| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Топологический тип изоэнергетических поверхностей биллиардных книжек В. В. Ведюшкина Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9528 
Реферативные базы данных:
   Мы будем рассматривать реализацию биллиардами трехмерных граф-многообразий (многообразий Вальдхаузена), получающихся связными суммами 3-многообразий $S^1\times S^2$ и линзовых пространств. Они принадлежат классу так называемых малых многообразий Зейферта. Напомним, что многообразие Зейферта с базой сфера и не более чем двумя особыми слоями имеет род Хегора 0 или 1, т.е. является линзовым пространством или гомеоморфно одному из многообразий $S^3$, $S^1\times S^2$, $RP^3$. Напомним также, что класс многообразий Вальдхаузена совпадает с классом изоэнергетических 3-поверхностей интегрируемых невырожденных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. работу А. Т. Фоменко и Х. Цишанга [1], а также книгу А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [2]). Биллиардом (не обязательно интегрируемым) называется динамическая система, описывающая движение материальной точки внутри плоской области в $\mathbb{R}^2$, ограниченной набором гладких или кусочно гладких кривых, см. [3], [4]. При этом в точках, где кривая не является гладкой, ее угол излома равен ${\pi}/{2}$. Назовем такую область биллиардной областью. Отметим, что в первой части работы мы будем рассматривать не обязательно интегрируемые биллиарды, т.е. не обязательно ограниченные дугами софокусных квадрик. Отметим, что в предыдущих работах мы изучали в основном интегрируемые биллиарды. Во второй части настоящей работы мы рассмотрим интегрируемые биллиарды. Внутри биллиардной области материальная точка движется по отрезкам прямых, а при попадании на границу отражается по естественному закону (“угол падения равен углу отражения”). При попадании в прямой угол точка после отражения продолжает движение по той же прямой, по которой попала в этот угол. Потребуем, чтобы отражение происходило без потери скорости частицы. В этом случае можно говорить, что у такой системы появляется первый интеграл, а именно энергия системы (длина вектора скорости частицы). Ограничим нашу систему на изоэнергетическую поверхность $Q^3$ постоянной энергии, приняв, что длина вектора скорости вдоль траекторий равна единице. Для того чтобы биллиард стал интегрируемым в смысле Лиувилля (так называемым вполне интегрируемым), надо наложить условия на граничные дуги биллиарда. Такие биллиарды мы будем рассматривать в теореме 3 и будем тогда для краткости говорить просто об “интегрируемости”, а не о “полной интегрируемости”. Сначала докажем несколько простых фактов о топологическом типе изоэнергетических биллиардных поверхностей. Предложение 1. Изоэнергетическое многообразие $Q^3$ биллиарда (не обязательно интегрируемого) в биллиардной области $\Omega$, гомеоморфной кольцу (т.е. ограниченной двумя гладкими связными кривыми), гомеоморфно прямому произведению $S^1\times S^2$. Доказательство. Рассмотрим естественную проекцию $h\colon Q^3\to\Omega$ изоэнергетической 3-поверхности на биллиардную область.
Пусть плоская область $\Omega$ ограничена двумя гладкими кривыми $l_1$ и $l_2$. Очевидно, что между кривыми $l_1$ и $l_2$ существует регулярная гомотопия $\varphi$, следовательно, область между ними можно заполнить непересекающимися кривыми вида $ \varphi(x,t)$, $t\in[0;1]$, где $\varphi(x,t)$ – это точка кривой $l_1$ при $t=0$ и кривой $l_2$ при $t=1$. При $0< t<1$ точка $\varphi(x,t)$ может быть оснащена целой окружностью векторов скорости, поэтому прообраз $h^{-1}(\varphi(x,t))$, $t\in (0,1)$ в $Q^3$ гомеоморфен открытому цилиндру. Если точка $\varphi(x,t)$ лежит на кривых $l_1$ и $l_2$, т.е. при $t=0$ и $t=1$, то вследствие закона отражения она может быть оснащена векторами скорости, множество которых в этой точке гомеоморфно отрезку. Поэтому прообраз любой кривой $ \varphi(x,t)$, $x\in l$, $t\in[0;1]$, оснащенный векторами скорости, гомеоморфен цилиндру, у которого две граничные окружности заклеены в отрезки, т.е. двумерной сфере $S^2$. Так как кривые $l_1$ и $l_2$ гомеоморфны окружности $S^1$, то многообразие $Q^3$ будет гомеоморфно прямому произведению $S^1\times S^2$. Предложение доказано. В статье Е. Гуткина [5] упомянут следующий факт: если плоская односвязная область $\Omega$ ограничена некоторой гладкой кривой, то изоэнергетическое многообразие $Q^3$ биллиардной системы, определенной на такой области, гомеоморфно трехмерной сфере $S^3$. Ниже приведено доказательство этого факта, необходимое нам для последующих результатов. Предложение 2. Изоэнергетическое многообразие $Q^3$ биллиарда (не обязательно интегрируемого) в любой плоской односвязной области $\Omega$, ограниченной кусочно гладкой кривой, углы излома которой составляют ${\pi}/{2}$, гомеоморфно сфере $S^3$. Доказательство. Докажем утверждение в случае, когда кривая $\gamma$, ограничивающая область $\Omega$, не имеет углов. Рассмотрим естественную проекцию $h\colon Q^3\to \Omega$. Разрежем многообразие $Q^3$ на два куска следующим образом. Рассмотрим гладкую связную несамопересекающуюся кривую $l$ строго внутри области $\Omega$. Очевидно, что такая кривая гомотопна кривой $\gamma$. Прообраз $h^{-1}(l)$ кривой $l$ в 3-поверхности $Q^3 $ гомеоморфен тору. Разрежем изоэнергетическое многообразие $Q^3$ по этому тору. Оно распадется на два куска. Докажем, что каждый из них гомеоморфен полноторию.
