| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Критерий гиперболичности одного класса диффеоморфизмов на бесконечномерном торе С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9535 
Реферативные базы данных:
     § 1. Основные результаты1.1. Определение бесконечномерного тораИстория развития гиперболической теории и основные ее достижения подробно описаны в обзоре [1] и монографиях [2], [3]. В настоящей статье некоторые результаты этой теории, касающиеся диффеоморфизмов тора, распространяются на бесконечномерный случай. Для формулировки наших результатов сначала необходимо ввести понятие бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Поскольку это понятие является новым, то ниже приводится его подробное описание. Прежде всего фиксируем некоторое бесконечномерное вещественное банахово пространство $E$ с нормой $\|\cdot\|$. Бесконечномерной целочисленной решеткой (или просто целочисленной решеткой) назовем непустое подмножество $\mathbb{Z}^{\infty}\subset E$, обладающее следующими свойствами. 1) Имеет место свойство линейности: для любых $l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$, $k_1, k_2\in\mathbb{Z}$ справедливо включение $k_1l_1+k_2l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$. 2) Выполняется условие дискретности
$$
\begin{equation}
\mu_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\inf_{l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\,l_1\ne l_2} \|l_1-l_2\|>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
3) Замыкание линейной оболочки векторов из $\mathbb{Z}^{\infty}$ совпадает с исходным пространством $E$ (это условие естественно назвать максимальностью). При построении конкретных примеров целочисленных решеток оказывается полезным понятие ядра. А именно, ядром $\Omega$ решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ будем называть непустое подмножество из $\mathbb{Z}^{\infty}$ такое, что любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ представляет собой конечную линейную комбинацию элементов из $\Omega$ с целочисленными коэффициентами. Ясно, что всегда имеется так называемое максимальное ядро $\Omega=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, ядро $\Omega$ назовем минимальным, если оно состоит из линейно независимых векторов. Характерная особенность минимального ядра $\Omega$ заключается в том, что для любого подмножества $\Omega_0\subset\Omega$, также являющегося ядром, выполняется равенство $\Omega_0=\Omega$. В общем случае вопрос о существовании минимального ядра остается открытым, однако в некоторых конкретных ситуациях его можно выписать явно. Примером целочисленной решетки в пространстве $\ell_{p}$, $p\geqslant 1$, состоящем из векторов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots), \qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R}, \quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\stackrel{\mathrm{def}}{=} \biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{(k)}|^{p}\biggr)^{1/p}<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}=\bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, l_{(2)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{p}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В силу сходимости ряда $\sum^{\infty}_{k=1}|l_{(k)}|^p$ (см. (1.2)) любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ имеет лишь конечное число ненулевых координат. Что же касается ядра $\Omega$, то в данном случае в качестве такового можно взять множество $\{e_k,\,k\in\mathbb{N}\}$ (через $e_k$ обозначен вектор, у которого $k$-я компонента равна единице, а все остальные нулевые). Заметим далее, что поскольку эти векторы линейно независимы, то указанное ядро минимально. В случае пространства $\ell_{\infty}$, элементами которого являются векторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots), \qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R}, \quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{k\geqslant 1}|\varphi_{(k)}|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
аналогичная (1.3) целочисленная решетка имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}= \bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)}, l_{(2)}, \dots, l_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Ядром же здесь будет множество $\Omega=\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ так называемых бинарных векторов $l\in\ell_{\infty}$, у которых координаты $l_{(k)}, k\geqslant 1$, независимо друг от друга принимают значения $0$ или $1$. Действительно, возьмем произвольный вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и заметим, что поскольку последовательность $l_{(k)}$ из (1.5) ограничена, то найдется такой конечный набор попарно различных целых чисел $m_1, m_2, \dots, m_s$, что
$$
\begin{equation*}
l_{(k)}\in\{m_1, m_2, \dots, m_s\} \quad\forall\,k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что справедливо равенство $l=m_1e_{m_1}+m_2e_{m_2}+\dots+m_se_{m_s}$, где бинарные векторы $e_{m_j}$, $1\leqslant j\leqslant s$, определяются по правилу
$$
\begin{equation*}
e_{m_j}=\operatorname{colon}(e_{m_j}^1, e_{m_j}^2,\dots, e_{m_j}^k,\dots), \qquad e_{m_j}^k=\begin{cases} 0,&l_{(k)}\ne m_j, \\ 1,&l_{(k)}=m_j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим еще, что множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ заведомо не является минимальным ядром, так как ядром оказывается, например, и множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})\setminus \{l_0\}$, где $l_0=\operatorname{colon}(1, 1, \dots, 1, \dots)$. Вопрос же о существовании минимального ядра здесь, как и в общем случае, открыт. Еще один естественный пример целочисленной решетки строится по следующему правилу. Пусть $E$ – бесконечномерное вещественное гильбертово пространство, а $\{e_{\alpha}\in E\colon \alpha\in\Sigma\}$ – некоторая его полная ортонормированная система (индексное множество $\Sigma$ заведомо состоит из бесконечного числа элементов). Тогда, как нетрудно проверить, эта система служит минимальным ядром соответствующей целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Элементами данной решетки являются всевозможные конечные линейные комбинации векторов $e_{\alpha}$ с целочисленными коэффициентами. Всюду ниже считаем, что в пространстве $E$ фиксирована некоторая целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$. Тогда с ее помощью на $E$ вводится отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что два вектора $x, y\in E$ эквивалентны, если существует такой элемент $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что $x-y=2\pi l$. Множество всех классов эквивалентности, порожденных данным отношением, назовем бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$. Иными словами, справедливы равенства $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}=\operatorname{pr}(E)$, где $\operatorname{pr}\colon E\to\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемая естественная проекция. Эта проекция действует по правилу где $\varphi$ – произвольный элемент из $E$, а $\{\varphi\}$ – класс эквивалентности из $\mathbb{T}^{\infty}$, содержащий $\varphi$. Впрочем, для краткости в дальнейшем одной и той же буквой $\varphi$ будем обозначать как вектор из $E$, так и соответствующий ему класс $\{\varphi\}\in\mathbb{T}^{\infty}$ (из контекста всегда будет ясно о каком именно объекте идет речь).Метрику на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty} \quad \rho(\varphi_1, \varphi_2)=\inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)- \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi l\|,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где, напомним, $\|\cdot\|$ – норма в $E$, а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1), \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)\in E$ – произвольные прообразы точек $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$. Так как упомянутые прообразы определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (1.7) не зависит от их конкретного выбора. Отметим также, что в силу свойства дискретности (1.1) и формулы (1.7) отображение (1.6) является локальной изометрией, т.е.
$$
\begin{equation}
\rho(\operatorname{pr}(\varphi_1), \operatorname{pr}(\varphi_2))=\|\varphi_1-\varphi_2\| \quad \forall\,\varphi_1, \varphi_2\in E, \qquad \|\varphi_1-\varphi_2\|\leqslant\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\varepsilon_0=\mathrm{const}\in(0, \pi\mu_0)$. Поэтому метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty}, \rho)$ оказывается полным. В последующем нам понадобится понятие фундаментального множества тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Таковым будем называть множество $\mathscr{U}\,{\subset}\, E$, для которого выполнено равенство $\operatorname{pr}(\mathscr{U})=\mathbb{T}^{\infty}$ и отображение $\operatorname{pr}\colon \mathscr{U}\to\mathbb{T}^{\infty}$ взаимно однозначно. Подчеркнем, что существование данного множества гарантирует аксиома выбора, примененная к семейству непустых попарно непересекающихся множеств $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ (под $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ здесь понимается полный прообраз элемента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$). В случае (1.2), (1.3) фундаментальной является область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{p}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\,k\geqslant 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
а в случае (1.4), (1.5) – область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\,k\geqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Нетрудно увидеть, что множество (1.10) ограничено, а (1.9) этим свойством не обладает. Следует отметить, что, как правило, под понятием “бесконечномерный тор” подразумевается прямое произведение счетного числа окружностей с тихоновской топологией (см., например, [4]). Мы же предлагаем иное определение бесконечномерного тора, в рамках которого $\mathbb{T}^{\infty}$ оказывается аналитическим банаховым многообразием. Отметим еще, что впервые аналогичное определение тора $\mathbb{T}^{\infty}$ появилось в заметке [5]. В настоящей статье мы доработали определение из [5], устранив некоторые неточности в описании целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Уточнено также понятие ее ядра $\Omega$. Для задания на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ дифференцируемой структуры фиксируем некоторое его фундаментальное множество $\mathscr{U}$ и для каждого $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ обозначим через $u_0\in \mathscr{U}$ соответствующий прообраз $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$ (который, напомним, определяется однозначно). Далее, введем в рассмотрение отображение
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_0}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi), \qquad \varphi\in O(\varphi_0, r_0)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bigl\{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\colon \rho(\varphi_0, \varphi)<r_0\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi)$, $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi_0)=u_0$ – непрерывная ветвь соответствующего многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $r_0=\mathrm{const}\in (0, \varepsilon_0/6)$, а $\varepsilon_0$ – постоянная из (1.8). Подчеркнем, что в силу выбора $r_0$ и свойства локальной изометрии (1.8) гомеоморфизм (1.11) корректно определен и переводит шар $O(\varphi_0, r_0)\subset \mathbb{T}^{\infty}$ на аналогичный шар $O(u_0, r_0)=\{u\in E\colon \|u-u_0\|<r_0\}$ из пространства $E$. Локальные гомеоморфизмы (1.11) позволяют естественным образом ввести на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ атлас
$$
\begin{equation}
\bigl\{(O(\varphi_0, r_0), h_{\varphi_0}),\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Покажем теперь, что любые две локальные карты из атласа (1.12) аналитически согласованы. Действительно, если для некоторых $\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеем
$$
\begin{equation}
O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0)\ne\varnothing,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
то для соответствующих гомеоморфизмов $h_{\varphi_j}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_j}(\varphi)$, где $u_j=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_j)$, $u_j\in\mathscr{U}$, $j=1, 2$, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in O(\varphi_2, r_0) \quad h_{\varphi_2}(\varphi)=h_{\varphi_1}(\varphi)+2\pi l_0, \qquad l_0=\mathrm{const}\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Связано это с тем, что в силу малости $r_0$ отображение $h_{\varphi_1}(\varphi)$ доопределяется по непрерывности на шар $O(\varphi_1, 3r_0)\supset O(\varphi_1, r_0)\cup O(\varphi_2, r_0)$. А поскольку $h_{\varphi_j}(\varphi)$, $j=1, 2$ – различные непрерывные ветви одного и того же отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, то в силу дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ они отличаются друг от друга на аддитивную постоянную добавку $2\pi l_0$, $l_0\in \mathbb{Z}^{\infty}$. Далее рассмотрим соответствующее случаю (1.13) отображение перехода
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_2}\circ h^{-1}_{\varphi_1}\colon h_{\varphi_1}\bigl(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0)\bigr)\to h_{\varphi_2}\bigl(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0)\bigr)
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
и заметим, что
$$
\begin{equation}
\forall\,u\in h_{\varphi_1}\bigl(O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2, r_0)\bigr) \quad h^{-1}_{\varphi_1}(u)=\operatorname{pr}(u).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Объединяя затем соотношения (1.14), (1.16), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
h_{\varphi_2}(h^{-1}_{\varphi_1}(u))=h_{\varphi_2}(\operatorname{pr}(u))= h_{\varphi_1}(\operatorname{pr}(u))+2\pi l_0=u+2\pi l_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, отображение (1.15) записывается в виде $u\mapsto u+2\pi l_0$, а значит, является аналитическим по локальной переменной $u$. Заканчивая обсуждение бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$, добавим, что наличие на нем дифференцируемой структуры (1.12) позволяет естественным образом перенести на данное многообразие такие понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм и т.д. Например, касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в любой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ определяется следующим образом. Рассмотрим всевозможные непрерывные кривые $\varkappa(t)\in\mathbb{T}^{\infty}$, $t\in (-a, a)$, $a>0$, такие, что $\varkappa(0)=\varphi$. Будем считать, что для некоторой локальной карты $(O(\varphi_0, r_0), h_{\varphi_0})\colon \varphi\in O(\varphi_0, r_0)$ (а значит, для любой такой карты) функция $h_{\varphi_0}(\varkappa(t))$ дифференцируема в точке $t=0$. Далее, две кривые $\varkappa_1(t)$ и $\varkappa_2(t)$ с перечисленными свойствами назовем эквивалентными, если
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_1(t))\big|_{t=0} =\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_2(t))\big|_{t=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается пространства $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$, то оно есть совокупность получившихся классов эквивалентности $\{\varkappa\}$ (см. [2; § П 3]). Характерная особенность нашего случая заключается в том, что между классами $\{\varkappa\}$ и векторами пространства $E$ существует естественный изоморфизм $\Gamma_{\varphi}\colon T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}\to E$, осуществляющийся по правилам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Gamma_{\varphi}\colon \{\varkappa\}\mapsto e_{\{\varkappa\}}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa(t))\bigg|_{t=0}, \\ \Gamma^{-1}_{\varphi}\colon e\in E\mapsto \bigl\{\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]\bigr\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти правила корректны в том смысле, что вектор $e_{\{\varkappa\}}\in E$ не зависит ни от выбора конкретной кривой $\varkappa(t)$ из соответствующего класса $\{\varkappa\}$ (в силу эквивалентности указанных кривых), ни от локального гомеоморфизма $h_{\varphi_0}$ (так как переход от одного из них к другому осуществляется по формуле (1.14)). Тем самым каждый класс $\{\varkappa\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ отождествляется со своим каноническим представителем $\varkappa(t)=\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]$, $e\in E$, а значит, с вектором $e$. Итак, допуская некоторую вольность речи, можно утверждать, что касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в каждой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадает с $E$. А поскольку в пространстве $E$ задана норма $\|\cdot\|$, то $\mathbb{T}^{\infty}$ является одновременно и финслеровым многообразием (см. [2; § П 4]) с финслеровой метрикой (1.7). 1.2. Описание класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$Введенное выше понятие бесконечномерного тора позволяет определить интересующий нас класс диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для того чтобы сделать это, сначала рассмотрим классы $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ и $B^1_{\mathrm{per}}(E)$ линейных ограниченных операторов $\Lambda\colon E\to E$ и вектор-функций $g(\varphi)$, $\varphi\in E$, со значениями в $E$. Считаем, что любой оператор $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$ является обратимым и таким, что $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Что же касается любой функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\mathrm{per}}(E)$, то предполагаем, что, во-первых, она непрерывна по $\varphi\,{\in}\, E$; во-вторых, ее производная Фреше $g'(\varphi)$ непрерывна по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии (т.е. по норме банахова пространства $L(E; E)$ линейных ограниченных операторов); в-третьих, выполняются требования $2\pi$-периодичности и ограниченности
$$
\begin{equation}
g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \qquad \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}<\infty,
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
где $\|\cdot\|_{E\to E}$ – операторная норма, индуцированная нормой из $E$. Подобного рода нормы встречаются и в дальнейшем. А именно, ниже через $\|\cdot\|_{V_1\to V_2}$, где $V_j$, $j=1, 2$, – замкнутые подпространства из $E$, будем обозначать соответствующие индуцированные операторные нормы, считая нормы в $V_j$, $j=1, 2$, заимствованными из $E$. Любой паре $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$ поставим в соответствие отображение $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto \Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi).
