| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об отсутствии глобальных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений А. А. Коньков Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9571 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеБудем рассматривать решения системы уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} w_0^{(m_0)}=f_0 (r)g_0 (w_1), \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ w_i^{(m_i)}=f_i (r)g_i (w_{i+1}), \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ w_{n-1}^{(m_{n-1})}=f_{n-1} (r)g_{n-1} (w_0), \end{cases} \qquad r>a>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
удовлетворяющие начальным условиям
$$
\begin{equation}
w_{i}^{(k)} (a)>0, \qquad k=0,\dots, m_i-1, \quad i=0,\dots, n-1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $n\geqslant 2$ и $m_i\geqslant 1$ – целые числа, $f_i\in L_{\infty, \mathrm{loc}} ([a,\infty))$ неотрицательные, а $g_i\in C ({\mathbb R}_+)$ – положительные функции, $i=0,\dots,n-1$. Как это принято, через ${\mathbb R}_+$ мы обозначаем множество положительных вещественных чисел. Явление отсутствия решений у дифференциальных уравнений, или, другими словами, явление blow-up, традиционно привлекает внимание математиков (см. [1]–[12]). В случае степенных нелинейностей $g_i (t)=t^{\lambda_i}$ отсутствие решений задачи (1.1), (1.2) изучалось в работах [10], [11]. Системы вида (1.1) возникают в ряде приложений, в том числе в теории уравнений с частными производными при исследовании решений полулинейных параболических и эллиптических уравнений (см. [3], [12]). Несложно видеть, что решения задачи (1.1), (1.2) – монотонно неубывающие положительные функции. Глобальными решениями (1.1), (1.2) будем называть решения, определенные для всех $r \geqslant a$. Функция $g\colon {\mathbb R}_+\to {\mathbb R}_+$ называется полумультипликативной, если для всех $t_1, t_2 \in {\mathbb R}_+$. При этом если в последней формуле неравенство можно заменить на равенство, то функция $g$ называется мультипликативной. Ввиду того, что отображение $t \mapsto e^t$ является изоморфизмом аддитивной группы вещественных чисел на мультипликативную группу положительных вещественных чисел, функция $g$ полумультипликативна тогда и только тогда, когда $G (t)=\ln g ( e^t )$ полуаддитивна, т.е. для всех $t_1, t_2 \in {\mathbb R}$. Говорим, что функция $g \colon{\mathbb R}_+\to {\mathbb R}_+$ почти полумультипликативна, если существует постоянная $c>0$ такая, что для всех $t_1, t_2 \in {\mathbb R}_+$. В свою очередь, $G \colon {\mathbb R} \to {\mathbb R}$ почти полуаддитивна, если найдется постоянная $C>0$ такая, что для всех $t_1, t_2 \in {\mathbb R}$. Можно видеть, что функция $g$ почти полумультипликативна тогда и только тогда, когда $G (t)=\ln g ( e^t )$ почти полуаддитивна. Любая почти полумультипликативная функция после умножения на некоторую постоянную становится полумультипликативной. Аналогично любую почти полуаддитивную функцию прибавлением некоторой постоянной можно сделать полуаддитивной.Тривиальный пример почти полумультипликативных функций – степенные функции $g (t)=t^\lambda$. Эти функции, очевидно, являются мультипликативными. На аддитивной группе вещественных чисел им соответствуют линейные отображения $G (t)=\ln g ( e^t)=\lambda t$. В качестве менее тривиального примера можно взять $g (t)=t^\lambda \ln^\nu (2+t)$, где $\lambda \geqslant 0$ и $\nu \geqslant 0$ – вещественные числа. Для любой почти полумультипликативной функции $g$ найдется постоянная $c>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
g (\xi_1 \xi_2)\geqslant c\frac{g (\xi_1)}{g (1/\xi_2)}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
для всех $\xi_1, \xi_2 \in {\mathbb R}_+$. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять $t_1=\xi_1 \xi_2$ и $t_2=1/\xi_2$ в неравенстве (1.3). На протяжении всей статьи будем предполагать, что $g_i$, $i=0, \dots, n-1$, – монотонно неубывающие почти полумультипликативные функции. Ввиду (1.3) и (1.4) для любого вещественного числа $c>0$ существуют постоянные $c_1>0$ и $c_2>0$ такие, что
$$
\begin{equation}
c_1 g_i (t) \leqslant g_i (c t) \leqslant c_2 g_i (t), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
для всех $t \in {\mathbb R}_+$. Пусть $0 \leqslant i \leqslant n-1$ целое, а $\sigma>1$ – вещественное число. Положим
$$
\begin{equation*}
f_{i, \sigma} (r)=\operatorname*{ess\,inf}_{(r/\sigma, \sigma r)\cap(a, \infty)}f_i, \qquad r>a.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функции $\gamma_{i, j}$, $\eta_{i,j}$, $h_{i,j}$ и $f_{i, j, \sigma}$ равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \gamma_{i, 0}=g_{i+n -1}, \qquad\gamma_{i,j}=g_{i+n-j -1}\circ \gamma_{i, j -1}, \quad j=1, \dots, n-1, \\ \notag \eta_{i, 0} (t)=t^{m_{i+n-1}}, \qquad \eta_{i, j} (t)=\frac{t^{m_{i+n-j-1}}}{g_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (t)}\Bigr)}, \quad j=1, \dots, n-1, \\ \notag h_{i,0} (t)=t^{m_{i+n-1}}, \qquad h_{i,j} (t)=t^{m_{i+n-j-1}}g_{i+n-j-1}(h_{i, j-1} (t)), \quad j=1, \dots, n-1, \\ \notag f_{i, 0, \sigma} (r)=\frac{r^{m_{i+n-1}}f_{i+n-1,\sigma}(r)}{g_{i+n-1}(r^{1-m_i})}, \\ f_{i, j, \sigma} (r)=\frac{r^{m_{i+n-j-1}}f_{i+n-j-1,\sigma}(r)}{g_{i+n-j-1} \Bigl(\frac{1}{f_{i, j-1, \sigma} (r)}\Bigr)}, \qquad j=1, \dots, n-1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где индекс $i+n-j-1$ надо понимать по модулю целого числа $n$, т.е. в случае $i+n-j-1 \geqslant n$ в качестве индекса берется остаток от деления $i+n-j-1$ на $n$. Если в формуле (1.6) $f_{i, j-1, \sigma} (r)=0$ для некоторого $r \in [a, \infty)$, будем по определению считать, что $f_{i, j, \sigma} (r)=0$. Обозначим для краткости
$$
\begin{equation*}
\eta_i=\eta_{i, n-1}, \qquad h_i=h_{i, n-1}, \qquad \gamma_i=\gamma_{i, n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть также
$$
\begin{equation*}
\varphi_{i, \sigma} (r)=r^{1-m_i}f_{i, n-1, \sigma} (r), \qquad \psi_{i, \sigma} (r)=h_i^{-1}(\varphi_{i, \sigma} (r)).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая по индукции, можно показать, что $\eta_{i,j}$ и $h_{i,j}$, $j=0, \dots, n-1$, – монотонно возрастающие функции, взаимно однозначно отображающие множество положительных вещественных чисел на себя. Доопределим их на весь промежуток $[0, \infty)$, полагая нулем в точке нуль. Таким образом, можно утверждать, что $\eta_i$ и $h_i$ – монотонно возрастающие функции, взаимно однозначно отображающие $[0, \infty)$ на себя, причем $\eta_i (0)=h_i (0)=0$. Поскольку суперпозиция непрерывных монотонно неубывающих почти полумультипликативных функций сама является непрерывной монотонно неубывающей почти полумультипликативной функцией, для любого вещественного числа $c>0$ существуют постоянные $c_1>0$ и $c_2>0$ такие, что
$$
\begin{equation}
c_1 \gamma_i (t) \leqslant \gamma_i (c t) \leqslant c_2 \gamma_i (t)
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
для всех $t \in [0, \infty)$. При этом считаем, что $\gamma_i (0)=\gamma_i (+0)$.
