| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Верхняя граница минимальных критических значений конечных произведений Бляшке В. Н. Дубининab a РНОМЦ "Дальневосточный центр математических исследований", Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток b Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, г. Владивосток
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9679 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка результатаПод конечным произведением Бляшке степени $n \geqslant 2$ понимается рациональная функция вида
$$
\begin{equation*}
B(z)=\alpha \prod^n_{k=1} \frac{z-z_k}{1- \overline{z}_k z},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\alpha|=1$ и комплексные числа $z_1,\dots, z_n$ лежат в единичном круге $|z|<1$. Такие произведения и их приложения изучались многими авторами (см., например, работы [1]–[4] и библиографию в них). В то же время задачи, связанные с критическими значениями произведений Бляшке, мало изучены (см. [3], [5]). В недавней работе [6] помимо других результатов установлена точная нижняя граница максимального модуля критических значений произведений $B$, нормированных условиями $B(0)=0$, $B'(0) \neq 0$ (см. [6; следствие 5.3]). Экстремальное произведение в этом случае совпадает с так называемым произведением Чебышёва–Бляшке (см. [2]) с точностью до дробно-линейной замены аргумента. Вопрос об оценке сверху минимальных модулей критических значений поднимался ранее в [7; п. 5.4]. Справедлива следующая Теорема. Пусть $B$ – конечное произведение Бляшке степени $n\geqslant 2$, $B(0)= 0$, $|B'(0)|=c$, $0<c<1$. Тогда где Нетрудно видеть, что функция $B_c$ является произведением Бляшке. Критические точки $B_c$ заданы уравнением
$$
\begin{equation*}
\zeta^{2n-2} + \biggl((n-2)c-\frac nc\biggr) \zeta^{n-1} +1=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а критические значения $B_c(\zeta)$, реализующие минимум в правой части (1.1), расположены на одном и том же расстоянии от начала координат симметричным образом. Из приведенной теоремы вытекает соответствующее утверждение о критических значениях комплексных полиномов (см. [8]). Действительно, пусть
$$
\begin{equation*}
P(z)=z^n +\dots +cz=z \prod^{n-1}_{k=1} (z- \alpha_k), \qquad c>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $P^*(z)=z^n -cz$. Сравнивая по теореме критические значения произведений Бляшке
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B(z)=\frac{t^n P(z/t)}{\prod^{n-1}_{k=1} (1- \alpha_k tz)}=z \prod^{n-1}_{k=1} \frac{z- \alpha_k t}{1- \alpha_k tz}, \\ B_{\widetilde{c}} (z)=\frac{t^n P^* (z/t)}{1-ct^{n-1} z^{n-1}}=z \frac{z^{n-1} - ct^{n-1}}{1-ct^{n-1} z^{n-1}}, \qquad \widetilde{c}=ct^{n-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при малых значениях $t>0$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\min \lbrace |P(\zeta)|\colon P'(\zeta)=0 \rbrace \leqslant \min \lbrace |P^*(\zeta)|\colon P^{*'} (\zeta)=0 \rbrace=(n-1) \biggl( \frac{c}{n}\biggr)^{n/(n-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство дает ответ на один из вопросов Смейла (см. [9], [8]). Заметим, что полином $P^*$ является также экстремальным и в знаменитой гипотезе Смейла о среднем значении, согласно которой предполагается существование критической точки $\zeta$, удовлетворяющей неравенству
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{P (\zeta)}{c\zeta }\biggr| \leqslant \frac{n-1}{n}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
