| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О кольцах когомологий частично проективных кватернионных многообразий Штифеля Г. Е. Жубановa, Ф. Ю. Попеленскийab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9601 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСистематическое изучение колец когомологий пространств, связанных с классическими группами Ли, восходит к основополагающим работам А. Бореля. Так, например, в работе [1] были вычислены кольца когомологий многообразий Штифеля $V_{n,k}(\mathbb F)$ для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$. На $V_{n,k}(\mathbb F)$ имеется свободное левое действие скаляров, по модулю равных 1, состоящее в умножении всех векторов репера на скаляр. Соответствующий фактор $PV_{n,k}(\mathbb F)$ называется проективным многообразием Штифеля. Изучение $PV_{n,k}(\mathbb R)$ и их топологических применений было начато Д. Хэнделом в диссертации 1965 г., усиление его результатов было опубликовано в совместной работе с С. Джитлером [2]. Стоит отметить, однако, что многообразия $PV_{n,n}(\mathbb F)$ совпадают с $\operatorname{PO}(n)$, $\operatorname{PU}(n)$ и $\operatorname{PSp}(n)$ для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$ соответственно и их кольца когомологий были полностью исследованы в работах А. Бореля, П. Баума и У. Браудера [3], [4]. Многообразия $PV_{n,k}(\mathbb F)$ естественно возникают в задачах существования ненулевых сечений кратных сумм Уитни линейных расслоений. Также они оказались полезными для изучения погружений проективных пространств в $\mathbb R^K$ (например, см. [5]) и для оценки количества независимых векторных полей на проективных пространствах. Кольца $\mathbb Z_p$-когомологий многообразий $PV_{n,k}(\mathbb C)$ для всех простых $p$ были вычислены в работе [6]. Оказалось, что результаты заметно различаются для $p>2$ и $p=2$, причем в последнем случае для установления мультипликативной структуры понадобилось частично вычислить действие квадратов Стинрода на образующих. Помимо полных факторов $PV_{n,k} (\mathbb C)= V_{n,k}(\mathbb C)/S^1$ интерес представляют “частично” проективные факторы по циклическим подгруппам $\mathbb Z_m\subset S^1$. Их кольца $\mathbb Z_p$-когомологий были вычислены в работе Ш. Гондали [7]. Не вызывает удивления, что результат зависит от делимости $m$ на $p$. В настоящей работе рассматриваются кватернионные проективные многообразия $PV_{n,k}(\mathbb H)$ и их “частично” проективные аналоги. Набор групп, факторизации по которым можно рассматривать, в данном случае значительно шире циклических (см. [8] и [9]). А именно, в $S^3=\operatorname{Sp}(1)$ имеются подгруппы $\{e\}$, $2T=P_{24}$, $2O=P_{48}$, $2I=P_{120}$, а также серия подгрупп $Q_{4m}$. Кроме того, в $\operatorname{SO}(4)$ имеются две серии дискретных подгрупп, $P'_{8\cdot 3^s}$ и $B_{2^s(2m+1)}$. Все эти группы, а также произведение любой из них на циклическую группу взаимно простого порядка допускают свободное ортогональное действие на $S^3$ (определения этих групп будут даны в § 3). Других свободных ортогональных действий конечных групп на $S^3$ нет. Из гипотезы геометризации Терстона (а точнее, из ее частного случая, когда любое замкнутое трехмерное многообразие с конечной фундаментальной группой $G$ представляется в виде фактора трехмерной сферы по ортогональному действию группы $G$) следует, что любое гладкое дискретное действие конечной группы на $S^3$ сопряжено одному из вышеперечисленных. Структура работы такова: в § 2 мы напоминаем известные результаты для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C$, в § 3 формулируем основные результаты для $\mathbb F=\mathbb H$, а в § 4 приводим их доказательства. § 2. Предварительные сведенияМногообразие Штифеля $V_{n, k} (\mathbb{F})$, где $\mathbb{F}=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$, ортонормированных $k$-реперов в $n$-мерном пространстве (для $\mathbb{F}=\mathbb H$ будем для определенности считать, что векторы умножаются на скаляры слева) допускает свободное действие скаляров, по модулю равных 1. Оно состоит в умножении всех векторов репера на данный скаляр. Соответствующее факторпространство $PV_{n, k} (\mathbb{F})$ называется проективным многообразием Штифеля. Легко видеть, что $PV_{n, 1} (\mathbb{F}) = \mathbb{F}P^n$. Для упрощения обозначений положим $V_{n,k}=V_{n, k} (\mathbb R)$, $W_{n, k}=V_{n, k} (\mathbb C)$ и $H_{n, k}= V_{n, k} (\mathbb H)$; $PV_{n,k}$, $PW_{n, k}$, $PH_{n, k}$ – соответствующие проективные многообразия Штифеля. 