| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотики сферы и фронта плоской субримановой структуры на распределении Мартине И. А. Богаевскийabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, г. Москва c Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук, Ярославская обл., Переславский р-н, с. Веськово
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9560 
Реферативные базы данных:
     ВведениеСфера плоской субримановой структуры на распределении Мартине – это компактная особая поверхность, изображенная на рис. 1, a. Она является границей множества достижимости (за единицу времени из начала координат) управляемой системы в трехмерном пространстве, допустимые скорости которой в каждой точке образуют плоский диск:
$$
\begin{equation*}
\dot{x}=u_1, \qquad \dot{y}= u_2, \qquad \dot{z}= \frac{u_1 y^2}2, \qquad u_1^2+u_2^2 \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Плоскости, в которых лежат эти диски, образуют распределение Мартине $dz=y^2\,dx/2$. Cубриманова сфера Мартине (известные результаты)Рассматриваемая управляемая система, а вместе с ней и сфера Мартине симметричны относительно плоскости $y=0$ и прямой $x=z=0$. После замены координаты $w=z-x y^2 /6$ главный меридиан сферы Мартине (т.е. линия, в точках которой касательная плоскость к сфере вертикальна) выпрямляется и становится горизонтальной окружностью, что показано на рис. 1, b. Параметрические формулы для субримановой сферы Мартине, содержащие эллиптические функции Якоби и эллиптические интегралы, найдены в [1] и приведены в § 1 настоящей статьи. Сфера Мартине субаналитична во всех своих точках, кроме двух: $x=\pm 1$, $y=z=0$, которые мы будем называть полюсами. В [1] доказано, что в полюсах сфера Мартине не субаналитична. Пересечение сферы и плоскости $y=0$ состоит из полюсов и соединяющих их двух кривых, на которых сфера имеет изломы – точки, где она локально диффеоморфна двугранному углу. Более точно, сфера Мартине является подмножеством образа так называемого экспоненциального отображения – аналитического отображения цилиндра (произведения окружности на прямую) в трехмерное пространство. Экспоненциальное отображение задается теми же формулами из [1], что и сама сфера, но без ограничений на параметры. Образ экспоненциального отображения называется фронтом Мартине. Он содержит всю сферу, но прообраз каждого ее полюса – это (некомпактная) образующая цилиндра, что объясняет неаналитичность фронта Мартине в полюсах сферы. Фронт Мартине не компактен – его замыкание содержит интервал оси абсцисс, соединяющий полюса сферы, что видно на рис. 2 и следует из вышеупомянутых формул статьи [1]. На рис. 2, полученном с помощью формул из [1], изображены половина фронта Мартине в координатах $(x,y,z)$ (a) и его сечение плоскостью $x=0$ (b). Этот рисунок дает основания сформулировать следующие весьма правдоподобные гипотезы об особенностях фронта Мартине. По всей видимости, они исчерпываются полюсами сферы, соединенными линиями самопересечения и ребрами возврата. В окрестности каждой из точек самопересечения фронт Мартине диффеоморфен паре плоскостей: $x^2=z^2$, а в окрестности каждой точки ребра возврата – поверхности $x^3=z^2$. Любая окрестность отрезка с концами в полюсах сферы содержит счетное число линий самопересечения и счетное число ребер возврата. Результаты статьиВ настоящей статье вычислены асимптотики экспоненциального отображения в окрестности прообразов полюсов сферы Мартине. (Ввиду симметрии относительно прямой $x=z=0$ достаточно рассмотреть лишь один полюс.) Мы получаем счетное число различных асимптотик – в одной из них (теорема 1) координата вдоль образующей цилиндра постоянна, а в остальных (теорема 2) стремится к бесконечности с различными скоростями при уменьшении угловой координаты на цилиндре. С помощью этого результата мы вычисляем (следствия 1 и 2) асимптотики сечений сферы и фронта Мартине вертикальной плоскостью при приближении к полюсу. Оказывается, образ сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+ $ стремится к кривой, изображенной на рис. 3, a; после квазиоднородного растяжения $(y,z) \mapsto (y/\varepsilon, z/\varepsilon^3)$ стремится к кривой, изображенной на рис. 3, b. (Точный смысл термина “стремится” разъяснен в следствиях 1 и 2.) Первая предельная кривая (рис. 3, a) состоит из начала координат и двух симметричных друг другу трансцендентных аналитических кривых, параметрические формулы для которых даются следствием 1 теоремы 1. В начале координат предельная кривая не аналитична. Вторая предельная кривая (рис. 3, b) состоит из счетного