| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Центральные расширения и теорема Римана–Роха на алгебраических поверхностях Д. В. Осиповabc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9623 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей статье рассматриваются локально свободные пучки, адели и теорема Римана–Роха на алгебраических поверхностях. Но сначала мы кратко напомним хорошо известный случай алгебраических кривых. Напомним, что два векторных подпространства $A$ и $B$ в вектором пространстве $V$ над полем $k$ соизмеримы (см. [20]), т.е. $A \sim B$, если и только если Для таких подпространств $A$ и $B$ обозначим их относительную размерностьЗафиксируем $k$-векторное подпространство $K$ в $V$ и любые $k$-векторные подпространства $D_1 $ и $D_2 $ в $V$ такие, что $D_1 \sim D_2$ и пространства являются конечномерными $k$-векторными пространствами для $i \in \{1,2\}$. Обозначим для $i\in\{1,2\}$ Тогда получаем (см., например, [6; п. 14.14, упражнения 14.59–14.61]) “абстрактную теорему Римана–Роха”Пусть $n \geqslant 1$ – целое число. Для гладкой проективной кривой $S$ над полем $k$ рассмотрим
$$
\begin{equation*}
V=\mathbb{A}_S^n, \quad\text{где }\ \mathbb{A}_S=\sideset{}{'}\prod_{p \in S} K_p;
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbb{A}_S$ является пространством аделей кривой $S$, и $K_p$ есть поле частных пополнения $\widehat{\mathcal O}_p$ локального кольца $\mathcal O_p$ в (замкнутой) точке $p \in S$. Рассмотрим $K=k(S)^n$, где $k(S)$ – поле рациональных функций на кривой $S$. Рассмотрим теперь локально свободный пучок $\mathcal F$ $\mathcal O_S$-модулей ранга $n$ на кривой $S$. Слой пучка $\mathcal F$ в общей точке $\operatorname{Spec} k(S)$ кривой $S$ является $k(S)$-векторным пространством. Зафиксируем базис $e_0$ этого векторного пространства. Для любой (замкнутой) точки $p \in S$ пополнение слоя $\mathcal F_p$ пучка $\mathcal F$ в точке $p$ есть свободный $\widehat{\mathcal O}_p$-модуль. Зафиксируем базис $e_p$ этого модуля. Для всех (замкнутых) точек $p \in S$ рассмотрим матрицы перехода $\gamma_{01,p} \in \mathrm{GL}_n(K_p)$, определенные при помощи равенства $e_0=\gamma_{01,p} e_p $, вычисленного внутри $K_p$-векторного пространства $\mathcal F_p \otimes_{\mathcal O_p} K_p$. Элемент, задаваемый набором матриц
$$
\begin{equation*}
\gamma_{01, \mathcal F}=\prod_{p \in S} \gamma_{01, p}\in \mathrm{GL}_n\biggl(\prod_{p \in S} K_p\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит подгруппе $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_S)$. Отметим, что выбранный и зафиксированный базис $e_0$ задает вложение пучка $\mathcal F$ в постоянный пучок $K$ на кривой $S$. Поэтому с пучком $\mathcal F$ можем ассоциировать в пространстве $V$ $k$-векторное подпространство $D_{\mathcal F}$, которое явно задается следующим образом: где $D=\bigl(\prod_{p \in S} \widehat{\mathcal O}_p\bigr)^n$ есть $k$-векторное подпространство пространства $V$.Заметим, что $D_{\mathcal F} \sim D$. Теперь, применяя формулу (1.1) для $k$-векторных подпространств $D_{\mathcal F}$ и $D$ и используя адельный комплекс для пучка $\mathcal F$ на кривой $S$, из которого следуют равенства
$$
\begin{equation*}
H^i(D_{\mathcal F})=H^i(S, \mathcal F), \qquad H^i(D)=H^i(S, \mathcal O_S^n)
\end{equation*}
\notag
$$
для $i \in \{0, 1\}$, получаем теорему Римана–Роха для пучка $\mathcal F$ на кривой $S$:
$$
\begin{equation}
\chi(\mathcal F) -n \chi(\mathcal O_S)=c_1(\mathcal F),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\chi (\mathcal F)$ есть эйлерова характеристика пучка $\mathcal F$ на кривой $S$. И первое число Чженя $c_1(\mathcal F)$ получается из гомоморфизма групп
$$
\begin{equation}
\deg\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_S)\to \mathbb Z, \qquad a \mapsto [a D\mid D]
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
как $c_1(\mathcal F)=\deg(\gamma_{01, \mathcal F})$. Вышеописанное может быть названо локальным (или адельным) разложением для разности эйлеровых характеристик пучка $\mathcal F$ и пучка $\mathcal O_S^n$. Пусть теперь $X$ – гладкая проективная алгебраическая поверхность над полем $k$. Тогда имеется кольцо аделей Паршина–Бейлинсона $\mathbb{A}_X$ поверхности $X$ (см. [14], [1], [5], [8], [16] и § 2 далее). Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_X=\sideset{}{'}\prod_{x \in C} K_{x,C} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C},
\end{equation*}
\notag
$$
где (“двумерное”) адельное произведение берется по всем парам $x \in C$, где $C$ – неприводимая кривая на поверхности $X$ и $x$ – точка на кривой $C$, а артиново кольцо $K_{x,C}$ есть конечное прямое произведение двумерных локальных полей, и это произведение состоит из одного поля, если точка $x$ гладкая на кривой $C$ (где точка $x$ – обычная замкнутая точка). Каждое двумерное локальное поле, появляющееся здесь, изоморфно полю итерированных рядов Лорана $k'((u))((t))$, где $k'$ – конечное расширение поля $k$. Кроме того, вместо гомоморфизма (1.3) теперь имеется каноническое центральное расширение (см. подробнее в п. 2.1 далее):
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Цель настоящей статьи – связать это центральное расширение с теоремой Римана–Роха для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$, используя матрицы перехода для этого пучка, полученные из базисов пополнений слоев пучка в схемных точках поверхности $X$. Из этого центрального расширения каноническим образом получается другое центральное расширение $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ (см. п. 2.2) группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$ такое, что при помощи матриц перехода $\alpha_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ (где $i \ne j$ из $\{0,1,2\}$) для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на $X$ и при помощи центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ можно получить второе число Чженя $c_2$ этого пучка. Это было сделано в [11]; см. также замечание 9. Кроме того, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ являются аналогами для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей на поверхности $X$ матриц перехода $\gamma_{01}$ для локально свободного пучка $\mathcal O_S$-модулей на кривой $S$; см. рассуждения выше. (Мы опустили здесь указания на пучок в обозначениях матриц перехода.) Для решения вышеописанных задач используются канонические подъемы матриц перехода $\alpha_{ij}$ пучка из группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ в группы $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ и $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$. Таким образом, получается локальное (или адельное) разложение для разностей эйлеровых характеристик локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ и пучка $\mathcal O_X^n$; см. замечание 10. Можно сказать также, что главной частью настоящей статьи является вычисление целого числа $\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}$, где $\widetilde{\alpha_{ij}}$ – канонический подъем матрицы $\alpha_{ij}$ из группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$. Это целое число не зависит от выбора матриц перехода $\alpha_{ij}$. Указанное вычисление проводится двумя способами. Первый способ приводит к теореме 1 и использует адельные комплексы для локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$; см. предложение 1. Для второго способа предполагается, что основное поле $k$ совершенно, и используется “самодвойственность” пространства аделей $\mathbb{A}_X$, основанная на законах взаимности на поверхности $X$ для вычетов дифференциальных $2$-форм на двумерном локальном поле, введенных и изученных в [14]. Этот второй способ приводит в теореме 2 к ответу, выраженному также через другие инварианты пучка и поверхности $X$. Из сравнения этих двух ответов (после теорем 1 и 2) получается теорема Римана–Роха для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера). Отметим, что взаимосвязь теоремы Римана–Роха на алгебраической поверхности с локальными конструкциями обсуждалась также в [2], [4], [17], но без использования кольца аделей на поверхности. Статья организована следующим образом. В п. 2.1 кратко напоминаются адели на алгебраических поверхностях и также конструкция центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$. В п. 2.2 напоминается конструкция центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$. Это центральное расширение получается из центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$. В замечании 2 сравниваются эти центральные расширения с точки зрения когомологий групп. В § 3 строятся специальные элементы в $\mathbb Z$-торсорах. Эти элементы связаны со специальными $k$-векторными подпространствами и подкольцами кольца $\mathbb{A}_X$. Подпространства и подкольца связаны с точками и неприводимыми кривыми на поверхности $X$. В § 4 обсуждаются различные формулы (формула (4.1) и предложение 2) для индекса пересечения дивизоров на поверхности $X$, связанные со специальными элементами, построенными в § 3, и с центральным расширением $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$. В § 5 строятся канонические расщепления центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ над специальными подгруппами группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$. Обсуждаются свойства этих расщеплений. В замечании 7 напоминаются соответствующие расщепления и их свойства для центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ из [11]. В § 6 вводятся матрицы перехода $\alpha_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$ и канонические подъемы $\widetilde{\alpha_{ij}}$ матриц $\alpha_{ij}$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ при помощи канонических расщеплений из § 5. В § 7 целое число
$$
\begin{equation*}
f_{\mathcal E}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} =(\chi(\mathcal E)-n \chi(\mathcal O_X))-2 \mathrm{ch}_2(\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
вычисляется первым способом, где рациональное число $\mathrm{ch}_2(\mathcal E)$ равно $\frac{1}{2}c_1(\mathcal E)^2 -c_2(\mathcal E)$. В § 8 в случае, когда поле $k$ совершенно, целое число
$$
\begin{equation*}
f_{\mathcal E}=-\frac{1}{2} K \cdot c_1(\mathcal E)-\mathrm{ch}_2 (\mathcal E)
\end{equation*}
\notag
$$
вычисляется другим способом, где $K \simeq \mathcal O_X(\omega)$, $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$, $\omega \ne 0$. Далее выводится теорема Римана–Роха для пучка $\mathcal E$. Я благодарен А. Н. Паршину за некоторые обсуждения и комментарии. Исходной мотивацией для настоящей статьи было обсуждение с ним, что из адельной техники на алгебраической поверхности должна следовать теорема Римана–Роха. § 2. Конструкции центральных расширений группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$2.1. Кольцо аделей на поверхности и первое центральное расширениеКак уже было отмечено в § 1, на протяжении всей статьи $X$ – это гладкая проективная алгебраическая поверхность над полем $k$. Однако для конструкций из § 2 не важно, что $X$ проективна. Напомним (см., например, обзор [8] и также [11; п. 2.1]), что кольцо аделей поверхности $X$ есть
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_X=\mathbb{A}_X=\sideset{}{'}\prod_{x \in C} K_{x,C} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C}
\end{equation*}
\notag
$$
и каждое кольцо $K_{x,C}=\prod_i K_i$ есть конечное прямое произведение двумерных локальных полей $K_i$, и каждое двумерное локальное поле $K_i$ соответствует формальной ветви кривой $C$ в точке $x$. Определим подкольцо $\mathbb{A}_{12} \subset \mathbb{A}_X$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_X \cap\prod_{x \in C} \mathcal O_{K_{x,C}} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal O_{K_{x,C}}=\prod_i \mathcal O_{K_i}$ есть конечное прямое произведение колец дискретного нормирования $\mathcal O_{K_i}$ полей $K_i$. (Если поле $K_i$ изоморфно полю $k_i((u))((t))$, то кольцо $\mathcal O_{K_i}$ изоморфно кольцу $k_i((u))[[t]]$.) Для любого локально линейно компактного $k$-векторного пространства (или, другими словами, тейтовского векторного пространства) $U$ напомним каноническую конструкцию $\mathbb Z$-торсора $\operatorname{Dim}(U)$ из [7]. Как множество торсор $\operatorname{Dim}(U)$ состоит из всех отображений $d$ (которые названы “теориями размерности” в [7]) из множества всех открытых линейно компактных $k$-векторных подпространств пространства $U$ в группу $\mathbb Z$, удовлетворяющих свойству где $Z_1$, $Z_2$ – любые открытые линейно компактные $k$-векторные подпространства пространства $U$. Группа $\mathbb Z$ действует на множестве $\operatorname{Dim}(U)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(m+d)(Z_1)=d(Z_1)+m, \quad \text{где }\ m \in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой точной последовательности локально линейно компактных $k$-векторных пространств
$$
\begin{equation}
0 \to U_1 \xrightarrow{\phi_1} U_2 \xrightarrow{\phi_2} U_3 \to 0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\phi_1$, $\phi_2$ – непрерывные отображения и $\phi_1$ – замкнутое вложение, имеем канонический изоморфизм
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{Dim}(U_1) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(U_3) \to\operatorname{Dim}(U_2), \\ d_1 \otimes d_3 \mapsto d_2, \qquad d_2(Z)=d_1(Z \cap U_1)+d_3(\phi_2(U_1)) \notag, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $Z$ – открытое линейно компактное $k$-векторно подпространство пространства $U_2$. Для любого локально линейно компактного $k$-векторного пространства $U$ определим локально линейно компактное $k$-векторное пространство $\check{U}$ как $k$-векторное подпространство двойственного $k$-векторного пространства $U^*$ следующим образом: где $W$ пробегает по всем открытым линейно компактным $k$-векторным подпространствам пространства $U$, $k$-векторное подпространство $W^{\perp} \subset U^*$ есть аннулятор пространства $W$ в пространстве $U^*$ и пространство $W^{\perp}$, которое является двойственным векторным пространством к дискретному векторному пространству $U/W$, есть открытое линейно компактное $k$-векторное подпространство пространства $\check{U}$. Другими словами, пространство $\check{U}$ есть непрерывно двойственное пространство, т.е. оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов. Имеем канонический изоморфизм
$$
\begin{equation}
\operatorname{Dim}(U) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(\check{U}) \simeq \mathbb Z, \qquad d_1 \otimes d_2 \mapsto d_1(Z)+d_2(Z^{\perp}),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $Z \subset U$ – линейно компактное $k$-векторное подпространство, и результат не зависит от выбора подпространства $Z$. Пусть $D=\sum_{i} a_i C_i$ – любой дивизор на поверхности $X$, где $C_i$ – неприводимые кривые на $X$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_{12}(D)=\mathbb{A}_X \cap\prod_{x \in C} t_C^{-\nu_C(D)} \mathcal O_{K_{x,C}},
\end{equation*}
\notag
$$
где пересечение берется внутри пространства $\prod_{x \in C} K_{x,C}$, и пусть $t_C=0$ – уравнение (неприводимой) кривой $C$ в некотором открытом подмножестве поверхности $X$, $\nu_C(D) $ равно $a_i$ в случае $C=C_i$ и нулю в ином случае. (Определение подпространства $\mathbb{A}_{12}(D)$ не зависит от выбора элемента $t_C$.) Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_X=\varliminf_{D_2} \varliminf_{D_1 \geqslant D_2} \mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1),
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1)$ – локально линейно компактное $k$-векторное пространство и для любых дивизоров $D_1 \geqslant D_2 \geqslant D_3$ на поверхности $X$ точная последовательность
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1) \to \mathbb{A}_{12}(D_3)/\mathbb{A}_{12}(D_1) \to \mathbb{A}_{12}(D_3)/ \mathbb{A}_{12}(D_2) \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
имеет вид (2.1); см., например, [9; п. 2.2.3], [11; п. 2.3]. Пусть $n \geqslant 1$ – целое число. Определение 1. $k$-векторное подпространство $E$ пространства $\mathbb{A}_X^n$ называется решеткой, если и только если имеются дивизоры $D_1$ и $D_2$ на поверхности $X$ такие, что и образ пространства $E$ в пространстве $\mathbb{A}_{12}(D_2)^n/ \mathbb{A}_{12}(D_1)^n$ – замкнутое $k$-векторное подпространство. Если $E_1 \subset E_2$ – решетки, то $E_2/ E_1$ – локально линейно компактное $k$-векторное пространство с фактортопологией и индуцированной топологией из локально линейно компактного $k$-векторного пространства $\mathbb{A}_{12}(D_2)^n/ \mathbb{A}_{12}(D_1)^n $. Определим в этом случае $\mathbb Z$-торсор:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)=\operatorname{Dim}(E_2/E_1) .