2.1. Вещественный случайБудем обозначать через $V(a_1,\dots,a_q)$ ассоциативную коммутативную алгебру с единицей над $\mathbb Z_2$, в которой всевозможные произведения $a_1^{\varepsilon_1}\dotsb a_q^{\varepsilon_q}$ для $\varepsilon_j=0,1$ образуют аддитивный базис. Соотношения на элементы $a_j^2$ будем уточнять отдельно. А. Борель вычислил кольца когомологий пространств $V_{n,k}$ в [1]. Теорема 1. В $\mathbb Z_2$-когомологиях $V_{n,k}(\mathbb R)$ имеются элементы $z_{n-k+1},\dots,z_n$, $\deg z_j=j-1$, такие, что причем в спектральной последовательности расслоения $V_{n,k}\to \operatorname{BO}(n-k)\to \operatorname{BO}(n)$ элементы $z_j$ трансгрессивны и $\tau(z_j)$ равен $j$-му классу Штифеля–Уитни $w_j\in H^*(\operatorname{BO}(n);\mathbb Z_2)$. Кроме того, $Sq^i z_j = {\displaystyle\binom{j-1}{i}} z_{i+j}$ для $i+j\leqslant n$ и $Sq^i z_j = 0$ для $i+j\,{>}\, n$, откуда, в частности, получаем недостающие соотношения на квадраты образующих $z_j$. Кольца когомологий пространств $PV_{n,k}(\mathbb{R})$ были вычислены для $n=k$ в [4] и для $n>k$ в [2]. Теорема 2. Имеет место изоморфизм колец где $\deg x = 1$, $\deg y_j = j-1$, а число $N$ определяется как Эта теорема устанавливает кольцевую структуру когомологий $H^*(PV_{n, k}; \mathbb{Z}_2)$ не полностью, а именно не хватает информации о квадратах $y_j^2$. В лемме 2.6 работы [2] образующие $y_j$ были выбраны некоторым специальным образом, а затем в лемме 2.7 было найдено действие квадратов Стинрода на $y_j$, что дает информацию о соотношениях на квадраты образующих $y_j$, так как $y_j^2 = Sq^{j-1}y_j$. Приведем для удобства читателя соответствующие формулы для действия квадратов Стинрода; точные условия, определяющие выбор образующих $y_j$ см. в [2]. Пусть $\xi_0$ – линейное расслоение, ассоциированное с двулистным накрытием $V_{n,k}\to PV_{n, k}$. (a) Если ${\displaystyle\binom{n}{q}}$ четно, то
$$
\begin{equation*}
Sq^iy_{q} = \sum_{k\in K}\binom{q-1-k}{i-k}w_k(n\xi_0)y_{q+i-k}+\varepsilon x^{q+i-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $K=\{k\mid 0\leqslant k \leqslant i, \,q+i-k\not=N\}$, $ \varepsilon =0,1$. (b) Если ${\displaystyle\binom{n}{q}}$ нечетно, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Sq^iy_{q} &= \sum_{k\in K}\binom{q-1-k}{i-k}w_k(n\xi_0)y_{q+i-k} \\ &\qquad +\sum_{j, k\in J}\binom{N-1-k}{j-k} Sq^{i-j}x^{q-N}w_k(n\xi_0)y_{N+j-k}+\varepsilon x^{q+i-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K$ определено выше, $J=\{j, k\mid 0\leqslant k<j\leqslant i\}$, $\varepsilon =0,1$. 2.2. Комплексный случайКогомологии комплексных проективных многообразий Штифеля $PW_{n,k}$ рассматривались в [4] для $n=k$ и в [6] для $n>k$. Пусть $x\in H^2(PW_{n,k}; \mathbb Z_p)$ – класс Эйлера по модулю $p$ комплексного линейного расслоения, ассоциированного с главным расслоением $W_{n,k}\to PW_{n,k}$. Теорема 3. Для данных $0<k\leqslant n$ положим (a) Если $p$ – простое число, $p>2$, то
$$
\begin{equation*}
H^*(PW_{n, k}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\deg x=2$, $\deg y_j = 2j-1$. (b) Если $p=2$, то при $n\not\equiv 2 \mod{4}$ или $k<n$
$$
\begin{equation*}
H^*(PW_{n, k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n).
\end{equation*}
\notag
$$
(c) Если $p=2$, $n\equiv 2 \mod{4}$ и $k=n$, то причем $x=y_1^2$.Здесь и далее через $\Lambda$ обозначается внешняя алгебра от образующих нечетной степени. Как и в вещественном случае, выбор подходящих образующих $y_j$ в $\mathbb Z_2$-когомологиях пространств $PW_{n, k}$ требует некоторых усилий. В § 3 работы [6] показано, как выбираются образующие $y_j$, и вычислено действие квадратов Стинрода на них: (a) здесь правая часть корректно определена, так как при нечетном ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ выполняется равенство $x^j=0$;(b) если $i<j$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Sq^{2i}y_j &=\sum_{r=0}^i\binom{j-1-r}{i-r} \binom{n}{r}x^ry_{j+i-r} \\ &\qquad +\binom{n}{j}\sum_{s=0}^{N-1}\binom{j-N}{i-s}\sum_{t=0}^s \binom{N-1-t}{s-t} \binom{n}{t} x^{j+i-N-s+t}y_{N+s-t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, дискретными подгруппами $S^1$ являются в точности циклические группы $\mathbb{Z}_m$, представленные корнями из 1. Профакторизовав $W_{n,k}$ по действию $\mathbb Z_m\subset S^1$, получим многообразие, которое мы будем называть частично проективным многообразием Штифеля и обозначать $W_{n,k;m}$. Для $k=1$ это пространство совпадает с конечномерной линзой $S^{2n-1}/\mathbb Z_m$, у которой кольцо когомологий известно:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^*(S^{2n-1}/\mathbb Z_m,\mathbb Z_p) &=\Lambda(x)\otimes \mathbb Z_p[y]/(y^n), \qquad \deg x=1, \quad \deg y=2 \quad\text{для }\ p\nmid m; \\ H^*(S^{2n-1}/\mathbb Z_m,\mathbb Z_p) &= \Lambda_{\mathbb Z_p}(y), \qquad\deg y=2n-1 \quad\text{для }\ p\mid m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кольца когомологий пространств $W_{n,k;m}$ для $k\geqslant 2$ вычислены Ш. Гондали в [7]. Теорема 4. При $2\leqslant k<n$, $m\geqslant 2$ имеют следующие кольцевые изоморфизмы. (a) Если $p\nmid n$, $p$ нечетно, то $H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_p) \cong H^*(W_{n, k}; \mathbb{Z}_p)$. (b) Если $p|n$, $p$ нечетно, то
$$
\begin{equation*}
H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes\Lambda(y_1, y_{n-k+1},\dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\deg x =2$, а число $N$ и элементы $y_j$ выбираются, как в теореме 3. (c) Если $m\equiv 0 \mod{4}$, то
$$
\begin{equation*}
H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[y_1]/(y_1^{2N})\otimes \Lambda(y_{n-k+1},\dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n).
