Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 5, страницы 50–67
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9560
(Mi sm9560)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Асимптотики сферы и фронта плоской субримановой структуры на распределении Мартине

И. А. Богаевскийabc

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, г. Москва
c Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук, Ярославская обл., Переславский р-н, с. Веськово
Список литературы:
Аннотация: Сфера и фронт плоской субримановой структуры на распределении Мартине представляют собой поверхности с неизолированными особенностями, лежащие в трехмерном пространстве. Сфера является подмножеством фронта и не субаналитична в двух симметричных друг другу точках (полюсах). В них вычислены асимптотики субримановой сферы и фронта Мартине – каждая из этих поверхностей в окрестности полюса приближается парой квазиоднородных с различными наборами весов.
Библиография: 13 названий.
Ключевые слова: сфера и фронт субримановой структуры, распределение Мартине, экспоненциальное отображение, эллиптические функции Якоби.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 17-11-01387-П
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 17-11-01387-П).
Поступила в редакцию: 02.02.2021 и 19.01.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages 624–640
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9560
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 53C17; Secondary 93B03

Введение

Сфера плоской субримановой структуры на распределении Мартине – это компактная особая поверхность, изображенная на рис. 1, a. Она является границей множества достижимости (за единицу времени из начала координат) управляемой системы в трехмерном пространстве, допустимые скорости которой в каждой точке образуют плоский диск:

$$ \begin{equation*} \dot{x}=u_1, \qquad \dot{y}= u_2, \qquad \dot{z}= \frac{u_1 y^2}2, \qquad u_1^2+u_2^2 \leqslant 1. \end{equation*} \notag $$
Плоскости, в которых лежат эти диски, образуют распределение Мартине $dz=y^2\,dx/2$.

Cубриманова сфера Мартине (известные результаты)

Рассматриваемая управляемая система, а вместе с ней и сфера Мартине симметричны относительно плоскости $y=0$ и прямой $x=z=0$. После замены координаты $w=z-x y^2 /6$ главный меридиан сферы Мартине (т.е. линия, в точках которой касательная плоскость к сфере вертикальна) выпрямляется и становится горизонтальной окружностью, что показано на рис. 1, b.

Параметрические формулы для субримановой сферы Мартине, содержащие эллиптические функции Якоби и эллиптические интегралы, найдены в [1] и приведены в § 1 настоящей статьи. Сфера Мартине субаналитична во всех своих точках, кроме двух: $x=\pm 1$, $y=z=0$, которые мы будем называть полюсами. В [1] доказано, что в полюсах сфера Мартине не субаналитична. Пересечение сферы и плоскости $y=0$ состоит из полюсов и соединяющих их двух кривых, на которых сфера имеет изломы – точки, где она локально диффеоморфна двугранному углу.

Более точно, сфера Мартине является подмножеством образа так называемого экспоненциального отображения – аналитического отображения цилиндра (произведения окружности на прямую) в трехмерное пространство. Экспоненциальное отображение задается теми же формулами из [1], что и сама сфера, но без ограничений на параметры.

Образ экспоненциального отображения называется фронтом Мартине. Он содержит всю сферу, но прообраз каждого ее полюса – это (некомпактная) образующая цилиндра, что объясняет неаналитичность фронта Мартине в полюсах сферы. Фронт Мартине не компактен – его замыкание содержит интервал оси абсцисс, соединяющий полюса сферы, что видно на рис. 2 и следует из вышеупомянутых формул статьи [1].

На рис. 2, полученном с помощью формул из [1], изображены половина фронта Мартине в координатах $(x,y,z)$ (a) и его сечение плоскостью $x=0$ (b). Этот рисунок дает основания сформулировать следующие весьма правдоподобные гипотезы об особенностях фронта Мартине. По всей видимости, они исчерпываются полюсами сферы, соединенными линиями самопересечения и ребрами возврата. В окрестности каждой из точек самопересечения фронт Мартине диффеоморфен паре плоскостей: $x^2=z^2$, а в окрестности каждой точки ребра возврата – поверхности $x^3=z^2$. Любая окрестность отрезка с концами в полюсах сферы содержит счетное число линий самопересечения и счетное число ребер возврата.

Результаты статьи

В настоящей статье вычислены асимптотики экспоненциального отображения в окрестности прообразов полюсов сферы Мартине. (Ввиду симметрии относительно прямой $x=z=0$ достаточно рассмотреть лишь один полюс.) Мы получаем счетное число различных асимптотик – в одной из них (теорема 1) координата вдоль образующей цилиндра постоянна, а в остальных (теорема 2) стремится к бесконечности с различными скоростями при уменьшении угловой координаты на цилиндре. С помощью этого результата мы вычисляем (следствия 1 и 2) асимптотики сечений сферы и фронта Мартине вертикальной плоскостью при приближении к полюсу.

Оказывается, образ сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+ $ стремится к кривой, изображенной на рис. 3, a; после квазиоднородного растяжения $(y,z) \mapsto (y/\varepsilon, z/\varepsilon^3)$ стремится к кривой, изображенной на рис. 3, b. (Точный смысл термина “стремится” разъяснен в следствиях 1 и 2.)

Первая предельная кривая (рис. 3, a) состоит из начала координат и двух симметричных друг другу трансцендентных аналитических кривых, параметрические формулы для которых даются следствием 1 теоремы 1. В начале координат предельная кривая не аналитична. Вторая предельная кривая (рис. 3, b) состоит из счетного числа касающихся друг друга симметричных алгебраических кривых, параметрические формулы для которых даются следствием 2 теоремы 2. Нижняя некомпактная кривая задается уравнением $z=y^4/16-y^2/8-1/48$.

На рис. 4 изображены сечения фронта Мартине вертикальными плоскостями $x=0.4$ (a) и $x=0.9$ (b), соответствующие значениям $\varepsilon=0.6$ и $\varepsilon=0.1$. На рис. 5 изображены их приближения сжатиями $(y,z) \mapsto(\sqrt{\varepsilon} y, \varepsilon z)$ предельной кривой, изображенной на рис. 3, a. На рис. 6 изображены приближения сечения сжатиями $(y,z) \mapsto(\varepsilon y, \varepsilon^3 z)$ предельной кривой, изображенной на рис. 3, b. Приближения на рис. 6 действуют не на всем сечении, но являются очень точными (порядок их ошибки при $\varepsilon \to 0+$ равен бесконечности). Таким образом, углы между ветвями сечения в точках его самопересечения ниже начала координат являются малыми бесконечного порядка при $\varepsilon \to 0+$.

