| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об уровне Ходжа взвешенных полных пересечений общего типа В. В. Пржиялковский Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9584e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОдними из основных бирегулярных инвариантов гладких многообразий являются числа Ходжа. В частности, если многие из них обращаются в нуль, то многообразие имеет тенденцию быть “простым” с гомологической точки зрения. В работах [20; § 1], [5; § 2a] и [18] для гладкого многообразия $X$ было введено понятие уровня Ходжа $\mathrm{h}(X)=\max\{q-p\mid h^{p,q}(X)\neq 0\}$. Другими словами, это число показывает, насколько большим может быть число $a$ такое, что $HH_a(D^b(\operatorname{Coh} X))\neq 0$. Пусть $n=\dim (X)$. По определению число $\mathrm{h}(X)$ принимает максимально большое возможное значение $n$ тогда и только тогда, когда $h^{0,n}(X)\neq 0$. Если $X$ является многообразием Фано, т.е. если его антиканонический класс обилен, то $h^{0,n}(X)=h^0(\Omega_X^n)=0$. Если $X$ является многообразием Калаби–Яу, то по определению $H^{0,n}(X)=\mathbb C$, так что оно имеет максимальный возможный уровень Ходжа. Очевидно, уровень Ходжа кривых положительного рода равен $1$, так что и в этом случае он является максимально возможным. Однако уже в размерности $2$ существуют примеры ложных проективных плоскостей – гладких поверхностей общего типа (т.е. таких, чей антиканонический класс численно эффективен и объемен), таких что их ромб Ходжа такой же, как у $\mathbb{P}^2$, см., к примеру, [15], [6]. Для нахождения уровня Ходжа многообразий необходимо уметь вычислять их числа Ходжа. Однако это может быть непросто, так же как даже определение того, является ли многообразие многообразием Фано, Калаби–Яу или общего типа (или никаким из этих типов). Самым простым способом строить многообразия является их описание как полных пересечений в чем-то хорошо изученном, таком как торические или однородные многообразия. Существует восходящий к Гриффитсу подход к вычислению чисел Ходжа полных пересечений в торических многообразиях (см. [8], [11], [16], [14]); его обобщение на некоторые полные пересечения в грассманнианах можно найти в [10]. Вероятно, самым сложным и интересным (с разных точек зрения) классом многообразий являются многообразия ранга Пикара $1$. Пусть $X$ – квазигладкое полное пересечение в торическом многообразии $T$. Из теоремы, подобной теореме Лефшеца для полных пересечений в торических многообразиях (см. [14; предложение 1.4]), следует, что $T$ является либо взвешенным проективным пространством, либо его фактором по конечной группе, см., к примеру, [13]. Если $X$ к тому же является многообразием Фано, то $T$ является взвешенным проективным пространством по [3; теорема 2], так что $X$ является взвешенным полным пересечением. Это неверно, если $X$ является многообразием общего типа, см. [3]. Тем не менее случай взвешенных полных пересечений является наиболее доступным для изучения. Уровни Ходжа взвешенных полных пересечений Фано изучены в [18]. Более точно, в этой работе изучено, насколько малыми могут быть уровни Ходжа взешенных полных пересечений Фано, а также классифицированы многообразия наименьших уровней Ходжа. В настоящей статье, наоборот, изучается, насколько большими могут быть уровни Ходжа взвешенных полных пересечений общего типа. Ожидается, что в этом случае не возникает такой же эффект, как для ложных проективных плоскостей, и уровни Ходжа гладких взвешенных пересечений общего типа – максимально возможные. Следующее утверждение подытоживает сказанное выше и показывает, что это ожидание выполнено для полных пересечений дивизоров Картье. Теорема 1.1. Пусть $X\subset\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$. Положим $n=N-k=\dim (X)>0$ и $i_X=\sum d_u-\sum a_l$. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Если $X$ – многообразие Фано, т.е. $i_X<0$, то $\mathrm{h}(X)<n$. (ii) Если $X$ – многообразие Калаби–Яу, т.е. $i_X=0$, то $\mathrm{h}(X)=n$. Более того, $h^{0,n}(X)=1$. (iii) Если $X$ – многообразие общего типа, являющееся полным пересечением дивизоров Картье, т.е. $i_X>0$, то $\mathrm{h}(X)=n$. Следствие 1.1. В терминах статьи [18] это, в частности, означает, что гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Калаби–Яу размерности $n$ имеет тип $n$-Калаби–Яу, тогда как гладкое $n$-мерное хорошо сформированное взвешенное полное пересечение дивизоров Картье, являющееся многообразием общего типа, никогда не является $\mathbb{Q}$-гомологически минимальным, имеющим тип Ходжа–Тейта, тип кривой (если $n>1$) или тип $m$-Калаби–Яу для $m<n$. В следствии 3.1 показано, что утверждение (iii) теоремы 1.1 верно для гладких взвешенных полных пересечений коразмерности $2$, не обязательно являющихся пересечением дивизоров Картье. Мы ожидаем, что это выполнено и в общем случае, для всех гладких взвешенных полных пересечений общего типа (проблема 3.1). Утверждения (i) и (ii) теоремы 1.1 выполнены для квазигладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений (см. следствие 2.2). Однако утверждение (iii) может быть невыполнено даже в случае гиперповерхностей. Пример дан в предложении 4.2. Заметим, что равенство $\mathrm{h}(X)=n$ означает, что $h^{0,n}(X)>0$, иными словами, что $\dim |\mathcal{O}_X(i_X)|\geqslant 0$. На самом деле [17; предположение 4.8] утверждает, что $\dim |\mathcal{O}_X(m)|\geqslant 0$ для всех $m\geqslant i_X$. В § 2 даются некоторые необходимые определения и утверждения. В § 3 доказана теорема 1.1 и следствие 3.1. В § 4 дан контрпример к утверждению теоремы 1.1 в квазигладком случае (предложение 4.2). БлагодарностьАвтор благодарен М. А. Королеву за доказательство леммы 4.1 и предложения 4.1, К. А. Шрамову за полезные комментарии и идею доказательства предложения 3.2 и рецензенту, чьи замечания улучшили статью. § 2. Предварительные сведенияПриведем основные определения и необходимые результаты, связанные со взвешенными полными пересечениями. Подробности можно найти в [9], [12] и [19]. Пусть $a_0,\dots,a_N$ – положительные целые числа. Рассмотрим градуированную алгебру $\mathbb C[x_0,\dots,x_N]$, градуировка в которой задается весами $a_l$ переменных $x_l$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb P=\mathbb P(a_0,\dots,a_N)=\operatorname{Proj}\mathbb C[x_0,\dots,x_N].
