| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Решето И. М. Виноградова и оценка неполной суммы Клоостермана М. А. Королёв Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9572 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $q$ – целое число, $(a,q)=1$, и пусть $1<x<q$. Неполной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$
\begin{equation}
S = S(q;a,x) = \sideset{}{'}\sum_{1\leqslant \nu\leqslant x}e_{q}(a\overline{\nu}), \qquad e_{q}(u) = e^{2\pi iu/q},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где штрих означает суммирование по числам $\nu$, взаимно простым с модулем $q$, а через $\overline{\nu}$ обозначается обратный к $\nu$ вычет: $\nu\overline{\nu}\equiv 1\pmod{q}$. В случае, когда $x\geqslant q^{0.5+\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число, нетривиальная оценка $S$ следует из классических результатов А. Вейля (1948 г.; см. [1], [2; приложение V, 11]). Проблема нахождения нетривиальной оценки $S$ в случае $x\leqslant \sqrt{q}$ долгое время оставалась открытой, пока в 1993 г. А. А. Карацубой в [3] (также см. [4]–[7]) не был предложен оригинальный метод оценок двойных сумм Клоостермана вида
$$
\begin{equation}
S(P,R) = S(q;a,b;P,R) = \sum_{P<p\leqslant P_{1}}\sum_{R<r\leqslant R_{1}}e_{q}(a\overline{p}\,\overline{r}+bpr), \qquad (ab,q)=1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $P_{1}\leqslant 2P$, $R_{1}\leqslant 2R$. С его помощью А. А. Карацубой (см. [8]) была получена и первая нетривиальная оценка суммы (1.1) вида справедливая уже при $x\geqslant q^{\varepsilon}$. Постоянная $c_{0}$ зависела лишь от $\varepsilon$ и была очень маленькой (порядка $1/[\varepsilon^{-1}]!$). В дальнейшем этот результат неоднократно уточнялся и обобщался (см. [9]–[13]). Наилучшая в настоящий момент (по величине понижающего множителя) оценка, справедливая для простого модуля $q$ и для всех значений $x$,
$$
\begin{equation}
\exp\bigl(c(\ln{q})^{2/3}(\ln{\ln{q}})^{4/3}\bigr)\leqslant x\leqslant q^{3/5},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
получена в [13] и имеет вид1
$$
\begin{equation}
|S|\ll x\Delta, \qquad \Delta = \frac{(\ln{q})(\ln{\ln{q}})^{2}}{(\ln{x})^{3/2}}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
В частном случае $x \asymp q^{\varepsilon}$ понижающий множитель $\Delta$ имеет порядок В настоящей статье мы уточняем оценку (1.4), правда, за счет некоторого сужения промежутка (1.3). Именно, справедлива Теорема 1.1. Пусть $q$ – простое число, $\exp\bigl(c(\ln{q})^{5/6}(\ln{\ln{q}})^{1/6}\bigr)\,{\leqslant}\, x\,{\leqslant}\, q^{3/5}$. Тогда Следствие 1.1. В случае $x\asymp q^{\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число, выполнено неравенство Замечание 1.1. Несложно проверить, что оценка теоремы 1.1 по точности превосходит оценку (1.4) при Используемые в настоящее время методы не позволяют оценить сумму $S$ с понижением, лучшим, чем $(\ln{q})^{-1}$. Поясним вначале идейную сторону работы. Суть метода А. А. Карацубы оценки суммы $S$ состоит в следующем. Все числа $\nu$, $1\leqslant \nu\leqslant x$, разбиваются на два множества: “исключительное множество” $\mathcal{A}$, сумма по которому оценивается тривиально величиной $|\mathcal{A}|$, и все оставшиеся числа, образующие множество $\mathcal{B}$. Слагаемые, отвечающие числам $\nu\in \mathcal{B}$, группируются в двойные суммы типа (1.2), которые весьма точно оцениваются с помощью теоремы А. А. Карацубы и ее модификации, принадлежащей Ж. Бургейну и М. З. Гараеву (см. далее лемму 2.1). Новое наблюдение, приводящее в итоге к уточнению (1.4), заключается в следующем. Ранее при оценке $S$ в исключительное множество помещались все числа $\nu$, $\nu\leqslant x$, все простые делители которых не превосходят $x^{\gamma}$ (где $\gamma>0$ – достаточно малая величина), т.е. так называемые “$x^{\gamma}$ – гладкие числа”. Теперь же все бесквадратные числа такого рода предлагается трактовать как делители $d$ произведения $\mathbb{P} = \prod_{p\leqslant x^{\gamma}}p$. К последним, как известно, применимо так называемое “решето Виноградова” (см. лемму 2.2). Последнее позволяет сводить суммы по числам $d$ к двойным сумма по переменным $d', d''$, каждая из которых независимо от другой пробегает некоторую возрастающую последовательность делителей числа $\mathbb{P}$. К таким двойным суммам удается применить оценки Карацубы–Бургейна–Гараева двойных сумм (1.2) и оценить их с хорошим понижением. Сумма по $x^{\gamma}$-гладким числам, делящимся на малые квадраты, исследуется подобным образом. Вклад от $x^{\gamma}$-гладких чисел, делящихся на большие квадраты, очень мал и оценивается тривиально. Описанное наблюдение позволяет более “экономно” строить исключительное множество $\mathcal{A}$ и в итоге получить более точную оценку исходной суммы. Автор посвящает эту статью 130-летию со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова. § 2. Вспомогательные утвержденияЗдесь помещены три леммы, необходимые для доказательства теоремы 1.1. Лемма 2.1. Пусть $k,s\geqslant 2$ – целые числа, $k<P<P_{1}\leqslant 2P$, $s<R<R_{1}\leqslant 2R$, и пусть $\alpha(u)$, $\beta(v)$ – произвольные комплекснозначные функции, по абсолютной величине не превосходящие единицы. Пусть, далее, Доказательство. Метод оценки таких сумм подробно изложен в работах А. А. Карацубы [4]–[6]. Одна из удобных для нашей цели форм этого метода содержится в [14; лемма 2] и приводит к неравенству
$$
\begin{equation*}
|W|\leqslant \|\alpha\|_{\xi}\,\|\beta\|_{\eta}\bigl(qJ_{k}(R_{1})J_{s}(P_{1})\bigr)^{1/(2ks)},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $W$ – любая из сумм $W_{j}$, $j = 1,2$, а через $J_{r}(X)$ обозначено количество решений сравнения причем в случае $W = W_{1}$ неизвестные $x_{j}$ принимают значения простых чисел, а в случае $W = W_{2}$ – значения подряд идущих целых чисел промежутка $[1,X]$. Если $|\alpha(u)|\leqslant 1$, $|\beta(v)|\leqslant 1$ для всех $P<u\leqslant P_{1}$, $R<v\leqslant R_{1}$, то $\|\alpha\|_{\xi}\leqslant P^{1/\xi} = P^{1-1/k}$, $\|\beta\|_{\eta}\leqslant R^{1-1/s}$. Оценка $W_{1}$ является следствием неравенства
