| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Реализация инвариантов Фоменко–Цишанга в замкнутых симплектических многообразиях с контактными особенностями Д. Б. Зотьевa, В. И. Сидельниковb a Новосибирский государственный университет экономики и управления "НИНХ" b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9579 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВсе дифференцируемые объекты предполагаются гладкими (класса $C^\infty$), если прямо не сказано иное. Замкнутым называется компактное связное многообразие без края. Симплектические многообразия будем кратко называть СМ. Пусть на четырехмерном СМ $(M^4,\omega)$ определены гладкие, функционально независимые между собой функции $H$ и $F$, коммутирующие относительно скобки Пуассона (т.е. $\{H,F\}= 0$). Предполагается, что прообразы всех значений $(h,f)$ отображения момента $\mathcal F\colon M^4\to{\mathbb R}^2$ являются компактными, где $\mathcal F=H\times F$. Каждая связная компонента прообраза регулярного значения $\mathcal F$ диффеоморфна 2-тору (см. [1]). Такие вложенные торы $T^2\subset M^4$ называются торами Лиувилля, в совокупности они определяют слоение Лиувилля на $M^4$. Оно имеет особые слои, которые являются связными компонентами $\mathcal F^{-1}(h,f)$, содержащими критические точки отображения $\mathcal F$. В типичном случае особый слой гомеоморфен $S^1\times K$ или $S^1\stackrel{\sim}{\times} K$ (косое произведение), где $K$ – некоторый граф с вершинами кратности $1$ или $4$ (см. [1]). Множество $\Sigma$ критических значений $\mathcal F$ называется бифуркационной диаграммой. Пусть в области значений отображения момента лежит компактная гладкая кривая $\gamma$ и некоторая связная компонента $\mathcal F^{-1}(\gamma)$ является трехмерным замкнутым подмногообразием $M^3\subset M^4$. Тогда $M^3$ инвариантно относительно полей $\operatorname{sgrad}(H)$, $\operatorname{sgrad}(F)$ и расслоено на торы Лиувилля (это слоение может иметь конечное число особых слоев). Предполагается, что в некоторой окрестности каждого особого слоя хотя бы один из интегралов $H,F$ является боттовской функцией на $M^3$. Тогда топология слоения Лиувилля на $M^3$ однозначно определяется меченой молекулой $W^*(M^3)$ (см. [1]). Молекула (без меток) $W(M^3)$ представляет собой граф, вершинами которого являются так называемые атомы. Последние можно не вполне строго понимать как расслоенные трубчатые окрестности особых слоев. Атомы обозначаются заглавными буквами, которые могут быть снабжены нижним индексом и звездочками (см. [1]). Например, для динамики твердого тела характерны простейшие атомы $A$, $A^*$, $B$, $C_2$, $D_1$. Ребра графа $W(M^3)$ отвечают непрерывным, однопараметрическим семействам торов Лиувилля $T^2\subset M^3$, расположенных между особыми слоями. Меченая молекула $W^*(M^3)$ получается из $W(M^3)$ после расстановки меток $r\in {\mathbb Q}\cup\{\infty\}$ и $\varepsilon=\pm 1$ на ребрах, а также меток $n\in\mathbb Z$ на так называемых семьях атомов (см. [1]). Многообразия $M^3_1$ и $M^3_2$ со слоениями Лиувилля $\mathcal L_1$ и $\mathcal L_2$ называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм $\tau\colon M^3_1\to M^3_2$, который отображает каждый слой $l_1\in \mathcal L_1$ в некоторый слой $l_2\in \mathcal L_2$. Критерием этого является совпадение графов $W(M^3_1)$ и $W(M^3_2)$, а также равенство соответствующих меток c точностью до стандартных преобразований, отвечающих изменениям ориентаций на многообразиях, критических окружностях и ребрах молекул (см. [1]). Таким образом, меченые молекулы, называемые также инвариантами Фоменко– Цишанга, осуществляют топологическую классификацию интегрируемых систем на многообразиях $M^3$. В [2] дано сжатое изложение этой теории с примерами. Обычно рассматривают меченые молекулы $W^*(Q^3_h)$, где $Q^3_h\subset H^{-1}(h)$ – изоэнергетическое многообразие. Всякое $M^3\subset\mathcal F^{-1}(\gamma)$ можно считать изоэнергетическим многообразием после замены интегралов $H,F$ на $\widetilde H(H,F)$ и $\widetilde F(H,F)$ с помощью таких функций $\widetilde H(h,f)$, $\widetilde F(h,f)$, определенных в окрестности кривой $\gamma$, что $\widetilde H|_\gamma=\operatorname{const}$. В физически содержательных задачах встречается ситуация, когда некоторая динамическая система $X$ задана на многообразии $M^4$ с замкнутой 2-формой $\omega$, вырождающейся в точках множества $\Theta\subset M^4$ меры нуль, и является гамильтоновой на симплектическом многообразии $(M^4\setminus\Theta,\omega)$. При этом $X=\operatorname{sgrad}(H)$ на $M^4\setminus\Theta$ для некоторой функции $H\in C^\infty(M^4;{\mathbb R})$. Такая особенность впервые встретилась в интегрируемом случае (см. [3]). Оказалось, что множество $\Theta$ пересекается с каждым регулярным подмногообразием $Q^3_h$ по инвариантным торам, которые по существу не отличаются от торов Лиувилля. Из [4; теорема 1] следует, что в этом случае вырожденные особенности симплектической структуры не препятствуют вычислению меченых молекул $W^*(Q^3_h)$. Замечание 1. В п. 1 условия [4; теорема 1] присутствует опечатка. Написано: “Почти все торы Лиувилля $T^2\subset\Theta$ являются нерезонансными”. Должно быть: “Почти все торы Лиувилля $T^2\subset Q^3_h$ являются нерезонансными”. В работе [5] была введена операция приклейки торической $\Theta$-ручки к симплектическому многообразию, которая позволяет перестраивать или склеивать между собой слоения Лиувилля (определение 2). Предложение 1 показывает, что неизбежной платой за такую “хирургию” являются вырожденные особенности формы $\omega$. Приклейка $\Theta$-ручки позволяет контролировать эти особенности так, чтобы они были сосредоточенными на $(2n-1)$-мерном подмногообразии $\Theta\subset M^{2n}$ и попадали в класс контактных вырождений, введенный в [6], [7]. Их можно назвать наиболее правильными среди вырожденных особенностей, сосредоточенных на гиперповерхности (определение 1). В случае торической $\Theta$-ручки она диффеоморфна $S^{n-1}\times T^n$. В настоящей работе изучены топологические перестройки слоений Лиувилля на замкнутых $\operatorname{sgrad}(H)$-инвариантных подмногообразиях $M^3$, индуцированные приклейкой $\Theta$-ручек в случае $n=2$. При этом из $M^3$ вырезается пара цилиндров $T^2\times(0;1)$, составленных из торов Лиувилля, после чего края разрезов склеиваются попарно в одном из двух возможных порядков (определение 4). Склеивающие диффеоморфизмы зависят от координат действие-угол в окрестностях пары торов Лиувилля, являющихся опорными для $\Theta$-ручки. Получаемые в результате многообразия $M^3_{\Theta}$ пересекаются с гиперповерхностью $\Theta\cong T^3$ по инвариантным торам $T^2\subset M^4$, поэтому в силу [4; теорема 1] корректно определены меченые молекулы $W^*(M^3_{\Theta})$. Такие системы включаются в программу топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, начало которой было положено в трудах А. Т. Фоменко [8], [9]. Основным результатом настоящей статьи является теорема 1, согласно которой любая меченая молекула может быть реализована в замкнутом симплектическом многообразии с контактными особенностями (СМКО). В силу [1; теорема реализации 4.2] любая меченая молекула $\widetilde W^*$ отвечает некоторому замкнутому многообразию $Q^3$, так что $W^*(Q^3)=\widetilde W^*$. При этом $Q^3$ является поверхностью нулевого уровня гамильтониана $H$ на СМ $(M^4,\omega)$, где $M^4=Q^3\times(-1; 1)$ и $H(p,h)=h$ при всех $p\in Q^3$ и $h\in(-1; 1)$. Такое многообразие $M^4$ гомотопически эквивалентно $Q^3$ и не является компактным. С точки зрения топологии было бы интереснее вложить $Q^3$ в замкнутое СМ $M^4$. В силу теоремы 1 многообразие $M^3$, отвечающее произвольной молекуле $\widetilde W^*$, так что $\widetilde W^*=W^*(M^3)$, вкладывается в замкнутое СМКО $M^4$. Последнее получается в результате последовательной приклейки $\Theta$-ручек к исходному набору симплектических многообразий, каждое из которых лиувиллево эквивалентно $N^3\times S^1$, где $N^3$ – пространство локально тривиального расслоения над $S^1$ с замкнутым слоем, ассоциированного с расслоением некоторого 3-атома над $S^1$. Топология $M^4$ имеет простое комбинаторное описание, которое будет изучено в другой работе. Вопрос о реализации трехмерного многообразия $Q^3$ со слоением Лиувилля в четырехмерном симплектическом многообразии исследовался А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [1], где было доказано, что это возможно. Но конструкция Болсинова–Фоменко дает некомпактные симплектические многообразия (произведение $Q^3$ на интервал $ (-1;1)$). Какого-то простого способа компактифицировать построенное в книге [1] многообразие, по-видимому, нет. Например, если попытаться заменить $Q^3 \times (-1;1)$ на $Q^3 \times S^1$, то уже в случае $Q^3 = S^3$ полученное компактное многообразие не будет симплектическим из-за нулевой группы его двумерных когомологий. В настоящей работе исследуется, можно ли добиться требуемой цели (компактности многообразия, куда вкладывается $Q^3$), ослабив условие симплектичности, а именно, допустив контактные вырождения. Ответ оказался положительным, что доказано с помощью операции приклейки $\Theta$-ручки. § 2. Торическая $\Theta$-ручкаЕсли на многообразии $M$ фиксирована 2-форма $\omega$, то обозначаем:
$$
\begin{equation*}
