| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Полиномиальная А. В. Комлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9577 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть сначала $f_{0, \infty}(z)\equiv 1$, $f_{1, \infty}(z), \dots, f_{m, \infty}(z)$ – $m+1$ произвольных аналитических ростков в бесконечности (на сфере Римана $\widehat{\mathbb C}$). Фиксируем натуральное число $k\in\{1,\dots,m\}$ и для каждого $n\in\mathbb N$ определим набор из $C_{m+1}^{k}$ “$k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде” порядка $n$, построенных по набору ростков $[1, f_{1, \infty}, \dots, f_{m, \infty}]$ в точке $\infty\in\widehat{\mathbb C}$, следующим образом. Это полиномы $P_{n;i_1,\dots,i_k}$, $0\leqslant i_1<i_2<\dots<i_k\leqslant m$, такие, что $\deg P_{n;i_1,\dots,i_k}\leqslant (m+1-k)n$, хотя бы один из $P_{n;i_1,\dots,i_k}\not\equiv 0$ и для каждого набора индексов $0<j_1<\dots<j_k\leqslant m$ выполнено:
$$
\begin{equation}
P_{n;j_1,\dots,j_k}(z) + \sum_{s=1}^k (-1)^{s}P_{n;0,j_1,\dots,j_{s-1}, j_{s+1},\dots,j_k}(z)f_{j_s,\infty}(z) =O\biggl(\frac{1}{z^{kn+1}}\biggr)
\end{equation}
\tag{1}
$$
при $z\to\infty$. Нетрудно видеть, что условие (1) представляет собой систему из $(n(m+1)+1)C_m^k$ линейных однородных уравнений на $(n(m+1-k)+1)C_{m+1}^k=n(m+1)C_m^k+C_{m+1}^k$ неизвестных коэффициентов полиномов $P_{n;i_1,\dots,i_k}$. Коэффициенты этой системы суть некоторые линейные выражения от первых $(m+1)n$ тейлоровских коэффициентов ростков $f_{s, \infty}$ (по переменной $1/z$). Поэтому полиномы $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ всегда существуют, но, вообще говоря, не единственны. (Отметим, что $m$-систему Эрмита–Паде можно строить и по мероморфным в $\infty$ росткам $f_{j, \infty}$. В этом случае нужно увеличить максимально допустимую степень полиномов $P_{n;i_1,\dots,i_k}$. Например, достаточно потребовать $\deg P_{n;i_1,\dots,i_k}\leqslant (m+1-k)n+M$, где $M$ – максимальный из порядков полюсов ростков $f_{j, \infty}$ в $\infty$.) Ясно, что условия (1) линейно независимы, однако индекс 0 в них “выделен”. Можно дать другое, так называемое однородное определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, где условия уже не будут линейно независимыми: $\deg P_{n;i_1,\dots,i_k}\leqslant (m+1-k)n$, хотя бы один из $P_{n;i_1,\dots,i_k}\not\equiv 0$ и для каждого набора индексов $0\leqslant i_0<i_1<\dots<i_k\leqslant m$ выполнено
$$
\begin{equation}
\sum_{s=0}^k (-1)^{s}P_{n;i_0,\dots,i_{s-1}, i_{s+1},\dots,i_k}(z)f_{i_s,\infty}(z) =O\biggl(\frac{1}{z^{kn+1}}\biggr) \quad \text{при }\ z\to\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Понятно, что все условия (1) входят в (2) (при $[i_0, i_1,\dots,i_k]:=[0, j_1,\dots,j_k]$). Для того чтобы увидеть, что условий (1) достаточно для выполнения условий (2) при $i_0\ne0$, нужно подставить в (2) выражения для всех полиномов $P_{n;i_0,\dots,i_{s-1}, i_{s+1},\dots,i_k}$, полученные из (1) при $[j_1,\dots,j_k]\,{:=}\,[i_0,\dots,i_{s-1}, i_{s+1},\dots,i_k]$, и убедиться, что в правой части (2) с точностью до $O(z^{-(kn+1)})$ получится 0. Таким образом, определения (1) и (2) эквивалентны. Мы в основном будем пользоваться первым. Напомним определения классических полиномов Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов. Полиномы Эрмита–Паде 1-го типа, построенные по набору ростков $[1, f_{1, \infty}, \dots, f_{m, \infty}]$ в точке $\infty\in\widehat{\mathbb C}$, порядка $n$ – это полиномы $Q_{n, i}$, $0\leqslant i \leqslant m$, такие, что $\deg Q_{n,i}\leqslant n$, хотя бы один из $Q_{n, i}\not\equiv 0$ и в окрестности бесконечности выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\sum_{j=0}^m Q_{n,j}(z)f_{j,\infty}(z)=O\biggl(\frac{1}{z^{m(n+1)}}\biggr) \quad \text{при }\ z\to\infty.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Полиномы Эрмита–Паде 2-го типа, построенные по набору ростков $[1, f_{1, \infty}, \dots, f_{m, \infty}]$ в точке $\infty\in\widehat{\mathbb C}$, порядка $n$ – это полиномы $q_{n, i}$, $0\leqslant i \leqslant m$, такие, что $\deg q_{n,i}\leqslant mn$, хотя бы один из $q_{n, i}\not\equiv 0$ и для всех $1\leqslant j \leqslant m$ в окрестности бесконечности выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
q_{n, 0}(z)f_{j,\infty}(z) - q_{n, j}(z) = O\biggl(\frac{1}{z^{n+1}}\biggr) \quad \text{при }\ z\to\infty.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Заметим, что условия (1), определяющие первые полиномы $m$-системы Эрмита–Паде (т.е. при $k=1$), совпадают (c точностью до знака) с условиями (4), определяющими полиномы Эрмита–Паде 2-го типа. Таким образом, первые полиномы $m$-системы Эрмита–Паде есть в точности полиномы Эрмита–Паде 2-го типа, т.е. $P_{n;i}\equiv q_{n,i}$. В то же время условие (1), определяющее $m$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде (т.е. при $k=m$), фактически совпадает с условием (3), определяющим полиномы Эрмита–Паде 1-го типа. Точнее, если положить $P_{n;0,1,\dots,j-1,j+1,\dots,m}:=(-1)^jQ_{n;j}$, то левые части (1) при $k=m$ и (3) совпадут, а порядок касания нуля в их правых частях будет $m(n+1)$ и $mn+1$ соответственно. Значит, полиномы $(-1)^jQ_{n;j}$ автоматически удовлетворяют условию (1), т.е. полиномы Эрмита–Паде 1-го типа (с переменой знака у нечетных полиномов) являются частным случаем $m$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде. Более того, в дальнейшем нас будет интересовать так называемая слабая асимптотика полиномов $m$-системы Эрмита–Паде (в духе классической теоремы Шталя для обычных полиномов Паде, см. [17], [1]), поэтому получившееся расхождение в порядке касания на фиксированное число $m-1$ для нас не существенно. Таким образом, $m$-система Эрмита–Паде обобщает полиномы Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов. К настоящему времени известно не так много конструкций, одновременно обобщающих полиномы Эрмита–Паде и 1-го, и 2-го типов. Например, такими являются полиномы смешанного типа, см. [9], [10], однако они не включают в себя сами полиномы Эрмита–Паде. Замечание 1. Точно так же, как и полиномы Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов, полиномиальную $m$-систему Эрмита–Паде можно строить по набору из $m+1$ ростков в произвольной точке $z_0$ на сфере Римана $\widehat{\mathbb C}$, а не только при $z_0=\infty$. А именно, $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде в точке $z_0\in\mathbb C$ будут определяться соотношением, аналогичным (1) (или (2)), где левая часть точно такая же, а в правой части условие $O(z^{-(kn+1)})$ при $z\to\infty$ заменяется на условие $O((z-z_0)^{n(m+1)+1})$ при $z\to z_0$ (не зависящее от $k$). Однако нам более удобно рассматривать $m$-систему Эрмита–Паде, построенную по аналитическим росткам в бесконечности. Тем не менее все обсуждаемые далее результаты верны и в общем случае с соответствующим изменением формулировок. Мы будем изучать слабую асимптотику введенных $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде (1) в случае, когда $f_{j, \infty}$ – ростки функций $f_j$, которые мероморфны на некоторой компактной $(m+1)$-листной римановой поверхности $\mathfrak R$, и $\mathfrak R$ удовлетворяет некоторому дополнительному условию. Точнее, пусть $\mathfrak R$ – компактная риманова поверхность, $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ – $(m+1)$-листное голоморфное разветвленное накрытие сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$, $m\geqslant 1$, и $\Sigma$ – множество критических значений проекции $\pi$. Точки $\mathfrak R$ будем обозначать “жирными” символами, а проекции этих точек – соответствующими “обычными” (например, $\mathbf z\in\mathfrak R$, а $\pi(\mathbf z) = z$). Обозначим через $\mathscr M(\mathfrak R)$ пространство мероморфных функций на $\mathfrak R$. Пусть $f_1, f_2, \dots, f_{m} \in \mathscr M(\mathfrak R)$ таковы, что функции $1, f_1, f_2, \dots, f_{m}$ независимы над полем рациональных функций $\mathbb C(z)$. Пусть $\circ$ – произвольная точка на $\mathfrak R$, не являющаяся критической для проекции $\pi$. Без ограничения общности будем считать, что $\circ\in\pi^{-1}(\infty)$, и обозначать $\boldsymbol\infty^{(0)}:=\circ$. Подчеркнем, что не исключается возможность случая, когда $\infty\in\Sigma$, т.е. возможно, что $\infty$ – критическое значение $\pi$, но в точке $\boldsymbol\infty^{(0)}\in\pi^{-1}(\infty)$ отображение $\pi$ невырождено. Пусть $f_{1, \infty}(z), \dots, f_{m, \infty}(z)$ – мероморфные ростки функций $f_1(\mathbf z), \dots, f_{m}(\mathbf z)$ в точке $\boldsymbol\infty^{(0)}$ соответственно. Точнее, $f_{j, \infty}(z):=f_j(\pi^{-1}_0(z))$, где $\pi^{-1}_0$ – обратное отображение к $\pi$ в окрестности точки $\boldsymbol\infty^{(0)}$. Для простоты изложения мы предполагаем, что ростки $f_{j, \infty}(z)$ голоморфны в $\infty$, т.е. не имеют там полюса. Везде далее рассматриваются полиномы $m$-системы Эрмита–Паде (1), построенные только по набору этих ростков $[1, f_{1, \infty}, \dots, f_{m, \infty}]$ в точке $\infty$. Поэтому, когда это не оговорено отдельно, под обозначением $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ мы будем понимать соответствующий $k$-й полином $m$-системы Эрмита–Паде, построенный именно по такому набору ростков. Подчеркнем, что число $m$ в определении $m$-системы Эрмита–Паде и в определении накрытия $\pi$ одно и то же. В настоящей работе мы найдем предельное распределение нулей и асимптотику отношений $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, построенных по указанному набору ростков функций (мероморфных на введенной римановой поверхности $\mathfrak R$), при следующем дополнительном условии на $\mathfrak R$. Можно считать, что риманова поверхность $\mathfrak R$ – это стандартная компактификация римановой поверхности $(m+1)$-значной полной аналитической функции (ПАФ) $w(\cdot)$, заданной в области $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, т.е. $\mathbf z=(z, w(z))$. Определим поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ как стандартную компактификацию римановой поверхности всевозможных неупорядоченных наборов из $k$ различных ростков функции $w(\cdot)$, рассматриваемых в одних и тех же точках $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$ (подробнее см. § 4). Мы будем предполагать, что поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна (обсуждение этого условия см. в § 6). Отметим, что распределение нулей и асимптотика отношений полиномов Эрмита–Паде 1-го типа, построенных по рассматриваемому нами набору ростков (т.е. фактически для $m$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде), были полностью обоснованы в [8], а для полиномов Эрмита–Паде 2-го типа (т.е. для первых полиномов системы) в случае некоторого условия “общего положения” – в [12]. Поскольку поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[1]}$ и $\widetilde{\mathfrak R}_{[m]}$ изоморфны $\mathfrak R$ (см. § 6) и, следовательно, всегда связны, то, в частности, в своей работе мы повторяем результат из [8] и доказываем в самом общем случае результат из [12]. В нашем исследовании мы, так же как и в [8], будем использовать основные идеи подхода Наттолла, см. [11], [12]. При этом наши доказательства идейно будут близки к доказательствам соответствующих результатов из [8], где основным инструментом служат методы теории потенциала на компактных римановых поверхностях. Мы также применим полученные результаты к задаче восстановления значений алгебраической функции по ее заданному ростку. В частности, покажем, что если $f_j=f^j$ для некоторой $f\in\mathscr M(\mathfrak R)$ и поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна, то следующее отношение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде: $P_{n;0,\dots,k-2,k}/P_{n;0,\dots,k-1}$ асимптотически (при $n\to\infty$) восстанавливает сумму значений $f$ на первых $k$ листах разбиения Наттолла римановой поверхности $\mathfrak R$. Результаты настоящей работы частично анонсированы в [7]. Статья устроена следующим образом. В § 2 формулируются основные результаты статьи. В § 3 показывается, как при условии связности всех поверхностей $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, $k=1,\dots, m$, с помощью полиномиальной $m$-системы Эрмита–Паде восстанавливаются значения произвольной $f\in\mathscr M(\mathfrak R)$ по ее ростку на всех листах разбиения Наттолла $\mathfrak R$, кроме последнего. В § 4 строго определяется поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Далее фактически дается другое определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде в терминах поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ и специальных мероморфных функций на ней, построенных по исходным функциям $f_1,\dots,f_m$. Параграф 5 посвящен доказательству основных теорем 1 и 2. В п. 5.1 вводятся необходимые нам понятия, доказываются вспомогательные результаты, фиксируются нормировки. В п. 5.2 приводится доказательство теоремы 1, а в п. 5.3 – теоремы 2. В § 6 обсуждается условие из теорем 1 и 2 связности поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. В частности, там приводится достаточное условие связности всех поверхностей $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ при $k=1,\dots,m$. § 2. Формулировка основных результатовСледуя Дж. Наттоллу (см. [11], [12]), введем разбиение $\mathfrak R$ на листы (подробнее см. [8]). Пусть $u(\mathbf z)$ – гармоническая функция в $\mathfrak R\setminus\pi^{-1}(\infty)$ со следующими логарифмическими особенностями в точках множества $\pi^{-1}(\infty)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(\mathbf z)=-m\log{|z|}+O(1), \qquad\mathbf z\to\boldsymbol\infty^{(0)}, \\ u(\mathbf z)=\log{|z|}+O(1), \qquad\mathbf z\to\pi^{-1}(\infty)\setminus\boldsymbol\infty^{(0)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Функция $u$ всегда существует и определена с точностью до аддитивной константы (она строится явно с помощью стандартных биполярных функций Грина, подробнее см. [8; формула (23)]. Отметим, что в ряде работ, см. например [14], [2], функция $u$ обозначается через $g$ и называется $g$-функцией поверхности $\mathfrak R$. Мы же через $g$ будем обозначать биполярные функции Грина, см. (44). Замечание 2. Подчеркнем, что определение функции $u$ корректно и в случае, когда $\infty\in\Sigma$. (Если $\boldsymbol\infty\in\pi^{-1}(\infty)$ является критической точкой $\pi$ порядка $N-1$, то в ее окрестности $\mathbf O$ и в локальной координате $\zeta\colon \mathbf O\to\{\eta\colon |\eta|<\delta\}$, $\zeta(\boldsymbol\infty)=0$ второе условие из (5) переписывается как $u(\zeta^{-1}(\eta))=-N\log{|\eta|}+O(1)$ при $\eta\to 0$.) Пусть $z\in\mathbb C$, и пусть $u_0(z),\dots,u_m(z)$ – значения функции $u$ в точках множества $\pi^{-1}(z)$, упорядоченные по неубыванию (и в случае $z\in\Sigma$ выписанные $s+1$ раз, где $s$ – порядок соответствующей точки множества $\pi^{-1}(z)$ как критической точки $\pi$):
$$
\begin{equation}
u_0(z)\leqslant u_1(z)\leqslant\dots\leqslant u_{m-1}(z)\leqslant u_m(z).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если $u_{j-1}(z)< u_j(z)<u_{j+1}(z)$, мы включаем во множество $\mathfrak R^{(j)}$ ($j$-й лист поверхности $\mathfrak R$, $j=0,\dots,m$) точку $\mathbf z^{(j)}\in\pi^{-1}(z)$ такую, что $u(\mathbf z^{(j)})=u_j(z)$ (при $j=0$ рассматриваем только неравенство $u_0(z)<u_{1}(z)$, а при $j=m$ – только $u_{m-1}(z)<u_{m}(z )$). В противном случае точки множества $\pi^{-1}(z)$ в $\mathfrak R^{(j)}$ не включаются. При $z=\infty$ нужно в (6) $u(z)$ заменить на $u(z)-\log |z|$. Таким образом, формально листы $\mathfrak R^{(j)}$ определяются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak R^{(0)}&:=\bigl\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon 0<u_{1}(z)-u(\mathbf z)\bigr\}, \\ \mathfrak R^{(j)}&:=\bigl\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon u_{j-1}(z)-u(\mathbf z) <0<u_{j+1}(z)-u(\mathbf z)\bigr\}, \qquad j=1,\dots,m-1, \\ \mathfrak R^{(m)}&:=\bigl\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon u_{m-1}(z)-u(\mathbf z)<0\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Из определения следует, что $\mathfrak R^{(j)}$ – попарно непересекающиеся открытые подмножества $\mathfrak R$ (вообще говоря, несвязные) и проекция $\pi\colon \mathfrak R^{(j)}\to\pi(\mathfrak R^{(j)})$ биголоморфна. Везде далее точку множества $\mathfrak R^{(j)}$, лежащую над точкой $z\in \widehat{\mathbb C}$, будем обозначать $\mathbf z^{(j)}$, а границу листа $\mathfrak R^{(j)}$ будем обозначать $\partial(\mathfrak R^{(j)})$. Поскольку $u_1(z)-u_0(z)\to+\infty$ при $z\to\infty$, то выделенная изначально точка $\boldsymbol\infty^{(0)}$ (в которой рассматриваются ростки функций $f_j$) всегда принадлежит листу $\mathfrak R^{(0)}$, что согласуется с нашим обозначением точек листов. Ясно, что ни одна критическая точка проекции $\pi$ не содержится ни в одном из множеств $\mathfrak R^{(j)}$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F_j:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon u_{j-1}(z)=u_j(z)\},\qquad j=1,\dots,m, \\ F:=\bigcup_{j=1}^mF_j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
В [8; приложение 1] было показано, что все множества $F_j$ и $\partial(\mathfrak R^{(j)})$ являются (вещественно) одномерными кусочно аналитическими множествами без изолированных точек. Точное определение кусочно аналитического множества приведено там же. Неформально говоря, это означает, что эти множества представляют собой замыкания объединений конечного числа аналитических дуг, обладающих некоторой регулярностью в своих концевых точках. В частности отсюда следует, что множества $F_j$ не имеют внутренности, что немедленно влечет равенства $\pi(\partial\mathfrak R^{(j)})=F_j\cup F_{j+1}$ при $j=1,\dots,m-1$, а также $\pi(\partial\mathfrak R^{(0)})=F_1$ и $\pi(\partial\mathfrak R^{(m)})=F_m$. Так же, как и в [8], определим на множестве $\widehat{\mathbb C}\setminus F$ матрицу $A$:
$$
\begin{equation}