§ 2. Основные результаты Теорема 1. Предположим, что Теорема 2. Предположим, что Теоремы 1 и 2 будут доказаны в § 3. Частным случаем системы (1.1) является система типа Эмдена–Фаулера
$$
\begin{equation}
\begin{cases} w_0^{(m_0)}=f_0 (r)w_1^{\lambda_0}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ w_i^{(m_i)}=f_i (r)w_{i+1}^{\lambda_i}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ w_{n-1}^{(m_{n-1})}=f_{n-1} (r)w_0^{\lambda_{n-1}}, \end{cases} \qquad r>a>0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\lambda_i$, $i=0, \dots, n-1$, – неотрицательные вещественные числа. Следствие 1. Пусть $\lambda=\lambda_0\dotsb\lambda_{n-1}>1$ и при этом Доказательство. Прямыми вычислениями можно показать, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_{i, \sigma} (r)=r^{1+\alpha_i+\lambda (m_i-1)}F_{i, \sigma} (r), \qquad \gamma_i (t)=t^{\lambda}, \qquad \eta_i (t)=h_i (t)=t^{m_i+\alpha_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для завершения доказательства остается применить теорему 1. Пример 1. Рассмотрим систему Согласно следствию 1, если и выполнено хотя бы одно из неравенств
$$
\begin{equation}
\lambda_0 m_1+\lambda_0\lambda_1(m_0-1)+s_0+\lambda_0s_1+1\geqslant0
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
или
$$
\begin{equation}
\lambda_1m_0+\lambda_1\lambda_0 (m_1-1)+s_1+\lambda_1s_0+1\geqslant0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
то система (2.2) не имеет глобальных решений, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
w_{i}^{(k)} (a) >0, \qquad k=0, \dots, m_i-1, \quad i=0, 1.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Если же справедливо (2.4) и при этом ни одно из неравенств (2.5) и (2.6) не выполнено, то
$$
\begin{equation*}
w_0 (r)=r^{(s_0+m_0+\lambda_0(s_1+m_1))/(1-\lambda_0 \lambda_1)}, \qquad w_1 (r)=r^{(s_1+m_1+\lambda_1(s_0+m_0))/(1-\lambda_0 \lambda_1)}
\end{equation*}
\notag
$$
являются глобальными решениями (2.2), (2.7) для некоторых положительных функций $f_i \in C ([a,\infty))$, удовлетворяющих соотношениям (2.3). Тем самым, условия (2.5) и (2.6) являются точными. Условие (2.4) также является точным. Именно, можно показать, что при $\lambda_0 \lambda_1 \leqslant 1$ задача (2.2), (2.7) имеет глобальные решения для всех неотрицательных функций $f_i \in L_{\infty, \mathrm{loc}} ([a,\infty))$, $i=0, 1$. Пример 2. Будем исследовать случай критических показателей $s_i$ в правой части (2.3). Предположим, что функции $f_i$ в примере 1 вместо (2.3) удовлетворяют соотношениям Предполагая, далее, что $a>0$ достаточно велико, несложно убедиться, что $w_i$, $i=0, 1$, – глобальные решения (2.2), (2.7) для некоторых положительных функций $f_i \in C ([a,\infty))$, удовлетворяющих соотношениям (2.8). Пример 3. Рассмотрим систему Применяя теорему 1, получим, что при не существует глобальных решений задачи (2.12), (2.7). В самом деле, ввиду (2.14) справедливо хотя бы одно из неравенств $s_0+m_0 \geqslant 0$ или $s_1+m_1 \geqslant 0$. Для определенности будем считать, что $s_1+m_1 \geqslant 0$. Несложно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_0 (t)=t^{m_0+m_1} \ln^{-\nu_0} (2+t^{-m_1}), \qquad h_0 (t)=t^{m_0+m_1} \ln^{\nu_0} (2+t^{m_1}), \\ \gamma_0 (t)=t \ln^{\nu_1} (2+t) \ln^{\nu_0} (2+t \ln^{\nu_1} (2+t)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_0 (t)\sim t^{m_0+m_1}\ln^{-\nu_0}\frac{1}{t} \quad\text{при }\ t \to+0, \\ \gamma_0 (t)\sim t\ln^{\nu_0+\nu_1} t \quad\text{при }\ t \to \infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, в свою очередь, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_0^{-1} (t)\sim t^{1/(m_0+m_1)}\ln^{\nu_0/(m_0+m_1)}\frac{1}{t} \quad\text{при }\ t \to+0, \\ \frac{t}{\gamma_0 (t)}\sim\ln^{-\nu_0-\nu_1} t \quad\text{при }\ t \to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\eta_0^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_0 (t)}\biggr)\sim \ln^{- (\nu_0+\nu_1)/(m_0+m_1)} t \ln^{\nu_0/(m_0+m_1)} \ln t \quad\text{при }\ t \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (2.13) позволяет утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\int_1^\infty\eta_0^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_0 (t)}\biggr)\frac{dt}{t}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\sigma>1$ – некоторое вещественное число. Согласно (2.3) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_{0, \sigma} (r) &\sim r^{s_0 +s_1+m_0+m_1}\ln^{-\nu_1} (2+r^{1-m_0}) \\ &\qquad\times \ln^{-\nu_0} (2+r^{- s_1-m_1-m_0+1} \ln^{\nu_1} (2+r^{1-m_0})) \quad\text{при }\ r \to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду неравенства $s_1+m_1 \geqslant 0$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_{0, \sigma} (r)\sim r^{s_0 +s_1+m_0+m_1} \quad\text{при }\ r \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
h_0^{-1} (t)\sim t^{1/(m_0+m_1)}\ln^{- \nu_0/(m_0+m_1)} t \quad\text{при }\ t \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
функция $\psi_{0, \sigma} (r)=h_0^{-1} (\varphi_{0, \sigma} (r))$ в случае $s_0 +s_1+m_0+m_1>0$ удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation*}
\psi_{0, \sigma} (r)\sim r^{(s_0 +s_1+m_0+m_1)/(m_0+m_1)}\ln^{- \nu_0/(m_0+m_1)} r \quad\text{при }\ r \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а в случае $s_0 +s_1+m_0+m_1=0$ – соотношению
$$
\begin{equation*}
\psi_{0, \sigma} (r)\sim1 \quad\text{при }\ r \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, принимая во внимание (2.14), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_1^\infty\eta_0 (\psi_{0, \sigma} (r))\,\frac{dr}{r}=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Условия (2.13) и (2.14) являются точными. В самом деле, пусть выполнено (2.13), но не выполнено (2.14). Тогда, полагая где а $k_0>m_0$ и $k_1>m_1$ – вещественные числа такие, что получим глобальные решения (2.12), (2.7) для некоторых положительных функций $f_i \in C ([a, \infty))$, удовлетворяющих соотношениям (2.3). Предположим теперь, что не выполнено условие (2.13). Тогда задача (2.12), (2.7) имеет глобальные решения для любых неотрицательных функций $f_i \in L_{\infty, \mathrm{loc}} ([a, \infty))$, $i=0, 1$. Чтобы в этом убедиться, возьмем вещественные числа $\mu_0 \geqslant \nu_0$ и $\mu_1 \geqslant \nu_1$ такие, чтоОбозначим $m=\max \{ m_0, m_1 \}$. Возьмем, далее, функцию $f \in C^m ([a, \infty))$, имеющую на промежутке $[a, \infty)$ положительные производные от нулевого порядка до порядка $m$ включительно и такую, что