числа касающихся друг друга симметричных алгебраических кривых, параметрические формулы для которых даются следствием 2 теоремы 2. Нижняя некомпактная кривая задается уравнением $z=y^4/16-y^2/8-1/48$. На рис. 4 изображены сечения фронта Мартине вертикальными плоскостями $x=0.4$ (a) и $x=0.9$ (b), соответствующие значениям $\varepsilon=0.6$ и $\varepsilon=0.1$. На рис. 5 изображены их приближения сжатиями $(y,z) \mapsto(\sqrt{\varepsilon} y, \varepsilon z)$ предельной кривой, изображенной на рис. 3, a. На рис. 6 изображены приближения сечения сжатиями $(y,z) \mapsto(\varepsilon y, \varepsilon^3 z)$ предельной кривой, изображенной на рис. 3, b. Приближения на рис. 6 действуют не на всем сечении, но являются очень точными (порядок их ошибки при $\varepsilon \to 0+$ равен бесконечности). Таким образом, углы между ветвями сечения в точках его самопересечения ниже начала координат являются малыми бесконечного порядка при $\varepsilon \to 0+$. Приближения сферы Мартине получаются из приближений фронта – надо только удалить внутренние части из предельных кривых. Например, на рис. 7 изображены получающиеся таким образом приближения сечения сферы Мартине вертикальной плоскостью $x=0.9$. При этом нижняя ветвь сечения сферы приближается графиком многочлена четвертой степени с ошибкой бесконечного порядка при $\varepsilon \to 0+$, несмотря на наличие у этой ветви точки излома при $y=0$; это означает, что в отличие от верхнего нижний излом очень быстро выпрямляется при $\varepsilon \to 0+$. Мотивация исследованияРаспределение плоскостей в $\mathbb{R}^3$ локально можно задать как поле нулевых подпространств ненулевой 1-формы $\alpha$. Если 3-форма $\omega=\alpha \wedge d \alpha$ не равна нулю, то распределение контактное и согласно теореме Дарбу приводится к виду $y\,dx-dz=0$ выбором подходящих гладких1 локальных координат. Однако для типичной формы $\alpha$ распределение не является контактным на гладкой поверхности $\omega=0$. Если плоскость распределения трансверсальна поверхности $\omega=0$, то согласно теореме Мартине оно приводится к виду $y^2 \, dx /2-dz=0$ выбором подходящих гладких локальных координат и называется распределением Мартине. В этих координатах поверхность $\omega=0$ задается уравнением $y=0$. Интегральные кривые распределения, лежащие на поверхности Мартине, называются анормальными геодезическими, они являются геодезическими для любой субримановой метрики на распределении Мартине. Субриманово расстояние имеет весьма сложные и загадочные особенности вдоль анормальных геодезических, а распределение Мартине является простейшим распределением с анормальными геодезическими. На распределении Мартине есть много субримановых структур, не эквивалентных друг другу относительно замен гладких локальных координат, – подобно римановым структурам они различаются функциональными инвариантами. Тем не менее все они имеют изометричные касательные пространства в смысле Громова–Хаусдорфа (подробности см. в [2]). Это касательное пространство называется плоской субримановой структурой на распределении Мартине; именно для ее сферы и фронта в настоящей статье вычисляются асимптотики вблизи анормальных геодезических, так как полюса сферы Мартине являются как раз точками ее пересечения с анормальными геодезическими, выходящими из ее центра. Подчеркнем, что в настоящей статье исследуются сфера и фронт только плоской субримановой структуры (задаваемой формой $ds^2=dx^2+dy^2$) на распределении Мартине $dz=y^2 \, dx /2$. В этом случае уравнения геодезических интегрируются в эллиптических функциях Якоби, а субриманова сфера задается явными формулами, полученными в [1], на которых и основаны наши вычисления. Однако плоская субриманова метрика $ds^2$ на распределении Мартине не является типичной, поскольку коэффициенты последней могут зависеть от $x$, $y$ и $z$. В типичном же случае субриманова сфера малого радиуса несколько сглаживается (см., например, [3; рис. 4]), и асимптотики ее особенностей в полюсах в настоящее время не известны. Сферы малого радиуса типичной субримановой структуры на распределении Мартине исследовались, например, в [4]–[6]. По всей видимости, методами настоящей статьи можно вычислить асимптотики сферы в нильпотентной субримановой задаче на (четырехмерной) группе Энгеля и (пятимерной) группе Картана. Дело в том, что уравнения геодезических левоинвариантных субримановых метрик на этих группах тоже интегрируются в эллиптических функциях Якоби, а субримановы сферы задаются явными формулами, полученными в [7] и [8] для групп Энгеля и Картана соответственно. Что касается более простого случая контактного распределения, то для него ответы на аналогичные вопросы получены в конце прошлого века: сфера и фронт плоской субримановой структуры исследованы в [9], а типичной – в [10]. БлагодарностиАвтор благодарит Л. В. Локуциевского, Ю. Л. Сачкова и рецензентов, чья помощь – в различной форме – была очень полезна в работе над статьей. § 1. Экспоненциальное отображениеФронт Мартине является образом аналитического отображения цилиндра:
