| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Нули, оценки и асимптотики для ортогональных полиномов на единичной окружности Д. Ш. Любински School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, GA, USA
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9569e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $\mu $ – конечная положительная мера на $[-\pi,\pi)$ (или, эквивалентно, на единичной окружности), носитель которой содержит бесконечно много точек. Тогда можно определить ортонормированные полиномы
$$
\begin{equation*}
\varphi_{n}(z)=\kappa_{n}z^{n}+\dotsb, \qquad \kappa_{n}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
$n=0,1,2,\dots $, удовлетворяющие условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{m}(z)}\,d\mu (\theta)=\delta_{mn},
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=e^{i\theta}$. Обозначим нули полинома $\varphi_{n}$ через $\{z_{jn}\}_{j=1}^{n}$. Они лежат внутри единичной окружности; какие-то из них могут совпадать. Советские и российские математики всегда задавали тон в теории ортогональных полиномов, начиная с момента, когда Чебышёв заложил ее основания. Многие ученые из школы Гончара являются мировыми лидерами в этой области, а их ученики продолжают эту традицию. Известные работы Рахманова [18], [20] и Аптекарева, Денисова и Тулякова [3], [4], посвященные гипотезе Стеклова, – это лишь некоторые из многих примеров. Я горжусь возможностью отдать дань уважения памяти А. А. Гончара. В работе предполагается, что мера $\mu $ регулярна в смысле Шталя, Тотика и Ульмана (см. [25]), так что Это верно, например, если $\mu'>0$ п.в. на $[-\pi,\pi)$, но существуют также чисто дискретные меры и чисто сингулярные меры, которые являются регулярными.Многие аспекты поведения нулей $\{z_{jn}\} $ изучались в течение многих лет, к примеру, их распределение (или, нередко, распределение их проекций на единичную окружность) и “квазиравномерное” распределение нулей параортогональных полиномов (см. гл. 8 в монографии Саймона [23]). Один из результатов, имеющих отношение к настоящей работе, принадлежит Неваю и Тотику (см. [17], [23; теорема 7.1.3]). Они связывают максимальный круг с центром в нуле, содержащий все нули ортонормированных полиномов, с аналитическим продолжением функции Сегё внутрь единичной окружности. В этом случае плотность $\mu'$ бесконечно гладкая на единичной окружности. Другой классический результат Маскара и Саффа дает достаточные условия в терминах коэффициентов рекуррентных соотношений для того, чтобы считающие меры нулей слабо сходились к равномерному распределению на единичной окружности (см. [15], [23; теорема 8.1.2]). В недавней работе [7] Бройер и Зелиг так же, как Симанек в [21] и [22], изучали квазиравномерное распределение нулей параортогональных полиномов (см. также библиографию в этих работах). В очень интересной недавней работе Бессонов и Денисов (см. [6; теорема 3]) показали, что расстояние от нулей до единичной окружности тесно связано с асимптотикой ортогональных полиномов. Следующее утверждение – переформулировка одного из их результатов. Теорема 1.1. Пусть $\mu $ – мера на единичной окружности, удовлетворяющая условию Сегё Для почти всех $\zeta $ с $|\zeta|=1$ следующие свойства равносильны: (I)
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}|\varphi_{n}(\zeta) |^{2}\mu'(\zeta)=1;
\end{equation*}
\notag
$$
(II) В аналогичном ключе мы докажем равносильность локальных оценок и асимптотик, но для регулярных мер, а не для мер, удовлетворяющих условию Сегё. Теорема 1.2. Пусть $\mu $ – конечная положительная борелевская мера на единичной окружности, которая регулярна в смысле Шталя, Тотика и Ульмана. Пусть $\Delta $ – дуга единичной окружности, на которой $\mu $ абсолютно непрерывна, причем плотность $\mu'$ положительна и непрерывна. Тогда следующие свойства равносильны: (I) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta $,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\biggl(\inf \biggl\{n(1-|z_{jn}|)\colon z_{jn}\neq 0,\, \frac{z_{jn}}{|z_{jn}|}\in \Gamma \biggr\}\biggr)=\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
(II) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta $, при $n\to \infty $ равномерно по $z\in \Gamma$ Замечания 1.1. (i) Под дугой, строго содержащейся в дуге $\Delta$, мы понимаем дугу $\Gamma $ (содержащуюся в $\Delta$), оба конца которой лежат на положительном расстоянии от концов дуги $\Delta $. Все дуги в настоящей работе предполагаются замкнутыми, т.