| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Теоремы единственности для простых тригонометрических рядов и их применение к кратным рядам Г. Г. Геворкян Ереванский государственный университет, Республика Армения
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9525 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеЕсли дважды формально интегрировать тригонометрический ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb Z}a_ne^{inx}=:\sum_{n\in\mathbb Z}A_n(x)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с коэффициентами то получится равномерно сходящийся ряд с суммой
$$
\begin{equation}
F(x):=Ax+B+ \frac{a_0x^2}{2}-\sum_{n\in\mathbb Z, n\neq 0}\frac{A_n(x)}{n^2}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S(x,h):=\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}, \\ \notag S^{\ast}(x):=\sup_{h>0}|S(x,h)|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Выражения $S(x,h)$, $h>0$, называют суммами Римана ряда (1.1), а $S^{\ast}(x)$ – мажорантой Римана этого ряда. Известно, что
$$
\begin{equation*}
S(x,h)=\sum_{n\in\mathbb Z}A_n(x)\biggl(\frac{\sin (nh/2)}{nh/2}\biggr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и если ряд (1.1) в точке $x$ сходится (см. [1; гл. I, § 68, теорема 1]), то а вообще, если существует $\lim_{h\to 0}S(x,h)=S$, то говорят, что ряд (1.1) в точке $x$ методом Римана суммируется к значению $S$. В теории тригонометрических рядов хорошо известна (см. [2], а также [1; гл. I, § 70]) Теорема A (Кантора). Если ряд (1.1) всюду сходится к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. На самом деле доказывается, что если ряд (1.1) методом Римана всюду суммируется к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. В дальнейших усилениях и обобщениях теоремы Кантора присутствовала сходимость или суммируемость всюду или всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества. Это оправдывается тем, что имеет место (см. [3], а также [1; гл. XIV, § 12]) Теорема B (Меньшова). Существует тригонометрический ряд, который почти всюду сходится к нулю, однако не все коэффициенты этого ряда равны нулю. Следовательно, для получения теорем единственности для почти всюду сходящихся рядов нужны дополнительные условия на ряд. В этом направлении первые результаты получены в работах [4]–[7]. В этих работах в качестве дополнительных условий выступают условия на функции распределения мажорант Абеля и Римана. Отметим еще одну важную теорему из теории тригонометрических рядов (см. [8], а также [1; гл. XIV, § 4]) Теорема C (Валле Пуссена). Пусть пределы неопределенности ряда (1.1), т.е. функции конечны всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, и обе функции интегрируемы на $[0,2\pi]$, тогда ряд (1.1) суммируется методом Римана почти всюду и является рядом Фурье этой суммы. Из этой теоремы следует другая: Теорема D (Валле Пуссена). Если ряд (1.1) всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, сходится к всюду конечной интегрируемой функции, то является рядом Фурье этой функции. В настоящей работе основными результатами для простых рядов являются следующие теоремы. Теорема 1. Пусть для ряда (1.1) с коэффициентами (1.2) всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества $B$, выполняется и суммы $S(x,h)$ по мере сходятся к некоторой интегрируемой функции $f$, когда $h\to 0$. Тогда ряд (1.1) является рядом Фурье функции $f$. Теорема 2. Пусть для ряда (1.1) с ограниченными коэффициентами всюду выполняется и суммы $S(x,h)$ по мере сходятся к некоторой интегрируемой функции $f$, когда $h\to 0$. Тогда ряд (1.1) является рядом Фурье функции $f$. Отметим, что из сходимости по мере ряда (1.1) следует выполнение (1.2). Поэтому, учитывая регулярность метода суммирования Римана, из теоремы 1 можно получить следующую теорему. Теорема 3. Пусть для ряда (1.1) всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества $B$, выполняется Очевидно, что условие интегрируемости функций (1.5) сильнее, чем условие (1.6). Поэтому из теоремы C Валле Пуссена не следуют теоремы 1 и 3. С другой стороны, из теорем 1 и 3 следуют теоремы C и D Валле Пуссена. В настоящей работе через $\mathbb T$ обозначается периодический отрезок $[-\pi, \pi]$. Через $C$ обозначаются постоянные, которые в разных формулах могут быть разными. Напомним, что множество $E\subset \mathbb T^d$, $d\geqslant 1$, называется $U$-множеством ($\mathrm{VP}$-множеством) $d$-кратных тригонометрических рядов, если из сходимости $d$-кратного тригонометрического ряда всюду, кроме, быть может, точек множества $E$, к нулю (к всюду конечной интегрируемой функции $f$) следует, что этот ряд тривиальный (является рядом Фурье функции $f$). Ясно, что любое $\mathrm{VP}$-множество является $U$-множеством. В случае $d\geqslant 2$ нужно уточнить, что понимаем, когда говорим “ряд сходится”. Все зависит от того, какие частичные суммы кратного ряда рассматриваются. В настоящей работе мы рассматриваем прямоугольные частичные суммы, т.