| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь В. П. Платоновab, В. С. Жгунa, М. М. Петрунинa a Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, г. Москва b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9578 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим свободный от квадратов многочлен $f(x) \in {\mathbb K}[x]$ степени $2g+1$ над полем $\mathbb K$. В работе мы будем предполагать, что $\operatorname{char} \mathbb K=0$, а для рассматриваемых задач наибольший интерес представляет случай, когда $\mathbb K$ – поле алгебраических чисел. Предположим, что $f(x)$ не делится на $x$ и $f(0)$ – полный квадрат в поле $\mathbb K$; таким образом, нормирование $\nu_x$, соответствующее униформизующей $x$, имеет два продолжения: $\nu^+_x$, $\nu^{-}_x$ в поле ${\mathbb K}(x)(\sqrt{f(x)})$. При этих предположениях существует вложение $\sqrt{f(x)}$ (и тем самым поля ${\mathbb K}(x)(\sqrt{f(x)})$) в поле формальных рядов Лорана $\mathbb K((x))$, что позволяет рассмотреть разложение этого элемента или любого другого элемента поля ${\mathbb K}(x)(\sqrt{f(x)})$ в непрерывную дробь (подробнее см. [1]). Поскольку степень $f(x)$ нечетна, гладкая компактификация гиперэллиптической кривой $y^2=f(x)$ над полем $\mathbb K$, которую мы обозначим через $\mathcal C_{\mathbb K}$, получается добавлением единственной точки $\infty$. Иногда в обозначении $\mathcal C_{\mathbb K}$ мы будем опускать индекс, отвечающий полю. Имеет место вложение кривой $\mathcal C$ в свой якобиан, определенное над полем $\mathbb K$ и переводящее точку $Q\in \mathcal C$ в класс $Q-\infty$. В случае, когда класс $P-\infty$, соответствующий точке $P=(0,\sqrt{f(0)})$, имеет конечный порядок в якобиане, существуют элементы поля $\mathbb K(x)(\sqrt{f})$, для которых разложение в непрерывную дробь периодично. Такими элементами, например, являются $\sqrt{f(x)}/x^{g}$ и $\sqrt{f(x)}/x^{g+1}$. Другие классы периодических элементов и интересные свойства разложений описаны в работах [1]–[4]. В свою очередь сам элемент $\sqrt{f(x)}$ периодичен не всегда, что является существенным отличием от случая разложения в непрерывную дробь в $\mathbb K((1/x))$. В связи с этим в работе [4] была поставлена проблема описания всех многочленов $f(x) \in {\mathbb K}[x]$ степени $2g+1$ для различных классов полей алгебраических чисел $\mathbb K$ с периодическим разложением $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb K((x))$. Там же она была полностью решена для кубических многочленов над полем рациональных чисел. Следует отметить ключевые моменты, позволившие решить эту проблему. Первый, основной, момент – это ограничение на порядок $N$ точки кручения эллиптической кривой над полем $\mathbb Q$, полученное Б. Мазуром (см. [5]), а именно $2\leqslant N \leqslant 10$ или $N=12$. Далее использовалась рациональность соответствующих модулярных кривых $X_1(N)$, отвечающих возможным порядкам $N$ точки кручения, определенной над $\mathbb Q$ из теоремы Мазура. Напомним, что $\mathbb K$-точки аффинной кривой $Y_1(N)$, определенной над $\mathbb Q$, отвечают множествам пар $(\mathcal C, P)$, определенных над $\mathbb K$ и состоящих из эллиптической кривой $\mathcal C$ и точки $P$ конечного порядка $N$ на ней (через $X_1(N)$ обозначается гладкая компактификация $Y_1(N)$, получающаяся добавлением так называемых каспидальных точек, не отвечающих никаким парам). Это обстоятельство позволяет получить для данных значений $N$ так называемую рациональную параметризацию множества таких пар $(\mathcal C,P)$ (см. [6]) в зависимости от параметра $t$, или, иными словами, многочленов $f_t(x)$, где точка $P$ соответствует $x=0$. И второй, последний, момент – это непосредственное вычисление непрерывной дроби для $\sqrt{f_t(x)}$ в зависимости от параметра $t$ и применение критерия периодичности $\sqrt{f_t(x)}$, который может быть сформулирован в виде неравенства на нормирования для числителя и знаменателя дроби, представляющей наилучшее приближение к квадратичной иррациональности $\sqrt{f}/x^{g+1}$. Это условие может быть переписано в виде условия на обращение в нуль некоторого коэффициента при степени $x$ в соответствующих разложениях (см. подробнее [3], [4]). Отметим сложности, возникающие при попытке обобщения этого результата на более общие числовые поля $\mathbb K$. Полное описание порядков точек кручения (аналог теоремы Мазура) известно только для квадратичных и кубических полей (см. [7], [8]), а оценка на кручение, которую можно получить из результата П. Парента (см. [9]), слишком велика, чтобы сделать вычисления эффективными. Второй проблемой для непосредственного обобщения метода работы [4] является то обстоятельство, что кривые $X_1(N)$ перестают быть рациональными для порядков точек кручения, встречающихся над квадратичными полями и, тем более, полями степени $3$ и выше над $\mathbb Q$. В связи с этими сложностями в работе [10] были изучены конкретные квадратичные числовые поля, где актуальные к тому моменту методы вычисления позволяли дать полный ответ, а в работах [11], [12] было исследовано на периодичность разложение $\sqrt{f(x)}$ в предположениях, ограничивающих его период. Последнее условие достигалось ограничением порядка точки кручения, что эквивалентно ограничению степени фундаментальной $S$-единицы. В последних двух работах без использования параметризаций были исследованы многочлены $f$, соответствующие эллиптическим кривым с точками кручения порядка $N \leqslant 12$, $N=14, 16, 18$. Тем самым для полного описания периодических элементов $\sqrt{f}$ над квадратичными расширениями $\mathbb Q$ оставалось рассмотреть порядки кручения $13$ и $15$, однако соответствующая вычислительная задача, сводящаяся к вычислению базиса Грёбнера или к решению системы путем последовательного вычисления соответствующих результатов для сложной системы алгебраических уравнений, выходила далеко за пределы текущих вычислительных мощностей. Отметим, что во всех указанных работах проверяется лишь несколько более слабое условие, а именно условие квазипериодичности, из которого для элементов вида $\sqrt{f}/x^n$ следует периодичность (см. [3]). В настоящей работе существенное развитие получили методы, которые использовалось в работе [4]. Важную роль сыграло более тонкое и эффективное применение методов символьных вычислений непрерывных дробей, а также использование базисов Грёбнера. Это позволило нам полностью решить проблему периодичности $\sqrt{f}$ для квадратичных и числовых полей степени $3$ над $\mathbb Q$. А именно, мы получаем полное описание периодических разложений для пар, состоящих из квадратичного числового поля (соответственно степени $3$ над $\mathbb Q$) и периодического элемента $\sqrt{f}$ (это доказывает гипотезу из работы [12], сформулированную в более слабой форме), а также доказываем теорему конечности для расширений $\mathbb Q$ степени $\leqslant 6$. Последний результат является следствием описания периодических элементов $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f(x)$, определяющих эллиптические кривые с точками порядка $3 \leqslant N\leqslant 42$, $N \ne 37, 41$. Как оказалось, рациональность кривых $X_1(N)$, которая была краеугольным камнем работы [4], не является существенной для доказательства вышеописанных результатов, хотя сильно упрощает вычислительную часть работы. Большинство результатов настоящей работы было анонсировано в [13] и [14]. § 2. Основные результатыВ этом параграфе мы приведем основные результаты работы. Для удобства читателя напомним конструкцию разложения в непрерывную дробь относительно нормирования $\nu_x$ функционального поля $\mathbb K(x)$. В пополнении $\mathbb K((x))$ поля $\mathbb K(x)$ относительно нормирования $\nu_x$ рассмотрим элемент $\alpha$, заданный рядом $\alpha=\sum_{j=e}^\infty {a_j x^j}$, где $e\in \mathbb Z$, $a_j \in \mathbb K$. Определим так называемые дробную и целую части по формулам
$$
\begin{equation*}
\{ \alpha \} := \sum_{j=1}^{\infty} {a_j x^j}, \qquad [\alpha] :=\alpha -\{ \alpha \}=\sum_{j=e}^0 {a_j x^j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее определим последовательности элементов $\alpha_i$ и $A_i$, положив нулевые члены равными $\alpha_0=\alpha$, $A_0=[\alpha]$, а остальные определив индуктивно по формулам
$$
\begin{equation*}
\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-A_{i-1}} \in \mathbb K((x)), \qquad A_i=[\alpha_i] \in \mathbb K[x^{-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
Традиционно последовательность $[A_0 ,A_1 ,A_2 ,\dots ]$ записывают в виде непрерывной дроби
$$
\begin{equation}
A_0+\cfrac{1}{A_1+\cfrac{1}{A_2+\cfrac{1}{A_3+\cdots}}}\,.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Также определим последовательность многочленов $P_n, Q_n \in \mathbb K[x^{-1}]$ от переменной $x^{-1}$, полагая $P_{-2}=0$, $P_{-1}=1$, $Q_{-2}=1$, $Q_{-1}=0$, а остальные многочлены определим индуктивно по формулам
$$
\begin{equation}
P_n=A_n P_{n-1}+P_{n-2}, \qquad Q_n=A_n Q_{n-1}+Q_{n-2}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Элемент $P_n/Q_n$ называется $n$-й подходящей дробью к $\alpha$. Под периодичностью разложения в непрерывную дробь мы понимаем периодичность последовательности $[A_0 ,A_1 ,A_2 ,\dots ]$. Периодичность разложения $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь равносильна периодичности $\sqrt{f^\sigma(x)}$, где $\sigma \in \rm Aut(\mathbb K/\mathbb Q)$ – автоморфизм поля $\mathbb K$, постоянный на $\mathbb Q$, а также периодичности $\sqrt{a^2f(bx)}$ для некоторых $a,b\in \mathbb K^\times$. Поэтому мы будем рассматривать многочлены с точностью до эквивалентности, определяемой преобразованиями, указанными выше. Отметим, что для произвольного поля констант $\mathbb K$ существует серия кубических многочленов $f=c x^{3}+1$, $c \in \mathbb K^\times$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь с длиной периода $2$ (см. [15]):