е. они содержат свои концевые точки. (ii) Если мера $\mu $ абсолютно непрерывна на всей единичной окружности и ее плотность $\mu'$ всюду положительна и непрерывна, то, применяя сформулированный выше результат к двум дугам, мы получим равносильность на всей единичной окружности. Насколько известно автору, даже этот результат является новым. (iii) Асимптотики ортогональных полиномов на единичной окружности изучаются по меньшей мере столетие, им посвящена обширная литература. Если функция $\log \mu'$ интегрируема на единичной окружности, то известна $L_{2}$-асимптотика для $\varphi_{n}$ (см. [8; гл. V], [9], [23; теорема 2.2.14], [26; гл. 10]). Существует много достаточных условий для выполнения асимптотических свойств на дугах единичной окружности и их аналогов на вещественной прямой, и мы не надеемся привести здесь их обзор. Самым общим результатом о поточечной асимптотике на единичной окружности почти наверняка является результат Бадкова [5], который показал, что если функция $\log \mu'$ интегрируема на единичной окружности и мера $\mu $ абсолютно непрерывна на некоторой дуге, причем $\mu'$ удовлетворяет условию Дини–Липшица, то для ортонормированных полиномов имеет место равномерная асимптотика в терминах функции Сегё и, следовательно, также выполняется (1.1). Один из особенно значимых результатов о весах, не удовлетворяющих условию Сегё, принадлежит Рахманову (см. [19; теорема 4]): если мера $ \mu $ абсолютно непрерывна на единичной окружности и ее плотность $\mu'$ удовлетворяет условию Дини–Липшица на всей окружности, то выполняется (1.1), причем сходимость равномерная на каждой дуге окружности, на которой плотность $\mu'$ ограничена снизу положительной константой. Что касается оценок, мы доказываем следующее утверждение. Теорема 1.3. Пусть $\mu $ – конечная положительная борелевская мера на единичной окружности, регулярная в смысле Шталя, Тотика и Ульмана. Пусть $\Delta $ – дуга единичной окружности, на которой мера $\mu $ абсолютно непрерывна, причем ее плотность $\mu'$ положительна и непрерывна на этой дуге. Тогда следующие утверждения равносильны: (I) для каждой дуги $\Gamma$, строго содержащейся в дуге $\Delta$, существует константа $C_{1}>0$ такая, что для всех $n\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\inf \biggl\{n(1-|z_{jn}|) \colon z_{jn}\neq 0,\, \frac{z_{jn}}{|z_{jn}|}\in \Gamma \biggr\} \geqslant C_{1};
\end{equation*}
\notag
$$
(II) для каждой дуги $\Gamma$, строго содержащейся в дуге $\Delta $, существует константа $C_{2}>0$ такая, что для всех $n\geqslant 1$ Замечания 1.2. (i) Если $\mu $ абсолютно непрерывна на всей единичной окружности, причем ее плотность $\mu'$ всюду положительна и непрерывна, то, применяя приведенный выше результат к двум дугам, мы можем получить равносильность на всей окружности. (ii) Оценки для ортогональных полиномов изучаются уже столетие, и одна из знаменитых задач в этой области – гипотеза Стеклова. Ее решил Рахманов (см. [18], [20]), а в позднейших работах Амброладзе [1], [2], Аптекарева, Денисова и Тулякова [3], [4] вопрос был исчерпан. Также многие авторы (например, Бадков в [5], Фройд в [8], Геронимус в [9], Короус и Неваи в [16]) внесли значительный вклад в изучение более широкого вопроса об оценках. Этот список имен далеко не полон. (iii) Главные идеи, лежащие в основе результатов настоящей работы, – это универсальные пределы для воспроизводящих ядер (см. [10], [12], [27]) и локальные пределы для отношений ортогональных полиномов (см. [13]). (iv) Для ортогональных полиномов на вещественной прямой результат, аналогичный теореме 1.3, формулируется в терминах расстояния между нулями ортогональных полиномов последовательных степеней (см. [11]). В завершение этого параграфа введем нужные нам обозначения. Синус-ядро обозначается через Мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\varphi_{n}^{\ast}(z)=z^{n}\overline{\varphi_{n}\biggl(\frac{1}{\overline{z}}\biggr)};
\end{equation*}
\notag
$$
$n$-е воспроизводящее ядро для меры $\mu $ обозначается через
$$
\begin{equation}
K_{n}(z,u)=\sum_{j=0}^{n-1}\varphi_{j}(z) \overline{\varphi_{j}(u)}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Формула Кристоффеля–Дарбу (см. [23; приложение A, п. B, формула (17)]) утверждает, что при $z\neq u$
$$
\begin{equation}
K_{n}(z,u)=\frac{\overline{\varphi_{n}^{\ast}(u)}\varphi_{n}^{\ast}(z) -\overline{\varphi_{n}(u)}\varphi_{n}(z)}{1-\overline{u}z}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Мы полагаем
$$
\begin{equation}
R_{n}(z)=\sum_{j=1}^{n}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}|^{2}},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Если $z_{jn}=0$, то мы полагаем $\tau_{jn}=0$, а если $z_{jn}\neq 0$, то Всюду далее $C,C_{1},C_{2},\dots $ обозначают положительные постоянные, на зависящие от $n,z,\zeta $ и полиномов $P$ степени $\leqslant \!n$. Один и тот же символ не обязательно обозначает одну и ту же константу в разных местах. Для двух последовательностей $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\} $ ненулевых вещественных чисел мы пишем если существует константа $C>1$, не зависящая от $n$, но, возможно, зависящая от последовательностей, такая, что
$$
\begin{equation*}
C^{-1}\leqslant \frac{x_{n}}{y_{n}}\leqslant C \quad\text{для всех }\ n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Работа организована следующим образом: в § 2 формулируются теоремы 2.1 и 2.2, в которых утверждается равносильность утверждений, приведенных выше, а также их равносильность некоторым другим утверждениям. В § 3 мы приводим четыре предварительные леммы. Теорема 2.1 доказывается в § 4, а теорема 2.2 – в § 5. § 2. Дальнейшие эквивалентностиТеоремы 1.2 и 1.3 представляют собой соответственно частные случаи приведенных ниже теорем 2.1 и 2.2. Теорема 2.1. Пусть $\mu $ – конечная положительная борелевская мера на единичной окружности, регулярная в смысле Шталя, Тотика и Ульмана. Пусть $\Delta $ – дуга единичной окружности, на которой мера $\mu $ абсолютно непрерывна, причем ее плотность $\mu'$ положительна и непрерывна на этой дуге. Тогда следующие утверждения равносильны: (a) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$, (b) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}|^{2}}=1;
