| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Необходимые и достаточные условия продолжения функции до функции Каратеодори В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9611e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Классические критерии Каратеодори и ШураНапомним, что функция $\mathscr F (z)$, голоморфная в круге $\mathbb D:=\{ |z|<1\}$, называется функцией Каратеодори, если $\operatorname{Re} \mathscr F (z)\geqslant 0$, $z\in\mathbb D$, и называется функцией Шура, если $|\mathscr F (z)|\leqslant 1$, $z\in\mathbb D$. Множества функций Каратеодори и Шура будем обозначать соответственно через $\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$. В множествах $\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ функций Каратеодори и Шура обычно выделяют непересекающиеся подмножества $\mathfrak B_N^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B_N^{\mathtt{S}}$, $N\in\mathbb Z_+^\infty :=\{\infty,0,1,2,\dots \}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak B_0^{\mathtt{C}} &:=\bigl\{\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\colon \mathscr F (z)\equiv \lambda,\, \operatorname{Re} \lambda =0\bigr\}, \\ \mathfrak B_0^{\mathtt{S}} &:=\bigl\{\mathscr F (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}}\colon \mathscr F (z)\equiv \gamma,\, |\gamma |=1\bigr\}, \\ \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} &:=\biggl\{\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\colon \mathscr F(z)=\lambda_0+\sum_{k=1}^N\lambda_k\dfrac{t_k-z}{t_k+z},\, \operatorname{Re} \lambda_0=0,\, \lambda_k>0,\, |t_k|=1, \\ &\qquad k=1,\dots,N,\, t_1,\dots,t_N\,\text{ попарно различны}\biggr\}, \\ \mathfrak B_N^{\mathtt{S}} &:=\biggl\{\mathscr F (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}}\colon \mathscr F (z)=\gamma \prod_{k=1}^N\dfrac{z-e_k}{1-z\overline{e}_k},\,|\gamma |=1,\, e_k\in\mathbb D,\, k=1,\dots,N\biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(черта над символом означает комплексное сопряжение, $N=1,2,\dots$),
$$
\begin{equation*}
\mathfrak B_\infty ^{\mathtt{C}}:=\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\setminus \biggl(\bigcup_{N\in\mathbb Z_+} \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}\biggr),\qquad \mathfrak B_\infty^{\mathtt{S}}:=\mathfrak B ^{\mathtt{S}}\setminus \biggl(\bigcup_{N\in\mathbb Z_+} \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $T(z)$ дробно линейное преобразование $T(z)=(1-z)/(1+z)$, переводящее единичный круг $\mathbb D$ в правую полуплоскость $\{ \operatorname{Re} z>0\}$, а правую полуплоскость в единичный круг. В [1; с. 229–230] показано, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak B_N^{\mathtt{C}} =\bigl\{ (T\circ \mathscr F )(z)\colon \mathscr F (z)\in\mathfrak B_N^{\mathtt{S}}\bigr\}, \quad\text{где }\ N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad (T\circ \mathscr F ) (z):=T(\mathscr F (z))
\end{equation}
\tag{1}
$$
(за исключением случая функции $\mathscr F (z)\equiv -1$, принадлежащей $\mathfrak B_0^{\mathtt{S}}$, для которой $(T\circ \mathscr F )(z)\equiv \infty$). Положим
$$
\begin{equation}
t(\zeta ):= \begin{cases} {\mathtt{S}},&\text{если }\zeta = {\mathtt{C}}, \\ {\mathtt{C}},&\text{если }\zeta = {\mathtt{S}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Так как $(T\circ T)(z)=z$, то (при $\mathscr F (z)\not\equiv -1$) из (1) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathscr F (z)\in \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad (T\circ \mathscr F )(z)\in \mathfrak B_N^{t(\zeta )}, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд, $I_n$ – единичная $(n\times n)$-матрица. Положим
$$
\begin{equation}
A_n^{f}: =\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1}\\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{A}_n^{f}: =\begin{pmatrix} \overline{a}_0 & 0 & \dots & 0\\ \overline{a}_1 & \overline{a}_0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_{n-2} & \dots & \overline{a}_0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
M_n^{\zeta;f} := \begin{cases} \det (A_n^{f}+\widetilde{A}_n^{f}),&\text{если }\zeta = {\mathtt{C}}, \\ \det(I_n-A_n^{f}\widetilde{A}_n^{f}),&\text{если }\zeta = {\mathtt{S}}, \end{cases} \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Отметим, что матрицы $A_n^{f}$, $\widetilde{A}_n^{f}$ и определители $M_n^{\zeta;f}$ зависят только от первых $n$ коэффициентов $a_0,\dots,a_{n-1}$ ряда $f (z)$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_n^{f}=A_n^{f_m}, \quad\text{где }\ m\geqslant n, \\ f_m(z)=\sum_{k=0}^{m-1} a_kz^k \text{ - $(m-1)$-я частичная сумма ряда }f(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В множестве формальных степенных рядов выделим при $N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}$ подмножества
$$
\begin{equation}
{\mathscr A} ^{\zeta}_N :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0, \, p=1,\dots,N,\, M_{N+p}^{\zeta;f}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\}
\end{equation}
\tag{6}
$$
(если $N=0$, то отсутствуют неравенства $M_p^{\zeta;f} > 0$, $p=1,\dots,N$, а если $N=\infty$, то отсутствуют равенства $M_{N+p}^{\zeta;f} = 0$, $p=1,2,\dots$). Если формальный степенной ряд $f(z)$ является рядом Тейлора функции Каратеодори или функции Шура, то в этом случае будем писать $f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ соответственно. Аналогичный смысл вкладывается в утверждения $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}$ и $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}$, $N\in\mathbb Z_+^\infty $. В [2] и [3] найдены необходимые и достаточные условия, при которых заданный формальный степенной ряд является рядом Тейлора функции Каратеодори. Аналогичный результат по отношению к функции Шура получен в [1]. Для краткости сформулируем критерии Каратеодори и Шура в виде единого критерия, в котором случай $\zeta =\mathtt{C}$ совпадает с критерием Каратеодори, а случай $\zeta =\mathtt{S}$ совпадает с критерием Шура. Критерий Каратеодори–Шура. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд. Тогда в обозначениях (4), (5) В § 2 будет доказана следующая Теорема 1. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд такой, что $a_0\neq -1$. Тогда в обозначениях (4), (5) имеют место равенства Из (7) получаем, что
$$
\begin{equation*}
M_n^{t(\zeta );T\circ f}=0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}=0, \qquad \quad M_n^{t(\zeta );T\circ f}>0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $a_0\neq -1$