е. сходимость по Прингсхейму. В 1972 г. Дж. М. Эш и Г. В. Вэлланд (см. [12]) доказали, что в случае $d=2$ пустое множество является $U$-множеством для двойных тригонометрических рядов, сходящихся по Прингсхейму. Долгое время оставался открытым ответ на следующий вопрос. Если $d$-кратный ($d\geqslant 3$) тригонометрический ряд сходится к нулю по Прингсхейму всюду на $\mathbb T^d$, то обязаны ли все коэффициенты этого ряда быть нулями? В 1991 г. Ш. Т. Тетунашвили (см. [13]) доказал ряд важных теорем, в которых содержится положительный ответ на вышеуказанный вопрос. Он также получил богатый класс непустых $\mathrm{VP}$-множеств для кратных тригонометрических рядов, сходящихся по Прингсхейму. В частности, он доказал следующую теорему (см. [13; следствие 8]). Теорема E (Тетунашвили). Если множество $E\subset \mathbb T$ является $\mathrm{VP}$-множеством простых тригонометрических рядов, то множество $E\times\mathbb T^{d-1}\subset\mathbb T^d$ является $\mathrm{VP}$-множеством $d$-кратных тригонометрических рядов. В настоящей работе мы получим новый класс $\mathrm{VP}$-множеств для кратных тригонометрических рядов. Теорема 4. Пусть двойной тригонометрический ряд Тогда ряд (1.8) является рядом Фурье функции $f$. Теорема 5. Пусть тригонометрический ряд с суммами (1.8) на множестве (1.10) удовлетворяет условию Эти теоремы получаются с применением следующей теоремы. Теорема 6. Пусть коэффициенты тригонометрического ряда (1.8) удовлетворяют условиям Тогда ряд (1.8) является рядом Фурье функции $f$. § 2. Некоторые известные факты и вспомогательные леммыВ работе [7] доказана следующая лемма (см. [7; лемма 2]). Лемма 1. Пусть тригонометрический ряд (1.1) с коэффициентами удовлетворяет условию Тогда $|a_n|\leqslant C(|n|+1)$. Лемма 2. Пусть для фиксированного $y$ выполняется Доказательство. Фиксируем любое $m\in\mathbb Z$. Положим
Ясно, что $D_M\subset D_{M+1}$, $\operatorname{mes}(\mathbb T\setminus \bigcup_MD_M)=0$. Поэтому существует $M_0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(D_{M_0})>2\pi\biggl(1-\frac{1}{4|m|}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Тогда в силу леммы 1 из (2.2) получим
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{n\in\mathbb Z}a_{mn}e^{iny}\biggl(\frac{\sin n\eta}{n\eta}\biggr)^2\biggr|<CM_0(|m|+1).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Из (2.3) следует (2.1). Лемма доказана. Следующая лемма является частным случаем общей теоремы, доказанной Ю. Марцинкевичем и А. Зигмундом (см. [10], а также [11; теорема (4.30)]). Лемма 3. Пусть $S^{\ast}(x)<\infty$, когда $x\in E\subset\mathbb T$. Тогда почти всюду на $E$ существует конечный предел $\lim_{h\to 0}S(x,h)$. Доказательство. Доказательство этой леммы аналогично доказательству теоремы Кантора–Лебега. Но ради полноты изложения приведем ее.
Из условий леммы следует, что существуют $L>0$ и измеримое множество $V\subset B$, $\operatorname{mes}(V)>0$, такие, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n}\bigl|a_{n}e^{inx}+a_{-n}e^{-inx}\bigr|\leqslant L,\qquad x\in V.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Тогда, учитывая, что коэффициенты Фурье характеристической функции множества $V$ стремятся к нулю, когда $|n|\to\infty$, из (2.5) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &L^2\operatorname{mes}(V)\geqslant\int_V|a_{n}e^{inx}+a_{-n}e^{-inx}|^2\,dx \\ \notag &\qquad =\int_V\bigl(|a_n|^2+|a_{-n}|^2+a_n\overline{a_{-n}}e^{2inx}+\overline{a_n}a_{-n}e^{-2inx}\bigr)\,dx \\ \notag &\qquad \geqslant\operatorname{mes}(V)(|a_n|^2+|a_{-n}|^2)-|a_n|\,|a_{-n}| \biggl(\biggl|\int_Ve^{2inx}\,dx\biggr|+\biggl|\int_Ve^{-2inx}\,dx\biggr|\biggr) \\ &\qquad\geqslant\frac{\operatorname{mes}(V)}{2}(|a_n|^2+|a_{-n}|^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
если $|n|$ достаточно большое. Из (2.6) следует (2.4). Лемма доказана. Следующие леммы в доказательстве особо не нуждаются, и мы уверены, что их утверждения применены многими авторами. Однако нам не удалось найти их формулировки. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi(x):=(1-|x|)_{+}, \quad t_{+}=\max(t, 0), \qquad \varphi_{h}(x):=\frac{1}{h}\varphi\biggl(\frac{x}{h}\biggr), \quad h>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation}
S(x,h)=\sum_{n\in\mathbb Z}(A_n\ast\varphi_{h})(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_{x-h}^{x+h}A_n(t)\varphi_{h}(x-t)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Напомним, что разделенная разность второго порядка функции $g$ по различным между собой узлам $x_1$, $x_2$, $x_3$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
