| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Солнечность и связность множеств в пространстве И. Г. Царьков Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9554 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ этой работе изучается нелинейный и невыпуклый объект, представляющий собой совокупность функций, составленных из $n$-кусков функций некоторого монотонно линейно связного подмножества $C[a,b]$. Изучаются его свойства: связность по Менгеру и монотонная линейная связность (теоремы 1, 2 и 4). Как известно, наличие таких свойств приближающих множеств дает возможность характеризовать элементы наилучшего приближения, а также изучать структуру ближайших элементов и устойчивость метрической проекции, что, конечно, важно для построения различных вычислительных процедур. В частности, установление монотонности (в каком-нибудь смысле) множества позволяет установить его солнечность или построить непрерывную выборку из оператора почти наилучших приближений. С более полным освещением этой тематики можно ознакомиться в работах [1]–[5]. В полиэдральных пространствах для множеств с полунепрерывной снизу выборкой из метрической проекции изучаются точки светимости этого множества. В частности, показано, что значения вышеуказанной выборки в каждой точке пространства, не принадлежащей множеству, являются для этой точки множествами светимости (следствие 2). В заключение мы в некотором четырехмерном пространстве строим пример не $B$-связного солнца. Напомним, что множество называется $B$-связным ($B$-стягиваемым или $B$-ацикличным), если непустое пересечение его с любым замкнутым шаром связно (стягиваемо или ациклично). Таким образом, отрицательно решается известная давно стоявшая задача о $B$-ацикличности солнца в конечномерных пространствах. Более того, указанный пример показывает, что есть солнца в конечномерных пространствах, не обладающие непрерывной $\varepsilon$-выборкой для малых $\varepsilon>0$, и эти солнца нельзя в хаусдорфовой метрике приблизить строгими солнцами (и, в частности, чебышёвскими множествами), поскольку, как доказал В. А. Кощеев (см. [6]), в конечномерных пространствах все строгие солнца являются $B$-связными. Отметим также, что в двумерном пространстве все солнца является $B$-стягиваемыми (см. Х. Беренс, Л. Хетзельт [7], А. Р. Алимов [8]), а в конечномерных пространствах размерности $\geqslant 3$ являются связными (см. В. А. Кощеев [6]) и даже линейно и локально линейно связными (см. А. Л. Браун [9]). Нам понадобятся следующие определения и обозначения. Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно замкнутый и открытый шары в линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot\|)$ (в дальнейшем для краткости будем обозначать $X$) с центром $x$ радиуса $r$, т.е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x\|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|y-x\|< r\}$. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r$, т.е. множество $\{y\in X\mid \|y-x \|=r\}$. Нам также понадобится обозначение единичных сферы $S^*$ и шара $B^*$ сопряженного пространства $X^*$ (в случае обычного линейно нормированного пространства $X$). И через $\operatorname{ext}S^*$ будем обозначать множество всех экстремальных функционалов из $S^*$. Напомним определение сегмента $[\![x,y]\!]$ в линейном нормированном пространстве $X$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![x,y]\!] &:= \bigl\{z\in X\bigm| \min \{\varphi(x),\varphi(y)\} \leqslant \varphi(z)\leqslant \max \{\varphi(x),\varphi(y)\} \ \forall\, \varphi \in S^*\bigr\} \\ &\,= \bigl\{z\bigm| \varphi (z) \in [\varphi (x),\varphi (y)] \ \forall\, \varphi \in S^*\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного множества $M$ в некотором нормированном пространстве $X$ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X$, $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M$, т.е. величину $\inf_{z\in M}\|z-y\|$. Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т.е. множество $\{y\in M\mid \|y-x\|=\varrho(x,M)\}$. Для произвольных $x\in X $ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring{P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества $\{y\,{\in}\, M\mid \|y-x\|\leqslant\varrho(x,M)\,{+}\,\delta\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)\,{+}\,\delta)$ и $\{y\in M\mid \|y-x\|<\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta)$. Определение 1. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\geqslant 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$). Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности$)$, то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем$)$. Напомним, что множество, являющееся строгим солнцем, является так называемым множеством Колмогорова, т.е. все элементы наилучшего приближения могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова (см. [3]). Солнце же является так называемым обобщенным множеством Колмогорова, т.е. его точки светимости могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова. Определение 2. Путь $p\colon [0,1]\to X $ в линейном нормированном пространстве $X$ называется монотонным, если $x^*(p(\tau))$ является монотонной функцией для любого экстремального функционала $x^* $ единичной нормы. Подмножество $M\subset X$ называется монотонно линейно связным, если любые две точки из $M$ можно соединить монотонным путем, след которого лежит в $M$. Множество $M$ в линейном нормированном пространстве $X$ называется устойчиво монотонно линейно связным, если существует непрерывное отображение $p\colon M\times M\times[0,1]\to M$, для которого $p(x,y,\cdot\,)$ является монотонным путем, соединяющим точки $x,y\in M$. Отметим, что монотонно линейно связным множеством и даже устойчиво монотонно линейно связным множеством в $C(Q)$ является такой классический объект приближения, как обобщенные дроби. Непустое пересечение любого открытого (замкнутого) шара с монотонно линейно связным (устойчиво монотонно линейно связным) множеством является монотонно линейно связным множеством (устойчиво монотонно линейно связным). § 2. Свойства кусочно монотонных множеств в $C[a,b]$Определение 3. Подмножество $M\subset X$ называется сильно связным по Менгеру, если $[\![x,y]\!]