| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об ортогональности в несепарабельных перестановочно-инвариантных пространствах С. В. Асташкинa, Е. М. Семеновb a Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева b Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9543 
Реферативные базы данных:
    ВведениеХорошо известен ряд классических обобщений понятия ортогональности в линейных нормированных пространствах (см. [1]–[3]). Несколько позднее в работах Е. В. Чини и Д. Е. Вульберта [4], а также И. Зингера [5] в связи с задачами теории приближений в нормированных пространствах было введено понятие множества, ортогонального1 линейному подпространству банахова пространства. Эти исследования были продолжены современными авторами (см., например, [6]–[8]). Как и в [4]–[6], элемент $x$, $x\ne 0$, банахова пространства $E$ будем называть ортогональным подпространству $F$ этого пространства, если $\|x\|_{E} \leqslant\|x+y\|_{E}$ для любого $y \in F$. В настоящей работе нас будет интересовать случай, когда $E$ – несепарабельное перестановочно-инвариантное (r.i.) пространство на $[0,1]$, а $F$ – его сепарабельная часть $E_0$, т.е. замыкание пространства $L_\infty$ в $E$. Функция $x\in E$, ортогональная $E_0$ в смысле приведенного определения, будет далее называться просто ортогональным элементом пространства $E$. Множество ортогональных элементов $\mathcal{O}(E)$ является важной характеристикой несепарабельного r.i. пространства $E$. Настоящая работа посвящена изучению этого множества, обладающего весьма необычными свойствами. Множество $\mathcal{O}(E)$ было введено в статье [9], в которой в частности, было показано, что $\mathcal{O}(E)$ совпадает со множеством всех $x\in E$, $x\ne 0$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation}
\|x\|_{E}=\|x^{*} \chi_{(0, \tau)}\|_{E} \quad\text{для любого }\ \tau \in (0,1),
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
где $x^*$ – невозрастающая непрерывная слева перестановка функции $|x|$. Отсюда, в частности, следует, что $x\in \mathcal{O}(E)$, если и только если $x^*\in \mathcal{O}(E)$. В [9] также было доказано (см. предложение 2 и теорему 2), что множество $\mathcal{O}(E)$ неустойчиво относительно эквивалентных преобразований в классе r.i. пространств. А именно, если $E$ – несепарабельное r.i. пространство и $\varepsilon > 0$, то: (i) существует такая r.i. норма $\|\cdot\|_1$ на $E$, что $\|x\|_{E} \leqslant\|x\|_{1} \leqslant(1+\varepsilon)\|x\|_{E}$ для всех $x \in E$, и в r.i. пространстве $(E, \|\cdot\|_1)$ не существует ортогональных элементов; (ii) если $x\in E \setminus E_0$, то найдется такая эквивалентная r.i. норма $\|\cdot\|_2$ на $E$, что $x\in\mathcal{O}(E, \|\cdot\|_2)$. После того как в § 1 мы напомним некоторые нужные нам определения из теории r.i. пространств, в § 2 будут получены необходимые и достаточные условия, при которых функция из пространства Орлича (соответственно Марцинкевича), не принадлежащая его сепарабельной части, является ортогональным элементом в этом пространстве. При этом в случае пространства Орлича результат зависит от того, какая норма рассматривается в нем, Люксембурга или Орлича. Если в первом случае множество $L_M\setminus (L_M)_0$ является алгебраической суммой множества $\mathcal{O}(L_M)$ и сепарабельной части $(L_M)_0$, то во втором множество ортогональных элементов пространства Орлича оказывается пустым. В § 3 приведен пример r.i. пространства $E$, для которого одновременно $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$ и $\mathcal{O}(E')\ne\varnothing$, где $E'$ – пространство, двойственное к $E$. В § 4 показано, что множество $\mathcal{O}(E)$ обладает определенной стабильностью относительно сужений его элементов на подмножества $[0,1]$, удовлетворяющие определенным условиям. И наконец, в § 5 доказано, что всякое несепарабельное r.i. пространство $E$ такое, что $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$, содержит асимптотически изометрическую копию пространства $l_\infty$. Некоторые результаты настоящей работы были анонсированы в заметке [10]. БлагодарностьАвторы искренне благодарят рецензента за доброжелательную критику и ценные замечания. § 1. Предварительные сведенияПриведем необходимые в дальнейшем сведения из теории перестановочно-инвариантных (симметричных) пространств. Более подробную информацию см. в монографиях [11]–[15]. Банахово пространство $E$ измеримых на $[0,1]$ функций называется перестановочно-инвариантным (кратко r.i.) или симметричным, если: 1) из $|x(t)|\leqslant|y(t)|$ для всех $t \in[0,1]$ и $y \in E$ следует $x \in E$ и $\|x\|_E \leqslant\|y\|_{E}$; 2) из равноизмеримости функций $|x|$ и $|y|$, т.е. из того, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}\{t\colon |x(t)|>\tau\}=\operatorname{mes}\{t\colon |y(t)|>\tau\}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $\tau>0$, где $\operatorname{mes}$ – мера Лебега на $[0,1]$, и из $y\in E$ вытекает, что $x\in E$ и $\|x\|_E = \|y\|_{E}$ (см. [11], [12]). Без ограничения общности будем считать, что $\|\chi_{(0,1)}\|_E = 1$, где $\chi_e (t)$ – характеристическая функция измеримого подмножества $e \subset [0,1]$. Тогда $L_{\infty} \subset E \subset L_{1}$ и $\|x\|_{L_{1}} \leqslant\|x\|_{E} \leqslant \| x \|_{L_\infty}$ для любого r.i. пространства $E$ и всякого $x\in L_\infty$. Через $E_0$ будем обозначать замыкание $L_\infty$ в $E$. Если $E \neq L_\infty$, то $E_0$ – сепарабельное r.i. пространство. Для сепарабельности r.i. пространства $E$ необходимо и достаточно, чтобы норма любой функции из $E$ была абсолютно непрерывна, т.е.