\end{equation*}
\notag
$$
Если $E_1 \subset E_2 \subset E_3$ – решетки, то точная последовательность имеет вид (2.1).Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ определим $\mathbb Z$-торсор:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)=\varliminf_E\operatorname{Hom}_{\mathbb Z} \bigl(\operatorname{Dim}(E_1/E),\operatorname{Dim}(E_2/E)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где прямой предел берется по всем решеткам $E \subset \mathbb{A}_X^n$ таким, что $E \subset E_i$ для $i=1$ и $i=2$. При этом используются следующие изоморфизмы $\mathbb Z$-торсоров для решеток $E \supset E'$ и $i=1$, $i=2$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(E_i/E) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E/E') \to\operatorname{Dim}(E_i/E'),
\end{equation*}
\notag
$$
для того, чтобы в этом прямом пределе определить отображения перехода
$$
\begin{equation*}
f \mapsto f', \qquad f'(a \otimes c)=f'(a) \otimes c.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, для любых решеток $E_1$, $E_2$, $E_3$ имеются канонические изоморфизмы $\mathbb Z$-торсоров
$$
\begin{equation}
\operatorname{Dim}(E_1 \mid E_2) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_2 \mid E_3) \to\operatorname{Dim}(E_1 \mid E_3),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
которые удовлетворяют диаграмме ассоциативности для четырех решеток. Нетрудно видеть, что для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и любой решетки $E$ $k$-векторное подпространство $g E$ есть снова решетка. Для любых решеток $E_1$, $E_2$ имеем очевидный изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(E_1 \mid E_2) \to\operatorname{Dim}(g E_1 \mid g E_2), \qquad d \mapsto g(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Эти рассуждения приводят к конструкции центрального расширения
$$
\begin{equation}
0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \xrightarrow{\Theta} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ – группа, которая состоит из всех пар $(g, d)$, а $g\,{\in}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и $d \in\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^n\mid g \mathbb{A}_{12}^n)$. Групповая операция и отображение $\Theta$ следующие:
$$
\begin{equation}
(g_1, d_1)(g_2, d_2)=(g_1 g_2, d_1 \otimes g_1(d_2)), \qquad \Theta((g,d))=g.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Замечание 1. Приведенная выше конструкция центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} $ есть частный случай более общей конструкции. Пусть $B$ является $C_2$-пространством над полем $k$ (или, если рассмотреть небольшие дополнительные ограничения, $2$-тейтовским векторным пространством над полем $k$); см. [9]. Тогда имеется каноническое центральное расширение (см. [12; п. 5.5, замечание 15]) 2.2. Второе центральное расширениеИз центрального расширения (2.5) получим другое центральное расширение (см. также подробнее в [11; п. 3.1]). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)=\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X) \rtimes \mathbb{A}_X^*,
\end{equation*}
\notag
$$
где группа обратимых элементов $\mathbb{A}_X^*$ кольца $\mathbb{A}_X$ действует на группе $\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)$ сопряжениями, т.е. внутренними автоморфизмами $h \mapsto aha^{-1}$, где $h \in \mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)$ и группа $\mathbb{A}_X^*$ вложена в группу $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ как $a \mapsto\operatorname{diag}(a,1, \dots, 1)$. Теперь положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}=\Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)) \rtimes \mathbb{A}_X^*,
\end{equation*}
\notag
$$
где группа $\mathbb{A}_X^*$ действует на группе $\Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X))$ при помощи внутренних автоморфизмов в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ посредством подъема элементов из группы $\mathbb{A}_X^*$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$, т.е. $a(g)=a' g a'^{-1} $, где $ g \in \Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X))$ и $a' \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ – любой элемент такой, что $\Theta(a')=\operatorname{diag}(a,1, \dots, 1)$. Ясно, что получается центральное расширение
$$
\begin{equation}
0 \to \mathbb Z \to \widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} {\to} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Это центральное расширение, ограниченное на подгруппу $\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)\,{\subset}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$, совпадает с центральным расширением $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$, ограниченным на эту подгруппу. Кроме того, по конструкции центральное расширение (2.7) канонически расщепляется над подгруппой $\mathbb{A}_X^*$. Замечание 2. Выясним, что означает переход от центрального расширения (2.5) к центральному расширению (2.7) с точки зрения когомологий групп. Напомним (см. [3; п. 1.7]), что центральное расширение $\widehat{C}$ группы $C=G \rtimes H$ при помощи группы $A$ эквивалентно следующим данным:
При этом изоморфизму центральных расширений соответствует изоморфизм данных. Используя это описание и то, что $H$ одновременно является подгруппой и факторгруппой группы $C$, получаем формулу и имеется точная последовательность
$$
\begin{equation}
0 \to H^1(H,\operatorname{Hom}(G,A)) \to T \xrightarrow{\psi} H^2(G,A)^H \xrightarrow{\phi} H^2(H,\operatorname{Hom}(G,A)),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
которую мы сейчас объясним. (Здесь действие группы $H$ на группах $\operatorname{Hom}(G,A)$ и $H^2(G,A)$ стандартное, полученное из действия на группе $G$.) Будем использовать, что для любого центрального расширения группа $\operatorname{Hom}(G,A)$ канонически изоморфна группе автоморфизмов центрального расширения (2.11), т.е. группе автоморфизмов группы $\widehat{G}$, которые индуцируют тождественные автоморфизмы на подгруппе $A$ и факторгруппе $G$.Рассмотрим любое центральное расширение $I$ из группы $H^2(G,A)^H$. Возникает группа $L(I)$, состоящая из подъемов действий элементов группы $H$ до действий на группе, соответствующей центральному расширению $I$, с тривиальным действием на подгруппе $A$. Группа $L(I)$ является расширением (в общем случае не центральным) группы $H$ при помощи группы автоморфизмов $\operatorname{Hom}(G,A)$ центрального расширения $I$. Класс изоморфизма этого не центрального расширения есть $\phi(I)$. Если $\phi(I)=0 $, то действие всей группы $H$ поднимается до действия на группе, соответствующей центральному расширению $I$, с тривиальным действием на подгруппе $A$. Элемент $t$ из группы $T$ есть класс изоморфизма следующих данных: центральное расширение $\psi(t)$ вместе с подъемом действия группы $H$ до действия на группу, соответствующую этому центральному расширению, с тривиальным действием на подгруппе $A$. Соответственно для любого центрального расширения $I$ из группы $\operatorname{Ker} \phi$ имеем, что $\psi^{-1}(I)$ есть множество классов эквивалентности групповых сечений $s$ естественного гомоморфизма $L(I) \to H$. Групповые сечения $s$ и $s'$ эквивалентны, если $s=\sigma_a s'$, где $\sigma_a$ – внутренний автоморфизм группы $L(I)$, задаваемый элементом $a$ из группы автоморфизмов $\operatorname{Hom}(G,A)$ центрального расширения $I$. Отсюда получается, что $\psi^{-1}(I)$ есть $H^1(H,\operatorname{Hom}(G,A))$-торсор. Отметим, что другое, вычислительное, построение и доказательство точности последовательности (2.10) вместе с продолжением этой точной последовательности вправо были проведены в [19]. Теперь переход от центрального расширения (2.5) к центральному расширению (2.7) есть проекция из группы $H^2(C, A)$ в группу $T$ в формуле (2.9). Заметим, что если группа $G$ совершенна, т.е. $[G,G]=G$, то $\operatorname{Hom}(G,A)=0$. Поэтому в этом случае из (2.9), (2.10) получаем Данное условие выполнено, например, если $C=\mathrm{GL}_n(F)$, $H=F^*$, $G=\mathrm{SL}_n(F)$, где $F$ – бесконечное поле (например, $F$ – это $n$-мерное локальное поле). Тогда имеем (ср. [10; п. 2.2])§ 3. Специально построенные элементы $\mathbb Z$-торсоровПусть для неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ поле $K_C$ – это пополнение поля $k(X)$ рациональных функций на поверхности $X$ по дискретному нормированию, задаваемому кривой $C$. Для точки $x$ на поверхности $X$ пусть $K_x=k(X) \cdot \widehat{\mathcal O}_{x,X}$ будет подкольцом поля частных $\operatorname{Frac} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$, где $\widehat{\mathcal O}_{x,X}$ – пополнение локального кольца точки $x$ на поверхности $X$. Имеются диагональные вложения