[x_1, x_2, x_3]g:=\frac{g(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{g(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} +\frac{g(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что Простыми вычислениями получаются следующие леммы (см. [5; лемма 1], [9; леммы 3 и 7]). Лемма 8. Для функций $F(x)$ и $S(x,h)$, определенных формулами (1.3) и (1.4) с коэффициентами (1.2), имеют место Следующая лемма доказана в [9] (см. [9; лемма 7]). Лемма 9. Если $t_0\in[0,1]$ и выполняется (1.2), то найдутся $x_0$ и $h_0>0$ такие, что Для интегрируемой на $\mathbb T$ функции $f$ с рядом Фурье
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\in\mathbb Z}a_n(f)e^{inx}=: \sum_{n\in\mathbb Z}A_n(f,x)
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим
$$
\begin{equation}
F_f(x):=Ax+B+\frac{a_0(f)x^2}{2}-\sum_{n\in\mathbb Z, n\neq 0}\frac{A_n(f,x)}{n^2},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
S_f(x,h):=\frac{F_f(x+h)+F_f(x-h)-2F_f(x)}{h^2}=\sum_{n\in\mathbb Z}\int A_n(f,t)\varphi_h(x-t)\,dt,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Следующие теоремы F и G, доказанные в работе [5] (см. [5; теоремы 2 и 5]), нам пригодятся при доказательстве леммы 11. Теорема F. Пусть $F$ – непрерывная функция и $S(x,h)$ определяются формулой (1.4). Тогда если для некоторого $[a,b]$ то $F$ – линейная функция на $[a,b]$. Теорема G. Пусть $f\in L(0,2\pi)$ и ряд (1.1) – ее ряд Фурье. Тогда Отметим, что условия (1.6) и (2.10) независимы, т.е. существует ряд (1.1), который удовлетворяет условию (1.6) и не удовлетворяет условию (2.10), и наоборот, существует ряд (1.1), который удовлетворяет условию (2.10) и не удовлетворяет условию (1.6). Лемма 10 анонсирована в работе [6] и доказана в работе [7]. Частный случай этой леммы был доказан в работе [5]. Пусть точки $x_j^{(1)}<x_j^{(2)}<x_j^{(3)}$, $j=1, 2, \dots, n$, принадлежат отрезку $[a,b ]$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi_j(x)= \begin{cases} 1,& x=x_j^{(2)}, \\ 0, & x\not\in(x_j^{(1)}, x_j^{(3)}), \\ \text{выпуклая на отрезках }[x_j^{(1)}, x_j^{(2)}]\text{ и }[x_j^{(2)}, x_j^{(3)}]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Верна следующая лемма. Лемма 10. Для любой неотрицательной функции $\phi(x)$, вогнутой на отрезке $[a, b]$, существуют неотрицательные числа $\alpha_k$, $k=1, 2, \dots, n$, такие, что Ниже все леммы будут сформулированы и доказаны для отрезка $[0,1]$, однако очевидно, что они верны для любого отрезка $[a,b]$. Лемма 11. Допустим, для некоторого $M>0$ и некоторой интегрируемой функции $f$ для ряда (1.1) с ограниченными коэффициентами выполняется Тогда $F$ линейная на $[0,1]$. Доказательство. Пусть $x\in [0,1]$ и последовательность $h_n>0$ такая (зависящая от $x$), что $S^{\ast}(x)=\sup_{n}|S(x,h_n)|$. Тогда из (2.12) получим
Из (2.13) для $\lambda>M$ получим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}\bigl\{x\in[0,1]\colon S^{\ast}(x)>\lambda\bigr\}\leqslant\operatorname{mes}\bigl\{x\in[0,1]\colon S_f^{\ast}(x)>\lambda-M\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу теоремы G имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lambda\operatorname{mes}\bigl\{x\in[0,1]\colon S^{\ast}(x)>\lambda\bigr\} \\ &\qquad \leqslant \frac{\lambda}{\lambda-M}(\lambda-M)\operatorname{mes}\bigl\{x\in[0,1]\colon S_f^{\ast}(x)>\lambda-M\bigr\}\to 0, \qquad \lambda\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для $F$ выполняются условия теоремы F, поскольку из ограниченности коэффициентов ряда (1.1) следует непрерывность функции $F$. Поэтому функция $F$ линейная на $[0,1]$. Лемма доказана. Обозначим
$$
\begin{equation}
\overline{F}(x):=F(x)-F_f(x), \qquad\overline{S}(x,h):=S(x,h)-S_f(x,h).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Очевидно, что $\overline{F}(x)$ – непрерывная функция. Поэтому для любого $M>0$ множество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_M &:=\bigl\{x\in[0,1]\colon \exists\, h>0,\, |\overline{S}(x,h)|>M+|S_f(x,h)|\bigr\} \\ &\,=\bigcup_{h>0}\bigl\{x\in[0,1]\colon |\overline{S}(x,h)|>M+|S_f(x,h)|\bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
является открытым множеством и, как любое открытое множество, является объединением своих составляющих интервалов, т.е. существуют открытые интервалы $ I^{(M)}_k$ такие, что
$$
\begin{equation*}
E_M=\bigcup_kI^{(M)}_k, \quad I^{(M)}_k\cap I^{(M)}_m=\varnothing, \qquad k\neq m.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 12. Допустим, выполняется (1.2), $\overline{S}(1/2,1/2)\neq 0$, $E_M\neq\varnothing$ и Тогда существует $[x_0-h_0, x_0+h_0]\subset E_M$ такой, что $\overline{S}(x_0, h_0)\neq 0$. Доказательство. Допустим обратное: имеет место
$$
\begin{equation}
\overline{S}\biggl(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\biggr)=d\neq 0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
выполняются условия (1.2), (2.15) и $E_M\neq\varnothing$, но $\overline{S}(x_0, h_0)= 0$ для любого $[x_0\,{-}\,h_0, x_0\,{+}\,h_0]\,{\subset}\, E_M$. Это означает, что $\overline{F}$ – линейная функция на каждом $I^{(M)}_k$.