(см. [9]). Шейл-Смолл поднял вопрос о получении аналогичной (1.3) оценки, где полином $P$ заменяется на конечное произведение Бляшке $B$, $B(0)=0$, $B'(0)=c$ (см. [5; п. 10.4.8]). Некоторый прогресс в этом направлении достигнут в работе Нг и Жанга [3]. Учитывая изложенное, естественно предположить, что экстремальным произведением Бляшке в гипотезе, аналогичной (1.3), будет функция $B_c$ из теоремы. Доказательство теоремы представлено в § 3 настоящей работы. Следуя методике работы [8], мы существенно используем строение римановой поверхности функции, обратной $B_c$, и диссимметризацию вещественнозначных функций (см. [10]). § 2. Поверхность $\mathscr{R}(B_c)$В этом параграфе дается описание римановой поверхности $\mathscr{R}(B_c)$, на которую функция $B_c$ отображает круг $|z|<1$, $0<c<1$. Всюду ниже под римановой поверхностью понимается поверхность $\mathscr{R}$, склеенная из конечного или счетного числа областей замкнутой комплексной плоскости таким образом, чтобы выполнялись условия: проекция каждой точки поверхности $\mathscr{R}$ совпадает с точкой склеиваемой области; окрестность каждой точки $\mathscr{R}$ представляет собой или однолистный круг, или конечнолистный круг с единственной точкой разветвления в его центре (подробнее см. [11; ч. 3]). В том случае, когда это не вызовет недоразумений, мы не будем различать плоские области до склеивания (отождествления некоторых частей границ этих областей) и после склеивания (когда они являются уже подобластями поверхности $\mathscr{R}$). Граничные точки склеиваемых областей, не задействованные в склеивании, порождают граничные точки поверхности $\mathscr{R}$. Совокупность граничных точек обозначим через $\partial \mathscr{R}$. Точки $W \in \partial \mathscr{R}$ можно рассматривать как граничные точки множества $\mathscr{R}$, расположенного на поверхности $ \widetilde{\mathscr{R}} \supset \mathscr{R}$, которая получена склеиванием подходящих расширений областей, образующих $\mathscr{R}$. Начнем с рассмотрения функции $f$, которая конформно и однолистно отображает сектор
$$
\begin{equation*}
S=\biggl\{ z\colon|z| < 1,\ 0 < \arg z < \frac{\pi}{n-1}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
на сектор
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ w \colon|w | < 1,\ 0 < \arg w < \pi + \frac{\pi}{n-1}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с разрезом вдоль некоторого отрезка $[A_c, 0]$, $ -1 < A_c <0$, так, что
$$
\begin{equation*}
f(0)=0, \qquad f(1)=1, \qquad f\biggl(\exp\biggl(\frac{i \pi}{n-1}\biggr)\biggr)=- \exp \biggl(\frac{i \pi}{n-1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Число $A_c$ определим из условия $f(a)=0$, где $a=c^{1/(n-1)} >0$. Возможность такого выбора числа $A_c$ вытекает, например, из следующего соображения. При изменении $A_c$ от $-1$ до нуля модуль семейства кривых, соединяющих в области $f(S)$ отрезок $[A_c, 0]$ с дугой окружности $\{w \colon|w |=1,\ 0< \arg w < \pi + \pi /(n-1) \}$, меняется непрерывно и строго монотонно от $\infty$ до нуля1. Поэтому существует $A_c$, при котором указанный модуль равен модулю семейства кривых в $S$, соединяющих отрезок $[0,a]$ с дугой $\{ z\colon|z|=1,\ 0< \arg z< \pi /(n-1) \}$. Ввиду конформной инвариантности модуля данное значение $A_c$ и будет требуемым. Функция $f$ допускает аналитическое продолжение из сектора $S$ на всю комплексную плоскость $\overline{\mathbb C}$ с помощью принципа симметрии Римана–Шварца через дуги окружности $|z|=1$ и лучи $\arg z^{2(n-1)}=0$. Полученное таким образом продолжение обозначим той же буквой $f$. Заметим, что точка $A_c$ является критическим значением функции $f$. Часть прообраза отрезка $[1/A_c, A_c]$ при отображении $f$, лежащая в угле $|\arg z|< \pi /(n-1)$, представляет собой замкнутую жордановую кривую $\gamma_1 $, симметричную относительно окружности $|z|=1$ и относительно вещественной оси. Кривые, полученные из $\gamma_1 $ поворотами на углы $2 \pi (k-1)/(n-1)$ против часовой стрелки, обозначим через $\gamma_k$, $k=2,\dots, n-1$. Пусть $G_k$ – конечная область, ограниченная кривой $\gamma_k$, $k=1,\dots, n-1$, и пусть
$$
\begin{equation*}