$$
\begin{equation*}
x=X_\lambda (\varkappa), \quad y=Y_\lambda(\varkappa), \quad z=Z_\lambda (\varkappa), \qquad \lambda \in \mathbb{R}, \quad \varkappa \in \mathbb{R}/\pi \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
которое называется экспоненциальным отображением (за единичное время) для гамильтониана, определяемого принципом максимума Понтрягина. Далее мы используем обозначения, общепринятые в теории эллиптических функций:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &=\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2{\theta}}}, \qquad k=\sin{\varkappa}, \\ K' &=\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{1-{k'}^2 \sin^2{\theta}}}, \qquad k'= \cos{\varkappa}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K$, $K'$ – полные эллиптические интегралы первого рода, $k$ – эллиптический модуль, $k'$ – дополнительный модуль, $\varkappa$ – модулярный угол. Эллиптические функции Якоби с эллиптическим модулем $k$ (который в формулах опускается) обозначаются через $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$ и $\operatorname{dn}$, а с дополнительным модулем $k'$ – через ${\,}'\!\operatorname{sn}$, ${\,}'\!\operatorname{cn}$ и ${\,}'\!\operatorname{dn}$. Согласно результатам статьи [1] (см. § 4 и предложение 4.3) экспоненциальное отображение обладает следующими свойствами. $\bullet$ Если $0<\lambda$ и $0 \leqslant \varkappa<\pi/2$, то:
$$
\begin{equation}
{X}_\lambda (\varkappa)=-1+\frac{2}{\sqrt{\lambda}} \int_K^{u} \operatorname{dn}^2{v} \, dv, \qquad {Y}_\lambda (\varkappa)=- \frac{2 k}{\sqrt{\lambda}} \operatorname{cn}{u},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
{Z}_\lambda (\varkappa)=\frac{2}{3 \lambda^{3/2}} \biggl\{(2 k^2-1) \int_K^{u} \operatorname{dn}^2{v} \, dv+2 k^2 \operatorname{sn}{u} \, \operatorname{cn}{u} \, \operatorname{dn}{u}+{k'}^2 \sqrt{\lambda} \biggr\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $u=K+\sqrt{\lambda}$. $\bullet$ На главном меридиане $\lambda=0$
$$
\begin{equation*}
X_0 (\varkappa)=\cos{2 \varkappa}, \qquad Y_0 (\varkappa)=\sin{2 \varkappa}, \qquad Z_0 (\varkappa)=\frac16 \cos{2 \varkappa} \sin^2{2 \varkappa}.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ Прообраз полюса $x=1$, $y=z=0$ – это образующая цилиндра $\varkappa=0$, а полюса $x=-1$, $y=z=0$ – образующая $\varkappa=\pi/2$:
$$
\begin{equation*}
X_\lambda (0)=- X_\lambda \biggl(\frac\pi2\biggr)=1, \qquad Y_\lambda (0)=Y_\lambda\biggl(\frac\pi2\biggr)= Z_\lambda (0)= Z_\lambda\biggl(\frac\pi2\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ Образ производной содержится в плоскости, заданной уравнением
$$
\begin{equation}
{P}_\lambda(\varkappa) \, dx+{Q}_\lambda(\varkappa) \, dy+{R}_\lambda(\varkappa) \, dz= 0,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
коэффициенты которого – аналитические функции на цилиндре, причем
$$
\begin{equation}
{P}_\lambda(\varkappa)=\cos{2 \varkappa}, \quad {R}_\lambda(\varkappa)=\lambda \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R}, \quad\forall\,\varkappa \in \mathbb{R}/\pi\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
{Q}_\lambda(\varkappa)=2 k \operatorname{sn}{u} \, \operatorname{dn}{u}, \quad \text{если } \ 0<\lambda, \quad 0 \leqslant \varkappa<\frac\pi2.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Иными словами, подстановка $x=X_\lambda(\varkappa)$, $y=Y_\lambda(\varkappa)$, $z= Z_\lambda(\varkappa)$ обращает уравнение (1.3) в тождество. $\bullet$ Образ симметричен относительно прямой $x=z=0$ и плоскости $y=0$, а само экспоненциальное отображение инвариантно относительно преобразований
$$
\begin{equation}
(\lambda, \varkappa, X, Y, Z, P, Q, R) \mapsto \biggl(- \lambda, \frac\pi2-\varkappa, -X, Y, -Z, -P, Q, -R\biggr),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
(\lambda, \varkappa, X, Y, Z, P, Q, R) \mapsto (\lambda,-\varkappa, X, -Y ,Z, P,-Q, R).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$\bullet$ Сфера Мартине является образом части цилиндра, выделяемой неравенством $- 4 {K'}^2 \leqslant \lambda \leqslant 4 K^2$. Замечание 1. В статье [1] в качестве координаты на цилиндре вместо модулярного угла $\varkappa$ используется величина $\varphi=\pi/2-2 \varkappa$. Формулы (1.1), (1.2), (1.4), (1.5) получены в статье [1] (см. § 4 и предложение 4.3) явным интегрированием системы гамильтоновых уравнений c гамильтонианом