$$
\begin{equation}
\prod_{C \subset X} K_C\hookrightarrow\prod_{x \in C} K_{x,C}, \qquad\prod_{x \in X}K_x\hookrightarrow\prod_{x \in C} K_{x,C}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Имеются следующие подкольца кольца аделей $\mathbb{A}_X$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_{01}=\biggl(\prod_{C \subset X} K_C \biggr)\cap \mathbb{A}_X, \qquad \mathbb{A}_{02}=\biggl(\prod_{x \subset X} K_x\biggr)\cap \mathbb{A}_X,
\end{equation*}
\notag
$$
где пересечение берется внутри кольца $\prod_{x \in C} K_{x,C}$. Пусть $n \geqslant 1$ – целое число. Для решеток $E_1 \subset E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ (см. определение 1) определим $k$-векторное подпространство:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mu}_{E_1, E_2}=(E_2 \cap \mathbb{A}_{02}^n)/ (E_1 \cap \mathbb{A}_{02}^n) \subset E_2/ E_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что для любых дивизоров $D_2 \leqslant D_1$ на поверхности $X$ $k$-векторное подпространство
$$
\begin{equation*}
(A_{12}(D_2) \cap \mathbb{A}_{02}^n)/ (A_{12}(D_1) \cap \mathbb{A}_{02}^n)
\end{equation*}
\notag
$$
является открытым линейно компактным $k$-векторным подпространством пространства $\mathbb{A}_{12}(D_2)/ \mathbb{A}_{12}(D_1)$. Отсюда получаем, что $\widetilde{\mu}_{E_1, E_2}$ есть открытое линейно компактное $k$-векторное подпространство в пространстве $E_2/E_1$. Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ введем элемент однозначно определяемый следующими двумя правилами.1. Если $E_1 \subset E_2$, то $\mu_{E_1, E_2}$ есть “теория размерности”, которая равна $0$ на $k$-векторном подпространстве $\widetilde{\mu}_{E_1, E_2} \subset E_2/E_1$. 2. Для произвольных решеток $F_1$, $F_2$, $F_3$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ имеем
$$
\begin{equation}
\mu_{F_1, F_2} \otimes \mu_{F_2, F_3}=\mu_{F_1, F_3}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
по отношению к изоморфизму (2.4). Замечание 3. Для построения элемента $\mu_{E_1, E_2} \subset\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)$ не важно, что $X$ – проективная поверхность. Аналогично, для решеток $E_1 \subset E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ определим $k$-векторное подпространство:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\nu}_{E_1, E_2}=(E_2 \cap \mathbb{A}_{01}^n)/ (E_1 \cap \mathbb{A}_{01}^n) \subset E_2/ E_1.
\end{equation*}
\notag
$$
$k$-векторное подпространство $\widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \subset E_2/E_1$ есть дискретное подпространство такое, что факторпространство пространства $E_2/E_1$ по этому подпространству есть линейно компактное пространство. (Этот факт легко сначала увидеть в случае решеток $E_1=\mathbb{A}_{12}(D_1)$, $E_2=\mathbb{A}_{12}(D_2)$, где $D_1$ и $D_2$ – дивизоры на поверхности $X$. Для этого случая утверждение выполнено, так как для любой проективной кривой $C$ на поверхности $X$ поле рациональных функций $k(C)$ есть дискретное подпространство в пространстве аделей кривой $C$, и факторпространство этого пространства аделей по подпространству $k(C)$ является линейно компактным $k$-векторным пространством. Последнее утверждение следует, например, из адельного комплекса кривой $C$ и того, что пространства когомологий когерентных пучков на кривой $C$ есть конечномерные $k$-векторные пространства.) Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ введем элемент однозначно определяемый следующими двумя правилами.1. Если $E_1 \subset E_2$, то $\nu_{E_1, E_2} \in\operatorname{Dim}(E_2/ E_1)$ определяется из точной последовательности
$$
\begin{equation*}
0 \to \widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \to E_2/ E_1 \to (E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первый ненулевой член есть дискретное пространство и последний ненулевой член есть линейно компактное пространство. В соответствии с (2.4) имеется канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(\widetilde{\nu}_{E_1, E_2}) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}((E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}) \to\operatorname{Dim}(E_2/ E_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь $\nu_{E_1, E_2}=\nu_1 \otimes \nu_2$, где $\nu_1 \in\operatorname{Dim}(\widetilde{\nu}_{E_1, E_2})$ есть ”теория размерности”, которая равна $0$ на нулевом подпространстве дискретного пространства $\widetilde{\nu}_{E_1, E_2}$, и $\nu_2 \in\operatorname{Dim}((E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2})$ есть “теория размерности”, которая равна $0$ на всем линейно компактном $k$-векторном пространстве $(E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}$. 2. Для произвольных решеток $F_1$, $F_2$, $F_3$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ имеем
$$
\begin{equation}
\nu_{F_1, F_2} \otimes \nu_{F_2, F_3}=\nu_{F_1, F_3}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
по отношению к изоморфизму (2.4). Замечание 4. Для построения элемента $\nu_{E_1, E_2} \subset\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)$ важно, что $X$ – проективная поверхность. Отметим, что любой локально свободный подпучок $\mathcal O_X$-модулей $\mathcal E \subset k(X)^n$ ранга $n$ на поверхности $X$ задает решетку $\mathbb{A}_{12}(\mathcal E) \subset \mathbb{A}_X^n$ (см. [9; п. 2.2.3]), которая обобщает случай решетки $\mathbb{A}_{12} (\mathcal O_X^n)=\mathbb{A}_{12}^n$ и случай решетки $\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X(D))=\mathbb{A}_{12}(D)$ для $n=1$, где $D$ – дивизор на поверхности $X$. Предложение 1. Для любых ранга $n$ локально свободных подпучков $\mathcal O_X$-модулей $\mathcal F $ и $\mathcal G $ постоянного пучка $k(X)^n$ на поверхности $X$ выполнено где вычитание в левой части формулы имеет смысл, так как оно применяется к элементам $\mathbb Z$-торсора $\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}(\mathcal F)\,|\, \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)) $, и для любого пучка $\mathcal E$ в топологии Зарисского на поверхности $X$ обозначает его эйлерову характеристику. Доказательство. Из свойств левой (см. формулы (3.2), (3.3)) и правой частей формулы (3.4) видим, что достаточно предположить, что $\mathcal F \subset \mathcal G$. Для любого квазикогерентного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей на поверхности $X$ имеется адельный комплекс $\mathcal A_X(\mathcal E)$, который имеет ненулевые члены только в степенях $0$, $1$, $2$ и $H^i(X, \mathcal E)=H^i(\mathcal A_X(\mathcal E))$ (см., например, [8]).
