| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Обобщение логарифма Артина–Хассе для Д. Н. Тюрин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9520 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ статье исследуются взаимосвязи между $K$-группами Милнора и модулями дифференциальных форм для $p$-адически полных $\delta$-колец. Пусть $R$ – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Обозначим через $R^{*}$ его мультипликативную группу. Тогда $K$-группой Милнора $K^{M}_{n}(R)$ степени $n$ называется $n$-я однородная компонента фактора тензорного кольца $(R^{*})^{\otimes\bullet}$ по двустороннему идеалу, порожденному элементами вида $r\otimes(1-r)$ такими, что $r$ и $1-r$ оба обратимы. Такие элементы называются соотношениями Стейнберга. $K$-группы Милнора являются важным алгебраическим инвариантом, имеющим приложения в различных областях алгебры и арифметики. Тем не менее они довольно сложны в вычислении, так как в основе их определения лежит тонкая связь между операциями сложения и умножения в кольце $R$. Имеет место функториальный гомоморфизм групп $d\log\colon K^{M}_{n}(R)\to\Omega^{n}_{R}$, где $\Omega^{n}_{R}$ обозначает модуль $\mathbb{Z}$-линейных дифференциальных форм степени $n$ кольца $R$. В общем случае гомоморфизм $d\log$ далек от того, чтобы быть изоморфизмом. Пусть $I\subset R$ – нильпотентный идеал степени $N$, для которого существует сечение отображения факторизации $R\to R/I$, являющееся гомоморфизмом колец. По определению относительная $K$-группа Милнора $K^{M}_{n}(R,I)$ является ядром естественного гомоморфизма $K^{M}_{n}(R)\to K^{M}_{n}(R/I)$. С. Блох (см. [2; § 1]) построил канонический интеграл относительного отображения $d\log$, т.е. функториальный гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mathrm B\colon K^{M}_{n}(R,I)\to\Omega^{n-1}_{R,I}/d\Omega^{n-2}_{R,I}, \qquad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого выполняется равенство между отображениями
$$
\begin{equation*}
d\circ \mathrm B=d\log\colon\quad K^{M}_{n}(R,I)\to\Omega^{n}_{R,I}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом было сделано одно важное предположение, заключающееся в том, что натуральные числа от $1$ до $N$ обратимы в кольце $R$. В дальнейшем совокупность результатов, полученных С. Блохом (см. [2; теорема 0.1]), Х. Мааценом и Я. Стинстрой (см. [11; п. 3.12]), У. ван дер Калленом (см. [8; следствие 8.5]) и Б. Дрибусом (см. [5]), показала что $\mathrm B$ является изоморфизмом при дополнительном условии $5$-стабильности кольца $R$. В совместной с С. О. Горчинским статье [6; теорема 2.12] данный результат был обобщен на случай слабо $5$-стабильных колец, причем к данным вопросам был найден существенно более элементарный подход, чем в указанных выше статьях. Заметим, что в случае $p$-адически полного кольца $R$, для которого обратимы все натуральные числа за исключением $p$, интегрирование отображения $d\log$, вообще говоря, невозможно. Тем не менее оказывается, что все-таки можно определить $p$-адический аналог отображения Блоха $\mathrm B$, причем в этом случае даже не нужно рассматривать относительные группы для нильпотентного идеала. При этом модули дифференциальных форм из области значения необходимо $p$-адически пополнять. А именно, К. Като (см. [9; § I.3]) определил такой $p$-адический аналог отображения Блоха для гладких схем над кольцом векторов Витта совершенного поля характеристики $p>2$, снабженных поднятием гомоморфизма Фробениуса. (На самом деле, К. Като определил такое отображение в более общем случае для синтомических схем над кольцом векторов Витта, для которых не выбрано и даже может не существовать поднятие гомоморфизма Фробениуса; в этом случае отображение принимает значение в синтомических когомологиях.) Главный нетривиальный факт здесь заключается в том, что построенное отображение удовлетворяет свойству Стейнберга, т.е. обращается в нуль на соотношениях Стейнберга, см. [9; предложение I.3.2]. Приведенное К. Като доказательство свойства Стейнберга основано на двух фактах. Во-первых, показывается, что $p$-адическое отображение Блоха в правильном смысле не зависит от выбора поднятия гомоморфизма Фробениуса (см. [9; с. 212]). Для этого синтомические когомологии сводятся к кристаллическим и используются стандартные свойства последних. Во-вторых, отдельно рассматривается случай кольца $\mathbb Z_p[x,x^{-1},(1-x)^{-1}]$ с поднятием гомоморфизма Фробениуса, переводящим $x$ в $x^p$, см. [9; c. 217] (ср. с шагами 5 и 6 в доказательстве теоремы 3.5). Для этого все сводится к кольцу рядов Лорана $\mathbb Z_p((x))$. Однако, на наш взгляд, последняя редукция не снабжена в [9] достаточным количеством объяснений. Рассмотренные К. Като (аффинные) гладкие схемы над кольцом векторов Витта являются частным случаем $\delta$-колец. Данное понятие было введено А. Джоялем в [7] и впоследствии подробно изучалось А. Буимом в [3], который называл их кольцами с $p$-дифференцированиями. Хорошим источником по данной теме является также статья Б. Бхатта–П. Шольце [1; § 2]. Кратко, под $\delta$-структурой на кольце $R$ подразумевается отображение $\delta\colon R\to R$, удовлетворяющее определенному набору свойств, из которых, в частности, следует, что отображение $\varphi\colon r\mapsto r^{p}+p\delta(r)$ представляет собой корректно определенный эндоморфизм кольца $R$, являющийся поднятием гомоморфизма Фробениуса (см. п. 2.1). В частности, если кольцо $R$ свободно от $p$-кручения, то $\delta$-структура и поднятие гомоморфизма Фробениуса являются равносильными структурами. Естественный вопрос заключается в том, чтобы обобщить отображение, построенное К. Като, на случай произвольных $\delta$-колец. Кроме того, для такого отображения естественно найти элементарное доказательство свойства Стейнберга. Действительно, область определения, $K$-группы Милнора и область значения, фактор пополненных модулей дифференциальных форм определяются явно, и имеет смысл найти явное доказательство, не использующее в отличие от [9] кристаллический сайт. Цель настоящей работы заключается в нахождении ответов на данные вопросы. Несложно показать, что $\delta$-структура на кольце $R$ позволяет определить на модуле $\Omega^{n}_{R}$ групповой эндоморфизм ${\varphi}/{p^{n}}$, который при умножении на $p^{n}$ совпадает с естественным действием $\varphi$ на $\Omega^{n}_{R}$ и коммутирует с дифференциалом (см. предложение 2.6). Будем предполагать, что простое число $p$ не равно $2$. Первый основной результат данной статьи (см. предложение 3.4) заключается в существовании канонического интеграла отображения $(1-{\varphi}/{p})\,d\log$, т.е. в том, что для любого $p$-адически полного $\delta$-кольца $(R,\delta)$ существует функториальный гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mathrm B_{\delta}\colon (R^{*})^{\otimes n}\to\widehat{\Omega}^{n-1}_{R}/d\widehat{\Omega}^{n-2}_{R}, \qquad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого выполняется равенство между отображениями
$$
\begin{equation*}