\cap M\ne \{x,y\}$ для любых различных точек $x,y\in M$. Подмножество $M\subset X$ назовем слабо связным по Менгеру, если для любого конечного набора $\alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n)\subset \operatorname{ext}S^*$ множество $(x^*_1,\dots,x^*_n)(M)$ сильно связно по Менгеру в пространстве $\ell_\alpha:= (x^*_1,\dots,x^*_n)(X)$, где норма $\|y\|$ элемента $y=(y_1,\dots,y_n)=(x^*_1,\dots,x^*_n)(x)\in \ell_\alpha$ равна норме факторпространства $X/L_\alpha$, где $L_\alpha=\{x\in X\mid x^*_i(x)=0,\, i=1,\dots,n\}$, т.е. $\|y\|_\alpha:=\varrho(x,L_\alpha)$. Замечание 1. Обычная связность по Менгеру определяется так же, как и сильная связность по Менгеру, с одной только разницей, что сегмент $[\![x,y]\!]$ заменяется на множество $\mathbf{m}(x,y):=\bigcap_{B(z,r)\supset \{x,y\}}B(z,r)$. Как известно, $[\![x,y]\!]\subset \mathbf{m}(x,y)$, и поэтому из сильной связности по Менгеру вытекает обычная связность по Менгеру. Также известно, что в любом сепарабельном пространстве эти связности эквивалентны. Но до сих пор не известно ни одного примера, когда была бы обычная связность по Менгеру, а сильной не было. Связано это с тем, что не известно примеров, когда бы $[\![x,y]\!]\neq \mathbf{m}(x,y)$. Отметим также, что в определении слабой связности по Менгеру можно ограничиться линейно независимыми наборами $\alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n)$. Отметим также, что любое пересечение с открытым или замкнутым шаром связного по Менгеру множества является связным по Менгеру. Определение 4. Пусть $a<b$, $M\subset C[a,b]$ – монотонно линейно связное непустое множество, обладающее свойством: для любых функций $f,g\in M$ Функцию $\tau\in C[a,b]$ будем называть $n$-ломаной относительно множества $M$, если существует набор узлов $\{x_i\}_{i=0}^{k}$ ($k\leqslant n$): $a=x_0<x_1<\dots<x_k=b$, для которых $\tau(t)=f_i(t)\in M$ (говорят, что функция $f_i$ задает $i$-й кусок функции $\tau)$ на отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$, $i=1,\dots,k$. Множество всех $n$-ломаных относительно множества $M$ будем обозначать через $S_n(M)=S_n(M,[a,b])$. В качестве примера таких множеств $M$ можно взять множество функций вида $\{cx+d\}$. В этом случае множество $S_n(M)$ будет множеством $n$-звенных ломаных с нефиксированными узлами. Можно также в качестве $M$ взять множество функций вида $\{c;c/(x+d)\}$. Доказательство. Рассмотрим две различные функции $s_1$ и $s_2$ из множества $S_n(M)$. Для некоторых чисел $k,l\leqslant n$ найдутся наборы узлов: $a=x_0<x_1<\dots<x_k=b$ и $a=y_0<y_1<\dots<y_l=b$, для которых $s_1(\,\cdot\,)=f^1_m(\,\cdot\,)\in M$ на $[x_{m-1},x_{m}]$, $m=1,\dots,k$, и $s_2(\,\cdot\,)=f^2_m(\,\cdot\,)\in M$ на $[x_{m-1},x_{m}]$, $m=1,\dots,l$. Будем считать, что числа $l$ и $k$ нельзя уменьшить, т.е. на соседних отрезках разбиений соответственно для $s_1$ и $s_2$ функции, определяющие соседние куски, не совпадают. Построим функцию $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Отметим, что случай $\max\{k,l\}=1$ тривиален. Будем предполагать, что для всех пар $k,l$: $\max\{k,l\}<\alpha$ это можно сделать (для любых отрезков $[a,b]$), покажем, что это верно и для тех пар $k,l$: $\max\{k,l\}=\alpha$. Тем самым по принципу математической индукции мы и докажем требуемое утверждение. Для определенности будем считать, что $t_1:=x_{k-1}\leqslant t_2:=y_{l-1}$. Разберем всевозможные случаи. Пусть
$$
\begin{equation*}
\delta_0:=\frac{1}{2}\min_{i=1,\dots,k;\,j=1,\dots,l}\{|x_{i}-x_{i-1}|,|y_{j}-y_{j-1}|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
1. Рассмотрим случай, когда $f^1_k=f^2_l$. Если $t:=t_1=t_2$, то можно свести этот случай к ситуации, когда $k$ и $l$ уменьшены на единицу, а вместо отрезка $[a,b]$ можно взять отрезок $[a,t]$. По предположению индукции найдется функция $\overline{s}\in S_n(M,[a,t])$: $\overline{s}\in [\![\overline{s}_1,\overline{s}_2]\!]\setminus \{\overline{s}_1,\overline{s}_2\}$, где $\overline{s}_1$ и $\overline{s}_2$ – сужения $s_1$ и $s_2$ на отрезок $[a,t]$. Тогда искомая функция $s$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \overline{s}(x), & x\in [a,t], \\ f^1_k(x)=f^2_l(x), & x\in [t,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $t_1<t_2$. И пусть $t_1\leqslant y_{l-2}$. В этой ситуации функции $f^1_k$ и $f^2_{l-1}$ совпадают значениями только в точке $t_2$, а поэтому $f^2_{l-2}$ и с $f^1_k$ не равны в точке $y_{l-2}$. В силу монотонной линейной связности $M$ существует монотонный путь $p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M$: $p(0)=f^1_k$, $p(1)=f^2_{l-1}$. Выберем $\delta\in (0,\delta_0)$ так, чтобы $f^1_k$ и $f^2_{l-2}$ не имели равных значений на отрезке $[y_{l-2}-\delta, y_{l-2}+\delta]$. Без потери общности можно считать, что $p(u)\neq f^1_k ,f^2_{l-1}$ для всех $u\in (0,1)$. Найдется число $u_0\in (0,1)$ столь близкое к $1$, что точка $z$, в которой значения $f^2_{l-2}$ и $p(u_0)$ совпадают, лежит в отрезке $[y_{l-2}-\delta, y_{l-2}+\delta]$, и при этом $p(u_0)$ не совпадают ни с $f^2_{l-1}$, ни с $f^1_k$. Положим
$$
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} s_2(x), &x\in[a,z], \\ p(u_0)(x), &x\in[z,y_{l-1}], \\ f^1_k(x) =f^2_l(x), &x\in[y_{l-1},b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по построению $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Пусть $t_1> y_{l-2}$. И пусть для определенности $f^1_{k}>f^2_{l-1}$ на $[t_1,t_2)$. Если $f^1_{k-1}>f^2_{l-1}$ на отрезке $[y_{l-2},t_1]$, то возьмем монотонный путь $p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\,{\to}\,M$: $p(0)=f^1_{k-1}$, $p(1)=f^2_{l-1}$ и выберем число $u_0$ столь близко к $1$, чтобы $f^1_{k-1}(x)>p(u_0)(x)$ на отрезке $[y_{l-2},t_1]$, но при этом функция $p(u_0)$ не совпадала с $f^2_{l-1}$. И, кроме того, подберем $u_0$ настолько близко к $1$, что в некоторой точке $v_2\in [y_{l-2}-\delta_0,y_{l-2}+\delta]$ функции $f^2_{l-2} $ и $p(u_0)$ имели одинаковые значения. Найдется точка $v_1\in (t_1,t_2]$, в которой функции $p(u_0)$ и $f^1_{k}$ принимают одинаковые значения. Если найдется точка $v_3\in [y_{l-2}-\delta_0,y_{l-2}]$, в которой значения функций $s_1$ и $p(u_0)$ совпадают, то положим
$$
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_0)(x), &x\in[v_3,v_1], \\ s_1(x), &x\in[a,v_3]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по построению $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Если же на отрезке $[y_{l-2}- \delta_0,y_{l-2}]$ значения функции $s_1$ больше значений функции $p(u_0)$, то положим
