| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Теорема Кизини для почти общих накрытий проективной плоскости Вик. С. Куликов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9568 
Реферативные базы данных:
    ВведениеПусть $S$ – неособая неприводимая проективная поверхность, определенная над полем комплексных чисел $\mathbb C$, и пусть $f\colon S\to\mathbb P^2$ – конечный морфизм в проективную плоскость $\mathbb P^2$, разветвленный в неприводимой кривой $B_f\subset\mathbb P^2$. Морфизм $f$ определяет гомоморфизм монодромии $f_*\colon \pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)\to \mathbb S_{\deg f}$ в симметрическую группу $\mathbb S_{\deg f}$, действующую на слое $f^{-1}(q)=\{ q_1,\dots,q_{\deg f}\}$. Его образ $G_f:=f_*(\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q))\subset \mathbb S_{\deg f}$ называется группой монодромии морфизма $f$. Пусть $\gamma$ – это так называемый геометрический порождающий элемент фундаментальной группы $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$, т.е. элемент группы $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$, представленный простой петлей вокруг кривой $B_f$ вблизи неособой точки $p\in B_f$. Обозначим через $\overline{r}_f=(r_1,\dots ,r_k)$ цикловой тип перестановки $f_*(\gamma)$, т.е. набор длин нетривиальных циклов, входящих в разложение перестановки $f^*(\gamma)$ в виде произведения непересекающихся циклов. Набор $\overline r_f$ целых чисел $r_j\geqslant 2$, $j=1,\dots,k$, называется данными ветвления морфизма $f$. Пусть $p$ – точка кривой $B_f\subset \mathbb P^2$. Хорошо известно, что группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p):=\pi_1(V\setminus B_f)$ не зависит от $V$, где $V\subset \mathbb P^2$ – это достаточно маленькая комплексно аналитическая окрестность точки $p$, биголоморфная шару радиуса $r\ll 1$ с центром в точке $p$. Образ $G_{f,p}:=\operatorname{im} f_*\circ i_*$ называется локальной группой монодромии морфизма $f$ в точке $p$, где $i_*\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p)=\pi_1(V\setminus B_f,\widetilde q)\to \pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$ – гомоморфизм, определенный однозначно с точностью до сопряжения в группе $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$ вложением $V\hookrightarrow \mathbb P^2$. Набор конечных групп $ \mathcal G_f=\{ G_{f,p} \mid p\in \operatorname{Sing} B_f\}$ называется данными монодромии морфизма $f$, а тройка $\operatorname{pas}(f)=(B_f,\overline r_f,\mathcal G_f)$ называется паспортом морфизма $f$. Чтобы ввести термин теорема Кизини, нам понадобятся следующие обозначения. Пусть $\mathcal G$ – некоторое конечное множество конечных групп и $\mathcal S$ – некоторое множество типов сингулярности особых точек плоских кривых. Обозначим через $\mathcal B_{\mathcal S}$ множество неприводимых плоских кривых, особые точки которых имеют типы сингулярности, принадлежащие множеству $\mathcal S$. Пусть $\mathcal F_{\overline r,\mathcal S,\mathcal G}$ – множество конечных морфизмов $f\colon S\to\mathbb P^2$ неособых неприводимых поверхностей $S$ таких, что $\overline r_f=\overline r$, $B_f\in \mathcal B_{\mathcal S}$ и группы $G_{f,p}$, входящие в $\mathcal G_f$, принадлежат множеству $\mathcal G$. Скажем, что два конечных морфизма $f_i\colon S_i\to \mathbb P^2$, $i=1,2$, эквивалентны, если существует изоморфизм $\varphi\colon S_1\to S_2$ такой, что $f_1=f_2\circ\varphi$. Пусть заданы набор $\overline r$ целых чисел $\geqslant 2$ и множества $\mathcal S$ и $\mathcal G$. Назовем утверждение теоремой Кизини для морфизмов из $\mathcal F_{\overline r,\mathcal S,\mathcal G}$, если в нем утверждается существование константы $\mathfrak{d}=\mathfrak{d}(\overline r,\mathcal S,\mathcal G)\in\mathbb N$ такой, что если $f_1,f_2\in \mathcal F_{\overline r,\mathcal S,\mathcal G}$ удовлетворяют условиям $\operatorname{pas}(f_1)=\operatorname{pas}(f_2)$ и $\max(\deg f_1,\deg f_2)\geqslant \mathfrak{d}$, то морфизмы $f_1$ и $f_2$ эквивалентны. Например, если $\mathcal S=\{ A_1,A_2\}$, $\mathcal G=\{ \mathbb Z_2\times\mathbb Z_2, \mathbb S_3\}$ и $\overline r=(2)$, то морфизмы $f\in \mathcal F_{\overline r,\mathcal S,\mathcal G}$ называются общими накрытиями проективной плоскости. Отметим, что если поверхность $S$ вложена в проективное пространство $\mathbb P^n$, то хорошо известно (см., например, [3]), что ограничение $f\colon S\to \mathbb P^2$ на $S$ линейной проекции $\operatorname{pr}\colon \mathbb P^n\to\mathbb P^2$, общей по отношению к вложению поверхности $S$ в $\mathbb P^n$, является общим накрытием. Гипотеза Кизини (см. [2]) утверждает, что теорема Кизини с константой $\mathfrak{d}=5$ верна для общих накрытий проективной плоскости. Заметим (см., например, [7]), что имеются примеры неэквивалентных общих накрытий проективной плоскости, имеющих одинаковые паспорта и степени которых $\leqslant 4$. Гипотеза Кизини была доказана в [6] для общих линейных проекций и с использованием результатов статьи [5] была доказана в [11] в случае, когда $\mathfrak{d}=12$. Если $\mathcal S=\{ A_n\mid n\in\mathbb N\}$, $\mathcal G=\{ \mathbb Z_2\times\mathbb Z_2, \mathbb S_3\}$, $\overline r=(2)$, то морфизмы $f\in \mathcal F_{\overline r,\mathcal S,\mathcal G}$ называются почти общими накрытиями проективной плоскости. В [8] было доказано, что конечный морфизм $f\colon S\to\mathbb P^2$ неособой неприводимой поверхности $S$ является почти общим накрытием проективной плоскости, если он удовлетворяет следующим условиям:
Цель настоящей статьи – доказать следующую теорему. Теорема. Теорема Кизини с константой $\mathfrak d=12$ верна для почти общих накрытий проективной плоскости. Из этой теоремы (с учетом замечания 1, сформулированного в конце п. 1.1) вытекает Следствие. Если $f_1\colon S_1\to\mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2\to\mathbb P^2$ – два почти общих накрытия проективной плоскости, $\max(\deg f_1,\deg, f_2)\geqslant 12$, разветвленные в одной и той же кривой $B\subset\mathbb P^2$, не имеющей особых точек сингулярных типов $A_{6k-1}$, $k\in\mathbb N$, то $f_1$ и $f_2$ являются эквивалентными накрытиями1. Ввиду гипотезы Кизини позволим себе сформулировать следующую гипотезу. Гипотеза. Константа $\mathfrak d= 12$ в приведенной теореме может быть заменена на $\mathfrak d = 5$. Отметим, что неприводимые ростки почти общих накрытий проективной плоскости являются жесткими ростками (о жестких ростках конечных морфизмов гладких поверхностей и об их связи с рациональными парами Белого см. [9] и [10]). Поэтому представляет интерес следующий вопрос: является ли условие жесткости ростков конечных морфизмов необходимым для того, чтобы для множеств конечных морфизмов выполнялась теорема Кизини? В § 1 напоминаются некоторые результаты статьи [8], описывающие свойства почти общих накрытий и которые затем в § 2 используются в доказательстве сформулированной теоремы. § 1. Свойства почти общих накрытий1.1. Паспорт почти общего накрытияПусть $f\colon S\to\mathbb P^2$ – почти общее накрытие проективной плоскости, разветвленное в кривой $B\subset \mathbb P^2$, $\deg f\,{=}\,N$. Обозначим через $R\,{\subset}\, S$ кривую ветвления (вверху) накрытия $f$. Имеем $f^*(B)\,{=} 2R+C$, так как $\overline r_f=(2)$, где $f^*(B)$ – это прообраз дивизора $B$ и $C\subset S$ – некоторая приведенная кривая. Лемма 1. (i) Группа монодромии $G_f\subseteq \mathbb S_N$ почти общего накрытия $f\colon S\to \mathbb P^2$ порождается транспозициями и совпадает с $\mathbb S_{N}$. (ii) Ограничение $f_{\mid R}\colon R \to B$ накрытия $f$ на $R$ является бирациональным морфизмом. Доказательство. Группа $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B,q)$ порождается геометрическими порождающими. Поэтому $G_f$ порождается транспозициями, так как $\overline r_f=(2)$. Следовательно, утверждение (i) следует из неприводимости поверхности $S$, так как в этом случае группа $G_f\subset\mathbb S_{\deg f}$ действует транзитивно на слое $f^{-1}(q)$. Утверждение (ii) также следует из условия $\overline r_f=(2)$, так как из этого условия вытекает, что $f_{\mid R}\colon R \to B$ однолистно над общей точкой кривой $B$. Следовательно, $f_{\mid R}$ является бирациональным морфизмом. Лемма доказана. Пусть $V\subset \mathbb P^2$ – достаточно маленькая окрестность точки $p\in B$ такая, что $\pi_1(V\setminus B)=\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,p)$. Группа локальной монодромии $G_{f,p}\subset G_f$ порождается транспозициями, так как группа $\pi_1(V\setminus B)$ также порождается геометрическими порождающими. Кроме того, мы можем считать, что $f^{-1}(V)$ является несвязным объединением $M$ комплексно аналитических окрестностей $U_j\subset S$, где $M$ – это число орбит действия группы $G_{f,p}$ на слое $f^{-1}(q)$. Поэтому из данных монодромии почти общего накрытия плоскости и из леммы 1 следует, что имеются три возможных случая:
Легко показать, что в случае 1) существуют локальные координаты $z,w$ в $U_1$ и $u,v$ в $V$ такие, что $f\colon U_1\to V$ задается функциями $u=z$ и $v=w^2$. Пересечение $R\cap U$ задается уравнением $w=0$, а $B\cap V$ – уравнением $v=0$. Аналогично в случае 2) существуют локальные координаты $z_j,w_j$ в $U_j$ и $u_j,v_j$ в $V$, $j=1,2$, такие, что $f\colon U_j\to V$ задается функциями $u_j=z_j$ и $v_j=w_j^2$. Пересечение $R\cap U_j$ задается уравнением $w_j=0$, а $B\cap V$ – уравнением $v_1v_2=0$, где неприводимые ветви $B_j$ кривой $B\cap V$, заданные уравнениями $v_j=0$, $j=1,2$, неособы и $B_1\neq B_2$, так как $\deg f_{\mid R}=1$. Поэтому $p\in B\cap V$ – особая точка кривой $B$ сингулярного типа $A_{2k-1}$, где $k$ – индекс пересечения $(B_1,B_2)_p$ ветвей $B_1$ и $B_2$ в точке $p$, и в этом случае мы будем говорить, что точка $p\in B$ имеет $f$-тип $A_{k,2}$. Трехлистные ростки неабелевых конечных накрытий $f\colon U\to V$ были исследованы в [8] в случае, когда $U$ и $V$ – неособые комплексно аналитические поверхности. В частности, в [8] было доказано, что существуют число $n\in \mathbb N$ и локальные координаты $z,w$ в $U$ и $u,v$ в $V$ такие, что трехлистный росток накрытия $f$ эквивалентен накрытию $f_n\colon U\to V$, заданному функциями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=z, \\ v&=w^3-3z^nw, \qquad n\in \mathbb N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