$$
\begin{equation*}
\sqrt{f}=\biggl[1 ; \frac{1}{2}+\frac{2}{c x^{3}}, \overline{-4-\frac{8}{c x^{3}}, 1+\frac{2}{c x^{3}}}\ \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где верхней чертой обозначена периодическая часть последовательности. Более того, в указанном семействе встречается бесконечное число попарно не эквивалентных многочленов, например в случае алгебраического числового поля. В [4] показано, что над полем рациональных чисел, помимо серии $c x^3+1$, $c \in \mathbb Q$, существует ровно три многочлена $f$, для которых $\sqrt{f}$ периодичен. В настоящей работе доказано, что если расширить рассматриваемое множество полей констант до бесконечного множества всех квадратичных расширений $\mathbb Q$, то к найденным ранее трем многочленам с указанным свойством добавится лишь один. Удивительным является то, что этот многочлен соответствует точке на модулярной кривой с рациональной параметризаций, тогда как точки на модулярных кривых большего рода при переходе к числовым полям степени $2$ не дают новых решений. Теорема 1. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb K[x]$, отличных от вида $cx^3+1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb K$ степени $d=2$ над $\mathbb Q$, имеющих периодическое разложение $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь над $\mathbb K$, конечно и определяется следующими представителями: А если рассмотреть множество всех расширений $\mathbb Q$ степени $3$, то появится лишь три новых многочлена с периодическим разложением корня в непрерывную дробь. Два из этих решений соответствуют точкам на модулярных кривых с рациональной параметризацией, а третье – точке на эллиптической модулярной кривой. Теорема 2. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb K[x]$, отличных от вида $cx^3+1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb K$ степени $d=3$ над $\mathbb Q$, имеющих периодическое разложение $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь над $\mathbb K$, конечно и определяется следующими представителями: Следующий результат об описании периодических элементов $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f(x)$ представляет самостоятельный интерес, а также играет основную роль в доказательстве теорем 1 и 2. Теорема 3. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb K[x]$ над полем $\mathbb K$, отличных от вида $cx^3+1$, для которых точка $(0,\sqrt{f(0)})$ соответствующей эллиптической кривой имеет порядок $3 \leqslant N\leqslant 42$, $N \ne 37, 41$, а разложение $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь периодично, конечно и в каждом случае $N \ne 6$ исчерпывается ровно одним классом, указанным в таблице полей определения и таблице порядков. Теорема 3 позволяет сделать вывод о конечности числа многочленов с периодическим разложением $\sqrt{f} \in \mathbb K[x]$ в случае, если $\mathbb K$ – поле алгебраических чисел степени не выше $6$. Теорема 4. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb K[x]$, отличных от вида $cx^3+1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb K$ степени $d\leqslant 6$ над $\mathbb Q$, имеющих периодическое разложение $\sqrt{f(x)}$ в непрерывную дробь над $\mathbb K$, конечно. Замечание 1. Ниже мы приводим необходимые для доказательства теоремы 3 вычисления только для $3 \leqslant N\leqslant 24$, $N \ne 23$, остальные случаи слишком громоздки для формата настоящей статьи. Описанных в настоящей статье вычислений для указанного интервала будет достаточно для доказательства теоремы 4 для $d \leqslant 4$. Приведенные вычисления совершенно необходимы, чтобы дать полный ответ в теоремах 1 и 2, учитывая то, что степени полей, для которых существует точка кручения порядка $N$, а корень из $f$ периодичен, зависят от $N$ абсолютно непредсказуемо. § 3. Общая схема доказательства основных результатовДоказательство теоремы 3 имеет теоретическую и вычислительную составляющие. В этом параграфе мы приведем теоретическую часть доказательства теоремы 3 и общую схему необходимых вычислений. Зафиксируем $N$ и рассмотрим определенную над $\mathbb Q$ модулярную кривую $Y_1(N)$, $\mathbb K$-точки которой отвечают множествам пар $(\mathcal C,P)$, рассматриваемых с точностью до изоморфизма и состоящих из эллиптической кривой $\mathcal C$ над $\mathbb K$ и $\mathbb K$-точки $P\in \mathcal C$ конечного порядка1 $N$. В работе [16] были приведены уравнения от двух переменных $g_N(t,u)=0$, задающие кривые $Y_1(N)$. Каждой паре $(t, u)\in Y_1(N)$ отвечает эллиптическая кривая в форме Тейта Для такой кривой точка $(0,0)$ является точкой кручения порядка $N$, если и только если выполнено соотношение $g_N(t,u)=0$. Для всех кривых коэффициенты $b$ и $c$ задаются формулами где $r:=r_N(t,u)$ и $s:=s_N(t,u)$ уже зависят от $N$. Заменяя $y$ на $y-(cx+b)/2$, переходим к кривой $y^2=f(x)$ с точкой кручения $(0, b/2)$, где
$$
\begin{equation}
f=x^3+\biggl(b+\frac{c^2}4\biggr) x^2+\frac{b c}{2 x}+\frac{b^2}4.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Как было отмечено ранее, разложение элемента $\sqrt{f}/x^2$ в непрерывную дробь периодично. Шагу $n$ этого разложения сопоставим $L_n=(-1)^{n+1}(x^ 4 P_n^2-f Q_n^2)$, где $P_n/Q_n$ – $n$-я подходящая дробь к элементу $\sqrt{f}/x^2$ (см. формулу (2.2)). Заметим, что $L_n \in \mathbb K[x]$, а точка $(0,\sqrt{f(0)})$ является точкой кручения тогда и только тогда, когда для некоторого $n$ многочлен $L_n$ пропорционален многочлену $x^{2g+1}$ или $x^{2g+2}$ (см. [3]). В свою очередь, степень $S$-единицы (равная порядку точки кручения) определяет четность степени многочлена $L_n$ для такого минимального $n$, что $L_n$ обладает указанным свойством пропорциональности. Сформулируем критерий периодичности элемента $\sqrt{f}$ из [3] в терминах подходящих дробей и свойств многочлена $L_n$. Теорема 5. Пусть $f$ – бесквадратный многочлен степени $2 g+1$. Обозначим через $P_n/Q_n$ подходящую дробь с номером $n$ к элементу $\sqrt{f}/x^{g+1}$, где $P_n,Q_n\in \mathbb K[x^{-1}]$. Предположим, что для кривой $y^2=f(x)$ точка $(0,\sqrt{f(0)})$ является точкой кручения. Тогда: (i) найдется такое минимальное $n$, что на $n$-м шаге разложения $\sqrt{f}/x^{g+1}$ в непрерывную дробь многочлен $L_n$ пропорционален $x^{2g+1}$ или $x^{2g+2}$; (ii) в случае, когда $L_n=cx^{2g+1}$, имеем $\nu_x(P_n)<0$, и периодичность элемента $\sqrt{f}$ равносильна выполнению неравенства $\nu_x(P_n) \leqslant -(g+1)$; а в случае, когда $L_n=cx^{2g+2}$, периодичность элемента $\sqrt{f}$ равносильна выполнению неравенства $\nu_x(Q_n) \leqslant -g$. Итак, имеем уравнение $y^2=f_N(x,t,u)$, у которого коэффициенты при $x$ зависят от параметров $(t,u)$, где $t,u$ удовлетворяют соотношению $g_N(t,u)=0$. Разложим в непрерывную дробь элемент $\sqrt{f_N(x,t,u)}/x^2 \in \mathbb K((x))$, воспринимая $(t,u)$ как формальные переменные до шага, на котором $L_{n}$ пропорционален либо $x^3$, либо $x^4$. Далее на многочлены Лорана
$$
\begin{equation*}
P_n=p_0(t,u)+p_1(t,u) x^{-1}+\dotsb, \qquad Q_n=q_0(t,u)+q_1(t,u) x^{-1}+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
мы налагаем соотношения $q_0(t,u)=0$ или $p_1(t,u)=0$ в зависимости от четности степени $L_n$, что по теореме 5 (при выполнении соотношения $g_N(t,u)\,{=}\,0$) повлечет периодичность $\sqrt{f}$. Таким образом, мы решаем систему, состоящую из $g_N(t,u)=0$ и одного из уравнений $q_0(t,u)=0$ или $p_1(t,u)=0$. Заметим, что в случае квадратичных числовых полей все модулярные кривые $g_N(t,u)=0$ имеют род не больше $2$, тем самым они либо отвечают рациональной параметризации, либо легко приводятся к виду $u^2=h(t)$, и, таким образом, решение рассматриваемой системы полностью элементарно. В случаях, когда модулярная кривая, отвечающая порядку $N$ точки кручения, не является гиперэллиптической, мы воспользовались методом исключения переменной, основанным на базисах Грёбнера и сводящим вопрос к одному уравнению по $t$ (которая является минимальной переменной относительно лексикографического порядка). Доказательство теорем 1, 2, 4. Как мы заметили ранее, если элемент $\sqrt{f}$ периодичен, то также периодичен и $\sqrt{f}/x^{2}$, а для кривой $y^2=f(x)$ точка $(0,\sqrt{f(0)})$ имеет конечный порядок $N$ (подробнее см. [3]). Воспользуемся результатами о конечности возможных порядков $N$ определенных над $\mathbb K$ точек кручения кривой $\mathcal C$. Эти результаты принадлежат многим авторам, но для удобства читателя мы сформулировали их в виде одной теоремы. Теорема 6. Пусть $\mathcal C$ – эллиптическая кривая над полем $\mathbb K$ степени $d\leqslant 6$ над $\mathbb Q$. Тогда для поля $\mathbb K$ и порядка $N$ $\mathbb K$-точки кручения на кривой $\mathcal C$ имеют место следующие ограничения. (i) В случае $\mathbb K=\mathbb Q$ имеем $N\leqslant 12$, $N \neq 11$ (см. [5]). (ii) В случае $d=2$ имеем $N\leqslant 18$, $N \neq 17$ (см. [7]). (iii) В случае $d=3$ имеем $N\leqslant 21$, $ N \neq 17,19$ (см. [8]). (iv) В случае $d=4$ число полей $\mathbb K$ и неизоморфных эллиптических кривых $\mathcal C_{\mathbb K}$ с порядком точки кручения, отличным от $N\leqslant 24$, $N \neq 19,23$, конечно (см. [17]). (v) В случае $d=5$ число полей $\mathbb K$ и неизоморфных эллиптических кривых $\mathcal C_{\mathbb K}$ с порядком точки кручения, отличным от $N\leqslant 25$, $N \neq 23$, конечно (см. [18]). (vi) В случае $d=6$ число полей $\mathbb K$ и неизоморфных эллиптических кривых $\mathcal C_{\mathbb K}$ с порядком точки кручения, отличным от $N\leqslant 30$, $N \neq 23, 25, 29$, конечно (см. [18]). Итак, разложение в непрерывную дробь элемента $\sqrt{f}$ может быть периодично только для кубических многочленов $f\in \mathbb K[x]$, соответствующих эллиптической кривой с $\mathbb