$$
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_0)(x), &x\in[v_2,v_1], \\ s_2(x), &x\in[a,v_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по построению $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Пусть теперь найдется точка $v_0$ на отрезке $[y_{l-2},t_1]$, для которой $f^1_{k-1}(v_0)= f^2_{l-1}(v_0)$. Тогда для всех $u\in [0,1]$ функции $p(u)$, $f^1_{k-1}$ и $f^2_{l-1}$ имеют одинаковые значения в точке $v_0$. Можно считать, что $p(u)\neq f^1_{k-1},f^2_{l-1}$ для всех $u\in (0,1)$ и поэтому $f^2_{l-1}>p(u)>f^1_{k-1}$ на $[a,v_0)$ для всех $u\in (0,1)$. Если $y_{l-2}\leqslant x_{k-2}$, то выберем $\delta\in (0,\delta_0)$ настолько малым, что $s_2>f^1_{k-1}$ на $[y_{l-2}-\delta,v_0)$. Выберем число $u_1\in (0,1)$, столь близкое к нулю, что функции $p(u_1)$ и $f^1_{k-2}$ имеют в некоторой точке $v_2\in [x_{k-2}-\delta,v_0)\subset [y_{l-2}-\delta,v_0)$ одинаковое значение. Пусть $v_1\in [t_1,t_2]$ – такая точка, что $f^1_k$ и $p(u_1)$ имеют в ней одинаковые значения. Положим
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_1)(x), &x\in[v_2,v_1], \\ s_1(x), &x\in[a,v_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по построению $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Если $x_{k-2}<y_{l-2}$, то найдется точка $v_3\leqslant y_{l-2}$, самая близкая к $y_{l-2}$ и в которой значения функций $p(u_1)$ и $s_1$ или $s_2$ совпадают. Отметим, что если $p(u_1)$ и $s_1$ имеют одинаковые значения в указанной точке $v_3$, то $v_3\leqslant x_{k-2}$, так как $s_1=f^1_{k-1}$ на $[x_{k-2},y_{l-2}]$. Положим
$$
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_1)(x), &x\in[v_3,v_1], \\ s_1\, (s_2)(x), &x\in[a,v_3]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбор $ s_1 $ или $ s_2 $ в последней строке формулы определяется тем, с какой функцией $p(u_1)$ совпадает в точке $v_3$: с $s_1$ или $s_2$. Тогда по построению $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. 2. Далее будем рассматривать случай, когда $f^1_k$ и $f^2_l$ не совпадают. a) Рассмотрим случай $t:=t_1=t_2$ и $f^1_{k}(t)=f^2_{l}(t)$. В силу монотонной линейной связности множества $M$ существует функция $f\in [\![f^1_{k-1},f^2_{l-1}]\!]\setminus \{f^1_{k-1},f^2_{l-1}\}$. Тогда в качестве $s$ можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f(x), &x\in[t,b], \\ s_1(x), &x\in[a,t]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. b) Рассмотрим случай $t:=t_1=t_2$ и $f^1_{k}(t)> f^2_{l}(t)$ (случай противоположного неравенства разбирается аналогично). По условию $s_1=f^1_{k-1}$ на отрезке $[x_{k-2},x_{k-1}]$ и $f^1_{k-1}$ не совпадает с $f^1_{k}$. Найдется число $\delta\in (0,\delta_0)$ такое, что для функции $\varphi:=f^1_{k-1}-f^1_{k}$ выполняется неравенство $\varepsilon:=\max_{u\in[t-\delta,t+\delta]}{|\varphi(u)|}<(1/2)(f^1_{k}(t)- f^2_{l}(t))$. В силу монотонной линейной связности множества $M$ существует монотонный путь $p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M$: $p(0)=f^1_k$, $p(1)=f^2_{l}$. Без потери общности можно считать, что $p(u)\neq f^1_k , f^2_{l}$ для всех $u\in (0,1)$. Выберем точку $u_0\in (0,1)$ столь близко к нулю, что $\|f^1_k-p(u_0)\|<\varepsilon$. При этом за счет выбора достаточной малости нормы $\|f^1_k-p(u_0)\|$ можно добиться, чтобы точка $\kappa$, в которой $p(u_0)$ и $f^1_{k-1}$ имеют одинаковые значения, лежала на отрезке $[t-\delta,t+\delta]$. В этом случае в качестве функции $s$ можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} s_1(x), &x\in[a,x_{k-2}], \\ f^1_{k-1}(x), &x\in[x_{k-2},\kappa], \\ p(u_0)(x), &x\in[\kappa,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. c) Рассмотрим случай $ t_1<t_2$. Рассмотрим ситуацию, когда $f^1_k(t_2)=f^2_{l}(t_2)$. В силу монотонной линейной связности множества $M$ существует функция $f\in [\![f^1_{k},f^2_{l}]\!]\setminus \{f^1_{k},f^2_{l}\}$. Тогда в качестве $s$ можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
s(x)= \begin{cases} f(x), &x\in[t_2,b], \\ s_2(x), &x\in[a,t_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Далее изучим случай $f^1_{k}(t_2)> f^2_{l}(t_2)$ (случай противоположного неравенства разбирается аналогично). Так как функции $f^2_{l-1}$ и $f^2_{l}$ не совпадают, то значения этих функций различны во всех точках, кроме точки $t_2$. Пусть $\delta\in (0,\delta_0)$ – такое число, что $f^1_{k} > f^2_{l} $ на отрезке $[t_2-\delta,t_2+\delta]$. В силу монотонной линейной связности множества $M$ существует монотонный путь $p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M$: $p(0)= f^1_k$, $p(1)=f^2_{l}$. Без потери общности можно считать, что $p(u)\neq f^1_k , f^2_{l}$ для всех $u\in (0,1)$. Выберем точку $u_1\in (0,1)$ настолько близко к $ 1$, что функции $f^2_{l-1}$ и $p(u_1)$ имеют в некоторой точке $v_1\in [t_2-\delta,t_2+\delta]$ одинаковые значения и $f^1_{k} > p(u_1) $ на отрезке $[t_2-\delta,t_2+\delta]$. Тогда в качестве $s$ можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
s(x)= \begin{cases} p(u_1)(x), &x\in[v_1,b], \\ f^2_{l-1}(x), &x\in[y_{l-2},v_1], \\ s_2(x), &x\in[a,y_{l-2}]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $s\in S_n(M)$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Таким образом, мы, рассмотрев всевозможные случаи, показали, что множество $S_n(M,[a,b])$ связно по Менгеру. Теорема 1 доказана. Замечание 2. Нетрудно проверить, что в случае, когда множество $M\subset C[a,b]$ компактно, множество $S_n(M,[a,b])$ компактно, а следовательно, замкнуто. Теорема 2. Пусть $M\subset C[a,b]$ непусто и ограниченно компактно. Тогда множество $S_n(M,[a,b])$ монотонно линейно связно и является солнцем. Доказательство. Для каждого числа $r>0$ и некоторой точки $x_0\in M$ рассмотрим компактные множества $M_r:=M\cap B(x_0,r)$. А. Р. Алимовым (см. [1]) было доказано, что всякое ограниченно компактное связное по Менгеру множество является монотонно линейно связным солнцем. Отсюда следует, что $S_n(M_r,[a,b])$ монотонно линейно связно для всех $r>0$. Возьмем произвольные элементы $f,g\in S_n(M,[a,b])$. Найдется число $r>0$ такое, что $f,g\in S_n(M_r,[a,b])$, а следовательно, найдется монотонный путь, соединяющий $f$ и $g$, след которого лежит в $S_n(M_r,[a,b])\subset S_n(M,[a,b])$. Отсюда следует, что множество $S_n(M,[a,b])$ монотонно линейно связно. Теорема