В случае 3) отождествим $f\colon U_1\to V$ с ростком $f_n\colon U\to V$. Тогда пересечение $R\cap U_1$ задается уравнением $w^2-z^n=0$ и, следовательно, кривая $R$ имеет в $U_{1}$ особую точку сингулярного типа $A_{n-1}$. Пусть $n=2k+\delta$, где $\delta$ равно 0 или 1 в зависимости от четности числа $n$. Если $n=2k$ – четное число, $k\geqslant 1$, то $R\cap U_{1}=R_{+}\cup R_{-}$ состоит из двух неприводимых компонент $R_{+}$ и $R_{-}$, заданных уравнениями $w=\pm z_i^{k}$. Поэтому кривая ${B\cap V=B_+\cup B_-}$, где $B_+=f(R_{+})$ и $B_-= f(R_{-})$, с учетом (1) задается параметрически функциями Следовательно, $B\cap V$ задается уравнением т.е. $p$ является особой точкой кривой $B$ сингулярного типа $A_{6k-1}$, и в случае 3), когда $n=2k$, мы будем говорить, что $p\in B$ – это точка $f$-типа $A_{2k,3}$.Непосредственно проверяется, что Поэтому $C\cap U_{1}$ (здесь $C$ – это компонента дивизора $f^*(B)=2R+C$) задается уравнением Следовательно, пересечение $C\cap U_{1}$ также состоит из двух неприводимых компонент $C_{-}$ и $C_{+}$ и имеет в $U_1$ особую точку сингулярного типа $A_{2k-1}$.Если $n=2k+1$ – нечетное число, $k\geqslant 0$, то пересечение $R\cap U_{1}$ является неприводимой кривой, заданной уравнением $w^2-z^{n}=0$. Следовательно, кривая $R\cap U_{1}$ может быть задана параметрически функциями $z=t^2$ и $w=t^{2k+1}$, а кривая $B\cap V$ с учетом (1) задается параметрически функциями Следовательно, кривая $B\cap V$ задается уравнением т.е. если $n=2k+1$, то $p$ – особая точка кривой $B$ сингулярного типа $A_{6k+2}$, и в случае 3), когда $n=2k+1$, мы будем говорить, что $p\in B$ – это точка $f$-типа $A_{2k+1,3}$.Непосредственно проверяется, что т.е. кривая $C\cap U_{1}$ задается уравнением Следовательно кривая $C\cap U_{1}$ также неприводима и имеет в $U_{1}$ особую точку сингулярного типа $A_{2k}$.Замечание 1. Данные монодромии $\mathcal G_f$ почти общего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$ проективной плоскости однозначно определяются типами сингулярности особых точек кривой ветвления $B$ накрытия $f$, если $B$ не имеет особых точек сингулярных типов $A_{6k-1}$, $k\in \mathbb N$, так как из приведенного выше детального рассмотрения возможных случаев 1)–3) следует, что локальные монодромии в особых точках кривой ветвления почти общего накрытия определены не однозначно только в случае, когда эти точки имеют один из сингулярных типов $A_{6k-1}$, $k\in \mathbb N$. 1.2. Инварианты кривых ветвления (вверху и внизу)Пусть $(B,p)\subset (\mathbb P^2,p)$ – росток приведенной кривой $B$ в точке $p\in\mathbb P^2$. Он распадается на несколько неприводимых ростков: $(B,p)=(B_{1},p)\cup\dots\cup (B_{k},p)$. Обозначим через $\mu_{j}$ кратность особенности ростка $(B_j,p)$ в точке $p$, и пусть $\delta_{p}$ – это $\delta$-инвариант особенности $(B,p)$. По определению (см. [4]) целые числа
$$
\begin{equation*}
c_{v,p}:=\sum_{j=1}^k(\mu_j-1), \qquad {n}_{v,p}:=\delta_p-\sum_{j=1}^k(\mu_j-1)
\end{equation*}
\notag
$$
называются соответственно числами виртуальных каспов и виртуальных ноудов ростка $(B,p)$, а числа
$$
\begin{equation*}
c_v:=\sum_{p\in \operatorname{Sing} B}c_{v,p}, \qquad n_v:=\sum_{p\in \operatorname{Sing} B}n_{v,p}
\end{equation*}
\notag
$$
называются соответственно числами виртуальных каспов и виртуальных ноудов кривой $B$. Имеем равенство $\delta_p=c_{v,p}+n_{v,p}$. В [4] были доказаны обобщенные формулы Плюккера. А именно, пусть $\widehat{B}$ – двойственная кривая к кривой $B$ рода $g$ и $\widehat c_v$, $\widehat n_v$ – числа виртуальных каспов и ноудов кривой $\widehat B$. Тогда имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\deg \widehat B=\deg \widehat B(\deg \widehat B-1)-3\widehat c_v-2\widehat n_v,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
2g=(\deg \widehat B-1)(\deg \widehat B-2)-2\widehat c_v-2\widehat n_v.
\end{equation}
\tag{7}
$$
и так как $\deg \widehat B > 0$, то $c_v< 2\deg B+2g-2$. Следовательно, Лемма 2. Если $p\in \operatorname{Sing} B$ – это точка $f$-типа $A_{k,2}$, то $c_{v,p}=0$, $n_{v,p}=\delta_p=k$; если $p$ – это точка $f$-типа $A_{2k+1,3}$, $k\geqslant 0$, то $c_{v,p}=1$, $n_{v,p}=3k$ и $\delta_p=3k+1$; если $p$ – это точка $f$-типа $A_{2k,3}$, $k\geqslant 1$, то $c_{v,p}=0$, $n_{v,p}=\delta_p=3k$. Доказательство. Хорошо известно, что $\delta$-инвариант особых точек плоской кривой, имеющих сингулярный тип $A_{2m}$ или $A_{2m-1}$, равен $m$, а кратность особенности особой точки сингулярного типа $A_{2m}$ равна $2$ и в случае, когда сингулярный тип – это $A_{2m-1}$, ветви кривой в особой точке неособы, т.е. кратности особенностей этих ветвей в особой точке равны $1$. Лемма доказана. Далее мы будем использовать следующие обозначения: $d:=\frac{1}{2}\deg B$; $n_k$ – число особых точек кривой $B$ $f$-типа $A_{2k+1,3}$, $k\in \mathbb Z_{\geqslant 0}$; $m_k$ – число особых точек кривой $B$ $f$-типа $A_{2k,3}$, $k\in \mathbb N$; $t_k$ – число особых точек кривой $B$ $f$-типа $A_{k,2}$, $k\in \mathbb N$; $\mathfrak{c}= \sum_{k=0}^{\infty}((2k+1)n_k+2km_k)$, $\mathfrak{n}= \sum_{k=1}^{\infty}kt_k$, $\mathfrak{s}= \sum_{k=1}^{\infty}k(n_k+m_k)$. Отметим, что числа $\mathfrak{c}$, $\mathfrak{n}$ и $\mathfrak{s}$ корректно определены, так как имеется только конечное число значений $k$, для которых числа $n_k$, $m_k$ и $t_k$ не равны нулю. Имеем
$$
\begin{equation}
c_v=\mathfrak{c}-2\mathfrak{s}, \qquad n_v=\mathfrak{n}+3\mathfrak{s}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Доказательство следующих трех лемм содержится в [8]. Лемма 3 (см. [8; утверждение 2.1]). Степень кривой $B$ четна, $\deg B=2d$, $d\in\mathbb N$. Лемма 4 (см. [8; утверждение 2.2]). Геометрический род $g$ кривой $B$ равен Лемма 5 (см. [8; утверждение 2.4]). Степень $\widehat d=\deg \widehat B$ двойственной кривой $\widehat B$ к кривой $B$ равна Доказательство. Согласно утверждению 2.5 в [8] имеем $(R^2)_S= 2d^2-\mathfrak{c}-\mathfrak{n}$ и лемма 6 следует из леммы 4. Доказательство следует из (8) и (9). 1.3. Инварианты накрывающих поверхностейОбозначим через $N$ степень почти общего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$. Предложение 1. (i) Индекс самопересечения канонического класса $K_S$ поверхности $S$ равен (ii) Топологическая эйлерова характеристика $e(S)$ поверхности $S$ равна Доказательство. Согласно предложениям 2.1 и 2.2 в [8] имеем