\end{equation*}
\notag
$$
Мы используем обозначение
$$
\begin{equation*}
(a_0^{k_0},\dots,a_m^{k_m})= (\underbrace{a_0,\dots,a_0}_{k_0},\dots,\underbrace{a_m,\dots,a_m}_{k_m}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_0,\dots,k_m$ – произвольные положительные целые числа. Если некоторые из чисел $k_i$ равны $1$, мы их для простоты опускаем. Говорят, что взвешенное проективное пространство $\mathbb P$ хорошо сформировано, если наибольший общий делитель любых $N$ весов $a_l$ равен $1$. Каждое взвешенное проективное пространство изоморфно хорошо сформированному, см. [9; 1.3.1]. Подмногообразие $X\subset \mathbb P$ называется хорошо сформированным, если $\mathbb P$ хорошо сформировано и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}_X(X\cap\operatorname{Sing}\mathbb P)\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где размерность пустого множества по определению равна $-1$. Подмногообразие $X\subset\mathbb P$ коразмерности $k$ называется взвешенным полным пересечением мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$, если его взвешенный однородный идеал в $\mathbb C[x_0,\dots,x_N]$ порожден регулярной последовательностью, состоящей из $k$ однородных элементов степеней $d_1,\dots,d_k$. Взвешенное полное пересечение $X\subset\mathbb P$ называют пересечением с линейным конусом, если $d_u=a_l$ для некоторых $u$ и $l$. Пусть $p\colon \mathbb A^{N+1}\setminus \{0\}\to \mathbb P$ – естественная проекция. Подмногообразие $X\subset \mathbb P$ называется квазигладким, если прообраз $p^{-1}(X)$ гладок. Заметим, что по [2; предложение 2.9], если квазигладкое взвешенное полное пересечение $X\subset \mathbb{P}$ размерности не меньше $3$ является общим в семействе взвешенных полных пересечений той же самой мультистепени в $\mathbb{P}$, то существует квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение, изоморфное $X$ и не являющееся пересечением с линейным конусом. Гладкость взвешенного полного пересечения влечет арифметические ограничения на веса и степени, его определяющие. Предложение 2.1 (ср. [7; предложение 4.1]). Пусть $X\subset\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$. Тогда для любого числа $r$ и любого набора $r$ весов $a_{i_1},\dots,a_{i_r}$, $i_1<\dots<i_r$, такого, что их наибольший общий делитель $\delta$ больше $1$, существует $r$ степеней $d_{s_1},\dots,d_{s_r}$, $s_1<\dots<s_r$, таких, что их наибольший общий делитель делится на $\delta$. Похожим образом можно определить, является ли гиперповерхность во взвешенном проективном пространстве дивизором Картье. Предложение 2.2 (см. [22; предложение 8] или доказательство [9; теорема 3.2.4(i)]). Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство. Тогда группа Пикара $\operatorname{Pic}(\mathbb{P})$ является свободной группой, порожденной $O_\mathbb{P}(r)$, где $r$ является наименьшим общим кратным весов $a_l$. В частности, гиперповерхность степени $d$ является дивизором Картье тогда и только тогда, когда $a_l\mid d$ для $l=0,\dots,N$. По комбинаторным причинам удобнее иметь дело просто с наборами весов и степеней, определяющих взвешенные полные пересечения, игнорируя соответствующие им геометрические объекты. Определение 2.1 (ср. [17]). Пара $(\overline{d},\overline{a})$ наборов положительных целых чисел Замечание 2.1. Пусть $(\overline{d},\overline{a})$ – регулярная пара такая, что с точностью до перестановки выполнено Тогда $\overline{a}=(d_1,\dots,d_k,1^{N+1-k})$. Действительно, если, например, $a_k>1$, то из регулярности следует, что одна из степеней, скажем $d_1$, делится на $a_k$; это значит, что, так как веса $d_1$ и $a_k$ делятся на $a_k$, еще одна из степеней делится на $a_k$ и т.д. Это показывает, что все степени $d_1,\dots,d_k$ делятся на $a_k$, так что $a_k$ делит как минимум $k+1$ весов, что противоречит регулярности пары. Веса и степени, определяющие гладкое (или, кроме того, пересечение дивизоров Картье, или Фано, или Калаби–Яу, или общего типа) взвешенное полное пересечение, составляют регулярную пару (удовлетворяющую дополнительным требованиям). Так как доказательства необходимых утверждений про взвешенные полные пересечения получены с помощью анализа численных условий на степени и веса (а сами утверждения зачастую формулируются в терминах регулярных пар), обычно более удобно использовать язык регулярных пар, а затем выводить утверждения про взвешенные полные пересечения из соответствующих утверждений про регулярные пары. Мы также будем следовать такой стратегии. Мы будем ссылаться на утверждения, сформулированные для взвешенных полных пересечений (которые следуют из утверждений про регулярные пары), заменив в них взвешенные полные пересечения на регулярные пары, а затем выведем из них окончательные утверждения про взвешенные полные пересечения. Оказывается, существуют сильные ограничения на минимальный вес для регулярных пар типа Фано или Калаби–Яу. Теорема 2.1 (ср. [2; следствие 3.4]). Рассмотрим регулярную пару $(\overline{d},\overline{a})$ типа Фано или Калаби–Яу, где $\overline{d}=(d_1,\dots,d_k)$ и $\overline{a}=(a_0,\dots,a_N)$. Положим $i=\sum d_u-\sum a_l$. Пусть $a_l\neq d_u$ для всех $l$ и $u$. Пусть $a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$. Тогда $a_{k-i-1}=1$. Более того, $a_{k-i}=1$, за исключением случая $\overline{d}=(6^k)$ и $\overline{a}=(1^s,2^k,3^k)$. Следствие 2.1. Рассмотрим регулярную пару $(\overline{d},\overline{a})$, где $\overline{d}=(d_1,\dots,d_k)$, $\overline{a}=(a_0,\dots,a_N)$ и $N\geqslant k$. Предположим, что $a_l>1$ для всех $l$. Тогда $(\overline{d},\overline{a})$ является парой общего типа. Доказательство. По замечанию 2.1 существует степень $d_u$ такая, что $d_u\neq a_l$ для всех $l$. Попарно удаляя из регулярной пары веса $d_u$ и степени $a_l$ такие, что $d_u=a_l$, получим регулярную пару, удовлетворяющую условиям теоремы 2.1. Осталось только ее применить. Напомним теперь, как можно вычислить числа Ходжа взвешенных полных пересечений. Пусть $X\subset \mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – квазигладкое взвешенное полное пересечение гиперповерхностей степеней $d_1,\dots,d_k$. По [14; § 3] или [4; § 11] на когомологиях многообразия $X$ существует чистая структура Ходжа. В частности, определены числа Ходжа $h^{p,q}(X)$. По [1; теорема 10.8 и замечание 10.9] для взвешенного проективного пространства $\mathbb{P}$ выполнено $h^{p,q}(\mathbb{P})=1$, если $p=q$, и $h^{p,q}(\mathbb{P})=0$ иначе. По [14; предложение 3.2] единственными числами Ходжа многообразия $X$, не наследуемыми с объемлющего взвешенного проективного пространства, являются числа $h^{p,q}(X)$, где $p+q=\dim(X)$. Положим где веса переменных $x_i$ равны $a_i$, и Пусть $f_1,\dots,f_k$ – многочлены из $S'$ взвешенных степеней $d_1,\dots,d_k$, порождающие идеал взвешенного полного пересечения $X$. Положим Обозначим через $J=J(F)$ идеал в $S$, порожденный многочленами
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial F}{\partial w_1},\dots, \frac{\partial F}{\partial w_k}, \frac{\partial F}{\partial x_0},\dots,\frac{\partial F}{\partial x_{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Алгебра $S$ биградуирована с помощью градуировок $\deg (x_l)=(0,a_l)$ и $\deg(w_u)=(1,-d_u)$, так что $F$ является биоднородным многочленом бистепени $(1,0)$. Таким образом, эта биградуировка определяет биградуировку на $\mathcal{R}$. Положим $n=N-k=\dim (X)$ и Обозначим через $h_{\mathrm{pr}}^{n-q,q}(X)$ примитивные средние числа Ходжа многообразия $X$, т.е. для $p\neq q$ и иначе.Следствие 2.2. Обозначим через $J'$ идеал в $S'$, порожденный многочленами $f_1,\dots,f_k$, и определим градуированное кольцо многочленов Тогда $h^{0,n}=\mathcal{R}'_{i_X}$. В частности, $h^{0,n}(X)>0$ тогда и только тогда, когда существует взвешенный моном степени $i_X$ в $S'$. Доказательство. Можно считать, что $X$ не лежит ни в какой координатной гиперплоскости, т.е. $x_r\notin J'$ для любого $r$. Пусть $M$ – моном степени $i_X$ в $S'$. Тогда $M\notin J'$, иначе $X$ было бы приводимым. Таким образом, $M$ определяет ненулевой элемент в $\mathcal{R}'$. С другой стороны, любой моном, являющийся слагаемым однородного элемента кольца $S'$ степени $i_X$ имеет ту же самую степень $i_X$. Следствие 2.3. Неравенство $h^{0,n}(X)>0$ выполнено тогда и только тогда, когда существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots,\beta_N$ такие, что Доказательство. Если такие числа существуют, то $x_0^{\beta_0-1}\dotsb x_N^{\beta_N-1}$ является взвешенным мономом степени $-i_X$ в $S'$. С другой стороны, если $x_0^{\alpha_0}\dotsb x_N^{\alpha_N}$ является мономом степени $-i_X$, то $x_0^{\alpha_0+1}\dotsb x_N^{\alpha_N+1}$ является мономом степени $d_1+\dots+d_k$, так что можно положить $\beta_l=\alpha_l+1$. Следствие доказано. Определение 2.2 (см. [18; определение 1.14], ср. [20; § 1], [5; § 2a]). Для гладкого проективного многообразия $X$ положим Число $\mathrm{h}(X)$ называется уровнем Ходжа многообразия $X$. § 3. Взвешенные полные пересечения дивизоров Картье общего типаВ этом параграфе мы доказываем теорему 1.1. Ключевым ингредиентом доказательства является следующее Предложение 3.1. Пусть $(\overline{d},\overline{a})$, где $\overline{d}=(d_1,\dots,d_k)$ и $\overline{a}=(a_0,\dots,a_N)$ – регулярная пара Картье общего типа, и пусть $N-k>0$. Тогда существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots, \beta_N$ такие, что Доказательство. Докажем утверждение по индукции по $d_1+\dots+d_k$. База индукции (когда $\overline {d}=4$ и $\overline{a}=(1,1,1)$) тривиальна. Обозначим $i=\sum d_u-\sum a_l> 0$. Пусть для некоторого $l$ выполнено $a_l=1$. Тогда мы можем положить $\beta_m=1$, $m\neq l$ и $\beta_l=i+1$. Таким образом, можно считать, что $a_l>1$ для всех $l$. Более того, мы можем считать, что $a_l\neq d_u$ для всех $l$ и $u$. Действительно, в противном случае положим $\beta_l=1$ и уменьшим сумму $d_1+\dots+d_k$, удалив $a_l$ и $d_u$; очевидно, после такого удаления мы получим регулярную пару Картье общего типа с $N-1>k-1$, так что утверждение предложения в этом случае верно по индукции.