G_0=\overline{\mathbb C}\setminus\bigcup^{n-1}_{k=1} \overline{G}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения функции $f$ следует, что образом области $G_0$ при отображении $f$ является вся $w$-плоскость, разрезанная вдоль отрезков
$$
\begin{equation*}
\lambda_k :=\biggl[\frac{\exp (2\pi i(k-1)/(n-1))}{A_c},\, A_c \exp\biggl(\frac{2 \pi i (k-1)}{n-1}\biggr)\biggr], \qquad k=1, \dots, n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим этот образ через $D_0$. Далее, множество $f(G_k):=D_k$ представляет собой $w$-плоскость с разрезом вдоль отрезка $\lambda_k$, $k=1, \dots, n-1$. Риманова поверхность $\mathscr{R}$, на которую функция $f$ отображает плоскость $\overline{\mathbb C}_z$, получается приклеиванием “крест-накрест” областей (листов) $D_k$, $k=1, \dots, n-1$, к листу $D_0$ по берегам совпадающего разреза. Компактная поверхность $\mathscr{R}$ состоит из $n$ листов и подобна однолистной. Следовательно, $f$ – рациональная функция (см. [11; ч. 3, гл. 8, § 10]). По построению функция $f$, голоморфная в круге $|z|<1$, отображает окружность $|z|=1$ на окружность $|w|=1$, и нули этой функции совпадают с нулями произведения Бляшке (1.2). Поэтому вещественная часть голоморфной ветви в круге $|z|<1$ функции $\log (f/B_c)$ обращается в нуль на границе этого круга. По принципу максимума $\log (f/B_c)\equiv i \theta$, где $\theta$ – вещественная постоянная. Учитывая нормировку $f(1)=B_c(1)=1$, заключаем, что $f\equiv B_c $. Таким образом, поверхность $\mathscr{R}$ совпадает с римановой поверхностью функции, обратной $B_c$. Обозначим через $\mathscr{R}(B_c)$ ту часть этой поверхности, которая лежит над кругом $|w|<1$. Из изложенного следует, что поверхность $\mathscr{R}(B_c)$ получается приклеиванием “крест-накрест” областей (листов)
$$
\begin{equation*}
U^*_k=\lbrace w\colon|w|<1,\, w \notin \lambda_k \rbrace, \qquad k=1, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
к листу
$$
\begin{equation*}
U^*_0=\biggl\lbrace w\colon|w|<1,\, w \notin\bigcup^{n-1}_{k=1} \lambda_k \biggr\rbrace
\end{equation*}
\notag
$$
по берегам совпадающих разрезов единичного круга.
§ 3. Доказательство теоремыПусть функция $B$ удовлетворяет условиям теоремы, $|B'(0)|=c$, $0<c<1$. Можно считать, что все критические точки функции $B$ суть нули первого порядка ее производной $B'$, а критические значения $B$ имеют разные аргументы. Случаи, не попадающие под это ограничение, могут быть рассмотрены предельным переходом. Предположим, что для данного произведения Бляшке $B$ теорема неверна. Тогда существует константа $d$, $c<d<1$, такая, что
$$
\begin{equation}
\min \lbrace |B(\zeta)|\colon B'(\zeta)=0 \rbrace > |A_d|,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $A_d$ – критическое значение произведения $B_d$ (см. § 2). Обозначим через $\mathscr{R}$ риманову поверхность функции $\mathscr {B}$, обратной функции $w=B(z)$, $|z|<1$. Мы рассматриваем функцию $\mathscr {B}$ как однозначную функцию, заданную на $\mathscr{R}$. Под проекцией точки $W \in \mathscr{R}$ понимается точка $B(\mathscr {B}(W))$, лежащая в круге $|w|< 1$. Кривые на поверхности $\mathscr{R}$, однолистно лежащие над лучами вида $\arg w=\mathrm{const}$, $|w| \geqslant \lambda $, и соединяющие точки ветвления $\mathscr{R}$ с границей $\partial \mathscr{R}$, разбивают поверхность $\mathscr{R}$ на $n$ листов. Пронумеруем эти листы следующим образом. Обозначим через $U_0$ лист, содержащий прообраз точки $z=0$ при отображении функцией $\mathscr {B}$. Далее в любом порядке следуют листы $U_1, \dots, U_m$, $ m \leqslant n-1$, приклеенные к $U_0$ (т.е. листы, имеющие с $U_0$ общие берега разреза). Затем номера получают (в любом порядке) все листы, приклеенные к $U_1$ (если такие существуют и если они до этого не получили номер). Потом следуют все листы, приклеенные к $U_2$ (если такие существуют и если они до этого не получили номер), и т.д. и, наконец, последний лист $U_{n-1}$. Ввиду связности $\mathscr{R}$ каждый лист получит некоторый номер. Заметим, что для любого листа $U_k$, $k \geqslant 1$, существует один и только один приклеенный к нему лист $U_{k'}$ с номером $k' <k$, поскольку риманова поверхность $\mathscr{R}$ не имеет нестягиваемых в точку циклов. Рассмотрим теперь поверхность $\mathscr{R}(B_d)$ и функцию $\mathscr {B}_d$, обратную произведению Бляшке $w=B_d (z)$, $|z|<1$; $\mathscr {B}_d\colon \mathscr{R}(B_d)\to \lbrace z\colon|z|<1 \rbrace$. На множестве