d\circ \mathrm B_{\delta}=\biggl(1-\frac{\varphi}{p^{n}}\biggr)\,d\log\colon (R^*)^{\otimes n}\to \widehat{\Omega}^{n}_{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что переход к $p$-адическому пополнению $\widehat{\Omega}^{n}_{R}$ группы $\Omega^n_R$ является необходимым шагом для построения отображения $\mathrm B_{\delta}$. Гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}$ определен однозначно некоторыми дополнительными свойствами (см. подробности в формулировке предложения 3.4). Мы называем гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}$ отображением Блоха–Артина–Хассе, поскольку в случае $n=1$ соответствующий гомоморфизм групп из $R^{*}$ в $R$ представляет собой обобщение классического логарифма Артина–Хассе, являющегося изоморфизмом групп $1+t\mathbb Z_p[[t]]\xrightarrow{\sim} t\mathbb Z_p[[t]]$, переводящим элемент $1+t$ в $\sum_{p\nmid i}(-1)^{i-1}{t^i}/{i}$ (см., например, [12; § 1]). Второй и главный результат статьи (см. теорему 3.5) заключается в том, что отображение $\mathrm B_{\delta}$ пропускается через соотношения Стейнберга. Таким образом, определен гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mathrm B_{\delta}\colon K^{M}_{n}(R)\to\widehat{\Omega}^{n-1}_{R}/d\widehat{\Omega}^{n-2}_{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство данного факта явное, в элементарных терминах, и не использует теорию разделенных степеней и кристаллические когомологии. Имеются основания полагать, что по аналогии с [6; теорема 2.12] при некоторых дополнительных условиях (производно) $p$-адически пополненное относительное отображение Блоха–Артина–Хассе является изоморфизмом. В частности, легко доказать, что когда $\delta$-кольцо $R$ свободно от $p$-кручения и $\delta(I)\subseteq I^{2}$, логарифм Артина–Хассе является изоморфизмом $\log_{\delta}\colon 1+I\xrightarrow{\sim} I$ (ср. с результатом том Дика [4], а также в частном случае кольца $\mathbb Z_p[[t]]$ ср. с [12; предложение 1]). Мы планируем подробно рассмотреть общий случай в дальнейших работах по этой теме. Статья имеет следующую структуру. В § 2 приводятся необходимые определения и формулируются вспомогательные результаты. Так, в п. 2.1 приводятся основные свойства $\delta$-колец и, в частности, вводится важное понятие свободного $\delta$-кольца, которое определяет левый сопряженный функтор к забывающему функтору из категории $\delta$-колец в категорию множеств. Это понятие будет играть важнейшую роль в наших дальнейших построениях. В п. 2.2 мы доказываем существование ранее упоминавшегося группового эндоморфизма $\varphi/p^{n}\colon \Omega^n_R\to \Omega^n_R$. Наконец, в п. 2.3 мы формулируем некоторые вспомогательные утверждения о $\mathrm{dg}$-кольцах, взятые из [9; § 2], которые позволят нам далее построить и доказать единственность отображения $\mathrm B_{\delta}$. Во второй части работы, содержащейся в § 3, приводятся основные результаты. В п. 3.1 мы строим гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}$ для $n=1$ и доказываем его единственность. В п. 3.2 мы строим гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}\colon(R^{*})^{\otimes n}\to\widehat{\Omega}^{n}_{R}/d\widehat{\Omega}^{n-1}_{R}$ для произвольного $n\geqslant 1$ с помощью конструкций, приведенных в п. 2.3. Наконец, в п. 3.3 мы доказываем, что гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}$ пропускается через соотношения Стейнберга. Для упрощения изложения доказательство этого факта разбито на несколько шагов. § 2. Вспомогательные результаты2.1. Факты о $\delta$-кольцахПод кольцом будет подразумеваться ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Пусть $R$ является кольцом. Зафиксируем простое число $p$, не равное $2$. Кольцо $R$ снабжено $\delta$-структурой, если задано отображение $\delta\colon R\to R$ такое, что для любых $r,s\in R$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta(r+s)=\delta(r)+\delta(s)+F_p(r,s), \\ \delta(rs)=r^{p}\delta(s)+s^{p}\delta(r)+p\delta(r)\delta(s), \qquad \delta(1)=\delta(0)=1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_p(x,y)\,{=}\,(x^{p}\,{+}\,y^{p}\,{-}\,(x+y)^p)/p\,{\in}\,\mathbb Z[x,y]$ является многочленом с целыми коэффициентами. Пара $(R,\delta)$ называется $\delta$-кольцом. Морфизмы между $\delta$-кольцами определяются естественным образом: морфизм $\delta$-колец из $(R,\delta)$ в $(R',\delta')$ – это гомоморфизм колец $f\colon R\to R'$, для которого выполняется равенство $f\,{\circ}\,\delta=\delta'\circ f$. Хотя на одном и том же кольце может быть определено несколько $\delta$-структур, иногда мы будем опускать $\delta$ в обозначении $\delta$-кольца $(R,\delta)$. Для $\delta$-кольца $(R,\delta)$ рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon R\to R, \qquad\varphi(r)=r^{p}+p\delta(r).
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств отображения $\delta$ следует, что $\varphi$ является эндоморфизмом кольца $R$, причем $\varphi$ является поднятием гомоморфизма Фробениуса с $R/p$ на $R$. Если кольцо $R$ свободно от $p$-кручения, то задать $\delta$-структуру на $R$ – это то же самое, что задать поднятие гомоморфизма Фробениуса с $R/p$ на $R$ (однако это неверно для произвольного кольца $R$). Пример 2.1. (i) Легко показать, что на кольце $\mathbb{Z}$ существует единственная $\delta$-структура, причем для любого $n\in\mathbb Z$ выполняется равенство $\delta(n)=(n-n^{p})/p$. В частности, для любого $i\geqslant 1$ число $\delta(p^i)$ делится на $p^{i-1}$. (ii) Забывающий функтор из категории $\delta$-колец в категорию множеств обладает левым сопряженным функтором, т.е. для любого множества $S$ определено свободное $\delta$-кольцо $\mathbb Z[x_s,\,s\in S]_{\delta}$. А именно, $\mathbb Z[x_s,\,s\in S]_{\delta}$ является кольцом многочленов $\mathbb Z[\delta^ix_{s},\,s\in S,\,i\geqslant 0]$ от формальных переменных $\delta^ix_{s}$, $s\in S$, $i\geqslant 0$, где $\delta$-структура определяется условиями $\delta(\delta^ix_{s})=\delta^{i+1}x_{s}$, $s\in S$, $i\geqslant 0$. В частности, для любого $\delta$-кольца $(R,\delta)$ и любого элемента $r\in R$ существует единственный морфизм $\delta$-колец $\mathbb{Z}[x]_{\delta}\to R$, переводящий $x$ в $r$. Замечание 2.2. Легко видеть, что для произвольного $\delta$-кольца $R$ имеется изоморфизм где пары $(P,f)$ состоят из свободного $\delta$-кольца $P$ и морфизма $\delta$-колец $f\colon P\to R$. Отметим, что данный копредел не является направленным. Будем обозначать $p$-адическое пополнение $\varprojlim_{i\in \mathbb{N}} A/p^{i}$ произвольной абелевой группы $A$ через $\widehat{A}$ или $A^{\wedge}$. Напомним, что $p$-адическое пополнение кольца обладает естественной структурой кольца. Лемма 2.3. (i) Для любого $\delta$-кольца $(R,\delta)$ отображение $\delta\colon R\to R$ непрерывно в $p$-адической топологии, причем если $r\equiv r'\pmod{p^i}$ для $r,r'\in R$, $i\geqslant 1$, то $\delta(r)\equiv \delta(r')\pmod{p^{i-1}}$. (ii) На $\widehat{R}$ существует единственная $\delta$-структура $\widehat{\delta}$, для которой естественный гомоморфизм колец $R\to\widehat{R}$ является морфизмом $\delta$-колец. Доказательство. (i) Пусть $r'=r\,{+}\,p^is$, где $s\in R$. Из аддитивного свойства $\delta$-структуры следует, что
$$
\begin{equation*}
\delta(r')=\delta(r+p^is)=\delta(r)+\delta(p^is)+F_p(r,p^is).
\end{equation*}
\notag
$$
Из мультипликативного свойства $\delta$-структуры следует равенство
$$
\begin{equation*}
\delta(p^{i}s)=p^{pi}\delta(s)+s^{p}\delta(p^i)+p\delta(p^i)\delta(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из того, что число $\delta(p^i)$ делится на $p^{i-1}$ (см. пример 2.1, (i)), следует, что элемент $\delta(p^{i}s)$ в $R$ делится на $p^{i-1}$. Кроме того, легко видеть, что все коэффициенты многочлена $F_p(x,p^iy)$ делятся на $p^{i}$. Все вместе это доказывает п. (i).
(ii) Требуемые утверждения непосредственно вытекают из п. (i). А именно, возникают отображения $\delta_i\colon R/p^i\to R/p^{i-1}$, $i\geqslant 1$, такие, что $\delta_j\equiv \delta_i\pmod{p^{i-1}}$ при $j\geqslant i$. Переходя к обратному пределу, мы получаем отображение
$$
\begin{equation*}
\widehat{\delta}=\varprojlim_i\delta_i\colon \widehat{R}\to\widehat{R},
\end{equation*}
\notag
$$
коммутирующее с $\delta$ относительно естественного гомоморфизма $R\to \widehat{R}$. При этом $\widehat{\delta}$ является $p$-адически непрерывным отображением. Из того, что образ $R$ в $\widehat{R}$ плотен, следует, что $\widehat{\delta}$ удовлетворяет условиям $\delta$-структуры. Единственность отображения $\widehat{\delta}$ также следует из плотности образа.