Приближения сферы Мартине получаются из приближений фронта – надо только удалить внутренние части из предельных кривых. Например, на рис. 7 изображены получающиеся таким образом приближения сечения сферы Мартине вертикальной плоскостью $x=0.9$. При этом нижняя ветвь сечения сферы приближается графиком многочлена четвертой степени с ошибкой бесконечного порядка при $\varepsilon \to 0+$, несмотря на наличие у этой ветви точки излома при $y=0$; это означает, что в отличие от верхнего нижний излом очень быстро выпрямляется при $\varepsilon \to 0+$.

Мотивация исследования

Распределение плоскостей в $\mathbb{R}^3$ локально можно задать как поле нулевых подпространств ненулевой 1-формы $\alpha$. Если 3-форма $\omega=\alpha \wedge d \alpha$ не равна нулю, то распределение контактное и согласно теореме Дарбу приводится к виду $y\,dx-dz=0$ выбором подходящих гладких1 локальных координат. Однако для типичной формы $\alpha$ распределение не является контактным на гладкой поверхности $\omega=0$. Если плоскость распределения трансверсальна поверхности $\omega=0$, то согласно теореме Мартине оно приводится к виду $y^2 \, dx /2-dz=0$ выбором подходящих гладких локальных координат и называется распределением Мартине. В этих координатах поверхность $\omega=0$ задается уравнением $y=0$.

Интегральные кривые распределения, лежащие на поверхности Мартине, называются анормальными геодезическими, они являются геодезическими для любой субримановой метрики на распределении Мартине. Субриманово расстояние имеет весьма сложные и загадочные особенности вдоль анормальных геодезических, а распределение Мартине является простейшим распределением с анормальными геодезическими.

На распределении Мартине есть много субримановых структур, не эквивалентных друг другу относительно замен гладких локальных координат, – подобно римановым структурам они различаются функциональными инвариантами. Тем не менее все они имеют изометричные касательные пространства в смысле Громова–Хаусдорфа (подробности см. в [2]). Это касательное пространство называется плоской субримановой структурой на распределении Мартине; именно для ее сферы и фронта в настоящей статье вычисляются асимптотики вблизи анормальных геодезических, так как полюса сферы Мартине являются как раз точками ее пересечения с анормальными геодезическими, выходящими из ее центра.

Подчеркнем, что в настоящей статье исследуются сфера и фронт только плоской субримановой структуры (задаваемой формой $ds^2=dx^2+dy^2$) на распределении Мартине $dz=y^2 \, dx /2$. В этом случае уравнения геодезических интегрируются в эллиптических функциях Якоби, а субриманова сфера задается явными формулами, полученными в [1], на которых и основаны наши вычисления. Однако плоская субриманова метрика $ds^2$ на распределении Мартине не является типичной, поскольку коэффициенты последней могут зависеть от $x$, $y$ и $z$. В типичном же случае субриманова сфера малого радиуса несколько сглаживается (см., например, [3; рис. 4]), и асимптотики ее особенностей в полюсах в настоящее время не известны. Сферы малого радиуса типичной субримановой структуры на распределении Мартине исследовались, например, в [4]–[6].

По всей видимости, методами настоящей статьи можно вычислить асимптотики сферы в нильпотентной субримановой задаче на (четырехмерной) группе Энгеля и (пятимерной) группе Картана. Дело в том, что уравнения геодезических левоинвариантных субримановых метрик на этих группах тоже интегрируются в эллиптических функциях Якоби, а субримановы сферы задаются явными формулами, полученными в [7] и [8] для групп Энгеля и Картана соответственно.

Что касается более простого случая контактного распределения, то для него ответы на аналогичные вопросы получены в конце прошлого века: сфера и фронт плоской субримановой структуры исследованы в [9], а типичной – в [10].

Благодарности

Автор благодарит Л. В. Локуциевского, Ю. Л. Сачкова и рецензентов, чья помощь – в различной форме – была очень полезна в работе над статьей.

§ 1. Экспоненциальное отображение

Фронт Мартине является образом аналитического отображения цилиндра:

$$ \begin{equation*} x=X_\lambda (\varkappa), \quad y=Y_\lambda(\varkappa), \quad z=Z_\lambda (\varkappa), \qquad \lambda \in \mathbb{R}, \quad \varkappa \in \mathbb{R}/\pi \mathbb{Z}, \end{equation*} \notag $$
которое называется экспоненциальным отображением (за единичное время) для гамильтониана, определяемого принципом максимума Понтрягина.

Далее мы используем обозначения, общепринятые в теории эллиптических функций:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K &=\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2{\theta}}}, \qquad k=\sin{\varkappa}, \\ K' &=\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{1-{k'}^2 \sin^2{\theta}}}, \qquad k'= \cos{\varkappa}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $K$, $K'$ – полные эллиптические интегралы первого рода, $k$ – эллиптический модуль, $k'$ – дополнительный модуль, $\varkappa$ – модулярный угол. Эллиптические функции Якоби с эллиптическим модулем $k$ (который в формулах опускается) обозначаются через $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$ и $\operatorname{dn}$, а с дополнительным модулем $k'$ – через ${\,}'\!\operatorname{sn}$, ${\,}'\!\operatorname{cn}$ и ${\,}'\!\operatorname{dn}$.

Согласно результатам статьи [1] (см. § 4 и предложение 4.3) экспоненциальное отображение обладает следующими свойствами.

$\bullet$ Если $0<\lambda$ и $0 \leqslant \varkappa<\pi/2$, то:

$$ \begin{equation} {X}_\lambda (\varkappa)=-1+\frac{2}{\sqrt{\lambda}} \int_K^{u} \operatorname{dn}^2{v} \, dv, \qquad {Y}_\lambda (\varkappa)=- \frac{2 k}{\sqrt{\lambda}} \operatorname{cn}{u}, \end{equation} \tag{1.1} $$
$$ \begin{equation} {Z}_\lambda (\varkappa)=\frac{2}{3 \lambda^{3/2}} \biggl\{(2 k^2-1) \int_K^{u} \operatorname{dn}^2{v} \, dv+2 k^2 \operatorname{sn}{u} \, \operatorname{cn}{u} \, \operatorname{dn}{u}+{k'}^2 \sqrt{\lambda} \biggr\}, \end{equation} \tag{1.2} $$
где $u=K+\sqrt{\lambda}$.