$$
\begin{equation}
f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta}\quad\Longleftrightarrow\quad(T\circ f)(z)\in{\mathscr A}_N^{t(\zeta )}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
С учетом (3) и (8) теорема 1 означает, что (за исключением случая $a_0=-1$, который легко исследуется отдельно) критерий Каратеодори и критерий Шура эквивалентны друг другу в том смысле, что критерий Шура является непосредственным следствием критерия Каратеодори и теоремы 1 и, наоборот, критерий Каратеодори является непосредственным следствием критерия Шура и теоремы 1. В § 3 статьи будет сформулирован, а в § 4 доказан аналог критериев Каратеодори и Шура для функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, частным случаем которого применительно к функциям, заданным значениями своих производных в нуле (т.е. при $e_1=e_2=\dots =0$), является следующее Уточнение критерия Каратеодори–Шура при $N\in\mathbb Z_+$. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд. Тогда Обратим внимание на то, что в определении (9) множеств $\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta}$ отсутствуют равенства
$$
\begin{equation*}
M_{N+2p+1}^{\zeta;f} = 0, \qquad p=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
$$
присутствующие в определении (6) множеств ${\mathscr A} ^{\zeta}_N$. Это означает, что достаточные условия в утверждении
$$
\begin{equation*}
f(z)\lessdot \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta}
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\in\mathbb Z_+$ образуют подмножество достаточных условий в утверждении
$$
\begin{equation*}
f(z)\lessdot {\mathscr A}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta}
\end{equation*}
\notag
$$
критериев Каратеодори и Шура. Заметим также, что с вычислительной точки зрения определители $M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}}$, фигурирующие в определении (10) множеств $\breve{{\mathscr A}}^{\zeta}_N$, чуть проще определителей $M_{{N+2p}}^{\zeta;f}$, фигурирующих в определении (9) множеств $\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta}$, так как при вычислении $M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}}$ коэффициенты $a_{N+p+1},\dots,a_{N+2p-1}$, присутствующие в определителях $M_{{N+2p}}^{\zeta;f}$, $p=2,3,\dots$, заменяются нулями (или, как будет показано ниже, любыми другими значениями). В [4] предложено доказательство критерия Шура в терминах двухточечных ганкелевых определителей степенного ряда $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ ($a_0\neq 0$) с центром в точке $z=0$ и ассоциированного с ним ряда
$$
\begin{equation*}
f^* (z):=\bigl(\overline{f(\overline{z^{-1}})}\bigr)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty a_k^* z^{-k}\,
\end{equation*}
\notag
$$
с центром в точке $z=\infty$, возникающего как результат хорошо известной взаимосвязи между подходящими дробями с четными и нечетными номерами непрерывной дроби Шура, соответствующей ряду $f(z)$. Оказалось, что двухточечные ганкелевы определители порядка $n$ рядов $f(z)$ и $f^*(z)$ с точностью до множителя $(-1)^n\overline{a}_0^{\,n}$ совпадают с определителями Шура $M_n^{\mathtt{S};f}$. С помощью этого факта и двухточечного аналога теоремы Полиа (см. [5], [6]) о верхней оценке емкости особенностей мероморфной функции в [7] проведено исследование свойств сходимости и граничного поведения предельно периодической непрерывной дроби Шура. Известно (см., например, [8]), что описанный в [1] классический алгоритм Шура имеет многоточечный аналог, позволяющий интерполировать заданную функцию $\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ подходящими дробями многоточечной непрерывной дроби Шура в заданной последовательности точек единичного круга, а не в единственной точке $z=0$ (с кратностью). В [9] найдены величины $M_{E_n}^{\mathtt{S};f}$, где $E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset \mathbb D$ (совпадающие с определителями Шура $M_n^{\mathtt{S};f}$ в случае, когда $e_1=\dots =e_n=0$), в терминах которых удалось сформулировать многоточечный аналог критерия Шура. Доказательство сформулированного в [9] многоточечного аналога критерия Шура, опирающееся на многоточечный вариант алгоритма Шура, изложено в [10]. В настоящей статье найдены величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};f}$ (совпадающие с определителями Каратеодори $M_n^{\mathtt{C};f}$ в случае, когда $e_1=\dots =e_n=0$), в терминах которых формулируется и доказывается многоточечный аналог критерия Каратеодори. Как и в классическом случае, многоточечный критерий Каратеодори и многоточечный критерий Шура оказываются эквивалентными друг другу в том смысле, что каждый из них является непосредственным следствием другого и равенств, связывающих между собой величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ f}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};f}$ (см. в § 2 теорему 2, частным случаем которой является теорема 1). Предлагаемое в § 4 доказательство многоточечного критерия Каратеодори с учетом имеющегося в [10] доказательства многоточечного критерия Шура опирается на выявленную эквивалентность критериев и сводится помимо доказательства теоремы 2 к проверке условий $f(z)\neq -1$, $z\in E_n$, $n=1,2,\dots$, присутствующих в предполагающей части теоремы 2. § 2. Многоточечные аналоги определителей Каратеодори и ШураПусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}$, т.е. в точке $e_{j}$ определена $(\nu_j-1)$-я производная $F ^{(\nu_j-1)}(e_{j})$ функции $F(z)$, где $\nu_j$ – кратность точки $e_j$ в множестве $\{ e_1,\dots,e_j\}$, $j=1,\dots,n$. Напомним, что если $F(z)$ и $G(z)$ – две функции, определенные с учетом кратностей в точках множества $E_n$, то с учетом кратностей определены и функции $(F\pm G)(z)$, $(FG)(z)$, $(F/G)(z)$ (в последнем случае при условии $G(z)\neq 0$, $z\in E_n$). В частности, если $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$, то наряду с $F(z)$ определена с учетом кратностей и функция $(T\circ F)(z)=(1-F(z))/ (1+F(z))$, $z\in E_n$. Легко видеть, что всякая функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ (т.