Имеем каноническое вложение комплекса $\mathcal A_X(\mathcal F)$ в комплекс $\mathcal A_X(\mathcal G)$, так что факторкомплекс выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\nu}_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)} \oplus \widetilde{\mu}_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)} \to \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)/ \mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \\ x \oplus y \mapsto x+y. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем формулу (3.4), так как эйлерова характеристика последнего комплекса равна $\chi(\mathcal A(\mathcal G))-\chi(\mathcal A(\mathcal F))$. Предложение доказано. § 4. Индекс пересечения дивизоровНапомним теперь, как можно получить индекс пересечения дивизоров на поверхности $X$ при помощи центрального расширения (2.5), если $n=1$:
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} \xrightarrow{\Theta} \mathbb{A}_X^* \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим бимультипликативное и антисимметрическое отображение
$$
\begin{equation*}
\langle \cdot, \cdot \rangle \colon \mathbb{A}_X^* \times \mathbb{A}_X^* \to \mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
заданное для любых элементов $x, y \in \mathbb{A}_X^*$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\langle x, y \rangle=[x', y']=x' y' {x'}^{-1} {y'}^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x', y' \in \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ – любые элементы такие, что $\Theta(x')=x$ и $\Theta(y')=y$. Это определение не зависит от выбора элементов $x'$ и $y'$. Рассмотрим дивизор $D$ на поверхности $X$. Для любой неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ пусть $j_C^D \in K_C^*$ будет локальным уравнением для ограничения дивизора $D$ на схему $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C}$ при естественном морфизме $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C} \to X$, где $\mathcal O_{K_C}$ – кольцо дискретного нормирования поля $K_C$. Заметим, что $j_C^D \cdot v$, где $v \in \mathcal O_{K_C}^*$, есть снова такое же уравнение. Тогда при первом диагональном вложении из формулы (3.1) получаем, что элемент, задаваемый набором $j_{1,D}=\prod_C j_C^D$, где $C$ пробегает по всем неприводимым кривым $C$ на поверхности $X$, принадлежит подкольцу $\mathbb{A}_{01}^*$. Для любой точки $x$ на поверхности $X$ пусть $j_x^D \in K_x^*$ будет локальным уравнением для ограничения дивизора $D$ на схему $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$ при естественном морфизме $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X} \to X$. Заметим, что $j_x^D \cdot w$, где $w \in \widehat{\mathcal O}_{x,X}^*$, есть снова такое локально уравнение. Тогда при втором диагональном вложении из формулы (3.1) получаем, что элемент, задаваемый набором $j_{2,D}=\prod_x j_x^D$, где $x$ пробегает все точки $x$ поверхности $X$, принадлежит подкольцу $\mathbb{A}_{02}^*$. Для любых дивизоров $S$ и $T$ на поверхности $X$ имеем (см. предложение 2 из [11], основанное на [15; п. 2.2]) где $(S,T) \in \mathbb Z$ – индекс пересечения дивизоров $S$ и $T$ на $X$.Теперь приведем другое выражение для индекса пересечения дивизоров, основанное на формуле (4.1) и специальных подъемах элементов, как в § 3. Предложение 2. Для любых дивизоров $S$ и $T$ на поверхности $X$ имеем Доказательство. Второе равенство следует из первого равенства, так как $(S, T)=(-S, -T)$. Докажем первое равенство. Заметим, что для любого дивизора $D$ на поверхности $X$ имеем ${ j_{1,D} \cdot j_{2, D}^{-1} \in \mathbb{A}_{12}^* }$ и равенство $k$-векторных подпространств в пространстве $\mathbb{A}_X$:
$$
\begin{equation*}
j_{1,D} \mathbb{A}_{12}=j_{2, D} \mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_{12}(-D).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, чтобы вычислить $\langle j_{1, T}, j_{2,S} \rangle$, можем взять следующие специальные подъемы элементов $j_{1,T}$ и $j_{2,S}$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$:
$$
\begin{equation}
j_{1, T} \mapsto (j_{1, T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)}), \qquad j_{2,S} \mapsto (j_{2,S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)}).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Непосредственно из конструкции получаем
$$
\begin{equation}
j_{1,T} (\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)})=\nu_{\mathbb{A}_{12}(-T), \mathbb{A}_{12}(-T-S)},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
j_{2, S} (\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)})=\mu_{\mathbb{A}_{12}(-S), \mathbb{A}_{12}(-T-S)}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Теперь из формулы (4.1) имеем следующее равенство в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(j_{1,T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)})(j_{2,S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)}) \\ &\qquad =(j_{2, S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)})(j_{1,T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)}) (S,T), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где индекс пересечения $(S, T)$ рассматривается как элемент центральной подгруппы ${\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}}$. Теперь, используя определение групповой операции в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ и формулы (4.3), (4.4), получаем утверждение предложения. Замечание 5. Подъем элементов, аналогичный подъему элементов в формуле (4.2), был рассмотрен в [13; § 5] для дивизоров $S$ и $T=(\omega)- S$, где $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$. § 5. Канонические расщепленияПостроим канонические расщепления центральных расширений (2.5) и (2.7) над некоторыми подгруппами группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и исследуем свойства этих расщеплений. Предложение 3. Рассмотрим центральное расширение (2.5). 1. Отображение
$$
\begin{equation}
\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12}) \ni g \mapsto (g, 0) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $0$ – нулевая “теория размерности”, задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12})$. 2. Отображение
$$
\begin{equation}
\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02}) \ni g \mapsto (g, \mu_{\mathbb{A}_{12}^n, g \mathbb{A}_{12}^n}) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$. 3. Отображение
$$
\begin{equation}
\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01}) \ni g \mapsto (g, \nu_{\mathbb{A}_{12}^n, g \mathbb{A}_{12}^n}) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})$. 4. Расщепления (5.1) и (5.3) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\prod_C \mathcal O_{K_C})$. Расщепления (5.1) и (5.2) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\prod_x \widehat{\mathcal O}_{x,X})$. Расщепления (5.3) и (5.2) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(k(X))$. (Здесь мы используем диагональное вложение подгрупп; см. (3.1).) Замечание 6. Для построения расщеплений (5.1), (5.2) не важно, что поверхность $X$ проективна, но для построения расщепления (5.3) это важно. Доказательство предложения 3. 1. Этот пункт очевиден, так как $g \mathbb{A}_{12}^n=\mathbb{A}_{12}^n$ для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12})$. 2, 3. Эти пункты следуют из равенств
$$
\begin{equation*}
