| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Значения П. А. Филиппова Международная лаборатория кластерной геометрии, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9519 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПри изучении инвариантов узлов важную роль играют весовые системы – функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющие так называемым четырехчленным соотношениям. Инварианты конечного порядка, или инварианты Васильева, введенные В. А. Васильевым (см. [17]) около 1990 г., могут быть выражены в терминах весовых систем. С другой стороны, как доказал М. Концевич (см. [9]), над полем характеристики 0 всякая весовая система соответствует какому-то инварианту конечного порядка. Около 1995 г. Д. Бар-Натан (см. [1]) и М. Концевич (см. [9]) предложили способ построения весовой системы по всякой конечномерной алгебре Ли, наделенной невырожденной инвариантной билинейной формой. Простейший случай этой конструкции – весовая система, отвечающая алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, или $\mathfrak{sl}_2$-весовая система. Инвариант узлов, которому соответствует эта весовая система, – крашеный многочлен Джонса. Значения этой весовой системы лежат в центре универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, т.е. представляют собой многочлены от одной переменной $c$ (элемента Казимира) со старшим коэффициентом, равным 1. Несмотря на простоту определения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы она весьма сложна для вычислений в связи с необходимостью проводить вычисления в некоммутативной алгебре. Рекуррентные соотношения Чмутова–Варченко (см. [6]) существенно упрощают задачу, однако и их применение достаточно трудоемко, и явные значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы известны лишь для хордовых диаграмм малых порядков и небольшого числа простых серий хордовых диаграмм (в том числе для хордовых диаграмм, граф пересечений которых является полным двудольным, причем размер одной из долей не превосходит $3$; см. [7]). В частности, для случая хордовых диаграмм с полным графом пересечений С. К. Ландо сформулировал гипотезу о форме соответствующих многочленов, однако она доказана лишь для их линейных членов (см. [2]). Согласно теореме Чмутова–Ландо (см. [5]) значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на диаграммах с изоморфными графами пересечений совпадают, т.е. значение этой весовой системы на хордовой диаграмме определяется ее графом пересечений. Это позволяет говорить о значениях $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах пересечений и вызывает естественный вопрос, сформулированный С. К. Ландо, о том, существует ли продолжение весовой системы до полиномиального инварианта графов, удовлетворяющего четырехчленным соотношениям для графов (см. [11]). Как показал Е. С. Красильников, для всех графов не более чем с восемью вершинами такое продолжение существует и единственно. Однако значений продолженной весовой системы для графов с б\’ольшим числом вершин (в частности, для бесконечных серий графов, не являющихся графами пересечений) до настоящего времени не было известно. Предполагая, что продолжение существует, мы вычисляем его значения на бесконечной серии графов, представляющих собой соединение цикла длины $5$ и дискретного графа на $n$ вершинах. В случае $n\,{=}\,1, 2, 3$ наши результаты совпадают с результатами Е. С. Красильникова. Начиная с $n\,{=}\,1$ графы этой серии не являются графами пересечений, так что в настоящей работе впервые вычислены значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на бесконечном семействе графов, не являющихся графами пересечений. Далее мы обозначаем через $(G,n)$ соединение графа $G$ и дискретного графа на $n$ вершинах, т.е. граф, полученный добавлением к данному графу $G$ всех ребер, соединяющих его вершины с данными $n$ вершинами, никакие две из которых не соединены ребром. Один из возможных подходов к поиску продолжения весовой системы до полиномиального инварианта произвольных графов состоит в том, чтобы определить некоторый полиномиальный инвариант произвольных графов, удовлетворяющий четырехчленным соотношениям для графов и совпадающий с весовой системой на графах пересечений. Для его реализации необходимо иметь достаточное количество примеров значений весовой системы на различных семействах графов. Мы вычисляем эти значения для всех графов вида $(G,n)$, где $G$ – граф не более чем с четырьмя вершинами, а $n \in \mathbb N \cup \{ 0 \}$. Как векторное пространство хордовых диаграмм по модулю четырехчленных соотношений, так и векторное пространство графов наделяются структурой связной градуированной коммутативной кокоммутативной алгебры Хопфа. В свою очередь графы вида $(G,n)$ порождают подалгебру Хопфа в алгебре Хопфа графов, а эта подалгебра Хопфа содержит подалгебры Хопфа, порожденные графами вида $(G,n)$, где все графы $G$ – подграфы заданного графа. Из теоремы Милнора–Мура (см. [15]) вытекает, что каждая из этих алгебр Хопфа порождена своими примитивными элементами и является полиномиальной алгеброй Хопфа от этих элементов. Из этого следует, что в каждой такой алгебре Хопфа определена проекция на подпространства примитивных элементов вдоль подпространства разложимых элементов. Эта проекция позволяет построить примитивный элемент по произвольному элементу алгебры Хопфа. Существует универсальная формула для этой проекции, представляющая ее как логарифм тождественного гомоморфизма (см. [12], [16]), однако вычисления с ее помощью в общем случае оказываются трудоемкими. Мы выводим формулу, выражающую производящую функцию для проекций графов серии $(G,n)$ на примитивные элементы через производящие функции для графов серий $(H,n)$, где $H$ – подграфы графа $G$, включая сам граф $G$. Вместе с полученными нами явными формулами для упомянутых производящих функций это позволяет вычислить производящие функции для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях на примитивные элементы графов серий $(G,n)$ в случаях, когда $G$ представляет собой граф не более чем с четырьмя вершинами либо цикл на пяти вершинах. Из вида получившихся производящих функций следует, что значение весовой системы на проекциях таких графов $(G,n)$ представляет собой многочлен от $c$ степени не выше числа вершин в $G$. Это подтверждает еще одну гипотезу С. К. Ландо: значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекции на примитивные элементы хордовой диаграммы, окружение (т.