е. функция, голоморфная в некоторой окрестности $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$) является функцией, заданной с учетом кратностей в точках любого множества $E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}$, где $e_{j_q}\in E_n$, $q=1,\dots,p$, $p\in\mathbb N$, а для всякой функции $F(z)$, заданной с учетом кратностей в точках множества $E_n$, существует функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$, равная $F(z)$ на $E_n$ с учетом кратностей. В частности, существует многочлен $\mathbf{F}_n(z)$ степени не выше $n-1$ (интерполяционный многочлен Лагранжа) такой, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}_n^{(\nu_j-1)}(e_j)=F^{(\nu_j-1)}(e_j), \qquad j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_j$ – кратность точки $e_j$ в множестве $E_{n}$. Для удобства последующих ссылок выделим следующее тривиальное Предложение 1. Пусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, такая, что $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$, и пусть функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ интерполирует $F(z)$ с учетом кратностей в точках множества $E_n$. Тогда функция $(T\circ \mathbf{F})(z)\in H(E_n)$ интерполирует $(T\circ F)(z)$ с учетом кратностей в точках множества $E_n$. Пусть
$$
\begin{equation*}
E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \qquad E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}, \quad 1\leqslant j_1<\dots <j_p\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Сужением функции $F(z)$, определенной с учетом кратностей в точках множества $E_n$ на множество $E^{j_1,\dots,j_p}$, будем называть функцию, определенную в точках множества $E^{j_1,\dots,j_p}$ с учетом кратностей при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$. Для интерполяционного многочлена Лагранжа $\mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z)$ определенного таким образом сужения $F(z)$ на $E^{j_1,\dots,j_p}$ имеет место включение
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z)-\mathbf{F}_n(z)}{(z- e_{j_1})\dotsb(z-e_{j_p})}\in H(E^{j_1,\dots,j_p}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что определение сужения не требует вычисления многочлена Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$ и может быть дано без его использования непосредственно по функции $F(z)$. Использование многочлена Лагранжа помогает избавиться от словесного разъяснения некоторых возникающих нюансов, связанных с тем, что точки $e_{j_q}$, $q=1,\dots,p$, могут иметь различные кратности в множествах $E_n$ и $E^{j_1,\dots,j_p}$. Полученный в статье многоточечный аналог критерия Каратеодори–Шура будет сформулирован в терминах величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$, для определения которых введем следующие Обозначения 1. Пусть $n$-точечное множество $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ перестановкой элементов приводится к виду $E_n:=\bigl\{\{ e_1\} ^{r_1},\dots,\{ e_k\} ^{r_k}\bigr\}$, где $e_1,\dots,e_k$ попарно различны, $r_1+\dots +r_k=n$, $\{e\}^{r}:=\{\underbrace{e,\dots,e}_{r}\}$. Пусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $\varphi_p (z):=z^p$, $p=0,1,\dots$ ($z^0:=1$, включая $z=0$). Учитывая, что $(\varphi_pF)(z)$ – функции, определенные с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $p=0,1,\dots$, обозначим через $A_{E_n}^F$ и $\widetilde{A}_{E_n}^F$ соответственно матрицы
$$
\begin{equation}
{ \begin{pmatrix} \dfrac{(\varphi_0F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \end{pmatrix}, }
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
{ \begin{pmatrix} \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}}{0!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_1)}}{0!} \end{pmatrix} }
\end{equation}
\tag{12}
$$
и положим
$$
\begin{equation}
W_{E_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n} \\ A_{E_n}^{\varphi_n} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \\ -A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \end{pmatrix}}{W_{E_n}} ,\qquad M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \\ A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix}}{W_{E_n}}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Обратим внимание на то, что матрица $\widetilde{A}_{E_n}^F$ получается из матрицы $A_{E_n}^F$ комплексным сопряжением и записью строк и столбцов в обратном порядке (т.е. если $A_{E_n}^F =(a_{k,j})_{k,j=1,\dots,n}$, то $\widetilde{A}_{E_n}^F =(\overline{a}_{n+1-k,n+1-j})_{k,j=1,\dots,n}$), $W_{E_n}\neq 0$ (если $E_n\subset\mathbb D$), а каждая из величин $M_{E_{n}}^{\mathtt{C};F}$, $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}$ вещественнозначна и инвариантна относительно перестановок точек множества $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$. Отметим также, что функцию $F (z)$ в (11) и (12) можно заменить любой функцией, равной $F (z)$ на множестве $E_n$ с учетом кратностей (в частности, интерполяционным многочленом Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$), а постоянные $0!, \dots,(r_j-1)!$ можно заменить любыми другими отличными от нуля постоянными (например, единицами, как это сделано в [10] при определении величин $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}$), так как эти постоянные выносятся за знак соответствующих определителей и присутствуют одинаковым образом в числителях и знаменателях вводимых в рассмотрение величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ при помощи равенств (14). Выбор постоянных $0!, \dots,(r_j-1)!$ в определениях (11) и (12) сделан ради удобства сравнения вводимых величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ в частном случае, когда $E_n=\{ 0\} ^n$ (т.е. все точки $n$-точечного множества $E_n$ равны нулю), $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, с ранее введенными (перед критерием Каратеодори–Шура) величинами $M_{n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{n}^{\mathtt{S};F}$ (см. (5)) при помощи матриц $A_n^F$ и $\widetilde{A}_n^F$ (см. (4)). А именно, имеет место следующее Предложение 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ 0\} ^n$, $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S} $. Тогда $M_{E_n}^{\zeta;F}=M_{n}^{\zeta;F}$, где величины $M_{E_n}^{\zeta;F}$ определены равенствами (11)–(14), а $M_{n}^{\zeta;F}$ – равенствами (4), (5). Действительно, если $E_n=\{ 0\} ^n$, $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, то из (11)–(14) и (4), (5) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{(\varphi_pF)^{(r)}(0)}{r!}= \begin{cases} 0,&0\leqslant r<p\leqslant n-1, \\ a_{r-p},& 0\leqslant p\leqslant r\leqslant n-1, \end{cases} \\ A_{E_n}^{F}=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix} {=}\,A_n^F, \qquad \widetilde{A}_{E_n}^{F} = \begin{pmatrix} \overline{a}_0 & 0 & \dots & 0 \\ \overline{a}_1 & \overline{a}_0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_{n-2} & \dots & \overline{a}_0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{n}^{F}, \\ A_{E_n}^{\varphi_0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0}, \qquad A_{E_n}^{\varphi_n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n}, \\ W_{E_n}=\det \begin{pmatrix} I_n & O_n \\ O_n & I_n \end{pmatrix} =1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $I_n$ и $O_n$ – соответственно единичная и нулевая $(n\times n)$-матрицы,