\end{equation*}
\notag
$$
(d) Если $m\equiv 2 \mod{4}$, то § 3. Проективные кватернионные многообразия ШтифеляДля многообразий $PH_{n,k}$ выполняется следующее утверждение (для $n=k$ оно повторяет результат из [4; § 8]). Теорема 5. Для $0< k\leqslant n$ и простого $p$ положим (a) Для простого $p>2$ имеет место изоморфизм колец
$$
\begin{equation*}
H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb{Z}_p)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p) $. (b) Для $p=2$ имеет место изоморфизм колец для подходящим образом выбранных образующих $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb{Z}_2)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$.Здесь важное отличие п. (b) от п. (a) состоит в том, что, так как $p=2$, необходимо специальным образом выбирать образующие $y_j$, чтобы их квадраты были нулевыми. Для $p>2$ выбор элементов $y_j$ достаточно очевиден (см. подробности в доказательстве ниже). Теорема 6. Для действия квадратов Стинрода на образующих когомологий $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, выбранных, как в п. (b) теоремы 5, верны следующие равенства. (a) $Sq^2y_j=0$ и $Sq^3 y_j=0$ для всех $y_j$. (b)
$$
\begin{equation}
Sq^1y_j = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}\binom{n}{j} x^j&\textit{для } n-k+1\leqslant j<N, \\ 0&\textit{для } j\geqslant N. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Отметим, что для $j<N$ биномиальный коэффициент в формуле четен; кроме того, в силу соотношения $x^N=0$ формулу $Sq^1y_j = \dfrac{1}{2}{\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$ можно считать корректной и при $j\geqslant N$. (c) Если $i<j$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Sq^{4i}y_j &= \sum_{r=0}^i\binom{j-1-r}{i-r} \binom{n}{r}x^ry_{j+i-r} \\ &\qquad +\binom{n}{j}\sum_{s=0}^{N-1}\binom{j-N}{i-s}\sum_{t=0}^s \binom{N-1-t}{s-t} \binom{n}{t} x^{j+i-N-s+t}y_{N+s-t}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В последней формуле считается, что $y_N=0$. Кроме того, $Sq^1$, $Sq^2$, $Sq^3$ и $Sq^j$ для $j>4$ действуют на $x$ тривиально, а $Sq^4x = x^2$. Замечание 1. Приведенных формул для действия квадратов Стинрода на образующих достаточно, чтобы с помощью соотношений и формулы Картана $Sq^r(a b )= \sum_{s+t=r} (Sq^s a)(Sq^t b)$ восстановить действие алгебры Стинрода на любом элементе когомологий $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$. 3.1. Доказательство теоремы 5Кольца когомологий многообразий Штифеля $H_{n,k}=V_{n,k}(\mathbb H)$ вычислены в [1]:
$$
\begin{equation*}
H^*(H_{n,k};\mathbb Z) = \Lambda_\mathbb Z (z_{n-k+1},\dots,z_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\deg z_j = 4j-1$, причем в спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}\to \operatorname{BSp}(n-k)\to \operatorname{BSp}(n)$ классы $z_j$ трансгрессивны и $\tau(y_j) = q_j$, где $q_j$ – стандартные полиномиальные образующие в когомологиях $\operatorname{BSp}(n)$. Для вычисления колец когомологий проективных многообразий Штифеля при $k<n$ обычно рассматривается спектральная последовательность расслоения Серра
$$
\begin{equation}
V_{n, k}(\mathbb{F}) \xrightarrow{\pi} PV_{n, k}(\mathbb{F}) \xrightarrow{p} \mathbb{F}P^\infty,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
которое для $\mathbb F=\mathbb R$ подробно описано в [2], а для $\mathbb F=\mathbb C$ в [6]. Для $\mathbb F=\mathbb H$ оно индуцируется из расслоения $H_{n,k}\to \operatorname{BSp}(n-k)\to \operatorname{BSp}(n)$ с помощью отображения $ f_n\colon \mathbb H P^\infty\to \operatorname{BSp}(n) $, классифицирующего сумму Уитни $n$ экземпляров линейного расслоения Хопфа $\gamma$ над $\mathbb H P^\infty$. Отображение $\pi\colon V_{n,k}(\mathbb F)\to PV_{n,k}(\mathbb F)$ гомотопно отображению факторизации. Отсюда получаем, что в спектральной последовательности (3.3) $z_j$ под действием трансгрессии переходит в элемент (характеристический класс) $q_j(n\gamma) = {\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, где $x$ – образующая в $H^4(\mathbb H P^\infty)$. 3.1.1. Пункт (a)По крайней мере для $j=n$ биномиальный коэффициент ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ равен 1, т.е. отличен от 0 после приведения по любому модулю, поэтому среди чисел $n-k+1,\dots, n$ найдется наименьшее $N$, для которого ${\displaystyle\binom{n}{N}}\ne 0 \mod p$. Тогда легко видеть, что $d_{4N}$ – первый и единственный ненулевой дифференциал спектральной последовательности расслоения (3.3) в $\mathbb Z_p$-когомологиях для $p>2$. Образующие $y_j$ определяются из условия $\pi^*(y_j)=z_j$ для всех $j\ne N$. 3.1.2. Пункт (b)Как и в п. (a), среди чисел $n\,{-}\,k\,{+}\,1,\dots, n$ найдется наименьшее $N$, для которого ${\displaystyle\binom{n}{N}\ne 0 \mod 2}$. Тогда $d_{4N}$ – первый и единственный ненулевой дифференциал спектральной последовательности расслоения (3.3) в $\mathbb Z_2$-когомологиях. Отсюда получаем аддитивный изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes V(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\in H^4(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, причем $\pi^*(y_j)=z_j$ для $j\ne N$. Покажем теперь, что классы $y_j$ можно выбрать так, что все $y_j^2$ равны 0; тогда полученный изоморфизм примет вид изоморфизма из п. (b) доказываемой теоремы 5. Метод, описанный в [6] и [10], применяется почти дословно. Для удобства читателя приведем рассуждения, подходящие для кватернионного случая, полностью. Рассмотрим коммутативную диаграмму в которой вертикальные стрелки – проекции гомотопических расслоений со слоем $H_{n,k}$, причем левое и среднее получены взятием обратного образа правого расслоения. Чуть позже нам понадобится аналогичная диаграмма с другим $k$, поэтому временно уточним обозначения некоторых отображений: $\pi_{n,k}=\pi$ и т.