“Внешний” кусок многообразия $Q^3$ образован прообразами точек, расположенными между кривыми $l$ и $\gamma$. Напомним, что между кривыми $l$ и $\gamma$ существует регулярная гомотопия $\phi$, следовательно, область между ними можно заполнить непересекающимися кривыми вида $\phi(x,t)$, $x\in l$, $t\in[0;1]$. При $0\leqslant t<1$ точка $\phi(x,t)$ может быть оснащена целой окружностью векторов скорости, поэтому прообразом всех таких точек в изоэнергетическом многообразии $Q^3$ будет цилиндр. При $t=1$, т.е. когда точка $\phi(x,t)$ лежит на границе области $\Omega$, она может быть оснащена только отрезком точек вследствие закона отражения. Поэтому прообразом любой кривой $ \phi(x,t)$, $x\in l$, $t\in[0;1]$, будет диск. Таким образом, “внешний” кусок многообразия $Q^3$ гомеоморфен полноторию, образованному прямым произведением кривой $l$ и прообраза одной из гомотопных друг другу кривых $ \phi(x,t)$, $x\in l$, $t\in[0;1]$. Рассмотрим в этом полнотории прообраз точки некоторой фиксированной кривой $ \phi(x,0)$, $x\in l$. Этот прообраз является окружностью, которая стягиваема в этом полнотории: при движении по кривой эта окружность стягивается в отрезок (так как конечной точке кривой соответствует точка на граничной кривой $\gamma$ биллиарда). При этом эта окружность является циклом на граничном торе полнотория, а кривая $l$, оснащенная в каждой точке некоторым вектором (например, вектором $(1,0)$), будет гомотопна оси полнотория. Эта окружность также является циклом на граничном торе полнотория и вместе с прообразом точки некоторой фиксированной кривой $ \phi(x,0)$, $x\in l$, образует базис граничного тора этого полнотория. “Внутренний” кусок многообразия $Q^3$ образован прообразами точек, расположенными внутри кривой $l$. Его можно описать следующим образом: каждую точку области $\Omega$, расположенную внутри кривой $l$, можно оснастить окружностью точек. Так как область внутри $l$, очевидно, связна, то “внутренний” кусок многообразия $Q^3$ гомеоморфен прямому произведению диска (области внутри кривой $l$) на окружность единичных векторов скорости. При этом стягивающимся циклом является сама кривая $l$, будучи оснащенной в каждой точке вектором скорости $(1,0)$. Единичная окружность векторов, которым оснащена произвольная точка кривой $l$, очевидно, не может быть стянута по “внутреннему” куску многообразия $Q^3$. Таким образом, склейка на граничном торе $T^2$ склеивает стягиваемый цикл одного полнотория с циклом, гомотопным оси другого полнотория. Результатом этой склейки, как хорошо известно, является многообразие, гомеоморфное трехмерной сфере $S^3$. Покажем, что прообраз достаточно малой окрестности любого прямого угла в области $\Omega$ гомеоморфен трехмерному диску. Фиксируем угол $A$ и некоторое достаточно малое $\varepsilon>0 $. Расслоим $\varepsilon$-окрестность угла $A$ на дуги окружностей с центром в вершине угла. Прообраз в изоэнергетической поверхности $Q^3$ каждой дуги гомеоморфен двумерной сфере: внутренние области образуют цилиндр, который заклеивается вдоль двух отрезков, соответствующих векторам на границе области. Прообразом вершины угла является отрезок. Таким образом, в $Q^3$ прообраз угла – это стягивающиеся на отрезок двумерные сферы, т.е. трехмерный диск. Пусть теперь кривая $\gamma$ не гладкая, а имеет $n$ углов $A_i={\pi}/{2}$, $i=1,\dots,n$. Фиксируем некоторое достаточно малое $\varepsilon>0$. Гладко аппроксимируем кусочно гладкую кривую $\gamma$ гладкой кривой $\widetilde{\gamma}$ такой, что эта кривая совпадает с кривой $\gamma$ всюду, кроме $\varepsilon$-окрестностей углов $A_i$ кривой $\gamma$. Плоскую область, ограниченную кривой $\widetilde{\gamma}$, обозначим через $\widetilde{\Omega}$. Изоэнергетическая поверхность $\widetilde{Q}^3$ для биллиарда в области, ограниченной кривой $\widetilde{\gamma}$, гомеоморфна $S^3$, как уже было доказано. Будем последовательно заменять окрестности граничных $\widetilde{\gamma}$ и приклеивать к ним окрестности углов кривой $\gamma$. Эта операция есть операция вырезания одного трехмерного диска и вклейка другого. Она не меняет $Q^3$. Предложение доказано. Замечание 1. Заметим, что точки кривой $\gamma$, будучи оснащены единичными векторами скорости, будут гомеоморфны кольцу, только если кривая $\gamma$ является гладкой. Пусть кривая $\gamma$ имеет точку излома, образуя угол, равный ${\pi}/{2}$. Разобьем локально окрестность точки излома $A$ на две подкривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Будем считать, что кривая $\gamma_1$ расположена вертикально, а кривая $\gamma_2$ горизонтально. Оснастим каждую