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ -A_n^F & \widetilde{A}_n^F \end{pmatrix}=\det(A_n^F +\widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{C};F},
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & \widetilde{A}_n^F \\ A_n^F & I_n \end{pmatrix}=\det(I_n-A_n^F \widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{S};F}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В равенствах (15) и (16) использовано хорошо известное (см., например, [1; § 5]) равенство
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} =\det(PS-RQ),
\end{equation*}
\notag
$$
выполняющееся для $(n\times n)$-матриц $P,Q,R,S$ таких, что $PR=RP$. Весьма полезным вспомогательным утверждением является следующее Предложение 3. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D$, $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ – функция, интерполирующая $F(z)$ в точках множества $E_n$ с учетом кратностей, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$. Тогда В [10; предложение 5] показано, что предложение 3 при $\zeta =\mathtt{S}$ является простым следствием формулы Тейлора. При этом приведенные в [10] рассуждения практически дословно переносятся на случай $\zeta =\mathtt{C} $. Следующая теорема распространяет теорему 1 на многоточечный случай. Теорема 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D$, $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, такая, что $F(z)\neq -1$ при $z\in E_n$. Тогда в обозначениях (11)–(14) для определенной с учетом кратностей в точках множества $E_n$ функции $(T\circ F)(z)$ имеют место равенства В частности, Доказательство. Предположим сначала, что множество $E_n$ состоит из попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$, и положим для краткости
Имеет место следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &W_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{C};T\circ F} =\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \\ -e_1^0G_1 & \dots & -e_n^0G_n & \overline{e_n^{n-1}G_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}G_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}G_1 & \dots & -e_n^{n-1}G_n & \overline{e_n^{0}G_n} & \dots & \overline{e_1^{0}G_1} \end{pmatrix} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} e_1^0(1+F_1) & \dots & e_n^0(1+F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1+F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}(1+F_1) & \dots & e_n^{n-1}(1+F_n) & \overline{e_n^{0}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1+F_1)} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} 2e_1^0 & \dots & 2e_n^0 & 2\overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{n-1} F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 2e_1^{n-1} & \dots & 2e_n^{n-1} & 2\overline{e_n^{0}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{0} F_1} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=C_{E_n}^F\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}F_n} & \dots & \overline{e_1^{0}F_1} \\ e_1^0F_1 & \dots & e_n^0F_n & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}F_1 & \dots & e_n^{n-1}F_n & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \end{pmatrix} =C_{E_n}^FW_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{E_n}^F:=2^n/\prod_{k=1}^n|1+F(e_k)|^{2}$.
Дадим некоторые пояснения к этой цепочке равенств. Первое равенство получаем из определения (11)–(14) величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F}$; второе равенство (с учетом неравенств $F_k\neq -1$ и равенств $G_k=(1-F_k)/(1+F_k)$, $k=1,\dots,n$) получаем после умножения и деления на $\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}$; третье – после вычитания из $k$-й строки определителя его $(n+k)$-й строки ($k=1,\dots,n$); четвертое – после выноса за знак определителя постоянного множителя 2 из первых $n$ строк, определения постоянной $C_{E_n}^F$ и добавления к ${(n+k)}$-й строке преобразованного таким образом определителя его $k$-й строки ($k=1,\dots,n$); пятое – из определения (11)–(14) величины $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$. Так как $W_{E_n}\neq 0$ при $E_n\subset\mathbb D$, то тем самым равенство (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ в случае попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$ доказано. В общем случае, обозначая через $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ функцию, интерполирующую $F(z)$ в точках множества $E_n$ с учетом кратностей, и пользуясь предложением 1 и предложением 3, в котором бесконечно малые $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ выбираем так, чтобы множество $E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}$ состояло из попарно различных точек, из уже доказанного равенства (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ для попарно различных точек получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F} &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{C};T\circ \mathbf{F}} \\ &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0} C_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathbf{F}} M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{S};\mathbf{F}} =C_{E_n}^FM_{E_n}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с равенством (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ в общем случае.
Заменяя в полученном равенстве (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ функцию $F(z)$ на $(T\circ F)(z)$ и учитывая, что
$$
\begin{equation*}
(T\circ F)(z)\neq -1, \quad z\in E_n, \qquad (T\circ T\circ F)(z)=F(z), \qquad C_{E_n}^{T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation*}
M_{E_n}^{\mathtt{C};F}=C_{E_n}^{T\circ F}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F},
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающее с равенством (17) при $\zeta =\mathtt{C} $.