$$
\begin{equation*}
H=\frac12 \biggl(p_x+\frac12 y^2 p_z\biggr)^2+\frac12 p_y^2,
\end{equation*}
\notag
$$
определяемым принципом максимума Понтрягина. Траектории, выходящие при $t=0$ из точки $x=y=z=0$ и лежащие на уровне гамильтониана $H=1/2$, попадают на фронт Мартине при $t=1$. А коэффициенты плоскости (1.3) – это значения сопряженных переменных $p_x$, $p_y$ и $p_z$ при $t=1$, их значения при $t=0$ соответственно равны $\cos{2 \varkappa}$, $\sin{2 \varkappa}$ и $\lambda$. Правые части формул (1.1), (1.2), (1.5) a priori не аналитичны при $\varkappa= \pi/2$, поскольку в них входит эллиптический интеграл первого рода. Указанного недостатка лишены формулы следующего предложения, используемые ниже и задающие экспоненциальное отображение во всех точках цилиндра вне главного меридиана $\lambda=0$. Предложение. Если $\lambda \neq 0$, $k=\sin{\varkappa}$ и $k'=\cos{\varkappa}$, то Замечание 2. При фиксированном $\varkappa \in \mathbb{C}$ функции (1.8)–(1.10) являются мероморфными функциями аргумента $\lambda \in \mathbb{C}$ и имеют устранимые особенности при $\lambda=0$ ввиду следующих наблюдений: Замечание 3. Инвариантность формул (1.8)–(1.10) относительно замены (1.6) непосредственно не очевидна; в § 3 приведена ее проверка. Лежандрово подмногообразиеРассмотрим особое лежандрово подмногообразие
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\bigl\{(X_\lambda(\varkappa), Y_\lambda(\varkappa), Z_\lambda(\varkappa); \, P_\lambda(\varkappa):Q_\lambda(\varkappa):R_\lambda(\varkappa))\bigr\} \subset P T^\ast \mathbb{R}^3,
\end{equation*}
\notag
$$
лежащее в проективизации кокасательного расслоения. Фронт Мартине является образом этого подмногообразия при естественном проектировании Замыкание подмногообразия $\Lambda$ компактно и имеет особенности в точках, получающихся предельным переходом $\lambda \to \infty$ и лежащих над отрезком, соединяющим полюса сферы. Все эти особенности не субаналитичны. В случае плоской субримановой структуры на распределении $dz=y \, dx$ подмногообразие $\Lambda$ (как и его замыкание) оказывается устойчивым в том смысле, что при малом возмущении коэффициентов метрики остается контактно диффеоморфным исходному; подробности изложены в [11]. По всей видимости, в рассматриваемом случае плоской структуры на распределении Мартине $dz=y^2 \, dx /2$ лежандрово подмногообразие $\Lambda$ устойчивым уже не является. Несмотря на устойчивость лежандрова подмногообразия $\Lambda$ для плоской субримановой структуры на распределении $dz=y \, dx$, ее фронт, хотя и является проекцией $\Lambda$, уже не устойчив – при типичном возмущении метрики он существенно меняется и не диффеоморфен исходному даже локально. Фронты плоской и типичной субримановых структур на распределении $dz=y \, dx$ исследованы в [9] и [10] соответственно. § 2. Асимптотики фронта вблизи полюсов Теорема 1. При $\varkappa \to 0$ и фиксированном параметре $\lambda$ справедливы следующие асимптотические разложения: Замечание 4. В правых частях формул теоремы 1 вместо $\varkappa$ можно написать $k$, поскольку $ \varkappa=\arcsin{k}=k+O(k^3)$ при $k \to 0$. Следствие 1. 1) Две симметричные друг другу трансцендентные аналитические кривые, параметрически заданные уравнениями 2) Расстояние от любой фиксированной точки кривых (2.1) до образа сечения фронта Мартине – бесконечно малая $O(\varepsilon)$ при $\varepsilon \to 0+$. 3) Точки кривых (2.1), удовлетворяющие неравенству $\lambda \leqslant \pi^2$, и начало координат являются предельными точками образа сечения сферы Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+$. 4) Нижние ветви кривых (2.1) (т.е. при $\lambda<0$) вместе с началом координат образуют график гладкой, но не аналитической функции, которая приближается многочленом с точностью до ненулевого плоского остаточного члена: $z=y^4/16+O(|y|^{N})$ для любого $N \in \mathbb{N}$. Замечание 5. Условие $\lambda \leqslant \pi^2$ отсекает от предельной кривой (2.1), изображенной на рис. 3, a, ее внутреннюю часть, на которой $\lambda > \pi^2$. Замечание 6. По всей видимости, справедливо более сильное утверждение (которое в настоящей статье не доказано), что объединение кривой (2.1) и начала координат является пределом по Куратовскому образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto (y/\sqrt{\varepsilon}, z/\varepsilon)$ и $\varepsilon \to 0+$. При отрицательных $\lambda$ с больши́м модулем приближения теоремы 1 работают плохо, поскольку экспоненциальное отображение ограничено, а $\gamma(\lambda) \to+\infty$ при $\lambda \to-\infty$. В теореме 2 найдена серия асимптотик, равномерно приближающих экспоненциальное отображение при отделенных от нуля отрицательных значениях $\lambda$ на отрезках
