| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками Г. В. Белозеровab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9588 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим $n$-мерное евклидово пространство и область $D$ в нем. Пусть граница этой области является кусочно гладкой. Задача о движении материальной точки внутри $D$ с абсолютно упругим отражением от границы называется математическим биллиардом. Интегрируемость плоского биллиарда в области, ограниченной эллипсом, отмечена в работе Дж. Д. Биркгофа [1]. В книге В. В. Козлова и Д. В. Трещёва [2], а также в книге С. Л. Табачникова [3] дан обзор современных и классических исследований, посвященных теории математического биллиарда. Биллиарды внутри плоских областей, ограниченных дугами софокусных квадрик, являются интегрируемыми гамильтоновыми системами. Такие системы с точностью до лиувиллевой эквивалентности начали изучаться в работах В. Драговича, M. Раднович [4], [5], а также В. В. Ведюшкиной (Фокичевой) [6], [7]. В. В. Ведюшкина классифицировала все локально плоские топологические биллиарды, ограниченные дугами софокусных эллипсов и гипербол, а также области, полученные склейками элементарных областей вдоль выпуклых (см. [8]) и произвольных (см. [9], [10]) сегментов границ. Была определена эквивалентность биллиардных столов (см. также [11]), и для каждого из них были вычислены инварианты Фоменко (т.е. грубые молекулы) и Фоменко–Цишанга (меченые молекулы). Напомним, что в случае двух степеней свободы грубой молекулой называется тип базы слоения Лиувилля системы в ограничении на изоэнергетическую поверхность – граф Риба, вершины которого дополнительно оснащены символами бифуркаций (3-атомов Фоменко) торов Лиувилля. Они классифицируют интегрируемые системы в ограничении на инвариантное 3-подмногообразие с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности (гомеоморфизма баз слоений Лиувилля, поднимаемого в окрестности каждой точки базы до гомеоморфизма самих слоений Лиувилля). Отметим также, что в работе Н. Т. Зунга [12] грубой эквивалентностью названо более сильное отношение эквивалентности, учитывающее связь поднятий разных точек базы. Для описания системы с двумя степенями свободы на всем симплектическом многообразии $M^4$, а также в многомерном случае (для систем с тремя и более степенями свободы) А. Т. Фоменко ввел более общий инвариант нерезонансных интегрируемых по Лиувиллю систем, называемый бифуркационным комплексом и изучил ряд его свойств, см. [13], [14]. В работе [15] был предложен подход к стратификации этого объекта по рангу отображения момента. Тогда вычетом слоев, содержащих вырожденные орбиты пуассонова действия системы или точки коранга 2 и более, фазовое пространство системы допускает описание в терминах (меченых) сетей. Этот подход нашел свое применение в механике, например, при описании М. П. Харламовым и П. Е. Рябовым фазовой топологии системы Ковалевской в двух полях – интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, см. [16]. Инвариант Фоменко–Цишанга получается из инварианта Фоменко добавлением числовых меток $r$, $\varepsilon$, $n$, вычисляемых по диффеоморфизмам склейки граничных торов 3-атомов (см. [17]). Данный инвариант классифицирует системы с точностью до лиувиллевой эквивалентности – послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля в ограничении на трехмерный уровень постоянной энергии (с условием на ориентации критических окружностей 3-атомов, подробнее см. [18]). Инварианты Фоменко и Фоменко–Цишанга были вычислены для широкого класса интегрируемых систем геометрии [19]–[23], механики [24]–[30] и их аналогов на алгебрах Ли [31]–[35]. При этом были, в частности, обнаружены нетривиальные эквивалентности между различными системами. Данный подход нашел широкое применение в теории интегрируемых биллиардов – вообще говоря, являющихся лишь кусочно гладкими интегрируемыми системами. В работах В. В. Ведюшкиной и А. Т. Фоменко биллиардами были реализованы инварианты Фоменко–Цишанга многих интегрируемых систем с двумя степенями свободы (см. [11], [36], [37]). Активно изучается гипотеза А. Т. Фоменко о реализации интегрируемыми биллиардами произвольных слоений Лиувилля и их особенностей (см. [38]–[46]). Обзор и наглядное изложение последних результатов по различным разделам гипотезы Фоменко о биллиардах сделаны в [47]. Для этого рассматриваются не только плоские интегрируемые биллиарды, но и их обобщения – биллиарды на клеточных комплексах (введенные В. В. Ведюшкиной топологические биллиарды (см. [9]–[10]) и биллиардные книжки, см. [38]–[39]), биллиарды с потенциалом (см. [48]–[50]), биллиарды в постоянном магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием (см. [51]) или биллиарды в пространстве с метрикой Минковского (см. [52]). Отметим также недавнюю работу [53], где введенные А. Т. Фоменко эволюционные силовые биллиарды были применены для топологического моделирования систем Эйлера и Лагранжа сразу на всех классах их неособых уровней энергии. Замечание 1.1. Недавние результаты по доказательству гипотезы Биркгофа (см. работы А. А. Глуцюк [54], М. Бялого и А. Е. Миронова [55], [56], А. Ю. Калошина [57], [58]) показывают, что для интегрируемости плоского биллиарда без потенциала требуется принадлежность гладких дуг его границы концентрическим окружностям или софокусным квадрикам (с некоторыми уточнениями). Несмотря на конечность количества классов таких плоских биллиардов (как в смысле комбинаторного устройства границы, так и топологии их слоений Лиувилля), переход от плоских биллиардов к биллиардам на склеенных столах-комплексах позволил реализовать широкий класс слоений Лиувилля интегрируемых систем. Настоящая работа посвящена интегрируемым биллиардам с тремя степенями свободы. Переход к ним – естественный следующий шаг при изучении связей биллиардов самих по себе и их связей с гладкими и вещественно-аналитическими интегрируемыми системами. Мы будем рассматривать движение материальной точки внутри компактной трехмерной области, ограниченной конечным числом софокусных квадрик и имеющей двугранные углы излома на границе, равные ${\pi}/{2}$. Такие области мы будем называть биллиардными столами. Также мы будем считать, что на материальную точку не действуют никакие силы, т.е. она движется по отрезкам прямых с постоянной по модулю скоростью. Оказывается, что такие системы обладают тремя независимыми первыми интегралами. Один из них – интеграл энергии $H(x,v)=\|v\|^2$, два других – параметры софокусных квадрик, которых одновременно касаются все прямые, содержащие звенья данной траектории шара. Биллиард внутри эллипсоида был рассмотрен В. Драговичем и М. Раднович в работе [5]. В этой работе они описали прообразы точек отображения момента. Для каждого биллиардного стола рассмотрим изоэнергетическую поверхность $Q^5=\{(x,v)\mid H(x,v)=1\}$. Основными задачами этой работы является классификация биллиардов, ограниченных на $Q^5$, с точностью до двух отношений эквивалентности и определение класса гомеоморфности поверхности $Q^5$. Первое отношение – комбинаторная эквивалентность – задается устройством границы стола: каким квадрикам принадлежат ее гладкие фрагменты. Второе отношение, названное нами слабой эквивалентностью, слабее грубой лиувиллевой эквивалентности. В § 2 работы вводятся основные определения, формулируются три теоремы (о комбинаторной эквивалентности столов, гомеоморфности $Q^5$ и слабой эквивалентности систем на столах 1–35). В п. 2.6 расположена таблица, в которой для всех классов комбинаторно эквивалентных биллиардных столов указаны: тип изоэнергетического многообразия $Q^5$ и круговая молекула одной, “наиболее интересной” точки из внутренности образа отображения момента. Как оказалось, существует в точности 35 классов комбинаторно неэквивалентных биллиардных столов. Доказательству теоремы классификации биллиардных столов посвящен § 3. Для всех полученных классов биллиардных столов были построены бифуркационные диаграммы и определен класс гомеоморфности каждого слоя слоения Лиувилля. Также были вычислены круговые молекулы для одной из точек образа отображения момента. Оказалось, что существует в точности 24 типа слабо неэквивалентных биллиардов. Этому посвящен § 5. Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы топологический тип изоэнергетического многообразия $Q^3$ (класс гомеоморфности многообразия без учета возникающих на нем слоений Лиувилля) можно вычислить по инварианту Фоменко–Цишанга. Для ряда плоских и топологических биллиардов тип $Q^3$ был найден В. В. Ведюшкиной [8]. Для биллиардных столов-книжек (клеточных комплексов с перестановками, задающими динамику шара при переходе с листа на лист) было доказано, что поверхность $Q^3_h$ является многообразием [59]. Но мы исследуем систему с тремя степенями свободы, поэтому для нахождения типа поверхности $Q^5$ такой метод не подходит. Однако оказалось, что эту задачу можно решить, зная, чему гомеоморфен биллиардный стол. Из теоремы классификации биллиардных столов следует, что всякий биллиардный стол гомеоморфен либо $D^3$, либо $D^2\times S^1$, либо $D^1\times S^2$, где $D^n$ – замкнутый $n$-мерный диск. Автором было получено, что если стол гомеоморфен $D^3$, $D^2\times S^1$, $D^1\times S^2$, то $Q^5$ гомеоморфно $S^5$, $S^4\times S^1$, $S^3\times S^2$ соответственно. Параграф 4 посвящен доказательству этого результата.