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}^*_0 :=\lbrace W^* \in \mathscr{R}(B_d)\colon\mathscr {B}_d(W^*) \neq 0 \rbrace
\end{equation*}
\notag
$$
определим вещественнозначную функцию $\omega^*$ по формуле Функция $\omega^*$ обладает следующей симметрией. На листе $U^*_0$ она симметрична относительно прямых
$$
\begin{equation*}
\biggl\lbrace w=\rho \exp \biggl(\pi i + \frac{\pi ij}{n-1}\biggr)\colon- \infty < \rho < + \infty \biggr\rbrace , \qquad j=1, \dots, 2n-2
\end{equation*}
\notag
$$
(т.е. в точках, симметричных относительно этих прямых, она принимает одинаковые значения). На каждом листе $U^*_k$ она симметрична относительно прямой
$$
\begin{equation*}
\biggl\lbrace w=\rho \exp \biggl(\pi i + \frac{2\pi i(k-1)}{n-1}\biggr)\colon- \infty < \rho < + \infty \biggr\rbrace, \qquad k=1, \dots, n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, если лист $U^*_{k'}$ получается из листа $U^*_{k''}$ поворотом $\varphi$ вокруг начала, $\varphi \colon U^*_{k''} \to U^*_{k'}$, $k',k'' \geqslant 1$, то $\omega^* \equiv \omega^* \circ \varphi$ на листе $U^*_{k''}$. Дальнейшее доказательство теоремы состоит в построении вещественнозначной функции $\omega$, заданной на поверхности
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_0 :=\lbrace W \in \mathscr{R} \colon\mathscr{B} (W) \neq 0 \rbrace,
\end{equation*}
\notag
$$
которую можно трактовать как диссимметризацию функции $\omega^*$. Ввиду симметрии функции $\omega^*$ на листе $U^*_0$ ее можно доопределить по непрерывности на круг $|w|<1$ с выколотой точкой $w=0$ и затем применить к ней диссимметризацию (см. [10; п. 4.4]). Суть этой диссимметризации сводится к следующему. Пусть $l_1 ,\dots, l_m$ – лучи, выходящие из начала и проходящие через разрезы листа $U_0$, и пусть
$$
\begin{equation*}
l^*_k=\biggl\lbrace w\colon\arg w=\pi +\frac{2 \pi (k-1)}{n-1}\biggr \rbrace, \qquad k=1, \dots, m,
\end{equation*}
\notag
$$
– лучи, проходящие через разрезы листа $U^*_0$. Тогда существуют открытые углы $P_j$, $j=1,\dots,N$, с вершинами в начале и повороты вокруг начала $\lambda_j$, $j=1,\dots,N$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_j\cap P_{j'}=\varnothing, \quad \lambda_j(P_j)\cap\lambda_{j'} (P_{j'})=\varnothing, \qquad j\neq j', \quad j,j'=1,\dots,N, \\ \bigcup_{j=1}^{N}\overline{P}_j=\overline{\mathbb C}_w, \quad \bigcup_{j=1}^{N}\lambda_j(l^*_k\cap\overline{P}_j)=l_k, \qquad k=1,\dots,m, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и функция
$$
\begin{equation*}
\omega(w)\equiv\operatorname{Dis}\omega^*(w):=\omega^*(\lambda^{-1}_j(w)), \qquad w\in\lambda_j(\overline{P}_j), \quad j=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
однозначно определена на $\overline{\mathbb C}_w$. Функцию $\omega$ называют результатом диссимметризации функции $\omega^*$ (см. об этом подробнее в [10; п. 4.4]). Мы рассматриваем функцию $\omega$ как заданную на множестве $U_0\cap\mathscr{R}_0$. Более точно, суперпозиция отображения, обратного проектированию с поверхности $\mathscr{R}^*_0$, и функции $\omega^*$, доопределенная по непрерывности на $\{w\colon 0<|w|<1\}$, диссимметризуется, и затем рассматривается суперпозиция проекции с поверхности $\mathscr{R}$ и результата диссимметризации. Эта суперпозиция и есть функция $\omega$ на $U_0\cap \mathscr{R}_0$. Значения функции $\omega$ на остальных листах определяются по формуле