$\bullet$ На главном меридиане $\lambda=0$

$$ \begin{equation*} X_0 (\varkappa)=\cos{2 \varkappa}, \qquad Y_0 (\varkappa)=\sin{2 \varkappa}, \qquad Z_0 (\varkappa)=\frac16 \cos{2 \varkappa} \sin^2{2 \varkappa}. \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ Прообраз полюса $x=1$, $y=z=0$ – это образующая цилиндра $\varkappa=0$, а полюса $x=-1$, $y=z=0$ – образующая $\varkappa=\pi/2$:

$$ \begin{equation*} X_\lambda (0)=- X_\lambda \biggl(\frac\pi2\biggr)=1, \qquad Y_\lambda (0)=Y_\lambda\biggl(\frac\pi2\biggr)= Z_\lambda (0)= Z_\lambda\biggl(\frac\pi2\biggr)=0. \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ Образ производной содержится в плоскости, заданной уравнением

$$ \begin{equation} {P}_\lambda(\varkappa) \, dx+{Q}_\lambda(\varkappa) \, dy+{R}_\lambda(\varkappa) \, dz= 0, \end{equation} \tag{1.3} $$
коэффициенты которого – аналитические функции на цилиндре, причем
$$ \begin{equation} {P}_\lambda(\varkappa)=\cos{2 \varkappa}, \quad {R}_\lambda(\varkappa)=\lambda \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R}, \quad\forall\,\varkappa \in \mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}, \end{equation} \tag{1.4} $$
$$ \begin{equation} {Q}_\lambda(\varkappa)=2 k \operatorname{sn}{u} \, \operatorname{dn}{u}, \quad \text{если } \ 0<\lambda, \quad 0 \leqslant \varkappa<\frac\pi2. \end{equation} \tag{1.5} $$
Иными словами, подстановка $x=X_\lambda(\varkappa)$, $y=Y_\lambda(\varkappa)$, $z= Z_\lambda(\varkappa)$ обращает уравнение (1.3) в тождество.

$\bullet$ Образ симметричен относительно прямой $x=z=0$ и плоскости $y=0$, а само экспоненциальное отображение инвариантно относительно преобразований

$$ \begin{equation} (\lambda, \varkappa, X, Y, Z, P, Q, R) \mapsto \biggl(- \lambda, \frac\pi2-\varkappa, -X, Y, -Z, -P, Q, -R\biggr), \end{equation} \tag{1.6} $$
$$ \begin{equation} (\lambda, \varkappa, X, Y, Z, P, Q, R) \mapsto (\lambda,-\varkappa, X, -Y ,Z, P,-Q, R). \end{equation} \tag{1.7} $$

$\bullet$ Сфера Мартине является образом части цилиндра, выделяемой неравенством $- 4 {K'}^2 \leqslant \lambda \leqslant 4 K^2$.

Замечание 1. В статье [1] в качестве координаты на цилиндре вместо модулярного угла $\varkappa$ используется величина $\varphi=\pi/2-2 \varkappa$.

Формулы (1.1), (1.2), (1.4), (1.5) получены в статье [1] (см. § 4 и предложение 4.3) явным интегрированием системы гамильтоновых уравнений c гамильтонианом

$$ \begin{equation*} H=\frac12 \biggl(p_x+\frac12 y^2 p_z\biggr)^2+\frac12 p_y^2, \end{equation*} \notag $$
определяемым принципом максимума Понтрягина. Траектории, выходящие при $t=0$ из точки $x=y=z=0$ и лежащие на уровне гамильтониана $H=1/2$, попадают на фронт Мартине при $t=1$. А коэффициенты плоскости (1.3) – это значения сопряженных переменных $p_x$, $p_y$ и $p_z$ при $t=1$, их значения при $t=0$ соответственно равны $\cos{2 \varkappa}$, $\sin{2 \varkappa}$ и $\lambda$.

Правые части формул (1.1), (1.2), (1.5) a priori не аналитичны при $\varkappa= \pi/2$, поскольку в них входит эллиптический интеграл первого рода. Указанного недостатка лишены формулы следующего предложения, используемые ниже и задающие экспоненциальное отображение во всех точках цилиндра вне главного меридиана $\lambda=0$.

Предложение. Если $\lambda \neq 0$, $k=\sin{\varkappa}$ и $k'=\cos{\varkappa}$, то

$$ \begin{equation} X_\lambda (\varkappa)=-1+\frac{2 {k'}^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}, \qquad Y_\lambda (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \end{equation} \tag{1.8} $$
$$ \begin{equation} Z_\lambda (\varkappa)=\frac{2 {k'}^2}{3 \lambda^{3/2}} \biggl\{ (k^2-{k'}^2) \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}-\frac{2 k^2 \operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}\,\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}}+\sqrt{\lambda} \biggr\}, \end{equation} \tag{1.9} $$
$$ \begin{equation} {P}_\lambda(\varkappa)={k'}^2-k^2, \qquad Q_\lambda (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}} {\operatorname{dn}^2{\sqrt{\lambda}}}, \qquad {R}_\lambda(\varkappa)=\lambda. \end{equation} \tag{1.10} $$

Замечание 2. При фиксированном $\varkappa \in \mathbb{C}$ функции (1.8)(1.10) являются мероморфными функциями аргумента $\lambda \in \mathbb{C}$ и имеют устранимые особенности при $\lambda=0$ ввиду следующих наблюдений:

Замечание 3. Инвариантность формул (1.8)(1.10) относительно замены (1.6) непосредственно не очевидна; в § 3 приведена ее проверка.