K$-точкой кручения конечного порядка $N$. Теорема 6 ограничивает этот диапазон для $N$ в случае квадратичных и числовых полей степени $3$ над $\mathbb Q$. Тем самым для доказательства теорем 1, 2 достаточно выяснить, для каких полей $\mathbb K$ и многочленов $f$, задающих эллиптическую кривую и $\mathbb K$-точку порядка $N$ на ней из диапазона, указанного в теореме 6, разложение в непрерывную дробь элемента $\sqrt{f}$ периодично, что сделано в теореме 3. Число пар полей $\mathbb K$ степени не больше $6$ и неизоморфных эллиптических кривых $\mathcal C_{\mathbb K}$ с порядком точки кручения $N$, отличным от диапазона из теоремы 6, конечно. Поэтому теорема 4 будет следовать из явного описания полей $\mathbb K$ и кубических многочленов $f$, соответствующих эллиптической кривой с $\mathbb K$-точкой кручения конечного порядка $N$ из диапазона, указанного в теореме 6, с периодическим элементом $\sqrt{f}$, что составляет утверждение теоремы 3. В формулировке теоремы 6 и доказательстве теоремы 2 мы используем результаты из свежей работы [8]. В свою очередь, в более ранней работе [19], на которой в том числе основана работа [13], доказано, что число числовых полей $\mathbb K$ степени $3$ над $\mathbb Q$ и неизоморфных эллиптических кривых $\mathcal C_{\mathbb K}$ с порядком точки кручения, отличным от $N\leqslant 20$, $N \neq 17,19$, конечно. Сделаем следующие замечания о структуре доказательства теоремы 3. Напомним, что для разложения в непрерывную дробь мы фиксируем линейное нормирование, или, что равносильно, точку $P\in \mathcal C$ степени $1$. Для $\ell \in \mathbb Z$ рассмотрим кривую $\mathcal C$, обладающую точкой $P$ порядка $\ell N$ над $\mathbb K$, тем самым пара $(\mathcal C,P)$ соответствует точке на модулярной кривой $X_1(\ell N)$. Отображение, сопоставляющее паре $(\mathcal C,P)$ пару $(\mathcal C,\ell P)$, определяет отображение модулярных кривых $X_1(\ell N)\to X_1(N)$. Другими словами, кривая $\mathcal C$ также принадлежит семейству кривых, обладающих точками порядка $N$, но там она встречается в паре с другими точками конечного порядка. Например, она входит в пару $(\mathcal C, \ell P)$, где точка $\ell P$ имеет порядок $N$. Заметим также, что отображение, сопоставляющее паре $(\mathcal C,P)$ пару $(\mathcal C,m P)$, где $m\in \mathbb Z$ взаимно просто с $N$, дает автоморфизм модулярной кривой $X_1(N)$. То есть кривая $\mathcal C$ встречается среди пар $(\mathcal C, P)$ несколько раз и входит в пару с разными точками кручения порядка $N$. При этом периодическое разложение $\sqrt{f}$ дают далеко не все пары, в которые входит кривая $\mathcal C$. Поэтому нам приходится исследовать кривые $X_1(N)$, соответствующие всем натуральным числам из диапазона, соответствующего порядкам точек кручения, которые могут быть реализованы над полем $\mathbb K$ (числовым полем ограниченной степени), а не только те, которые соответствуют простым делителям чисел из нашего диапазона. Теорема 6 показывает, что для доказательства конечности числа классов над полями алгебраических чисел степени $\leqslant 6$ достаточно исследовать на периодичность элемента $\sqrt{f}$ лишь кривые с порядком кручения $3 < N \leqslant 30$, $N \neq 23, 29$. В то же время нами были рассмотрены случаи из большего диапазона $3 < N\leqslant 42$, $N \ne 37, 41$, что анонсировано в теореме 3. В свою очередь, в настоящей статье из соображений компактности приведены полные вычисления только для диапазона $3 < N \leqslant 22$, $N\ne 23$. Замечание 2. Следует подчеркнуть, что согласно критерию из теоремы 5 множество классов периодических разложений $\sqrt{f_N}$ соответствует множеству решений системы, состоящей из уравнения модулярной кривой $g_N(t,u)$ и одного из уравнений $p_1(t,u)$ либо $q_0(t,u)$, где выбор уравнения зависит от четности степени соответствующей $S$-единицы. Тем самым для доказательства теоремы конечности необходимо показать, что уравнение $p_1(t,u)$ (соответственно $q_0(t,u)$) задает нетривиальное замкнутое условие на модулярной кривой $X(N)$. Это можно было бы сделать, указав для каждого $N$ соответствующую эллиптическую кривую $y^2=f_N(x)$ с точкой порядка $N$ и с непериодическим разложением $\sqrt{f_N}$, что было бы существенно проще с вычислительной точки зрения. В настоящей работе мы дали полное описание множества периодических разложений $\sqrt{f_N}$ для каждого порядка $N$ из вышеприведенного диапазона. Доказательство теоремы 3. В табл. 1 содержатся данные о возможных периодических корнях в эллиптических полях, обладающих точкой кручения заданного порядка. А именно, в ней приведены уравнение модулярной кривой $g_N(t,u)$, многочлен $F_d(t)$ степени $d$, корни которого реализуют значение параметра $t$, при которых $\sqrt{f_N}$ периодичен ($F_d(t)$ определяет поле $\mathbb K=\mathbb Q[t]/(F_d)$, причем каждый раз $u$ лежит в поле $\mathbb K$), период $\Pi$ элемента $\sqrt{f_N}$ (его квазипериод во всех случаях оказывается равен половине периода). Во всех случаях, кроме случая $N=6$, система на $(t,u)$ имеет ровно одно решение с точностью до выбора корня неприводимого над $\mathbb Q$ многочлена, не обнуляющее знаменатели коэффициентов $f_N$, и свободный коэффициент $f_N$. Особенно стоит отметить случай $N=14$, дающий нетривиальное периодическое разложение для $\sqrt{f_N}$ над расширениями степени $3$ над $\mathbb Q$, а также $N=11$, для которого $d=[\mathbb K: \mathbb Q]$ равно $5$, и $N=16,18$, для которых $d=6$. Остальные периодические элементы, для которых соответствующий порядок кручения $N \geqslant 13$, реализуются над полями степени не меньше $7$. Таблица 1.Расширения $\mathbb K=\mathbb Q[t]/(F_d)$ степени $d$ и уравнение модулярной кривой $g_N(t,u)$, определяющие $f_N$ с периодическим разложением $\sqrt{f_N}$ с периодом $\Pi$, для указанных порядков $N$
В изложение доказательства теоремы 3 и табл. 1 из-за большой величины коэффициентов не вошли данные для $N=23$ и $N > 24$, поэтому мы приведем сокращенную табл. 2 для этих порядков, а также для порядков, отвечающих рациональной параметризации. Таблица 2.Известные значения порядков $N\leqslant 42$, для которых реализуются периодические разложения $\sqrt{f}$ с периодом $\Pi$
Кроме того, следует отметить, что в работе [4] были разобраны случаи $N\,{\leqslant}\, 12$, $N \ne 11$, для которых параметризация $X_1(N)$ рациональна. Для $N=6$ периодический $\sqrt{f_6}$ не реализуется ни над каким полем алгебраических чисел. Для $N=7$ периодический $\sqrt{f_7}$ реализуется над квадратичным расширением, а для $N=9, 12$ периодический $\sqrt{f_N}$ реализуется над кубическими расширениями $\mathbb Q$. В других случаях для $N \leqslant 10$ периодический $\sqrt{f_N}$ либо не реализуется, либо реализуется над $\mathbb Q$. В случае, если коэффициенты приводимых ниже формул слишком велики, мы их либо опустим, либо обозначим через константы $c_i \in \mathbb Q$. Порядок кручения 11После элементарного преобразования уравнение кривой $X_1(11)$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
g_{11}(t,u)=u^{2}-\frac{1}{4} t^{4}-\frac{1}{2} t^{2}+t-\frac{1}{4}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u) =1-\frac{1}{2}(t^{2}-2u+1)t, \qquad s(t,u)=1-t
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{11} &=x^{3}+\biggl(\frac{1}{8} (t^{8}+2 t^{7}-t^{6}+2 t^{5}-15 t^{4}+14 t^{3}-9 t^{2}+ 6 t+2) \\ \notag &\qquad\qquad -\frac{1}{4} (t-1) t (t^{4}+3 t^{3}+t^{2}+3 t-6) u\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad+\biggl(\frac{1}{2} (t-1) t (t^{7}-t^{6}+2 t^{5}-4 t^{4}+2 t^{3}-2 t^{2}+1) u \\ \notag &\qquad\qquad - \frac{1}{4} (t-1)^{2} t (t^{8}+3 t^{6}-4 t^{5}+2 t^{4}-6 t^{3}-t-1)\biggr) x \\ \notag &\qquad +\biggl(\frac{1}{8} (t-1)^{3} t ^{2} (t^{9}+t^{8}+5 t^{7}-t^{6}+5 t^{5}-9 t^{4}+4 t^{3}-6 t^{2}+3 t-1) \\ &\qquad\qquad -\frac{1}{4} (t-1)^{3} t ^{2} (t ^{3}+t-1) (t^{4}+t^{3}+3 t^{2}+1) u\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{11}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
L_{4}={t^{-2}}\biggl((-t^{4}+2 t^{3}-2 t+1) u+\frac{1}{2} t^{6}-t^{5}+ \frac{1}{2} t^{4}-t^{3}+\frac{5}{2} t^{2}-2 t+\frac{1}{2}\biggr) x^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 4$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{11}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 11. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{11}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $10$. По критерию периодичности квадратного корня, примененному в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{11}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль:
$$
\begin{equation*}
p_1(t,u) =\frac{2(t^{5}-3t^{3}+4t^{2}-9t+7)u-(t^{7}-2t^{5}+2t^{4}-12t^{3}+13t^{2}+5t-7)}{4t}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая из предыдущего уравнения $u$ через $t$ и подставляя в $g_{11}(t,u)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
(3t^{5}-3 t^{4}-12t^{3}+9t^{2}-35t+63)(t-1)^{3} t=0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Найдем неприводимые множители (3.6), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{11}}$. Корни $t=0$, $t=1$ не отвечают $f$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$, поскольку подстановка этих значений влечет $f_{11}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ является точкой второго порядка. Корню $\beta$ неприводимого над $\mathbb Q$ многочлена соответствует
$$
\begin{equation*}
u=\frac{6}{55} \beta^{4}+\frac{3}{11} \beta^{3}-\frac{53}{110} \beta^{2}- \frac{6}{55} \beta-\frac{127}{110},
\end{equation*}
\notag
$$
и этим значениям отвечает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{11}(x, \beta) &= x^{3}+\frac{1}{11}(-24 \beta^{4}+72 \beta^{3}-70 \beta^{2}+112 \beta-76) x^{2} \\ \notag &\qquad +\frac{1}{11}(2877 \beta^{4}-9984 \beta^{3}+13080 \beta^{2}-23436 \beta+ 24318) x \\ &\qquad +\frac{1}{4}(10224 \beta^{4}-35451 \beta^{3}+46509 \beta^{2}-83811 \beta+87129). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{11}(x,\beta)}$ над числовым полем степени $5$ имеет период $18$, квазипериод $9$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