Пусть $\varepsilon\in(0, 0.1)$ такое, что из
$$
\begin{equation}
|z_1|<\varepsilon, \qquad \biggl|z_2-\frac{1}{2}\biggr|<\varepsilon, \qquad |z_3-1|<\varepsilon
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
следует
$$
\begin{equation}
\biggl|2\overline{F}[z_1,z_2,z_3]-\overline{S}\biggl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\biggr)\biggr| <\frac{|d|}{3},
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
и, кроме того,
$$
\begin{equation}
\frac{10\varepsilon}{1-2\varepsilon}<\frac{|d|}{6}.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Условие $x\not\in E_M$ означает, что
$$
\begin{equation*}
|\overline{S}(x,h)|\leqslant M+|S_f(x,h)| \quad\text{для любого } \ h>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы убедились выше (см. (2.13)), это означает, что
$$
\begin{equation*}
\overline{S}^{\ast}(x)\leqslant M+S_f^{\ast}(x) \quad\text{для любого } \ x\not\in E_M.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно (см. (2.11)), найдем такое что
$$
\begin{equation}
\lambda\operatorname{mes}(B_{\lambda})<\frac{\varepsilon}{9}, \quad\text{где }\ B_{\lambda}=\bigl\{x\not\in E_M\colon \overline{S}^{\ast}(x)>\lambda\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Выберем $k_0$ такое, чтобы
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(G)<\operatorname{mes}(B_{\lambda}), \quad\text{где }\ G:=\bigcup_{k\geqslant k_0}I^{(M)}_k.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Далее, с учетом (2.15) и (1.2) найдем такое натуральное $N$, чтобы для $h_0:=1/N$ выполнялось
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(D)<\operatorname{mes}(B_{\lambda}), \quad\text{где }\ D:=\bigl\{x\in[0,1]\colon |\overline{S}(x,h_0)|\geqslant \varepsilon\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
$$
\begin{equation}
|\overline{S}(x,h_0)|\leqslant\frac{\varepsilon}{2k_0h_0} \quad\text{для всех }\ x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(W)<3\operatorname{mes}(B_{\lambda})<\frac{\varepsilon}{3\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\varphi(t):=\sum_{i=1}^N\chi_{W}((i-1)h_0+t), \qquad t\in[0,h_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_{W}(t)$ – характеристическая функция множества $W$. Нетрудно заметить, что $\displaystyle\int_0^{h_0}\varphi(t)\,dt=\operatorname{mes}(W)$. Следовательно, существует $t_0\in[0,h_0)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathrm{card}\bigl\{i\colon x_i\in W\bigr\}\leqslant \frac{\operatorname{mes}(W)}{h_0}=N\operatorname{mes}(W),
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
где $\mathrm{card}(U)$ – количество точек множества $U$, а $x_i:=(i-1)h_0+t_0$.
Положим
$$
\begin{equation}
\Lambda_1:=\bigl\{i\colon x_i\not\in W\bigr\}, \qquad \Lambda_2:=\bigl\{i\colon x_i\in W\bigr\}, \qquad H:=\bigcup_{i\in \Lambda_2}\biggl[x_i-\frac{h_0}{2}, x_0+\frac{h_0}{2}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Из (2.26) и (2.27) имеем
$$
\begin{equation}
N_1:=\mathrm{card}(\Lambda_2)\leqslant \frac{\varepsilon}{3\lambda h_0}, \qquad \operatorname{mes}(H)=N_1h_0\leqslant \frac{\varepsilon}{3\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Для $i\in(N_1, N-N_1)\bigcap\Lambda_1$ определим числа $m_i$ по правилу
$$
\begin{equation}
m_i:=\min\bigl\{j\geqslant 1\colon i\pm j\in\Lambda_1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Убедимся, что числа $m_i$ корректно определены. Действительно, если для $j=1, \dots, k$ из пары чисел $i\pm j$ хотя бы одно принадлежит $\Lambda_2$, то должно выполняться $k\leqslant N_1$ (см. (2.29)). Следовательно, $m_i$ существует и $m_i\leqslant N_1$.
Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \Lambda_3:=\bigl\{i\in(N_1, N-N_1)\cap\Lambda_1\colon m_i>1\bigr\}, \qquad B_1:=\bigcup_{i\in\Lambda_3}[x_{i-m_i}, x_{i+m_i}], \\ [z_1, z_3]:=[x_{N_1}, x_{n-N_1}]\cup B_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
$$
\begin{equation}
|z_1|<\frac{\varepsilon}{3\lambda}<\varepsilon, \qquad |1-z_3|<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Из определения чисел $m_i$ следует, что
$$
\begin{equation*}
B_1\subset\biggl\{x\colon \mathcal M(\chi_H, x)\geqslant\frac{1}{3}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal M(\chi_H,x)$ – максимальная функция Харди–Литтлвуда характеристической функции множества $H$. Следовательно (см. (2.29) и (2.20)),
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(B_1)\leqslant 15\operatorname{mes}(H)\leqslant \frac{5\varepsilon}{\lambda}<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Поэтому существует такое $i$, что если $Z_2:=x_i$, то
$$
\begin{equation*}
z_2\not\in B_1, \qquad \biggl|z_2-\frac{1}{2}\biggr|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.32), (2.16)–(2.18) получим
Обозначим
$$
\begin{equation}
\varphi_0(x):= \begin{cases} \dfrac{2}{z_3-z_1},&x=z_2, \\ 0,& x\not\in(z_1, z_3), \\ \text{линейная на отрезках }[z_1,z_2]\text{ и }[z_2,z_3]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
А для $i\in\Lambda_4:=\bigl\{i\in\Lambda_1\colon x_i\in(z_1,z_3)\bigr\}$ положим
$$
\begin{equation*}
\varphi_i(x):= \begin{cases} \dfrac{2}{x_{i+m_i}-x_{i-m_i}},&x=x_i, \\ 0,&x\not\in(x_{i-m_i}, x_{i+m_i}), \\ \text{линейная на отрезках }[x_{i-m_i}, x_i]\text{ и }[x_i, x_{i+m_i}]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что функции $\varphi_0$ и $\varphi_i$ удовлетворяют условиям леммы 10. Применяя эту лемму, получим сумму
$$
\begin{equation*}
\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\varphi_i(x_), \qquad \alpha_i\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
со свойствами
$$
\begin{equation}
\varphi_0(x_i)=\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\varphi_i(x_i), \qquad i\in\Lambda_4,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\varphi_i(x) \leqslant \varphi_0(x), \qquad x\in[z_1, z_3].
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Пусть $i,j\in\Lambda_4$ и $i<j$ такие, что если $m\in(i, j)$, то $m\not\in\Lambda_4$. Тогда в силу определения чисел $m_i$ (см. (2.30)) все функции $\varphi_i(x)$, $i\in\Lambda_4$, являются линейными функциями на $[x_i,x_j]$. На том же отрезке линейной функцией является также функция $\varphi_0(x)$. Поэтому из (2.36) имеем
$$
\begin{equation}
\varphi_0(x)=\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\varphi_i(x) , \qquad x\in[z_1, z_3].
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Учитывая, что интегралы всех функций $\varphi_i(x)$, $i\in\Lambda_4$, и $\varphi_0(x)$ равны единице, из (2.38) получим Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Lambda_5:=\bigl\{i\in\Lambda_4\colon m_i=1\bigr\}, \qquad \Lambda_6:=\bigl\{i\in\Lambda_4\colon m_i>1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (см. лемму 7 и (2.35), (2.38), (2.7), (2.9))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 2\overline{F}[z_1,z_2,z_3] &=\sum_{n\in\mathbb Z}\int( A_n(x)-A_n(f,x))\varphi_0(x)\,dx \\ \notag &=\sum_{n\in\mathbb Z}\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\int (A_n(x)-A_n(f,x))\varphi_i(x)\,dx =\sum_{i\in\Lambda_4}\alpha_i\overline{S}(x, m_ih_0) \\ &=\sum_{i\in\Lambda_5}\alpha_i\overline{S}(x, h_0)+\sum_{i\in\Lambda_6}\alpha_i\overline{S}(x, m_ih_0)=:\sigma_5+\sigma_6. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Напомним, что для $i\in\Lambda_6\subset\Lambda_1$ выполняется $|\overline{S}(x_i,h_0)|<\lambda$. Поэтому для $\sigma_6$ с применением (2.37), (2.35), (2.33), (2.19) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\sigma_6| &\leqslant \lambda\sum_{i\in\Lambda_6}\alpha_i= \lambda\sum_{i\in\Lambda_6}\alpha_i\int\varphi_i(x)dx\leqslant \lambda\int_{B_1}\varphi_0(x)\,dx \\ &\leqslant\frac{2\lambda\operatorname{mes}(B_1)}{z_3-z_1} <\frac{10\varepsilon}{1-2\varepsilon}<\frac{|d|}{6}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Для $i\in\Lambda_5$ возможны следующие три случая: $\bullet$ $(x_i-h_0, x_i+h_0)\subset I^{(M)}_k$ для некоторого $k<k_0$; $\bullet$ $(x_i-h_0, x_i+h_0)\bigcap I^{(M)}_k=\varnothing$, когда $k<k_0$; $\bullet$ $(x_i\,{-}\,h_0, x_i\,{+}\,h_0)\bigcap I^{(M)}_k\,{\neq}\,\varnothing$ для некоторого $k\,{<}\,k_0$ и $(x_i\,{-}\,h_0, x_i\,{+}\,h_0)\,{\not\subset}\, I^{(M)}_k$. В первом случае имеем, что $\overline{S}(x_i,h_0)=0$. Пусть $\Lambda_7$ – множество индексов, удовлетворяющих второму случаю. Если $i\in\Lambda_7$, то $x_i\not\in D$ (см. (2.23), (2.39), (2.19)), и поэтому