§ 2. Постановка задачи
2.1. Семейство софокусных квадрик
Определение 2.1. Семейством софокусных квадрик в $\mathbb{R}^3$ назовем совокупность квадрик, заданных уравнением где $a>b>c>0$ и $\lambda\in\mathbb{R}$ – вещественный параметр. Если квадрика $Q$ из этого семейства такова, что $\lambda_{Q}$ равен $a$, $b$ или $c$, то она называется вырожденной. Иначе квадрику $Q$ называют невырожденной. Семейство софокусных квадрик обладает замечательным свойством, которое мы приведем без доказательства. Согласно определению 2.1 вырожденные квадрики – это координатные плоскости. Однако предел софокусных квадрик в метрике Хаусдорфа при $\lambda\to c - 0$ равен $A_{c-0}=\{(x,y,0)\mid x^2/(a-c)+y^2/(b-c)\leqslant 1\}$. При $\lambda>c$ квадрики не являются компактами в $\mathbb{R}^3$, и предела при $\lambda\to c+0$ в метрике Хаусдорфа не будет, поэтому положим $A_{c+0}=\bigcup_{N}\lim_{\lambda\to c-0} Q_{\lambda}\cap[-N,N]^3$, где $N$ пробегает все натуральные числа, а предел берется в метрике Хаусдорфа. Нетрудно видеть, что $A_{c+0}=\{(x,y,0)\mid x^2/(a-c)+y^2/(b-c)\geqslant 1\}$. Заметим, что пересечением $A_{c+0}$ и $A_{c-0}$ является эллипс $F_1=\{(x,y,0)\mid x^2/(a-c)+y^2/(b-c)= 1\}$. Аналогичным образом можно определить гиперболу $F_2=\{(x,0,z)\mid x^2/(a-b)-z^2/(b-c)= 1\}$ как пересечение пределов справа и слева софокусных квадрик при $\lambda\to b$. Кривые $F_1$ и $F_2$ сыграют важную роль в настоящей работе. Перечислим свойства $F_1$ и $F_2$, которые проверяются нетрудными вычислениями. Утверждение 2.2. $F_1$ проходит через фокусы квадрики $F_2$, а $F_2$ проходит через фокусы квадрики $F_1$. Утверждение 2.3. $F_1$ состоит из омбилических точек двуполостных гиперболоидов данного семейства софокусных квадрик, а $F_2$ – из омбилических точек эллипсоидов из того же семейства. 2.2. Биллиардные столы. Отношение эквивалентностиОпределение 2.2. Пусть задано семейство софокусных квадрик в $\mathbb{R}^3$. Трехмерным биллиардным столом будем называть компактное в $\mathbb{R}^3$ множество с непустой внутренностью, ограниченное конечным числом гладких граней, лежащих на квадриках этого семейства, и имеющее двугранные углы излома на границе, равные $\pi/2$. На множестве биллиардных столов введем отношение эквивалентности. Определение 2.3. Будем говорить, что биллиардные столы $\Omega_1$, $\Omega_2$ комбинаторно эквивалентны, если один из них может быть получен из другого последовательностью следующих преобразований: – изменением сегмента границы путем непрерывной деформации в классе софокусных квадрик, при этом значение изменяемого параметра $\lambda$ при каждой деформации может принимать значения $b$ или $c$ только либо в начале деформации, если объем стола уменьшается, либо в конце, если – увеличивается; – симметрией относительно координатных плоскостей. Аналогичное понятие для топологических биллиардов и биллиардных книжек, склеенных из плоских кусков, построено В. В. Ведюшкиной, см. [8] и [11]. 2.3. Симплектические многообразия. Теорема ЛиувилляНапомним ряд базовых определений и формул из теории интегрируемых гамильтоновых систем. Определение 2.4. Пара $(M^{2n},\omega)$, где $M^{2n}$ – гладкое многообразие, а $\omega$ – замкнутая невырожденная $2$-форма на нем, называется симплектическим многообразием.
Определение 2.5. Пусть $H\in C^{\infty}(M^{2n})$. Тогда говорят, что векторное поле $\operatorname{sgrad}(H)^i=\omega^{ij}{\partial H}/{\partial x^j}$ задает гамильтонову систему, а функция $H$ называется гамильтонианом этого векторного поля. На пространстве $C^{\infty}(M^{2n})$ можно ввести скобку Пуассона следующим равенством:
$$
\begin{equation*}
\forall\, f,g \in C^{\infty}(M^{2n}) \quad\text{положим }\ \{f,g\}=\omega^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}\,\frac{\partial g}{\partial x^j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v= \operatorname{sgrad}(H)$ – гамильтонова система с гладким или вещественно-аналитическим гамильтонианом $H$. Определение 2.7. Гамильтонова система $v$ называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций $f_1,\dots, f_n$ таких, что: 1) $f_1,\dots, f_n$ – первые интегралы поля $v$; 2) они функционально независимы на $M$, т. е. почти всюду на $M$ их градиенты линейно независимы; 3) $\{f_i,f_j\} = 0$ при любых $i$ и $j$; 4) векторные поля $\operatorname{sgrad}$ $f_j$ полны, т.е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.
Теорема 2.1 (Ж. Лиувилль). Пусть на $M^{2n}$ задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система $v\,{=}\operatorname{sgrad}H$ и $T_\xi$ – регулярная поверхность уровня интегралов $f_1,\dots, f_n$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) $T_\xi$ – гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно потоков $v=\operatorname{sgrad}H$ и $\operatorname{sgrad}f_1,\dots,\operatorname{sgrad}f_n$. 2) Если подмногообразие $T_\xi$ связно и компактно, то $T_\xi$ диффеоморфно $n$-мерному тору $\mathbb{T}^n$. (Этот тор называется тором Лиувилля.) 3) Слоение Лиувилля в некоторой окрестности $U$ тора Лиувилля $T_\xi$ тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению тора $\mathbb{T}^n$ на диск $D^n$. Мы будем работать с интегрируемыми гамильтоновыми системами с тремя степенями свободы. На множестве таких систем (и интегрируемых биллиардах, обсуждающихся ниже) рассмотрим “простейшее” отношение эквивалентности. Определение 2.8. Пусть $v_1$ и $v_2$ – интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Пусть $B_1$, $B_2$ – базы слоений Лиувилля систем $v_1$ и $v_2$ соответственно. Будем говорить, что $v_1$ и $v_2$ слабо эквивалентны, если существует гомеоморфизм $\varphi\colon B_1\to B_2$ баз слоений Лиувилля, при котором для любой точки $x\in B_1$ слои систем $v_1$ и $v_2$, соответствующие точкам $x\in B_1$ и $\varphi(x)\in B_2$, гомеоморфны. Заметим, что это введенное отношение эквивалентности существенно слабее отношения грубой лиувиллевой эквивалентности. Напомним определение этого отношения эквивалентности (см. [18]). Определение 2.9. Две интегрируемые гамильтоновы системы $v_1$ и $v_2$ называются грубо лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм между базами соответствующих слоений Лиувилля, который локально (т.е. в окрестности каждой точки базы) поднимается до послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля. Отношение слабой эквивалентности порождает стратификацию бифуркационного комплекса и его проекции на плоскость значений интегралов, т.е. образа отображения момента, более “грубую”, чем стратификация, основанная на ранге отображения момента (на орбитах пуассонова действия, составляющих слой) и его невырожденности. Тем не менее в настоящей работе этот подход удалось успешно применить для классификации слоений Лиувилля биллиардов на пространственных элементарных столах. 2.4. Биллиардные системы и их первые интегралыМы рассматриваем следующую динамическую систему: материальная точка (шар) движется внутри биллиардного стола по прямым с постоянной по модулю скоростью, отражаясь от границы стола абсолютно упруго. В силу того, что все двугранные углы излома на границе равны ${\pi}/{2}$, отражение в точках излома можно продолжить по непрерывности. Такую динамическую систему мы будем называть биллиардом. Опишем сначала фазовое пространство нашей системы. Пусть $\Omega$ – биллиардный стол, на котором запущен биллиардный шар. Пусть $\widehat{M^6}=\{(x,v)\mid x\in \Omega,\, v\in T_{x}\mathbb{R}^3\}$. Тогда фазовое пространство этой системы – многообразие $M^6=\widehat{M^6}/\sim$, где $\sim$ – следующее отношение эквивалентности: $(x_1,v_1)\sim(x_2,v_2)$ в том и только том случае, когда выполнено одно из этих условий: $\bullet$ $x_1=x_2$, $v_1=v_2$; $\bullet$ $x_1=x_2\in\partial \Omega$, а вектор $v_2$ может быть получен из $v_1$ путем нескольких отражений относительно касательных плоскостей к софокусным квадрикам, входящим в состав границы $\Omega$ в точке $x_1=x_2$. Замечание 2.1. Пусть до отражения от точки $x$ границы стола биллиардный шар обладал вектором скорости $v$, тогда после отражения шар будет обладать вектором скорости $v'$, который получен из $v$ путем последовательных отражений относительно всех касательных плоскостей квадрик, входящих в состав границы стола в точке $x$. Заметим, что в силу ортогональности эллиптических координат все отражения между собой коммутируют. Поэтому результат отражения вектора $v$ не зависит от последовательности его отражений от касательных плоскостей квадрик, входящих в состав границы стола в точке $x$. Также нам важно, что все двугранные углы на границе стола равны ${\pi}/{2}$, а не ${3\pi}/{2}$, поскольку это позволяет определить отражение в точках излома по непрерывности. Как видно из определения, многообразие $M^6$, вообще говоря, не является гладким, поэтому необходимо расширить сведения предыдущего пункта. Описываемый ниже подход был предложен А. Т. Фоменко. Многообразие $M^6$ является кусочно гладким. Оно распадается на гладкие куски, объединение которых мы обозначим $\widetilde M^6$. На многообразии введем симплектическую структуру только в $\widetilde M^6$ . Будем говорить, что кусочно гладкая система на $M^6$ интегрируема (в кусочно гладком смысле, но в дальнейшем будем говорить для краткости просто об интегрируемости), если существуют непрерывные на $M^6$ и гладкие на $\widetilde M^6$ функционально независимые функции $f$, $g$ и $H$, которые находятся в инволюции на $\widetilde M^6$. В нашем случае гамильтониан – это модуль вектора скорости $H(x,v)\,{=}\,\|v\|$. Еще два первых интеграла, функционально независимых с $H$, – это параметры софокусных квадрик данного семейства, которых одновременно касаются все прямые траектории шара. Их существование следует из знаменитой теоремы Якоби–Шаля. Теорема 2.2 (К. Якоби, М. Шаль). Касательные прямые к геодезической линии на квадрике в $n$-мерном евклидовом пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще $n-2$ конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек данной геодезической. Обозначим параметры этих квадрик через $\Lambda_1$, $\Lambda_2$. Заметим, что одна и та же траектория не может касаться одновременно двух эллипсоидов или двух двуполостных гиперболоидов, поскольку эти квадрики имеют положительную гауссову кривизну. Поэтому можем считать, что $\Lambda_1\geqslant\Lambda_2$ и $\Lambda_1\in[c,a]$, $\Lambda_2\in[x_0,b]$, где $x_0$ – наибольший параметр софокусного эллипсоида, входящего в состав границы биллиардного стола. Прямыми вычислениями можно показать, что $H$, $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ попарно коммутируют относительно стандартной скобки Пуассона при $x\in \operatorname{Int}(\Omega)$. 2.5. Теоремы классификацииПараграф 3 будет посвящен доказательству следующей теоремы классификации биллиардных столов относительно комбинаторной эквивалентности. Теперь зафиксируем уровень энергии $H(x,v)=1$. В фазовом пространстве выделяется изоэнергетическая поверхность $Q^5$. Ее класс гомеоморфности найдем, построив гомеоморфизм $Q^5$ с некоторым известным множеством. Теперь сформулируем итоговую теорему по данной теме, доказательству которой посвящен § 4. Теорема 2.4. Пусть биллиардный стол $\Omega$ гомеоморфен диску $D^3$, сферическому слою $D^1\times S^2$ или полноторию $D^2\times S^1$. Тогда изоэнергетическая поверхность $Q^5$ гомеоморфна сфере $S^5$, произведению $S^2\times S^3$ или произведению $S^1\times S^4$ соответственно. Каждый стол из классов 1–35 связен и гомеоморфен одному из трех перечисленных 3-многообразий, т.е. из теоремы 2.4 напрямую следует ответ на вопрос о топологии изоэнергетических поверхностей для каждого из классов комбинаторной эквивалентности. Замечание 2.2. При доказательстве теоремы 2.4 не используется интегрируемость биллиарда, т.е. результат верен и для неинтегрируемых биллиардов. Отметим также, что для интегрируемых систем с двумя степенями свободы, в частности для интегрируемых биллиардов на двумерных столах-комплексах, класс гомеоморфности $Q^3$ можно также определить по инварианту Фоменко–Цишанга. Параграф 5 посвящен классификации слоений Лиувилля пространственных биллиардов с точностью до слабой эквивалентности. Для всех 35 классов столов удалось описать топологию каждого слоя (его класс гомеоморфности), построить бифуркационную диаграмму (стратифицируя базу или образ отображения момента) и определить типы “атомов” для гладких дуг бифуркационной диаграммы. Теорема 2.5. 1. Биллиардные системы на двух комбинаторно эквивалентных столах являются слабо эквивалентными. 2. Относительно слабой эквивалентности существует в точности $24$ класса биллиардов в $\mathbb{R}^3$, ограниченных софокусными квадриками. Следующие классы комбинаторно эквивалентных столов задают слабо эквивалентные системы: Топология слоев слоения Лиувилля, их перестроек-атомов более подробно описана в следующем пункте. 2.6. Топология слоев слоения Лиувилля и стратификация образа отображения моментаДля начала опишем $S$ – образ отображения момента – для различных биллиардов из классов 1–35. На рис. 1 множество $S$ выделено темным. Отметим, что вид $S$ определяется наличием у границы стола двумерных гладких граней, лежащих на однополостных гиперболоидах. Наличие такой грани уменьшает $S$ на некоторую трапецию (с горизонтальными или вертикальными основаниями) в сравнении, например, с биллиардом внутри эллипсоида, см. рис. 1, a). Стратом назовем связное подмножество образа отображения момента, прообразы точек которого попарно гомеоморфны. Как оказалось, для каждого из 35 классов комбинаторно неэквивалентных столов получается разбиение множества $S$ на открытые 2-грани, 1-дуги (возможно, имеющие изломы) и вершины. Бифуркационной диаграммой далее будем называть объединение стратов размерности $1$ и $0$ в образе отображения момента. Как будет показано далее, прообраз их точек не может содержать трехмерных связных компонент, за одним исключением. Отметим также, что у двух комбинаторно эквивалентных столов могут быть разные бифуркационные диаграммы (но класс слабой эквивалентности систем на них, как увидим далее, будет совпадать). Это вызвано тем, что гладкая грань границы некоторых столов может быть продеформирована до участка вырожденной квадрики (без перехода “за него”). Лемма 2.1. 1. Для каждого связного компактного стола биллиарда в $\mathbb{R}^3$ образ отображения момента $S$ и бифуркационная диаграмма расположены одним из способов a–i, изображенных на рис. 1. Для каждого из случаев a–i перечислим классы, которым принадлежат столы с указанным видом $S$ и бифуркационной диаграммы: В следующей лемме опишем свойства слоения в прообразе границы $S$. Лемма 2.2. Граница $S$ разбивается на страты вершинами прямых углов и, возможно, точками с координатами $\lambda_1=b$ или $\lambda_2=c$. Это определяется принадлежностью отрезков прямых $\lambda_1 = b$, $\lambda_2 = c$ бифуркационной диаграмме (что отражено на рис. 1). При этом: 1) прообраз вершины прямого угла одномерен и состоит из одной или нескольких окружностей; 2) прообраз любой другой точки границы двумерен; 3) количество связных компонент прообраза может меняться только в концах отрезков $\lambda_1=b$ или $\lambda_2=c$; 4) прообраз каждой точки границы кроме концов отрезка и вершин прямых углов гомеоморфен одному или нескольким двумерным торам. Теперь перейдем к описанию трехмерных регулярных слоев. Лемма 2.3. Каждый двумерный страт соответствует трехмерному тору $\mathbb{T}^3$ или их несвязному объединению (т.е. прообраз каждой точки этого страта имеет указанный вид). Такие страты открыты, и их количество равно: Отметим, что для столов 9, 10, 12, 13 в прообразе точек отрезков $\lambda_1 = b$, $\lambda_2 = c$ имеются 3-торы (т.е. соответствующий страт бифуркационного комплекса проецируется не на один 2-страт образа отображения момента, а на два 2-страта и 1-интервал между ними). Теперь опишем, какими свойствами обладают прообразы отрезков $\lambda_1=b$ и $\lambda_2=c$, если они входят в бифуркационную диаграмму. Как оказывается, их можно описать в терминах особых слоев подходящих 3-атомов. Лемма 2.4. 