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
Здесь элемент $\Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)$ из $\mathbb{T}^{\infty}$ задается по правилу:
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty} \quad \Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)= \operatorname{pr}[\Lambda \operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+g(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
где $\operatorname{pr}$ – проекция (1.6), а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$ – произвольный прообраз точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Поскольку разность любых двух таких прообразов есть величина вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$, а функция $g(\varphi)$ периодична с периодом $2\pi$ (см. (1.17)), то формула (1.19) не зависит от конкретного выбора $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$. Два заключительных условия на $\Lambda$ и $g(\varphi)$ обеспечивают нужную обратимость оператора (1.18). Во-первых, предполагаем, что при $\forall\,\varphi\in E$ обратим линейный оператор $\Lambda+g'(\varphi)\colon E\to E$ и имеет место свойство ограниченности
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Во-вторых, считаем, что отображение $G$ инъективно и $G(\mathbb{T}^{\infty})=\mathbb{T}^{\infty}$. Объединяя наложенные на оператор (1.18) условия с формулой
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)=\Lambda+g'(\theta)|_{\theta=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}, \qquad \varphi\in\mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
для его дифференциала, приходим к выводу, что (1.18) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Совокупность всех таких диффеоморфизмов обозначим через $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Забегая вперед, отметим, что можно дать и более общее, чем (1.21), определение дифференциала $DG(\varphi)$, пригодное для любого гладкого отображения $G$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$, а не только для отображений специального вида (1.18). Это определение содержится в § 3. Там же дается другое описание класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, эквивалентное приведенному выше. Определим теперь понятие гиперболичности применительно к любому диффеоморфизму $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для этого кроме дифференциала (1.21) нам потребуются линейные операторы $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задающиеся равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(G^n(\varphi))&=DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2})\circ\dots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi))&=[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\dots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение 1.1 (У). Будем говорить, что диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}=E$ допускает представление в виде прямой суммы ненулевых замкнутых линейных подпространств $E_\varphi^{\mathrm u}$, $E_\varphi^{\mathrm s}$ и выполняются следующие требования: a) для любых $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm u}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm u}$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm s}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm s}$ (это свойство называется инвариантностью); b) существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(G^{-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\mathrm u}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(G^n(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad\forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\mathrm s}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N};
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
c) проекторы $P_{\varphi}\xi=\xi_1$, $Q_{\varphi}\xi=\xi_2$ $\forall\,\xi=\xi_1+\xi_2\in E$, $\xi_1\in E_\varphi^{\mathrm u}$, $\xi_2\in E_\varphi^{\mathrm s}$, связанные с разложением (1.23), непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии. Сформулированное определение представляет собой естественное обобщение определения Д. В. Аносова (см. [6; § 1]) на бесконечномерный случай. Следует также напомнить, что в работе [6] гиперболические диффеоморфизмы назывались У-диффеоморфизмами или У-системами. Именно по этой причине мы пометили определение гиперболичности буквой У. Обсудим сначала вопрос об условиях гиперболичности простейших представителей класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, а именно, линейных диффеоморфизмов
$$
\begin{equation}
\varphi\mapsto \Lambda\varphi\ (\operatorname{mod} 2\pi).
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Нетрудно увидеть, что эти условия формулируются в терминах спектра $\sigma(\Lambda)$ оператора $\Lambda$ и заключаются в следующем:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2, \qquad\sigma_j\ne\varnothing, \quad j=1, 2, \qquad \sigma_1\subset\bigl\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\bigr\}, \\ \sigma_2\subset\bigl\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|<1,\,\lambda\ne 0\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
Действительно, из приведенных условий вытекает справедливость разложения где сумма прямая, а замкнутые линейные подпространства $E_1$, $E_2$ таковы, что $\Lambda E_j=E_j$, $j=1, 2$, и спектры сужений $\Lambda_j=\Lambda|_{E_j}$, $j=1, 2$, совпадают со спектральными множествами $\sigma_j$, $j=1, 2$, из (1.27). Ясно также, что разложение (1.28) удовлетворяет всем требованиям из определения 1.1, а значит, отображение (1.26) при условиях (1.27) является гиперболическим.Напомним (см. [2; лемма 18.6.2]), что в конечномерном случае, когда тор $\mathbb{T}^{\infty}$ заменен на тор $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, из гиперболичности диффеоморфизма (1.18) вытекает гиперболичность его линейной части (1.26). В бесконечномерном же случае вопрос о справедливости такого утверждения остается открытым. Еще один конечномерный результат состоит в том (см. [6; § 7]), что свойство гиперболичности является $C^1$-грубым. Поэтому если (1.26) – гиперболический диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{m}$, то при подходящей $C^1$-малости периодической добавки $g(\varphi)$ таковым будет и диффеоморфизм (1.18). Тем самым естественно возникает проблема получения явной оценки на $g(\varphi)$, гарантирующей гиперболичность отображения (1.18). Решение этой проблемы содержится в работах [7], [8]. В настоящей статье, продолжающей начатые в [7], [8] исследования, для диффеоморфизмов из введенного выше класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ предлагаются более слабые, чем в упомянутых работах, достаточные условия гиперболичности. Устанавливается также, что эти условия являются и необходимыми. 1.3. Сводка результатовПриступим к описанию нового критерия гиперболичности. Как и в известном критерии конусов (см. [3; теорема 10.1.5]), мы постулируем существование некоторого изначального разложения пространства $E$ в прямую сумму замкнутых линейных подпространств. Условие 1.1. При любых $\varphi\in E$ справедливо разложение Следующие два условия формулируются в терминах отображения
$$
\begin{equation}
\overline{G}\colon \varphi\mapsto \overline{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
класса $C^1$, действующего из $E$ в $E$ и представляющего собой поднятие из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $E$ диффеоморфизма (1.18). Фиксируем некоторое натуральное $n_0$, положим а затем, опираясь на разложение (1.29) и проекторы (1.30), введем в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 1}(\varphi) =P(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_1(f(\varphi)), \qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 2}(\varphi) =Q(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_2(f(\varphi)), \qquad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
где $Df(\varphi)$ – производная Фреше (дифференциал) отображения (1.33). Условие 1.2. Предполагаем, что при любом $\varphi\,{\in}\, E$ обратим оператор $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ из (1.34) и имеет место свойство ограниченности Для формулировки заключительного условия нам потребуются постоянные
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_1(\varphi)},\quad \alpha_2=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_2(f(\varphi))},
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta_1=&\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \\ \beta_2=&\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma_1&=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))}, \\ \gamma_2&=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.39}
$$
которые в силу неравенства из (1.17) и оценок (1.31), (1.36) заведомо конечны. Используя развитую в работах [9], [10] технику, удается установить следующие два основных утверждения, дающие в совокупности новый критерий гиперболичности. Теорема 1.1. Пусть диффеоморфизм (1.18) принадлежит классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Тогда при выполнении условий 1.1–1.3 он является гиперболическим. Теорема 1.2. Если диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ обладает свойством гиперболичности, то найдутся разложение (1.29) и натуральное $n_0$, для которых справедливы условия 1.1–1.3. Для формулировки заключительного результата рассмотрим пространство $C^1_{\mathrm{per}}(E)\subset B^1_{\mathrm{per}}(E)$, элементами которого являются вектор-функции $\Delta(\varphi)$ из $B^1_{\mathrm{per}}(E)$, обладающие дополнительным свойством ограниченности Норму в этом пространстве зададим равенством
$$
\begin{equation}
\|\Delta\|_{C^1_{\mathrm{per}}}=\sup_{\varphi\in E}\|\Delta(\varphi)\|+ \sup_{\varphi\in E}\|\Delta'(\varphi)\|_{E\to E}.
\end{equation}
\tag{1.41}
$$
Опираясь на теоремы 1.1 и 1.2, удается получить следующее утверждение о сохранении свойства гиперболичности при малых возмущениях. Теорема 1.3. Пусть $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ – произвольный гиперболический диффеоморфизм. Тогда найдется такое достаточно малое $\varepsilon=\varepsilon(G)>0$, что при любой вектор-функции $\Delta(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$, $\|\Delta\|_{C^1_{\mathrm{per}}}<\varepsilon$ ($\|\cdot\|_{C^1_{\mathrm{per}}}$ – норма (1.41)) соответствующее возмущенное отображение также является гиперболическим диффеоморфизмом класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Последняя из сформулированных теорем свидетельствует о том, что, как и в конечномерном случае, свойство гиперболичности оказывается $C^1$-грубым. § 2. Доказательства теорем2.1. Обоснование теоремы 1.1Установим сначала связь между исходным диффеоморфизмом (1.18) и его поднятием (1.32). Справедливо следующее утверждение. Лемма 2.1. Для любого диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ его поднятие $\overline{G}$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и эти диффеоморфизмы гиперболичны или нет одновременно. Доказательство. Отметим сразу, что в силу условия (1.20) и теоремы о неявном отображении $\overline{G}$ – локальный диффеоморфизм. Принимая во внимание это обстоятельство, приходим к выводу, что оператор $\overline{G}$ будет диффеоморфно отображать $E$ на $E$ при наличии у него свойств инъективности и сюръективности. Предположим, что инъективность отсутствует. Тогда найдутся такие две точки $\varphi_1$, $\varphi_2\in E$, $\varphi_1\ne \varphi_2$, что $\overline{G}(\varphi_1)=\overline{G}(\varphi_2)$. А так как операторы $G$ и $\overline{G}$ связаны вытекающим из (1.18), (1.19) соотношением
$$
\begin{equation}
G(\operatorname{pr}(\varphi))=\operatorname{pr}(\overline{G}(\varphi)) \quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
то автоматически $G(\operatorname{pr}(\varphi_1))=G(\operatorname{pr}(\varphi_2))$. Далее, опираясь на факт инъективности отображения $G$, приходим к выводу, что $\operatorname{pr}(\varphi_1)=\operatorname{pr}(\varphi_2)$, и, следовательно, имеем $\varphi_2=\varphi_1+2\pi l$ при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Что же касается вектора $\varphi_1$, то для него из условия $\overline{G}(\varphi_1)=\overline{G}(\varphi_2)$ вытекает серия равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda\varphi_1+g(\varphi_1)=\Lambda(\varphi_1+2\pi l)+g(\varphi_1+2\pi l)= \Lambda(\varphi_1+2\pi l)+g(\varphi_1), \\ \Lambda(\varphi_1+2\pi l)=\Lambda\varphi_1, \qquad \varphi_1+2\pi l=\varphi_1, \qquad l=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым приходим к выводу, что $\varphi_1=\varphi_2$. А это противоречит исходной посылке. Проверим теперь сюръективность $\overline{G}$. Для этого фиксируем произвольно вектор $\overline{\varphi}\in E$ и рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi+g(\varphi)=\overline{\varphi}, \qquad \operatorname{pr}[\Lambda\varphi+g(\varphi)]=\operatorname{pr}(\overline{\varphi})
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
относительно $\varphi\in E$. Заметим далее, что поскольку отображение $G$ переводит тор $\mathbb{T}^{\infty}$ на себя, то в силу (1.18), (1.19) второе из уравнений (2.2) заведомо имеет хотя бы одно решение $\varphi=\varphi_0\in E$. А отсюда, в свою очередь, вытекает существование такого $l_0\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi_0+g(\varphi_0)=\overline{\varphi}+2\pi l_0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
И наконец, объединяя равенство (2.3) со свойством $\Lambda^{-1}l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ $\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, убеждаемся в том, что вектор $\varphi=\varphi_0-2\pi\Lambda^{-1}l_0$ удовлетворяет первому уравнению из (2.2). Итак, мы показали, что отображение (1.32) является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Предположим теперь, что оно гиперболично и убедимся в гиперболичности исходного диффеоморфизма (1.18). Как и в случае диффеоморфизма $G$, гиперболичность отображения $\overline{G}$ означает выполнение следующих условий. Во-первых, при каждом $\varphi\in E$ пространство $E$ допускает представление в виде прямой суммы
$$
\begin{equation}
E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}\oplus \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
ненулевых замкнутых линейных подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$, которые удовлетворяют условиям инвариантности
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm u} =\overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\,\mathrm u}, \qquad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm s} =\overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\,\mathrm s} \quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$. Во-вторых, существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\xi\|\leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Здесь операторы $D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))$, $D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))$ задаются аналогичными (1.22) равенствами, в которых дифференциал (1.21) заменен на $D\overline{G}(\varphi)$, а итерации отображения $G$ заменены аналогичными итерациями $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. В-третьих, проекторы $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$, $\overline{P}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{Q}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$, связанные с разложением (2.4), непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Помимо приведенных трех стандартных свойств в данном случае имеет место периодичность вида
$$
\begin{equation}
\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}\equiv\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}, \quad \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm s}\equiv\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}, \quad \overline{P}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{P}_\varphi, \quad \overline{Q}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{Q}_\varphi \quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для того чтобы убедиться в этом, выясним сначала структуру обратного отображения $\overline{G}^{\,-1}$, существование которого установлено выше. В первую очередь обратим внимание на тот факт, что справедливо представление
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-1}(\varphi)=\Lambda^{-1}\varphi+h(\varphi) \quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где вектор-функция $h(\varphi)$ определяется как неявная из уравнения Несложный анализ этого уравнения с учетом свойств (1.17), (1.20) и теоремы о неявном отображении приводит к выводу, что добавка $h(\varphi)$ из (2.9) принадлежит классу $B^1_{\mathrm{per}}(E)$. В частности, здесь имеем
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|h'(\varphi)\|_{E\to E}\leqslant\|\Lambda^{-1}\|_{E\to E} \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E} \sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя формулы (1.32), (2.9) и опираясь на метод математической индукции, последовательно заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda^m\varphi+\overline{G}^{\,m}(\varphi), \quad D(\overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l))\equiv D(\overline{G}^{\,m}(\varphi)) \\ \forall\,l\in \mathbb{Z}^{\infty}, \quad \forall\,m\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