Предположим, что $a_l>1$ для всех $l$ и $a_l\neq d_u$ для всех $l$ и $u$. Выберем простое число $p$. Пусть $s$ – максимальное $p$-адическое нормирование для $a_0,\dots,a_N$. Можно считать, что для некоторого целого числа $k\geqslant r\geqslant 1$ числа $a_0,\dots a_{r-1}$ делятся на $p^s$, тогда как $a_{r},\dots,a_{N}$ не делятся. Тогда по условию делимости $p^s\mid d_m$ для всех $m=1,\dots,k$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_u=pd_u', \quad u=1,\dots,k, \qquad a_l=pa_l', \quad l=0,\dots,r-1, \\ a_l=a_l', \quad l=r,\dots,N. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наборы $\overline{d}^{\,\prime}=(d_1',\dots,d_k')$ и $\overline{a}^{\,\prime}=(a_0',\dots,a_N')$ определяют регулярную пару Картье. Действительно, так как $(\overline{d},\overline{a})$ является регулярной парой Картье, для всех $l$ и $u$ вес $a_l$ делит $d_u$. Таким образом, если $l<r$, то $a_l'=a_l/p$ делит $d_u'=d_u/p$, и если $l\geqslant r$, то $a_l'=a_l$ также делит $d_u'=d_u/p$, так как $p$-адическое нормирование $d_u$ больше или равно $s$. Это показывает, что $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой Картье. Очевидно, она также регулярна, так как любые $k+1$ различных веса $a_l'$ взаимно просты. Если $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой Калаби–Яу, положим
$$
\begin{equation*}
\beta_l=1, \quad l=0,\dots,r-1, \qquad \beta_l=p, \quad l=r,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно видеть, что это дает утверждение предложения в этом случае. Если $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой общего типа, то по предположению индукции существуют положительные целые числа $\beta_0',\dots,\beta_N'$ такие, что Положим
$$
\begin{equation*}
\beta_l=\beta_l', \quad l=0,\dots,r-1, \qquad \beta_l=p\beta_l', \quad l=r,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда выполнено равенство ($\bigotimes$), что доказывает предложение.
Предположим теперь, что $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой Фано. Если $s>1$, то $a_l'>1$ для всех $l$, так что по следствию 2.1 пара $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой общего типа. Таким образом, можно считать, что $s=1$ для всех простых чисел, делящих $a_l$ для некоторого $l$. Другими словами, любой вес $a_l$ не делится на квадрат простого числа. Пусть $p,p_1,\dots, p_v$ – простые делители всех весов $a_l$. Можно считать, что $v\geqslant 1$, т.е. существует как минимум два различных простых делителя чисел $a_l$, иначе, так как $a_l>1$ для всех $l$, $p$ делит все веса $a_l$, и пара $(\overline{d},\overline{l})$ не регулярна. В частности, мы можем выбрать $p$ так что $p>2$. Таким образом, для всех $u=1,\dots,k$ выполнено $d_u=\alpha_u\cdot p\cdot p_1\dotsb p_v$ для некоторых положительных целых чисел $\alpha_u$. Можно считать, что $\alpha_u=1$ для всех $u$. Действительно, если мы заменим $d_u$ на $d_u/\alpha_u$, то мы получим регулярную пару Картье, которая по следствию 2.1 является парой общего типа. Если для нее выполнено утверждение предложения, то оно выполнено и для исходной регулярной пары, так как если
$$
\begin{equation*}
\frac{d_1}{\alpha_1}+\dots+\frac{d_k}{\alpha_k}=\beta_0 a_0+\dots+\beta_N a_N,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
d_1+\dots+d_k=\biggl(\beta_0+\sum_{u=1}^k\frac{(\alpha_u-1)d_u}{\alpha_u a_0}\biggr) a_0 +\beta_1 a_1+\dots+\beta_N a_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $e=|\{l\mid a_l'=1\}|$ и $f=|\{l\mid a_l'=d_u'\text{ для некоторого }u\}|$. Пусть $f=k$, так что существует $k$ различных чисел $r_l$ таких, что $a_{r_l}'=d'_l=p_1\dotsb p_v$. По замечанию 2.1, примененному к $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$, получаем для $c=p_1\dotsb p_v>1$, взаимно простого с $p$, где $k\geqslant r=N+1-k>1$. Если $k=2$, то $r=2$, так что $\overline{d}=(pc,pc)$ и $\overline{a}=(c,c,p,p)$. Утверждение предложения в этом случае следует из равенства Пусть $k>2$. Если $r=2$, то можно положить
$$
\begin{equation*}
\beta_0=1, \quad \beta_1=p-1, \quad \beta_2=p, \quad \dots, \quad \beta _{k-1}=p, \quad \beta_{k}=1, \quad \beta_{k+1}=c-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $r=3$ и $c>2$, то можно положить
$$
\begin{equation*}
\beta_0=1, \ \ \beta_1=p-1, \ \ \beta_2=p, \ \ \dots, \ \ \beta _{k-1}=p, \ \ \beta_{k}=1, \ \ \beta_{k+1}=1, \ \ \beta_{k+2}=c-2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $r=3$ и $c=2$, то можно положить
$$
\begin{equation*}
\beta_0=1+(k-2) p-k, \quad \beta_1=1, \quad \dots, \quad \beta _{k-1}=1, \quad \beta_{k}=2, \quad \beta_{k+1}=1, \quad \beta_{k+2}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r\geqslant 4$. Используя равенство ($\bigoplus$), можно удалить степени $pc$, $pc$ и веса $c$, $c$, $p$, $p$ из $(\overline{d},\overline{a})$ и получить регулярную пару Картье. По следствию 2.1 она является парой общего типа. Более того, Таким образом, утверждение предложения в этом случае выполнено по индукции.