A(z):= \begin{pmatrix} 1 & f_1(\mathbf z^{(0)}) & \dots & f_m(\mathbf z^{(0)}) \\ 1 & f_1(\mathbf z^{(1)}) & \dots & f_m(\mathbf z^{(1)}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & f_1(\mathbf z^{(m)}) & \dots & f_m(\mathbf z^{(m)}) \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{9}
$$
(строки и столбцы матрицы $A$ мы будем нумеровать числами от $0$ до $m$). Ясно, что $\det A\in \mathscr M(\widehat{\mathbb C}\setminus F)$ (является мероморфной функцией на $\widehat{\mathbb C}\setminus F$). Также легко видеть, что $(\det A)^2$ продолжается до мероморфной функции на всей $\widehat{\mathbb C}$ (поскольку при переходе через дуги, входящие в $F$, у матрицы $A$ только меняются местами некоторые строки, т.е. $\det A$ может всего лишь поменять знак). Так как функции $1, f_1, f_2, \dots, f_{m}$ независимы над $\mathbb C(z)$, то $\det A \not\equiv 0$. Для любых $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$ через $M_{j_1, \dots,j_k}(z)$ обозначим минор матрицы $A$, соответствующий столбцам с номерами $j_1,\dots,j_k$ и строкам с номерами $0, 1, \dots,k-1$. Из определения следует, что все $M_{j_1, \dots,j_k}\in \mathscr M(\widehat{\mathbb C}\setminus F)$. Более того, в случае, когда $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна, $M_{j_1, \dots,j_k}$ не обращаются в тождественный нуль ни в какой области в $\widehat{\mathbb C}\setminus F$ (см. предложение 2). Тогда для любых $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$ и $0\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant m$ отношение $M_{j_1, \dots,j_k}(z)/M_{i_1,\dots,i_k}(z)$ – мероморфная функция на $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$. Действительно, при переходе через дуги, входящие в $F$, у матрицы $A$ переставляются некоторые строки (с номерами, соответствующими листам, общая граница которых проектируется в эту дугу). При этом при переходе через $F\setminus F_k$ не могут переставиться строки с номерами от 0 до $k-1$ со строками с номерами от $k$ до $m$ (поскольку на $F\setminus F_k$ выполнено $u_k\ne u_{k-1}$, а значит, над этим множеством нет общей границы у листов с номерами от 0 до $k-1$ с листами с номерами от $k$ до $m$.) Поэтому при переходе через $F\setminus F_k$ все миноры $M_{j_1, \dots,j_k}(z)$ либо не меняются, либо меняют знак, причем все одновременно. Таким образом, на $F\setminus F_k$ функции $M_{j_1, \dots,j_k}(z)/M_{i_1,\dots,i_k}(z)$ склеиваются как мероморфные. Введем обозначения, которых мы будем придерживаться в дальнейшем. Через $\xrightarrow{*}$ будем обозначать $*$-слабую сходимость, уточняя при необходимости пространство, в котором она рассматривается, а через $\xrightarrow{\operatorname{cap}}$ – сходимость по (логарифмической) емкости, уточняя множество, на котором она рассматривается. Пусть $d\sigma:= ({i}/{2\pi})({dz\wedge d\overline z})/{(1+|z|^2)^2}$ – нормированная форма площади сферической метрики на $\widehat{\mathbb C}$. Чтобы говорить об асимптотическом поведении $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, необходимо зафиксировать их нормировку. Поэтому наряду с полиномами $P_{n;i_1,\dots,i_k}$, определяемыми (1), мы будем использовать полиномы $P_{n;i_1,\dots,i_k}^*:=c_{n;i_1,\dots,i_k}P_{n;i_1,\dots,i_k}$ ($c_{n;i_1,\dots,i_k}>0$ – константы), для которых функции $\log|P_{n;i_1,\dots,i_k}^*|$ сферически нормированы:
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}}\log|P_{n;i_1,\dots,i_k}^*|d\sigma=0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отметим, что в общем случае для $P_{n;i_1,\dots,i_k}^*$ соотношение (1) не выполнено. Также обозначим через $\operatorname{dd^c}$ стандартный аналог оператора Лапласа на римановых поверхностях, в общем случае переводящий потоки степени 0 на них в потоки степени 2, а на гладких функциях $\varphi$ действующий в локальной координате $\zeta = x +iy$ как $\operatorname{dd^c}\varphi = (\varphi_{xx}+\varphi_{yy}) \,dx\,dy=\Delta\varphi \,dx\,dy$. (Все необходимые нам свойства оператора $\operatorname{dd^c}$ и утверждения из теории потенциала на компактных римановых поверхностях приведены в [8; приложение 2] и в [5]. Мы будем ссылаться на них, по возможности сохраняя обозначения.) Итак, напомним, что $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ – $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, построенной по набору ростков $[1, f_{1,\infty},\dots,f_{m,\infty}]$ в точке $\infty$ функций $f_j$, $j = 1,\dots, m$, мероморфных на римановой поверхности $\mathfrak R$. Для них верны следующие теоремы. Теорема 1. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Существует такое число $L\in\mathbb N$, что для любой окрестности $V$ компакта $F_k$ при всех достаточно больших $n\colon n>N=N(V)$ вне окрестности $V$ лежит не более $L$ нулей полиномов $P_{n;i_1,\dots,i_k}$. 2) Для произвольного $p\in[1,\infty)$ при $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}\log|P_{n;i_1,\dots,i_k}^*(z)|\to -\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z) \quad \textit{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C}, d\sigma),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где функция $\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z)$ сферически нормирована: $\displaystyle\int_{\widehat{\mathbb C}}\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z)\,d\sigma=0$. 3) При $n\to\infty$ Теорема 2. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для любого компакта $K\subset \mathbb C\setminus F_k$ при $n\to\infty$ имеем Более того, для произвольного $\varepsilon>0$ выполнено § 3. Восстановление значений функции, мероморфной на $\mathfrak R$, по ее ростку с помощью полиномиальной $m$-системы Эрмита–ПадеВ этом параграфе мы рассмотрим следующую задачу. Пусть $f\in\mathscr M(\mathfrak R)$ и нам задан некоторый росток многозначной аналитической функции $f(\pi^{-1}(z))$ в точке $z_0\in\widehat{\mathbb C}$ своим рядом Тейлора. (Без ограничения общности считаем $z_0=\infty$.) Как конструктивно восстановить значения $f$ в “как можно большей области на $\mathfrak R$”? Самый очевидный способ – воспользоваться продолжением по Вейерштрассу с помощью переразложения ряда Тейлора в точках, “близких” к границе круга сходимости. Однако такой способ не конструктивен (см. [6]). Другой способ – воспользоваться аппроксимациями Паде. Согласно теореме Шталя (см. [17]), они восстанавливают значения $f$ в области $\mathbf D$ на $\mathfrak R$, однозначно проектирующейся в $\pi(\mathbf D)=\widehat{\mathbb C}\setminus S$, где $S$ – компакт Шталя, который состоит из замыканий конечного числа аналитических дуг (с некоторой регулярностью в концевых точках). Таким образом, можно сказать, что аппроксимации Паде восстанавливают значения $f$ на одном листе $\mathbf D$ нашей $(m+1)$-листной римановой поверхности $\mathfrak R$. Мы покажем, что в случае, когда все поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, $k=1,\dots,m$, связны, с помощью введенной полиномиальной $m$-системы Эрмита–Паде (1) конструктивно восстанавливаются значения $f$ на всех наттолловских листах, кроме “последнего” $\mathfrak R^{(m)}$, за исключением множества $\pi^{-1}(F)$ (8). Подчеркнем, что лист $\mathbf D$ никак не связан с листами Наттолла $\mathfrak R^{(j)}$. Итак, пусть $f\in\mathscr M(\mathfrak R)$ и функции $1, f, f^2, \dots, f^m$ независимы над полем рациональных функций $\mathbb C(z)$. Везде далее в этом параграфе рассматривается полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде для случая, когда $f_j:=f^j$, т.е. построенная по набору ростков $[1, f(\pi_0^{-1}(z)), f^2(\pi_0^{-1}(z)),\dots, f^m(\pi_0^{-1}(z))]$, где $\pi_0^{-1}$ – обратное отображение к $\pi$ в окрестности $\boldsymbol\infty^{(0)}$. Тогда по определению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_{0,1,\dots,k-1}(z):=\det \begin{pmatrix} 1 & f(\mathbf z^{(0)}) & \ldots & f^{k-1}(\mathbf z^{(0)})\\ 1 & f(\mathbf z^{(1)}) & \ldots & f^{k-1}(\mathbf z^{(1)})\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & f(\mathbf z^{(k-1)}) & \ldots & f^{k-1}(\mathbf z^{(k-1)}) \end{pmatrix}, \\ M_{0,1,\dots,k-2,k}(z):=\det \begin{pmatrix} 1 & f(\mathbf z^{(0)}) & \ldots & f^{k-2}(\mathbf z^{(0)})& f^{k}(\mathbf z^{(0)})\\ 1 & f(\mathbf z^{(1)}) & \ldots & f^{k-2}(\mathbf z^{(1)})& f^{k}(\mathbf z^{(1)})\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & f(\mathbf z^{(k-1)}) & \ldots & f^{k-2}(\mathbf z^{(k-1)})& f^{k}(\mathbf z^{(k-1)}) \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $M_{0,1,\dots,k-1}(z)$ представляет собой определитель матрицы Вандермонда, т.е.
$$
\begin{equation*}
M_{0,1,\dots,k-1}(z)=\prod_{0\leqslant i<j<k} \bigl(f(\mathbf z^{(i)})-f(\mathbf z^{(j)})\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $M_{0,1,\dots,k-2, k}(z)$ – матрицы, полученной из матрицы Вандермонда увеличением степеней всех элементов в последнем столбце на $1$, т.е.
$$
\begin{equation*}
M_{0,1,\dots,k-2, k}(z)=\sum_{s=0}^{k-1}f(\mathbf z^{(s)})\prod_{0\leqslant i<j<k} \bigl(f(\mathbf z^{(i)})-f(\mathbf z^{(j)})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $M_{0,\dots,k-2,k}(z)/M_{0, \dots,k-1}(z) =\sum_{s=0}^{k-1}f(\mathbf z^{(s)})$. Отсюда и из теоремы 2 получаем Следствие 1. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Пусть $f\in\mathscr M(\mathfrak R)$ и функции $1, f, f^2, \dots, f^m$ независимы над $\mathbb C(z)$. Положим $f_j:=f^j$. Тогда для любого компакта $K\subset \mathbb C\setminus F_k$ при $n\to\infty$ имеем Более того, для произвольного $\varepsilon>0$ выполнено Предположим, что проекция $\pi$ такова, что поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связны при всех $k=1,\dots, m$. (Как будет показано в утверждении 4, этому свойству удовлетворяют все $\pi$ с условием, что все критические точки $\pi$ первого порядка и над каждой точкой $z\in\widehat{\mathbb C}$ лежит не более одной критической точки $\pi$, т.е. класс таких $\pi$ достаточно обширен.) Тогда, вычисляя $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде при всех $k=1,\dots, m$ и рассматривая отношения $P_{n;0,1,\dots,k-2, k}/P_{n;0,1,\dots,k-1}(z)$, мы последовательно асимптотически восстановим $\sum_{s=0}^{k-1}f(\mathbf z^{(s)})$ вне $\pi^{-1}(F_k)$. Значит (так как $F:=\bigcup_{j=1}^mF_j$), мы восстанавливаем и сами значения $f$ на всех наттолловских листах $\mathfrak R$, кроме $\mathfrak R^{(m)}$, вне множества $\pi^{-1}(F)$. Поскольку для вычисления $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде порядка $n$ достаточно знать первые $(m+1)n$ тейлоровских коэффициентов определяющих их ростков (см. определение (1)), то наши аппроксимации $P_{n;0,1,\dots,k-2, k}/P_{n;0,1,\dots,k-1}(z)$ конструктивны. Отметим, что впервые идея того, что с помощью подходящих полиномов нужно восстанавливать не сами значения функции $f$ на наттолловских листах, а сумму значений на первых $k$ листах, была высказана в работе [18]. § 4. Риманова поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ и определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде в ее терминахПрежде всего фиксируем $k\in\{1,\dots,m\}$. Введем ассоциированную с $\mathfrak R$, вообще говоря, несвязную компактную риманову поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ и разветвленное накрытие $\widetilde{\pi}\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\to\widehat{\mathbb C}$, строящееся по проекции $\pi$. Поскольку $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ $(\mathbf z\,{\mapsto}\, z)$ – $(m+1)$-листное голоморфное разветвленное накрытие $\widehat{\mathbb C}$ и $\Sigma$ – множество критических значений проекции $\pi$, то мы можем рассматривать $\mathfrak R$ как стандартную компактификацию римановой поверхности $\mathfrak R'$ некоторой $(m+1)$-значной полной аналитической функции (ПАФ) $w(z)$, заданной в области $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, т.е. $\mathbf z=(z, w(z))$. Неформально говоря, поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ будет стандартной компактификацией римановой поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ всевозможных неупорядоченных наборов из $k$ различных ростков функции $w(\cdot)$, рассматриваемых в одних и тех же точках $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$. Точнее, поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ состоит из пар $(z, \{w_1^z,\dots,w^z_{k}\})$, где $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, а $\{w^z_1,\dots,w^z_{k}\}$ – неупорядоченный набор из $k$ различных ростков функции $w(\cdot)$ в точке $z$. Структура римановой поверхности на указанном множестве вводится аналогично процедуре построения римановой поверхности ПАФ. То есть окрестностью точки $(z_0, \{w^{z_0}_1,\dots,w^{z_0}_{k}\})$ является множество точек $(z, \{w^{z}_1,\dots,w^{z}_{k}\})$ таких, что: 1) $z\,{\in}\, B_{z_0}(\delta)$, где $B_{z_0}(\delta)$ – круг с центром $z_0$ и таким радиусом $\delta$, что ростки $w^{z_0}_1,\dots,w^{z_0}_{k}$ голоморфны в $B_{z_0}(\delta)$, 2) существует такая биекция между элементами наборов $\{w^{z_0}_1,\dots,w^{z_0}_{k}\}$ и $\{w^{z}_1,\dots,w^{z}_{k}\}$, что соответствующие ростки являются непосредственными продолжениями друг друга. (Поскольку $w(\cdot)$ – $(m+1)$-листная функция, то существует не более одной такой биекции.) Ясно, что построенная риманова поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ является $C_{m+1}^k$-листным (вообще говоря, несвязным) голоморфным накрытием $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$ (с естественной проекцией $z\colon (z, \{w^{z}_1,\dots,w^{z}_{k}\})\mapsto z$). Далее с помощью стандартной процедуры компактификации конечнолистного накрытия римановой сферы $\widehat{\mathbb C}$ с конечным числом проколов получаем из $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ компактную (вообще говоря, несвязную) риманову поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ и разветвленное в точках $\Sigma$ голоморфное накрытие $\widetilde{\pi}\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\to\widehat{\mathbb C}$, продолжающее исходное накрытие $z\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'\to\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$. Точки $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ мы будем обозначать “жирными” символами с “тильдой”, а их проекции, как и ранее, – соответствующими “ обычными” (например, $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, а $\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf z}) = z$). Подчеркнем, что, в отличие от теорем 1 и 2, в этом параграфе мы допускаем, что поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ несвязна. Так как при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$ все неравенства в (6) строгие, то для таких $z$ имеем $\pi^{-1}(z)=\{\mathbf z^{(0)},\mathbf z^{(1)},\dots,\mathbf z^{(m)}\}$, где $\mathbf z^{(j)}\in\mathfrak R^{(j)}$. Поэтому над $\widehat{\mathbb C}\setminus F$ риманова поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ распадается на $C_{m+1}^k$ непересекающихся листов $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(j_1 j_2 \dots j_k)}$, $0\leqslant j_1<j_2<\dots<j_k\leqslant m$. Лист $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(j_1 j_2 \dots j_k)}$ состоит из неупорядоченных наборов $\{w^{\mathbf z^{(j_1)}}(\cdot), w^{\mathbf z^{(j_2)}}(\cdot),\dots,w^{\mathbf z^{(j_k)}}(\cdot)\}$, где $w^{\mathbf z^{(j_l)}}(\cdot)$ – росток $w(\cdot)$ в точке $\mathbf z^{(j_l)}$, рассматриваемых для всех $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$. Ясно, что на всех листах отображение $\widetilde\pi\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(j_1 j_2 \dots j_k)}\to \widehat{\mathbb C}\setminus F$ биголоморфно. Точку листа $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(j_1 j_2 \dots j_k)}$, лежащую над $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$, мы будем обозначать через $\widetilde{\mathbf z}^{(j_1 j_2\dots j_k)}$. Заметим, что при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ выполнено $u_{k-1}(z)<u_k(z)$ в (6). Следовательно, над $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ определен неупорядоченный набор $\{w^{\mathbf z^{(0)}}(\cdot), w^{\mathbf z^{(1)}}(\cdot),\dots,w^{\mathbf z^{(k-1)}}(\cdot)\}$. Более того, продолжая его по всевозможным путям в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$, мы всегда будем получать его же. Таким образом, лист $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ определен над $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ (а не только над $\widehat{\mathbb C}\setminus F$) и проекция $\widetilde\pi\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}\to \widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ на нем биголоморфна. Наша ближайшая цель – дать другое определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде в терминах новых мероморфных уже на поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ функций, которые мы сейчас построим по исходным функциям $f_1,\dots,f_m$. Для каждых наборов индексов $0\leqslant j_1<j_2<\dots<j_k\leqslant m$ и $0\leqslant l_1<l_2<\dots<l_k\leqslant m$ обозначим через $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ минор матрицы $A$ (9), соответствующий столбцам с номерами $j_1,\dots,j_k$ и строкам с номерами $l_1, l_2, \dots,l_k$. (В частности, $M_{j_1,\dots,j_k}^{0, \dots, k-1}\equiv M_{j_1,\dots,j_k}$.) Через $A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ обозначим алгебраическое дополнение минора $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ (т.е. $A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ – это дополнительный к $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ минор со знаком $(-1)^{j_1\dots+j_k + l_1\dots+l_k}$). Так же, как и матрица $A$, миноры $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ и их алгебраические дополнения $A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ определены для $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$. Через $\|M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)\|$ и $\|A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)\|$ обозначим матрицы, составленные из всех элементов $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ и $A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ соответственно. Хорошо известно (см., например, [13; теорема 1.2.4.1]), что, так как $\det A\not\equiv 0$,