1. Если один из отрезков $\lambda_1=b$ и $\lambda_2=c$ не входит в бифуркационную диаграмму, то прообраз внутренней точки другого отрезка гомеоморфен особому слою 3-атома, умноженному на окружность. Прообраз граничной точки отрезка гомеоморфен особому слою этого 3-атома. 2. Если оба отрезка входят в бифуркационную диаграмму, то прообраз точки $(b,c)$ устроен сложнее и не представим в таком виде. Представление из п. 1 этой леммы имеет место для каждого из четырех полуинтервалов, на которые точка $(b,c)$ делит отрезки. Верно и более сильное утверждение. Лемма 2.5. Перестройки в окрестностях точек, лежащих между концами отрезка $\lambda_1 = b$, концами отрезка $\lambda_2 = c$ или точкой $(b,c)$ их пересечения, послойно гомеоморфны 3-атомам, прямо умноженным на окружность. Нетрудно пояснить тот факт, что произведение атома на окружность будет именно прямым. Дело в том, что для описания топологии (как слоев, так и их перестроек) используется расслаивание области на пересечения с софокусными квадриками одного из трех видов. Соответственно, параметр на окружности соответствует движению от квадрики к квадрике (и назад, после отражения). По его возвращении видим, что оставшиеся два вектора скорости вернулись в себя, т.е. каждый слой (и особый, и близкие к нему торы) представляются в виде прямого произведения на общую окружность. При этом возникает круговая молекула – топологический инвариант особенности, соответствующей точке пересечения двух отрезков (он нетривиален, если оба отрезка входят в бифуркационную диаграмму). Напомним, что круговой молекулой точки в образе отображения момента для системы с двумя степенями свободы называют молекулу (инвариант Фоменко) слоения Лиувилля на 3-границе инвариантной 4-окрестности прообраза этой точки. В нашем случае система имеет три степени свободы, но гамильтониан $H = 1$ фиксирован. Тем самым круговой молекулой точки $(b, c)$ естественно считать инвариант слоения на 4-границе 5-окрестности прообраза этой точки. Поскольку каждая перестройка на такой границе оказывается гомеоморфна 3-атому, прямо умноженному на окружность, то круговую молекулу можно изобразить привычным образом. Тем не менее повторим, что символом атома в табл. 1 и на нескольких рисунках в § 5 обозначено прямое произведение такого боттовского атома на окружность. В табл. 1 для каждого класса комбинаторно эквивалентных столов указаны круговые молекулы особенности, соответствующей точке $(b,c)$, и класс гомеоморфности изоэнергетической поверхности биллиарда. Таблица 1.Описание слоения Лиувилля
§ 3. Комбинаторная классификация биллиардных столовЭтот параграф посвящен доказательству теоремы 2.3. Пусть $\Omega$ – биллиардный стол. Поскольку $\Omega$ – компакт, то он лежит внутри некоторого эллипсоида из данного семейства софокусных квадрик. В силу определения комбинаторного отношения эквивалентности без ограничения общности можно считать, что эллипсоид $\mathcal{E}$, заданный уравнением ${x^2}/{a}+{y^2}/{b}+{z^2}/{c}=1$, – это эллипсоид наибольшего параметра, входящий в состав границы $\Omega$, а плоскости $Oxy$, $Oxz$ не входят в состав границы $\Omega$. Разрежем область внутри $\mathcal{E}$ по множеству $\{(x,y,0)\mid {x^2}/(a-c)+{y^2}/(b-c)\,{>}\,1\}$. На рис. 2, a, темно-серым цветом выделен участок разреза, а на рис. 2, b, изображен эллипсоид после разрезания. Заметим, что после разреза эллипсоид перейдет в основания цилиндра, участок разреза – в его боковую поверхность, а область внутри $\mathcal{E}$ без границы разреза – во внутренность цилиндра. Действительно, рассмотрим в $\mathbb{R}^3$ цилиндр $K=\{(x,y,z)\mid {x^2}/(a-c)+{y^2}/(b-c)=1,\,z\in[-1,1]\}$ и введем на нем координаты $(\mu_1,\mu_2,z)$, где $\mu_1$ и $\mu_2$ – эллиптические координаты семейства $\widehat Q_{\mu}$ софокусных квадрик на плоскости $Oxy$, заданных уравнением $x^2/(a-\mu)+y^2/(b-\mu)=1$. Произвольная точка $P$ из верхнего полупространства, не лежащая на участке разреза и имеющая эллиптические координаты $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ (будем считать, что $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$), после разрезания перейдет в точку с координатами $(\lambda_1,\lambda_2,1-\lambda_3/c)$. Аналогично для точек нижнего полупространства. Точки, лежащие на участке разреза, перейдут в точки на границе цилиндра. Тем самым мы построили отображение $f$ между $K$ и областью, заключенной внутри $\mathcal{E}$. Заметим также, что выбранная система координат на цилиндре ортогональна, и биллиардные столы перейдут в конечные объединения прямых произведений плоских биллиардных столов на отрезки, а также в участки боковой поверхности цилиндра $K$, заключенные между его образующими. Далее можно разрезать цилиндр $K$ по множеству $\{(x,0,z)\colon |x|>\sqrt{b^2-a^2}\}$ и показать, что полученная фигура является прямоугольным параллелепипедом, а координаты $(\mu_1,\mu_2,z)$ перейдут в декартовы координаты в $\mathbb{R}^3$. Биллиардные столы перейдут в конечный набор прямоугольных параллелепипедов. Потом можно классифицировать биллиардные столы уже в этом понимании. Однако такой способ является более громоздким. Мы воспользуемся другим подходом. Множество $f^{-1}(\Omega)$, где $f$ – отображение, построенное выше, назовем биллиардным столом внутри $K$. Перенесем отношение эквивалентности с биллиардных столов на столы внутри $K$ и будем классифицировать столы уже относительно этого отношения эквивалентности. Очевидно, что если биллиардные столы $\Omega_1$ и $\Omega_2$ неэквивалентны, то и $f^{-1}(\Omega_1)$ и $f^{-1}(\Omega_2)$ тоже неэквивалентны, поэтому, классифицировав все столы внутри $K$, мы докажем теорему. Рассмотрим все биллиардные столы семейства $\widehat Q_{\mu}$, у которых наибольший параметр софокусной квадрики, входящей в состав границы стола, равен $c$, а прямая $\{y=0\}$ не входит в состав их границы. Посмотрим на взаимное расположение прямой $\{y=0\}$ и участков границы стола, соответствующих квадрике ${x^2}/(a-c)+{y^2}/(b-c)=1$. Как оказалось, существует в точности пять таких различных расположений. Все они находятся простым перебором с использованием теоремы классификации плоских биллиардных столов, доказанной В. В. Ведюшкиной в работе [8]. Теперь перейдем к перебору всех неэквивалентных биллиардных столов внутри цилиндра $K$, используя рассуждения выше. Сначала предположим, что существует эллипсоид из заданного изначально семейства софокусных квадрик такой, что $\Omega$ внутри него не лежит. Этот случай разбивается на два подслучая: $\Omega$ лежит в обеих компонентах связности, разбиваемых плоскостью $\{z=0\}$; $\Omega$ лежит в одной компоненте связности. Разберем подробно первый подслучай. В силу рассуждений выше нетрудно видеть, что $f^{-1}(\Omega)$ разбивается на две компоненты связности, при этом каждая из них – прямое произведение плоского биллиардного стола на отрезок. Боковые границы этих компонент совпадают. Простым перебором всех возможных вариантов, используя результат предыдущего абзаца, получаем в точности 13 неэквивалентных типов столов. Во втором подслучае аналогичными рассуждениями получим семь типов. Пусть теперь не существует такого эллипсоида. Тогда рассмотрим два подслучая: боковая граница лежит на границе $K$ и не лежит там. В первом случае получим восемь типов. Во втором добавится еще семь неэквивалентных столов. Суммарно получаем в точности 35 типов неэквивалентных биллиардных столов. Таким образом, теорема 2.3 доказана. Из этой теоремы немедленно вытекает Следствие 3.1. Всякий биллиардный стол гомеоморфен либо $D^3$, либо $D^1\times S^2$, либо $D^2\times S^1$. § 4. Классификация изоэнергетических поверхностей биллиардовЭтот параграф посвящен доказательству теоремы 2.4. Докажем несколько утверждений, из которых будет следовать справедливость этой теоремы. Утверждение 4.1. Пусть гладкая замкнутая двумерная поверхность $P^2$, вложенная в $\mathbb{R}^3$, диффеоморфна сфере $S^2$. Тогда изоэнергетическая поверхность трехмерного биллиарда внутри $P^2$ гомеоморфна сфере $S^5$.