\,{-}\,(p\,{-}\,r)^2y+\dotsb \bigr], \\ Q_6(x,y)\,{=}\,\bigl[xy\,{-}\,(d\,{+}\,\widetilde{\lambda} a)^2x\,{-}\,(b\,{+}\,e)^2y+\dotsb \bigr]\,{\cdot}\,\bigl[xy\,{-}\,(d\,{-}\,\widetilde{\lambda} a)^2x\,{-}\,(b\,{-}\,e)^2y+\dotsb \bigr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для нетривиальной изгибаемости октаэдра один из множителей в $Q_1(x,y)$ должен совпадать с одним из множителей в $Q_6(x,y)$ тождественно при всех $x$ и $y$. Это, в частности, приводит к попарному равенству коэффициентов при $x$ и коэффициентов при $y$ в выбранных множителях – так мы получаем необходимые условия изгибаемости. Видно, что из четырех априори возможных комбинаций годятся лишь две: первый сомножитель в $Q_1$ можно скомбинировать с первым сомножителем в $Q_6$, второй сомножитель в $Q_1$ можно скомбинировать со вторым сомножителем в $Q_6$. В остальных двух случаях развертка и ее изгибание вырождаются. Например, если в $Q_1$ выбрать первый множитель, а в $Q_6$ – второй, то получаем откуда следует, что экватор $bpre$ может быть реализован только как дважды покрытый отрезок, и его диагонали, таким образом, не могут изменяться в ходе изгибания. Пусть $k$ – параметр, отвечающий за выбор пары: $k=1$, если в $Q_1$ и $Q_6$ выбраны первые сомножители, и $k=-1$, если выбраны вторые.Далее, из четырех комбинаций параметров $\lambda=\pm1$ и $\widetilde{\lambda}=\pm1$ нам подойдут только комбинации с $\lambda=\widetilde{\lambda}$: легко видеть, что при $\lambda=-\widetilde{\lambda}$ экватор $sqad$ может быть реализован только как дважды покрытый отрезок. Таким образом, характеры условий на плоские углы (равенство или дополнительность до $\pi$) при вершинах четырехгранных углов $K_1$ и $K_6$ (соединенных диагональю $z$) должны быть одинаковыми. Пусть $k=1$. Приравнивая коэффициенты при $x$ первых множителей в $Q_1$ и $Q_6$, имеем откуда получаем где $m=\pm1$. Параметр $m$, таким образом, отвечает за выбор одного из двух возможных в этом случае необходимых условий на экватор $sqad$. Аналогично вводим в рассмотрение параметр $n=\pm1$, отвечающий за выбор одного из возможных условий, исходя из равенства коэффициентов при $y$. В случае $k= -1$ параметры $m$ и $n$ вводятся аналогично.Итак, для многочленов $Q_1$ и $Q_6$, соответствующих вершинам диагонали $z$, все возможные случаи описываются параметрами $\lambda$, $k$, $m$ и $n$. Каждый из параметров принимает значения $\pm1$ независимо от других, поэтому общее число случаев равно $2^4=16$. Проведем аналогичные рассуждения для многочленов, соответствующих вершинам диагоналей $x$ и $y$. Удобно ввести в рассмотрение 12 параметров с индексами: $\lambda_1$, $k_1$, $m_1$, $n_1$ – параметры для углов $K_2$ и $K_4$ (диагональ $x$); $\lambda_2$, $k_2$, $m_2$, $n_2$ – параметры для углов $K_3$ и $K_5$ (диагональ $y$); $\lambda_3$, $k_3$, $m_3$, $n_3$ – параметры для углов $K_1$ и $K_6$ (диагональ $z$). Набор этих параметров, независимо друг от друга принимающих значения $\pm1$, будем называть конфигурацией. Общее количество конфигураций $\varkappa$ равно $2^{12}=4096$. Некоторые конфигурации могут приводить к вырожденным разверткам или тривиальным изгибаниям. Для каждой конфигурации приводимость многочленов Кэли–Менгера обеспечивается условиями на плоские углы