\Theta=\bigl\{\rho\in M \colon \det \omega_\rho=0\bigr\}, \qquad \mathcal Z_{\rho}= \operatorname{Ker}(\omega_{\rho})\subset T_\rho M \quad\forall\, \rho\in\Theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Подпространство $\mathcal Z_{\rho}$ (нулевое для формы $\omega_\rho$) всегда является четномерным. Определение 1. Пусть на многообразии $M$ определена замкнутая 2-форма $\omega$, множество $\Theta$ имеет меру нуль в $M$ и $\dim\mathcal Z_{\rho}=2k$ в точке $\rho\in\Theta$. Предположим, что через точку $\rho$ проходит гладкая гиперповерхность $S\subset\Theta$ и $\dim\mathcal Z_y=2k$ $\forall\, y\in S$. Если $\mathcal Z_\rho\not\subset T_\rho S$ и $d^{2k-1}Pf(\omega)_\rho\neq 0$, где $Pf(\omega)=\pm\sqrt{\det\omega}$, то $\rho$ называется контактной точкой. Если каждая точка $y\in\Theta$ является контактной, то тройка $(M,\omega,\Theta)$ называется симплектическим многообразием с контактными особенностями (СМКО). Условие $d^{2k-1}Pf(\omega)_\rho\neq 0$ означает, что в некоторых (и тогда в любых) координатах $\mathbf x\in{\mathbb{R}}^{2n}$, заданных в окрестности $\rho$, найдется частная производная порядка $2k-1$ от пфаффиана $Pf(\omega)(\mathbf x)$, которая отлична от нуля в точке $\mathbf x(\rho)$. Для любой контактной точки $\rho\in\Theta$ существует такая ее окрестность $U$, что каждая точка $y\in U\cap\Theta$ является контактной. Если $ \rho \in\Theta$ и $\lim_{\Theta\not\ni y\to \rho}\operatorname{sgrad}(f)(y)=w\in T_\rho M$, то вектор $ w $ обозначается $ \operatorname{sgrad}(f)(\rho) $. Поле $ \operatorname{sgrad}(f)$ определено в некоторой окрестности контактной точки $\rho$ тогда и только тогда, когда $df(\mathcal Z_y)=0$ для всех $ y \in \Theta $, достаточно близких к $ \rho $ (см. [7]). В некоторой окрестности контактной точки $\rho$ существуют координаты $(\mathbf x,\mathbf p,\mathbf q)\in{\mathbb{R}}^{2k}\times{\mathbb{R}}^{n-k}\times{\mathbb{R}}^{n-k}$, в которых форма $\omega$ имеет канонический вид (см. [7]):
$$
\begin{equation*}
\omega=d\biggl(\frac{x_1^2}{2}\biggl(dx_2+\sum_{j=2}^kx_{2j-1}\,dx_{2j}\biggr)\biggr) +\sum_{i=1}^{n-k}dp_i\wedge dq_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В [5] была введена конструкция, называемая торической $\Theta$-ручкой, которая позволяет склеивать между собой и перестраивать слоения Лиувилля. В общих чертах она сводится к удалению нормальных окрестностей двух торов Лиувилля и приклейке цилиндра $T^n\times S^{n-1}\times D^1$ к двум краям разреза. Нам потребуется отображение
$$
\begin{equation}
G\colon S^{n-1}\times [-1; 1]\times T^n \to D^{n}\times T^n, \qquad G(r,t,p)=(rt^2,p),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $r\in S^{n-1}=\partial D^{n}$, $t\in[-1; 1]$, $p\in T^n=S^1\times\dots\times S^1$, $D^{n}=\{x\in{\mathbb R}^{n}\colon |x|\leqslant 1\}$. Обозначим $\Theta=S^{n-1}\times\{0\}\times T^n$ и $V^{2n}=S^{n-1}\times [-1; 1]\times T^n$, тогда $G(\Theta)=0$ и $\operatorname{rk}(d_\rho G)=2n$ в каждой точке $\rho\in V^{2n}\setminus\Theta$. Зафиксируем на $D^{n}\times T^n$ форму $\sigma=\sum_{j=1}^nds_j\wedge d\varphi_{j}$, где $\varphi_j$ – угловые координаты на торе $T^n$, а $s_j$ – стандартные координаты в ${\mathbb R}^n\supset D^n$. На $V^{2n}$ получаем замкнутую 2-форму $\omega_{0}=G^*(\sigma)$, которая невырождена на $V^{2n}\setminus\Theta$ и обращается в нуль в точках гиперповерхности $\Theta=S^{n-1}\times\{0\}\times T^n$. Перед определением 4 в [5] доказано, что каждая точка $\rho\in\Theta$ является контактной для формы $\omega_{0}$. Пусть дана пара симплектических многообразий $(N_1,\omega_1)$ и $(N_2,\omega_2)$ размерности $2n\geqslant 2$, на которых зафиксированы слоения Лиувилля $\mathcal L_1$ и $\mathcal L_2$ соответственно. Если $(N_1,\omega_1,\mathcal L_1) \neq (N_2,\omega_2,\mathcal L_2)$, то обозначим $N$ несвязное объединение $N_1\coprod N_2$. Если $(N_1,\omega_1,\mathcal L_1) = (N_2,\omega_2,\mathcal L_2)$, то пусть $N=N_1=N_2$ или $N=N_1\coprod N_2$ в зависимости от намерения перестроить слоение $\mathcal L_1$ на $N_1$ или склеить между собой два экземпляра слоения $\mathcal L_1$. Во всех этих случаях на многообразии $N$ существует единственная симплектическая структура $\widetilde\omega$, совпадающая с $\omega_i$ на $N_i$ при $i=1,2$. Выберем и зафиксируем любую пару торов Лиувилля $T^{n}_i\subset N_i$, а также их компактные, нормальные, расслоенные торами окрестности $K_i$ и $\widetilde K_i$, так что
$$
\begin{equation*}
\widetilde K_1\cap\widetilde K_2=\varnothing, \qquad T^{n}_i\subset K_i\subset\operatorname{int}\widetilde K_i\subset N_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы Лиувилля существуют симплектоморфизмы $f_i\colon {\widetilde K}_i\to D^{n}\times T^n$, которые совмещают слоения $\mathcal L_i$ на $\widetilde K_i$ с тривиальным слоением на $D^{n}\times T^n$. Пусть $f_i(K_i)=D^n_0\times T^n$, где $D^{n}_0=\{x\in{\mathbb R}^{n}\colon |x|\leqslant 1/4\}$. Приклеим к $N$ цилиндр $V^{2n}=S^{n-1}\times [-1; 1]\times T^n$ посредством отождествлений:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (r,t,p)= f_1^{-1}(G(r,t,p))\quad \text{при }\ t\leqslant -\frac12, \\ (r,t,p)=f_2^{-1}(G(r,t,p))\quad \text{при }\ t\geqslant \frac12. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 1 начала стрелок, направленных в одно место, изображают точки, которые отождествляются в процессе приклейки $\Theta$-ручки (т.е. $a_1=b_1$ и $a_2\,{=}\,b_2$). В итоге имеем следующие отождествления подмножеств:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S^{n-1}\times\{-1\}\times T^n=\partial \widetilde K_1, \qquad S^{n-1}\times\{1\}\times T^n=\partial\widetilde K_2, \\ S^{n-1}\times\biggl[-1; -\frac12\biggr]\times T^n= \widetilde K_1\setminus \operatorname{int}(K_1), \qquad S^{n-1}\times\biggl[\frac12; 1\biggr]\times T^n=\widetilde K_2\setminus\operatorname{int}(K_2), \\ S^{n-1}\times\biggl\{-\frac12\biggr\}\times T^n=\partial K_1, \qquad S^{n-1}\times\biggl\{\frac12\biggr\}\times T^n=\partial K_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбрасывая из каждого $N_i$ внутренность $K_i$, получаем многообразие
$$
\begin{equation*}
M=N\cup V^{2n}\setminus(\operatorname{int}K_1\cup \operatorname{int}K_2)
\end{equation*}
\notag
$$
с такой гладкой 2-формой $\omega$, что $\omega=\omega_0$ на $V^{2n}$. При этом если $N=N_1\coprod N_2$, то $\omega=\omega_i$ на $N_i\setminus K_i$, а если $N=N_1=N_2$, то $\omega=\omega_1=\omega_2$ на $N\setminus(K_1\cup K_2)$. Форма $ \omega $ невырождена на $ M \setminus\Theta $ и равна нулю в каждой точке подмногообразия $ \Theta=t^{-1}(0)\cong S^{n-1}\times T^n$, каждая точка $ \rho \in \Theta $ является контактной. Получено СМКО $(M,\omega,\Theta)$. Определение 2. Описанная выше конструкция СМКО $(M,\omega,\Theta)$ называется приклейкой торической $\Theta$-ручки (к паре многообразий $N_1$, $N_2$ или к многообразию $N_1=N_2$). Собственно $\Theta$-ручкой будем считать множество $S^{n-1}\times [-1/2; 1/2]\times T^n\subset M$. Множества $S^{n-1}\times [-1; -1/2]\times T^n$ и $S^{n-1}\times [1/2; 1]\times T^n$ назовем ее подошвами, а торы $T^{n}_i$ будем называть опорными для $\Theta$-ручки, где $i=1,2$. Операции из определения 2 можно итерировать, приклеивая к СМ $(N,\widetilde\omega)$ несколько торических $\Theta$-ручек. Их также можно приклеивать к СМКО $(N,\widetilde\omega,\widetilde\Theta)$, выбирая подошвы так, чтобы они не пересекались с $\widetilde\Theta$. Слоение цилиндра $V^{2n}\subset M$ торами $\{r\}\times\{t\}\times T^n$ совпадает со слоениями Лиувилля на $\widetilde K_i\setminus \operatorname{int}(K_i)$ для $i=1, 2$. Так возникает торическое слоение $\mathcal L$ на $M$, которое в случае $N=N_1\coprod N_2$ согласовано с $\mathcal L_i$ на $N_i\setminus K_i$, а в случае $N=N_1=N_2$ согласовано с $\mathcal L_1$ на $N_1\setminus (K_1\cup K_2)$. Поднимем координаты $s_j$ с $D^n$ на $D^n\times T^n$, сохраняя обозначения $s_j$. Функции $s_1\circ f_i,\dots,s_n\circ f_i$ являются координатами действия в окрестности $\operatorname{int}(\widetilde K_i)$ тора $T^n_i\subset N_i$, где $i=1, 2$. Для любого $j=1,\dots,n$ функции $r_1,\dots,r_{j-1},r_{j+1},\dots, r_{n},t$ являются генераторами пуассонова действия группы ${\mathbb R}^n$ на множестве
$$
\begin{equation*}
V^{2n}_j=\bigl\{(r,t,p)\in V^{2n}\colon 0<|t|\leqslant 1,\ r_j\neq 0\bigr\}, \qquad r_1^2+\dots+r_n^2=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это следует из того, что на $V^{2n}_j\cap(\widetilde K_i\setminus K_i)$ для всех $k\neq j$ имеет место (см. [5]):
$$
\begin{equation}
t=\pm\sqrt[4]{(s_1\circ f_i)^2+\dots+(s_n\circ f_i)^2}, \qquad r_k= \frac{s_k\circ f_i}{\sqrt{(s_1\circ f_i)^2+\dots+(s_n\circ f_i)^2}}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Заметим, что формулы (2) были справедливыми на $\operatorname{int}(K_i)$ до удаления этих подмножеств в процессе приклейки $\Theta$-ручки. Все функции $t$ и $r_k$ попарно коммутируют между собой относительно формы $\omega$, так как функции $s_j$ на шаре $D^n$ коммутируют относительно формы $\sigma$. Поэтому все торы $T^n\in\mathcal L$, вложенные в $V^{2n}$, являются изотропными. Будем называть $\mathcal L$ слоением Лиувилля. Существует набор гладких функций $F_1,\dots,F_n$ на $M$, который определяет слоение $\mathcal L$. Ограничимся случаем $n=2$, в общем рассуждения аналогичны. Пусть торическая $\Theta$-ручка приклеивается к четырехмерным симплектическим многообразиям $(N_i,\omega_i)$, на которых заданы пары коммутирующих интегралов $H_i$, $F_i$, где $i=1,2$. На полученном в результате СМКО $(M,\omega,\Theta)$ можно ввести пару коммутирующих функций $H$, $F$, которые постоянны на торах слоения Лиувилля $\mathcal L$ и продолжают на $M$ функции $H_i$, $F_i$. Положим $H=H_i$ и $F=F_i$ на $N_i\setminus \widetilde K_i$ при $i=1,2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H=\chi\cdot H_1\circ f_1^{-1}\circ G, \quad F=\chi\cdot F_1\circ f_1^{-1}\circ G \quad\text{на }\ S^1\times[-1;0]\times T^2, \\ H=\chi\cdot H_2\circ f_2^{-1}\circ G, \quad F=\chi\cdot F_2\circ f_2^{-1}\circ G \quad\text{на }\ S^1\times[0;1]\times T^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi(t)$ – гладкая функция, $-1\leqslant t\leqslant 1$, $d^m\chi(0)=0$ для всех $m\geqslant 0$, $d\chi(t)\neq 0$ при $0<|t|<1/2$ и $\chi(t)=1$ при $1/2\leqslant|t|\leqslant 1$. В каждой точке $\rho\in\Theta=S^1\times \{0\}\times T^2$ имеет место $d_\rho^mH=d_\rho^mF=0$ для всех $m\geqslant 0$. Если торическая $\Theta$-ручка приклеивается к связному многообразию $N$ с парой интегралов $H_1$ и $F_1$, то полагаем $H=H_1$ и $F=F_1$ на $N\setminus (\widetilde K_1\cup \widetilde K_2)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H=\chi\cdot H_1\circ f_1^{-1}\circ G, \quad F=\chi\cdot F_1\circ f_1^{-1}\circ G \quad\text{на }\ S^1\times[-1;0]\times T^2, \\ H=\chi\cdot H_1\circ f_2^{-1}\circ G, \quad F=\chi\cdot F_1\circ f_2^{-1}\circ G \quad\text{на }\ S^1\times[0;1]\times T^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Есть более изящное продолжение интегралов $H_i$, $F_i$ на СМКО $(M,\omega,\Theta)$, полученное приклейкой $\Theta$-ручки к паре $N_1$, $N_2$. Нам потребуются отображения момента $\mathcal F_i=H_i\times F_i\colon N_i\to{\mathbb R}^2(h_i,f_i)$, где $i=1,2$. В процессе приклеивания $\Theta$-ручки из образа каждого $\mathcal F_i$ удаляется открытый диск $\mathcal F_i(\operatorname{int}(K_i))$, который можно считать кругом $(h_i-h_{0,i})^2+(f_i-f_{0,i})^2< 1/4$, где точка $(h_{0,i},f_{0,i})$ есть образ опорного тора $T^2_i$. Введем в ${\mathbb R}^2(h_i,f_i)$ полярные координаты:
