Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 11, страницы 5–24
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9611
(Mi sm9611)
 

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Необходимые и достаточные условия продолжения функции до функции Каратеодори

В. И. Буслаев

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Сформулирован и доказан критерий возможности продолжения функции, заданной своими значениями с учетом кратностей в последовательности точек круга $\mathbb D=\{ |z|<1\}$, до функции, голоморфной и принимающей в $\mathbb D$ значения с неотрицательной действительной частью. Когда функция задается значениями своих производных в точке $z=0$, полученный критерий совпадает с известным критерием Каратеодори. Показано, что критерий Каратеодори является следствием критерия Шура и, наоборот, критерий Шура является следствием критерия Каратеодори.
Библиография: 10 названий.
Ключевые слова: непрерывные дроби, алгоритм Шура, функции Каратеодори, ганкелевы определители.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2022-265
Работа выполнена в МЦМУ МИАН при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2022-265).
Поступила в редакцию: 03.05.2021 и 23.08.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages 1488–1506
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9611e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 30E05, 30H05; Secondary 30B70

§ 1. Классические критерии Каратеодори и Шура

Напомним, что функция $\mathscr F (z)$, голоморфная в круге $\mathbb D:=\{ |z|<1\}$, называется функцией Каратеодори, если $\operatorname{Re} \mathscr F (z)\geqslant 0$, $z\in\mathbb D$, и называется функцией Шура, если $|\mathscr F (z)|\leqslant 1$, $z\in\mathbb D$. Множества функций Каратеодори и Шура будем обозначать соответственно через $\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$.

В множествах $\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ функций Каратеодори и Шура обычно выделяют непересекающиеся подмножества $\mathfrak B_N^{\mathtt{C}}$ и $\mathfrak B_N^{\mathtt{S}}$, $N\in\mathbb Z_+^\infty :=\{\infty,0,1,2,\dots \}$, где

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathfrak B_0^{\mathtt{C}} &:=\bigl\{\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\colon \mathscr F (z)\equiv \lambda,\, \operatorname{Re} \lambda =0\bigr\}, \\ \mathfrak B_0^{\mathtt{S}} &:=\bigl\{\mathscr F (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}}\colon \mathscr F (z)\equiv \gamma,\, |\gamma |=1\bigr\}, \\ \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} &:=\biggl\{\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\colon \mathscr F(z)=\lambda_0+\sum_{k=1}^N\lambda_k\dfrac{t_k-z}{t_k+z},\, \operatorname{Re} \lambda_0=0,\, \lambda_k>0,\, |t_k|=1, \\ &\qquad k=1,\dots,N,\, t_1,\dots,t_N\,\text{ попарно различны}\biggr\}, \\ \mathfrak B_N^{\mathtt{S}} &:=\biggl\{\mathscr F (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}}\colon \mathscr F (z)=\gamma \prod_{k=1}^N\dfrac{z-e_k}{1-z\overline{e}_k},\,|\gamma |=1,\, e_k\in\mathbb D,\, k=1,\dots,N\biggr\} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
(черта над символом означает комплексное сопряжение, $N=1,2,\dots$),
$$ \begin{equation*} \mathfrak B_\infty ^{\mathtt{C}}:=\mathfrak B ^{\mathtt{C}}\setminus \biggl(\bigcup_{N\in\mathbb Z_+} \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}\biggr),\qquad \mathfrak B_\infty^{\mathtt{S}}:=\mathfrak B ^{\mathtt{S}}\setminus \biggl(\bigcup_{N\in\mathbb Z_+} \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}\biggr). \end{equation*} \notag $$

Обозначим через $T(z)$ дробно линейное преобразование $T(z)=(1-z)/(1+z)$, переводящее единичный круг $\mathbb D$ в правую полуплоскость $\{ \operatorname{Re} z>0\}$, а правую полуплоскость в единичный круг. В [1; с. 229–230] показано, что

$$ \begin{equation} \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} =\bigl\{ (T\circ \mathscr F )(z)\colon \mathscr F (z)\in\mathfrak B_N^{\mathtt{S}}\bigr\}, \quad\text{где }\ N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad (T\circ \mathscr F ) (z):=T(\mathscr F (z)) \end{equation} \tag{1} $$
(за исключением случая функции $\mathscr F (z)\equiv -1$, принадлежащей $\mathfrak B_0^{\mathtt{S}}$, для которой $(T\circ \mathscr F )(z)\equiv \infty$).

Положим

$$ \begin{equation} t(\zeta ):= \begin{cases} {\mathtt{S}},&\text{если }\zeta = {\mathtt{C}}, \\ {\mathtt{C}},&\text{если }\zeta = {\mathtt{S}}. \end{cases} \end{equation} \tag{2} $$

Так как $(T\circ T)(z)=z$, то (при $\mathscr F (z)\not\equiv -1$) из (1) следует, что

$$ \begin{equation} \mathscr F (z)\in \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad (T\circ \mathscr F )(z)\in \mathfrak B_N^{t(\zeta )}, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}. \end{equation} \tag{3} $$

Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд, $I_n$ – единичная $(n\times n)$-матрица. Положим

$$ \begin{equation} A_n^{f}: =\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1}\\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{A}_n^{f}: =\begin{pmatrix} \overline{a}_0 & 0 & \dots & 0\\ \overline{a}_1 & \overline{a}_0 & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_{n-2} & \dots & \overline{a}_0 \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{4} $$
$$ \begin{equation} M_n^{\zeta;f} := \begin{cases} \det (A_n^{f}+\widetilde{A}_n^{f}),&\text{если }\zeta = {\mathtt{C}}, \\ \det(I_n-A_n^{f}\widetilde{A}_n^{f}),&\text{если }\zeta = {\mathtt{S}}, \end{cases} \qquad n=1,2,\dots\,. \end{equation} \tag{5} $$

Отметим, что матрицы $A_n^{f}$, $\widetilde{A}_n^{f}$ и определители $M_n^{\zeta;f}$ зависят только от первых $n$ коэффициентов $a_0,\dots,a_{n-1}$ ряда $f (z)$. В частности,

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, A_n^{f}=A_n^{f_m}, \quad\text{где }\ m\geqslant n, \\ f_m(z)=\sum_{k=0}^{m-1} a_kz^k \text{ - $(m-1)$-я частичная сумма ряда }f(z). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

В множестве формальных степенных рядов выделим при $N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}$ подмножества

$$ \begin{equation} {\mathscr A} ^{\zeta}_N :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0, \, p=1,\dots,N,\, M_{N+p}^{\zeta;f}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\} \end{equation} \tag{6} $$
(если $N=0$, то отсутствуют неравенства $M_p^{\zeta;f} > 0$, $p=1,\dots,N$, а если $N=\infty$, то отсутствуют равенства $M_{N+p}^{\zeta;f} = 0$, $p=1,2,\dots$).

Если формальный степенной ряд $f(z)$ является рядом Тейлора функции Каратеодори или функции Шура, то в этом случае будем писать $f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и $f(z)\lessdot \mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ соответственно. Аналогичный смысл вкладывается в утверждения $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}$ и $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}$, $N\in\mathbb Z_+^\infty $.

В [2] и [3] найдены необходимые и достаточные условия, при которых заданный формальный степенной ряд является рядом Тейлора функции Каратеодори. Аналогичный результат по отношению к функции Шура получен в [1]. Для краткости сформулируем критерии Каратеодори и Шура в виде единого критерия, в котором случай $\zeta =\mathtt{C}$ совпадает с критерием Каратеодори, а случай $\zeta =\mathtt{S}$ совпадает с критерием Шура.

Критерий Каратеодори–Шура. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд. Тогда в обозначениях (4), (5)

$$ \begin{equation*} f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta}\quad \Longleftrightarrow\quad f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta}, \quad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}. \end{equation*} \notag $$

В § 2 будет доказана следующая

Теорема 1. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд такой, что $a_0\neq -1$. Тогда в обозначениях (4), (5) имеют место равенства

$$ \begin{equation} M_n^{t(\zeta );T\circ f}=\frac{2^n}{|1+a_0|^{2n}}M_n^{\zeta;f}, \qquad n=1,2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{7} $$

Из (7) получаем, что

$$ \begin{equation*} M_n^{t(\zeta );T\circ f}=0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}=0, \qquad \quad M_n^{t(\zeta );T\circ f}>0\quad \Longleftrightarrow\quad M_n^{\zeta;f}>0. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, при $a_0\neq -1$
$$ \begin{equation} f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta}\quad\Longleftrightarrow\quad(T\circ f)(z)\in{\mathscr A}_N^{t(\zeta )}. \end{equation} \tag{8} $$
С учетом (3) и (8) теорема 1 означает, что (за исключением случая $a_0=-1$, который легко исследуется отдельно) критерий Каратеодори и критерий Шура эквивалентны друг другу в том смысле, что критерий Шура является непосредственным следствием критерия Каратеодори и теоремы 1 и, наоборот, критерий Каратеодори является непосредственным следствием критерия Шура и теоремы 1.