точку этих кривых векторами скорости. При этом кривую $\gamma_1$ оснастим векторами, направленными не правее касательной к кривой $\gamma_1$, а кривую $\gamma_2$ – векторами, направленными не выше касательной к кривой $\gamma_2$. Остальные векторы, которыми могут быть оснащены кривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$, мы не принимаем во внимание вследствие закона отражения. В точке излома $A$ происходит “двойное отражение”, а именно, точка может быть оснащена векторами, направленными не правее касательной в точке $A$ к кривой $\gamma_1$ и не выше касательной к кривой $\gamma_2$. Таким образом, отрезок, лежащий в прообразе любой неугловой точки кривых $\gamma_1$ и $\gamma_2$ “складывается пополам” (рис. 1). Однако, как легко понять, сам прообраз точек кривой $\gamma$ гомотопически эквивалентен окружности, которая получается в результате стягивания любого отрезка в прообразе каждой точки. Напомним определение динамической системы биллиардной книжки. Рассмотрим клеточный комплекс, клетки которого являются биллиардными областями, т.е. подмножествами плоскости, ограниченными кусочно гладкими кривыми с углами в точках излома, равными ${\pi}/{2}$. Оснастим каждую одномерную клетку – корешок книжки – циклической перестановкой из группы $S(k)$, где $k$ – это количество двумерных клеток, приклеенных к данному корешку. Тогда биллиардное движение по книжке определяется следующим образом. Внутри биллиардных листов движение происходит по отрезкам прямых. Если точка движется по листу с номером $i$, то при попадании на корешок книжки $l$ после отражения точка продолжит движение по листу с номером $\sigma(i)$, где $\sigma$ – это перестановка на корешке $l$. Для корректного определения движения необходимо потребовать, чтобы перестановки в одномерных клетках были согласованы (см. подробнее [6]). Здесь нам подробно необходимо рассмотреть только следующий случай. Локально в окрестности каждой вершины рассмотрим естественное вложение всех элементарных биллиардов в плоскость. Потребуем, чтобы в образе сумма углов при вершине равнялась ${\pi}/{2}$. Локальная структура окрестности вершины склейки в этом случае показана на рис. 2. Для каждой стороны угла определим перестановку $\sigma$ как объединение независимых циклов, приписанных корешкам – прообразам этой дуги. В нульмерных клетках (вершинах биллиарда) необходимо потребуем коммутирования перестановок $\sigma_1$ и $\sigma_2$, т.е. $\sigma_1\circ\sigma_2= \sigma_2\circ\sigma_1$. Это условие является следствием требования о корректном определении по непрерывности траектории, которая попадает в угол. Естественно потребовать, чтобы траектория материальной точки непрерывно менялась при изменении начальных данных в окрестности вершин биллиарда. Это позволяет обобщить закон биллиардного отражения в прямых углах, а именно, материальная точка, ударяющаяся в вершину прямого угла, после отражения продолжает движение по той же прямой, по которой и попала в этот угол. Замечание 2. Факт того, что фазовое пространство и изоэнергетическая поверхность биллиардной книжки действительно являются кусочно гладкими многообразиями, неочевиден. Однако он был доказан И. С. Харчевой в работе [6]. Определение 1. Пусть $\Omega$ – плоская биллиардная область. Назовем сегментом часть ее границы, заключенную между двумя прямыми углами. Предложение 3. Рассмотрим $n$ плоских областей $\Omega_i$, $i=1,\dots, n$, имеющих общий сегмент $s $. Склеим из них биллиардную книжку (не обязательно интегрируемую), приписав циклическую перестановку $\sigma=(1\ 2\ \dots\ n)$ сегменту $s$. Тогда изоэнергетическая поверхность полученной биллиардной книжки гомеоморфна трехмерной сфере $S^3$. Доказательство. Рассмотрим биллиарды $\Omega_i$, $i=1,\dots, n$. Изоэнергетическая поверхность для каждого из них, как было показано ранее, является трехмерной сферой. Отметим, что прообразом сегмента $s$ при проекции $Q^3$ на биллиардный стол был двумерный диск. Отменим в каждой из областей $\Omega_i$ биллиардный закон на сегменте $s$. Тогда в изоэнергетической поверхности $Q^3$ произойдет разрез вдоль этого диска. Разрезанная изоэнергетическая поверхность гомеоморфна трехмерному диску $D^3$. Граница этого диска – двумерная сфера. На ней есть окружность “экватор”, соответствующая векторам, касательным к сегменту $s$. Биллиардный закон ранее отождествлял точки этой сферы, симметричные относительно экватора. Можно считать, что точки ниже экватора соответствовали векторам $v$, направленным наружу областей $\Omega_i$, а точки выше – векторам $u$, направленным внутрь областей $\Omega_i$ (рис. 3).