доказана. Определение 5. Пусть $\varepsilon\geqslant 0 $, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если для всех $x\in X $ выполняется включение (соответственно $ \varphi(x)\in P_M^{\varepsilon\varrho(x,M)} x )$. В случае, когда эти включения выполняются на некотором множестве $E\subset X$, говорят о $ \varepsilon $-выборке на $E$. Часто для установления существования непрерывной $\varepsilon$-выборки бывает достаточно установить монотонную связность (в каком-нибудь смысле) аппроксимирующего множества. В частности, известно, что аппроксимативно компактное монотонно линейно связное множество допускает на себя непрерывные $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$ (см. [10; теорема 3]), что говорит об особом положении таких множеств в вопросах устойчивости аппроксимации. С другими свойствами множеств, обладающих $ \varepsilon $-выборками, можно ознакомиться в работах [11]–[13]. Интересна и другая сторона монотонно линейно связных (и монотонно связных по Менгеру) множеств, относящаяся к свойству солнечности таких множеств. Это свойство в различных пространствах изучалось многими авторами, в частности А. Л. Брауном, Х. Беренсом, А. Р. Алимовым (подробнее с этой темой можно ознакомиться в обзоре [3]). Непосредственно из теоремы 2 вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть $M\subset C[a,b]$ непусто и ограниченно компактно. Тогда множество $S_n(M,[a,b])$ обладает непрерывной $ \varepsilon $-выборкой для всех $\varepsilon>0$ и является солнцем. § 3. Выборки для обобщенных $n$-ломанных с локализованными узламиВ этом параграфе мы рассмотрим семейство монотонно линейно связных множеств $\mathcal{M}=\{M_i\}_{i=0}^{n}$ в пространстве $X=C[a,b]$. Рассмотрим набор из $n$ отрезков $\mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n}$, где $a\leqslant a_1\leqslant b_1\leqslant a_2\leqslant b_2\leqslant\dots \leqslant a_k\leqslant b_k\leqslant\dots\leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant b$. Через $S(\mathcal{T}_n, \mathcal{M})$ обозначим функции $s\in C[a,b]$, представляющие собой $n$-ломанные с узлами $\{t_k\}_{k=1}^{n}$: $t_k\in [a_k,b_k]$, $k=1,\dots,n$, и $t_0=a$, $t_{n+1}=b$ таких, что $s(\,\cdot\,)=f_{i-1}(\,\cdot\,)\in M_{i-1}$ на отрезке $[t_{i-1},t_{i}]$, $i=1,\dots,n+1$. Обозначим через $\kappa(\mathcal{T}_n)$ величину $\min_{k=1,\dots,n-1}\{a_{k+1}-b_k\}$. В качестве множеств $M_i$ можно брать, например, обобщенные или классические рациональные дроби. Мы будем пользоваться тем, что если функции $f$ и $g$ на отрезке $[a,b]$ связаны монотонным путем $p\colon [0,1]\to X=C[a,b]$, то для любой кривой $\Delta$, соединяющей точки графиков $(v_1,f(v_1))$ и $(v_2,g(v_2))$, график функции $p(u)$ пересекает эту кривую $\Delta$. Теорема 3. Пусть набор $\mathcal{M}$ состоит из одинаковых монотонно линейно связных множеств $M$. Тогда множество $S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$ является связным по Менгеру в пространстве $C[a,b]$; в случае же, когда множество $S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$ ограниченно компактно, то это множество является монотонно линейно связным в пространстве $C[a,b]$. В частности, это верно в случае, когда множество ${M}$ равностепенно непрерывно. Доказательство. Возьмем произвольные различные функции $s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$. И пусть для функции $s_1$ узлами являются точки $\{t_k^1 \}_{k=1}^{n}$: $t_k^1\in [a_k,b_k]$, $k=1,\dots,n$, и $t_0^1=a$, $t_{n+1}^1=b$, для которых $s_1(\,\cdot\,)=f_{i-1}^1(\,\cdot\,)\in M $ на отрезке $[t_{i-1}^1,t_{i}^1]$, $i=1,\dots,n+1$. Аналогично $\{t_k^2 \}_{k=1}^{n}$: $t_k^2\in [a_k,b_k]$, $k=1,\dots,n$, и $t_0^2=a$, $t_{n+1}^2=b$ – узлы для $s_2$, для которых $s_2(\,\cdot\,)=f_{i-1}^2(\,\cdot\,)\in M $ на отрезке $[t_{i-1}^2,t_{i}^2]$, $i=1,\dots,n+1$. Пусть для определенности $t_1^2\leqslant t_1^1$. Докажем, что для функций $s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$ существует функция $s\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M})$: $s\in [\![ s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Доказательство проведем по принципу математической индукции по числу отрезков из набора $\mathcal{T}_n$. Будем предполагать, что для всех $m<n$ и всех отрезков $[a,b]$ для всех различных функций $s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M})$ существует функция $s\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. И докажем требуемое утверждение для случая $m=n$. 1. Рассмотрим случай, когда $s_1\equiv s_2$ на отрезке $[a,t^1_1]$. Рассмотрев вместо отрезка $[a,b]$ отрезок $[t^1_1,b]$ и вместо системы отрезков $\mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n}$ систему $ \{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n}$, применяя индукционное предположения, мы получим, что существует функция $s\in S(\{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n},\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$ на отрезке $[t^1_1,b]$. Доопределим эту функцию на отрезке $[a,t^1_1]$ функцией $f^1_1$. Тогда $s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. 2. Рассмотрим случай, когда $s_1\equiv s_2$ на отрезке $[a,t^2_1 ]$, но $s_1 $ и $ s_2$ не совпадают на отрезке $[t^2_1 ,t^1_1]$. Сначала разберем случай, когда $f^1_2\equiv f^2_2$ на отрезке $[t^2_1 ,t^1_1]$. a) Если $s_1 $ и $ s_2$ не совпадают на отрезке $[t^1_1 ,b]$, то сводим этот случай к случаю отрезка $[t^1_1 ,b]$ вместо отрезка $[a,b]$ и системы $ \{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n}$ вместо $\mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n}$, применяя принцип математической индукции так же, как мы это делали в п. 1. При этом полученную функцию $s$, отличную от $s_1 $ и $ s_2$ на отрезке $[t^1_1 ,b]$, доопределяем на отрезке $[a,t^1_1]$ функцией $f^1_1$. b) Если $s_1\equiv s_2$ на отрезке $[t^1_1,b ]$, то рассмотрим монотонный путь $p\colon [0,1]\to M$, соединяющий функции $f^1_1$ и $f^2_2$, при этом без потери общности будем считать, что $p(u)$ не совпадает ни с $f^1_1$, ни с $f^2_2$ на отрезке $[t^2_1,t^1_1 ]$ для $u=\theta$. Положим