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
(c) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Re}\biggl(\frac{z\varphi_{n}'(z)}{n\varphi_{n}(z)}\biggr)=1;
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(d) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{z\varphi_{n}'(z)}{n\varphi_{n}(z)}=1;
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
(e) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}=-1;
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
(f) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$, и по $u$ на компактных подмножествах комплексной плоскости $\mathbb{C}$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\varphi_{n}(z(1+u/n))}{\varphi_{n}(z)}=e^{u};
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
(g) для каждой дуги $\Gamma$, строго содержащейся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\biggl(\inf \biggl\{n(1-|z_{jn}|) \colon z_{jn}\neq 0,\frac{z_{jn}}{|z_{jn}|}\in \Gamma \biggr\}\biggr)=\infty;
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
(h) равномерно по $z$ на дугах, строго содержащихся в дуге $\Delta$, Замечания 2.1. (i) Теорема 1.2 в [13] содержит более слабые варианты некоторых утверждений теоремы 2.1, в частности, (b), (d), (e), (f): там делается предположение (см. [13; формула (1.7)]) о функциях $\operatorname{Im}(\varphi_{n}(ze^{\pm i\pi /n}) /\varphi_{n}(z))$, впоследствии оказавшееся ненужным. (ii) К сожалению, в лемме 4.2, (a) в [13] была допущена ошибка, что привело к пробелам в дальнейших доказательствах из этой работы. Эти пробелы были устранены в [14]. Теорема 2.2. Пусть $\mu $ – конечная положительная борелевская мера на единичной окружности, регулярная в смысле Шталя, Тотика и Ульмана. Пусть $\Delta $ – дуга единичной окружности, на которой мера $\mu $ абсолютно непрерывна, причем ее плотность $\mu'$ положительна и непрерывна на этой дуге. Тогда следующие утверждения равносильны: (a) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant 1}\|\varphi_{n}\|_{L_{\infty}(\Gamma)}<\infty;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
(b) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\inf_{n\geqslant 1}\inf_{z\in \Gamma}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}| ^{2}}\geqslant C;
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
(c) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$, существует такое натуральное число $n_{0}$, что
$$
\begin{equation}
\inf_{n\geqslant n_{0}}\inf_{z\in \Gamma}\biggl|\operatorname{Re}\biggl(\frac{z\varphi_{n}'(z)}{n\varphi_{n}(z)} -\frac{1}{2}\biggr) \biggr|\geqslant C;
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
(d) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$, существует такое натуральное число $n_{0}$, что
$$
\begin{equation}
\inf_{n\geqslant n_{0}}\inf_{z\in \Gamma}\biggl|\operatorname{Re} \biggl(\frac{\varphi_{n}(ze^{\pm i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}\biggr)\biggr|\geqslant C;
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
(e) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$,
$$
\begin{equation}
\inf \biggl\{n(1-|z_{jn}|) \colon n\geqslant 1,\, z_{jn}\neq 0,\frac{z_{jn}}{|z_{jn}|}\in \Gamma \biggr\} \geqslant C;
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
(f) для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$, § 3. Предварительные леммыВсюду в этом параграфе мы предполагаем, что выполнены предположения теоремы 1.1, а именно мера $\mu $ регулярна в смысле Шталя, Тотика и Ульмана и абсолютно непрерывна на дуге $\Delta $, причем ее плотность $\mu'$ положительна и непрерывна на этой дуге. Напомним сначала некоторые асимптотики функций Кристоффеля, а также некоторые универсальные и локальные пределы. Лемма 3.1. Пусть $\Gamma $ – дуга, строго содержащаяся в дуге $\Delta $. Тогда: (a) равномерно по $z\in \Gamma$ (b) равномерно по $z\in \Gamma $ и $a$, $b$ на компактных подмножествах плоскости $\mathbb{C}$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{K_{n}(z(1+i2\pi a/n),z(1+i2\pi \overline{b}/n))}{K_{n}(z,z)} =e^{i\pi (a-b)}\mathbb{S}(a-b);
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
(c) для любой последовательности $\{\zeta_{n}\} \subset \Gamma $ такой, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant 1}\frac{1}{n}\biggl|\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\zeta_{n}-z_{jn}}\biggr|<\infty , \qquad\sup_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^{2}} \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|\zeta_{n}-z_{jn}|^{2}}<\infty,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
из каждой бесконечной последовательности натуральных чисел можно выбрать бесконечную подпоследовательность $\mathcal{S}$ такую, что равномерно по $u$ на компактных подмножествах в $\mathbb{C}$ где Доказательство. (a) См., например, [24; теорема 2.16.1].