$$
\begin{equation*}
f' (r)\geqslant\lambda\max\bigl\{f_0^{1/m_0} (r),f_1^{1/m_1} (r)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $r \in [a, \infty)$, где $\lambda>0$ будет определено ниже. Пусть $\varkappa_0>0$ и $\varkappa_1>0$ – вещественные числа, удовлетворяющие условию Полагая
$$
\begin{equation*}
\widetilde w_i (r)=e^{\varkappa_i f (r)}e^{e^{f (r)}}, \qquad i=0, 1,
\end{equation*}
\notag
$$
будем, очевидно, иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde w_1 (r)\ln^{\mu_0} (2+\widetilde w_1(r))\leqslant c_0e^{(\varkappa_1+\mu_0) f (r)} e^{e^{f (r)}}, \\ \widetilde w_0 (r)\ln^{\mu_1} (2+\widetilde w_0 (r))\leqslant c_1e^{(\varkappa_0+\mu_1) f (r)} e^{e^{f (r)}}, \\ \widetilde w_i^{(m_i)} (r)\geqslant(f' (r))^{m_i} e^{(\varkappa_i+m_i) f (r)} e^{e^{f (r)}}, \qquad i=0, 1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $r \in [a, \infty)$, где постоянные $c_0>0$ и $c_1>0$ зависят только от $\varkappa_1$, $\mu_0$ и $\varkappa_0$, $\mu_1$ соответственно. Из (2.15) и (2.16) можно видеть, что $\varkappa_0+m_0=\varkappa_1+\mu_0$ и $\varkappa_1+m_1=\varkappa_0+\mu_1$. Следовательно, взяв получим, что $\widetilde w_i$, $i=0, 1$, – глобальные решения системы неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \widetilde w_0^{(m_0)}\geqslant f_0 (r)\widetilde w_1\ln^{\mu_0} (2+\widetilde w_1), \\ \widetilde w_1^{(m_1)}\geqslant f_1 (r)\widetilde w_0\ln^{\mu_1} (2+\widetilde w_0), \end{cases} \qquad r>a>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это в свою очередь позволяет утверждать, что система (2.12) имеет глобальные решения, удовлетворяющее начальным условиям
$$
\begin{equation}
w_{i}^{(k)} (a)=\widetilde w_{i}^{(k)} (a)>0, \qquad k=0, \dots, m_i-1, \quad i=0, 1.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Чтобы построить такие решения, заметим, что задача (2.12), (2.17) эквивалентна системе интегральных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle w_0 (r)=q_0 (r)+\int_a^r\frac{(r-\xi)^{m_0-1}f_0 (\xi)w_1\ln^{\nu_0} (2+w_1)} {(m_0-1)!}\,d\xi, \\ \displaystyle w_1 (r)=q_1 (r)+\int_a^r\frac{(r-\xi)^{m_1-1}f_1 (\xi)w_0\ln^{\nu_1} (2+w_0)} {(m_1-1)!}\,d\xi, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_i (r)=\sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{(r-a)^k\widetilde w_i^{(k)} (a)}{k!}, \qquad i=0, 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим последовательности функций $w_{0, j}$ и $w_{1, j}$, $j=0, 1, 2, \dots$, определенные следующим образом. Возьмем $w_{0, 0} (r)=q_0 (r)$ и $w_{1, 0} (r)=q_1 (r)$. Пусть $w_{0, j-1}$ и $w_{1, j-1}$ уже известны. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w_{0, j} (r)=q_0 (r)+\int_a^r\frac{(r-\xi)^{m_0-1}f_0 (r)w_{1, j-1}\ln^{\nu_0} (2+w_{1, j-1})} {(m_0-1)!}\,d\xi, \\ w_{1, j} (r)=q_1 (r)+\int_a^r\frac{(r-\xi)^{m_1-1}f_1 (r)w_{0, j-1}\ln^{\nu_0} (2+w_{0, j-1})} {(m_1-1)!}\,d\xi. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая по индукции, несложно показать, что
$$
\begin{equation*}
w_{0, j-1} (r) \leqslant w_{0, j} (r) \leqslant \widetilde w_0 (r), \qquad w_{1, j-1} (r) \leqslant w_{1, j} (r) \leqslant \widetilde w_1 (r)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \geqslant a$, $j=1, 2, \dots$, поэтому найдутся функции $w_0, w_1 \in L_{\infty, \mathrm{loc}} ([a, \infty))$ такие, что $w_{0, j} \to w_0$ и $w_{1, j} \to w_1$ всюду на промежутке $[a, \infty)$ при $j \to \infty$. Согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости эти функции удовлетворяют системе уравнений (2.18). § 3. Доказательство теорем 1 и 2Нам потребуются несколько предварительных утверждений. Лемма 1. Предположим, что $\mu>1$ и $\nu>1$ – некоторые вещественные числа, а $\eta \colon [0, \infty) \to [0, \infty)$ – выпуклая функция, причем $\eta (0)=0$. Тогда для любой измеримой функции $\varphi \colon (0, \infty) \to [0, \infty)$ и положительных вещественных чисел $t_1$ и $t_2$ таких, что $\mu t_1 \leqslant t_2$, где а постоянные $A>0$ и $B>0$ зависят только от $\mu$ и $\nu$. Доказательство. Из условия $\eta (0)=0$ и выпуклости функции $\eta$ следует, что $\eta$ – монотонно неубывающая функция на промежутке $[0, \infty)$, причем ${\eta (r_1+r_2)} \geqslant {\eta (r_1)}+{\eta (r_2)}$ для любых вещественных чисел $r_1 \geqslant 0$ и $r_2 \geqslant 0$. Пусть $k$ – максимальное целое число, удовлетворяющее условию $\lambda^{k/2} t_1 \leqslant t_2$, где $\lambda=\min \{ \mu, \nu \}$. Обозначим $\rho_i=\lambda^{i/2} t_1$, $i=0, 1, \dots, k-1$, и $\rho_k=t_2$. Несложно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\lambda^{1/2} \rho_{i-1} \leqslant \rho_i<\lambda \rho_{i-1}, \qquad i=1, 2, \dots, k.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{t_1}^{t_2}\varphi (t)\,\frac{dt}{t}=\sum_{i=1}^k\int_{\rho_{i-1}}^{\rho_i}\varphi (t)\,\frac{dt}{t} \geqslant\sum_{i=1}^k(1-\lambda^{- 1/2})\operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда немедленно следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \eta\biggl(\int_{t_1}^{t_2}\varphi (t)\,\frac{dt}{t}\biggr) &\geqslant\eta\biggl(\sum_{i=1}^k(1-\lambda^{- 1/2})\operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi\biggr) \\ &\geqslant\sum_{i=1}^k\eta \Bigl((1-\lambda^{- 1/2})\operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi\Bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В то же время
$$
\begin{equation*}
\eta \bigl((1-\lambda^{- 1/2})\psi (t)\bigr)\leqslant\eta\Bigl((1-\lambda^{- 1/2}) \operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi\Bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t \in (\rho_{i-1}, \rho_i)$, поэтому можно утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\lambda-1}\int_{\rho_{i-1}}^{\rho_i} \eta \bigl((1-\lambda^{- 1/2})\psi (t)\bigr)\,\frac{dt}{t} \leqslant\eta\Bigl((1-\lambda^{- 1/2})\operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi\Bigr), \qquad i=1, 2, \dots, k.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\lambda-1}\int_{t_1}^{t_2}\eta \bigl((1-\lambda^{- 1/2})\psi (t)\bigr)\,\frac{dt}{t} &=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\lambda-1}\int_{\rho_{i-1}}^{\rho_i} \eta \bigl((1-\lambda^{- 1/2})\psi (t)\bigr)\,\frac{dt}{t} \\ &\leqslant\sum_{i=1}^k\eta\Bigl((1-\lambda^{- 1/2}) \operatorname*{ess\,inf}_{(\rho_{i-1}, \rho_i)}\varphi\Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