А это значит, что разложение $E=\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}\oplus \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm s}$ при любом фиксированном $l\in \mathbb{Z}^{\infty}$ также образует гиперболическую структуру. Точнее говоря, для фигурирующих в нем подпространств имеют место аналогичные (2.5) свойства инвариантности
$$
\begin{equation*}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\, \mathrm u}=\overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\,\mathrm u}, \quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\, \mathrm s}=\overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\, \mathrm s} \quad\forall\,\varphi\in E
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки (2.6), (2.7) (с заменой условий $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm s}$ на $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm s}$ соответственно и с теми же константами $c_j$, $\mu_j$, $j=1, 2$). Далее, следует отметить, что гиперболическая структура для отображения $\overline{G}$ единственна. Поэтому тождества (2.8) выполняются автоматически. Поскольку аналогичные рассуждения встречаются и в дальнейшем, то остановимся на обосновании тождеств (2.8) чуть более подробно. Предполагая противное, рассмотрим, например, случай, когда $\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm u}\ne\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}$ при некоторых $\varphi\in E$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и существует вектор $\xi_0\ne 0$ такой, что $\xi_0\in\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm u}$, $\xi_0\notin\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}$. В этой ситуации очевидным образом
$$
\begin{equation*}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi_0\|
\end{equation*}
\notag
$$
и в то же время
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\| =\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))(\xi_0^1+\xi_0^2)\| \\ &\qquad \geqslant\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^2\|-\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^1\| \geqslant\frac{1}{c_2}\biggl(\frac{1}{\mu_2}\biggr)^n\|\xi_0^2\|-c_1\mu_1^n\|\xi_0^1\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\xi_0=\xi_0^1+\xi_0^2$, $\xi_0^1\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}$, $\xi_0^2\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm s}$ и автоматически $\xi_0^2\ne 0$ (поскольку $\xi_0\notin\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\,\mathrm u}$). Остается добавить, что при $n\to+\infty$ получившиеся оценки противоречивы. Другие возможные случаи рассматриваются аналогично. Возвращаясь к отображению (1.18), для любого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ положим
$$
\begin{equation}
E_\varphi^{\mathrm u}=\overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\,\mathrm u}, \qquad E_\varphi^{\mathrm s}=\overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\,\mathrm s}, \qquad P_{\varphi}=\overline{P}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}, \qquad Q_{\varphi}=\overline{Q}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Подчеркнем, что в силу периодичности (2.8) формулы (2.11) не зависят от конкретного выбора прообраза $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$. Более того, они и задают искомую гиперболическую структуру для $G$. Действительно, дифференцируя формулу (2.1) по $\varphi\in E$ и учитывая равенство $D(\operatorname{pr}(\varphi))=I$, где $I$ – единичный оператор в $E$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
DG(\theta)|_{\theta=\operatorname{pr}(\varphi)}=D\overline{G}(\varphi) \quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В свою очередь, из соотношений (2.4)–(2.7), (2.12) вытекают требуемая $DG$-инвариантность подпространств $E_\varphi^{\mathrm u}$, $E_\varphi^{\mathrm s}$ и справедливость свойств (1.23)–(1.25). Остается лишь добавить, что проекторы $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ из (2.11) обладают нужной непрерывностью по $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Таким образом, диффеоморфизм $G$ удовлетворяет определению 1.1. Обратная часть леммы устанавливается аналогично. В самом деле, если гиперболическим является диффеоморфизм $G$, то имеют место соотношения (1.23)–(1.25). Поэтому мы вправе положить
$$
\begin{equation}
\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\mathrm u}, \quad \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\mathrm s}, \quad \overline{P}_\varphi=P_{\operatorname{pr}(\varphi)}, \quad \overline{Q}_\varphi=Q_{\operatorname{pr}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Опираясь в очередной раз на равенство (2.12), нетрудно убедиться в том, что формулы (2.13) задают гиперболическую структуру для диффеоморфизма $\overline{G}$. Лемма 2.1 доказана. Последующий способ действий таков. Сначала мы установим, что при выполнении условий теоремы 1.1 гиперболичен диффеоморфизм (1.33). Затем покажем, что гиперболичность $f$ влечет гиперболичность поднятия $\overline{G}$, а после этого воспользуемся леммой 2.1 и убедимся в гиперболичности исходного диффеоморфизма $G$. Обсудим общую схему отыскания гиперболической структуры (2.4) для отображения $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в ней подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ из разложения (1.29), но между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi$ могут быть представлены в параметрической форме:
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_2=a(\varphi)u_1,\, u_1\in E_1(\varphi)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_1=b(\varphi)u_2,\, u_2\in E_2(\varphi)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $u_1\in E_1(\varphi)$ и $u_2\in E_2(\varphi)$ – векторные параметры на $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$ и $\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi$ соответственно, а линейные операторы $a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)$, $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$, непрерывные по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии, подлежат определению. Последующие рассуждения аналогичны соответствующим построениям из работ [9], [10]. Как и в упомянутых работах, из условий инвариантности
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi=\overline{E}^{\,\mathrm u}_{f(\varphi)}, \quad Df(\varphi)\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi=\overline{E}^{\,\mathrm s}_{f(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in E
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
для $a(\varphi)$, $b(\varphi)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (1.40)). В результате устанавливаем существование подпространств $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\,\mathrm s}_\varphi$ и получаем для них явные параметрические представления (2.14), (2.15). Используя эти представления, удается обосновать как требуемые оценки вида (2.6), (2.7) (с заменой $\overline{G}$ на $f$), так и разложение (2.4). Рассмотрим сначала случай
$$
\begin{equation}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)=\beta_1\beta_2,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
когда условия (1.40) приобретают вид
$$
\begin{equation}
\alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \beta_1\beta_2 <(1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Ниже подробно разбирается именно эта ситуация, а о другом случае будет сказано отдельно. Начнем с построения подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$ и будем искать его в виде (2.14). Далее, из инвариантности подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$ (см. (2.16)) следует, что должно выполняться равенство вида
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)(u_1+a(\varphi)u_1)=C_a(\varphi)u_1+a(f(\varphi))C_a(\varphi)u_1 \quad\forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,u_1\in E_1(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $C_a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_1(f(\varphi))$ – некоторый линейный ограниченный оператор. Для анализа равенства (2.19) нам потребуются проекторы $P(f(\varphi))$, $Q(f(\varphi))$ (см. (1.30)). Применяя каждый из них к (2.19), приходим соответственно к соотношениям
$$
\begin{equation}
C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)+\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi)+\Lambda_{2, 2}(\varphi)a(\varphi)=a(f(\varphi))C_a(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\Lambda_{j, k}(\varphi)$ – операторы (1.34), (1.35). Подставляя далее представление (2.20) в (2.21) и заменяя в получившемся выражении $\varphi$ на $f^{-1}(\varphi)$, убеждаемся в том, что $a(\varphi)$ является решением нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_a(\varphi)= \bigl\{\Lambda_{1, 2}(\theta)+\Lambda_{2, 2}(\theta)a(\theta)\bigr\}C_a^{-1}(\theta) \big|_{\theta=f^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Лемма 2.2. Уравнение (2.22) имеет решение $a=a_*(\varphi)$, непрерывное, $2\pi$-периодическое и ограниченное по параметру $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Доказательство. Обозначим через $X(\mathscr{L})$ совокупность линейных ограниченных операторов $a(\varphi)$, действующих из $E_1(\varphi)$ в $E_2(\varphi)$, непрерывных по параметру $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии (под этим понимается непрерывность по $\varphi\in E$ операторов $a(\varphi)P(\varphi)\colon E\to E$ по норме пространства $L(E;E)$), $2\pi$-периодических по $\varphi$ и удовлетворяющих неравенству
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\mathscr{L}.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Здесь $\mathscr{L}\geqslant 0$ – некоторая постоянная, не зависящая от выбора $a(\varphi)$. Упомянутую константу будем считать такой, что где величина $\beta_2$ определена формулой из (1.38). Далее, после введения метрики
$$
\begin{equation}
\forall\,a_1(\varphi), a_2(\varphi)\in X(\mathscr{L}) \quad\rho(a_1, a_2)=\sup_{\varphi\in E}\|a_1(\varphi)-a_2(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
множество $X(\mathscr{L})$ становится полным метрическим пространством. Наша ближайшая задача – показать, что при соответствующем выборе постоянной $\mathscr{L}$ в условии (2.24) нелинейный оператор $\mathscr{A}\colon a(\varphi)\mapsto \mathscr{A}_a(\varphi)$ переводит пространство $X(\mathscr{L})$ в себя и является сжимающим. Прежде всего убедимся в корректности определения оператора $\mathscr{A}$. А именно, проверим обратимость линейного оператора $C_a(f^{-1}(\varphi))$ при любом выборе $a(\varphi)\in X(\mathscr{L})$ и $\varphi\in E$. Для этого сначала заметим, что в силу соотношений (1.38), (2.24), (2.25) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)} \notag \\ &\qquad \leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)} \leqslant\beta_2\mathscr{L}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Далее, используем вытекающие из формулы (2.20) представления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)(I-D_a(\varphi)), \qquad C_a^{-1}(\varphi)=\biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(\varphi)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi), \\ D_a(\varphi)=-\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
где $I$ – единичный оператор в $E_1(\varphi)$. Заменяя в (2.28) аргумент $\varphi$ на $f^{-1}(\varphi)$ и учитывая (2.27), приходим к выводу, что оператор $C_a(f^{-1}(\varphi))$ действительно обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(f^{-1}(\varphi))\|_{E_1(\varphi)\to E_1(f^{-1}(\varphi))}\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}},
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
где $\alpha_1$ – постоянная из (1.37). В свою очередь, неравенство (2.29) и формула (2.23) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})}{1-\beta_2\mathscr{L}} \quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}), \quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные (1.37), (1.38). На следующем этапе выберем константу $\mathscr{L}$. Для этого рассмотрим квадратное уравнение
$$
\begin{equation}
F(\mathscr{L})\stackrel{\mathrm{def}}{=}\beta_2\mathscr{L}^2+(\alpha_1\alpha_2-1)\mathscr{L} +\alpha_1\beta_1=0,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
корни которого при условиях
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(1-\alpha_1\alpha_2)^2- 4\alpha_1\beta_1\beta_2>0, \qquad 1-\alpha_1\alpha_2>0
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
лежат на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$. Заметим, далее, что в нашем случае требования (2.32) выполняются. Действительно, эти требования записываются в виде
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2<\frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}, \qquad 1-\alpha_1\alpha_2>0.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Что же касается условий (2.33), то они справедливы в силу оценок (2.18) и неравенства
$$
\begin{equation}
(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)\leqslant \frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1},
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
имеющего место при всех $\alpha_1, \alpha_2\in(0,1)$. Опираясь на установленные свойства функции $F(\mathscr{L})$, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.24) возьмем наименьший корень уравнения (2.31), т.е. положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}=\mathscr{L}_*, \qquad \mathscr{L}_*=\frac{2\alpha_1\beta_1} {1-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Далее, нетрудно увидеть, что в случае (2.35) выполняется априорное условие (2.25) (оно вытекает из неравенства $F'(\mathscr{L}_*)<0$) и, кроме того, справедливы свойства
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})} {1-\beta_2\mathscr{L}}-\mathscr{L}\biggr)\bigg|_{\mathscr{L}= \mathscr{L}_*}=0, \qquad \frac{d}{d\mathscr{L}}\biggl(\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})} {1-\beta_2\mathscr{L}}\biggr)\bigg|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}<1.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Учитывая первое из них в (2.30), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant \mathscr{L}_* \quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученная оценка сводит проблему доказательства требуемого включения $\mathscr{A}(X(\mathscr{L}_*))\subset X(\mathscr{L}_*)$ к проверке $2\pi$-периодичности оператора $\mathscr{A}_a(\varphi)$. Но этот факт верен: он вытекает из $2\pi$-периодичности подпространств (1.29), проекторов (1.30), операторов (1.34), (1.35) и из установленного ранее (см. (2.10)) свойства
$$
\begin{equation*}
f^{-1}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda^{-n_0}l+f^{-1}(\varphi) \quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем теперь, что интересующий нас оператор $\mathscr{A}$ является сжимающим в пространстве $X(\mathscr{L}_*)$. С этой целью фиксируем произвольно два оператора $a_1(\varphi)$, $a_2(\varphi)$ из $X(\mathscr{L}_*)$ и заметим, что в силу соотношений (2.20), (2.23) имеют место представления
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi) =\Lambda_{2,2}(\theta) \bigl[a_1(\theta)-a_2(\theta)\bigr]C_{a_1}^{-1}(\theta)\big|_{\theta=f^{-1}(\varphi)} \\ &\qquad\qquad +\bigl\{\Lambda_{1,2}(\theta)+\Lambda_{2,2}(\theta)a_2(\theta)\bigr\} \bigl[C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)\bigr]\big|_{\theta=f^{-1}(\varphi)}, \end{split} \\ C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)=C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta) \bigl(a_2(\theta)-a_1(\theta)\bigr)C_{a_2}^{-1}(\theta). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя затем полученные представления с оценками (2.24), (2.25), (2.27), (2.29) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_{a_1}^k(\theta)\biggr)\Lambda_{1,1}^{-1}(\theta) \Lambda_{2,1}(\theta), \\ \|C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)\|_{E_2(\theta)\to E_1(\theta)}\leqslant \frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и вытекающим из равенства $f^{-1}(E)=E$ свойством
$$
\begin{equation*}
\rho\bigl(a_1(f^{-1}(\varphi)), a_2(f^{-1}(\varphi))\bigr)=\rho\bigl(a_1(\varphi), a_2(\varphi)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
метрики (2.26), последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant q\rho(a_1,a_2) \quad \forall\,\varphi\in E, \quad \rho(\mathscr{A}_{a_1},\mathscr{A}_{a_2})\leqslant q\rho(a_1,a_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}+ \frac{\alpha_1\beta_2(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L}_*)}{(1-\beta_2\mathscr{L}_*)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим еще, что в силу второго свойства из (2.36) величина $q$ строго меньше единицы. Остается воспользоваться принципом сжимающих отображений и заключить, что уравнение (2.22) имеет единственное решение $a_*(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*)$. Лемма 2.2 доказана. Установленная лемма гарантирует существование $Df$-инвариантного подпространства $\overline{E}^{\,\mathrm u}_\varphi$, задающегося формулой (2.14) при $a=a_*(\varphi)$. Проверим, далее, выполнение для этого подпространства неравенства вида
$$
\begin{equation}
\|D(f^{-n}(\varphi))\xi\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad\forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