Теорема 2 доказана. В силу предложения 2 теорема 1 является частным случаем $E_n=\{ 0\} ^n$ теоремы 2. § 3. Многоточечный критерий Каратеодори–ШураПусть $e_1,e_2,\dots $ – бесконечная последовательность точек круга $\mathbb D$, $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dotsc $ . Для функции $F(z)$ естественным образом определяются ее сужения $F_n(z)$ на множества $E_{n}:=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $n=1,2,\dots $, которые в свою очередь (при соответствующем выборе (достаточно большого) индекса $n$) определяют (см. § 2) сужения на любые множества $\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}$, $1\leqslant j_1<\dots <j_p<\infty$. Определение. Будем говорить, что функция $F(z)$, заданная с учетом кратностей в бесконечной последовательности точек $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, допускает продолжение до функции класса $\mathfrak B_N^\zeta$ ($N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}$), и писать $F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta$, если существует функция $\mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ такая, что где $\nu_n$ – кратность точки $e_n$ в множестве $E_{n}=\{ e_1,\dots,e_n\}$. Если функция $F(z)$ такова, что $F(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots $, то с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ определена также и функция $(T\circ F)(z)$. При этом по предложению 1 равенства (18) эквивалентны равенствам
$$
\begin{equation}
(T\circ \mathscr F_N^\zeta )^{(\nu_n-1)}(e_n)=(T\circ F)^{(\nu_n-1)}(e_n) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad F(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S} \,
\end{equation*}
\notag
$$
(за исключением случая $\zeta ={\mathtt{S}}$, $F(z)\equiv -1$), отсюда с учетом (19) и (3) получаем следующее Предложение 4. Пусть $F(z)$– функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$. Тогда при $N\in\mathbb Z_+^\infty$ имеют место импликации Наряду с определенными в § 2 величинами $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ для формулировки полученного в [10] многоточечного аналога критерия Шура и (доказываемого в § 4 статьи) многоточечного аналога критерия Каратеодори для функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, потребуются следующие Обозначения 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $N\in\mathbb Z_+$, $n\geqslant N+2$, $\nu_n$ – кратность в множестве $E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\}$ последней точки $e_n$. Положим где (фиксированные) индексы $j_1,\dots,j_{N+2}$ таковы, что $1\leqslant j_1<\dots <j_{N+2}=n$ и кратность точки $e_{j_{N+2}}=e_n$ в множестве $E^{j_1,\dots,j_{N+2}}$ равна $\nu_n$ (т.е. при $ \nu_n\leqslant N+2\leqslant n$ множество $E_{n,N}$ получается удалением $n-N-2$ произвольных точек, отличных от $e_n$, из множества $E_n$). Легко видеть, что если $n=N+2$, то $E_{N+2,N}=E_{N+2}$. Пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, $m\in\mathbb N$, $j_1,\dots,j_m$ – набор индексов таких, что $1\leqslant j_1<\dots <j_m<\infty$, $F_n(z)$ – сужение функции $F(z)$ на множество $E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $n=1,2,\dots$, $F^{j_1,\dots,j_m}(z)$ – сужение $F(z)$ на множество $E^{j_1,\dots,j_m}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_m}\}$, при этом в случае $ N+2\leqslant \nu_n\leqslant n$ функция ${F}_{n,N}(z)$ доопределяется произвольным образом до функции, заданной с учетом кратностей в точках множества $E_{n,N}=\{ e_n\} ^{2\nu_n-N-2}$ (т.е. сужение функции $F_n(z)$ на множество $\{ e_n\} ^{\nu_n}$, заданное значениями производных $F_n^{(0)}(e_n),\dots,F_n^{(\nu_n-1)}(e_n)$, доопределяется произвольными значениями производных $F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n)$).Для более компактной записи последующих формулировок положим В множестве всех функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, выделим при $N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$ подмножества
$$
\begin{equation}
\Phi ^{\zeta}_N :=\bigl\{ F(z)\colon M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0, \, p=1,\dots,N, \,M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0, \, p=1,2,\dots \bigr\}
\end{equation}
\tag{20}
$$
(как и выше, если $N=0$, то отсутствуют неравенства $M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0$, $p=1,\dots,N$, а если $N=\infty$, то отсутствуют равенства $M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0$, $p=1,2,\dots $). Для функций, заданных с учетом кратностей в точках круга $\mathbb D$, в § 4 будет доказан многоточечный аналог критериев Каратеодори и Шура. Теорема 3. Пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$. Тогда во введенных обозначениях Сделаем ряд замечаний, связанных с теоремой 3. Замечание 1. Необходимые условия утверждения $F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta}$ в теореме 3 можно записать в следующем усиленном виде: Замечание 2. Теорема 3 и импликации (21) при $\zeta ={\mathtt{S}}$ доказаны в [10; теорема 1 и дополнение к ней]. Замечание 3. Теорема 3 не зависит от имеющегося произвола в определении значений производных $F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n)$ функции ${F}_{n,N}(z)$ в случае $\nu_n\geqslant N+2$. Замечание 4. Теорема 3 может быть переформулирована в терминах формальных рядов Ньютона. Действительно, пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, $\mathbf{F}_{k}(z)$ – интерполяционный многочлен Лагранжа сужения функции $F(z)$ на множество $E_k:=\{ e_1,\dots,e_k\}$, $k=1,2,\dots$ . Легко видеть, что $\mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_k(z)$ – многочлен степени не выше $k$, обращающийся в нуль в точках множества $E_{k}$ с учетом кратностей, и, следовательно, при некотором $a_k\in\mathbb C$ имеет место равенство Это означает, что функции $F(z)$ соответствует ряд Ньютона такой, что его $(n-1)$-я частичная сумма совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа сужения функции $F(z)$ на $E_n$. И наоборот, всякий ряд Ньютона $f(z)$ с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ определяет функцию $F(z)$, заданную в точках $e_1,e_2,\dots$ с учетом кратностей равенствами
$$
\begin{equation*}
F^{(\nu_n -1)}(e_n)=f_n^{(\nu_n -1)}(e_n), \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_n$ – кратность точки $e_n$ в множестве $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $f_n(z)$ – $(n-1)$-я частичная сумма ряда Ньютона $f(z)$. Если ряду Ньютона $f(z)$ с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ соответствует функция $F(z)$, заданная в точках $e_1,e_2,\dots$ с учетом кратностей, и $F(e_n)\neq -1$ при $n=1,2,\dots$, то через $(T\circ f)(z)$ будем обозначать ряд Ньютона, которому соответствует функция $(T\circ F)(z)$. В случае