$$
\begin{equation*}
h_i=h_{0,i}+\rho_i\cos\varphi_i, \quad f_i=f_{0,i}+\rho_i\sin\varphi_i, \qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
При необходимости деформируя интегралы $H_i$, $F_i$ можно считать, что круги $\rho_i\leqslant 1$ не пересекаются с бифуркационными диаграммами $\mathcal F_i$. Обозначим $\varphi$, $t$ координаты цилиндра $S^1\times[-1; 1]$, так что $0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi$, $|t|\leqslant 1$. Торическая $\Theta$-ручка индуцирует приклеивание этого цилиндра к паре плоскостей ${\mathbb R}^2(h_i,f_i)$, так что кольца $S^1\times[-1; -1/2]$ и $S^1\times[1/2; 1]$ отождествляются с кольцами $1/2\leqslant \rho_1\leqslant 1$ и $1/2\leqslant \rho_2\leqslant 1$ соответственно. При этом точки колец отождествляются посредством некоторой пары диффеоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi_1\colon \biggl\{(\rho_1,\varphi_1)\in{\mathbb R}^2(h_1,f_1)\colon\frac12\leqslant \rho_1\leqslant 1\biggr \} \to S^1\times\biggl[-1; -\frac12\biggr], \\ \Phi_2\colon \biggl\{(\rho_2,\varphi_2)\in{\mathbb R}^2(h_2,f_2)\colon\frac12\leqslant \rho_2\leqslant 1 \biggr\} \to S^1\times\biggl[\frac12; 1\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\Psi_1$ и $\Psi_2$ диффеоморфизмы колец $S^1\times[-1; 1/2]$ и $S^1\times[-1/2; 1]$ на $S^1\times[-1; -1/2]$ и $S^1\times[1/2; 1]$ соответственно, которые являются тождественными отображениями на кольцах $S^1\times[-1; -3/4]$ и $S^1\times[3/4; 1]$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde H_i=H_i\circ\Phi_i^{-1}\circ\Psi_i, \quad \widetilde F_i=F_i\circ\Phi_i^{-1}\circ\Psi_i, \qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы рассматриваем $H_i$, $F_i$ как функции на кольцах $1/2 \leqslant \rho_i \leqslant 1 $. Выберем такую гладкую невозрастающую функцию $\kappa(t)$ на $[-1; 1]$ такую, что $\kappa(t)= 1$ при $-1\leqslant t\leqslant -1/4$ и $\kappa(t)=0$ при $1/4\leqslant t\leqslant 1$. Полагаем $H=H_i$, $F=F_i$ на $N_i\setminus\widetilde K_i$, а на кольце $S^1\times[-1;1]\times T^2$
$$
\begin{equation*}
H=\kappa\widetilde H_1+(1-\kappa)\widetilde H_2, \qquad F=\kappa\widetilde F_1+(1-\kappa)\widetilde F_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\widetilde H_i$, $\widetilde F_i$ рассматриваются как функции на $S^1\times[-1; 1/2]\times T^2$ (при $i=1$) и на $S^1\times[-1/2; 1]\times T^2$ (при $i=2$). Коммутирующие интегралы $H$, $F$ определены на $M$ и порождают слоение Лиувилля $\mathcal L$. Они совпадают с $H_i$, $F_i$ на $S^1\times[-1; -3/4]\times T^2$ (при $i=1$) и на $S^1\times[3/4; 1]\times T^2$ (при $i=2$). Функция $H^2+F^2$ достигает локального минимума $1/4$, поэтому компоненты $\mathcal F$-прообразов каждой точки окружностей $\rho_i=1/2$, вложенные в $S^1\times\{\pm 1/2\}\times T^2$, являются критическими торами Лиувилля. Если торическая $\Theta$-ручка приклеивается к связному многообразию $N$ с парой интегралов $H_1$ и $F_1$, то полагаем $H=H_1$, $F=F_1$ на $N\setminus(\widetilde K_1\cup\widetilde K_2)$ и $\widetilde H_i=H_1\circ\Phi_i^{-1}\circ\Psi_i$, $\widetilde F_i=F_1\circ\Phi_i^{-1}\circ\Psi_i$. В остальном определение $H$ и $F$ не меняется. Заметим, что, согласно [5; предложение 4], результатом приклейки $\Theta$-ручки к связному $N$ будет неориентируемое многообразие. В случае приклейки $\Theta$-ручки к паре $N_1$, $N_2$ возможна следующая интересная конструкция. Функции $P_i(\rho_i,\varphi_i)=\rho_i$ и $Q_i(\rho_i,\phi_i)=\sin\varphi_i$ определяют интегралы на $N_i\setminus K_i$. Следующие векторные поля определены на кольцах $-1\leqslant t\leqslant -1/2$ и $1/2\leqslant t\leqslant 1$ при $i=1$ и $i=2$ соответственно:
$$
\begin{equation}
{\Phi_i}_*\biggl(\frac{\partial}{\partial\rho_i}\biggr) =\zeta_i(\varphi,t)\,\frac{\partial}{\partial\varphi}+ \eta_i(\varphi,t)\,\frac{\partial}{\partial t}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Отображения $\Phi_i$ совмещают окружности $\rho_i=1$ и $t=\pm 1$, поэтому существует такое $0<\varepsilon<1/4$, что $\eta_1(\varphi,t)<0$ при всех $-1\leqslant t\leqslant -1+2\varepsilon$ и $\eta_2(\varphi,t)>0$ при всех $1-2\varepsilon\leqslant t\leqslant 1$. Пусть $\chi(t)$ – такая гладкая неубывающая функция на $[-1/4; 1]$, что $\chi(t)=0$ при $-1/4\leqslant t\leqslant 1-2\varepsilon$ и $\chi(t)=1$ при $1-\varepsilon\leqslant t\leqslant 1$. На кольцах $S^1\times[-1,1/4]$ и $S^1\times[-1/4,1]$ определены векторные поля
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_1(\varphi,t) &=\chi(-t)\zeta_1(\varphi,t)\,\frac{\partial}{\partial\varphi}+ \bigl(\chi(-t)\eta_1(\varphi,t)+\chi(-t)-1\bigr)\,\frac{\partial}{\partial t}, \qquad -1\leqslant t\leqslant \frac14, \\ X_2(\varphi,t) &=\chi(t)\zeta_2(\varphi,t)\,\frac{\partial}{\partial\varphi}+ \bigl(\chi(t)\eta_2(\varphi,t)+1-\chi(t)\bigr)\,\frac{\partial}{\partial t}, \qquad -\frac14\leqslant t\leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые совпадают с (3) при $1-\varepsilon\leqslant|t|\leqslant 1$. Если $-1+2\varepsilon\leqslant t\leqslant 1/4$, то $X_1=-{\partial}/{\partial t}$, а если $-1/4\leqslant t\leqslant 1-2\varepsilon$, то $X_2={\partial}/{\partial t}$. Эти поля имеют ${\partial}/{\partial t}$ – компоненты, отделенные от нуля некоторой константой. Фазовые потоки полей $X_i$ обозначим $\psi^i_\tau$. Для любой точки $x\in S^1\times[-1; 1/4]$ или $x\in S^1\times[-1/4; 1]$ существует такая точка $x'\in S^1\times\{-1\}$ или $x'\in S^1\times\{1\}$ соответственно, что $x'=\psi^i_\tau(x)$. Положим $\widetilde P_i(x)=1-\tau$ и $\widetilde Q_i(x)=\sin\varphi$, где $\varphi$ – угловая координата точки $x'$ на окружности $S^1\times\{\pm 1\}$. Функции $\widetilde P_i$ и $\widetilde Q_i$ совпадают с $P_i$ и $Q_i$ при $1-\varepsilon\leqslant |t|\leqslant 1$. Выберем такую гладкую невозрастающую функцию $\kappa(t)$ на $[-1; 1]$, что $\kappa(t)=1$ при $-1\leqslant t\leqslant -1/4$ и $\kappa(t)=0$ при $1/4\leqslant t\leqslant 1$. Полагаем $P=P_i$, $Q=Q_i$ на $N_i\setminus\widetilde K_i$, а на $S^1\times[-1;1]\times T^2$ пусть
$$
\begin{equation*}
P=\kappa\widetilde P_1+(1-\kappa)\widetilde P_2, \qquad Q=\kappa\widetilde Q_1+(1-\kappa)\widetilde Q_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\widetilde P_i$ и $\widetilde Q_i$ рассматриваются как функции на $S^1\times[-1; 1/4]\times T^2$ (при $i\,{=}\,1$) и $S^1\times[-1/4; 1]\times T^2$ (при $i=2$). Коммутирующие интегралы $P$, $Q$ на $M$ порождают слоение Лиувилля $\mathcal L$ и продолжают интегралы $P_i$, $Q_i$ на $S^1\times[-1+ \varepsilon; 1- \varepsilon]\,{\times}\,T^2$. В связи с операцией приклейки торической $\Theta$-ручки возникает естественный вопрос: можно ли модифицировать ее так, чтобы топологически эквивалентная перестройка порождала слоение Лиувилля не на СМКО, а на СМ? Из предложения 1 следует, что избавиться от вырожденных особенностей формы $\omega$ на приклеенном цилиндре $S^{n-1}\times[-1/2; 1/2]\times T^n$ невозможно. Предложение 1. Пусть дана пара симплектических многообразий $(N_i,\omega_i)$ размерности $2n\geqslant 4$, на которых определены слоения Лиувилля. Выберем любую пару торов Лиувилля $T^{n}_i\subset N_i$, а также их компактные, нормальные, расслоенные торами окрестности $K_i$ и $\widetilde K_i$, где $i=1,2$. Предполагается, что $\widetilde K_1\cap\widetilde K_2=\varnothing$ и $T^{n}_i\subset K_i\subset\operatorname{int}\widetilde K_i\subset N_i$. Удалим из несвязного объединения $N=N_1\coprod N_2$ внутренности подмножеств $K_i$, после чего приклеим к $N\setminus(\operatorname{int} K_1\cup \operatorname{int} K_2) $ цилиндр $V^{2n}=S^{n-1}\times[-1; 1]\times T^{n}$ посредством произвольной пары диффеоморфизмов которые сохраняют канонические структуры произведения $S^{n-1}\times D^1\times T^{n}$ на многообразиях $\widetilde K_i\setminus\operatorname{int} K_i$, $S^{n-1}\times[-1; -1/2]\times T^{n}$ и $S^{n-1}\times[1/2; 1]\times T^{n}$. В результате получим многообразие $M$. Пусть на $M$ дана такая замкнутая 2-форма $\omega$, что $\omega=\omega_i$ на $N_i\setminus K_i$ и все торы $\{s\}\times\{t\}\times T^{n}$ из слоения цилиндра $V^{2n}\subset M$ являются изотропными, где $i=1,2$. Тогда существует хотя бы одна точка $x\in V^{2n}$, в которой $\det\omega_x=0$. Доказательство. Пусть $n=2$, при $n>2$ рассуждения аналогичны.