Лемма доказана. В частности, из примера 2.1, (i) и леммы 2.3, (ii) следует, что на $\mathbb{Z}_{p}$ существует единственная $\delta$-структура. Заметим, что если кольцо $R$ свободно от $p$-кручения, то кольцо $\widehat{R}$ также свободно от $p$-кручения. Как следствие, в этом случае утверждение леммы 2.3, (ii) равносильно существованию и единственности продолжения на $\widehat{R}$ отображения $\varphi$. Последнее легко следует из того, что отображение $\varphi$ аддитивно. Лемма 2.4. Пусть $(R,\delta)$ – $\delta$-кольцо, $M$ – мультипликативное подмножество кольца $R$. Тогда на кольце $(M^{-1}R)^{\wedge}$ существует единственная $\delta$-структура, для которой естественный гомоморфизм колец $R\to (M^{-1}R)^{\wedge}$ является морфизмом $\delta$-колец. Данный морфизм $\delta$-колец является начальным среди всех морфизмов $\delta$-колец $f\colon R\to S$, где $S$ – $p$-адически полное $\delta$-кольцо и $f(M)\subset S^*$. Доказательство. Согласно [1; лемма 2.15] на кольце $(M+pR)^{-1}R$ существует единственная $\delta$-структура, для которой естественный гомоморфизм колец $R\to (M+pR)^{-1}R$ является морфизмом $\delta$-колец. По лемме 2.3, (ii) на кольце $((M+pR)^{-1}R)^{\wedge}$ существует единственная $\delta$-структура, для которой естественный гомоморфизм колец $(M+pR)^{-1}R\to ((M+pR)^{-1}R)^{\wedge}$ является морфизмом $\delta$-колец. Заметим, что естественный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Действительно, так как элементы из $M+pR$ обратимы в кольце $(M^{-1}R)^{\wedge}$, то корректно определен обратный к $\psi$. Используя то, что $\psi$ является изоморфизмом, мы доказываем все требуемые свойства кольца $(M^{-1}R)^{\wedge}$. Лемма доказана. 2.2. Дифференциальные формы $\delta$-колецДля кольца $R$ через $\Omega^1_R$ будем обозначать $R$-модуль $\mathbb Z$-линейных дифференциальных форм кольца $R$. Для $n\geqslant 0$ положим $\Omega^n_R=\wedge^n_R\Omega^1_R$. Доказательство. Обозначим через $\mathcal C_R$ категорию, состоящую из пар $(F,g)$, где $F$ – свободное кольцо, т.е. кольцо многочленов, над $\mathbb Z$, а $g\colon F\to R$ – гомоморфизм колец. Обозначим через $(\mathcal C_R)_{\delta}$ категорию, состоящую из пар $(P,f)$, где $P$ – свободное $\delta$-кольцо, а $f\colon P\to R$ – морфизм $\delta$-колец. Таким образом, рассматриваемый в лемме копредел берется по категории $(\mathcal C_R)_{\delta}$.
У естественного (неполного) вложения категорий $(\mathcal C_R)_{\delta}\to \mathcal C_R$ имеется левый сопряженный функтор, сопоставляющий морфизму колец $u\colon\mathbb Z[x_{s},\,s\in S]\to R$ морфизм $\delta$-колец $v\colon\mathbb Z[x_{s},\,s\in S]_{\delta}\to R$, для которого $v(x_s)=u(x_s)$. Отсюда следует, что подкатегория $(\mathcal C_R)_{\delta}\to \mathcal C_R$ является кофинальной. Хорошо известно, что естественное отображение $\operatorname{colim}_{(F,g)\in \mathcal C_R} \Omega^n_F\to \Omega^n_R$ является изоморфизмом. Вместе с установленной выше кофинальностью это доказывает лемму. Для произвольного $\delta$-кольца $(R,\delta)$ будем обозначать также через $\varphi$ гомоморфизм групп $\Omega^n_R\to\Omega^n_R$, заданный гомоморфизмом колец $\varphi\colon R\to R$. Предложение 2.6. Для любых натуральных чисел $m\leqslant n$ существует единственное отображение где $(R,\delta)$ является $\delta$-кольцом, удовлетворяющее равенству $p^m\cdot{\varphi}/{p^m}=\varphi$ между отображениями из $\Omega^{n}_{R}$ в себя и функториальное по $\delta$-кольцам. При этом отображение ${\varphi}/{p^{m}}$ является $\varphi$-полулинейным морфизмом $R$-модулей и коммутирует с дифференциалом де Рама. Доказательство. Для любых $r,s_1,\dots,s_n\in R$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \varphi(rds_1\wedge\dots\wedge ds_n)=\varphi(r)d(\varphi(s_1))\wedge\dots\wedge d(\varphi(s_n)) \\ &\qquad =\varphi(r)d(s_1^p+p\delta(s_1))\wedge\dots\wedge d(s_n^p+p\delta(s_n)) \\ &\qquad =p^n\varphi(r)(s_1^{p-1}ds_1+d\delta(s_1))\wedge\dots\wedge (s_n^{p-1}ds_n+d\delta(s_n)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеется вложение $\varphi(\Omega^n_R)\subset p^n\cdot\Omega^n_R$. Поэтому если для $\delta$-кольца $(R,\delta)$ модули дифференциальных форм $\Omega^n_R$, $n\geqslant 0$, свободны от $p$-кручения, то корректно определено отображение ${\varphi}/{p^m}\colon\Omega^n_R\to \Omega^n_R$, $m\leqslant n$, удовлетворяющее равенству $p^m\cdot{\varphi}/{p^m}=\varphi$ между отображениями из $\Omega^{n}_{R}$ в себя, являющееся $\varphi$-полулинейным морфизмом $R$-модулей, коммутирующее с дифференциалом де Рама и функториальное по $\delta$-кольцам со свободными от $p$-кручения модулями дифференциальных форм.
В соответствии с примером 2.1, (ii) свободные $\delta$-кольца являются кольцами многочленов над $\mathbb Z$, и, следовательно, их модули дифференциальных форм свободны от $p$-кручения. Объединяя это с доказанным выше и с леммой 2.5, мы строим для произвольных $\delta$-колец отображение ${\varphi}/{p^m}$ со всеми требуемыми в предложении свойствами. Предложение доказано. Заметим, что для произвольного $\delta$-кольца $(R,\delta)$ и элементов $r,s_1,\dots,s_n\in R$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\varphi}{p^m}(rds_1\wedge\dots\wedge ds_n) =p^{n-m}\varphi(r)(s_1^{p-1}ds_1+d\delta(s_1))\wedge\dots\wedge (s_n^{p-1}ds_n+d\delta(s_n)).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Предложение 2.6 можно доказать более непосредственно, не используя замечание 2.2 и лемму 2.5, а проверив явно, что формула (2.2) корректно определяет отображение из $\Omega^n_R$ в себя со всеми требуемыми свойствами. Замечание 2.7. Дифференциал де Рама продолжается однозначным образом на $p$-адические пополнения $\widehat{\Omega}^n_R$, тем самым определяя комплекс $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{R}$. Аналогично, для $\delta$-кольца $(R,\delta)$ эндоморфизм группы $\varphi\colon\Omega^n_R\to\Omega^n_R$ однозначно продолжается до эндоморфизма группы $\varphi\colon\widehat{\Omega}^n_R\to\widehat{\Omega}^n_R$, а эндоморфизм группы ${\varphi}/{p^m}\colon \Omega^n_R\to \Omega^n_R$ из предложения 2.6 однозначно продолжается до эндоморфизма группы ${\varphi}/{p^{m}}\colon\widehat{\Omega}^{n}_{R}\to\widehat{\Omega}^{n}_{R}$ с сохранением всех своих свойств. В дальнейшем нам понадобится следующая техническая лемма. Лемма 2.8. Для произвольного кольца $R$ гомоморфизм групп $\widehat{\Omega}^{n}_{R}\to\widehat{\Omega}^{n}_{\widehat{R}}$, заданный естественным гомоморфизмом колец $R\to\widehat{R}$, является изоморфизмом. Доказательство. Напомним, что для произвольного идеала $I\subset R$ имеется канонический изоморфизм $\Omega^{n}_{R}/(I\Omega^{n}_{R}+dI\wedge\Omega^{n-1}_{R})\simeq \Omega^{n}_{R/I}$. В частности, при $I=(p^i)$ имеется канонический изоморфизм $\Omega^n_{R}/p^i\simeq \Omega^n_{R/p^i}$. Применяя также аналогичный изоморфизм для кольца $\widehat{R}$ вместо кольца $R$ и используя изоморфизм колец $R/p^i\simeq \widehat{R}/p^i$, получаем изоморфизмы Переходя к обратному пределу по $i$, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана. 2.3. Конструкция с фильтрованными $\mathrm{dg}$-кольцамиВ этом пункте мы частично воспроизводим конструкции, описанные в [9; § 2]. Пусть даны два морфизма $\mathrm{dg}$-колец $f,g\colon B^{\bullet}\to A^{\bullet}$. Положим