(b) См., например, [10; теорема 6.3] или [24; теорема 2.16.1]. (c) Это непосредственно следует из теоремы 1.3 в [13], поскольку выполняется универсальное предельное соотношение (3.2). Отметим, что лемма 4.2, (a) в работе [13] содержит ошибку, исправленную в [14]. Однако эта ошибка никак не влияет на доказательство теоремы 1.3 работы [13]. Некоторые из утверждений следующей леммы появились в [13], но для удобства читателя мы приводим здесь их доказательства. Напомним, что функции $R_{n}$ и $g_{n}$ определяются соответственно формулами (1.4) и (1.5). Лемма 3.2. Пусть $\Gamma $ – дуга, строго содержащаяся в дуге $\Delta $. Тогда верны следующие утверждения: (a) при $|z|=1$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}R_{n}(z)=\operatorname{Re}[ 2g_{n}(z) -1];
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
(b) равномерно по $z\in \Gamma$ при фиксированном вещественном $\alpha $
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Im}\bigl[ e^{i\pi \alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{2\pi i\alpha /n})}\bigr] \mu'(z)=-\sin \pi \alpha;
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
(c) равномерно по $z\in \Gamma$ при фиксированном вещественном $\alpha$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to \infty}\biggl\{\operatorname{Re}\bigl[ e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{2\pi i\alpha /n})}\bigr] \frac{1}{n}R_{n}(ze^{2\pi i\alpha /n}) \mu'(z) \\ &\qquad\qquad-(2\sin \pi \alpha) (\operatorname{Im}g_{n}(ze^{2\pi i\alpha /n})) \biggr\}=\cos \pi \alpha; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
(d) равномерно по $z\in \Gamma$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}R_{n}(z) |\varphi_{n}(z) |^{2}\mu'(z)=1;
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
(e) равномерно по $z\in \Gamma$ при фиксированном вещественном $\alpha $ Доказательство. Всюду в доказательстве мы полагаем где число $\alpha$ может быть вещественным или комплексным.
(a) Элементарные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}|^{2}}=2\operatorname{Re}\biggl(\frac{z}{z-z_{jn}}\biggr) -1.
\end{equation*}
\notag
$$
Деление на $n$ и суммирование этих равенств для $j=1,2,\dots,n$ дает (3.6).
(b) Формула Кристоффеля–Дарбу (1.3) и универсальное предельное соотношение (3.2) (а также тот факт, что оно выполнено равномерно) показывают, что равномерно по $\alpha$ на компактных подмножествах плоскости $\mathbb{C}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to \infty}\frac{\overline{\varphi_{n}^{\ast}(z)}\varphi_{n}^{\ast}(\zeta) -\overline{\varphi_{n}(z)}\varphi_{n}(\zeta)}{[ 1-\overline{z}\zeta ] K_{n}(z,z)} =\lim_{n\to \infty}\frac{K_{n}(\zeta,z)}{K_{n}(z,z)} \\ &\qquad =\lim_{n\to \infty}\frac{K_{n}(z(1+\frac{2\pi i\alpha}{n}[ 1+o(1) ]),z)}{K_{n}(z,z)}=e^{i\pi \alpha}\mathbb{S}(\alpha). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Однако согласно (3.1)
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}[ 1-\overline{z}\zeta ] K_{n}(z,z)=-2\pi i\alpha \mu'(z) ^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to \infty}[ \overline{\varphi_{n}^{\ast}(z)}\varphi_{n}^{\ast}(\zeta) -\overline{\varphi _{n}(z)}\varphi_{n}(\zeta) ] \mu'(z) \\ &\qquad =-2\pi i\alpha e^{i\pi \alpha}\mathbb{S}(\alpha) =-2ie^{\pi i\alpha}\sin \pi \alpha=1-e^{2\pi i\alpha}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Далее, если $\alpha$ вещественно, то
$$
\begin{equation*}
\overline{\varphi_{n}^{\ast}(z)}\varphi_{n}^{\ast}(\zeta)=e^{2\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)},
\end{equation*}
\notag
$$
так что, используя эту формулу вместе с (3.12), получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}e^{\pi i\alpha}\bigl\{e^{i\pi \alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}-e^{-\pi i\alpha} \overline{\varphi_{n}(z)}\varphi_{n}(\zeta) \bigr\} \mu'(z) =-2ie^{\pi i\alpha}\sin \pi\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Деление на $2ie^{\pi i\alpha}$ дает (3.7).
(c) Мы возвращаемся к соотношению (3.12), которое выполняется равномерно на компактных подмножествах в $\mathbb{C}$. Эта равномерность позволяет продифференцировать по $\alpha $: после сокращения множителя $2\pi i$ мы получаем
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\bigl[ \overline{\varphi_{n}^{\ast}(z)}\varphi_{n}^{\ast \prime}(\zeta) -\overline{\varphi_{n}(z)}\varphi_{n}'(\zeta) \bigr] \frac{\zeta}{n}\mu'(z)=-e^{2\pi i\alpha}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Теперь опять ограничимся вещественными $\alpha $ и используем тот факт, что для $|\zeta |=1$
$$
\begin{equation*}
\varphi_{n}^{\ast \prime}(\zeta)=n\zeta ^{n-1}\overline{\varphi_{n}(\zeta)}-\zeta ^{n-2}\overline{\varphi_{n}'(\zeta)},
\end{equation*}
\notag
$$
так что, используя соотношение $\overline{z}\zeta=e^{2\pi i\alpha /n}$ и вспоминая определение (1.5) функции $g_{n}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{\varphi_{n}^{\ast}(z)}\varphi_{n}^{\ast \prime}(\zeta) \frac{\zeta}{n} =e^{2\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}-e^{2\pi i\alpha} \varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}\overline{g_{n}(\zeta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это в (3.13) и деля на $e^{\pi i\alpha},$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to \infty}\bigl[ e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)} -e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)} \overline{g_{n}(\zeta)} \\ &\qquad\qquad-e^{-\pi i\alpha}\overline{\varphi_{n}(z)}\varphi_{n}(\zeta) g_{n} (\zeta) \bigr] \mu'(z) =-e^{\pi i\alpha} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
или
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\bigl[ e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}-2\operatorname{Re}\{e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}\overline{g_{n}(\zeta)}\} \bigr] \mu'(z) =-e^{\pi i\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Взяв вещественную часть от обеих частей этого соотношения, получим
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Re}\bigl[ e^{\pi i\alpha}\varphi _{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}\{1-2\overline{g_{n}(\zeta)}\} \bigr] \mu'(z)=-\cos \pi \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя (3.7), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\bigl\{\operatorname{Re}\bigl[ e^{\pi i\alpha}\varphi _{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}\mu'(z) \bigr] \operatorname{Re}[ 1-2g_{n}(\zeta) ] +2\sin \pi \alpha \operatorname{Im}g_{n}(\zeta) \bigr\} \\ &\qquad =-\cos \pi \alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, применим (3.6).