Лежандрово подмногообразие

Рассмотрим особое лежандрово подмногообразие

$$ \begin{equation*} \Lambda=\bigl\{(X_\lambda(\varkappa), Y_\lambda(\varkappa), Z_\lambda(\varkappa); \, P_\lambda(\varkappa):Q_\lambda(\varkappa):R_\lambda(\varkappa))\bigr\} \subset P T^\ast \mathbb{R}^3, \end{equation*} \notag $$
лежащее в проективизации кокасательного расслоения. Фронт Мартине является образом этого подмногообразия при естественном проектировании
$$ \begin{equation*} P T^\ast \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3. \end{equation*} \notag $$

Замыкание подмногообразия $\Lambda$ компактно и имеет особенности в точках, получающихся предельным переходом $\lambda \to \infty$ и лежащих над отрезком, соединяющим полюса сферы. Все эти особенности не субаналитичны.

В случае плоской субримановой структуры на распределении $dz=y \, dx$ подмногообразие $\Lambda$ (как и его замыкание) оказывается устойчивым в том смысле, что при малом возмущении коэффициентов метрики остается контактно диффеоморфным исходному; подробности изложены в [11]. По всей видимости, в рассматриваемом случае плоской структуры на распределении Мартине $dz=y^2 \, dx /2$ лежандрово подмногообразие $\Lambda$ устойчивым уже не является.

Несмотря на устойчивость лежандрова подмногообразия $\Lambda$ для плоской субримановой структуры на распределении $dz=y \, dx$, ее фронт, хотя и является проекцией $\Lambda$, уже не устойчив – при типичном возмущении метрики он существенно меняется и не диффеоморфен исходному даже локально. Фронты плоской и типичной субримановых структур на распределении $dz=y \, dx$ исследованы в [9] и [10] соответственно.

§ 2. Асимптотики фронта вблизи полюсов

Теорема 1. При $\varkappa \to 0$ и фиксированном параметре $\lambda$ справедливы следующие асимптотические разложения:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, X_\lambda(\varkappa)=1-\varkappa^2 \bigl(1+\gamma(4 \lambda) \bigr)+O(\varkappa^4), \qquad P_\lambda(\varkappa)=1+O(\varkappa^2), \\ Y_\lambda(\varkappa)=2 \varkappa \gamma(\lambda)+O(\varkappa^3), \qquad Q_\lambda(\varkappa)=2 \varkappa \cos{\sqrt{\lambda}}+O(\varkappa^3), \\ Z_\lambda(\varkappa)={\varkappa^2} \frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda}+O(\varkappa^4), \qquad R_\lambda(\varkappa)=\lambda, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\gamma$ – аналитическая функция такая, что
$$ \begin{equation*} \gamma(-\lambda)=\frac{ \operatorname{sh} {\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}, \qquad \gamma(0)=1, \qquad \gamma(\lambda)=\frac{\sin{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}, \end{equation*} \notag $$
а постоянные в $O$ зависят от $\lambda$.

Замечание 4. В правых частях формул теоремы 1 вместо $\varkappa$ можно написать $k$, поскольку $ \varkappa=\arcsin{k}=k+O(k^3)$ при $k \to 0$.

Следствие 1. 1) Две симметричные друг другу трансцендентные аналитические кривые, параметрически заданные уравнениями

$$ \begin{equation} y=\pm \frac{2 \gamma(\lambda)}{\sqrt{1+\gamma(4 \lambda)}}, \qquad z=\frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda (1+\gamma(4 \lambda))}, \end{equation} \tag{2.1} $$
где $\lambda \in \mathbb{R}$, и изображенные на рис. 3, a, состоят из предельных точек образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+$.

2) Расстояние от любой фиксированной точки кривых (2.1) до образа сечения фронта Мартине – бесконечно малая $O(\varepsilon)$ при $\varepsilon \to 0+$.

3) Точки кривых (2.1), удовлетворяющие неравенству $\lambda \leqslant \pi^2$, и начало координат являются предельными точками образа сечения сферы Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+$.

4) Нижние ветви кривых (2.1) (т.е. при $\lambda<0$) вместе с началом координат образуют график гладкой, но не аналитической функции, которая приближается многочленом с точностью до ненулевого плоского остаточного члена: $z=y^4/16+O(|y|^{N})$ для любого $N \in \mathbb{N}$.

Замечание 5. Условие $\lambda \leqslant \pi^2$ отсекает от предельной кривой (2.1), изображенной на рис. 3, a, ее внутреннюю часть, на которой $\lambda > \pi^2$.

Замечание 6. По всей видимости, справедливо более сильное утверждение (которое в настоящей статье не доказано), что объединение кривой (2.1) и начала координат является пределом по Куратовскому образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto (y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+$.

При отрицательных $\lambda$ с больши́м модулем приближения теоремы 1 работают плохо, поскольку экспоненциальное отображение ограничено, а $\gamma(\lambda) \to+\infty$ при $\lambda \to-\infty$. В теореме 2 найдена серия асимптотик, равномерно приближающих экспоненциальное отображение при отделенных от нуля отрицательных значениях $\lambda$ на отрезках

$$ \begin{equation*} \lambda \in \bigl[-4 n^2 {K'}^2,-4 (n-1)^2 {K'}^2 \bigr], \qquad n=1, 2, 3, \dots, \end{equation*} \notag $$
концы которых (кроме одного – правого при $n=1$) стремятся к $- \infty$ при $\varkappa \to 0$, так как $K' \to+\infty$. Эти асимптотики получены с помощью хорошо известных приближений гиперболическими функциями эллиптических функций Якоби с модулем, близким к $1$.

Теорема 2. Пусть ${\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b}$, где ${\sigma_n=2 n-1}$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда при $\varkappa \to 0$ и фиксированном $b \in \mathbb{R}$ справедливы следующие разложения:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =1-\frac{2(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\mu_{b,\varkappa}}+O(e^{-2 K'}), \\ P_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=1+O(e^{-2 K'}), \\ Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) = \frac{2(-1)^{n+1} \operatorname{sgn}{\varkappa}}{\mu_{b,\varkappa} \operatorname{ch} {b}} +O \biggl(\frac{e^{-2 K'}}{K'}\biggr), \\ Q_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =\frac{2 (-1)^{n} \operatorname{sgn}\varkappa \operatorname{th} {b}}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2 K'}), \\ Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =-\frac{2(\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} +O\biggl(\frac{e^{-2 K'}}{{K'}^2}\biggr), \\ R_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=- \mu_{b,\varkappa}^2, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\mu_{b,\varkappa} \to+\infty$, а постоянные в $O$ зависят от $b$.