е. длина наибольшего простого цикла, в англоязычной терминологии circumference; используется также термин “окружность графа”) графа пересечений которой не превосходит $2\ell$, $\ell\geqslant1$, является многочленом степени не выше $\ell$. Статья организована следующим образом. В § 2 мы приводим определения алгебр Хопфа графов и хордовых диаграмм, а также подалгебр Хопфа графов вида $(G,n)$ и обсуждаем проекции на пространство примитивных элементов в этих алгебрах Хопфа. Основной новый результат здесь – формула, выражающая производящие функции для проекций на примитивные элементы графов серии $(G,n)$ через производящие функции для подграфов (включая производящую функцию для самих графов $(G,n)$). В § 3 мы воспроизводим определение и некоторые свойства $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы. Наше изложение в § 2 и § 3 следует подходу из [4]; см. также [13]. В § 4 мы используем соотношения Чмутова–Варченко (см. [6]) и некоторые наши результаты (см. [7]), чтобы вычислить значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах $(G,n)$ для всех графов $G$ не более чем с четырьмя вершинами. Воспользовавшись полученными результатами, мы вычисляем в § 5 значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах вида $(C_5,n)$, где $C_5$ – цикл на пяти вершинах. В § 6 мы приводим формулы для производящих функций для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на рассмотренных в статье графах и их проекциях. § 2. Алгебры Хопфа графов и хордовых диаграммПусть $G$ – простой граф; обозначим через $V(G)$ множество его вершин, а через $E(G)$ – множество его ребер. Для $n=0,1,2,\dots$ будем обозначать через $(G,n)$ граф, являющийся соединением графа $G$ и дискретного графа на $n$ вершинах. (Соединением двух простых графов $G$ и $H$ называется граф, получаемый добавлением к несвязному объединению $G\,{\sqcup}\, H$ этих графов всех ребер, соединяющих вершины графа $G$ с вершинами графа $H$.) Так, если $G$ – дискретный граф на $m$ вершинах, то $(G,n)$ представляет собой полный двудольный граф $K_{m,n}$, а если $G$ – полный граф на $m$ вершинах, то $(G,n)$ – расщепимый граф $S_{m,n}$. В этом параграфе мы описываем алгебру Хопфа графов и алгебру Хопфа хордовых диаграмм по модулю четырехчленных соотношений, а также подалгебры Хопфа в алгебре Хопфа графов, порожденные графами вида $(G,n)$. Пользуясь универсальной формулой проекции на подпространство примитивных элементов, мы выводим формулу проекции на подпространство примитивных в алгебрах Хопфа графов вида $(G,n)$. Коассоциативной коалгеброй с коединицей над полем $\mathbb K$ называется векторное пространство $C$ над полем $\mathbb K$ с отображениями
$$
\begin{equation*}
\mu \colon C \to C \otimes C, \qquad \varepsilon \colon C \to \mathbb K,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющими условиям
$$
\begin{equation*}
(\mathrm{id}_C \otimes \mu)\circ \mu=(\mu \otimes \mathrm{id}_C)\circ \mu, \qquad (\mathrm{id}_C \otimes \varepsilon)\circ \mu=\mathrm{id}_C=(\varepsilon \otimes \mathrm{id}_C)\circ \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Биалгеброй над полем $\mathbb K$ называется векторное пространство $B$ над $\mathbb K$, являющееся одновременно ассоциативной алгеброй с умножением $m$ и единицей $\eta$ и коассоциативной коалгеброй с коумножением $\mu$ и коединицей $\varepsilon$, для которых выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu \circ m=(m \otimes \mu) \circ (\mathrm{id} \otimes \tau \otimes \mathrm{id}) \circ (\mu \otimes \mu), \\ \varepsilon \otimes \varepsilon =\varepsilon \circ m, \qquad \eta \otimes \eta=\mu \circ \eta, \qquad \mathrm{id}=\varepsilon \circ \nu. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\tau \colon B \otimes B \to B \otimes B$ обозначено отображение, меняющее сомножители местами. Алгебра Хопфа над полем $\mathbb K$ – это ассоциативная и коассоциативная биалгебра $H$ с единицей, коединицей и антиподом – таким $\mathbb K$-линейным отображением $S \colon H \to H$, что (в прежних обозначениях) выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
m \circ (S \otimes \mathrm{id}) \circ \mu=\eta \circ \varepsilon=m \circ (\mathrm{id} \otimes S) \circ \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду ниже мы предполагаем, что характеристика основного поля $\mathbb K$ равна $0$. 2.1. Алгебры Хопфа графов и хордовых диаграммПод графом мы понимаем класс изоморфизма простых (т.е. не имеющих кратных ребер и петель) конечных графов. Формальные линейные комбинации графов образуют векторное пространство, градуированное количеством вершин графа. Произведение графов $G_1$ и $G_2$ – это их несвязное объединение: $G_1 G_2 :=G_1 \,{\sqcup}\, G_2$. Такое умножение продолжается на пространство графов по линейности. Оно согласовано с градуировкой и задает на пространстве графов структуру градуированной алгебры. Обозначим через $V(G)$ множество вершин графа $G$. Действие коумножения $\mu$ на графе $G$ определено так:
$$
\begin{equation*}
\mu(G):=\sum_{U\subset V(G)} G|_{U}\otimes G|_{V(G)\setminus U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $G|_U$ обозначен подграф в $G$, индуцированный подмножеством $U\subset V(G)$ множества его вершин. Здесь и ниже под термином “подграф” мы будем понимать подграф, индуцированный заданным подмножеством вершин. Как и умножение, коумножение продолжается на линейные комбинации графов по линейности и согласовано с градуировкой, т.е. мы ввели на пространстве графов структуру градуированной коалгебры. Более того, справедливо Утверждение 1. Введенные выше умножение и коумножение вместе с естественно определяемыми единицей, коединицей и антиподом задают на пространстве графов структуру градуированной коммутативной и кокоммутативной алгебры Хопфа. Эта структура алгебры Хопфа на пространстве графов введена в [8]. Обозначим через $\mathscr G$ алгебру Хопфа графов, а через $\mathscr G_n$ – однородное векторное подпространство в ней, натянутое на графы с $n$ вершинами, $n=0,1,2,\dots$, так что