Теперь последовательно склеим биллиарды $\Omega_i$, $ i=1,\dots,n$, в биллиардную книжку. Заметим, что при этом происходит следующая склейка разрезанных изоэнергетических поверхностей. Склейка биллиардных областей $\Omega_i$ и $\Omega_{i+1}$ приводит к склейке трехмерных шаров, при которых нижняя часть сферы, соответствующей векторам $v$ биллиарда $\Omega_i$ отождествляется с верхней частью сферы, соответствующей векторам $u$ биллиарда $\Omega_{i+1}$. Экваторы при этом склеиваются тождественно. В результате такой склейки будет получаться трехмерный шар с тем же отождествлением, что и на предыдущем шаге. В конце необходимо отождествить нижнюю часть сферы, которая соответствует векторам $v$ биллиарда $\Omega_n$, с верхней частью сферы, соответствующей векторам $u$ биллиарда $\Omega_1$, оставляя на месте экватор. В результате будет получена трехмерная сфера $S^3$. Предложение доказано. Предложение 4. Рассмотрим $n$ плоских областей, имеющих одинаковые углы – пары сегментов $s_1$ и $s_2$, имеющих общую вершину. Склеим из них биллиардную книжку $\mathbb{B}$ (не обязательно интегрируемую) следующим образом. Сегменту $s_1$ припишем циклическую перестановку $\sigma=(1\ 2\ \dots\ n)$, а сегменту $s_2$ – перестановку $\sigma^k$. Тогда изоэнергетическая поверхность такой биллиардной книжки гомеоморфна линзовому пространству $L({n}/{d},{k}/{d})$, где $d$ – наибольший общий делитель чисел $n$ и $k$. Доказательство. Для доказательства мы воспользуемся следующей конструкцией линзового пространства (см. подробности в книге А. Т. Фоменко и С. В. Матвеева [7]). Рассмотрим $n$-угольную бипирамиду, т.е. объединение двух конусов над правильным $n$-угольником. Обозначим через $F_0,F_1,\dots,F_{n-1}$ вершины $n$-угольника, через $S_+,S_-$ – вершины конусов. Для каждого $i$ склеим грань $F_iS_+F_{i+1}$ с гранью $F_{i+k}S_-F_{i+k+1}$ (индексы берутся по модулю $n$ и вершины склеиваются в том порядке, в котором они написаны). Получившееся пространство и есть линзовое пространство $L(n,k) $.
Рассмотрим биллиардную книжку $\widetilde{\mathbb{B}}$, которая отличается от книжки $\mathbb{B}$ перестановкой на сегменте $s_2$. На этом сегменте положим тождественную перестановку. Тогда согласно предложению 3 изоэнергетическая поверхность $Q^3$ для книжки $\widetilde{\mathbb{B}} $ гомеоморфна трехмерной сфере. Рассмотрим в изоэнергетической поверхности книжки $\widetilde{\mathbb{B}} $ прообраз сегмента $s_2$. Покажем, что отмена биллиардного закона на этом сегменте соответствует разрезу изоэнергетической поверхности по двумерному диску, т.е. что после разреза изоэнергетическая поверхность станет гомеоморфна трехмерному шару. Для начала покажем, что в прообразе сегмента $s_2$ лежит двумерный диск. Обозначим через $A$ угол – общую точку сегментов $s_1$ и $s_2$. В каждой области $\Omega_i$ прообраз всех его точек, кроме точки, лежащей в угле $A$, есть двумерный диск. В самом деле, в прообразе внутренних точек лежит отрезок $l_i$. Этот отрезок при приближении к углу $A$ разбивается на два подотрезка, имеющих общую точку: один отрезок $l_{i}^-$соответствует векторам, направленным внутрь области $\Omega_i$ относительно сегмента $s_1$, а другой $l_i^+$ – наружу. При этом в угле $A$ необходимо отождествить отрезки $l_i^+$ и $l_{i+1}^-$, $i=1,\dots,n-1$, а также $l_n^+$ и $l_1^-$. В результате такой склейки границ двумерных дисков получается двумерный диск. Отменим биллиардный закон на сегменте $s_2$. При этом каждый отрезок $l_i$, кроме тех что лежат в прообразе угла $A$, преобразуется в два отрезка, склеенных по точкам, соответствующим касательным векторам к сегменту $s_2$. Прообраз угла – это одномерный комплекс, получающийся склейкой отрезков вдоль их граничных точек, соответствующих касательным векторам к сегменту $s_1$. Приклеивая к такому комплексу диски в прообразах сегментов $s_2$ после отмены биллиардного закона получим двумерную сферу. Таким образом, после отмены биллиардного закона на сегментах $s_2$ изоэнергетическая поверхность $Q^3$ представляет собой трехмерный диск, граничная сфера которого имеет структуру, представленную на рис. 4. Отметим, что на данной сфере можно ввести естественную