$$
\begin{equation*}
e_n=e, \quad n=1,2,\dots, \qquad f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-e)^k, \quad a_0\neq -1,
\end{equation*}
\notag
$$
ряд $(T\circ f)(z)$ совпадает с рядом, получаемым в результате формального деления степенного ряда $1-f(z)$ (с центром в точке $e$) на ряд $1+f(z)$. Определяя для ряда Ньютона $f(z)$ утверждение $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta$ через существование функции $\mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ такой, что имеют место включения
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathscr F_N^\zeta (z)-f_n(z)}{(z-e_1)\dotsb (z-e_n)}\in H(\mathbb D) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_n(z)$ – $(n-1)$-я частичная сумма ряда Ньютона, заметим, что
$$
\begin{equation*}
f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta \quad \Longleftrightarrow \quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S},
\end{equation*}
\notag
$$
где $F(z)$ – функция, соответствующая ряду $f(z)$. Формулировку теоремы 3 в терминах формальных рядов Ньютона получим, если символ $F$ всюду в формулировке теоремы 3 и в определении (20) множеств $\Phi ^{\zeta}_N$ заменим символом $f$ и будем понимать под $f(z)$ формальный ряд Ньютона с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, под $f_n(z)$ – его $(n-1)$-ю частичную сумму, $n=1,2,\dots$, под $f^{j_1,\dots,j_m}(z)$ – (любой фиксированный) многочлен такой, что
$$
\begin{equation*}
\frac{f^{j_1,\dots,j_m}(z)-f_{n}(z)}{(z-e_{j_1})\dotsb (z-e_{j_m})}\in H(E^{j_1,\dots,j_m}), \qquad 1\leqslant j_1<\dots <j_m\leqslant n,
\end{equation*}
\notag
$$
под ${f}_{n,N}(z)$ – (любой фиксированный) многочлен такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{(z-e_{n})^{\nu_n}}\in H(e_{n}), \quad \text{если }\ n\geqslant \nu_n\geqslant N+2, \\ \notag \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{\prod_{e\in E_{n,N}}(z-e)}\in H(E_{n,N}), \quad \text{если }\ \nu_n\leqslant N+2\leqslant n \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
($\nu_n$ и $E_{n,N}$ определены перед теоремой 3). Замечание 5. Определения множеств $E_{n,N}$ при $N+2\leqslant n$ существенным образом отличаются друг от друга для случая попарно различных точек $e_1,e_2,\dots$ и для случая, когда все точки $e_1,e_2,\dots$ равны одной и той же точке $e\in\mathbb D$. В первом случае при $n\geqslant N+2$ имеем равенства $E_{n,N}=E^{j_1,\dots,j_{N+2}}$, где индексы $1\leqslant j_1<\dots <j_{N+1}<n$ фиксируются произвольным образом, $j_{N+2}=n$. В частности, при $j_k=k$, $k=1,\dots,N+1$, получаем, что Во втором случае
$$
\begin{equation*}
E_n=\{ e\} ^n, \quad \nu_n=n, \qquad E_{n,N}=\{ e\} ^{2n-N-2},
\end{equation*}
\notag
$$
и в качестве многочлена $f_{n,N}(z)$ ($n\geqslant N+2$), удовлетворяющего (22), естественно фиксировать либо многочлен $f_{2n-N-2}(z)$, либо многочлен $f_{n}(z)$. В частности, при $e=0$, учитывая, что по предложению 2 имеют место равенства $M_{E_n}^{\zeta;f_n}=M_n^{\zeta;f}$, получим, что множества $\Phi_N^\zeta$, $N\in\mathbb Z_+$ (см. (20) с заменой $F$ на $f$) совпадают либо с $\hat{\mathscr{A}}_N^\zeta$ (см. (9)), либо с $\breve{{\mathscr A}}_N^\zeta$ (см. (10)). Это означает, что из теоремы 3, переформулированной в терминах формального степенного ряда $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$, следует сформулированное в § 1 уточнение критериев Каратеодори и Шура при $N\in\mathbb Z_+$. Замечание 6. В [10] показано, что для функции $F(z)$, определенной в попарно различных точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ равенствами $F(e_n)=\gamma$ при всех $n\in\mathbb N\setminus\{ k\}$, где $|\gamma |=1$, $k\geqslant 3$, имеют место равенства $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F_n}=0$ при всех $n=1,2,\dots $ и любом значении $F(e_k)$ (аналогичный пример получится и при $\zeta =\mathtt{C}$, если условие $|\gamma |=1$ заменить условием $\operatorname{Re} \gamma =0$). Это означает, что в отличие от условий, указанных в (23) при $N=0$, условия недостаточны для утверждения $F(z)\lessdot \mathfrak B_0^{\mathtt{S}}$, если $F(e_k)\neq\gamma$. § 4. Доказательство многоточечного критерия Каратеодори–ШураТеорема 3, дополненная импликацией (21), включает в себя два различных случая, $\zeta =\mathtt{C} $ и $\zeta =\mathtt{S}$. Всюду в этом параграфе теорему 3 для случая $\zeta = \mathtt{C} $, соответствующего многоточечному варианту теоремы Каратеодори, будем именовать для краткости теоремой 3$^{\mathtt{C}}$, а для случая $\zeta =\mathtt{S}$, соответствующего многоточечному варианту теоремы Шура, – теоремой 3$^{\mathtt{S}}$. С учетом замечания 2, сделанного после формулировки теоремы 3, для доказательства теоремы 3 достаточно доказать только теорему 3$^{\mathtt{C}}$. Доказательство теоремы 3$^{\mathtt{C}}$ будет получено путем ее сведения к уже доказанной в [10] теореме 3$^{\mathtt{S}}$ при помощи теоремы 2, доказанной в § 2. Приступая к доказательству теоремы 3$^{\mathtt{C}}$, дополненной импликацией (21), заметим, что имеет место цепочка импликаций
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} &\quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad (T\circ F)(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \\ \notag &\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}>0,& m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}=0,& m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{S};T\circ F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \\ & \quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}>0,&m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}=0,&m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{C};F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \quad\Longrightarrow \quad F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