$$
\begin{equation*}
K_S^2= 9N-12d + 2d^2-\mathfrak{c}-\mathfrak{n}, \qquad e(S)=3N+ 2d(2d-3)- 3\mathfrak{c} -2\mathfrak{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому предложение 1 следует из леммы 4. § 2. Доказательство теоремыПусть $f_1\colon S_1\to \mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2 \to\mathbb P^2$ – два почти общих накрытия проективной плоскости, разветвленные в одной и той же кривой $B\subset \mathbb P^2$, $\deg f_i=N_i$ при $i=1,2$, и пусть $\operatorname{pas}(f_1)=\operatorname{pas}(f_2)$. Имеем $f^{*}_1(B)=2R_1+C_1$ и $f^{*}_2(B)=2R_2+C_2$, где $R_i$ – кривая ветвления (вверху) накрытия $f_i$, $i=1,2$. 2.1. Неприводимость расслоенного произведения двух неэквивалентных почти общих накрытийРассмотрим расслоенное произведение
$$
\begin{equation*}
S_1\times _{\mathbb P^2}S_2=\{(x,y)\in S_1\times S_2\mid f_1(x)=f_2(y)\}
\end{equation*}
\notag
$$
поверхностей $S_1$ и $S_2$ над $\mathbb P^2$. Пусть $\widetilde X=\widetilde{S_1\times _{\mathbb P^2}S_2}$ – нормализация поверхности $S_1\times _{\mathbb P^2}S_2$. Обозначим через $g_{1}\colon \widetilde X\to S_1$, $g_{2}\colon \widetilde X\to S_2$ и $g_{1,2}\colon \widetilde X\to \mathbb P^2$ соответствующие естественные морфизмы. Имеем $\deg g_1=N_2$, $\deg g_2=N_1$ и $\deg g_{1,2}=N_1N_2$. Мы будем использовать следующие обозначения: $\widetilde R\,{=}\,g_1^{-1}(R_1)\,{\cap}\, g_2^{-1}(R_2) \,{\subset}\, \widetilde X$, $\widetilde C=g_1^{-1}(C_1)\cap g_2^{-1}(C_2)$, $\widetilde C_1=g_1^{-1}(R_1)\cap g_2^{-1}(C_2)$ и $\widetilde C_2= g_2^{-1}(R_2)\cap g_1^{-1}(C_1)$. Предложение 2. Если накрытия $f_1\colon S_1\to \mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2 \to\mathbb P^2$ не эквивалентны, то $\widetilde X$ является неприводимой поверхностью. Доказательство дословно повторяет доказательство предложения 2 в [5]. 2.2. Разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$Пусть $\nu\colon X\to \widetilde X$ – разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$, конкретное описание которого будет дано ниже. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\overline R=\nu^{-1}(R), \quad \overline C=\nu^{-1}(\widetilde C), \qquad \overline C_i=\nu^{-1}(\widetilde C_i), \quad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
собственные прообразы кривых $\widetilde R$, $\widetilde C$ и $\widetilde C_i$. Рассмотрим морфизм $h_1=g_1\circ \nu\colon X \to S_1$. Цель следующих пп. 2.2.1–2.2.5 – исследование свойств дивизора $h_1^*(R_1)=\nu^*(\widetilde R+\widetilde C_1)$. 2.2.1. Особенности расслоенного произведения двух неэквивалентных почти общих накрытий и его нормализацииОбозначим $R_{1,2}\,{=}\operatorname{pr}_1^{-1}(R_1)\,{\cap} \operatorname{pr}_2^{-1}(R_2)\subset S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$. Доказательство. Рассмотрим точки $x\in S_1$ и $y\in S_2$ такие, что $f_1(x)=f_2(y)$, и пусть $U_1\subset S_1$ и $U_2\subset S_2$ – это две достаточно маленькие окрестности точек $x$ и $y$, $f_1(U_1)=f_2(U_2)=V$. Если $x\not\in R_1$, то мы можем предполагать, что $f_1\colon U_1\to V$ является биголоморфным отображением. Поэтому произведение $U_1\times_{V}U_2\subset S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ биголоморфно графику отображения $f_2\colon U_2\to V$, и, следовательно, поверхность $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ неособа в точке $(x,y)$. Аналогично, $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ – неособая поверхность в точке $(x,y)$, если $y\not\in R_2$. Следовательно, $(S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)\setminus R_{1,2}$ является неособой поверхностью. Если $x\in R_1\setminus \operatorname{Sing} R_1$ и $y\in R_2\setminus \operatorname{Sing} R_2$, то $(x,y)\in R_{1,2}$ и найдутся локальные координаты $(z_i,w_i)$ в $U_{i}$, $i=1,2$, и локальные координаты $(u,v)$ в $V$ такие, что $f_i\colon U_{i}\to V$ – двулистные накрытия, заданные функциями $u=z_i$ и $v=w_i^2$. Поэтому поверхность $U_1\times_{V}U_2$ задана в $U_1\times U_2$ уравнениями $z_1=z_2$ и $w_1^2=w_2^2$. Следовательно, $(x,y)\in \operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)$, если $x\in R_1\setminus \operatorname{Sing} R_1$ и $y\in R_2\setminus \operatorname{Sing} R_2$, т.е. $\operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)=R_{1,2}$, так как $\operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)$ и $R_{1,2}$ являются замкнутыми подмножествами в $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$. Лемма доказана. В дальнейшем мы будем использовать результаты, полученные в п. 1.1, слегка модифицируя введенные там обозначения. А именно, для $f=f_i$ через $U_{i,j}\subset S_i$ будем обозначать окрестности $U_j$ в $f^{-1}(V)=\bigsqcup U_j\subset S$, когда $S=S_i$, где $i=1,2$. Из условия $\operatorname{pas}(f_1)=\operatorname{pas}(f_2)$ следует, что для каждой точки $p\in \operatorname{Sing} B$ ее $f_1$-тип совпадает с $f_2$-типом. Обозначим через $\widetilde W_{j_1,j_2}=\widetilde{U_{1,j_1}\times_{V} U_{2,j_2}}\subset \widetilde X$ нормализации расслоенных произведений над $V$ окрестностей $U_{1,j_1}$ и $U_{2,j_2}$. 