Пусть торы $\{B_i\}\times T^2$ отвечают точке $(1/4, 0)$, лежащей на границе диска $D^2_0\subset{\mathbb R}^2$ в области значений переменных действия $(s_1, s_2)$, где $i=1, 2$. Как видно на рис. 2, базисы $\partial/\partial s_1,\partial/\partial s_2$ в точках $(B_1,\varphi_1,\varphi_2)$ и $(B_2,\varphi_1,\varphi_2)$, отвечающих произвольной точке $(\varphi_1,\varphi_2)\in T^2$, имеют противоположные ориентации на цилиндре $S^1\times[-1; 1]$. В базисах $\partial/\partial s_1,\partial/\partial s_2,\partial/\partial \varphi_1,\partial/\partial \varphi_2$, определенных в точках $(B_i,\varphi_1,\varphi_2)$ и имеющих противоположные ориентации, пфаффиан $Pf(\omega)$ равен $1$. Следовательно, $Pf(\omega)=0$ в некоторой точке цилиндра $V^{4}$. Предложение доказано. § 3. Хирургия инвариантных 3-многообразийПусть на СМ $(M^4,\omega)$ или СМКО $(M^4,\omega,\Theta)$ дана такая пара гладких, почти всюду независимых функций $H$ и $F$, что $\{H,F\}=0$ на $M^4$ в случае СМ и $\{H,F\}=0$ на $M^{4}\setminus\Theta$ в случае СМКО. Предположим, что для любого регулярного значения $(h,f)$ отображения момента $\mathcal F=H\times F$ все связные компоненты $\mathcal F^{-1}(h,f)$ являются компактными, а множество $\mathcal F(\Theta)$ имеет меру нуль в ${\mathbb R}^2$. В такой ситуации будем говорить, что на $M^{4}$ дана интегрируемая система с (коммутирующими) интегралами $H$, $F$. Под системой подразумевается гамильтоново поле $X=\operatorname{sgrad}(H)$, хотя с таким же успехом можно рассматривать поле $Y=\operatorname{sgrad}(F)$. В случае СМКО каждое из них может быть определенным на $M^4$ или только на $M^{4}\setminus\Theta$ в зависимости от того, выполняется условие $dH(\mathcal Z_\rho)\equiv 0$ ($dF(\mathcal Z_\rho)\equiv 0$) или нет. В контексте настоящей статьи этот вопрос значения не имеет. Для любого регулярного значения $(h,f)$ отображения $\mathcal F$ каждая связная компонента $\mathcal F^{-1}(h,f)$ является вложенным тором $T^2\subset M^4$, который называется тором Лиувилля. В случае СМКО $T^2\subset\Theta $ или $T^2\subset M^{4}\setminus\Theta$. Семейство всех таких торов определяет слоение Лиувилля на $M^4$, особые слои которого содержат критические точки отображения $\mathcal F$. Множество $\Sigma\,{\subset}\,{\mathbb R}^2$ критических значений $\mathcal F$ называется бифуркационной диаграммой. Связная компонента $M^2$ прообраза точки $(h,f)\in\Sigma$ может быть вложенным 2-тором, не нарушающим тривиальность торического слоения вблизи $M^2$. Такая ситуация возникает, если в некоторой окрестности $U\supset M^2$ существует такая пара функций $\widetilde H$ и $\widetilde F$, от которых функционально зависят $H$ и $F$ на $U$, что ковекторы $d_p\widetilde H$ и $d_p\widetilde F$ линейно независимы в каждой точке $p\in M^2$. Функции $\widetilde H$ и $\widetilde F$ являются (локальными) интегралами исходной системы. Такое подмногообразие $M^2\cong T^2$ будем называть критическим тором Лиувилля. Пусть замкнутое трехмерное подмногообразие $M^3\subset M^4$ пересекается с $\Theta$ разве лишь по торам Лиувилля и включает в себя набор непересекающихся вложенных окружностей $S^1_{1},\dots,S^1_{m}$ и (или) двумерных, замкнутых, кусочно гладких подмногообразий $L^2_1,\dots,L^2_n$, особые точки которых организованы в непересекающиеся окружности $S^1_{r,1},S^1_{r,2},\dots,S^1_{r,n_r}$, где $m,n\geqslant 0$ и $r=1,\dots,n$. При этом множество $M^3\setminus(S^1_{1}\cup\dots\cup S^1_{m}\cup L^2_{1}\cup\dots\cup L^2_{n})$ является объединением торов Лиувилля (среди которых могут быть критические), и $\operatorname{rk}(\mathcal F)=1$ в каждой точке из $S^1_{i}$ и $S^1_{r,j}$. Будем называть эти окружности критическими. На каждой из критических окружностей $S^1\subset M^3$ поля $\operatorname{sgrad}(H)$ и $\operatorname{sgrad}(F)$ линейно зависимы, так что $\lambda\, d_pH+\mu\, d_pF=0$ в каждой точке $p\in S^1$ для некоторых констант $\lambda$ и $\mu$, $|\lambda|+|\mu|>0$. При этом корректно определена квадратичная форма $\lambda\, d^2_pH+\mu\, d^2_pF$, которая имеет ранг не выше 2. Предположим, что ее ранг равен 2 на каждой из критических окружностей (см. [1; определение 1.20]). Определение 3. При наложенных выше условиях подмногообразие $M^3$ называется устойчиво инвариантным (относительно интегрируемой системы на $M^4$). Из теоремы 1 следует, что класс устойчиво инвариантных многообразий совпадает с классом $\mathcal Q$ топологически устойчивых, замкнутых изоэнергетических подмногообразий $Q^3\subset H^{-1}(h)$, на которых интегрируемая система $\operatorname{sgrad}(H)$ имеет боттовский интеграл $F$ (см. [1]). Определение 3 лишь выделяет тот факт, что устойчиво инвариантное многообразие может возникать не в СМ, а в СМКО. В последнем случае слоение Лиувилля на $M^3$ не приобретает никаких топологических особенностей. Тогда подмногообразие $M^3\subset M^4$ пересекается с $\Theta$ разве лишь по торам Лиувилля, поэтому в силу [4; теорема 1] корректно определена меченая молекула (инвариант Фоменко–Цишанга) $W^*(M^3)$. Нас интересует ситуация, когда торическая $\Theta$-ручка приклеивается к СМ или СМКО $M^4$, в которое вложено устойчиво инвариантное многообразие $M^3$. Что при этом происходит с молекулой $W^*(M^3)$? Предполагается, что каждая ее подошва пересекается с $M^3$ по однопараметрическому семейству торов Лиувилля. Возможна также ситуация, когда каждая подошва $\Theta$-ручки пересекается по такому семейству торов с одним из устойчиво инвариантных многообразий $M^3_1$ и $M^3_2$, которые могут быть вложенными в одно или в различные СМ/СМКО. В последнем случае будем считать, что $\Theta$-ручка приклеивается к многообразию $M^4$, имеющему две связные компоненты. Тогда пары $\widetilde K_i$, $K_i$ выбираются в различных компонентах $M^4$, где $i=1,2$. Что при этом происходит с молекулами $W^*(M^3_1)$ и $W^*(M^3_2)$? Для того чтобы приклеить к $M^4$ торическую $\Theta$-ручку, следует выбрать пару торов Лиувилля $T^2_i\subset M^4$ и послойные симплектоморфизмы $f_i\colon \widetilde K_i\to D^2\times T^2$ нормальных окрестностей $\widetilde K_i\supset T^2_i$, так что $\widetilde K_1\cap \widetilde K_2=\varnothing$. В случае СМКО предполагается $\widetilde K_i\subset M^4\setminus\Theta$. Симплектоморфизм $f_i$ вводит на $\widetilde K_i$ координаты действие-угол $(s_1,s_2,\varphi_1,\varphi_2)$, где $(s_1,s_2)\in D^2$ и $(\varphi_1,\varphi_2)\in T^2$. Топология многообразия и слоения Лиувилля, полученных в результате приклейки $\Theta$-ручки, зависит от этих координат (последние параметризуются элементами группы ${\mathbf H}_1(T^2_i,{\mathbb Z})$). Обозначим $A_i$ точку $\mathcal F(T^2_i)$ при каждом $i=1,2$. Предполагаем, что кривая $\gamma=\mathcal F(M^3)$ проходит через $A_1$ и $A_2$ или каждая точка $A_i$ лежит на кривой $\gamma_i=\mathcal F(M^3_{i})$ при $i=1,2$ (рис. 3). Пусть диск $\widetilde D^2_i\subset {\mathbb R}^2$ является $\mathcal F$-образом $\widetilde K_i$, а $\mathcal F$-образом $K_i$ является диск $D^2_i\subset{\mathbb R}^2$. Обозначим $P_i^\pm$ точки кривой $\gamma$ или $\gamma_i$, лежащие на границе диска $D^2_i$. Для каждой из $P_i^\pm$ тор Лиувилля $K_i\cap\mathcal F^{-1}(P_i^\pm)$ посредством $f_i$ отображается на $Q_i^\pm\times T^2$, где $T^2$ – стандартный тор,
$$
\begin{equation*}
Q_i^\pm\in \partial D^2_0, \qquad D^2_0=\biggl\{x\in{\mathbb R}^{2}\colon |x|\leqslant \frac14\biggr\}, \qquad D^2=\{x\in{\mathbb R}^{2}\colon |x|\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В ходе приклейки $\Theta$-ручки каждый из двух торов Лиувилля $K_1\cap\mathcal F^{-1}(P_1^\pm)$ отождествляется с одним из торов $\{r_1^\pm\}\times\{-1/2 \}\times T^2$, а торы $K_2\cap\mathcal F^{-1}(P_2^\pm)$ отождествляются с торами $\{r_2^\pm\}\times\{1/2 \}\times T^2$, где $r_i^\pm\in S^1$ и
$$
\begin{equation*}
G\biggl(\{r_1^\pm\}\times\biggl\{ -\frac12\biggr\}\times T^2\biggr)=\{Q_1^\pm\}\times T^2, \qquad G\biggl(\{r_2^\pm\}\times\biggl\{ \frac12\biggr\}\times T^2\biggr)=\{Q_2^\pm\}\times T^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Точки $\{r_1^\pm\}\times\{-1/2\}$ и $\{r_2^\pm\}\times\{1/2\}$ обозначаем $P_1^\pm$ и $P_2^\pm$ соответственно (рис. 4). При каждом $i=1,2$ образ подмногообразия $\widetilde K_i\cap M^3$ или $\widetilde K_i\cap M^3_i$ относительно $f_i$ является произведением некоторого вложенного отрезка $D^1_i\subset D^2$ на тор $T^2$. Отрезок $D^1_i$ соединяет между собой пару точек на границе диска $D^2$ и проходит через его центр. На рис. 3 отрезку $D^1_i$ отвечает кривая, проходящая через точки $P_i^-$, $P_i^+$ и расположенная в круге, ограниченном штриховой линией. Обозначим $g_1$ диффеоморфизм кольца $S^1\times [-1;0)$ на проколотый диск $\dot D^2=D^2\setminus \{0\}$, так что $g_1(s,t)=st^2$, аналогично $g_2\colon S^1\times (0;1]\to\dot D^2$ и $g_2(s,t)=st^2$. Определение 4. Пусть $\tau_\pm\colon [-1/2; 1/2]\to S^1$ есть любая пара гладких функций, удовлетворяющих следующим условиям. 1. Пара кривых $(\tau_\pm(t),t)$ на цилиндре $S^1\times[-1; 1]$ соединяет между собой пары $(P_1^-, P_1^+)$ и $(P_2^-, P_2^+)$, так что
$$