в которой первая импликация следует из предложения 4, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3$^{\mathtt{S}}$ для функции $(T\circ F)(z)$, третья – из теоремы 2 и неравенств $(T\circ F)(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots$, четвертая – из определения (20) множеств $\Phi_N^{\mathtt{C}}$. Таким образом, для завершения доказательства теоремы 3$^{\mathtt{C}}$ достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Импликацию (25) докажем, опираясь на имеющие самостоятельный интерес леммы 1$^{\mathtt{C}}$ и 2$^{\mathtt{C}}$, являющиеся аналогами доказанных в [10; леммы 3–5] лемм 1$^{\mathtt{S}}$ и 2$^{\mathtt{S}}$. Сформулируем перечисленные леммы в виде единых лемм 1 и 2, добавив к ранее введенным следующее обозначение: при $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ положим Лемма 1. Пусть $F(z)$ – многочлен, $n\in\mathbb N$, $E_{n}=\{ e_1,\dots,e_{n}\}\subset\mathbb D$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$, и пусть Тогда существует функция $\mathscr F_{n}^\zeta (z)\in \mathfrak B ^\zeta \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^\zeta )$ такая, что В частности, $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$. Лемма 2. Пусть $F(z)$ – многочлен, $N{\kern1pt}{\in}\,\mathbb Z_+$, $p\,{\in}\,\mathbb N$, $E_{N+p}{=}\,\{ e_1,\dots,e_{N+p}\}\,{\subset}\,\mathbb D$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$, и пусть Тогда существует функция $\mathscr F_{N}^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta $ такая, что В частности, $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p}$ (за исключением случая $N=0$, $\zeta ={\mathtt{S}}$, $\mathscr F_{N}^{\mathtt{S}} (z)\equiv -1$). Доказательство леммы 1. Лемма 1$^{\mathtt{S}}$ доказана в [10; лемма 3]. Далее, заметим, что лемма 1$^{\mathtt{C}}$ при дополнительном предположении $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, сводится при помощи теоремы 2 к лемме 1$^{\mathtt{S}}$. Действительно, если выполнены условия (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ и $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, то по теореме 2 такие же условия выполнены для функции $(T\circ F)(z)$ при $\zeta =\mathtt{S}$. Поэтому по лемме 1$^{\mathtt{S}}$ существует функция $\mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{S}} )$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)-(T\circ F)(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по предложению 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z)-F(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, полагая $\mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)=(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z)$ и замечая, что по предложению 4 $\mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{C}} )$, имеем требуемое включение (27) при $\zeta =\mathtt{C}$.
Таким образом, для завершения доказательства леммы 1 достаточно показать, что неравенства (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ влекут за собой неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, присутствующие в предполагающей части теоремы 2. Предположим противное, а именно предположим, что $F(z)= -1$ при некотором $z\in E_{n}$. С учетом неравенства $F(e_1)\neq -1$, являющегося следствием первого из неравенств в (26) (т.е. неравенства $0<M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1)$), сделанное предположение означает, что $n\geqslant 2$ и найдется индекс $k\in\{ 2,\dots,n\}$ такой, что
$$
\begin{equation}
F(z)\neq -1, \quad z\in E_{k-1}:=\{ e_1,\dots,e_{k-1}\}, \qquad F(e_{k})=-1.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Из (30) следует, в частности, что $e_k$ не совпадает ни с одной из точек множества $E_{k-1}$ (для краткости будем писать $e_{k}\notin E_{k-1}$).
Введем в рассмотрение многочлен $G_{k,\varepsilon}(z)$, равный $F(z)$ при $z\in E_{k-1}$ и равный $F(e_k)+\varepsilon$ при $z=e_{k}$. Непосредственно из определения многочлена $G_{k,\varepsilon}(z)$ и (30) видно, что
$$
\begin{equation*}
G_{k,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при } \ z\in E_{k}, \quad \varepsilon\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу определений (11)–(14)
$$
\begin{equation*}
M_{E_{1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{1}}^{\mathtt{C};F}, \quad \dots,\quad M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};F}, \qquad \lim_{\varepsilon\to 0}M_{E_{k}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k}}^{\mathtt{C};F},
\end{equation*}
\notag
$$
то из (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ следует, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ выполняются неравенства $M_{E_{j}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}>0$, $j=1,\dots,k$. Таким образом, для многочлена $G_{k,\varepsilon}(z)$ при $\varepsilon\neq 0$ выполнены все условия, при которых уже доказана лемма 1$^{\mathtt{C}}$ (с заменой индекса $n$ индексом $k$). Следовательно, при всех достаточно малых $\varepsilon\neq 0$ существуют функции $\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\frac{\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)-G_{k,\varepsilon}(z)}{\omega_{E_{k}}(z)}\in H(E_{k}).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Из (31) следует
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \to 0}\mathscr F_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}G_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}(F(e_{k})+\varepsilon )=F(e_{k})=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно, так как $\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и, следовательно, $\operatorname{Re} \mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}} (e_{k})\geqslant 0$. Это означает, что сделанное предположение $F(e_{k})=-1$ приводит к противоречию. Лемма 1$^{\mathtt{C}}$, а следовательно, и лемма 1 доказаны. Доказательство леммы 2. Заметим, что лемма 2$^{\mathtt{S}}$ доказана в [10] в явно сформулированном виде при $p=1,2$ (см. [10; леммы 3 и 4]) и при $p=3,4,{\dots}$ в неявном виде (см. в [10] лемму 5 и следующее за ней доказательство теоремы 1). Так как лемма 2$^{\mathtt{C}}$ сводится к лемме 2$^{\mathtt{S}}$ при дополнительном предположении $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p}$, с помощью теоремы 2, то для доказательства леммы 2 достаточно доказать, что предположения леммы 2$^{\mathtt{C}}$ влекут за собой неравенства
При $N=0$, $p=1$ неравенство $F(e_1)\neq -1$ тривиальным образом следует из имеющегося в (28) равенства $0=M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1)$. Докажем неравенства (32) при $N\in\mathbb N$, $p=1$. В этом случае рассуждения, использованные в доказательстве леммы 1, следует немного подправить, используя имеющееся равенство $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0$ вместо использовавшегося в лемме 1 строгого неравенства $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}>0$. Фиксируем некоторую существующую по уже доказанной лемме 1 при $\zeta =\mathtt{C}$ (с заменой индекса $n$ на $N$) функцию $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, для которой выполнено включение
$$
\begin{equation}
\frac{\mathscr F ^{\mathtt{C}} (z)-F(z)}{\omega_{E_N}(z)}\in H({E_{N}}),
\end{equation}
\tag{33}
$$
влекущее за собой, в частности, неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N}$. Таким образом, для доказательства неравенств (32) при $p=1$ достаточно показать, что условия (28) (при $\zeta =\mathtt{C}$, $N\in\mathbb N$, $p=1$) влекут за собой неравенство $F(e_{N+1})\neq -1$.