$$
\begin{equation}
\sum_{i\in\Lambda_7}\alpha_i|\overline{S}(x_i, h_0)|<\varepsilon\sum_{i\in\Lambda_7}\alpha_i\leqslant\varepsilon<\frac{|d|}{40}.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Через $\Lambda_8$ обозначим множество индексов, удовлетворяющих третьему случаю. Количество таких индексов не больше $2k_0$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(B_2)<2k_0h_0, \quad\text{где }\ B_2:=\bigcup_{i\in\Lambda_8}[x_i-h_0, x_i+h_0].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно (см. также (2.24), (2.38), (2.35) и (2.19)),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{i\in\Lambda_8}\alpha_i|\overline{S}(x,h_0)| &<\frac{\varepsilon}{2k_0h_0}\sum_{i\in\Lambda_8}\alpha_i\int\varphi_i(x)dx <\frac{\varepsilon}{2k_0h_0}\int_{B_2}\varphi_0(x)\,dx \\ &\leqslant \frac{\varepsilon}{2k_0h_0}2k_0h_0\frac{2}{z_3-z_1} <\frac{2\varepsilon}{1-2\varepsilon}<\frac{|d|}{30}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Но это противоречит (2.34). Полученное противоречие доказывает лемму 12. § 3. Доказательство теорем 1 и 2 Доказательство теоремы 1. Допустим, $B=\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$, выполняются условия (1.2), (1.6) и $\lim_{h\to 0}S(x,h) =f(x)$ по мере. Пусть $\overline{F}(x)$ определяется формулами (2.14) и (2.8). Докажем, что $\overline{F}$ – линейная функция. Для этого достаточно доказать, что для любых $x$ и $h>0$ имеет место $\overline{S}(x,h)=0$. Допустим обратное: существуют $x_0$ и $h_0>0$ такие, что $\overline{S}(x_0,h_0)\neq 0$. Применяя лемму 9, найдем такой отрезок $[x_1'-h_1', x_1'+h_1']$, что
$$
\begin{equation*}
y_1\not\in[x_1'-h_1', x_1'+h_1']\subset [x_0-h_0,x_0+h_0], \qquad \overline{S}(x_1', h_1')\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу леммы 11
$$
\begin{equation}
E_1:=\bigl\{x\in[x_1'-h_1',x_1'+h_1']\colon \exists\, h>0, \,|\overline{S}(x,h)|>1+|S_f(x,h)|\bigr\}\neq \varnothing
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и $E_1$ – открытое множество. Далее, применяя лемму 12, найдем $[x_1-h_1, x_1+h_1]$ со свойствами
$$
\begin{equation*}
y_1\not\in [x_1-h_1, x_1+h_1]\subset E_1, \qquad \overline{S}(x_1,h_1)\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.1) следует, что если $x\in E_1$, то существует $h>0$ такое, что (см. (2.14)) $|S(x,h)|>1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S^{\ast}(x)>1, \qquad x\in[x_1-h_1,x_1+h_1]\subset[x_0-h_0,x_0+h_0], \\ \overline{S}(x_1,h_1)\neq 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, для $i<p$ нашли отрезки $[x_i-h_i, x_i+h_i]$ со свойствами
$$
\begin{equation}
y_i\not\in [x_i-h_i, x_i+h_i]\subset[x_{i-1}-h_{i-1}, x_{i-1}+h_{i-1}],
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Сначала, применяя лемму 9, найдем такой отрезок $[x_p'-h_p', x_p'+h_p']$, что
$$
\begin{equation*}
y_p\not\in[x_p'-h_p', x_p'+h_p']\subset [x_{p-1}-h_{p-1}, x_{p-1}+h_{p-1}], \qquad \overline{S}(x_p', h_p')\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя лемму 11, получим, что
Применяя лемму 12, найдем $[x_p-h_p, x_p+h_p]$ со свойствами
$$
\begin{equation}
y_p\not\in [x_p-h_p, x_p+h_p]\subset E_p, \qquad \overline{S}(x_p,h_p)\neq 0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.4), (3.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S^{\ast}(x)>p, \qquad x\in[x_p-h_p,x_p+h_p]\subset[x_{p-1}-h_{p-1},x_{p-1}+h_{p-1}], \\ \overline{S}(x_p,h_p)\neq 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы построим последовательность отрезков $[x_i-h_i, x_i+h_i]$, $i=1, 2,\dots$, удовлетворяющую условиям (3.2), (3.3). Из (3.2) следует, что существует $z\in \bigcap_{i=1}^{\infty}[x_i-h_i, x_i+h_i]$ и $z\not\in B$. А из (3.3) следует, что $S^{\ast}(z)=\infty$. Полученное противоречие доказывает, что $\overline{F}$ – линейная функция. Следовательно (см. (2.14), (2.8) и (1.3)),
$$
\begin{equation}
ax+b=\frac{(a_0-a_0(f))x^2}{2}-\sum_{n\in\mathbb Z,\, n\neq 0}\frac{A_n(x)-A_n(f,x)}{n^2}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из ограниченности на действительной оси суммы ряда в (3.6) следует, что $a=a_0-a_0(f)=0$. Тогда ввиду ортогональности тригонометрической системы из
$$
\begin{equation*}
b=-\sum_{n\in\mathbb Z,\, n\neq 0}\frac{A_n(x)-A_n(f,x)}{n^2}
\end{equation*}
\notag
$$
получим $b=0$ и $A_n(x)=A_n(f,x)$, $n=1, 2,\dots$ . Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Доказательство этой теоремы мало отличается от доказательства предыдущей. Поэтому мы отметим только различия и поясним, как их преодолеть.