$$
\begin{equation*}
\lim_{\operatorname{mes} e \to 0}\|x \chi_{e}\|_{E}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это условие эквивалентно равенству где $x^*$ – невозрастающая непрерывная слева перестановка функции $|x|$, которая равноизмерима с $|x|$ (см. [12; гл. II, § 2]). Двойственное (или ассоциированное) к r.i. пространству $E$ пространство $E'$ состоит из всех измеримых функций $y$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{E'}=\sup_{\|x\|_{E}\leqslant 1} \int_{0}^1 x(t)y(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $E'$ также является r.i. пространством. Если $E$ сепарабельно, то $E'$ совпадает с сопряженным пространством $E^*$. Пространство $E'$ максимально, т.е. из того, что $x_n\in E'$, $n=1,2,\dots$, $\sup_{n=1,2,\dots}\|x_n\|_{E'}<\infty$ и $x_n\to{x}$ п.в. на $[0,1]$, вытекает $x\in E'$ и $\|x\|_{E'}\leqslant \limsup_{n\to\infty}{\|x_n\|_{E'}}.$ Следуя [11], далее всюду будем предполагать, что r.i. пространство $E$ сепарабельно или максимально. Если $E_0$ и $E_1$ – r.i. пространства, то их пересечение $E_0\cap E_1$ и сумма $E_0+E_1$ также являются r.i. пространствами с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|x\|_{E_0\cap E_1}:=\max\bigl\{\|x\|_{E_0},\|x\|_{E_1}\bigr\}, \\ \|x\|_{E_0+E_1}:=\inf\bigl\{\|x_0\|_{E_0}+\|x_1\|_{E_1}\colon x=x_0+x_1, \,x_0\in E_0, \,x_1\in E_1\bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Приведем примеры r.i. пространств. Естественным обобщением пространств $L_p$, $1 \leqslant p < \infty$, являются пространства Орлича. Пусть $M(u)$ – непрерывная выпуклая возрастающая функция на $[0,\infty)$, $M(0) = 0$, $M(1) = 1$. Пространство Орлича $L_M$ можно определить как множество всех измеримых на $[0,1]$ функций, для которых конечна норма Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_M}:=\inf \biggl\{\lambda\colon \lambda>0, \, \int_{0}^{1} M\biggl(\frac{|x (t)|}{\lambda}\biggr)\,dt\leqslant 1 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $M(u) = u^p$, то $L_M = L_p$. Иначе то же пространство $L_M$ можно определить как множество всех измеримых на $[0,1]$ функций, для которых конечна норма Орлича
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}:=\sup \biggl\{\int_0^1 x(t)y(t)\,dt\colon \int_{0}^{1} \overline{M}(|x (t)|) \, dt \leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{M}$ – дополнительная функция к $M$, определяемая равенством Хорошо известно (см., например, [14; соотношение (9.24)]), что $\|x\|_{L_M}\leqslant \|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}\leqslant 2\|x\|_{L_M}$. Далее пространство Орлича, снабженное нормой $\|\cdot\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}$, будем обозначать через $L_M^{\mathrm{Or}}$. Всякое пространство $L_M$ максимально; оно сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$ удовлетворяет условию $\Delta_2^\infty$ ($M\in \Delta_2^\infty$), т.е. $M(2u) \leqslant CM(u)$ для некоторого $C>0$ и всех достаточно больших $u$. Обозначим через $\Omega$ множество непрерывных возрастающих вогнутых на $[0,1]$ функций $\varphi$ таких, что $\varphi(0)=0$, $\varphi(1)=1$, $\lim_{t \to 0} (\varphi(t)/t)=\infty$. Пространство Лоренца $\Lambda(\varphi)$ состоит из всех измеримых на $[0,1]$ функций, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{\Lambda(\varphi)}:=\int_{0}^{1} x^*(t)\,d\varphi(t)<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое пространство Лоренца максимально, сепарабельно, и сопряженным к пространству Лоренца $\Lambda(\varphi)$ является пространство Марцинкевича $M(\varphi)$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{M (\varphi)}:=\sup_{0<s \leqslant 1} \frac{1}{\varphi(s)} \int_{0}^{s} x^*(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $M(\varphi)$ максимально, несепарабельно, и $M(\varphi)' = \Lambda(\varphi)$ с совпадением норм. Его сепарабельное подпространство $(M (\varphi))_0$ совпадает со множеством $M_0(\varphi)$ всех $x\in M (\varphi)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to 0}\frac{1}{\varphi(s)} \int_{0}^{s} x^*(t) \, dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\phi_E(s):=\|\chi_e\|_E$, где $e\subset[0, 1]$ измеримо и $\operatorname{mes}(e)=s$, называется фундаментальной функцией r.i. пространства $E$. Она квазивогнута, т.е. $\phi_E(0)=0$, $\phi_E(s)$ возрастает, а функция $\phi_E(s)/s$ убывает. В частности, $\phi_{\Lambda(\varphi)}(s)=\varphi(s)$ и $\phi_{M(\varphi)}(s)=s/\varphi(s)$. Если $E$ – r.i. пространство, функция $x$ измерима на $[0,1]$, $y\in E$ и
$$
\begin{equation}
\int_0^\tau x^*(t)\, dt \leqslant \int_0^\tau y^*(t)\, dt
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для всех $\tau\in[0, 1]$, то $x\in E$ и $\|x\|_E\leqslant \|y\|_E$ (см. [11; предложение 2.a.8] или [12; теоремы II.4.3, II.4.9, II.4.10]). Неравенство (1.1) определяет отношение частичного порядка Харди–Литтлвуда $x\prec y$ в пространстве $L_1[0,1]$. В каждом r.i. пространстве $E$ ограниченно действуют операторы растяжения
$$
\begin{equation*}
\sigma_\tau x(t)=\begin{cases} x\biggl(\dfrac{t}{\tau}\biggr), & 0\leqslant t\leqslant\min(1,\tau), \\ 0, & \min(1,\tau)<t\leqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau>0$ (см. [12; теорема II.4.5]). Числа
$$
\begin{equation*}
\alpha_E=\lim_{\tau\to0} \frac{\ln\|\sigma_\tau\|_E}{\ln\tau}, \qquad \beta_E=\lim_{\tau\to\infty} \frac{\ln\|\sigma_\tau\|_E}{\ln\tau}
\end{equation*}
\notag
$$
называются индексами Бойда пространства $E$. Всегда $0\leqslant \alpha_E\leqslant \beta_E\leqslant1$. В частности, $\alpha_{L_p}=\beta_{L_p}=1/p$ для всех $p\in[1,\infty]$.