структуру бипирамиды, грани которой соответствуют векторам скорости, направленным либо наружу листа $\Omega_i$ (верхние без ограничения общности), либо внутрь листов $\Omega_i$. Пусть числа $n$ и $k$ взаимно просты. Заметим, что определение биллиардного закона на ребре $s_2$ по перестановке $\sigma^k$ склеивает векторы, направленные наружу листа $\Omega_i$, с векторами, направленными внутрь листа $\Omega_{i+k}$ (где индексы берутся по модулю $n$). На граничной сфере, изображенной на рис. 4, это означает, что необходимо отождествить верхнюю грань с соответствующей нижней, смещенной на $k$. Эта склейка на бипирамиде по определению является склейкой, задающей линзовое пространство $L(n,k)$. Пусть теперь числа $n$ и $k$ не взаимно просты. Обозначим через $d$ наибольший общий делитель чисел $n$ и $k$. Введем числа $t={n}/{d}$ и $r={k}/{d}$. Перестановка $\sigma^k$ разлагается в объединение $d$ циклов по $t$ элементов в каждом. В комплексе биллиардной книжки сегменту $s_2$ будет соответствовать $d$ корешков (так как мы отождествляем границы, если их номера содержатся в одном цикле приписанной перестановки). Объединим верхние и нижние грани в $d$ групп $g_i$ по $t$ элементов. Первая группа $g_1$ состоит из частей с номерами $1,2,\dots,t$, вторая – $t+1,t+2,\dots,2t$ и т.д. Заметим теперь, что перестановка $\sigma_2$ склеивает верхнюю группу с номером $i$ с нижней группой с номером $i+r\mod t$: номера первой группы – это первые элементы независимых циклов перестановки $\sigma^k$, номера второй – вторые элементы (с учетом того что мы не меняем порядок циклов). Таким образом, мы опять получаем линзовое пространство, но уже с параметрами $t$, $r$. Предложение 4 доказано. Предложение 5. Рассмотрим следующую биллиардную книжку (не обязательно интегрируемую). Пусть $n$ – произвольное натуральное число. Фиксируем односвязную биллиардную область $\Omega$, граница которой содержит три последовательных сегмента, обозначенных через $AB$, $AD$, $DC $ (см. рис. 5, а). Рассмотрим $2n$ экземпляров области $\Omega $ и определим биллиардную книжку, сопоставив сегменту $AB$ перестановку сегменту $AD$ перестановку $\sigma_2=(1\ \dots\ n)(n+1\ \dots\ 2n)$, сегменту $DC$ перестановку $\sigma_3=\sigma_1^{-1}$. Тогда изоэнергетическая поверхность такой биллиардной книжки гомеоморфна $S^1\times S^2$. Доказательство. Обозначим через $\mathbb{B}_0$ биллиардную книжку, определенную на $n$ листах с циклической перестановкой на корешке $AD$. Тогда рассматриваемую биллиардную книжку удобно представить как склейку двух книжек $\mathbb{B}_0$ вдоль сегментов $AB$ и $DC $ (см. рис. 5, b). Рассмотрим комплекс $X_1$ – сечение книжки $\mathbb{B}_0$ трансверсально корешку $AD$. Он является склейкой $n$ экземпляров отрезков $x_i$, внутренность которого целиком лежит в области $\Omega$, а концы лежат на сегментах $AD$ и $BC$. Более того, комплекс $X$ книжки гомеоморфен прямому произведению окружности на комплекс $X_1$.
Заметим, что прообраз в $Q^3$ комплекса $X_1 $ гомеоморфен двумерной сфере (см. рис. 6). Прообразом каждого отрезка $x_i$, $i=1,\dots,n$, составляющего комплекс $X_1 $, будет двумерный диск $D_i$. Эти диски разбивают сферу на “дольки”. Граница каждого диска $D_i$ состоит из двух отрезков, соответствующих векторам “внутрь” и “наружу” области $\Omega_i$. Внутренность диска разбита на окружности, соответствующие внутренним точкам отрезков $x_i$, стягивающихся на отрезки – прообразы граничных точек отрезков $x_i$, лежащих на сегментах $BC$. Следовательно, изоэнергетическая поверхность $Q^3$ гомеоморфна декартовому произведению $S^1\times S^2$. Предложение доказано. Теорема 1. Рассмотрим многообразие $M $, являющееся связной суммой линзовых пространств $L(n_1,k_1),\dots,L(n_m,k_m) $ и $l$ прямых произведений $S^1\times S^2$. Тогда алгоритмически строится биллиардная книжка, изоэнергетическая поверхность которой гомеоморфна многообразию $M$. Доказательство. Рассмотрим целые числа $N=\text{НОК}(n_1,\dots,n_m)$ и $g_i={Nk_i}/{n_i}$. Фиксируем односвязную биллиардную область $\Omega$, граница которой содержит три последовательных сегмента, обозначенных через $AB$, $AD$, $DC $ (см. рис. 5, а).
