| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Необходимое и достаточное условие существования простых замкнутых геодезических на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве А. А. Борисенко Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина Национальной академии наук Украины, г. Харьков, Украина
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9576 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВопросу существования, а также оценке числа простых замкнутых геодезических на полных римановых и финслеровых многообразиях посвящено огромное количество работ (см. [1]). Под геодезической мы понимаем локально кратчайшую кривую. Замкнутая геодезическая называется простой, если она не имеет точек самопересечения и не повторяет себя. На нерегулярных метрических пространствах дело усложняется тем, что на нем есть точки, через которые не проходят геодезические. Д. Фукс и К. Фукс дополнили и систематизировали результаты по замкнутым геодезическим на правильных многогранниках в трехмерном евклидовом пространстве (см. [2]). В работе В. Ю. Протасова [3] найдены условия существования простых замкнутых геодезических на произвольном тетраэдре в евклидовом пространстве и дана оценка сверху количества таких геодезических в зависимости от величины полных углов при вершинах тетраэдра. В. Ю. Протасов показал, что на тетраэдрах в евклидовом пространстве любая простая замкнутая геодезическая полностью определяется парой взаимно простых чисел $(p,q)$ (см. [3]). Простая замкнутая геодезическая на тетраэдре имеет тип $(p, q)$, если данная геодезическая имеет по $p$ вершин на одной паре противоположных ребер тетраэдра, по $q$ вершин на другой паре противоположных ребер тетраэдра, и по $ p+q $ вершин на оставшихся двух противоположных ребрах тетраэдра. Этой парой чисел определяется комбинаторный тип геодезической, а значит, с точностью до изометрии тетраэдра, порядок пересечения ребер тетраэдра. Это справедливо и для тетраэдров в пространствах постоянной кривизны. На правильных тетраэдрах в евклидовом пространстве существует не одна простая замкнутая геодезическая типа $(p, q)$, а целое семейство. На развертке они изображаются семейством параллельных отрезков одинаковой длины (см. [2]). Оказывается, из этого семейства можно выбрать простую замкнутую геодезическую, которая проходит через середины двух пар противоположных ребер (см. [4]). Доказательство в евклидовом пространстве следует из того факта, что евклидова плоскость допускает разбиения на правильные треугольники. При развертках граней тетраэдра, через которые проходит геодезическая, на евклидову плоскость грани переходят в треугольники разбиения плоскости, а геодезическая – в отрезок прямой, который не проходит через вершины разбиения плоскости на правильные треугольники. § 2. Тетраэдры в пространстве ЛобачевскогоПлоскость Лобачевского не допускает разбиения на правильные треугольники при произвольном угле $\alpha$ треугольника. Поэтому классификация простых замкнутых геодезических на правильных тетраэдрах в пространстве Лобачевского сначала проводится для тетраэдров, угол грани которых мал, и развертка является выпуклым многоугольником. Доказывается априорная оценка расстояния простой замкнутой геодезической от вершин тетраэдра. Далее методом продолжения по параметру $\alpha$ проводится классификация простых замкнутых геодезических для всех правильных тетраэдров в пространстве Лобачевского (см. [4]). Нами доказано, что на каждом правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского для произвольной упорядоченной пары взаимно простых натуральных чисел $(p, q)$ существует единственная, с точностью до изометрии тетраэдра, простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ и она проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Данными геодезическими исчерпываются все простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в пространстве Лобачевского. Также доказано, что на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского с углом грани величины $\alpha$ асимптотика числа простых замкнутых геодезических длины не больше $L$ равна $c(\alpha) L^2$ при $L \to +\infty$ (см. [4]). В евклидовом пространстве $\mathbb{E}^3$ тетраэдр общего положения не имеет простой замкнутой геодезической. В. Ю. Протасов дал оценку сверху числа простых замкнутых геодезических в зависимости от наибольшего отклонения от $\pi$ суммы плоских углов при вершинах тетраэдра [3]. Совсем иная ситуация в пространстве Лобачевского, если углы грани тетраэдра достаточно маленькие. Имеет место Теорема 1. Если углы граней тетраэдра в пространстве Лобачевского не больше чем $\pi/4$, то для любой пары взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Доказательство. Рассмотрим $(p,q)$ развертку тетраэдра на плоскость Лобачевского, начиная с произвольного ребра $AB$. В одной вершине развертки могут сходиться не более четырех граней. Пусть $\alpha = \max \alpha_i$ углов граней. Если $\alpha \leqslant \pi/4$, то развертка будет выпуклым многоугольником. Но возле вершин $A$, $B$, $A'$ и $B'$ сходится не больше чем две грани. Поэтому углы $A$, $B$, $A'$ и $B'$ меньше $\pi/2$.