с некоторыми не зависящими от $\varphi$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1>0$, $\mu_1\in(0, 1)$. Привлекая формулу (2.19), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [Df(\varphi_{-1})]^{-1}(u_1+a_*(\varphi)u_1)= C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1+a_*(\varphi_{-1})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1 \\ \forall\,\varphi\in E, \quad\forall\,u_1\in E_1(\varphi), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $\varphi_j=f^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. А отсюда, используя метод математической индукции и явное выражение для $D(f^{-n}(\varphi))$ (см. аналогичную формулу из (1.22)), заключаем, что при всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &D(f^{-n}(\varphi))(u_1+a_*(\varphi)u_1)=C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1 \\ &\qquad +a_*(\varphi_{-n})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u_1 \quad\forall\,\varphi\in E, \quad\forall\,u_1\in E_1(\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Что же касается интересующего нас неравенства (2.37), то оно вытекает из (1.31), (2.24), (2.29), (2.38) и из итоговой оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\dotsb C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})\|_{E_1(\varphi_0)\to E_1(\varphi_{-n})} \\ &\qquad \leqslant\prod_{k=1}^n\|C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-k})\|_{E_1(\varphi_{-(k-1)})\to E_1(\varphi_{-k})} \leqslant\biggl(\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\biggr)^n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
В частности, согласно (2.39) постоянная $\mu_1$ из (2.37) имеет вид Для проверки требуемого условия $\mu_1<1$ подставим в (2.40) явную формулу (2.35) для $\mathscr{L}_*$. В результате убеждаемся в том, что оно эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} \displaystyle\frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}, &1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1\geqslant 0, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2), &1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Последнее же в силу (2.18), (2.34) оказывается верным. Обратимся ко второму подпространству $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ из (2.4) и будем искать его в виде (2.15), где линейный ограниченный оператор $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$ пока произволен. Из второго условия инвариантности (2.16) следует, что результат применения оператора $Df(\varphi)$ к вектору $\xi=b(\varphi)u_2+u_2\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ должен иметь вид
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)(b(\varphi)u_2+u_2)=b(f(\varphi))C_b(\varphi)u_2+ C_b(\varphi)u_2 \quad \forall\,\varphi\in E, \quad\forall\,u_2\in E_2(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
где $C_b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_2(f(\varphi))$ – некоторый линейный ограниченный оператор. Как и в предыдущем случае, подействуем на (2.42) проекторами $P(f(\varphi))$, $Q(f(\varphi))$. В итоге получим аналогичные (2.20), (2.21) соотношения
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1,1}(\varphi)b(\varphi)+\Lambda_{2,1}(\varphi)=b(f(\varphi))C_b(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
$$
\begin{equation}
C_b(\varphi)=\Lambda_{2,2}(\varphi)+\Lambda_{1,2}(\varphi)b(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
Подставляя, далее, выражение (2.44) в (2.43), приходим к выводу, что $b(\varphi)$ является решением аналогичного (2.22) нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{B}_b(\varphi)=\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi) \bigl\{b(f(\varphi))C_b(\varphi)-\Lambda_{2,1}(\varphi)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Лемма 2.3. Уравнение (2.45) допускает решение $b=b_*(\varphi)$, непрерывное, $2\pi$-периодическое и ограниченное по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Доказательство. Как и при доказательстве леммы 2.2, обозначим через $X(\mathscr{R})$ совокупность линейных ограниченных операторов $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$, непрерывных и $2\pi$-периодических по параметру $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии (указанный характер непрерывности означает непрерывность по $\varphi\in E$ оператора $b(\varphi)Q(\varphi)\colon E\to E$ по норме пространства $L(E;E)$). Считаем еще, что выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\leqslant \mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
с некоторой универсальной (не зависящей от $b(\varphi)$) постоянной $\mathscr{R}\geqslant 0$. Метрику в $X(\mathscr{R})$ определим равенством вида (2.26). Что же касается постоянной $\mathscr{R}$ из (2.47), то она находится из тех же соображений, что и константа $\mathscr{L}$ в предыдущем случае. Действительно, из (2.44), (2.46), (2.47) нетрудно вывести, что
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{B}_b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\leqslant \alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R})\mathscr{R}+\beta_2,
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\|\mathscr{B}_{b_1}(\varphi)-\mathscr{B}_{b_2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)} \\ &\qquad \leqslant\alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}) \|b_1(f(\varphi))-b_2(f(\varphi))\|_{E_2(f(\varphi))\to E_1(f(\varphi))} \\ &\qquad\qquad +\alpha_1\beta_1\mathscr{R}\|b_1(\varphi)-b_2(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\leqslant\alpha_1(\alpha_2+2\beta_1\mathscr{R})\rho(b_1, b_2). \end{split}
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Заметим далее, что равенство
$$
\begin{equation}
\alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R})\mathscr{R} +\beta_2=\mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
для отыскания $\mathscr{R}$ эквивалентно уравнению $F(1/\mathscr{R})=0$, где $F$ – многочлен из (2.31). Поэтому, как и выше, в качестве $\mathscr{R}$ в (2.47) возьмем наименьший корень $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ этого уравнения, где
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}_*=\frac{2\beta_2} {1-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
Тогда в силу оценки (2.48) и очевидного свойства $2\pi$-периодичности по $\varphi\in E$ оператора $\mathscr{B}_b(\varphi)$ отображение $\mathscr{B}\colon b(\varphi)\mapsto \mathscr{B}_b(\varphi)$ переводит полное метрическое пространство $X(\mathscr{R}_*)$ в себя. Более того, опираясь на явное выражение для $\mathscr{R}_*$ (см. (2.51)), нетрудно увидеть, что (данное неравенство – следствие простоты корня $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ уравнения (2.50)). А отсюда и из (2.49) заключаем, что оператор $\mathscr{B}$ является сжимающим в $X(\mathscr{R}_*)$. Тем самым уравнение (2.45) имеет в пространстве $X(\mathscr{R}_*)$ единственное решение $b_*(\varphi)$. Лемма 2.3 доказана. Итак, второе $Df$-инвариантное подпространство $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ построено (оно получается из (2.15) при $b=b_*(\varphi)$). Следующий этап проверки гиперболичности диффеоморфизма $f$ состоит в получении для $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ нужного неравенства
$$
\begin{equation}
\|D(f^{n}(\varphi))\xi\|\leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi\in E, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N}
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
с некоторыми универсальными постоянными $c_2>0$, $\mu_2\in (0, 1)$. Обратим внимание, что в силу формулы для $D(f^{n}(\varphi))$ (аналогичной соответствующей формуле из (1.22)) и равенства (2.42) справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D(f^{n}(\varphi))(b_*(\varphi)u_2+u_2)=b_*(\varphi_n) C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\dotsb C_{b_*}(\varphi_{0})u_2 \\ &\qquad+C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\dotsb C_{b_*}(\varphi_{0})u_2 \quad\forall\,\varphi\in E, \quad\forall\,u_2\in E_2(\varphi), \quad\forall\,n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя их с вытекающими из (2.44) и (2.47) (при $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$) неравенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\dotsb C_{b_*}(\varphi_{0})\|_{E_2(\varphi_0)\to E_2(\varphi_n)} \\ &\qquad \leqslant\prod_{k=0}^{n-1}\|C_{b_*}(\varphi_{k})\|_{E_2(\varphi_k)\to E_2(\varphi_{k+1})} \leqslant(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n \quad\forall\,n\in\mathbb{N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\xi=b_*(\varphi)u_2+u_2\in \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|D(f^{n}(\varphi))\xi\|\leqslant (1+\mathscr{R}_*)(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\|u_2\| \\ &\qquad =(1+\mathscr{R}_*)(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\frac{\|u_2\|} {\|b_*(\varphi)u_2+u_2\|}\|\xi\| \\ &\qquad \leqslant(1+\mathscr{R}_*)\sup_{\varphi\in E}\|Q(\varphi)\|_{E\to E} (\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\|\xi\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым требуемая оценка выполняется с константами
$$
\begin{equation*}
\mu_2=\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*, \qquad c_2=(1+\mathscr{R}_*)\sup_{\varphi\in E}\|Q(\varphi)\|_{E\to E}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается неравенства $\mu_2<1$, то оно эквивалентно аналогичному (2.41) условию
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} \displaystyle\frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}, &1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1\leqslant 0, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2), &1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1>0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
Последнее же в силу (2.18), (2.34) справедливо автоматически. Покажем, наконец, что сумма подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ является прямой и совпадает с $E$. Согласно представлениям (2.14), (2.15) (при $a=a_*(\varphi)$, $b=b_*(\varphi)$) для этого достаточно убедиться в том, что однозначно разрешима относительно $u_1\in E_1(\varphi)$, $u_2\in E_2(\varphi)$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
u_1+b_*(\varphi)u_2=\widetilde{u}_1, \qquad a_*(\varphi)u_1+u_2=\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
при любых фиксированных $\widetilde{u}_1\in E_1(\varphi)$, $\widetilde{u}_2\in E_2(\varphi)$. Но последнее верно в силу равенств
$$
\begin{equation*}
u_2=\widetilde{u}_2-a_*(\varphi)u_1, \qquad u_1-b_*(\varphi)a_*(\varphi)u_1=\widetilde{u}_1-b_*(\varphi)\widetilde{u}_2
\end{equation*}
\notag
$$
и непрерывной обратимости в $E_1(\varphi)$ оператора $I-b_*(\varphi)a_*(\varphi)$ ($I$ – единичный оператор в $E_1(\varphi)$). Что же касается упомянутой обратимости, то она – следствие соотношений (2.24), (2.35), (2.47), (2.51) и оценок
$$
\begin{equation*}
\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)} \leqslant \|b_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}\|a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi) \to E_2(\varphi)}\leqslant\mathscr{R}_*\mathscr{L}_*<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы установили справедливость разложения (2.4). Остается отметить, что соответствующие данному разложению проекторы $\overline{P}_{\varphi}$ и $\overline{Q}_{\varphi}$ задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,\xi\in E \quad \overline{P}_{\varphi}\xi=u_1+a_*(\varphi)u_1, \quad\overline{Q}_{\varphi}\xi=b_*(\varphi)u_2+u_2, \\ u_1=(I-b_*(\varphi)a_*(\varphi))^{-1}(P(\varphi)\xi-b_*(\varphi)Q(\varphi)\xi), \qquad u_2=Q(\varphi)\xi-a_*(\varphi)u_1 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, обладают требуемыми в определении 1.1 свойствами непрерывности. Тем самым в случае (2.17) факт гиперболичности отображения (1.33) полностью обоснован. Обратимся теперь к случаю
$$
\begin{equation}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)=\gamma_1\gamma_2,
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
в котором условия (1.40) записываются в виде
$$
\begin{equation}
\alpha_1<1, \qquad \alpha_2<1, \qquad \gamma_1\gamma_2 <(1-\alpha_1)(1-\alpha_2),
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
где $\gamma_1$, $\gamma_2$ – постоянные (1.39). Заметим, что при выполнении данных неравенств утверждения лемм 2.2, 2.3 сохраняют силу, но их доказательства нуждаются в надлежащих модификациях. Основная идея этих модификаций заключается в том, чтобы все нужные оценки сделать в терминах констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\gamma_1$, $\gamma_2$, полностью исключая $\beta_1$, $\beta_2$. В случае леммы 2.2 ее доказательство необходимо изменить следующим образом. В первую очередь в определении пространства $X(\mathscr{L})$ мы вместо (2.24) требуем выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\frac{\mathscr{L}}{\alpha_1},
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
предполагая, что Далее, при анализе операторов $C_a(\varphi)$ и $\mathscr{A}_a(\varphi)$ вместо (2.28) воспользуемся представлениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(\varphi)=(I-D_a(\varphi))\Lambda_{1, 1}(\varphi), \qquad C_a^{-1}(\varphi)=\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(\varphi), \\ D_a(\varphi)=-\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi)\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
Объединяя формулы (2.23), (2.58) с оценками (2.56), (2.57), нетрудно увидеть, что
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(f^{-1}(\varphi))\|_{E_1(\varphi)\to E_1(f^{-1}(\varphi))}\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\gamma_2\mathscr{L}},
\end{equation}
\tag{2.59}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\frac{\gamma_1+\alpha_2\mathscr{L}} {1-\gamma_2\mathscr{L}} \quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}), \quad\forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant q\rho(a_1,a_2) \quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.61}
$$
где
$$
\begin{equation}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\gamma_2\mathscr{L}}+ \frac{\alpha_1\gamma_2(\gamma_1+\alpha_2\mathscr{L})} {(1-\gamma_2\mathscr{L})^2}.
\end{equation}
\tag{2.62}
$$
Отдельно остановимся на способе выбора постоянной $\mathscr{L}$. В связи с этим обозначим через $F(\mathscr{L})$ многочлен, получающийся из (2.31) при заменах $\beta_1$ на $\gamma_1$, $\beta_2$ на $\gamma_2$. Из условий (2.55) следует, что все его корни лежат на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$. Тем самым, как и выше, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.56) возьмем наименьший корень $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$ уравнения $F(\mathscr{L})=0$, задающийся аналогичными (2.35) равенствами (с заменой $\beta_1$ на $\gamma_1$, $\beta_2$ на $\gamma_2$). Тогда априорное условие (2.57) заведомо выполняется. Более того, в этом случае в силу соотношений (2.59)–(2.62) оператор $\mathscr{A}$ переводит пространство $X(\mathscr{L}_*)$ в себя и является сжимающим. Перейдем к неравенству (2.37). Как и выше, нетрудно показать, что в данном случае оно выполняется с константой Что же касается требования $\mu_1<1$, то оно эквивалентно оценке, получающейся из (2.41) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$. Остается добавить, что последняя в силу (2.34), (2.55) справедлива автоматически.Доказательство леммы 2.3 в случае (2.54) также нуждается в некоторых изменениях. А именно, выполним в операторном уравнении (2.45) замену В результате оно приобретает вид
$$
\begin{equation}
b(\varphi)=\,\,\widehat{\!\!\mathscr{B}}_b(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.64}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widehat{\!\!\mathscr{B}}_b(\varphi) =\Lambda_{1, 1}^{-1}(f(\varphi))b(f(\varphi))\widehat{C}_b(\varphi)-\Lambda_{2, 1}(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.65}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{C}_b(\varphi) =\Lambda_{2, 2}(\varphi)+\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)b(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.66}
$$
Получившееся уравнение (2.64) будем изучать в метрическом пространстве $X(\mathscr{R})$, состоящем из линейных ограниченных операторов $b(\varphi)$, действующих из $E_2(\varphi)$ в $E_1(f(\varphi))$, непрерывных по параметру $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии, $2\pi$-периодичных по $\varphi$ и таких, что
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}\leqslant \mathscr{R}.
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
Как обычно, метрику в $X(\mathscr{R})$ зададим по правилу
$$
\begin{equation*}
\forall\,b_1(\varphi), b_2(\varphi)\in X(\mathscr{R}) \quad\rho(b_1, b_2)=\sup_{\varphi\in E}\|b_1(\varphi)-b_2(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из явных формул (2.65), (2.66) и оценки (2.67) заключаем, что имеют место аналогичные (2.48), (2.49) неравенства
$$
\begin{equation}
\|\,\,\widehat{\!\!\mathscr{B}}_b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}\leqslant \alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R})\mathscr{R} +\gamma_2,
\end{equation}
\tag{2.68}
$$
$$
\begin{equation}
\|\,\,\widehat{\!\!\mathscr{B}}_{b_1}(\varphi)-\,\, \widehat{\!\!\mathscr{B}}_{b_2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \leqslant\alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}) \|b_1(f(\varphi))-b_2(f(\varphi))\|_{E_2(f(\varphi))\to E_1(f^2(\varphi))}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \qquad +\alpha_1\gamma_1\mathscr{R}\|b_1(\varphi)-b_2(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}\leqslant \alpha_1(\alpha_2+2\gamma_1\mathscr{R})\rho(b_1, b_2).