объединяя которое с формулой (3.1), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\eta\biggl(\int_{t_1}^{t_2}\varphi (t)\,\frac{dt}{t}\biggr) \geqslant\frac{1}{\lambda-1}\int_{t_1}^{t_2}\eta \bigl((1-\lambda^{- 1/2})\psi (t)\bigr)\,\frac{dt}{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершено. Лемма 2. Предположим, что $x_1>0$ и $x_2>0$ – вещественные числа. Тогда где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Доказательство. При фиксированном $i \in \{0, \dots, n-1 \}$ воспользуемся индукцией по $j$. Если $j=0$, то (3.2) очевидно. Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
\eta_{i, j-1} (x_1) h_{i, j-1} (x_2) \geqslant C \eta_{i, j-1} (x_1 x_2)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $j \in \{ 1, \dots, n-1 \}$. Здесь и далее в доказательстве леммы 2 через $C$ мы обозначаем положительные, возможно, различные постоянные, зависящие только от $n$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Из определения функции $\eta_{i, j}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\eta_{i, j} (x_1 x_2)=\frac{x_1^{m_{i+n-j-1}}x_2^{m_{i+n-j-1}}}{g_{i+n-j-1} \Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1 x_2)}\Bigr)} \leqslant\frac{Cx_1^{ m_{i+n-j-1}}x_2^{m_{i+n-j-1}}}{g_{i+n-j-1} \Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1) h_{i, j-1} (x_2)}\Bigr)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, принимая во внимание соотношение
$$
\begin{equation*}
g_{i+n-j-1}\biggl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1) h_{i, j-1} (x_2)}\biggr) \geqslant\frac{Cg_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1)}\Bigr)}{g_{i+n-j-1} (h_{i, j-1} (x_2))},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из формулы для полумультипликативных функций (1.4), получим
$$
\begin{equation*}
\frac{x_1^{m_{i+n-j-1}}x_2^{m_{i+n-j-1}}g_{i+n-j-1} (h_{i, j-1} (x_2))}{g_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1)}\Bigr)} \geqslant C\eta_{i, j} (x_1 x_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\eta_{i, j} (x_1)=\frac{x_1^{m_{i+n-j-1}}}{g_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1} (x_1)}\Bigr)}, \qquad h_{i, j} (x_2)=x_2^{m_{i+n-j-1}}g_{i+n-j-1}(h_{i, j-1} (x_2))
\end{equation*}
\notag
$$
согласно определению функций $\eta_{i,j}$ и $h_{i,j}$, последнее неравенство позволяет утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\eta_{i, j} (x_1)h_{i, j} (x_2)\geqslant C\eta_{i, j} (x_1 x_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершено. Лемма 2 влечет следующие два предложения. Предложение 1. Пусть $y_1>0$ и $y_2>0$ – вещественные числа. Тогда где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, целых чисел $m_0,\dots, m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Доказательство. Из (3.2), где $j=n-1$, находим для всех вещественных чисел $x_1>0$ и $x_2>0$, где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, целых чисел $m_0, \dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$, поэтому для завершения доказательства достаточно взять $x_1=y_1$ и $x_2=h_i^{- 1} (y_2)$. Предложение 2. Для любого вещественного числа $\zeta>0$ существуют постоянные $\zeta_1>0$ и $\zeta_2>0$ такие, что для всех $t \in [0, \infty)$, $i=0, \dots, n-1$. Доказательство. Полагая $x_1=t$ и $x_2=\zeta$ в формуле (3.3), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\eta_i (t) h_i (\zeta) \geqslant C \eta_i (t \zeta), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$. С другой стороны, взяв в этой формуле $x_1=\zeta t$ и $x_2=1/\zeta$, получим для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$. Таким образом, справедливо неравенство для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$, где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Полагая, далее, $x_1=\eta_i^{-1} (y_1)$ и $x_2=\eta_i^{-1} (y_2)$ в (3.3), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\eta_i^{-1}\biggl(\frac{1}{C}y_1h_i(\eta_i^{-1} (y_2))\biggr) \geqslant\eta_i^{-1} (y_1)\eta_i^{-1} (y_2), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $y_1>0$ и $y_2>0$. В частности, взяв $y_1=t$ и $y_2=\eta_i (h_i^{-1} (C \zeta))$, получим
$$
\begin{equation*}
\eta_i^{-1} (t \zeta) \geqslant \eta_i^{-1} (t) h_i^{-1} (C \zeta), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$. В свою очередь, взяв $y_1=\zeta t$ и $y_2=\eta_i ( h_i^{-1} (C/\zeta))$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\eta_i^{-1} (t)\geqslant\eta_i^{-1} (\zeta t) h_i^{-1}\biggl(\frac{C}{\zeta}\biggr), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$. Тем самым, можно утверждать, что
$$
\begin{equation*}
h_i^{-1} (C \zeta)\eta_i^{-1} (t)\leqslant\eta_i^{-1} (\zeta t)\leqslant \frac{1}{h_i^{-1} (C/\zeta)}\eta_i^{-1} (t), \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $t>0$ и $\zeta>0$, где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Поскольку в случае $t=0$ неравенства (3.4) очевидны, это завершает доказательство. Лемма 3. Предположим, что $w_i$, $i=0, \dots, n-1$, – глобальные решения задачи (1.1), (1.2). Тогда для любого вещественного числа $\rho \geqslant a$ система интегральных уравнений Доказательство. Интегрируя (1.1), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle w_0 (r)=q_0 (r)+\int_\rho^r\frac{(r-\xi)^{m_0-1}f_0 (\xi)g_0 (w_1)}{(m_0-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots. \\ \displaystyle w_i (r)=q_i (r)+\int_\rho^r\frac{(r-\xi)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (w_{i+1})}{(m_i-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \displaystyle w_{n-1} (r)=q_{n-1} (r)+\int_\rho^r \frac{(r-\xi)^{m_{n-1}-1}f_{n-1} (\xi)g_{n-1} (w_0)}{m_{n-1}-1)!}\,d\xi, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_i (r)=\sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{(r-\rho)^kw_i^{(k)} (\rho)}{k!}, \qquad i=0, \dots, n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Не представляет труда убедиться, что