2.2.2. Случай 1)В случае 1) (см. п. 1.1) локально в точке $q$ кривая ветвления $B$ неособа (росток $(B,p)\subset (V,p)$ является кривой ветвления ограничения отображения $f_i$ на окрестность $U_{i,1}$), кривая $R_i\cap f_i^{-1}(V)\subset U_{i,1}$ также неособа и $R_i\cap C_i\cap f_i^{-1}(V)=\varnothing$. Легко видеть, что все поверхности $\widetilde W_{j_1,j_2}$ неособы и для $j_i>1$, $i=1,2$, отображения $g_i\colon \widetilde W_{j_1,j_2}\to U_{i,j_i}$, $g_1\colon \widetilde W_{1,j_2}\to U_{1,1}$ и $g_2\colon \widetilde W_{j_1,1}\to U_{2,1}$ биголоморфны, а $g_1\colon \widetilde W_{j_1,1}\to U_{1,j_1}$ и $g_2\colon \widetilde W_{1,j_2}\to U_{2,j_2}$ являются двулистными накрытиями и $\widetilde W_{1,1}=\widetilde W_{1,1,+}\sqcup \widetilde W_{1,1,-}$ – несвязное объединение двух окрестностей (заданных в $U_{1,j_1}\times U_{2,j_2}$ уравнениями $z_1=z_2$, $w_1=\pm w_2$) таких, что ограничения отображений $g_i$ на каждую из этих окрестностей являются биголоморфными отображениями. Поэтому $g_1\colon \widetilde R\to R_1$ является морфизмом степени 2, и, в частности, имеем следующее утверждение, так как $\nu$ является бимероморфным отображением. Отметим, что в случае 1) имеем следующее: $R_1\cap f_1^{-1}(V)\subset U_{1,1}$, окрестность $\widetilde W_{1,1}\subset g_1^{-1}(U_{1,1})$ неособа и
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap g_{1,2}^{-1}(V)\subset \widetilde W_{1,1} =\widetilde W_{1,1,+}\sqcup \widetilde W_{1,1,-}, \qquad \widetilde C_i\cap \widetilde W_{1,1}=\varnothing.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Поэтому в случае (1) мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nu \colon (g_{1,2}\circ \nu)^{-1}(V)\to g_{1,2}^{-1}(V) \text{ - биголоморфное отображение и кривые $\overline R$ и $\overline C_1$} \\ &\text{не имеют общих точек в $(g_{1,2}\circ \nu)^{-1}(V)$}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.2.3. Разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$ в случае 3)Как и выше, легко показать, что окрестности $\widetilde W_{j_1,j_2}$, $\widetilde W_{1,j_2}$ и $\widetilde W_{j_1,1}$ неособы при $j_1,j_2>1$ и
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap g_{1,2}^{-1}(V)\subset \widetilde W_{1,1}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Чтобы описать окрестность $\widetilde W_{1,1}$, рассмотрим гомоморфизмы монодромии $\psi _i \colon \pi_1(V\setminus B) \to \mathbb S_{3}$ трехлистных накрытий $f_{i}\colon U_{i,1}\to V$, разветвленных в $V\cap B$. Отметим, что накрытия $f_{i}\colon U_{i,1}\to V$ однозначно с точностью до эквивалентности определены типом особой точки $p$ кривой ветвления $V\cap B$ (см. п. 1.1). Поэтому гомоморфизмы $\psi_i$ также однозначно с точностью до сопряжения в группе $\mathbb S_3$ определены типом особой точки $p$, и мы можем считать, что $\psi_1=\psi_2=\psi$, а гомоморфизм монодромии накрытия $g_{1,2}\colon \widetilde W_{1,1}\to V$ – это
$$
\begin{equation*}
\psi \times \psi \colon \pi_1(V\setminus B) \to \mathbb S_{3}\times \mathbb S_{3}\subset \mathbb S_{9}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\operatorname{im}(\psi\times\psi)$ – это диагональ в $\mathbb S_3\times\mathbb S_3$. Поэтому легко видеть, что множество $\{ 1,2, 3\}\times \{ 1,2,3\}$ является объединением двух орбит $O'$ и $O''$ действия группы $\psi\times\psi(\pi_1(V\setminus B))\simeq\mathbb S_3$ на $\{ 1,2,3\}\times \{ 1,2,3\}$,
$$
\begin{equation*}
O'=\{ (1,1), (2,2),(3,3)\}, \qquad O''=\{ (1,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,1)(3,2)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\widetilde W_{1,1}=\widetilde W'_{1,1}\sqcup \widetilde W_{1,1}''$ – несвязное объединение двух окрестностей таких, что $g_i\colon \widetilde W_{1,1}'\to U_{i,1}$ являются биголоморфными изоморфизмами, $g_{1,2}\colon \widetilde W_{1,1}'\to V$ совпадает с отображениями $f_1$ и $f_2$ (ввиду того, что ограничения отображений $g_1$ и $g_2$ на $\widetilde W_{1,1}'$ являются изоморфизмами). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap \widetilde W_{1,1}'=g_{i\mid\widetilde W_{1,1}'}^{-1}(R_i\cap U_{i,1}), \qquad \widetilde C\cap \widetilde W_{1,1}'=g_{i\mid\widetilde W_{1,1}'}^{-1}(C_i\cap U_{i,1}), \qquad \widetilde C_{i}\cap \widetilde W_{1,1}'=\varnothing
\end{equation}
\tag{12}
$$
для $i=1,2$. Накрытие $g_{1,2}\colon \widetilde W_{1,1}''\to V$ является галуизацией накрытий $f_i\colon U_{i,1}\to V$. Следовательно, $g_1\colon \widetilde W_{1,1}''\to U_{1,1}$ – двулистное накрытие, разветвленное (внизу) в $C_1\cap U_{1,1}$ и оно разветвлено (вверху) в $\widetilde C_2\cap \widetilde W_{1,1}''$. Из (2) и (3) следует, что $q=g_{1,2}^{-1}(p)\cap \widetilde W_{1,1}''$ является особой точкой типа $A_{n-1}$ поверхности $\widetilde W_{1,1}''$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation}
g_{i\mid\widetilde W_{1,1}''}^{-1}(R_i\cap U_{i,1})=(\widetilde R\cap \widetilde W_{1,1}'')\cup (\widetilde C_i\cap \widetilde W_{1,1}''), \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Замечание 2. Из (10)–(13) следует, что в случае 3) кривые $\widetilde R$ и $\widetilde C_i$ пересекаются только в точках $q\in \widetilde W_{1,1}''$, лежащих над точками $p\in B$ $f$-типа $A_{n,3}$. Чтобы разрешить особую точку $q$ поверхности $\widetilde W_{1,1}''$, рассмотрим накрытие $g_1\colon \widetilde W_{1,1}''\to U_{1,1}$. Пусть $\sigma\colon Z\to U_{1,1}$ – композиция $m$ $\sigma$-процессов, разрешающая до дивизора с нормальными пересечениями особую точку кривой $C_1\cap U_{1,1}$, где $m=k$, если $n=2k$, и $m=k+2$, если $n=2k+1$. Обозначим через $\widetilde E_j\subset Z$ собственный прообраз исключительной кривой $j$-го $\sigma$-процесса, через $C_1'$ собственный прообраз кривой $C_1\cap U_{1,1}$ (если $n=2k$, то $C_1'=C_{1,+}'\cup C_{1,-}'$) и через $R_1'$ собственный прообраз кривой $R_1\cap U_{1,1}$ (если $n=2k$, то $R_1'=R_{1,+}'\cup R_{1,-}'$). Легко видеть, что $\sigma\colon Z\to U_{1,1}$ является также разрешением до дивизора с нормальными пересечениями особой точки кривой $R_1\cap U_{1,1}$ и