(d) Положим $\alpha=0$ в (3.8). (e) Из (a) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\overline{g_{n}(\zeta)}=2\operatorname{Re}g_{n}(\zeta)-g_{n}(\zeta)=\frac{1}{n}R_{n}(\zeta) +1-g_{n}(\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляем это выражение в (3.14) и сокращаем одно из слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\biggl[-e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}\frac{1}{n}R_{n}(\zeta ) \\ &\qquad\qquad +g_{n}(\zeta) \bigl\{e^{\pi i\alpha}\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(\zeta)}-e^{-\pi i\alpha}\overline{\varphi_{n}(z)}\varphi_{n}(\zeta) \bigr\} \biggr]\mu'(z) =-e^{\pi i\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.9) и (3.7), а также непрерывность $\mu'$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\biggl[ -e^{\pi i\alpha}\frac{\varphi_{n}(z)}{\varphi_{n}(\zeta)}(1+o(1) ) +g_{n}(\zeta) 2i(-\sin \pi \alpha) \biggr] =-e^{\pi i\alpha} \\ &\qquad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to \infty}\biggl[ \frac{\varphi_{n}(z)}{\varphi_{n}(\zeta)}(1+o(1)) +g_{n}(\zeta) 2ie^{-\pi i\alpha}\sin \pi \alpha \biggr]=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку предел не зависит от $z$, мы можем подставить $ze^{-2\pi i\alpha /n}$ вместо $z$; тогда $\zeta $ окажется равным $z$.
Лемма 3.2 доказана. Теперь докажем утверждения из теорем 2.1 и 2.2. Напомним, что $\tau_{jn}=z_{jn}/|z_{jn}|$, как в соотношении (1.6). Доказательство. (a), i) $\Rightarrow$ ii). Пусть $\Gamma$, $\Gamma_{1}$ – дуги, строго содержащиеся в дуге $\Delta $, причем $\Gamma$ строго содержится в $\Gamma_{1}$. В частности, мы предполагаем, что расстояния от обоих концов дуги $\Gamma $ до концов $\Gamma_{1}$ положительны. Для $z\in \Gamma $ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1}{|z-z_{jn}|^{2}} \leqslant \frac{1}{Cn}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}|^{2}} \leqslant \frac{1}{Cn}R_{n}(z) \leqslant C_{1}|\varphi_{n}(z) |^{-2}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.9) и вследствие положительности и непрерывности $\mu'$. Далее, из (3.7) при $\alpha=1/2$ следует, что
$$
\begin{equation*}
|\varphi_{n}(z) |\,|\varphi_{n}(ze^{i\pi /n}) |\mu'(z)\geqslant 1+o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, либо
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1}{|z-z_{jn}|^{2}}\leqslant C_{1},
\end{equation*}
\notag
$$
либо
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1}{|ze^{i\pi /n}-z_{jn}|^{2}}\leqslant C_{1}
\end{equation*}
\notag
$$
(возможно, выполняются оба неравенства). Но в силу нашего предположения при $\tau_{jn}\in \Gamma _{1}$ и $z\in \Gamma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{z-z_{jn}}{ze^{i\pi /n}-z_{jn}}\biggr| =\biggl|1+\frac{z(1-e^{i\pi /n})}{ze^{i\pi /n}-z_{jn}}\biggr| \leqslant 1+\frac{2\sin (\pi /(2n))}{1-|z_{jn}|}\leqslant C_{2},
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичная оценка верна для обратной величины. Значит, при $z\in \Gamma$ Тогда для оставшихся слагаемых, поскольку расстояние от концевых точек $\Gamma$ до концевых точек $\Gamma_{1}$ положительно и $z\in \Gamma$, имеем Суммируя эти оценки, получаем требуемый результат.
(a), ii) $\Rightarrow$ i). Выбирая $z=\tau_{jn}\in \Gamma $, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}(1-|z_{jn}|) ^{2}} =\frac{1}{n^{2}|z-z_{jn}|^{2}}\leqslant \frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{|z-z_{kn}|^{2}}\leqslant C
\end{equation*}
\notag
$$
по нашему предположению.