Рассмотрим $m+2l$ биллиардных книжек, склеенных из $N$ листов вдоль сегментов $AD$, на котором задана циклическая перестановка $\sigma=(1\ \dots\ N)$. Далее на первых $m$ экземплярах на корешках $AB$ определим перестановки $\sigma^{g_i}$. В результате для первых $m$ биллиардных книжек изоэнергетические поверхности согласно предложению 4 гомеоморфны линзам $L(n_i,k_i)$. Оставшиеся книжки разобьем на $l$ пар. Склеим книжки каждой пары одинаковыми, состоящими из транспозиций, перестановками на корешках $AB$ и $DC$. Каждая транспозиция состоит из номера листа одной книжки и соответствующего номера листа другой книжки. В результате согласно предложению 5 изоэнергетическая поверхность каждой такой склеенной пары книжек гомеоморфна $S^1\times S^2$. Занумеруем листы всех книжек единой нумерацией. Пусть каждому листу соответствует два индекса $j$, $l$. Индекс $j\in\{1,\dots,m+2l\}$ кодирует номер книжки, а индекс $l\in \{1,\dots, N\}$ номер листа книжки. Склеим теперь все книжки друг с другом вдоль сегментов $DC$. Зададим движение следующим образом – при попадании на сегмент $DC$ книжки материальная точка не меняет номер листа $l$ книжки, по которому проходит, но циклически меняет номер $j$ книжки (рис. 7). Покажем, как переопределение биллиардного закона на книжках действует на изоэнергетических 3-поверхностях. Для первых $m$ книжек (реализующих линзовые пространства) отметим, что отмена биллиардного закона на $DC$ есть разрез вдоль двумерного диска. В результате образуется сфера, состоящая из двух дисков $D^+$ (соответствующий векторам скорости “наружу” книжки) и $D^-$ (соответствующий векторам скорости “внутрь” книжки). Переопределение биллиардного закона на $l$ парах книжек на каждой паре действует так. Прообраз сегмента $DC$ в изоэнергетической поверхности – это двумерная сфера (см. доказательство предложения 5). Она естественным образом разбивается на два диска: один из них соответствует векторам скорости наружу первой книжки в паре, а другой – внутрь. Согласно новому биллиардному отражению (новой перестановке) необходимо отменить биллиардный закон только на одной половине сферы. А именно, на диске, соответствующем векторам внутрь первой книжки в паре (см. рис. 7). Результатом разреза также будет двумерная сфера. Последовательная склейка разрезанных изоэнергетических поверхностей по дискам – половинам граничных сфер – очевидно приводит к тому что полученное многообразие гомеоморфно искомой связной сумме. Теорема доказана. Замечание 3. Можно явно указать вид всех перестановок на книжке, склеенной из $N(m+2l)$ экземпляров области $\Omega$. На сегменте $AD$ перестановка разбивается в следующие циклы:
$$
\begin{equation*}
(1,\ 2,\ \dots,\ N)(N+1,\ N+2,\ \dots,\ 2N)\ \dots\ (N(m+2l-1)+1,\ \dots,\ N(m+2l)).
\end{equation*}
\notag
$$
На сегменте $AB$ перестановка состоит из произведения циклов двух типов: циклов
$$
\begin{equation*}
(N(i-1)+1,\ N(i-1)+2,\ \dots,\ Ni)^{g_i}, \qquad i=1,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
и транспозиций
$$
\begin{equation*}
(N(m+2p)+j,\ N(m+2p+1)+j),\qquad p\in\{0,l-1\},\quad j=1,\dots, N.
\end{equation*}
\notag
$$
На сегменте $DC$ перестановка состоит из циклов Замечание 4. В доказательстве выше приведен только один пример интегрируемой биллиардной книжки, задающей искомое многообразие. Отметим здесь также, что от порядка склейки линз и связных сумм результат не зависит – т.е. итоговая склейка в связную сумму может происходить в произвольном порядке. Это приведет к перенумерации и изменению перестановок. В дальнейшем будем считать, что книжка, описанная в алгоритме, получена произвольной циклической склейкой вдоль общего корешка книжек, дающих линзовые пространства и пар книжек, дающих в сумме слагаемые $S^1\times S^2$. Теперь, переходя от общих свойств биллиардов, не обязательно интегрируемых, мы будем работать с классом интегрируемых биллиардов. Обозначим алгоритмически построенную в теореме 1 биллиардную книжку через $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}}$. Пусть теперь область $\Omega$ ограничена дугами софокусных квадрик. Тогда такой биллиард интегрируем – звенья траектории касаются некоторой квадрики, принадлежащей к тому же софокусному семейству, что и граница биллиарда, см. [4]. Таким образом, верно следующее усиление теоремы 1. Теорема 2. Рассмотрим многообразие $M $, являющееся связной суммой линзовых пространств $L(n_1,k_1),\dots,L(n_m,k_m) $ и $l$ прямых произведений $S^1\times S^2$. Тогда алгоритмически строится интегрируемая биллиардная книжка, изоэнергетическая поверхность которой гомеоморфна многообразию $M$. Доказательство. Возьмем в качестве области $\Omega $ – элементарного листа биллиардной книжки $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}} $ – часть плоскости, которая ограничена двумя дугами эллипсов и двумя дугами гипербол – выпуклой $AD$ и невыпуклой $BC$ и, более того, содержит отрезок между фокусами. В статье [8] такая область обозначена через $A_0$. Эта область является четырехугольником и может быть взята в качестве листа книжки $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}} $. Теорема доказана.