Рассмотрим четырехугольник $A B A' B'$. Пусть точки $X(s)$ на отрезке $A B$ и $X'(s)$ на отрезке $A'B'$ таковы, что $X(0)=A$, $X'(0)=A'$, и длина $ AX(s)$ равна длине $A'X'(s)$ и равна $s$ (рис. 1). При $s=0$ сумма углов $\angle A$ и $\angle A'$ со стороны многоугольника меньше $\pi$. При $s=|AB|$ сумма углов $\angle B$ и $\angle B'$ вне многоугольника больше $\pi$. Поэтому найдется значение $s_0$ такое, что сумма углов $\angle X(s_0)$ и $\angle X'(s_0)$ равна $\pi$. Отрезку $X(s_0)X'(s_0)$ на развертке будет отвечать простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ на тетраэдре. Теорема 1 доказана. § 3. Вспомогательные факты и результатыВнутренняя геометрия правильного тетраэдра в сферическом пространстве зависит от величины $\alpha$ угла грани тетраэдра, и $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\pi/3 < \alpha \leqslant 2\pi/3$. Если $\alpha=2\pi/3$, то правильный тетраэдр является сферой. В таком случае на тетраэдре существует бесконечно много простых замкнутых геодезических – это большие окружности сферы. В совместной работе с Д. Д. Сухоребской были доказаны некоторые свойства простых замкнутых геодезических на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве (см. [5]). Они будут сформулированы в этом параграфе. Лемма 1 (см. [5]). Любая простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в сферическом пространстве проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра. Это свойство тетраэдра следует из теоремы Гаусса–Бонне и того факта, что поворот тетраэдра на угол $\pi$ вокруг большой окружности, которая проходит через середины двух противоположных ребер, является изометрией тетраэдра. Рассмотрим два правильных тетраэдра в пространствах постоянной кривизны (кривизна этих пространств может быть разной) и замкнутую геодезическую на каждом из них. Вершины тетраэдров поставим во взаимно однозначное соответствие, и соответствующим вершинам дадим одинаковые обозначения. Тогда замкнутые геодезические на этих тетраэдрах называются эквивалентными, если они пересекают ребра, имеющие одинаковые названия, в одинаковом порядке. Пусть на тетраэдре существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Зафиксируем вершину геодезической на середине ребра тетраэдра и будем последовательно разворачивать на единичную сферу все грани многогранника в том порядке, в котором их пересекает геодезическая. Полученный в процессе такого разворачивания многоугольник на единичной сфере называется разверткой тетраэдра. Геодезическая соответствует дуге большой окружности на развертке, соединяющей середины двух сторон развертки. Этот отрезок полностью лежит внутри развертки (рис. 2). Имеет место Лемма 2 (см. [5]). Развертка тетраэдра вдоль простой замкнутой геодезической состоит из четырех равных многоугольников, которые попарно накладываются друг на друга центральной симметрией относительно середины общего ребра. Аналогичную развертку типа $(p,q)$ мы можем построить для произвольного угла грани $\alpha$ и тогда, когда простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на тетраэдре не существует. Такую развертку назовем абстрактной разверткой $R_{p,q}(\alpha)$. На сфере эта развертка может быть с перекрытиями (рис. 3). Но мы будем рассматривать ее как абстрактный многоугольник, гомеоморфный кругу, с внутренней метрикой, так как каждая внутренняя точка этого многоугольника несет окрестность, изометричную внутренности круга на единичной сфере $\mathbb{S}^2$. Этот многоугольник локально изометрически погружен в сферу $\mathbb{S}^2$. При фиксированных $(p,q)$ мы получим однопараметрическое семейство замкнутых многоугольников. На них мы введем внутреннюю метрику, так как каждый треугольник грани есть треугольник на двумерной сфере. Имеет место Лемма 3 (см. [5]). I. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha \in (\pi/3, 2\pi/3 )$ существует конечное число простых замкнутых геодезических, и их длина меньше $2\pi$. II. Для любой пары взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ существуют такие числа $\alpha_1$ и $\alpha_2$, зависящие от $p$ и $q$ и удовлетворяющие условию $\pi/3< \alpha_1 < \alpha_2 < 2\pi/3$, что верны следующие два утверждения: 1) если $\pi/3< \alpha <\alpha_1$, то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha$ существует единственная, с точностью до изометрии тетраэдра, простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$, и она проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра; 2) если $\alpha_2 < \alpha < 2\pi/3$, то на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани величины $\alpha$ не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Из леммы 3, II, 1) следует, что при достаточно малых $\alpha$ отрезок, соединяющий на развертке середины крайних ребер $A_1A_2$ – точки $X_1$ и $X'_1$, – отвечает простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$, которая проходит через середины двух пар противоположных ребер – точки $X_1$, $X_2$, $Y_1$, $Y_2$ (см. рис. 2). Если отрезок $X_1 X'_1$ лежит внутри многоугольника $R_{p,q}(\alpha)$, то на тетраэдре $T(\alpha)$ с углом грани $\alpha$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Это следует из леммы 2, которая описывает симметрию развертки. Если нет, то на этом тетраэдре нет простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Наша цель найти необходимое и достаточное условие существования простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на правильном тетраэдре в сферическом пространстве. Развертки $R_{p,q}(\alpha)$ обладают также свойством симметрии при любом доступном $\pi/3<\alpha<2\pi/3$, и на них мы выделим соответственные точки $X_1(\alpha)$, $X_2(\alpha)$, $Y_1(\alpha)$, $Y_2(\alpha)$, $X'_1(\alpha)$. Рассмотрим спрямляемые кривые $L_{p,q}(\alpha)$ на $R_{p,q}(\alpha)$, которые соединяют точки $X_1(\alpha)$, $X'_1(\alpha)$ и проходят через точки $X_2(\alpha)$, $Y_1(\alpha)$, $Y_2(\alpha)$. Такое определение семейства кривых $L_{p,q}(\alpha)$ навеяно свойствами простых замкнутых геодезических, сформулированных в леммах 1, 2. Назовем длиной абстрактной кратчайшей развертки $R_{p,q}(\alpha)$ число $S_{p,q}(\alpha)$, равное инфимуму длин кривых $L_{p,q}(\alpha)$. § 4. Правильные тетраэдры в сферическом пространствеИмеет место Теорема 2. На правильном тетраэдре в сферическом пространстве кривизны 1 существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ тогда и только тогда, когда длина абстрактной кратчайшей развертки $R_{p,q}(\alpha)$ меньше $2\pi$. Доказательство. 