$$
\begin{equation*}
J_{r}(X)<(2r)^{r}\biggl(\frac{X^{2r-1}}{q}+1\biggr)X^{r},
\end{equation*}
\notag
$$
а оценка $W_{2}$ – неравенства
$$
\begin{equation*}
J_{r}(X)< (2r)^{90r^{3}}(\ln{X})^{4r^{2}}\biggl(\frac{X^{2r-1}}{q}+1\biggr)X^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оба неравенства в случае $r(2X)^{2r-1}<q$ и произвольного модуля $q$ были доказаны в чуть более точной форме А. А. Карацубой в [4], [5]. Это ограничение в случае простого $q$ было снято Ж. Бургейном и М. З. Гараевым в [11]2. Лемма доказана. Лемма 2.2 (“решето И. М. Виноградова”). Пусть $0<\delta<{1}/{3}$, $0<c\leqslant{1}/{6}$, $N\geqslant N_{0}(\delta,c)$, и пусть $\mathbb{P}=\prod_{p\leqslant N^{\delta}}p$, $D=\exp\bigl(2c^{-1}(\ln\ln{N})^{2}\bigr)$. Тогда все делители $d$ числа $\mathbb{P}$, не превосходящие $N$, можно распределить по не более чем $D$ совокупностям со следующими свойствами. (a) Числа $d$, принадлежащие одной и той же совокупности, обладают одним и тем же количеством простых сомножителей. (b) Одна из совокупностей, которую мы назовем простейшей, состоит из единственного числа $d = 1$. Для этой совокупности положим $\varphi = 1$ и, таким образом, будем иметь $d = \varphi = 1$. Каждой из оставшихся совокупностей отвечает свое $\varphi$ такое, что все числа этой совокупности удовлетворяют условию $\varphi<d\leqslant \varphi^{1+c}$. (c) Для всякой совокупности, отличной от простейшей, при любом $U$ с условием $0<U<\varphi$ существуют такие две совокупности чисел $d'$ и чисел $d''$, с отвечающими им числами $\varphi'$, $\varphi''$, удовлетворяющими условиям $U<\varphi'\leqslant UN^{\delta}$, $\varphi'\varphi'' = \varphi$ (вторая совокупность может оказаться простейшей), что при некотором натуральном $B$ каждое число $d$ из выбранной совокупности получим ровно $B$ раз, если из всех произведений $d'd''\leqslant N$ выберем лишь удовлетворяющие условию $(d',d'')=1$. Замечание 2.1. В случае, когда параметры $\delta$ и $c$ зависят от $N$, условие $N\geqslant N_{0}(\delta,c)$ заменяется неравенством $N\geqslant N_{0}$, где $N_{0}$ – достаточно большая абсолютная постоянная. Первый вариант этой леммы появился, по-видимому, в работе И. М. Виноградова [15; пп. $6^{\circ}$–$9^{\circ}$] (1937 г.) и сразу нашел широкое применение к решению целого ряда задач теории чисел (см., например, [16]–[20]). Доказательства леммы (в приведенной выше форме или близкой к ней), отвечающие различным верхним границам параметров $\delta$ и $c$, см. например, в [21], [22] (обе работы вошли в [23]), [24], [25; гл. 4]. Лемма 2.3. Пусть $\Phi(x,y)$ – количество чисел $n$, не превосходящих $x$, все простые делители которых превышают $y$. Тогда равномерно по $2\leqslant y\leqslant x$ при $x\geqslant x_{0}$ справедливо неравенство Функция $\Phi(x,y)$ – один из классических объектов изучения в теории чисел (см., например, [26; гл. I.4, § 4.2; гл. III.6]). Настоящая оценка с явно вычисленными постоянными заимствована из [13]. § 3. Доказательство теоремыКак уже отмечалось во введении, все числа $\nu\leqslant x$, отвечающие слагаемым исходной суммы, разбиваются на три непересекающихся множества $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ и $\mathcal{C}$, причем в $\mathcal{C}$ войдут все $x^{\gamma}$-гладкие числа, в $\mathcal{B}$ – числа, обладающие простыми делителями из специальных промежутков, в $\mathcal{A}$ – числа, не являющиеся $x^{\gamma}$-гладкими и не имеющие подходящих простых делителей. Соответственно, исходная сумма $S$ разобьется на три суммы: $S_{\mathcal{A}}$, $S_{\mathcal{B}}$ и $S_{\mathcal{C}}$, первую из которых мы оценим тривиально, а вторую и третью – с использованием леммы 2.1. По ряду причин первой удобно рассмотреть сумму $S_{\mathcal{C}}$. 3.1. Оценка суммы $S_{\mathcal{C}}$Прежде всего положим Множество $\mathcal{C}$ всех $x^{\gamma}$-гладких чисел $\nu\leqslant x$ разобьем на непересекающиеся классы $\mathcal{C}_{l}$, относя к $\mathcal{C}_{l}$ числа вида $\nu = l^{2}d$, где $d$ – бесквадратное число. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{l>\ln{q}}|\mathcal{C}_{l}|\leqslant\sum_{l>\ln{q}}\frac{x}{l^{2}}\leqslant \frac{2x}{\ln{q}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
S_{\mathcal{C}} = \sum_{1\leqslant l\leqslant\ln{q}}S_{\mathcal{C}}^{(l)}+\frac{2\theta x}{\ln{q}}, \qquad |\theta|\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{\mathcal{C}}^{(l)} = \sideset{}{'}\sum_{d\leqslant x_{l}}e_{q}(a_{1}\overline{d}), \qquad a_{1}\equiv a\overline{l}^{2}\pmod{q}, \qquad x_{l} = \frac{x}{l^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
а штрих означает суммирование по делителям числа $\mathbb{P}$. Зафиксируем произвольное $l$, $1\leqslant l\leqslant \ln{q}$, и определим величины $N$ и $\delta$ равенствами $N = x_{l}$, $N^{\delta} = x^{\gamma}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\delta = \gamma\biggl(1-\frac{2\ln{l}}{\ln{x}}\biggr)^{-1}, \qquad\gamma\leqslant\delta\leqslant \gamma\biggl(1-\frac{3\ln{\ln{x}}}{\ln{x}}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, определим целое число $k$ из неравенств так что
$$
\begin{equation}
\frac{3\ln{q}}{2\ln{x}}\leqslant k<\frac{3\ln{q}}{2\ln{x}}+1, \qquad k\geqslant 3,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и положим в лемме 2.2 В силу леммы 2.2 сумма $S_{\mathcal{C}}^{(l)}$ распадается на не более чем $D = \exp[(2/c)(\ln{\ln{x}})^{2}]$ сумм вида
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \sum_{\substack{\varphi<d\leqslant \varphi^{1+c} \\ d\leqslant x_{l},\,d|\mathbb{P}}}e_{q}(a_{1}\overline{d}).