\begin{equation*}
P_1^-=\tau_-\biggl(-\frac12\biggr), \qquad P_1^+=\tau_+\biggl(-\frac12\biggr), \qquad P_2^-=\tau_-\biggl(\frac12\biggr), \qquad P_2^+=\tau_+\biggl(\frac12\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
2. Объединение пары кривых $\{(\tau_\pm(t),t)\colon {-}1/2\leqslant t\leqslant 1/2\}$ и четверки вложенных полуинтервалов $\gamma_{i\pm}$, где
$$
\begin{equation*}
\gamma_{1-}\cup \gamma_{1+}=g_{1}^{-1}(D^1_1\setminus D^2_0), \qquad \gamma_{2-}\cup \gamma_{2+}=g_{2}^{-1}(D^1_2\setminus D^2_0),
\end{equation*}
\notag
$$
есть пара непересекающихся гладких отрезков, вложенных в $S^1\,{\times}\,[-1;1]$ (рис. 4). Тогда объединение пары цилиндров с подмногообразием $M^3 \setminus (K_1 \cup K_2)$ или с парой подмногообразий $M^3_1 \setminus K_1$ и $M^3_2 \setminus K_2$ называется $\Theta$-перестройкой многообразия $M^3$ или пары многообразий $M^3_{1}$ и $M^3_{2}$ соответственно (ассоциированной c торической $\Theta$-ручкой).Наглядный смысл данной операции состоит в том, что из $M^3$ или $M^3_{1}\cup M^3_{2}$ вырезаются два цилиндра $(\operatorname{int}K_i)\cap M^3\cong (0; 1)\times T^2$ или $(\operatorname{int}K_i)\cap M^3_i$ соответственно, после чего торы $K_1\cap\mathcal F^{-1}(P_1^\pm)$ и $K_2\cap\mathcal F^{-1}(P_2^\pm)$ склеиваются парой цилиндров (4) в одном из двух возможных порядков. На рис. 4 цилиндрам (4) отвечают отрезки $[P_1^+P_2^+]$ и $[P_1^-P_2^-]$. Замечание 2. Результаты $\Theta$-перестройки не зависят от выбора функций $\tau_\pm(t)$ в том смысле, что все 3-многообразия, получаемые для различных $\tau_\pm(t)$ из определения 4, лиувиллево эквивалентны между собой. Обозначим $M^3_{\Theta}$ многообразие, полученное в результате $\Theta$-перестройки многообразия $M^3$ или пары многообразий $M^3_{1}$, $M^3_{2}$. Ребра молекулы $W(M^3)$ или молекул $W(M^3_{i})$, соответствующие цилиндрам $(\operatorname{int}K_i)\cap M^3$, назовем разрезанными. Торы $K_1\cap\mathcal F^{-1}(P_1^\pm)$ и $K_2\cap\mathcal F^{-1}(P_2^\pm)$ склеиваются через цилиндры (4). При этом у молекулы $W(M^3_{\Theta})$ появляются два ребра, которые мы назовем переклеенными. Например, на рис. 3 переклеенное ребро имеет желтый цвет. Предложение 2. Варьируя матрицу склейки на одном из разрезанных ребер, а также любой из симплектоморфизмов $f_i\colon \widetilde K_i\to D^2\times T^2$, где $i=1,2$, можно получить на переклеенных ребрах любую наперед заданную пару матриц склейки. Доказательство. Найдем матрицы склейки на ребрах молекулы $W(M^3_{\Theta})$, отвечающих двум цилиндрам (4). Склеивающие диффеоморфизмы:
$$
\begin{equation*}
I^\pm\colon \{P_1^{\pm}\}\times T^2\to \{P_2^{\pm}\}\times T^2, \qquad I^\pm(P_1^{\pm},p)=(P_2^{\pm},p) \quad \forall\, p\in T^2
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь знаки $\pm$ согласованы: верхний отвечает верхнему, а нижний – нижнему). Зафиксируем допустимые базисы $\lambda_i^{\pm}$, $\mu _i^{\pm}$ в группах гомологий торов $\{P_i^{\pm}\}\times T^2$, где $i=1,2$ (см. [1]). Соответствующие матрицы склейки обозначим Это означает, что при изоморфизме $I^{\pm}_*\colon {\mathbf H}_1(\{P_1^{\pm}\}\times T^2;{\mathbb Z})\,{\to}\, {\mathbf H}_1(\{P_2^{\pm}\}\times T^2;{\mathbb Z})$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} I^{\pm}_*(\lambda_1^{\pm}) \\ I^{\pm}_*(\mu_1^{\pm}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{\pm}&\beta_{\pm} \\ \gamma_{\pm}&\delta_{\pm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_2^{\pm} \\ \mu_2^{\pm} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Обозначим $\zeta_{\pm}(t),\eta_{\pm}(t)$ базис в группе ${\mathbf H}_1\bigl(\{\tau_\pm(t)\}\times\{t\}\times T^2;{\mathbb Z}\bigr)$, определяемый траекториями угловых координат $\varphi_1,\varphi_2$ на торе $T^2$. При $t\leqslant -1/2$ и $t\geqslant 1/2$ координаты $\varphi_1,\varphi_2$ также определяются симплектоморфизмами $f_1\colon \widetilde K_1\to D^2\times T^2$ и $f_2\colon \widetilde K_2\to D^2\times T^2$ соответственно. Отображения $f_i$ допускают произвол, связанный с тем, что переменные действия $s_1$, $s_2$ в окрестности тора $T^2_i$ можно задать формулами
$$
\begin{equation*}
s_j=\frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_j}\kappa, \qquad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где циклы $\gamma_1$, $\gamma_2$ определяют произвольный базис в группе гомологий тора, на котором вычисляются значения $s_1$, $s_2$, а $\kappa$ – первообразная от $\omega$ в окрестности $T^2_i$ (см. [1]). Тогда координатные линии $\varphi_1,\varphi_2$ гомологичны на $T^2_i$ циклам $\gamma_1$, $\gamma_2$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
I^{\pm}_*\biggl(\zeta_{\pm}\biggl(-\frac12\biggr),\eta_{\pm}\biggl(-\frac12\biggr)\biggr) =\biggl(\zeta_{\pm}\biggl(\frac12\biggr),\eta_{\pm}\biggl(\frac12\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Заметим также, что при склеивающей изотопии тора Лиувилля $\{\tau_\pm(t)\}\times\{t\}\times T^2$, определяемой возрастанием $t$ от $-1/2$ до $1/2$, на торе $T^2$ не происходит ничего. В качестве циклов $\gamma_1$, $\gamma_2$ на торе $T^2_1$ выберем $\lambda_1^-$, $\mu_1^-$, а на торе $T^2_2$ пусть
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha_{-}&\beta_{-} \\ \gamma_{-}&\delta_{-} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_2^{-} \\ \mu_2^{-} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Как следует из (5) и (6), на переклеенном ребре молекулы $W(M^3_{\Theta})$, соединяющем торы $\{P_1^{-}\}\times T^2$ и $\{P_2^{-}\}\times T^2$, получим произвольную матрицу склейки (7). Проверим, что на переклеенном ребре в $W(M^3_{\Theta})$, соединяющем торы $\{P_1^{+}\}\times T^2$ и $\{P_2^{+}\}\times T^2$, можно получить произвольную матрицу склейки, варьируя матрицу склейки на любом разрезанном ребре в молекуле $W(M^3)$. В самом деле, при склеивающей изотопии тора $\{P_1^{-}\}\times T^2$ на тор $\{P_1^{+}\}\times T^2$, базис $\lambda_1^-,\mu_1^-$ отображается в некоторый базис $\widetilde\lambda_1^-,\widetilde\mu_1^-$ на торе $\{P_1^{+}\}\times T^2$ так, что
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \widetilde\lambda_1^{-} \\ \widetilde\mu_1^{-} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ c_1&d_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1^+ \\ \mu_1^+ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Поскольку $\zeta_-(-1/2)=\lambda_1^-$ и $\eta_-(-1/2)=\mu_1^-$, то $\zeta_+(-1/2)=\widetilde\lambda_1^-$ и $\eta_+(-1/2)\,{=}\,\widetilde\mu_1^-$. Следовательно, с учетом (7) имеем:
$$
\begin{equation*}
I^+_*\begin{pmatrix} \lambda_1^+ \\ \mu_1^+ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ c_1&d_1 \end{pmatrix}^{-1}\cdot I^+_*\begin{pmatrix} \zeta_+\biggl(-\dfrac12\biggr) \\ \eta_+\biggl(-\dfrac12\biggr) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ c_1&d_1 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} \zeta_+\biggl(\dfrac12\biggr) \\ \eta_+\biggl(\dfrac12\biggr) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для некоторой матрицы замены базиса в ${\mathbf H}_1\bigl(\{P_2^{+}\}\times T^2;{\mathbb Z}\bigr)$ имеет место
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} \zeta_+\biggl(\dfrac12\biggr) \\ \eta_+\biggl(\dfrac12\biggr) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2&b_2 \\ c_2&d_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_2^{+} \\ \mu_2^{+} \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} \alpha_+& \beta_+ \\ \gamma_+& \delta_+ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ c_1&d_1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} a_2&b_2 \\ c_2&d_2 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку матрица в (8) выбрана произвольно, матрица склейки на ребре молекулы $W(M^3_\Theta)$, соединяющем торы $\{P_1^{+}\}\times T^2$ и $\{P_2^{+}\}\times T^2$, может быть какой угодно. Предложение доказано. § 4. Реализация меченых молекул в замкнутых СМКОВ [1; предложение 4.3] описаны топологические типы изоэнергетических многообразий $Q^3$, которым соответствует простейшая молекула $A$–$A$, в зависимости от значения метки $r$ на ее ребре. Эти типы: $S^2\times S^1$, $S^3$, ${\mathbb RP}^3$ и $L_{p,q}$, где $L_{p,q}$ – линзовое пространство для любых $p,q\in{\mathbb N}$, $p>q$, $p>2$, $\text{НОД}(p,q)=1$. Соответствующие гамильтонианы $H$ заданы на многообразиях $M^4=Q^3\times[-1; 1]$ и являются проекциями на второй сомножитель, а интегралы $F$ определяются на $Q^3$ и поднимаются этой проекцией на $M^4$. Композиция $g \circ H$ любой гладкой функции $g$ на $[-1; 1]$, имеющей период $2$ и конечное число критических точек, определяет функцию на многообразии $M^4_0=Q^3\times S^1$. Отображение $\mathcal F=(g\, \circ\, H)\times F$, где функция $F$ поднята c $Q^3$ на $M^4_0$, определяет торическое слоение (c особенностями), которое не отличается от исходного, хотя некоторые торы Лиувилля могут стать критическими. Однако не ясно: как задать на $M^4_0$ симплектическую форму $\omega$, относительно которой торы $T^2\subset\mathcal F^{-1}(h,f)$ будут изотропными? Молекулу $A$–$A$ с произвольными $r$ и $\varepsilon$ метками можно следующим образом реализовать в замкнутом СМКО. Рассмотрим многообразие $Q^3=S^2\times S^1$ с любым слоением Лиувилля, которое определяется молекулой $A$–$A$ с метками $r=0$ и $\varepsilon=\pm 1$. Пусть симплектическая структура на многообразии $M^4=S^2\times S^1\times S^1=S^2\times T^2$ определяется формой $\omega=\pi^*\sigma+d\varphi\wedge d\psi$, где $\pi$ – проекция на сомножитель $S^2$, $\sigma$ – форма площади на $S^2$, $\varphi$ и $\psi$ – угловые координаты на $S^1\times S^1=T^2$. В качестве интегралов выберем $H=\sin\psi$ и $F=F_0\circ\pi$, где $F_0$ – любая функция Морса на $S^2$. Тогда слоение Лиувилля определяется семейством произведений линий $F_0=\operatorname{const}$ на окружность $S^1(\varphi)$ и на точки $p\in S^1(\psi)$. Будем называть его тривиальным. Теперь приклеим к $M^4$ торическую $\Theta$-ручку и выполним $\Theta$-перестройку подмногообразия $Q^3$ так, чтобы оно не распалось на 2 связных компоненты. Соответственно, молекула $A$–$A$ перестроится в такую же (другая перестройка породила бы $A$–$A$ и круговую молекулу без атомов). Варьируя любой из симплектоморфизмов $f_1$, $f_2$, согласно предложению 2 получим на ребре новой молекулы любую матрицу склейки, а значит, и любые метки $r$, $\varepsilon$. Обобщим полученный выше результат на случай произвольной молекулы $\widetilde W^*$. Теорема 1. Для любой меченой молекулы $\widetilde W^*$ существует такое замкнутое СМ $(M^4,\omega)$ или СМКО $(M^4,\omega,\Theta)$, оснащенное слоением Лиувилля, что $\widetilde W^*=W^*(M^3)$ для некоторого устойчиво инвариантного подмногообразия $M^3\subset M^4$. Существует семейство замкнутых, оснащенных слоениями Лиувилля СМ $(M^4_{i,j},\omega_{i,j})$ или СМКО $(M^4_{i,j},\omega_{i,j},\Theta_{i,j})$, где $i=1,\dots,m$ и при каждом $i$ для некоторого $n_i\in{\mathbb N}$ индекс $j=1,\dots,n_i$, так что $n_m=1$, $(M^4,\omega)=(M^4_{m,1},\omega_{m,1})$ и для каждого $M^4_{i,j}$ выполнено одно из следующих двух условий. 1. Многообразие $M^4_{i,j}$ получено в результате приклеивания торической $\Theta$-ручки к некоторому $M^4_{i-1,k}$ или к паре $M^4_{i-1,k_1}$ и $M^4_{i-1,k_2}$. 2. Многообразие $M^4_{i,j}=N^3_{i,j}\times S^1$, где $N^3_{i,j}$ – пространство локально тривиального расслоения $f_{i,j}$ над $S^1$ со слоем $M^2_{g(i,j)}$ для некоторого 2-атома $P^2_{g(i,j)}$ рода $g(i,j)\geqslant 0$ такого, что $P^2_{g(i,j)}\subset M^2_{g(i,j)}$. При этом расслоение $f_{i,j}$ согласовано с некоторым расслоением которое определяет структуру 3-атома на $U^3_{i,j}$. Многообразие $M^2_{g(i,j)}$ (сфера с $g(i,j)$ ручками) получается из $P^2_{g(i,j)}$ заклеиванием граничных окружностей дисками.На каждом $M^4_{i,j}$ фиксировано слоение Лиувилля, относительно которого каждое подмногообразие $N^3_{i,j}\times\{\operatorname{pt}\}\subset M^4_{i,j}$ является устойчиво инвариантным. Каждое $M^4_{1,j}$ при $j=1,\dots,n_1$ является симплектическим многообразием. Доказательство. Случай, когда $\widetilde W$ имеет вид $A$–$A$ был рассмотрен выше. В дальнейшем молекула $\widetilde W$ отличается от $A$–$A$. Разрежем два ребра произвольной молекулы и по-другому склеим образовавшиеся после разреза граничные точки ребер в том или ином порядке (всегда есть два варианта такой склейки). Назовем эту операцию переклеиванием молекулы. Операция переклеивания также может применяться к паре молекул. Всякое переклеивание молекулы $W(M^3)$ или пары $W(M^3_1)$, $W(M^3_2)$ однозначно соответствует некоторой $\Theta$-перестройке $M^3$ или пары $M^3_1$, $M^3_2$. В результате переклеивания молекула может распасться на две молекулы или остаться связной, а пара молекул может соединиться в одну молекулу или перестроиться в другую пару. Ребро молекулы, инцидентное одному и тому же атому, будем называть петлей. Ребро, ведущее из произвольного атома в атом $A$, назовем тупиком. Ребро, инцидентное двум седловым атомам, будем называть мостом. Молекула, которая не имеет петель и состоит из одного седлового атома с тупиками, пусть называется звездообразной. Лемма 1. Пусть дана произвольная молекула $\widetilde W$ (без меток). Тогда существует такое множество молекул $\{{W}_{i,j}\}$, где $ i \in \{1, \dots n \}$ и $ j \in \{1, \dots l_i \}$, что каждое множество $\{W_{i,1}, {W}_{i,2}, \dots, {W}_{i,l_i}\}$ при $i>1$ получается из $\{{W}_{i-1,1}, {W}_{i-1,2},\dots, {W}_{i-1,l_{i-1}}\}$ в результате одного переклеивания некоторой молекулы ${W}_{i-1, j}$ или пары молекул ${W}_{i-1, j_1}$, ${W}_{i-1, j_2}$, а все молекулы ${W}_{1,j}$ являются звездообразными. При этом $\widetilde {W} = {W}_{n,1}$ и все молекулы ${W}_{n,j}$ при $j\in\{2,\dots,l_n\}$ имеют вид $A$–$A$. Доказательство. Возьмем молекулы $\widetilde W$ и $A$–$A$ и переклеим два ребра этой пары так, чтобы разрезаемое ребро из $\widetilde W$ было мостом или петлей. Получится молекула, состоящая из атомов молекулы $\widetilde W$ и еще двух атомов $A$, или же атомы из $\widetilde W$ и два атома $A$ распределятся среди двух образовавшихся молекул. Проделаем эту операцию с каждой из молекул, отличных от $A$–$A$ и т.д. В конце концов получим набор молекул, каждая из которых не имеет петель и содержит один седловой атом, соединенный ребрами с атомами $A$. Последовательно переклеивая ребра в обратном порядке, из полученного так набора звездообразных молекул получим $\widetilde W$. При этом в качестве “отходов производства” появятся молекулы $A$–$A$. Лемма доказана. Лемма 2. Любое многообразие $N^3$, которому отвечает звездообразная молекула $W(N^3)$, является устойчиво инвариантным подмногообразием в некотором замкнутом СМ или СМКО $N^4$. Доказательство. Обозначим $\mathcal A$ единственный седловой атом молекулы $W(N^3)$. Можно считать, что $\mathcal A$ есть трехмерное многообразие $U^3$ с краем, оснащенное слоением Лиувилля и являющееся расслоением Зейферта над базой $P^2$. Его проекция отображает слоение Лиувилля на некоторое слоение Морса многообразия $P^2$ и тем самым определяет на $P^2$ структуру 2-атома (отвечающего 3-атому $\mathcal A$ в силу [1; теорема 3.4]). Обозначим $g$ род атома $\mathcal A$. Тогда $P^2$ можно вложить в 2-сферу с $g$ ручками, которую мы обозначим $M^2_g$. Для этого достаточно приклеить диски к граничным окружностям поверхности $P^2$. Если расслоение Зейферта $U^3\xrightarrow{S^1} P^2$ не имеет особых слоев, то оно тривиально. В этом случае $U^3$ диффеоморфно произведению $P^2\times S^1$, при этом слоение Лиувилля на $U^3$ отображается в произведение окружности $S^1$ и некоторого слоения Морса на поверхности $P^2$ (см. [1; теорема 3.3]). Заклеим компоненты $T^2_i$ границы $U^3$ полноториями так, чтобы для каких-нибудь базисов циклов $(\lambda,\mu)$ на торах $T^2_i$ и граничных торах полноторий, образующих допустимые системы координат (см. [1; § 4.1]), все матрицы склейки имели вид Каждая граничная окружность $S^1_i$ поверхности $P^2$ заклеивается некоторым меридиональным диском полнотория, прикленного к тору $T^2_i\supset S^1_i$, где $i=1,\dots,l$. В результате 2-атом $P^2$ вкладывается в некоторое $M^2_g$ (сфера с $g$ ручками).После приклеивания к $U^3$ всех полноторий получится многообразие $N^3_0$, которое является пространством тривиального расслоения над $S^1$ со слоем $M^2_g$, согласованного с расслоением 3-атома $U^3\xrightarrow{P^2} S^1$. Многообразие $N^3_0\cong M^2_g\times S^1$ является пространством тривиального расслоения Зейферта над $M^2_g$, согласованного с расслоением $U^3\xrightarrow{S^1} P^2\subset M^2_g$. Его проекция переводит приклеенные к $U^3$ полнотория в связные компоненты $\overline{M^2_g\setminus P^2}$ (диски). На многообразии $P^2\times S^1\times S^1$ возникает симплектическая форма где $\pi$ – проекция на $P^2$, $\sigma$ – форма площади на $P^2$, $\varphi$ и $\psi$ – угловые координаты на $S^1\times S^1$. Очевидно, что посредством (10) форма $\omega$ продолжается до симплектической формы на многообразии $N^4_0=N^3_0\times S^1\cong M^2_g\times T^2$, где $\sigma$ – форма площади на $M^2_g$ и $\pi$ – проекция на $M^2_g$. Интегрируемая система на $N^4_0$, относительно которой подмногообразие $N^3_0\subset N^4_0$ является устойчиво инвариантным, определяется парой функций $H=\sin\psi$ и $F=F_0\circ\pi$, где $F_0$ – любая функция Морса на $M^2_g$. При этом можно считать $N^3_0$ связной компонентой $H^{-1}(0)$.Если расслоение Зейферта $U^3\xrightarrow{S^1} P^2$ имеет особые слои, то граничные торы многообразия $U^3$ нужно заклеить полноториями следующим образом. У такого атома существуют так называемые трансверсальные (или “удвоенные”) сечения, которые представляют собой двумерные поверхности $\widetilde P^2\,{\subset}\, U^3$, трансверсальные потоку $\operatorname{sgrad}(H)$ и пересекающие каждую компоненту края $U^3$ по одной окружности $S^1_i$, где $i=1,\dots,k$. Каждая критическая окружность в атоме $U^3$ пересекает эту поверхность в одной или двух точках, которые мы назовем однократными и двухкратными соответственно. На трансверсальном сечении $\widetilde P^2$ гомотопически однозначно определена гладкая инволюция (т.