1. Необходимое условие. В [5] было доказано, что длина любой простой замкнутой геодезической на правильном невырожденном тетраэдре в сферическом пространстве меньше $2\pi$. Это справедливо для любых замкнутых выпуклых поверхностей в сферическом пространстве (см. [6]). Если на тетраэдре $T(\alpha)$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$, то при развертке геодезической мы получим развертку $R_{p,q}(\alpha)$, а геодезическая перейдет в дугу большой окружности, которая лежит внутри $R_{p,q}(\alpha)$ и соединяет точки $X_1$, $X'_1$. Отсюда следует, что $S_{p,q}(\alpha) $ равно длине геодезической и меньше $2\pi$. 2. Достаточное условие. Докажем монотонность $S_{p,q}(\alpha) $. Пусть $L_{p,q}(\alpha)$ – кривая на развертке $R_{p,q}(\alpha)$, на которой достигается $S_{p,q}(\alpha) $. Пусть $O$ – центр вписанной сферы в $T(\alpha)$. Осуществим геодезическое отображение сферы $\mathbb{S}^3$ на евклидово пространство $\mathbb{E}^3 = T_{O}\mathbb{S}^3$. При этом тетраэдр $T(\alpha)$ перейдет в правильный тетраэдр $\widehat{ T}(\alpha)$ в евклидовом пространстве $\mathbb{E}^3$, а кривая $L_{p,q}(\alpha)$ – в кривую $\widehat{ L}_{p,q}(\alpha)$. Пусть $\widehat{ T}(\alpha(\lambda))=\lambda\widehat{ T}(\alpha)$, $\alpha(\lambda)<\alpha$, – тетраэдр, гомотетичный тетраэдру $\widehat{ T}(\alpha)$ с центром гомотетии $O$ и коэффициентом гомотетии $\lambda < 1$. При этом кривая $\widehat{ L}_{p,q}(\alpha)$ перейдет в кривую $\widehat{ L}_{p,q}(\alpha(\lambda))$, $\alpha(1)=\alpha$, $\alpha(\lambda)<\alpha$ при $\lambda<1$. Возьмем обратное геодезическое отображение $T_{O}\mathbb{S}^3$ на $\mathbb{S}^3$. Тетраэдр $\widehat{ T}(\alpha(\lambda))$ перейдет в правильный тетраэдр $T(\alpha(\lambda))$, $\alpha(\lambda)<\alpha$, а $\widehat{ L}_{p,q}(\alpha)$ – в $L_{p,q}(\alpha(\lambda))$. Кривая $L_{p,q}(\alpha(\lambda))$ принадлежит нашему классу кривых. Кривая $\widehat{ L}_{p,q}(\alpha)$ состоит из конечного числа отрезков на гранях правильного тетраэдра с концами на ребрах. Пусть $\widehat{z}(\alpha)$ – произвольный отрезок на произвольной грани тетраэдра $\widehat{T}(\alpha)$. Рассмотрим семейство отрезков $\lambda \widehat{z}$ на гомотетичных тетраэдрах $\lambda\widehat{T}(\alpha)$ с центром гомотетии в центре вписанной сферы в точке $O$ тетраэдра $\widehat{T}(\alpha)$. Рассмотрим дуги большой окружности $z(\lambda)$, геодезические образы которых суть отрезки $\lambda \widehat{z}$. Покажем, что длина $z(\lambda)$ является монотонно возрастающей функцией от $\lambda$. Пусть для определенности отрезок $\widehat{z}$ лежит на грани $A_1A_2A_3$, $x$, $y$ – расстояния от концов отрезка до точки $A_1$. Тогда Радиус шара, вписанного в тетраэдр $\widehat{ T}(\alpha)$ со стороной длины $a$, равен $r=a/(2\sqrt{6})$. Расстояния до точек $A_x$, $A_y$ (рис. 4) от центра тетраэдра $\widehat{ T}(\alpha)$ вычислим из треугольников $\triangle A_1\overline{O}A_x$, где $\overline{O}$ – центр грани, и $\triangle O\overline{O}A_x$, где $O$ – центр тетраэдра: Из $\triangle O\overline{O}A_x$ Из $\triangle O\overline{O}A_y$ Из треугольников $\triangle OSA_x$, $\triangle OSA_y$, где $S$ – центр сферы $S^3$, Из $\triangle A_xSA_y$
$$
\begin{equation*}
\cos z = \frac{(1+l^2_x) +(1+l^2_y)-|\widehat{z}|^2}{2 \sqrt{1+l^2_x} \sqrt{1+l^2_y}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $z$ – величина угла при вершине $S$.