§ 2. Ортогональные элементы в пространствах Орлича и МарцинкевичаНачнем с изучения свойств множества ортогональных элементов в пространстве Орлича $L_M$, снабженном нормой Люксембурга $\|\cdot\|_{L_M}$. Заметим, что по определению
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{|x(t)|}{\|x\|_{L_M}}\biggr)\,dt \leqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $x \in L_{M}$ (см. также [14; гл. II, неравенство (9.21)]). Предположим, что $M\not\in \Delta_2^\infty$. Тогда пространство Орлича $L_M$ не сепарабельно (см. § 1), и поэтому $L_M\setminus (L_M)_0\ne\varnothing$. Пусть $x\in L_M\setminus (L_M)_0$. Тогда, как нетрудно показать, существует такое $\lambda>0$, что ${\displaystyle\int_0^1 M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr)\,dt=\infty}$. Действительно, если для произвольного $\lambda>0$
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr)\,dt<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
$$
\begin{equation*}
\lim_{\tau\to 0}\int_{0}^{\tau} M\biggl(\frac{x^*(t)}{\lambda}\biggr)\, dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому если $\tau>0$ достаточно мало, то $\|x^*\chi_{(0,\tau)}\|_{L_M}\leqslant \lambda$. Так как $\lambda$ может быть выбрано сколь угодно малым, то $x\in (L_M)_0$, что противоречит условию. Теорема 1. Пусть $M(u)$ – непрерывная выпуклая возрастающая функция на $[0,\infty)$, $M(0) = 0$, $M(1) = 1$, $M\not\in \Delta_2^\infty$ и $x\in L_M$. Тогда $x\in\mathcal{O}(L_M)$, если и только если Доказательство. Докажем сначала необходимость условия (2.1). Без ограничения общности считаем, что $x=x^*$. Тогда если предположить, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda_0}\biggr)\, dt<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $\lambda_0 <\|x\|_{L_M}$, то, как и ранее, для достаточно малых $\tau>0$
$$
\begin{equation*}
\|x\chi_{(0,\tau)}\|_{L_M}\leqslant\lambda_0<\|x\|_{L_M},
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в силу (0.1) $x\not\in\mathcal{O}(L_M)$.
Докажем обратное утверждение. Пусть (2.1) выполнено, но $x=x^*\not\in\mathcal{O}(L_M)$. Тогда если $\beta\,{:=}\,\|x\|_{L_M}$, то согласно (0.1) существует такое $\tau_0\,{\in}\, (0,1)$, что $\alpha:=\|x\chi_{(0,\tau_0)}\|_{L_M}<\beta$. Пусть $\lambda\in (\alpha,\beta)$. Так как функция $x\chi_{[\tau_0,1]}$ ограничена и $\lambda>\alpha$, то по определению нормы Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr)\, dt =\int_{0}^{\tau_0} M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr)\, dt +\int_{\tau_0}^{1} M\biggl(\frac{|x(t)|}{\lambda}\biggr)\, dt<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие с условием (2.1) завершает доказательство теоремы. Пусть по-прежнему $M\not\in \Delta_2^\infty$. Для любой функции $x\in L_M\setminus (L_M)_0$ положим
$$
\begin{equation*}
\mu(x):=\sup\biggl\{\mu>0\colon \int_0^1 M(\mu |x(t)|)\,dt<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, как известно (см. [14; § 8]), существуют функции $x\,{\in}\, L_M\,{\setminus}\, (L_M)_0$, как удовлетворяющие условию так и такие, что Покажем, что множество $L_M\setminus (L_M)_0$ является алгебраической суммой множества ортогональных элементов $\mathcal{O}(L_M)$ пространства $L_M$ и его сепарабельной части $(L_M)_0$. Теорема 2. Пусть $M\not\in \Delta_2^\infty$. Для каждой функции $x\in L_M\setminus (L_M)_0$ существуют функции $y\in\mathcal{O}(L_M)$ и $z\in (L_M)_0$ такие, что $x=y+z$. Доказательство. Предположим сначала, что функция $x$ удовлетворяет условию (2.2). Тогда если то $\|x\|_{L_M}=1/\mu(x)$, и по теореме 1 $x\in\mathcal{O}(L_M)$. В случае если для некоторого $L>0$ имеем Полагая $y:=x\chi_{\{t\colon |x(t)|>L\}}$ и $z:=x\chi_{\{t\colon |x(t)|\leqslant L\}}$, получим $x=y+z$, $z\in L_\infty\subset(L_M)_0$ и (снова по теореме 1) $y\in\mathcal{O}(L_M)$.
Пусть теперь выполнено (2.3). Предположим сначала, что $x=x^*$. Докажем, что существует функция $0\leqslant \alpha(t)\leqslant 1$ такая, что $\lim_{t\to 0}\alpha(t)=0$ и Действительно, по условию можно найти последовательность $\{t_n\}_{n=1}^\infty$ такую, что $t_n\downarrow 0$ и
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t_n}M\biggl(\mu(x)\biggl(1-\frac 1n\biggr)x(t)\biggr)\,dt<2^{-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\alpha(t):=1/n$ для $t_{n+1}<t\leqslant t_n$ и $\alpha(t):=0$, если $t_{1}<t\leqslant 1$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 M(\mu(x)(1-\alpha(t))x(t))\,dt =\sum_{n=1}^\infty \int_{t_{n+1}}^{t_n} M\biggl(\mu(x)\biggl(1-\frac1n\biggr)x(t)\biggr)\,dt \\ &\qquad\qquad + \int_{t_{1}}^{1} M(\mu(x)x(t))\,dt<1+\int_{t_{1}}^{1} M(\mu(x)x(t))\,dt<\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и так как $\lim_{t\to 0}\alpha(t)=0$, то (2.4) доказано.
Обозначим $u(t):=(1-\alpha(t))x(t)$. Для произвольного $\tau>\mu(x)$ существует такое $\delta>0$, что $(1-\alpha(t))\tau>\mu(x)$ для всех $t\in (0,\delta)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M(\tau(1-\alpha(t))x(t))\,dt\geqslant \int_0^\delta M(\tau(1-\alpha(t))x(t))\,dt\geqslant \int_0^\delta M(\mu(x)x(t))\,dt=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (2.4), отсюда заключаем, что функция $u(t)$ удовлетворяет условию (2.2). Следовательно, по доказанному ранее $u=y+z_1$, где $y\in\mathcal{O}(L_M)$, $z_1\in (L_M)_0$. В то же время для каждого $\tau>0$ найдется такое $\delta_1>0$, что $\alpha(t)\tau<\mu(x)/2$ для всех $t\in (0,\delta_1)$. Так как тогда
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 M(\tau\alpha(t)x(t))\,dt\leqslant \int_0^{\delta_1} M\biggl(\frac{\mu(x)x(t)}2\biggr)\,dt+\int_{\delta_1}^1 M(\tau x(t))\,dt<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то, как было замечено, функция $\alpha(t) x(t)$ принадлежит пространству $(L_M)_0$. В итоге $x=y+z$, где $y\in\mathcal{O}(L_M)$, $z:=z_1+\alpha x\in (L_M)_0$.