$$
\begin{equation*}
w_{i}^{(k)} (\rho)>0, \qquad k=0, \dots, m_i-1, \quad i=0, \dots, n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, обозначая
$$
\begin{equation*}
u_i (r)=\frac{w_i (r)}{r^{m_i-1}}, \qquad i=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle u_0 (r)\geqslant p_0 (r)+\int_\rho^r\frac{(1-\xi/r)^{m_0-1}f_0 (\xi)g_0 (\xi^{m_1-1} u_1)} {(m_0-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \displaystyle u_i (r)\geqslant p_i (r)+\int_\rho^r\frac{(1-\xi/r)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} u_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \displaystyle u_{n-1} (r)\geqslant p_{n-1} (r)+\int_\rho^r \frac{(1-\xi/r)^{m_{n-1}-1} f_{n-1} (\xi)g_{n-1} (\xi^{m_0-1} u_0)}{(m_{n-1}-1)!}\,d\xi \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \geqslant \rho$. Рассмотрим последовательности $\{ v_{i,j} \}_{j=0}^\infty$, определенные следующим образом. Возьмем Пусть для $j \geqslant 1$ функции $v_{i, j-1}$, $i=0, \dots, n-1$, уже известны. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle v_{0, j} (r)=p_0 (r)+\int_\rho^r \frac{(1-\xi/r)^{m_0-1}f_0 (\xi)g_0 (\xi^{m_1-1} v_{1, j-1})}{(m_0-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \displaystyle v_{i, j} (r)=p_i (r)+\int_\rho^r \frac{(1-\xi/r)^{m_i-1} f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1, j-1})}{(m_i-1)!}\,d\xi, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \displaystyle v_{n-1, j} (r)=p_{n-1} (r)+\int_\rho^r \frac{(1-\xi/r)^{m_{n-1}-1} f_{n-1} (\xi)g_{n-1} (\xi^{m_0-1} v_{0, j-1})}{ (m_{n-1}-1)!}\,d\xi. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая по индукции, можно показать, что
$$
\begin{equation*}
p_i (r) \leqslant v_{i,j-1} (r) \leqslant v_{i, j} (r) \leqslant u_i (r), \qquad i=0, \dots, n-1, \quad j=1, 2, \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \geqslant \rho$. Таким образом, последовательности $\{ v_{i, j} \}_{j=0}^\infty$ всюду на $[\rho, \infty)$ сходятся к некоторым функциям $v_i$, $i=0, \dots, n-1$. Несложно видеть, что эти функции удовлетворяют оценке (3.6). Согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости они также являются решениями системы (3.5). Замечание 1. Из того, что $p_i$, $i=0, \dots, n-1$, – монотонно неубывающие функции, очевидно, следует, что решения системы (3.5) также монотонно неубывающие функции. Лемма 4. Пусть $\rho \geqslant a$ – вещественное число и $v_i$, $i=0, \dots, n-1$, – решения системы интегральных уравнений (3.5) на промежутке $[\rho, \infty)$, где $p_i$, $i=0, \dots, n-1$, – монотонно неубывающие функции, положительные на множестве $(\rho, \infty)$. Предположим также, что $\tau>1$ и $\rho<r_1<r_2$ – вещественные числа, удовлетворяющие условию $\tau r_1 \geqslant r_2$, и при этом $2 v_i (r_1) \geqslant v_i (r_2)$ для некоторого $i \in \{ 0, \dots, n-1 \}$. Тогда где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, $\tau$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Доказательство. Обозначим $\xi_j=r_1\,{+}\,j (r_2\,{-}\,r_1)/n$, $j=0, \dots, n$. Индукцией по $j$ покажем, что
$$
\begin{equation}
r_1^{m_{i+n-j-1}-1}v_{i+n-j-1} (\xi_{j+1})\geqslant C\eta_{i,j} \biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)f_{i, j, \tau} (r_1)\gamma_{i, j} (v_i (r_1))
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
для всех $j \in \{ 0, \dots, n-2 \}$. Здесь и далее в доказательстве леммы 4 через $C$ мы обозначаем положительные, возможно, различные постоянные, зависящие только от $n$, $\tau$, целых чисел $m_0, \dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots, g_{n-1}$. База индукции. Принимая во внимание (3.5), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{i+n-1} (\xi_1) &=p_{i+n-1} (\xi_1)+\int_\rho^{\xi_1} \frac{(1-\xi/\xi_1)^{m_{i+n-1}-1}f_{i+n-1} (\xi)g_{i+n-1} (\xi^{m_i-1} v_i)}{(m_{i+n-1}-1)!}\,d\xi \\ &\geqslant\int_{r_1}^{\xi_1} \frac{(1-\xi/\xi_1)^{m_{i+n-1}-1}f_{i+n-1} (\xi)g_{i+n-1} (\xi^{m_i-1} v_i)}{(m_{i+n-1}-1)!}\,d\xi \\ &\geqslant C\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)^{m_{i+n-1}}r_1f_{i+n-1, \tau} (r_1) g_{i+n-1} (r_1^{m_i-1} v_i (r_1)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Согласно формуле для полумультипликативных функций (1.4)
$$
\begin{equation*}
g_{i+n-1} (r_1^{m_i-1} v_i (r_1)) \geqslant C\frac{g_{i+n-1} (v_i (r_1))}{g_{i+n-1} (r_1^{1-m_i})},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (3.9) влечет (3.8) в случае $j=0$. Индуктивный шаг. Предположим, что
$$
\begin{equation}
r_1^{m_{i+n-j}-1}v_{i+n-j} (\xi_j)\geqslant C\eta_{i,j-1} \biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)f_{i, j-1, \tau} (r_1)\gamma_{i, j-1} (v_i (r_1)),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $1 \leqslant j \leqslant n-2$ – целое число. Ввиду (3.5) будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & v_{i+n-j-1} (\xi_{j+1})=p_{i+n-j-1} (\xi_{j+1}) \\ &\quad\qquad +\int_\rho^{\xi_{j+1}}\frac{(1-\xi/\xi_{j+1})^{m_{i+n-j-1}-1}f_{i+n-j-1} (\xi)g_{i+n-j-1} (\xi^{m_{i+n-j}-1} v_{i+n-j})}{(m_{i+n-j-1}-1)!}\,d\xi \\ &\quad \geqslant\int_{\xi_j}^{\xi_{j+1}}\frac{(1-\xi/\xi_{j+1})^{m_{i+n-j-1}-1}f_{i+n-j-1} (\xi)g_{i+n-j-1} (\xi^{m_{i+n-j}-1} v_{i+n-j})}{(m_{i+n-j-1}-1)!}\,d\xi \\ &\quad \geqslant C\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)^{m_{i+n-j-1}}r_1f_{i+n-j-1, \tau} (r_1) g_{i+n-j-1} (r_1^{m_{i+n-j}-1} v_{i+n-j} (\xi_j)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из (3.10), (1.5) и свойства полумультипликативных функций (1.