В § 3 статьи будет сформулирован, а в § 4 доказан аналог критериев Каратеодори и Шура для функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, частным случаем которого применительно к функциям, заданным значениями своих производных в нуле (т.е. при $e_1=e_2=\dots =0$), является следующее

Уточнение критерия Каратеодори–Шура при $N\in\mathbb Z_+$. Пусть $f (z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ – формальный степенной ряд. Тогда

$$ \begin{equation*} f(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in{\mathscr A}_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)\in\breve{{\mathscr A}}_N^{\zeta}, \end{equation*} \notag $$
где $N\in\mathbb Z_+$, $\zeta ={\mathtt{C}}, {\mathtt{S}}$,
$$ \begin{equation} \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0,\, p=1,\dots,N, \,M_{N+1}^{\zeta;f}= M_{N+2p}^{\zeta;f}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\}, \end{equation} \tag{9} $$
$$ \begin{equation} \breve{{\mathscr A}}^{\zeta}_N :=\bigl\{ f(z)\colon M_p^{\zeta;f}>0,\, p=1,\dots,N, \, M_{N+1}^{\zeta;f}=M_{N+2p}^{\zeta;f_{N+p+1}}=0,\, p=1,2,\dots \bigr\} \end{equation} \tag{10} $$
(неравенства $M_p^{\zeta;f}>0$, $p=1,\dots,N$, при $N=0$ считаются отсутствующими), $f_{n}(z)$ – $(n-1)$-я частичная сумма ряда $f(z)$, $n=1,2,\dotsc$ .

Обратим внимание на то, что в определении (9) множеств $\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta}$ отсутствуют равенства

$$ \begin{equation*} M_{N+2p+1}^{\zeta;f} = 0, \qquad p=1,2,\dots, \quad N\in\mathbb Z_+, \end{equation*} \notag $$
присутствующие в определении (6) множеств ${\mathscr A} ^{\zeta}_N$. Это означает, что достаточные условия в утверждении
$$ \begin{equation*} f(z)\lessdot \hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta} \end{equation*} \notag $$
при $N\in\mathbb Z_+$ образуют подмножество достаточных условий в утверждении
$$ \begin{equation*} f(z)\lessdot {\mathscr A}_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad f(z)\in \mathfrak B_N^{\zeta} \end{equation*} \notag $$
критериев Каратеодори и Шура. Заметим также, что с вычислительной точки зрения определители $M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}}$, фигурирующие в определении (10) множеств $\breve{{\mathscr A}}^{\zeta}_N$, чуть проще определителей $M_{{N+2p}}^{\zeta;f}$, фигурирующих в определении (9) множеств $\hat{\mathscr{A}}_N^{\zeta}$, так как при вычислении $M_{{N+2p}}^{\zeta;f_{N+p+1}}$ коэффициенты $a_{N+p+1},\dots,a_{N+2p-1}$, присутствующие в определителях $M_{{N+2p}}^{\zeta;f}$, $p=2,3,\dots$, заменяются нулями (или, как будет показано ниже, любыми другими значениями).

В [4] предложено доказательство критерия Шура в терминах двухточечных ганкелевых определителей степенного ряда $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ ($a_0\neq 0$) с центром в точке $z=0$ и ассоциированного с ним ряда

$$ \begin{equation*} f^* (z):=\bigl(\overline{f(\overline{z^{-1}})}\bigr)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty a_k^* z^{-k}\, \end{equation*} \notag $$
с центром в точке $z=\infty$, возникающего как результат хорошо известной взаимосвязи между подходящими дробями с четными и нечетными номерами непрерывной дроби Шура, соответствующей ряду $f(z)$. Оказалось, что двухточечные ганкелевы определители порядка $n$ рядов $f(z)$ и $f^*(z)$ с точностью до множителя $(-1)^n\overline{a}_0^{\,n}$ совпадают с определителями Шура $M_n^{\mathtt{S};f}$. С помощью этого факта и двухточечного аналога теоремы Полиа (см. [5], [6]) о верхней оценке емкости особенностей мероморфной функции в [7] проведено исследование свойств сходимости и граничного поведения предельно периодической непрерывной дроби Шура.

Известно (см., например, [8]), что описанный в [1] классический алгоритм Шура имеет многоточечный аналог, позволяющий интерполировать заданную функцию $\mathscr F (z)\in\mathfrak B ^{\mathtt{S}}$ подходящими дробями многоточечной непрерывной дроби Шура в заданной последовательности точек единичного круга, а не в единственной точке $z=0$ (с кратностью).

В [9] найдены величины $M_{E_n}^{\mathtt{S};f}$, где $E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset \mathbb D$ (совпадающие с определителями Шура $M_n^{\mathtt{S};f}$ в случае, когда $e_1=\dots =e_n=0$), в терминах которых удалось сформулировать многоточечный аналог критерия Шура. Доказательство сформулированного в [9] многоточечного аналога критерия Шура, опирающееся на многоточечный вариант алгоритма Шура, изложено в [10].

В настоящей статье найдены величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};f}$ (совпадающие с определителями Каратеодори $M_n^{\mathtt{C};f}$ в случае, когда $e_1=\dots =e_n=0$), в терминах которых формулируется и доказывается многоточечный аналог критерия Каратеодори.

Как и в классическом случае, многоточечный критерий Каратеодори и многоточечный критерий Шура оказываются эквивалентными друг другу в том смысле, что каждый из них является непосредственным следствием другого и равенств, связывающих между собой величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ f}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};f}$ (см. в § 2 теорему 2, частным случаем которой является теорема 1). Предлагаемое в § 4 доказательство многоточечного критерия Каратеодори с учетом имеющегося в [10] доказательства многоточечного критерия Шура опирается на выявленную эквивалентность критериев и сводится помимо доказательства теоремы 2 к проверке условий $f(z)\neq -1$, $z\in E_n$, $n=1,2,\dots$, присутствующих в предполагающей части теоремы 2.

§ 2. Многоточечные аналоги определителей Каратеодори и Шура

Пусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n:=\{ e_1,\dots,e_n\}$, т.е. в точке $e_{j}$ определена $(\nu_j-1)$-я производная $F ^{(\nu_j-1)}(e_{j})$ функции $F(z)$, где $\nu_j$ – кратность точки $e_j$ в множестве $\{ e_1,\dots,e_j\}$, $j=1,\dots,n$.

Напомним, что если $F(z)$ и $G(z)$ – две функции, определенные с учетом кратностей в точках множества $E_n$, то с учетом кратностей определены и функции $(F\pm G)(z)$, $(FG)(z)$, $(F/G)(z)$ (в последнем случае при условии $G(z)\neq 0$, $z\in E_n$). В частности, если $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$, то наряду с $F(z)$ определена с учетом кратностей и функция $(T\circ F)(z)=(1-F(z))/ (1+F(z))$, $z\in E_n$.

Легко видеть, что всякая функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ (т.е. функция, голоморфная в некоторой окрестности $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$) является функцией, заданной с учетом кратностей в точках любого множества $E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}$, где $e_{j_q}\in E_n$, $q=1,\dots,p$, $p\in\mathbb N$, а для всякой функции $F(z)$, заданной с учетом кратностей в точках множества $E_n$, существует функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$, равная $F(z)$ на $E_n$ с учетом кратностей. В частности, существует многочлен $\mathbf{F}_n(z)$ степени не выше $n-1$ (интерполяционный многочлен Лагранжа) такой, что

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}_n^{(\nu_j-1)}(e_j)=F^{(\nu_j-1)}(e_j), \qquad j=1,\dots,n, \end{equation*} \notag $$
где $\nu_j$ – кратность точки $e_j$ в множестве $E_{n}$.

Для удобства последующих ссылок выделим следующее тривиальное

Предложение 1. Пусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, такая, что $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$, и пусть функция $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ интерполирует $F(z)$ с учетом кратностей в точках множества $E_n$. Тогда функция $(T\circ \mathbf{F})(z)\in H(E_n)$ интерполирует $(T\circ F)(z)$ с учетом кратностей в точках множества $E_n$.