Сначала отметим, что из соотношения (1.7) следует, что
$$
\begin{equation}
S(x,h)=O(1) \quad\text{или}\quad F(x+h)+F(x-h)-2F(x)=O(h^2),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $O$ зависит от $x$.
При доказательстве теоремы 1 мы применяли леммы 11, 9 и 12. Лемма 9 применялась для нахождения отрезка $[x_p'-h_p', x_p'+h_p']$, с условием
$$
\begin{equation*}
y_p\not\in[x_p'-h_p', x_p'+h_p']\subset [x_{p-1}-h_{p-1}, x_{p-1}+h_{p-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
В теореме 2 нет точек $y_p$, и поэтому нет необходимости применения леммы 9. В лемме 11 единственное условие на коэффициенты ряда (1.1) – это их ограниченность. Поэтому лемма 11 верна в условиях теоремы 2. При доказательстве леммы 12 условие (1.2) нужно было для выполнения леммы 8, которая применялась для выполнения (2.24). Однако (2.24) имеет место в силу (3.7). Этим завершается доказательство теоремы 2. Приведем пример тригонометрического ряда, указывающий на то, что в теореме 1 условие (1.2) необходимо. Пусть $F(x)$ – $2\pi$-периодическая функция и $F(x)=|x|-{\pi}/{2}$, когда $x\in[-\pi, \pi]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(2n-1)^2}\cos(2n-1)x.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что функцией Римана ряда будет $F(x)$. Следовательно, ряд (3.8) имеет ограниченные коэффициенты всюду, кроме точек $\pi k$, $k\in Z$, методом Римана суммируется к нулю, однако не является тривиальным рядом. Следующий пример указывает на то, что в теореме 2 условие ограниченности коэффициентов ряда (1.1) является необходимым. Пусть $F(x)$ – $\pi$-периодическая функция, $F(x)={\pi}/{2}-x$, $x\in(0,\pi)$, и $F(0)\,{=}\,0$. Тогда Очевидно, что функцией Римана ряда будет $F(x)$. Нетрудно проверить, что ряд (3.9) всюду методом Римана суммируется к нулю. Однако этот ряд не является тривиальным. Это получилось из-за неограниченности коэффициентов ряда (1.1), а точнее, из-за разрывности функции $F$.§ 4. Теоремы единственности кратных тригонометрических рядов Доказательство теоремы 6. Пусть $y$ фиксировано и $x\not\in X_y$. Тогда по условиям теоремы имеем
Учитывая, что $\operatorname{mes}(X_y)=0$, и применяя лемму 2, из (4.1) получим
$$
\begin{equation}
\sup_{\eta>0}\biggl|\sum_{n\in\mathbb Z}a_{mn}e^{iny}\biggl(\frac{\sin n\eta}{n\eta}\biggr)^2\biggr|<\infty \quad\text{для любых }\ y\in\mathbb T \quad\text{и}\quad m\in\mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Применяя лемму 3, из (4.2) получим, что для любого $m\in\mathbb Z$ существует конечный предел
$$
\begin{equation}
\lim_{\eta\to 0}\sum_{n\in\mathbb Z}a_{mn}e^{iny}\biggl(\frac{\sin n\eta}{n\eta}\biggr)^2=:A_m(y) \quad\text{для почти всех } \ y\in\mathbb T.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Из (1.14) следует, что для почти всех $y$
$$
\begin{equation}
\exists\lim_{h,\eta\to 0}S(x,y,h,\eta)=f(x,y) \quad\text{для почти всех }\ x\in\mathbb T,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из (4.3)–(4.5) следует, что найдется множество $D\subset\mathbb T$ с $\operatorname{mes}(D)=2\pi$ такое, что если $y\in D$, то выполняются (4.4), (4.5) и
$$
\begin{equation}
A_m(y)=\lim_{\eta\to 0}\sum_{n\in\mathbb Z}a_{mn}e^{iny}\biggl(\frac{\sin n\eta}{n\eta}\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Применяя лемму 5, из (4.4), (4.6) для каждого $y\in D$ получим
$$
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\sum_{m\in\mathbb Z}A_m(y)e^{imx}\biggl(\frac{\sin mh}{mh}\biggr)^2=f(x,y) \quad\text{для почти всех }\ x\in\mathbb T.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В силу леммы 6 из (1.13) получим, что если $y\in D\setminus Y$, то
$$
\begin{equation}
\sup_{h>0}\biggl|\sum_{m\in\mathbb Z}A_m(y)e^{imx}\biggl(\frac{\sin mh}{mh}\biggr)^2\biggr|<\infty \quad\text{для всех }\ x\in\mathbb T \quad\text{и}\quad m\in\mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Итак, если $y\in D\setminus Y$, то $f(\cdot,y)\in L^1(\mathbb T)$ всюду конечная и выполняются (4.7), (4.8), т.е. для функции $f(\cdot, y)$ выполняются условия теоремы 2. Следовательно,