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $P^2$ – это сфера $S^2$, вложенная в $\mathbb{R}^3(x,y,z)$ и заданная уравнением $x^2+y^2+z^2=1$. Построим гомеомофизм $\varphi$ изоэнергетической поверхности $Q^5$ и сферы $S^5$, вложенной в $\mathbb{R}^6(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)$ и заданной уравнением $\|r_1\|^2+\|r_2\|^2=1$, где $\|r_i\|=\sqrt{x_i^2+y_i^2+z_i^2}$. Пусть $e\in \mathbb{R}^3$ – произвольный единичный вектор, $\alpha \in[0,1/2]$, a $v$ – произвольный единичный вектор из $T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$. Тогда положим $\varphi(\alpha e, v)=(\alpha e, \sqrt{1-\alpha^2}v)$. Чтобы доопределить отображение $\varphi$ в оставшихся точках $Q^5$, построим для всякого единичного вектора $e$ отображение $f_e$, которое сопоставляет каждой точке $(\alpha e,v)\in Q^5$, где $\alpha\in[1/2,1]$, $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$, точку из $D^3$. Зафиксируем единичный вектор $e\in\mathbb{R}^3$. Заметим, что для всякого $\alpha \in [0,1)$ пары $(\alpha e, v)\in Q^5$, где $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$, образуют единичную сферу. Однако при $\alpha=1$ в силу биллиардного отражения эти пары образуют замкнутый двумерный диск. Рассмотрим единичные векторы, лежащие в $T_{e}S^2$. Они представляют собой окружность. Рассмотрим декартову систему координат $Ox'y'z'$ такую, что ось $Oz'$ сонаправлена с $e$. В этой системе координат рассмотрим вырожденное семейство софокусных квадрик, заданное уравнением ${x'^2}/(1-\mu)+{y'^2}/(1-\mu)+{z'^2}/(0.5-\mu)=1$. Это семейство порождает вырожденные эллиптические координаты $(\mu_1,\mu_2,\xi)$, где $\mu_1$ и $\mu_2$ – параметры эллипсоида и однополостного гиперболоида этого семейства, которые содержат данную точку, а $\xi$ – угол между плоскостью, проходящей через данную точку параллельно оси $Oz'$, и осью $Ox'$. На рис. 3 проиллюстрировано вырожденное семейство софокусных квадрик, а также соответствующие вырожденные эллиптические координаты. Заметим, что при $\mu\in(-\infty,1/2)$ квадрики этого семейства – эллипсоиды, которые при $\mu\to1/2$ сжимаются в круг, а не в компоненту, ограниченную эллипсом с различными полуосями (такое происходит с невырожденным семейством софокусных квадрик). Сделаем такое аффинное растяжение этого семейства вдоль оси $Oz'$, что эллипсоид с параметром $\mu=0$ перешел бы в единичную сферу. Теперь рассмотрим произвольное $\alpha\in[1/2,1]$ и единичный вектор $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$. Поскольку $v$ – единичный вектор, то его конец является точкой на единичной сфере и имеет следующие вырожденные эллиптические координаты: $(0,\mu_2(\alpha,v),\xi(\alpha,v))$. Рассмотрим координатную линию первой координаты, проходящую через эту точку. Будем непрерывно двигать эту точку вдоль выбранной координатной линии до тех пор, пока ее первая координата не станет равной $-\alpha+3/2$. Здесь выбрано $-\alpha+3/2$, поскольку отображение $g(\alpha)=-\alpha+3/2$ переводит отрезок $[1,1/2]$ в отрезок $[1/2,1]$. Полученную таким образом точку объявим $f_{e}(\alpha,v)$. Поскольку вырожденные эллиптические координаты не меняются при отражении относительно плоскости $Ox'y'$, отображение $f_{e}$ корректно определено в точке границы. Нетрудно видеть, что $f_{e}$ – непрерывное биективное отображение. Теперь рассмотрим в $\mathbb{R}^4(x,y,z,w)$ единичную сферу с центром в начале координат. Рассмотрим стереографическую проекцию $\pi\colon S^4/S \to \mathbb{R}^3(x,y,z)$, где $S=(0,0,0,-1)$. Для произвольного единичного вектора $e$, $\alpha\in[1/2,1]$ и единичного вектора $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$ применим отображение $\sqrt{1/3}f_e(\alpha,v)$ и возьмем прообраз этой точки при стереографической проекции. Полученную точку обозначим $P$. Сопоставим точке $(\alpha e,v)$ точку на $S^5$, первые три координаты которой равны $w(P)e$, а оставшиеся $(x(P),y(P),z(P))$, т. е. положим $\varphi(\alpha e,v)=(w(\pi^{-1}(\sqrt{1/3}f_e(\alpha,v)))e,\pi^{-1}(\sqrt{1/3}f_e(\alpha,v)))$. Заметим, это отображение согласовано при $\alpha=1/2$, т. е. для произвольных единичных векторов $e,v$ определения $\varphi(e/2,v)$ при $\alpha\leqslant1/2$ и $\alpha\geqslant1/2$ совпадают. Это следует из того, что $f_e$ не меняет координаты векторов при $\alpha=1/2$, а стереографическая проекция сжимает координаты этих векторов в $\sqrt{1-(1/2)^2}$ раз. На рис. 4 приведена иллюстрация построения $\varphi$. Заметим, что $\varphi$ – биекция. Инъективность этого отображения следует из построения. Покажем сюръективность. Рассмотрим точку $P=(x_1,y_1,z_1,x_2, y_2,z_2)\in S^5$. Положим $e=(x_1,y_1,z_1)/\|r_1\|$, если $\|r_1\| \neq 0$, и $e=0$ иначе. Если $\|r_1\|\leqslant1/2$, то $\varphi(r_1,{r_2}/{\|r_2\|})=P$. Если $\|r_1\|>1/2$, то в силу биективности отображений $\pi$, $f_{e}$ найдется $M\in Q^5$, что $\varphi(M)=P$. Заметим также, что $\varphi$ – непрерывное отображение. Поскольку $Q^5$ – компактна, то по известной теореме $\varphi$ – гомеоморфизм. Утверждение 4.1 доказано. Это утверждение можно распространить на случай произвольной размерности. Если гладкая $(n-1)$-мерная поверхность $P^{n-1}$, вложенная в $\mathbb{R}^n$, диффеоморфна сфере $S^{n-1}$, то изоэнергетическая поверхность биллиарда внутри $P^n$ гомеоморфна сфере $S^{2n-1}$. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Необходимо отметить, что интегрируемость самого биллиарда мы не требуем. Теперь обобщим результат, полученный в утверждении 4.1, на кусочно гладкие поверхности. Утверждение 4.2. Если биллиардный стол гомеоморфен $D^3$, то изоэнергетическая поверхность трехмерного биллиарда внутри этого стола гомеоморфна сфере $S^5$. Доказательство. Для столов с гладкой границей все доказано (см. утверждение 4.1). Пусть теперь граница биллиардного стола $\Omega$ является кусочно гладкой и не содержит точек, в которых пересекаются три софокусные квадрики. Для достаточно малого $\varepsilon > 0$ рассмотрим гладкую аппроксимацию $\Omega'$ границы биллиардного стола, отличающуюся от исходной границы на $\varepsilon$ в точках излома. Будем считать, что мы заклеиваем двугранные углы излома полосками небольшой ширины. Изоэнергетическая поверхность $Q'$ биллиарда внутри $\Omega'$ гомеоморфна сфере $S^5$ по утверждению 4.1. Рассмотрим гладкую аппроксимацию $\Omega''$ границы стола $\Omega$, полученную вклеиванием более узких полосок. Изоэнергетическая поверхность $Q''$ биллиарда внутри $\Omega''$ также гомеоморфна $S^5$. Поскольку полоски в $\Omega''$ более узкие, то область, ограниченную $\Omega''$, можно воспринимать как склейку области, ограниченной $\Omega'$, с областью, заключенной между $\Omega'$ и $\Omega''$. Покажем, что эта склейка равносильна склейке области, ограниченной $\Omega'$, с областью, заключенной между $\Omega'$ и $\Omega$. Определим два гомотопных отображения. Отображение $\varphi_1(t,\cdot)$ стягивает полоски на поверхности $\Omega'$ в кривую, расположенную на поверхности $\Omega''$ и гомеоморфную множеству точек излома, а $\varphi_2(t,\cdot)$ стягивает полоски на поверхности $\Omega'$ в кривую точек излома. Эти гомотопии можно представить себе как сужение полосок, заклеивающих углы излома. Нетрудно понять, что для всякого $t\in [0,1]$ подповерхности на $Q^5$ и $Q'$, состоящие из единичных векторов в точках множеств $\varphi_1(t,\cdot)$, $\varphi_2(t,\cdot)$ соответственно, гомеоморфны друг другу, а стало быть, эти гомотопии задают послойный гомеоморфизм подмножеств на $Q^5$ и $Q'$, состоящих из единичных векторов в точках $\varphi_1(t,\cdot)$, $\varphi_2(t,\cdot)$, где $t\in[0,1]$ уже не зафиксирован. А поскольку $\varphi_1(0,x)=\varphi_2(0,x)$ для всех $x$ и области приклеивания совпадают, то склейки породят гомеоморфные изоэнергетические поверхности. Для биллиардных столов, граница которых содержит точки с тремя пересекающимися квадриками, доказательство почти аналогичное; только вместо полосок нужно вклеить комплексы, сглаживающие также и угловые точки. Утверждение доказано. Рассмотрим другую серию биллиардных столов. Утверждение 4.3. Пусть биллиардный стол гомеоморфен $S^2\times I$, тогда изоэнергетическая поверхность трехмерного биллиарда внутри этого стола гомеоморфна $S^2\times S^3$.