$$
\begin{equation}
\|M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)\|\,\biggl\|\frac{A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)}{\det A(z)}\biggr\|^T = \operatorname{Id},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\operatorname{Id}$ – единичная матрица размера $C_{m+1}^k\times C_{m+1}^k$. Для $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$ введем матрицу
$$
\begin{equation}
M_{w}(z):=\|w^j(\mathbf z^{(l)})\|_{l,j=0}^{m}= \begin{pmatrix} 1 & w(\mathbf z^{(0)}) & \ldots & w^m(\mathbf z^{(0)})\\ 1 & w(\mathbf z^{(1)}) & \ldots & w^m(\mathbf z^{(1)})\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & w(\mathbf z^{(m)}) & \ldots & w^m(\mathbf z^{(m)}) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Для каждого набора индексов $0\leqslant l_1<l_2<\dots<l_k\leqslant m$ обозначим через $M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ минор матрицы $M_{w}(z)$, который соответствует столбцам с номерами $0,1,\dots,k-1$ и строкам с номерами $l_1, l_2, \dots,l_k$. Заметим, что $M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)\,{\not\equiv}\, 0$, так как он представляет собой определитель Вандермонда и поэтому
$$
\begin{equation*}
M_w^{l_1, \dots, l_k}(z)=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant k}(w(\mathbf z^{(l_j)})-w(\mathbf z^{(l_i)})),
\end{equation*}
\notag
$$
а $w(\mathbf z^{(s)})\ne w(\mathbf z^{(t)})$ при всех $s\ne t$, $z\in\mathbb C\setminus F$, в силу определения $w(z)$ как алгебраической функции, задающей поверхность $\mathfrak R$. Следовательно, для каждого набора индексов $0\leqslant j_1<j_2<\dots<j_k\leqslant m$ корректно определены следующие функции при $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\setminus\widetilde\pi^{-1}(F)$:
$$
\begin{equation}
M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)}):=\frac{M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)}{M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)},
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)}):=\frac{A_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}{\det A}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Предложение 1. Для каждого набора индексов $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$ функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ и $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ продолжаются до мероморфных функций на всей римановой поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Доказательство. Докажем сначала утверждение предложения для функций $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$. Ясно, что по определению (19) функция $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ мероморфна на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\setminus\widetilde\pi^{-1}(F)$. Поскольку, как отмечалось ранее, $F$ является одномерным кусочно аналитическим множеством без изолированных точек (т.е. фактически является замыканием конечного числа аналитических дуг), то и множество $\widetilde\pi^{-1}(F)$ является таким же. Поэтому нам остается проверить, что при пересечении дуг, входящих в множество $\widetilde\pi^{-1}(F)$, по которым мы переходим с листа $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1 \dots l_k)}$ на лист $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(i_1 \dots i_k)}$, функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})$ и $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(i_1 \dots i_k)})$ склеиваются в единую функцию. Действительно, поскольку по выбранной дуге мы переходим с листа $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1 \dots l_k)}$ на лист $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(i_1 \dots i_k)}$, то минор $M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ при пересечении проекции этой дуги переходит с точностью до знака в минор $M_{j_1,\dots,j_k}^{i_1, \dots, i_k}(z)$, а минор $M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)$ – с точностью до знака в $M_{w}^{i_1, \dots, i_k}(z)$. При этом перемена знака у миноров $M_{j_1,\dots,j_k}^{i_1, \dots, i_k}(z)$ и $M_{w}^{i_1, \dots, i_k}(z)$ происходит или не происходит одновременно, так как ее возникновение зависит только от структуры переклейки листов исходной поверхности $\mathfrak R$.
Перейдем к доказательству утверждения предложения для $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$. В силу (17) имеем:
$$
\begin{equation}
\|M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|\,\|A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^T=\operatorname{Id}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Таким образом, при $z\in\mathbb C\setminus F$ значения функции $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ на листах поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ стоят в строке, нумеруемой набором $j_1<\dots< j_k$, обратной матрицы к матрице, в столбцах которой стоят значения функций $M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$ на листах той же поверхности. Так определенные функции $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ по мероморфным функциям $M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$ всегда продолжаются до мероморфных функций на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. (Подчеркнем, что для этого достаточно, чтобы начальные мероморфные на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ были всего лишь линейно независимы над $\mathbb C(z)$ (что эквивалентно $\det\|M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|\not\equiv 0$), т.е. необязательно, чтобы они были минорами матрицы $A$). Чтобы в этом убедиться, нужно воспользоваться известной формулой, представляющей элементы обратной матрицы как алгебраические дополнения к элементам исходной, деленные на определитель. С помощью этого выражения легко проверяется, что при переходе границ листов функции $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ склеиваются в единую. Отметим, что аналогичное свойство набора мероморфных функций для наттолловского разбиения было отмечено в [11], см. также [8; предложение 2]. Предложение доказано. Теперь мы можем дать фактически новое определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде. Теорема 3. Существует такое $p\in\mathbb N\cup\{0\}$ (не зависящее от $n$), что $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ удовлетворяют следующим соотношениям: для всех $0<l_1<l_2<\dots<l_k\leqslant m$. Доказательство. Пусть $P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ – $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, т.е. решение (1). Определим функцию
$$
\begin{equation}
\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}):=\sum_{0\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant m} P_{n;i_1,\dots,i_k}(z) A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Так как $A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})\in\mathscr M(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$ (см. предложение 1), то и функция $\widetilde R_n\in\mathscr M(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$. Нам надо проверить, что для $\widetilde R_n$ выполнена правая часть (22). Посмотрим на тождества
$$
\begin{equation}
\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})=\sum_{0\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant m} P_{n;i_1,\dots,i_k}(z) A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})
\end{equation}
\tag{24}
$$
при всех $0\leqslant l_1<l_2<\dots<l_k\leqslant m$ как на систему линейных однородных уравнений относительно $P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$. Поскольку матрицы $\|M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|$ и $\|A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^T$ взаимно обратны (см. (21)), то, разрешая эту систему, имеем
$$
\begin{equation}
P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)=\sum_{0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m} M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)}).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Подставив эти выражения для $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ в (1), будем иметь, что для любого фиксированного набора индексов $0<j_1<\dots<j_k\leqslant m$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m}\biggl[ M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)}) \\ &\ +\sum_{s=1}^k (-1)^{s}M_{0,j_1,\dots,j_{s-1}, j_{s+1},\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})f_{j_s,\infty}(z) \biggr]\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)}) =O\biggl(\frac{1}{z^{kn+1}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
при $z\to\infty$. Подставляя в (26) явное выражение для $M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})$ (19) и учитывая, что в окрестности $\infty$ росток $f_{j_s,\infty}(z)=f_{j_s}(\mathbf z^{(0)})$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m}\biggl[M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z) \\ &\qquad\qquad +\sum_{s=1}^k (-1)^{s}M_{0,j_1,\dots,j_{s-1}, j_{s+1},\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)f_{j_s}(\mathbf z^{(0)}) \biggr] \frac{\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})}{M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)} =O\biggl(\frac{1}{z^{kn+1}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
при $z\to\infty$. Заметим, что в квадратных скобках в (27) стоит разложение минора $M_{0,j_1,\dots,j_k}^{0,l_1, \dots, l_k}(z)$ матрицы $A$ по нулевой строке. (В частности, при $l_1=0$ в этих скобках стоит $0$.) Поэтому (27) эквивалентно следующему:
Пусть $O_\infty\:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon |z|>\delta\}$ – такая окрестность бесконечности, что $O_\infty\cap F_1 = \varnothing$. (Напомним, что $F_1$ – проекция границы листа $\mathfrak R^{(0)}$ исходной поверхности $\mathfrak R$.) Тогда над $O_\infty$ листы $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(0 s_2\dots s_k)}$ и $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1\dots l_k)}$ при $l_1 > 0$ не имеют общих граничных точек. Поэтому $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\cap\widetilde\pi^{-1}(O_\infty) = \mathbf O_\infty^0\sqcup\mathbf O_\infty^1$, где $\mathbf O_\infty^0:=\widetilde\pi^{-1}(O_\infty)\cap\overline{\bigcup_{0<l_2<\dots<l_k\leqslant m}\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(0l_2\dots l_k)}}$ и $\mathbf O_\infty^1:=\widetilde\pi^{-1}(O_\infty)\cap\overline{\bigcup_{0<l_1<\dots<l_k\leqslant m}\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1\dots l_k)}}$. При $0<j_1<\dots< j_k \leqslant m$ определим на $\mathbf O_\infty^1\setminus\widetilde\pi^{-1}(F)$ функции $B_{j_1,\dots,j_k}$:
$$
\begin{equation}
B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)}):=\frac{M_{0,j_1,\dots,j_k}^{0,l_1, \dots, l_k}(z)}{M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Поскольку $B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})$ при фиксированных $0<l_1<\dots < l_k\leqslant m$ тождественно совпадает с выражением в (26), стоящим в квадратных скобках, а (по предложению 1) все функции $M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$ мероморфны на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ (и, в частности, на $\mathbf O_\infty^1$), а ростки $f_{i,\infty}$ голоморфны в $O_\infty$, то и функции $B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ продолжаются до мероморфных на $\mathbf O_\infty^1$.
Посмотрим теперь на выражения (28) для всех $0< j_1<\dots<j_k\leqslant m$ как на систему линейных однородных уравнений относительно $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})$ при $0< l_1<\dots<l_k\leqslant m$, считая, что $\widetilde{\mathbf z}\in\mathbf O_\infty^1\setminus\widetilde\pi^{-1}(F)$. Прежде всего посчитаем определитель матрицы этой системы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|$. Согласно обобщенному тождеству Сильвестра (см., например, [13; теорема 1.2.9.1]), выражающему определитель матрицы, составленной из всех миноров заданного порядка и содержащих фиксированный угловой минор (в нашем случае элемент), через определитель исходной матрицы, имеем $\det\|M_{0,j_1,\dots,j_k}^{0,l_1, \dots, l_k}(z)\|=(\det A)^{C_{m-1}^{k-1}}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\det \|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\| = \det\biggl\|\frac{M_{0,j_1,\dots,j_k}^{0,l_1, \dots, l_k}(z)}{M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}\biggr\|= \frac{(\det A)^{C_{m-1}^{k-1}}}{\prod_{0<l_1<\dots<l_k\leqslant m}M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Поскольку, как отмечалось ранее, $\det A\not\equiv 0$ (в силу линейной независимости над $\mathbb C(z)$ исходных функций $1, f_1,\dots,f_m$) и $M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)\not\equiv 0$ при всех $0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m$ (см. определение функций $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})$ (19)), то и $\det \|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|\not\equiv 0$. Поэтому матрица $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|$ обратима. Более того, поскольку в столбцах матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|$ стоят значения на листах поверхности $\mathbf O_\infty^1$ функций, которые мероморфны на ней, то у обратной матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$ в строках будут стоять значения на листах поверхности $\mathbf O_\infty^1$ функций, также мероморфных на ней. (Данное свойство проверяется напрямую и фактически приведено при доказательстве предложения 1 для функций $A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$: нужно только заменить поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ на $\mathbf O_\infty^1$.) Таким образом, особенности матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$ над $\infty$ “конечны”. Точнее, пусть $O\subset O_\infty$ – такая окрестность $\infty$, что на множестве $\widetilde\pi^{-1}(O)$ полюсы мероморфных функций, стоящих в строках матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$, могут находиться только в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$. Тогда существует такое $p\in\mathbb N\cup \{0\}$, что матрица $z^p\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$ (т.е. матрица, полученная из $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$ умножением каждого ее элемента на $z^p$) ограничена в $O$. Разрешая систему (28) относительно $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})$, получаем утверждение теоремы. Замечание 3. В случае, когда $\infty\notin\Sigma$ и все функции $A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$ не имеют полюсов в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, всегда существуют полиномы $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ степени не выше, чем $(m+1-k)n$, удовлетворяющие (22) при $p=0$. Действительно, легко видеть, что в этом случае условия (22), так же как и условия (1), представляют собой систему из $(n(m+1)+1)C_m^k$ линейных однородных уравнений на $(n(m+1-k)+1)C_{m+1}^k=n(m+1)C_m^k+C_{m+1}^k$ неизвестных коэффициентов полиномов $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$. Более того, в случае $\infty\notin\Sigma$ все ростки $A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})$ при $0\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant m$ и $0< l_1<\dots<l_k\leqslant m$ можно заменить на набор из произвольных голоморфных ростков, и полиномы $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$, степени не выше чем $(m+1-k)n$, удовлетворяющие (22) при $p=0$, все равно будут существовать. (Правда, они не будут иметь никакого отношения к нашей исходной задаче.) В случае же $\infty\in\Sigma$ ситуация совершенно другая. В этом случае априори (не зная теоремы 3) мы не можем утверждать существования полиномов $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$, даже когда правая часть (22) заменена на $O(z^{-1})$, а функции $A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$ голоморфны в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, поскольку функции $A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z})$, рассматриваемые как функции от $z\in\widehat{\mathbb C}$, могут иметь ветвления в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$. Приводимое ниже следствие 2 показывает, что при некотором “условии общего положения” система (22) при $p=0$ дает полностью эквивалентное оригинальному новое определение $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде. (Все используемые в нем обозначения наследуются из доказательства теоремы 3.) Следствие 2. Пусть $\infty\notin\Sigma$ и все мероморфные на $\mathbf O_\infty^1$ функции $B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ и функции, стоящие в строках матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$, не имеют полюсов в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$. Тогда $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде (определяемые (1)) и полиномы степени не выше $(m+1-k)n$, удовлетворяющие (22) при $p=0$, в точности совпадают. Доказательство. Пусть $P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ – $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, т.е. решение (1). Поскольку функции, стоящие в строках матрицы $\|B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|^{-1}$, не имеют полюсов в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, мы можем в доказательстве теоремы 3 положить $p=0$.