Замечание 5. Прокомментируем важность теоремы 2. Дело в том, что в качестве плоских интегрируемых биллиардов (без внешних сил) в настоящее время известны только биллиарды, ограниченные софокусными квадриками. Таким образом, если плоский биллиард вполне интегрируем (т.е. вдоль траекторий сохраняется еще один параметр, независимый с энергией системы), то его границы принадлежат либо к семейству концентрических окружностей (и прямых через центр), либо к семейству софокусных парабол, либо к семейству софокусных эллипсов и гипербол. В классе таких биллиардов, к примеру, не существует криволинейного пятиугольника (напомним, что все углы прямые). Склейка двух таких пятиугольников приведет к образованию некоторого многообразия Зейферта как многообразия $Q^3$. Однако ответ на вопрос, можно ли реализовать это $Q^3$ как изоэнергетическую поверхность некоторого интегрируемого биллиарда (уже имеющего другую форму), неочевиден. Интегрируемость биллиардной книжки $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}} $, листы которой являются интегрируемыми биллиардами $A_0$, позволяет описать топологию возникающего слоения Лиувилля в терминах меченой молекулы Фоменко–Цишанга. Это инвариант лиувиллевой эквивалентности слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности интегрируемой гамильтоновой системы (см. подробнее работы А. Т. Фоменко, Х. Цишанга [1], [9]–[11] и книгу А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [2]). Теорема 3. Инвариант Фоменко–Цишанга изоэнергетической поверхности интегрируемой биллиардной книжки $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}}$, гомеоморфной связной сумме $m$ линзовых пространств $L(n_i,k_i)$ и $l$ экземпляров $S^1\times S^2$, в случае, если листы книжки ограничены выпуклой дугой гиперболы и двумя выпуклыми дугами эллипсов, изображен на рис. 8. Доказательство. Рассмотрим биллиардную книжку $\mathbb{B}$, имеющую вид книжки из предложения 4. Пусть область биллиарда $\Omega$ ограничена двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами и при этом не содержит точек фокальной прямой. Такая биллиардная область в статье [8] обозначена через $B_0$. Тогда согласно результату статьи [12] инвариант Фоменко–Цишанга имеет вид $A-A$, с меткой $r={k}/{n}$ (где $n$ и $k$ – параметры книжки $\mathbb{B}$). Заменим область $B_0$ на область $A_0$. В этом случае в слоении Лиувилля появится особый слой. Ему соответствуют траектории, лежащие на прямых, проходящих через фокусы. Отметим, что особая траектория, лежащая на фокальной прямой, разделяет все неособые траектории, лежащие на этом слое, на два класса – расположенные над фокальной прямой и под фокальной прямой. Можно показать (пользуясь методами работы [12]), что каждый класс заметает кольцо. Эти два кольца склеиваются вдоль особой траектории в особый слой – атомы $B$. Рассмотрим регулярный тор, траектории которого касаются эллипсов и лежат выше фокальной прямой. Рассмотрим цикл $\lambda_s$ на этом торе, соответствующий атому $B$. Пусть теперь опять книжка $\mathbb{B}$ склеена из биллиардов $B_0 $. Возьмем полноторие $A$, которое соответствует траекториям, касающимся гипербол. Тогда цикл $\lambda_A$, выбранный в качестве исчезающего цикла на этом полнотории, совпадет с циклом $\lambda_s$. А так как циклы на полнотории, соответствующем траекториям, касающихся эллипсов, выбираются одинаково (как в случае, если книжка $\mathbb{B} $ склеена из биллиардов $B_0$, так и в случае биллиардов $A_0 $), то метка $r$ сохраняется и равна ${k}/{n}$. Отметим, что после склейки всех книжек в книжку $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}} $ седловой атом может поменяться, но метка на ребре сохранится, так как данная склейка не затрагивает траектории, лежащие не ниже фокальной прямой (т.е. касающиеся эллипсов).