$$
\begin{equation*}
\lambda \in \bigl[-4 n^2 {K'}^2,-4 (n-1)^2 {K'}^2 \bigr], \qquad n=1, 2, 3, \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
концы которых (кроме одного – правого при $n=1$) стремятся к $- \infty$ при $\varkappa \to 0$, так как $K' \to+\infty$. Эти асимптотики получены с помощью хорошо известных приближений гиперболическими функциями эллиптических функций Якоби с модулем, близким к $1$. Теорема 2. Пусть ${\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b}$, где ${\sigma_n=2 n-1}$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда при $\varkappa \to 0$ и фиксированном $b \in \mathbb{R}$ справедливы следующие разложения: На рис. 8, a показан график компоненты $Y$ экспоненциального отображения как функции от $\lambda$ при $\varkappa=0.05$, а на рис. 8, b штриховой линией – график ее приближения из теоремы 1. Сплошные линии внизу – это приближения из теоремы 2 с $n=1$ и $n=2$. При $\varkappa \to 0$ отрицательные нули $Y$ уходят в минус бесконечность, а положительные стремятся к своим конечным пределам. Поэтому, в отличие от теоремы 1, в теореме 2 появляется замена параметра. Следствие 2. Алгебраические кривые, параметрически заданные уравнениями Расстояние от любой фиксированной точки этих кривых до образа сечения фронта Мартине стремится к нулю быстрее любой положительной степени $\varepsilon$. Кривая с $n=1$ ($\sigma_1=1$) задается явным уравнением $z=y^4/16-y^2/8-1/48$ и состоит из предельных точек образа сечения сферы Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto(y/\varepsilon, z/\varepsilon^3)$ и $\varepsilon \to 0+$. Замечание 7. По всей видимости, справедливо более сильное утверждение (которое в настоящей статье не доказано), что объединение всех кривых (2.2) и начала координат является пределом по Куратовскому образа сечения фронта Мартине плоскостью $x=1-\varepsilon$ при квазиоднородном растяжении $(y,z) \mapsto (y/\varepsilon, z/\varepsilon^3 )$ и $\varepsilon \to 0+$. § 3. ДоказательстваДоказательства предложения из § 1 и теорем 1, 2 основаны на хорошо известных свойствах эллиптических функций Якоби и полных эллиптических интегралов. Помимо цитированных ниже книг, эти свойства можно найти в интернет-справочнике https://functions.wolfram.com. Доказательство предложения. Совпадение формул (1.8)–(1.10) с формулами (1.1), (1.2), (1.5) при $0<\lambda$ и $0 \leqslant \varkappa<\pi/2$ следует из формул приведения для эллиптических функций Якоби (см. [12; п. 13.17, табл. 7])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cn}{u}=- k' \frac{\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \qquad \operatorname{sn}{u}= \frac{\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}, \qquad \operatorname{dn}{u}=\frac{k'}{\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u=K+\sqrt{\lambda}$. Инвариантность функций (1.8)–(1.10) относительно замен (1.6), (1.7) следует из симметрий гамильтониана $H$ и начальных условий. Однако для убедительности мы выведем ее непосредственно из свойств эллиптических функций Якоби. Функции $X$ и $Z$ являются четными по $\varkappa$, а функции $Y$ и $Q$ – нечетными, поскольку смена знака $\varkappa$ меняет знак $k$, но сохраняет $k'$, а эллиптические функции $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$ и $\operatorname{dn}$ являются четными по $k$. Поведение знаков функций (1.8)–(1.10) при смене знака $\lambda$ и переходе от $\varkappa$ к $\pi/2-\varkappa$ вытекает из следующих свойств эллиптических функций Якоби (см. [12; п. 13.17, формулы (13)], [13; гл. II, формулы (91)–(93)]):
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cn}{i \tau}=\frac{1}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}}, \qquad \operatorname{sn}{i \tau}=i \frac{{\,}'\!\operatorname{sn}{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}}, \qquad \operatorname{dn}{i \tau}=\frac{{\,}'\!\operatorname{dn}{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{cn}{\tau}},
\end{equation*}
\notag
$$