Обратно, пусть $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ – полиномы степени не выше $(m+1-k)n$, удовлетворяющие (22) при $p=0$. Определим мероморфную на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ функцию
$$
\begin{equation}
\widetilde R'_n(\widetilde{\mathbf z}):=\sum_{0\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant m}\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z) A_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Действуя аналогично доказательству теоремы 3, выразим $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ из (31):
$$
\begin{equation}
\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)=\sum_{0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m} M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)})\widetilde R'_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)}).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Подставляя эти выражения для $\widetilde P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)$ в левую часть (1) и проведя те же преобразования, что и при доказательстве теоремы 3 в формулах (26)–(28), с учетом (29) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widetilde P_{n;j_1,\dots,j_k}(z) + \sum_{s=1}^k (-1)^{s}\widetilde P_{n;0,j_1,\dots,j_{s-1}, j_{s+1},\dots,j_k}(z)f_{j_s,\infty}(z) \\ &\qquad =\sum_{0< l_1<\dots<l_k\leqslant m}B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\widetilde R'_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1\dots l_k)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Заметим, что по условию функции $B_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ не имеют полюсов в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, а условие (22) при $p=0$ эквивалентно тому, что $\widetilde R'_n(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_m)})=O(z^{-(nk+1)})$ при $z\to \infty$ для всех $0< l_1<\dots<l_k\leqslant m$. Поэтому из (33) имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde P_{n;j_1,\dots,j_k}(z) + \sum_{s=1}^k (-1)^{s}\widetilde P_{n;0,j_1,\dots,j_{s-1}, j_{s+1},\dots,j_k}(z)f_{j_s,\infty}(z)=O\biggl(\frac{1}{z^{nk+1}}\biggr)
\end{equation}
\tag{34}
$$
при $z\to\infty$, что представляет собой условие (1). Следствие доказано. Предложение 2. Если поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна, то для любого набора индексов $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$ мероморфная на ней функция $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})\not\equiv 0$ и функция $M_{j_1,\dots,j_k}(z)$ не обращаются в тождественный нуль нигде в $\widehat{\mathbb C}\setminus F$. Доказательство. Предположим, что для некоторого набора индексов $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$ функция $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})\equiv 0$ в некоторой области на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Так как $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна, то это означает, что $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})\equiv 0$ на всей $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Следовательно, $\det\|M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|\equiv 0$ при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$. С другой стороны, учитывая, что $\|M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)\|$ – матрица, составленная из всех миноров $A$ размера $k\times k$, имеем
$$
\begin{equation}
\det\|M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|= \det\biggl\|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}^{l_1, \dots, l_k}(z)}{M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}\biggr\|= \frac{(\det A(z))^{C_m^{k-1}}}{\prod_{0\leqslant l_1<\dots<l_k\leqslant m}M_{w}^{l_1, \dots, l_k}(z)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Следовательно, $\det A\equiv 0$ на $\widehat{\mathbb C}\setminus F$, что противоречит линейной независимости над $\mathbb C(z)$ исходных функций $1, f_1,\dots, f_m$.
Второе утверждение предложения, очевидно, следует из того, что при $z\in \widehat{\mathbb C}\setminus F$ Предложение доказано.§ 5. Доказательства теорем 1 и 2Как отмечалось ранее, наши доказательства теорем 1 и 2 будут близки к доказательствам аналогичных теорем для полиномов Эрмита–Паде 1-го типа, приведенных в [8]. Грубо говоря, в них будет заменяться функция $u(\mathbf z)$, определяющая разбиение Наттолла поверхности $\mathfrak R$, на функцию $-\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})$ на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, которую мы сейчас построим по $u$, а функция остатка для полиномов Эрмита–Паде 1-го типа на $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})$, определяемую (23). 5.1. Подготовительные результатыИтак, для $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\setminus\widetilde\pi^{-1}(F)$ определим функцию
$$
\begin{equation}
\widetilde u(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)}):=u_{l_1}(z)+\dots +u_{l_k}(z),
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $u_j(z)$ введены в (6). Предложение 3. Функция $\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})$ продолжается до гармонической функции на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\setminus\widetilde\pi^{-1}(\infty)$ со следующими логарифмическими сингулярностями в точках $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$: Доказательство. Поскольку, как отмечалось ранее, $F$ является одномерным кусочно аналитическим множеством без изолированных точек (т.е. фактически является замыканием конечного числа аналитических дуг), то и множество $\widetilde\pi^{-1}(F)$ является таким же. Поэтому нам достаточно доказать, что на дугах, входящих в $\widetilde\pi^{-1}(F)$, функция $\widetilde u$ склеивается в единую гармоническую функцию. Пусть при пересечении такой (открытой) дуги $\gamma\in\widetilde\pi^{-1}(F)$ мы переходим с листа $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1 \dots l_k)}$ на лист $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(i_1 \dots i_k)}$. Рассмотрим такую малую окрестность $O$ дуги $\widetilde\pi(\gamma)$, что $O\cap F = \widetilde\pi(\gamma)$. Над $O$ риманова поверхность $\mathfrak R$ распадается в объединение $m+1$ несвязной окрестности $\mathbf O_s$, $s=0,\dots,m$. Положим $u_{(s)}(z):=u|_{\mathbf O_s}(\mathbf z)$. Тогда функция $u_j$ с каждой стороны от $\widetilde\pi(\gamma)$ есть какая-то из функций $u_{(s)}$. При этом если множество $\mathbf O_s\cap\pi^{-1}(\widetilde\pi(\gamma))$ локально разделяет какие-то листы $\mathfrak R^{(l)}$ и $\mathfrak R^{(i)}$ (возможно $l=i$), то функции $u_l$ и $u_i$ склеиваются на $\widetilde\pi(\gamma)$ в единую гармоническую функцию $u_{(s)}$. Поэтому по построению поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ при переходе через дугу $\widetilde\pi(\gamma)$ функции $u_{l_1}(z)+\dots +u_{l_k}(z)$ и $u_{i_1}(z)+\dots +u_{i_k}(z)$ склеиваются в единую гармоническую функцию. Последнее означает, что на $\gamma$ функция $\widetilde u$ склеивается как гармоническая.
Поведение $\widetilde u$ в точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$ (38) непосредственно следует из асимптотического поведения $u$ (5) и определения поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Предложение доказано. Заметим, что $\widetilde u$, так же как и определяющая ее функция $u$ (5), определена с точностью до аддитивной константы, которую мы выберем позже. Как отмечалось ранее, функция $\widetilde R_n$, определенная равенством (23), является мероморфной функцией на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Так как по предположению поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна, то либо $\widetilde R_n\equiv 0$ на всей $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, либо $\widetilde R_n$ обращается в 0 в конечном числе точек. Покажем, что первое невозможно. Предположим противное, т.е. $\widetilde R_n\equiv 0$. Тогда, так как $\det\|A_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(l_1 \dots l_k)})\|\not\equiv0$ (см. (21)), из (24) следует, что все $P_{n;i_1,\dots,i_k}\equiv 0$, что противоречит их определению (1). Итак, $\widetilde R_n\in\mathscr M(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$ и $\widetilde R_n\not\equiv 0$. Выпишем ее дивизор $(\widetilde R_n)$. Обозначим через $p_1$ максимум из порядков полюсов во всех точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$ всех функций $A_{j_1,\dots,j_k}$ (20). Поскольку $\boldsymbol\infty^{(0)}\not\in\Sigma$, то, двигаясь по поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ в окрестности $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, мы не можем перейти с листов $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(0 s_2\dots s_k)}$ на листы $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1\dots l_k)}$, где $l_1 > 0$. Пусть сначала $\infty\notin\Sigma$. Тогда в силу теоремы 3 в множестве $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$ существует ровно $C_m^k$ точек, в окрестности которых $\widetilde R_n$ ведет себя как $O(z^{-(nk+1-p)})$. (Эти точки находятся либо на самих листах вида $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1\dots l_k)}$, где $l_1 > 0$, либо на их границах в ситуации $\infty\in F$.) Следовательно, в них у $\widetilde R_n$ нуль порядка не ниже $nk+1-p$. Поскольку по определению $\deg P_{n;j_1,\dots,j_m}\leqslant (m+1-k)n$, то в остальных $C_m^{k-1}$ точках множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$ функция $\widetilde R_n$ имеет полюсы порядка не выше $(m+1-k)n+p_1$. Пусть теперь допускается $\infty\in\Sigma$. Обозначим через $\widetilde{\boldsymbol\infty}_1, \dots, \widetilde{\boldsymbol\infty}_{M_1}$ точки множества $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$, которые лежат либо на листах вида $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(l_1\dots l_k)}$, где $l_1 > 0$, либо на их границах, а через $\widetilde{\boldsymbol\infty}_{M_1+1}, \dots, \widetilde{\boldsymbol\infty}_{M_2}$ – остальные точки из $\widetilde\pi^{-1}(\infty)$. Пусть $d_j-1$ – порядок $\widetilde{\boldsymbol\infty}_j$ как критической точки $\widetilde\pi$ ($d_j=1$, если $\widetilde{\boldsymbol\infty}_j$ – не критическая). В силу теоремы 3 в $\widetilde{\boldsymbol\infty}_j$ при $j=1,\dots M_1$ у функции $\widetilde R_n$ нуль порядка не ниже $d_j(nk+1-p)$ и $\sum_{j=1}^{M_1}d_j = C_m^k$. Поскольку $\deg P_{n;j_1,\dots,j_m}\leqslant (m+1-k)n$, то в $\widetilde{\boldsymbol\infty}_j$ при $j=M_1+1,\dots, M_2$ у функции $\widetilde R_n$ полюс порядка не выше $d_j(m+1-k)n+p_1$ и $\sum_{j=M_1+1}^{M_2}d_j = C_m^{k-1}$. Пусть $\{\widetilde{\boldsymbol\alpha}_j(n)\}_{j=1}^{S_1(n)}$ – нули $\widetilde R_n$ над $\mathbb C$ с учетом их кратности, а $\{\widetilde{\boldsymbol\beta}_j(n)\}_{j=1}^{S_2(n)}$ – ее полюсы с учетом порядка. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\widetilde R_n) &= \sum_{j=1}^{M_1}\bigl(d_j(nk+1-p)+r_j(n)\bigr)\widetilde{\boldsymbol\infty}_j \\ &\qquad -\sum_{j=M_1+1}^{M_2}\bigl(d_j(m+1-k)n+p_1-r_j(n)\bigr)\widetilde{\boldsymbol\infty}_j +\sum_{j=1}^{S_1(n)}\widetilde{\boldsymbol\alpha}_j(n)-\sum_{j=1}^{S_2(n)}\widetilde{\boldsymbol\beta}_j(n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $r_j(n)\in\mathbb N\cup\{0\}$. Перепишем (39) в виде
$$
\begin{equation}
(\widetilde R_n)=n\biggl(k\sum_{j=1}^{M_1}d_j\widetilde{\boldsymbol\infty}_j - (m+1-k)\sum_{j=M_1+1}^{M_2}d_j\widetilde{\boldsymbol\infty}_j\biggr) +(\widetilde T_n),
\end{equation}
\tag{40}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\widetilde T_n) &:=(1-p)\sum_{j=1}^{M_1}d_j\widetilde{\boldsymbol\infty}_j -p_1\sum_{j=M_1+1}^{M_2}\widetilde{\boldsymbol\infty}_j + \sum_{j=1}^{M_2}r_j(n)\widetilde{\boldsymbol\infty}_j \\ &\qquad +\sum_{j=1}^{S_1(n)}\widetilde{\boldsymbol\alpha}_j(n)-\sum_{j=1}^{S_2(n)}\widetilde{\boldsymbol\beta}_j(n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Поскольку $\sum_{j=1}^{M_1}d_j = C_m^k$, а $\sum_{j=M_1+1}^{M_2}d_j = C_m^{k-1}$, то тождество $\deg(\widetilde R_n)=0$ эквивалентно $\deg(\widetilde T_n)=0$. Посмотрим на точки, входящие в дивизор $(\widetilde T_n)$ с отрицательными знаками. Прежде всего, это точки $\widetilde{\boldsymbol\beta}_j(n)$. Над $\mathbb C$ функция $\widetilde R_n$ может иметь полюсы только в тех точках, в которых есть полюс какой-то из функций $A_{j_1,\dots,j_k}$, причем порядок полюса функции $\widetilde{R}_n$ в такой точке не превосходит максимума из порядков полюсов функций $A_{j_1,\dots,j_k}$ в этой точке. Поэтому множество $\{\widetilde{\boldsymbol\beta}_j(n)\}_{j=1}^{S_2(n)}$ является подмножеством полюсов всех функций $A_{j_1,\dots,j_k}$ над $\mathbb C$ (с учетом кратности). Оставшиеся точки, входящие в $(\widetilde T_n)$ с отрицательными знаками, лежат над $\infty$ и никак не зависят от $n$. Поэтому, добавляя при необходимости недостающие точки в дивизор $(\widetilde T_n)$ с разными знаками, можем считать, что отрицательные слагаемые $(\widetilde T_n)$ – это в точности полюсы всех функций $A_{j_1,\dots,j_k}$ с учетом кратностей и точки $\widetilde{\boldsymbol\infty}_j$ с кратностями из (41). Таким образом, теперь точки, входящие в $(\widetilde T_n)$ с отрицательными знаками, не зависят от $n$. Обозначим их $\widetilde{\mathbf b}_j$, $j=1,\dots S$ (знак не учитываем), где $S$ – их общее число (с учетом кратности). Так как $\deg(\widetilde T_n)=0$, то теперь у $(\widetilde T_n)$ ровно $S$ неизвестных нулей, которые мы обозначим $\widetilde{\mathbf a}_j(n)$, $j=1,\dots, S$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
(\widetilde T_n) = \sum_{j=1}^{S}\widetilde{\mathbf a}_j(n)-\sum_{j=1}^{S}\widetilde{\mathbf b}_j.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Подставляя это выражение в (40), получаем, что
$$
\begin{equation}
(\widetilde R_n) = n\biggl(k\sum_{j=1}^{M_1}d_j\widetilde{\boldsymbol\infty}_j - (m+1-k)\sum_{j=M_1+1}^{M_2}d_j\widetilde{\boldsymbol\infty}_j\biggr)+ \sum_{j=1}^{S}\widetilde{\mathbf a}_j(n)-\sum_{j=1}^{S}\widetilde{\mathbf b}_j.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Для любых двух различных точек $\widetilde{\mathbf q}, \widetilde{\mathbf p}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ через $g(\widetilde{\mathbf q}, \widetilde{\mathbf p}; \mathbf z)$ обозначим стандартную биполярную функцию Грина, т.е. гармоническую функцию на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}\setminus\{\widetilde{\mathbf q}, \widetilde{\mathbf p}\}$ с логарифмическими особенностями в $\widetilde{\mathbf q}$ и $\widetilde{\mathbf p}$, имеющими в локальных координатах $\zeta$ следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z}) &=\log{|\zeta(\widetilde{\mathbf z})-\zeta(\widetilde{\mathbf q})|}+O(1),\qquad \mathbf z\to\widetilde{\mathbf q}, \\ g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z}) &=-\log|\zeta(\widetilde{\mathbf z})-\zeta(\widetilde{\mathbf p})|+O(1),\qquad \widetilde{\mathbf z}\to\widetilde{\mathbf p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Существование биполярных функций Грина на любой компактной римановой поверхности (которое хорошо известно) и все необходимые нам их свойства доказаны в [8] (см. также [5]). Функции $g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z})$ пока определены с точностью до аддитивной константы. Их нормировки мы выберем чуть позже. Из (43), (38) и связности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ очевидно следует, что
$$
\begin{equation}
\log |\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})|=-n\widetilde u(\widetilde{\mathbf z}) + \sum_{j=1}^S g(\widetilde{\mathbf a}_j(n), \widetilde{\mathbf b}_j;\widetilde{\mathbf z}) + c_n,
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $c_n$ – вещественная константа. Обозначая
$$
\begin{equation}
\psi_n(\widetilde{\mathbf z}):=\exp\biggl\{\sum_{j=1}^S g(\widetilde{\mathbf a}_j(n), \widetilde{\mathbf b}_j;\widetilde{\mathbf z}) \biggr\},
\end{equation}
\tag{46}
$$
имеем
$$
\begin{equation}
|\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})|=C_n e^{-n\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})}\psi_n(\widetilde{\mathbf z}),
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $C_n=e^{c_n}>0$ – константа. Теперь зафиксируем нормировки функций $g, \widetilde u, \widetilde R_n$ и $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде $P_{n;i_1,\dots,i_k}$. Поскольку функции $g$ и $\widetilde u$ определены с точностью до аддитивной константы, то выбор их нормировок эквивалентен выбору мультипликативной константы $C_n$ в (47). Так как $\widetilde R_n$ выражается через $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ формулой (23), то, домножая все $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ на одну и ту же константу, мы сможем добиться любой, удобной нам, нормировки $\widetilde R_n$. Везде далее полагаем все функции $g$ и $\widetilde u$ сферически нормированными на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$, т.е.