Аналогично, для гомотетичных тетраэдров $\lambda \widehat{ T}(\alpha)$
$$
\begin{equation*}
\cos z(\lambda) = \frac{(1+\lambda^2 l^2_x) + (1+\lambda^2 l^2_y) - |\lambda\widehat{z}|^2}{2\sqrt{1+\lambda^2 l^2_x}\sqrt{1+\lambda^2 l^2_y}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Производная функции $z(\lambda)$ при $\lambda=1$ больше нуля. Отсюда следует, что длина кривой $L_{p,q}(\alpha(\lambda))$ меньше $S_{p,q}(\alpha)$ при $\lambda<1$, а значит, $S_{p,q}(\alpha(\lambda))<S_{p,q}(\alpha)$ при $\lambda<1$. В [5] было доказано, что при угле $\alpha_0< \alpha_1 $ (лемма 3, II, 1)) на тетраэдре $T(\alpha_0)$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. На развертке она переходит во внутренний отрезок $R_{p,q}(\alpha_0)$, соединяющий точки $X_1 $, $X'_1 $ на границе $R_{p,q}(\alpha_0)$. При $\pi/3<\alpha<\alpha_0$ на тетраэдре $T(\alpha)$ также существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Начиная с $\alpha_0$ будем увеличивать угол $\alpha$. Пока отрезок, соединяющий $X_1(\alpha)$, $X'_1(\alpha)$ на развертке $R_{p,q}(\alpha)$, будет лежать внутри развертки, будет существовать простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Пусть $\beta$ – первое значение $\alpha$, при котором отрезок $X_1(\alpha)X'_1(\alpha)$ коснется границы $R_{p,q}(\alpha)$ (рис. 5). Такое значение найдется, так как из леммы 3, II, 2) следует, что существует $\alpha_2$ такое, что при $\alpha > \alpha_2$ на тетраэдре $T(\alpha)$ не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Точка касания отрезка $X_1(\beta)X'_1(\beta)$ и границы развертки будет вершиной тетраэдра. Но так как $R_{p,q}(\beta)$ состоит из четырех симметричных друг другу многоугольников, то отрезок $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ касается четырех вершин $R_{p,q}(\beta)$: по две с каждой стороны относительно $X_1(\beta) X'_1(\beta)$. На тетраэдре это различные вершины тетраэдра $T(\beta)$. Пятой вершины касания на $R_{p,q}(\beta)$ нет, иначе бы на тетраэдре $T(\beta)$ через какую-то вершину кривая $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ проходила бы дважды. Так как для каждого отрезка полный угол с одной стороны равен $\pi$, то отрезки $l_1$, $l_2$ кривой $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ в вершине пересекаются под ненулевым углом, поскольку полный угол вершины меньше $2\pi$. При этом геодезические $X_1(\alpha) X'_1(\alpha)$ при $\alpha < \beta$ и близком $\beta$ также пересекаются, что противоречит простоте геодезической. Не может быть и случая, когда две вершины касания (например, $A_2$, $A_3$) слились. Эти две вершины не соединены ребром, так как если мы возьмем $\alpha<\beta$, $\lim \alpha = \beta$, то получим, что длина ребра, соединяющего эти две вершины касания, стремится к нулю (рис. 6). При $\alpha \to \beta$ полный угол при вершинах $A_2$, $A_3$ стремится к углу $\geqslant \pi$, иначе геодезические $X_1(\alpha) X'_1(\alpha)$ пересекли бы границу развертки при некотором $\alpha<\beta$. Не ограничивая общности, можем считать, что $\beta \leqslant \beta_0=2\arcsin \sqrt {7/18}<2\pi$, так как при $\beta \geqslant \pi/2$ существуют только три простые замкнутые геодезические (см. [5; лемма 4]). Эту оценку мы получаем из неравенства (4.6) при $p=2$, $q=1$, доказанного ранее в работе [5]. Чтобы полные углы $A_2$, $A_3$ в пределе были $\geqslant \pi$, необходимо, чтобы в вершинах $A_2$, $A_3$ сходились по крайней мере три треугольника и при $\alpha \to \beta$ из вершин $A_2$, $A_3$ выходили по два ребра треугольников