где штрих означает замену эллиптического модуля с $k$ на $k'$. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Y_{-\lambda} (\varkappa)=\frac{2kk'\operatorname{sn}\sqrt{-\lambda}}{\sqrt{-\lambda} \, \operatorname{dn}{\sqrt{-\lambda}}} =\frac{2 k k'\operatorname{sn}{i \sqrt{\lambda}}}{i \sqrt{\lambda} \, \operatorname{dn}{i \sqrt{\lambda}}} =\frac{2 k k'{\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}} =Y_{\lambda} \biggl(\frac{\pi}2-\varkappa\biggr), \\ Q_{-\lambda} (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{\sqrt{-\lambda}}} =\frac{2 k k'\operatorname{cn}{i \sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{i \sqrt{\lambda}}} =\frac{2 k k'{\,}'\!\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\sqrt{\lambda}}} =Q_{\lambda} \biggl(\frac{\pi}2-\varkappa\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как переход от $\varkappa$ к $\pi/2-\varkappa$ переводит $k$ и $k'$ друг в друга. Далее, цепочка равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{{k'}^2}{\sqrt{-\lambda}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}{\frac{d\tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} =\frac{{k'}^2}{i\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{i\,d\tau}{\operatorname{dn}^2{i\tau}}} = \frac{{k'}^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{{\,}'\!\operatorname{cn}^2{\tau}}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}\,d\tau} \\ &\qquad =\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\biggl(1- \frac{k^2}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}\biggr)\,d\tau} =1-\frac{k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}} } \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
влечет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_{-\lambda} (\varkappa) &=-1+\frac{2 {k'}^2}{\sqrt{- \lambda}} \int_0^{\sqrt{- \lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} =1-\frac{2 k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}} }=- X_{\lambda} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr), \\ \frac32 Z_{-\lambda} (\varkappa) &=\frac{{k'}^2 (k^2-{k'}^2) }{(-\lambda)^{3/2}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}+\frac{{k'}^2}{(-\lambda)} -\frac{2 k^2 {k'}^2 \operatorname{sn}{\sqrt{-\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{(-\lambda)^{3/2} \operatorname{dn}^3{\sqrt{-\lambda}}} \\ &=\frac{ {k'}^2-k^2 }{\lambda} \biggl\{ \frac{{k'}^2}{\sqrt{-\lambda}} \int_0^{\sqrt{-\lambda}}\frac{d\tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}\biggr\} -\frac{{k'}^2}{\lambda}+ \frac{2 k^2 {k'}^2 \operatorname{sn}{\sqrt{-\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{-\lambda}}}{i \lambda^{3/2} \operatorname{dn}^3{\sqrt{-\lambda}}} \\ &=\frac{ {k'}^2-k^2 }{\lambda} \biggl\{ 1-\frac{k^2}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}} \biggr\}-\frac{{k'}^2}{\lambda}+ \frac{2 k^2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}'{\sqrt{\lambda}}}{\lambda^{3/2} {\,}'\!\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}} \\ &=-\frac{ k^2 ({k'}^2-k^2) }{\lambda^{3/2}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{{\,}'\!\operatorname{dn}^2{\tau}}}-\frac{k^2}{\lambda}+\frac{2 k^2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}'{\sqrt{\lambda}}}{\lambda^{3/2} {\,}'\!\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}} \\ &=- \frac32 Z_{\lambda} \biggl(\frac\pi2- \varkappa\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Инвариантность функций (1.8)–(1.10) относительно замен (1.6), (1.7), таким образом, доказана. Предложение доказано. Доказательство теоремы 1. Воспользуемся известными вырождениями эллиптических функций Якоби при $k \to 0$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sn}{\tau}=\sin{\tau}+O(k^2), \qquad \operatorname{cn}{\tau}=\cos{\tau}+O(k^2)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [12; п. 13.18, формула (6)], [13; гл. IV, формулы (205)]). Из них следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} &=\int_0^{\sqrt{\lambda}} (1+ k^2 \sin^2{\tau})\,d \tau+O(k^4) \\ &=\sqrt{\lambda}+\frac{k^2 \sqrt{\lambda}}2-\frac{k^2 \sin(2\sqrt{\lambda})}4+ O(k^4), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку (см. [12; п. 13.17, формулы (2)], [13; гл. II, формулы (77)])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dn}^2{\tau}=1-k^2 \operatorname{sn}^2{\tau}=1-k^2 \sin^2{\tau} +O(k^4).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что при $\varkappa \to 0$
$$
\begin{equation*}
k=\sin{\varkappa} \to 0, \qquad k'=\cos{\varkappa}=\sqrt{1-k^2}=1+O(k^2),
\end{equation*}
\notag
$$