Пусть

$$ \begin{equation*} E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}, \qquad E^{j_1,\dots,j_p}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}, \quad 1\leqslant j_1<\dots <j_p\leqslant n. \end{equation*} \notag $$

Сужением функции $F(z)$, определенной с учетом кратностей в точках множества $E_n$ на множество $E^{j_1,\dots,j_p}$, будем называть функцию, определенную в точках множества $E^{j_1,\dots,j_p}$ с учетом кратностей при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$. Для интерполяционного многочлена Лагранжа $\mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z)$ определенного таким образом сужения $F(z)$ на $E^{j_1,\dots,j_p}$ имеет место включение

$$ \begin{equation*} \frac{\mathbf{F}^{j_1,\dots,j_p}(z)-\mathbf{F}_n(z)}{(z- e_{j_1})\dotsb(z-e_{j_p})}\in H(E^{j_1,\dots,j_p}). \end{equation*} \notag $$

Заметим, что определение сужения не требует вычисления многочлена Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$ и может быть дано без его использования непосредственно по функции $F(z)$. Использование многочлена Лагранжа помогает избавиться от словесного разъяснения некоторых возникающих нюансов, связанных с тем, что точки $e_{j_q}$, $q=1,\dots,p$, могут иметь различные кратности в множествах $E_n$ и $E^{j_1,\dots,j_p}$.

Полученный в статье многоточечный аналог критерия Каратеодори–Шура будет сформулирован в терминах величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$, для определения которых введем следующие

Обозначения 1. Пусть $n$-точечное множество $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ перестановкой элементов приводится к виду $E_n:=\bigl\{\{ e_1\} ^{r_1},\dots,\{ e_k\} ^{r_k}\bigr\}$, где $e_1,\dots,e_k$ попарно различны, $r_1+\dots +r_k=n$, $\{e\}^{r}:=\{\underbrace{e,\dots,e}_{r}\}$.

Пусть $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $\varphi_p (z):=z^p$, $p=0,1,\dots$ ($z^0:=1$, включая $z=0$). Учитывая, что $(\varphi_pF)(z)$ – функции, определенные с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $p=0,1,\dots$, обозначим через $A_{E_n}^F$ и $\widetilde{A}_{E_n}^F$ соответственно матрицы

$$ \begin{equation} { \begin{pmatrix} \dfrac{(\varphi_0F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_0F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}{0!} &\dots & \dfrac{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}{(r_k{-}\,1)!} \end{pmatrix}, } \end{equation} \tag{11} $$
$$ \begin{equation} { \begin{pmatrix} \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{n-1}F)(e_1)}}{0!} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_k-1)}(e_k)}}{(r_k{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_k)}}{0!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)^{(r_1-1)}(e_1)}}{(r_1{-}\,1)!} &\dots & \dfrac{\overline{(\varphi_{0}F)(e_1)}}{0!} \end{pmatrix} } \end{equation} \tag{12} $$
и положим
$$ \begin{equation} W_{E_n}:=\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n} \\ A_{E_n}^{\varphi_n} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{13} $$
$$ \begin{equation} M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \\ -A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \end{pmatrix}}{W_{E_n}} ,\qquad M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\dfrac{\det \begin{pmatrix} A_{E_n}^{\varphi_0} & \widetilde{A}_{E_n}^{F} \\ A_{E_n}^{F} & \widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0} \end{pmatrix}}{W_{E_n}}. \end{equation} \tag{14} $$

Обратим внимание на то, что матрица $\widetilde{A}_{E_n}^F$ получается из матрицы $A_{E_n}^F$ комплексным сопряжением и записью строк и столбцов в обратном порядке (т.е. если $A_{E_n}^F =(a_{k,j})_{k,j=1,\dots,n}$, то $\widetilde{A}_{E_n}^F =(\overline{a}_{n+1-k,n+1-j})_{k,j=1,\dots,n}$), $W_{E_n}\neq 0$ (если $E_n\subset\mathbb D$), а каждая из величин $M_{E_{n}}^{\mathtt{C};F}$, $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}$ вещественнозначна и инвариантна относительно перестановок точек множества $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$.

Отметим также, что функцию $F (z)$ в (11) и (12) можно заменить любой функцией, равной $F (z)$ на множестве $E_n$ с учетом кратностей (в частности, интерполяционным многочленом Лагранжа $\mathbf{F}_n(z)$), а постоянные $0!, \dots,(r_j-1)!$ можно заменить любыми другими отличными от нуля постоянными (например, единицами, как это сделано в [10] при определении величин $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}$), так как эти постоянные выносятся за знак соответствующих определителей и присутствуют одинаковым образом в числителях и знаменателях вводимых в рассмотрение величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ при помощи равенств (14). Выбор постоянных $0!, \dots,(r_j-1)!$ в определениях (11) и (12) сделан ради удобства сравнения вводимых величин $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ в частном случае, когда $E_n=\{ 0\} ^n$ (т.е. все точки $n$-точечного множества $E_n$ равны нулю), $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, с ранее введенными (перед критерием Каратеодори–Шура) величинами $M_{n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{n}^{\mathtt{S};F}$ (см. (5)) при помощи матриц $A_n^F$ и $\widetilde{A}_n^F$ (см. (4)). А именно, имеет место следующее

Предложение 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ 0\} ^n$, $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S} $. Тогда $M_{E_n}^{\zeta;F}=M_{n}^{\zeta;F}$, где величины $M_{E_n}^{\zeta;F}$ определены равенствами (11)(14), а $M_{n}^{\zeta;F}$ – равенствами (4), (5).

Действительно, если $E_n=\{ 0\} ^n$, $F (z)=\sum_{k=0}^{n-1} a_kz^k$, то из (11)(14) и (4), (5) получаем равенства

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{(\varphi_pF)^{(r)}(0)}{r!}= \begin{cases} 0,&0\leqslant r<p\leqslant n-1, \\ a_{r-p},& 0\leqslant p\leqslant r\leqslant n-1, \end{cases} \\ A_{E_n}^{F}=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} \\ 0 & a_0 & \dots & a_{n-2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_0 \end{pmatrix} {=}\,A_n^F, \qquad \widetilde{A}_{E_n}^{F} = \begin{pmatrix} \overline{a}_0 & 0 & \dots & 0 \\ \overline{a}_1 & \overline{a}_0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \overline{a}_{n-1} & \overline{a}_{n-2} & \dots & \overline{a}_0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{n}^{F}, \\ A_{E_n}^{\varphi_0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_0}, \qquad A_{E_n}^{\varphi_n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} {=}\,\widetilde{A}_{E_n}^{\varphi_n}, \\ W_{E_n}=\det \begin{pmatrix} I_n & O_n \\ O_n & I_n \end{pmatrix} =1, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $I_n$ и $O_n$ – соответственно единичная и нулевая $(n\times n)$-матрицы,
$$ \begin{equation} M_{E_n}^{\mathtt{C};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ -A_n^F & \widetilde{A}_n^F \end{pmatrix}=\det(A_n^F +\widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{C};F}, \end{equation} \tag{15} $$
$$ \begin{equation} M_{E_n}^{\mathtt{S};F}: =\det \begin{pmatrix} I_n & \widetilde{A}_n^F \\ A_n^F & I_n \end{pmatrix}=\det(I_n-A_n^F \widetilde{A}_n^F)=:M_{n}^{\mathtt{S};F}. \end{equation} \tag{16} $$
В равенствах (15) и (16) использовано хорошо известное (см., например, [1; § 5]) равенство
$$ \begin{equation*} \det\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} =\det(PS-RQ), \end{equation*} \notag $$
выполняющееся для $(n\times n)$-матриц $P,Q,R,S$ таких, что $PR=RP$.

Весьма полезным вспомогательным утверждением является следующее

Предложение 3. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D$, $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ – функция, интерполирующая $F(z)$ в точках множества $E_n$ с учетом кратностей, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$. Тогда

$$ \begin{equation*} M_{E_n}^{\zeta;F}=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\zeta;\mathbf{F}}, \quad \textit{где }\ E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}:=\{ e_1+\varepsilon_1,\dots,e_n+\varepsilon_n\}. \end{equation*} \notag $$

В [10; предложение 5] показано, что предложение 3 при $\zeta =\mathtt{S}$ является простым следствием формулы Тейлора. При этом приведенные в [10] рассуждения практически дословно переносятся на случай $\zeta =\mathtt{C} $.

Следующая теорема распространяет теорему 1 на многоточечный случай.