Рассмотрим, наконец, общий случай, когда функция $x$ удовлетворяет условию (2.3). Ясно, что тогда то же самое условие выполнено для $x^*$, и, значит, как уже доказано, $x^*=y'+z'$, где $y'\in\mathcal{O}(L_M)$, $z'\in (L_M)_0$. Как известно, существует сохраняющее меру преобразование $\omega\colon [0,1]\to [0,1]$ такое, что $x=x^*(\omega)$ (см. [13; теорема 2.7.5]). Таким образом, $x=y+z$, где $y:=y'(\omega)\in\mathcal{O}(L_M)$ и $z:=z'(\omega)\in (L_M)_0$. Теорема 2 доказана. Замечание 1. Представление элемента $x\in L_M\setminus (L_M)_0$ в виде суммы $x=y+z$, где $y\in\mathcal{O}(L_M)$, $z\in (L_M)_0$, конечно, не единственно. Однако оно единственно с точностью до элемента из пространства $(L_M)_0$. Действительно, если имеется еще одно представление $x=y_1+z_1$, $y_1\in\mathcal{O}(L_M)$, $z_1\in (L_M)_0$, то $y-y_1=z_1-z\in (L_M)_0$. Результат теоремы 2 делает естественным введение следующего определения. Обозначим через $\mathcal D$ класс всех несепарабельных r.i. пространств $E$ таких, что $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$ и для каждого $x\in E\setminus E_0$ имеет место представление $x=y+z$, где $y\in\mathcal{O}(E)$ и $z\in E_0$. Согласно теореме 2 всякое несепарабельное пространство Орлича с нормой Люксембурга принадлежит классу $\mathcal D$. Покажем, что ситуация совершенно иная, если пространство Орлича рассматривать с нормой Орлича $\|\cdot\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}$ (см. § 1); этот факт является конкретной иллюстрацией предложения 2 из работы [9], приведенного во введении. Теорема 3. Пусть $M(u)$ – непрерывная выпуклая возрастающая функция на $[0,\infty)$, $M(0) = 0$, $M(1) = 1$, $M\not\in \Delta_2^\infty$. Тогда $\mathcal{O}(L_M^{\mathrm{Or}})=\varnothing$. Доказательство. Достаточно проверить, что любая функция $x\,{=}\,x^*\,{\in}\, L_M$, $x\ne 0$, не принадлежит множеству $\mathcal{O}(L_M^{\mathrm{Or}})$. Далее мы используем следующее равенство для нормы Орлича (см. [14; теорема 10.5]):
Пусть $a:=\|x\|_{L_M}$. Тогда если $s\leqslant 1/(3a)$, то $U(x;s)\geqslant 3a$. Поэтому, так как $\|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}\leqslant 2\|x\|_{L_M}=2a$ (см. [14; формула (9.24)]), то в (2.5) достаточно брать точную нижнюю грань по $s\geqslant1/(3a)$. Следовательно, для пока произвольного $\varepsilon>0$ можно выбрать $s_0\geqslant 1/(3a)$ так, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}} &\geqslant U(x;s_0)-\varepsilon =\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_0}\int_{0}^{1} M(s_0x(t))\, dt-\varepsilon \\ &=\frac{1}{s_0}+\frac{3a}{3as_0}\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{3as_0}{3a}x(t)\biggr)\, dt-\varepsilon \geqslant \frac{1}{s_0}+3a\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{x(t)}{3a}\biggr)\, dt-\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем неравенстве используется выпуклость функции $M$. Так как ${\displaystyle\delta:=3a\int_{0}^{1} M\biggl(\frac{x(t)}{3a}\biggr)\, dt>0}$, то, выбирая $\varepsilon<\delta/2$, получим
$$
\begin{equation}
\|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}>\frac{1}{s_0}+\frac{\delta}{2}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В то же время в силу (2.5) для произвольного $h\in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\|x\chi_{(0,h)}\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}=\inf_{s>0}{U(x\chi_{(0,h)};s)}\leqslant U(x\chi_{(0,h)};s_0)=\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_0}\int_{0}^{h} M(s_0x(t))\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\displaystyle\int_{0}^{1} M(s_0x(t))\, dt<\infty$, то существует такое $h_0\in (0,1)$, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{h_0} M(s_0x(t))\, dt\leqslant \frac{s_0\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из предыдущего неравенства следует
$$
\begin{equation*}
\|x\chi_{(0,h_0)}\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}\leqslant\frac{1}{s_0}+\frac{\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставляя это неравенство с (2.6), получаем, что $ \|x\chi_{(0,h_0)}\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}<\|x\|_{L_M}^{\mathrm{Or}}$, и значит, в силу (0.1) $x\not\in\mathcal{O}(L_M^{\mathrm{Or}})$. Теорема доказана. Замечание 2. Пусть $M\not\in \Delta_2^\infty$. Теоремы 2 и 3 показывают существенное различие аппроксимативных свойств подпространств $(L_M)_0$ и $(L_M^{\mathrm{Or}})_0$. Если $(L_M)_0$ – подпространство существования в пространстве Орлича $L_M$ с нормой Люксембурга (т.е. для всякого элемента из $L_M\setminus (L_M)_0$ в $(L_M)_0$ существует элемент наилучшего приближения), то $(L_M^{\mathrm{Or}})_0$ – антипроксиминальное подпространство в этом же пространстве $L_M^{\mathrm{Or}}$, но с нормой Орлича (т.