$$
\begin{equation*}
\mathscr G=\mathscr G_0\oplus \mathscr G_1 \oplus \mathscr G_2 \oplus \dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Четырехчленным элементом в пространстве графов называется линейная комбинация вида где $A$, $B$ – какие-то две вершины графа, $G'_{AB}$ – граф $G$, в котором инцидентность вершин $A$ и $B$ изменена на противоположную; $\widetilde G_{AB}$ – граф $G$, в котором для каждой вершины, соединенной с $B$, ее инцидентность с вершиной $A$ изменена на противоположную. Все графы, входящие в четырехчленный элемент, имеют одно и то же количество вершин. Ниже (см. п. 5.1) будет приведен пример четырехчленного элемента для графов.Обозначим через $\mathscr F_n$ факторпространство векторного пространства $\mathscr G_n$ по векторному подпространству, натянутому на четырехчленные элементы с $n$-вершинными графами. Пространство
$$
\begin{equation*}
\mathscr F=\mathscr F_0\oplus \mathscr F_1 \oplus \mathscr F_2 \oplus \dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
наделено индуцированной из $\mathscr G$ структурой градуированной алгебры Хопфа; см. [11]. Определение 1. Хордовая диаграмма порядка $n$ – это ориентированная окружность с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ непересекающихся пар, рассматриваемая с точностью до диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ее ориентацию. Для наглядности на рисунках точки, образующие одну пару, мы будем соединять отрезком прямой или кривой, который и называем хордой. Векторное пространство, образованное линейными комбинациями хордовых диаграмм, градуировано. Каждая компонента градуировки – векторное пространство, порожденное хордовыми диаграммами одного порядка. Четырехчленным элементом в пространстве хордовых диаграмм называется линейная комбинация диаграмм, приведенная на рис. 1. В этой линейной комбинации все четыре диаграммы содержат один и тот же набор хорд, отличных от двух изображенных, причем концы хорд этого набора могут лежать только на участках окружности, изображенных штриховой линией. Приравнивая нулю четырехчленные элементы в пространствах графов и хордовых диаграмм соответственно, мы получаем четырехчленные соотношения. Определение 2. Дуговая диаграмма порядка $n$ – это ориентированная прямая с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ пар, рассматриваемая с точностью до диффеоморфизмов прямой, сохраняющих ориентацию. Каждая из этих $n$ пар точек изображается дугой в верхней полуплоскости, соединяющей точки. Эта дуга не имеет с окружностью общих точек, кроме концов. Если выбрать на хордовой диаграмме точку, отличную от концов хорд, и “разрезать” хордовую диаграмму в этой точке, получится представление хордовой диаграммы в виде дуговой диаграммы (рис. 2). У хордовой диаграммы порядка $n$ может быть до $2n$ различных представлений в виде дуговой диаграммы. Напротив, дуговая диаграмма однозначно определяет соответствующую хордовую диаграмму. Произведение хордовых диаграмм $C_1$ и $C_2$ – это хордовая диаграмма, соответствующая дуговой диаграмме, полученной последовательным соединением двух произвольных дуговых представлений диаграмм $C_1$ и $C_2$ (рис. 3). Произведение хордовых диаграмм корректно определено (т.е. результат не зависит от выбора точек разрыва) по модулю четырехчленных соотношений. Обозначим через $V(C)$ множество хорд диаграммы $C$. Коумножение $\mu$ хордовых диаграмм определено так:
$$
\begin{equation*}
\mu(C):=\sum_{U\subset V(C)} C|_{U}\otimes C|_{V(C)\setminus U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $C|_{U}$ обозначена хордовая диаграмма, состоящая из подмножества $U\subset V(C)$ множества хорд хордовой диаграммы $C$. Умножение и коумножение продолжаются на линейные комбинации хордовых диаграмм по линейности и согласованы с градуировкой. Утверждение 2 (см. [9]). Определенные выше операции умножения и коумножения задают на факторпространстве пространства хордовых диаграмм по подпространству, порожденному четырехчленными элементами, структуру алгебры Хопфа. Обозначим эту алгебру Хопфа через $\mathscr C$. Будем называть ее алгеброй Хопфа хордовых диаграмм, подразумевая, что хордовые диаграммы рассматриваются с точностью до четырехчленного соотношения. Граф пересечений $\gamma(C)$ хордовой диаграммы $C$ – это граф, вершины $V(\gamma(C))$ которого соответствуют хордам $V(C)$ диаграммы $C$ и вершины $v_a$ и $v_b$ в котором соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие хорды $a$ и $b$ пересекаются (т.е. их концы $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ расположены вдоль окружности в следующем порядке: $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$). Утверждение 3 (см. [11]). Отображение, сопоставляющее хордовой диаграмме ее граф пересечений, продолжается до градуированного гомоморфизма алгебр Хопфа $\mathscr C \to \mathscr F$. Существуют графы, не являющиеся графами пересечений никакой хордовой диаграммы. Немного подробнее о таких графах будет сказано в п. 5.1. Кроме того, отметим, что у двух разных хордовых диаграмм может быть один и тот же граф пересечений. 2.2. Подалгебры Хопфа, порожденные графами $(G,n)$, в алгебре Хопфа $\mathscr G$Пусть $G$ – простой граф; обозначим через $V(G)$ множество его вершин, а через $E(G)$ – множество его ребер. Для $n=0,1,2,\dots$ будем обозначать через $(G,n)$ граф, являющийся соединением графа $G$ и дискретного графа на $n$ вершинах. Любой подграф графа $(G,n)$ имеет вид $(H,k)$, где $H$ – некоторый подграф в $G$, $k\leqslant n$. Через $\mathscr A_G$ обозначим подалгебру Хопфа в алгебре Хопфа $\mathscr G$, порожденную графами вида $(H,n)$, где $H$ – подграф графа $G$, $n \in \mathbb N \cup \{ 0 \}$. Если $G_0, G_1, G_2, \dots$ – последовательность графов, в которой каждый граф является подграфом следующего за ним графа, то соответствующие подалгебры Хопфа образуют цепочку по включению
$$
\begin{equation*}
\mathscr A_{G_0} \subset \mathscr A_{G_1} \subset \mathscr A_{G_2} \subset \dots \subset \mathscr G.