\end{equation}
\tag{2.69}
$$
Опираясь на эту информацию, удается выбрать надлежащим образом параметр $\mathscr{R}$. Действительно, обратимся к аналогичному (2.50) уравнению
$$
\begin{equation}
\alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R})\mathscr{R} +\gamma_2=\mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.70}
$$
и заметим, что в силу условий (2.55) его корни лежат на полуоси $\mathscr{R}\geqslant 0$. Далее, из оценок (2.68), (2.69) следует, что если взять $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$, где $\mathscr{R}_*$ – величина, получающаяся из (2.51) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$, то соответствующий оператор $\,\,\widehat{\!\!\mathscr{B}}\colon b(\varphi)\mapsto \,\,\widehat{\!\!\mathscr{B}}_b(\varphi)$ будет переводить пространство $X(\mathscr{R}_*)$ в себя и являться сжимающим. Тем самым, выбирая $\mathscr{R}$ указанным способом, получаем утверждение леммы 2.3. Перейдем к вопросу о справедливости в случае (2.54) неравенства вида (2.52). Рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что теперь оно выполняется с постоянной $\mu_2=\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}_*$, а требование $\mu_2<1$ эквивалентно оценке, получающейся из (2.53) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$. Что же касается упомянутой оценки, то ее справедливость вытекает из (2.34), (2.55). Завершая обоснование гиперболичности диффеоморфизма $f$, покажем, что в случае (2.54) сумма подпространств $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ по-прежнему прямая и совпадает с $E$, а соответствующие ей проекторы $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$ непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Как и ранее, упомянутая проблема сводится к доказательству оценки
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)}<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для проверки этого неравенства обратимся к соотношениям (2.56), (2.63), из которых следует, что в данной ситуации
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant\frac{\mathscr{L}_*}{\alpha_1}, \\ b_*(\varphi)=\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\widehat{b}_*(\varphi), \qquad \|\widehat{b}_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}\leqslant\mathscr{R}_*, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{b}_*(\varphi)$ – решение уравнения (2.64) в пространстве $X(\mathscr{R}_*)$. Принимая во внимание перечисленные факты, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_1(\varphi)}\leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi) \widehat{b}_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)} \|a_*(\varphi)\| _{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)} \\ &\qquad\qquad \leqslant\alpha_1\|\widehat{b}_*(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))} \|a_*(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}\leqslant \mathscr{R}_*\mathscr{L}_*<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя проделанные построения, убеждаемся в том, что в рамках условий теоремы 1.1 диффеоморфизм (1.33) допускает гиперболическую структуру (2.4). Далее, непосредственная проверка показывает, что наряду с (2.4) справедливо разложение $E=\widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm u}\oplus\widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$, где подпространства
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm u}=D\overline{G}(\theta)\overline{E}_\theta^{\,\mathrm u}|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)}, \qquad \widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm s}=D\overline{G}(\theta)\overline{E}_\theta^{\,\mathrm s}|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)}
\end{equation}
\tag{2.71}
$$
также $Df$-инвариантны. Действительно, принимая во внимание явную формулу для дифференциала $Df(\varphi)=D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))$ (см. (1.22)), перепишем условия (2.16) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\dots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\,\mathrm u} &=\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\,\mathrm u}, \\ D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\dots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\,\mathrm s} &=\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\,\mathrm s}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in \mathbb{Z}$. Далее, применяя к получившимся соотношениям оператор $D\overline{G}(\varphi_{n_0})$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\,\mathrm u}) &=D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\,\mathrm u}, \\ D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\,\mathrm s}) &=D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\,\mathrm s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается добавить, что из получившихся формул требуемая $Df$-инвариантность подпространств (2.71) вытекает автоматически. Заметим еще, что, как показывает несложная проверка, для подпространств (2.71) справедливы оценки вида (2.37), (2.52). А поскольку гиперболическая структура единственна (см. аналогичное место в обосновании тождеств (2.8)), то с необходимостью $\widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm u}=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\widetilde{E}_\varphi^{\,\mathrm s}=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$. Тем самым подпространства $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ обладают свойствами $D\overline{G}$-инвариантности (2.5). Выполняются для указанных подпространств и оценки вида (2.6), (2.7). Точнее говоря, они выводятся из уже установленных неравенств (2.37), (2.52) и из представлений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))=D(f^{k}(\theta))|_{\theta=\overline{G}^{\,r}(\varphi)} \circ D(\overline{G}^{\,r}(\varphi)),\quad D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi)) \\ &=D(f^{-k}(\theta))|_{\theta=\overline{G}^{\,-r}(\varphi)} \circ D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi)),\qquad n=kn_0+r, \quad r\in\{0, 1, \dots, n_0-1\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом вытекающих из (1.17), (1.20) свойств ограниченности
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,r}(\varphi))\|_{E\to E}+ \sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi))\|_{E\to E}<\infty, \qquad 0\leqslant r\leqslant n_0-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы показали, что гиперболичность диффеоморфизма $f$ влечет гиперболичность $\overline{G}$. А отсюда и из леммы 2.1 получаем требуемую гиперболичность исходного диффеоморфизма $G$. Теорема 1.1 полностью доказана. 2.2. Доказательство теоремы 1.2Фиксируем произвольно гиперболический диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и покажем, что при подходящим образом выбранных подпространствах $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ и натуральном $n_0$ для него выполняются условия 1.1–1.3. Согласно лемме 2.1 поднятие $\overline{G}$ гиперболического диффеоморфизма $G$ также является гиперболическим, а значит, для $\overline{G}$ справедливы соотношения вида (2.4)–(2.7). Далее, введем в рассмотрение оператор $f(\varphi)=\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)$, где натуральное $n_0$ подчинено требованиям ($c_j$, $\mu_j$, $j=1, 2$, – постоянные из (2.6), (2.7)), и положим
$$
\begin{equation}
E_1(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}, \quad E_2(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s} \quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.73}
$$
где $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}$ – подпространства из (2.4). Как будет показано ниже, выбранные таким способом натуральное $n_0$ и подпространства $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ удовлетворяют условиям 1.1–1.3. Обратимся сначала к условию 1.1. Очевидно, что в случае (2.73) равенства (1.29) выполняются, а соответствующие проекторы (1.30) непрерывны и $2\pi$-периодичны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. В проверке здесь нуждаются только условия ограниченности (1.31). Для доказательства требуемых свойств (1.31) нам потребуется один вспомогательный результат. Этот результат связан с углом между подпространствами (2.73), который задается формулой
$$
\begin{equation}
\angle(E_1(\varphi), E_2(\varphi))=\inf\bigl\{\|v-w\|\colon v\in E_1(\varphi),\,w\in E_2(\varphi),\,\|v\|=\|w\|=1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.74}
$$
Справедливо следующее утверждение (см. [11; лемма 7.3]). Доказательство. Фиксируем произвольно векторы $v\in E_1(\varphi)$, $w\in E_2(\varphi)$, $\|v\|=\|w\|=1$, и целое $k\geqslant 0$. Далее, положим $a(k)=D\overline{G}^{\,k}(\varphi)(v-w)$ и заметим, что где в силу условий (1.17) Для получения оценки снизу на $\|a(k)\|$ обратимся к неравенству (2.7) и к эквивалентному (2.6) неравенству
$$
\begin{equation*}
\|D\overline{G}^{\,n}(\varphi)\xi\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^n \|\xi\| \quad\forall\,\varphi\in E, \quad\forall\,\xi\in\overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}, \quad\forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь на эти факты и учитывая соотношения (2.73), имеем
$$
\begin{equation*}
\|a(k)\|\geqslant \|D\overline{G}^{\,k}(\varphi)v\|-\|D\overline{G}^{\,k}(\varphi)w\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^k-c_2\mu_2^k\to+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\to+\infty$. Поэтому существует такое $k_0\in\mathbb{N}$, что $\|a(k_0)\|\geqslant 1$. А отсюда и из (2.76) (при $k=k_0$) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|v-w\|\geqslant N^{-k_0} \quad \forall\,v\in E_1(\varphi), \quad w\in E_2(\varphi), \quad \|v\|=\|w\|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым в силу (2.74) в качестве константы $\alpha$ в (2.75) можно взять $N^{-k_0}$. Лемма 2.4 доказана. Установим теперь равномерную ограниченность проекторов (1.30), отвечающих подпространствам (2.73). Из очевидного равенства $P(\varphi)+Q(\varphi)=I$, где $I$ – единичный оператор в $E$, следует, что достаточно показать справедливость лишь первого условия из (1.31). В предположении противного существует такая последовательность точек $\varphi_n\in E$, что $\|P(\varphi_n)\|_{E\to E}\to+\infty$, $n\to+\infty$. Далее, в силу теоремы о фиксации особенности (см. [12; гл. VII, § 1]) найдется элемент $\xi\in E$, для которого Без ограничения общности будем считать, что Тогда из соотношения с необходимостью имеемПокажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\|P(\varphi_n)\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|}=1.
\end{equation}
\tag{2.81}
$$
В связи с этим обратимся к формуле (2.79), из которой вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Q(\varphi_n)\xi\|-\|\xi\| \leqslant \|P(\varphi_n)\xi\|\leqslant\|Q(\varphi_n)\xi\|+\|\xi\|, \\ 1-\frac{\|\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|} \leqslant\frac{\|P(\varphi_n)\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|} \leqslant1+\frac{\|\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда с учетом (2.80) требуемое равенство (2.81) получается автоматически. Объединяя установленные предельные свойства (2.78), (2.80), (2.81), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\biggl\|\frac{P(\varphi_n)\xi}{\|P(\varphi_n)\xi\|} + \frac{Q(\varphi_n)\xi}{\|Q(\varphi_n)\xi\|}\biggr\| =\frac{1}{\|P(\varphi_n)\xi\|}\biggl\|P(\varphi_n)\xi+\frac{\|P(\varphi_n)\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|} Q(\varphi_n)\xi\biggr\| \\ &\qquad =\frac{1}{\|P(\varphi_n)\xi\|} \biggl\|\xi+\biggl(\frac{\|P(\varphi_n)\xi\|}{\|Q(\varphi_n)\xi\|}-1\biggr) Q(\varphi_n)\xi\biggr\| \\ &\qquad \leqslant\frac{\|\xi\|}{\|P(\varphi_n)\xi\|}+ \biggl|1-\frac{\|Q(\varphi_n)\xi\|}{\|P(\varphi_n)\xi\|}\biggr|\to 0, \qquad n\to+\infty; \end{split} \\ \angle(E_1(\varphi_n), E_2(\varphi_n)) \leqslant\biggl\|\frac{P(\varphi_n)\xi}{\|P(\varphi_n)\xi\|} + \frac{Q(\varphi_n)\xi}{\|Q(\varphi_n)\xi\|}\biggr\|\to 0, \qquad n\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее же противоречит оценке (2.75). Итак, мы показали справедливость в случае (2.73) условия 1.1. Для проверки выполнения оставшихся двух условий 1.2, 1.3 заметим, что операторы (1.34), (1.35) в рассматриваемой ситуации приобретают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Lambda_{1, 1}(\varphi)=Df(\varphi)\colon \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm u}, \qquad\Lambda_{2, 1}(\varphi)=0, \\ \Lambda_{2, 2}(\varphi)=Df(\varphi)\colon \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm s}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm s}, \qquad\Lambda_{1, 2}(\varphi)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.82}
$$
В свою очередь, объединяя формулы (2.82) с фактом обратимости дифференциала $Df(\varphi)$, приходим к выводу, что здесь $\beta_1=\beta_2=\gamma_1=\gamma_2=0$, а постоянные $\alpha_1$, $\alpha_2$ таковы, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_1&=\sup_{\varphi\in E}\|(Df(\varphi))^{-1}\|_{\overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm u}\to \overline{E}_\varphi^{\,\mathrm u}}\leqslant c_1\mu_1^{n_0}<1, \\ \alpha_2&=\sup_{\varphi\in E}\|Df(\varphi)\|_{\overline{E}_{\varphi}^{\,\mathrm s}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\,\mathrm s}}\leqslant c_2\mu_2^{n_0}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.83}
$$
Тем самым в интересующем нас случае (2.72), (2.73) справедливы и условия 1.2, 1.3. Теорема 1.2 доказана. 2.3. Доказательство теоремы 1.3Фиксируем произвольно гиперболический диффеоморфизм $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, рассмотрим отвечающее ему возмущенное отображение $G_{\Delta}$ (см. (1.42)) и обозначим через $\overline{G}_{\Delta}$ соответствующее поднятие, имеющее вид
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\Delta}\colon \varphi\mapsto \overline{G}_{\Delta}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)+\Delta(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.84}
$$
Покажем сначала, что при достаточно малой по норме пространства $C^1_{\mathrm{per}}(E)$ добавке $\Delta(\varphi)$ оператор (2.84) диффеоморфно отображает $E$ на $E$. Для проверки этого факта фиксируем произвольно элемент $\overline{\varphi}\in E$ и рассмотрим уравнение $\overline{G}_{\Delta}(\varphi)=\overline{\varphi}$ относительно $\varphi\in E$. Привлекая отображение (1.32), которое является диффеоморфизмом (см. лемму 2.1), перепишем его в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
\varphi=\overline{G}^{\,-1}(\overline{\varphi}-\Delta(\varphi))
\end{equation}
\tag{2.85}
$$
и убедимся в том, что оно имеет единственное решение $\varphi\in E$ при любом векторе $\overline{\varphi}\in E$. При анализе уравнения (2.85) нам потребуется некоторая информация о вектор-функции $\overline{G}^{\,-1}(\varphi)$, вытекающая из свойства (1.20). А именно, опираясь на это свойство, введем в рассмотрение величины
$$
\begin{equation*}
q_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}, \qquad q_1(\Delta)\stackrel{\mathrm{def}}{=}q_0\sup_{\varphi\in E}\|\Delta'(\varphi)\|_{E\to E}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, будем считать добавку $\Delta$ в (2.84) настолько малой, что В результате приходим к оценкам
$$
\begin{equation}
\|\overline{G}^{\,-1}(\varphi_1)-\overline{G}^{\,-1}(\varphi_2)\|\leqslant q_0\|\varphi_1-\varphi_2\| \quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in E,
\end{equation}
\tag{2.87}
$$
$$
\begin{equation}
\|\overline{G}^{\,-1}(\overline{\varphi}-\Delta(\varphi_1))- \overline{G}^{\,-1}(\overline{\varphi}-\Delta(\varphi_2))\|\leqslant q_1(\Delta)\|\varphi_1-\varphi_2\| \quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in E.
\end{equation}
\tag{2.88}
$$
Неравенства (2.86), (2.88) и принцип сжимающих отображений гарантируют требуемую однозначную разрешимость уравнения (2.85). Таким образом, обратное отображение $\overline{G}^{\,-1}_{\Delta}$ существует и допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-1}_{\Delta}(\varphi)=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)+ \omega_{\Delta}(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.89}
$$
где $2\pi$-периодическая и непрерывная по $\varphi\in E$ добавка $\omega_{\Delta}(\varphi)$ такова, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1_{\mathrm{per}}}\to 0}\sup_{\varphi\in E}\|\omega_{\Delta}(\varphi)\|=0.
\end{equation}
\tag{2.90}
$$
Действительно, объединяя формулу
$$
\begin{equation*}
\omega_{\Delta}(\varphi)=\overline{G}^{\,-1}(\varphi-\Delta(\theta)) \big|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}_{\Delta}(\varphi)}-\overline{G}^{\,-1}(\varphi)
\end{equation*}
\notag
$$
с оценкой (2.87), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\|\omega_{\Delta}(\varphi)\|\leqslant q_0\sup_{\varphi\in E}\|\Delta(\varphi)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда требуемое предельное равенство (2.90) вытекает автоматически. Добавим еще, что из представления
$$
\begin{equation*}
(\Lambda+g'(\varphi)+\Delta'(\varphi))^{-1}=(\Lambda+g'(\varphi))^{-1} \sum_{k=0}^{\infty}D^k(\varphi), \qquad D(\varphi)=-\Delta'(\varphi)(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки (2.86) получается аналогичное (1.20) свойство ограниченности
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi)+\Delta'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E} \leqslant\frac{q_0}{1-q_1(\Delta)}.
\end{equation}
\tag{2.91}
$$
Проделанный анализ показывает, что отображение $\overline{G}_{\Delta}(\varphi)$ действительно является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Проверим, далее, что его “спуск” на тор $\mathbb{T}^{\infty}$, т.е. отображение
$$
\begin{equation}
G_{\Delta}(\varphi)=\operatorname{pr}[\overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))] \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{2.92}
$$
будет диффеоморфизмом класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В силу уже установленной оценки (2.91) и равенства $G_{\Delta}(\mathbb{T}^{\infty})=\mathbb{T}^{\infty}$ (вытекающего из очевидных соотношений $\operatorname{pr}^{-1}(\mathbb{T}^{\infty})=E$, $\overline{G}_{\Delta}(E)=E$, $\operatorname{pr}(E)=\mathbb{T}^{\infty}$) для этого остается убедиться в инъективности отображения $G_{\Delta}$. В предположении противного существуют такие точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, что $G_{\Delta}(\varphi_1)=G_{\Delta}(\varphi_2)$. Тогда из (2.92) имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))]= \operatorname{pr}[\overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))]
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))+2\pi l
\end{equation}
\tag{2.93}
$$
при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, при анализе равенства (2.93) воспользуемся очевидным свойством
$$
\begin{equation*}
\overline{G}_{\Delta}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda l+\overline{G}_{\Delta}(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая данное обстоятельство и факт взаимной однозначности отображения $\overline{G}_{\Delta}$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}_{\Delta}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l), \qquad \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l.