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} s_2(x)= f^1_1(x)=f^2_1(x), &x\in[a,t^2_1] , \\ p(\theta)(x), &x\in[t^2_1,t^1_1 ], \\ s_1(x)=s_2(x), &x\in[t^1_1,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Теперь разберем случай, когда $f^1_2 $ и $ f^2_2$ не совпадают на отрезке $[t^2_1 ,t^1_1]$. Пусть $p\colon [0,1]\to M$ – монотонный путь, соединяющий функции $f^1_1$ и $f^2_2$, при этом $p(\theta)$ не совпадает ни с $f^1_1$, ни с $f^2_2$ на отрезке $[t^2_1,t^1_1 ]$ для некоторого $ \theta\in (0,1)$. Тогда график функции $p(\theta)$ пересекает график функции $f^1_1$ в некоторой точке, первая координата которой равна $t_0\in [ t^2_1,t^1_1 ]$. Положим
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f^1_1(x), &x\in[a,t_0], \\ p(\theta)(x), &x\in[t_0,v_0 ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
на отрезке $[a,v_0]$, где $v_0:=\min\{t^1_2,t^2_2\}$. Рассмотрим случай $v_0=t^2_2\leqslant t^1_2$ (случай $v_0=t^1_2\leqslant t^2_2$ разбирается аналогично). Если график функции $p(\theta)$ пересекается с графиком функции $s_2$ в точке, первая координата которой равна $v_1$ и лежит на отрезке $[t^2_2,b]$, то полагаем
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[v_0,v_1], \\ s_2(x), &x\in[v_1,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если это не выполняется, то полагаем, что $s= p(\theta)$ на отрезке $[t^2_2, t^1_2]$. Кроме того, если график функции $p(\theta)$ пересекается с графиком функции $s_1$ в точке, первая координата которой равна $v_2$ и лежит на отрезке $[t^1_2,b]$, то полагаем
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_2,v_2], \\ s_1(x), &x\in[v_2,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В противном случае полагаем $s=p(\theta)$ на отрезке $[t^1_2,b]$. Тогда $s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$ для всех рассмотренных случаев. 3. Рассмотрим случай, когда $s_1 $ и $ s_2$ не совпадают на отрезке $[a,t^2_1 ]$. Пусть $p\colon [0,1]\to M$ – монотонный путь, соединяющий функции $f^1_1$ и $f^2_1$, при этом $p(\theta)$ не совпадает ни с $f^1_1$, ни с $f^2_1$ на отрезке $[a, t^2_1 ]$ для некоторого $ \theta\in (0,1)$. Положим $s=p(\theta)$ на отрезке $[a,t^2_1]$. Если график функции $p(\theta)$ пересекается с графиком функции $s_2$ в точке, первая координата которой равна $v_1$ и лежит на отрезке $[t^2_1,t^1_1]$, то полагаем
$$
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^2_1,v_1], \\ s_2(x), &x\in[v_1,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда такой точки нет, полагаем, что $s= p(\theta)$ на отрезке $[t^2_1, t^1_1]$. Если график функции $p(\theta)$ пересекается с графиком функции $s_2$ ($s_1$) в точке, первая координата которой равна $v^2$ ($v^1$) и лежит на отрезке $[t^1_1,b]$ и это значение минимально из возможных, то положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_1,v^2], \\ s_2(x), &x\in[v^2,b], \end{cases} \\ \left( s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_1,v^1], \\ s_1(x), &x\in[v^1,b] \end{cases}\right). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же график $ p(\theta)$ не пересекается ни с графиком функции $s_2$, ни с графиком функции $s_1$ в точках, первая координата которых лежит на отрезке $[t^1_1,b]$, то полагаем $s= p(\theta)$ на отрезке $[t^1_1,b]$. Так построенная функция $s$ удовлетворяет условию: $s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$: $s\in [\![ s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$. Из произвольности выбора функций $s_1$ и $s_2$ следует, что множество $S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$ является связным по Менгеру в пространстве $C[a,b]$. Второе утверждение вытекает из следующих соображений. Для всякой ограниченной подпоследовательности $\{s_{l}\}$ из $S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$ можно выбрать подпоследовательность $n$-ломаных $\{s_{l_m}\}$, у которой упорядоченный вектор-набор узлов $\{t_k^m\}_{k=1}^{n}$ и вектор-набор соответствующих значений $\{\xi_k^m\}_{k=1}^{n}$ в этих узлах сходятся, например к $\{t_k\}_{k=1}^{n}$ и $\{\xi_k\}_{k=1}^{n}$ соответственно. При этом функции $f^m_k\in M$: $s_{l_m}\equiv f^m_k$ на отрезке $[t_{k-1}^m,t_{k}^m]$ в силу равностепенной непрерывности $M$ равномерно сходятся к некоторым функциям $f_k\in M$. Поэтому $\{s_{l_m}\}$ равномерно сходится к $n$-ломаной $s^0$, для которой $s^0\equiv f_k$ на отрезке $[t_{k-1} ,t_{k} ]$. Теорема 3 доказана. Рассмотрим теперь еще один частный случай множества $S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M})$, когда $a_i=b_i$, $i=1,\dots,n$. В этом случае это множество превращается в множество обобщенных $(n+1)$-ломанных с фиксированными узлами $\{a_k\}_{k=1}^{n }$. Здесь набор $\mathcal{M}=\{M_k\}_{k=1}^{n+1}$ будет состоять из, вообще говоря, различных монотонно линейно связных множеств. Такое множество мы будем обозначать через $\mathcal{S}(\mathcal{M})$. Теорема 4. Пусть набор $\mathcal{M}=\{M_k\}_{k=1}^{n+1}$ состоит из монотонно линейно связных множеств. Тогда если множество $\mathcal{S}(\mathcal{M})$ непусто, то оно является связным по Менгеру в пространстве $C[a,b]$. Доказательство. Пусть $\{t_k=a_k \}_{k=1}^{n}$ и $t_0 =a$, $t_{n+1} =b$. Возьмем произвольные различные функции $s_1,s_2\in \mathcal{S}( \mathcal{M})$. Пусть $s_1(\,\cdot\,)=f_{i-1}^1(\,\cdot\,)\in M_i $ и $s_2(\,\cdot\,)=f_{i-1}^2(\,\cdot\,)\in M_i $ на отрезке $[t_{i-1} ,t_{i} ]$, $i=1,\dots,n+1$. Пусть $j$ – минимальный индекс, для которого функции $f_{j}^1(\,\cdot\,)\in M_{j+1}$ и $f_{j}^2(\,\cdot\,)\in M_{j+1}$ не совпадают на отрезке $[t_{j} ,t_{j+1} ]$. Тогда полагаем $s$ равным $s_1=s_2$ во всех точках $t\leqslant t_{j}$. Так как функции $f_{j}^1(\,\cdot\,)\in M_{j+1}$ и $f_{j}^2(\,\cdot\,)\in M_{j+1}$ не совпадают на отрезке $[t_{j} ,t_{j+1} ]$, а множество $M_{j+1}$ монотонно линейно связно, найдется функция $f\in [\![f_{j}^1,f_{j}^2]\!]\cap M_{j+1}$, не равная функциям $f_{j}^1 $ и $f_{j}^2 $ на отрезке $[t_{j} ,t_{j+1} ]$. Пусть $\theta_{j+1}:=f(t_{j+1})$. Положим $s=f$ на отрезке $[t_{j} ,t_{j+1} ]$. В силу монотонной линейной связности множества $ M_{j+2}$ найдется функция $\varphi_{j+1}\in [\![f_{j+1}^1,f_{j+2}^2]\!]\cap M_{j+2}$ такая, что $\theta_{j+1}=\varphi_{j+1}(t_{j+1})$. Положим $\theta_{j+2}:=\varphi_{j+1}(t_{j+2})$ и $s=\varphi_{j+1}$ на отрезке $[t_{j+1} ,t_{j+2} ]$. Последний шаг будем повторять до тех пор, пока не построим $\varphi_{j+k}$, где $j+k=n+1$. Так мы построим $s\in \mathcal{S}(\mathcal{M})$: $s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}$ и тем самым докажем теорему. Теорема доказана.