Доказательство. Из теоремы классификации биллиардных столов следует, что граница такого стола – два софокусных эллипсоида. Очевидно, что эти эллипсоиды гомотопны. Поэтому рассмотрим гомотопию $\varphi(t,x)$ такую, что $\varphi(0,x)$ – точки на меньшем эллипсоиде, а $\varphi(1,x)$ – точки на большем. Причем при фиксированных $x$ кривые гомотопии не пересекаются. Зафиксируем $x$ и рассмотрим кривую $\gamma(t)=\varphi(t,x)$. Очевидно, что при $t\in (0,1)$ единичные векторы из $Q^5$ в данной точке заполняют сферу $S^2$, а при $t=1$ или $t=0$ – диск $D^2$. Значит, сферы $S^2$ склеиваются при $t=0,1$ по дискам $D^2$. Таким образом, на кривой $\gamma(t)$ векторы из $Q^5$ заполняют сферу $S^3$. А поскольку $x$ пробегает сферу $S^2$, то $Q^5$ гомеоморфна $S^2 \times S^3$. Утверждение доказано. Осталось рассмотреть еще одну серию биллиардных столов. Докажем сначала утверждение, частично аналогичное утверждению 4.1.
Утверждение 4.4. Пусть гладкая поверхность $P^2$, вложенная в $\mathbb{R}^3$, диффеоморфна тору $T^2$, тогда изоэнергетическая поверхность трехмерного биллиарда внутри нее гомеоморфна $S^1\times S^4$.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $P^2$ – это тор $\mathbb{T}^2$, являющийся результатом вращения окружности $(x-2)^2+y^2=1$, $z=0$ вокруг оси $Oz$. Построим гомеоморфизм $\varphi\colon Q^5 \to S^1\times S^4$. Рассмотрим образующую окружность тора, расположенную под углом $\psi$ к оси $Ox$. Будем считать, что отсчет этого угла ведется в положительном направлении обхода относительно плоскости $Oxy$. Выберем систему координат $O'x'z$ в плоскости образующей такую, что $O'$ – центр образующей окружности, а координатный вектор $e_{x'}$ лежит в пересечении плоскости образующей с плоскостью $Oxy$ и направлен от точки $O$. Дополним $O'x'z$ направлением $O'y'$ так, чтобы система $O'x'y'z$ была бы декартовой. Рассмотрим произвольный единичный вектор $e$ в плоскости $O'x'z$, $\alpha\in[0,1/2]$ и единичный вектор $v \in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$. Положим $\varphi(\alpha e,v)=(\psi,\alpha e, \sqrt{1-\alpha^2} v)$, где координаты $v$ записаны в базисе $e_z$, $e_{x'}$, $e_{y'}$. Теперь доопределим это отображение в оставшихся точках $Q^5$. Для этого, как и в утверждении 4.1, для всякого единичного $e\in O'x'z$ построим отображение $f_{e}$, которое сопоставляет каждой паре $(\alpha e, v) \in Q^5$, где $\alpha\in(1/2,1]$, а $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$, точку из $D^3$. Это отображение строится абсолютно так же, однако оно задается в координатах $O'x'y'z$. Теперь рассмотрим в $\mathbb{R}^4(x',y',z,w)$ единичную сферу с центром в начале координат. Рассмотрим стереографическую проекцию $\pi\colon S^4/S \to \mathbb{R}^3(x',y',z)$, где $S=(0,0,0,-1)$. Для произвольного единичного вектора $e$ в $O'x'y'z$, $\alpha\in[1/2,1]$, и единичного вектора $v\in T_{\alpha e}\mathbb{R}^3$ положим $\varphi(\alpha e,v)=(\psi, w(\pi^{-1}(\sqrt{1/3}f_e(\alpha,v)))e, \pi^{-1}(\sqrt{1/3}f_e(\alpha,v)))$. Заметим, это отображение согласовано при $\alpha=1/2$. Нетрудно видеть, что при каждом фиксированном $\psi$ возникает гомеоморфизм поверхности $Q^5$, ограниченной на диск с образующей, и сферы $S^4$. При этом отображение $\psi$ биективно. Рассмотрим произвольную точку $M$ внутри или на границе данного тора и вектор $v\in T_{M}\mathbb{R}^3$. Рассмотрим вращение плоскости, внутри которой лежит точка $M$, вокруг оси $Oz$. При этом мы будем вращать вектор $v$. Пусть эти точка и вектор движутся по законам $M(t)$, $v(t)$ соответственно. Однако заметим, что мы определили $\varphi$ так, что $\varphi(M(t),v(t))=(\psi(t),x)$, где $x$ – точка на $S^4$, не зависящая от $t$. Поэтому, сделав полный оборот по тору, $M$ и $v$ вернутся в исходные положения. А значит, отображение $\varphi$ действительно является гомеоморфизмом между $Q^5$ и $S^1\times S^4$. Утверждение доказано. Обобщим этот результат на кусочно гладкий случай. Утверждение 4.5. Если биллиардный стол гомеоморфен $D^2\times S^1$, тогда изоэнергетическая поверхность соответствующего трехмерного биллиарда гомеоморфна $S^1 \times S^4$. Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения 4.2.