$$
\begin{equation}
R_1'\,{\cap}\, C_1'\,{=}\,\varnothing, \quad (R_{1,+}',\widetilde E_k)_Z\,{=}\,(R_{1,-}',\widetilde E_k)_Z\,{=}\,1, \qquad (R_1',\widetilde E_j)_Z=0 \quad\text{для }\ 1\leqslant j<k,
\end{equation}
\tag{14}
$$
если $n=2k$,
$$
\begin{equation}
R_1'\cap C_1'=\varnothing, \quad (R_{1}',\widetilde E_{k+2})_Z=1, \qquad (R_1',\widetilde E_j)_Z=0 \quad \text{для }\ 1\leqslant j<k+2,
\end{equation}
\tag{15}
$$
если $n=2k+1$. В случае, когда $n=2k$, взвешенный двойственный граф $\Gamma$ ростка кривой $C_1\cap U_{1,1}$, имеющего особую точку сингулярного типа $A_{2k-1}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 1, где веса $w_j$ вершин $\widetilde E_j$ – это индексы самопересечения $w_j=(\widetilde E_j,\widetilde E_j)_Z$ (если $k=1$, то $w_1=-1$). Прообразы $\sigma^*(C_1)$ и $\sigma^*(R_1)$ в $Z$ дивизоров $C_1\cap U_{1,1}$ и $R_1\cap U_{1,1}$ – это
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma^*(C_1)&= C_{1,+}'+C_{1,-}' +\sum_{j=1}^k2j\widetilde E_j, \\ \sigma^*(R_1)&= R_{1,+}'+R_{1,-}' +\sum_{j=1}^k2j\widetilde E_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
В случае, когда $n=2k+1$, взвешенный двойственный граф $\Gamma$ ростка кривой $C_1\cap U_{1,1}$, имеющего особую точку сингулярного типа $A_{2k}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 2. Прообразы $\sigma^*(C_1)$ и $\sigma^*(R_1)$ в $Z$ дивизоров $C_1\cap U_{1,1}$ и $R_1\cap U_{1,1}$ – это
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma^*(C_1)&= C_{1}'+ \sum_{j=1}^k2j\widetilde E_j +(2k+1)\widetilde E_{2k+1}+(4k+2)\widetilde E_{2k+2}, \\ \sigma^*(R_1)&= R_{1}'+ \sum_{j=1}^k2j\widetilde E_j +(2k+1)\widetilde E_{2k+1}+(4k+2)\widetilde E_{2k+2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Чтобы описать разрешение особой точки $q=g^{-1}(p)\cap \widetilde W_{1,1}''$ поверхности $\widetilde W_{1,1}''$, рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: в которой $Y=Z\times_{U_1} \widetilde W_{1,1}''$ является нормализацией расслоенного произведения над $U_{1,1}$ поверхностей $Z$ и $\widetilde W_{1,1}''$, а отображения $\nu$ и $\widetilde g_1$ – это проекции на сомножители. Имеем $\deg \widetilde g_1=2$, так как $\deg g_{1\mid \widetilde W_{1,1}''}=2$ и $\deg \sigma=1$. Отметим также, что кривая ветвления (внизу) отображения $\widetilde g_1$ содержится в $\sigma^{-1}(C_1)$.Из (16) следует, что в случае, когда $n=2k$, двулистное накрытие $\widetilde g_1\colon Y\to Z$ разветвлено только в кривых $C_{1,+}'$ и $C_{1,-}'$, так как $g_{1\mid \widetilde W_{1,1}''}$ разветвлено в $C_1$ и кратности, с которыми кривые $\widetilde E_j$ входят в дивизор $\sigma^*(C_1)$, четны. Следовательно, поверхность $Y$ неособа, так как поверхность $Z$ и кривая ветвления накрытия $\widetilde g_1$ неособы. Следовательно, $\nu\colon Y\to \widetilde W_{1,1}''$ является разрешением особой точки $q=g^{-1}(p)\cap \widetilde W_{1,1}''$ поверхности $\widetilde W_{1,1}''$, лежащей над особой точкой $p$ кривой $B$ $f$-типа $A_{2k,3}$, т.е. мы можем считать, что $Y$ – открытое подмножество в $X$ и $\nu\colon Y\to \widetilde W_{1,1}''$ – ограничение разрешения особенностей $\nu\colon X\to \widetilde X$ на $Y=\nu^{-1}(\widetilde W_{1,1}'')\subset X$. Легко видеть, что $E_k=\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_k)$ является неприводимой рациональной кривой и $(E_k,E_k)_{Y}=-2$, так как $\widetilde g_{1\mid E_k}\colon E_k\to \widetilde E_k$ является двулистным накрытием, разветвленным в $\widetilde E_k\cap (C_{1,+}\cup C_{1,-})$, и $(\widetilde E_k,\widetilde E_k)_Z=-1$. При $j=1,\dots, k-1$ прообразы $\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_j)$ являются несвязными объединениями двух рациональных кривых, $\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_j)=E_{j,1}\cup E_{j,2}$, и
$$
\begin{equation*}
E_{1,1},\dots, E_{k-1,1},E_k,E_{k-1,2},\dots, E_{1,2}
\end{equation*}
\notag
$$
является цепью, состоящей из $(-2)$-кривых. Для особой точки $p$ кривой $B$ $f$-типа $A_{2k,3}$ обозначим Легко проверить, что Из (14), (16) и (18) следует, что в случае $n=2k$ (в случае, когда $p$ – особая точка кривой $B$ $f$-типа $A_{2k,3}$) дивизор $h_1^{-1}(R_1)$ в окрестности $Y=\nu^{-1}(\widetilde W_{1,1}'')\subset X$ – это
$$
\begin{equation}
(\overline R,\overline C_1)_Y=0, \qquad (\overline R,E_p)_{X}=(\overline C_1, E_p)_{X}=2k.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Как и в случае $n=2k$, из (17) следует, что в случае, когда $n=2k+1$, двулистное накрытие $\widetilde g_1\colon Y\to Z$ разветвлено только в $C_{1}'$ и $\widetilde E_{k+1}$, так как накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{1,1}''}$ разветвлено в $C_1$ и кратности, с которыми кривые $\widetilde E_j$ входят в дивизор $\sigma^*(C_1)$, четны, за исключением кратности кривой $\widetilde E_{k+1}$. Поэтому поверхность $Y$ неособа, так как поверхность $Z$ и кривая ветвления накрытия $\widetilde g_1$ неособы. Следовательно, $\nu\colon Y\to \widetilde W_{1,1}''$ является (не минимальным) разрешением особой точки $q=g^{-1}(p)\cap \widetilde W_{1,1}''$ поверхности $\widetilde W_{1,1}''$, лежащей над особой точкой $p$ кривой $B$ типа $A_{2k+1,3}$, т.