$$
\begin{equation}
A_m(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}f(x,y)e^{-imx}\,dx, \qquad y\in D\setminus Y, \quad m\in\mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из (4.9) следует интегрируемость функций $A_m(y)$, $m\in\mathbb Z$. Поэтому из (4.2), (4.6) с применением теоремы 2 имеем
$$
\begin{equation}
a_{mn}=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}A_m(y)e^{-iny}\,dy, \qquad n, m\in\mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Из (4.9), (4.10) получаем Теорема доказана. Для доказательства теоремы 4 мы докажем, что из условий теоремы 4 следуют условия теоремы 6. Для тригонометрических рядов сформулируем одну лемму, которая является частным случаем двух разных лемм Ш. Т. Тетунашвили [13] и Л. Д. Гоголадзе [14] (см. [13; лемма 1] или [14; лемма 3]). Как уже отметили, если простой тригонометрический ряд (1.1) в точке $x$ сходится к $s$, то в этой точке также суммируется методом Римана к $s$. Для кратных тригонометрических рядов, вообще говоря, из сходимости по Прингсхейму в некоторой точке не следует суммируемость по Риману в той же точке. Однако имеет место следующая лемма (см. [7; лемма 4]). Лемма 14. Пусть в точке $\mathbf x^0=(x_1^0,\dots, x_d^0)\in\mathbb R^d$ выполняется Отметим, что в случае $d=1$ соотношение (4.14) следует из (4.13). В случае $d>1$ из выполнения (4.13) не следует (4.11). Нетрудно привести пример кратного тригонометрического ряда, который в некоторой точке удовлетворяет (4.13), но соотношения (4.12) и (4.14) не имеют место из-за невыполнения (4.11). Иными словами, в отличие от одномерного случая в многомерном случае метод суммирования Римана не регулярен, а если дополнительно потребовать выполнение (4.11), то из сходимости по Прингсхейму в точке $\mathbf x^0$ будет следовать суммируемость методом Римана в той же точке. Доказательство теоремы 4. Из (1.9) и (1.10) с применением леммы 13, получим
Кроме того, из (1.9) следует, что для любого $(x,y)\not\in\mathcal G$ существует $N_0\in\mathbb N$ такое, что
$$
\begin{equation}
\sup_{M,N\geqslant N_0}\biggl|\sum_{|m|\leqslant M}\sum_{|n|\leqslant N}a_{mn}e^{i(mx+ny)}\biggr|<\infty.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Нетрудно заметить, что с учетом ограниченности тригонометрических функций из (4.15)–(4.17) вытекает
$$
\begin{equation}
\sup_{M,N}\biggl|\sum_{|m|\leqslant M}\sum_{|n|\leqslant N}a_{mn}e^{i(mx+ny)}\biggr|<\infty, \qquad (x,y)\not\in\mathcal G.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В силу леммы 14 из (4.18) и (1.9) следуют (1.13) и (1.14). Из (4.15) и (4.16) с применением леммы 4 получим (1.11). Итак, все условия теоремы 6 выполняются. Следовательно, ряд (1.8) является рядом Фурье функции $f$. Теорема доказана. Из доказанных теорем, в частности, следует, что если $E_k\subset \mathbb T$, $\operatorname{mes}(E_k)\,{=}\,0$, $k=1, 2$, то множество $E:=E_1\times E_2$ является $\mathrm{VP}$-множеством двойных тригонометрических рядов. Такой результат из теорем Ш. Т. Тетунашвили (см. [13]) и Л. Д. Гоголадзе (см. [14]) не следует, если множества $E_1$ и $E_2$ не являются $\mathrm{VP}$-множествами. В работе Ш. Т. Тетунашвили доказано, что если $E\subset \mathbb T^d$ является $\mathrm{VP}$-множеством $d$-кратных тригонометрических рядов, то $E\times\mathbb T$ является $\mathrm{VP}$-множеством $(d+1)$-кратных тригонометрических рядов. Поэтому из теоремы 4 по индукции можно получить следующую теорему. Теорема 7. Пусть $d$-кратный тригонометрический ряд Тогда ряд (4.19) является рядом Фурье функции $f$. Как уже было отмечено в начале статьи (теорема Меньшова), множество меры нуль может не быть $U$-множеством простых тригонометрических рядов. Однако декартово произведение множеств меры нуль является $\mathrm{VP}$-множеством кратных тригонометрических рядов, сходящихся по Прингсхейму. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gev21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|