На рис. 8, a показан график компоненты $Y$ экспоненциального отображения как функции от $\lambda$ при $\varkappa=0.05$, а на рис. 8, b штриховой линией – график ее приближения из теоремы 1. Сплошные линии внизу – это приближения из теоремы 2 с $n=1$ и $n=2$. При $\varkappa \to 0$ отрицательные нули $Y$ уходят в минус бесконечность, а положительные стремятся к своим конечным пределам. Поэтому, в отличие от теоремы 1, в теореме 2 появляется замена параметра.

Следствие 2. Алгебраические кривые, параметрически заданные уравнениями

$$ \begin{equation} y^2=\frac{1-\beta^2}{(\sigma_n+\beta)^2},\quad z=-\frac{1}{12}\,\frac{\sigma_n+3 \beta-2 \beta^3}{(\sigma_n+\beta)^3}, \qquad |\beta| \leqslant 1,\quad \sigma_n=2 n-1, \end{equation} \tag{2.2} $$
где $n \in \mathbb{N}$, и изображенные на рис. 3, b, состоят из предельных точек образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto (y/\varepsilon, z/\varepsilon^3)$ и $\varepsilon \to 0+$.

Расстояние от любой фиксированной точки этих кривых до образа сечения фронта Мартине стремится к нулю быстрее любой положительной степени $\varepsilon$.

Кривая с $n=1$ ($\sigma_1=1$) задается явным уравнением $z=y^4/16-y^2/8-1/48$ и состоит из предельных точек образа сечения сферы Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\varepsilon, z/\varepsilon^3)$ и $\varepsilon \to 0+$.

Замечание 7. По всей видимости, справедливо более сильное утверждение (которое в настоящей статье не доказано), что объединение всех кривых (2.2) и начала координат является пределом по Куратовскому образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto (y/\varepsilon, z/\varepsilon^3 )$ и $\varepsilon \to 0+$.

§ 3. Доказательства

Доказательства предложения из § 1 и теорем 1, 2 основаны на хорошо известных свойствах эллиптических функций Якоби и полных эллиптических интегралов. Помимо цитированных ниже книг, эти свойства можно найти в интернет-справочнике https://functions.wolfram.com.

Доказательство предложения. Совпадение формул (1.8)(1.10) с формулами (1.1), (1.2), (1.5) при $0<\lambda$ и $0 \leqslant \varkappa<\pi/2$ следует из формул приведения для эллиптических функций Якоби (см. [12; п. 13.17, табл. 7])
$$ \begin{equation*} \operatorname{cn}{u}=- k' \frac{\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \qquad \operatorname{sn}{u}= \frac{\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \qquad \operatorname{dn}{u}=\frac{k'}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \end{equation*} \notag $$
где $u=K+\sqrt{\lambda}$.

Инвариантность функций (1.8)(1.10) относительно замен (1.6), (1.7) следует из симметрий гамильтониана $H$ и начальных условий. Однако для убедительности мы выведем ее непосредственно из свойств эллиптических функций Якоби.

Функции $X$ и $Z$ являются четными по $\varkappa$, а функции $Y$ и $Q$ – нечетными, поскольку смена знака $\varkappa$ меняет знак $k$, но сохраняет $k'$, а эллиптические функции $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$ и $\operatorname{dn}$ являются четными по $k$.

Поведение знаков функций (1.8)(1.10) при смене знака $\lambda$ и переходе от $\varkappa$ к $\pi/2-\varkappa$ вытекает из следующих свойств эллиптических функций Якоби (см. [12; п. 13.17, формулы (13)], [13; гл. II, формулы (91)–(93)]):

$$ \begin{equation*} \operatorname{cn}{i \tau}=\frac{1}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}}, \qquad \operatorname{sn}{i \tau}=i \frac{{\,}'\!\operatorname{sn}{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}}, \qquad \operatorname{dn}{i \tau}=\frac{{\,}'\!\operatorname{dn}{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}}, \end{equation*} \notag $$
где штрих означает замену эллиптического модуля с $k$ на $k'$. В самом деле,
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, Y_{-\lambda} (\varkappa)=\frac{2kk'\operatorname{sn}\sqrt{-\lambda}}{\sqrt{-\lambda} \, \operatorname{dn}{\sqrt{-\lambda}}} =\frac{2 k k'\operatorname{sn}{i \sqrt{\lambda}}}{i \sqrt{\lambda} \, \operatorname{dn}{i \sqrt{\lambda}}} =\frac{2 k k'{\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}} =Y_{\lambda} \biggl(\frac{\pi}2-\varkappa\biggr), \\ Q_{-\lambda} (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{\sqrt{-\lambda}}} =\frac{2 k k'\operatorname{cn}{i \sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{i \sqrt{\lambda}}} =\frac{2 k k'{\,}'\!\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\sqrt{\lambda}}} =Q_{\lambda} \biggl(\frac{\pi}2-\varkappa\biggr), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
так как переход от $\varkappa$ к $\pi/2-\varkappa$ переводит $k$ и $k'$ друг в друга. Далее, цепочка равенств
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{{k'}^2}{\sqrt{-\lambda}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}{\frac{d\tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} =\frac{{k'}^2}{i\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{i\,d\tau}{\operatorname{dn}^2{i\tau}}} = \frac{{k'}^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{{\,}'\!\operatorname{cn}^2{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}\,d\tau} \\ &\qquad =\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\biggl(1- \frac{k^2}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}\biggr)\,d\tau} =1-\frac{k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}} } \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
влечет
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, X_{-\lambda} (\varkappa) &=-1+\frac{2 {k'}^2}{\sqrt{- \lambda}} \int_0^{\sqrt{- \lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} =1-\frac{2 k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}} }=- X_{\lambda} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr), \\ \frac32 Z_{-\lambda} (\varkappa) &=\frac{{k'}^2 (k^2-{k'}^2) }{(-\lambda)^{3/2}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}+\frac{{k'}^2}{(-\lambda)} -\frac{2 k^2 {k'}^2 \operatorname{sn}{\sqrt{-\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{(-\lambda)^{3/2} \operatorname{dn}^3{\sqrt{-\lambda}}} \\ &=\frac{ {k'}^2-k^2 }{\lambda} \biggl\{ \frac{{k'}^2}{\sqrt{-\lambda}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}\frac{d\tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}\biggr\} -\frac{{k'}^2}{\lambda}+ \frac{2 k^2 {k'}^2 \operatorname{sn}{\sqrt{-\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{i \lambda^{3/2} \operatorname{dn}^3{\sqrt{-\lambda}}} \\ &=\frac{ {k'}^2-k^2 }{\lambda} \biggl\{ 1-\frac{k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}} \biggr\}-\frac{{k'}^2}{\lambda}+ \frac{2 k^2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}'{\sqrt{\lambda}}}{\lambda^{3/2} {\,}'\!\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}} \\ &=-\frac{ k^2 ({k'}^2-k^2) }{\lambda^{3/2}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}}-\frac{k^2}{\lambda}+\frac{2 k^2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}'{\sqrt{\lambda}}}{\lambda^{3/2} {\,}'\!\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}} \\ &=- \frac32 Z_{\lambda} \biggl(\frac\pi2- \varkappa\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Инвариантность функций (1.8)(1.10) относительно замен (1.6), (1.7), таким образом, доказана.