е. мы можем отождествить $Y$ с окрестностью в $X$ и $\nu\colon Y\to \widetilde W_{1,1}''$ – с ограничением разрешения особенностей $\nu\colon X\to \widetilde X$ на $Y=\nu^{-1}(\widetilde W_{1,1}'')\subset X$. Легко видеть, что $E_{k+2}=\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_{k+2})$ является неприводимой рациональной кривой и $(E_{k+2},E_{k+2})_{\widetilde Y}=-2$, так как $\widetilde g_{1\mid E_{k+2}}\colon E_{k+2}\to \widetilde E_{k+2}$ – двулистное накрытие, разветвленное в $\widetilde E_{k+2}\cap (C_{1}\cup \widetilde E_{k+1})$, кривая $E_{k+1}=\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_{k+1})$ также является неприводимой рациональной кривой, и при $j=1,\dots ,k$ прообразы $\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_j)$ – это несвязные объединения двух рациональных кривых, $\widetilde g_1^{\,-1}(\widetilde E_j)= E_{j,1}\cup E_{j,2}$, и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (E_{j,i},E_{j+1,i})_X= 1, \qquad &i=1,2, \quad 1\leqslant j\leqslant k-1, \\ (E_{j_1,1},E_{j_2,2})_X=0, \qquad &1\leqslant j_1,j_2\leqslant k, \\ (E_{j,i},E_{k+1})_X=0, \qquad &i=1,2, \quad 1\leqslant j\leqslant k, \\ (E_{k,i},E_{k+2})_X=1, \qquad &i=1,2, \\ (E_{k},E_{k})_X=-3, \qquad & \\ (E_{k+1},E_{k+1})_X= -1, \qquad & \\ (E_{k+2},E_{k+2})_X=( E_{j,i},E_{j,i})_X=-2, \qquad & i=1,2, \quad 1\leqslant j\leqslant k-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Для особой точки $p$ кривой $B$ $f$-типа $A_{2k+1,3}$ обозначим
$$
\begin{equation*}
E_p:= \sum_{j=1}^{k}j(E_{j,1}+E_{j,2})+ (k+1)E_{k+1} +(2k+1)E_{k+2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (22) следует, что Применяя (15), (17) и (18), получаем, что в случае $n=2k+1$, $k\geqslant 0$ (в случае, когда $p$ – особая точка кривой $B$ $f$-типа $A_{2k+1,3}$), дивизор $h_1^{-1}(R_1)$ в окрестности $Y=\nu^{-1}(\widetilde W_{1,1}'')$ – это
$$
\begin{equation}
(\overline R,\overline C_1)_Y=0, \qquad (\overline R,E_p)_{X}=(\overline C_1, E_p)_{X}=2k+1.
\end{equation}
\tag{25}
$$
2.2.4. Разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$ в случае 2)Напомним, что в случае 2) окрестности $U_{i,1}$ и $U_{i,2}$ неособы, локально в точке $p\in V$ кривая ветвления $B$ состоит из двух гладких компонент $B_1$ и $B_2$, $B_1\neq B_2$, где $B_1$ – это кривая ветвления ограничения накрытия $f_i$ на окрестность $U_{i,1}$, а $B_2$ – это кривая ветвления ограничения накрытия $f_i$ на окрестность $U_{i,2}$. Пересечения $R_i\,{\cap}\, f_i^{-1}(V)\subset U_{i,1}\,{\cup}\, U_{i,2}$ и $R_{i,j}=R_i\cap U_{i,j}$, $j=1,2$, являются гладкими кривыми, кривая $B$ в особой точке $p$ имеет тип сингулярности $A_{2k-1}$, где $k=(B_1,B_2)_p$ – индекс пересечения ростков $B_1$ и $B_2$ в точке $p$. Для $1\leqslant i,j\leqslant 2$ ростки $C_{i,j}=C_i\cap U_{i,j}$ имеют особую точку сингулярного типа $A_{k-1}$ и $(R_{i,j},C_{i,j})_{f_i^{-1}(p)\cap U_{i,j}}=k$. Как и в случае 1), легко видеть, что $\widetilde W_{j_1,j_2}$ при $j_i>2$ и $\widetilde W_{1,1}$, $\widetilde W_{2,2}$ – неособые поверхности, а для $j=1,2$ окрестности $\widetilde W_{j,j}=\widetilde W_{j,j,+}\sqcup \widetilde W_{j,j,-}$ являются несвязными объединениями неособых поверхностей и
$$
\begin{equation*}
\widetilde R\cap g_{1,2}^{-1}(V)\subset \widetilde W_{1,1}\cup \widetilde W_{2,2}, \qquad \widetilde C_i\cap (\widetilde W_{1,1}\cup \widetilde W_{2,2})=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Двулистное накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{1,2}}\colon \widetilde W_{1,2}\to U_{1,1}$ разветвлено (внизу) в $C_{1,1}$ и его кривая ветвления (вверху) – это $\widetilde C_2\cap \widetilde W_{1,2}$. Следовательно, $\widetilde W_{1,2}$ имеет в точке $g^{-1}(p)\cap \widetilde W_{1,2}$ особенность типа $A_{2k-1}$. Аналогично двулистное накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{2,1}}\colon \widetilde W_{2,1}\to U_{1,2}$ разветвлено (внизу) в $C_{1,2}$ и его кривая ветвления (вверху) – это $\widetilde C_2\,{\cap}\, \widetilde W_{2,1}$. Поэтому $\widetilde W_{1,2}$ также имеет в точке $g_{1,2}^{-1}(p)\,{\cap}\, \widetilde W_{2,1}$ особенность типа $A_{2k-1}$. В результате в случае 2) (т.е. в случае, когда $p$ – особая точка кривой $B$ $f$-типа $A_{k,2}$) получаем, что в окрестности $(g_1\circ \nu)^{-1}(V)$ где $E_{p}$ – дивизор, носитель которого содержится в $\nu^{-1}(g_{1,2}^{-1}(p))$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
(\overline R, \overline C_1)_X=(\overline R,E_{p})_X=0,
\end{equation}
\tag{26}
$$
так как $\widetilde R\cap (\widetilde W_{1,2}\cup \widetilde W_{2,1})=\varnothing$. 2.2.5.Пусть $\mathcal A_{2k+1,3}$, $k\geqslant 0$, – подмножество в $\operatorname{Sing} B$, состоящее из точек $f$-типа $A_{2k+1,3}$, $\mathcal A_{2k,3}$, $k\geqslant 1$, – подмножество в $\operatorname{Sing} B$, состоящее из точек $f$-типа $A_{2k,3}$, и $\mathcal A_{k,2}$, $k\geqslant 1$, – подмножество в $\operatorname{Sing} B$, состоящее из точек $f$-типа $A_{k,2}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
E_{\mathcal A_{2k+1,3}}\,{=}\sum_{k\geqslant 0}\sum_{p\in \mathcal A_{2k+1,3}}E_p, \qquad E_{\mathcal A_{2k,3}}\,{=}\sum_{k\geqslant 0}\sum_{p\in \mathcal A_{2k,3}}E_p, \qquad E_{\mathcal A_{k,2}}\,{=}\sum_{k\geqslant 0}\sum_{p\in \mathcal A_{k,2}}E_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (19), (21), (23), (25) и (26) следует, что
$$
\begin{equation}
(\overline R,E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X = (\overline C_1,E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X = \mathfrak{c},