§ 4. Свойства множеств с полунепрерывной снизу выборкой из метрической проекции в конечномерных полиэдральных пространствахОпределение 6. Отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ в случае метрических пространств $X$ и $Y$ называется полунепрерывным снизу, если для любого замкнутого подмножества $A\subset Y$ множество $\{x\in X\mid F(x)\subset A\}$ замкнуто. Приведем также эквивалентное последнему определение. Определение 7. Пусть $\mathcal{X}=(X,\eta) $, $\mathcal{Y}=(Y,\nu) $ – произвольные метрические пространства, отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ называется полунепрерывным снизу в точке $x\in X$, если для любой окрестности $O(y)\subset Y$ произвольной точки $y\in F(x)$ множество $\{v\in X\mid F(v)\cap O(y)\neq \varnothing\} $ содержит некоторую окрестность точки $x $. Отображение $F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\}$ называется полунепрерывным снизу (на $X)$, если оно является таковым в каждой точке $x\in X$. Конечномерное несимметричное полиэдральное пространство представляет собой конечномерное пространство с выпуклым многогранником, содержащим нуль как внутреннюю точку и определяющим собой единичный шар. Несимметричная норма в таком пространстве – функционал Минковского, заданный этим многогранником. Метрическая проекция, свойство солнечности и точки светимости определяются аналогично этим понятиям в симметричном случае. Теорема 5. Пусть $M$ – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве $X$ (т.е. шар в $X$ является многогранником), обладающее полунепрерывной снизу выборкой $\Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\}$ из метрической проекции $P_M$ (т.е. отображение $\Psi$ полунепрерывно снизу и $\Psi (x)\subset P_Mx$ для всех $x\in X)$, и при этом отображение $\Psi$ удовлетворяет дополнительному свойству: для всех $x\in X\setminus M$, $y\in \Psi(x)$ и $\lambda\in [0,+\infty)$. Тогда $M$ – солнце, и $\Psi(x)$ состоит из точек светимости множества $M$ для каждой точки $x\in X$. Доказательство. Возьмем произвольный элемент $x\in X\setminus M$ и предположим, что некоторая точка $y\in \Psi (x)$ не является точкой светимости для $x$. Тогда существует такое минимально возможное $k_0\geqslant 1$, что для всех $0<k<k_0$ шар $B(y+k(x-y),k\varrho(x,M))$ не пересекается своей внутренностью с множеством $M$ и для всех $k>k_0$ шар $B(y+k(x-y),k\varrho(x,M))$ пересекается своей внутренностью с множеством $M$ (т.е. в этом случае $\varrho(y+k(x-y),M)< k\varrho(x,M)$). Отметим, что поскольку шар $B(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M))$ – многогранник, то найдется число $\varepsilon>0$, что для всех $k\geqslant k_0$ верно равенство $B(y,\varepsilon)\cap B(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M))=B(y,\varepsilon)\cap B(y+k (x-y),k \varrho(x,M))$, и $B(y,\varepsilon)\cap \mathring{B}(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M))$ не пересекается с $M$. Как было отмечено, $\varrho(y+k(x-y),M)<k\varrho(x,M)$ для всех $k>k_0$ и, следовательно, $\Psi(y+k (x-y))\subset P_M(y+k (x-y))\subset \mathring{B}(y+k(x-y),k\varrho(x,M))$, отсюда $\Psi(y+k (x-y))\cap \mathring{B}(y,\varepsilon)=\varnothing$ для всех $k>k_0$. Последнее противоречит полунепрерывности отображения $\Psi$. Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Замечание 3. В условиях теоремы 5, но без дополнительного свойства на функцию $\Psi$, точка $x$ является точкой локальной солнечности, т.е. найдется число $\delta=\delta(x)>0$ такое, что $y\in P_M(\lambda(x-y)+y)$ для всех $\lambda\in [1,1+\delta]$, а точка $y$ является соответственно точкой локальной светимости для $x$. На самом деле, из доказательства теоремы 5 вытекает, что такая локальная солнечность получается при менее ограничительном условии на $\Psi$, точнее, можно заменить полунепрерывность снизу этого отображения (на всем $X)$ на так называемую $\mathrm{ORL}$-непрерывность, т.е. достаточно предполагать, что отображение $\Psi$, суженное на луч $\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}$, полунепрерывно снизу в точке $x$ при $\lambda\to 1+0$. Предложение 1. Пусть $M$ – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве $X$, обладающее полунепрерывной снизу выборкой $\Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\}$ из метрической проекции $P_M$. Тогда существует отображение $\Psi_0$, удовлетворяющее свойству: для всех $x\in X\setminus M$, $y\in \Psi(x)$ и $\lambda\in [0,+\infty)$, и его сужение на луч $\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}$ полунепрерывно снизу. Доказательство. Отметим, что в [13; следствие 3] было доказано, что всякое множество в произвольном конечномерном пространстве, обладающее полунепрерывной снизу выборкой из метрического проектора на это множество, является солнцем. Более того, было показано, что для любой точки $x\in X\setminus M$ существуют грани $B_\alpha=B_\alpha(x)$ сферы $S(x,r)$, $r=\varrho(x,M)$, которые пересекаются с множеством $P_Mx$ по своей относительной внутренности (и можно считать, что каждая из таких граней максимальна по вложению) так, что $B=B(x):=\bigcap_{\alpha}B_\alpha$ – непустая грань сферы $S(x,r)$, содержащая множество $\Psi(x)$. Из полунепрерывности снизу отображения $\Psi$ и полиэдральности пространства $X$ вытекает, что отображение $\Phi(x):=B(x)$ ($x\in X$) также полунепрерывно снизу. Действительно, если $y\in \Psi(x)$ – произвольная точка, принадлежащая относительной внутренности грани $ B_\alpha(x)$ сферы $S(x,\varrho(x,M))$, а $\{x_n\}$ – произвольная последовательность, сходящаяся к $x$, и $\{y_n\}$ – некоторая последовательность, сходящаяся к $y$ и такая, что $y_n\in \Psi(x_n)$, $n\in \mathbb{N}$. Через $B_n$ обозначим ту грань сферы $S(x_n,\varrho(x_n,M))$, которая содержит точку $y_n$ в своей относительной внутренности $(n\in \mathbb{N})$. Так как различных граней на сфере $S(0,1)$ конечное число, то разбивая при необходимости последовательность $\{x_n\}$ на конечное число подпоследовательностей $\{x^i_n\}$, можно свести доказательство к случаем, когда все грани $(B_n-x^i_n)/\varrho(x^i_n,M)$ совпадают и равны некоторой грани $B^0$ на сфере $S(0,1)$ (т.