-\frac{56419}{33075} \beta^{4}-\frac{77114}{33075} \beta^{3}+\frac{43201}{33075} \beta^{2}- \frac{3181}{1575} \beta+\frac{1501463}{99225}.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок кручения 13Кривая $X_1(13)$ задана соотношением а формулы после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f_{13}=x^{3}+\frac{1}{4} (t+1)^{-3}\bigl( (t^{9}+6 t^{8}+11 t^{7}+6 t^{6}-2 t^{5}+3 t^{4}+13 t^{3}+9 t^{2}+3 t+1) \\ \notag &\ -t ^{2} (t+1)^{-1}(t^{9}+7 t^{8}+17 t^{7}+18 t^{6}+11 t^{5}+18 t^{4}+32 t^{3}+19 t^{2}-6 t-6) u\bigr) x^{2} \\ \notag &\ +\frac{1}{2} t ^{2} (t+1)^{-2} \bigl( (t^{10}+2 t^{9}-t^{8}-t^{7}+ 5 t^{6}+2 t^{5}-2 t^{4}+t^{3}+t+1) \\ \notag &\ - (t+1)^{-1}(t^{12}+3 t^{11}+t^{10}-t^{9}+7 t^{8}+8 t^{7}-2 t^{6}+2 t^{5}+6 t^{4}+2 t^{3}+3 t^{2}-1) u\bigr) x \\ \notag &\ +\frac{1}{4} t ^{4} (t+1)^{-1} \bigl((t^{11}+2 t^{10}-t^{9}+8 t^{7}+t^{6}-7 t^{5}+6 t^{4}+5 t^{3}-5 t^{2}+1) \\ &\ -(t+1)^{-1}(t^{5}+t^{4}-t^{3}+t^{2}+2 t-1) (t^{8}+2 t^{7}+t^{5}+6 t^{4}+2 t^{3}-2 t^{2}+2 t+1) u\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{13}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{5} &=\biggl(\biggl(\frac{t^{7}+t^{6}+2 t^{5}+3 t^{4}+3 t^{3}+ 3 t^{2}+2 t+1}{t^{6}}\biggr) u \\ &\qquad -\frac{t^{5}+t^{4}+2 t^{3}+2 t^{2}+2 t+1}{t^{5}}\biggr) x^{3}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 5$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{13}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 13. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{13}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $12$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{13}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_1(t,u) &=-\frac{1}{2}(t^{5}+2t^{4}+t^{3})^{-1}(t^{8}+4t^{7}+5t^{6}+5t^{5}+3t^{4}+7t^{3}+14t^{2}+7t \\ &\qquad-(t^{9}+4t^{8}+5t^{7}+6t^{6}+7t^{5}+12t^{4}+19t^{3}+14t^{2}+14t+ 7) u)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $u$ через $t$ и подставляя в $g_{13}(t,u)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
(5t^{7}+25t^{6}+35t^{5}+20t^{4}+31t^{3}+56t^{2}+126t+ 63) (t+1)^{2} t^{4}=0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Найдем неприводимые множители (3.10), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{13}}$. Случай корня $t=-1$ не отвечает $f_{13}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{13}(x,t)}$, поскольку указанное значение является также корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{13}(x,t)$. Случай корня $t=0$ не отвечает $f_{13}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 13 }(x, t)}$, поскольку при подстановке $x=0$ получаем $f_{13}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. В свою очередь, когда $\beta$ – корень многочлена
$$
\begin{equation*}
t^{7}+5 t^{6}+7 t^{5}+4 t^{4}+ \frac{31}{5} t^{3}+\frac{56}{5} t^{2}+\frac{126}{5} t+\frac{63}{5},
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется
$$
\begin{equation*}
u=\frac{5}{26} \beta^{6}+\frac{15}{26} \beta^{5}+\frac{5}{13} \beta^{4}- \frac{5}{13} \beta^{3}-\frac{19}{26} \beta^{2}+\frac{22}{13} \beta+\frac{9}{26},
\end{equation*}
\notag
$$
и этим значениям отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{13}(x,\beta) &=x^{3}+\frac{1}{39}(-325 \beta^{6}+\dotsb) x^{2} \\ &\qquad +\frac{1}{78}(253745 \beta^{6}+\dotsb) x +\frac{1}{312}( 18254650 \beta^{6}+\dotsb). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{13}}$ над числовым полем степени $7$ имеет период $11$, квазипериод $22$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{38487997}{12486474} \beta^{6}+\frac{3770387}{462462} \beta^{5}+ \frac{7448333}{3468465} \beta^{4} \\ &\qquad\qquad +\frac{30313958}{4459455} \beta^{3}+\frac{9546127}{2972970} \beta^{2}+\frac{373433}{14157} \beta+\frac{975999239}{62432370}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок кручения 14Кривая $X_1(14)$ задана соотношением а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u) =1-\frac{t+u}{(t+u+1)(u+1)} , \qquad s(t,u)=\frac{1-t}{u+1}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{14} &=x^{3}+\frac{1}{4} (t+1)^{-4} (t^{3}+t^{2}-2 t-1)^{-2} \\ \notag &\quad\quad\times \bigl( (t^{10}+3 t^{9}-6 t^{8}-28 t^{7}- 10 t^{6}+66 t^{5} +80 t^{4}-28 t^{3}-83 t^{2}-17 t+6) u \\ \notag &\quad\quad+(t-1) (t^{11}+5 t^{10}+3 t^{9}-26 t^{8}-55 t^{7}+t^{6}+117 t^{5}+115 t^{4} \\ \notag &\quad\quad-30 t^{3}-98 t^{2}-36 t-1)\bigr) x^{2} \\ \notag &\quad+\frac{1}{2} (t-1) (t+1)^{-5} (t^{3}+t^{2} -2 t-1)^{-3} \\ \notag &\quad\quad\times \bigl((t^{10}+4 t^{9}-t^{8}-21 t^{7}- 7 t^{6}+62 t^{5} +48 t^{4}-67 t^{3}-66 t^{2}+6 t+1) u \\ \notag &\quad\quad+t (t^{11}+5 t^{10}+2 t^{9}-29 t^{8}-44 t^{7} +50 t^{6}+137 t^{5}-t^{4}-151 t^{3} \\ \notag &\quad\quad-45 t^{2}+47 t+4)\bigr) x \\ \notag &\quad+\frac{1}{4} (t-1)^{2} t (t+1)^{-6} (t^{3}+t^{2}-2 t-1)^{-4} \\ \notag &\quad\quad\times \bigl((t^{4}+t^{3}-5 t^{2} -6 t+1) (t^{5}+4 t^{4}+2 t^{3}-7 t^{2}-t+9) u \\ \notag &\quad\quad+(t^{11}+6 t^{10}+7 t^{9}-25 t^{8} - 61 t^{7}+19 t^{6}+139 t^{5}+29 t^{4} \\ &\quad\quad-143 t^{3}-56 t^{2}+37 t-1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{14}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{5}=x^{4}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 5$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{14}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 14. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{14}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $6$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{14}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
q_0(t,u)=\frac{2(t^{3}+t^{2} -2t-3+(t+2)u)}{t^{2}+2t+1}= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $u$ через $t$ и подставляя в $g_{14}(t,u)=0$, получаем Найдем неприводимые множители (3.13), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{14}}$. Корень $t=-1$ не отвечает $f_{14}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{14}(x, t)}$, поскольку $t=-1$ является корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{14}(x,t)$. Если $\beta$ является корнем многочлена то и этим значениям отвечает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{14}(x, \beta) &= x^{3}+\frac{1}{84} (64 \beta^{2}-40 \beta-123) x^{2} \\ &\qquad +\frac{1}{49}(-32 \beta^{2}+32 \beta+39) x+\frac{1}{343}( 216 \beta-369). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{14}(x, \beta)}$ над числовым полем степени $14$ имеет период $7$, квазипериод $14$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
-\frac{784}{25} \beta^{2}-\frac{1274}{15} \beta-\frac{74137}{900}.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок кручения 15Кривая $X_1(15)$ задана соотношением а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u)=\frac{t u+u^{2}}{(t+u+1)t^{2}}+1, \qquad s(t,u)=\frac{u}{(t+1)t}+1
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{15} &=x^{3}+\biggl(\frac{3}{2} t ^{-12} (t+1)^{-1} (t^{9}+\dotsb) u+\frac{1}{4} t ^{-10} (t+1)^{-2} (t^{12}+\dotsb)\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad +\biggl(\frac{1}{2} t ^{-17} (t+1)^{-2} (t^{15}+\dotsb) u+\frac{1}{2} t ^{-15} (t+1)^{-1} (t^{14}+\dotsb)\biggr) x \\ \notag &\qquad +\frac{1}{4} t ^{-20} (t+1)^{-2} (t^{2}-t+1) \\ &\qquad\qquad\times\bigl( t ^{-2} (t^{8}+\dotsb) (t^{8}+\dotsb) u + (t^{7}+\dotsb) (t^{9}+\dotsb)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{15}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
L_{6}=\biggl(\biggl(\frac{t^{6}+2 t^{5}-2 t^{4}-2 t^{3}+3 t^{2}- 1}{t^{10}+t^{9}+t^{7}+t^{6}}\biggr) u+\frac{t^{6}+3 t^{5}-3 t^{3}+2 t^{2}+t- 1}{t^{8}+t^{7}+t^{5}+t^{4}}\biggr) x^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 6$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{15}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 15. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{15}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $14$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{15}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_1(t,u)&=-\frac{1}{2} \bigl(11t^{12}+22t^{11}-3t^{10}+14t^{8}-4t^{6}+3t^{4}-2t^{3}-t^{2} \\ &\quad\quad+(11t^{10}+11t^{9}-14t^{8}+3t^{7}+11t^{6}- t^{5}-5t^{4}+2t^{3}+t^{2}-3t-1) u\bigr) \\ &\quad\times(t^{13}+t^{12}+t^{10}+t^{9})^{-1}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $u$ через $t$ и подставляя в $g_{15}(t,u)=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
u^2=\frac{1}{4} t^{4}+\frac{1}{2}t^{3}-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{2}t+ \frac{1}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
что позволяет свести задачу к исследованию уравнения на $t$
$$
\begin{equation}
(77t^{8}+154t^{7}+56t^{6}-77t^{5}-55t^{4}-47 t^{3}-64t^{2}-56t-13)(t^{2}-t+1)t^{9}=0.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Найдем неприводимые множители (3.17), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{15}}$. Случай корня $t=0$ не отвечает $f_{15}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{15}(x,t)}$, поскольку указанное значение является также корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{15}(x,t)$. Случай корня $\beta$ многочлена $ t^{2}-t+1 $ не отвечает $f_{15}(x, \beta)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 15 }(x, \beta)}$, поскольку подстановка $x=0$ влечет $f_{15}(0, \beta)= 0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. Пусть $\beta$ – корень многочлена
$$
\begin{equation*}
t^{8}+2 t^{7}+\frac{8}{11} t^{6}-t^{5}-\frac{5}{7} t^{4}- \frac{47}{77} t^{3}-\frac{64}{77} t^{2}-\frac{8}{11} t-\frac{13}{77} .