\end{equation*}
\notag
$$
Общее количество таких сумм не превосходит $D$. Но в силу (3.3) и условия $x\leqslant q^{3/5}$ имеем
$$
\begin{equation}
k\leqslant \frac{3}{2}\frac{\ln{q}}{\ln{x}}+\frac{3}{5}\frac{\ln{q}}{\ln{x}} = \frac{21}{10}\frac{\ln{q}}{\ln{x}}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
D\leqslant \exp\bigl(288k(\ln\ln{x})^{2}\bigr) <\exp\biggl(605\frac{\ln{q}}{\ln{x}}(\ln\ln{x})^{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Но поскольку $\ln{x}\gg (\ln{q})^{5/6}(\ln\ln{q})^{1/6}$, то окончательно имеем Поэтому вклад в $S_{\mathcal{C}}^{(l)}$ указанных сумм $S(\varphi)$ не превосходит по модулю
$$
\begin{equation}
x^{0.9(1+c)}D = x^{0.9\bigl(1+1/(144k)\bigr)}D < x^{0.9\cdot{433}/{432}}\exp\bigl((\ln{x})^{1/5}(\ln\ln{x})^{2}\bigr) < x^{1-{1}/{11}}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Пусть далее $S(\varphi)$ – сумма, отвечающая некоторому $\varphi$, $x^{0.9}<\varphi\leqslant x$. Положим
$$
\begin{equation}
\varkappa = \frac{1}{8k}, \qquad U = q^{(1+\varkappa)/(2k)}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
и с помощью леммы 2.2 найдем две совокупности чисел $d',d''$, отвечающие им величины $\varphi',\varphi''$ такие, что $U<\varphi'\leqslant Ux^{\gamma}$, $\varphi'\varphi'' =\varphi$, а также целое $B\geqslant 1$ такое, что всякое $d$ из исходной совокупности ровно $B$ раз получим, перебирая всевозможные произведения $d'd''$ с условием $(d',d'')=1$. Проверим, что $(\varphi')^{1+c}\leqslant q^{(1-\varkappa)/(2k-2)}$. Поскольку $\varphi'\leqslant Ux^{\gamma}$, достаточно убедиться в выполнении неравенства
$$
\begin{equation}
Ux^{\gamma}\leqslant q^{(1-\varkappa)/(2(k-1)(1+c))}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
или, что то же ввиду (3.8), неравенства
$$
\begin{equation*}
x^{\gamma}\leqslant q^{(1-\varkappa)/(2(k-1)(1+c))}U^{-1} = q^{\alpha}, \qquad \alpha = \frac{1-\varkappa}{2(k-1)(1+c)} - \frac{1+\varkappa}{2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha &= \frac{1+\varkappa-2k\varkappa-c(1+\varkappa)(k-1)}{2k(k-1)(1+c)} >\frac{1-2k\varkappa-ck}{2k(k-1)(1+c)} \\ &>\frac{1-{1}/{4}-{1}/{144}}{2k^2} > \frac{9}{25k^2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что для выполнения (3.9) достаточно проверить, что $x^{\gamma} < q^{9/(25k^{2})}$ или, что то же,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{5k}{3}\biggr)^{2} < \frac{1}{\gamma}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} = \biggl(\frac{6\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но последнее неравенство следует из (3.5). Итак, для всякого числа из совокупности $d'$ имеем
$$
\begin{equation}
q^{(1+\varkappa)/(2k)} = U<\varphi'<d'\leqslant (\varphi')^{1+c}\leqslant q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Несложно проверить, что совокупность чисел $d''$ не является простейшей. Действительно, в силу (3.2) имеем
$$
\begin{equation*}
U = q^{(1+\varkappa)/(2k)}\leqslant x^{(1+\varkappa)/3} = x^{(1+1/(8k))/3}\leqslant x^{{25}/{72}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\varphi'' = \frac{\varphi}{\varphi'}\geqslant \frac{x^{0.9}}{U}\geqslant x^{{9}/{10}-{25}/{72}} > x^{{11}/{20}}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{B}\mathop{\sum_{d'}\sum_{d''}}_{\substack{(d',d'')=1\\d'd''\leqslant x_{l}}}e_{q}(a_{1}\overline{d'd''}) = \frac{1}{B}\mathop{\sum_{d'}\sum_{d''}}_{d'd''\leqslant x_{l}}\biggl(\;\sum_{t|(d',d'')}\mu(t)\biggr)e_{q}(a_{1}\overline{d'd''}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $d'$ и $d''$ в последней сумме независимо друг от друга пробегают свои совокупности. Всякое $t$, встречающееся в последней сумме, удовлетворяет (при соответствующих $d'$, $d''$) неравенствам $1\leqslant t\leqslant (d',d'')\leqslant d'\leqslant (\varphi')^{1+c}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{B}\sum_{1\leqslant t\leqslant (\varphi')^{1+c}}\mu(t)\sum_{\substack{d'\equiv 0\pmod{t} \\ d''\equiv 0\pmod{t} \\ d'd''\leqslant x_{l}}}e_{q}(a_{1}\overline{d'd''}).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $d'=tm$, $d''=tn$. Тогда $m,n$ независимо друг от друга будут пробегать некоторые возрастающие последовательности бесквадратных чисел – делителей $\mathbb{P}t^{-1}$ – с условиями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi_{1}'<m\leqslant \Phi_{2}', \qquad \Phi_{1}''<n\leqslant \Phi_{2}'', \qquad mn\leqslant \frac{x_{l}}{t^{2}}, \\ \text{где }\ \Phi_{1}^{(i)} = \frac{\varphi^{(i)}}{t}, \qquad\Phi_{2}^{(i)} = \frac{(\varphi^{(i)})^{1+c}}{t}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $T=q^{\varkappa/(4k)}$ и оценим часть суммы $S(\varphi)$, отвечающую $t>T$, тривиально, т.е. величиной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{B}\sum_{T<t\leqslant (\varphi')^{1+c}}\sum_{mn\leqslant x_{l}t^{-2}}1\leqslant \sum_{T<t\leqslant (\varphi')^{1+c}}\sum_{r\leqslant x_{l}t^{-2}}\tau(r) \\ &\qquad \leqslant\sum_{T<t\leqslant (\varphi')^{1+c}}\frac{x_{l}}{t^{2}}(\ln{x}+1)<\frac{2x_{l}}{T}\ln{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{B}\sum_{1\leqslant t\leqslant T}\mu(t)S_{t}(\varphi)+2\theta\frac{x_{l}}{T},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{t}(\varphi) = \mathop{{\sum_{\Phi_{1}'<m\leqslant \Phi_{2}'}\sum_{\Phi_{1}''<n\leqslant \Phi_{2}''}}}_{mn\leqslant x_{l}t^{-2}}e_{q}(a_{2}\overline {mn}), \qquad a_{2}\equiv a_{1}\overline{t}^{2}\pmod{q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Области изменения величин $m$, $n$ разобьем на промежутки вида $M\,{<}\,m\,{\leqslant}\,M_{1}$, $N<n\leqslant N_{1}$, где $M_{1}\leqslant 2M$, $N_{1}\leqslant 2N$. В силу выбора $\varphi'$ и $T$ имеем при этом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))} &\geqslant (\varphi')^{1+c}\geqslant \frac{(\varphi')^{1+c}}{t}\geqslant M_{1}>M>\frac{\varphi'}{t} >\frac{1}{t}q^{(1+\varkappa)/(2k)} \\ &\geqslant \frac{1}{T}q^{(1+\varkappa)/(2k)} = q^{(1+\varkappa/2)/(2k)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Определим теперь $s$ из неравенств Несложно видеть тогда, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{1/(2s)} &<N<\Phi_{2}''\leqslant (\varphi'')^{1+c} = \biggl(\frac{\varphi}{\varphi'}\biggr)^{1+c}\leqslant \frac{\varphi^{1+c}}{U} = \varphi^{1+c}q^{-(1+\varkappa)/(2k)} \\ &<x^{1+c}q^{-1/(2k)} = x^{1+c}q^{-1/(2(k-1))\cdot (k-1)/k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу (3.2) получаем