$$
\begin{equation*}
C^{\bullet}=\operatorname{cone}(B^{\bullet}\xrightarrow{f-g} A^{\bullet})[-1].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $C^{n}=B^{n}\oplus A^{n-1}$, а дифференциал $d\colon C^{n}\to C^{n+1}$ задается по формуле $d(b,a)=(db,f(b)-g(b)-da)$, где $b\in B^{n}$, $a\in A^{n-1}$. Комплекс $C^{\bullet}$ является производным уравнителем морфизмов $f$ и $g$. Следующее утверждение доказывается непосредственным образом. Лемма 2.9. Элемент $(1,0)\in C^{0}$ и морфизм комплексов где $(b,a)\in B^{n}\oplus A^{n-1}$, $(b',a')\in B^{n'}\oplus A^{n'-1}$, определяют на $C^{\bullet}$ структуру $\mathrm{dg}$-кольца. При этом естественный морфизм комплексов $C^{\bullet}\to B^{\bullet}$ является морфизмом $\mathrm{dg}$-колец. Пусть на $\mathrm{dg}$-кольце $A^{\bullet}$ задана убывающая мультипликативная фильтрация подкомплексами $F^{n}A^{\bullet}$, $n\geqslant 0$, для которой $1\in F^0A^{\bullet}$. Равносильно, в градуированном $\mathrm{dg}$-кольце $A^{\bullet}[t]=\bigoplus_{n\geqslant 0}A^\bullet\cdot t^n$ задано градуированнное dg-подкольцо $B^{\bullet}=\bigoplus_{n\geqslant 0}F^nA^{\bullet}\cdot t^n$, где градуировка рассматривается по степеням элемента $t$. Будем обозначать через $\tau$ естественные вложения $F^{n}A^{\bullet}\hookrightarrow A^{\bullet}$, $n\geqslant 0$, и $B^{\bullet}\hookrightarrow A^{\bullet}[t]$. Предположим также, что задан набор морфизмов комплексов $\lambda_{n}\colon F^{n}A^{\bullet}\to A^{\bullet}$, $n\geqslant 0$, такой, что $\lambda_{n}(a)\cdot \lambda_{n'}(a')=\lambda_{n+n'}(a\cdot a')$ для любых $a\in F^nA^i$, $a'\in F^{n'}A^{i'}$. Равносильно, задан морфизм градуированных $\mathrm{dg}$-колец $\lambda\colon B^{\bullet}\to A^{\bullet}[t]$. Тогда лемма 2.9 задает структуру $\mathrm{dg}$-кольца на комплексе
$$
\begin{equation*}
C^{\bullet}=\operatorname{cone}(B^{\bullet}\xrightarrow{\tau-\lambda} A^{\bullet}[t])[-1]=\bigoplus_{n\geqslant 0} C^{\bullet}(n)t^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C^{\bullet}(n)=\operatorname{cone}(F^{n}A^{\bullet}\xrightarrow{\tau-\lambda_{n}} A^{\bullet})[-1]$. В частности, возникает градуированное кольцо $\bigoplus_{n\geqslant 0}H^n(C^{\bullet}(n))$ и морфизм градуированных колец $\bigoplus_{n\geqslant 0}H^n(C^{\bullet}(n))\to \bigoplus_{n\geqslant 0}H^n(F^nA^{\bullet})$. Теперь предположим, что $F^nA^{\bullet}$ является глупой фильтрацией, т.е. $(F^n A^{\bullet})^i\,{=} A^i$ при $i\geqslant n$ и $(F^n A^{\bullet})^i=0$ при $i<n$. Тогда $H^{n}(F^{n}A^{\bullet})$ совпадает с группой замкнутых элементов $(A^{n})^{\mathrm{cl}}$, и имеется изоморфизм
$$
\begin{equation}
H^n(C^{\bullet}(n))\simeq \bigl\{(b,[a])\in (A^{n})^{\mathrm{cl}}\oplus A^{n-1}/ dA^{n-2}\mid(1-\lambda_n)b=da\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Произведение элементов $(b,[a])\in H^n(C^{\bullet}(n))$ и $(b',[a'])\in H^{n'}(C^{\bullet}(n'))$ задается по формуле
$$
\begin{equation}
(b,[a])\cdot(b',[a'])=\bigl(bb',[(-1)^{n}ba'+a\lambda_{n'}(b')]\bigr).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Морфизм градуированных колец $\bigoplus_{n\geqslant 0}H^n(C^{\bullet}(n))\to \bigoplus_{n\geqslant 0}(A^n)^{\mathrm{cl}}$ имеет вид $(b,[a])\mapsto b$.
§ 3. Основные результаты3.1. Логарифм Артина–Хассе для $\delta$-колецОбозначим через $R^{*}$ мультипликативную группу кольца $R$. Имеется гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
d\log\colon R^*\to \Omega^1_R, \qquad r\mapsto \frac{dr}{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для простоты мы будем одинаково обозначать элемент из группы $\Omega^{n}_{R}$ и его образ в $\widehat{\Omega}^n_R$. В частности, мы будем также обозначать через $d\log$ композицию гомоморфизма $d\log\colon R^*\to \Omega^1_R$ с естественным отображением $\Omega^1_R\to \widehat{\Omega}^1_R$. Возникающее в приведенном ниже предложении отображение $\log_{\delta}$ естественно назвать логарифмом Артина–Хассе для $\delta$-колец, поскольку оно является обобщением классического логарифма Артина–Хассе
$$
\begin{equation*}
\log_{\delta}\colon 1+t\mathbb Z_p[[t]]^*\to t\mathbb Z_p[[t]], \qquad 1+t\mapsto\sum_{p\nmid i}(-1)^{i-1}\frac{t^i}{i},
\end{equation*}
\notag
$$
для $\delta$-кольца $\mathbb Z_p[[t]]$ с $\varphi(t)=t^p$ (см., например, [12; § 1]). Предложение 3.1. Пусть $(R,\delta)$ является $p$-адически полным $\delta$-кольцом. Существует единственный гомоморфизм групп $\log_{\delta}\colon R^*\to R$, удовлетворяющий равенству между гомоморфизмами групп из $R^*$ в $\widehat{\Omega}^1_R$ и функториальный по $p$-адически полным $\delta$-кольцам. Отметим, что $p$-адическая полнота кольца $R$ необходима в предложении 3.1 для того, чтобы отображение $\log_{\delta}$ было корректно определено, а $p$-адическая полнота группы $\widehat{\Omega}^1_R$ необходима для того, что выполнялось равенство (3.1). Другими словами, предложение 3.1 утверждает, что для любого $r\in R^*$ у дифференциальной формы $d\log(r)$ существует интеграл после применения к ней отображения $1-{\varphi}/{p}$. Поэтому идея доказательства такова: надо придать смысл выражению $(1-{\varphi}/{p})\log(r)$. Используя формально стандартное свойство логарифма, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{\varphi}{p}\biggr)\log(r)=\frac{(p-\varphi)}{p}\log(r) =\frac{1}{p}\log\biggl(\frac{r^p}{\varphi(r)}\biggr) =-\frac{1}{p}\log\biggl(1+p\frac{\delta(r)}{r^p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства предложения 3.1 нам понадобится следующий элементарный факт. По-видимому, он хорошо известен, но для полноты изложения мы решили привести его доказательство. Лемма 3.2. Пусть $S\subset\mathbb Z[t_1,t_2,\dots]$ – подмножество в кольце многочленов от (счетного) числа переменных, для которого существует такой набор целых чисел $a_1,a_2,\dots\in\mathbb Z$, что для любого $f\in S$ значение $f(a_1,a_2,\dots)\in\mathbb Z$ не делится на $p$. Положим $A:=\mathbb Z[t_1,t_2,\dots][S^{-1}]^{\wedge}$. Тогда естественное отображение $\mathbb Z_p\to H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_A)$ является изоморфизмом. Доказательство. Будем переразлагать многочлены в точке $(a_1,a_2,\dots)$, т.е. рассмотрим изоморфизм Возникает естественное вложение колец где правое кольцо состоит из всех бесконечных линейных комбинаций с коэффициентами из $\mathbb Z_p$ (конечных) мономов от формальных переменных $s_1,s_2,\dots$ (здесь мы используем $p$-адическую полноту кольца $E$).