Рассмотрим пару биллиардных книжек, реализующих прямое произведение $S^1\times S^2$. Атом, соответствующий траекториям, лежащим на седловом слое, как легко понять, имеет вид $C_2$. На нем есть две особые траектории (лежащие на фокальной прямой). Трансверсальное критическим траекториям сечение можно увидеть, рассмотрев на книжке окружность, состоящую из двух экземпляров дуги одной и той же гиперболы. Если мы оснастим каждую точку этой гиперболы вектором скорости по направлению к правому фокусу, то получим ее прообраз в особом слое. Как легко понять, он будет гомеоморфен особому слою двумерного атома $C_2$. Окрестность прообраза этой окружности в $Q^3$ будет гомеоморфна двумерному атому $C_2$, а особый 3-атом – прямому произведению двумерного атома $C_2$ на особую окружность. Теперь склеим все книжки в одну книжку $\mathbb{B}_{\mathrm{sum}}$. Необходимо описать окрестность особого слоя, отвечающего траекториям, лежащим на прямых, проходящих через фокусы. Для этого необходимо склеить 3-атомы, описывающие окрестности этого же слоя для каждой из слагаемых $\mathbb{B}_{p3} $ книжек. На 2-атомах сечений этих 3-атомов происходят следующие разрезы, трансверсальные особому слою. Они соответствуют разрезам тех торов Лиувилля и частей особых слоев, проекции которых лежат ниже фокальной прямой. При этом на каждом атоме происходит ровно один разрез (рис. 8). В самом деле, на парах книжек, реализующих прямые произведения, изменяются только два тора Лиувилля – ровно один, отвечающий траекториям, касающимся эллипсов (его проекция лежит ниже фокальной прямой), и ровно один, отвечающий траекториям, касающимся гипербол. Поясним, что второй тор, на котором траектории касаются гипербол, описывает траектории, проходящие с первой книжки на вторую вдоль сегмента $CD$ и со второй на первую вдоль сегмента $AB$. Поэтому после переклейки книжек эти траектории остаются на месте и тор остается неизменным. В итоге последовательная склейка разрезанных атомов $B$ и $C_2$ приводит к атому $V$, изображенному на рис. 8. Осталось найти числовые метки инварианта Фоменко–Цишанга. Отметим, что прообраз комплексов $X_1$ (см. доказательство предложения 5) есть цикл-окружность на любом торе. Этот цикл на особом слое гомологичен особой траектории, поэтому может быть выбран в качестве цикла $\lambda_s$. Рассмотрим предел торов, отвечающих траекториям, касающимся гипербол, при стремлении дополнительного интеграла к максимальному значению. При этом предел гиперболы, которой касаются траектории, есть ось либо семейства софокусных квадрик (она проходит через центр семейства квадрик и ортогональной фокальной прямой), либо гипербол, на которой лежат выпуклые гиперболические корешки книжки. Проекция тора при этом стягивается на этот корешок, а комплекс $X_1 $ в проекции слоя на биллиардную книжку стягивается в точку. Следовательно, и цикл $\lambda_s $ стягивается в точку внутри всех таких полноторий. Это обеспечивает бесконечность меток на верхних ребрах инварианта. Количество таких торов равно $l+1$: один тор проходит через все книжки и еще $l$ торов, проекции которых лежат на парах, реализующих $S^1\times S^2$. На оставшихся торах рассмотрим дугу гиперболы, проходящую только по первым листам всех биллиардных книжек. Ее прообраз на каждом торе Лиувилля – это циклы $\lambda$, стягивающиеся в точку внутри полноторий $A$, отвечающих траекториям, таким, что их звенья лежат на прямых, которые касаются эллипсов. Очевидно, что каждый цикл $\lambda $ пересекается с циклом $\lambda_s $ на торе Лиувилля в одной точке. Поэтому на оставшихся нижних ребрах инварианта метки $r$ нулевые. Теорема 3 доказана. Замечание 6. Используя методы, развитые в статье К. И. Солодских [13], можно, опираясь на вид инварианта Фоменко–Цишанга, независимо показать, что изоэнергетическая поверхность интегрируемой гамильтоновой системы с таким инвариантом гомеоморфна связной сумме линзовых пространств и $l$ экземпляров $S^1\times S^2$. Напомним следующий известный факт (см. подробнее [7], [14]). Утверждение 1. Пусть трехмерное многообразие $Q^3$ является связной суммой линзовых пространств (проективное пространство $RP^3$ мы считаем линзой $L(2,1)$) и прямых произведений $S^1\times S^2$. Причем количество слагаемых в этой прямой сумме не меньше двух и, более того, $Q^3$ не гомеоморфно связной сумме двух $RP^3$. Тогда многообразие $Q^3$ не является многообразием Зейферта. Замечание 7. Следовательно, в общем случае изоэнергетическое пространство книжки $B_{\mathrm{sum}}$ не является многообразием Зейферта (а является многообразием Вальдхаузена). БлагодарностиАвтор благодарит А. Т. Фоменко за множество ценных замечаний и постоянное внимание к работе, А. А. Ошемкова, К. И. Солодских и В. А. Кибкало за ряд полезных комментариев, а также весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова за творческую атмосферу.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ved21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|