д. Пространства в этой диаграмме можно реализовать следующим образом. Рассмотрим $S^3 $ – группу кватернионов единичной длины, вложенную в центр $\operatorname{Sp}(n)$; тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{ESp}(n)=\mathbb H P^\infty, \qquad \operatorname{BSp}(n)=\operatorname{ESp}(n)/\operatorname{Sp}(n), \\ \operatorname{BSp}(n-k)=\operatorname{ESp}(n)\times_{\operatorname{Sp}(n)} \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \\ PH_{n,k}=\operatorname{ESp}(n)\times_{S^3} \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \\ H_{n,k}=\operatorname{ESp}(n)\times \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при этом эти равенства следует понимать как гомотопические эквивалентности. Теперь рассмотрим диаграмму, в которой столбцы являются длинными точными последовательностями пар (отсюда и до конца доказательства когомологии рассматриваются с $\mathbb Z_2$-коэффициентами): Напомним, что $H^*(\operatorname{BSp}(n))$ является кольцом многочленов от $q_{1},\dots,q_n$, где $\deg{q_j}=4j$, а $ H^{*}(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$ можно отождествить с идеалом, порожденным элементами $q_{n-k+1},\dots, q_n$. Далее, $f_n^*(q_j) = {\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, где $x\in H^4(\mathbb H P^\infty )$ – образующая. Пусть $u_j = {\overline f}_n^*(q_j)\in H^{4j}(\mathbb H P^\infty, PH_{n,k})$. Тогда $j_H^*(u_j)={\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, что для всех $j<N$ равно 0. Тем самым для всех $j< N$ существуют и единственны классы $y_j\in H^{4j-1}(PH_{n,k} )$, для которых $\delta(y_j)=u_j$. Для $j>N$ этот подход не срабатывает, так как ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ может быть ненулевым по модулю $2$. Заметим, что $j_H^*(u_N)= x^N$, и для $j>N$ рассмотрим элемент $u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N$. Нетрудно проверить, что $j_H^*\biggl(u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N\biggr)=0$, и поэтому для $j>N$ существуют элементы $y_j\in H^{4j-1}(PH_{n,k} )$, для которых $\delta(y_j)=u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N$. Учитывая равенство нулю биномиальных коэффициентов ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ при $j<N$, можно считать, что формула верна для всех $j$. Заметим также, что формула корректна даже для $y_N$, которого нет в списке образующих в $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$: она дает $y_N=0$.Покажем, что теперь, что $\pi^*_{n,k}(y_j)= z_j\in H^*(H_{n,k})$. Из диаграммы (3.4) получаем, что $\delta(\pi^*_{n,k}(y_j)) = \Pi^*(\delta(y_j)) = \Pi^*\circ f_n^*(q_j)$. Рассмотрим аналогичную (3.4) диаграмму для $k=n$: Здесь мы воспользовались тем, что $H_{n,n}=\operatorname{Sp}(n)$ и $\operatorname{BSp}(0)= \operatorname{ESp}(n)\times_{\operatorname{Sp}(n)}(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(0))=\operatorname{ESp}(n)$. Кроме того, по построению композиция $F_{n,n}\circ \pi_{n,n}$: $\operatorname{Sp}(n)\to \operatorname{ESp}(n)$ отображения верхней строки диаграммы (3.7) совпадает с вложением на слой универсального расслоения $\operatorname{Sp}(n)\xrightarrow{i} \operatorname{ESp}(n)\xrightarrow{p_{n,n}} \operatorname{BSp}(n)$.Диаграмма (3.7) отображается в диаграмму (3.4) (например, $Q\colon \operatorname{Sp}(n)\to H_{n,k}=\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)$ – факторизация), поэтому получаем коммутативную диаграмму Отсюда следует, что диаграмма 3.5 отображается в диаграмму которая получена заменой $k$ на $n$ в (3.5). Откуда получаем $\delta(Q^* \circ \pi^*_{n,k})(y_j)=(\Pi^*\circ f_n^*)(q_j)$, следовательно, под действием трансгрессии универсального расслоения класс $(Q^* \circ \pi^*_{n,k})(y_j)\in H^{4j}(\operatorname{Sp}(n))$ переходит в $q_j\in H^{4j}(\operatorname{BSp}(n))$ и поэтому совпадает с $z_j$. Гомоморфизм $Q^*$ является мономорфизмом и отображает классы $z_{n-k+1},\dots , z_n\in H^*(H_{n,k})$ в одноименные классы в $H^*(\operatorname{Sp}(n))$. Тем самым $\pi^*_{n,k}(y_j)=z_j$.Докажем, что при указанном выборе образующих $y_j$ их квадраты нулевые. А именно,
$$
\begin{equation*}
\delta(y_j^2) = \delta (Sq^{4j-1} y_j) =Sq^{4j-1}\delta ( y_j) = Sq^{4j-1}\biggl(u_j + \binom{n}{j} x^{j-N}{u_N}\biggr) = 0
\end{equation*}
\notag
$$
в силу естественности операций, равенства $u_m = \overline f_n^*(q_m)$, формулы Картана для действия квадратов Стинрода на произведении двух элементов и тривиальности действия $Sq^{4j-1}$ в $H^{*}(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$. Но в следующем фрагменте точной последовательности пары:
$$
\begin{equation*}
H^{8j-2}(\mathbb{H}P^\infty) \to H^{8j-2}(PH_{n,k}) \xrightarrow{\delta} H^{8j-1}(\mathbb{H}P^\infty, PH_{n,k}),
\end{equation*}
\notag
$$
$\delta$ является мономорфизмом, так как $H^{8j-2}(\mathbb{H}P^\infty) =0$, поэтому $y_j^2=0$. Случай $n=k$ рассмотрен в [4]. Теорема 5 доказана. 3.2. Доказательство теоремы 6Из доказательства теоремы 5 следует, что класс $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ является образом класса $x\in H^4(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)$ при проекции $p\colon PH_{n,k}\to \mathbb H P^\infty$, откуда получаем формулы для действия $Sq^j$ на $x$ для всех $j$. 3.2.1. Пункт (a)Напомним, что класс $y_j$ выбирается как единственный класс в $H^{4m-1}(PH_{n,k})$, для которого $\delta (y_j)=u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{N-j}u_N$ (см. формулу (3.6) и конструкцию классов $y_j$ до нее). Поскольку $Sq^1,Sq^2$ и $Sq^3$ действуют тривиально на классе $x\in H^4(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ и на всех классах когомологий из $H^*(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k);\mathbb Z)$, выполняется равенство $\delta(Sq^a y_j)=Sq^a(\delta y_j)=0$ для $a=1,2,3$ и для всех $j$. Рассмотрим фрагмент короткой точной последовательности
$$
\begin{equation*}