Предложение доказано.

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся известными вырождениями эллиптических функций Якоби при $k \to 0$
$$ \begin{equation*} \operatorname{sn}{\tau}=\sin{\tau}+O(k^2), \qquad \operatorname{cn}{\tau}=\cos{\tau}+O(k^2) \end{equation*} \notag $$
(см. [12; п. 13.18, формула (6)], [13; гл. IV, формулы (205)]). Из них следует
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} &=\int_0^{\sqrt{\lambda}} (1+ k^2 \sin^2{\tau})\,d \tau+O(k^4) \\ &=\sqrt{\lambda}+\frac{k^2 \sqrt{\lambda}}2-\frac{k^2 \sin(2\sqrt{\lambda})}4+ O(k^4), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку (см. [12; п. 13.17, формулы (2)], [13; гл. II, формулы (77)])
$$ \begin{equation*} \operatorname{dn}^2{\tau}=1-k^2 \operatorname{sn}^2{\tau}=1-k^2 \sin^2{\tau} +O(k^4). \end{equation*} \notag $$
Учитывая, что при $\varkappa \to 0$
$$ \begin{equation*} k=\sin{\varkappa} \to 0, \qquad k'=\cos{\varkappa}=\sqrt{1-k^2}=1+O(k^2), \end{equation*} \notag $$
из этих асимптотик и формул (1.4), (1.8)(1.10) получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, X_\lambda (\varkappa) &=-1+\frac{2 (1-k^2)}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} \\ &=- 1+2 (1-k^2) \biggl(1+\frac{k^2}{2}- \frac{k^2 \sin(2\sqrt{\lambda})}{4 \sqrt{\lambda}}\biggr)+O(k^4) \\ &=1-k^2- \frac{k^2 \sin{\sqrt{4 \lambda}} } {\sqrt{4 \lambda}}+O(k^4), \end{aligned} \\ Y_\lambda (\varkappa) =\frac{2 k k'\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda} \, \operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}= \frac{2 k \sin{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}+O(k^3), \\ \begin{aligned} \, Z_\lambda (\varkappa) &=\frac{2 (1-{k'}^2)}{3 \lambda^{3/2}} \biggl\{ (2 k^2-1) \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}-\frac{2 k^2 \operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}}+\sqrt{\lambda} \biggr\} \\ &=\frac{2}{3 \lambda} \biggl\{ (2 k^2-1) \biggl(1+\frac{k^2}{2}- \frac{k^2\sin(2\sqrt{\lambda})}{4 \sqrt{\lambda}}\biggr) -\frac{k^2\sin(2\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}+1 \biggr\}+O(k^4) \\ &=\frac{k^2}{\lambda} \biggl\{ 1-\frac{\sin{\sqrt{4 \lambda}}}{\sqrt{4 \lambda}} \biggr\}+ O(k^4), \end{aligned} \\ P_\lambda(\varkappa)=1-2 k^2=1+O(k^2), \qquad Q_\lambda (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{\sqrt{\lambda}}}=2 k \cos{\sqrt{\lambda}}+O(k^3). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Подставляя в полученные асимптотики разложение $k= \varkappa+O(\varkappa^3)$ (следующее из равенства $k=\sin{\varkappa}$), получаем указанные в теореме асимптотики для $X_\lambda$, $Y_\lambda$, $Z_\lambda$, $P_\lambda$ и $Q_\lambda$. Асимптотика для коэффициента $R_\lambda$ совпадает с его явным выражением (1.4).

Теорема 1 доказана.

Доказательство следствия 1. Зафиксируем $\lambda \in \mathbb{R}$ и введем обозначение $A=1+\gamma(4 \lambda)$. Согласно теореме 1 имеем $1-X_\lambda(\varkappa)=A \varkappa^2+O(\varkappa^4)$ при $\varkappa \to 0$. Поскольку $A > 0$ при всех $\lambda$, уравнение $X_\lambda (\varkappa)=1-\varepsilon$ имеет ровно два корня $\varkappa=\varkappa_\pm(\varepsilon)$ при $\varepsilon \to 0+$, причем $\varkappa_\pm^2(\varepsilon)=\varepsilon/A+O(\varepsilon^2)$. Отсюда получаем $\varkappa_\pm (\varepsilon)=\pm \sqrt{\varepsilon}/\sqrt{A}+O(\varepsilon^{3/2})$, в частности, $\varkappa_\pm (\varepsilon)=O(\sqrt{\varepsilon})$. Из теоремы 1 теперь получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{Y_\lambda(\varkappa_\pm(\varepsilon))}{\sqrt{\varepsilon}} =\frac{2 \varkappa_\pm(\varepsilon) \gamma(\lambda)+O(\varkappa_\pm^3(\varepsilon))}{\sqrt{\varepsilon}} =\pm \frac{2 \gamma(\lambda)}{\sqrt{A}}+O(\varepsilon), \\ \frac{Z_\lambda(\varkappa_\pm(\varepsilon))}{\varepsilon} = \frac{\varkappa_\pm^2(\varepsilon)}{\varepsilon} \,\frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda}+ \frac{O(\varkappa_\pm^4(\varepsilon))}{\varepsilon} =\frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda A}+ O(\varepsilon). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Эти формулы доказывают утверждения 1)–3) следствия 1.