Теорема 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}\subset\mathbb D$, $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках множества $E_n$, такая, что $F(z)\neq -1$ при $z\in E_n$. Тогда в обозначениях (11)(14) для определенной с учетом кратностей в точках множества $E_n$ функции $(T\circ F)(z)$ имеют место равенства

$$ \begin{equation} M_{E_n}^{t(\zeta );T\circ F}=\frac{2^n}{\prod_{k=1}^n|1+F(e_k)|^{2}}M_{E_n}^{\zeta;F}, \qquad \zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}. \end{equation} \tag{17} $$
В частности,
$$ \begin{equation*} M_{E_n}^{t(\zeta );T\circ F}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_n}^{\zeta;F}=0, \qquad M_{E_n}^{t(\zeta );T\circ F}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad M_{E_n}^{\zeta;F}>0. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Предположим сначала, что множество $E_n$ состоит из попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$, и положим для краткости
$$ \begin{equation*} F_k:=F(e_k), \quad G_k:=(T\circ F)(e_k)=\frac{1-F_k}{1+F_k}, \qquad k=1,\dots,n. \end{equation*} \notag $$

Имеет место следующая цепочка равенств:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &W_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{C};T\circ F} =\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \\ -e_1^0G_1 & \dots & -e_n^0G_n & \overline{e_n^{n-1}G_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}G_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}G_1 & \dots & -e_n^{n-1}G_n & \overline{e_n^{0}G_n} & \dots & \overline{e_1^{0}G_1} \end{pmatrix} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} e_1^0(1+F_1) & \dots & e_n^0(1+F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1+F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}(1+F_1) & \dots & e_n^{n-1}(1+F_n) & \overline{e_n^{0}(1+F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1+F_1)} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=\frac{\det { \begin{pmatrix} 2e_1^0 & \dots & 2e_n^0 & 2\overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{n-1} F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 2e_1^{n-1} & \dots & 2e_n^{n-1} & 2\overline{e_n^{0}F_n} & \dots & 2\overline{e_1^{0} F_1} \\ -e_1^0(1-F_1) & \dots & -e_n^0(1-F_n) & \overline{e_n^{n-1}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{n-1}(1-F_1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ -e_1^{n-1}(1-F_1) & \dots & -e_n^{n-1}(1-F_n) & \overline{e_n^{0}(1-F_n)} & \dots & \overline{e_1^{0}(1-F_1)} \end{pmatrix}}}{\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}} \\ &=C_{E_n}^F\det \begin{pmatrix} e_1^0 & \dots & e_n^0 & \overline{e_n^{n-1}F_n} & \dots & \overline{e_1^{n-1}F_1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1} & \dots & e_n^{n-1} & \overline{e_n^{0}F_n} & \dots & \overline{e_1^{0}F_1} \\ e_1^0F_1 & \dots & e_n^0F_n & \overline{e_n^{n-1}} & \dots & \overline{e_1^{n-1}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ e_1^{n-1}F_1 & \dots & e_n^{n-1}F_n & \overline{e_n^{0}} & \dots & \overline{e_1^{0}} \end{pmatrix} =C_{E_n}^FW_{E_n}M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $C_{E_n}^F:=2^n/\prod_{k=1}^n|1+F(e_k)|^{2}$.

Дадим некоторые пояснения к этой цепочке равенств. Первое равенство получаем из определения (11)(14) величины $M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F}$; второе равенство (с учетом неравенств $F_k\neq -1$ и равенств $G_k=(1-F_k)/(1+F_k)$, $k=1,\dots,n$) получаем после умножения и деления на $\prod_{k=1}^n|1+F_k|^{2}$; третье – после вычитания из $k$-й строки определителя его $(n+k)$-й строки ($k=1,\dots,n$); четвертое – после выноса за знак определителя постоянного множителя 2 из первых $n$ строк, определения постоянной $C_{E_n}^F$ и добавления к ${(n+k)}$-й строке преобразованного таким образом определителя его $k$-й строки ($k=1,\dots,n$); пятое – из определения (11)(14) величины $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$.

Так как $W_{E_n}\neq 0$ при $E_n\subset\mathbb D$, то тем самым равенство (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ в случае попарно различных точек $e_1,\dots,e_n$ доказано.

В общем случае, обозначая через $\mathbf{F}(z)\in H(E_n)$ функцию, интерполирующую $F(z)$ в точках множества $E_n$ с учетом кратностей, и пользуясь предложением 1 и предложением 3, в котором бесконечно малые $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ выбираем так, чтобы множество $E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}$ состояло из попарно различных точек, из уже доказанного равенства (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ для попарно различных точек получаем равенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, M_{E_n}^{\mathtt{C};T\circ F} &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0}M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{C};T\circ \mathbf{F}} \\ &=\lim_{\varepsilon_1\to 0}\dotsb \lim_{\varepsilon_n\to 0} C_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathbf{F}} M_{E_{n;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n}}^{\mathtt{S};\mathbf{F}} =C_{E_n}^FM_{E_n}^{\mathtt{S};F}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
совпадающее с равенством (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ в общем случае.

Заменяя в полученном равенстве (17) при $\zeta =\mathtt{S} $ функцию $F(z)$ на $(T\circ F)(z)$ и учитывая, что

$$ \begin{equation*} (T\circ F)(z)\neq -1, \quad z\in E_n, \qquad (T\circ T\circ F)(z)=F(z), \qquad C_{E_n}^{T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1}, \end{equation*} \notag $$
получим равенство
$$ \begin{equation*} M_{E_n}^{\mathtt{C};F}=C_{E_n}^{T\circ F}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F}=(C_{E_n}^{F})^{-1}M_{E_n}^{\mathtt{S};T\circ F}, \end{equation*} \notag $$
совпадающее с равенством (17) при $\zeta =\mathtt{C} $.

Теорема 2 доказана.

В силу предложения 2 теорема 1 является частным случаем $E_n=\{ 0\} ^n$ теоремы 2.

§ 3. Многоточечный критерий Каратеодори–Шура

Пусть $e_1,e_2,\dots $ – бесконечная последовательность точек круга $\mathbb D$, $F(z)$ – функция, определенная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dotsc $ . Для функции $F(z)$ естественным образом определяются ее сужения $F_n(z)$ на множества $E_{n}:=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $n=1,2,\dots $, которые в свою очередь (при соответствующем выборе (достаточно большого) индекса $n$) определяют (см. § 2) сужения на любые множества $\{ e_{j_1},\dots,e_{j_p}\}$, $1\leqslant j_1<\dots <j_p<\infty$.

Определение. Будем говорить, что функция $F(z)$, заданная с учетом кратностей в бесконечной последовательности точек $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, допускает продолжение до функции класса $\mathfrak B_N^\zeta$ ($N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C}, \mathtt{S}$), и писать $F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta$, если существует функция $\mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ такая, что

$$ \begin{equation} (\mathscr F_N^\zeta)^{(\nu_n-1)}(e_n)=F^{(\nu_n-1)}(e_n) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dots, \end{equation} \tag{18} $$
где $\nu_n$ – кратность точки $e_n$ в множестве $E_{n}=\{ e_1,\dots,e_n\}$.

Если функция $F(z)$ такова, что $F(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots $, то с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ определена также и функция $(T\circ F)(z)$. При этом по предложению 1 равенства (18) эквивалентны равенствам

$$ \begin{equation} (T\circ \mathscr F_N^\zeta )^{(\nu_n-1)}(e_n)=(T\circ F)^{(\nu_n-1)}(e_n) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{19} $$

Учитывая, что

$$ \begin{equation*} F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longrightarrow\quad F(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S} \, \end{equation*} \notag $$
(за исключением случая $\zeta ={\mathtt{S}}$, $F(z)\equiv -1$), отсюда с учетом (19) и (3) получаем следующее

Предложение 4. Пусть $F(z)$– функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$. Тогда при $N\in\mathbb Z_+^\infty$ имеют место импликации

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad (T\circ F)(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \\ F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad F(z)\not\equiv -1 \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Наряду с определенными в § 2 величинами $M_{E_n}^{\mathtt{C};F}$ и $M_{E_n}^{\mathtt{S};F}$ для формулировки полученного в [10] многоточечного аналога критерия Шура и (доказываемого в § 4 статьи) многоточечного аналога критерия Каратеодори для функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, потребуются следующие

Обозначения 2. Пусть $n\in\mathbb N$, $N\in\mathbb Z_+$, $n\geqslant N+2$, $\nu_n$ – кратность в множестве $E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\}$ последней точки $e_n$. Положим

$$ \begin{equation*} E_{n,N}:=\begin{cases} \{ e_n\} ^{2\nu_n-N-2},&\text{если } \nu_n\geqslant N+2, \\ E^{j_1,\dots,j_{N+2}},&\text{если }\nu_n\leqslant N+2, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где (фиксированные) индексы $j_1,\dots,j_{N+2}$ таковы, что $1\leqslant j_1<\dots <j_{N+2}=n$ и кратность точки $e_{j_{N+2}}=e_n$ в множестве $E^{j_1,\dots,j_{N+2}}$ равна $\nu_n$ (т.е. при $ \nu_n\leqslant N+2\leqslant n$ множество $E_{n,N}$ получается удалением $n-N-2$ произвольных точек, отличных от $e_n$, из множества $E_n$). Легко видеть, что если $n=N+2$, то $E_{N+2,N}=E_{N+2}$.

Пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, $m\in\mathbb N$, $j_1,\dots,j_m$ – набор индексов таких, что $1\leqslant j_1<\dots <j_m<\infty$, $F_n(z)$ – сужение функции $F(z)$ на множество $E_n :=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $n=1,2,\dots$, $F^{j_1,\dots,j_m}(z)$ – сужение $F(z)$ на множество $E^{j_1,\dots,j_m}:=\{ e_{j_1},\dots,e_{j_m}\}$,

$$ \begin{equation*} {F}_{n,N}(z) \text{ - сужение }F_n(z)\text{ на множество } \begin{cases} E_{n,N}\subseteq E_n,&\nu_n\leqslant N+2\leqslant n, \\ \{ e_n\} ^{\nu_n}\subseteq E_n,& N+2\leqslant \nu_n\leqslant n, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
при этом в случае $ N+2\leqslant \nu_n\leqslant n$ функция ${F}_{n,N}(z)$ доопределяется произвольным образом до функции, заданной с учетом кратностей в точках множества $E_{n,N}=\{ e_n\} ^{2\nu_n-N-2}$ (т.е. сужение функции $F_n(z)$ на множество $\{ e_n\} ^{\nu_n}$, заданное значениями производных $F_n^{(0)}(e_n),\dots,F_n^{(\nu_n-1)}(e_n)$, доопределяется произвольными значениями производных $F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n)$).

Для более компактной записи последующих формулировок положим

$$ \begin{equation*} E_{N+1,N}:=E_{N+1}, \qquad F_{N+1,N}(z):=F_{N+1}(z). \end{equation*} \notag $$

В множестве всех функций, заданных с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots $ круга $\mathbb D$, выделим при $N\in\mathbb Z_+^\infty$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$ подмножества

$$ \begin{equation} \Phi ^{\zeta}_N :=\bigl\{ F(z)\colon M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0, \, p=1,\dots,N, \,M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0, \, p=1,2,\dots \bigr\} \end{equation} \tag{20} $$
(как и выше, если $N=0$, то отсутствуют неравенства $M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0$, $p=1,\dots,N$, а если $N=\infty$, то отсутствуют равенства $M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0$, $p=1,2,\dots $).

Для функций, заданных с учетом кратностей в точках круга $\mathbb D$, в § 4 будет доказан многоточечный аналог критериев Каратеодори и Шура.

Теорема 3. Пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$. Тогда во введенных обозначениях

$$ \begin{equation*} F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta} \quad\Longleftrightarrow\quad F(z)\in\Phi_N^{\zeta}, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}. \end{equation*} \notag $$

Сделаем ряд замечаний, связанных с теоремой 3.

Замечание 1. Необходимые условия утверждения $F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta}$ в теореме 3 можно записать в следующем усиленном виде:

$$ \begin{equation} F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\zeta}\quad \Longrightarrow\quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\zeta;F^{j_1,\dots,j_m}}>0,&m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\zeta;F^{j_1,\dots,j_m}}=0,&m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\zeta;{F}_{n,N}} = 0,&n\geqslant N+1, \end{cases} \quad\Longrightarrow \quad F(z)\in\Phi_N^{\zeta}. \end{equation} \tag{21} $$

Замечание 2. Теорема 3 и импликации (21) при $\zeta ={\mathtt{S}}$ доказаны в [10; теорема 1 и дополнение к ней].

Замечание 3. Теорема 3 не зависит от имеющегося произвола в определении значений производных $F_n^{(\nu_n)}(e_n),\dots,F_n^{(2\nu_n-N-3)}(e_n)$ функции ${F}_{n,N}(z)$ в случае $\nu_n\geqslant N+2$.

Замечание 4. Теорема 3 может быть переформулирована в терминах формальных рядов Ньютона. Действительно, пусть $F(z)$ – функция, заданная с учетом кратностей в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, $\mathbf{F}_{k}(z)$ – интерполяционный многочлен Лагранжа сужения функции $F(z)$ на множество $E_k:=\{ e_1,\dots,e_k\}$, $k=1,2,\dots$ . Легко видеть, что $\mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_k(z)$ – многочлен степени не выше $k$, обращающийся в нуль в точках множества $E_{k}$ с учетом кратностей, и, следовательно, при некотором $a_k\in\mathbb C$ имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_{k}(z)= a_k(z-e_1)\dotsb (z-e_k). \end{equation*} \notag $$
Это означает, что функции $F(z)$ соответствует ряд Ньютона
$$ \begin{equation*} f(z)=\mathbf{F}_{1}(z)+\sum_{k=1}^{\infty}(\mathbf{F}_{k+1}(z)-\mathbf{F}_{k}(z)) =a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-e_1)\dotsb (z-e_k) \end{equation*} \notag $$
такой, что его $(n-1)$-я частичная сумма совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа сужения функции $F(z)$ на $E_n$.

И наоборот, всякий ряд Ньютона $f(z)$ с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ определяет функцию $F(z)$, заданную в точках $e_1,e_2,\dots$ с учетом кратностей равенствами

$$ \begin{equation*} F^{(\nu_n -1)}(e_n)=f_n^{(\nu_n -1)}(e_n), \qquad n=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
где $\nu_n$ – кратность точки $e_n$ в множестве $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$, $f_n(z)$ – $(n-1)$-я частичная сумма ряда Ньютона $f(z)$.

Если ряду Ньютона $f(z)$ с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ соответствует функция $F(z)$, заданная в точках $e_1,e_2,\dots$ с учетом кратностей, и $F(e_n)\neq -1$ при $n=1,2,\dots$, то через $(T\circ f)(z)$ будем обозначать ряд Ньютона, которому соответствует функция $(T\circ F)(z)$. В случае

$$ \begin{equation*} e_n=e, \quad n=1,2,\dots, \qquad f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-e)^k, \quad a_0\neq -1, \end{equation*} \notag $$
ряд $(T\circ f)(z)$ совпадает с рядом, получаемым в результате формального деления степенного ряда $1-f(z)$ (с центром в точке $e$) на ряд $1+f(z)$.

Определяя для ряда Ньютона $f(z)$ утверждение $f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta$ через существование функции $\mathscr F_N^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta$ такой, что имеют место включения

$$ \begin{equation*} \frac{\mathscr F_N^\zeta (z)-f_n(z)}{(z-e_1)\dotsb (z-e_n)}\in H(\mathbb D) \quad \text{при всех }\ n=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
где $f_n(z)$ – $(n-1)$-я частичная сумма ряда Ньютона, заметим, что
$$ \begin{equation*} f(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta \quad \Longleftrightarrow \quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^\zeta, \qquad N\in\mathbb Z_+^\infty, \quad \zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}, \end{equation*} \notag $$
где $F(z)$ – функция, соответствующая ряду $f(z)$.

Формулировку теоремы 3 в терминах формальных рядов Ньютона получим, если символ $F$ всюду в формулировке теоремы 3 и в определении (20) множеств $\Phi ^{\zeta}_N$ заменим символом $f$ и будем понимать под $f(z)$ формальный ряд Ньютона с узлами в точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$, под $f_n(z)$ – его $(n-1)$-ю частичную сумму, $n=1,2,\dots$, под $f^{j_1,\dots,j_m}(z)$ – (любой фиксированный) многочлен такой, что

$$ \begin{equation*} \frac{f^{j_1,\dots,j_m}(z)-f_{n}(z)}{(z-e_{j_1})\dotsb (z-e_{j_m})}\in H(E^{j_1,\dots,j_m}), \qquad 1\leqslant j_1<\dots <j_m\leqslant n, \end{equation*} \notag $$
под ${f}_{n,N}(z)$ – (любой фиксированный) многочлен такой, что
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{(z-e_{n})^{\nu_n}}\in H(e_{n}), \quad \text{если }\ n\geqslant \nu_n\geqslant N+2, \\ \notag \frac{f_{n,N}(z)-f_n(z)}{\prod_{e\in E_{n,N}}(z-e)}\in H(E_{n,N}), \quad \text{если }\ \nu_n\leqslant N+2\leqslant n \end{gathered} \end{equation} \tag{22} $$
($\nu_n$ и $E_{n,N}$ определены перед теоремой 3).