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u &=-\frac{172634}{115515} \beta^{7}-\frac{262262}{115515} \beta^{6}+\frac{18697}{38505} \beta^{5}+\frac{26488}{23103} \beta^{4}-\frac{1154}{23103} \beta^{3} \\ &\qquad +\frac{13093}{38505} \beta^{2}+\frac{14617}{115515} \beta-\frac{68471}{115515}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и этим значениям отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_{15}(x,\beta)=x^{3}+\frac{1}{115515} (546444822 \beta^{7}+\dotsb) x^{2} \\ &\qquad+\frac{1}{23103} (-100451221255 \beta^{7}+\dotsb) x +\frac{1}{92412} ( -12343614212468 \beta^{7}+\dotsb). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{15}}$ над числовым полем степени $8$ имеет период $13$ и квазипериод $26$. Порядок кручения 16Кривая $X_1(16)$ задана соотношением а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u)=\frac{t^{2}-t u+u^{2}+u}{t^{2}+t-u-1}, \qquad s(t,u)=\frac{t-u}{t+1}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{16}&= x^{3}\,{+}\,\biggl(\frac{1}{4} t (t+1)^{-1} (t^{2}+2 t-1)^{-1} (t^{9}+\dotsb) u +\frac{1}{4} (t^{2}+2 t-1)^{-1} (t^{8}+\dotsb)\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad+\frac{1}{2} t ^{3} (t+1)^{-1} (t^{2}+2 t-1)^{-2}\bigl( (t^{12}+\dotsb) u+t ^{3} (t^{8}+\dotsb)\bigr) x \\ \notag &\qquad+\frac{1}{4} (t-1) t ^{6} (t^{2}+1) (t^{2}+2 t-1)^{-2}\bigr( (t^{4}+t^{3}-t^{2}+t-1) \\ &\qquad\qquad \times(t^{4}+3 t^{3}+t^{2}-t+1) u+t ^{2} (t^{2}+t-1) (t^{3}+2 t^{2}+1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{16}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{6}$ пропорционален $x^{4}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 6$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{16}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна $16$. Разложение элемента $\sqrt{f_{16}}/x^2$ имеет период $14$, квазипериод $7$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{-t^{4}}{t^{7}-t^{6}+3 t^{5}-3 t^{4}+3 t^{3}-3 t^{2}+t-1}\biggr) u \\ &\qquad-\frac{t^{7}+t^{6}}{t^{7}-t^{6}+ 3 t^{5}-3 t^{4}+3 t^{3}-3 t^{2}+t-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{16}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_0(t,u)&= \frac{t^{7}-t^{6}-5t^{5}-t^{4}-9t^{3}-3t^{2}-3t-3}{t^{5}+t^{4}} \\ &\qquad+\biggl(\frac{t^{8}-2t^{5}-2t^{4}-8 t^{3}-4t^{2}-6t-3}{t^{5}+t^{4}}\biggr)u=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $u$ через $t$ и подставляя в $g_{16}(t,u)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
(7t^{6}+2t^{5}-9t^{4}-12t^{3}-15t^{2}-30t-15)(t^{2}+1)^{3}(t+1)(t-1)t^{2}=0.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Найдем неприводимые множители (3.20), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{16}}$. Случаи корней $t=0, 1, \pm\sqrt{-1}$ не отвечают $f_{16}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 16 }(x, t)}$, поскольку подстановка $x=0$ влечет $f_{16}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. Случай корня $t=-1$ не отвечает $f_{16}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{16}(x,t)}$, поскольку указанное значение является также корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{16}(x,t)$. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
t^{6}+\frac{2}{7} t^{5}-\frac{9}{7} t^{4}-\frac{12}{7} t^{3}-\frac{15}{7} t^{2}-\frac{30}{7} t-\frac{15}{7}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
u=-\frac{7}{16} \beta^{5}+\frac{5}{16} \beta^{4}-\frac{5}{8} \beta^{3}-\frac{5}{8} \beta^{2}+\frac{21}{16} \beta+\frac{9}{16}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, многочлен $f_{16}(x,\beta)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_{16}(x,\beta)= x^{3}+\frac{1}{256} (-70 \beta^{5}-97 \beta^{4}-856 \beta^{3}-290 \beta^{2}-490 \beta-401) x^{2} \\ &\qquad +\frac{1}{256} (2898 \beta^{5}+6519 \beta^{4}+9240 \beta^{3}+8910 \beta^{2}+10830 \beta+4935) x \\ &\qquad +\frac{1}{1024} ( 38430 \beta^{5}+88911 \beta^{4}+109692 \beta^{3}+ 118530 \beta^{2}+135270 \beta+56115 ). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{16}}$ над числовым полем степени $6$ имеет период $7$, квазипериод $14$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
\frac{8162}{45} \beta^{5}-\frac{19409}{300} \beta^{4}- \frac{43129}{225} \beta^{3}-\frac{5633}{30} \beta^{2}-\frac{4019}{15} \beta- \frac{544651}{900}.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок кручения 17Кривая $X_1(17)$ задана соотношением
$$
\begin{equation*}
g_{17}(u,t)=u^{4}+(t^{3}+t^{2}-t+2) u^{3}+(t^{3}-3 t+1) u^{2}+(-t^{4}-2 t) u+t^{3}+t^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u)=\frac{t^{2}+t-u}{t^{2}+t u-u^{2}+t-u}, \qquad s(t,u)=\frac{t+1}{t+u+1}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{17}&=x^{3}+\biggl(\frac{3}{2} t ^{-14} (t+1)^{-2} (t^{15}+\dotsb) u+\frac{1}{4} t ^{-13} (t+1)^{-2} (t^{15}+\dotsb)\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad +\biggl(\frac{1}{2} t ^{-20} (t+1) (t^{18}+\dotsb) u-2 t ^{-19} (t+1)^{2} (t^{14}+\dotsb)\biggr) x \\ &\qquad +\bigl(2 t ^{-25} (t+1)^{3} (t^{19}+\dotsb)-2 t ^{-26} (t+1)^{2} (t^{22}+\dotsb) u\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{17}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{7}$ пропорционален $x^3$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 7$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{17}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 17. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{17}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $16$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{17}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_1(t,u)&=\frac{1}{2}(t^{13}+2t^{12}+t^{11})^{-1} \\ &\quad\times \bigl(- (13t^{10}- 15t^{9}-48 t^{8}-61t^{7}-53t^{6}-23t^{5}+6t^{4}+17t^{3} \\ &\quad\quad +13t^{2}+5t+1) u^{3} \\ &\quad\quad-(13t^{13}-2t^{12}-76t^{11}-68t^{10}-72t^{9}-43t^{8}-t^{7}+t^{6}-5t^{5}-t^{4} \\ &\quad\quad+6t^{3}+8t^{2}+4t+1) u^{2} \\ &\quad\quad-(13t^{13}+9t^{12}+5t^{11}+111t^{10}+150t^{9}+140t^{8}+104t^{7}+38t^{6}-23t^{5} \\ &\quad\quad -43t^{4}-30t^{3}-11t^{2}-2t) u \\ &\quad\quad+ 13t^{14}-5t^{12}+35t^{11}+69 t^{10}+84t^{9}+68t^{8}+27t^{7}-12t^{6}-25t^{5} \\ &\quad\quad-17t^{4}-6t^{3} -t^{2}\bigr)= 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условия, приведенные выше, задают идеал, базис Грёбнера которого состоит из четырех многочленов и выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{3}+(7t^{6}+\dotsb) u^{2}-(12t^{8}+\dotsb) u- \frac{3514465362973770425643809750}{8384601400708669442757}t^{30}+\dotsb, \\ t^{7} u^{2}-2t^{8} u+\frac{5896467568634167805312873750}{142538223812047380526869} t^{30}+\dotsb, \\ t^{9} u -\frac{6593034592084577589666395500}{142538223812047380526869}t^{30}+\dotsb, \\ t^{31}+\frac{1724}{225}t^{30}+\dots+\frac{121}{6825}t^{14}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Размерность соответствующего идеала равна $0$, и, следовательно, в базисе будет присутствовать многочлен, зависящий только от переменной $t$, где $t$ – последний элемент с точки зрения лексикографического упорядочивания. Приведем разложение на неприводимые над $\mathbb Q$ множители этого многочлена, определяющего потенциальное множество решений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & (t+1)^{5} \cdot t^{14} \cdot (20475 t^{12}+54509 t^{11}+16331 t^{10}-66738 t^{9}-93121 t^{8}- 64945 t^{7} \\ &\qquad - 35577 t^{6} -7011 t^{5}+15252 t^{4}+18549 t^{3}+9900 t^{2}+ 2904 t+363)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Найдем неприводимые множители (3.23), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{17}}$. Случаи корней $t=0$ и $t=-1$ не отвечают $f_{17}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{17}(x,t)}$, поскольку указанные значения являются также корнями знаменателя одного из коэффициентов $f_{17}(x,t)$. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & t^{12}+\frac{599}{225} t^{11}+\frac{2333}{2925} t^{10}- \frac{3178}{975} t^{9}-\frac{13303}{2925} t^{8}-\frac{12989}{4095} t^{7}-\frac{3953}{2275} t^{6}- \frac{779}{2275} t^{5} \\ &\qquad+\frac{5084}{6825} t^{4}+\frac{2061}{2275} t^{3}+\frac{44}{91} t^{2}+\frac{968}{6825} t+\frac{121}{6825} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{17}(x,\beta) &=x^{3}+\frac{1}{9875034557651091195} ( -10472299460126663427450 \beta^{11}+\dotsb) x^{2} \\ &\qquad+\frac{1}{1975006911530218239} ( -2467917892489491802125675 \beta^{11}+\dotsb) x \\ &\qquad+\frac{1}{7900027646120872956} ( -488557563728223237959406150 \beta^{11}+\dotsb). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{17}}$ над числовым полем степени $12$ имеет период $15$ и квазипериод $30$. Порядок кручения 18Кривая $X_1(18)$ задана соотношением а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u)=\frac{t^{2}-t u-3t+1}{(t u+1)(t-1)^{2}}, \qquad s(t,u)=\frac{t^{2}-2t-u}{t^{2}-t u-u^{2}-3t-2u}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{18} &=x^{3}+(t-1)^{-5}(t^{3}-3 t^{2}+1)^{-2} \biggl(\frac{1}{4} (t-1)^{-1} (t^{12}+\dotsb)-\frac{3}{2} t (t^{6}+\dotsb) u\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad +\frac{1}{2} (t-1)^{-8} t (t^{2}-t+1) (t^{3}-3 t^{2}+1)^{-3}\bigl ((t^{10}+\dotsb) u+t (t^{12}+\dotsb)\bigr) x \\ \notag &\qquad +\frac{1}{4} (t-1)^{-10} t ^{2} (t^{2}-t+1)^{2} (t^{3}-3 t^{2}+1)^{-4} \\ &\qquad\qquad\times\bigl( (t^{4}-2 t^{3}+t+1) (t^{7}+\dotsb) u + t (t^{13}+\dotsb)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{18}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{7}=x^{4}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 7$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{18}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 18. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{18}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $8$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{18}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент многочлена Лорана $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
q_0(t,u)=\frac{7t^{3}-18t^{2}+21t -5+3u}{t^{3}-3t^{2}+3t-1}= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $u$ через $t$ и подставляя в $g_{18}(t,u)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
28t^{6}-156t^{5}+384t^{4}-544t^{3}+456t^{2}-210t+40=0.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Найдем неприводимые множители (3.26), которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{18}}$. Пусть $\beta$ является корнем многочлена
$$
\begin{equation*}
t^{6}-\frac{39}{7} t^{5}+\frac{96}{7} t^{4}- \frac{136}{7} t^{3}+\frac{114}{7} t^{2}-\frac{15}{2} t+\frac{10}{7} .