\end{equation*}
\notag
$$
А так как, напомним, $\Lambda^{-1}l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то, вопреки предполагаемому выше, точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадают. Полученное противоречие доказывает справедливость требуемого включения $G_{\Delta}\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для завершения доказательства теоремы 1.3 остается проверить факт гиперболичности $G_{\Delta}$ при всех достаточно малых $\Delta\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$. В силу леммы 2.1 для этого достаточно показать, что из гиперболичности $\overline{G}$ вытекает гиперболичность $\overline{G}_{\Delta}$. Итак, пусть имеют место соотношения (2.4)–(2.7). Тогда, как и при доказательстве теоремы 1.2, в качестве $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ возьмем подпространства (2.73), положим $f_{\Delta}(\varphi)=\overline{G}_{\Delta}^{\,n_0}(\varphi)$, где $n_0\in\mathbb{N}$ удовлетворяет требованиям (2.72), и проверим выполнение в этом случае условий 1.1–1.3. Напомним, что справедливость для подпространств (2.73) условия 1.1 уже установлена выше. Поэтому остается убедиться в том, что для отображения $f_{\Delta}(\varphi)$ справедливы условия 1.2, 1.3. С этой целью обратимся к свойствам (2.89)–(2.91), из которых вытекает, что для любого фиксированного $n\in\mathbb{Z}$
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}_{\Delta}^{\,n}(\varphi)) -D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\|_{E\to E}\to 0 \quad\text{при }\ \|\Delta\|_{C^1_{\mathrm{per}}(E)}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда, в свою очередь, следует, что, во-первых, при всех достаточно малых $\Delta\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$ выполняется условие 1.2; во-вторых, величины $\alpha_j(\Delta)$, $\beta_j(\Delta)$, $\gamma_j(\Delta)$, $j=1, 2$, отвечающие отображению $f_{\Delta}(\varphi)$ и задающиеся равенствами вида (1.37)–(1.39), при $\|\Delta\|_{C^1_{\mathrm{per}}(E)}\to 0$ стремятся к конечным пределам $\alpha_j^0$, $\beta_j^0$, $\gamma_j^0$, $j=1, 2$. Принимая во внимание формулы (2.82), нетрудно заметить, что $\beta_1^0=\beta_2^0=\gamma_1^0=\gamma_2^0=0$, $\alpha_1^0=\alpha_1$, $\alpha_2^0=\alpha_2$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$ – величины (2.83). Тем самым при малых $\Delta\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$ заведомо выполняется и условие 1.3. Остается добавить, что условия 1.1–1.3 влекут гиперболичность $\overline{G}_{\Delta}$ (см. аналогичный фрагмент доказательства теоремы 1.1). Теорема 1.3 полностью доказана.
§ 3. Некоторые дополнения3.1. Инвариантное описание класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$Очевидно, что введенный нами класс диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$ не исчерпывает всех диффеоморфизмов тора $\mathbb{ T}^{\infty}$. В связи с этим возникает вопрос о том, при каких условиях произвольный диффеоморфизм $G\colon \mathbb{ T}^{\infty}\to\mathbb{ T}^{\infty}$ принадлежит указанному классу. При ответе на него прежде всего необходимо пояснить смысл термина “произвольный диффеоморфизм” применительно к бесконечномерному тору $\mathbb{ T}^{\infty}$. Как и в конечномерном случае, диффеоморфизмом $G$ тора $\mathbb{ T}^{\infty}$ назовем отображение $G\colon \mathbb{ T}^{\infty}\to\mathbb{ T}^{\infty}$ со следующими свойствами. Во-первых, считаем, что $G$ гомеоморфно отображает $\mathbb{ T}^{\infty}$ на $\mathbb{ T}^{\infty}$. Во-вторых, любое локальное поднятие отображения $G$ непрерывно дифференцируемо по Фреше и соответствующий дифференциал (представляющий собой ограниченный линейный оператор из $E$ в $E$) является обратимым. Второе из приведенных свойств диффеоморфизма $G$ нуждается в некоторых пояснениях. А именно, фиксируем произвольно точку $\varphi_0\in\mathbb{ T}^{\infty}$, положим затем $\varphi_1=G(\varphi_0)$ и рассмотрим произвольные прообразы $v_0=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$, $v_1=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$ этих точек. Под локальным поднятием отображения $G$ будем понимать отображение вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}[G(\operatorname{pr}(v))], \qquad\overline{G}_{v_0}(v_0)=v_1.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь, как и в (1.11), через $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi)$ обозначена непрерывная ветвь многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, выделяющаяся равенством $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi_1)=v_1$ и определенная на шаре $O(\varphi_1, r_0)\subset\mathbb{ T}^{\infty}$ (постоянная $r_0>0$ та же самая, что и в (1.11)). Что же касается переменной $v$ из (3.1), то она пробегает шар $O(v_0, \delta_0)=\{v\in E\colon \|v-v_0\|<\delta_0\}$, где $\delta_0\in(0, r_0)$ удовлетворяет требованию
$$
\begin{equation}
\rho(G(\operatorname{pr}(v)), \varphi_1)<r_0 \quad \forall\,v\in O(v_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности отображения $G(\operatorname{pr}(v))$ и равенства $G(\operatorname{pr}(v_0))=\varphi_1$ такая постоянная $\delta_0$ заведомо найдется. Подчеркнем, что оператор (3.1), будучи суперпозицией трех гомеоморфизмов $\operatorname{pr}$, $G$ и $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}$, гомеоморфно отображает шар $O(v_0, \delta_0)\subset E$ на некоторую окрестность точки $v_1\in E$. В случае же, когда $G$ – диффеоморфизм, мы a priori предполагаем, что при $\forall\,v\in O(v_0, \delta_0)$ производная Фреше $D(\overline{G}_{v_0}(v))$ существует, обратима и непрерывно зависит от $v$ в равномерной операторной топологии. Локальные представления (3.1) диффеоморфизма $G$ позволяют ввести для него понятие дифференциала $DG(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$, по правилу
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}=D(\overline{G}_{v_0}(v)) \quad \forall\,v\in O(v_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Следует отметить, что формула (3.3) корректна в том смысле, что, выбирая различные локальные представления, мы не можем получить для одной и той же точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ различные значения $DG(\varphi)$. Действительно, поскольку любые две непрерывные ветви отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ на пересечении своих областей определения (точнее говоря, на любой связной компоненте этого пересечения) отличаются на постоянную аддитивную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то то же самое верно и для любых двух локальных поднятий $\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)$, $\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v)$. Поэтому на их общей области определения автоматически имеем $D(\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)) =D(\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v))$. Отметим еще, что в случае диффеоморфизмов $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, для каждого из которых существует глобальное поднятие (1.32), формула (3.3) совпадает с (1.21). Понятие дифференциала позволяет дать инвариантное описание интересующего нас класса диффеоморфизмов $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, не зависящее от поднятий (как локальных, так и глобальных). А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1. Произвольный диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ принадлежит классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ в том и только том случае, когда Доказательство. Необходимость условий (3.4) устанавливается просто. Действительно, для любого диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ в силу равенства (1.21) и предположений (1.17), (1.20) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda+g'(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)) \|_{E\to E}=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda+g'(\varphi)\|_{E\to E} \\ &\qquad\leqslant\|\Lambda\|_{E\to E}+\sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ &\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(\Lambda+g'(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)))^{-1} \|_{E\to E} \\ &\qquad=\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обоснование достаточности условий (3.4) для выполнения нужного включения $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ проводится по следующей схеме. Сначала мы устанавливаем, что при упомянутых условиях любое локальное поднятие (3.1) диффеоморфизма $G$ может быть продолжено до глобального поднятия $\overline{G}(v)$, определенного на всем пространстве $E$. После этого убеждаемся в том, что, во-первых, $\overline{G}(v)$ допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}(v)=\Lambda v +g(v), \qquad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}), \quad g\in B^1_{\mathrm{per}}(E),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где, напомним, $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ и $B^1_{\mathrm{per}}(E)$ – введенные в п. 1.2 классы линейных операторов $\Lambda$ и вектор-функций $g;$ во-вторых, справедлива оценка вида (1.20). Фиксируем произвольно $v_0\in E$ и рассмотрим соответствующее локальное поднятие (3.1), определенное на шаре $O(v_0, \delta_0)$. Покажем сначала, что при условиях (3.4) радиус $\delta_0>0$ этого шара может быть выбран независящим от $v_0$. Действительно, для любого $v\in O(v_0, \delta_0)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\rho(G(\operatorname{pr}(v)), \varphi_1)\leqslant \|\overline{G}_{v_0}(v)-v_1\| =\|\overline{G}_{v_0}(v)-\overline{G}_{v_0}(v_0)\| \\ &\qquad \leqslant\sup_{v\in O(v_0, \delta_0)}\|D(\overline{G}_{v_0}(v))\|_{E\to E}\cdot \|v-v_0\|\leqslant N\delta_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
А отсюда, в свою очередь, заключаем, что условие (3.2) для отыскания $\delta_0$ заведомо выполняется при
$$
\begin{equation}
\delta_0=\mathrm{const}\in\biggl(0, \min\biggl(r_0, \frac{r_0}N\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Принимая во внимание данный способ выбора $\delta_0$, фиксируем произвольно вектор $\overline{v}_0\in O(v_0, \delta_0)$, положим $\overline{v}_1=\overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$ и рассмотрим аналогичные (3.1) вектор-функции
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}[G(\operatorname{pr}(v))], \qquad v\in O(\overline{v}_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Здесь $\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\overline{\varphi}_1)=\overline{v}_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\varphi}_1=G(\operatorname{pr}(\overline{v}_0))\in\mathbb{T}^{\infty}$. Как уже отмечалось выше, два различных локальных поднятия на пересечении областей определения отличаются друг от друга на постоянную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. В нашем же случае имеем $\overline{G}_{\overline{v}_0}(\overline{v}_0)=\overline{v}_1 =\overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$, а значит,
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v) =\overline{G}_{v_0}(v) \quad\forall\,v\in O(v_0, \delta_0)\cap O(\overline{v}_0, \delta_0).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Таким образом, мы можем доопределить отображение (3.1) на множество
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0, \delta_0)}O(\overline{v}_0, \delta_0)=O(v_0, 2\delta_0)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
по формуле
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)=\bigl\{\overline{G}_{\overline{v}_0}(v) \text{ при }\ v\in O(\overline{v}_0, \delta_0)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Добавим еще, что в силу (3.9) это определение заведомо корректно. На следующем шаге рассмотрим отображения (3.8) уже при $\overline{v}_0\in O(v_0, 2\delta_0)$ и доопределим исходное отображение (3.1) на аналогичное (3.10) множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0, 2\delta_0)}O(\overline{v}_0, \delta_0)=O(v_0, 3\delta_0)
\end{equation*}
\notag
$$
по правилу (3.11). Ясно, что в силу универсальности $\delta_0$ (см. (3.7)) этот процесс продолжается до бесконечности и приводит в итоге к глобальному поднятию $\overline{G}(v)$, $v\in E$. Как и каждое локальное поднятие, вектор-функция $\overline{G}(v)$ непрерывно дифференцируема по Фреше. Более того, согласно формуле (3.3) и предположениям (3.4) справедливы свойства ограниченности
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E} &=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{G}(v))^{-1}\|_{E\to E} &=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Что же касается диффеоморфизма $G$, то из локальных представлений вида (3.8) для него вытекает глобальное представление
$$
\begin{equation}
G(\varphi)=\operatorname{pr}[\overline{G}(v)]|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Из формулы (3.13) с необходимостью имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}(v+2\pi l)]=\operatorname{pr}[\overline{G}(v)] \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \quad \forall\,v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, найдется такое $\overline{l}\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(v+2\pi l)=\overline{G}(v)+2\pi\overline{l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности $\overline{G}(v)$ и свойства дискретности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элемент $\overline{l}$ не зависит от $v\in E$. Тем самым на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$ корректно определен оператор
$$
\begin{equation}
\Lambda l\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v+2\pi l)-\overline{G}(v))\in\mathbb{Z}^{\infty} \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Остановимся на некоторых свойствах оператора (3.14). Из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda (l_1+l_2) &=\frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v+2\pi (l_1+l_2))-\overline{G}(v)) \\ &=\frac{1}{2\pi}(\overline{G}((v+2\pi l_2)+2\pi l_1)-\overline{G}(v+2\pi l_2))+ \frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v+2\pi l_2)-\overline{G}(v)) \\ &=\Lambda l_1+\Lambda l_2 \quad\forall\,l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \Lambda (-l) &=\frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v-2\pi l)-\overline{G}(v)) \\ &=-\frac{1}{2\pi}(\overline{G}((v-2\pi l)+2\pi l)-\overline{G}(v-2\pi l)) =-\Lambda l \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Lambda(k_1l_1+k_2l_2)=k_1\Lambda l_1+k_2\Lambda l_2 \quad\forall\,l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}, \quad \forall\,k_1, k_2\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Кроме того, в силу (3.12) имеем
$$
\begin{equation}
\|\Lambda l\|\leqslant N\|l\| \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $N$ – постоянная (3.6). Установленные свойства (3.15), (3.16) позволяют продолжить оператор (3.14) с решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ на все пространство $E$ с сохранением свойств линейности и ограниченности. А именно, сначала для любой конечной линейной комбинации
$$
\begin{equation}
v=\alpha_1 l_1+\alpha_2 l_2+\dots +\alpha_k l_k, \qquad l_j\in\mathbb{Z}^{\infty}, \quad \alpha_j\in\mathbb{R}, \quad j=1, \dots, k,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
положим
$$
\begin{equation}
\Lambda v\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum_{j=1}^k\alpha_j\Lambda l_j.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Убедимся далее в том, что в случае (3.17), (3.18) сохраняется оценка вида (3.16), т.е. Предположим сначала, что все коэффициенты в (3.17) рациональны. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha_j=m_j/m$, $m_j\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N.}$ Тогда из (3.16), (3.18) имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\Lambda\biggl(\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}l_j\biggr)\biggr\| =\frac{1}{m}\biggl\|\Lambda\biggl(\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr)\biggr\| \leqslant\frac{N}{m}\biggl\|\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr\|=N \biggl\|\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}l_j\biggr\|.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Далее, фиксируем произвольно элемент (3.17) и выберем такие последовательности рациональных чисел $\alpha_j^{(n)}$, $j=1, \dots, k$, что $\alpha_j^{(n)}\to\alpha_j$ при $n\to+\infty$. В этом случае в силу (3.18), (3.20) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)}\Lambda l_j\biggr\| \leqslant N\biggl\|\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)} l_j\biggr\|.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Переходя затем в (3.21) к пределу при $n\to+\infty$, получаем требуемую оценку (3.19). Остается добавить, что в силу плотности в $E$ линейных комбинаций вида (3.17) (см. свойство максимальности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$) оператор $\Lambda$ однозначно продолжается на все пространство $E$ с сохранением неравенства (3.19). Итак, нами построен линейный ограниченный оператор $\Lambda\colon E\to E$, обладающий свойством $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Кроме того, в силу равенства (3.14) вектор-функция $g(v)=\overline{G}(v)-\Lambda v$ оказывается $2\pi$-периодической по $v$, непрерывно дифференцируемой по Фреше и такой, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{v\in E}\|g'(v)\|_{E\to E}\leqslant \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E}+ \|\Lambda\|_{E\to E}=N+\|\Lambda\|_{E\to E}\leqslant 2N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $N$ – постоянная (3.6). Следовательно, справедливо нужное включение $g(v)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$. Выполняется также и требуемое в определении класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ свойство ограниченности вида