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{i+n-j-1} (r_1^{m_{i+n-j}-1} v_{i+n-j} (\xi_j)) \\ &\qquad \geqslant Cg_{i+n-j-1}\biggl(\eta_{i, j-1}\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr) f_{i, j-1, \tau} (r_1)\gamma_{i, j-1} (v_i (r_1))\biggr) \\ &\qquad \geqslant C \frac{g_{i+n-j-1} \circ \gamma_{i, j-1} (v_i (r_1))} {g_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, j-1}\bigl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\bigr) f_{i, j-1, \tau} (r_1)}\Bigr)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, принимая во внимание соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{i+n-j-1}\biggl(\frac{1}{\eta_{i,j-1}(\frac{r_2-r_1}{r_1}) f_{i, j-1, \tau} (r_1)}\biggr) \\ &\qquad \leqslant Cg_{i+n-j-1}\biggl(\frac{1}{\eta_{i,j-1}(\frac{r_2-r_1}{r_1})}\biggr) g_{i+n-j-1}\biggl(\frac{1}{f_{i, j-1, \tau} (r_1)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{i+n-j-1} (r_1^{m_{i+n-j}-1} v_{i+n-j} (\xi_j)) \\ &\qquad \geqslant C\frac{g_{i+n-j-1} \circ \gamma_{i, j-1} (v_i (r_1))} {g_{i+n-j-1}\Bigl(\frac{1}{\eta_{i,j-1}\bigl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\bigr)}\Bigr)g_{i+n-j-1} \Bigl(\frac{1}{f_{i, j-1, \tau} (r_1)}\Bigr)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя последнее неравенство и (3.11), завершаем доказательство (3.8). Установим теперь справедливость оценки (3.7). Из (3.5) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &v_i (r_2)-v_i (r_1)=p_i (r_2)-p_i (r_1) +\int_{r_1}^{r_2}\frac{(1-\xi/r_2)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi \\ &\qquad\qquad +\int_a^{r_1} \frac{((1-\xi/r_2)^{m_i-1}-(1-\xi/r_1)^{m_i-1}) f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi \\ &\qquad\geqslant\int_{r_1}^{r_2}\frac{(1-\xi/r_2)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду того, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{r_1}^{r_2}\frac{ (1-\xi/r_2)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi \\ &\qquad \geqslant\int_{\xi_{n-1}}^{r_2}\frac{(1-\xi/r_2)^{m_i-1}f_i (\xi)g_i (\xi^{m_{i+1}-1} v_{i+1})} {(m_i-1)!}\,d\xi \\ &\qquad \geqslant C\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)^{m_i}r_1f_{i, \tau} (r_1)g_i (r_1^{m_{i+1}-1} v_{i+1} (\xi_{n-1})), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует неравенство
$$
\begin{equation}
v_i (r_2)-v_i (r_1)\geqslant C\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)^{m_i} r_1 f_{i, \tau} (r_1)g_i (r_1^{m_{i+1}-1} v_{i+1} (\xi_{n-1})).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Полагая $j=n-2$ в формуле (3.8), будем иметь
$$
\begin{equation*}
r_1^{m_{i+1}-1}v_{i+1} (\xi_{n-1})\geqslant C\eta_{i, n-2} \biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr)f_{i, n-2, \tau} (r_1)\gamma_{i, n-2} (v_i (r_1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, учитывая (1.5) и свойство (1.4) полумультипликативных функций, приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_i (r_1^{m_{i+1}-1} v_{i+1} (\xi_{n-1})) &\geqslant Cg_i\biggl(\eta_{i, n-2}\biggl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\biggr) f_{i, n-2, \tau} (r_1)\gamma_{i, n-2} (v_i (r_1))\biggr) \\ &\geqslant C\frac{g_i \circ \gamma_{i, n-2} (v_i (r_1))} {g_i\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, n-2}\bigl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\bigr)f_{i, n-2, \tau} (r_1)}\Bigr)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого виду того, что
$$
\begin{equation*}
g_i\biggl(\frac{1}{\eta_{i, n-2}(\frac{r_2-r_1}{r_1})f_{i, n-2, \tau} (r_1)}\biggr) \leqslant Cg_i\biggl(\frac{1}{\eta_{i, n-2}(\frac{r_2-r_1}{r_1})}\biggr) g_i\biggl(\frac{1}{f_{i, n-2, \tau} (r_1)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
g_i (r_1^{m_{i+1}-1} v_{i+1} (\xi_{n-1})) \geqslant C\frac{g_i \circ \gamma_{i, n-2} (v_i (r_1))} {g_i\Bigl(\frac{1}{\eta_{i, n-2}\bigl(\frac{r_2-r_1}{r_1}\bigr)}\Bigr) g_i\Bigl(\frac{1}{f_{i, n-2, \tau} (r_1)}\Bigr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, чтобы убедиться в справедливости (3.7), остается объединить последнюю оценку и (3.12). Лемма 5. Пусть $\rho \geqslant a$ – вещественное число и $v_i$, $i=0, \dots, n-1$, – решения системы интегральных уравнений (3.5) на промежутке $[\rho, \infty)$, где $p_i$, $i=0, \dots, n-1$, – монотонно неубывающие непрерывные функции, положительные на множестве $(\rho, \infty)$. Предположим также, что $\tau>1$ и $\rho<r_1<r_2$ – вещественные числа, удовлетворяющие условию $\tau r_1 \geqslant r_2$, и при этом $2 v_i (r_1) \leqslant v_i (r_2)$ для некоторого $i \in \{ 0, \dots, n-1 \}$. Тогда где постоянная $C>0$ зависит только от $n$, $\tau$, целых чисел $m_0, \dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Доказательство. Построим конечную последовательность вещественных чисел $\{ \xi_j \}_{j=0}^l$. Возьмем $\xi_0=r_1$. Пусть $\xi_{j-1}$ уже известно, где $j$ – некоторое натуральное число. Если $2 v_i (\xi_{j-1}) \geqslant v_i (r_2)$, положим $\xi_j=r_2$, $l=j$ и оборвем процесс. В противном случае возьмем Так как $v_i$ – положительная монотонно неубывающая непрерывная функция на промежутке $[r_1, r_2]$, этот процесс должен оборваться на конечном числе шагов. Очевидно также, что $\{ \xi_j \}_{j=0}^l$ – строго возрастающая последовательность, причем Всюду ниже в доказательстве леммы 5 через $C$ будем обозначать положительные, возможно, различные постоянные, зависящие только от $n$, $\tau$, целых чисел $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Согласно лемме 4 для любого целого числа $1 \leqslant j \leqslant l$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{v_i (\xi_j)-v_i (\xi_{j-1})}{\gamma_i (v_i (\xi_{j-1}))} \geqslant C\eta_i\biggl(\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\biggr) \varphi_{i, \tau} (\xi_{j-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
из которой, принимая во внимание неравенство
$$
\begin{equation*}
\eta_i\biggl(\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\biggr) \varphi_{i, \tau} (\xi_{j-1}) \geqslant C\eta_i\biggl( \frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\psi_{i, \tau} (\xi_{j-1})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из предложения 1, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{v_i (\xi_j)-v_i (\xi_{j-1})}{\gamma_i (v_i (\xi_{j-1}))} \geqslant C\eta_i\biggl(\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\psi_{i, \tau} (\xi_{j-1})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (1.7), (3.13) и предложения 2 это позволяет утверждать, что
$$
\begin{equation}