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ему отвечают
$$
\begin{equation*}
u=-\frac{7}{3} \beta^{3}+6 \beta^{2}-7 \beta+\frac{5}{3}
\end{equation*}
\notag
$$
и многочлен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{18}(x,\beta) &=x^{3}+\frac{1}{36} (-1792 \beta^{5}+8276 \beta^{4}-16320 \beta^{3}+17852 \beta^{2}-9880 \beta+2049) x^{2} \\ &\quad+\frac{1}{81} (17570 \beta^{5}-78290 \beta^{4}+149456 \beta^{3}-158440 \beta^{2}+83140 \beta-16330) x \\ &\quad+\frac{1}{27} ( 3682 \beta^{5}-13094 \beta^{4}+18480 \beta^{3}-12428 \beta^{2}-500 \beta+1980 ). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{18}}$ над числовым полем степени $6$ имеет период $9$, квазипериод $18$ и коэффициент квазипериодичности
$$
\begin{equation*}
-\frac{1029}{200} \beta^{5}+\frac{9177}{200} \beta^{4}- \frac{1287}{10} \beta^{3}+\frac{3918}{25} \beta^{2}-\frac{1767}{20} \beta+ \frac{7191}{400}.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок кручения 19Кривая $X_1(19)$ задана соотношением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{19}(u,t) &=u^{5}+(-t^{2}-2) u^{4}+ (-2 t^{3}-2 t^{2}-2 t+1) u^{3} \\ &\qquad +(t^{5}+3 t^{4}+7 t^{3}+6 t^{2}+2 t) u^{2}+(-t^{5}-2 t^{4}-4 t^{3}-3 t^{2}) u+t^{3}+t^{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r(t,u) &=\frac{(t+u)t(u-1)}{(t^{2}-t u-u^{2}+2t+u)(t+1)}+1, \\ s(t,u) &=\frac{t(u-1)}{(t-u+1)(t+1)}+1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{19} &=x^{3}+\biggl(\frac{1}{4} t ^{-3} (t+1)^{-8} (t^{11}+\dotsb)-\frac{3}{2} t ^{-3} (t+1)^{-8} (t^{10}+\dotsb) u\biggr) x^{2} \\ \notag &\qquad+\biggl(\frac{1}{2} t ^{-2} (t+1)^{-11} (t^{12}+\dotsb)-\frac{1}{2} t ^{-2} (t+1)^{-11} (t^{12}+ \dotsb) u\biggr) x \\ &\qquad+\biggl(\frac{1}{4} (t+1)^{-15} (t^{13}+\dotsb)-\frac{1}{4} (t+1)^{-15} (t^{13}+\dotsb) u\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{19}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 8$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{19}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 19. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{19}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $18$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{19}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_1(t,u) &=\frac{1}{2}(t^{11}+7t^{10}+21t^{9}+35t^{8}+35t^{7}+21t^{6}+7 t^{5}+t^{4})^{-1} \\ &\quad\times \bigl((15t^{7}+43t^{6}+43t^{5}+5t^{4}-26t^{3}-25t^{2}-15t-5) u^{4} \\ &\quad\quad-(15t^{9}+43t^{8}+58t^{7}+46t^{6}+14t^{5}-14t^{4}-24t^{3}-15t^{2}-10t-5) u^{3} \\ &\quad\quad -(30t^{10}+131t^{9}+247t^{8}+221t^{7}+25t^{6}-144t^{5}-160t^{4} \\ &\quad\quad -95t^{3}-40t^{2}-10t) u^{2} \\ &\quad\quad+(15t^{12}+88t^{11}+247t^{10}+383t^{9}+287t^{8}-32t^{7}-288t^{6} \\ &\quad\quad-292t^{5}-157t^{4}-53t^{3}-10t^{2}) u \\ &\quad\quad+17t^{11}+74t^{10}+164t^{9}+266t^{8}+322t^{7}+258t^{6}+123t^{5} \\ &\quad\quad+ 38t^{4}+15t^{3} +5t^{2}\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условия, приведенные выше, задают нульмерный идеал, базис Грёбнера которого состоит из пяти многочленов, последний из которых зависит исключительно от переменной $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, & u^{4}+(t^{3}+t^{2}-t+1)u^{3}+ (2t^{5}+\dotsb) u^{2} +(11t^{8}+\dotsb) u \\ &\qquad -\frac{933701627990447343294281532}{449489258173856342455} t^{25}+\dotsb, \end{aligned} \\ (t^{4}+t^{3}) u^{3}+(t^{5}+t^{4})u^{2}-(2t^{8}+\dotsb) u-\frac{897273985943403285030249513}{2786833400677909323221}t^{25}+\dotsb, \\ (t^{6}+3t^{5}+3t^{4}+t^{3}) u^{2}-(2t^{8}+\dotsb) u-\frac{512036397312502106946514599}{2786833400677909323221}t^{25}+\dotsb, \\ (t^{9}+4t^{8}+6t^{7}+4t^{6}+t^{5}) u-\frac{192166946253851351168169}{16490138465549759309}t^{25}+\dotsb, \\ \begin{aligned} \, & (t+1)^{4} \cdot t^{7} \cdot (112455 t^{15}+1151010 t^{14}+4908771 t^{13}+9871155 t^{12}+ 1708749 t^{11} \\ &\qquad -43799406 t^{10}-128478849 t^{9}-204830840 t^{8}-212225173 t^{7}-146227145 t^{6} \\ &\qquad -62795995 t^{5}-11958965 t^{4}+2827475 t^{3}+2388100 t^{2}+591500 t+ 54925). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний многочлен приведен в виде разложения на неприводимые над $\mathbb Q$ множители. Проверим реализуемость периодичного $\sqrt{f_{19}}$ для корня каждого непостоянного множителя последнего уравнения из базиса Грёбнера. Случаи корней $t=0$ и $t=-1$ не отвечают $f_{19}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{19}(x,t)}$, поскольку указанное значение является также корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{19}(x,t)$. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & t^{15}+\frac{174}{17} t^{14}+\frac{11131}{255} t^{13}+ \frac{31337}{357} t^{12}+\frac{9041}{595} t^{11}-\frac{2085686}{5355} t^{10}- \frac{42826283}{37485} t^{9} \\ &\qquad\qquad -\frac{40966168}{22491} t^{8}-\frac{212225173}{112455} t^{7}-\frac{29245429}{22491} t^{6}- \frac{12559199}{22491} t^{5}-\frac{2391793}{22491} t^{4} \\ &\qquad\qquad+ \frac{80785}{3213} t^{3}+\frac{477620}{22491} t^{2}+\frac{16900}{3213} t+\frac{10985}{22491} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{19}(x,\beta) &=x^{3} +\biggl( \frac{1549827856651766739726}{2886827923663345}\beta^{14}+\dotsb\biggr) x^{2} \\ &\qquad+\biggl( -\frac{469744778244368542627075}{577365584732669} \beta^{14}+\dotsb\biggr) x \\ &\qquad+\biggl( -\frac{35592751326219408347285637}{577365584732669} \beta^{14}+\dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{19}}$ над числовым полем степени $15$ имеет период $17$ и квазипериод $34$. Порядок кручения 20Кривая $X_1(20)$ задана соотношением а формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r(t,u) &=\frac{t^{3}+t u+t}{(t^{2}-t+u+1)(t-1)^2}+1, \\ s(t,u) &=\frac{t^{2}+u+1}{(t^{2}-t+u+2)(t-1)}+ 1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{20} &=x^{3}+\frac{1}{4} (t-1)^{-6} (t^{2}-2 t+2)^{-2} (t^{2}-t-1)^{-2} \\ \notag &\qquad\qquad\times \bigl((t-1)^{-1} t (t^{13}+\dotsb) u+ (t^{14}+\dotsb)\bigr) x^{2} \\ \notag &\qquad+(t-1)^{-10} t (t^{2}-2 t+2)^{-2} (t^{2}-t-1)^{-3} \biggl((t^{15}+\dotsb) u-\frac{1}{2} (t^{18}+\dotsb)\biggr) x \\ \notag &\qquad+\frac{1}{4} (t-1)^{-11} t ^{2} (t^{2}-2 t+2)^{-2} (t^{2}-t-1)^{-4} \\ & \qquad\qquad\times \bigl((t^{19}+\dotsb)-3 (t-1)^{-1} (t^{17}+\dotsb) u\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{20}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{8}$ пропорционален $x^{4}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 8$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{20}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 20. Разложение элемента $\sqrt{f_{20}}/x^2$ квазипериодично с квазипериодом $9$ и периодом разложения $18$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{20}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_0(t,u) &=-(t^{10}-8t^{9}+30t^{8}-68t^{7}+101t^{6}-100t^{5}+64t^{4}- 24t^{3}+4t^{2})^{-1} \\ &\qquad\times \bigl(- (3t^{12}-33t^{11}+177t^{10}-606t^{9}+1453t^{8}- 2555t^{7}+3362t^{6} \\ &\qquad\qquad -3340t^{5}+2505t^{4}-1413t^{3}+592t^{2}-174t+ 28) u^{2} \\ &\qquad\qquad- (3t^{13}-30t^{12}+141t^{11}-398t^{10}+679t^{9}-529t^{8}-533t^{7} \\ &\qquad\qquad +2257t^{6}-3545t^{5}+3488t^{4}-2349t^{3}+1100t^{2}-342t+56) u \\ &\qquad\qquad+2t^{11}-19t^{10}+111t^{9}-426t^{8}+1126t^{7}-2106t^{6}+2846t^{5} \\ &\qquad\qquad-2800t^{4}+1998t^{3}- 1012t^{2} +336t-56\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Базис Грёбнера системы из двух вышеприведенных условий состоит из трех многочленов и выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{2}+\frac{1}{2}(t^{2}+4)u+ \frac{1788203968386774417}{1454626383087500} t^{31}+\dotsb, \\ (t^{5}-4t^{4}+8t^{3}-8t^{2}+4t)u -\frac{1012274029378176552}{51950942253125} t^{31}+\dotsb, \\ \begin{aligned} \, & t \cdot (t-1) \cdot (t^{2}-2 t+2)^{2} \cdot (t^{4}-2 t^{3}+4 t^{2}-3 t+1)^{4} \\ & \qquad \times\bigl(54 t^{10}-525 t^{9}+2370 t^{8}-6570 t^{7}+12300 t^{6}-16104 t^{5} \\ &\qquad\qquad + 14850 t^{4}-9510 t^{3}+4060 t^{2}-1050 t+126\bigr). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем неприводимые множители последнего многочлена из базиса Грёбнера, которым отвечают периодические разложения $\sqrt{f_{20}}$. Случаи корней $t=0$, $t=1$, а также корня $t=\beta$ многочлена $ t^{4}-2 t^{3}+4 t^{2}- 3 t+1 $ не отвечают $f_{20}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 20 }(x, t)}$, поскольку при подстановке $x=0$ получаем $f_{20}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. Случай, когда $t=\beta$ является корнем многочлена $ t^{2}-2 t+2 $, не отвечает $f_{20}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{20}(x, t)}$, поскольку такой $t$ также является корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{20}(x,t)$. В свою очередь корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &t^{10}-\frac{175}{18} t^{9}+\frac{395}{9} t^{8}- \frac{365}{3} t^{7}+\frac{2050}{9} t^{6}-\frac{2684}{9} t^{5} \\ &\qquad+275 t^{4}-\frac{1585}{9} t^{3}+ \frac{2030}{27} t^{2}-\frac{175}{9} t+\frac{7}{3} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{20}(x,\beta) &= x^{3}+\frac{1}{360020} ( 121532184 \beta^{9}+\dotsb) x^{2} \\ &\quad +\frac{1}{180010} (-3074046066 \beta^{9}+\dotsb) x+\frac{1}{360020} ( -40173695550 \beta^{9}+\dotsb). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{20}}$ над числовым полем степени $10$ имеет период $9$ и квазипериод $18$. Порядок кручения 21Кривая $X_1(21)$ задана соотношением
$$
\begin{equation*}
g_{21}(u,t)=u^{4}+(3 t^{2}+1) u^{3}+ (t^{5}+t^{4}+2 t^{2}+2 t) u^{2}+(2 t^{4}+t^{3}+t) u+t^{3},
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u)=\frac{(t u+u+1)(u^{2}+u)}{(t u- u^{2}+1)(t u+1)}+1, \qquad s(t,u)=\frac{u^{2}+u}{t u+1}+1,
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{21} &=x^{3}+ \frac{1}{4} (t-1)^{-1} (t^{2}+t+1)^{-2} \bigl((t^{25}+\dotsb) u+ (t^{24}+\dotsb) \bigr) x^{2} \\ \notag &\qquad +\frac{1}{2} (t^{2}+t+1)^{-2} \bigl((t^{32}+\dotsb) u -t ^{3} (t^{28}+\dotsb) \bigr) x \\ &\qquad +\frac{1}{4} (t-1) t (t^{2}+t+1)^{-2} \bigl((t^{38}+\dotsb) u+t ^{2} (t^{35}+\dotsb) \bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{21}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{9}$ пропорционален $x^{3}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 9$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{21}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 21. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{21}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $20$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы нечетной степени, $\sqrt{f_{21}}$ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана $P_n$ при $x^{-1}$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_1(t,u)&= \frac{1}{2}(t^{3}+t^{2}+t)^{-1} \\ &\qquad\times \bigl((t^{13}-t^{12}+6t^{11}-15 t^{10}-45t^{9}-77t^{8}+12t^{7}+152t^{6} +123t^{5} \\ &\qquad\quad+26t^{4}-131t^{3}-55t^{2}-15t+19) u^{3} \\ &\qquad\quad+(3t^{15}-3t^{14}+19t^{13}-47t^{12}-128t^{11}-251t^{10}+5t^{9}+417t^{8} \\ &\qquad\quad +423t^{7}+210t^{6}-375t^{5}-187t^{4}-175t^{3}+68t^{2}+2t+19) u^{2} \\ &\qquad\quad+(t^{18}+5t^{16}-7t^{15}-63t^{14}-109t^{13}-99t^{12}+88t^{11}+139t^{10} \\ &\qquad\quad +163t^{9}+188t^{8}+61t^{7}+45t^{6}-289t^{5}-134t^{4}- 82t^{3}+70t^{2}+23t) u \\ &\qquad\quad+t^{17}-t^{16}+7t^{15}-16t^{14}-51t^{13}-124t^{12}-15t^{11}+209t^{10} \\ &\qquad\quad+243t^{9}+111t^{8}-228t^{7}-132t^{6}-86t^{5}+59t^{4}+6t^{3}+17t^{2}\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условия, приведенные выше, задают нульмерный идеал, базис Грёбнера которого состоит из пяти многочленов, последний из которых зависит исключительно от переменной $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{4}+4u^{3}+3(t+1)u^{2}+\dots+ 4t^{3} u+c_{1}t^{31}+\dotsb, \\ (t-1)u^{3}+(t-1)u^{2}-(t^{2}-t)u+c_2 t^{31}+ \dotsb, \\ (t^{2}-t)u^{2}-(t^{3}-t^{2}) u+c_3 t^{31}+\dotsb, \\ (t^{4}-t) u+c_4 t^{31}+\dotsb, \\ \begin{aligned} \, & t^{3} \cdot (t-1)^{3} \cdot (t^{2}+t+1)^{2} \cdot (t^{6}-t^{5}+t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1) \\ &\qquad \times(275 t^{16}+550 t^{15}-1650 t^{14}+1925 t^{13}-8855 t^{12}+6825 t^{11}-595 t^{10} \\ &\qquad\qquad +13360 t^{9}-531 t^{8}-18644 t^{7}+32795 t^{6}-21399 t^{5}+17605 t^{4} \\ &\qquad\qquad- 96733 t^{3}+34008 t^{2}+20332 t+79781). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем неприводимые множители последнего многочлена из базиса Грёбнера, которым соответствуют периодические разложения $\sqrt{f_{21}}$. Случаи корней $t=0$, $t=1$ не отвечают $f_{21}(x, t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 21 }(x, t)}$, поскольку при подстановке $x=0$ получаем $f_{21}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. Случаи, когда $\beta$ является корнем многочлена $ t^{2}+t+1 $ или многочлена $ t^{6}-t^{5}+ t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1 $, не отвечают $f_{21}(x, \beta)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{21}(x, \beta)}$, поскольку такой $\beta$ также является корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{21}(x,\beta)$. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &t^{16}+2 t^{15}-6 t^{14}+7 t^{13}-\frac{161}{5} t^{12}+\frac{273}{11} t^{11}-\frac{119}{55} t^{10}+\frac{2672}{55} t^{9}-\frac{531}{275} t^{8}- \frac{18644}{275} t^{7} \\ &\qquad+\frac{6559}{55} t^{6}-\frac{21399}{275} t^{5} +\frac{3521}{55} t^{4}- \frac{96733}{275} t^{3}+\frac{34008}{275} t^{2}+\frac{20332}{275} t+\frac{79781}{275} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{21}(x,\beta) &=x^{3}+\biggl( \frac{4446344652149592108400}{42336932862250401825807} \beta^{15}+\dotsb\biggr) x^{2} \\ &\qquad +\biggl( \frac{9882139628077577595381625}{2016044422011923896467} \beta^{15}+\dotsb\biggr) x \\ &\qquad +\biggl( \frac{498833309739538935673939625}{896019743116410620652} \beta^{15}+\dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{21}}$ над числовым полем степени $16$ имеет период $19$ и квазипериод $38$. Порядок кручения 22Кривая $X_1(22)$ задана соотношением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{22}(u,t) &=u^{4}+(t^{3}+2 t^{2}+t+ 2) u^{3}+(t^{5}+t^{4}+2 t^{3}+2 t^{2}+1) u^{2} \\ &\qquad +(t^{5}-t^{4}-2 t^{3}-t^{2}- t) u-t^{4}-t^{3}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u) =\frac{t^{2} u+t^{2}+t u+u}{t^{3}+2t^{2}+u}, \qquad s(t,u) =\frac{t u+u}{t^{2}+u}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
после подстановки в (3.2) и (3.3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f_{22} &=x^{3} +\frac{1}{4} t ^{-2} (t^{5}+t^{4}-4 t^{3}-3 t^{2}+3 t+1)^{-2} \\ \notag &\qquad\qquad \times \bigl(t ^{-1} (t+1)^{2} (t^{17}+\dotsb) u- (t^{17}+\dotsb)\bigr) x^{2} \\ \notag &\qquad +\frac{1}{2} t ^{-1} (t+1)^{2} (t^{5}+t^{4}-4 t^{3}-3 t^{2}+3 t+1)^{-3} \bigl( (t^{19}+\dotsb)- (t^{21}+\dotsb) u\bigr) x \\ &\qquad +\frac{1}{4} t (t+1)^{3} (t^{5}+t^{4}-4 t^{3}-3 t^{2}+3 t+1)^{-4} \bigl( (t^{24}+\dotsb) u- t (t^{22}+\dotsb)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{22}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{9}=x^{4}$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 9$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{22}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 22. Квазипериод разложения $\sqrt{f_{22}}/x^2$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен $10$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{22}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