Имеется естественный изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\Omega^1_{\mathbb Z[t_1,t_2,\dots][S^{-1}]}\simeq\bigoplus_{i\geqslant 0}\mathbb Z[t_1,t_2,\dots][S^{-1}]\, dt_i.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2.8 имеется изоморфизм $\widehat{\Omega}^1_{\mathbb Z[t_1,t_2,\dots][S^{-1}]}\simeq \widehat{\Omega}^1_A$, а также имеются вложения групп
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Omega}^1_{\mathbb Z[t_1,t_2,\dots][S^{-1}]}\subset \prod_{i\geqslant 0} A\,dt_i\subset \prod_{i\geqslant 0} E\,ds_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, корректно определен дифференциал де Рама $d\colon E\to \prod_{i\geqslant 0} E\,ds_i$, задающийся взятием частных производных по $s_i$ и коммутирующий с дифференциалом де Рама $d\colon A\to \widehat{\Omega}^1_A$.
Из сказанного выше следует, что имеется вложение Наконец, легко видеть, что правая часть равна $\mathbb Z_p$. Лемма доказана.Теперь мы готовы доказать предложение 3.1. Доказательство предложения 3.1. Рассмотрим ряд
$$
\begin{equation}
f(x)=-\frac{1}{p}\log(1+px)=\sum_{i\geqslant 0}(-1)^i\frac{p^{i-1}}{i}x^i\in\mathbb Q[[x]].
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Поскольку $p>2$, коэффициенты ряда $f(x)$ являются $p$-адически целыми числами и $p$-адически стремятся к нулю, т.е. $f(x)\in\mathbb Z[x]^{\wedge}$. Из этого и из $p$-адической полноты кольца $R$ следует, что корректно определено отображение Докажем, что оно удовлетворяет всем требуемым свойствам. Функториальность очевидна. Из стандартного свойства ряда для логарифма следует, что в кольце $\mathbb Q[[x,y]]$, а значит, и в кольце $\mathbb Z[x,y]^{\wedge}$, имеется равенство $f(x+y+pxy)=f(x)+f(y)$. Из мультипликативного свойства $\delta$-структуры следует, что для любых $r,s\in R$ имеется равенство в $R$ Следовательно, отображение $\log_{\delta}$ является гомоморфизмом групп.
Докажем, что выполняется равенство (3.1). Заметим, что в группе $\widehat{\Omega}^1_{\mathbb Z[x]^{\wedge}}\simeq\mathbb Z[x]^{\wedge}\, dx$ дифференциальная форма $df(x)$ равна дифференциальной форме $-({1}/{p})d\log(1+px)=-{dx}/(1+px)$. Для выполнения данного равенства необходимо рассматривать именно $p$-адическое пополнение группы $\Omega^1_{\mathbb Z[x]^{\wedge}}$, а в самой группе ${\Omega}^1_{\mathbb Z[x]^{\wedge}}$ его аналог не выполняется. Значит, в группе $\widehat{\Omega}^1_R$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
d\log_{\delta}(r)=-\frac{d(\delta(r)/r^p)}{1+p\delta(r)/r^p} =\frac{pr^{p-1}dr\delta(r)-r^pd\delta(r)}{r^p\varphi(r)}= p\frac{\delta(r)}{\varphi(r)}\,\frac{dr}{r}-\frac{d\delta(r)}{\varphi(r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по формуле (2.2) в группе $\Omega^1_R$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(1-\frac{\varphi}{p}\biggr)\frac{dr}{r} =\frac{dr}{r}-\frac{r^{p-1}dr+d\delta(r)}{\varphi(r)}= \frac{(r^p+p\delta(r))dr-r^pdr}{r\varphi(r)}-\frac{d\delta(r)}{\varphi(r)} \\ &\qquad =p\frac{\delta(r)}{\varphi(r)}\,\frac{dr}{r}-\frac{d\delta(r)}{\varphi(r)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает равенство (3.1).
Остается доказать единственность функториального гомоморфизма $\log_{\delta}$: $R^*\to R$ на категории $p$-адически полных $\delta$-колец, удовлетворяющего равенству (3.1). Для этого достаточно показать, что нет нетривиальных морфизмов групповых функторов $R^*\to H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_R)$. Заметим, что по лемме 2.4 $p$-адически полное $\delta$-кольцо $R_{{\mathbb G}_m}:=\mathbb Z[x]_{\delta}[x^{-1}]^{\wedge}$ копредставляет функтор ${\mathbb G}_m\colon R\mapsto R^*$ на категории $p$-адически полных $\delta$-колец. Поэтому любой (не обязательно групповой) морфизм функторов из $R^*$ в $H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_R)$ однозначно задается элементом из $H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_{R_{{\mathbb G}_m}})$. Из леммы 3.2 следует, что имеется изоморфизм $\mathbb Z_p\simeq H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_{R_{{\mathbb G}_m}})$. Следовательно, любой морфизм функторов $R^*\to H^0(\widehat{\Omega}^{\bullet}_R)$ является постоянным, т.е. сопоставляет всем $r\in R^*$ один и тот же элемент $c\in\mathbb Z_p$. Если такой морфизм функторов является также групповым, то $c=0$. Это завершает доказательство единственности логарифма Артина–Хассе. Предложение доказано. Пример 3.3. Пусть $(R,\delta)$ является $p$-адически полным $\delta$-кольцом. (i) Предположим, что $\delta(r)=0$ для некоторого $r\in R$; такие элементы называются элементами ранга 1, см. [1; замечание 2.3]. Когда кольцо $R$ свободно от $p$-кручения, это равносильно тому, что $\varphi(r)=r^p$. Тогда из формул (3.2) и (3.3) следует, что $\log_{\delta}(r)=0$. (ii) Предположим, что кольцо $R$ свободно от $p$-кручения. Тогда ограничение логарифма Артина–Хассе $\log_{\delta}\colon R^*\to R$ на подгруппу $1+pR\subset R^*$ раскладывается в композицию гомоморфизмов групп
$$
\begin{equation*}
1+pR\xrightarrow{\log} pR\xrightarrow{1/p} R\xrightarrow{p-\varphi} R,
\end{equation*}
\notag
$$
где первый и второй гомоморфизмы являются изоморфизмами (напомним, что $p\ne 2$). (iii) Пусть $k$ является совершенным полем характеристики $p$, а $R=W(k)$ является кольцом векторов Витта. На кольце $W(k)$ определена естественная $\delta$-структура, заданная каноническим поднятием гомоморфизма Фробениуса с $k$ на $W(k)$. Представители Тейхмюллера задают разложение причем все элементы в подгруппе $k^*\subset W(k)^*$ имеют ранг $1$. Из п. (i) и (ii) следует, что логарифм Артина–Хассе $\log_{\delta}\colon W(k)^*\to W(k)$ раскладывается в композицию где первый гомоморфизм является естественной проекцией. Заметим, что последний гомоморфизм является изоморфизмом, поскольку гомоморфизм $\varphi$: $W(k)\to W(k)$ является изоморфизмом, гомоморфизм $p\colon W(k)\to W(k)$ топологически нильпотентный и они коммутируют друг с другом.3.2. Отображение Блоха–Артина–ХассеДля произвольного кольца $R$ определен морфизм градуированных колец
$$
\begin{equation}
d\log\colon \bigoplus_{n\geqslant 0}(R^{*})^{\otimes n}\to\bigoplus_{n\geqslant 0}(\widehat{\Omega}^{n}_{R})^{\mathrm{cl}}, \qquad r_{1}\otimes\dots\otimes r_{n}\mapsto \frac{dr_{1}}{r_{1}}\wedge\dots\wedge\frac{dr_{n}}{r_{n}}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Пусть $(R,\delta)$ является $\delta$-кольцом. Применим формализм из п. 2.3 к $\mathrm{dg}$-кольцу $\widehat{\Omega}^{\bullet}_R$ с фильтрацией Ходжа, т.е. с глупой фильтрацией, $F^n\widehat{\Omega}^{\bullet}_R$ и с морфизмами комплексов ${\varphi}/{p^n}\colon F^n\widehat{\Omega}^{\bullet}_R\to {\widehat{\Omega}}^{\bullet}_R$ (см. предложение 2.6 и замечание 2.7). Для краткости обозначим возникающие при этом группы $H^n(C^{\bullet}(n))$, $n\geqslant 0$, через $H^n(R,\delta)$ (см. формулу (2.3)). Предложение 3.1 можно интерпретировать как утверждение о существовании и единственности поднятия на категории $p$-адически полных $\delta$-колец $(R,\delta)$ функториального гомоморфизма групп $d\log\colon R^*\to (\widehat{\Omega}^1_R)^{\mathrm{cl}}$ до функториального гомоморфизма групп
$$
\begin{equation*}
(d\log,\log_{\delta})\colon R^*\to H^1(R,\delta)\simeq \biggl\{(\omega,r)\in (\widehat{\Omega}^1_R)^{\mathrm{cl}}\oplus R\biggm| \biggl(1-\frac{\varphi}{p}\biggr)\omega=dr\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как градуированное тензорное кольцо $\bigoplus_{n\geqslant 0}(R^{*})^{\otimes n}$ свободно порождено своей компонентой степени $1$, то мы получаем следующий факт. Предложение 3.4. Пусть $(R,\delta)$ является $p$-адически полным $\delta$-кольцом. Тогда существует единственный морфизм градуированных колец удовлетворяющий равенству между гомоморфизмами групп из $(R^*)^{\otimes n}$ в $\widehat{\Omega}^{n}_{R}$ и функториальный по $p$-адически полным $\delta$-кольцам. Мы называем отображение $\mathrm B_{\delta}$ отображением Блоха–Артина–Хассе, поскольку при $n=1$ оно обобщает логарифм Артина–Хассе из предложения 3.1 и является $p$-адическим вариантом отображения Блоха из [6]. Применяя индукцию по $n$ и формулу (2.4), мы видим, что для любых элементов $r_1,\dots,r_n\in R^*$ выполняется равенство в группе $\widehat{\Omega}_R^{n-1}/d\widehat{\Omega}_R^{n-2}$ (см. [10; § 0.7.1])
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm B_{\delta}(r_{1}\otimes\dots\otimes r_{n}) &=\biggl[\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\log_{\delta}(r_i)\,d\log(r_1\otimes\dots\otimes r_{i-1}) \\ &\qquad \wedge\frac{\varphi}{p^{n-i}}(d\log(r_{i+1}\otimes\dots\otimes r_n))\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для любых $r,s\in R^*$ выполняется равенство в группе $\widehat{\Omega}^1_R/dR$
$$
\begin{equation}
\mathrm B_{\delta}(r\otimes s)=\biggl[\log_{\delta}(r)\frac{\varphi}{p}(d\log(s)) -\log_{\delta}(s)\,d\log(r)\biggr].