е. достаточно обойтись такого сорта последовательностями). Для таких последовательностей сохраним обозначение $\{x_n\}$. Более того, можно считать, что весь набор граней $\{B_\beta(x_n)\}$, которые пересекаются своей относительной внутренностью с множеством $P_Mx_n$, соответствует одному и тому же набору граней сферы $S(0,1)$ при соответствующей гомотетии $(\cdot-x_n)/\varrho(x_n,M) $, $n\in \mathbb{N}$. Так как $y\in \Psi(x)$ принадлежит относительной внутренности грани $ B_\alpha(x)$ сферы $S(x,\varrho(x,M))$, то грань $(B_\alpha-x)/\varrho(x,M)$ содержится в грани $B^0$ с сферы $S(0,1)$. Отсюда вытекает, что грани $B_n=\varrho(x_n,M)B^0+x_n$ в хаусдорфовой метрике сходятся к грани $\widehat{B}_\alpha:=\varrho(x,M)B^0+x$ сферы $S(x,\varrho(x,M))$, содержащей грань $B_\alpha$. В силу замечания 3 для всех $x\in X\setminus M$ и $y\in \Psi(x)$ найдется число $\delta=\delta(x)\,{>}\,0$ такое, что $y\in P_M(\lambda(x-y)+y)$ для всех $\lambda\in [1,1+\delta]$. Тогда $B(\lambda(x-y)+y)\supset B(x)$ и $P_M(\lambda(x-y)+y)\supset P_M(x)$. Отсюда отображение $\Psi_0(z)=P_M(z)\cap B(z)$, $z\in X$, является полунепрерывным снизу на отрезке $\Delta:=\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\in [1,1+\delta]$, и $y\in \Psi_0(z)$ для всех $z\in \Delta$. Поэтому или $y\in \Psi_0(z)$ для всех точек луча $\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}$, или найдется максимально возможное число $\lambda_0\geqslant 1$, для которого выполняется условие $y\in \Psi_0(\lambda(x-y)+y)\subset P_M(\lambda(x-y)+y)$ для всех $ \lambda\in [1,\lambda_0] $. В последнем случае, выбирая вместо точки $x$ точку $\lambda_0(x-y)+y$ и проводя рассуждения, аналогичные вышеизложенным, мы придем к тому, что $\lambda_0$ не является максимально возможным среди чисел $\eta$, для которых $y\in \Psi_0(\lambda(x-y)+y)\subset P_M(\lambda(x-y)+y $ для всех $ \lambda\in [1,\eta] $. Это замечание показывает, что выполняется первый случай. В этом случае $y\in \Psi_0(z)$ для всех точек $z$ луча $\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}$, и поэтому $\Psi_0(z)=P_M(z)\cap B(z)$ полунепрерывно снизу на этом луче. Предложение доказано. Из второй части замечания 3 и предложения 1 вытекает следующее утверждение. Следствие 2. Пусть $M$ – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве $X$, обладающее полунепрерывной снизу выборкой $\Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\}$ из метрической проекции $P_M$. Тогда $M$ – солнце, и $\Psi(x)$ состоит из точек светимости множества $M$ для каждой точки $x\in X$. В частности, отсюда следует, что множество с полунепрерывной метрической проекцией в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве является строгим солнцем. § 5. Построение не $B$-связного солнца в четырехмерном пространствеПриступим к построению не $B$-связного солнца в четырехмерном полиэдральном пространстве. Рассмотрим линейное пространство $X=\mathbb{R}^3$, вложенное в $Y=\mathbb{R}^4$ как подпространство $\Gamma_0:=\{x=(x_1,x_2,x_3,0)\mid (x_1,x_2,x_3)\in X\}$. На $X$ рассмотрим правильный симплекс $B\subset X$, центр тяжести которого находится в нуле. Этот симплекс будет рассматриваться как единичный несимметричный шар, порождающий на $X$ несимметричную норму $\|\cdot|$, равную функционалу Минковского для тела $B$. Рассмотрим множество $M\subset X$, представляющее собой объединение двух скрещивающихся ребер симплекса $B$, это множество несвязно и является солнцем в несимметричном пространстве $(X,\|\cdot|)$ (см. [14]). Построим в пространстве $Y$ центрально симметричный многогранник $V$, задающий в качестве единичного шара симметричную норму $\|\cdot\|$. Этот шар-многогранник зададим как выпуклую оболочку верхней и нижней граней $B_1:=B+e$ и $B_2:=-B-e$, где $e=(0,0,0,1)$. Здесь мы считаем, что симплекс $B$ естественно вложен в $Y$ как подмножество $X$. Отметим, что по построению существует число $\alpha_0\in (0,\pi/2)$ такое, что для любой опорной гиперплоскости $\Gamma$ к шару $V$, заданной функционалом $y^*\in V^*$, т.е. $\Gamma=\{y\in Y\mid y^*(y)=1\}$ и $y^*(y)\leqslant 1$ для всех $y\in V$, и такой, что евклидовый угол $\alpha$ между $\Gamma$ и вектором $e$ не меньше $\alpha_0$, эта гиперплоскость $\Gamma$ опирается на множество $V$ в точках верхней грани $B_1$. При этом если угол $\alpha=\pi/2$, то гиперплоскость $\Gamma$ содержит грань $B_1$, а если $\alpha\in (\alpha_0,\pi/2)$, то $\Gamma$ опирается только в граничных (относительно $B_1$) точках $B_1$. Напомним известное свойство солнц, а именно, их равномерные окрестности $M-\varepsilon B$ для всех $\varepsilon\geqslant 0$ являются также солнцами в $(X,\|\cdot|)$. Сделаем такое линейное растяжение-сжатие $A\colon Y\to Y$ первых трех координатных осей пространства $Y$, что для тела $A(V)$ соответствующий угол $\alpha_0$ будет меньше $\pi/4$. В дальнейшем будем считать, что $\alpha_0<\pi/4$, и множество $A(V)$ переобозначим через $V$. Тогда множество $V$ содержится в конусе $K:=\{ (1-u)e+u B+e\mid u\geqslant 0\}$ с вершиной $2e$, а точнее, в усеченном конусе $K_0:=K\cap (e+T)$, где $T:=\{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\leqslant 0 \}$ – полупространство с границей $\Gamma_0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N_0:=\{t e+ M-t B\mid t\in [0,1]\}, \qquad N:=N_0\cup T_1, \\ \text{где }\ T_1:= \{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\geqslant 1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $N$ является солнцем в симметричном пространстве $(Y,\|\cdot\|)$. Для произвольных точки $y\in Y$ и числа $r>0$ рассмотрим шар $V(y,r):=y+rV$. Рассмотрим случай, когда шар $V(y,r)$ является опорным к $N$ в некоторой точке $z\in N_0$ и лежит в полупространстве $T:=\{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\leqslant 0\}$ с границей $\Gamma_0$. Пусть $H^k_v$ – гомотетия пространства $Y$ с центром $v$ и коэффициентом $k$. Тогда шар $V(z+k(y-z),kr)=H^k_z(V(y,r))$ также лежит в полупространстве $T$, при этом $\Gamma_0\cap N=M$. Таким образом, шар $V(z+k(y-z),kr)=H^k_z(V(y,r))$ пересекается с $N$ только по верхней грани, представляющей собой гомотетию верхней грани шара $V(y,r)$, равной $H^k_{z}(y_0+rB)$, $y_0=(y_1,y_2,y_3,0)$, и поэтому шар $V(z+k(y-z),kr)$ является опорным к $N$ в точке $z$ для всех $k>1$. Пусть теперь шар $V(y,r)$ является опорным к $N$ в некоторой точке $z= t_0 e+ (m-t_0 b)\in t_0 e+ (M-t_0 B)$, где $t_0\in (0,1]$, $m\in M$, $b\in B$. В этом случае точка $z$ принадлежит отрезку $[m,m+e-b]\subset N_0$, который параллелен $\ell=\{2e+u(b-e)\mid u\geqslant 0\}$ – одному из лучей, составляющих границу конуса $K$. Как мы уже отмечали, шар $V$ содержится в усеченном конусе $K_0:=K\cap (e+T)$, следовательно, шар $V(y,r)$ содержится в усеченном конусе $y+rK_0$. При этом верхняя крышка усеченного конуса $y+rK_0$ является верхней крышкой шара $V(y,r)$, т.