$$
\begin{equation*}
\sup_{v\in E}\|(\Lambda+g'(v))^{-1}\|_{E\to E}=\sup_{v\in E}\|(D\overline{G}(v))^{-1}\|_{E\to E}=\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}} \|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для завершения доказательства теоремы 3.1 осталось убедиться в обратимости оператора $\Lambda$ и в справедливости включения $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Отметим, что все приведенные выше рассуждения остаются в силе и для обратного отображения $G^{-1}$. В частности, на шаре $O(v_1, \delta_0)\subset E$ корректно определено соответствующее ему локальное поднятие
$$
\begin{equation}
\overline{H}_{v_1}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}[G^{-1}(\operatorname{pr}(v))], \qquad \overline{H}_{v_1}(v_1)=v_0.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Здесь векторы $v_0, $ $v_1$ те же самые, что и в (3.1), а $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, для которой $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi_0)=v_0$. Что же касается постоянной $\delta_0$, то ее можно выбрать универсальным образом из условия (3.7), где теперь вместо (3.6)
$$
\begin{equation*}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, осуществляя продолжение локального поднятия (3.22) на все пространство $E$ по описанному выше правилу, получаем непрерывно дифференцируемую по Фреше вектор-функцию $\overline{H}(v)$, обладающую аналогичными (3.12) свойствами ограниченности
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{H}(v)\|_{E\to E} &=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{H}(v))^{-1}\|_{E\to E} &=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Кроме того, по построению имеет место аналогичное (3.13) представление
$$
\begin{equation}
G^{-1}(\varphi)=\operatorname{pr}[\overline{H}(v)]|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Последующие рассуждения повторяют изложенный выше фрагмент доказательства, связанный с оператором (3.14). А именно, опираясь на свойства (3.23) и формулу (3.24), убеждаемся в том, что где $h(v)\in B^1_{\mathrm{per}}(E)$, а линейный ограниченный оператор $D\colon E\to E$ таков, что $D\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, из представлений (3.13), (3.24) и очевидных соотношений $G(G^{-1}(\varphi))=\varphi$, $G^{-1}(G(\varphi))=\varphi$ для соответствующих поднятий $\overline{G}(v)$, $\overline{H}(v)$ получаем равенства
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v+2\pi l_1, \quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v+2\pi l_2 \quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности функций $\overline{G}(\overline{H}(v))-v$, $\overline{H}(\overline{G}(v))-v$ и дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элементы $l_1, l_2\in \mathbb{Z}^{\infty}$ из (3.26) не зависят от выбора $v\in E$. Более того, покажем, что на самом деле $l_1=l_2=0$. Действительно, обратимся сначала к первому равенству из (3.26) и подставим в него $v=v_1$. Тогда из очевидных свойств $\overline{H}(v_1)=v_0$, $\overline{G}(v_0)=v_1$ имеем $\overline{G}(\overline{H}(v_1))=v_1$ и, следовательно, $l_1=0$. Аналогичным образом, полагая $v=v_0$ во втором равенстве из (3.26), приходим к выводу, что $l_2=0$. Итак, мы убедились в справедливости формул
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v, \quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v \quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Заменяя, далее, в (3.27) аргумент $v$ на $v+2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и привлекая равенство (3.25) вместе с аналогичным представлением $\overline{G}(v)=\Lambda v+g(v)$, после несложных преобразований заключаем, что
$$
\begin{equation}
\Lambda Dl=l, \quad D\Lambda l=l \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
А поскольку, как было показано выше, любой линейный ограниченный оператор, заданный на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$, однозначно продолжается на $E$ (с сохранением свойств линейности и ограниченности), то из (3.28) автоматически имеем $\Lambda D=I$, $D\Lambda=I$, где, как обычно, $I$ – единичный оператор в пространстве $E$. Тем самым интересующий нас оператор $\Lambda$ обратим и $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}=D\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Теорема 3.1 доказана. 3.2. О некоторых достаточных условиях диффеоморфностиРассмотрим произвольное отображение $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto \Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}), \quad g(\varphi)\in B^1_{\mathrm{per}}(E),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
предполагая обратимым при любом $\varphi\in E$ оператор $\Lambda+g'(\varphi)\colon E\to E$. Для того чтобы применить к нему теоремы 1.1–1.3, необходимо сначала показать, что оно является диффеоморфизмом тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим возникает естественный вопрос о том, как можно проверить наличие данного свойства. Ответ на него содержится в следующем утверждении. Теорема 3.2. Пусть в дополнение к ограничениям, наложенным выше на отображение (3.29), справедливо включение $g(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$ и вполне непрерывно в пространстве $E$ отображение Тогда оператор (3.29) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Доказательство. Как показано в процессе доказательства теоремы 1.3, если диффеоморфизмом из $E$ в $E$ является поднятие $\overline{G}$ (см. (1.32)) оператора $G$, то таковым оказывается и само отображение (3.29). Тем самым в проверке нуждается факт диффеоморфности $\overline{G}$. Покажем сначала сюръективность отображения $\overline{G}$. В связи с этим фиксируем произвольно элемент $z\in E$ и рассмотрим уравнение $\overline{G}(\varphi)=z$ относительно $\varphi\in E$. Выполняя, далее, в нем замену $\varphi=\Lambda^{-1}z+h$, для нахождения $h\in E$ приходим к уравнению Опираясь на свойство ограниченности справедливое в силу включения $g(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$, и на факт полной непрерывности оператора (3.30), приходим к выводу, что по переменной $h$ правая часть уравнения (3.31) порождает в $E$ вполне непрерывный оператор, преобразующий в себя шар с центром в нуле радиуса
$$
\begin{equation*}
r=\|\Lambda^{-1}\|_{E\to E}\sup_{\varphi\in E}\|g(\varphi)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым в силу принципа Шаудера упомянутое уравнение допускает хотя бы одно решение $h\in E$, а значит, справедливо соотношение $\overline{G}(E)=E$. Добавим еще, что оператор $\overline{G}$ не только сюръективен, но и является локальным диффеоморфизмом (это вытекает из предполагаемой обратимости при $\forall\,\varphi\in E$ дифференциала $D\overline{G}(\varphi)$). Согласно результатам С. Банаха и С. Мазура (см. [13], [14]) если в дополнение к указанным свойствам отображение $\overline{G}$ собственное (т.е. прообраз $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ любого компактного множества $Y$ компактен), то оно будет и глобальным диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Следовательно, в проверке нуждается факт компактности $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ при любом компактном множестве $Y\subset E$. Фиксируем произвольно компакт $Y\subset E$ и бесконечную последовательность точек $x_n\in\overline{G}^{\,-1}(Y)$, $n\geqslant 1$. Без ограничения общности можно считать, что соответствующая последовательность $y_n=\Lambda x_n+g(x_n)\in Y$ сходится при $n\to+\infty$ к некоторому элементу $y_*\in Y$. Принимая во внимание этот факт, из соотношения и свойства (3.32) заключаем, что последовательность $x_n$ ограничена. А поскольку оператор (3.30) компактен, то из $g(x_n)$ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Не теряя общности, будем предполагать, что имеет место сходимость $g(x_n)\to z_*\in E$, $n\to+\infty$. Тогда, опираясь на формулу (3.33) и свойство непрерывности $g(\varphi)$, последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_n\to x_*=\Lambda^{-1}y_*-\Lambda^{-1}z_*, \\ g(x_n)\to g(x_*)=z_*,\quad n\to+\infty, \qquad\Lambda x_*+g(x_*)=y_*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым установлено включение $x_*\in \overline{G}^{\,-1}(Y)$, доказывающее компактность множества $\overline{G}^{\,-1}(Y)$. Итак, мы показали, что отображение $\overline{G}$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Как уже было сказано выше, в этом случае исходный оператор (3.29) представляет собой диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Теорема 3.2 доказана. 3.3. Анализ примераВ этом пункте приведем конкретный пример гиперболического диффеоморфизма из класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$, отличный от тривиального примера вида (1.26). Обратимся сначала к известному модифицированному отображению “кот Арнольда”, предложенному в работе [15]. Это отображение действует на торе
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}^2=\bigl\{\vartheta=\operatorname{colon}(\xi, \eta)\colon 0\leqslant \xi\leqslant 2\pi\ (\operatorname{mod} 2\pi),\, 0\leqslant \eta\leqslant 2\pi\ (\operatorname{mod} 2\pi)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и в координатах $\xi, \eta$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\xi\mapsto \xi+\eta+\delta\cos \eta\ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad \eta\mapsto \xi+2\eta\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
где $\delta=\mathrm{const}>0$. Анализ данного отображения на предмет гиперболичности проделан в [8], где было установлено, что оно является диффеоморфизмом Аносова при любом $\delta\in (0, 1)$. Интересующий нас пример представляет собой некоторое обобщение диффеоморфизма (3.34) на бесконечномерный случай. Для его описания введем в рассмотрение банахово пространство $E$, состоящее из векторов
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots), \qquad \vartheta_k=\operatorname{colon}(\xi_k, \eta_k)\in\mathbb{R}^2, \quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
для которых конечна норма (норму $\|\cdot\|_{*}$ в пространстве $\mathbb{R}^2$ выберем чуть позже). Далее, на торе
$$
\begin{equation*}
\!\!\!\mathbb{T}^{\infty}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\in E\colon \vartheta_k=\operatorname{colon}(\xi_k, \eta_k)\in\mathbb{T}^2,\, k\geqslant 1\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
определим оператор $G$ посредством равенства
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto\overline{G}(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где $\overline{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)$,
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi=\operatorname{colon}(\Lambda_0\vartheta_1, \Lambda_0\vartheta_2, \dots, \Lambda_0\vartheta_k, \dots), \qquad \Lambda_0=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Что же касается вектор-функции $g(\varphi)$, то она действует на любой вектор (3.35) из $E$ по правилу
$$
\begin{equation}
g(\varphi)=\operatorname{colon}(\overline{\vartheta}_1, \overline{\vartheta}_2, \dots, \overline{\vartheta}_k, \dots)\colon \quad \overline{\vartheta}_k=\operatorname{colon}(\delta_k\cos(\eta_{k+1}), 0), \quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
где
$$
\begin{equation}
\delta_k=\mathrm{const}>0 \quad \forall\,k\geqslant 1, \qquad \lim_{k\to+\infty}\delta_k=0.
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Введенное выше отображение (3.37) является одним из возможных обобщений конечномерного диффеоморфизма (3.34). Точнее говоря, оно представляет собой цепочку из счетного числа однонаправленно связанных двумерных отображений вида (3.34). Следует также отметить, что из формул (3.38)–(3.40) вытекают включения $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(E)$ и факт полной непрерывности соответствующего отображения (3.30). Таким образом, в силу теоремы 3.2 для доказательства диффеоморфности $G$ остается убедиться в обратимости при любом $\varphi\in E$ линейного оператора $D\overline{G}(\varphi)\colon E\to E$. Что же касается включения $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$, то для его проверки необходимо дополнительно установить справедливость свойства ограниченности (1.20). Как будет показано в дальнейшем, эти факты имеют место при некотором добавочном ограничении на фигурирующие в (3.40) постоянные $\delta_k$, $k\geqslant 1$. При изучении вопроса об обратимости дифференциала $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$ воспользуемся одним вспомогательным результатом. Перед его формулировкой оговорим следующее. Будем считать, что в приведенном ниже утверждении одним и тем же символом $\|\cdot\|$ обозначены как произвольная норма в $\mathbb{R}^m, m\geqslant 1$, так и соответствующая ей индуцированная норма в пространстве квадратных матриц размера $m\times m$. Теорема 3.3. Пусть при некотором натуральном $m$ заданы две последовательности $A_k$, $B_k$, $k\geqslant 1$, квадратных $(m\times m)$-матриц таких, что Доказательство. Фиксируем произвольно последовательность векторов вида (3.43) и рассмотрим отвечающую ей последовательность
$$
\begin{equation}
x_s=A_s^{-1}y_s+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \biggl(\prod_{n=1}^kA_{s+n-1}^{-1}B_{s+n-1}\biggr)A_{s+k}^{-1}y_{s+k}, \qquad s\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Опираясь на соотношения (3.42), (3.47), несложно показать, что, во-первых, эта последовательность обладает требуемым в (3.45) свойством ограниченности и удовлетворяет системе (3.44); во-вторых, для нее справедлива оценка (3.46). Поэтому для завершения обоснования теоремы остается проверить, что соответствующая однородная система допускает только одно ограниченное решение $\{x_k,\, k\geqslant 1\}$ – нулевое. Пусть $\{x_k, k\geqslant 1\}$ – произвольное ограниченное решение системы (3.48). Тогда, привлекая первые $k$ уравнений этой системы, выражаем $x_1$ через $x_{k+1}$ по формуле
$$
\begin{equation}
x_1=(-1)^k \biggl(\prod_{n=1}^kA_{n}^{-1}B_{n}\biggr)x_{k+1}.
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Заметим, далее, что $\sup_{k\geqslant 1}\|x_k\|<\infty$, а из условий (3.41), (3.42) последовательно имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{s\geqslant 1}\|A_s^{-1}\|<\infty, \qquad \sum_{k=1}^{\infty}\|A_{k+1}^{-1}\| \prod_{n=1}^{k}\bigl(\|A_{n}^{-1}\|\,\|B_{n}\|\bigr)<\infty, \\ \lim_{k\to+\infty}\prod_{n=1}^{k}\bigl(\|A_{n}^{-1}\|\,\|B_{n}\|\bigr)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя эти факты и переходя в равенстве (3.49) к пределу при $k\to+\infty$, убеждаемся в том, что $x_1=0$. Аналогичным образом, привлекая блок соотношений (3.48) с номерами $s$, $s+1$, $\dots$, $s+k-1$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
x_s=(-1)^k \biggl(\prod_{n=1}^kA_{s+n-1}^{-1}B_{s+n-1}\biggr)x_{s+k}, \qquad s\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Как и в предыдущем случае, нетрудно увидеть, что при любом фиксированном $s\geqslant 1$ и при $k\to+\infty$ правая часть формулы (3.50) стремится к нулю. Тем самым автоматически $x_s=0$ $\forall\,s\in\mathbb{N}$. Теорема 3.3 доказана. Прежде чем перейти к изучению свойств обратимости оператора $D\overline{G}(\varphi)$, уточним выбор нормы $\|\cdot\|_{*}$ в (3.36). С этой целью введем в рассмотрение собственные значения
$$
\begin{equation}
\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1, \qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
матрицы $\Lambda_0$ из (3.38) и отвечающие им собственные векторы
$$
\begin{equation}
e_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}}\operatorname{colon}(1, \lambda_s-1), \qquad s=1, 2.