е., напротив, для любого элемента из $L_M^{\mathrm{Or}}\setminus (L_M^{\mathrm{Or}})_0$ в $(L_M^{\mathrm{Or}})_0$ нет ближайшего элемента). Для пространств Марцинкевича $M(\varphi)$ множество $\mathcal{O}(M(\varphi))$ может быть охарактеризовано следующим образом. Теорема 4. Пусть $\varphi\,{\in}\,\Omega$ и $x\,{\in}\,M(\varphi)$. Для того чтобы выполнялось $x\in \mathcal{O}(M(\varphi))$, необходимо и достаточно существование такой последовательности $t_k \to 0$, что Доказательство. Согласно определению нормы в пространстве Марцинкевича (2.7) выполняется тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{M(\varphi)}=\limsup_{s\to 0} \frac{1}{\varphi(s)} \int_{0}^{s} x^{*}(t)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как это условие эквивалентно тому, что $\|x\|_{M(\varphi)}=\|x^*\chi_{(0,\tau)}\|_{M(\varphi)}$ для любого $\tau\in (0,1)$, то нужный результат следует из (0.1). Теорема доказана. Как легко видеть, $\varphi '\in \mathcal{O}(M(\varphi))$ для каждой функции $\varphi \in \Omega $. Следовательно, $\mathcal{O}(M(\varphi))\ne\varnothing$ для любого пространства Марцинкевича. В то же время следующая проблема остается открытой. Проблема 1. При каком условии на функцию $\varphi \in \Omega $ пространство Марцинкевича $M(\varphi)$ принадлежит ранее определенному классу $\mathcal D$? § 3. Ортогональные элементы и двойственностьРассмотрим вопрос: существуют ли такие r.i. пространства $E$, что одновременно $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$ и $\mathcal{O}(E')\ne\varnothing$? Прежде всего заметим, что всякое пространство Орлича, рассматриваемое с нормой Люксембурга, не является таковым. Действительно, в этом случае $E'$ – пространство Орлича с нормой Орлича, построенное по дополнительной функции (см. [14; гл. II, соотношение (9.25)]), и тогда, как следует из теоремы 3, $\mathcal{O}(E')=\varnothing$. Тем не менее, как показывает следующий результат, ответ на поставленный выше вопрос положителен. Теорема 5. Пусть функции $\varphi, \psi \in \Omega $ удовлетворяют условиям где $\varphi '$ и $\psi '$ – производные функций $\varphi$ и $\psi$. Тогда если $E:=M(\varphi)\cap\Lambda(\psi)$, то оба пространства $E$ и $E'$ содержат ортогональные элементы. Заметим, что в силу [12; лемма II.5.2] вложение $\Lambda(\psi)\subset M(\varphi)$ справедливо тогда и только тогда, когда $t/\varphi(t)\leqslant C\psi(t)$ для некоторого $C>0$ и всех $0<t\leqslant 1$. В свою очередь, если $ M(\varphi)\subset\Lambda(\psi)$, то ввиду принадлежности функции $\varphi'$ к пространству $M(\varphi)$ Таким образом, условия (3.1) и (3.2) означают, что ни одно из этих вложений не выполнено, и, значит, пространства $M(\varphi)\,{\cap}\,\Lambda(\psi)$ и $M(\varphi)\,{+}\,\Lambda(\psi)$ не совпадают ни с $M(\varphi)$, ни с $\Lambda(\psi)$.Докажем сначала две леммы. Лемма 1. Пусть функции $\varphi, \psi \in \Omega $ удовлетворяют условию (3.1). Тогда существует $x\in \mathcal{O}(M(\varphi)\cap\Lambda(\psi))$. Доказательство. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
x(t):=\sum_{k=1}^\infty\frac{\varphi(t_k)-\varphi(t_{k+1})}{t_k-t_{k+1}}\chi_{(t_{k+1},t_k]}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где последовательность чисел $t_k\downarrow 0$ будет построена индуктивно. Прежде всего заметим, что в силу вогнутости функции $\varphi$ последовательность чисел $(\varphi(t_k)-\varphi(t_{k+1}))/(t_k-t_{k+1})$ монотонно возрастает, и, значит, $x=x^*$. Кроме того, как легко проверить, для каждой такой последовательности $\{t_k\}$ имеем $\|x\chi_{[0,\tau)}\|_{M(\varphi)}=1$, $0<\tau<1$. Поэтому в силу соотношения (0.1) $x\in \mathcal{O}(M(\varphi))$, а также
Благодаря соотношению (3.1) точку $t_1$ можно выбрать так, что Далее, в силу непрерывности функций $\varphi$, $\psi$ и того, что $\varphi(0)=\psi(0)=0$, найдется такое $t_2\in (0,t_1)$, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(\varphi(t_1)-\varphi(t_{2}))(\psi(t_1)-\psi(t_{2}))}{t_1-t_{2}}<\frac12, \qquad \frac{\varphi(t_2)\psi(t_2)}{t_2}<\frac14.
\end{equation*}
\notag
$$
Если числа $0\,{<}\,t_{m-1}\,{<}\,{\cdots}\,{<}\,t_1$, $m\,{\in}\,\mathbb{N}$, уже определены, то $t_m\in (0,t_{m-1})$ выберем так, что
$$
\begin{equation}
\frac{(\varphi(t_{m-1})-\varphi(t_{m}))(\psi(t_{m-1})-\psi(t_{m}))}{t_{m-1}-t_{m}}<2^{-m+1}, \qquad \frac{\varphi(t_m)\psi(t_m)}{t_m}<2^{-m}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Заметим, что из (3.4) следует сходимость ряда (3.3), а также неравенство $\|x\|_{\Lambda(\psi)}<1$. Следовательно, так как $\|x\|_{M(\varphi)}=1$ и $x\in \mathcal{O}(M(\varphi))$, имеем
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{M(\varphi)\cap\Lambda(\psi)}=\|x\chi_{[0,\tau]}\|_{M(\varphi)\cap\Lambda(\psi)}=1
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\tau\in (0,1]$. Опять в силу (0.1) это означает, что $x\in \mathcal{O}(M(\varphi)\cap\Lambda(\psi))$. Лемма доказана. Лемма 2. Если функции $\varphi, \psi \in \Omega $ удовлетворяют условию (3.2), то $\varphi '\in \mathcal{O}(M(\varphi)+\Lambda(\psi))$. Доказательство. Заметим, что $\|\varphi '\|_{M(\varphi)+\Lambda(\psi)}\leqslant \|\varphi '\|_{M(\varphi)}=1$. Поэтому, в очередной раз учитывая (0.1), для доказательства леммы достаточно показать, что
Итак, пусть $0<\tau\leqslant 1$. По определению нормы в пространстве $M(\varphi)+\Lambda(\psi)$ для каждого $\varepsilon>0$ существуют функции $u\in M(\varphi)$ и $v\in \Lambda(\psi)$ такие, что $\varphi '\chi_{[0,\tau]}=u+v$ и
$$
\begin{equation}
\|\varphi '\chi_{[0,\tau]}\|_{M(\varphi)+\Lambda(\psi)}\geqslant \|u\|_{M(\varphi)}+\|v\|_{\Lambda(\psi)}-\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
При этом, так как $M(\varphi)$ и $\Lambda(\psi)$ – это r.i. пространства, можно считать, что $0\leqslant u,v\leqslant \varphi '\chi_{[0,\tau]}$.