Замечание 5. Определения множеств $E_{n,N}$ при $N+2\leqslant n$ существенным образом отличаются друг от друга для случая попарно различных точек $e_1,e_2,\dots$ и для случая, когда все точки $e_1,e_2,\dots$ равны одной и той же точке $e\in\mathbb D$. В первом случае при $n\geqslant N+2$ имеем равенства $E_{n,N}=E^{j_1,\dots,j_{N+2}}$, где индексы $1\leqslant j_1<\dots <j_{N+1}<n$ фиксируются произвольным образом, $j_{N+2}=n$. В частности, при $j_k=k$, $k=1,\dots,N+1$, получаем, что

$$ \begin{equation*} E_{n,N}=E^{1,\dots,N+1,n}=\{ e_1,\dots,e_{N+1}, e_n\}, \qquad n\geqslant N+2. \end{equation*} \notag $$
Поэтому определение (20) имеет следующий вид:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \Phi ^{\zeta}_N &:=\bigl\{ F(z)\colon M_{E_p}^{\zeta;F_p}>0,\, p=1,\dots,N, \\ &\qquad M_{E_{N+1}}^{\zeta;{F}_{N+1}}= M_{\{ e_1,\dots,e_{N+1}, e_{N+p}\}}^{\zeta;F^{1,\dots,N+1, N+p}} =0,\, p = 2,3,\dots \bigr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{23} $$
где $F^{1,\dots,N+1, n}(z)$ – сужение $F_n(z)$ на множество $E^{1,\dots,N+1,n} \subseteq E_n$, $n\geqslant N+2$.

Во втором случае

$$ \begin{equation*} E_n=\{ e\} ^n, \quad \nu_n=n, \qquad E_{n,N}=\{ e\} ^{2n-N-2}, \end{equation*} \notag $$
и в качестве многочлена $f_{n,N}(z)$ ($n\geqslant N+2$), удовлетворяющего (22), естественно фиксировать либо многочлен $f_{2n-N-2}(z)$, либо многочлен $f_{n}(z)$. В частности, при $e=0$, учитывая, что по предложению 2 имеют место равенства $M_{E_n}^{\zeta;f_n}=M_n^{\zeta;f}$, получим, что множества $\Phi_N^\zeta$, $N\in\mathbb Z_+$ (см. (20) с заменой $F$ на $f$) совпадают либо с $\hat{\mathscr{A}}_N^\zeta$ (см. (9)), либо с $\breve{{\mathscr A}}_N^\zeta$ (см. (10)). Это означает, что из теоремы 3, переформулированной в терминах формального степенного ряда $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$, следует сформулированное в § 1 уточнение критериев Каратеодори и Шура при $N\in\mathbb Z_+$.

Замечание 6. В [10] показано, что для функции $F(z)$, определенной в попарно различных точках $e_1,e_2,\dots$ круга $\mathbb D$ равенствами $F(e_n)=\gamma$ при всех $n\in\mathbb N\setminus\{ k\}$, где $|\gamma |=1$, $k\geqslant 3$, имеют место равенства $M_{E_{n}}^{\mathtt{S};F_n}=0$ при всех $n=1,2,\dots $ и любом значении $F(e_k)$ (аналогичный пример получится и при $\zeta =\mathtt{C}$, если условие $|\gamma |=1$ заменить условием $\operatorname{Re} \gamma =0$). Это означает, что в отличие от условий, указанных в (23) при $N=0$, условия

$$ \begin{equation*} M_{E_p}^{\zeta;{F}_{p}} = 0, \qquad p=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
недостаточны для утверждения $F(z)\lessdot \mathfrak B_0^{\mathtt{S}}$, если $F(e_k)\neq\gamma$.

§ 4. Доказательство многоточечного критерия Каратеодори–Шура

Теорема 3, дополненная импликацией (21), включает в себя два различных случая, $\zeta =\mathtt{C} $ и $\zeta =\mathtt{S}$. Всюду в этом параграфе теорему 3 для случая $\zeta = \mathtt{C} $, соответствующего многоточечному варианту теоремы Каратеодори, будем именовать для краткости теоремой 3$^{\mathtt{C}}$, а для случая $\zeta =\mathtt{S}$, соответствующего многоточечному варианту теоремы Шура, – теоремой 3$^{\mathtt{S}}$. С учетом замечания 2, сделанного после формулировки теоремы 3, для доказательства теоремы 3 достаточно доказать только теорему 3$^{\mathtt{C}}$. Доказательство теоремы 3$^{\mathtt{C}}$ будет получено путем ее сведения к уже доказанной в [10] теореме 3$^{\mathtt{S}}$ при помощи теоремы 2, доказанной в § 2.

Приступая к доказательству теоремы 3$^{\mathtt{C}}$, дополненной импликацией (21), заметим, что имеет место цепочка импликаций

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}} &\quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}}, \qquad (T\circ F)(e_n)\neq -1, \quad n=1,2,\dots, \\ \notag &\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}>0,& m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{S};T\circ F^{j_1,\dots,j_m}}=0,& m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{S};T\circ F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \\ & \quad\Longrightarrow \quad \begin{cases} M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}>0,&m\leqslant N, \\ M_{E^{j_1,\dots,j_m}}^{\mathtt{C};F^{j_1,\dots,j_m}}=0,&m\geqslant N+1, \\ M_{E_{n,N}}^{\mathtt{C};F_{n,N}}=0,& n\geqslant N+1, \end{cases} \quad\Longrightarrow \quad F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}}, \end{aligned} \end{equation} \tag{24} $$
в которой первая импликация следует из предложения 4, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3$^{\mathtt{S}}$ для функции $(T\circ F)(z)$, третья – из теоремы 2 и неравенств $(T\circ F)(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots$, четвертая – из определения (20) множеств $\Phi_N^{\mathtt{C}}$.

Таким образом, для завершения доказательства теоремы 3$^{\mathtt{C}}$ достаточно показать, что

$$ \begin{equation} F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}. \end{equation} \tag{25} $$

Импликацию (25) докажем, опираясь на имеющие самостоятельный интерес леммы 1$^{\mathtt{C}}$ и 2$^{\mathtt{C}}$, являющиеся аналогами доказанных в [10; леммы 3–5] лемм 1$^{\mathtt{S}}$ и 2$^{\mathtt{S}}$. Сформулируем перечисленные леммы в виде единых лемм 1 и 2, добавив к ранее введенным следующее обозначение: при $E_n=\{ e_1,\dots,e_n\}$ положим

$$ \begin{equation*} \omega_{E_{n}}(z):=(z-e_1)\dotsb (z-e_n). \end{equation*} \notag $$

Лемма 1. Пусть $F(z)$ – многочлен, $n\in\mathbb N$, $E_{n}=\{ e_1,\dots,e_{n}\}\subset\mathbb D$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$, и пусть

$$ \begin{equation} M_{E_1}^{\zeta;F}>0,\quad \dots,\quad M_{E_{n}}^{\zeta;F}>0. \end{equation} \tag{26} $$

Тогда существует функция $\mathscr F_{n}^\zeta (z)\in \mathfrak B ^\zeta \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^\zeta )$ такая, что

$$ \begin{equation} \frac{\mathscr F_{n}^\zeta (z)-F(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}). \end{equation} \tag{27} $$
В частности, $F(z)\neq -1$, $z\in E_n$.

Лемма 2. Пусть $F(z)$ – многочлен, $N{\kern1pt}{\in}\,\mathbb Z_+$, $p\,{\in}\,\mathbb N$, $E_{N+p}{=}\,\{ e_1,\dots,e_{N+p}\}\,{\subset}\,\mathbb D$, $\zeta =\mathtt{C},\mathtt{S}$, и пусть

$$ \begin{equation} M_{E_1}^{\zeta;F}>0,\quad \dots,\quad M_{E_{N}}^{\zeta;F}>0, \qquad M_{E_{N+1,N}}^{\zeta;F_{N+1,N}}=\dots = M_{E_{N+p,N}}^{\zeta;F_{N+p,N}}=0, \end{equation} \tag{28} $$
где множества $E_{N+j,N}(z)$ и многочлены $F_{N+j,N}(z)$ определены при $j=1,\dots,p$ перед теоремой 3.