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_k}g(\widetilde{\mathbf q}, \widetilde{\mathbf p}; \widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\,d\sigma(z)=0, \qquad \int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_k}\widetilde u(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\,d\sigma(z)=0,
\end{equation}
\tag{48}
$$
где
$$
\begin{equation*}
d\sigma:= \frac{i}{2\pi}\,\frac{dz\wedge d\overline z}{(1+|z|^2)^2}
\end{equation*}
\notag
$$
– нормированная форма площади сферической метрики на $\widehat{\mathbb C}$. Чтобы зафиксировать нормировку $|\widetilde R_n|$, положим в (45) $c_n=0$ (что эквивалентно $C_n=1$ в (47)), т.е.
$$
\begin{equation}
|\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})|=e^{-n\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})}\psi_n(\widetilde{\mathbf z}).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Следовательно, $\log|\widetilde R_n|$ также сферически нормирована на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$. Таким образом, мы зафиксировали нормировку $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде. Везде далее под обозначением $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ мы понимаем именно такие $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, для которых функция $\log|\widetilde R_n|$ сферически нормирована на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$. Отметим, что, вообще говоря, функции $\log|P_{n;i_1,\dots,i_k}|$ не являются сферически нормированными. Поэтому наряду с $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ мы будем рассматривать полиномы $P_{n;i_1,\dots,i_k}^*=c_{n;i_1,\dots,i_k}P_{n;i_1,\dots,i_k}$:
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}}\log|P_{n;i_1,\dots,i_k}^*|\,d\sigma=0,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где $c_{n; i_1,\dots,i_k}>0$ – константы. Подчеркнем, что в общем случае для $P_{n;i_1,\dots,i_k}^*$ соотношение (1) не выполнено. Зафиксируем на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ некоторую конформную метрику $\rho$ и будем обозначать расстояние в ней через $\operatorname{dist}_\rho$, а соответствующую ей форму площади через $\sigma_\rho$. Поскольку пространства $L^p$, соответствующие формам площади любых двух гладких положительных римановых метрик на компактной римановой поверхности, совпадают, мы будем обозначать пространство $L^p$, соответствующее форме площади $\sigma_\rho$, через $L^p(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$. На римановой сфере $\widehat{\mathbb C}$ и ее подмножествах мы будем рассматривать пространства $L^p$, соответствующие нормированной форме площади $d\sigma$ сферической метрики $\rho_{\mathrm{sp}}$, не указывая ее специально. Через $\operatorname{dist}$ будем обозначать расстояние на $\widehat{\mathbb C}$ в метрике $\rho_{\mathrm{sp}}$. Напомним необходимые нам понятия из теории потенциала на компактной римановой поверхности $\mathcal S$. Мы будем использовать ее только на сфере Римана $\widehat{\mathbb C}$, т.е. можно считать, что $\mathcal S=\widehat{\mathbb C}$. Пусть $\Lambda^j(\mathcal S)$, $j=0,2,$ пространства гладких $j$-форм на $\mathcal S$ с топологией равномерной сходимости со всеми производными. (В частности, $\Lambda^0(\mathcal S)=C^\infty(\mathcal S)$ – пространство бесконечно гладких функций на $\mathcal S$.) Обозначим через $\Lambda'^{j}(\mathcal S):=(\Lambda^{2-j}(\mathcal S))^*$ сопряженное к $\Lambda^{2-j}(\mathcal S)$ пространство потоков (де Рама) степени $j$ (со $*$-слабой топологией сопряженного пространства), см., например, [3], [16], [4]. В общем случае оператор $\operatorname{dd^c}$ определяется на потоках степени 0 на $\mathcal S$ как $\operatorname{dd^c}\colon \Lambda'^{0}(\mathcal S)\to \Lambda'^{2}(\mathcal S)$, действующий по правилу $\operatorname{dd^c} T(\tau)=T(\operatorname{dd^c}\tau)$, где $T\in\Lambda'^{0}(\mathcal S)$, а $\tau\in\Lambda^{0}(\mathcal S)$ – произвольная пробная функция. (Как отмечалось в § 2, на гладких функциях $\varphi$ в локальной координате $\zeta = x +iy$ оператор $\operatorname{dd^c}$ действует как лапласиан: $\operatorname{dd^c}\varphi\,{=}\,(\varphi_{xx}\,{+}\,\varphi_{yy}) \,dx\,dy\,{=}\,\Delta\varphi \,dx\,dy$.) Хорошо известно, что уравнение $\operatorname{dd^c} T\,{=}\,\widetilde{T}$ на $\mathcal S$ разрешимо относительно $T$ для тех и только тех потоков $\widetilde{T}\,{\in}\,\Lambda'^{2}(\mathcal S)$, для которых $\widetilde{T}(1)=0$, причем если $\widetilde{T}(1)=0$, то $T$ определен с точностью до аддитивной константы (поскольку по лемме Вейля решения уравнения $\operatorname{dd^c} T=0$ являются гармоническими функциями на $\mathcal S$ и в силу компактности $\mathcal S$ они являются константами). Нас будут интересовать решения уравнения $\operatorname{dd^c} T\,{=}\,\widetilde{T}$ в случае, когда $\widetilde T\,{=}\,\nu$ – нейтральный вещественнозначный заряд (т.е. знакопеременная мера с условием $\displaystyle\int_{\mathcal S}\nu\,{=}\,0$). Пространство всех таких зарядов обозначим через $\operatorname{Meas}_0(\mathcal S)$. В этом случае поток $T$ называется потенциалом заряда $\nu$ и обозначается $\widehat\nu:= T=(\operatorname{dd^c})^{-1}\nu$ (потенциал $\widehat\nu$ определен с точностью до аддитивной константы). Функция $\varphi$ на $\mathcal S$ называется $\delta$-субгармонической, если она локально представляется как разность двух субгармонических функций. Обозначим через $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)$ пространство всех $\delta$-субгармонических функций на $\mathcal S$. Хорошо известно (см., например, [5]), что $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)$ – это в точности потенциалы всех нейтральных зарядов на $\mathcal S$ и $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)\in L^p(\mathcal S)$ для любого $p\in[1,\infty)$. Чтобы избавиться от неоднозначности оператора $(\operatorname{dd^c})^{-1}$ на пространстве нейтральных зарядов, связанной с возможностью добавления аддитивной константы, фиксируют непрерывный линейный функционал $\phi$, скажем, на пространстве $L^1(\mathcal S)$ с условием $\phi(1)\ne 0$ и вместо пространства $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)$ рассматривают пространство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S):=\{v\in\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)\colon \phi(v)=0\}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
На пространстве $\operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S)$ оператор $\operatorname{dd^c}\colon \operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S)\to \operatorname{Meas}_0(\mathcal S)$ уже взаимнооднозначен. Для заряда $\nu\in\operatorname{Meas}_0(\mathcal S)$ его потенциал $\widehat\nu$, принадлежащий пространству $\operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S)$, будем обозначать $(\widehat\nu)_\phi$. Далее мы будем работать на сфере Римана $\widehat{\mathbb C}$ и в качестве $\phi$ будем использовать функционал, задаваемый формой площади $d\sigma$ сферической метрики $\rho_{\mathrm{sp}}$:
$$
\begin{equation}
\phi(v)=d\sigma(v):=\int_{\widehat{\mathbb C}}v \,d\sigma,
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $v\in\operatorname{\delta-sh}(\widehat{\mathbb C})\subset L^1(\widehat{\mathbb C})$. 5.2. Доказательство теоремы 1Теорема 1 фактически состоит из утверждений 1 и 2, которые мы докажем в этом пункте. Напомним, что $S$ – количество неизвестных нулей в дивизоре $(\widetilde R_n)$ (43). Обозначим через $\alpha_{j_1,\dots,j_k}$ количество нулей функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ (19) на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$, который определен над $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$. Везде далее под обозначением $M_{j_1,\dots,j_k}$ мы понимаем мероморфную на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ функцию $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ (19). Утверждение 1. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для любой окрестности $V$ компакта $F_k$ существует $N=N(V)$ такое, что при всех $n>N$ вне окрестности $V$ лежит не более $L_{j_1,\dots,j_k}:=S+\alpha_{j_1,\dots,j_k}$ нулей (с учетом кратностей) полинома $P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)$. Доказательство. Так как мероморфные на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ (19) не зависят от $n$, то (переходя при необходимости к меньшей окрестности $V$) можно считать, что на множестве $\pi^{-1}(V\setminus F_k)$ они не имеют ни нулей, ни полюсов. В случае когда $\infty\notin F_k$, также потребуем, чтобы $\infty\notin V$. Положим
$$
\begin{equation}
\delta:=\frac{\operatorname{dist}(\partial V, F_k)}{2(2S+3)},
\end{equation}
\tag{53}
$$
где $\partial V$ – граница $V$. Так как (см. [8; приложение 1, лемма 3]) $F_k$ является кусочно аналитическим подмножеством $\widehat{\mathbb C}$ без изолированных точек, то при каждом $n$ можно выбрать такую систему непересекающихся гладких контуров $\Gamma_n$, что $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $D_n$, причем $F_k\subset D_n\subset V$, и выполнены следующие условия: $\operatorname{dist}(\Gamma_n, F_k)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, \partial V)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, b_i)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, a_i(n))\geqslant\delta$, $i=1,\dots,S$, где $b_i=\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf b}_i)$, $a_i(n)=\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf a}_i)$ – проекции полюсов и нулей функции остатка $\widetilde R_n$ (см. (43)).
Оценим сверху количество нулей $P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)$ в $\Omega_n:=\widehat{\mathbb C}\setminus\overline D_n$ (а значит, и в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$). Поскольку функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ и $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})$ мероморфны на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, то выражение (25) продолжается на всю $\widehat{\mathbb C}$ в следующем виде:
$$
\begin{equation}
P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)=\sum_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(z)} M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}).
\end{equation}
\tag{54}
$$
Как отмечалось в § 4, на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ проекция $\widetilde\pi\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}\to\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ биголоморфна. Поэтому при $z\in \widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ (54) эквивалентно
$$
\begin{equation}
P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)=M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\bigl(1+ h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)\bigr),
\end{equation}
\tag{55}
$$
где
$$
\begin{equation}
h_{n; j_1,\dots,j_k}(z):=\sum_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(z)\setminus \widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}} \frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})}{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\, \frac{\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})}{\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Прежде всего покажем, что $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|= 0$. В силу определений функции $\widetilde u$ (37) и функций $u_i$ (6), имеем, что при $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(z)\setminus \widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}$ выполнено $\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})-\widetilde u(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\geqslant u_k(z)-u_{k-1}(z)$. Поэтому из (49) получаем, что при $z\in \widehat{\mathbb C}\setminus F_k$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)| \\ &\qquad\leqslant \sum_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(z)\setminus \widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}} \biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})}{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\frac{\psi_n(\widetilde{\mathbf z})}{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})} e^{-n(u_k(z)-u_{k-1}(z))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
K:=\biggl\{z\in V\colon \operatorname{dist}(z, F_k)\geqslant\frac \delta2, \operatorname{dist}(z, \partial V) \geqslant\frac\delta2\biggr\},
\end{equation}
\tag{58}
$$
где $\delta$ определено равенством (53). Заметим, что $\Gamma_n\subset K$ при всех $n$. Так как на $\pi^{-1}(V\setminus F_k)$ мероморфные функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ не имеют ни нулей, ни полюсов, то
$$
\begin{equation}
C_{j_1,\dots,j_k}:=\max_{\widetilde{\mathbf z}\in\pi^{-1}(K)\setminus \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}}\biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})}{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|<\infty.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Так как (см. [8; приложение 1, лемма 1]) функции $u_i$ непрерывны в $\mathbb C$ и при $k>1$ функция $u_k(z)-u_{k-1}(z)$ непрерывна в окрестности $\infty$, а при $k=1$ она стремится к $+\infty$ при $z\to\infty$, то, поскольку компакт $K$ не пересекается с $F_k$, имеем
$$
\begin{equation}
\varkappa:=\min_{z\in K} \bigl( u_k(z)-u_{k-1}(z)\bigr)>0.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Чтобы оценить ${\psi_n(\widetilde{\mathbf z})}/{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}$, где $\psi_n(\widetilde{\mathbf z})=\exp\bigl\{\sum_{i=1}^S g(\widetilde{\mathbf a}_i(n),\widetilde{\mathbf b}_i;\widetilde{\mathbf z})\bigr\}$ (см. (46)), получим оценку для самих функций $g(\widetilde{\mathbf a}_i(n),\widetilde{\mathbf b}_i;\widetilde{\mathbf z})$. Для этого воспользуемся [8; следствие 6], которое в нашей ситуации утверждает следующее. Для сферически нормированных на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ биполярных функций Грина $g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z})$ и произвольного $\delta'>0$ существует константа $C=C(\delta')$ (не зависящая от $\widetilde{\mathbf q}$ и $\widetilde{\mathbf p}$) такая, что для всех $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ с условием $\operatorname{dist}_\rho(\widetilde{\mathbf z},\widetilde{\mathbf q})\geqslant \delta'$ и $\operatorname{dist}_\rho(\widetilde{\mathbf z},\widetilde{\mathbf p})\geqslant \delta'$ выполнено $|g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z})|<C$. Поскольку системы контуров $\Gamma_n$ выбраны так, что $\operatorname{dist}(\Gamma_n, a_i(n))\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, b_i)\geqslant\delta$, то (учитывая, что для любой конформной метрики $\rho$ на $\mathfrak R$ существует константа $C_\rho>0$ такая, что для произвольных $\widetilde{\mathbf z}_1, \widetilde{\mathbf z}_2\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ имеем $\operatorname{dist}_\rho(\widetilde{\mathbf z}_1, \widetilde{\mathbf z}_2)\geqslant C_\rho\operatorname{dist}(z_1, z_2)$) отсюда следует, что существует константа $\widetilde C$ такая, что при $\widetilde{\mathbf z}\in\pi^{-1}(\Gamma_n)$ выполнено $|g(\widetilde{\mathbf a}_i(n),\widetilde{\mathbf b}_i;\widetilde{\mathbf z})|\leqslant \widetilde C$. Значит, при $\widetilde{\mathbf z}_1,\widetilde{\mathbf z}_2\in\pi^{-1}(\Gamma_n)$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}_1)}{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}_2)}\leqslant e^{2S\widetilde C}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Объединяя (59)–(61) и учитывая, что у $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ всего $C_{m+1}^k$ листов, из (57) получаем, что при $z\in\Gamma_n$
$$
\begin{equation}
|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|\leqslant C_{m+1}^k C_{j_1,\dots,j_k}e^{2S\widetilde C}e^{-n\varkappa}.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Так как $\varkappa>0$, то $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)| = 0$.
Поскольку на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ проекция $\widetilde\pi\colon \widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}\to\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ биголоморфна, то в (55) функции $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ и $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ мы будем понимать как мероморфные функции от $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$, т.е., например, $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})=\widetilde R_n \circ (\widetilde\pi|_{\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}})^{-1}(z)$. Следовательно, все функции, входящие в (55), кроме $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}$, мероморфны в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$, а значит, и $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)\in\mathscr M(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k)$. Поскольку $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|= 0$, то существует такое $N=N(V)$, что для всех $n>N$ имеем $|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|<1/2$ при $z\in\Gamma_n$. Везде далее считаем, что $n>N$. Значит, $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)$ не имеет нулей на $\Gamma_n$. Кроме того, в силу выбора системы контуров $\Gamma_n$ функции $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ и $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ не имеют нулей и полюсов на $\Gamma_n$. Значит, все функции, входящие в правую часть (55), мероморфны в $\Omega_n$ и не имеют нулей на $\Gamma_n = \partial\Omega_n$. Следовательно, для подсчета количества нулей $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ в $\Omega_n$ можно применить принцип аргумента. Ориентируем каждый из контуров, входящих в $\Gamma_n$, положительным образом относительно $\Omega_n$. Пусть сначала $\infty\notin F_k$. (Напомним, что в этом случае $\infty\notin V$, а значит, $\infty\in\Omega_n$.) Тогда количество нулей полиномов $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ в $\Omega_n$ равно
$$
\begin{equation}
\deg P_{n;j_1,\dots,j_k}+\frac{1}{2\pi}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg P_{n;j_1,\dots,j_k}(z).
\end{equation}
\tag{63}
$$
Так как $|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$, то $\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg (1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z))=0$. Поэтому из (55) получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)=\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg \widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})+\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}).
\end{equation}
\tag{64}
$$
По принципу аргумента $(2\pi)^{-1}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ равно разности количества нулей и полюсов (с учетом кратностей) функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ при $z\in \Omega_n$, поэтому
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\leqslant \alpha_{j_1,\dots,j_k}.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Поскольку $\infty\notin F_k$, то точка $\widetilde{\boldsymbol\infty}^{(01\dots k-1)}$ не является критической для $\widetilde\pi$. Поэтому из вида дивизора функции $\widetilde R_n$ (43) заключаем, что у $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ в $\widetilde{\boldsymbol\infty}^{(01\dots k-1)}$ полюс порядка $(m+1-k)n$ (не считая свободных нулей $\widetilde{\mathbf a}_j(n)$ и полюсов $\widetilde{\mathbf b}_j$, которых по $S$ штук). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg \widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\leqslant -(m+1-k)n+S.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Так как $\deg P_{n;j_1,\dots,j_k}\leqslant (m+1-k)n$, то, объединяя (63), (64) и (66), получаем, что количество нулей полиномов $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ в $\Omega_n$ (при $n>N$) не превосходит $L_{j_1,\dots,j_k}:=S+\alpha_{j_1,\dots,j_k}$.