\end{equation*}
\notag
$$
К примеру, алгебра Хопфа  порождена графами вида  (так называемые графы-звезды $K_{1,n}$ с $n$ лучами),  (полные двудольные графы $K_{2,n}$),  (расщепимые графы $S_{2,n}$) и  , $n=0, 1, 2, 3, \dots$ . 2.3. Примитивные элементы в алгебре Хопфа графовКак нетрудно видеть, примитивные элементы образуют векторное подпространство в биалгебре. Поскольку всякая однородная составляющая примитивного элемента примитивна, в градуированной биалгебре это векторное подпространство также градуировано. Утверждение 4 (теорема Милнора–Мура, [15]). Над полем характеристики $0$ всякая связная коммутативная и кокоммутативная градуированная биалгебра изоморфна полиномиальной биалгебре, порожденной ее примитивными элементами. Условие связности биалгебры состоит в том, что ее нулевая однородная компонента изоморфна самому полю. Разложимые элементы (т.е. произведения однородных элементов меньшей градуировки) порождают векторное подпространство во всяком однородном пространстве градуированной биалгебры. Из теоремы Милнора–Мура вытекает, что каждое однородное подпространство раскладывается в прямую сумму подпространства, порожденного разложимыми элементами, и подпространства примитивных элементов. Поэтому корректно определена проекция $\pi$ каждого однородного подпространства на подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых элементов. Следующее утверждение играет в наших исследованиях одну из центральных ролей. Утверждение 5 (см. [11], [16]). Проекция $\pi(G)$ произвольного графа $G$ на подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых элементов в алгебре Хопфа $\mathscr G$ имеет вид где $V_1, V_2, V_3, \dots$ – непересекающиеся непустые подмножества множества вершин $V(G)$ графа $G$. 2.4. Производящие функции и проекция на примитивные элементы в алгебре Хопфа графов $\mathscr A_G$Введем экспоненциальные производящие функции
$$
\begin{equation*}
{\mathcal G}_G(x) :=x^{|V(G)|}\sum_{n=0}^{\infty} (G,n)\frac{x^n}{n!}, \qquad {\mathcal P}_G(x) :=x^{|V(G)|}\sum_{n=0}^{\infty} \pi((G,n))\frac{x^n}{n!},
\end{equation*}
\notag
$$
коэффициентами которых являются элементы алгебры $\mathscr A_G$. Следующая теорема – первый из наших основных результатов. Она обобщает наши результаты из [7], доказанные там для конкретных графов $G$ с небольшим числом вершин. В дальнейшем будем обозначать граф на одной вершине без ребер через $K_1$ (стандартное обозначение для полного графа на одной вершине). Теорема 1. Справедливо равенство где суммирование ведется по всем представлениям множества $V(G)$ в виде объединения непересекающихся непустых подмножеств. Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующее понятие. Числом Стирлинга второго рода называется число разбиений $n$-элементного множества на $m$ непустых подмножеств. Это число обозначается через $\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}$, $n,m \geqslant 0$. Приведем несколько примеров:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \left\{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right\}=0,\quad n \in \mathbb N; \qquad \left\{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\right\}=1, \quad n\in \mathbb N \cup \{ 0 \}; \\ \left\{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}\right\}=\binom{n}{2}, \quad n \in \mathbb N; \qquad \left\{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right\}=7. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство см., например, в [7]. Доказательство теоремы 1. 1. Правая часть равенства (2.2) равна
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{V_1 \sqcup \dots \sqcup V_k=V(G)} (-1)^{k-1}(k-1)! \,\biggl( x^{|V_1|}\sum_{i_1=0}^{\infty} (G|_{V_1},i_1)\frac{x^{i_1}}{i_1!}\biggr) \\ &\qquad\times\dots\times \biggl( x^{|V_k|}\sum_{i_k=0}^{\infty} (G|_{V_k},i_k)\frac{x^{i_k}}{i_k!}\biggr) \biggl( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-k)^j K_1^j x^j}{j!}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при ${x^{n+|V(G)|}}/{n!}$ в этом выражении равен 2. С другой стороны, запишем формулу для проекции графа $(G,n)$ на пространство примитивных элементов. Согласно формуле (2.1)
$$
\begin{equation*}
\pi((G,n))=\sum_{V_1\sqcup\dots\sqcup V_m =V((G,n))} (-1)^{m-1} (m-1)!\, (G,n)|_{V_1}\cdots (G,n)|_{V_m},
\end{equation*}
\notag
$$
причем суммирование ведется по разбиениям множества $V((G,n))$ на непустые подмножества. Каждое такое разбиение множества $V((G,n))$ индуцирует некоторое разбиение множества $V(G)$ на несколько непустых подмножеств. Запишем для каждого такого разбиения множества $V(G)$ на $k$ подмножеств количество разбиений множества $V((G,n))$, индуцирующих данное разбиение, на $m=k, k+1, \dots, k+n$ частей. Вместе с вершинами каждой части $V_p$, $p=1,2,\dots,k$, разбиения $V(G)$ в каждую часть разбиения $V((G,n))$ входит $i_p$ вершин из независимого подмножества из $n$ вершин. Обозначим их сумму через $i$, т.е. $i:=i_1+i_2+\dots+i_k$. Оставшиеся $n-i$ вершин разбиваются на $m-k$ непустых подмножеств. Поскольку между этими вершинами нет ребер, ограничение графа $(G,n)$ на это подмножество вершин представляет собой дискретный граф на $n-i$ вершинах, т.