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из равенства $(\varphi/p)(d\log(s)) =d\log(s)-d\log_{\delta}(s)$ следует, что рассматриваемая под квадратными скобками дифференциальная форма также равна
$$
\begin{equation}
\log_{\delta}(r)\,d\log(s)-\log_{\delta}(s)\,d\log(r)-\log_{\delta}(r)\,d\log_{\delta}(s).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отметим совпадение формулы (3.7) с числителем в явной формуле Востокова для символа норменного вычета для локальных полей, см. [12; формулы (5), (12)]. 3.3. Свойство СтейнбергаДля произвольного кольца $R$ положим Напомним, что для $n\geqslant 2$ соответствующая $K$-группа Милнора $K^M_n(R)$ кольца $R$ определяется как фактор группы $(R^*)^{\otimes n}$ по подгруппе, порожденной элементами вида
$$
\begin{equation*}
r_{1}\otimes\dots\otimes r_{i}\otimes r\otimes(1-r)\otimes r_{i+1}\otimes\dots\otimes r_{n-2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0\leqslant i\leqslant n-2$ и $r_1,\dots,r_{n-2}\in R^*$, $r\in\Sigma(R)$. Такие элементы называются соотношениями Стейнберга. Легко видеть, что значения гомоморфизма групп $d\log\colon (R^*)^{\otimes n}\to \Omega^n_R$ (см. формулу (3.4)) на соотношениях Стейнберга равны нулю, т.е. гомоморфизм $d\log$ однозначно пропускается через гомоморфизм групп $K^M_n(R)\to {\Omega}_R^{n}$. Основной результат работы заключается в следующем утверждении. Теорема 3.5. Для любого $p$-адически полного $\delta$-кольца $(R,\delta)$ значения гомоморфизма групп $\mathrm B_{\delta}\colon (R^*)^{\otimes n}\to {\widehat{\Omega}_R^{n-1}/d\widehat{\Omega}_R^{n-2}}$ на соотношениях Стейнберга равны нулю. Другими словами, для гомоморфизма $\mathrm B_{\delta}$ выполняется свойство Стейнберга или, равносильно, гомоморфизм $\mathrm B_{\delta}$ однозначно пропускается через гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mathrm B_{\delta}\colon K^M_n(R)\to {\widehat{\Omega}_R^{n-1}/d\widehat{\Omega}_R^{n-2}},
\end{equation*}
\notag
$$
который имеет смысл также обозначить через $\mathrm B_{\delta}$ и называть отображением Блоха–Артина–Хассе. Для доказательства теоремы 3.5 нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Для произвольной $p$-адически полной абелевой группы $G$ и ненулевого элемента $g\in G$ определим целое неотрицательное число $v_p(g)$ условием $g\in p^{v_p(g)}G\setminus p^{v_p(g)+1}G$. Также положим $v_p(0):=\infty$. По определению последовательность $\{g_i\}_{i\geqslant 0}$ элементов из $G$ $p$-адически стремится к нулю тогда и только тогда, когда последовательность $\{v_p(g_i)\}_{i\geqslant 0}$ стремится к бесконечности. Пусть $S$ является произвольным кольцом, а $t$ является формальной переменной. Напомним, что имеют место канонические изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\Omega^{n-1}_S[t]dt\oplus\Omega_S^{n}[t]\xrightarrow{\sim}\Omega^{n}_{S[t]}, \qquad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, произвольный элемент $\eta\in\widehat{\Omega}^{n}_{S[t]}$ однозначно представляется в виде
$$
\begin{equation}
\eta=\sum_{i\geqslant 0}\xi_{i}t^{i}dt+ \sum_{i\geqslant 0}\eta_{i}t^{i},
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\{\xi_{i}\}_{i\geqslant 0}$, $\{\eta_{i}\}_{i\geqslant 0}$ – $p$-адически стремящиеся к нулю последовательности элементов из $\widehat{\Omega}^{n-1}_{S}$ и $\widehat{\Omega}^{n}_{S}$ соответственно. Обозначим через $\pi$ естественный гомоморфизм колец $S[t]^{\wedge}\to\widehat{S}$, $t\mapsto 0$. Так же через $\pi$ мы будем обозначать индуцированные гомоморфизмы групп $\widehat{\Omega}^n_{S[t]}\to \widehat{\Omega}^n_{S}$, $n\geqslant 1$. Лемма 3.6. Для произвольной замкнутой $1$-формы $\eta\in\widehat{\Omega}^{1}_{S[t]}$ с разложением форма $\eta-\pi(\eta)$ точна тогда и только тогда, когда последовательность $\{v_{p}(f_{i})-v_{p}(i+1)\}_{i\geqslant 0}$ неотрицательна и стремится к бесконечности. Доказательство. Из замкнутости формы $\eta$ следует замкнутость форм $\pi(\eta)=\eta_0$ и $\eta-\pi(\eta)$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
d(\eta-\pi(\eta))=\sum_{i\geqslant 0}t^{i}df_{i}\wedge dt-\sum_{i\geqslant 1}it^{i-1}\eta_{i}\wedge dt+\sum_{i\geqslant 1}t^{i}d\eta_{i}=0\in \widehat{\Omega}^2_{S[t]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из разложения (3.9) при $n=2$ мы видим, что выполняются равенства Отсюда следует, что форма $\eta-\pi(\eta)$ точна тогда и только тогда, когда существует ряд $g=\sum_{i\geqslant 1}g_it^i$, для которого последовательность $\{g_i\}_{i\geqslant 1}$ стремится к нулю в $\widehat{S}$ и выполняются равенства $f_i=(i+1)g_{i+1}$, $i\geqslant 0$ (и в этом случае $\eta=dg$). Существование такого ряда $g$ равносильно второму условию в формулировке леммы. Лемма доказана. При применении леммы 3.6 в доказательстве теоремы 3.5 мы будем использовать следующие элементарные факты. Лемма 3.7. Для любого целого положительного числа $i$ выполняется равенство где $\lfloor\log_p(i)\rfloor$ обозначает нижнюю целую часть логарифма числа $i$ по основанию $p$. Лемма 3.7 проверяется непосредственным образом. Доказательство. Из леммы 3.7 следует, что выполняется неравенство $v_p(i+1)\leqslant \lfloor\log_p(i+1)\rfloor$. Кроме того, легко видеть, что $\lfloor\log_p(i+1)\rfloor\leqslant \lfloor\log_p(i)\rfloor+1$. Поэтому имеется нижняя оценка
$$
\begin{equation}
i-1-\lfloor\log_p(i)\rfloor-v_{p}(i+1)\geqslant i-2-2\lfloor\log_p(i)\rfloor.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Также по лемме 3.7 имеем $v_p(i)\leqslant \lfloor\log_p(i)\rfloor$, и, кроме того, ясно, что $\lfloor\log_p(ip-1)\rfloor\leqslant \lfloor\log_p(i)\rfloor+1$. Поэтому имеется нижняя оценка
$$
\begin{equation}
i-1-\lfloor\log_p(ip-1)\rfloor-v_{p}(i)\geqslant i-2-2\lfloor\log_p(i)\rfloor.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Далее, имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
i-2-2\lfloor\log_p(i)\rfloor \geqslant i-2-2\log_p(i) \geqslant i-2-2\log_3(i),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где мы используем наше постоянное предположение $p\ne 2$. Очевидно, что последовательность вещественных чисел в правой части неравенства (3.12) стремится к бесконечности. Таким образом, нам остается проверить, что последовательности в левых частях неравенств (3.10) и (3.11) неотрицательны при $i\geqslant 1$.