Если $\infty\in F_k$, то всегда $\infty\notin\Omega_n$. Следовательно, количество нулей полиномов $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ в $\Omega_n$ равно $(2\pi)^{-1}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)$. Действуя аналогично случаю $\infty\notin F$, получаем, что для $\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ верна оценка (65), а из (43) заключаем, что $(2\pi)^{-1}\operatorname{\Delta}_{z\in \Gamma_n}\arg \widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\leqslant S$. В результате снова получаем, что количество нулей полиномов $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ в $\Omega_n$ (при $n>N$) не превосходит $L_{j_1,\dots,j_k}:=S+\alpha_{j_1,\dots,j_k}$. Утверждение 1 доказано. Напомним, что функции $h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)$ определены в (56). Лемма 1. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для любой окрестности $V$ компакта $F_k$ существует такое $N=N(V)$, что при всех $n>N$ количество нулей и полюсов (с учетом кратности) функции $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$ не превосходит $L_{j_1,\dots,j_k}$. Доказательство. Поскольку по определению (56)
$$
\begin{equation}
1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)=\frac{P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)}{\widetilde R_n(\mathbf z^{(01\dots k-1)})M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})},
\end{equation}
\tag{67}
$$
где, как и в доказательстве утверждения 1, функцию $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ и функцию $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ мы понимаем как мероморфные функции от $z\,{\in}\,\widehat{\mathbb C}\,{\setminus}\, F_k$, то $h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)\in\mathscr M(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k)$. Учитывая вид дивизора $\widetilde R_n$ (43) и то, что $\deg P_{n; j_1,\dots, j_k}\leqslant (m+1-k)n$, получаем, что количество полюсов функции $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ не превосходит $S+\alpha_{j_1,\dots,j_k}=L_{j_1,\dots,j_k}$. Следовательно, их количество и в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$ не превосходит $L_{j_1,\dots,j_k}$.
При каждом $n$ выберем такую же систему контуров $\Gamma_n$, как при доказательстве утверждения 1. В частности, $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $D_n$, причем $F_k\subset D_n\subset V$. Как было показано в доказательстве утверждения 1, $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|= 0$. Выберем $N$ так, что для всех $n>N$ имеем $|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|<1/2$ при $z\in\Gamma_n$. Везде далее считаем, что $n>N$. Поскольку $|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$, то по принципу аргумента получаем, что количество нулей функции $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}$ в открытом множестве $\Omega_n:=\widehat{\mathbb C}\setminus\overline D_n$ равно количеству ее полюсов там же. Так как $\widehat{\mathbb C}\setminus V\subset\Omega_n$, то количество нулей функции $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)$ при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus V$ не превосходит количества ее полюсов в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$, т.е. $L_{j_1,\dots,j_k}$. Лемма доказана. Напомним, что функции $u_i$, определяющие разбиение Наттолла (6), уже определены однозначно, поскольку нормировка функции $\widetilde u$ (37) фиксирована в (48):
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}}\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z)\,d\sigma(z)\equiv \int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_k}\widetilde u(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\,d\sigma(z)=0.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Утверждение 2. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для произвольного $p\in[1,\infty)$ при $n\to\infty$ имеем: Доказательство. Фиксируем набор индексов $j_1,\dots, j_k$. Из (55), учитывая (49), получаем, что при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{n}\log|P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)|=-\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z) \\ &\qquad\qquad +\frac{1}{n}\log\bigl\{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}) |M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})|\, |1+h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
$$
где $h_{n; j_1,\dots,j_k}$ определена в (56). (Здесь мы снова понимаем $\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ и $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ как мероморфные функции от $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$.) Так как $F_k$ – кусочно аналитическое подмножество $\widehat{\mathbb C}$ (см. [8; приложение 1, лемма 3]), то $\sigma(F_k)=0$. Поэтому равенство (71) можно понимать как равенство двух элементов из $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Далее считаем, что $p\in[1,\infty)$ фиксировано.
Так как (см. (48)) мы нормировали все биполярные функции Грина $g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\widetilde{\mathbf z})$ сферически на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ компактной римановой поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, которая связна по предположению, то (см. [8; приложение 2, следствие 5]) их нормы в пространстве $L_p(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$ равномерно ограничены некоторой константой $C_1$. (Хотя в [8] это следствие сформулировано только для $p\in(1,\infty)$, его доказательство верно и при $p=1$. Впрочем, поскольку на любом компакте из сходимости в пространстве $L^p$ на нем следует сходимость во всех пространствах $L^q$ с $1\leqslant q<p$, для нас это не важно.) Поскольку поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ компактна, то для любой функции $f\in L^p(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$ имеем $\|f(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\|_{L^p(\widehat{\mathbb C})}\leqslant C_2\|f\|_{L^p(\mathfrak R)}$, где $C_2:=\max_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}}\bigl({d\sigma(z)}/{d\sigma_\rho(\widetilde{\mathbf z})}\bigr)^{1/p}<\infty$. Поэтому из определения (46) получаем, что
$$
\begin{equation}
\|\log\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\|_{L^p(\widehat{\mathbb C})}\leqslant C_2\|\log\psi_n(\widetilde{\mathbf z})\|_{L^p(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})}\leqslant C_2 C_1 S.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Значит, $n^{-1}\log\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Так как функция $M_{j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z})\in\mathscr M(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$, то $\log|M_{j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z})|\in L^p(\widetilde{\mathfrak R}_{[k]})$ и, значит, $\log|M_{j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})|\in L^p(\widehat{\mathbb C})$. Следовательно, $n^{-1}\log |M_{j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})|\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Теперь покажем, что $n^{-1}\log|1+h_{n;j_1\dots,j_k}(z)|\to 0$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k)$. Учитывая вышесказанное, отсюда и из (71) будет следовать, что $n^{-1}\log|P_{n;j_1,\dots j_k}|\to -\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z)$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k)$.
Итак, фиксируем окрестность $V$ компакта $F_k$ и покажем, что выполнено $n^{-1}\log|1+h_{n; j_1,\dots, j_k}|\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C}\setminus V)$. Переходя при необходимости к меньшей окрестности, считаем, что функция $M_{j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ не имеет ни нулей, ни полюсов на множестве $\widetilde\pi^{-1}(V\setminus F_k)$, и если $\infty\notin F_k$, считаем $\infty\notin V$. Положим
$$
\begin{equation}
\delta:=\frac{\operatorname{dist}(\partial V, F_k)}{2(2S+2L_{j_1,\dots, j_k}+3)},
\end{equation}
\tag{73}
$$
где $L_{j_1,\dots,j_k}:=S+\alpha_{j_1,\dots,j_k}$, $S$ – количество неизвестных нулей в дивизоре $(\widetilde R_n)$ (43), а $\alpha_{j_1,\dots,j_k}$ – количество нулей функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$. Пусть $V_\delta:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon \operatorname{dist}(z, F_k)<\delta\}$. По лемме 1 существует такое $N$, что при всех $n>N$ количество нулей и полюсов (с учетом кратности) функции $1+h_{n; j_1,\dots, j_k}(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta$ не превосходит $L_{j_1,\dots,j_k}$. Далее считаем, что $n>N$. Обозначим через $q_1(n),\dots,q_{l(n)}(n)$ нули (с учетом кратности) функции $(1+h_{n; j_1,\dots, j_k})$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta$, а через $p_1(n),\dots,p_{l'(n)}(n)$ – ее полюсы (также с учетом кратностей), тогда $l(n), l'(n)\leqslant L_{j_1,\dots, j_k}$. Положим $\widetilde{\mathbf q}_s(n):=\widetilde\pi^{-1}(q_s(n))\cap\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ и $\widetilde{\mathbf p}_s(n):=\widetilde\pi^{-1}(p_s(n))\cap\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$. Фиксируем точку $\widetilde{\mathbf z}^*\in\partial\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ и для $\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ определим функцию
$$
\begin{equation}
\psi_{n;j_1,\dots j_k}(\mathbf z):=\exp\biggl\{\sum_{s=1}^{L_{j_1,\dots j_k}} g(\widetilde{\mathbf q}_s(n),\widetilde{\mathbf z}^*;\widetilde{\mathbf z})+ \sum_{s=1}^{L_{j_1,\dots j_k}} g(\widetilde{\mathbf z}^*, \widetilde{\mathbf p}_s(n);\widetilde{\mathbf z}) \biggr\},
\end{equation}
\tag{74}
$$
где биполярные функции Грина $g(\widetilde{\mathbf q},\widetilde{\mathbf p};\mathbf z)$ (44) сферически нормированы на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ (48). (В формуле (74) мы считаем $l(n)=l'(n)=L_{j_1,\dots, j_k}$, дополняя при необходимости наборы $\{\widetilde{\mathbf q}_s(n)\}_{s=1}^{l(n)}$ и $\{\widetilde{\mathbf p}_s(n)\}_{s=1}^{l'(n)}$ точкой $\mathbf z^*$ в количестве $L_{j_1,\dots, j_k}-l(n)$ и $L_{j_1,\dots, j_k}-l'(n)$ штук соответственно, наборы $\{q_s(n)\}$ и $\{p_s(n)\}$ также дополняем точкой $z^*\,{=}\,\widetilde\pi(\mathbf z^*)$ в таких же количествах.) Действуя так же, как при получении равномерной оценки для функций $\psi_n$ (72), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\log\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\|_{L^p(\widehat{\mathbb C})}\leqslant 2C_2 C_1 L_{j_1,\dots, j_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $n^{-1}\log\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Таким образом, нам остается показать, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}\log\frac{|1+h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|}{\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})} \longrightarrow 0 \quad \text{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C}\setminus V).
\end{equation}
\tag{75}
$$
Мы докажем, что функции
$$
\begin{equation*}
\log\frac{|1+h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|}{\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно ограничены на множестве $\widehat{\mathbb C}\setminus V$. Отсюда, конечно же, будет следовать (75). Как отмечалось ранее (см. (67)), функция $1+h_{n; j_1,\dots,j_k}$ мероморфна в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$. Следовательно, $\log|1+h_{n; j_1,\dots,j_k}|$ – гармоническая функция в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta$ за исключением точек $q_1(n),\dots,q_{l(n)}(n)$ и $p_1(n),\dots,p_{l'(n)}(n)$, где она имеет соответствующие логарифмические особенности. Так как по построению (см. (74)) функция $\log\psi_{n;j_1,\dots, j_k}$ тоже гармоническая в этой области и имеет в точках $q_1(n),\dots,q_{l(n)}(n)$ и $p_1(n),\dots,p_{l'(n)}(n)$ точно такие же логарифмические особенности, как и $\log|1+h_{n; j_1,\dots,j_k}|$, то $\log({|1+h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|}/{\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})})$ – гармоническая функция в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta$. В силу выбора $\delta$ (73) при каждом $n$ можно выбрать систему непересекающихся гладких контуров $\Gamma_n$ так, что $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $D_n$, причем $F_k\,{\subset}\, D_n\,{\subset}\, V$, и выполнены условия: $\operatorname{dist}(\Gamma_n, F_k)\,{\geqslant}\,\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, \partial V)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, q_s(n))\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, p_{s}(n))\,{\geqslant}\,\delta$, $s=1,\dots,L_{j_1,\dots, j_k}$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, a_i)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, b_i(n))\geqslant\delta$, $i=1,\dots,S$, где $a_i(n)=\widetilde\pi(\mathbf a_i(n))$, $b_i=\widetilde\pi(\mathbf b_i)$ – проекции нулей и полюсов функции остатка $\widetilde R_n$ (см. (43)). Так как, в частности, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, F_k)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, \partial V)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, b_i)\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, a_i(n))\geqslant\delta$, то $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|= 0$ (см. вывод аналогичного свойства при доказательстве утверждения 1). Следовательно, существует такое $N'$, что при всех $n>N'$ выполнено $|h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$. Везде далее считаем, что $n>N'>N$. Значит, при $z\in\Gamma_n$ Поскольку $\operatorname{dist}(\Gamma_n, \widetilde p_s(n))\geqslant\delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n, \widetilde q_{s}(n))\geqslant\delta$ и $\operatorname{dist}(\Gamma_n, z^*)\geqslant\delta$, то, действуя так же, как и в доказательстве утверждения 1 при выводе оценки (61), получаем, что существует константа $\widetilde C$ такая, что при $\widetilde{\mathbf z}\in\pi^{-1}(\Gamma_n)$ выполнено $|g(\widetilde{\mathbf q}_s(n), \widetilde{\mathbf z}^*;\widetilde{\mathbf z})|\leqslant\widetilde C$ и $|g(\widetilde{\mathbf z}^*, \widetilde{\mathbf p}_s(n);\widetilde{\mathbf z})|\leqslant\widetilde C$. Следовательно, из (74) получаем, что при $z\in\Gamma_n$ имеем
$$
\begin{equation}
|\log\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})|\leqslant 2L_{j_1,\dots, j_k} \widetilde C.
\end{equation}
\tag{77}
$$
Объединяя (76) и (77), получаем, что при $z\in\Gamma_n$
$$
\begin{equation}
\biggl|\log\frac{|1+h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|}{\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\leqslant 2L_{j_1,\dots, j_k} \widetilde C + 1.
\end{equation}
\tag{78}
$$
Обозначим $\Omega_n:=\widehat{\mathbb C}\setminus \overline D_n$. Функция $\log({|1+h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|}/{\psi_{n;j_1,\dots, j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})})$ гармоническая в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta\supset\Omega_n$ и $\Gamma_n=\partial \Omega_n$, поэтому из принципа максимума заключаем, что оценка (78) верна во всей области $\Omega_n$, а значит, и в $\widehat{\mathbb C}\,{\setminus}\, V\,{\subset}\,\Omega_n$. Таким образом, мы показали, что $n^{-1}\log|P_{n;j_1,\dots, j_k}|\,{\to}\,{-}\sum_{s=0}^{k-1}u_s(z)$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\,{\setminus}\, F_k)$.
Чтобы доказать утверждение, мы покажем, что из любой подпоследовательности $\{P^*_{n; j_1,\dots,j_k}\}$, $n\in\Lambda$, полиномов $P^*_{n; j_1,\dots,j_k}$ можно выбрать подпоследовательность $\{P^*_{n; j_1,\dots,j_k}\}$, $n\in\Lambda'\subset\Lambda$, для которой выполнено (69) и (70). По формуле Пуанкаре–Лелона (см., например, [3]) получаем, что
$$
\begin{equation}
\mu_{n; j_1,\dots,j_k}:=\operatorname{dd^c}\log |P^*_{n; j_1,\dots,j_k}|=2\pi\biggl(\sum_{z\colon P^*_{n; j_1,\dots,j_k}(z)=0}\delta_z -\deg P^*_{n; j_1,\dots,j_k}\cdot\delta_\infty\biggr),
\end{equation}
\tag{79}
$$
где $\delta_x$ – дельта-мера в точке $x\in\widehat{\mathbb C}$. Поскольку $\deg P^*_{n; j_1,\dots,j_k}\leqslant (m+1-k)n$, то $\|n^{-1}\mu_{n; j_1,\dots,j_k}\|_{C(\widehat{\mathbb C})^*}\leqslant 4\pi(m+1-k)$. По теореме Банаха–Алаоглу (о компактности в $*$-слабой топологии шара конечного радиуса в сопряженном пространстве) из последовательности $\{n^{-1}\mu_{n; j_1,\dots,j_k}\}$, $n\in\Lambda$, можно выделить подпоследовательность $\{n^{-1}\mu_{n; j_1,\dots,j_k}\}$, $n\in\Lambda'\subset\Lambda$, которая $*$-слабо сходится к некоторому заряду $\mu_{j_1,\dots,j_k}\in C(\widehat{\mathbb C})^*$. Покажем, что для $\Lambda'$ выполнено (69) и (70). Рассмотрим пространство потенциалов $\operatorname{Pot}_\phi(\widehat{\mathbb C})$ (51), где функционал $\phi$ задается формой площади $d\sigma$ (52). Так как в любой координатной окрестности мера $d\sigma$ имеет гладкую плотность относительно меры Лебега, то, очевидно, ее локальные потенциалы непрерывны. Поэтому мы можем применить [5; следствие из леммы в п. 2.3], которое утверждает, что если мера, задающая функционал $\phi$, имеет непрерывные локальные потенциалы, то из слабой сходимости мер следует сходимость их потенциалов из $\operatorname{Pot}_\phi$ во всех пространствах $L^p$ с $p\in[1,\infty)$. Значит, $n^{-1}(\widehat\mu_{n; j_1,\dots,j_k})_\phi\to(\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi$ при $n\in\Lambda'$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ для всех $p\in[1,\infty)$. Поскольку полиномы $P^*_{n; j_1,\dots,j_k}$ сферически нормированы (50), то $P^*_{n; j_1,\dots,j_k}\equiv(\widehat\mu_{n; j_1,\dots,j_k})_\phi$. Следовательно, при $n\to\infty$, $n\in\Lambda'$ имеем:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}\log |P^*_{n; j_1,\dots,j_k}|\to (\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi \quad\text{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C})
\end{equation}
\tag{80}
$$
для всех $p\in[1,\infty)$. Учитывая (80) и то, что по построению $n^{-1}\operatorname{dd^c}\log |P^*_{n; j_1,\dots,j_k}|\xrightarrow{*}\mu_{j_1,\dots,j_k}$ при $n\in\Lambda'$, нам остается показать, что $(\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi=-\sum_{s=0}^{k-1}u_s$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Действительно, так как $n^{-1}\log|P_{n; j_1,\dots,j_k}|\to -\sum_{s=0}^{k-1}u_s$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k)$ и $P^*_{n; j_1,\dots,j_k}=c_{n; j_1,\dots,j_k}P_{n; j_1,\dots,j_k}$, где $c_{n; j_1,\dots,j_k}>0$ – некоторые константы, то из (80) получаем, что при $n\to\infty$, $n\in\Lambda'$
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n}\log c_{n; j_1,\dots,j_k} \to (\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi+\sum_{s=0}^{k-1}u_s \quad \text{в } \ L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $c_{n; j_1,\dots,j_k}$ – константы, то сходиться они могут только к константе. Значит, $(\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi=-\sum_{s=0}^{k-1}u_s+\operatorname{const}$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. С другой стороны, функция $-\sum_{s=0}^{k-1}u_s$ сферически нормирована (68), и значит,
$$
\begin{equation*}
\phi\bigl((\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi\bigr)=\phi\biggl(-\sum_{s=0}^{k-1}u_s\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\operatorname{const}\,{=}\,0$, т.е. $(\widehat\mu_{j_1,\dots,j_k})_\phi\,{=}\,{-}\sum_{s=0}^{k-1}u_s$. Утверждение 2 доказано. 5.3. Доказательство теоремы 2Теорема 2 – это в точности следствие 3 (см. также замечание 4), которое мы докажем в этом пункте. Пусть $\widetilde{\mathbf w}_1, \dots, \widetilde{\mathbf w}_W$ – все нули и полюсы (без учета кратностей) всех функций $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$, $0\leqslant j_1<\dots<j_k\leqslant m$, а $w_i=\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf w}_i)$, $i=1,\dots,W$, – их проекции. Напомним, что $a_i(n)=\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf a}_i(n))$, $b_i=\widetilde\pi(\widetilde{\mathbf b}_i)$, $i=1,\dots,S$, – проекции нулей и полюсов функции остатка $R_n$ (см. (43)). Для любого $\varepsilon>0$ и любой точки $z^*\in\widehat{\mathbb C}$ обозначим круг в сферической метрике с центром в $z^*$ радиуса $\varepsilon$ через $O_{z^*}^\varepsilon:=\{z\colon \operatorname{dist}(z, z^*)<\varepsilon\}$. Для любого компакта $K\subset\widehat{\mathbb C}$ и $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation}
K^\varepsilon(n):=K\setminus\biggl(\bigcup_{i=1}^{W}O_{w_i}^\varepsilon \cup \bigcup_{i=1}^{S}O_{a_i(n)}^\varepsilon \cup \bigcup_{i=1}^{S}O_{b_i}^\varepsilon\biggr).