H^{4j-1+a}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)\stackrel{p^*}{\to} H^{4j-1+a}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)\stackrel{\delta}{\to}H^{4j+a}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $\delta(Sq^a y_j)=0$ означает, что $Sq^a y_j$ лежит в образе $p^*$, но для $a=2$ или $a=3$ когомологии $H^{4j-1+a}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)$ тривиальны, откуда получаем $Sq^2 y_j=0$ и $Sq^3 y_j=0$. С другой стороны, для $a=1$ получаем, что $Sq^1 y_j$ является кратным класса $x^j$, что сразу дает утверждение п. (b) для $j\geqslant N$. 3.2.2. Пункт (b)Зафиксируем обозначения для образующих $H^*(H_{n,k};\mathbb Z)=\Lambda_\mathbb Z (\widehat z_{n-k+1},\dots,\widehat z_n)$ и $H^*(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z)=\mathbb Z[\widehat x]$. Будем считать, что $r_2(\widehat z_j)=z_j$ для всех $j$ и что $r_2(\widehat x)=x$; здесь $r_2$ – гомоморфизм групп когомологий, индуцированный приведением коэффициентов по модулю $2$. Рассмотрим спектральную последовательность целочисленных когомологий расслоения
$$
\begin{equation*}
H_{n,k}\stackrel{\pi}{\to}PH_{n,k}\stackrel{p}{\to} \mathbb H P^\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из построения расслоения следует, что для дифференциалов имеют место равенства $d_{4j}(\widehat z_j)={\displaystyle\binom{n}{j}}\widehat x^j$. Поэтому $\widehat x^j$ в $H^{4j}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ порождает циклическую подгруппу, порядок которой равен наибольшему общему делителю биномиальных коэффициентов ${\displaystyle\binom{n}{s}}$ для $n-k+1\leqslant s \leqslant j$. Обозначим это число через $A_j$. Ясно, что $A_{j+1}\mid A_j$. Также из формул для дифференциалов следует, что для $j>n-k+1$ в $E^{0,4j-1}_*$ до $E_\infty^{*,*}$ доживает $(A_{j-1}/A_j) \widehat z_j$, соответствующий класс в когомологиях $H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ под действием отображения вложения слоя расслоения $H_{n,k}\to PH_{n,k}$ отображается в одноименный $(A_{j-1}/A_j) \widehat z_j \in H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z)$. С другой стороны, никакое кратное класса $\widehat z_{n-k+1}\in E^{0.4n-4k+3} $ до $E^{*,*}_\infty$ не доживает, поэтому $H^{4n-4k+3}(PH_{n,k};\mathbb Z)=0$. Рассмотрим теперь короткую точную последовательность групп коэффициентов
$$
\begin{equation*}
0\to\mathbb Z\stackrel{2\cdot\ }{\to}\mathbb Z\stackrel{r_2}{\to}\mathbb Z_2\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\beta$ обозначим гомоморфизм Бокштейна, который является связывающим гомоморфизмом в соответствующей длинной точной последовательности групп когомологий. Мы докажем, что для $n-k+1\leqslant j < N$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\beta(y_j) =\frac{1}{2}\binom{n}{j}\widehat x^j\in H^*(PH_{n,k};\mathbb Z).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Правая часть этой формулы корректно определена, так как для указанного диапазона изменения $j$ биномиальные коэффициенты ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ четные. Далее, по определению элементов $y_j$ имеем равенство $\delta\circ\beta(y_j)=\beta(\delta(y_j)) = \beta\biggl(u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N\biggr)$; используя тривиальность $\beta$ в когомологиях пространства $\mathbb H P^\infty$ и в когомологиях пары $(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$, получаем $\delta\circ\beta(y_j)=0$. Из точной последовательности пары
$$
\begin{equation*}
H^{4j}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z)\stackrel{p^*}{\to} H^{4j} (PH_{n,k};\mathbb Z) \stackrel{\delta}{\to} H^{4j+1}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z)
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что $\beta (y_j)$ лежит в образе гомоморфизма $p^*$. Поскольку $\beta(y_j)$ имеет порядок 2, этот элемент либо нулевой, либо равен $\dfrac{1}{2}A_j \widehat x^j$. Напомним, что порядок элемента $\widehat x^j\in H^{4j}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ равен $A_{j}$. Для доказательства формулы (3.10) разберем несколько вариантов. Случай $j=n-k+1<N$. В $H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ имеется нетривиальный класс $y_j$, который не является приведением по модулю 2 никакого целочисленного класса, так как $H^{4n-4k+3}(PH_{n,k};\mathbb Z)=0$. Поэтому $\beta(y_j)\ne 0$. Учитывая равенство $A_{n-k+1}={\displaystyle\binom{n}{n-k+1}}$, получаем равенство (3.10) для $j-n-k+1$. Далее будем рассуждать индукцией по $j$. Случай $n-k+1<j<N$, $A_{j-1}/A_j$ четное. Так как $A_j=\gcd \biggl(A_{j-1}, {\displaystyle\binom{n}{j}}\biggr)$, число ${\displaystyle\binom{n}{j}/A_{j}}$ должно быть нечетным. Тогда $\beta(y_j) =\lambda\cdot\dfrac{1}{2}{\displaystyle\binom{n}{j}}\widehat x^j$ для некоторого целого $\lambda$. Докажем, что $\lambda$ должно быть нечетным. В самом деле, в противном случае $\beta (y_j)=0$. Выберем класс $a$, для которого $(r_2)_*(a)=y_j$. Класс $\pi^*(a)$ лежит в образе $\pi^*\colon H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)\to H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z) $ и поэтому кратен классу $({A_{j-1}}/{A_j}) \widehat z_j$, который по предположению четен. Но тогда образующая $z_j\in H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z_2) $ должна быть нулевой:
$$
\begin{equation*}
z_j = \pi^*(y_j) = \pi^*((r_2)_*(a)) = (r_2)_* (\pi^*(a)) = (r_2)_*\biggl(\frac{A_{j-1}}{A_j} \widehat z_j\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие показывает, что $A_{j-1}/A_j$ четным быть не может. Случай $n-k+1<j<N$, $A_{j-1}/A_j$ нечетное. Так как
$$
\begin{equation*}
A_{j-1}=\gcd \biggl({\displaystyle\binom{n}{n-k+1},\dots,\binom{n}{j-1}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
найдутся целые числа $s_{n-k+1},\dots, s_{j-1}$, для которых Рассмотрим класс $B = \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \widehat u_l \widehat x^{j-l+1} \in H^{4j-4}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z)$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
j_H^*(B) = \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \binom{n}{l} \widehat x^l \widehat x^{j-l+1} = A_{j-1 }\widehat x^{j-1}\in H^{4j-4}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует класс $D\in AH^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)$, для которого
$$
\begin{equation*}