развертки, которые пересекала геодезическая $X_1(\alpha) X'_1(\alpha)$. Тогда из слившейся вершины выходят четыре различные стороны треугольников. И мы получим, что из вершины тетраэдра выходят четыре ребра. И мы пришли к противоречию. Не может быть также случая, когда $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ касается вершин $A$ и $B$ развертки и обе эти вершины лежат по одну сторону от $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ и соединены ребром (рис. 7). Этого не может быть, и доказательство аналогично предыдущему случаю. В итоге при $\alpha=\beta$ отрезок $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ касается границы $R_{p,q}(\beta)$ в четырех точках, которые соответствуют вершинам тетраэдра. Кривая $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ делит тетраэдр на две области, гомеоморфные кругу. Каждая внутренняя точка имеет окрестность, изометричную кругу на сфере $\mathbb{S}^2$ кривизны 1, а граница является двуугольником. Стороны двуугольника имеют одинаковую длину, полный угол при вершинах равен $3\beta-\pi$, а геодезическая кривизна двуугольника равна нулю. Поэтому периметр этого двуугольника равен $2\pi$. Значит, длина $X_1(\beta) X'_1(\beta)$ равна $2\pi$, а тогда $S_{p,q}(\beta)=2\pi$. Если при данном $\alpha$ существует простая замкнутая геодезическая, то $S_{p,q}(\alpha)$ равно длине этой геодезической и, соответственно, меньше $2\pi$ при $\alpha<\beta$. В силу монотонности $S_{p,q}(\alpha)$ при $\alpha>\beta$ длина $S_{p,q}(\alpha)$ больше $2\pi$, и не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$ на тетраэдре $T(\alpha)$. Теорема 2 доказана. Тем самым дана полная классификация простых замкнутых геодезических на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве. Наглядно это можно представить следующим образом: если угол $\alpha$ грани тетраэдра мало отличается от $\pi/3$, то на тетраэдре $T(\alpha)$ есть простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ будет существовать на тетраэдре $T(\alpha)$ до тех пор, пока $S_{p,q}(\alpha) < 2\pi$. При этом $\alpha\,{<}\,\alpha_0$, где $S_{p,q}(\alpha_0) = 2\pi$. В силу монотонности $S_{p,q}(\alpha)$ при $\alpha \geqslant \alpha_0$ на тетраэдрах $T(\alpha)$ не существует простых замкнутых геодезических типа $(p,q)$. В [5] доказано, что если на правильном тетраэдре в сферическом пространстве кривизны 1 угол грани $\alpha$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\alpha > 2\arcsin \sqrt{ \frac{p^2+pq+q^2}{4(p^2+pq+q^2)-\pi^2} },
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
то на этом тетраэдре не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$, где $(p,q)$ – пара взаимно простых натуральных чисел. Из теоремы 2 мы можем получить достаточное условие на $\alpha$, при котором на тетраэдре $T(\alpha)$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Теорема 3. Если сторона $a$ правильного тетраэдра в сферическом пространстве удовлетворяет неравенству то на этом тетраэдре существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Доказательство. Пусть $O$ – центр вписанной и описанной сферы правильного тетраэдра $T(\alpha)$ в сферическом пространстве $\mathbb{S}^3$. Осуществим геодезическое отображение открытой полусферы $\mathbb{S}^3$, в которой находится $T(\alpha)$, на касательное пространство $\mathbb{E}^3=T_O\mathbb{S}^3$. При этом тетраэдр $T(\alpha)$ отобразится в правильный тетраэдр $\widehat{ T}(\alpha)$ евклидового пространства с центром в точке $O$. Середины ребер перейдут в середины ребер, $\widehat{ a}$ – длина ребра $\widehat{ T}(\alpha)$. Пусть $\widehat{\gamma}_{p,q}(\alpha)$ – простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$, которая проходит через середины двух пар противоположных ребер тетраэдра $\widehat{T}(\alpha)$. Ее длина (см. [5])