(b), i) $\Rightarrow $ ii). Пусть дуги $\Gamma$, $\Gamma_{1}$ такие же, как выше. При $z\in \Gamma$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1}{|z-z_{jn}|^{2}} &\leqslant \biggl(\frac{1}{n}\sum_{\tau_{jn}\in\Gamma_{1}}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|z-z_{jn}|^{2}}\biggr) \frac{1}{\inf_{\tau_{jn}\in \Gamma _{1}}n(1-|z_{jn}|^{2})} \\ &=o\biggl(\frac{1}{n}R_{n}(z)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем действовать, как в п. (a).
(b), ii) $\Rightarrow $ i). Опять действуем, как в п. (a). Лемма 3.3 доказана. Лемма 3.4. Предположим, что для каждой дуги $\Gamma $, строго содержащейся в дуге $\Delta$, Тогда для каждой дуги $\Gamma$, строго содержащейся в дуге $\Delta$, существует $C>0$ такое, что для $n\geqslant 1$ и $z_{jn}\neq 0$, $\tau_{jn}\in \Gamma$ Доказательство. Пусть $\Gamma $ – дуга, строго содержащаяся в дуге $\Delta $. Предположим, что заключение леммы не выполняется. Тогда мы можем выбрать бесконечную последовательность $\mathcal{S}$ натуральных чисел и для $j=j(n) \in \mathcal{S}$ можем выбрать точки $z_{jn}$ такие, что $\tau_{jn}=z_{jn}/|z_{jn}|\in \Gamma $ и Запишем
$$
\begin{equation*}
z_{jn}=\tau_{jn}\biggl(1+2\pi i\frac{\alpha_{n}}{n}\biggr), \qquad u=\tau_{jn}\biggl(1+2\pi i\frac{\overline{v}}{n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v=v(n) $, т.е. $v$ зависит от $n$, и $\alpha_{n}\to 0$ при $n\to \infty $. Тогда из универсального предельного соотношения (3.2) (которое выполняется на большей дуге, чем $\Gamma $, вследствие наших предположений) равномерно по $v$ на компактных множествах
$$
\begin{equation}
\frac{K_{n}(z_{jn},u)}{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn})} =e^{i\pi (\alpha_{n}-v)}\mathbb{S}(\alpha_{n}-v) +o(1) =e^{-i\pi v}\mathbb{S}(v) +o(1).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Далее, из формулы Кристоффеля–Дарбу (1.3) получаем
$$
\begin{equation}
\overline{\varphi_{n}^{\ast}(u)}\varphi_{n}^{\ast}(z_{jn}) =\bigl\{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn}) (1-\overline{u}z_{jn}) \bigr\} \frac{K_{n}(z_{jn},u)}{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn})}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Полагая $u=\tau_{jn}$ (так что $v=0$ в обеих формулах) и используя (3.1), а также тот факт, что $n(1-|z_{jn}|) \to 0$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \overline{\varphi_{n}^{\ast}(\tau_{jn})}\varphi_{n}^{\ast}(z_{jn}) &=K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn}) (1-|z_{jn}|) \frac{K_{n}(z_{jn},\tau_{jn})}{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn})} \\ &=o(1) (1+o(1))=o(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Теперь применим (3.15) и (3.16), взяв $u=\tau_{jn}e^{i\pi /n}$. Для такого $u$ имеем $v=1/2+o(1)$, и, значит,
$$
\begin{equation*}
\frac{K_{n}(z_{jn},u)}{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn})} =e^{-i\pi /2}\mathbb{S}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) +o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{\varphi_{n}^{\ast}(\tau_{jn}e^{i\pi /n})}\varphi_{n}^{\ast}(z_{jn}) \\ &\qquad =\biggl\{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn}) \biggl(1-e^{-i\pi /n} \biggl[ 1+2\pi i\frac{\alpha_{n}}{n}\biggr]\biggr) \biggr\} \frac{K_{n}(z_{jn},u)}{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn})} \\ &\qquad =\biggl\{K_{n}(\tau_{jn},\tau_{jn}) \biggl(1-e^{-i\pi/n} +o\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr) \biggr\} \biggl\{e^{-i\pi /2}\mathbb{S}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) +o(1) \biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что, используя (3.1), получим
$$
\begin{equation*}
|\varphi_{n}^{\ast}(\tau_{jn}e^{i\pi /n}) \varphi_{n}^{\ast}(z_{jn}) |\sim 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Деление (3.17) на левую часть этого соотношения дает
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\varphi_{n}(\tau_{jn})}{\varphi_{n}(\tau_{jn}e^{i\pi /n})}\biggr| =\biggl|\frac{\varphi_{n}^{\ast}(\tau_{jn})}{\varphi_{n}^{\ast} (\tau_{jn}e^{i\pi /n})}\biggr|=o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Но из равенства (3.7) с $\alpha=1/2$ следует, что
$$
\begin{equation*}
|\varphi_{n}(\tau_{jn}e^{i\pi /n}) \varphi _{n}(\tau_{jn}) |\geqslant 1+o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\varphi_{n}(\tau_{jn}e^{i\pi /n}) |^{2} =\biggl|\frac{\varphi_{n}(\tau_{jn})}{\varphi_{n}(\tau_{jn}e^{i\pi /n})}\biggr|^{-1} \bigl|\varphi_{n}(\tau_{jn}e^{i\pi /n}) \varphi_{n}(\tau_{jn})\bigr| \to \infty \\ \text{при }\ n\to \infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предполагаемой ограниченности $\{\varphi_{n}\}$.