Тогда существует функция $\mathscr F_{N}^\zeta (z)\in \mathfrak B_N^\zeta $ такая, что

$$ \begin{equation} \frac{\mathscr F_{N}^\zeta (z)-F(z)}{\omega_{E_{N+p}}(z)}\in H({E_{N+p}}). \end{equation} \tag{29} $$
В частности, $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p}$ (за исключением случая $N=0$, $\zeta ={\mathtt{S}}$, $\mathscr F_{N}^{\mathtt{S}} (z)\equiv -1$).

Доказательство леммы 1. Лемма 1$^{\mathtt{S}}$ доказана в [10; лемма 3]. Далее, заметим, что лемма 1$^{\mathtt{C}}$ при дополнительном предположении $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, сводится при помощи теоремы 2 к лемме 1$^{\mathtt{S}}$. Действительно, если выполнены условия (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ и $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, то по теореме 2 такие же условия выполнены для функции $(T\circ F)(z)$ при $\zeta =\mathtt{S}$. Поэтому по лемме 1$^{\mathtt{S}}$ существует функция $\mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{S}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{S}} )$ такая, что
$$ \begin{equation*} \frac{\mathscr F_{n}^{\mathtt{S}} (z)-(T\circ F)(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}). \end{equation*} \notag $$
Отсюда по предложению 1 получаем
$$ \begin{equation*} \frac{(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z)-F(z)}{\omega_{E_n}(z)}\in H({E_{n}}). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, полагая $\mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)=(T\circ \mathscr F_{n}^{\mathtt{S}}) (z)$ и замечая, что по предложению 4 $\mathscr F_{n}^{\mathtt{C}} (z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}} \setminus (\bigcup_{k=0}^{n-1} \mathfrak B_k^{\mathtt{C}} )$, имеем требуемое включение (27) при $\zeta =\mathtt{C}$.

Таким образом, для завершения доказательства леммы 1 достаточно показать, что неравенства (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ влекут за собой неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{n}$, присутствующие в предполагающей части теоремы 2.

Предположим противное, а именно предположим, что $F(z)= -1$ при некотором $z\in E_{n}$. С учетом неравенства $F(e_1)\neq -1$, являющегося следствием первого из неравенств в (26) (т.е. неравенства $0<M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1)$), сделанное предположение означает, что $n\geqslant 2$ и найдется индекс $k\in\{ 2,\dots,n\}$ такой, что

$$ \begin{equation} F(z)\neq -1, \quad z\in E_{k-1}:=\{ e_1,\dots,e_{k-1}\}, \qquad F(e_{k})=-1. \end{equation} \tag{30} $$
Из (30) следует, в частности, что $e_k$ не совпадает ни с одной из точек множества $E_{k-1}$ (для краткости будем писать $e_{k}\notin E_{k-1}$).

Введем в рассмотрение многочлен $G_{k,\varepsilon}(z)$, равный $F(z)$ при $z\in E_{k-1}$ и равный $F(e_k)+\varepsilon$ при $z=e_{k}$. Непосредственно из определения многочлена $G_{k,\varepsilon}(z)$ и (30) видно, что

$$ \begin{equation*} G_{k,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при } \ z\in E_{k}, \quad \varepsilon\neq 0. \end{equation*} \notag $$
Так как в силу определений (11)(14)
$$ \begin{equation*} M_{E_{1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{1}}^{\mathtt{C};F}, \quad \dots,\quad M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k-1}}^{\mathtt{C};F}, \qquad \lim_{\varepsilon\to 0}M_{E_{k}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}=M_{E_{k}}^{\mathtt{C};F}, \end{equation*} \notag $$
то из (26) при $\zeta =\mathtt{C}$ следует, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ выполняются неравенства $M_{E_{j}}^{\mathtt{C};G_{k,\varepsilon}}>0$, $j=1,\dots,k$. Таким образом, для многочлена $G_{k,\varepsilon}(z)$ при $\varepsilon\neq 0$ выполнены все условия, при которых уже доказана лемма 1$^{\mathtt{C}}$ (с заменой индекса $n$ индексом $k$). Следовательно, при всех достаточно малых $\varepsilon\neq 0$ существуют функции $\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ такие, что
$$ \begin{equation} \frac{\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}(z)-G_{k,\varepsilon}(z)}{\omega_{E_{k}}(z)}\in H(E_{k}). \end{equation} \tag{31} $$
Из (31) следует
$$ \begin{equation*} \lim_{\varepsilon \to 0}\mathscr F_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}G_{k,\varepsilon}(e_{k})=\lim_{\varepsilon \to 0}(F(e_{k})+\varepsilon )=F(e_{k})=-1, \end{equation*} \notag $$
что невозможно, так как $\mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ и, следовательно, $\operatorname{Re} \mathscr F_{k,\varepsilon}^{\mathtt{C}} (e_{k})\geqslant 0$. Это означает, что сделанное предположение $F(e_{k})=-1$ приводит к противоречию. Лемма 1$^{\mathtt{C}}$, а следовательно, и лемма 1 доказаны.

Доказательство леммы 2. Заметим, что лемма 2$^{\mathtt{S}}$ доказана в [10] в явно сформулированном виде при $p=1,2$ (см. [10; леммы 3 и 4]) и при $p=3,4,{\dots}$ в неявном виде (см. в [10] лемму 5 и следующее за ней доказательство теоремы 1). Так как лемма 2$^{\mathtt{C}}$ сводится к лемме 2$^{\mathtt{S}}$ при дополнительном предположении $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p}$, с помощью теоремы 2, то для доказательства леммы 2 достаточно доказать, что предположения леммы 2$^{\mathtt{C}}$ влекут за собой неравенства
$$ \begin{equation} F(z)\neq -1, \qquad z\in E_{N+p}. \end{equation} \tag{32} $$

При $N=0$, $p=1$ неравенство $F(e_1)\neq -1$ тривиальным образом следует из имеющегося в (28) равенства $0=M_{E_1}^{\mathtt{C};F}=2\operatorname{Re} F(e_1)$.

Докажем неравенства (32) при $N\in\mathbb N$, $p=1$. В этом случае рассуждения, использованные в доказательстве леммы 1, следует немного подправить, используя имеющееся равенство $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0$ вместо использовавшегося в лемме 1 строгого неравенства $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}>0$. Фиксируем некоторую существующую по уже доказанной лемме 1 при $\zeta =\mathtt{C}$ (с заменой индекса $n$ на $N$) функцию $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, для которой выполнено включение

$$ \begin{equation} \frac{\mathscr F ^{\mathtt{C}} (z)-F(z)}{\omega_{E_N}(z)}\in H({E_{N}}), \end{equation} \tag{33} $$
влекущее за собой, в частности, неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N}$. Таким образом, для доказательства неравенств (32) при $p=1$ достаточно показать, что условия (28) (при $\zeta =\mathtt{C}$, $N\in\mathbb N$, $p=1$) влекут за собой неравенство $F(e_{N+1})\neq -1$.

Предполагая противное, получим

$$ \begin{equation*} e_{N+1}\notin E_N, \qquad G_{N+1,\varepsilon}\neq -1 \quad \text{при }\ z\in E_{N+1}, \quad \varepsilon\neq 0, \end{equation*} \notag $$
где $G_{N+1,\varepsilon}(z)$ – многочлен, равный $F(z)$ при $z\in E_N$ и равный $F(e_{N+1})+\varepsilon$ при $z=e_{N+1}$.

Покажем, что существует бесконечно малая последовательность отличных от нуля комплексных чисел $\{\varepsilon_l\}_{l=1}^\infty$ такая, что

$$ \begin{equation*} M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}\geqslant 0 \quad \text{при всех }\ l=1,2,\dots\,. \end{equation*} \notag $$
Так как $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, то в силу (24) $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0$. Отсюда в силу определения многочлена $G_{N+1,\varepsilon} (z)$ и (33) получаем неравенство
$$ \begin{equation} M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};\mathscr F ^{\mathtt{C}}}\geqslant 0, \quad \text{где }\ \varepsilon_0:=\mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})-F(e_{N+1}). \end{equation} \tag{34} $$
Отметим, что $\varepsilon_0\neq 0$, так как $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(e_{N+1})\neq -1$, а $F(e_{N+1})=-1$ по сделанному предположению.