е. является множеством $y+rB_1=rB+ y+re$, а все остальные точки шара $V(y,r)$ лежат во внутренности усеченного конуса $y+rK_0$. Отсюда следует, что точка $z$ принадлежит относительной границе верхней крышке $y+rB_1$, а следовательно, ее относительная внутренность не пересекается с $M+t_0(-B)+t_0e$. Пусть $\Gamma_t=\Gamma_0\,{+}\,te=\Gamma_0\,{+}\,t(e\,{-}\,b)$ ($t\in [0,t_0]$). Сечение гиперплоскостью $\Gamma_t$ усеченного конуса $y\,{+}\,rK_0$ равно множеству $B_t:=(r+t_0-t)B+(t-t_0)e+ y+re$. Пересечение относительной внутренности множества $(r\,{+}\,t\,{-}\,t_0)B\,{+}\,(t\,{-}\,t_0)e\,{+}\, y\,{+}\,re$ с множеством $M+t (-B)+t e=\Gamma_t\cap N_0$ равносильно тому, что $0$ принадлежит относительной внутренности $M+t (-B)+t e-((r+t_0-t)B+(t-t_0)e+ y+re)=M+t_0(-B)+t_0e-(rB+ y+re)$, а это утверждение равносильно, что множество $M+t_0(-B)+t_0e$ пересекается с относительной внутренностью множества $y+rB_1=rB+ y+re$, чего не может быть. Поэтому усеченный конус $y+rK_0$ не пересекаются своей внутренностью с множеством $N_0$, а следовательно, является опорным к множеству $N_0$ во всех точках отрезка $[m,z]$. Для всех $k\geqslant 1$ пересечение $H^k_z(y+rK_0)$ с гиперплоскостью $\Gamma_t$ содержится в пересечении $H^k_{m+t(e-b)}(y+rK_0)$ с гиперплоскостью $\Gamma_t$, которое равно множеству $H^k_{m+t(e-b)}(B_t)$ и представляет собой гомотетичное раздутие несимметричного шара $B_t=(r+t_0-t)B+ y+re\ni m+t(e-b)$, опорного к солнцу $M+t (-B)+t e$ в гиперплоскости $\Gamma_t$ в точке $ m+t(e-b)$. Поэтому шары $H^k_{m+t(e-b)}(B_t)$ не пересекаются своей относительной внутренностью с множеством $M+t (-B)+t e$ для всех $k\geqslant 1$. Отсюда $H^k_z(y+rK_0)$ – опорное множество к $N_0$ для всех $k\geqslant 1$. Учитывая, что $H^k_z(y+rK_0)\supset H^k_z(V(y,r))$ для всех $k\geqslant 1$, мы получим, что точка $z$ является точкой светимости $N_0$ и $N$ для точки $y$. Пусть теперь шар является опорным к полупространству $T_1$ и не пересекается с множеством $N_0$. Тогда шар $V(y,r)$ является опорным к полупространству $T_1$ в центре своей верхней грани $z_1\in rB+y$. Раздуем шар $V(y,r)$ относительно точки $z_1$ так, чтобы он коснулся множества $N_0$ своей верхней гранью в некоторой точке $z_0$. Пусть это раздутие шара $V(y,r)$ есть шар $V(y_1,r_1)$. Как было показано раньше, $H^k_{z_0}(V(y_1,r_1))$ – опорный шар к $N_0$ для всех $k\geqslant 1$. Кроме того, $H^k_{z_0}(V(y_1,r_1))\supset H^k_{z }(V(y,r)) $ для всех $k\geqslant 1$, где $z$ – точка относительной границы грани $rB_1+y$, которая при вышеуказанном раздутии шара $V(y,r)$ перешла в точку $z_0$. Таким образом, $ H^k_{z }(V(y,r))$ является опорным шаром к множеству $N$ в точке $z$ для всех $k\geqslant 1$, т.е. точка $z$ является точкой светимости множества $N$ для точки $y$. Из всего вышеизложенного вытекает, что множество $N$ является солнцем в симметричном полиэдральном пространстве $(Y,\|\cdot\|)$. Теорема 6. Солнце $N$, построенное выше, в четырехмерном симметричном полиэдральном пространстве $(Y,\|\cdot\|)$ не является $B$-связным, так как множество ближайших для точки $-e=(0,0,0,-1)$ – это множество $M$, состоящее из двух непересекающихся отрезков. Отметим следующие свойства шаров несимметричных полиэдральных пространств. Во-первых, шары $B(x,R)$ представляют собой сдвинутые на вектор $x$ гомотетичные раздутия в $R$ раз шара-многогранника $B(0,1)$. Во-вторых, для любых числа $ a>0$, прямой $\ell\ni 0$, шара $B(x,R)$ и точки $y\in B(x,R)$ таких, что прямая $\ell_y:=\ell+y$ пересекает шар $ B(x,R)$ по отрезку длины $>a$, найдется такое число $\varepsilon>0$, что для всех $y',z\in X$, $r$: $\|y-y'|,\|z-x|,|R-r|<\varepsilon$, $y'\in B(z,r)$, прямая $\ell_{y'}$ пересекает шар $ B(z,r)$ по отрезку длины $>a$. Поскольку мы выяснили, что солнце в трехмерном полиэдральном несимметричном пространстве может быть несвязным множеством, а для симметричного полиэдрального пространства солнце может иметь несвязное множество ближайших уже в четырехмерном пространстве, то возникает вопрос: насколько плохо в смысле связности может быть множество $P_Mx$ для некоторых $x\in X$, где $X$ – конечномерное полиэдральное пространство, $M\subset X$ – солнце. Следующее утверждение показывает, что совсем плохого случая не может быть, точнее, одноточечной компоненты $P_Mx$ не должно существовать. Теорема 7. Для любого солнца $M$ в несимметричном конечномерном полиэдральном пространстве $X$ и для любого $x\in X$ несвязное множество $P_Mx$ не может иметь одноточечную компоненту связности. Доказательство. Докажем методом от противного. Предположим, что найдется такая точка $x\in X$, что $P_Mx$ несвязно и $P_Mx=N\cup \{y\}$, где $\varrho(y,N)=b>0$. В этом случае для всех точек $z\in N$ отрезок $[z,y]$ содержится в шаре $B(x,\varrho(x,M))$ и имеет длину $\geqslant b$. Найдется число $k>0$ такое, что гомотетия $H^k_y(B(x,))= B(y+k(x-y),k\varrho(x,M))$ шара $B(x,\varrho(x,M))$ пересекается с множеством $M$ только по точке $y$, которая в этом случае является единственной точкой светимости для точки $x_0=y+k(x-y)$. Отрезки $[y+k(z-y),y]\subset B(y+k(x-y),k\varrho(x,M))$ для всех точек $z\in N$ имеют длину $> kb/2=:a$. Возьмем произвольную точку $z\in N$ и прямую $\ell:= \{\lambda(z-y)\mid \lambda \in \mathbb{R}\}$ и $R=k\varrho(x,M)$, тогда в силу замечания перед теоремой найдется такое число $\varepsilon\in (0,a/2)$, что для всех $y',w\in X$, $r$: $\|y-y'|,\|w-x_0|,|R-r|<\varepsilon$, $y'\in B(w,r)$ прямая $\ell_{y'}:=\ell+y'$ пересекает шар $ B(w,r)$ по отрезку длины $>a$. Рассмотрим точку $\omega\in [x_0,(y+z)/2]\cap O_\varepsilon(x_0)$, столь близкую к $x_0$, что $\varrho(\omega,M)> \|(y+z)/2 -x_0|$ и все ближайшие $y'$ в $M$ для точки $\omega$ лежат в $\varepsilon$-окрестности точки $y$ по отрезку длины $>a$. Среди ближайших точек для $\omega$ найдется точка светимости $y'\in M$. Поскольку шар $B(\omega,\varrho(\omega,M))$ содержит точку $(y+z)/2$ как внутреннюю и прямая $\ell_{y'}=\ell+y'$ пересекает этот шар по отрезку длины $> a$, то опорный к $M$ (так как $y'$ – точка светимости) конус $\bigcup_{\mu\geqslant 0}H^\mu_{y'}(B(\omega,\varrho(\omega,M)))$ содержит точку $z$ внутри себя, чего не может быть. Это противоречие доказывает теорему.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|