g \widetilde{\mu}_{E_1, E_2}=\widetilde{\mu}_{g E_1, gE_2}, \qquad h \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}=\widetilde{\nu}_{hE_1, hE_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_1\,{\subset}\, E_2$ – любые решетки в пространстве $\mathbb{A}_X^n$, а $g\,{\in}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$ и ${h\,{\in}\,\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})}$. 4. Здесь единственное нетривиальное утверждение – это совпадение расщеплений (5.3) и (5.2) над подгруппой $\mathrm{GL}_n(k(X))$. Для его доказательства заметим, что для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(k(X))$ выполнено $ g \mathbb{A}_{12}^n=\mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n) $ и что по предложению 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\nu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X^n), \mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X^n), \mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n)} =\chi(g\mathcal O_X^n)- \chi(\mathcal O_X^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь заметим, что пучок $g \mathcal O_X^n$ изоморфен пучку $\mathcal O_X^n$. Поэтому выполнено ${\chi(\mathcal O_X^n)=\chi(g \mathcal O_X^n) }$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\nu_{\mathbb{A}_{12}^n, g\mathbb{A}_{12}^n}=\mu_{\mathbb{A}_{12}^n, g\mathbb{A}_{12}^n},
\end{equation*}
\notag
$$
и два расщепления совпадают. (Отметим, что можно было бы применить предложение 1 только для случая $n=1$, так как $\mathrm{GL}_n(k(X))=\mathrm{SL}_n(k(X)) \rtimes k(X)^*$ и группа $\mathrm{SL}_n(k(X))$ совершенна, откуда следует, что любые два сечения любого центрального расширения группы $\mathrm{SL}_n(k(X))$ совпадают.) Предложение доказано. Пусть $n=n_1+n_2$, где $n_1$ и $n_2$ – положительные целые числа. Рассмотрим параболическую подгруппу
$$
\begin{equation*}
P_{n_1, n_2}=\left\{ \begin{pmatrix} \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{A}_X) & * \\ 0 & \mathrm{GL}_{n_2}(\mathbb{A}_X) \end{pmatrix}\right\} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p_i\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to P_{n_i}$, где $i=1$ или $i=2$, будут естественными гомоморфизмами. Предложение 4. Обратный образ центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ относительно вложения ${P_{n_1, n_2} \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ изоморфен сумме Бэра обратных образов $p_1^*(\widetilde{\mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{A}_X)})$ и $p_2^*(\widetilde{\mathrm{GL}_{n_2}(\mathbb{A}_X)}) $. Кроме того, расщепления (над специальными подгруппами) из предложения 3 совместимы с этим изоморфизмом. Доказательство. Конструкция изоморфизма непосредственно получается из точной тройки
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathbb{A}_X^{n_1} \to \mathbb{A}_X^n \to \mathbb{A}_X^{n_2} \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
из факта, что действие группы $P_{n_1, n_2}$ сохраняет эту тройку, из конструкции группы $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ и из изоморфизма (2.2). Совместимость сечений следует из точных троек
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathbb{A}_{01}^{n_1} \to \mathbb{A}_{01}^n \to \mathbb{A}_{01}^{n_2} \to 0, \qquad 0 \to \mathbb{A}_{02}^{n_1} \to \mathbb{A}_{02}^n \to \mathbb{A}_{02}^{n_2} \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
и того, что соответствующие группы $P_{n_1,n_2} \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})$ и $P_{n_1,n_2} \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$ действуют на этих тройках. Предложение доказано. Замечание 7. Прямой аналог предложения 3 верен для центрального расширения (2.7) (см. [11; предложение 4]), где используется, что Ситуация с обратным образом центрального расширения (2.7) относительно вложения ${P_{n_1, n_2} \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ отличается от ситуации, описанной в предложении 4 для центрального расширения (2.5); см. [11; предложение 3]. Это происходит вследствие того, что центральное расширение (2.7) связано со вторым числом Чженя локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$; см. [11; п. 3.3] и замечание 9 далее. § 6. Тривиализации локально свободных пучковОпишем тривиализации локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей над пополнениями локальных колец схемных точек поверхности $X$. Рассмотрим точку $x \in X$ как замкнутую схемную точку поверхности $X$, общую точку неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ как незамкнутую точку поверхности $X$, а также рассмотрим общую точку поверхности $X$. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Для (замкнутой) точки $x$ на поверхности $X$ пополнение слоя пучка $\mathcal E$ в точке $x$ есть свободный $\widehat{\mathcal O}_{x,X}$-модуль. Пусть $e_x$ – базис этого модуля. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$. Для неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ пополнение слоя пучка $\mathcal E$ в общей точке кривой $C$ есть свободный $\mathcal O_{K_C}$-модуль. Пусть $e_C$ – базис этого модуля. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C}$. Слой пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ есть $k(X)$-векторное пространство. Пусть $e_0$ – базис этого векторного пространства. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} k(X)$. Вкладывая пополнения слоев пучка $\mathcal E$ в схемных точках поверхности $X$ в тензорные произведения (над локальными кольцами точки) слоев пучка $\mathcal E$ и подходящих колец $K_x$, $K_C$ или $K_{x,C}$, получаем матрицы перехода
$$
\begin{equation*}
\alpha_{02, x} \in \mathrm{GL}_n(K_x), \qquad \alpha_{01,C} \in \mathrm{GL}_n(K_C), \qquad \alpha_{21,x,C} \in \mathrm{GL}_n(\mathcal O_{K_{x,C}}),
\end{equation*}
\notag
$$
определенные следующими уравнениями:
$$
\begin{equation*}
e_0=\alpha_{02,x}e_x, \qquad e_0=\alpha_{01,C}e_C, \qquad e_x=\alpha_{21,x,C} e_C.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим наборы матриц как $\alpha_{02}=\prod_x \alpha_{02,x}$, где $x$ пробегает по всем (замкнутым) точкам поверхности $X$, как $\alpha_{01}=\prod_C \alpha_{01,C}$, где $C$ пробегает по всем неприводимым кривым $C$ на поверхности $X$, как $ \alpha_{21}=\prod_{x \in C}\alpha_{21,x,C}$, где $x \in C$ пробегает по всем парам $x \in C$ с замкнутой точкой $x$ на неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$. Пусть теперь $\alpha_{ij}=\alpha_{ji}^{-1}$, где $i \ne j$ – элементы из множества $\{0, 1, 2 \}$. Тогда для любых элементов $i \ne j \ne k$ из множества $\{ 0,1,2\}$ имеем равенство (тождество коцикла) в группе $ \mathrm{GL}_n(\prod_{x \in C} K_{x,C})$, где мы используем диагональные вложения (3.1), Если изменить выбранные базисы, то матрицы изменятся следующим образом:
$$
\begin{equation}
\alpha_{02}\mapsto\alpha_{0} \cdot \alpha_{02}\cdot\alpha_{2}^{-1}, \qquad \alpha_{01}\mapsto\alpha_{0} \cdot \alpha_{01}\cdot\alpha_{1}^{-1}, \qquad \alpha_{21}\mapsto\alpha_{2} \cdot \alpha_{21}\cdot\alpha_{1}^{-1},
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{0} \in \mathrm{GL}_n(k(X)) \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X), \qquad \alpha_{1} \in \mathrm{GL}_n \biggl(\prod_C \mathcal O_{K_C}\biggr)\subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X), \\ \alpha_{2} \in \mathrm{GL}_n \biggl(\prod_x \widehat{\mathcal O}_{x,X}\biggr)\subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя диагональные вложения (3.1), при помощи несложных рассуждений можно показать (см. [11; п. 3.3]), что
$$
\begin{equation}
\alpha_{02} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02}), \qquad \alpha_{01} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01}), \qquad \alpha_{21} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12}) .