\end{equation}
\tag{81}
$$
Утверждение 3. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для любого компакта $K\subset\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ и произвольного $\varepsilon>0$ и для скорости сходимости выполнена следующая оценка:
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}\max_{z\in K^\varepsilon(n)}\biggl(\biggl|\frac{P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)}{P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)} -\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|^{1/n} e^{u_{k}(z)-u_{k-1}(z)}\biggr)\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{83}
$$
Доказательство. Фиксируем компакт $K\subset\widehat{\mathbb C}\setminus F_k$ и $\varepsilon>0$. Из представления для $P_{n;j_1,\dots,j_k}$ (55) получаем, что при $z\in K$
$$
\begin{equation}
\frac{P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)}{P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)}= \frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})} \,\frac{1+h_{n; j_1,\dots, j_k}(z)}{1+h_{n;i_1,\dots, i_k}(z)},
\end{equation}
\tag{84}
$$
где $h_{n; j_1,\dots,j_k}$ определены в (56). Покажем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\max_{z\in K^\varepsilon(n)}|h_{n; j_1,\dots, j_k}(z)|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, естественно, будет следовать (82). Действовать будем так же, как в доказательстве утверждения 1 при выводе свойства
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\max_{z\in \Gamma_n}|h_{n;j_1,\dots, j_k}(z)|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, при $z\in K$ для $h_{n; j_1,\dots,j_k}$ воспользуемся оценкой (57)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)| \\ &\qquad \leqslant\sum_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(z)\setminus \widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)}} \biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})}{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\frac{\psi_n(\widetilde{\mathbf z})}{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})} e^{-n(u_k(z)-u_{k-1}(z))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $K_1:=K\setminus\bigcup_{k=1}^W O^\varepsilon_{w_k}$. (В частности, $K^\varepsilon(n)\subset K_1$.) Тогда
$$
\begin{equation*}
C_{j_1,\dots, j_k}:=\max_{\widetilde{\mathbf z}\in\widetilde\pi^{-1}(K_1)} \biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})}{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\operatorname{dist}(K^\varepsilon(n), a_i(n))\geqslant\varepsilon$, $\operatorname{dist}(K^\varepsilon(n), b_i)\geqslant\varepsilon$, $i=1,\dots,S$, то, действуя так же, как при выводе оценки (61) в доказательстве утверждения 1, получаем, что существует константа $\widetilde C_1=\widetilde C_1(\varepsilon)$ такая, что при $\widetilde{\mathbf z}_1,\widetilde{\mathbf z}_2\in\pi^{-1}(K^\varepsilon(n))$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}_1)}{\psi_n(\widetilde{\mathbf z}_2)}\leqslant e^{2S\widetilde C_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
|h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)|\leqslant C_{m+1}^k C_{j_1,\dots,j_k}e^{2S\widetilde C_1}e^{-n(u_k(z)-u_{k-1}(z))}.
\end{equation}
\tag{85}
$$
Так как (см. [8; приложение 1, лемма 1]) функции $u_i$ непрерывны в $\mathbb C$ и при $k>1$ функция $u_k(z)-u_{k-1}(z)$ непрерывна в окрестности $\infty$, а при $k=1$ она стремится к $+\infty$ при $z\to\infty$, то, поскольку компакт $K$ не пересекается с $F_k$, имеем $\varkappa:=\min_{z\in K} ( u_k(z)-u_{k-1}(z))>0$. Значит, Так как $\varkappa>0$, то $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in K^\varepsilon(n)}|h_{n;j_1,\dots,j_k}(z)| = 0$.
Теперь докажем (83). Из (84) получаем, что при $z\in K$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\frac{P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)}{P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)} -\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr| \\ \notag &\qquad= \biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\cdot \biggl|\frac{h_{n; j_1,\dots,j_k}(z)-h_{n;i_1,\dots, i_k}(z)}{1+h_{n;i_1,\dots, i_k}(z)}\biggr| \\ &\qquad \leqslant \biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\cdot \frac{|h_{n; j_1,\dots, j_k}(z)|+|h_{n;i_1,\dots, i_k}(z)|}{|1+h_{n;i_1,\dots, i_k}(z)|}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{86}
$$
Поскольку $K_\varepsilon(n)\subset K_1$, то
$$
\begin{equation}
\max_{z\in K^\varepsilon(n)}\biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|\leqslant \max_{z\in K_1}\biggl|\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,i_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr|=: C_{j_1,\dots,j_k}^{i_1,\dots,i_k}<\infty.
\end{equation}
\tag{87}
$$
Так как мы показали, что $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in K^\varepsilon(n)}|h_{n;i_1,\dots,i_k}(z)|=0$, то существует такое $N$, что при всех $n>N$ и $z\in K^\varepsilon(n)$ имеем $|1+h_{n;i_1,\dots,i_k}(z)|>1/2$. Следовательно, учитывая (87) и (85), из (86) получаем, что при $n>N$ и $z\,{\in}\, K^\varepsilon(n)$
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{P_{n;j_1,\dots,j_k}(z)}{P_{n;i_1,\dots,i_k}(z)} -\frac{M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}{M_{i_1,\dots,_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})}\biggr| \leqslant \widetilde C_0 e^{-n(u_k(z)-u_{k-1}(z))},
\end{equation}
\tag{88}
$$
где $\widetilde C_0=2C_{m+1}^kC_{j_1,\dots,j_k}^{i_1,\dots,i_k}(C_{j_1,\dots,j_k}+C_{i_1,\dots,i_k})e^{2S\widetilde C_1}$ – константа. Из (88), очевидно, вытекает (83). Утверждение 3 доказано. Следствие 3. Пусть построенная по $\pi$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связна. Тогда для любого компакта $K\subset \mathbb C\setminus F_k$ при $n\to\infty$ имеем Более того, для произвольного $\varepsilon'>0$ выполнено Доказательство. Для доказательства этого следствия мы, грубо говоря, покажем, что в утверждении 3 в случае $\infty\not\in K$ можно из компакта $K$ выкидывать малые круги в евклидовой метрике вместо кругов в сферической метрике и не учитывать те круги, центры которых “далеки” от $K$. Итак, обозначим $B^\varepsilon_{z^*}:=\{z\colon |z-z^*|<\varepsilon\}$ – круг радиуса $\varepsilon$ с центром в $z^*$ в обычной евклидовой метрике на $\mathbb C$. Положим
$$
\begin{equation}
r= \max_{\zeta\in K}\operatorname{dist}(0,\zeta)+\dfrac13\operatorname{dist}(K,\infty), \qquad R= \max_{\zeta\in K}\operatorname{dist}(0,\zeta)+\dfrac23\operatorname{dist}(K,\infty).
\end{equation}
\tag{91}
$$
Обозначим через $\{v_i(n)\}_{i=1}^{l(n)}$, $l(n)\leqslant 2S+W$, те из точек $a_i(n), b_i, w_i$, которые попадают в $\overline {O^r_0}$, и определим $\widetilde K^\varepsilon(n):=K\setminus\bigcup_{i=1}^{l(n)}B_{v_i(n)}^\varepsilon$. Пусть $C$ – константа подчиненности евклидовой метрики сферической на $\overline {O^R_0}$, т.е. $C$ такова, что при $z_1,z_2\in \overline {O^R_0}$ имеем $|z_1-z_2|\leqslant C\operatorname{dist}(z_1,z_2)$. Пусть далее $\varepsilon<C\operatorname{dist}(K,\infty)/3$. Тогда, с одной стороны, при $z^*\in \overline {O^r_0}$ имеем $O^{\varepsilon/C}_{z^*}\subset B^\varepsilon_{z^*}$, а с другой, при $z^*\in \widehat{\mathbb C}\setminus\overline {O^r_0}$ имеем $O^{\varepsilon/C}_{z^*}\cap K = \varnothing$. Следовательно, $\widetilde K^\varepsilon(n)\subset K^{\varepsilon/C}(n)$. Поэтому в случае $\infty\not\in K$ можно компакты $K^\varepsilon(n)$ заменить на $\widetilde K^\varepsilon(n)$ и утверждение 3 останется в силе. Поскольку $K\setminus\widetilde K^\varepsilon(n)$ вложено в объединение не более чем $2S + W$ евклидовых кругов радиуса $\varepsilon$ и с центрами на компакте $\overline {O^r_0}$, то $\operatorname{cap}(K\setminus\widetilde K^\varepsilon(n))\leqslant \operatorname{const} \varepsilon^{1/(2S+W)}$ (это следует из стандартной оценки для емкости объединения множеств, см., например, [15; теорема 5.1.4]). Следовательно, $\operatorname{cap}(K\setminus\widetilde K^\varepsilon(n))\to 0$ при $n\to \infty$. Отсюда и из утверждения 3 (с заменой $K^\varepsilon(n)$ на $\widetilde K^\varepsilon(n)$), очевидно, вытекает данное следствие. Замечание 4. Поскольку в утверждении 3 и следствии 3 рассматриваются отношения $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, то они останутся в силе, если рассматривать произвольные $k$-е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, удовлетворяющие (1) (а не только те, для которых функция $\log|\widetilde R_n|$ сферически нормирована на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ (49)). § 6. Условие связности римановой поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$В этом параграфе мы обсудим условие из теорем 1 и 2 связности поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Прежде всего поясним, почему это условие необходимо для доказательства (нашим способом) теорем 1 и 2. Ключевым местом для нас было получение выражения (43) для дивизора $(\widetilde R_n)$ и вывод из него представления (47) для функции $|\widetilde R_n|$:
$$
\begin{equation*}
|\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z})|=C_n e^{-n\widetilde u(\widetilde{\mathbf z})}\psi_n(\widetilde{\mathbf z}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_n>0$ – константа. После этого мы фиксировали нормировку функций $\widetilde u$ и $\log\psi_n$ (сферическую на листе $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$ (48)). Далее, поскольку $\widetilde R_n$ выражаются через $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ формулой (23), то, домножая все $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ на одну и ту же константу, мы могли выбрать произвольную, удобную нам константу $C_n$ (мы полагали $C_n=1$ (49)). В случае же, когда поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ несвязна, из (43) следует представление (47) только на каждой компоненте связности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Следовательно, константа $C_n$ на каждой компоненте связности может быть своя, а домножать все $P_{n;i_1,\dots,i_k}$, а значит, и $\widetilde R_n$ мы по-прежнему можем на одну общую константу, т.е. мы можем только одновременно умножить все $C_n$ на одну константу. Таким образом, мы не можем выбрать произвольную, удобную нам нормировку функции $\widetilde R_n$. Более того, если $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ несвязна, то из того, что $\widetilde R_n\not\equiv 0$, следует только, что существует хотя бы одна компонента связности, на которой $\widetilde R_n\not\equiv 0$, а на других компонентах такое вполне возможно. Можно показать, что в этом случае для $|\widetilde R_n|$ будет верно представление (47) со своей константой $C_n\geqslant 0$ на каждой компоненте связности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, т.е. $C_n$ может обращаться в нуль на некоторых компонентах. Кроме того, так же как и $\widetilde R_n$, в тождественный нуль на некоторых компонентах связности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ могут обращаться функции $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z})$ (19). Поэтому в случае несвязности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, даже если предположить, что мы как-то решили проблему нормировки $\widetilde R_n$, в представлении для $P_{n;i_1,\dots,i_k}$ через $\widetilde R_n$ (54) “главный асимптотический член может не соответствовать листу $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}^{(01\dots k-1)}$”. В частности, может так оказаться, что в (55) функция $M_{j_1,\dots,j_k}(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ обращается в тождественный нуль в некоторой окрестности. Более того, если $\widetilde R_n(\widetilde{\mathbf z}^{(01\dots k-1)})$ обращается в нуль в некоторой окрестности, то само представление (55) некорректно, поскольку в этом случае функция $h_{n; j_1,\dots,j_k}$ (56) не определена. Теперь обсудим само условие связности поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$. Напомним, что у нас фиксирована компактная риманова поверхность $\mathfrak R$ и $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ – $(m+1)$-листное разветвленное накрытие $\widehat{\mathbb C}$. Таким образом, можно считать, что $\mathfrak R$ – это стандартная компактификация римановой поверхности $\mathfrak R'$ $(m+1)$-листной полной аналитической функции (ПАФ) $w(\cdot):=\pi^{-1}(\cdot)$ в области $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$ (где $\Sigma$ – множество критических значений $\pi$). Точки $\mathfrak R'$ – это пары $(z, w^z)$, где $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, а $w^z$ – росток ПАФ $w$ в точке $z$. Поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ определяется как стандартная компактификация римановой поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ всевозможных неупорядоченных наборов из $k$ различных ростков ПАФ $w$, рассматриваемых в одних и тех же точках $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$ (подробнее см. § 4). Таким образом, связность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ эквивалентна связности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$. В наших рассуждениях мы будем доказывать связность или несвязность именно поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$, не указывая это в формулировках. Точки поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ мы, как и раньше, будем обозначать $(z, \{w_1^z,\dots,w^z_{k}\})$, где $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, а $\{w^z_1,\dots,w^z_{k}\}$ – неупорядоченный набор из $k$ различных ростков функции $w(\cdot)$ в точке $z$. Первым делом заметим, что при $k=1$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[1]}'$ по построению в точности совпадает с поверхностью $\mathfrak R'=\mathfrak R\setminus\pi^{-1}(\Sigma)$. Легко видеть, что при $k=m$ поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[m]}'$ изоморфна поверхности $\mathfrak R'$. Действительно, пусть $(z, \{w_1^z,\dots,w^z_{m}\})\in\widetilde{\mathfrak R}_{[m]}'$. Положим $w^z_{m+1}$ – единственный из ростков ПАФ $w$ в точке $z$, который не содержится в множестве $\{w_1^z,\dots,w^z_{m}\}$. Искомый изоморфизм переводит $(z, \{w_1^z,\dots,w^z_{m}\})$ в $(z, w^z_{m+1})$. Таким образом, поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[1]}$ и $\widetilde{\mathfrak R}_{[m]}$ всегда связны. Теперь покажем, что для следующего класса проекций $\pi$ все поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, $k=1,\dots, m$, связны. Утверждение 4. Пусть проекция $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ такова, что все ее критические точки первого порядка и над каждой точкой $z\in\widehat{\mathbb C}$ лежит не более одной критической точки $\pi$. Тогда все поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$, $k=1,\dots, m$, связны. Доказательство. Поскольку, как отмечалось ранее, поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[1]}$ и $\widetilde{\mathfrak R}_{[m]}$ всегда связны, то далее считаем, что $m\geqslant 3$ и фиксировано некоторое $k=2,\dots, m-1$. Покажем, что поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ связна.