Так как $e_{N+1}\notin E_N$, то из определений многочлена $G_{N+1,\varepsilon} (z)$ и величин $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}$ (см. (11)(14)) следует, что

$$ \begin{equation} M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon |^2+B\varepsilon +\overline{B\varepsilon}+C, \end{equation} \tag{35} $$
где $A$, $B$ и $C $ – некоторые зависящие от $N$ и $F$ коэффициенты, причем
$$ \begin{equation*} A \in\mathbb R, \qquad C =M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,0}}=M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};F}=0. \end{equation*} \notag $$
Если $B=0$, то выполняются неравенства $M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}\geqslant 0$ при всех $\varepsilon\in\mathbb C$, так как тогда в силу (35) и (34)
$$ \begin{equation*} M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon}}=A|\varepsilon|^2 = \frac{M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_0}}|\varepsilon|^2}{|\varepsilon_0|^2}\geqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Если $B\neq 0$, то равенства
$$ \begin{equation*} M_{E_{N+1}}^{\mathtt{C};G_{N+1,\varepsilon_l}}=A|\varepsilon_l|^2 +2\operatorname{Re} (B\varepsilon_l) = 0 \end{equation*} \notag $$
выполняются для любой бесконечно малой последовательности отличных от нуля комплексных чисел $\varepsilon_l=|\varepsilon_l|e^{i\theta_l}$, где
$$ \begin{equation*} 0<|\varepsilon_l|<2\biggl|\frac BA\biggr|, \qquad \cos (\arg B+\theta_l)=-\frac{A|\varepsilon_l|}{2|B|}. \end{equation*} \notag $$

Таким образом, для многочленов $G_{N+1,\varepsilon_l}$, $l=1,2,\dots$, выполнены все условия либо леммы 1$^{\mathtt{C}}$ (при $n=N+1$), либо доказанной леммы 2$^{\mathtt{C}}$. Следовательно, при всех $l=1,2,\dots$ существуют функции $\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$ такие, что

$$ \begin{equation} \frac{\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(z)-G_{N+1,\varepsilon_l}(z)}{\omega_{E_{N+1}}(z)}\in H(E_{N+1}), \qquad l=1,2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{36} $$
Из (36) следует
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lim_{l\to \infty}\mathscr F ^{\mathtt{C},l}(e_{N+1}) &=\lim_{l\to \infty}G_{N+1,\varepsilon_l}(e_{N+1}) \\ &=\lim_{l\to \infty}(F(e_{N+1})+\varepsilon_l )=F(e_{N+1})=-1, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что невозможно, так как $\mathscr F ^{\mathtt{C},l}\in\mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, $l=1,2,\dots$ . Это означает, что сделанное предположение $F(e_{N+1})=-1$ приводит к противоречию. Лемма 2$^{\mathtt{C}}$ при $N\in \mathbb Z_+$, $p=1$, доказана.

Пусть $p\geqslant 2$. Сделаем индуктивное предположение, что неравенства (32) доказаны при всех $N\in\mathbb Z_+$ и всех натуральных индексах до $p-1$ включительно, и докажем эти неравенства для индекса $p$. В силу сделанного индуктивного предположения существует функция $\mathscr F ^{\mathtt{C}}(z)\in \mathfrak B ^{\mathtt{C}}$, для которой выполнено включение (29) (при $\zeta =\mathtt{C}$ с заменой индекса $p$ на $p-1$), влекущее за собой, в частности, неравенства $F(z)\neq -1$, $z\in E_{N+p-1}$. Таким образом, для доказательства неравенств (32) достаточно показать, что условия (28) (при $\zeta =\mathtt{C}$, $N\in\mathbb N$) влекут за собой неравенство $F(e_{N+p})\neq -1$. Предполагая противное, получим противоречие точно такими же рассуждениями (с заменой индекса $N$ на $N+p-1$), какие были использованы при $p=1$. Лемма 2$^{\mathtt{C}}$, а следовательно, и лемма 2 доказаны.

Завершая доказательство теоремы 3, заметим, что при наличии доказанных лемм 1, 2 и теоремы 2 импликация (25) следует из цепочки импликаций

$$ \begin{equation*} F(z)\in\Phi_N^{\mathtt{C}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\in\Phi_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad (T\circ F)(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{S}} \quad\Longrightarrow\quad F(z)\lessdot \mathfrak B_N^{\mathtt{C}}, \end{equation*} \notag $$
в которой первая импликация следует из определения (20) множеств $\Phi_N^{\zeta}$, $\zeta = \mathtt{C},\mathtt{S}$, и теоремы 2 с учетом неравенств
$$ \begin{equation*} F(z)\neq -1, \qquad z\in E_n, \quad n=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$
являющихся следствиями лемм 1 и 2, вторая – из доказанной в [10] теоремы 3 при $\zeta =\mathtt{S}$, третья – из предложения 4. Таким образом, импликация (25), а следовательно, и теорема 3 доказаны.

В заключение отметим, что приведенные в этом параграфе рассуждения показывают, что теорема 3$^{\mathtt{C}}$ является следствием теоремы 2 и теоремы 3$^{\mathtt{S}}$. Легко видеть, что аналогичным образом теорема 3$^{\mathtt{S}}$ является следствием теоремы 2 и теоремы 3$^{\mathtt{C}}$. Другими словами, теорема 2 выявляет эквивалентность многоточечных аналогов критериев Каратеодори и Шура точно таким же образом, как теорема 1 выявляет эквивалентность классических критериев Каратеодори и Шура, за исключением того, что проверка присутствующих в предполагающей части теоремы 2 неравенств $F(e_n)\neq -1$, $n=1,2,\dots$, не столь тривиальна, как в классическом случае.

Список литературы

1. J. Schur, “Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind. I”, J. Reine Angew. Math., 1917:147 (1917), 205–232  crossref  mathscinet  zmath; II, 1918:148 (1918), 122–145  crossref  mathscinet  zmath
2. C. Carathéodore, “Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen”, Math. Ann., 64:1 (1907), 95–115  crossref  mathscinet  zmath
3. O. Toeplitz, “Über die Fourier'sche Entwickelung pozitiver Funktionen”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 32 (1911), 191–192  crossref  zmath
4. В. И. Буслаев, “О критерии Шура для формальных степенных рядов”, Матем. сб., 210:11 (2019), 58–75  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Schur's criterion for formal power series”, Sb. Math., 210:11 (2019), 1563–1580  crossref  adsnasa
5. G. Pólya, “Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete. III”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl., 1929 (1929), 55–62  zmath
6. В. И. Буслаев, “Аналог теоремы Полиа для кусочно голоморфных функций”, Матем. сб., 206:12 (2015), 55–69  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Buslaev, “An analogue of Polya's theorem for piecewise holomorphic functions”, Sb. Math., 206:12 (2015), 1707–1721  crossref  adsnasa
7. В. И. Буслаев, “О сходимости предельно периодической непрерывной дроби Шура”, Матем. заметки, 107:5 (2020), 643–656  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Convergence of a limit periodic Schur continued fraction”, Math. Notes, 107:5 (2020), 701–712  crossref
8. L. Baratchart, S. Kupin, V. Lunot, M. Olivi, “Multipoint Schur algorithm and orthogonal rational functions, I: Convergence properties”, J. Anal. Math., 114 (2011), 207–253  crossref  mathscinet  zmath
9. В. И. Буслаев, “Критерий Шура для формальных рядов Ньютона”, Матем. заметки, 108:6 (2020), 920–924  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Schur's criterion for formal Newton series”, Math. Notes, 108:6 (2020), 884–888  crossref
10. В. И. Буслаев, “Необходимые и достаточные условия продолжимости функции до функции Шура”, Матем. сб., 211:12 (2020), 3–48  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Necessary and sufficient conditions for extending a function to a Schur function”, Sb. Math., 211:12 (2020), 1660–1703  crossref  adsnasa

Образец цитирования: В. И. Буслаев, “Необходимые и достаточные условия продолжения функции до функции Каратеодори”, Матем. сб., 213:11 (2022), 5–24; V. I. Buslaev, “Necessary and sufficient conditions for extending a function to a Carathéodory function”, Sb. Math., 213:11 (2022), 1488–1506
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus22}
\by В.~И.~Буслаев
\paper Необходимые и достаточные условия продолжения функции до функции Каратеодори
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 11
\pages 5--24
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9611}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9611}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582602}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1521.30045}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1488B}
\transl
\by V.~I.~Buslaev
\paper Necessary and sufficient conditions for extending a~function to a~Carath\'eodory function
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 11
\pages 1488--1506
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9611e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992276000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165887441}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9611
  • https://doi.org/10.4213/sm9611
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i11/p5
  • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024