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Будем использовать обозначение $\alpha_{ij, \mathcal E}$ вместо обозначения $\alpha_{ij}$, если из контекста не ясно, с каким пучком связано это обозначение. Замечание 8. Если $n=1$, то $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$. Имеем (см. § 4) Определение 2. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Для любых элементов $i \ne j$ из множества $\{0, 1,2\}$ пусть $\widetilde{\alpha_{ij}}$ будет каноническим подъемом элемента $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ при помощи расщепления над соответствующей подгруппой; см. предложение 3 и формулу (6.3). Положим Это определение корректно, так как из формулы (6.1) следует, что $f_E \in \mathbb Z$, и по предложению 3 и формуле (6.2) целое число $f_{\mathcal E}$ зависит только от пучка $\mathcal E$, т.е. это целое число не зависит от выбора базисов $e_0$, $\{ e_x\}$, $\{ e_C\}$ для пучка $\mathcal E$. Как уже отмечалось ранее, цель настоящей статьи – вычислить целое число $f_E$ и связать вычисления этого целого числа, сделанное двумя разными способами, с теоремой Римана–Роха для пучка $\mathcal E$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера для пучка $\mathcal O_X$). Замечание 9. Для центрального расширения (2.7) § 7. Первый способ вычисления числа $f_{\mathcal E}$Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Вычислим целое число $f_{\mathcal E}$ (см. определение 2) первым способом. Предложение 5. Выполнены следующие свойства. 1. Рассмотрим точную тройку локально свободных пучков конечного ранга $\mathcal O_X$-модулей
$$
\begin{equation*}
0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E_2} \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $f_{\mathcal E}=f_{\mathcal E_1}+f_{\mathcal E_2}$. 2. Пусть $\pi\colon Y \to X$ – раздутие точки на поверхности $X$. Имеем $f_{\mathcal E}=f_{\pi^*(\mathcal E)}$. Доказательство. 1. Целые числа $f_{\mathcal E_i}$, где $i \in \{1,2,3\}$, не зависят от выбора базисов пучков $\mathcal E_i$ в пополнениях локальных колец схемных точек поверхности $X$. Поэтому можно выбрать сначала базисы для пучка $\mathcal E_1$ и затем дополнить их до базисов пучка $\mathcal E$. Отсюда получаем, что все матрицы перехода $\alpha_{ij}$ принадлежат подгруппе $P_{n_1, n_2} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$, где $n_1$ или $n_2$ – соответствующие ранги пучков $\mathcal E_1$ или $\mathcal E_2$. Теперь применим предложение 4. 2. (Ср. с доказательством теоремы 1 из [11].) Пусть $\pi$ – раздутие точки $x \in X$ и $\pi^{-1}(x)=R$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{A}_Y=\mathbb{A}_X \times \sideset{}{'}\prod_{p \in R}K_{p,R}.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Так как числа $f_{\mathcal E}$ и $f_{\pi^*(\mathcal E)}$ не зависят от выбора базисов для пучков $\mathcal E$ и $\pi^*(\mathcal E)$, то выберем специальные базисы. Зафиксируем тривиализацию пучка $\mathcal E$ на открытой окрестности точки $x$ на поверхности $X$. Эта тривиализация индуцирует базисы $e_0$, $e_x$, $e_R$ и $e_p$, где $p \in R$. Имеем канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\delta \colon \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \to \gamma^*(\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где вложение $\gamma\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)$ индуцировано разложением (7.1). Теперь для любых элементов $i \ne j $ из множества $\{0, 1, 2\}$ имеем где рассматриваем $\widetilde{\alpha_{ij, \pi^*(\mathcal E)}}$ как элементы группы $\gamma^*(\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)})$. Отсюда следует нужное утверждение. Далее обозначим так же индекс пересечения $\mathcal E \cdot \mathcal F=(\mathcal E, \mathcal F) \in \mathbb Z$ или $c_1(\mathcal E)^2=\mathcal E \cdot \mathcal E=(\mathcal E, \mathcal E) \in \mathbb Z$, где $\mathcal E$ и $\mathcal F$ – обратимые пучки на поверхности $X$. Теорема 1. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на гладкой проективной поверхности $X$ над полем $k$. Имеем Доказательство. Второе равенство – это переформулировка первого равенства в других обозначениях. Поэтому докажем первое равенство. Левая и правая части равенства аддитивны относительно коротких точных последовательностей локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей и сохраняются при раздутиях точек. В самом деле, для левой части равенства это следует из предложения 5, в правой части равенства для $\mathrm{ch}_2$ это следует из свойств $\mathrm{ch}_2$, а разность эйлеровых характеристик сохраняется при раздутии точки, так как утверждение сводится к простому случаю $\chi(\mathcal F)-\chi(\mathcal E)=\chi(\mathcal F/\mathcal E)$, где $\mathcal F$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$, $\mathcal E \subset \mathcal F$ и пучок $\mathcal F$ совпадает c пучком $\mathcal E$ в окрестности раздуваемой точки. Поэтому из принципа расщепления для локально свободных пучков на гладких поверхностях (ср. с доказательством теоремы 1 из [11]) следует, что достаточно доказать равенство для случая $n=1$. Итак, пусть $n=1$. Выбранный базис $e_0$ пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ задает вложение пучка $\mathcal E$ в постоянный пучок $k(X)$ на поверхности $X$. (Поэтому $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$.) Зафиксируем также другие базисы для пучка $\mathcal E$ и, следовательно, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$, где $i \ne j $ – элементы из множества $\{ 1,2\}$, как в § 6. Необходимо доказать, что
$$
\begin{equation}
f_{\mathcal E}=\bigl(\chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)\bigr) -(\mathcal E, \mathcal E).
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
По формуле (6.4), которая описывает индекс пересечения обратимых пучков как коммутатор подъема соответствующих элементов в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$, имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} =(-(\mathcal E, \mathcal E)) \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}},
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где целое число $ -(\mathcal E, \mathcal E) $ рассматривается как элемент центральной подгруппы $ \mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$. Кроме того, используя сопряжения, получаем
$$
\begin{equation*}
f_{\mathcal E}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}=\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}^{-1} =\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} =f_{\mathcal E} \cdot \widetilde{\alpha_{12}},
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
где целое число $ f_{\mathcal E}$ рассматривается как элемент центральной подгруппы $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$. Из формул (7.3), (7.4) получаем, что формула (7.2) будет следовать из следующей леммы. Лемма. Пусть $\mathcal E$ – обратимый пучок на поверхности $X$. Тогда имеем Заметим, что так как $\alpha_{02}$ и $\alpha_{10}$ являются элементами группы $\mathbb{A}_X^*$, то выполнено ${\alpha_{02} \cdot \alpha_{10}=\alpha_{10} \cdot \alpha_{02}=\alpha_{12}}$. Доказательство леммы. Второе равенство в утверждении леммы непосредственно следует из первого равенства и предложения 1. Поэтому докажем первое равенство. Пусть целое число $c \in \mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} $ такое, что $\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}=c \cdot \widetilde{\alpha_{12}} $. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha_{10}}=c \cdot \widetilde{\alpha_{20}} \cdot \widetilde{\alpha_{12}}.
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Заметим, что $\alpha_{12} \mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_{12}$. Поэтому $\widetilde{\alpha_{12}}=(\alpha_{12}, 0)$, где ${0 \in \mathbb Z=\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12} \mid \mathbb{A}_{12})}$. Следовательно, произведение с элементом $\widetilde{\alpha_{12}}$ в правой части формулы (7.5) не влияет на “теорию размерности”. Отсюда (см. также замечание 8, где явно выписаны матрицы перехода для обратимого пучка) при помощи прямого вычисления получаем, что
$$
\begin{equation*}
c=\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательства леммы и, следовательно, теоремы 1. Замечание 10. Из теоремы 1, замечания 9 и формулы (6.4) получаем следующее “локальное (адельное) разложение” для разности эйлеровых характеристик для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ и пучка $\mathcal O_X^n$, используя центральные расширения (2.5) и (2.7) и матрицы перехода для пучка $\mathcal E$: § 8. Второй способ вычисления числа $f_{\mathcal E}$ и теорема Римана–РохаИмеется второй способ вычислить целое число $f_{\mathcal E}$ для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Мы проведем это вычисление в этом параграфе. Этот второй способ приводит к ответу, выраженному также через другие инварианты пучка $\mathcal E$ и поверхности $X$; см. теорему 2 далее. Из сравнения этого ответа с ответом, полученным в теореме 1, сразу получаем теорему Римана–Роха для пучка $\mathcal E$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера); см. следствие ниже. Далее будем предполагать, что основное поле $k$ совершенно (это будет важно для теории двумерных вычетов, используемой далее). Идея для нового вычисления целого числа $f_{\mathcal E}$ состоит в использовании того факта, что пространство $\mathbb{A}_X$ самодвойственно как $C_2$-пространство над полем $k$ (или как $2$-тейтовское векторное пространство) и в проведении некоторых вычислений как на “двойственной стороне”. Точнее, самодвойственность пространства $\mathbb{A}_X$ задается следующим спариванием (ср. [13; § 2]). Зафиксируем дифференциальную форму $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$ такую, что $\omega \ne 0$. Теперь по форме $\omega $ построим билинейное симметрическое невырожденное спаривание при помощи вычетов на двумерных локальных полях (см. подробнее о вычетах на $n$-мерных локальных полях в [14], [21]):
$$
\begin{equation}
\mathbb{A}_X \times \mathbb{A}_X \to k \colon \{f_{x,C}\} \times \{ g_{x,C} \} \mapsto \sum_{x \in C}\operatorname{Tr}_{k(x)/k} \circ \operatorname{res}_{x,C} (f_{x,C} g_{x,C}\omega),
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где $\{ f_{x,C}\}$ и $\{ g_{x,C} \}$ – элементы из кольца $\sideset{}{'}\prod_{x \in C}K_{x,C}=\mathbb{A}_X$, и если $K_{x, C}=\prod_i K_i$, то вычет ${\operatorname{res}_{x, C}\colon \Omega^2_{K_{x,C}/k} \to k(x)}$ равен $\sum_i\operatorname{Tr}_{k_i/ k(x)} \circ\operatorname{res}_{K_i} $, где
$$
\begin{equation}
\operatorname{res}_{K_i} \colon \Omega^2_{K_i/k(x)} \to \Omega^2_{K_i/k_i} \to \widetilde{\Omega}^2_{K_i/k_i} \to k_i,
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
$K_i \simeq k_i((u))((t))$ и этот изоморфизм является гомеоморфизмом относительно естественных топологий. Первое отображение в формуле (8.2) есть естественное отображение, второе отображение есть отображение в “непрерывные дифференциальные формы”, т.е. в фактормодуль по $K_i$-подмодулю, порожденному элементами
$$
\begin{equation*}
f_1 \,df_2 \wedge df_3-f_1\,df_2 \wedge \biggl(\frac{\partial{f_3}}{\partial{u}}\,du+\frac{\partial{f_3}}{\partial{t}}\, dt\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и последнее отображение есть
$$
\begin{equation*}
\sum_{j,l} a_{j,l} u^j t^l \,du \wedge dt \mapsto a_{-1,-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{j,l} \in k_i$. Заметим также, что сумма (8.1) конечна. Сформулируем теперь теорему. Теорема 2. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на гладкой проективной поверхности $X$ над совершенным полем $k$. Тогда верно где $K \simeq \mathcal O_X(\omega)$, $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$, $\omega \ne 0$. Из теоремы 1 и теоремы 2 сразу получаем следствие. Замечание 11. Если $\mathcal E$ – обратимый пучок на поверхности $X$, то число Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать первое равенство в утверждении теоремы 2. При помощи тех же аргументов, как в начале доказательства теоремы 1, достаточно предположить, что $n=1$.