Предполагая, что $\|u\|_{M(\varphi)}:=\alpha<1$, в силу свойств невозрастающей перестановки (см., например, [12; гл. II, § 2]) получим
$$
\begin{equation*}
\int_0^s u(t)\,dt\leqslant \int_0^s u^*(t)\,dt\leqslant\alpha \varphi(s)=\alpha \int_0^s\varphi '(t)\,dt, \qquad 0<s\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всех $0<s\leqslant \tau$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^s v^*(t)\,dt &\geqslant \int_0^s v(t)\,dt= \varphi(s)-\int_0^s u(t)\,dt \\ &\geqslant\int_0^s (\varphi '(t)-\alpha \varphi '(t))\,dt= (1-\alpha)\int_0^s\varphi '(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $(1-\alpha)\varphi '\chi_{[0,\tau)} \prec v$, и так как $v\in \Lambda(\psi)$, то отсюда следует, что $\varphi '\in \Lambda(\psi)$ (см. [11; предложение 2.a.8] или § 1). Поскольку это противоречит условию (3.2), получаем, что $\|u\|_{M(\varphi)}\geqslant 1$. Следовательно, в силу неравенства (3.6) $\|\varphi '\chi_{[0,\tau]}\|_{M(\varphi)+\Lambda(\psi)}\geqslant 1-\varepsilon$. Так как $\varepsilon>0$ произвольно и $\|\varphi '\chi_{[0,\tau]}\|_{M(\varphi)+\Lambda(\psi)}\leqslant 1$, то (3.5) доказано. Лемма доказана. Доказательство теоремы 5. Хорошо известно (см., например, [12; теоремы II.5.2 и II.5.4]), что пространство $E':=(M(\varphi)\cap\Lambda(\psi))'$ изометрично пространству $M(\varphi)'+\Lambda(\psi)'=\Lambda(\varphi)+M(\psi)$. Так как в силу условий (3.1) и (3.2) ни одно из вложений $\Lambda(\psi)\subset M(\varphi)$ и $ M(\varphi)\subset\Lambda(\psi)$ не имеет места (см. замечание сразу после формулировки теоремы), то же самое справедливо относительно вложений $\Lambda(\varphi)\subset M(\psi)$ и $ M(\psi)\subset\Lambda(\varphi)$ (это вытекает также из соотношений (3.1) и (3.2)). Следовательно, осталось применить леммы 1 и 2. Теорема доказана.
§ 4. Сужения ортогональных элементов на подмножества $[0,1]$Как упоминалось во введении, множество $\mathcal{O}(E)$ неустойчиво относительно эквивалентных r.i. преобразований нормы. В то же время следующий результат показывает, что оно обладает стабильностью относительно сужений его элементов на подмножества $[0,1]$, удовлетворяющие дополнительным условиям. Теорема 6. Пусть $E$ – несепарабельное r.i. пространство, $x=x^*\in\mathcal{O}(E)$. Если $0$ – точка плотности измеримого множества $e \subset[0,1]$, то $x \chi_{e} \in \mathcal{O}(E)$. Для доказательства этой теоремы нам понадобится Лемма 3. Пусть $x=x^*\in L_1$, множество $e\subset [0,1]$ таково, что $0$ – его точка плотности, и $\varepsilon>0$. Тогда существуют $\alpha>0$ и функция $z$, которая равноизмерима с функцией $\sigma_{1+\varepsilon}(x\chi_e)$, такие, что $z\geqslant x\chi_{(0,\alpha)}$. Доказательство. Так как $0$ – точка плотности множества $e\subset [0,1]$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to 0}\frac1s \operatorname{mes}(e\cap (0,s))=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для некоторого $\alpha>0$ и всех $0<s\leqslant \alpha$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(e\cap (0,s))\geqslant \frac{s}{1+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу монотонности $x$ можно считать, что для каждого $\tau>0$ выполнено равенство $\{t\colon x\chi_{(0,\alpha)}(t)\,{>}\,\tau\}\,{=}\,(0,s_\tau)$, где $0\,{\leqslant}\, s_\tau\,{\leqslant}\,\alpha$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{mes}\{t\colon \sigma_{1+\varepsilon}(x\chi_{e})(t)>\tau\} =(1+\varepsilon)\operatorname{mes}\{t\colon x\chi_{e}(t)>\tau\} \\ &\qquad\geqslant (1+\varepsilon)\operatorname{mes} (e\cap (0,s_\tau))\geqslant s_\tau =\operatorname{mes}\{t\colon x\chi_{(0,\alpha)}(t)>\tau\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $z\,{:=}\,(\sigma_{1+\varepsilon}(x\chi_{e}))^*$ обладает требуемыми свойствами. Лемма доказана. Доказательство теоремы 6. Для произвольных $\varepsilon,\tau>0$ по лемме 3 найдем такие $\alpha>0$ и функцию $z$, что функции $\sigma_{1+\varepsilon}(x\chi_{0,\tau)\cap e})$ и $z$ равноизмеримы и $z\geqslant x\chi_{(0,\alpha)\cap (0,\tau)}$. Тогда, так как $\|\sigma_s\|_{E}\leqslant s$ для $s\geqslant 1$ (см. [12; теорема II.4.5]), получаем
$$
\begin{equation*}
(1+\varepsilon)\|x\chi_{(0,\tau)\cap e}\|_E\geqslant \|z\|_E\geqslant \|x\chi_{(0,\alpha)\cap (0,\tau)}\|_E= \|x\chi_{(0,\min(\alpha,\tau))}\|_E.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что $x=x^*\in\mathcal{O}(E)$, согласно (0.1) отсюда следует
$$
\begin{equation*}
(1+\varepsilon)\|x\chi_{(0,\tau)\cap e}\|_E\geqslant \|x\|_E.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым с учетом произвольности $\varepsilon>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|(x\chi_{e})^*\chi_{(0,\tau)}\|_E\geqslant \|x\chi_{(0,\tau)\cap e}\|_E\geqslant \|x\chi_{e}\|_E
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\tau\in (0,1)$. Так как противоположное неравенство очевидно, то, в очередной раз применяя (0.1), заключаем, что $x \chi_{e} \in \mathcal{O}(E)$. Теорема доказана. Предположение о том, что $0$ – точка плотности множества $e \subset[0,1]$, в теореме 6 существенно. Тем не менее для пространств Марцинкевича справедлива Теорема 7. Пусть $\varphi \in \Omega$ удовлетворяет дополнительному условию и $\varepsilon>0$. Тогда существуют функция $x =x^*\in\mathcal{O}(M(\varphi))$ и множество $e \subset[0,1]$ такие, что внешняя плотность $e$ в $0$ меньше $\varepsilon$ и $x\chi_e \in \mathcal{O}(M(\varphi))$. Доказательство. Пусть $m\in\mathbb{N}$ таково, что $1/m<\varepsilon$. Положим
$$
\begin{equation*}
x(t):=\sum_{k=1}^\infty 2^{k}(\varphi(2^{-k+1})-\varphi(2^{-k}))\chi_{(2^{-k},2^{-k+1})}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\varphi \in \Omega$, то $x =x^*$. Отсюда в силу теоремы 4 следует, что $x\in\mathcal{O}(M(\varphi))$. Покажем, что аналогичным свойством обладает также функция $\sigma_{1/m}x$.
Как нетрудно проверить, из равенства (4.1) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(nt)}{\varphi(t)}=n \quad\text{для каждого }\ n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Поэтому, так как функция $\sigma_{1/m}x(s)$ убывает, с учетом определения функции $x$ для любого $h\in (0,1)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma_{1/m}x\chi_{(0,h)}\|_{M(\varphi)} &=\sup_{0<t<h}\frac{1}{\varphi(t)}\int_0^t\sigma_{1/m}x(s)\,ds \\ &=\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(mt)}{m\varphi(t)}\cdot\lim_{t\to 0}\frac{1}{\varphi(mt)}\int_0^{mt}x(s)\,ds=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу (0.1) $\sigma_{1/m}x\in\mathcal{O}(M(\varphi))$.