\eta_i^{-1}\biggl(\frac{v_i (\xi_{j-1})}{\gamma_i (v_i (\xi_j))}\biggr) \geqslant C\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\psi_{i, \tau} (\xi_{j-1}).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Так как $\eta_i$ и $\gamma_i$ – монотонно неубывающие функции, имеем
$$
\begin{equation*}
\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr) \geqslant \eta_i^{-1}\biggl(\frac{v_i (\xi_{j-1})}{\gamma_i (v_i (\xi_j))}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t \in (v_i (\xi_{j-1}), v_i (\xi_j))$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (\xi_{j-1})}^{v_i (\xi_j)}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\eta_i^{-1}\biggl(\frac{v_i (\xi_{j-1})}{\gamma_i (v_i (\xi_j))}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и (3.14) влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (\xi_{j-1})}^{v_i (\xi_j)}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\psi_{i, \tau} (\xi_{j-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
суммируя которое по всем $1 \leqslant j \leqslant l$, немедленно получим
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_2)}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\sum_{j=1}^l\frac{\xi_j-\xi_{j-1}}{\xi_{j-1}}\psi_{i, \tau} (\xi_{j-1}) \geqslant C\frac{r_2-r_1}{r_2}\psi_{i, \tau^2} (r_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершено. Лемма 6. Пусть $w_i$, $i=0, \dots, n-1$, – глобальные решения (1.1), (1.2), причем $\eta_i$ – выпуклая функция для некоторого $i \in \{0, \dots, n-1 \}$. Тогда найдется $a_* \in [a, \infty)$ такое, что для всех вещественных чисел $a_*<\rho<R$ и $\sigma>1$, удовлетворяющих условию $\sigma \rho \leqslant R$, где постоянные $\zeta>0$ и $C>0$ зависят только от $n$, $\sigma$, $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Доказательство. Возьмем $a_* \in [a, \infty)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{w_i (r)}{2r^{m_i-1}}\leqslant\frac{ w_i^{(m_i-1)} (r)}{ (m_i-1)!}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
для всех $r \geqslant a_*$. Такое $a_*$, очевидно, существует. В самом деле, если $m_i=1$, то достаточно взять $a_*=a$. В случае $m_i \geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation}
w_i (r)=\sum_{k=0}^{m_i-2}\frac{(r-a)^k w_i^{(k)} (a)}{k!} +\int_a^r\frac{(\xi-a)^{m_i-2}w_i^{(m_i-1)} (\xi)}{(m_i-2)!}\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Так как $w_i^{(m_i-1)}$ – неубывающая функция на промежутке $[a, \infty)$, можно утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\int_a^r\frac{(\xi-a)^{m_i-2}w_i^{(m_i-1)} (\xi)}{(m_i-2)!}\,d\xi \leqslant\frac{(r-a)^{m_i-1}w_i^{(m_i-1)} (r)}{(m_i-1)!}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \geqslant a$, поэтому (3.17) влечет оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{w_i (r)}{r^{m_i-1}}\leqslant\sum_{k=0}^{m_i-2}\frac{(r-a)^kw_i^{(k)} (a)}{k!\,r^{m_i-1}} +\biggl(1-\frac{a}{r}\biggr)^{m_i-1}\frac{w_i^{(m_i-1)} (r)}{(m_i-1)!}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \geqslant a$, из которой ввиду того, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w_i^{(m_i-1)} (r)\geqslant w_i^{(m_i-1)} (a)>0 \quad\text{при }\ r \geqslant a, \\ \sum_{k=0}^{m_i-2}\frac{(r-a)^k w_i^{(k)} (a)}{ k! \,r^{m_i-1}}\to0 \quad\text{при }\ r \to \infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает справедливость (3.16) для всех достаточно больших $r$. Пусть $a_*<\rho<R$ – вещественные числа такие, что $\sigma \rho \leqslant R$ для некоторого $\sigma \in (1, \infty)$. По лемме 3 на промежутке $[\rho, \infty)$ существуют решения системы интегральных уравнений (3.5), удовлетворяющие неравенствам (3.6). Обозначим $\tau=\sigma^{1/3}$. Возьмем максимальное натуральное число $l$ такое, что $\tau^{l/2} \rho<R$. Положим $r_j=\tau^{j/2} \rho$, $j=0, \dots, l-1$, и $r_l=R$. Несложно видеть, что
$$
\begin{equation}
\tau^{1/2}r_j\leqslant r_{j+1}\leqslant \tau r_j, \qquad j=0, \dots, l-1.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Из (3.6) будем, в частности, иметь
$$
\begin{equation*}
v_i (r_1)\geqslant\frac{(1-\tau^{- 1/2})^{m_i-1}w_i^{(m_i-1)} (\rho)}{(m_i-1)!}, \qquad v_i (r_l)\leqslant\frac{w_i (R)}{R^{m_i-1}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду (3.16) следует, что
$$
\begin{equation}
v_i (r_1)\geqslant\frac{\zeta w_i (\rho)}{\rho^{m_i-1}}, \qquad v_i (r_l)\leqslant\frac{w_i (R)}{R^{m_i-1}},
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где $\zeta=(1-\tau^{- 1/2})^{m_i-1}/2$. Обозначим через $\Xi_1$ множество целых чисел $1 \leqslant j \leqslant l-1$ таких, что а через $\Xi_2$ – множество всех остальных целых чисел $1 \leqslant j \leqslant l-1$.Будем подразумевать под $C$ положительные, возможно, различные постоянные, зависящие только от $n$, $\sigma$, $m_0,\dots,m_{n-1}$ и функций $g_0,\dots,g_{n-1}$. Применяя лемму 4, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{v_i (r_{j+1})-v_i (r_j)}{\gamma_i (v_i (r_j))} \geqslant C\eta_i\biggl(\frac{r_{j+1}-r_j}{r_j}\biggr)\varphi_{i, \tau} (r_j)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $j \in \Xi_1$, откуда согласно неравенствам
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_j)}^{v_i (r_{j+1})}\,\frac{dt}{\gamma_i (t)} \geqslant C\frac{v_i (r_{j+1})-v_i (r_j)}{\gamma_i (v_i (r_j))}, \qquad \eta_i\biggl(\frac{ r_{j+1}-r_j}{r_j}\biggr)\geqslant\eta_i (\tau^{1/2}-1),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающим из (1.7), (3.20), (3.18) и монотонности функции $\eta_i$, следует, что
$$
\begin{equation}
\int_{v_i (r_j)}^{v_i (r_{j+1})}\frac{dt}{\gamma_i (t)}\geqslant C\varphi_{i, \tau} (r_j)
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
для всех $j \in \Xi_1$. В свою очередь, принимая во внимание (3.18) и лемму 5, будем иметь
$$
\begin{equation}
\int_{v_i (r_j)}^{v_i (r_{j+1})}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr) \,\frac{dt}{t}\geqslant C\psi_{i, \tau^2} (r_j)
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
для всех $j \in \Xi_2$. Предположим сначала, что
$$
\begin{equation}
\sum_{j \in \Xi_1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)) \geqslant \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{l-1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)).