Рассмотрим вещественную функцию $h(x):=x-2-2\log_3(x)$ при $x>0$. Легко видеть, что $h'(x)=1-{2}/{(\ln(3)x)}>0$ при $x\geqslant 2$, а также, что $h(5)>0$. Поэтому $h(x)>0$ при $x\geqslant 5$, и надо проверить неотрицательность левых частей неравенств (3.10) и (3.11) при $1\leqslant i\leqslant 4$. Это делается непосредственным образом с учетом того, что $p\ne 2$. Лемма доказана. Теперь мы готовы доказать теорему 3.5. Доказательство теоремы 3.5.
Шаг 1. Покажем, что достаточно доказать теорему лишь для универсального случая. А именно, легко видеть, что достаточно доказать теорему для случая $n=2$. Из леммы 2.4 следует, что функтор $\Sigma$ копредставим в категории $p$-адически полных $\delta$-колец объектом Поэтому достаточно доказать теорему для кольца $R_{\Sigma}$ и соотношения Стейнберга $x\otimes (1-x)\in(R_{\Sigma}^{*})^{\otimes 2}$.
Для элемента $\mathrm B_{\delta}(x\otimes (1-x))\in{\widehat{\Omega}_{R_{\Sigma}}^{1}/dR_{\Sigma}}$ выберем представителя (см. формулу (3.7))
$$
\begin{equation}
\omega:=\log_{\delta}(x)d\log(1-x)-\log_{\delta}(1-x)d\log(x) -\log_{\delta}(x)d\log_{\delta}(1-x)\in\widehat{\Omega}_{R_{\Sigma}}^{1}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Из формулы (3.5) и равенства $d\log(x\otimes (1-x))=0$ следует, что $d\omega=0\in\widehat{\Omega}^2_{R_{\Sigma}}$, т.е. что форма $\omega$ замкнута.
Для доказательства теоремы нам надо показать точность формы $\omega$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{R_{\Sigma}}$. Шаг 2. Докажем, что можно избавиться от формальных переменных $\delta^ix\in {R_{\Sigma}}$, где $i\geqslant 2$, и перейти от большего кольца $R_{\Sigma}$ к меньшему кольцу, порожденному только $x$ и $\delta x$, благодаря тому, что в форму $\omega$ входят лишь эти две формальные переменные. Определим кольца
$$
\begin{equation*}
A:=\mathbb{Z}[x^{\pm 1}, (1-x)^{-1}], \qquad B:=A[\delta^ix,\,i\geqslant 1].
\end{equation*}
\notag
$$
Расщепимое вложение колец $A[\delta x]\to B$ индуцирует расщепимые вложения групп $\Omega^n_{A[\delta x]}\to\Omega^n_B$, $n\geqslant 0$, а также расщепимые вложения их пополнений $\widehat{\Omega}^n_{A[\delta x]}\to\widehat{\Omega}^n_B$, $n\geqslant 0$. По лемме 2.8 изоморфизм $p$-адически полных колец $\widehat{B}\simeq R_{\Sigma}$ индуцирует изоморфизмы групп $\widehat{\Omega}^n_{B}\simeq \widehat{\Omega}^n_{R_{\Sigma}}$, $n\geqslant 0$. Мы видим, что имеются естественные вложения групп
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Omega}^n_{A[\delta x]}\subset \widehat{\Omega}^n_{R_{\Sigma}}, \qquad n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из формул (3.2) и (3.3) непосредственно вытекает, что элементы $\log_{\delta}(x)$, $\log_{\delta}(1-x)$ принадлежат подкольцу $A[\delta x]^{\wedge}$ в $R_{\Sigma}$. Поэтому из формулы (3.14) следует, что форма $\omega\in\widehat{\Omega}^1_{R_{\Sigma}}$ принадлежит подгруппе $\widehat{\Omega}^1_{A[\delta x]}\simeq \widehat{\Omega}^1_{A[\delta x]^{\wedge}}$ (см. лемму 2.8) в $\widehat{\Omega}^1_{R_{\Sigma}}$ и что выполняется равенство $d\omega=0$ в группе $\widehat{\Omega}^2_{A[\delta x]}$.
Итак, достаточно доказать точность формы $\omega$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{A[\delta x]}$. Шаг 3. Для удобства обозначений положим $t=\delta x$. Опишем более явно форму $\omega$ из $\widehat{\Omega}^1_{A[\delta x]}=\widehat{\Omega}^1_{A[t]}$. В соответствии с разложением (3.9) форма $\omega$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\omega=\sum_{i\geqslant 0}f_{i}t^{i}dt+ \sum_{i\geqslant 0}\omega_{i}t^{i}, \qquad f_i\in \widehat{A}, \qquad\omega_i\in\widehat{\Omega}^1_A,
\end{equation*}
\notag
$$
и найдем явный вид элементов $f_i\in \widehat{A}$.
В ряд $\sum_{i\geqslant 0}f_{i}t^{i}dt$ вносит вклад лишь слагаемое $-\log_{\delta}(x)d\log_{\delta}(1-x)$ из формулы (3.14) для $\omega$. По формуле (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
d\log_{\delta}(1-x)=\frac{d(1-x)}{1-x}-\frac{\varphi}{p}\biggl(\frac{d(1-x)}{1-x}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что в данной форме в ряд $\sum_{i\geqslant 0}f_{i}t^{i}dt$ вносит вклад лишь второе слагаемое:
$$
\begin{equation*}
-\frac{\varphi}{p}\biggl(\frac{d(1-x)}{1-x}\biggr)=\frac{1}{\varphi(1-x)}\cdot\frac{\varphi}{p}(dx)=\frac{x^{p-1}dx+dt}{1-x^p-pt}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i\geqslant 0}f_{i}t^{i}dt=-\frac{\log_{\delta}(x)}{1-x^p-pt}dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя формулы (3.2) и (3.3) для $\log_{\delta}(x)$, мы видим, что в последнем равенстве правая часть является произведением двух следующих $p$-адически сходящихся рядов:
$$
\begin{equation}
-\log_{\delta}(x)=\frac{1}{p}\log\biggl(1+\frac{pt}{x^p}\biggr)=\sum_{k\geqslant 1}(-1)^{k-1}\frac{p^{k-1}t^k}{k{x}^{pk}},
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{1-x^{p}-pt}=\frac{1}{1-x^p}\biggl(1-\frac{pt}{1-x^p}\biggr)^{-1} =\frac{1}{1-x^{p}}\sum_{m\geqslant 0}\frac{p^{m}x^{m}_{1}}{(1-x^{p})^{m}}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Для обоснования корректности данных выражений заметим, что по условию $x,1-x\in A^*$, а также $1-x^{p}\in \widehat{A}^*$, поскольку $1-x^p=(1-x)^p(1+pa)$ для некоторого $a\in A$.
Перемножая ряды (3.15) и (3.16), мы получаем, что $f_0=0$ и что выполняются равенства
$$
\begin{equation}
f_{i}=\frac{1}{1-x^{p}}\sum_{k=1}^i(-1)^{k-1} \frac{p^{i-1}}{k}\,\frac{1}{x^{pk}(1-x^{p})^{i-k}}, \qquad i\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Таким образом, мы нашли явный вид ряда $\sum_{i\geqslant 0}f_i t^i\in A[t]^{\wedge}$.