\delta(D) = \frac{A_{j-1}}{A_j} \widehat u_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \widehat x B.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, нетрудно проверить, что для редукции по модулю 2 этого класса имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\delta((r_2)_*(D)) = \delta\biggl(\frac{A_{j-1}}{A_j} y_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l y_l x^{j-l}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\delta\colon H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)\to H^{4j-1}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ является мономорфизмом, то получаем равенство
$$
\begin{equation*}
(r_2)_*(D) = y_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l y_l x^{j-l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим к обеим частям $\beta$ и воспользуемся равенством $\beta\circ (r_2)_*=0$, нечетностью ${A_{j-1}}/{A_j}$ и предположением индукции:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta (y_j) &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \beta(y_l) \widehat x^{j-l} \\ &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \biggl[\frac{1}{2}\binom{n}{l}\biggr]\widehat x^l \widehat x^{j-l} \\ &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \biggl[\frac{1}{2} A_{j-1}\biggr]\widehat x^j=\frac{1}{2}\binom{n}{j} \widehat x^j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым формула (3.10) доказана. Утверждение п. (b) теперь доказывается следующим образом. Для $n-k+1\leqslant j<N$ приведем равенство (3.10) по модулю $2$ (применим гомоморфизм $(r_2)_*$). Тогда
$$
\begin{equation*}
Sq^1(y_j) = (r_2)_*\circ\beta(y_j) = \frac{1}{2}\binom{n}{j} (r_2)_*(\widehat x^j)= \frac{1}{2}\binom{n}{j} x^j.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $j\geqslant N$, как мы видели выше, $Sq^1 y^j$ должен быть кратен $x^j$, но в силу соотношения $x^N=0$ имеем $Sq^1 y^j=0$, что и требовалось. 3.2.3. Пункт (c)Для $i<j$ действие $Sq^{4i}$ на классе $q_j\in H^*(\operatorname{BSp}(n);\mathbb Z_2)$ описывается формулой $Sq^{4i}q_j \sum_{s=0}^i {\displaystyle\binom{4j-1-4s}{4i-4s}q_sq_{i+j-s}}$. Для биномиальных коэффициентов по модулю 2 имеет место равенство ${\displaystyle\binom{j-s-1}{i-s}=\binom{4j-4s-1}{4i-4s}}$ (для проверки достаточно применить лемму Люка). Откуда получаем
$$
\begin{equation*}
Sq^{4i}q_j \sum_{s=0}^i \binom{j-1-s}{i-s}q_sq_{i+j-s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшаяся часть доказательства формулы (3.2) дословно повторяет доказательство теорема 1.2, (iv) из [6] с удвоением градуировок. Теорема 6 доказана. § 4. Частично проективные кватернионные многообразия ШтифеляПриведем список конечных нетривиальных групп, допускающих свободное действие на трехмерной сфере. Часть из них, группы (1)–(5), реализуются как подгруппы в группе кватернионов, равных 1 по модулю:
Подгруппы (2)–(5) получаются как прообразы в двулистном накрытии $S^3\to \operatorname{SO}(3)$ известных дискретных подгрупп в $\operatorname{SO}(3)$. В частности, $Q_{4m}$ получается такой процедурой из группы диэдра $D_{2m}$. Кроме того, на $S^3$ определено свободное действие двух серий подгрупп $\operatorname{SO}(4)$:
а также на $S^3$ свободно действует Для всех групп (1)–(8) пространство орбит действия на $S^3$ является гладким многообразием; см. [11], [9], [12]. Более подробно, $2T = \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k, \frac{1}{2}(\pm1\pm i\pm j\pm k)\}$, $2O$ состоит из всех элементов $2T$ и еще 24 кватернионов, полученных из $\frac{1}{\sqrt{2}}(\pm1\pm i + 0j + 0k)$ перестановками координат, $2I$ состоит из всех элементов $2T$ и еще 96 кватернионов, полученных из $\frac{1}{2}(0\pm i\pm\varphi^{-1}j\pm\varphi k)$ четными перестановками координат. Отметим также, что для нечетного $m$ группа $Q_{4m}$ изоморфна $B_{4m}$, а группа $P'_{8\cdot 3}$ изоморфна $P_{24}$; см., например, [12]. Определение. Пусть $G$ – любая из групп списка (1)–(8). Тогда $G$ свободно и дискретно действует левыми сдвигами на слоях расслоения $H_{n,k}\to PH_{n,k}$. Факторпространство $H_{n,k}^G=H_{n,k}/G$ будем называть частично проективным многообразием Штифеля. Из спектральной последовательности расслоения $S^3/G \to H_{n,k}^G \to PH_{n,k}$ получаем аддитивный изоморфизм $H^*(H_{n,k}^G,\mathbb Z_p) \cong E_\infty$. Поэтому основная трудность состоит в вычислении третьего и четвертого дифференциалов этой спектральной последовательности, а также в вычислении кольцевой структуры в когомологиях тотального пространства. Таблица 1.Типы подгрупп
Нас интересует задача вычисления колец $H^*(H_{n,k}^G,\mathbb Z_p)$ для групп $G$ типа (1)–(7) и простых $p$. В табл. 1 приведены различные случаи, которые возникают при вычислении кольца когомологий пространства $H_{n,k}^G$. Это разбиение на случаи делается в зависимости от структуры кольца когомологий $H^*(S^3/G;\mathbb Z_p)$ и от того, делится ли порядок группы $G$ на $p$. Вычисление когомологий частично проективных многообразий Штифеля для группы, являющихся произведением группы из табл. 1 на циклическую группу взаимно простого порядка, т.е. для группы $G$ типа (8), теперь не представляет сложности (подробности будут опубликованы в другой работе). 4.1. Случай $\mathbf A$Этот случай характеризуется условием, что $|G|$ не делится на $p$, и является наиболее простым. Теорема 7. Пусть группа $G$ и простое число $p$ относятся к типу $\mathbf A$ из табл. 1. Тогда отображение накрытия $\pi\colon H_{n,k}\to H^G_{n,k}$ индуцирует изоморфизм колец Доказательство. Гомоморфизм $\pi^*$ является изоморфизмом на $G$-инвариантную часть когомологий $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$. С другой стороны, группы (1)–(5) из списка содержатся в группе $S^3$ кватернионов, равных 1 по модулю, а группы (6), (7) – в группе $\operatorname{SO}(4)$. Обе группы, $S^3$ и $\operatorname{SO}(4)$, связны и обе действуют на $H_{n,k}$ (применением к каждому вектору репера). Любой элемент этих групп действует в когомологиях $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$ тривиальным образом. Действие же дискретных групп из списка § 4 получается ограничением действия