е. $K_1^{n-i}$, вне зависимости от выбора такого разбиения. Число способов разбиения множества из $n$ вершин на $k+1$ частей из $i_1, i_2, \dots, i_k, n-i$ вершин равно мультиномиальному коэффициенту ${\displaystyle\binom{n}{i_1, i_2, \dots, i_k, n-i}}$. Оставшиеся $n-i$ вершин можно разбить на $m-k$ непустых подмножеств $\left\{\begin{matrix}n-i\\m-k\end{matrix}\right\}$ способами. Поэтому формула для проекции графа $(G,n)$ приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi((G,n)) &= \sum_{V_1\sqcup \dots \sqcup V_k =V((G))} \sum_{m=k}^{k+n} (-1)^{m-1} (m-1)! \sum_{i=0}^n \left\{\begin{matrix}n-i\\m-k\end{matrix}\right\} K_1^{n-i} \\ &\qquad\times \biggl(\sum_{i_1+\dots+i_k=i} \binom{n}{i_1, i_2, \dots, i_k, n-i}\prod_{p=1}^k (G|_{V_p},i_p)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Переставим знаки суммирования:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi((G,n)) &=\sum_{V_1\sqcup \dots \sqcup V_k =V((G))} \sum_{i=0}^n \sum_{m=k}^{k+n} (-1)^{m-1} (m-1)! \,\left\{\begin{matrix}n-i\\m-k\end{matrix}\right\} K_1^{n-i} \\ &\qquad\times \biggl(\sum_{i_1+\dots+i_k=i} \binom{n}{i_1, i_2, \dots, i_k, n-i}\prod_{p=1}^k (G|_{V_p},i_p)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4. При $m > k+n-i$ число $\left\{\begin{matrix}n-i\\m-k\end{matrix}\right\}$ равно нулю, поэтому выражение не изменится, если заменить верхний предел суммирования в третьей сумме, равный $k+n$, на $k+n-i$. Применив лемму 1 к последнему выражению, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \pi((G,n)) &=\sum_{V_1\sqcup \dots \sqcup V_k =V((G))} \sum_{i=0}^n (-1)^{k-1}(k-1)!\,(-k)^{n-i} K_1^{n-i} \\ &\qquad \times\biggl( \sum_{i_1+\dots+i_k=i} \binom{n}{i_1, i_2, \dots, i_k, n-i}\prod_{p=1}^k (G|_{V_p},i_p)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
5. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\binom{n}{i_1, i_2, \dots, i_k, n-i}=\frac{n!}{i_1!\, i_2! \cdots i_k!\, (n-i)!},
\end{equation*}
\notag
$$
выражение (2.3) равно (2.2), что и требовалось. Теорема 1 доказана. § 3. Весовая система $w_{\mathfrak{sl}_2}$В этом параграфе мы напомним необходимые сведения о весовой системе, связанной с алгеброй Ли $\mathfrak{sl}_2$. 3.1. Определение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$Пусть $R$ – некоторое кольцо, $B$ – некоторая алгебра над $R$. Линейная функция $w \colon \mathscr C \to B$ называется весовой системой на $\mathscr C$. Другими словами, весовая система – это функция на хордовых диаграммах, равная нулю на всяком четырехчленном элементе. Весовая система называется мультипликативной, если ее значение на произведении любых двух хордовых диаграмм равно произведению ее значений на сомножителях, т.е. если она является гомоморфизмом алгебр. Мы рассматриваем только случай $R={\mathbb C}$, $B={\mathbb C}[c]$, т.е. кольцо многочленов от одной переменной. Пусть $\mathfrak g$ – конечномерная комплексная алгебра Ли с невырожденной билинейной инвариантной формой $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$. Инвариантность означает, что для любых элементов $x,y,z \in \mathfrak g$ выполнено равенство $([x ,y], z)=(x ,[y,z])$. Пусть $X=\{ x_1, x_2, \dots, x_m \}$ – ортонормированный базис в $\mathfrak g$. Обозначим через $U(\mathfrak g)$ универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли $\mathfrak g$. Рассмотрим отображение $w_{\mathfrak g} \colon \mathscr C \to U(\mathfrak g)$, которое строится следующим образом. Пусть $C$ – хордовая диаграмма, $A$ – какое-то ее представление в виде дуговой диаграммы, $V(A)$ – множество дуг этой дуговой диаграммы, $\nu \colon V(A) \to \{ 1, 2, \dots, m \}$ – некоторая расстановка индексов от $1$ до $m$ на дугах диаграммы. Поставим в соответствие диаграмме $A$ и разметке $\nu$ элемент $w_X(A,\nu) \in U(\mathfrak g)$ следующим образом: для каждой дуги $v \in V(A)$ запишем на обоих ее концах элемент $x_{\nu(v)} \in X$ и обозначим через $w_X(A, \nu)$ результат перемножения этих элементов слева направо. Обозначим через $w_X(A)$ сумму по всем возможным разметкам:
$$
\begin{equation}
w_X(A) :=\sum_{\nu\colon V(A)\to\{1,\dots,m\}} w_X(A,\nu).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Так, значение весовой системы, отвечающей алгебре Ли с ортонормированным базисом $x_1,\dots, x_m$, на дуговой диаграмме, изображенной на рис. 4, равно
$$
\begin{equation*}
\sum_{i_1=1}^m\sum_{i_2=1}^m \sum_{i_3=1}^m \sum_{i_4=1}^m \sum_{i_5=1}^m x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}x_{i_2}x_{i_4}x_{i_1}x_{i_5}x_{i_3}x_{i_4}x_{i_5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 6 (см. [9]). 1. Для любого элемента $C \in \mathscr C$ результат операции $w_X(A)$ определен однозначно и не зависит от выбора представления хордовой диаграммы $C$ в виде дуговой диаграммы. 2. Для любой дуговой диаграммы $A$ элемент $w_X(A)$ лежит в центре универсальной обертывающей алгебры: $w_X(A) \in Z(U(\mathfrak g))$. 3. Значение $w_X(A)$ не зависит от выбора ортонормированного базиса. Таким образом, получено отображение хордовых диаграмм в $Z(U(\mathfrak g))$. 4. Полученное отображение хордовых диаграмм в $ Z(U(\mathfrak g))$ удовлетворяет четырехчленным соотношениям и продолжается тем самым до гомоморфизма коммутативных алгебр. Поскольку произведение хордовых диаграмм задается конкатенацией соответствующих дуговых диаграмм, весовая система, отвечающая алгебре Ли, мультипликативна. Мы рассматриваем эту конструкцию для алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ – простейшей некоммутативной алгебры Ли. Эта алгебра порождается тремя элементами $x$, $y$, $z$, для которых выполняются соотношения Билинейная форма задается соотношениями Центр универсальной обертывающей алгебры этой алгебры Ли $Z(U(\mathfrak{sl}_2))$ изоморфен алгебре $\mathbb C [c]$ полиномов от элемента Казимира $c=x^2+y^2+z^2$. Поэтому формула (3.1) задает отображение $w_{\mathfrak{sl}_2} \colon \mathscr C \to \mathbb C[c]$. Оно является гомоморфизмом алгебр и называется $\mathfrak{sl}_2$-весовой системой на $\mathscr C$.Из определения сразу вытекает важное для вычислений В [5] доказано следующее нетривиальное утверждение, которое связывает весовую систему $w_{\mathfrak{sl}_2}$ с полиномиальными инвариантами графов. Отметим, что его аналог для более сложных алгебр Ли (например, для $\mathfrak{sl}_3$) уже оказывается неверным. Утверждение 7. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме зависит только от ее графа пересечений. Это утверждение позволяет говорить о значениях весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах пересечений. Для вычисления значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ мы будем пользоваться мультипликативностью этой весовой системы и рекуррентными соотношениями Чмутова– Варченко. Для упрощения обозначений при формулировке соотношений мы часто отождествляем значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме с самой этой диаграммой или с ее графом пересечений. Как и на рис. 1, диаграммы могут содержать другие хорды, концы которых лежат на участках окружности, изображенных пунктирной линией, причем наборы этих дополнительных хорд одинаковы во всех диаграммах каждого равенства. 3.2. Соотношения Чмутова–ВарченкоУтверждение 8 (см. соотношения Чмутова–Варченко, [6]). Предположим, что граф пересечений хордовой диаграммы $D$ связен, т.е. $D$ не представляется в виде произведения двух хордовых диаграмм меньшего порядка. Тогда верно следующее: 1) если в диаграмме $D$ есть лист (хорда, пересекающая только одну хорду), то
$$
\begin{equation}
w_{\mathfrak{sl}_2}(D)=(c-1)w_{\mathfrak{sl}_2}(D'),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где через $D'$ обозначена хордовая диаграмма, полученная из $D$ удалением листа, 2) если в хордовой диаграмме нет листа, то в ней есть тройка хорд, расположенных, как изображено в левой части одного из двух равенств, приведенных в п. 3); 3) для расположенных таким образом хорд выполняются равенства Пусть хорду $a$ хордовой диаграммы $D$ пересекает $k$ хорд. Хорда $a$ делит окружность на две половины. Для каждой пары хорд $a_i$ и $a_j$, пересекающих $a$, обозначим их концы, лежащие в одной из двух частей, на которые хорда $a$ делит окружность, через $e_i$ и $e_j$ соответственно, а концы, лежащие в другой части, – через $e_i'$ и $e_j'$ соответственно. Обозначим через $D_a$ диаграмму $D$, из которой удалена хорда $a$, через $D''_{i,j}$ – диаграмму $D$, в которой хорды $a_i$ и $a_j$ заменены на хорды, соединяющие $e_i$ с $e_j$ и $e_i'$ с $e_j'$, а через $D_{i,j}^{\times}$ – диаграмму $D$, в которой хорды $a_i$ и $a_j$ заменены на хорды, соединяющие $e_i$ с $e_j'$ и $e_j$ с $e_i'$. Так, если хорды $a_i$ и $a_j$ не пересекаются, то эти диаграммы выглядят следующим образом (как и на рисунках в п. 1) и п. 3) утверждения 8, штриховые линии могут содержать концы других хорд): Если же хорды $a_i$ и $a_j$ пересекаются, то эти диаграммы выглядят следующим образом: Утверждение 9 (см. [6]). Выполнено рекуррентное соотношение Из соотношения (3.2) следует Следствие 2. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме порядка $n$, граф пересечений которой является деревом, равно $c(c-1)^{n-1}$. В частности, $w_{\mathfrak{sl}_2}(K_{1,n})=c(c-1)^n$ для $n=0,1,2,\dots$ . Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на четырехчленном элементе (см. рис. 1) равно нулю. Если не приведенные на рисунке хорды (одинаковые во всех четырех диаграммах) расположены так, что в между концами первой и второй хорды в первой диаграмме нет концов других хорд, то соотношение принимает следующий вид: Из соотношения (3.2) следует Следствие 3. Верно следующее трехчленное соотношение для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$: § 4. Значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах вида $(G,n)$ для всех графов $G$ не более чем с четырьмя вершинамиЭтот параграф носит вспомогательный характер. Здесь мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы для всех серий $(G,n)$, в которых граф $G$ имеет не более четырех вершин. В § 5 мы воспользуемся этими результатами для вычисления значений продолжения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графы серии $(C_5,n)$, где $C_5$ – цикл длины $5$. 4.1. Значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах $(G,n)$ для всех графов $G$ с двумя вершинамиВ статье [7] с помощью шестичленных соотношений Чмутова–Варченко вычислены значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах $K_{2,n}$ и $K_{3,n}$, $n= 0,1,2,3,\dots$ . Доказательство. Первое соотношение приведено в [7] в указанном виде. Второе соотношение получается из трехчленного соотношения (3.4) и вытекающего из него соотношения для значений $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах пересечений: Отсюда сразу следует формула (4.1) для значения Теорема доказана. 4.2. Значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах $(G,n)$ для всех графов $G$ с тремя вершинами Теорема 3. Справедливы равенства Доказательство. Значение (4.2) весовой системы на графе  найдено в [7]. Запишем рекуррентное соотношение (3.3) для диаграммы с графом пересечений  : Аналогично записываются рекуррентные соотношения для диаграмм с графами пересечений и  . Запишем кроме того второе соотношение Чмутова–Варченко для диаграммы с графом пересечений : В терминах графов пересечений эти соотношения выглядят следующим образом: Запишем эти соотношения для $n$ и $n-1$, а последнее соотношение и для $n-2$. Мы получили систему из девяти линейных уравнений с девятью неизвестными: Вычисления показывают, что система невырождена. Определитель системы равен $-8$, и решения представляют собой полиномы от $c$. Решая систему, получаем искомые общие формулы (4.3), (4.4) и (4.5). Теорема 3 доказана. 4.3. Значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах $(G,n)$ для всех графов $G$ с четырьмя вершинами Доказательство. Основной шаг в доказательстве теоремы 4 – нижеследующие соотношения для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$. Мы приводим их для значений весовой системы на хордовых диаграммах и, после упрощения, на графах пересечений.