Лемма 3.4 доказана. § 4. Доказательство теоремы 2.1Установим равносильность утверждений (a)–(h) теоремы 2.1. (a) $\Leftrightarrow $ (b). Это непосредственно следует из (3.9). (b) $\Leftrightarrow $ (c). Это непосредственно следует из тождества (3.6). (c) $\Leftrightarrow $ (d). Непосредственно проверяется, что (2.4) $\Rightarrow$ (2.3). Теперь предположим, что выполняется (2.3). Мы должны показать, что $\operatorname{Im}g_{n}(z) \to 0$ равномерно на $\Gamma $ при $ n\to \infty $. Из полученной равносильности (b) $\Leftrightarrow $ (c) имеем (2.2), так что из (3.8) с $\alpha=1/2$ и из (3.9) получаем
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\bigl\{-\operatorname{Im} [ \varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}\mu'(z) ] -2(\operatorname{Im}g_{n}(ze^{\pi i/n})) \bigr\}=0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Далее, мы уже доказали, что (c) равносильно (a), так что, используя соотношение (2.1) для $\zeta=z,ze^{i\pi /n}$ и непрерывность $\mu',$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}|\varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}|\mu'(z)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (3.7) с $\alpha=1/2$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Re}\bigl[ \varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}\bigr] \mu'(z)=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Im}\bigl[ \varphi_{n}(z) \overline{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}\bigr] \mu'(z)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда равенство (4.1) дает
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\operatorname{Im}g_{n}(ze^{\pi i/n})=0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Все приведенные выше пределы равномерны на $\Gamma $ и даже на большей дуге, строго содержащейся в дуге $\Delta $. В силу равномерности по $z$ мы можем заменить $ze^{i\pi /n}$ на $z$. Значит, действительно (2.3) $\Rightarrow $ (2.4). (d) $\Leftrightarrow $ (e). Из (3.10) с $\alpha=-1/2$ получим
$$
\begin{equation*}
2g_{n}(z)=1-\frac{\varphi_{n}(ze^{\pi i/n})}{\varphi_{n}(z)}(1+o(1)) +o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, (2.4) $\Leftrightarrow $ (2.5). (a) $\Leftrightarrow $ (f). Пусть $\Gamma_{1}$ – дуга, строго содержащаяся в дуге $\Delta $ и содержащая дугу $ \Gamma $ строго внутри. Предположим сначала, что выполнено (2.1). Применим лемму 3.1, (c), когда $\zeta_{n}=z$. Мы должны проверить выполнение условий (3.3). Если все $\zeta_{n}$ равны $z$, то первое из условий в (3.3) непосредственно следует из (2.4), а это соотношение в свою очередь, как мы доказали, следует из (2.1). Чтобы проверить второе условие, сначала из леммы 3.4 и наших предположений увидим, что
$$
\begin{equation*}
\inf \{n(1-|z_{jn}|) \colon \tau_{jn}\in\Gamma \} \geqslant C.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда лемма 3.3, (a) показывает, что второе условие в (3.3) выполняется для всех $ \zeta_{n}=z$. Из леммы 3.1, (c) мы получаем, что каждая последовательность натуральных чисел содержит такую подпоследовательность $\mathcal{S}$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty,\, n\in \mathcal{S}}\frac{\varphi_{n}(z(1+u/n))}{\varphi_{n}(z)}=e^{u}+C(e^{u}-1)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $u$ на компактных подмножествах плоскости $\mathbb{C}$, где
$$
\begin{equation*}
C=\lim_{n\to \infty,\,n\in \mathcal{S}} \biggl(\frac{z}{n}\frac{\varphi_{n}'(z)}{\varphi_{n}(z)}-1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Но в силу равенства (2.4) (которое, как мы знаем, следует из (a)) $C=0$, так что предел не зависит от выбора подпоследовательности и выполняется соотношение (2.6). Наоборот, предположим теперь, что выполнено локальное предельное соотношение (2.6). Тогда, полагая $u=i\pi /n$ и используя равномерность, получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)} =\lim_{n\to \infty}\frac{\varphi_{n}(z(1+\frac{i\pi}{n}[ 1+o(1) ]))}{\varphi_{n}(z)} =e^{i\pi}=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что верно равенство (2.5), а значит, и нужное нам утверждение (a) вследствие уже доказанной равносильности (a) $\Leftrightarrow $ (e). (f) $\Rightarrow $ (g). Это следует из того, что $e^{u}$ не имеет нулей. В самом деле, если бы существовала последовательность нулей $z_{jn},$ $n\in \mathcal{S},$ $j=j(n) $, такая, что $\tau_{jn}\in \Gamma $ и $1-|z_{jn}|=O(1/n) $, то, записав $z_{jn}=\tau_{jn}(1+i\alpha_{n}/n) $, мы получили бы $\alpha_{n}=O(1)$ и вследствие локального предельного соотношения
$$
\begin{equation*}
0=\frac{\varphi_{n}(\tau_{jn}(1+i\alpha_{n}/n))}{\varphi_{n}(\tau_{jn})} =e^{\pi i\alpha_{n}}+o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к противоречию. (g) $\Leftrightarrow $ (h). Это лемма 3.3, (b). (h) $\Rightarrow $ (f). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n}g_{n}'(z) =\frac{1}{n^{2}}\frac{d}{dz} \biggl(\sum_{j=1}^{n}\biggl[ 1+\frac{z_{jn}}{z-z_{jn}}\biggr]\biggr) =-\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}\frac{z_{jn}}{(z-z_{jn}) ^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $A>0$. Из нашего предположения следует, что равномерно по $z\in \Gamma$, значит, для $\zeta,z\in \Gamma $ таких, что $|\zeta -z|\leqslant A/n$, верно Далее, соотношение (3.10) с $\alpha=-1/2$ дает