соответствующей непрерывной группы, поэтому $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)^G = H^*(H_{n,k};\mathbb{Z}_p)$. Теорема доказана. Перед тем как перейти к рассмотрению других случаев, докажем следующее утверждение. Лемма 1. Во всех случаях из табл. 1, кроме $\mathbf A$, для спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}^G\to PH_{n,k}$, где $1\leqslant k< n$, выполняется $E_2=E_\infty$, в частности, имеет место изоморфизм $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p)$-модулей Доказательство. По соображениям размерности достаточно проверить тривиальность дифференциала $d_4\colon E^{0,3}_4\to E^{4,0}_4$ в спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}^G\to PH_{n,k}$. Накрытие $\pi\colon H_{n,k}\to H^G_{n,k}$ согласовано с проекциями расслоений над $PH_{n,k}$, при этом ограничение на слой совпадает с накрытием $\pi\colon S^3\to S^3/G$, поэтому имеет место морфизм соответствующих спектральных последовательностей, тогда квадрат коммутативен, т.е. ${{\widehat d}\circ \pi^*= d_4}$. Остается заметить, что в этой диаграмме $\pi^*=0$, поскольку $p$ делит $|G|$.Лемма доказана. 4.2. Случай $\mathbf B$Теперь мы предполагаем, что $p$ делит $|G|$ и, кроме того, $H^*(S^3/G;\mathbb Z_p) = \mathbb Z_p[z_3]/(z_3^2=0)$, где $\deg z_3 = 3$, см. [13], [14]. Теорема 8. Пусть группа $G$ и простое число $p$ относятся к типу $\mathbf B$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец Доказательство. По лемме 1 искомый изоморфизм выполняется аддитивно. Кольцо $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$ вкладывается в кольцо $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$, и поэтому остается найти соотношение на $z_3^2$. Однако легко видеть, что в $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ нет ненулевых классов размерности $6$, поэтому $z_3^2=0$. Теорема доказана. 4.3. Случаи $\mathbf C_0$, $\mathbf C_1$, $\mathbf C_2$Для $p=2$ и групп $G=20$ и $G=Q_{4m}$ с четным $m$ кольца $H^*(S^3/G;\mathbb Z_2)$ и $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ (последнее нам понадобится при выводе одного соотношения в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$) имеют наиболее сложную структуру. В работах [13], [14] были получены следующие изоморфизмы. Теорема 9 (см. [13], [14]). (a) Для $G=Q_{4m}$, где $m=4s$, имеют место изоморфизмы колец (b) Для $G=Q_{4m}$, где $m=4s+2$, имеют место изоморфизмы колец
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^*(S^3/Q_{4\cdot (4s+2)};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1]/(\widehat\beta_1^3=0, (\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 + \widehat\beta_1\widehat\beta'_1+(\widehat\beta'_1)^2=0), \\ H^*(BQ_{4\cdot (4s+2)};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1,\widehat\alpha_4]/(\widehat\beta_1^3=0,(\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 + \widehat\beta_1\widehat\beta'_1+(\widehat\beta'_1)^2=0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(c) Для $G=2O$ имеют место изоморфизмы колец
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^*(S^3/(2O);\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1]/(\widehat\beta_1^4=0), \\ H^*(B(2O);\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\alpha_4]/(\widehat\beta_1^4=0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\widehat\beta_1$ и $\widehat\beta'_1$ – подходящим образом выбранные одномерные классы, а $\widehat\alpha_4$ – четырехмерный класс. По лемме 1 в случаях $\mathbf C_0$, $\mathbf C_1$, $\mathbf C_2$ имеем изоморфизмы $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$-модулей
$$
\begin{equation*}
H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_2) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_2)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, верно и более сильное утверждение. Теорема 10. Для групп $G=2O$ и $G=Q_{4m}$ с четным $m$ имеет место изоморфизм колец Доказательство. Для рассматриваемых групп $G$ в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$ выберем одномерные образующие: $\beta_1$ и $\beta'_1$ для $G=Q_{4m}$ и $\beta_1$ для $G=2O$. Обозначим через $i$ вложение слоя расслоения $S^3/G\to H^G_{n,k}\to PH_{n,k}$. По лемме 1 можно считать, что при ограничении на слой этого расслоения выбранные образующие переходят в одноименные образующие из теоремы 9: $i^*(\beta_j)=\widehat\beta_j$. Для $q\leqslant 3$ гомоморфизм ограничения на слой $i^*\colon H^q( H^G_{n,k};\mathbb Z_2)\to H^q(S^3/G;\mathbb Z_2)$ является изоморфизмом, поэтому соотношения между произведениями одномерных образующих $\beta_1$ и $\beta'_1$ до градуировки $3$ включительно повторяют соотношения между $\widehat\beta_1$ и $\widehat\beta'_1$ (для $G=2O$ нужно рассматривать только $\beta_1$ и $\widehat\beta_1$). Поэтому размерность $q=4$ наименьшая, в которой может появиться новое соотношение: в этой размерности ядро $i^*$ нетривиально и порождено классом $x$. Из теоремы 9 следует, что во всех случаях произведения степени $4$ одномерных классов тривиальны: $\widehat\beta_1^t (\widehat\beta'_1)^{4-t}=0$, $0\leqslant t\leqslant 4$, для $G=Q_{4m}$ и $\widehat\beta_1^4=0$ для $G=2O$. Докажем, что для рассматриваемых групп $G$ аналогичные соотношения для произведений классов $\beta_1$ и $\beta'_1$ выполняются и в $H^4(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$. Проекция $g\colon H_{n,k}\to H_{n,1}$, состоящая в отбрасывании всех векторов репера, кроме первого, согласована с действием группы $\operatorname{Sp}(1)$ и, в частности, с действием ее подгрупп $Q_{4m}$ и $2O$. Тем самым $g$ индуцирует отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_P&\colon PH_{n,k}\to PH_{n,1} =\mathbb H P^{n-1}, \\ g_G&\colon H^G_{n,k}\to H^G_{n,1} = S^{4n-1}/G. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $g_P$ и $g_G$ задают отображение расслоений Тем самым проверку тривиальности произведений степени 4 одномерных образующих $\beta_1$ и $\beta'_1$ достаточно сделать в $H^*(H^G_{n,1};\mathbb Z_2)$. Заметим теперь, что $H^G_{n,1}=S^{4n-1}/G$ является $(4n-1)$-мерным остовом классифицирующего пространства $BG$, причем $n\geqslant 2$, поэтому в интересующих нас размерностях кольца $H^*(H^G_{n,1};\mathbb Z_2)$ и $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ изоморфны. Из теоремы 9 следует, что любые произведения степени 4 одномерных классов в $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ тривиальны.Теорема 10 доказана. 4.4. Случаи $\mathbf D_2$, $\mathbf D_3$, $\mathbf D_p$Для групп $G$ и $\mathbb Z_p$-коэффициентов из табл. 1 группа когомологий $H^q(S^3/G;\mathbb Z_p)$ изоморфна $\mathbb Z_p$ при $q=0,1,2,3$, а в остальных размерностях она, очевидно, тривиальна. Кроме того, можно таким образом выбрать образующие $\widehat{\alpha}_1,\widehat{\gamma}_2,\widehat{z}_3$ в $H^q(S^3/G;\mathbb Z_p)$ для $q=1,2,3$ соответственно, что $\widehat{\alpha}_1\widehat{\gamma}_2=\widehat{z}_3$, причем $\widehat{\alpha}_1^2=0$, если $p>2$, и $\widehat{\alpha}_1^2=\widehat{\gamma}_2$, если $p=2$; см. [13], [14]. Из леммы 1 во всех случаях $\mathbf{D}_p$, $p\geqslant 2$, имеем изоморфизм $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p)$-модулей
$$
\begin{equation*}
H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_p)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в $H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p) $ существуют классы $\alpha_1,\gamma_2$ и $z_3$, которые при ограничении на слой переходят в $\widehat{\alpha}_1,\widehat{\gamma}_2,\widehat{z}_3$ соответственно. В силу размерностных ограничений $\alpha_1^2=\gamma_2$ для $p=2$ и $\alpha_1^2=0$ для $p>2$, кроме того, $z_3^2=0$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$. Единственное произведение, которое нельзя найти из соображений размерности, – это $\gamma_2^2$. Его ограничение на слой равно 0, поэтому оно должно быть кратным $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb Z_p)\subset H^4(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p)$. Мы докажем, что во всех случаях $\mathbf{D}_p$, $p\geqslant 2$, выполняется соотношение $\gamma_2^2=x$. Мы начнем со случая циклической группы $\mathbb Z_m$, $p\mid m$. Лемма 2. Пусть $G=\mathbb Z_m$ и $p\mid m$. Тогда в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ выполнено равенство $\gamma_2^2=x$. Доказательство. Проекция $g\colon H_{n,k}\to H_{n,1}$, состоящая в забывании всех векторов репера, кроме первого, согласована с действием группы $\operatorname{Sp}(1)$ и, в частности, с действием $\mathbb Z_m$. Поэтому определены отображения где $L^{4n-1}_m$ – линза $S^{4n-1}/\mathbb Z_m$. Отображения $g_P$ и $g_G$ согласованы c проекциями расслоений Гомоморфизм $g^*_P$ отображает класс $x\in H^4( PH_{n,1};\mathbb Z_p)$ в одноименный класс из $ H^4( PH_{n,k};\mathbb Z_p)$, а гомоморфизм $g^*_P$ отображает классы $\alpha_1$, $\gamma_2$, $z_3$, $x$ из $H^*( PH_{n,1};\mathbb Z_p)$ в одноименные классы из $ H^4( PH_{n,k};\mathbb Z_p)$, поэтому соотношение $\gamma_2^2=x$ достаточно проверить для $H_{n,1}^G$. Как было сказано выше, $H_{n,1}^G$ является линзой $S^{4n-1}/\mathbb Z_m$, в когомологиях которой искомое соотношение заведомо выполнено. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $p=2$, $G = Q_{4(2s+1)}, 2O, B_{2^s(2m+1)}$ или $p=3$, $G= 2T, P'_{8\cdot 3^s}$. Тогда в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ выполнено равенство $\gamma_2^2=x$. Доказательство. Это утверждение можно доказать аналогично лемме 2. Приведем другое рассуждение, основанное на сведении к соотношениям в когомологиях частично проективного пространства Штифеля для циклической группы. Сначала рассмотрим случай $p=3$. Для группы $G=2T$ силовская 3-подгруппа $G_3$ изоморфна $\mathbb Z_3$, а для $P'_{8\cdot 3^{s}}$ – группе $G_3=\mathbb Z_{3^s}$. В обоих случаях $G_3$ циклическая. Вложение $I\colon G_3\,{\subset}\, G$ индуцирует вложение колец $\mathbb Z_3$-когомологий, а из вычислений когомологий этих групп следует, что $I^*\colon H^*(S^3/G;\mathbb Z_3)\to H^*(S^3/G_3;\mathbb Z_3)$ является изоморфизмом. Накрытие $J\colon H^{G_3}_{n,k}\to H^{G}_{n,k}$ согласовано со структурой расслоения над $PH_{n,k}$, поэтому $J^*$ сохраняет класс $x$ и отображает класс $\gamma_2\in H^2(H^{G}_{n,k};\mathbb Z_3)$ в одноименный класс $ H^2(H^{G_3}_{n,k};\mathbb Z_3)$ (так как ограничение $J$ на слой совпадает с $I$). Кроме того, в размерностях 2 и 4 гомоморфизм $J^*$ является изоморфизмом. Поэтому из того, что соотношение $\gamma_2^2=x$ выполняется в $ H^2(H^{G_3}_{n,k};\mathbb Z_3)$, следует, что оно выполняется и в $ H^2(H^{G}_{n,k};\mathbb Z_3)$. Рассмотрим $p=2$. Для группы $G=B_{2^s(2m+1)}$ силовская $2$-подгруппа $G_2$ изоморфна $\mathbb Z_{2^s}$, а для $G=Q_{4(2s+1)}$ подгруппа $G_2$ изоморфна $\mathbb Z_4$. Поэтому для этих двух подгрупп рассуждение аналогично предыдущему. Лемма доказана. Теорема 11. (a) Пусть для $p>2$ группа $G$ относится к типу $\mathbf{D}_p$ или для $p=3$ – к типу $\mathbf{D}_3$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец (b) Пусть для $p=2$ группа $G$ относится к типу $\mathbf{D}_2$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец
$$
\begin{equation*}
H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)\cong \mathbb Z_2[\alpha_1]/(\alpha_1^{4N}=0)\otimes \Lambda(y_{n-k+1},\dots, \widehat{y}_N,\dots, y_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $N$ определяется так же, как в теореме 5. Доказательство. Нужный кольцевой изоморфизм следует из теоремы 5 и лемм 2 и 3. В самом деле, в кольце $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ для $p=2$ имеют место соотношения $\alpha_1^2=\gamma_2$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$, $\gamma_2^2=x$ и $x^N=0$, а для $p>2$ – соотношения $\alpha_1^2=0$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$, $\gamma_2^2=x$ и $x^N=0$. Теорема доказана. БлагодарностьАвторы выражают благодарность П. М. Ахметьеву за полезные обсуждения и ценные замечания, позволившие улучшить изложение.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhuPop22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|