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &(a^2-b^2-c^2)pg=\lambda_1bc(s^2-p^2-g^2), &\ \quad &(q^2-c^2-p^2)gb= \lambda_1cp(d^2-b^2-g^2), \\ &(a^2-e^2-f^2)rh=\lambda_1ef(s^2-r^2-h^2), &\ \quad &(q^2-f^2-r^2)he= \lambda_1fr(d^2-e^2-h^2), \\ &(p^2-q^2-c^2)af=\lambda_2qc(e^2-a^2-f^2), &\ \quad &(b^2-c^2-a^2)fq= \lambda_2ca(r^2-q^2-f^2), \\ &(p^2-s^2-g^2)dh=\lambda_2sg(e^2-d^2-h^2), &\ \quad &(b^2-g^2-d^2)hs= \lambda_2gd(r^2-s^2-h^2), \\ &(c^2-p^2-q^2)rs=\lambda_3pq(h^2-r^2-s^2), &\ \quad &(f^2-q^2-r^2)sp= \lambda_3qr(g^2-p^2-s^2), \\ &(c^2-b^2-a^2)ed=\lambda_3ba(h^2-e^2-d^2), &\ \quad &(f^2-a^2-e^2)db= \lambda_3ae(g^2-b^2-d^2). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Сами же многочлены Кэли–Менгера имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_2(z,y) &=\bigl[zy-(g+\lambda_1 c)^2z-(b+p)^2y+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[zy-(g-\lambda_1 c)^2z-(b-p)^2y+\dotsb \bigr], \\ Q_4(z,y) &=\bigl[zy-(h+\lambda_1 f)^2z-(e+r)^2y+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[zy-(h-\lambda_1 f)^2z-(e-r)^2y+\dotsb \bigr], \\ Q_3(z,x) &=\bigl[zx-(f+\lambda_2 c)^2z-(q+a)^2x+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[zx-(f-\lambda_2 c)^2z-(q-a)^2x+\dotsb \bigr], \\ Q_5(z,x) &=\bigl[zx-(h+\lambda_2 g)^2z-(s+d)^2x+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[zx-(h-\lambda_2 g)^2z-(s-d)^2x+\dotsb \bigr], \\ Q_1(x,y) &=\bigl[xy-(s+\lambda_3 q)^2x-(p+r)^2y+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[xy-(s-\lambda_3 q)^2x-(p-r)^2y+\dotsb \bigr], \\ Q_6(x,y) &=\bigl[xy-(d+\lambda_3 a)^2x-(b+e)^2y+\dotsb \bigr] \\ &\qquad\times\bigl[xy-(d-\lambda_3 a)^2x-(b-e)^2y+\dotsb \bigr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или, коротко, для $j=1,\dots ,6$
Значения параметров $k_1$, $k_2$, $k_3$ определяют выбор одного из двух сомножителей в каждом из шести выражений $Q_j$. Приравнивая эти сомножители нулю, получаем уравнения, описывающие изгибание октаэдра. Приравнивая коэффициенты этих уравнений при первых степенях $x$, $y$, $z$, для каждой конфигурации $\varkappa$ получаем свою систему из шести необходимых условий
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g+\lambda_1 k_1 c+m_1 (h+\lambda_1 k_1 f)=0, \\ f+\lambda_2 k_2 c+m_2 (h+\lambda_2 k_2 g)=0, \\ s+\lambda_3 k_3 q+m_3 (d+\lambda_3 k_3 a)=0, \\ b+k_1 p+n_1 (e+k_1 r)=0, \\ q+k_2 a+n_2 (s+k_2 d)=0, \\ p+k_3 r+n_3 (b+k_3 e)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
В левой части каждого из уравнений системы (4.19) записана алгебраическая сумма (взятых со знаками плюс или минус) длин ребер одного из экваторов. Будем говорить, что конфигурация допустима, если в записи каждого из уравнений системы (4.19) имеется в точности по два ребра со знаком плюс и со знаком минус. В случае иного распределения знаков получаем вырождение или самой развертки, или ее изгибания. Поэтому мы будем рассматривать только допустимые конфигурации, и тогда каждое из уравнений системы (4.19) задает условие нулевой суммы соответствующего экватора. Таким образом, утверждение 3) доказано. Пусть конфигурация $\varkappa$ допустима. Если первые два уравнения в (4.19) независимы (не пропорциональны, т.