$$
\begin{equation*}
q^{1/(2s)} < x^{1+c} x^{-1/3\cdot2/3}< x^{4/5}, \qquad s>\frac{5\ln{q}}{8\ln{x}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, пользуясь оценкой (3.11), находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{1/(2(s-1))} &\geqslant N > \frac{\varphi''}{t}> x^{11/20}T^{-1} = x^{{11}/{20}} q^{-{\varkappa}/(4k)} \\ &\geqslant x^{11/20} x^{-1/3\cdot \varkappa/2} = x^{{11}/{20} - 1/(48k)} > x^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
s<\frac{\ln{q}}{\ln{x}}+1<\frac{\ln{q}}{\ln{x}}+\frac{3}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} = \frac{8}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation}
\frac{5}{8}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}<s<\frac{8}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Зафиксируем произвольную пару $M,N$ и рассмотрим сумму
$$
\begin{equation*}
W = \mathop{\sideset{}{'}\sum_{M<m\leqslant M_{1}}\sideset{}{'}\sum_{N<n\leqslant N_{1}}}_{mn\leqslant x_{l}t^{-2}}e_{q}(a_{2}\overline{mn}),
\end{equation*}
\notag
$$
где штрихи в знаках сумм означают, что $m$ и $n$ пробегают делители числа $\mathbb{P}t^{-1}$. Избавимся от “гиперболического” условия $mn\leqslant x_{l}t^{-2}$. Для этого при заданном $m$ положим $N_{2} = \min{\bigl(N_{1}, x_{l}t^{-2}/m\bigr)}$. Тогда, пользуясь равенством
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{q}\sum_{|b|<q/2}e_{q}(br) = \begin{cases} 1, & r\equiv 0\ (\operatorname{mod}q), \\ 0 & \text{в противном случае}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W &= \sideset{}{'}\sum_{M<m\leqslant M_{1}}\sideset{}{'}\sum_{N<n\leqslant N_{2}}e_{q}(a_{2}\overline{mn}) \\ &=\sideset{}{'}\sum_{M<m\leqslant M_{1}}\sideset{}{'}\sum_{N<n\leqslant N_{1}}\frac{1}{q}\sum_{|b|<q/2}\sum_{N<\nu\leqslant N_{2}}e_{q}(b(n-\nu))e_{q}(a_{2}\overline{mn}) \\ &=\sum_{|b|<q/2}\sideset{}{'}\sum_{M<m\leqslant M_{1}}\frac{1}{q}\biggl(\sum_{N<\nu\leqslant N_{2}}e_{q}(-b\nu)\biggr)\sideset{}{'}\sum_{N<n\leqslant N_{1}}e_{q}(bn)e_{q}(a_{2}\overline{mn}) \\ &=\sum_{|b|<q/2}\frac{1}{|b|+1}\sideset{}{'}\sum_{M<m\leqslant M_{1}}\sideset{}{'}\sum_{N<n\leqslant N_{1}}\alpha(m)\beta(n)e_{q}(a_{2}\overline{mn}) =\sum_{|b|<q/2}\frac{W_{b}}{|b|+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha(m) = \frac{|b|+1}{q}\sum_{N<\nu\leqslant N_{2}}e_{q}(-b\nu), \qquad \beta(n) = e_{q}(bn),
\end{equation*}
\notag
$$
а смысл обозначения $W_{b}$ очевиден. Несложно проверить, что $|\alpha(m)|\leqslant 1$. Действительно, если $b = 0$, то если же $b\ne 0$, то
$$
\begin{equation*}
|\alpha(m)|\leqslant \frac{|b|+1}{q}\biggl|\sin{\frac{\pi b}{q}}\biggr|^{-1}\leqslant \frac{|b|+1}{q}\,\frac{q}{2|b|}\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно второму неравенству леммы 2.1, для определенных выше $k$ и $s$ ввиду условия $MN\leqslant x_{l}t^{-2}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |W_{b}|\leqslant MN\delta_{2}\Delta \leqslant \frac{x_{l}}{t^{2}}\delta_{2}\Delta, \qquad \delta_{2} = (2k)^{45k^{2}/s}(2s)^{45s^{2}/k}(\ln{q})^{2k/s+2s/k}, \\ \Delta = \biggl\{\biggl(\frac{M^{k-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{M^{k}}\biggr) \biggl(\frac{N^{s-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{N^{s}}\biggr)\biggr\}^{1/(2ks)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.12), (3.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{M^{k-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{M^{k}}\leqslant 2q^{-\varkappa/4}, \qquad \frac{N^{s-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{N^{s}}\leqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta_{2}\Delta\leqslant \Delta_{1} = 2(2k)^{45k^{2}/s}(2s)^{45s^{2}/k}(\ln{q})^{2k/s+2s/k}q^{-\varkappa/(8ks)}, \\ |W_{b}|\leqslant \frac{x_{l}}{t^{2}}\Delta_{1} = \frac{x}{(lt)^{2}}\Delta_{1}, \qquad |W|\leqslant \frac{x\Delta_{1}}{(lt)^{2}}(\ln{q}+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование по всем парам $M$, $N$ дает
$$
\begin{equation*}
|S_{t}(\varphi)|\leqslant \frac{x\Delta_{1}}{(lt)^{2}}(\ln{q}+1)^{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $s\geqslant 2$ (что следует из условия $x\leqslant q^{3/5}$ и нижней оценки (3.14)), то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{2x_{l}}{T}\ln{x} &= \frac{2x}{l^{2}}q^{-\varkappa/(4k)}\ln{x} = \frac{x}{l^{2}}q^{-\varkappa/(8ks)}\, 2q^{-\varkappa/(4k)(1-1/(2s))}\ln{x} \\ &\leqslant\frac{x}{l^{2}}q^{-\varkappa/(8ks)}\, 2q^{-(3\varkappa)/(16k)}\ln{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь неравенством (3.5), заключаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} q^{(3\varkappa)/(16k)} &>q^{\varkappa/(8k)} = q^{1/(8k)^2} > \exp\biggl(\frac{1}{64}(\ln{q})\biggl(\frac{10}{21}\,\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\biggr)^{2}\biggr) \\ &>\exp\biggl(\frac{1}{300}\,\frac{(\ln{x})^{2}}{\ln{q}}\biggr) > \exp\bigl((\ln{q})^{2/3}\bigr) > 6\ln{x}, \end{split} \\ \frac{2x_{l}}{T}\ln{x} \leqslant \frac{x}{3l^{2}}q^{-\varkappa/(8ks)} \leqslant \frac{x}{3l^{2}}\Delta_{1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, после некоторого огрубления, находим:
$$
\begin{equation*}
|S_{t}(\varphi)|\leqslant \biggl(\frac{15}{\pi^2}+\frac{1}{3}\biggr)\frac{x\Delta_{1}}{l^{2}}(\ln{q}+1)^{3} < \frac{2x\Delta_{1}}{l^{2}}(\ln{q}+1)^{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим последнюю оценку чуть менее точной, но не зависящей от $k$ и $s$. Прежде всего, из неравенств (3.5), (3.14) и оценок $k\geqslant 3$, $s\geqslant 2$ заключаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (2k)^{45k^{2}/s} &= \exp\biggl(\frac{45k^{2}}{s}\ln{(2k)}\biggr) \\ &\leqslant\exp\biggl(45\biggl(\frac{21}{10}\biggr)^{2}\frac{8}{5}\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2} \frac{\ln{x}}{\ln{q}}\ln{\biggl(\frac{21}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)}\biggr)< \exp\biggl(318\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (2s)^{45s^{2}/k} &= \exp\biggl(\frac{45s^{2}}{k}\ln{(2s)}\biggr) \\ &\leqslant\exp\biggl(45\biggl(\frac{8}{5}\biggr)^{2}\frac{2}{3}\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}\ln {\biggl(\frac{16}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)}\biggr) <\exp\biggl(77\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
(2k)^{45k^{2}/s}(2s)^{45s^{2}/k} <\exp\biggl(395\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln{\ln{q}}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{k}{s}<\frac{21}{10}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\, \frac{8}{5}\,\frac{\ln{x}}{\ln{q}} = \frac{84}{25}, \qquad \frac{s}{k}<\frac{8}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\, \frac{2}{3}\,\frac{\ln{x}}{\ln{q}} = \frac{16}{15},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
2\biggl(\frac{k}{s}+\frac{s}{k}\biggr) <2\biggl(\frac{84}{25} + \frac{16}{15}\biggr) = \frac{664}{75} <9,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\ln{q})^{2(k/s+s/k)} &<\exp(9\ln\ln{q})<\exp\biggl(\frac{3}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\, 9\ln\ln{q}\biggr) \\ &<\exp\biggl(6\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Наконец,
$$
\begin{equation}
\frac{\varkappa}{8ks} = \frac{1}{64k^2s} > \frac{10^{2}}{64\cdot 21^2}\biggl(\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\biggr)^{2}\frac{5}{8}\,\frac{\ln{x}}{\ln{q}} > \frac{1}{452}\biggl(\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\biggr)^{3}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Объединяя оценки (3.15)–(3.17), находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{1}< \exp\biggl(401\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr) \exp\biggl(-\frac{1}{452}\biggl(\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\biggr)^{3}\biggr), \\ \begin{split} \Delta_{1}(\ln{q}+1)^{3} &< \Delta_{1}\exp\biggl(\frac{3}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\, 3\ln{(\ln{q}+1)}\biggr) \\ &<\Delta_{1}\exp\biggl(2\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr) <\exp\biggl(403\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr) \exp\biggl(-\frac{1}{452}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|S(\varphi)|\leqslant 3.6\frac{x}{l^{2}}\exp\biggl(403\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q}\biggr) \exp\biggl(-\frac{1}{452}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая общее число сумм $S(\varphi)$ с помощью (3.6), будем иметь:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_{\mathcal{C}}^{(l)}| &<3.6\frac{x}{l^{2}}\exp\biggl(605\frac{\ln{q}}{\ln{x}}(\ln\ln{q})^{2} +403\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\ln\ln{q} - \frac{1}{452}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggr) \\ &< 3.6\frac{x}{l^{2}}\exp\biggl(606\frac{\ln{q}}{\ln{x}}(\ln\ln{q})^{2} - \frac{1}{452}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggr) \\ &<3.6\frac{x}{l^{2}}\exp\biggl(-\frac{1}{452}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggl(1-2.8\cdot 10^{5}\frac{(\ln{q})^{3}}{(\ln{x})^{4}}(\ln\ln{q})^{2}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства $\ln{x}\gg (\ln{q})^{5/6}(\ln\ln{q})^{1/6}$ последнее слагаемое в показателе экспоненты не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{(\ln{q})^{3}(\ln\ln{q})^{2}}{(\ln{q})^{10/3}} = \frac{(\ln\ln{q})^{2}}{(\ln{q})^{1/3}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
|S_{\mathcal{C}}^{(l)}|<3.6\frac{x}{l^{2}} \exp\biggl(-\frac{1}{453}\,\frac{(\ln{x})^{3}}{(\ln{q})^{2}}\biggr)< \frac{x}{l^{2}}\exp\bigl(-2\sqrt{\ln{q}}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование по всем $l$, $1\leqslant l\leqslant \ln{q}$, наряду с неравенством (3.7) дает:
$$
\begin{equation}
|S_{\mathcal{C}}|\leqslant \frac{\pi^{2}}{6}x\exp\bigl(-2\sqrt{\ln{q}}\bigr) + \frac{2x}{\ln{q}} + x^{1-{1}/{11}} < \frac{3x}{\ln{q}}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Этим завершается оценка суммы $S_{\mathcal{C}}$. 3.2. Оценка сумм $S_{\mathcal{A}}$, $S_{\mathcal{B}}$Для построения множеств $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ нам понадобятся дополнительные обозначения. Определим прежде всего целое $\ell$ из неравенств
$$
\begin{equation*}
q^{1/(2\ell)} < x^{\gamma}\leqslant q^{1/(2(\ell-1))},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\gamma}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} <\ell \leqslant \frac{1}{2\gamma}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} + 1.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Из (3.1), (3.19) и условия теоремы следует, что
$$
\begin{equation*}