$$
\begin{equation*}
\omega=\omega^*\circ\varphi_k \quad\text{на }\ U_k, \quad k=1,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение $\varphi_k\colon U_k\to U^*_k$ является поворотом (точнее, проектированием, поворотом вокруг начала и затем поднятием), определенным следующим образом. Для листов $U_k$, $1\leqslant k\leqslant m$, отображение $\varphi_k$ есть поворот, переводящий луч $l_k$ в луч $l^*_k$, $k=1,\dots,m$. Далее, если лист $U_k$, $k>m$, приклеен к листу $U_{k'}$, $1<k'<k$, то прообразы разрезов листов $U^*_k$ и $U^*_{k'}$ при поворотах $\varphi_k$ и $\varphi_{k'}$ имеют одинаковые проекции. Поскольку для таких $k$ указанный лист $U_{k'}$ только один, то отображение $\varphi_k$ определено однозначно, $k=m+1,\dots,n-1$. Функцию $\omega$ можно доопределить по непрерывности на поверхность $\mathscr{R}_0$. Действительно, ввиду симметрии $\omega^*$ и свойств диссимметризации функция $\omega$ непрерывно продолжается на замыкание каждого листа $U_{k}$ (относительно $\mathscr{R}_0$), $k=0,\dots,n-1$. Далее, вновь ввиду симметрии и условия (3.1) значения $\omega$ на “верхних” и “нижних” берегах разрезов, по которым лист $U_0$ приклеен к листам $U_1,\dots,U_m$, совпадают. Следовательно, функция $\omega$ непрерывно продолжима на множество $\bigl(\bigcup_{k=0}^m\overline{U}_k\bigr)\,\cap\,\mathscr{R}_0$. Наконец, если какой-то лист $U_{k}$, $k>m$, приклеен к листу $U_{k'}$, $1<k'<k$, то ввиду $(n-1)$-кратной симметрии функции $\omega^*$ и по построению $\omega$ значения $\omega$ на “верхних” и “нижних” берегах разрезов, по которым осуществляется склейка листов $U_k$ и $U_{k'}$, совпадают. Поэтому функция $\omega$ непрерывно продолжима на $(\overline{U}_k\cup \overline{U}_{k'})\cap\mathscr{R}_0$ и, следовательно, на всю поверхность $\mathscr{R}_0$. Далее под $\omega$ понимается результат указанного продолжения на $\mathscr{R}_0$. Завершает доказательство сравнение интегралов Дирихле от функций $\omega^*$ и $\omega$. Для открытых множеств $B$ на плоскости либо на поверхностях $\mathscr{R}_0$, $\mathscr{R}^*_0$ и достаточно гладких функций $v$ на $B$ введем обозначение Пусть число $s>0$ достаточно мало, и пусть $\mathscr{R}_s$ означает множество всех точек поверхности $\mathscr{R}_0$, за исключением точек $W$ на листе $U_0$, для проекций которых выполняется неравенство $|\operatorname{pr}W|\leqslant s$. Аналогично определим множество $\mathscr{R}^*_s$. Так как при диссимметризации и поворотах $\varphi_k$ интеграл Дирихле не меняется, то
$$
\begin{equation}
I(\omega^*,\mathscr{R}^*_s)=\sum_{k=0}^{n-1} I(\omega^*,U^*_k\cap \mathscr{R}^*_s)=\sum_{k=0}^{n-1} I(\omega,U_k\cap \mathscr{R}_s)=I(\omega,\mathscr{R}_s).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Учитывая вновь конформную инвариантность интеграла Дирихле, получаем
$$
\begin{equation*}
I(\omega^*,\mathscr{R}^*_s)\leqslant I\biggl(\log|z|,\biggl\{z\colon \frac sd(1+o(1))<|z|<1\biggr\}\biggr)=-2\pi\log\frac sd+o(1), \qquad s\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что предельные граничные значения функции $\omega$, принимаемые над окружностью $|\omega|=1$, равны нулю. Конформная инвариантность интеграла Дирихле и принцип Дирихле дают
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\omega,\mathscr{R}_s) &\geqslant I\biggl(\omega\circ\mathscr{B}^{-1},\,\biggl\{z\colon \frac sc(1+o(1))<|z|<1\biggr\}\biggr) \\ &\geqslant I\biggl(\frac{\log(s/d)}{\log(s/c)}\log|z|,\ \biggl\{z\colon \frac sc(1+o(1))<|z|<1\biggr\}\biggr) \\ &=-2\pi\log\frac sc\biggl(\frac{\log(s/d)}{\log(s/c)}\biggr)^2+o(1), \qquad s\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая выписанные неравенства с (3.2), приходим к противоречию: $c\geqslant d$. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dub22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|