Воспользуемся теперь следующими разложениями при $\lambda \to+\infty$ с точностью до малых бесконечного порядка, для которых мы используем условное обозначение $O(\lambda^{-\infty})$:

$$ \begin{equation*} \gamma(-\lambda)=\frac{ \operatorname{sh} {\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}=\frac{e^{\sqrt{\lambda}}}{2 \sqrt{\lambda}}+O(\lambda^{-\infty}), \qquad \gamma(- 4 \lambda)=\frac{e^{2 \sqrt{\lambda}}}{4 \sqrt{\lambda}}+O(\lambda^{-\infty}). \end{equation*} \notag $$
Получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, y=\pm \frac{2 \gamma(-\lambda)}{\sqrt{1+\gamma(-4 \lambda)}}=\pm \frac{2}{\lambda^{1/4}}+ O(\lambda^{-\infty}), \\ z=\frac{1-\gamma(- 4 \lambda)}{- \lambda(1+\gamma(- 4 \lambda))} = \frac{1}{\lambda}+ O(\lambda^{-\infty}), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
откуда следует $z=(y/2)^4+O (|y|^{+\infty})$, т.е. $z=y/16+O(|y|^{N})$ для любого $N \in \mathbb{N}$. Утверждение 4) следствия 1 доказано.

Доказательство теоремы 2. Пусть $k=\sin{\varkappa}$, $k'=\cos{\varkappa}$ и $\varkappa \to 0+$. Тогда $k \to 0+$, $k' \to 1-$, $K' \to+\infty$, а известная асимптотика
$$ \begin{equation*} K'=\ln{\frac{4}{k}}+O(-k^2 \ln{k^2}) \end{equation*} \notag $$
(см. [12; п. 13.8, формула (10)], [13; гл. I, формула (144)]) влечет
$$ \begin{equation*} k^2=O(e^{-2 K'}), \qquad-\ln{k^2}=O(K'), \qquad k'=\sqrt{1-k^2}=1+ O(e^{-2 K'}). \end{equation*} \notag $$
Отсюда в силу известной асимптотики (см. [13; гл. I, формула (149)]) для полного эллиптического интеграла второго рода получаем
$$ \begin{equation*} E'=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-{k'}^2 \sin^2{\theta}} \, d \theta =1+O(-k^2 \ln{k^2})=1+O(K'e^{-2 K'}). \end{equation*} \notag $$
А из известных вырождений (см. [12; п. 13.18, формула (4)], [13; гл. IV, формулы (217)]) эллиптических функций Якоби от $u'\,{=}\,K'\,{+}\,\mu_{b,\varkappa}\,{=}\,2 n K'\,{+}\,b$ получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, {\,}'\!\operatorname{sn}{u'}=(-1)^n {\,}'\!\operatorname{sn}{b}=(-1)^n \operatorname{th} {b}+O(k^2)=(-1)^n \operatorname{th} {b}+O (e^{-2 K'}), \\ {\,}'\!\operatorname{cn}{u'}=(-1)^n {\,}'\!\operatorname{cn}{b}=\frac{(-1)^n}{ \operatorname{ch} {b}}+O(k^2)=\frac{(-1)^n}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2 K'}), \\ {\,}'\!\operatorname{dn}{u'}={\,}'\!\operatorname{dn}{b}=\frac{1}{ \operatorname{ch} {b}}+O(k^2) =\frac{1}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2K'}), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
поскольку
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, {\,}'\!\operatorname{sn}{(2 K'+b)}=- {\,}'\!\operatorname{sn}{b}, \qquad {\,}'\!\operatorname{cn}{(2 K'+b)}=- {\,}'\!\operatorname{cn}{b}, \\ {\,}'\!\operatorname{dn}{(2 K'+b)}={\,}'\!\operatorname{dn}{b} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
(см. [12; п. 13.17, формулы (8), (9)], [13; гл. II, формулы (6), (10), (21), (32), (37)]). Функция ${\,}'\!\operatorname{dn}$ четна и $2 K'$-периодична, поэтому
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv &=\int_{K'}^{2 n K'+b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv=\sigma_n \int_{0}^{K'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv+\int_{0}^{b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv \\ &=\sigma_n E'+\int_{0}^{b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv=\sigma_n+\int_{0}^{b} \frac{dv}{ \operatorname{ch} ^2{b}}+O(K'e^{-2K'}) \\ &=\sigma_n+ \operatorname{th} {b}+O(K'e^{-2K'}), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку (см. [13; гл. II, формулы (148), (1), (2)])
$$ \begin{equation*} \int_{0}^{K'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv =E'. \end{equation*} \notag $$

Используя теорему 1 и формулы (1.1), из вышеприведенных асимптотик получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 1-X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) &=1+X_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv \\ &=\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \bigl(\sigma_n+ \operatorname{th} {b}+O(K'e^{-2K'})\bigr) =\frac{2 (\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\mu_{b,\varkappa}}+O(e^{-2K'}), \\ Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) &=Y_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =- \frac{2 k'}{\mu_{b,\varkappa}} {\,}'\!\operatorname{cn} {u'} \\ &=-\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \biggl(\frac{ (-1)^{n}}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2K'})\biggr) =\frac{ 2 (-1)^{n+1}}{\mu_{b,\varkappa} \operatorname{ch} {b}}+O\biggl(\frac{e^{-2K'}}{K'}\biggr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку $\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b$. Аналогично, используя теорему 1 и формулу (1.2), из вышеприведенных асимптотик получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =- Z_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) \\ &\qquad=- \frac{2}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} \biggl\{ (2 {k'}^2-1) \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv+ 2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{cn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{u'}+k^2 \mu_{b,\varkappa} \biggr\} \\ &\qquad=- \frac{2}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} \biggl\{ \sigma_n+ \operatorname{th} {b}+\frac{2 \operatorname{th} {b}}{ \operatorname{ch} ^2{b}}+ O(K'e^{-2K'}) \biggr\} \\ &\qquad=- \frac{2 (\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} +O\biggl(\frac{e^{-2 K'}}{{K'}^2}\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Наконец, используя теорему 1 и формулы (1.4), (1.5), из вышеприведенных асимптотик получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, Q_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =Q_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =2 k' {\,}'\!\operatorname{sn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{u'} =\frac{2 (-1)^{n} \operatorname{th} {b}}{ \operatorname{ch} {b}} +O(e^{-2K'}), \\ P_{-\mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=1-2 k^2=1+O(e^{-2K'}), \qquad R_{-\mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=- \mu_{b,\varkappa}^2. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Теорема 2 доказана, если $\varkappa \to 0+$. В случае $\varkappa \to 0-$ воспользуемся теоремой 1; при смене знака $\varkappa$ функции $Y$ и $Q$ меняют знаки, а $X$, $P$, $Z$ и $R$ – нет.