\ell \leqslant 18\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}+1\leqslant 18(\ln{q})^{1/3}+1 < \frac{1}{20}\sqrt{\ln{q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададимся теперь целым $n$ из промежутка
$$
\begin{equation}
10\ell \leqslant n\leqslant \frac{1}{2}\sqrt{\ln{q}}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Для упрощения выкладок будем использовать обозначения $\varkappa$ и $k$, уже встречавшиеся при оценке $S_{\mathcal{C}}$, но в ином качестве (ввиду того, что работа с $S_{\mathcal{C}}$ завершена, это не должно привести к недоразумениям). Итак, положим $\varkappa = (4n)^{-1}$ и для всякого $k$, $\ell \leqslant k\leqslant n$, определим величины
$$
\begin{equation*}
Y_{k} = q^{(1+\varkappa)/(2k)}, \qquad X_{k} = q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $2Y_{k}<X_{k}$. Действительно, последнее неравенство равносильно следующему:
$$
\begin{equation*}
2 < q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))-(1+\varkappa)/(2k)} = q^{(1-\varkappa(2k-1))/(2k(k-1))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{1-\varkappa(2k-1)}{2k(k-1)}> \frac{1-2k\varkappa}{2k^2} \geqslant \frac{1-2n\varkappa}{2n^{2}} = \frac{1}{4n^2},
\end{equation*}
\notag
$$
то достаточно проверить, что $q>2^{4n^{2}}$. Но в силу (3.20) имеем: $4n^{2}\leqslant \ln{q}$, откуда $q\geqslant e^{4n^{2}}>2^{4n^{2}}$. Обозначим через $\mathcal{I}$ объединение всех промежутков $(Y_{k},X_{k}]$, $\ell < k\leqslant n$, а через $\mathcal{J}$ – объединение всех промежутков $(X_{k+1},Y_{k}]$, $\ell \leqslant k\leqslant n-1$. Цель дальнейших рассуждений – показать, что все числа $\nu$, $1\leqslant \nu\leqslant x$, $\nu\not\in \mathcal{C}$, за исключением небольшого их количества, обладают простыми делителями, не лежащими в объединении $\mathcal{J}$ (отметим, что промежутки, входящие в $\mathcal{J}$, представляют собой узкие окрестности точек вида $q^{1/(2k)}$, т.е. интервалы, при попадании в которые величин $P$ и $R$ оценка леммы 2.1 вырождается в тривиальную). Отнесем ко множеству $\mathcal{A}$ все те числа $\nu$, $1\leqslant \nu\leqslant x$, из дополнения к $\mathcal{C}$, что не имеют ни одного простого делителя из $\mathcal{I}$. Все такие $\nu$ представимы в виде $uvw$, где (а) все простые делители $u$ не превосходят $Y_{n}$ (либо $u = 1$); (b) все простые делители $w$ превосходят $x^{\gamma}$ (ввиду того, что $\nu\not\in \mathcal{C}$, у $w$ имеется хотя бы один такой простой делитель); (c) все простые делители $v$ содержатся в $\mathcal{J}$ (либо $v = 1$). Оценим количество чисел $\nu$, отнесенных к $\mathcal{A}$. В силу сказанного имеем $w>x^{\gamma}$ и, таким образом, $uv\leqslant xw^{-1}< x^{1-\gamma}$. Зафиксируем такие $u$ и $v$ со свойствами (a), (c). Тогда в обозначениях леммы 2.3 для выбора множителя $w$ имеется не более
$$
\begin{equation*}
\Phi\biggl(\frac{x}{uv};x^{\gamma}\biggr) \ll \frac{x}{uv}\,\frac{1}{\ln{(x^{\gamma})}}\ll \frac{1}{\gamma}\,\frac{x}{uv\ln{x}}
\end{equation*}
\notag
$$
возможностей. Суммируя это неравенство по всем рассматриваемым $u$ и $v$, получаем следующую границу для количества $K_{1}$ чисел, отнесенных к $\mathcal{A}$:
$$
\begin{equation*}
K_{1}\ll\frac{1}{\gamma}\frac{x}{\ln{x}}\sum_{u,v}\frac{1}{uv}\ll \frac{1}{\gamma}\frac{x}{\ln{x}}\sum_{u}\frac{1}{u}\sum_{v}\frac{1}{v},
\end{equation*}
\notag
$$
причем в последней сумме $u$ и $v$ пробегают все числа со свойствами (a) и (c). Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{u}\frac{1}{u} &= \prod_{p\leqslant Y_{n}}\biggl(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots\biggr) = \prod_{p\leqslant Y_{n}}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\ll \ln{Y_{n}}\ll\frac{1}{n}\ln{q}, \\ \sum_{v}\frac{1}{v} &= \prod_{k = \ell}^{n-1}\;\prod_{X_{k+1}<p\leqslant Y_{k}}\biggl(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots\biggr) \\ &= \prod_{k = \ell+1}^{n}\frac{\ln{Y_{k}}}{\ln{X_{k+1}}}\bigl(1+O\bigl(\exp\bigl(-c\sqrt{\ln{X_{k+1}}}\bigr) \bigr)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\ln{Y_{k}}}{\ln{X_{k+1}}} = \frac{1+\varkappa}{1-\varkappa},\qquad \ln{X_{k+1}} = \frac{1-\varkappa}{2k}\ln{q}\geqslant \frac{\ln{q}}{4n}\geqslant \frac{1}{2}\sqrt{\ln{q}},
\end{equation*}
\notag
$$
находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{v}\frac{1}{v} &\leqslant \biggl(\frac{1+\varkappa}{1-\varkappa}\biggr)^{n} \bigl(1+\exp\bigl(-c_{1}\sqrt[4\;]{\ln{q}}\bigr)\bigr)^{n} \\ &\leqslant \biggl(1+\frac{1}{4n}\biggr)^{n}\biggl(1-\frac{1}{4n}\biggr)^{-n} \exp\bigl(n\exp\bigl(-c_{1}\!\sqrt[4\;]{\ln{q}}\bigr)\bigr)\leqslant e, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, Далее, отнесем к $\mathcal{A}$ те из оставшихся чисел $\nu$, которые делятся на квадраты простых из множества $\mathcal{I}$. Их количество не превосходит
$$
\begin{equation*}
K_{2}\leqslant \sum_{p\in \mathcal{I}}\frac{x}{p^{2}}\leqslant \sum_{p>Y_{n}}\frac{x}{p^{2}}\ll \frac{x}{Y_{n}\ln{Y_{n}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так, находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\mathcal{A}| \leqslant K_{1}+K_{2}\ll \frac{x}{\gamma n}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} + \frac{x}{Y_{n}\ln{Y_{n}}} \ll \frac{x}{\gamma n}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} \ll \frac{x}{n}\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}, \\ |S_{\mathcal{A}}| \leqslant |\mathcal{A}| \ll \frac{x}{n}\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Все числа $\nu$, $1\leqslant \nu\leqslant x$, не вошедшие в $\mathcal{A}$ и $\mathcal{C}$, отнесем ко множеству $\mathcal{B}$. Разобьем $\mathcal{B}$ на непересекающиеся классы, относя к классу $\mathcal{B}_{\sigma, \tau}$ ($\sigma$, $\tau\geqslant 1$ – целые числа) те $\nu$, что имеют ровно $\sigma$ простых делителей из $\mathcal{I}$ и ровно $\tau$ простых делителей из $\mathcal{K} = \bigl(x^{\gamma},x\bigr]$. Соответственно, сумма $S_{\mathcal{B}}$ разбивается на суммы $S_{\sigma,\tau}$. Если $\mathcal{B}_{\sigma,\tau}$ непуст, то необходимо $q^{\sigma/(2n)}\leqslant Y_{n}^{\sigma}\leqslant x^{1-\gamma}<x$ и $x^{\gamma\tau}\leqslant xY_{n}^{-1}<x$, откуда