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
(E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}},E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X = - \mathfrak{c},
\end{equation}
\tag{28}
$$
$$
\begin{equation}
(\overline R,\overline C_1)_X=(\overline R,E_{\mathcal A_{k,2}})_X = 0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Собирая вместе результаты из пп. 2.2.1–2.2.4, получаем
$$
\begin{equation*}
h_1^*(R_1)= \overline R+\overline C_1+2E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + 2E_{\mathcal A_{2k,3}}+ E_{\mathcal A_{k,2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
D= \overline R+E_{\mathcal A_{2k+1,3}} +E_{\mathcal A_{2k,3}}, \qquad D_1= \overline C_1+E_{\mathcal A_{2k+1,3}} +E_{\mathcal A_{2k,3}}+ E_{\mathcal A_{k,2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $h_1^*(R_1)=D+D_1$. Доказательство. Из (27) и (29) следует, что Применяя леммы 6 и 9, получаем
$$
\begin{equation*}
(h_1^*(R_1),D)_X=(h_1^*(R_1),\overline R)_X=\deg h_{1\mid \overline R} (R_1,R_1)_{S_1}=2(3d+g-1+\mathfrak{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из (27)–(28) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (h_1^*(R_1),D)_X &=(\overline R+ \overline C_1+2E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + 2E_{\mathcal A_{2k,3}}+ E_{\mathcal A_{k,2}}, \overline R+E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X \\ &= (\overline R,\overline R)_X+2\mathfrak{c}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $(\overline R,\overline R)_X= 2(3d+g-1+\mathfrak{s})-2\mathfrak{c}$, а из (27) и (28) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (D,D)_X &=( \overline R+E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}}, \overline R+E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X \\ &= (\overline R,\overline R)_X+2(\overline R,E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X \\ &\qquad+ (E_{\mathcal A_{2k+1,3}}+ E_{\mathcal A_{2k,3}},E_{\mathcal A_{2k+1,3}} + E_{\mathcal A_{2k,3}})_X \\ &=(2(3d+g-1+\mathfrak{s})-2\mathfrak{c})+2\mathfrak{c}-\mathfrak{c} =2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 6 следует, что Поэтому так как $D_1=h_1^*(R_1)-D$.2.3. Конец доказательства теоремыСледующее предложение 3 (аналог теоремы 1 в [5]) играет важнейшую роль в доказательстве приведенной выше теоремы. Предложение 3. Пусть $f_i\colon S_i\to \mathbb P^2$, $i=1,2$, – два почти общих накрытия проективной плоскости, разветвленные в кривой $B\subset \mathbb P^2$, $\deg f_i=N_i$. Если $\operatorname{pas}(f_1)=\operatorname{pas}(f_2)$, но $f_1$ и $f_2$ не эквивалентны, то Доказательство. Из леммы 7 следует, что $(D,D)_X > 0$. Поэтому из теоремы Ходжа об индексе, примененной к дивизорам $D$ и $D_1$, и из леммы 10 следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{vmatrix} (D,D_X & (D,D_1)_X \\ (D_1,D)_X & (D_1,D_1)_X \end{vmatrix} \\ &\qquad =\begin{vmatrix} 2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c} & \mathfrak{c} \\ \mathfrak{c} & (N_2-2)(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c} \end{vmatrix}\leqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
2(N_2-2)(3d+g-1+\mathfrak{s})^2-N_2(3d+g-1+\mathfrak{s})\mathfrak{c} \leqslant 0 .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
N_2[2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c}] \leqslant 4(3d+g-1+\mathfrak{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично (считая, что $f_1$ – это $f_2$, а $f_2$ – это $f_1$) имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
N_1[2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c}] \leqslant 4(3d+g-1+\mathfrak{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $f_1\colon S_1\to \mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2\to\mathbb P^2$ – неэквивалентные почти общие накрытия, разветвленные в одной и той же кривой $B$, и $\operatorname{pas}(f_1)=\operatorname{pas}(f_2)$, то их степени удовлетворяют неравенствам (33). Предложение доказано. Для завершения доказательства теоремы осталось применить аргументы, использованные в [11]. Лемма 11. Если для поверхности $S$ выполнено неравенство Богомолова–Мияоки–Яу $K^2_S\leqslant 3e(S)$, то Доказательство. Согласно предложению 1 имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
9N-9d+g-1+s\leqslant 3(3N+ 2(g-1+\mathfrak{s})- \mathfrak{c}),
\end{equation*}
\notag
$$
которое эквивалентно неравенству (34). Лемма доказана. Следовательно, в случае, когда $K^2_S\leqslant 3e(S)$, мы имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{4(3d+g-1+\mathfrak{s})}{2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c}}\leqslant 4+\frac{8(g-1+\mathfrak{s})}{9d+(g-1+\mathfrak{s})}<12.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Лемма 12. Если для поверхности $S$ не выполнено неравенство Богомолова–Мияоки–Яу $K^2_S\leqslant 3e(S)$, то Доказательство. Если для поверхности $S$ не выполнено неравенство Богомолова–Мияоки–Яу, то $S$ является иррегулярной линейчатой поверхностью (см., например, [1]) и, следовательно, $K^2_S\leqslant 2e(S)$. Применяя снова предложение 1, получим неравенство (36). Лемма доказана. Следовательно, в случае, когда для поверхности $S$ не выполнено неравенство Богомолова–Мияоки–Яу, мы имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{4(3d+g-1+\mathfrak{s})}{2(3d+g-1+\mathfrak{s})-\mathfrak{c}}\leqslant 8.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Теперь наша теорема следует из неравенств (33), (35), (37) и замечания 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|