§ 5. Классификация биллиардов, ограниченных квадрикамиНапомним, что итоговый ответ был представлен в табл. 1. В ее обозначениях все атомы в круговых молекулах подразумеваются умноженными прямо на окружность, а регулярные слои гомеоморфны $\mathbb{T}^3$. В этом параграфе подробно разберем несколько наиболее трудных для топологического анализа классов комбинаторной эквивалентности: столы 23, 21, 22 и 11. Аналогично получаются результаты для остальных классов. Тем самым будут доказаны утверждения 2.1–2.5 из п. 2.6 и основная теорема 2.5. Определение класса гомеоморфности слоев в прообразе точек границы образа отображения момента не представляет большого труда: они одномерны (в прообразе вершин прямых углов) или двумерны (над остальными точками границы). Этим слоям соответствуют особые движения биллиарда: движение шара на плоскости или по квадрике. Постоянный на данной граничном отрезке (образа отображения момента) интеграл задает данную квадрику (или плоскость), а другой интеграл обеспечивает наличие слоения Лиувилля для данной системы с двумя степенями свободы, ограниченной на уровень постоянной энергии $H = 1$. Доказательство того, что внутренней точке $S$ (не лежащей на уровнях $\lambda_1 = b$ или $\lambda_2 = c$) соответствует $\mathbb{T}^3$ или их несвязное объединение, проводится по схеме, приведенной для области 23. Затем выполняется описание их перестроек, происходящих при движении по горизонтальным или вертикальным отрезкам внутри $S$. Тем самым мы получаем как класс гомеоморфности слоя, лежащего на уровнях $\lambda_1 = b$ или $\lambda_2 = c$ (исключая точку $(b, c)$), так и доказательство того, что особенность гомеоморфна прямому произведению 3-атома на окружность. Одной из идей является расслаивание области возможного движения шара на квадрики семейства (например, двуполостные гиперболоиды или эллипсоиды) для упрощения описания склеек. Тем самым получаем важный инвариант слоения Лиувилля (и отношения слабой эквивалентности) – круговую молекулу точки $(b, c)$. Пусть круговая молекула (как плоский объект) не имеет оси симметрии. Тогда четыре способа расположения ее атомов (на четырех полуинтервалах, разделяемых точкой $(b, c)$) разбиваются на две пары неотличимых с точки зрения слабой эквивалентности. Требуемый гомеоморфизм баз будет сохранять правый нижний прямой угол $S$ и менять местами два оставшихся. Иными словами, он будет переводить вертикальный отрезок (уровень $\lambda_1 = b$) одной бифуркационной диаграммы в горизонтальный отрезок (уровень $\lambda_2 = c$) другой. При этом верхняя часть вертикального отрезка будет переходить в правую часть горизонтального. Напомним, что круговая молекула задается биекцией между четырьмя своими наборами атомов и четырьмя интервалами бифуркационной диаграммы вблизи ее особой точки. Говоря о расположении круговой молекулы, не будем различать круговые молекулы, отображаемые друг в друга при описанном выше гомеоморфизме стола. Поскольку слабая эквивалентность сохранит круговую молекулу (и может лишь поменять ее расположение одним способом), то из табл. 1 сразу видна неэквивалентность всех пар комбинаторно различных столов за исключением следующих пар и троек:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1 - 11, \qquad 26 - 30, \qquad 5 - 29 - 31, \qquad 6 - 21 - 23, \\ 7 - 28, \qquad 8 - 14 - 16, \qquad 9 - 13, \qquad 15 - 24, \qquad 19 - 32. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 5.1. Внутри пар $(3, 35)$ и $(4, 33)$ столы задают слабо неэквивалентные системы в силу разного расположения их круговых молекул. Внутри пар столов, перечисленных перед замечанием 5.1, слабо эквивалентные системы возникают, если и только если их особые комплексы в прообразе точки $(b, c)$ окажутся гомеоморфными. Все из них, кроме пары столов $1$ и $11$, действительно зададут такие системы. Кратко опишем их. Биллиардный стол $1$ ограничен двумя эллипсоидами. Стол $11$ получается из него отрезанием двух “шапочек” двуполостным гиперболоидом. На остальных парах (или тройках) столов системы слабо эквивалентны. Отметим, что деформация квадрик границы области, не выводящая ее за пределы класса комбинаторно эквивалентных, не меняет классы гомеоморфности особых слоев и всей изоэнергетической поверхности $Q^5$. 5.1. Биллиард на столе типа 23Для простоты будем считать, что границу стола образуют участки двух софокусных квадрик, т. е. боковые поверхности образованы участками одного двуполостного гиперболоида. Также будем предполагать, что граничный эллипсоид задан уравнением ${x^2}/{a}+{y^2}/{b}+{z^2}/{c}= 1$. На рис. 5, a, изображен стол этого типа. Теперь зафиксируем уровень энергии $H=1$ и рассмотрим отображение момента, ограниченное на изоэнергетическую поверхность $Q^5$. Как было выяснено в п. 2.4, для первых интегралов $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ верны следующие соотношения: $\Lambda_1\geqslant\Lambda_2$, $\Lambda_1\in[c,a]$, $\Lambda_2\in[0,b]$. В нашем случае $\Lambda_1\in[c,a-\epsilon]$, где $a-\epsilon$ – параметр двуполостного гиперболоида, входящего в состав границы стола. На рис. 5, b, серым выделена область значений отображения момента (обозначим ее $S$), а черными сплошными линиями на ней – бифуркационная диаграмма $\Sigma$. Рассмотрим сначала прообразы точек $x\in S/\Sigma$ при отображении момента. Пусть $x=(\lambda_1,\lambda_2)\in (c,b)\times (0,c)$. Прообраз этой точки составляют все пары $(P,v)$ такие, что прямая, проходящая через точку $P$ и направленная по вектору $v$, касается квадрик с параметрами $\lambda_1$ и $\lambda_2$. В данном случае квадрика с параметром $\lambda_1$ – однополостный гиперболоид, а с параметром $\lambda_2$ – эллипсоид. Нетрудно понять, что возникают две области возможного движения шара. В нашем случае они симметричны относительно плоскости $Oxz$. В каждой точке $P$ внутри этой области расположено по восемь единичных векторов $v$ таких, что $(P,v)$ лежит в прообразе точки $x$. На границе эти векторы склеиваются между собой в силу закона отражения, а значит, на граничных поверхностях получаем по четыре вектора, на граничных прямых – по два вектора, в угловых точках – по одному вектору. Здесь под граничными поверхностями подразумеваются области на границе, не имеющие точек излома, под граничными кривыми – множество точек, в которых склеиваются ровно две квадрики, под угловыми точками – точки, в которых склеиваются по три квадрики. Рассмотрим одну из областей движения шара. Расслоим ее на участки двуполостных гиперболоидов данного софокусного семейства. Рассмотрим слой, соответствующий плоскости $Oyz$, с векторами, имеющими положительную первую координату. Расслаивая этот слой на пересечения с софокусными эллипсоидами, нетрудно показать, что он гомеоморфен тору $\mathbb{T}^2$. Двигаясь вправо по слоям, будем получать тор $\mathbb{T}^2$. Дойдя до границы, воспользуемся отражением и будем двигаться влево по слоям, но уже с векторами, составляющими острый угол с внешней нормалью. Сделав полный оборот по всем слоям расслоения, вернемся в исходное положение. Поскольку каждый слой с соответствующими векторами при обходе был гомеоморфен $\mathbb{T}^2$, полный оборот представляет собой окружность и после полного оборота все векторы вернулись в исходное положение, то немедленно заключаем, что прообраз точки $x$ представляет собой два тора $\mathbb{T}^3$. Аналогично можно показать, что в прообразах точек $x\in (b,a-\epsilon)\times (0,c), (b,a-\epsilon)\times (c,b)$ лежат два и четыре тора $\mathbb{T}^3$ соответственно, а в прообразе $x=(\lambda_1,\lambda_2)\in (c,b)\times (c,b)$, $\lambda_1>\lambda_2$, лежат два тора $\mathbb{T}^3$. Нетрудно также заметить, что для произвольной точки $x\in S/ \Sigma$ и любой ее окрестности $U(x)\subset S/ \Sigma$, гомеоморфной диску $D^2$, прообраз $U(x)$ гомеоморфен $\mathbb{T}^3\times D^2$. Теперь изучим прообразы точек бифуркационной диаграммы. Пусть $x=(\lambda_1,c)$, где $\lambda_1\in(c,b)$. В п. 2.1 были определены два критических множества: эллипс $F_1$ и гипербола $F_2$. Кривая $F_1$ – это граница предела невырожденных квадрик данного семейства софокусных при $\lambda\to c+$ и при $\lambda\to c-$. Нетрудно понять, что если через точку $P$ проходит прямая, направленная по вектору $v$ и касающаяся софокусного эллипсоида с параметром $\lambda_2$ и однополостного гиперболоида с параметром $\lambda_1$, то при $\lambda_2\to c$, а $\lambda_1=\mathrm{const}$ возникает непрерывная деформация направления вектора $v$. Эта деформация при $\lambda=c$ переведет $v$ в вектор $v'$ такой, что прямая, проходящая через $P$ и направленная по $v'$, будет проходить через $F_1$. Таким образом, прообраз точки $x$ составляют все пары $(P,v)$ такие, что прямая, проходящая через точку $P$ параллельно вектору $v$, касается однополостного гиперболоида с параметром $\lambda_1$ и проходит через эллипс $F_1$. Покажем, что эта поверхность уровня представляет собой несвязное объединение двух комплексов $K\times S^1$, где $K$ – особый уровень атома $A^*$ (определение этого атома см. в [18]). Область возможного движения шара состоит из двух компонент связности, симметричных относительно плоскости $Oxz$. Рассмотрим одну из них. В каждой точке внутри этой области за исключением