q_0(t,u)=-\frac{2t^{3} u^{2}+2t^{3} u+2t^{2} u^{2}-t^{2} u+2t u^{2}+2u^{3}+3t^{2}+5u^{2}-3t+3 u}{t^{2}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Условия, приведенные выше, задают нульмерный идеал, базис Грёбнера которого состоит из трех многочленов, последний из которых зависит исключительно от переменной $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{2}+\frac{1}{3}(19t^{2}-3) u+\frac{26614825}{793849749}t^{13}+ \dotsb, \\ t^{3} u -\frac{46153715}{1587699498}t^{13}+\dotsb, \\ \begin{aligned} \, & t^{4} \cdot (10 t^{10}+20 t^{9}+40 t^{8} +124 t^{7}+248 t^{6}+166 t^{5} \\ &\qquad\qquad +354 t^{4}+543 t^{3}-432 t^{2}-732 t-540). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем неприводимые множители последнего многочлена из базиса Грёбнера, которым соответствуют периодические разложения $\sqrt{f_{22}}$. Случай корня $t=0$ не отвечает $f_{22}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{22}(x,t)}$, поскольку указанное значение является также корнем знаменателя одного из коэффициентов $f_{22}(x,t)$. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
t^{10}+2 t^{9}+4 t^{8}+\frac{62}{5} t^{7}+ \frac{124}{5} t^{6}+\frac{83}{5} t^{5} +\frac{177}{5} t^{4}+\frac{543}{10} t^{3}-\frac{216}{5} t^{2}- \frac{366}{5} t-54
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{22}(x,\beta) &=x^{3}+ \biggl( -\frac{60944090}{1247478177} \beta^{9}+\dotsb \biggr) x^{2} \\ &\qquad +\biggl( \frac{6317728580}{13722259947} \beta^{9}+\dotsb \biggr) x +\biggl( \frac{1433990700}{4574086649} \beta^{9}+ \dotsb\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{22}}$ над числовым полем степени $10$ имеет период $11$ и квазипериод $22$. Порядок кручения 24Кривая $X_1(24)$ задана соотношением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{24}(u,t) &=u^{5}+(t^{4}+4 t^{3}+3 t^{2}-t- 2) u^{4}+(-2 t^{4}-8 t^{3}-7 t^{2}+1) u^{3} \\ &\qquad +(-2 t^{5}-4 t^{4}+3 t^{3}+5 t^{2}+t) u^{2}+(2 t^{5}+5 t^{4}+2 t^{3}) u+t^{6}+ t^{5}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а формулы
$$
\begin{equation}
r(t,u) =\frac{t^{2}+t-u+1}{t^{2}+t u-u^{2}+u}, \qquad s(t,u) =\frac{t+1}{t+u}
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
после подстановки выражений для $r(t, u)$ и $s(t,u)$ в (3.2) и (3.3) дают многочлен $f_{24}$, определяющий соответствующую эллиптическую кривую:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f_{24}=x^{3}+t ^{-9} (t+1)^{-3} (t^{2}+2 t-2)^{-2} \\ \notag &\quad\qquad\times\biggl(\frac{3}{2} t ^{-1} (t+ 1)^{-1} (t^{17}+\dotsb) u +\frac{1}{4} (t^{16}+\dotsb)\biggr) x^{2} \\ \notag &\quad +\frac{1}{2} t^{-14} (t+1)^{-2} (t^{2}+2 t-2)^{-3} \bigl( (t+1)^{-1} (t^{24}+\dotsb) u - (t^{21}+\dotsb)\bigr) x \\ &\quad -t ^{-16} (t+1)^{-1} (t^{2}+2 t-2)^{-4}\biggl(-\frac{1}{2} t ^{-1} (t+1)^{-1} (t^{25}+\dotsb) u -\frac{37}{4} (t^{23}+\dotsb)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\sqrt{f_{24}}/x^2$ в непрерывную дробь в $\mathbb K(t, u)((x))$. В этом случае $L_{10}$ пропорционален $x^4$, причем $L_{n}$ не пропорционален $x^k$ при $0 \leqslant n < 10$. Степень $S$-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом $f_{24}$, совпадает с порядком точки кручения с $x=0$ и равна 24. Разложение элемента $\sqrt{f_{24}}/x^2$ квазипериодично с квазипериодом $11$ и периодом $22$. По теореме 5, примененной в случае $S$-единицы четной степени, $\sqrt{f_{24}}$ периодичен, если и только если свободный коэффициент $Q_n$ обращается в нуль. Запишем это условие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_0(t,u) &= (t^{15}+8t^{14}+28t^{13}+56t^{12}+71t^{11}+60t^{10}+34t^{9}+12t^{8}+2t^{7})^{-1} \\ &\quad\times\bigl( (60t^{10}+518t^{9}+2006t^{8}+4532t^{7}+6624t^{6}+6611t^{5}+4630t^{4} \\ & \quad\quad+2242t^{3}+712t^{2}+134t+12) u^{4} \\ &\quad\quad+ (60t^{14}+758t^{13}+4258t^{12}+14039t^{11}+29980t^{10}+42928t^{9} \\ &\quad\quad+40578t^{8}+22201t^{7}+1094t^{6}-9871t^{5}-9580t^{4} \\ & \quad\quad-4952t^{3}- 1552t^{2}-282t-24) u^{3} \\ &\quad\quad-(11t^{15}+316t^{14}+2895t^{13}+13807t^{12}+40811t^{11}+81266t^{10} \\ &\quad\quad+113970t^{9}+114867t^{8}+82871t^{7}+40805t^{6}+11361t^{5} \\ & \quad\quad-226t^{4}-1648t^{3}-690t^{2}-138t-12) u^{2} \\ &\quad\quad- (49t^{15}+422t^{14}+1231t^{13}+158t^{12}-8888t^{11}- 29502t^{10} \\ &\quad\quad-53596t^{9} -65294t^{8}-56982t^{7}-36336t^{6}-16821t^{5} \\ &\quad\quad-5512t^{4}- 1218t^{3}-164t^{2}-10t) u \\ &\quad\quad+11t^{16}+234t^{15}+1755t^{14}+6971t^{13}+17232t^{12}+ 28866t^{11} \\ &\quad\quad+34524t^{10}+30311t^{9}+19632t^{8}+9178t^{7}+2927t^{6} \\ &\quad\quad+550t^{5}+26t^{4}- 12t^{3}-2t^{2}\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условия приведенные выше, задают нульмерный идеал, базис Грёбнера которого состоит из пяти многочленов, последний из которых зависит исключительно от переменной $t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{4}+\frac{1}{12}(17t^{7}+\dotsb) u^{3}-\frac{1}{36}(222t^{13}+\dotsb) u^{2}-\frac{1}{108}(12976t^{18}+\dotsb) u+c_1 t^{38}+\dotsb, \\ (t^{8}+\dotsb)u^{3}+\frac{1}{3}(16t^{13}+\dotsb)u^{2}- \frac{1}{9}(670t^{18}+\dotsb)u+c_2 t^{38}+\dotsb, \\ (t^{14}+\dotsb) u^{2}+(4t^{18}+\dotsb) u+c_3 t^{38}+\dotsb, \\ (t^{19}+\dotsb) u+c_4 t^{38}+\dotsb, \\ \begin{aligned} \, & t^{8} \cdot (t+1)^{9} \cdot (t^{2}-t+1)^{2} \cdot (t^{4}+4 t^{3}+6 t^{2}+4 t+2) \cdot (15125 t^{14}+79030 t^{13} \\ &\qquad+151550 t^{12}+116540 t^{11}-740 t^{10}-71440 t^{9}-58920 t^{8}-21720 t^{7} \\ &\qquad-1176 t^{6}+3872 t^{5}+3712 t^{4}+2336 t^{3}+992 t^{2}+256 t+ 32). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем неприводимые множители последнего многочлена из базиса Грёбнера, которым соответствуют периодические разложения $\sqrt{f_{20}}$. Случай корней $t=0$ и $t=-1$ не отвечает $f_{24}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{24}(x,t)}$, поскольку указанные значения являются также корнями знаменателей коэффициентов $f_{24}(x,t)$. Случаи, когда $\beta$ является корнем многочлена ${t^{2}-t+1}$ или многочлена $ t^{4}+4 t^{3}+6 t^{2}+4 t+2 $, не отвечают $f_{24}(x,t)$ с периодическим разложением $\sqrt{f_{ 24 }(x,t)}$, поскольку при подстановке $x=0$ получаем $f_{24}(0, t)=0$, тем самым $P=(0,0)$ – точка второго порядка. В свою очередь, корню $\beta$ многочлена
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &t^{14}+\frac{15806}{3025} t^{13}+\frac{6062}{605} t^{12}+\frac{23308}{3025} t^{11}-\frac{148}{3025} t^{10}-\frac{14288}{3025} t^{9}- \frac{11784}{3025} t^{8}-\frac{4344}{3025} t^{7} \\ &\qquad-\frac{1176}{15125} t^{6}+\frac{32}{125} t^{5}+\frac{3712}{15125} t^{4} +\frac{2336}{15125} t^{3}+\frac{992}{15125} t^{2}+\frac{256}{15125} t+ \frac{32}{15125} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отвечает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{24}(x,\beta) &=x^{3}+\frac{1}{2996032397737536} (-201925389723086466250 \beta^{13}+\dotsb) x^{2} \\ &\qquad +\frac{1}{1498016198868768} (-2402209900553001005500 \beta^{13}+\dotsb) x \\ &\qquad +\frac{1}{2996032397737536} ( -64557557024098404260500 \beta^{13}+\dotsb). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение элемента $\sqrt{f_{24}}$ над числовым полем степени $14$ периодично с квазипериодом $11$ и периодом $22$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PlaZhgPet22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|