из этих асимптотик и формул (1.4), (1.8)–(1.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, X_\lambda (\varkappa) &=-1+\frac{2 (1-k^2)}{\sqrt{\lambda}} \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}} \\ &=- 1+2 (1-k^2) \biggl(1+\frac{k^2}{2}- \frac{k^2 \sin(2\sqrt{\lambda})}{4 \sqrt{\lambda}}\biggr)+O(k^4) \\ &=1-k^2- \frac{k^2 \sin{\sqrt{4 \lambda}} } {\sqrt{4 \lambda}}+O(k^4), \end{aligned} \\ Y_\lambda (\varkappa) =\frac{2 k k'\operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda} \, \operatorname{dn}{\sqrt{\lambda}}}= \frac{2 k \sin{\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}+O(k^3), \\ \begin{aligned} \, Z_\lambda (\varkappa) &=\frac{2 (1-{k'}^2)}{3 \lambda^{3/2}} \biggl\{ (2 k^2-1) \int_0^{\sqrt{\lambda}}{\frac{d \tau}{\operatorname{dn}^2{\tau}}}-\frac{2 k^2 \operatorname{sn}{\sqrt{\lambda}} \, \operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^3{\sqrt{\lambda}}}+\sqrt{\lambda} \biggr\} \\ &=\frac{2}{3 \lambda} \biggl\{ (2 k^2-1) \biggl(1+\frac{k^2}{2}- \frac{k^2\sin(2\sqrt{\lambda})}{4 \sqrt{\lambda}}\biggr) -\frac{k^2\sin(2\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}+1 \biggr\}+O(k^4) \\ &=\frac{k^2}{\lambda} \biggl\{ 1-\frac{\sin{\sqrt{4 \lambda}}}{\sqrt{4 \lambda}} \biggr\}+ O(k^4), \end{aligned} \\ P_\lambda(\varkappa)=1-2 k^2=1+O(k^2), \qquad Q_\lambda (\varkappa)=\frac{2 k k'\operatorname{cn}{\sqrt{\lambda}}}{\operatorname{dn}^2{\sqrt{\lambda}}}=2 k \cos{\sqrt{\lambda}}+O(k^3). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в полученные асимптотики разложение $k= \varkappa+O(\varkappa^3)$ (следующее из равенства $k=\sin{\varkappa}$), получаем указанные в теореме асимптотики для $X_\lambda$, $Y_\lambda$, $Z_\lambda$, $P_\lambda$ и $Q_\lambda$. Асимптотика для коэффициента $R_\lambda$ совпадает с его явным выражением (1.4). Теорема 1 доказана. Доказательство следствия 1. Зафиксируем $\lambda \in \mathbb{R}$ и введем обозначение $A=1+\gamma(4 \lambda)$. Согласно теореме 1 имеем $1-X_\lambda(\varkappa)=A \varkappa^2+O(\varkappa^4)$ при $\varkappa \to 0$. Поскольку $A > 0$ при всех $\lambda$, уравнение $X_\lambda (\varkappa)=1-\varepsilon$ имеет ровно два корня $\varkappa=\varkappa_\pm(\varepsilon)$ при $\varepsilon \to 0+$, причем $\varkappa_\pm^2(\varepsilon)=\varepsilon/A+O(\varepsilon^2)$. Отсюда получаем $\varkappa_\pm (\varepsilon)=\pm \sqrt{\varepsilon}/\sqrt{A}+O(\varepsilon^{3/2})$, в частности, $\varkappa_\pm (\varepsilon)=O(\sqrt{\varepsilon})$. Из теоремы 1 теперь получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{Y_\lambda(\varkappa_\pm(\varepsilon))}{\sqrt{\varepsilon}} =\frac{2 \varkappa_\pm(\varepsilon) \gamma(\lambda)+O(\varkappa_\pm^3(\varepsilon))}{\sqrt{\varepsilon}} =\pm \frac{2 \gamma(\lambda)}{\sqrt{A}}+O(\varepsilon), \\ \frac{Z_\lambda(\varkappa_\pm(\varepsilon))}{\varepsilon} = \frac{\varkappa_\pm^2(\varepsilon)}{\varepsilon} \,\frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda}+ \frac{O(\varkappa_\pm^4(\varepsilon))}{\varepsilon} =\frac{1-\gamma(4 \lambda)}{\lambda A}+ O(\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти формулы доказывают утверждения 1)–3) следствия 1. Воспользуемся теперь следующими разложениями при $\lambda \to+\infty$ с точностью до малых бесконечного порядка, для которых мы используем условное обозначение $O(\lambda^{-\infty})$:
$$
\begin{equation*}
\gamma(-\lambda)=\frac{ \operatorname{sh} {\sqrt{\lambda}}}{\sqrt{\lambda}}=\frac{e^{\sqrt{\lambda}}}{2 \sqrt{\lambda}}+O(\lambda^{-\infty}), \qquad \gamma(- 4 \lambda)=\frac{e^{2 \sqrt{\lambda}}}{4 \sqrt{\lambda}}+O(\lambda^{-\infty}).
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y=\pm \frac{2 \gamma(-\lambda)}{\sqrt{1+\gamma(-4 \lambda)}}=\pm \frac{2}{\lambda^{1/4}}+ O(\lambda^{-\infty}), \\ z=\frac{1-\gamma(- 4 \lambda)}{- \lambda(1+\gamma(- 4 \lambda))} = \frac{1}{\lambda}+ O(\lambda^{-\infty}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует $z=(y/2)^4+O (|y|^{+\infty})$, т.е. $z=y/16+O(|y|^{N})$ для любого $N \in \mathbb{N}$. Утверждение 4) следствия 1 доказано. Доказательство теоремы 2. Пусть $k=\sin{\varkappa}$, $k'=\cos{\varkappa}$ и $\varkappa \to 0+$. Тогда $k \to 0+$, $k' \to 1-$, $K' \to+\infty$, а известная асимптотика (см. [12; п. 13.8, формула (10)], [13; гл. I, формула (144)]) влечет
$$
\begin{equation*}
k^2=O(e^{-2 K'}), \qquad-\ln{k^2}=O(K'), \qquad k'=\sqrt{1-k^2}=1+ O(e^{-2 K'}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу известной асимптотики (см. [13; гл. I, формула (149)]) для полного эллиптического интеграла второго рода получаем
$$
\begin{equation*}
E'=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-{k'}^2 \sin^2{\theta}} \, d \theta =1+O(-k^2 \ln{k^2})=1+O(K'e^{-2 K'}).