Теорема 2 доказана.

Доказательство следствия 2. Поскольку $\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b$, разложения теоремы 2 можно записать с точностью до малых бесконечного порядка при $\mu_{b,\varkappa} \to+\infty$, для которых мы используем условное обозначение $O(\lambda^{-\infty})$:
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =1-\frac{2(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\mu_{b,\varkappa}}+O (\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}), \\ Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)= \frac{2(-1)^{n+1} \operatorname{sgn}{\varkappa}}{\mu_{b,\varkappa} \operatorname{ch} {b}}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}), \\ Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=- \frac{2(\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{3 \mu_{b,\varkappa}^3}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Из уравнения $X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=1-\varepsilon$ получаем
$$ \begin{equation*} \mu_{b,\varkappa} =\frac{2(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\varepsilon}+O(\varepsilon^{+\infty}), \end{equation*} \notag $$
поскольку $\sigma_n+ \operatorname{th} {b} > 0$ при всех $b$. Отсюда получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2}^2 (\varkappa)}{\varepsilon^2} = \frac{4}{\varepsilon^2 \mu_{b,\varkappa}^2 \operatorname{ch} ^2{b}}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}) = \frac{1- \operatorname{th} ^2{b}}{(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})^2}+O(\varepsilon^{+\infty}), \\ \frac{Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)}{\varepsilon^3}=- \frac{2(\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{12(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})^3}+O(\varepsilon^{+\infty}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Делая замену $ \operatorname{th} {b}=\beta$, получим указанные в следствии 2 кривые. Справедливость уравнения $z=y^4/16-y^2/8-1/48$ при $n=1$ ($\sigma_1=1$) проверяется подстановкой.

Следствие 2 доказано.

Список литературы

1. A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka, “Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2 (1997), 377–448  crossref  mathscinet  zmath
2. M. Gromov, “Carnot–Carathéodory spaces seen from within”, Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 79–323  crossref  mathscinet  zmath
3. А. А. Аграчев, “Некоторые вопросы субримановой геометрии”, УМН, 71:6(432) (2016), 3–36  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Agrachev, “Topics in sub-Riemannian geometry”, Russian Math. Surveys, 71:6 (2016), 989–1019  crossref  adsnasa
4. B. Bonnard, M. Chyba, E. Trelat, “Sub-Riemannian geometry: one-parameter deformation of the Martinet flat case”, J. Dynam. Control Systems, 4:1 (1998), 59–76  crossref  mathscinet  zmath
5. E. Trélat, “Non-subanalyticity of sub-Riemannian Martinet spheres”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 332:6 (2001), 527–532  crossref  mathscinet  zmath
6. Б. Боннар, Г. Лоне, Е. Трела, “Трансцендентность, необходимая для вычисления сферы и волнового фронта в субримановой геометрии Мартине”, Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998), т. 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 64, Геометрическая теория управления, ВИНИТИ, М., 1999, 82–117  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: B. Bonnard, G. Launay, E. Trélat, “The transcendence needed to compute the sphere and the wave front in Martinet SR-Geometry”, J. Math. Sci. (N.Y.), 103:6 (2001), 686–708  crossref
7. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля”, Матем. сб., 202:11 (2011), 31–54  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Extremal trajectories in a nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group”, Sb. Math., 202:11 (2011), 1593–1615  crossref  adsnasa
8. Ю. Л. Сачков, “Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 194:9 (2003), 63–90  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. L. Sachkov, “Exponential map in the generalized Dido problem”, Sb. Math., 194:9 (2003), 1331–1359  crossref  adsnasa
9. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. M. Vershik, V. Ya. Gershkovich, “Nonholonomic dynamical systems, geometry of distributions and variational problems”, Dynamical systems VII, Encyclopaedia Math. Sci., 16, Springer, Berlin, 1994, 1–81  crossref  mathscinet
10. A. A. Agrachev, “Exponential mappings for contact sub-Riemannian structures”, J. Dynam. Control Systems, 2:3 (1996), 321–358  crossref  mathscinet  zmath
11. I. Bogaevsky, “Fronts of control-affine systems in $\mathbb{R}^3$”, J. Singul., 21 (2020), 15–29  crossref  mathscinet  zmath
12. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, Наука, М., 1967, 299 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, Based, in part, on notes left by H. Bateman, т. 3, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York–Toronto–London, 1955, xvii+292 с.  mathscinet  zmath  adsnasa
13. А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим функциям, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1941, 235 с.

Образец цитирования: И. А. Богаевский, “Асимптотики сферы и фронта плоской субримановой структуры на распределении Мартине”, Матем. сб., 213:5 (2022), 50–67; I. A. Bogaevsky, “Asymptotic behaviour of the sphere and front of a flat sub-Riemannian structure on the Martinet distribution”, Sb. Math., 213:5 (2022), 624–640
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog22}
\by И.~А.~Богаевский
\paper Асимптотики сферы и фронта плоской субримановой структуры на распределении Мартине
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 5
\pages 50--67
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9560}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9560}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461446}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..624B}
\transl
\by I.~A.~Bogaevsky
\paper Asymptotic behaviour of the sphere and front of a~flat sub-Riemannian structure on the Martinet distribution
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 5
\pages 624--640
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9560}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992262800003}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165928737}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9560
  • https://doi.org/10.4213/sm9560
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i5/p50
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:340
    PDF русской версии:32
    PDF английской версии:44
    HTML русской версии:145
    HTML английской версии:102
    Список литературы:37
    Первая страница:13
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024