е. представляют собой разные условия нулевой суммы), то экватор $cfhg$ метрически симметричен: $cfhg\in M_0\,{\cup}\, M_x\,{\cup}\, M_y\,{=}\,M$. Если же первые два уравнения в (4.19) пропорциональны, то относительно экватора $cfhg$ известно лишь, что он имеет нулевую сумму: $cfhg\,{\in}\, S_0\,{\cup}\, S_x\,{\cup}\, S_y\,{=}\,S$ (класс экваторов с нулевой суммой более широк по сравнению с классом метрически симметричных экваторов). Аналогичное наблюдение можно сделать для остальных двух пар уравнений в (4.19). Найдем соотношения между параметрами конфигурации, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнения в (4.19) были попарно пропорциональными. Лемма 8. Для того чтобы уравнения в (4.19) были попарно пропорциональны, необходимо и достаточно, чтобы параметры конфигурации удовлетворяли соотношениям Для доказательства достаточно переписать (4.19) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} s+\lambda_3 k_3 q+m_3\lambda_3 k_3 a+m_3 d=0, \\ s+n_2 q+n_2 k_2 a+k_2 d=0, \\ b+k_1 p+n_1 k_1 r+n_1 e=0, \\ b+n_3 p+n_3 k_3 r+k_3 e=0, \\ c+m_1 f+\lambda_1 k_1 m_1 h+\lambda_1 k_1 g=0, \\ c+\lambda_2 k_2 f+\lambda_2 k_2 m_2 h+m_2 g=0 \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
(учитываем, что любой параметр конфигурации равен $\pm1$, поэтому квадрат его равен $1$). Замечание 7. Смысл леммы 8 состоит в том, что среди всех конфигураций с данными $[\lambda, k]$ можно указать в точности одну такую, для которой уравнения в (4.19) попарно пропорциональны (параметры $[m,n]$ однозначно выражаются через $[\lambda, k]$). Здесь и далее мы используем квадратные скобки для обозначения наборов одноименных переменных с индексами от 1 до 3. Для такой конфигурации систему (4.19) можно (отбросив в (4.21) уравнения-дубликаты) переписать в виде Перейдем к доказательству утверждения 4) теоремы 5. Предложение. Для любой допустимой конфигурации $\varkappa=[\lambda,k,m,n]$ справедливо одно из следующих утверждений: 1) в (4.19) уравнения попарно пропорциональны; 2) есть такая допустимая конфигурацию $\varkappa'\,{=}\,[\lambda,k,m',n']$ (с теми же $\lambda$ и $k$, что и в исходной конфигурации $\varkappa$), для которой в (4.19) уравнения попарно пропорциональны; 3) (4.19) дает условия принадлежности классу $M_0$ хотя бы для одного из экваторов. Предложение доказывается простым перебором всех возможных вариантов конфигураций. Из приведенного предложения следует, что имеет смысл рассматривать только конфигурации с попарно пропорциональными уравнениями нулевой суммы (случай 1)): в случае 2) можно, изменив только параметры $[m,n]$, перейти к более общему случаю, т.е. когда система (4.19) задает более общие необходимые условия, но с теми же $[\lambda,k]$, а значит, с теми же условиями (4.17) и уравнениями изгибания (4.18); в случае же 3) по лемме 6 все экваторы метрически симметричны, что противоречит условию утверждения 4) доказываемой теоремы 5. Рассмотрим набор многочленов $T_k$, $k=1,\dots ,8$, и заметим, что их линейные комбинации приводимы:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} T_1=arh-sbh-src+srh, \\ T_2=abh-abc-sbc+arc, \\ T_3=arh-sbh+src-srh, \\ T_4=abh-abc+sbc-arc, \\ T_5=arh+sbh-src-srh, \\ T_6=abh+abc-sbc-arc, \\ T_7=arh+sbh+src+srh, \\ T_8=abh+abc+sbc+arc \end{cases} \quad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} T_1-T_2=(s+q)(b-r)(c-h), \\ T_3+T_4=(s-q)(b+r)(c-h), \\ T_4-T_6=(s-q)(b-r)(c+h). \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Рассмотрим все допустимые конфигурации с попарно пропорциональными уравнениями нулевой суммы (4.19). Список таких