Шаг 4. Сведем при помощи леммы 3.6 вопрос о точности формы $\omega$ к вопросу о точности формы $\pi(\omega)$, где $\pi\colon A[t]^{\wedge}\to\widehat{A}$ является естественным гомоморфизмом $\widehat{A}$-алгебр, для которого $t\mapsto 0$. Проверим, что для ряда $\sum_{i\geqslant 0}f_i t^i$ из формулы (3.17) выполняются условия леммы 3.6. Действительно, применяя лемму 3.7, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
v_p(f_i)-v_p(i+1)\geqslant i-1-\lfloor\log_p(i)\rfloor-v_{p}(i+1), \qquad i\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 3.8 последовательность в правой части данного неравенства неотрицательна и стремится к бесконечности. Применяя лемму 3.6, мы получаем точность формы $\omega-\pi(\omega)$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{A[t]}$.
Итак, для доказательства точности формы $\omega$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{A[t]}$ достаточно доказать точность формы $\pi(\omega)$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{A}$, являющемся прямым слагаемым в комплексе $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{A[t]}$. Шаг 5. Интерпретируем последнее условие как утверждение доказываемой теоремы для кольца $\widehat{A}$ с $\delta$-структурой, однозначно определенной условием $\delta(x)=0$, т.е. $\varphi(x)=x^p$. Легко видеть, что гомоморфизм колец $\pi\colon A[t]^{\wedge}\to \widehat{A}$ однозначно продолжается до морфизма $\delta$-колец $R_{\Sigma}\to \widehat{A}$, для которого $x_i\mapsto 0$, $i\geqslant 1$. Следовательно, класс формы $\pi(\omega)$ в $\widehat{\Omega}^1_A/d\widehat A$ совпадает с $\mathrm B_{\delta}(x\otimes(1-x))$. Далее, из формул (3.2) и (3.3) следует, что $\log_{\delta}(x)=0$ в $\widehat{A}$. Поэтому из формулы (3.7) мы получаем, что элемент $\mathrm B_{\delta}(x\otimes(1-x))\in \widehat{\Omega}^1_A/d\widehat A$ является классом формы Заметим, что данный факт можно также вывести из формулы (3.14), пользуясь тем, что $\xi=\pi(\omega)$.Мы видим, что нам надо доказать точность формы $\xi$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_A$. Шаг 6. Оказывается, что форму $\xi$ удобнее выражать через координату $y:=(1-x)^{-1}$. А именно, заметим, что $A=\mathbb Z[y^{\pm 1},(1-y)^{-1}]$, поскольку $1-y=-{x}/(1-x)$. Следовательно, $\xi\in \mathbb Z[y^{\pm 1},(1-y)^{-1}]^{\wedge}dy$. Покажем, что, на самом деле, выполняется условие $\xi\in \mathbb Z[y]^{\wedge}dy$ и что форма $\xi$ точна в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{\mathbb Z[y]}$. Из равенства $x=(y-1)/{y}$ следует, что выполняется равенство Далее, применяя формулы (3.2) и (3.3) для вычисления $\log_{\delta}(1-x)$, мы получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\log_{\delta}(1-x) &=\frac{1}{p}\log\biggl(1+p\frac{\delta(1-x)}{(1-x)^p}\biggr) =\frac{1}{p}\log\biggl(\frac{\varphi(1-x)}{(1-x)^p}\biggr) \\ &=\frac{1}{p}\log\biggl(\frac{1-x^p}{(1-x)^p}\biggr) =\frac{1}{p}\log\biggl(\frac{1-((y-1)/y)^p}{y^{-p}}\biggr)=\frac{1}{p}\log(1+pg(y)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где многочлен $g(y)\in\mathbb Z[y]$ определяется по формуле Мы видим, что по формуле (3.18) имеется равенство
$$
\begin{equation*}
\xi=\frac{1}{p}\log(1+pg(y))\frac{dy}{y(y-1)}=\sum_{i\geqslant 1}(-1)^{i-1}\frac{p^{i-1}}{i}\,\frac{g^i}{y(y-1)}dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $g(0)=g(1)=0$, и поэтому $g^i/(y(y-1))$ является многочленом из $\mathbb Z[y]$. Таким образом, мы показали, что $\xi\in\mathbb Z[y]^{\wedge}dy.$
Нам остается доказать точность формы $\xi$ в пополненном комплексе де Рама $\widehat{\Omega}^{\bullet}_{\mathbb Z[y]}$. Заметим, что мономы, входящие в многочлен $g$, имеют степень от $1$ до $p-1$ и, следовательно, мономы, входящие в многочлен $g^i/(y(y-1))$, имеют степень от $i-1$ до $i(p-1)-2$. Поэтому для доказательства точности формы $\xi$ достаточно доказать, что числа $(-1)^{i-1}{p^{i-1}}/(i(j+1))$, где $i-1\leqslant j\leqslant i(p-1)-2$, являются $p$-адически целыми и стремятся к нулю при $i$, стремящемся к бесконечности (данное рассуждение также можно рассматривать как вариант леммы 3.6). По лемме 3.7 для этого достаточно показать, что последовательность $\{i-1-v_{p}(i)-\lfloor\log_p(i(p-1)-1)\rfloor\}_{i\geqslant 1}$ неотрицательна и стремится к бесконечности. Это следует из леммы 3.8, поскольку, очевидно, $\lfloor\log_p(i(p-1)-1)\rfloor \leqslant \lfloor\log_p(ip-1)\rfloor$. Теорема 3.5 доказана. Факт из шага 6 доказательства теоремы 3.5, заключающийся в том, что $\xi\in\mathbb Z[y]^{\wedge}dy$, имеет следующее геометрическое объяснение. Разобьем проективную прямую $\mathbb{P}^{1}$ с координатой $x$, рассматриваемую как жесткое аналитическое пространство над $\mathbb Z_p$, на четыре непересекающихся открытых аналитических подмножества:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_{1}:=\{|x|_{p}<1\}, \qquad U_{2}:=\{|x|_{p}=1, |1-x|_{p}<1\}, \\ U_{3}:=\{|x|_{p}=1,\, |1-x|_{p}=1\}, \qquad U_{4}:=\{|x|_{p}>1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неархимедовости $p$-адической нормы следует, что для пучка аналитических функций $\mathcal O$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal O(U_1\cup U_3)=\mathcal O(\{|1-x|_p=1\})=\mathbb Z[(1-x)^{\pm 1}]^{\wedge}, \\ \mathcal{O}(U_{1}\cup U_{3}\cup U_4)=\mathcal O(\{|(1-x)^{-1}|_p\leqslant 1\})=\mathbb{Z}[(1-x)^{-1}]^{\wedge}=\mathbb Z[y]^{\wedge}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3.2) и (3.3) видно, что функция $\log_{\delta}(1-x)$ принадлежит кольцу $\mathbb{Z}[x,(1-x)^{-1}]^{\wedge}=\mathbb Z[(1-x)^{\pm 1}]^{\wedge}$, т.е. является аналитической функцией на $U_1\cup U_3$. Оказывается, что функция $\log_{\delta}(1-x)$ продолжается аналитически на $U_1\cup U_3\cup U_4$ и имеет нули в точках $x=0$ и $x=\infty$. Действительно, рассмотрим инволюцию $\iota\colon x\mapsto x^{-1}$ на ${\mathbb P}^1$. Данная инволюция взаимо обратно переводит $U_{1}$ в $U_{4}$, а также действует автоморфизмами на $U_2$ и $U_3$. Ограничение функции $\log_{\delta}(1-x)$ на $U_3$ инвариантно относительно $\iota$, поскольку $\log_{\delta}(1-x^{-1})=\log_{\delta}(1-x)-\log_{\delta}(-x)$ и $\log_{\delta}(-x)=0$, так как $\varphi(-x)=(-x)^p$ и $\delta(-x)=0$. Следовательно, $\log_{\delta}(1-x)$ продолжается аналитически до $\iota$-инвариантной функции на $U_1\cup U_3\cup U_4$. Очевидно, что $\log_{\delta}(1-x)(0)=\log_{\delta}(1)=0$, и поэтому $\log_{\delta}(1-x)(\infty)=0$ из $\iota$-инвариантности. Мы видим, что форма $\xi=-\log_{\delta}(1-x)\,{dx}/{x}$ также определена на множестве $U_{1}\cup U_{3}\cup U_{4}$, не имея на нем полюсов, т.е. $\xi\in\mathbb Z[y]^{\wedge}dy$. БлагодарностьАвтор выражает глубокую признательность С. О. Горчинскому за неоценимую помощь и полезные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tyu21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|