Пусть $a_1,\dots,a_J$ – точки ветвления ПАФ $w:=\pi^{-1}$ (т.е. $\Sigma=\{a_1,\dots,a_J\}$). Условие теоремы означает, что над каждой точкой $a_j$ лежит ровно одна точка ветвления ПАФ $w$ и ее порядок равен 2. Так как множество $\Sigma$ конечное, то существует точка $a\in\mathbb C$ такая, что все отрезки $[a,a_j]$, $j=1,\dots,J$, пересекаются только по точке $a$ (если $\infty\in\Sigma$, то под отрезком $[a,\infty]$ мы понимаем какой-нибудь луч из $a$ в $\infty$, не содержащий другие точки $a_j$). Положим $S:=\bigcup_{j=1}^J [a,a_j]$. Следовательно, $\widehat{\mathbb C}\setminus S$ связно. Очевидно, что над $\widehat{\mathbb C}\setminus S$ поверхность $\mathfrak R$ распадается на $m+1$ непересекающихся связных листов, на каждом из которых $\pi$ биголоморфна. В терминах $w$ это означает, что над $\widehat{\mathbb C}\setminus S$ ПАФ $w$ распадается на $m+1$ различных голоморфных функций – ветвей $w$, которые мы будем обозначать $w_1(\cdot),\dots, w_{m+1}(\cdot)$. Везде далее считаем, что при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus S$ росток $w_i^z$ – это росток именно функции $w_i(\cdot)$ в точке $z$, $i=1,\dots, m+1$. Зафиксируем $z^*\in\widehat{\mathbb C}\setminus S$. Мы покажем, что для любого набора различных $k+1$ индексов $i_1,\dots,i_{k+1}$ с условием $1\leqslant i_s\leqslant m+1$ существует такой путь $\gamma\subset\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$ с началом и концом в $z^*$, что, продолжая вдоль него любой из ростков $w^{z^*}_{i_s}$ при $s=1,\dots, k-1$, мы вновь получим росток $w^{z^*}_{i_s}$, а продолжая $w^{z^*}_{i_k}$, получим $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Следовательно, поднятие этого пути на $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ будет соединять точку $(z^*, \{w^{z^*}_{i_1},\dots,w^{z^*}_{i_{k-1}}, w^{z^*}_{i_{k}}\})$ с точкой $(z^*, \{w^{z^*}_{i_1},\dots,w^{z^*}_{i_{k-1}}, w^{z^*}_{i_{k+1}}\})$. Ясно, что беря композицию нескольких путей, аналогичных $\gamma$, мы для любой наперед заданной точки $(z^*, \{w^{z^*}_{j_1},\dots, w^{z^*}_{j_{k}}\})\in\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$ построим путь, соединяющий точку $(z^*, \{w^{z^*}_{i_1},\dots, w^{z^*}_{i_{k}}\})$ с ней. Ввиду связности $\widehat{\mathbb C}\setminus S$ это будет означать связность $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$. Итак, построим путь $\gamma$. Поскольку по условию поверхность $\mathfrak R'$ ПАФ $w$ связна, то существует путь $\gamma'\subset\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, продолжая вдоль которого $w^{z^*}_{i_k}$, мы получаем $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Для каждого $j=1,\dots, J-1$ фиксируем (ориентированную) петлю $\alpha_j$ вокруг точки $a_j$ с началом и концом в $z^*$ с условием, что $\alpha_j$ пересекает $S$ по единственной точке, которая лежит на интервале $(a, a_j)$. Тогда путь $\gamma'$, как путь в $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$, гомотопен пути $\gamma''$, состоящему из композиций каких-то путей $\alpha_j$ и $\alpha_j^{-1}$, где $\alpha_j^{-1}$ – петля $\alpha_j$, пройденная в обратном направлении. Следовательно, результаты продолжения любого ростка ПАФ $w$ по путям $\gamma'$ и $\gamma''$ совпадают, в частности, $w^{z^*}_{i_k}$ продолжается вдоль $\gamma''$ в $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Посмотрим, что происходит с ростками ПАФ $w$ при продолжении вдоль петель $\alpha_j$. Так как все точки ветвления $w$ второго порядка, то результаты продолжения ее ростков в точке $z^*$ по петлям $\alpha_j$ и $\alpha_j^{-1}$ совпадают. Поэтому далее считаем, что путь $\gamma''$ состоит только из петель $\alpha_j$. Поскольку над каждой точкой $a_j$ лежит ровно одна точка ветвления второго порядка, то при обходе петли $\alpha_j$ переставляются друг с другом только два ростка из всего набора $w^{z^*}_1,\dots,w^{z^*}_{m+1}$, а остальные не меняются. Если при обходе петли $\alpha_j$ росток $w^{z^*}_s$ переходит в $w^{z^*}_t$ (возможно, с ним совпадающий), то мы это будем обозначать как $w^{z^*}_s\xrightarrow{\alpha_j} w^{z^*}_t$. Итак, пусть путь $\gamma''$ состоит из $B$ петель $\alpha_j$: где $j_s\subset\{1,\dots,J-1\}$. Обозначим $w^{z^*}_{r_1}:=w^{z^*}_{i_k}$, $w^{z^*}_{r_{B+1}}:=w^{z^*}_{i_{k+1}}$ и пусть $w^{z^*}_{r_{l}}\xrightarrow{\alpha_{j_l}} w^{z^*}_{r_{l+1}}$, $l=1,\dots,B$, т.е.
$$
\begin{equation}
w^{z^*}_{i_k}=:w^{z^*}_{r_1}\xrightarrow{\alpha_{j_1}}w^{z^*}_{r_2} \xrightarrow{\alpha_{j_2}}\dotsb\xrightarrow{\alpha_{j_{B-1}}}w^{z^*}_{r_{B}} \xrightarrow{\alpha_{j_{B}}} w^{z^*}_{r_{B+1}}:=w^{z^*}_{i_{k+1}}.
\end{equation}
\tag{93}
$$
Пусть $w^{z^*}_{r_{l}}=w^{z^*}_{r_{l'}}$ для некоторых $1\leqslant l<l'\leqslant B+1$. Тогда, выкинув из представления для $\gamma''$ (92) кусок $\alpha_{j_{l'}}\circ\dots\circ\alpha_{j_{l}}$, мы вновь получим путь, переводящий $w^{z^*}_{i_k}$ в $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Поэтому везде далее считаем, что $\gamma''$ такой путь, что для него в (93) все $w^{z^*}_{r_{l}}$ различны. Покажем, что тогда путь
$$
\begin{equation}
\gamma:=\alpha_{j_1}\circ\dots\circ\alpha_{j_{B-1}}\circ\alpha_{j_B} \circ\alpha_{j_{B-1}}\circ\dots\circ\alpha_{j_1}
\end{equation}
\tag{94}
$$
искомый.
Сначала покажем, что продолжение $w^{z^*}_{i_k}$ по $\gamma$ дает $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Поскольку по построению все $w^{z^*}_{r_{l}}$ в (93) различные, то обход по петле $\alpha_{j_l}$, $l=1,\dots,B$, меняет местами ростки $w^{z^*}_{r_{l}}$ и $w^{z^*}_{r_{l+1}}$, а остальные ростки $w$ в $z^*$ оставляет на месте. Следовательно, обход по петлям $\alpha_{j_l}$, $l=1,\dots,B-1$, росток $w^{z^*}_{i_{k+1}}$ не меняет. Так как продолжение $w^{z^*}_{i_k}$ по $\gamma''$ (92) дает $w^{z^*}_{i_{k+1}}$, то, учитывая вид $\gamma$ (94), отсюда заключаем, что продолжение $w^{z^*}_{i_k}$ по $\gamma$ также дает $w^{z^*}_{i_{k+1}}$. Теперь докажем, что для всех $s=1,\dots,k-1$ продолжение $w^{z^*}_{i_s}$ по $\gamma$ дает тот же росток $w^{z^*}_{i_{s}}$. Фиксируем такое $s$ и пусть продолжение $w^{z^*}_{i_s}$ по пути $\alpha_{j_{B-1}}\circ\dots\circ\alpha_{j_1}$ – это некоторый росток $w^{z^*}_b$. Покажем, что обход по петле $\alpha_{j_B}$ не меняет $w^{z^*}_b$. Предположим противное. Тогда, так как в (93) все $w^{z^*}_{r_{l}}$ различны, имеем $w^{z^*}_b = w^{z^*}_{r_{B+1}}$. Значит, продолжение ростка $w^{z^*}_{i_s}$ по пути $\alpha_{j_{B-1}}\circ\dots\circ\alpha_{j_1}$ дает $w^{z^*}_{r_{B+1}}=w^{z^*}_{i_{k+1}}$. С другой стороны, обход по петле $\alpha_{j_l}$, $l=1,\dots,B$, меняет местами ростки $w^{z^*}_{r_{l}}$ и $w^{z^*}_{r_{l+1}}$, а остальные оставляет на месте. Следовательно (поскольку $w^{z^*}_{i_{k+1}}\ne w^{z^*}_{i_s}$), среди ростков $w^{z^*}_{r_{l}}$, $l=1,\dots,B-1$, есть росток $w^{z^*}_{i_{k+1}}=w^{z^*}_{r_{B+1}}$. Противоречие с тем, что в (93) все $w^{z^*}_{r_{l}}$ различны. Значит, продолжение ростка $ w^{z^*}_{i_s}$ по пути $\gamma$ (94) совпадает с его продолжением по пути
$$
\begin{equation}
\alpha_{j_1}\circ\dots\circ\alpha_{j_{B-1}}\circ\alpha_{j_{B-1}}\circ\dots\circ\alpha_{j_1}\equiv \operatorname{Id},
\end{equation}
\tag{95}
$$
т.е. оставляет его на месте. Утверждение 4 доказано. Хотя утверждение 4 показывает, что класс проекций $\pi$, для которых поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ связны, довольно широк, следующее предложение 4 дает естественный класс проекций $\pi$, для которых поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ при всех $k=2,\dots,m-1$ несвязны. Поскольку $\mathfrak R$ – компактная риманова поверхность и $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ – $(m+1)$-листное разветвленное накрытие $\widehat{\mathbb C}$, то накрытие $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ изоморфно накрытию $\widehat{\mathbb C}$ алгебраической поверхностью, заданной в аффинной части $\widehat{\mathbb C}_z\times\widehat{\mathbb C}_w$ некоторым алгебраическим уравнением $P(z, w)=0$, где $P$ – неприводимый многочлен степени $(m+1)$ по $w$, с естественной проекцией $(z,w)\mapsto z$. Соответственно поверхность $\mathfrak R'$ будет изоморфна римановой поверхности ПАФ $w$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus\Sigma$. Предложение 4. Пусть $\mathfrak R$ – риманова поверхность, заданная алгебраическим уравнением $w^{m+1}=R(z)$, где $m\geqslant 3$, $R(z)=P(z)/Q(z)$, где $P$ и $Q$ – полиномы, и многочлен $w^{m+1}Q(z)-P(z)$ неприводим. Пусть $\pi\colon \mathbf z=(z,w)\mapsto z$. Тогда поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}$ при всех $k=2,\dots,m-1$ несвязны. Доказательство. Поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[k]}'$, $\widetilde{\mathfrak R}_{[m+1-k]}'$ изоморфны (искомый изоморфизм переводит точку $(z, \{w_1^z,\dots,w^z_{k}\})$ в точку $(z, \{w_{k+1}^z,\dots,w^z_{m+1}\})$, где $w_{k+1}^z,\dots,w^z_{m+1}$ – ростки $w$ в точке $z$, не содержащиеся среди ростков $w_1^z,\dots,w^z_{k}$), поэтому можно считать, что $k\leqslant (m+1)/2$.
Точки ветвления ПАФ $w(z)=\sqrt[m+1]{R(z)}$ содержатся среди нулей и полюсов функции $R(z)$. Пусть $a$ – нуль или полюс $R(z)$ порядка $l$, а $d$ – наибольший общий делитель $(m+1)$ и $l$. Тогда над $a$ у $w$ лежит $d$ точек ветвления порядка $({m+1})/{d}$. Поэтому при обходе точки $a$ отношение любых двух ростков функции $w$ сохраняется. Значит, если $w^{z^*}_r, w^{z^*}_t$ – два ростка ПАФ $w(z)$ в произвольной точке $z^*\in\widehat{\mathbb C}\setminus \Sigma$, то отношение $w^{z^*}_r/ w^{z^*}_t$ сохраняется при продолжении вдоль любого пути $\gamma$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus \Sigma$ с началом и концом в $z^*$. Фиксируем точку $z^*\in\mathbb C$, не являющуюся ни нулем, ни полюсом функции $R(z)$. Пусть $w^{z^*}_1$ – какой-нибудь росток $w$ в $z^*$. Для каждого $j=2,\dots,m+1$ обозначим через $w^{z^*}_j$ росток $w$ в $z^*$ с условием Напомним, что мы считаем $k\leqslant (m+1)/2$. Покажем, что не существует пути $\gamma\subset\widehat{\mathbb C}\setminus \Sigma$ с началом и концом в $z^*$, продолжая вдоль которого неупорядоченный набор ростков $\{w^{z^*}_1,w^{z^*}_2,\dots,w^{z^*}_{k}\}$, мы получим набор ростков $\{w^{z^*}_1,w^{z^*}_2,\dots, w^{z^*}_{k-1},w^{z^*}_{s}\}$, где $s=(m+1)/2+1$ при нечетном $m$ и $s=m/2+1$ при четном $m$. Действительно, $\arg(w^{z^*}_s(z^*)/w^{z^*}_1(z^*))=2\pi(s-1)/(m+1)$, а аргументы всевозможных отношений $w^{z^*}_r(z^*)/w^{z^*}_t(z^*)$ при $r,t\leqslant k\leqslant (m+1)/2$ не превосходят $2\pi(s-2)/(m+1)$ (по модулю $2\pi$). Следовательно, среди ростков $w^{z^*}_1, w^{z^*}_2,\dots,w^{z^*}_{k}$ нет таких, отношение которых в точке $z^*$ равно $w^{z^*}_s(z^*)/w^{z^*}_1(z^*)$. Поскольку, как мы показали, при продолжении по любому замкнутому пути отношение произвольных двух ростков $w$ сохраняется, это доказывает несуществование требуемого $\gamma$. Предложение доказано.В завершение этого пункта мы подробнее рассмотрим простейший случай, когда $m=3$ и, соответственно, $k=2$. Поскольку в этом случае накрытие $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ – четырехлистно, то накрытие $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ – 6-листно, причем легко видеть, что каждая его компонента связности не менее чем 2-листна. Тем самым имеются три возможности: 1) $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ состоит из трех двулистных компонент связности, 2) $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ состоит из одной двулистной и одной четырехлистной компоненты связности, 3) $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ – связное 6-листное накрытие. Мы покажем, что все эти возможности реализуются, приведя соответствующие явные примеры. Все соответствующие поверхности $\mathfrak R$ будут топологическими сферами, т.е. поверхностями нулевого рода. Пример 1. Пусть $\mathfrak R$ – компактификация римановой поверхности ПАФ $w(z)=\sqrt{z}+\sqrt{z-1}$ и $\pi\colon (z,w)\mapsto z$. Тогда легко видеть, что накрытие $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ изоморфно (под действием изоморфизма, сохраняющего базу) несвязному объединению накрытий $\widehat{\mathbb C}$ с помощью ПАФ $w_{(1)}(z) = \sqrt z$, $w_{(2)}(z) = \sqrt {z-1}$, $w_{(3)}(z) = \sqrt {z/(z-1)}$. Пример 2. Пусть $\mathfrak R$ – компактификация римановой поверхности ПАФ $w(z)=\sqrt[4]z$ и $\pi\colon (z,w)\mapsto z$. Тогда легко видеть, что накрытие $\widetilde\pi\colon\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}\to\widehat{\mathbb C}$ изоморфно (под действием изоморфизма, сохраняющего базу) несвязному объединению накрытий $\widehat{\mathbb C}$ с помощью ПАФ $w_{(1)}(z) = \sqrt z$, $w_{(2)}(z) = \sqrt[4]{z}$. Примеры 1 и 2 показывают, что для накрытий $\pi$, задаваемых явно через ПАФ $w(z)=\pi^{-1}(z)$, выражающуюся в радикалах от $z$, трудно ожидать связности поверхности $\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}$. Более того, нетрудно показать, что если $w$ удовлетворяет полиномиальному уравнению $P(z,w)=0$, которое биквадратно по $w$, то соответствующая поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}$ всегда несвязна. Обширный класс примеров, когда поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}$ связна, дает утверждение 4. Однако само по себе оно не дает явного задания таких поверхностей, например, как решение соответствующего уравнения. Пусть ПАФ $w$ задается алгебраическим уравнением $z=R(w):=P_4(w)/Q_2(w)$, где $P_4(w)$ и $Q_2(w)=(w-a)(w-b)$ – полиномы степеней 4 и 2 соответственно, не имеющие общих корней, и $a\ne b$. Потребуем также, чтобы производная $R'(w)$ не имела кратных нулей (т.е. все нули $w_1,\dots, w_5$ полинома $P_4'Q_2-P_4Q_2'$ различные). Пусть $\mathfrak R$ – компактификация римановой поверхности такой ПАФ $w$ и $\pi\colon (z,w)\mapsto z$. Тогда $\mathfrak R$ – это топологическая сфера (так как $w$ является глобальной координатой) и у ПАФ $w=\pi^{-1}$ ровно пять точек ветвления второго порядка в аффинной части $R(w_1),\dots, R(w_5)$ и одна точка ветвления второго порядка в $\infty$. Следовательно, чтобы такая $\pi$ удовлетворяла условию утверждения 4 и, соответственно, поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}$ была связна, необходимо потребовать, чтобы $R(w_j)\ne R(w_l)$ для $l\ne j$. Приведем явный пример такой поверхности. Пример 3. Пусть $\mathfrak R$ – риманова поверхность алгебраической функции $w$, заданной как решение уравнения и $\pi\colon (z,w)\mapsto z$. Тогда поверхность $\widetilde{\mathfrak R}_{[2]}$ связна. Действительно, обозначим правую часть (96) через $R(w)$, ее числитель через $P_4(w)$, а знаменатель через $Q_2(w)$. Тогда Следовательно, нули $R(w)$ – это $0$, $\pm 1$, $\pm i$. В соответствии с вышесказанным остается проверить, что значения в них функции $R$ различны. Действительно, $R(0)=0$, $R(1)=(3+6i)/5$, $R(-1)=3+6i$, $R(i)=(-3+6i)/5$, $R(-i)=-3+6i$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kom21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|