конфигураций формируется в ходе перебора, лежащего в основе доказательства приведенного предложения. Согласно замечанию 7 каждая такая конфигурация определяется своими параметрами $[\lambda,k]$, параметры $[m,n]$ вычисляются по формулам (4.21), а систему (4.19) можно переписать в виде (4.22). По условию не все экваторы метрически симметричны, а (4.22) имеет вид (4.11), поэтому применима лемма 7. Формулы (4.12) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} d=-\dfrac{bh(s+\lambda_3 k_3 k_2 a)}{\lambda_3 k_3 cr+k_2 bh}, \quad p=-\dfrac{cs(b+k_1 k_3 r)}{k_1 cs+k_3 ah}, \quad f=-\dfrac{ra(c+\lambda_1 k_1 \lambda_2 k_2 h)}{\lambda_2 k_2 ra+\lambda_1 k_1 sb}, \\ q=- \dfrac{cr(s+\lambda_3 k_3 k_2 a)}{\lambda_3 k_3 cr+k_2 bh}, \quad e=- \dfrac{ah(b+k_1 k_3 r)}{k_1 cs+k_3 ah}, \quad g=- \dfrac{sb(c+\lambda_1 k_1 \lambda_2 k_2 h)}{\lambda_2 k_2 ra+\lambda_1 k_1 sb}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Для каждой из рассматриваемых конфигураций подставим (4.24) в (4.17). После преобразований (умножение на общий знаменатель и разложение на множители) каждое уравнение в (4.17), оказывается, принимает форму $T_l\cdot P_k=0$ для некоторых $l=1,\dots ,8$, $k=0,\dots ,3$ (см. (4.15) и (4.23)). Сведем результаты в табл. 2, сгруппировав конфигурации по одинаковым наборам $[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3]$. Таблица 2
Для каждой из рассматриваемых конфигураций получаем 12 уравнений вида $T_l\cdot P_k=0$ (по числу уравнений в (4.17)), но нам нужны только некоторые из них. В каждом случае отбирается одно или два уравнения. Как правило, используется первое и второе уравнения первого столбца в (4.17). В случае, если берется только одно уравнение, в табл. 2 указано, каким оно идет по счету в первом столбце в (4.17). Для конфигурации, записанной в первой строке, предположение, что $P_0\ne 0$, влечет $T_1=0$, $T_2=0$, и в силу (4.23) $b=r$ или $c=h$, откуда с учетом (4.22) вытекает, что $bpre\in M_0$ или $cfhg\in M_0$, а значит, по лемме 6 все экваторы метрически симметричны, что противоречит условию. Значит, для этой конфигурации $P_0=0$. Для других конфигураций с двумя уравнениями вида $T_l\cdot P_k=0$ полностью аналогичное рассуждение позволяет сделать вывод, что $P_k=0$ (для соответствующего $k$). Для конфигураций с одним уравнением вида $T_l\cdot P_k=0$ из того, что $T_7\ne 0$, $T_8\ne 0$, сразу вытекает, что $P_k=0$ (для соответствующего $k$). В последнем столбце в табл. 2 для каждой конфигурации указано значение индекса многочлена $P_k$, обращающегося в нуль. Утверждение 4) доказано. Теорема 5 доказана. Замечание 8. В теореме 5 утверждение 4) не вытекает из утверждений 2) и 3): условия утверждений 2) и 3) задают многообразие с параметризацией вида (4.24), где переменные $a$, $b$, $c$, $h$, $s$, $r$ свободны, а условие $P_k=0$ из утверждения 4) задает связь между этими параметрами. Таким образом, для каждой конфигурации имеем в пространстве длин ребер многообразие размерности 5, что совпадает с размерностью, “предсказанной” теоремой 8.1 статьи [6]. Замечание 9. Конфигурации, соответствующие первым четырем комбинациям $[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3]$ из табл. 2, обладают некоторыми дополнительными свойствами. Во-первых, множитель $P_k$ с соответствующим $k$ (одним и тем же для данной конфигурации) входит (после