Предполагая противное, получим
$$
\begin{equation*}
e_{N+1}\notin E_N, \qquad G_{N+1,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при }\ z\in E_{N+1}, \quad \varepsilon\neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_{N+1,\varepsilon}(z)$ – многочлен, равный $F(z)$ при $z\in E_N$ и равный $F(e_{N+1})+\varepsilon$ при $z=e_{N+1}$.
Покажем, что существует бесконечно малая последовательность отличных от нуля комплексных чисел $\{\varepsilon_l\}_{l=1}^\infty$ такая, что
$$
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}\geqslant 0 \quad \text{при всех }\ l=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, то в силу (24) $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0$. Отсюда в силу определения многочлена $G_{N+1,\varepsilon} (z)$ и (33) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0, \quad \text{где }\ \varepsilon_0:=\mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})-F(e_{N+1}).
\end{equation}
\tag{34}
$$
Отметим, что $\varepsilon_0\neq 0$, так как $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})\neq -1$, а $F(e_{N+1})=-1$ по сделанному предположению.
Так как $e_{N+1}\notin E_N$, то из определений многочлена $G_{N+1,\varepsilon} (z)$ и величин $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}$ (см. (11)–(14)) следует, что
$$
\begin{equation}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon |^2+B\varepsilon +\overline{B\varepsilon}+C,
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $A$, $B$ и $C $ – некоторые зависящие от $N$ и $F$ коэффициенты, причем
$$
\begin{equation*}
A \in\mathbb R, \qquad C =M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $B=0$, то выполняются неравенства $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}\geqslant 0$ при всех $\varepsilon\in\mathbb C$, так как тогда в силу (35) и (34)
$$
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon|^2 = \frac{M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}|\varepsilon|^2}{|\varepsilon_0|^2}\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $B\neq 0$, то равенства
$$
\begin{equation*}
M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}=A|\varepsilon_l|^2 +2\operatorname{Re} (B\varepsilon_l) = 0
\end{equation*}
\notag
$$
выполняются для любой бесконечно малой последовательности отличных от нуля комплексных чисел $\varepsilon_l=|\varepsilon_l|e^{i\theta_l}$, где
$$
\begin{equation*}
0<|\varepsilon_l|<2\biggl|\frac BA\biggr|, \qquad \cos (\arg B+\theta_l)=-\frac{A|\varepsilon_l|}{2|B|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для многочленов $G_{N+1,\varepsilon_l}$, $l=1,2,\dots$, выполнены все условия либо леммы 1$^{\mathtt{C}}$ (при $n=N+1$), либо доказанной леммы 2$^{\mathtt{C}}$. Следовательно, при всех $l=1,2,\dots$ существуют функции $\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\frac{\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)-G_{N+1,\varepsilon_l}(z)}{\omega_{E_{N+1}}(z)}\in H(E_{N+1}), \qquad l=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Из (36) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{l\to \infty}\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(e_{N+1}) &=\lim_{l\to \infty}G_{N+1,\varepsilon_l}(e_{N+1}) \\ &=\lim_{l\to \infty}(F(e_{N+1})+\varepsilon_l )=F(e_{N+1})=-1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно, так как $\mathscr F ^{\mathtt{C},l}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, $l=1,2,\dots$ . Это означает, что сделанное предположение $F(e_{N+1})=-1$ приводит к противоречию. Лемма 2$^{\mathtt{C}}$ при $N\in \mathbb Z_+$, $p=1$, доказана.
Пусть $p\geqslant 2$. Сделаем индуктивное предположение, что неравенства (32) доказаны при всех $N\in\mathbb Z_+$ и всех натуральных индексах до $p-1$ включительно, и докажем эти неравенства для индекса $p$. В силу сделанного индуктивного предположения существует функция $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, для которой выполнено включение (29) (при $\zeta =\mathtt{C}$ с заменой индекса $p$ на $p-1$), влекущее за собой, в частности, неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p-1}$. Таким образом, для доказательства неравенств (32) достаточно показать, что условия (28) (при $\zeta =\mathtt{C}$, $N\in\mathbb N$) влекут за собой неравенство $F(e_{N+p})\neq -1$. Предполагая противное, получим противоречие точно такими же рассуждениями (с заменой индекса $N$ на $N+p-1$), какие были использованы при $p=1$. Лемма 2$^{\mathtt{C}}$, а следовательно, и лемма 2 доказаны. Завершая доказательство теоремы 3, заметим, что при наличии доказанных лемм 1, 2 и теоремы 2 импликация (25) следует из цепочки импликаций
$$
\begin{equation*}
F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\in\Phi_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}},
\end{equation*}
\notag
$$
в которой первая импликация следует из определения (20) множеств $\Phi_N^{\zeta}$, $\zeta = \mathtt{C},\mathtt{S}$, и теоремы 2 с учетом неравенств являющихся следствиями лемм 1 и 2, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3 при $\zeta =\mathtt{S}$, третья – из предложения 4. Таким образом, импликация (25), а следовательно, и теорема 3 доказаны. В заключение отметим, что приведенные в этом параграфе рассуждения показывают, что теорема 3$^{\mathtt{C}}$ является следствием теоремы 2 и теоремы 3$^{\mathtt{S}}$. Легко видеть, что аналогичным образом теорема 3$^{\mathtt{S}}$ является следствием теоремы 2 и теоремы 3$^{\mathtt{C}}$. Другими словами, теорема 2 выявляет эквивалентность многоточечных аналогов критериев Каратеодори и Шура точно таким же образом, как теорема 1 выявляет эквивалентность классических критериев Каратеодори и Шура, за исключением того, что проверка присутствующих в предполагающей части теоремы 2 неравенств $F(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots$, не столь тривиальна, как в классическом случае. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|