Если теперь то функции $x\chi_e$ и $\sigma_{1/m}x$ равноизмеримы. Значит, $x\chi_e \in \mathcal{O}(M(\varphi))$. Так как из определения множества $e$ следует, что его внешняя плотность в $0$ равна $1/m$, то теорема доказана.Рассмотрим теперь в определенном смысле противоположную ситуацию. Теорема 8. Пусть $E$ – такое r.i. пространство на $[0,1]$, что $\alpha_E>0$. Предположим, что $0$ – точка разреженности множества $a\subset [0,1]$. Тогда если $x =x^*\in E$, то функция $x\chi_a$ принадлежит пространству $E_0$. Доказательство. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ найдется такое $\varepsilon>0$, что
$$
\begin{equation*}
(x\chi_a)^*(t)\chi_{(0,\varepsilon)}(t)\leqslant \sigma_{1/n} x(t), \qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому Так как по условию $\alpha_E>0$, то предел в правой части последнего неравенства равен нулю. Следовательно, откуда $x\chi_a\in E_0$. Теорема доказана. Следующее утверждение показывает, что условие $\alpha_E>0$ в последней теореме существенно. Теорема 9. Предположим, что функция $\varphi \in \Omega $ удовлетворяет условию (4.1). Тогда существуют функция $x =x^*\in M(\varphi)$ и множество $a\subset [0,1]$ такие, что $0$ – точка разреженности $a$ и $x\chi_a\not\in M_0(\varphi)$. Доказательство. Прежде всего, справедливо следующее утверждение: если $u\in M_0(\varphi)$ и последовательность функций $\{v_n\}_{n=1}^\infty\subset M(\varphi)$ такова, что $\|v_n\|_{M(\varphi)}=1$ и
то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\|u+v_n\|_{M(\varphi)}\leqslant\max(\|u\|_{M(\varphi)},1).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Действительно, в силу леммы 2 из работы [16] для любого $m\in\mathbb{N}$ и всех достаточно больших $n\in\mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|u+v_n\|_{M(\varphi)}\leqslant \biggl(1+\frac 1m\biggr)\max(\|u\|_{M(\varphi)},1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\|u+v_n\|_{M(\varphi)}\leqslant\biggl(1+\frac 1m\biggr)\max(\|u\|_{M(\varphi)},1)
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного $m\in\mathbb{N}$, и тем самым (4.3) доказано. Далее, в силу соотношения (4.2) существуют числа $\beta_n$, $n=1,2,\dots$, такие, что $0<\beta_n\leqslant 1$, $\lim_{n\to\infty}n\beta_n=0$, $n\beta_n>(2n+1)\beta_{n+1}$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi(nt)>\frac12 n\varphi(t), \qquad 0<t\leqslant\beta_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь $I_n=(\alpha_n,\beta_n)$, где $\alpha_n:=(n\,{+}\,1)\beta_{n+1}/n$, $n=1,2,\dots$, то, как нетрудно проверить, $\beta_1>\alpha_1=2\beta_2>2\alpha_2=3\beta_3>\dotsb$, $\beta_1-\alpha_1>\beta_2-\alpha_2>\dotsb$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma_n\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)} &=\|\chi_{(n\alpha_n,n\beta_n)}\|_{M(\varphi)} =\frac{n(\beta_n-\alpha_n)}{\varphi(n(\beta_n-\alpha_n))} \\ &< 2\frac{\beta_n-\alpha_n}{\varphi(\beta_n-\alpha_n)}=2\|\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)}, \qquad n=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть числа $\delta_n>0$ таковы, что $\prod_{n=1}^\infty (1+\delta_n)<2$. Тогда, применяя индуктивно неравенство (4.3) и переходя, если необходимо, к подходящей подпоследовательности последовательности $(\beta_n)$, можно дополнительно предположить, что для каждого $k\in\mathbb {N}$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{n=1}^k\frac{\sigma_n\chi_{I_n}} {\|\sigma_n\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)}}\biggr\|_{M(\varphi)}<\prod_{n=1}^k(1+\delta_n)<2.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, из последних соотношений следует, что функция
$$
\begin{equation*}
x(t):= \sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_n\chi_{I_n}(t)}{\|\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)}}, \qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
убывает и принадлежит пространству $M(\varphi)$.
Полагая
$$
\begin{equation*}
a:=\bigcup_{n=1}^\infty ((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n),
\end{equation*}
\notag
$$
покажем, что $0$ – точка разреженности этого множества. В самом деле, пусть сначала $(n\,{-}\,1)\beta_n\,{+}\,\alpha_n<s\leqslant n\beta_n$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$. Тогда $s-(n-1)\beta_n\leqslant s/n$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mes}(a\cap (0,s)) &= \sum_{k=n+1}^\infty (\beta_k-\alpha_k)+(s-(n-1)\beta_n-\alpha_n) \\ &\leqslant \frac1n\biggl(\sum_{k=n+1}^\infty k(\beta_k-\alpha_k)+s-n\alpha_n\biggr)=\frac{s}{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $n\alpha_n=(n+1)\beta_{n+1}\leqslant s\leqslant (n-1)\beta_n+\alpha_n$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mes}(a\cap (0,s)) &= \sum_{k=n+1}^\infty (\beta_k-\alpha_k)\leqslant \frac{1}{n+1}\sum_{k=n+1}^\infty k(\beta_k-\alpha_k) \\ &=\frac{1}{n+1}\sum_{k=n+1}^\infty (k\beta_k-(k+1)\beta_{k+1})=\beta_{n+1}\leqslant \frac{s}{n+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как из $s\to 0$ следует, что $n\to\infty$, отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to 0}\frac1s\operatorname{mes}(a\cap(0,s))=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $0$ – точка разреженности множества $a$.