подстановки (4.24)) не только в те уравнения системы (4.17), которые фигурируют в табл. 2, но и во все остальные уравнения этой системы. Поэтому условия приводимости всех шести многочленов Кэли–Менгера выполнены. Во-вторых, условия изгибаемости (приравненные нулю множители в (4.18), выбранные в соответствии с параметрами $k_1$, $k_2$, $k_3$ данной конфигурации) оказываются попарно совпадающими (отметим, что подстановка (4.24) дает равенство коэффициентов при первых степенях $x$, $y$, $z$, но не свободных членов, которые оказываются равными, только если дополнительно учесть, что $P_k=0$). В случае попарного равенства всех коэффициентов мы получаем три уравнения (а не шесть, как в общем случае), связывающих три диагонали. Такая система имеет непрерывное семейство решений (за исключением некоторых вырожденных случаев), что дает основания ожидать, что развертки, допускающие изгибаемые реализации, образуют в множестве разверток, соответствующих каждой из указанных конфигураций, множество полной размерности. Замечание 10. Конфигурации, соответствующие последним четырем комбинациям $[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3]$ из табл. 2, на самом деле невозможны: в этих случаях остальные уравнения в (4.17) дают дополнительные условия на длины ребер, которые оказываются несовместными. Доказательство этого факта получено, но оно очень громоздко и в здесь мы его не приводим. На справедливость теоремы 5 “пустота” этих случаев не влияет. Замечание 11. В качестве $B_{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3}$ можно взять и другой многочлен, аналогичный по структуре, но от других переменных (подойдут длины ребер любой пары противоположных граней). Формулировка теоремы 5 при этом сохраняется дословно, но в (4.13) нужно по-другому сгруппировать уравнения в три пары и решать уравнения относительно других переменных (тех, которые не вошли в выражение $B_{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3}$). Классификация, даваемая табл. 2, получается в точности такой же, но формулы (4.24) и выражения для $P_k$ получаются другими. Напомним, что ранее были введены в рассмотрение классы $A_1$ и $A_2$, соответствующие классам $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$ по Брикару (см. определение 3). Дадим теперь определение класса $A_3$, соответствующего классу $\mathrm{III}$ октаэдров Брикара (за вычетом октаэдров, принадлежащих одновременно классу $\mathrm{III}$ и (хотя бы) одному из классов $\mathrm{I}$ или $\mathrm{II}$). Определение 5. Будем говорить, что октаэдр принадлежит классу $A_3$, если выполняются условия метрической пропорциональности (4.6), все экваторы имеют нулевую сумму, не все они метрически симметричны, и $P_k=0$ для одного из $k=0,1,2,3$ (классы экваторов и значение $k$ выбираются в соответствии с одной из строк табл. 2). Приходим к утверждению, которое и дает искомую классификацию изгибаемых октаэдров. Доказательство. Из теорем 2–5 непосредственно следует, что выполняется по крайней мере одно из условий: 1) $K\in A_1 \cup A_2$; 2) у $K$ все три экватора класса $\mathrm{III}$. В последнем случае может так случиться, что все экваторы метрически симметричны, но тогда согласно лемме 5 снова $K\in A_1 \cup A_2$. Если же не все экваторы метрически симметричны, то с использованием теоремы 5 получаем, что $K\in A_3$.