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Далее, опираясь на формулы
$$
\begin{equation}
\vartheta_k=t_k e_1+\tau_k e_2, \qquad t_k=(\vartheta_k, e_1), \qquad\tau_k=(\vartheta_k, e_2),
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
где $(\cdot, \cdot)$ – евклидово скалярное произведение, положим
$$
\begin{equation}
\|\vartheta_k\|_{*}=\max(c_1^0|t_k|, c_2^0|\tau_k|) \quad \forall\,k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
где постоянные $c_j^0>0$, $j=1, 2$, пока произвольны. Что же касается оператора $\Lambda+g'(\varphi)$, то в переменных $t_k$, $\tau_k$, $k\geqslant 1$, из (3.53) он принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &t_k\mapsto\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1, e_1)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2, e_1)\tau_{k+1}, \\ &\tau_k\mapsto\lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_1, e_2)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2, e_2) \tau_{k+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
где $k\in\mathbb{N}$, а двумерные матрицы $C_k(\varphi)$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
C_k(\varphi)=-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\delta_k\sin(\eta_{k+1}).
\end{equation}
\tag{3.56}
$$
Фиксируем произвольно две ограниченные числовые последовательности $\overline{t}_k$, $\overline{\tau}_k$, $k\geqslant 1$, и рассмотрим счетную систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1, e_1)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2, e_1)\tau_{k+1}=\overline{t}_k, \\ &\lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_1, e_2)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2, e_2)\tau_{k+1}=\overline{\tau}_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
В силу представления (3.55) проверка факта обратимости интересующего нас оператора $D\overline{G}(\varphi)$ сводится к доказательству существования у этой системы единственного решения $\{t_k, \tau_k, k\geqslant 1\}$, где $t_k$, $\tau_k$ – ограниченные числовые последовательности. Для удобства дальнейшего анализа перепишем систему (3.57) в векторной форме, полагая
$$
\begin{equation}
x_k=\operatorname{colon}(t_k, \tau_k), \quad y_k=\operatorname{colon}(\overline{t}_k, \overline{\tau}_k), \quad A_k=\operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2\}, \qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
$$
\begin{equation}
B_k=\begin{pmatrix} (C_k(\varphi)e_1, e_1)&(C_k(\varphi)e_2, e_1) \\ (C_k(\varphi)e_1, e_2)&(C_k(\varphi)e_2, e_2) \end{pmatrix}, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
В результате получаем систему вида (3.44), к которой затем попытаемся применить теорему 3.3. Для проверки выполнения условий упомянутой теоремы оценим нормы операторов $A_k$, $B_k$ из (3.58), (3.59). Принимая во внимание способ (3.54) задания нормы в $\mathbb{R}^2$ и опираясь на явные формулы (3.51), (3.52), (3.56), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|A_k^{-1}\|=\frac{1}{\lambda_2}, \\ &\|B_k\|{\kern1pt}{=}\max\biggl(|(C_k(\varphi)e_1, e_1)|{\kern1pt}{+}\,c_0|(C_k(\varphi)e_2, e_1)|, \frac{1}{c_0}|(C_k(\varphi)e_1, e_2)|{\kern1pt}{+}\,|(C_k(\varphi)e_2, e_2)|\biggr) \notag \\ &\qquad\, \leqslant\delta_k\max\biggl(\frac{1}{\sqrt{5}}+c_0\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}},\, \frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{c_0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
где $c_0=c_1^0/c_2^0$. Далее, распорядимся имеющимся в запасе свободным параметром $c_0>0$ таким образом, чтобы минимизировать правую часть неравенства из (3.60). В результате убеждаемся в том, что соответствующий минимум достигается при а для последовательности матриц $B_k$ при указанном выборе $c_0$ получаются оценки
$$
\begin{equation}
\|B_k\|\leqslant\frac{2\delta_k}{\sqrt{5}}, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
Всюду ниже считаем, что выполнено условие
$$
\begin{equation}
\theta_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{s\geqslant 1}\frac{1}{\lambda_2}\biggl( 1+\sum_{k=1}^{\infty}\biggl(\frac{4}{\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}\biggr)^k \prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\biggr)<\infty.
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
Тогда в силу (3.60), (3.61) мы заведомо находимся в рамках применимости теоремы 3.3, из которой и вытекает требуемая обратимость $D\overline{G}(\varphi)$. Более того, из неравенства вида (3.46) и из способа задания нормы в $E$ (см. (3.36), (3.54)) заключаем, что в данном случае
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}\leqslant \theta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta_0$ – постоянная из (3.62). Тем самым при условии (3.62) интересующее нас отображение (3.37) является диффеоморфизмом класса $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для получения условий гиперболичности диффеоморфизма (3.37) воспользуемся теоремой 1.1. Поскольку оператор (3.38) очевидным образом гиперболичен, то в качестве фигурирующих в разложении (1.29) подпространств в данном случае возьмем $E_1(\varphi)=E_1$, $E_2(\varphi)=E_2$. Здесь $E_1$, $E_2$ – корневые подпространства оператора $\Lambda$, имеющие вид
$$
\begin{equation}
E_1 =\bigl\{u=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\colon \vartheta_k=t_ke_1,\, t_k\in\mathbb{R},\, k\geqslant 1,\,\sup_{k\geqslant 1}|t_k|<\infty\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
$$
\begin{equation}
E_2 =\bigl\{v=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\colon\vartheta_k=\tau_ke_2,\, \tau_k\in\mathbb{R},\, k\geqslant 1,\,\sup_{k\geqslant 1}|\tau_k|<\infty\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
Очевидно, что введенное выше пространство $E$, состоящее из векторов (3.35), раскладывается в прямую сумму $E_1\oplus E_2$ и
$$
\begin{equation}
\Lambda u=\lambda_1 u \quad\forall\,u\in E_1, \qquad\Lambda v=\lambda_2 v \quad\forall\,v\in E_2.
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
Что же касается проекторов $P$ и $Q$, отвечающих данному разложению, то они действуют по правилу
$$
\begin{equation}
P\xi=u, \quad Q\xi=v \quad\forall\,\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k, \dots)\in E,
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
где $\xi_k\in\mathbb{R}^2$, $k\geqslant 1$, а векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots), \qquad \vartheta_k=t_ke_1, \quad t_k=(\xi_k, e_1), \quad k\geqslant 1, \\ v&=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots), \qquad \vartheta_k=\tau_ke_2, \quad\tau_k=(\xi_k, e_2), \quad k\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
Обратимся теперь к отображению (1.33) при $n_0=1$ и заметим, что для отвечающих ему операторов (1.34), (1.35) в силу соотношений (3.63)–(3.67) получаются некоторые явные формулы. Для того чтобы вывести эти формулы, отождествим векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ с бесконечномерными векторами
$$
\begin{equation*}
t=\operatorname{colon}(t_1, t_2, \dots, t_k, \dots), \qquad\tau=\operatorname{colon}(\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_k, \dots),
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_k$, $\tau_k$ – координаты из (3.63), (3.64). В результате приходим к серии представлений
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 1}(\varphi)\colon t\mapsto\overline{t} =\operatorname{colon} \bigl(\lambda_1t_1+(C_1(\varphi)e_1, e_1)t_2, \lambda_1t_2+(C_2(\varphi)e_1, e_1)t_3,\dots,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1, e_1)t_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{3.68}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 1}(\varphi)\colon \tau\mapsto t=\operatorname{colon} \bigl((C_1(\varphi)e_2, e_1)\tau_2, (C_2(\varphi)e_2, e_1)\tau_3,\dots,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad(C_k(\varphi)e_2, e_1)\tau_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi)\colon t\mapsto \tau =\operatorname{colon} \bigl((C_1(\varphi)e_1, e_2)t_2, (C_2(\varphi)e_1, e_2)t_3,\dots,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 2}(\varphi)\colon \tau\mapsto\overline{\tau} =\operatorname{colon} \bigl(\lambda_2\tau_1+(C_1(\varphi)e_2, e_2)\tau_2, \lambda_2\tau_2+ (C_2(\varphi)e_2, e_2)\tau_3,\dots,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_2, e_2)\tau_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
где, напомним, $C_k(\varphi)$, $k\geqslant 1$, – матрицы (3.56). Для проверки выполнения в данном случае условия 1.2 рассмотрим счетную систему вида
$$
\begin{equation}
\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1, e_1)t_{k+1}=\overline{t}_k, \qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
где $\{\overline{t}_k, k\geqslant 1\}$ – произвольная ограниченная числовая последовательность. Далее, опираясь на очевидные оценки
$$
\begin{equation*}
|(C_k(\varphi)e_1, e_1)|\leqslant\frac{\delta_k}{\sqrt{5}}, \qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя теорему 3.3, приходим к выводу, что при дополнительном предположении
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{s\geqslant 1}\frac{1}{\lambda_1}\biggl( 1+\sum_{k=1}^{\infty}\biggl(\frac{2}{\sqrt{5}(3+\sqrt{5})}\biggr)^k \prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\biggr)<\infty
\end{equation}
\tag{3.73}
$$
система (3.72) имеет единственное ограниченное решение $\{t_k, k\geqslant 1\}$. А отсюда и из представления (3.68) заключаем, что оператор $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_1}\leqslant\alpha_1^0.
\end{equation}
\tag{3.74}
$$
Оценки норм оставшихся операторов $\Lambda_{1, 2}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 1}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ не вызывают затруднений. Действительно, опираясь на формулы (3.69)–(3.71), несложно показать, что
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1\to E_2} \leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\sup_{\varphi\in E,\,k\geqslant 1}|(C_k(\varphi)e_1, e_2)|\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \max_{k\geqslant 1}\delta_k,
\end{equation}
\tag{3.75}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2\to E_1} \leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\sup_{\varphi\in E,\,k\geqslant 1}|(C_k(\varphi)e_2, e_1)|\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k,
\end{equation}
\tag{3.76}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|_{E_2\to E_2} \leqslant\sup_{\varphi\in E,\,k\geqslant 1}(\lambda_2+|(C_k(\varphi)e_2, e_2)|)\leqslant\lambda_2+\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k.
\end{equation}
\tag{3.77}
$$
Обратимся теперь к заключительному условию 1.3 и убедимся в том, что требования (1.40) будут заведомо выполняться при
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0<1, \qquad \alpha_2^0<1, \qquad\frac{\alpha_1^0}{5}\Bigl(\max_{k\geqslant 1}\delta_k\Bigr)^2<(1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0),
\end{equation}
\tag{3.78}
$$
где $\alpha_1^0$ – величина (3.73), а постоянная $\alpha_2^0$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
\alpha_2^0=\lambda_2+\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, из формул (1.37)–(1.39) и оценок (3.74)–(3.77) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_1\leqslant\alpha_1^0, \qquad\alpha_2\leqslant\alpha_2^0, \qquad \beta_1\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k, \qquad\beta_2\leqslant\alpha_1^0\frac{c_1^0}{c_2^0}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k, \\ \gamma_1\leqslant\alpha_1^0\frac{c_2^0}{c_1^0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k, \qquad\gamma_2\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда, в свою очередь, вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)\leqslant \frac{\alpha_1^0}{5}\Bigl(\max_{k\geqslant 1}\delta_k\Bigr)^2<(1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0) \leqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подводя итог, отметим, что при условии (3.62) интересующее нас отображение (3.37) принадлежит классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, а при дополнительных ограничениях (3.78) согласно теореме 1.1 является гиперболическим. Однако, поскольку эти условия трудно проверяемы, то целесообразно заменить их более сильными, но одновременно и более простыми ограничениями. Для того чтобы сделать это, привлечем очевидные оценки
$$
\begin{equation}
\prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\leqslant\Bigl(\max_{m\geqslant 1}\delta_m\Bigr)^k \quad \forall\, k, s\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.79}
$$
Учитывая их в формуле для $\theta_0$ (см. (3.62)), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\theta_0\leqslant\frac{1}{\lambda_2}\biggl(1+\sum_{k=1}^{\infty} \biggl(\frac{4}{\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}\max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr)^k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым условие (3.62) заведомо справедливо при
$$
\begin{equation}
\max_{m\geqslant 1}\delta_m<\frac{\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}{4}.
\end{equation}
\tag{3.80}
$$
Для проверки условий (3.78), считая требование (3.80) выполненным, обратимся сначала к формуле (3.73). Снова опираясь на оценки (3.79), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0\leqslant\biggl(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.81}
$$
Далее, используя неравенство (3.81), перейдем от (3.78) к более сильным условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr)^{-1}<1, \quad \max_{m\geqslant 1}\delta_m<\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{2}, \\ \frac{1}{5}\bigl(\max_{m\geqslant 1}\delta_m\bigr)^2< \biggl(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr) \biggl(\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что все они в случае (3.80) справедливы автоматически. Следовательно, оценка (3.80) и есть искомое достаточно простое требование, гарантирующее как включение $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, так и гиперболичность диффеоморфизма (3.37). 3.4. ЗаключениеСуммируя полученные результаты, обратим внимание на следующие два новых момента. Во-первых, в настоящей работе предлагается новое определение бесконечномерного тора, отличное от общепринятого, данного в [4]. Основное преимущество нашего определения состоит в том, что в его рамках тор $\mathbb{T}^{\infty}$ является аналитическим банаховым многообразием с финслеровой метрикой. Последнее обстоятельство позволяет для произвольного диффеоморфизма $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$ определить обычным образом понятие гиперболичности. Во-вторых, вводится в рассмотрение новый класс $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ диффеоморфизмов тора $\mathbb{T}^{\infty}$ и для отображений из этого класса устанавливается некоторый критерий гиперболичности. Предложенный критерий является новым не только в бесконечномерном, но и в конечномерном случае, когда вместо $\mathbb{T}^{\infty}$ имеем дело с тором $\mathbb{T}^{m}, m\geqslant 2$. Кроме того, в отличие от известного критерия конусов (который, кстати, обоснован пока только в конечномерной ситуации), он носит более конструктивный характер. Остановимся на некоторых нерешенных проблемах. Во-первых, остается открытым вопрос о существовании более широкого, чем $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, класса диффеоморфизмов, в рамках которого свойство гиперболичности является $C^1$-грубым. Во-вторых, как уже отмечалось в п. 1.2, открыт вопрос о том, вытекает ли из гиперболичности диффеоморфизма $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ гиперболичность его линейной части (1.26). В-третьих, пока не ясно, будет ли любой гиперболический диффеоморфизм $G$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ автоматически принадлежать классу $\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В заключение добавим, что при минимальных условиях (3.4) получилось доказать только $C^1$-грубость свойства гиперболичности. При попытке же распространения на случай бесконечномерного тора других стандартных фактов гиперболической теории приходится налагать на отображения $G\in\mathrm{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ ряд дополнительных ограничений. На этом пути удается установить существование у гиперболического диффеоморфизма $G$ устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений, сопряженность $G$ с линейным гиперболическим автоморфизмом тора, топологическое перемешивание и факт структурной устойчивости $G$ в подходящем классе возмущений. Соответствующие результаты будут опубликованы отдельно. Здесь же отметим, что всеми перечисленными свойствами заведомо обладает приведенный выше диффеоморфизм (3.37) в случае выполнения условий (3.40), (3.80). БлагодарностьАвторы выражают искреннюю благодарность Николаю Христовичу Розову, принимавшему активное участие в обсуждении результатов, полученных в настоящей работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|