Пусть теперь $f<k$. По теореме 2.1 имеем $e>k-f>0$, так что $e\geqslant 2$. Более того, $f>0$, иначе по теореме 2.1 имеем $e>k$, тогда как $e$ равно числу весов $a_l$, равных $p$, так что $e\leqslant k$. Пусть $f=1$. Тогда $k\geqslant e>k-1$, так что $e=k$. По теореме 2.1 это имеет место только когда
$$
\begin{equation*}
\overline{d}=((6p)^k), \qquad \overline{a}=(6,2^k,3^k,p^k);
\end{equation*}
\notag
$$
однако такая пара не регулярна.
Предположим теперь, что $f>1$. Имеем $d_1=\dots=d_k=p\cdot p_1\dotsb p_v$, два веса, скажем $a_0$ и $a_1$, равны $p$, а два веса, скажем, $a_{2}$ и $a_3$, равны $p_1\dotsb p_v$. Удалим две степени и четыре веса $a_0$, $a_1$, $a_{2}$ и $a_3$ из регулярной пары и получим пару $(\overline{d}_0,\overline{a}_0)$. Она является регулярной парой Картье общего типа (снова по следствию 2.1). Предположим, что $N=k+1$. Тогда $\overline{a}=(p,p,p_1\dotsb p_v,p_1\dotsb p_v,a_4,\dots,a_{k+1})$, так что можно положить
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta_0=1, \qquad \beta_1=(p_1\dotsb p_v-1), \qquad \beta_2=1, \qquad \beta_3=p-1, \\ \beta_l=\frac{p\cdot p_1\dotsb p_v}{a_l}, \qquad l=4,\dots,k+1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает утверждение. Предположим, что $N\,{=}\,k+2$. Так как $a_0\,{=}\,a_1\,{=}\,p$, выполнено $k>1$. Если $k=2$, то
$$
\begin{equation*}
\overline{d}=(p\cdot p_1\dotsb p_v,p\cdot p_1\dotsb p_v), \qquad \overline{a}=(p,p,p_1\dotsb p_v,p_1\dotsb p_v,a_4),
\end{equation*}
\notag
$$
так что пара $(\overline{d},\overline{a})$ не регулярна, так как вес $a_4$ делит $p\cdot p_1\dotsb p_v$. Если $k>2$, то
$$
\begin{equation*}
\overline{a}=(p,p,p_1\dotsb p_v,p_1\dotsb p_v,a_4,a_5,\dots,a_{k+2}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что положив
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta_0=1, \qquad \beta_1=(p_1\dotsb p_v-1), \qquad\beta_2=1, \qquad\beta_3=p-1, \qquad\beta_4=\frac{p_1\dotsb p_v}{a_4}, \\ \beta_5=\frac{(p-1)\cdot p_1\dotsb p_v}{a_5}, \qquad \beta_l=\frac{p\cdot p_1\dotsb p_v}{a_l}, \quad l=6,\dots,k+2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
мы докажем предложение.
Наконец, предположим, что $N-k>2$, так что $N-4-(k-2)=N-k-2>0$. По индукции можно найти разбиение, аналогичное равенству ($\bigotimes$) для $(\overline{d}_0,\overline{a}_0)$. Вместе с равенством оно дает искомое разбиение для $(\overline{d},\overline{a})$. Предложение доказано.Замечание 3.1. Заметим, что утверждение предложения 3.1 неверно для $N\,{=}\,k$. Действительно, рассмотрим различные простые числа $p_0,\dots,p_{N}$, положим $P=p_0\dotsb p_N$ и $P_l={P}/{p_l}$, так что $P_l$ является произведением всех простых чисел, кроме $p_l$. Рассмотрим регулярную пару $((P^N),(P_0,\dots, P_{N}))$. Очевидно, она общего типа и является парой общего типа. Предположим, что так что $\beta_l>0$. Тогда, так как $p_m$ делит $P,P_0,\dots,P_{m-1},P_{m+1},\dots, P_N$, оно также делит $\beta_m$. Таким образом, что дает противоречие. Заметим, что полное пересечение $N$ гиперповерхностей степеней $P$ в $\mathbb{P}(P_0,\dots,P_N)$ не является хорошо сформированным; после велформизации она становится полным пересечением $N$ гиперплоскостей в $\mathbb{P}^N$, т.е. просто точкой. Теперь мы готовы доказать теорему 1.1. Доказательство теоремы 1.1. Очевидно, что утверждения (i) и (ii) следуют из теоремы 2.2 и следствия 2.2. Докажем утверждение (iii).