$$
\begin{equation}
\widehat{L}_{p,q}(\alpha)=2\widehat{ a}\sqrt{p^2+pq+q^2}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Возьмем $\alpha$ такие, что $\widehat{L}_{p,q}(\alpha)\,{<}\,2\pi$. Прообраз $\gamma_{p,q}(\alpha)$ геодезической $\widehat{\gamma}_{p,q}(\alpha)$ на $T(\alpha)$ будет иметь длину меньше чем $\widehat{L}_{p,q}(\alpha)$, т.е. меньше $2\pi$. Кривая $\gamma_{p,q}(\alpha)$ входит в класс допускаемых кривых для определения $S_{p,q}(\alpha)$. Поэтому $S_{p,q}(\alpha)\,{<}\,2\pi$, и из теоремы 2 следует, что на тетраэдре $T(\alpha)$ существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Осталось из неравенства получить оценку на $\alpha$ или равносильную оценку на $a$, так как Из (4.9) следует, чтоОсуществим геодезическое отображение сферы $\mathbb{S}^3$ с центра сферы $S$ на касательное пространство $T_O\mathbb{S}^3$. Рассмотрим $\bigtriangleup SOB$ в евклидовом пространстве, $B$ – середина ребра $A_1A_2$, $\widehat B$ – образ $B$ при геодезическом отображении (рис. 8), и Ребро $A_1A_2$ сферического тетраэдра перешло в ребро $\widehat A_1\widehat A_2$ правильного тетраэдра в евклидовом пространстве, $\widehat A_1\widehat A_2$ перпендикулярно $O\widehat B$. Из $\bigtriangleup S\widehat A_1 \widehat B$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\widehat{a} = |\widehat A_1 \widehat B|=|S\widehat B|\operatorname{tg}\frac{a}{2}=\frac{\operatorname{tg}(a/2)}{\cos |OB|}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Из $\bigtriangleup P A_1 A_2$ на грани тетраэдра в сферическом пространстве (рис. 9) следует
$$
\begin{equation}
\cos a = \cos^2 R_{\text{осн}} - \frac{1}{2} \sin^2 R_{\text{осн}},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $R_{\text{осн}} = |PA_1|=|PA_2|$, $P$ – центр вписанной и описанной окружности грани тетраэдра. Отсюда
Из $\bigtriangleup A_4PA_1$ (рис. 10) имеем где $|A_4P| = R+r$, где $R$ – радиус описанного шара вокруг тетраэдра $A_1A_2A_3A_4$, и $r$ – радиус вписанного шара. Тогда из (4.15) получаемИз $\bigtriangleup OA_1B$ Из (4.16) и (4.17) следует
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\cos |OB|}=\frac{\cos(a/2)}{\cos R}<\frac{\cos(a/2) \cos R_{\text{осн}} }{\cos a}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Из (4.12), (4.14) и (4.18) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\,\widehat{a} <\frac{\sin(a/2)}{\cos a}\sqrt{\frac{1+2\cos a}{3}} \leqslant \frac{\sin(a/2)}{\cos a} .
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Таким образом, из (4.7) и (4.20) длина простой замкнутой геодезической $\widehat{\gamma}_{p,q}(\alpha)$ типа $(p,q)$ на тетраэдре $\widehat{T}(\alpha)$
$$
\begin{equation}
\widehat{L}_{p,q}(\alpha) \leqslant 4 \frac{\sin(a/2)}{\cos a} \sqrt{p^2+pq+q^2}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Если потребуем, что $\widehat{L}_{p,q}(\alpha)<2\pi$, то из теоремы 2 следует, что на тетраэдре $T(\alpha)$ в сферическом пространстве существует простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$. Решая квадратное неравенство относительно $\sin(a/2)$, мы получим нужное утверждение. Теорема 3 доказана. Автор выражает сердечную благодарность Д. Д. Сухоребской за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor22} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|