Для любого $k$-векторного подпространства $V \subset \mathbb{A}_X$ обозначим через $V^{\perp}$ аннулятор пространства $V$ в пространстве $\mathbb{A}_X$ относительно спаривания (8.1). Из законов взаимности на поверхности $X$ для вычетов дифференциальных $2$-форм на двумерных локальных полях (это законы взаимности “вдоль неприводимой кривой” и “вокруг точки”) можно получить (см. [14]), что для любого дивизора $D$ на поверхности $X$ выполнено
$$
\begin{equation}
\mathbb{A}_{12}(D)^{\perp}=\mathbb{A}_{12}((\omega)-D), \qquad \mathbb{A}_{02}^{\perp}=\mathbb{A}_{02}, \qquad \mathbb{A}_{01}^{\perp}=\mathbb{A}_{01}.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Имеется канонический изоморфизм групп (см. [12; п. 5.5.5])
$$
\begin{equation*}
\varphi \colon \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} \to \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}},
\end{equation*}
\notag
$$
где центральное расширение $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}}$ строится аналогично центральному расширению $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$, но начинать надо с решетки $\mathbb{A}_{12}^{\perp}$ вместо решетки $\mathbb{A}_{12}$ (ср. с замечанием 1). Точнее, группа $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}}$ состоит из всех пар $(g, d)$, где $g \in \mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)$ и ${d \in\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^{\perp} \mid g \mathbb{A}_{12}^{\perp})}$, с законом умножения, как в формуле (2.6). Явным образом изоморфизм $\varphi$ задается так: где используется канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}\mid g \mathbb{A}_{12}) \simeq\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^{\perp}\mid g^{-1} \mathbb{A}_{12}^{\perp}),
\end{equation*}
\notag
$$
основанный на равенстве $g^{-1} \mathbb{A}_{12}^{\perp}=(g \mathbb{A}_{12})^{\perp}$ и на каноническом изоморфизме $\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2) \simeq\operatorname{Dim} (E_1^{\perp}\mid E_2^{\perp})$, где $E_1$, $E_2$ – решетки в пространстве $\mathbb{A}_X$. Последний изоморфизм возникает из следующей цепочки изоморфизмов, где $E_3 $ – решетка такая, что $E_3 \subset E_1$, $E_3 \subset E_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Dim}(E_1\mid E_2) &\simeq\operatorname{Dim}(E_1\mid E_3) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_3\mid E_2) \simeq \operatorname{Dim}(E_1/E_3)^* \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_2/ E_3) \\ &\simeq \operatorname{Dim}(E_3^{\perp}/E_1^{\perp}) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_3^{\perp}/ E_2^{\perp})^* \simeq\operatorname{Dim}(E_1^{\perp}\mid E_2^{\perp}); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь ${}^*$ означает двойственный $\mathbb Z$-торсор и мы использовали канонические изоморфизмы (2.2) и (2.3). Отметим, что ограниченный на центральную подгруппу $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ изоморфизм $\varphi$ – тождественный морфизм в центральную подгруппу $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} $. Выбранный базис $e_0$ пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ задает вложение пучка $\mathcal E$ в постоянный пучок $k(X)$ на поверхности $X$. Поэтому $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$. Зафиксируем также другие базисы для пучка $\mathcal E$ и, следовательно, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$, где $i \ne j $ – элементы из множества $\{ 1,2\}$, как в § 6. Имеем
$$
\begin{equation*}
f_{\mathcal E}=\varphi(f_{\mathcal E})=\varphi(\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}) =\varphi(\widetilde{\alpha_{02}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{21}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{10}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда доказательство теоремы будет следовать из доказательства следующей формулы:
$$
\begin{equation*}
\varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}})=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} +(\mathcal E, \mathcal E)+(\mathcal E, \mathcal O_X(\omega)),
\end{equation*}
\notag
$$
где используется, что
$$
\begin{equation*}
-(\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})=\widetilde{\alpha_{01}} \cdot \widetilde{\alpha_{12}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы (6.4) для индекса пересечения обратимых пучков имеем
$$
\begin{equation*}
(\mathcal E, \mathcal E)=\langle \widetilde{\alpha_{01}}, \widetilde{\alpha_{02}} \rangle=\widetilde{\alpha_{01}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}+(\mathcal E, \mathcal E)=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{01}}\cdot\widetilde{\alpha_{02}}\cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}} \\ &\qquad =\widetilde{\alpha_{02}}\cdot (\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})\cdot\widetilde{\alpha_{02}}^{-1}=\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}}\cdot\widetilde{\alpha_{10}} \\ &\qquad =\widetilde{\alpha_{12}}\cdot(\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})\widetilde{\alpha_{12}}^{-1}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}\cdot\widetilde{\alpha_{21}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где используется, что сопряжение не меняет результат. Отсюда получаем, что для доказательства теоремы достаточно доказать формулу
$$
\begin{equation*}
\varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) -\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}=(\mathcal E, \mathcal O_X(\omega)).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $c=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}$. Отсюда следует $ c \cdot \widetilde{\alpha_{12}}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}$. Поэтому из леммы (см. § 7) получаем
$$
\begin{equation*}
c=\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь вычислим $d=\varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}})=\varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) $. Имеем
$$
\begin{equation}
d \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{21}})=\varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}).
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Из конструкции изоморфизма $\varphi$ и формул (8.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi (\widetilde{\alpha_{01}})=\varphi ((\alpha_{01}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \alpha_{01} \mathbb{A}_{12}}))=(\alpha_{10}, \nu_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}, \alpha_{10} \mathbb{A}_{12}^{\perp}})=(\alpha_{10}, \nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}), \\ \varphi (\widetilde{\alpha_{02}})=\varphi ((\alpha_{02}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \alpha_{02} \mathbb{A}_{12}}))=(\alpha_{20}, \mu_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}, \alpha_{20} \mathbb{A}_{12}^{\perp}})=(\alpha_{20}, \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}), \\ \varphi(\widetilde{\alpha_{21}})=\varphi((\alpha_{21}, 0))=(\alpha_{12}, 0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих формул и формулы (8.4), как и при вычислении числа $c$ выше (см. доказательство леммы), получаем
$$
\begin{equation*}
d=\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d -c &=(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)})-(\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)}) \\ &=(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)})+(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} ) \\ &\qquad +(\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)}) \\ &=(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} ) +(\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)}) \\ &\qquad+(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}) \\ &=\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} \\ &\qquad -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} \\ &=\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из предложения 2 получаем, что $d -c=(D, (\omega))$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|