Пусть $X$ – гладкое многообразие общего типа, являющееся хорошо сформированным взвешенным полным пересечением дивизоров Картье. По предложению 3.1, вместе с предложениями 2.1 и 2.2, существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots,\beta_N$ такие, что Отсюда утверждение (iii) дается следствием 2.3. Теорема 1.1 доказана.Проблема 3.1. Обобщить утверждение (iii) теоремы 1.1 на гладкие хорошо сформированные взвешенные полные пересечения общего типа (не обязательно являющиеся пересечением дивизоров Картье). Эта проблема может быть решена для случая коразмерности не больше 2 с помощью следующего предложения, идеей доказательства которого поделился с нами К. А. Шрамов. Для его доказательства нам потребуется проблема Фробениуса. Теорема 3.1 (см. [23]). Пусть $a_0$, $a_1$ – два взаимно простых положительных целых числа. Тогда для любого целого числа $m>a_0a_1-a_0-a_1$ существуют неотрицательные числа $\beta_0$, $\beta_1$ такие, что $m=\beta_0 a_0+\beta_1 a_1$. Теперь решим проблему 3.1 для случая коразмерностей $1$ и $2$. Предложение 3.2. Выполнено следующее. (i) Пусть $(\overline{d},\overline{a})$, где $\overline{d}=(d_1)$ и $\overline{a}=(a_0,\dots,a_N)$, $N>1$, – регулярная пара общего типа. Тогда существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots, \beta_N$ такие, что (ii) Пусть $(\overline{d},\overline{a})$, где $\overline{d}=(d_1,d_2)$ и $\overline{a}=(a_0,\dots,a_N)$, $N>2$, – регулярная пара общего типа. Предположим, что существуют неотрицательные целые числа $\gamma_0,\dots,\gamma_N$ и $\mu_0,\dots,\mu_N$ такие, что $d_1=\sum \gamma_l a_l$ и $d_2=\sum \mu_l a_l$. Тогда существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots, \beta_N$ такие, что Доказательство. В случае (i) регулярная пара $(\overline{d},\overline{a})$ является парой Картье, так что утверждение следует из предложения 3.1. Докажем утверждение (ii). Будем следовать доказательству предложения 3.1. А именно, докажем предложение индукцией по $d_1+d_2$. База индукции (когда $\overline{d}=(2,3)$ и $\overline{a}=(1,1,1,1)$) тривиальна. Обозначим $i=d_1+d_2-\sum a_l>0$. Можно считать, что $a_l>1$ для всех $l$, иначе можно положить $\beta_m=1$, $m\neq l$, и $\beta_l=i+1$. Более того, можно считать, что $a_l\neq d_u$ для всех $l$ и $u$. Действительно, если, скажем, $d_2=a_N$, то пара $((d_1),(a_0,\dots,a_{N-1}))$ является регулярной парой общего типа, так что по утверждению (i) существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots,\beta_{N-1}$ такие, что Тогда
Таким образом, можно считать, что $a_l\neq 1$ и $a_l\neq d_1,d_2$ для $l=0,\dots,N$. Пусть все веса $a_l$ попарно взаимно просты. Предположим, что все $a_l$ делят $d_1$. Тогда по утверждению (i) существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots,\beta_N$ такие, что $d_1=\sum \beta_l a_l$. Это значит, что
$$
\begin{equation*}
d_1+d_2=(\beta_0+\mu_0) a_0+\dots+(\beta_N+\mu_N) a_N,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует утверждение (ii). Предположим, что для некоторого $l$ число $a_l$ не делит $d_1$. С точностью до перестановки можно предполагать, что $a_0,\dots, a_{r-1}$, $r\leqslant N$, делят $d_1$, тогда как $a_r,\dots,a_N$ не делят. Заметим, что в этом случае пары $((d_1),(a_0,\dots,a_{r-1}))$ и $((d_2),(a_r,\dots,a_{N}))$ регулярны. Если $r=1$, то $d_1=\alpha a_0$, и по утверждению (i) существуют положительные целые числа $\beta_1,\dots, \beta_N$ такие, что поэтому Если $r=2$, то, так как $d_2$ делится на взаимно простые числа $a_r,\dots,a_N$ и $N-r+1=N-1>1$, имеем $d_2-a_r-\dots-a_N>0$. Более того, $d_1-a_0-a_1\geqslant a_0a_1-a_0-a_1$. По теореме 3.1 существуют неотрицательные целые числа $\beta_0$, $\beta_1$ такие, что
$$
\begin{equation*}
(d_1-a_0-a_1)+(d_2-a_2-\dots-a_N)=\beta_0 a_0+\beta_1 a_1,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
d_1+d_2=(\beta_0+1) a_0+(\beta_1+1) a_1+1\cdot a_2+\dots+1\cdot a_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно считать, что $r>2$ и, аналогично, $N+1-r>2$. По утверждению (i) существуют положительные целые числа $\beta_0,\dots,\beta_N$ такие, что
$$
\begin{equation*}
d_1=\beta_0 a_0+\dots+\beta_{r-1} a_{r-1}, \qquad d_2=\beta_r a_r+\dots+\beta_{N} a_{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это значит, что
$$
\begin{equation*}
d_1+d_2=\beta_0 a_0+\dots+\beta_{r-1} a_{r-1}+\beta_r a_r+\dots+\beta_{N} a_{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, предположим, что существует простое число $p$ такое, что существуют два веса $a_l$ и $a_m$, делящиеся на $p$. Тогда $d_1$ и $d_2$ также делятся на $p$. Рассмотрим пару $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$, в которой $d_1'={d_1}/{p}$, $d_2'={d_2}/{p}$, $a_l'={a_l}/{p}$, $a_m'={a_m}/{p}$ и $a_w'=a_w$ для всех $w\neq l,m$. Заметим, что она регулярна, так как $p$ не делит $a_s$ для всех $s\neq l,m$. Если $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ – пара Калаби–Яу или общего типа, то, аналогично доказательству предложения 3.1, можно напрямую по индукции вывести утверждение (ii). Предположим, что $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$ является парой Фано. По теореме 2.1 это возможно, только если либо $d_1'=a_s'$ и $d_2'=a_t'$ для некоторых различных индексов $s$ и $t$, либо $d_1'=a_s'$ для некоторого $s$ и $d_2'\neq a_t'$ для всех $t\neq s$, либо, аналогично, $d_2'=a_s'$ для некоторого $s$ и $d_1'\neq a_t'$ для всех $t\neq s$. Пусть $d_1'=a_s'$ и $d_2'=a_t'$ для некоторых различных индексов $s$ и $t$. По замечанию 2.1, примененному к $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})$, и теореме 2.1 $(\overline{d},\overline{a})=\bigl((p\alpha,p\gamma),(\alpha,\gamma,p,p)\bigr)$. Так как $p$ и $\gamma$ взаимно просты, имеем $p\gamma-\gamma-p>0$. Так как $p$ и $\alpha$ взаимно просты, из теоремы 3.1 следует, что существуют неотрицательные целые числа $\beta_0$ и $\beta_2$ такие, что
$$
\begin{equation*}
(p\alpha-\alpha-p)+(p\gamma-\gamma-p)=\beta_0 \alpha+\beta_2 p,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
d_1+d_2=p\alpha+p\gamma=(\beta_0+1) \alpha+1\cdot \gamma+(\beta_2+1) p+1\cdot p.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, без потери общности можно считать, что $d_1'=a_s'$ для некоторого $s$ и $d_2'\neq a_t'$ для всех $t\neq s$. В этом случае по теореме 2.1 имеем $a_l=a_m=1$ и $(\overline{d}^{\,\prime},\overline{a}^{\,\prime})=((\alpha,6),(\alpha,2,3,1,1))$. Это значит, что $(\overline{d},\overline{a})=((\alpha p,6p),(\alpha,2,3,p,p))$. В этом случае равенство
$$
\begin{equation*}
\alpha p+6p=p\alpha+\frac{p-3}{2}\cdot 2 +1\cdot 3 +1\cdot p+ 4\cdot p
\end{equation*}
\notag
$$
влечет утверждение (ii).