Теорема доказана. Замечание 12. Любому октаэдру класса $A_3$ соответствует одна из строк табл. 2, а значит, и: Итак, для октаэдров всех трех типов имеются характеризующие их соотношения, в которых некоторые ребра выражаются через другие ребра (выступающие в роли параметров). В случае октаэдров типов $A_1$ и $A_2$ эти ребра-параметры свободны (соотношения имеют вид простых попарных равенств ребер), а в случае октаэдров типа $A_3$ соотношения задаются дробно-рациональными функциями (4.24) и ребра-параметры при этом связаны соотношением $P_k=0$ для одного из $k=0,1,2,3$. § 5. Сопоставление с известными результатами и нерешенные задачиСравним полученный результат с результатами классических работ. Р. Брикар в своей работе [1] рассматривает четырехгранный угол, метрика которого характеризуется четырьмя плоскими углами при вершине, а его реализация в пространстве – величинами двух смежных двугранных углов с одной общей гранью. Обозначая $t$ и $u$ тангенсы половин этих двугранных углов, Брикар приходит к уравнению в котором коэффициенты зависят от метрики четырехгранного угла (величин плоских углов его граней). Использование этого уравнения лежит в основе метода работы Брикара [1]: записывая такие уравнения для трех из шести четырехгранных углов октаэдра, Брикар находит записанные в терминах плоских углов условия на метрику октаэдра, при которых система уравнений имеет непрерывное семейство решений (что и соответствует случаю изгибаемости).Для случая четырехгранного угла $K_1$ (см. рис. 1, b) с использованием известной формулы, выражающей косинус двугранного угла между гранями тетраэдра через площади этих граней и длины ребер тетраэдра, можно получить формулы, выражающие квадраты величин $t$ и $u$ через квадраты $x$ и $y$ длин диагоналей, а также выразить коэффициенты уравнения (5.1) через длины ребер. После преобразований уравнение (5.1) превращается в уравнение Кэли–Менгера (см. (3.1) и (3.2)). Это позволяет сделать “перевод” выкладок Брикара с языка “геометрии углов” на язык “геометрии расстояний”, и в этом смысле подход нашей работы не является принципиально новым. Однако, во-первых, в сложном случае октаэдра 3-го типа попытка непосредственного перевода соответствующих уравнений на язык геометрии расстояний приводит к комбинации уравнений, дальнейшее совместное использование которых представляется затруднительным. В частности, совершенно не очевидно, как использовать полученные таким способом соотношения при отыскании коэффициентов $a_k(l)$ многочлена $Q(V)$ для объема октаэдра. Во-вторых, подход Брикара продемонстрировал свою эффективность пока только для октаэдров. Может так сложиться, что при изучении более сложных многогранников продуктивнее окажется как раз подход, использующий многочлены Кэли–Менгера. То есть нашу работу можно рассматривать и как направленную на расширение методологии исследований в том разделе геометрии, который И. Х. Сабитов называет “решением многогранников”. Наконец, при рассмотрении октаэдров 3-го типа Брикар рассматривает только один из возникающих случаев, говоря, что остальные случаи рассматриваются аналогично. Если бы Брикар рассмотрел (или хотя бы выписал) все возможные случаи (как это сделано в нашей работе – см. табл. 2), то текст его статьи стал бы существенно длиннее. Обратимся теперь к другой классической работе, посвященной изгибаемым многогранникам, – статье Г. Беннета [2]. В ней при описании октаэдра 3-го типа появляются новые (их не было у Брикара) необходимые условия на длины ребер: условия вида $a\pm b\pm c\pm d=0$ для ребер каждого из трех экваторов и четыре условия вида $a\cdot b\cdot c=p\cdot q\cdot r$ (у нас все эти условия появляются в теореме 5, мы их называли соответственно “условиями нулевой суммы” и “условиями метрической пропорциональности”). Однако Беннет не замечает, что независимыми из четырех условий метрической пропорциональности являются только три (любое из этих четырех условий является следствием трех других). Поэтому семь условий Беннета задают в 12-мерном пространстве ребер октаэдра многообразие размерности 6, а не 