е. симметрия) $\tau$, которая оставляет на месте все однократные точки и переставляет между собой точки каждой двухкратной пары. Очевидно, что инволюция $\tau$ сохраняет край поверхности $\widetilde P^2$. При этом некоторые из окружностей $S^1_i\subset\partial U^3$ отображаются на себя, так что $\tau(S^1_{i})=S^1_{i}$, а остальные делятся на $\tau$-симметричные пары $S^1_{i_1}, S^1_{i_2}$, так что $i_1\neq i_2$ и $\tau(S^1_{i_1})=S^1_{i_2}$, $\tau(S^1_{i_2})=S^1_{i_1}$. Окружность $S^1_{i}$ назовем однократной, а каждую окружность $S^1_{i_1}$ и $S^1_{i_2}$ назовем двухкратной. Выберем какие-нибудь базисы $(\lambda,\mu)$ на граничных торах атома $U^3$ и тех полноторий, которые мы намерены приклеить, образующие допустимые системы координат. Пусть матрицы склейки с теми торами $T^2_j\subset \partial U^3$, для которых окружности $S^1_j\subset T^2_j$ являются двухкратными, имеют вид (9). Матрицы склейки с торами $T^2_i\subset \partial U^3$, для которых окружности $S^1_i\subset T^2_i$ являются однократными, пусть имеют вид Каждая граничная окружность $S^1_i$ поверхности $\widetilde P^2$ заклеивается некоторым меридианальным диском полнотория, прикленного к $T^2_i$. В результате 2-атом $\widetilde P^2$ вкладывается в некоторое $M^2_g$ (сфера с $g$ ручками).После приклеивания к $U^3$ всех полноторий получится многообразие $N^3_0$, которое является пространством локально тривиального расслоения над $S^1$ со слоем $M^2_g$, согласованного с расслоением 3-атома $U^3\xrightarrow{\widetilde P^2} S^1$ (косое произведение). Соответственно, $N^3_0$ является пространством расслоения Зейферта над $M^2_g/{\mathbb Z}_2$, согласованным с расслоением $U^3\xrightarrow{S^1} \widetilde P^2/{\mathbb Z}_2$, где базой является фактор многообразия $\widetilde P^2$ по действию группы ${\mathbb Z}_2$, определяемому инволюцией $\tau\colon \widetilde P^2\to \widetilde P^2$. Здесь мы предполагаем, что инволюция $\tau$ продолжается на $M^2_g$. Данный факт будет доказан в лемме 3. Зейфертова проекция переводит приклеенные к $U^3$ полнотория в связные компоненты $\overline{(M^2_g\setminus \widetilde P^2)}/{\mathbb Z}_2$ (диски). На трансверсальном сечении $\widetilde P^2$ существует симплектическая форма $\widetilde\sigma$, инвариантная относительно инволюции $\tau$ (см. [1]). Последняя переставляет между собой одни граничные окружности $\widetilde P^2$, а другие отображает на себя с сохранением ориентации (т.е. поворачивает на угол $\pi$ в некоторых координатах на ограниченных ими дисках в $M^2_g$). Инволюция $\tau$ и инвариантная форма $\widetilde\sigma$ продолжаются на $M^2_g$ (лемма 3). Форма $\widetilde\sigma$ корректно определяет симплектическую форму $\sigma$ на $M^2_g/{\mathbb Z}_2$. По аналогии с доказательством [1; теорема 4.2], уравнение (10) определяет симплектическую форму на многообразии $N^4_0=N^3_0\times S^1$, где $\pi=\pi_S\circ\pi'$ и $ \pi_S\colon N^3_0\to M^2_g/{\mathbb Z}_2$ есть зейфертова проекция, $\pi'$ – проекция $N^4_0$ на сомножитель $N^3_0$, $\varphi$ – угловая координата на слоях расслоения Зейферта, отсчитываемая от трансверсального сечения $\widetilde P^2\subset U^3$, $\psi$ – угловая координата на сомножителе $S^1$. Определение интегралов $F$ и $H$ дословно повторяет случай атома $U^3$ без особых зейфертовых слоев. Для завершения доказательства нужно выбрать молекулы $A$–$A$ с подходящими матрицами склейки на ребрах и соответствующие им устойчиво инвариантные многообразия $Q^3_1,\dots,Q^3_n$, где $n$ – число граничных торов атома $\mathcal A$. В начале § 4 было показано, как получить $Q^3_j$ с любой матрицей склейки и соответствующее СМ (СМКО) $M^4_j\supset Q^3_j$. Выполнив подходящую $\Theta$-перестройку пары $Q^3_1$ и $N^3_0$, получим связное многообразие $N^3_1$. Затем, выполнив $\Theta$-перестройку пары $Q^3_2$ и $N^3_1$, получим $N^3_2$ и т.д. Используя предложение 2, индукцией по $n$ легко доказать, что таким образом можно построить устойчиво инвариантное подмногообразие $N^3_{n}$, лиувиллево эквивалентное $N^3$, и СМКО $N^4_n\supset N^3_n$. Лемма 2 доказана. Лемма 3. Инволюция $\tau$ и $\tau$-инвариантная форма $\widetilde\sigma$ продолжаются с поверхности $\widetilde P^2\subset M^2_g$ на сферу c $g$ ручками $M^2_g$. Доказательство. Диски $D^2_\pm$, которыми заклеиваются дырки в поверхности $\overline{M^2_g\setminus\widetilde P^2}$, можно считать вложенными в ${\mathbb R}^2(x,y)$ посредством неравенства $x^2+y^2\leqslant 1$. Сначала рассмотрим случай, когда инволюция $\tau$ отображает некоторую окружность $S^1_+\subset \partial \widetilde P^2$ на окружность $S^1_-\subset \partial \widetilde P^2$ и обратно. Мы приклеиваем по этим окружностям диски $D^2_\pm$. Зафиксируем малые трубчатые окрестности $S^1_\pm\times[0;\varepsilon]\subset \widetilde P^2$, которые можно считать двумя экземплярами кольца $1\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\leqslant 1+\varepsilon$. Инволюция $\tau$ отображает его на себя, совмещая тем самым кольца $S^1_\pm\times[0;\varepsilon]$. В полярных координатах $r'=\rho(r,\varphi)$ и $\varphi'=\Phi(r,\varphi)$, где $(r',\varphi')=\tau(r,\varphi)$. Если интерпретировать эти формулы как замену координат на кольце $S^1_+\times[0;\varepsilon]$, а затем ввести на нем координаты $x'=r'\cos\varphi'$ и $y'=r'\sin\varphi'$, то в координатах $(x',y')$ на $S^1_+\times[0;\varepsilon]$ и $(x,y)$ на $S^1_-\times[0;\varepsilon]$ инволюция $\tau$ будет тождественным отображением кольца $1\leqslant r\leqslant 1+\varepsilon$. Тогда тождественное отображение диска $0\leqslant r\leqslant 1+\varepsilon$ продолжает инволюцию $\tau$ на приклеенные диски $D^2_\pm$. Пусть на этих дисках $\widetilde \sigma_\pm=dx'\wedge dy'$. Склеим $\widetilde \sigma_\pm$ c формой $\widetilde \sigma$, заданной на многообразии $\widetilde P^2\setminus\bigl(S^1_+\times[0;\varepsilon]\cup S^1_-\times[0;\varepsilon]\bigr)$, используя переходные формы $\chi(r')\cdot\widetilde \sigma_\pm+(1-\chi(r'))\cdot\widetilde \sigma$, где гладкая функция $\chi(r')$ определена в малой окрестности отрезка $[1; 1+\varepsilon]$ и
$$
\begin{equation}
0\leqslant \chi(r')\leqslant 1, \qquad\chi(r')=0 \quad\text{при }\ r'\geqslant 1+\varepsilon, \qquad\chi(r')=1 \quad\text{при }\ r'\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Теперь рассмотрим случай, когда инволюция $\tau$ отображает на себя некоторую окружность $S^1_0\subset \partial \widetilde P^2$. Можно считать, что каждая окружность $r=\mathrm{const}$ из окрестности $S^1_0\times[0;\varepsilon]$ (которая отождествляется с кольцом $1\leqslant r\leqslant 1+\varepsilon$) отображается инволюцией $\tau$ на себя. Тогда, как нетрудно понять, в полярных координатах $(r,\varphi)$ инволюция $\tau$ на кольце $S^1_0\times[0; \varepsilon]$ определяется формулами $r'=r$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \varphi'=\varphi+\pi+f(r,\varphi),& 0\leqslant\varphi\leqslant\pi, \\ \varphi'=\varphi-\pi-f(r,\varphi-\pi),& \pi\leqslant\varphi\leqslant 2\pi, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой гладкой функции $f(r,\varphi)$ при $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$, удовлетворяющей условиям:
$$
\begin{equation*}
\forall\, n\geqslant 0, \quad\forall\, r\in[1;1+\varepsilon] \quad\frac{\partial^n f}{\partial \varphi^n}(r,0)=\frac{\partial^n f}{\partial \varphi^n}(r,\pi)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве начала отсчета $\varphi=0$ на каждой из окружностей $S^1_0\times\{r-1\}$ выбрана точка, образ которой при инволюции $\tau$ поворачивается на $\Delta\varphi=\pi$ (такая точка всегда существует). График зависимости $\varphi'=\varphi'(\varphi)$ при фиксированном $r$ должен быть симметричным относительно биссектрисы первого координатного угла. При этом $\varphi'(0)=\pi$, $\varphi'(\pi-0)=2\pi$, $\varphi'(\pi+0)=0$, $\varphi'(2\pi)=\pi$ (здесь $(r',\varphi')=\tau(r,\varphi)$). Теперь воспользуемся функцией $\chi(r)$ (11), определяя переходное отображение