$$
\begin{equation*}
\frac{\sigma}{2n}\ln{q}< \ln{x}, \qquad \sigma< 2n\frac{\ln{x}}{\ln{q}}<\frac{\ln{x}}{\sqrt{\ln{q}}}, \qquad \tau<\frac{1}{\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравним $S_{\sigma,\tau}$ с суммой
$$
\begin{equation*}
T_{\sigma,\tau} = \frac{1}{\sigma\tau}\mathop{\sum_{p\in \mathcal{I}}\;\sum_{r\in \mathcal{K}}\;\sum_{h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}}}_{\nu = prh\leqslant x}e_{q}(a\overline{p}\,\overline{r}\,\overline{h}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$, $r$ независимо друг от друга пробегают простые числа из соответствующих промежутков, $h$ пробегает возрастающую последовательность чисел из класса $\mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}$ с условием $h\leqslant x(pr)^{-1}$ (в случаях, когда $\sigma-1 = 0$ или $\tau-1 = 0$, определение $\mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}$ очевидным образом модифицируется). Пусть $\nu\in \mathcal{B}_{\sigma,\tau}$. Тогда все простые делители $\nu$, принадлежащие $\mathcal{I}$ и $\mathcal{K}$, различны (в силу построения множества $\mathcal{B}$). Поэтому такое $\nu$ ровно $\sigma\tau$ раз представляется в виде $hpr$, где $p\in \mathcal{I}$, $r\in \mathcal{K}$, $h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}$. Соответственно, отвечающее такому $\nu$ слагаемое войдет в сумму $T_{\sigma,\tau}$ с коэффициентом $(\sigma\tau)^{-1} \sigma\tau = 1$. Вместе с тем в $T_{\sigma,\tau}$ встретятся слагаемые, для которых $h$ делится хотя бы на одно из чисел $p$, $r$. Поскольку произведение $hpr$ делится на квадрат простого, превосходящего $Y_{n}$, то суммарный вклад таких слагаемых в $T_{\sigma,\tau}$ не превзойдет по модулю
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sigma\tau}(\sigma-1)(\tau-1)\sum_{p > Y_{n}}\frac{x}{p^{2}} < \frac{x}{Y_{n}} < x \exp\bigl(-\sqrt{\ln{q}}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
T_{\sigma,\tau} = S_{\sigma,\tau}+\theta x\exp\bigl(-\sqrt{\ln{q}}\bigr), \qquad |S_{\sigma,\tau}| \leqslant |T_{\sigma,\tau}|+x\exp\bigl(-\sqrt{\ln{q}}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, если $\nu = prh\leqslant x$, где $p\in \mathcal{I}$, $r\in \mathcal{K}$, $h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}$, то
$$
\begin{equation*}
h\leqslant \frac{x}{pr} < \frac{x}{Y_{n}x^{\gamma}} = \frac{x^{1-\gamma}}{Y_{n}} = H.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, при заданном $h$ имеем
$$
\begin{equation*}
p\leqslant \frac{x}{hx^{\gamma}} = \frac{x^{1-\gamma}}{h}, \qquad r\leqslant \frac{x}{ph}.
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя в $T_{\sigma,\tau}$ порядок суммирования, найдем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{\sigma,\tau} &= \frac{1}{\sigma\tau}\sum_{\substack{h\leqslant H \\ h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}}}\;\sum_{\substack{Y_{n}<p\leqslant x^{1-\gamma}h^{-1} \\ p\in \mathcal{I}}}\;\sum_{x^{\gamma}<r\leqslant x(ph)^{-1}}e_{q}(a\overline{h}\,\overline{p}\,\overline{r}) \\ &= \frac{1}{\sigma\tau}\sum_{\substack{h\leqslant H \\ h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}}}T_{\sigma,\tau}(h), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где смысл обозначения $T_{\sigma,\tau}(h)$ очевиден. Области изменения $p$ и $r$ разобьем на промежутки вида $P<p\leqslant P_{1}$, $R<r\leqslant R_{1}$, где $P_{1}\leqslant 2P$, $R_{1}\leqslant 2R$. Поскольку $p\in \mathcal{I}$, то всякое $p$ попадает в промежутки вида
$$
\begin{equation*}
Y_{k} = q^{(1+\varkappa)/(2k)} < p \leqslant X_{k} = q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))},
\end{equation*}
\notag
$$
так что для каждой пары $P$, $P_{1}$ найдется целое $k$, $\ell <k\leqslant n$, такое, что
$$
\begin{equation*}
q^{(1+\varkappa)/(2k)} < P\leqslant q^{(1-\varkappa)/(2(k-1))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, определим по заданному $R$ целое число $s$ неравенствами Тогда, очевидно, $s\leqslant \ell$ и, кроме того,
$$
\begin{equation*}
q^{1/(2s)} < \frac{x}{Y_{n}} < x, \qquad \frac{1}{2s}\ln{q} < \ln{x}, \qquad s>\frac{1}{2}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}} < s\leqslant \ell.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Возвращаясь к сумме $T_{\sigma,\tau}(h)$, будем иметь где $P$ и $R$ связаны с $h$ неравенством $hPR\leqslant x$, т.е. $PR\leqslant xh^{-1}$, и
$$
\begin{equation*}
W(P,R) = W_{\sigma,\tau}(h;P,R) = \sum_{\substack{P<p\leqslant P_{1} \\ p\leqslant x^{1-\gamma}h^{-1}}}\sum_{\substack{R<r\leqslant R_{1} \\ r\leqslant x(ph)^{-1} }}e_{q}(a_{1}\overline{pr}), \qquad a_{1}\equiv a\overline{h}\pmod{q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы сделать длину суммы по $r$ не зависящей от $p$, применим те же рассуждения, что использовались выше, при оценке $S_{\mathcal{C}}$. Так получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W(P,R) = \sum_{|b|< q/2}\frac{W_{b}(P,R)}{|b|+1}, \qquad W_{b}(P,R) = \sum_{P<p\leqslant P_{2}}\sum_{R<r\leqslant R_{1}}\alpha(p)\beta(q)e_{q}(a_{1}\overline{pr}), \\ \alpha(p) = \frac{|b|+1}{q}\sum_{R<\nu\leqslant R_{2}}e_{q}(-b\nu), \qquad \beta(r) = e_{q}(br), \qquad P_{2} = \min{\bigl(P_{1},x^{1-\gamma}h^{-1}\bigr)} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(в случае $P_{2}\leqslant P$ сумма оказывается пустой). Применяя к сумме по $p$, $r$ лемму 2.1, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |W(P,R)|\leqslant \sum_{|b|<q/2}\frac{PR\Delta_{1}}{|b|+1}\leqslant 2PR\Delta_{1}(\ln{q}), \\ \Delta_{1} = 2k^{1/(2s)}s^{1/(2k)}\biggl\{\biggl(\frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}} +\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}\biggr)\biggl(\frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}} +\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}\biggr)\biggr\}^{1/(2ks)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\frac{P^{k-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{P^{k}}\leqslant 2q^{-\varkappa/2}, \qquad \frac{R^{s-1}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{R^{s}}\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, поскольку $s\leqslant \ell < k$, то $s^{1/(2k)}\leqslant k^{1/(2k)}\leqslant 3^{1/6}$. Наконец, ввиду неравенств (3.20), (3.21) имеем
$$
\begin{equation*}
k^{1/(2s)} \leqslant n^{1/(2s)} <\exp\biggl(\frac{1}{2}\,\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\ln\ln{q}\biggr)\leqslant (\ln{q})^{3/10}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{1} &\leqslant 3^{1/6}(\ln{q})^{3/10}\bigl(4q^{-\varkappa/2}\bigr)^{1/(2ks)} = 3^{1/6}2^{1/(ks)}(\ln{q})^{3/10}q^{-1/(16kns)} \\ &< \frac{3}{2}(\ln{q})^{3/10}q^{-1/(16n^{2}\ell)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сверху число пар $P, R$ в сумме Зафиксируем $P\leqslant x^{1-\gamma}h^{-1}$. Тогда количество чисел $R$ с условиями $x^{\gamma}\leqslant R<2R<x(hP)^{-1}$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\ln{2}}\ln{\biggl(\frac{x^{1-\gamma}}{hP}\biggr)} < \frac{\ln{x}}{\ln{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, чисел $P$ с условиями $Y_{n}\leqslant P<2P<X_{\ell}$ не более
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\ln{2}}\ln{\frac{X_{\ell}}{Y_{k}}} < \frac{1}{2\ln{2}}\biggl(\frac{1}{\ell-1}-\frac{1}{n}\biggr)\frac{\ln{q}}{\ln{2}} < \frac{1}{\ell}\,\frac{\ln{q}}{\ln{2}} < 2\gamma\frac{\ln{x}}{\ln{q}}\,\frac{\ln{q}}{\ln{2}} = 2\gamma\frac{\ln{x}}{\ln{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в сумме $T_{\sigma,\tau}(h)$ содержится не более $2\gamma(\ln{x}/\ln{2})^{2}$ слагаемых. Для каждой пары $P, R$ имеем $PR\leqslant xh^{-1}$, откуда
$$
\begin{equation*}
|T_{\sigma,\tau}(h)|\leqslant 2\gamma\biggl(\frac{\ln{x}}{\ln{2}}\biggr)^{2}\frac{2x}{h}\,\frac{3}{2}(\ln{q})^{3/10}q^{-1/(16n^{2}\ell)}\leqslant 6\gamma(\ln{q})^{23/10}\frac{x}{h}\,q^{-1/(16n^{2}\ell)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
|S_{\sigma,\tau}(h)|\leqslant \frac{6\gamma}{\sigma\tau}x(\ln{q})^{23/10}q^{-1/(16n^{2}\ell)}\sum_{\substack{h\leqslant H \\ h\in \mathcal{B}_{\sigma-1,\tau-1}}}\frac{1}{h}+x\exp\bigl(-\sqrt{\ln{x}}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя последнее неравенство по всем возможным $\sigma$ и $\tau$, найдем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_{\mathcal{B}}| &\leqslant 6\gamma x(\ln{q})^{23/10}q^{-1/(16n^{2}\ell)}\sum_{h\leqslant H}\frac{1}{h}+x\exp\bigl(-0.5\sqrt{\ln{x}}\bigr) \\ &< x(\ln{q})^{33/10}q^{-1/(16n^{2}\ell)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.1) и (3.19) заключаем:
$$
\begin{equation*}
\ell\leqslant 18\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}+1\leqslant 18\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{3}{5}\,\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}< 18.4\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
q^{-1/(16n^{2}\ell)} \leqslant \exp\biggl(-\frac{1}{295n^2}\,\frac{(\ln{x})^{2}}{\ln{q}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положив
$$
\begin{equation*}
n = \biggl[\frac{\ln{x}}{36\sqrt{(\ln{q})\ln\ln{q}}}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь:
$$
\begin{equation}
|S_{\mathcal{B}}| <x\exp\biggl(\frac{33}{10}\ln\ln{q}\,{-}\,\frac{36^{2}}{295}\ln\ln{q}\biggr) \,{=}\, x\exp\biggl(-\biggl(1\,{+}\,\frac{11}{118}\biggr)\ln\ln{q}\biggr)\,{<}\,x(\ln{q})^{-1.09},
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
$$
\begin{equation}
|S_{\mathcal{A}}| \ll x\biggl(\frac{\ln{q}}{\ln{x}}\biggr)^{2}\frac{\sqrt{\ln{q}}}{\ln{x}}\sqrt{\ln\ln{q}} \ll x\frac{(\ln{q})^{5/2}}{(\ln{x})^{3}}\sqrt{\ln\ln{q}}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Складывая оценки (3.19), (3.22) и (3.23), окончательно находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S| &\leqslant |S_{\mathcal{A}}|+|S_{\mathcal{B}}|+|S_{\mathcal{C}}|\ll x\frac{(\ln{q})^{5/2}}{(\ln{x})^{3}}\sqrt{\ln\ln{q}} + \frac{x}{(\ln{q})^{1.09}} + \frac{x}{\ln{q}} \\ &\ll x\frac{(\ln{q})^{5/2}}{(\ln{x})^{3}}\sqrt{\ln\ln{q}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.1 доказана. 3.3. Заключительные замечанияПримененный в настоящей работе прием позволяет получать нетривиальные оценки различных тригонометрических сумм с гладкими числами. В качестве примера приведем формулировку одного из соответствующих утверждений. Теорема 2. Пусть $q\geqslant q_{0}$ – целое число, $(a,q)=1$, и пусть Пусть, далее, $\mathcal{E}$ – множество всех $q^{\varepsilon}$-гладких чисел, не превосходящих $N$. Тогда для каждой из сумм справедлива оценка $S_{j}\ll Nq^{-\varepsilon/9}$, $j = 0,1,2$. При простом $q$ и фиксированном постоянном $\varepsilon$ из этих оценок следует представимость произвольного вычета $m$ по модулю $q$ в виде где $k\geqslant k_{0}(\varepsilon)\gg \varepsilon^{-1}$, а $\nu_{1},\dots,\nu_{k}\leqslant N$ – $q^{\varepsilon}$-гладкие бесквадратные числа, в каноническом разложении которых четное (нечетное) количество сомножителей.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|