Предложение доказано. Следствие 3.1. Пусть $X\subset \mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – гладкое хорошо сформированное полное пересечение двух гиперповерхностей, пусть $\dim (X)=N-2>0$, и пусть $X$ является многообразием общего типа, т.е. $i_X>0$. Тогда $\mathrm{h}(X)=n$. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.1. § 4. Уровень Ходжа квазигладких взвешенных полных пересечений общего типаВ этом параграфе мы приведем примеры квазигладких взвешенных полных пересечений общего типа, чей уровень Ходжа – не максимально возможный. (На самом деле этими взвешенными полными пересечениями будут либо гиперповерхности, либо многообразия коразмерности $2$ в зависимости от размерности.) Для этого нам понадобятся теоретико-числовые результаты лемма 4.1 и предложение 4.1), чьи доказательства предложены нам М. А. Королевым. Лемма 4.1. Пусть $n$ – положительное целое число и пусть $x\geqslant 2^n$ – вещественное число. Тогда (i) если $n\geqslant 5$, то существует как минимум $n+1$ простых чисел $p$ таких, что $x<p< 2x$; (ii) если $n\geqslant 7$, то существует как минимум $n+1$ простых чисел $p$ таких, что $\frac{2}{3}x<p< x$. Доказательство. Утверждение (i) очевидно следует из утверждения (ii). Действительно, оно напрямую проверяется для $n=5$, так что можно предполагать, что $n\geqslant 6$. Применяя утверждение (ii) к $2x\geqslant 2^{n+1}$, видим, что существует как минимум $n+2$ простых чисел $p$ таких, что $\frac{2}{3}(2x)<p< 2x$. В частности, существует как минимум $n+1$ простых чисел таких, что $x<p<2x$.
Докажем утверждение (ii). Вручную можно проверить, что оно верно для $8\leqslant n \leqslant 10$. Таким образом, можно предполагать, что $n\geqslant 11$. Обозначим через $\pi(z)$ число простых чисел, меньших либо равных $z\in \mathbb R$. По [21; следствие 1 из теоремы 2] имеем для $\alpha=1.25506$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\pi(x)-\pi(2x/3)}{n+1} &>\frac{{x}/{\ln x}-(2\alpha/3)(x/(\ln x-\ln(3/2)))}{n+1} \\ &=\frac{x}{\ln x\cdot (n+1)} \,\frac{(1-2\alpha/3)\ln x-\ln(3/2)}{\ln x-\ln(3/2)} \\ &\geqslant\frac{2^n}{\ln 2\cdot n(n+1)} \,\frac{(1-2\alpha/3)n\ln 2-\ln(3/2)}{\ln 2\cdot n-\ln(3/2)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как функции ${x}/{\ln x}$ и $((1-2\alpha/3)\ln x-\ln(3/2))/(\ln x-\ln(3/2))$ монотонно возрастают при $x\geqslant e$. Функция
$$
\begin{equation*}
H(t)=\frac{2^t}{\ln 2 \cdot t(t+1)} \,\frac{(1-2\alpha/3)t\ln 2-\ln(3/2)}{t\ln 2-\ln(3/2)}
\end{equation*}
\notag
$$
возрастает при $t>{2}/{\ln 2}$. Так как $H(10)>1$, имеем что и дает утверждение (ii).
Лемма доказана. Обозначим через $\delta(n)$ минимальное неотрицательное число вида где $p_i$ – различные простые числа. Это число определено, так как можно видеть, что $\delta(n)>0$ и что $\delta(n)$ достигается на некотором множестве простых чисел. Действительно, если то для $P_i=p_1\dotsb p_n/p_i$ имеем так что для всех $i$ все числа $P_i$ в последнем неравенстве делятся на $p_i$, что невозможно. Тот факт, что $\delta(n)$ достигается на конечном множестве простых чисел, может быть доказан по индукции. Действительно, для $n=1$ он тривиален. Пусть он верен для $n$, но не верен для $n+1$. Это значит, что существует неотрицательное число $0\leqslant a<\delta(n)$ такое, что для любого $\varepsilon>0$ существует бесконечное число наборов различных простых чисел $p_1<\dots<p_{n+1}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
a<1-\frac{1}{p_1}-\dots-\frac{1}{p_{n+1}}<a+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Это значит, что такой набор существует и для $\varepsilon=(\delta(n)-a)/{2}$; более того, можно считать, что $p_{n+1}>{2}/(\delta(n)-a)$ (так как для любого числа $A$ существует только конечное число наборов простых чисел, меньших $A$). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
1-\frac{1}{p_1}-\dots-\frac{1}{p_{n}}<a+\frac{\delta(n)-a}{2}+\frac{\delta(n)-a}{2}=\delta(n),
\end{equation*}
\notag
$$
что дает противоречие. Предложение 4.1. Для любого $n\geqslant 2$ существуют простые числа $p_1<\dots <p_n<p_{n+1}$ такие, что Доказательство. Случаи, в которых $n<8$, проверяются вручную; таким образом, можно предполагать, что $n\geqslant 8$.