Сначала выразим через значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на Значение весовой системы на третьем члене каждого из нижеследующих четырехчленных соотношений (4.20), (4.23), (4.25), (4.27) выражается через уже известные значения применением рекуррентного соотношения Чмутова– Варченко (3.3), соотношения удаления листа (3.2) и свойства мультипликативности. К примеру, для первого из четырехчленных соотношений (4.20) ниже записано это рекуррентное соотношение (4.21). Значение на четвертом члене каждого из этих четырехчленных соотношений сводится к уже известному удалением листа, т.е. применением соотношения (3.2); Из рекуррентного соотношения (3.3) следует, что третий член этого четырехчленного соотношения равен С учетом этого в терминах графов пересечений равенство записывается следующим образом:Получившиеся соотношения (4.9), (4.11), (4.13), (4.15), (4.17), (4.19), (4.22), (4.24), (4.26), (4.28) для графов пересечений образуют систему линейных уравнений с 10 неизвестными – значениями на остальных 10 графах. Получившаяся система невырождена, ее определитель равен $-1$. Следующие соотношения получены из рекуррентного соотношения (3.3): Подставляя решения системы линейных уравнений в формулу (4.30), мы получаем рекуррентное соотношение (4.6) для Теорема 4 доказана. § 5. Значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах $(C_5,n)$Существуют графы, не являющиеся графами пересечений никакой хордовой диаграммы. В частности, легко видеть, что любой граф, содержащий в качестве подграфа один из графов, приведенных на рис. 5, a, не является графом пересечения никакой хордовой диаграммы. А. Буше (см. [3]) доказал, что в некотором смысле эти три графа образуют полный набор препятствий к тому, чтобы граф был графом пересечений. Более 10 лет назад С. К. Ландо сформулировал задачу о том, можно ли продолжить весовую систему $w_{\mathfrak{sl}_2}$ до полиномиального инварианта графов, удовлетворяющего четырехчленному соотношению для них. Вычисления Е. С. Красильникова показали, что для графов не более чем с восемью вершинами такое продолжение существует и единственно. В [10] построено продолжение части весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на произвольные графы (это продолжение распространено на бинарные дельта-матроиды в [14]). Однако до настоящего времени не было известно значений продолженной весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на бесконечных сериях графов, не являющихся графами пересечений. В § 5 мы вычисляем значения продолженной весовой системы (в предположении о ее существовании) на бесконечной серии графов $(C_5,n)$, где $C_5$ – цикл длины $5$ (рис. 5, b). Начиная с $n=1$ графы этой серии не являются графами пересечений. При этом оказывается, что однократным применением четырехчленных соотношений для графов их можно выразить через графы пересечений и, зная значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на последних, вычислить ее значения и на графах интересующей нас серии. 5.1. Четырехчленное соотношение для графа, не являющегося графом пересеченийКаждый граф $(C_5,n)$ равен линейной комбинации графов пересечений по модулю одного четырехчленного соотношения. На рис. 6 приведено равенство, получающееся применением четырехчленного соотношения к графу $(C_5,n)$; в правой части равенства стоит линейная комбинация графов пересечений. На рис. 7 приведена линейная комбинация хордовых диаграмм с соответствующими графами пересечений. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ для графа вида $(C_5,n)$, где $C_5$ – цикл на пяти вершинах, получено как линейная комбинация значений этой весовой системы на линейной комбинации хордовых диаграмм с графами пересечений, изоморфными графам в правой части четырехчленного соотношения (см. рис. 6, 7). Будем обозначать граф-путь на пяти вершинах (рис. 5, с) через $P_5$ (от слова $path$). Граф пересечений первой из хордовых диаграмм на рис. 7 имеет вид $(P_5,n)$. Обозначим вторую и третью диаграммы через $D_1$ и $D_2$ соответственно, тогда значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $(C_5,n)$ есть
$$
\begin{equation*}
w_{\mathfrak{sl}_2}((C_5,n))=w_{\mathfrak{sl}_2}((P_5,n))+w_{\mathfrak{sl}_2}(\gamma(D_1))- w_{\mathfrak{sl}_2}(\gamma(D_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
В диаграммах $D_1$ и $D_2$ имеется $n$ непересекающихся хорд, пересеченных четырьмя хордами, причем несколько из этих четырех хорд пересечены еще одной хордой. Будем называть такую хорду “лишней”: без нее граф пересечения хордовой диаграммы имел бы вид $(G,n)$ для какого-то графа $G$. Записывая рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3) для “лишней” хорды, мы сводим значения на этих хордовых диаграммах к значениям на диаграммах с графами пересечений вида $(F,n)$, $|V(F)| \leqslant 4$, которые уже вычислены в § 4. 5.2. Значения $w_{\mathfrak{sl}_2}((G,n))$ для пути на пяти вершинах Лемма 3. 1. Имеет место следующее рекуррентное соотношение для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах вида $(P_5,n)$, где через $P_5$ обозначен граф-путь на пяти вершинах: 2. Значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графе $(P_5,n)$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w_{\mathfrak{sl}_2}((P_5),n)=&\frac{1}{630}c\bigl((-42 c^3-42 c^2+42 c) c^n \\ &\qquad+(270 c^4-540 c^3-117 c^2+198 c+72) (c-1)^n \\ &\qquad+(240 c^3-300 c^2+210 c-90) (c-3)^n \\ &\qquad+(280 c^4-1610 c^3+2982 c^2-1953 c+378) (c-6)^n \\ &\qquad+(432 c^3-2808 c^2+5103 c-2430) (c-10)^n \\ &\qquad+(80 c^4-1000 c^3+4065 c^2-6120 c+2700) (c-15)^n \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. 1. Запишем следующее рекуррентное соотношение для хордовой диаграммы с графом пересечений $(P_5,n+1)$: Обозначим девятую диаграмму в этом соотношении через $D_3$, а $11$-ю – через $D_4$. Тогда в терминах графов пересечений это соотношение после упрощений записывается следующим образом: Выразим значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $D_3$ и $D_4$ через уже известные значения: Обозначим вторую, третью и четвертую диаграммы соотношения через $D_5$, $D_6$ и $D_7$ соответственно; тогда
$$
\begin{equation}
\gamma(D_4)=(c-2) \gamma(D_5)+\gamma(D_6)-\gamma(D_7).