$$
\begin{equation*}
2g_{n}(z)=1-\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}(1+o(1)) +o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя $z$ на $ze^{i\pi /n}$ и используя (3.10) с $\alpha=1/2$, получим также
$$
\begin{equation*}
2g_{n}(ze^{i\pi /n})=1-\frac{\varphi_{n}(z)}{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}(1+o(1)) +o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (4.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}(1+o(1)) -\frac{\varphi_{n}(z)}{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}(1+o(1)) \biggr|=o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}\biggr)^{2}=1+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соотношения (3.7) с $\alpha=1/2$ обязательно
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\varphi_{n}(ze^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, верно (2.5), а тогда уже установленная равносильность (e) $\Leftrightarrow $ (f) дает нужный нам результат. Заметим, что все пределы выше равномерные на $\Gamma $, так что и предел в (2.5) равномерный. Теорема 2.1 доказана. § 5. Доказательство теоремы 2.2Заметим, что некоторые из требуемых эквивалентностей автоматически выполняются для конечного числа номеров $n$, так что нам нужно рассматривать достаточно большие $n$. (a) $\Leftrightarrow $ (b). Это непосредственно следует из (3.9) и из непрерывности $\mu'$. (b) $\Leftrightarrow $ (c). Это непосредственно следует из (3.6). (c) $\Leftrightarrow $ (d). Это следует из (3.10) с $\alpha=-1/2$, которое влечет
$$
\begin{equation*}
2g_{n}(z) -1=-\frac{\varphi_{n}(ze^{\pm i\pi /n})}{\varphi_{n}(z)}(1+o(1)) +o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
(a) $\Rightarrow $ (e). Это было доказано в лемме 3.4. (e) $\Leftrightarrow $ (f). Это было доказано в лемме 3.3, (a). (f) $\Rightarrow $ (a). Предположим, что это не так. Тогда можно найти дугу $\Gamma \subset \Delta $, последовательность $\mathcal{S}$ натуральных чисел и для каждого $n\in \mathcal{S}$ точку $ \zeta_{n}\in \Gamma $ такие, что Тогда из (3.9) получим Пусть $C>0$. Пусть $\{u_{n}\} $ – такая последовательность точек на единичной окружности, что $|\zeta_{n}-u_{n}|\leqslant C/n$, $n\geqslant1$. Мы утверждаем, что В самом деле, пусть $\Gamma_{1}$ – дуга, которая строго содержит дугу $\Gamma$. Если $ z_{jn}\in \Gamma_{1}$, то, используя (2.13) (что мы можем сделать в силу равносильности (e) $\Leftrightarrow $ (f)), получим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{u_{n}-z_{jn}}{\zeta_{n}-z_{jn}}\biggr|\leqslant 1+\frac{|u_{n}-\zeta_{n}|}{1-|z_{jn}|}\leqslant C
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичную нижнюю оценку. Слагаемые с $z_{jn}\notin \Gamma_{1}$ проще, так как для них $R_{n}(\zeta_{n}) \sim R_{n}(u_{n}) $, и мы имеем (5.1). Далее, используя равносильность (e) $\Leftrightarrow $ (f), мы можем получить
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1}{|u_{n}-z_{jn}|^{2}} \leqslant \frac{C}{n}\sum_{\tau_{jn}\in \Gamma_{1}}\frac{1-|z_{jn}|^{2}}{|u_{n}-z_{jn}|^{2}} \leqslant\frac{C}{n}R_{n}(u_{n})=o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
а оставшуюся сумму можно оценить как
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{\tau_{jn}\notin \Gamma_{1}}\frac{1}{|u_{n}-z_{jn}|^{2}}\leqslant C\frac{n}{n^{2}}=o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|u_{n}-z_{jn}|^{2}}=o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы будем действовать во многом так же, как в доказательстве импликации (h) $\Rightarrow $ (f) в теореме 2.1. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n}g_{n}'(u_{n})=-\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}\frac{z_{jn}}{(u_{n}-z_{jn}) ^{2}}=o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если $|u_{n}-\zeta_{n}|\leqslant C/n$ и $u_{n},\zeta_{n}\in \Gamma, $ то Тогда из (3.10) с $\alpha=1/2$ при подходящем выборе $u_{n}$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{\varphi_{n}(\zeta_{n}e^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(\zeta_{n})}(1+o(1)) -\frac{\varphi_{n}(\zeta_{n})}{\varphi_{n}(\zeta_{n}e^{i\pi/n})}(1+o(1)) \biggr|=o(1) \\ &\qquad \Longrightarrow\quad \biggl(\frac{\varphi_{n}(\zeta_{n}e^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(\zeta_{n})}\biggr) ^{2}=1+o(1) \\ &\qquad \Longrightarrow\quad\frac{\varphi_{n}(\zeta_{n}e^{i\pi /n})}{\varphi_{n}(\zeta_{n})}=-1+o(1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
ввиду (3.7) с $\alpha=1/2$. Далее, используя (3.10), получим и, используя (3.6), мы видим, что а значит, используя (3.9), получаем Это противоречит нашему предположению, что последовательность $\{\varphi_{n}(\zeta _{n}) \} $ не ограничена. Теорема 2.2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lub22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|