И наконец, поскольку $(n\alpha_n,n\beta_n)\supset ((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n)$ и $n\beta_n-(n-1)\beta_n-\alpha_n=\beta_n-\alpha_n$, то согласно определениям функции $x$ и множества $a$ для всех $n=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(x\chi_a)\chi_{((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n)}\|_{M(\varphi)} =\|x\chi_{((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n)}\|_{M(\varphi)} \\ &\qquad=\biggl\|\frac{\sigma_n\chi_{I_n}(t)}{\|\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)}}\cdot \chi_{((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n)}\biggr\|_{M(\varphi)} =\frac{\|\chi_{((n-1)\beta_n+\alpha_n,n\beta_n)}\|_{M(\varphi)}}{\|\chi_{I_n}\|_{M(\varphi)}}=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из того, что $\lim_{n\to\infty}(\beta_n-\alpha_n)=0$, следует $x\chi_a\not\in M_0(\varphi)$. Теорема 9 доказана. § 5. Об одном геометрическом свойстве r.i. пространств, содержащих ортогональные элементыХорошо известно (см., например, [11; предложение 1.a.7]), что каждое несепарабельное r.i. пространство содержит подпространство, порожденное дизъюнктными функциями, которое изоморфно $l_\infty$. Покажем, что более сильное утверждение справедливо для таких r.i. пространств $E$, что $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$. Предложение 1. Предположим, что $E$ – несепарабельное r.i. пространство, $\mathcal{O}(E)\ne\varnothing$. Тогда для каждой последовательности $\delta_k\downarrow 0$ существуют попарно дизъюнктные функции $x_k$, $k=1,2,\dots$, такие, что для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$ Доказательство. Пусть $x=x^*\in \mathcal{O}(E)$, $\|x\|_E=1$. Так как $E$ не сепарабельно, то оно максимально (см. § 1). Поэтому существует $h_1\in (0,1)$ такое, что Аналогично, учитывая, что в силу (0.1) $\|x\chi_{(0,h_1)}\|=1$, получим для некоторого $h_2\in (0,h_1)$. Рассуждая таким образом далее, найдем убывающую последовательность положительных чисел $(h_k)_{k=0}^\infty$, $h_0=1$, такую, что Тогда если $x_k:=(1+\delta_k)x\chi_{(h_k,h_{k-1})}$, $k=1,2,\dots$, то $\|x_k\|\geqslant 1$, и поэтому Напомним следующее определение (см. [17]). Говорят, что банахово пространство $X$ содержит асимптотически изометрическую копию пространства $l_\infty$, если существуют последовательность $\{x_k\}_{k=1}^\infty\subset X$ и положительные числа $\delta_k$, $k=1,2,\dots$, такие, что $\lim_{k\to\infty}\delta_k=0$ и для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\sup_{k=1,2,\dots}|a_k|\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_kx_k\biggr\| \leqslant \sup_{k=1,2,\dots}(1+\delta_k)|a_k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие. Если $E$ – такое несепарабельное r.i. пространство, что $\mathcal{O}(E)\ne \varnothing$, то $E$ содержит асимптотически изометрическую копию пространства $l_\infty$. § 6. Максимальные ортогональные элементыОбозначим через $\mathcal{O}_1(E)$ множество всех таких ортогональных элементов $x$ в r.i. пространстве $E$, что $x=x^*$ и $\|x\|_E=1$. Пусть $\varphi\in\Omega$. Покажем, что всякое непустое подмножество $F$ множества $\mathcal{O}_1(M(\varphi))$ ограничено относительно частичного порядка Харди–Литтлвуда $x\prec y$, определенного в § 1, а также что его точная верхняя грань $\operatorname{\mathbf{sup}}_{x\in F}x$ относительно этого порядка существует и принадлежит множеству $\mathcal{O}_1(M(\varphi))$. Прежде всего напомним, что каждая квазивогнутая функция $f$ на $[0,1]$ имеет минимальную вогнутую мажоранту $Rf$, причем $f(t)\leqslant Rf(t)\leqslant 2f(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$ (см., например, [12; следствие после теоремы II.1.1]). Пусть $F\subset\mathcal{O}_1(M(\varphi))$. Тогда для каждой функции $x\in F$
$$
\begin{equation*}
\int_0^t x(s)\,ds\leqslant \varphi(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и функция квазивогнута. Положим
$$
\begin{equation*}
{\mathcal U}_F(t):=\frac{d}{dt}\biggl( R\sup_{x\in F}\int_0^t x(s)\,ds\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2. Для любого непустого множества $F\subset\mathcal{O}_1(M(\varphi))$ имеем ${\mathcal U}_F=\operatorname{\mathbf{sup}}_{x\in F}x$ и ${\mathcal U}_F\in \mathcal{O}_1(M(\varphi))$. В частности, $\operatorname{\mathbf{sup}}_{x\in \mathcal{O}_1(M(\varphi))}x=\varphi '$. Доказательство. Пусть $x\in F$. Тогда неравенство $x\prec {\mathcal U}_F$ вытекает из определения функции ${\mathcal U}_F$. Если
для всех $x\in F$, то в силу вогнутости функции $\displaystyle t\mapsto \int_0^t y^*(s)\,ds$, $0\leqslant t\leqslant 1$, получаем
$$
\begin{equation*}
R\sup_{x\in F}\int_0^t x(s)\,ds\leqslant\int_0^t y^*(s)\,ds, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как последнее соотношение эквивалентно тому, что ${\mathcal U}_F\prec y$, отсюда следует равенство ${\mathcal U}_F=\operatorname{\mathbf{sup}}_{x\in F}x$. Для доказательства второго утверждения предложения заметим, что из условия $x\in \mathcal{O}_1(M(\varphi))$ следует для всех $0\leqslant t\leqslant 1$. Отсюда, как и ранее, получаем
$$
\begin{equation*}
G(t):=R\sup_{x\in F}\int_0^t x(s)\,ds\leqslant\varphi(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентно, ${\mathcal U}_F\prec \varphi '$, откуда $\|{\mathcal U}_F\|_{M(\varphi)}\leqslant 1$. С другой стороны, имеем $\|{\mathcal U}_F\|_{M(\varphi)}\geqslant \|x\|_{M(\varphi)}=1$ для каждой $x\in F$. Таким образом, $\|{\mathcal U}_F\|_{M(\varphi)}=1$. Кроме того, так как $G(t)$ – возрастающая вогнутая функция, то ${\mathcal U}_F$ неотрицательна и убывает. Наконец, по определению для каждого $0<h<1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|{\mathcal U}_F\chi_{[0,h]}\|_{M(\varphi)}\geqslant \sup_{0<t\leqslant h}\frac{1}{\varphi(t)}\sup_{x\in F}\int_0^t x(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для произвольной функции $x\in F$
$$
\begin{equation*}
\|{\mathcal U}_F\chi_{[0,h]}\|_{M(\varphi)}\geqslant \sup_{0<t\leqslant h}\frac{1}{\varphi(t)}\int_0^t x(s)\chi_{[0,h]}(s)\,ds=\|x\chi_{[0,h]}\|_{M(\varphi)}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $x\in \mathcal{O}(M(\varphi))$. В итоге ${\mathcal U}_F\in \mathcal{O}_1(M(\varphi))$. Равенство $\operatorname{\mathbf{sup}}_{x\in \mathcal{O}_1(M(\varphi))}x=\varphi '$ вытекает из предыдущих рассуждений и того, что функция $\varphi '$ принадлежит множеству $\mathcal{O}_1(M(\varphi))$. Предложение доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AstSem21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|