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \varphi'=\varphi+\pi+f(r,\varphi)\cdot(1-\chi(r)),& 0\leqslant\varphi\leqslant\pi, \\ \varphi'=\varphi-\pi-f(r,\varphi-\pi)\cdot(1-\chi(r)),& \pi\leqslant\varphi\leqslant 2\pi, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которое является поворотом кольца $1-\varepsilon\leqslant r\leqslant 1$ на угол $\pi$. Продолжая этот поворот на диск $0\leqslant r\leqslant 1$, мы тем самым продолжим инволюцию $\tau$ на приклеенный по окружности $S^1_0$ диск $D^2_0$ (отождествляемый с диском $0\,{\leqslant}\,r\,{\leqslant}\, 1$). Пусть на этом диске $\widetilde \sigma_0=dx\wedge dy$. Склеим $\widetilde \sigma_0$ c формой $\widetilde \sigma$ на кольце $\widetilde P^2\setminus (S^1_0\times [0;\varepsilon])$, используя переходную форму $\chi(r)\cdot\widetilde\sigma_0+(1-\chi(r))\cdot\widetilde \sigma$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1 вытекает из леммы 2 и следующего утверждения. Лемма 4. Пусть $\widetilde W^*$ – произвольная меченая молекула. Для некоторого $m\in{\mathbb N}$ существует такое семейство устойчиво инвариантных многообразий $M^3_{i,j}$, вложенных в замкнутые СМ или СМКО $M^4_{i,j}$, где $i=1,\dots,m$ и при каждом $i$ индекс $j=1,\dots,n_i$ для некоторых $n_i\in{\mathbb N}$, что $n_m=1$, $\widetilde W^*=W^*(M^3_{m,1})$ и каждое $M^3_{i,j}$ удовлетворяет хотя бы одному из следующих двух условий. 1. Молекула $W(M^3_{i,j})$ является звездообразной. 2. При $i>1$ многообразие $M^3_{i,j}$ получается в результате $\Theta$-перестройки некоторого многообразия $M^3_{i-1,k}$ или некоторой (дизъюнктной) пары многообразий $M^3_{i-1,k_1}$ и $M^3_{i-1,k_2}$. Данная $\Theta$-перестройка отвечает приклейке некоторой торической $\Theta$-ручки к СМ (СМКО) $M^4_{i-1,k}$ или соответственно к паре $M^4_{i-1,k_1}$ и $M^4_{i-1,k_2}$. Доказательство. Из леммы 1 следует существование такого семейства молекул $W_{i,j}$ (пока лишенных меток), где $i=1,\dots,m$ и $j=1,\dots,n_i$, что $W_{m,1}=\widetilde W^*$ и каждая $W_{i,j}$ удовлетворяет хотя бы одному из следующих двух условий. 1. Молекула $W_{i,j}$ является звездообразной. 2. При $i>1$ молекула $W_{i,j}$ получается в результате переклеивания некоторой молекулы $W_{i-1,k}$ или некоторой (дизъюнктной) пары молекул $W_{i-1,k_1}$ и $W_{i-1,k_2}$. Молекула $W_{i,j}$ определяет набор атомов, края которых можно склеить между собой в том порядке, который указывают ребра молекулы. Склеивающие диффеоморфизмы торов можно выбирать, варьируя матрицы склейки. Любой набор таких матриц на ребрах молекулы $W_{i,j}$ с точностью до лиувиллевой эквивалентности определяет устойчиво инвариантное замкнутое $3$-многообразие $M^3_{i,j}$. Будем доказывать индукцией по числу $s$ седловых атомов молекулы $\widetilde W^*$. Пусть $s=1$. Многообразие $M^3$ со слоением Лиувилля, отвечающим меченой молекуле $\widetilde W^*$, существует в силу [1; теорема 4.2]. Молекула $\widetilde W$ (без меток) является звездообразной или может быть получена из некоторой звездообразной молекулы в результате нескольких переклеиваний, порождающих петли. Используя предложение 2, индукцией по числу петель $r$ легко доказать существование СМКО $M^4$ со слоением Лиувилля, в котором $M^3$ является устойчиво инвариантным подмногообразием. При этом исходная звездообразная молекула с матрицами склейки (9) отвечает некоторому многообразию $M^3_0$. В силу леммы 2 можно считать $M^3_0$ устойчиво инвариантным подмногообразием в некотором СМ (СМКО) $M^4_0$ со слоением Лиувилля. При этом возникает такая последовательность СМКО $M^4_1,\dots,M^4_r$, что $M^4_r=M^4$ и каждое $M^4_j$ получается в результате приклейки $\Theta$-ручки к $M^4_{j-1}$. Одновременно возникает такая последовательность устойчиво инвариантных подмногообразий $M^3_j\subset M^4_j$, что их индуцированные $\theta$-перестройки связаны с переклеиваниями молекул $W(M^3_j)$, порождающими петли. Теперь положим $m=r+1$, $n_m=1$, $M^4_{m,1}=M^4$, $M^3_{m,1}=M^3$, а при $i=1,\dots r$ пусть $n_i=1$, $M^3_{i,1}=M^3_{i-1}$, $M^4_{i,1}=M^4_{i-1}$. Если $r=0$, то $m=1$, $n_m=1$, $M^4_{m,1}=M^4_0$, $M^3_{m,1}=M^3_0$. Таким образом, при $s=1$ утверждение леммы 4 верно. Пусть $s>1$. Из доказательства леммы 1 видно, что молекулу $\widetilde W$ можно получить в результате следующих операций. Сначала переклеиванием некоторой пары молекул $\widetilde W_{+}$ и $\widetilde W_{-}$ получим молекулу $\widetilde W_1$. Она совпадает с $\widetilde W$ или превращается в $\widetilde W$ после нескольких переклеиваний одиночных молекул, порождающих последовательность $\widetilde W_1,\dots,\widetilde W_r$, где $\widetilde W_r=\widetilde W$ и $r\geqslant 1$. Выберем и зафиксируем любой набор $\{\mu^r_l\}_{l=1}^q$ матриц склейки
$$
\begin{equation*}
\mu^r_l= \begin{pmatrix} \alpha^r_l&\beta^r_l \\ \gamma^r_l&\delta^r_l \end{pmatrix}, \qquad \alpha^r_l,\beta^r_l,\gamma^r_l,\delta^r_l\in{\mathbb Z}, \qquad \alpha^r_l\delta^r_l-\beta^r_l\gamma^r_l=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
на ребрах молекулы $\widetilde W_r$, порождающих набор меток молекулы $\widetilde W^*$. Каждая из молекул $\widetilde W_{\pm}$ содержит меньше чем $s$ атомов. По индуктивному предположению для каждой из них существует семейство устойчиво инвариантных подмногообразий $M^3_{(\pm)i,j}$ в СМ или СМКО $M^4_{(\pm)i,j}$, которое удовлетворяет условиям леммы 4, где $i=1,\dots,m_\pm$ и $j=1,\dots,n_{(\pm)i}$ для некоторых чисел $m_{\pm}, n_{(\pm)i}\in{\mathbb N}$. Следующее утверждение доказывается индукцией по $r$. Можно так определить устойчиво инвариантные подмногообразия $M^3_{(\pm)m_{\pm},1}\,{\subset}\, M^4_{(\pm)m_{\pm},1}$, приклеить $\Theta$-ручку к паре $M^4_{(+)m_{+},1}$, $M^4_{(-)m_{-},1}$ (получая $\widetilde M^4_1$) и $\Theta$-ручки к многообразиям $\widetilde M^4_1,\dots,\widetilde M^4_{r-1}$, что индуцированная последовательность $\Theta$-перестроек пары $M^3_{(+)m_{+},1}$, $M^3_{(-)m_{-},1}$ и подмногообразий $\widetilde M^3_1,\dots,\widetilde M^3_{r-1}$ определяет устойчиво инвариантное подмногообразие $\widetilde M^3_{r}\subset \widetilde M^4_{r}$. При этом $W(\widetilde M^3_{k})=\widetilde W_{k}$ при $k=1,\dots,r$ и метки молекулы $W^*(\widetilde M^3_{r})$ определяются набором матриц $\{\mu^r_l\}_{l=1}^q$. Пусть $r=1$. В силу предложения 2 для того, чтобы получить необходимые матрицы склейки на ребрах молекулы $\widetilde W_1$, переклеенных согласно $\Theta$-перестройке пары $M^3_{(+)m_{+},1}$ и $M^3_{(-)m_{-},1}$, достаточно подобрать любой из симплектоморфизмов $f_1$, $f_2$ и матрицу склейки на любом из двух разрезанных ребер молекул $\widetilde W_{\pm}$. Пусть матрицы склейки на остальных ребрах в $\widetilde W_{\pm}$ совпадают с матрицами на соответствующих ребрах молекулы $\widetilde W_1$, входящими в набор $\{\mu^1_l\}_{l=1}^q$. Полученный набор матриц определяет склеивающие диффеоморфизмы граничных торов атомов из $\widetilde W_{\pm}$, порождающие многообразие $\widetilde M^3_{1}$. Симплектоморфизмы $f_1$, $f_2$ определяют торическую $\Theta$-ручку на многообразиях $M^4_{(+)m_{+},1}$ и $M^4_{(-)m_{-},1}$, порождающую СМКО $\widetilde M^4_{1}\supset\widetilde M^3_{1}$. Пусть $r=k>1$. Необходимые матрицы склейки на ребрах в $\widetilde W_k$, переклеенных при $\Theta$-перестройке многообразия $\widetilde M^3_{k-1}$, можно подобрать согласно предложению 2. Подмногообразие $\widetilde M^3_{k-1}$ вместе с СМКО $\widetilde M^4_{k-1}\supset \widetilde M^3_{k-1}$ существуют по индуктивному предположению. Соответствующая $\Theta$-ручка, приклеенная к $\widetilde M^4_{k-1}$, порождает СМКО $\widetilde M^4_{k}\supset\widetilde M^3_{k}$. Завершаем шаг индукции по $s$. Можно считать, что $m_-\,{\leqslant}\, m_+$. Если $m_-\,{<}\,m_+$, то перенумеруем многообразия $M^3_{(-)i,j}$ так, что $i=m_+-m_-+1,\dots,m_+$, а индекс $j$ при каждом $i$ изменяется в диапазоне $1,\dots,n_{(-)i-m_++m_-}$. Добавим к семейству $M^3_{(-)i,j}$ по $m_+-m_-$ экземпляров каждого многообразия $M^3_{(-)m_+-m_-+1,j}$ и пронумеруем их так, что $M^3_{(-)i,j}=M^3_{(-)m_+-m_-+1,j}$ при каждом $i=1,\dots,m_+-m_-$ и $j=1,\dots,n_{(-)1}$. Объединим многообразия $M^3_{(\pm)i,j}$ в единое семейство многообразий $M^3_{i,j}$ и пронумеруем их так, что $i=1,\dots,m$, где $m=m_+$ и при каждом $i=m_+-m_-+ 1, \dots,m$ имеем $j=1,\dots,n_{(-)i-m_++m_-}+n_{(+)i}$, а при $i=1,\dots,m_+-m_-$ имеем $j=1,\dots,n_{(-)1}+n_{(+)i}$. На вершине этой “пирамиды” находятся многообразия $M^3_{m,1}=M^3_{(-)m,1}$ и $M^3_{m,2}=M^3_{(+)m,1}$. Нарастим “пирамиду” многообразиями $\widetilde M^3_1\dots,\widetilde M^3_r$, так что $M^3_{i,1}=\widetilde M^3_{i-m}$ при $i=m+1,\dots,m+r$ и $n_i=1$. Аналогично определим семейство $M^4_{i,j}$. Лемма 4 доказана. Теорема 1 доказана. Замечание 3. Если $g(i,j)=0$, то многообразия $M^2_{g(i,j)}$, $N^3_{i,j}$ и $M^4_{i,j}$ диффеоморфны $S^2$, $S^2\times S^1$ и $S^2\times T^2$ соответственно. В этом случае атом $P^2_{g(i,j)}$ является планарным (т.е. он вкладывается в ${\mathbb R}^2$). Доказательство. Существует лишь одно ориентируемое, локально тривиальное расслоение $N^3_0\xrightarrow{S^2} S^1$, поэтому оно тривиально. Дело в том, что с ним можно ассоциировать трехмерное ориентируемое векторное расслоение над $S^1$, которое классифицируется некоторым гомотопическим классом отображений из $S^1$ в грассманово многообразие $G(2\cdot 1+1,2)\cong{\mathbb R}P^2$ (см. [10; замечание 1]). Множество таких классов биективно отображается на группу $\pi_1({\mathbb R}P^2)={\mathbb Z}_2$, один из элементов которой отвечает ориентированному расслоению, а другой – неориентированному. Следовательно $N^3_0=S^2\times S^1$. Замечание доказано. Если 3-атом $U^3_{i,j}$ не содержит критических окружностей с неориентируемой сепаратрисной диаграммой (т.е. отвечающий ему 2-атом $P^2_{i,j}$ не содержит звездочек), то многообразия $N^3_{i,j}$ и $M^4_{i,j}$ лиувиллево эквивалентны $M^2_g\times S^1$ и $M^2_g\times T^2$. При этом слоение Лиувилля на $M^2_g\times S^1$ определяется некоторой функцией Морса на $M^2_g$ и поднимается на $M^2_g\times T^2=M^2_g\times S^1\times S^1$ посредством проекции на $M^2_g\times S^1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZotSid22} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|