Мы утверждаем, что $\delta(n)\leqslant {1}/{2^n}$. Действительно, докажем это по индукции. Легко проверить, что это верно для $n=5$. Пусть утверждение выполнено для $m\geqslant 5$. Обозначим через $p_1,\dots,p_m$ простые числа, на которых достигается $\delta(m)$. Тогда по лемме 4.1, (i) существует как минимум $m+1$ простых чисел ${1}/{\delta(m)}$ и ${2}/{\delta(m)}$. Пусть $p_{m+1}$ – одно из таких чисел, отличное от $p_1,\dots,p_m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\delta(m+1)\,{\leqslant}\, 1-\frac{1}{p_1}-\dots-\frac{1}{p_m}-\frac{1}{p_{m+1}}\,{=}\,\delta(m)-\frac{1}{p_{m+1}} \,{\leqslant}\, \delta(m)-\frac{\delta(m)}{2}\,{=}\,\frac{\delta(m)}{2}\,{\leqslant}\, \frac{1}{2^{m+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь пусть $p_1<\dots<p_n$ – простые числа такие, что Предположим, что $\delta(n)\,{\geqslant}\,{1}/{(2p_n)}$. Тогда, так как ${1}/{2^n}{\geqslant}\,\delta(n)$, имеем $p_n{\kern1pt}{>}\,2^{n-1}$. По лемме 4.1, (ii) существует как минимум $n$ простых чисел между $\frac{2}{3}p_n$ и $p_n$. Пусть $p$ – одно из таких чисел, отличное от $p_1,\dots,p_{n-1}$. Определим
$$
\begin{equation*}
\delta=1-\frac{1}{p_1}-\dots-\frac{1}{p_{n-1}}-\frac{1}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\delta=\delta(n)+{1}/{p_n}-{1}/{p}$, то
$$
\begin{equation*}
\delta \geqslant \frac{1}{2p_n}+\frac{1}{p_n}-\frac{1}{p}=\frac{(3/2)p-p_n}{pp_n}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
потому что $p>\frac{2}{3}p_n$. Однако $\delta<\delta(n)$, так как $p<p_n$, что противоречит минимальности $\delta(n)$. Это показывает, что $\delta(n)<{1}/(2p_n)$.
Подытоживая, мы имеем два неравенства: $p_n<{1}/(2\delta(n))$ и ${1}/{\delta(n)}\geqslant 2^n$. Из последнего по лемме 4.1, (i) следует, что существует простое число $p_{n+1}$ такое, что ${1}/(2\delta(n))<p_{n+1}<{1}/{\delta(n)}$. Имеем Таким образом, равенство влечет утверждение предложения.Теперь докажем основной результат параграфа. Предложение 4.2. Для любого $n>2$ существует $n$-мерное квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение $X$ дивизоров Картье такое, что $X$ является многообразием общего типа и $h^{0,n}(X)=0$. Доказательство. Определим число $m>1$ как $n=2m$, если $n$ четно, и $n=2m-1$, если $n$ нечетно. По предложению 4.1 существует $m+2$ простых чисел $p_0<\dots< p_{m}<p_{m+1}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{p_0}+\dots+\frac{1}{p_{m}}<1<\frac{1}{p_0}+\dots+\frac{1}{p_{m}}+\frac{1}{p_{m+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $s=0,\dots,m$. Если $n$ четно, определим $X$ как общую гиперповерхность степени $2\cdot p_0\dotsb p_{m}$ в $\mathbb{P}(a_0,a_0,a_1,a_1,\dots,a_{m},a_{m})$; иначе определим $X$ как общее пересечение двух гиперповерхностей степени $p_0\dotsb p_{m}$ в $\mathbb{P}(a_0,a_0,a_1,a_1,\dots,a_{m},a_{m})$. (В отличие от замечания 3.1 оно хорошо сформировано.) Заметим, что в обоих случаях $X$ квазигладко и хорошо сформировано, а $\dim (X)=n$. Более того,
$$
\begin{equation*}
i_X=2\cdot p_0\dotsb p_{m}-2\cdot a_0-\dots-2\cdot a_{m}= 2\cdot p_0\dotsb p_{m}\cdot\biggl(1-\frac{1}{p_0}-\dots-\frac{1}{p_{m}}\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $X$ является многообразием общего типа. С другой стороны, для любых $s$, $t$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i_X-a_s-a_t &=p_0\dotsb p_{m}\cdot\biggl(2-2\frac{1}{p_0}-\dots-2\frac{1}{p_{m}}-\frac{1}{p_s}-\frac{1}{p_t}\biggr) \\ &< 2\cdot p_0\dotsb p_{m}\cdot\biggl(1-\frac{1}{p_0}-\dots-\frac{1}{p_{m}}-\frac{1}{p_{m+1}}\biggr)<0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что не существует монома веса $i_X$, чья обычная степень по переменным весов $a_0,\dots,a_{m}$ не меньше $2$. Наконец, если для некоторого $l$ выполнено $i_X\,{=}\,a_l$, то $i_X+2a_l=3a_l$. Однако это невозможно, если $p_l\neq 3$, так как левая часть этого неравенства делится на $p_l$, тогда как правая часть не делится. Для $p_l=3$ имеем так как $p_{m+1}>6$.
Таким образом, не существует линейных мономов взвешенной степени $i_X$. Теперь утверждение предложения дается следствием 2.2. Предложение доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Prz22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|