5, как утверждает Беннет, говоря, что размерность сконструированного им семейства изгибаемых октаэдров 3-го типа совпадает с размерностью многообразия в пространстве ребер. Однако такое утверждение о полноте размерности, тем не менее, все равно оказывается верным, так как длины ребер октаэдра 3-го типа, как оказалось, подчиняются еще одному уравнению, которое найдено в нашей работе (это условие $P_k=0$ из утверждения 4) теоремы 5) и которое не является следствием условий нулевой алгебраической суммы длин ребер экваторов и условий метрической пропорциональности (см. замечание 8). Развивая мысль о том, что два подхода (“через углы” и “через расстояния”) являются с содержательной точки зрения эквивалентными, можно установить, что условие $P_k=0$ не является совсем уж новым (хотя ни оно, ни какой бы то ни было его аналог не фигурирует в работе Беннета). А именно, оказывается, если условие (13) на с. 19 работы [1] записать через длины ребер (и обязательно с учетом условий метрической пропорциональности, которых Брикар, видимо, не заметил), то выражение $P_k$ будет входить как сомножитель в полученное выражение, но там будут и другие “скобки”, причем даже с большим числом мономов. Все это говорит о нетривиальности метрического описания разверток, допускающих изгибаемые реализации, и о некотором, не побоимся этого слова, беспорядке в системе накопленных ранее представлений о том, как устроены эти объекты. Вообще говоря, вопрос о соотношении условий, необходимых или достаточных для изгибаемости октаэдров 3-го типа, до сих пор остается открытым. Например, есть геометрическое описание Лебега (см. [3]) октаэдров 3-го типа через описание их экваторов как четырехугольников, описанных в общем смысле вокруг трех концентрических окружностей, но нет утверждения, что это достаточное условие является и необходимым. Не останавливаясь на анализе остальных работ, скажем, что в целом с 1897 г. так и не появилась работа, в которой давалось бы такое описание изгибаемых октаэдров, которое позволяло бы применять к изучению и описанию их свойств методы “геометрии расстояний”. Наша настоящая работа как раз и призвана восполнить этот пробел. Упомянем теперь две задачи, при решении которых должно пригодиться найденное новое метрическое описание изгибаемых октаэдров. 1. Найденные в работе условия являются необходимыми для изгибаемости, так же, как и условия Брикара. Было бы интересно найти необходимые и достаточные условия существования изгибаемой реализации данного комплекса. Проиллюстрируем нетривиальность задачи парой фактов: (a) даже для комплекса, соответствующего октаэдру Брикара 1-го типа, во многих случаях существует как изгибаемая его реализация, так и неизгибаемая реализация (в виде выпуклого многогранника); (b) при этом существуют изгибаемые октаэдры Брикара 1-го типа, не имеющие выпуклых реализаций. Некоторые достаточные условия реализуемости получены в [17]. Но до полного исследования этого вопроса еще далеко. 2. Было бы интересно проверить высказанную И. Х. Сабитовым гипотезу, состоящую в том, что для любого октаэдра Брикара 3-го типа все коэффициенты $a_k(l)$ многочлена $Q(V)$ равны нулю и, соответственно, уравнение для объема должно принять вид $V^8=0$. Помимо того, что этот факт представляет и самостоятельный интерес, отсюда сразу следовало бы, в частности, что соответствующая развертка не может быть реализована в виде выпуклого октаэдра. Найденное метрическое описание класса $A_3$, использующее формулы (4.24), позволяет искать вид коэффициентов $a_k(l)$ для октаэдров 3-го типа, просто подставив (4.24) в $a_k(l)$. Настоящая работа выполнена с использованием оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М. В. Ломоносова. БлагодарностиАвтор выражает искреннюю благодарность И. Х. Сабитову и Д. И. Сабитову за ценные замечания и советы, а также рецензенту статьи, замечания которого помогли существенно улучшить работу (в частности, ликвидировать некоторые пробелы в доказательстве). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mik23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|