участка плоскости $Oxy$ возникают восемь различных векторов направлений, на кривой $F_1$ – по две окружности направлений, в плоскости $Oxy$, за исключением $F_1$, – по четыре вектора, лежащих в этой плоскости. В силу закона отражения на граничных поверхностях расположено по четыре вектора, на граничных кривых – по два, а в угловых точках – по одному вектору. Расслоим область возможного движения на софокусные двуполостные гиперболоиды. Рассмотрим слой этого расслоения, соответствующий плоскости $Oyz$ с векторами, имеющими положительную первую координату. Этот слой гомеоморфен особому слою атома $A^*$. Доказательство этого факта проводится в точности так же, как для плоских биллиардов. Далее, сделаем полный оборот по всем слоям расслоения и вернемся в исходное положение. Таким образом, прообраз точки $x$ является объединением двух комплексов $K\times S^1$, где $K$ – особый уровень атома $A^*$. Пусть теперь $\varepsilon>0$ выбрано так, что окрестность $U_{\varepsilon}(x)=(\lambda_1- \varepsilon, \lambda_1 + \varepsilon )\times (c - \varepsilon, c + \varepsilon)$ подобрана так, что она пересекает бифуркационную диаграмму только по стенке $[b,a]\times\{c\}$. Рассмотрим прообраз этой окрестности при отображении момента. В силу того, что для любой фиксированной точки $x$ из этой окрестности ее прообраз можно представить как прямое произведение окружности $S^1$ на слой расслоения области возможного движения шара, соответствующий плоскости $Oyz$, с векторами, имеющими положительную первую координату, то прообразом $x$ будет $K^4\times S^1$, где $K^4$ – некоторый 4-комплекс. Нетрудно заметить, что для всякого $\mu\in(\lambda_1- \varepsilon, \lambda_1 + \varepsilon )$ прообраз $\mu\times(c - \varepsilon, c + \varepsilon)$ – это атом $A^*$. Поскольку при изменении $\mu$ эти атомы друг с другом не пересекаются и меняются непрерывно, то $K^4$ гомеоморфен $A^*\times D^1$. Таким образом, прообраз $U_{\varepsilon}(x)$ – это $A^* \times S^1 \times D^ 1$. Аналогичное верно и для прообразов остальных внутренних стенок бифуркационной диаграммы. При этом прообразы точек $x\in\{b\}\times(0,c)$, $(b,a-\epsilon)\times\{c\}$, $\{b\}\times(c,b)$ гомеоморфны особым уровням атомов $C_2$, $B$, $B$ соответственно. Напомним, что для особенности системы с двумя степенями свободы определено понятие круговой молекулы – инварианта слоения Лиувилля на границе инвариантной окрестности этой особенности (см. [25] и [18]). В данной системе каждому из четырех 1-стратов, лежащих на отрезках $\lambda_1 = b$, $\lambda_2 = c$, припишем соответствующий набор атомов и соединим их концы (соответствующие одному и тому же семейству регулярных торов). Круговая молекула стола 23 изображена на рис. 6. Осталось описать слоение Лиувилля вблизи точки $(b,c)$. Сначала заметим, что прообраз этой точки будут составлять все пары $(P,v)$ такие, что прямая, проведенная через точку $P$ параллельно вектору $v$, будет пересекать кривые $F_1$ и $F_2$. Биллиардный стол не содержит участков кривой $F_2$, а значит, в расслоении стола на софокусные двуполостные гиперболоиды все слои с векторами, имеющими одинаковый знак первой компоненты, гомеоморфны друг другу. Таким образом, прообраз точки $(b, c)$ – это $K^2\times S^1$, где $K^2$ – двумерный комплекс. Опишем теперь комплекс $K^2$. Рассмотрим сечение стола плоскостью $Oyz$ с векторами, имеющими положительную первую координату. На прямой $\{z=0\}$ склеиваются векторы. Если бы такой склейки не происходило, то мы бы получили критический уровень атома $B$ (см. [8]). Но в силу склейки векторов две восьмерки на критическом уровне атома $B$ склеиваются, причем противоположным образом. Отметим, что сингулярный комплекс особенности почти прямого произведения $(B \times C_2) / \mathbb{Z}_2$ гомеоморфен данному $K^2$. 5.2. Биллиард на столе типа 21Опишем прообразы точек отображения момента для биллиарда внутри эллипсоида. Как и ранее, будем считать, что эллипсоид задан уравнением ${x^2}/{a}+{y^2}/{b}+{z^2}/{c}=1$. Интеграл $\Lambda_1$ будет изменяться на отрезке $[c,a]$. Используя рассуждения предыдущего пункта, можно показать, что круговая молекула этого биллиарда будет совпадать с круговой молекулой биллиарда на столе типа 23. Легко проверить, что прообразы точек границы образа отображения момента для столов 21 и 23 гомеоморфны. Опишем топологию слоя в прообразе точки $(b,c)$. Прообраз точки $x=(b,c)$ при отображении момента состоит из пар $(P,v)$ таких, что прямая, проходящая через точку $P$ параллельно вектору $v$, пересекает кривые $F_1$ и $F_2$. Область возможного движения шара – весь биллиардный стол. Расслоим эллипсоид софокусными двуполостными гиперболоидами. Как и в случае стола типа 23, нетрудно показать, что всякий слой этого расслоения, целиком не лежащий в плоскости $Oxz$, с векторами, расположенными по ту или иную сторону слоя, гомеоморфен прямому произведению восьмерки на особый слой атома $C_2$, факторизованному по действию группы $\mathbb{Z}_2$. Теперь рассмотрим слои, целиком лежащие в плоскости $Oxz$. Таких слоев в точности два, и они симметричны друг другу относительно оси $Oz$. Рассмотрим слой с положительной первой координатой. Он заключен между гиперболой $F_2$ и эллипсом ${x^2}/{a}+{z^2}/{c}=1$. На гиперболе $F_2$ в каждой точке возникает по две окружности направлений, которые склеиваются между собой на границе стола и в точке, лежащей в плоскости $Oxy$. Таким образом, векторы на участке гиперболы $F_2$ образуют двумерный атом $B$. Если запустить плоский биллиард в этом слое так, чтобы шар проходил через фокус $F_2$, т. е. точку пересечения $F_1$ с плоскостью $Oxz$, то на фазовом пространстве получим особый слой атома $A^{*}$. Доказательство этого факта можно найти в [8]. Таким образом, векторы на этом слое, не выходящие из $F_2$, образуют прямое произведение отрезка на восьмерку. Если выбрать на атоме $B$ две восьмерки и приклеить к этим восьмерками ленту из восьмерок, переворачивая один конец ленты на пол-оборота, то получим комплекс, который гомеоморфен прообразу точки $(b, c)$, ограниченному на слой расслоения в плоскости $Oxz$. Этот комплекс изображен на рис. 7. Теперь покажем, что прообраз точки $(b, c)$ гомеоморфен $K\times S^1$, где $K$ – прямое произведение восьмерки на особый уровень атома $C_2$. Это доказательство будет похоже на описание биллиарда внутри эллипса. Всем векторам прообраза точки $(b, c)$, не лежащим в плоскостях $Oxz$, $Oyz$, припишем $1$, если точка, касательному пространству которой он принадлежит, имеет положительную координату $y$, и $2$, если отрицательную. Также припишем вектору “$+$”, если угол между ним и вектором внутренней нормали к поверхности слоя меньше, чем ${\pi}/{2}$, и “$-$” иначе. Заметим, что после прохождения слоя, лежащего в плоскости $Oxy$, векторы с пометками “$1,+$”, “$1,-$”, “$2,+$”, “$2,-$” склеятся с векторами “$2,-$”, “$2,+$”, “$1,-$”, “$1,+$” соответственно. То есть комплекс $K$ при прохождении это слоя переворачивается. Но слоев, лежащих в плоскости $Oxz$, ровно два, поэтому перекрутка комплекса $K$ происходит дважды. Теперь изобразим эту перекрутку. Заметим, что $K$ состоит из восьмерок. Сожмем каждую из этих восьмерок в точку и получим восьмерку. Прообразы слоев, лежащих в плоскости $Oxz$, тоже состоят из восьмерок. Сжав каждую из них в точку, получим окружность с одним диаметром. На рис. 8 показано, как происходит перекрутка комплекса $K$. При этом заметим, что вся эта перекрутка проходит на $K\times S^1$, а значит, это и есть прообраз точки $(b, c)$. Таким образом, биллиарды на столах типов 21 и 23 слабо эквивалентны. 5.3. Биллиард на столе типа 22Будем считать, что границу этого стола образуют эллипсоид и плоскость $Oyz$. Круговая молекула соответствующего биллиарда изображена на рис. 9. Опишем прообраз точки $(b,c)$ при отображении момента. Будем использовать обозначения, введенные при описании прообраза точки $(b, c)$ для биллиарда на столе типа 21. Нетрудно видеть, что в данном случае происходит только одна перекрутка комплекса $K^2$. Следовательно, прообраз точки $(b, c)$ – это фактор $(K\times S^1)/{\mathbb{Z}_2}$. 5.4. Биллиард на столе типа 11Можно считать, что стол типа 11 ограничен тремя софокусными квадриками, а именно: двумя эллипсоидами и связными компонентами двуполостного гиперболоида (одну из них можно деформировать). В отличие от рассмотренных нами ранее биллиардных столов, этот стол не пересекает ни эллипс $F_1$, ни гиперболу $F_2$. Следовательно, прообраз окрестности точки $(b,c)$ есть $S^1\times S^1\times K_1^3$, где $K_1^3$ – 3-комплекс. Прообраз самой точки $(b,c)$ гомеоморфен $S^1\times S^1\times L$, где $L$ – особый слой атома $P_4$. Данная особенность имеет такую же круговую молекулу, как и особенность в биллиарде на столе типа 1. Тем не менее прообразы точек $(b,c)$ для этих биллиардов разные, и поэтому биллиардные системы на столах этих типов не являются слабо эквивалентными. БлагодарностиАвтор благодарит А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкину за постановку задачи и помощь в исследовании, а также А. А. Ошемкова и В. А. Кибкало за ряд ценных замечаний.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bel22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|