\end{equation*}
\notag
$$
А из известных вырождений (см. [12; п. 13.18, формула (4)], [13; гл. IV, формулы (217)]) эллиптических функций Якоби от $u'\,{=}\,K'\,{+}\,\mu_{b,\varkappa}\,{=}\,2 n K'\,{+}\,b$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\,}'\!\operatorname{sn}{u'}=(-1)^n {\,}'\!\operatorname{sn}{b}=(-1)^n \operatorname{th} {b}+O(k^2)=(-1)^n \operatorname{th} {b}+O (e^{-2 K'}), \\ {\,}'\!\operatorname{cn}{u'}=(-1)^n {\,}'\!\operatorname{cn}{b}=\frac{(-1)^n}{ \operatorname{ch} {b}}+O(k^2)=\frac{(-1)^n}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2 K'}), \\ {\,}'\!\operatorname{dn}{u'}={\,}'\!\operatorname{dn}{b}=\frac{1}{ \operatorname{ch} {b}}+O(k^2) =\frac{1}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2K'}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\,}'\!\operatorname{sn}{(2 K'+b)}=- {\,}'\!\operatorname{sn}{b}, \qquad {\,}'\!\operatorname{cn}{(2 K'+b)}=- {\,}'\!\operatorname{cn}{b}, \\ {\,}'\!\operatorname{dn}{(2 K'+b)}={\,}'\!\operatorname{dn}{b} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [12; п. 13.17, формулы (8), (9)], [13; гл. II, формулы (6), (10), (21), (32), (37)]). Функция ${\,}'\!\operatorname{dn}$ четна и $2 K'$-периодична, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv &=\int_{K'}^{2 n K'+b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv=\sigma_n \int_{0}^{K'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv+\int_{0}^{b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv \\ &=\sigma_n E'+\int_{0}^{b} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv=\sigma_n+\int_{0}^{b} \frac{dv}{ \operatorname{ch} ^2{b}}+O(K'e^{-2K'}) \\ &=\sigma_n+ \operatorname{th} {b}+O(K'e^{-2K'}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку (см. [13; гл. II, формулы (148), (1), (2)]) Используя теорему 1 и формулы (1.1), из вышеприведенных асимптотик получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1-X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) &=1+X_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv \\ &=\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \bigl(\sigma_n+ \operatorname{th} {b}+O(K'e^{-2K'})\bigr) =\frac{2 (\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\mu_{b,\varkappa}}+O(e^{-2K'}), \\ Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) &=Y_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =- \frac{2 k'}{\mu_{b,\varkappa}} {\,}'\!\operatorname{cn} {u'} \\ &=-\frac{2}{\mu_{b,\varkappa}} \biggl(\frac{ (-1)^{n}}{ \operatorname{ch} {b}}+O(e^{-2K'})\biggr) =\frac{ 2 (-1)^{n+1}}{\mu_{b,\varkappa} \operatorname{ch} {b}}+O\biggl(\frac{e^{-2K'}}{K'}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b$. Аналогично, используя теорему 1 и формулу (1.2), из вышеприведенных асимптотик получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =- Z_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) \\ &\qquad=- \frac{2}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} \biggl\{ (2 {k'}^2-1) \int_{K'}^{u'} {\,}'\!\operatorname{dn}^2{v} \, dv+ 2 {k'}^2 {\,}'\!\operatorname{sn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{cn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{u'}+k^2 \mu_{b,\varkappa} \biggr\} \\ &\qquad=- \frac{2}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} \biggl\{ \sigma_n+ \operatorname{th} {b}+\frac{2 \operatorname{th} {b}}{ \operatorname{ch} ^2{b}}+ O(K'e^{-2K'}) \biggr\} \\ &\qquad=- \frac{2 (\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{3 \mu_{b,\varkappa}^3} +O\biggl(\frac{e^{-2 K'}}{{K'}^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, используя теорему 1 и формулы (1.4), (1.5), из вышеприведенных асимптотик получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =Q_{\mu_{b,\varkappa}^2} \biggl(\frac\pi2-\varkappa\biggr) =2 k' {\,}'\!\operatorname{sn}{u'} \, {\,}'\!\operatorname{dn}{u'} =\frac{2 (-1)^{n} \operatorname{th} {b}}{ \operatorname{ch} {b}} +O(e^{-2K'}), \\ P_{-\mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=1-2 k^2=1+O(e^{-2K'}), \qquad R_{-\mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=- \mu_{b,\varkappa}^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана, если $\varkappa \to 0+$. В случае $\varkappa \to 0-$ воспользуемся теоремой 1; при смене знака $\varkappa$ функции $Y$ и $Q$ меняют знаки, а $X$, $P$, $Z$ и $R$ – нет. Теорема 2 доказана. Доказательство следствия 2. Поскольку $\mu_{b,\varkappa}=\sigma_n K'+b$, разложения теоремы 2 можно записать с точностью до малых бесконечного порядка при $\mu_{b,\varkappa} \to+\infty$, для которых мы используем условное обозначение $O(\lambda^{-\infty})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa) =1-\frac{2(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\mu_{b,\varkappa}}+O (\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}), \\ Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)= \frac{2(-1)^{n+1} \operatorname{sgn}{\varkappa}}{\mu_{b,\varkappa} \operatorname{ch} {b}}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}), \\ Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=- \frac{2(\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{3 \mu_{b,\varkappa}^3}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения $X_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)=1-\varepsilon$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_{b,\varkappa} =\frac{2(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})}{\varepsilon}+O(\varepsilon^{+\infty}),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\sigma_n+ \operatorname{th} {b} > 0$ при всех $b$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{Y_{- \mu_{b,\varkappa}^2}^2 (\varkappa)}{\varepsilon^2} = \frac{4}{\varepsilon^2 \mu_{b,\varkappa}^2 \operatorname{ch} ^2{b}}+O(\mu_{b,\varkappa}^{-\infty}) = \frac{1- \operatorname{th} ^2{b}}{(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})^2}+O(\varepsilon^{+\infty}), \\ \frac{Z_{- \mu_{b,\varkappa}^2} (\varkappa)}{\varepsilon^3}=- \frac{2(\sigma_n+3 \operatorname{th} {b}-2 \operatorname{th} ^3{b})}{12(\sigma_n+ \operatorname{th} {b})^3}+O(\varepsilon^{+\infty}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Делая замену $ \operatorname{th} {b}=\beta$, получим указанные в следствии 2 кривые. Справедливость уравнения $z=y^4/16-y^2/8-1/48$ при $n=1$ ($\sigma_1=1$) проверяется подстановкой. Следствие 2 доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|