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Суммируя (3.21) по всем $j \in \Xi_1$, получим
$$
\begin{equation}
\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_l)}\frac{dt}{\gamma_i (t)}\geqslant C\sum_{j \in \Xi_1}\varphi_{i, \tau} (r_j).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Несложно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_{i, \tau} (r_j)\geqslant\varphi_{i, \tau^2} (r_j), \qquad j=1, \dots, l-1.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, полагая $y_1=1$ и $y_2=\varphi_{i, \tau^2} (r_j)$ в предложении 1, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\varphi_{i, \tau^2} (r_j)\geqslant C\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)), \qquad j=1, \dots, l-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым (3.24) влечет оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_l)}\frac{dt}{\gamma_i (t)} \geqslant C\sum_{j \in \Xi_1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)),
\end{equation*}
\notag
$$
объединяя которую с (3.19) и (3.23), приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{w_i (R)/R^{m_i-1}} \frac{dt}{\gamma_i (t)}\geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)).
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
В то же время формула (1.7) и предложение 2 позволяют утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\inf_{\xi \in (t/2, 2 t)}\eta_i^{-1}\biggl( \frac{\xi}{\gamma_i (\xi)}\biggr) \geqslant\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t/2}{\gamma_i (2 t)}\biggr) \geqslant C\eta_i^{-1}\biggl( \frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех вещественных чисел $t>0$. Поэтому, принимая во внимание лемму 1, получим
$$
\begin{equation*}
\eta_i\biggl(\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{ w_i (R)/R^{m_i-1}} \eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t}\biggr) \geqslant C\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{w_i (R)/R^{m_i-1}}\frac{dt}{\gamma_i (t)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду (3.25) следует, что
$$
\begin{equation}
\eta_i\biggl(\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{ w_i (R)/R^{m_i-1}} \eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t}\biggr) \geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Заметим, что $v_i (r_l) \geqslant v_i (r_1)$, так как $v_i$ – неубывающая функция. Согласно формуле (3.19) справедливо также неравенство $w_i (R)/R^{m_i-1} \geqslant \zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}$. Без ограничения общности можно считать, что $w_i (R)/R^{m_i-1} \geqslant 2 \zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}$. В противном случае заменим $\zeta$ на $\zeta/2$. Предположим теперь, что (3.23) не выполнено. В этом случае будем иметь
$$
\begin{equation*}
\sum_{j \in \Xi_2}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)) \geqslant\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{l-1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, суммируя (3.22) по всем $j \in \Xi_2$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_l)}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\psi_{i, \tau^2} (r_j),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду (3.19) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{w_i (R)/R^{m_i-1}} \eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\psi_{i, \tau^2} (r_j).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом предложения 2 и монотонности $\eta_i$ последнее неравенство дает
$$
\begin{equation*}
\eta_i\biggl(\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{w_i (R)/R^{m_i-1}}\eta_i^{-1} \biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\frac{dt}{t}\biggr) \geqslant C\eta_i\biggl(\sum_{j=1}^{l-1}\psi_{i, \tau^2} (r_j)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время
$$
\begin{equation*}
\eta_i\biggl(\sum_{j=1}^{l-1}\psi_{i, \tau^2} (r_j)\biggr) \geqslant\sum_{j=1}^{l-1}\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j)),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\eta_i$ – выпуклая монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условию $\eta_i (0)=0$, и мы снова получим (3.26). Ввиду того, что $\psi_{i, \tau^2} (r_j) \geqslant \psi_{i, \sigma} (r)$ для всех $r \in (r_{j-1}, r_{j+1})$, имеем
$$
\begin{equation*}
\eta_i (\psi_{i, \tau^2} (r_j))\geqslant C\int_{ r_{j-1}}^{r_{j+1}} \eta_i (\psi_{i, \sigma} (r))\,\frac{dr}{r}, \qquad j=1, \dots, l-1,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (3.26) приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\eta_i\biggl(\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{ w_i (R)/R^{m_i-1}} \eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t}\biggr) \geqslant C\int_\rho^R\eta_i (\psi_{i, \sigma} (r))\,\frac{dr}{r},
\end{equation*}
\notag
$$
которая, очевидно, влечет (3.15). Лемма 6 доказана. Лемма 7. Предположим, что $w_i$, $i=0, \dots, n-1$, – глобальные решения задачи (1.1), (1.2). Тогда найдется $a_* \in [a, \infty)$ такое, что Доказательство. Пусть $i \in \{ 0, \dots, n-1 \}$. Продолжая рассуждения, начатые в доказательстве леммы 6, получим согласно (3.21) и (3.22)
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_j)}^{v_i (r_{j+1})}\frac{dt}{\gamma_i (t)} +\int_{v_i (r_j)}^{v_i (r_{j+1})}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\min\bigl\{\varphi_{i, \tau} (r_j),\psi_{i, \tau^2} (r_j)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $j=1, \dots, l-1$. Суммируя эти неравенства по $j$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_l)}\frac{dt}{\gamma_i (t)} +\int_{v_i (r_1)}^{v_i (r_l)}\eta_i^{-1}\biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\min\bigl\{ \varphi_{i, \tau} (r_j),\psi_{i, \tau^2} (r_j)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду (3.19) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{w_i (R)/R^{m_i-1}}\frac{dt}{\gamma_i (t)} +\int_{\zeta w_i (\rho)/\rho^{m_i-1}}^{ w_i (R)/R^{m_i-1}}\eta_i^{-1} \biggl(\frac{t}{\gamma_i (t)}\biggr)\,\frac{dt}{t} \\ &\qquad \geqslant C\sum_{j=1}^{l-1}\min\bigl\{\varphi_{i, \tau} (r_j),\psi_{i, \tau^2} (r_j)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Для всех $r \in (r_{j-1}, r_{j+1})$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\min\bigl\{\varphi_{i, \tau} (r_j),\psi_{i, \tau^2} (r_j)\bigr\} \geqslant\min\bigl\{\varphi_{i, \sigma} (r),\psi_{i, \sigma} (r)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\min\bigl\{\varphi_{i, \tau} (r_j),\psi_{i, \tau^2} (r_j)\bigr\} \geqslant C\int_{r_{j-1}}^{r_{j+1}}\min\bigl\{\varphi_{i, \sigma} (r),\psi_{i, \sigma} (r)\bigr\}\,\frac{dr}{r}, \qquad j=1, \dots, l-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.28) это завершает доказательство (3.27). Доказательство теорем 1 и 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Предположим от противного, что задача (1.1), (1.2) имеет глобальные решения. Тогда, устремляя в лемме 6 вещественное число $R$ к бесконечности, получим, что правая часть (3.15) стремится к бесконечности, в то время как левая остается ограниченной. Полученное противоречие доказывает теорему 1.
Теорема 2 доказывается аналогично с той лишь разницей, что вместо леммы 6 теперь надо использовать лемму 7. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kon22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|