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Повторное применение рекуррентного соотношения для “лишней” хорды в левой части каждой из диаграмм $D_5,$ $D_6$ и $D_7$ дает следующие соотношения в терминах графов пересечений:
$$
\begin{equation}
\gamma(D_6) =c\bigl( (c-2)(c-1)^{n+1}c+2c^2(c-1)^n \bigr),
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Значения правых частей равенств нам уже известны. Чтобы исключить из уравнения лишние графы, запишем следующие соотношения. Приводим их для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовых диаграммах и на соответствующих графах пересечений: Обозначим четвертую диаграмму в этом соотношении через $D_8(n)$; тогда Применяя, как и выше, рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3), получим выражение значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $\gamma(D_{8}(n))$ через уже известные нам значения: Обозначим вторую диаграмму в этом соотношении через $D_{9}(n)$; тогда Применяя, как и выше, рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3), получим выражение значения весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $\gamma(D_{9}(n))$ через уже известные нам значения: Для следующего четырехчленного соотношения (5.22) соотношение (5.23) на графах пересечений получено подстановкой рекуррентного соотношения Чмутова– Варченко (3.3) для пересекающей две хорды “лишней” хорды в третьей диаграмме четырехчленного соотношения и последующим упрощением: Обозначим третью и четвертую диаграммы в этом соотношении через $D_{10}(n)$ и $D_{11}(n)$ соответственно; тогда Применяя, как и выше, рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3), получим выражение значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $\gamma(D_{11}(n))$ и $\gamma(D_{12}(n))$ через уже известные нам значения: Обозначим третью и четвертую диаграммы в этом соотношении через $D_{12}(n)$ и $D_{13}(n)$ соответственно; тогда Применяя, как и выше, рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3), получим выражение значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $\gamma(D_{12}(n))$ и $\gamma(D_{13}(n))$ через уже известные нам значения: Обозначим третью и четвертую диаграммы в этом соотношении через $D_{14}(n)$ и $D_{15}(n)$ соответственно; тогда Применяя, как и выше, рекуррентное соотношение Чмутова–Варченко (3.3), получим выражение значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на $\gamma(D_{12}(n))$ и $\gamma(D_{13}(n))$ через уже известные нам значения: Подставляя значения весовой системы на графах с $\gamma(D_8(n))$ по $\gamma(D_{15}(n))$ в уравнения (5.17), (5.20), (5.25), (5.29), (5.33), вместе с уравнениями (5.11), (5.13), (5.15), (5.23) мы получили систему из девяти линейных уравнений. Исключив из системы не участвующие в рекуррентном соотношении (5.2) переменные 2. Граф $(P_5,0)=P_5$ представляет собой дерево на пяти вершинах, следовательно, $w_{\mathfrak{sl}_2}(P_5,0)=c(c-1)^4$. 3. Решение получившегося рекуррентного соотношения дает значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на произвольном графе $(P_5,n)$. Лемма 3 доказана. Из лемм 2 и 3 вытекает следующий основной результат. Теорема 5. Если продолжение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графы, удовлетворяющее четырехчленному соотношению для них, существует, то его значение на графах вида $(C_5,n)$, где $C_5$ – цикл на пяти вершинах, есть Из формулы (5.36) следует, что, в частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w_{\mathfrak{sl}_2}((C_5,0)) &=c^5-5 c^4+10 c^3-13 c^2+6 c, \\ w_{\mathfrak{sl}_2}((C_5,1)) &=c^6-10 c^5+50 c^4-139 c^3+176 c^2-72 c, \\ w_{\mathfrak{sl}_2}((C_5,2)) &=c^7-15 c^6+135 c^5-715 c^4+1981 c^3-2480 c^2+1008 c, \\ w_{\mathfrak{sl}_2}((C_5,3)) &=c^8-20 c^7+265 c^6-2266 c^5+11331 c^4-30108 c^3 \\ &\qquad+36716 c^2-14724 c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти результаты совпадают со значениями продолженной весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$, полученными Е. С. Красильниковым. § 6. Производящие функции для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах и их проекциях на пространство примитивных элементовРезультаты вычисления значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах серий $(G,n)$ могут быть записаны в виде экспоненциальной производящей функции для каждой из серий. Воспользовавшись этими представлениями и теоремой 1, мы выводим формулы для экспоненциальных производящих функций для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекциях графов рассматриваемых нами серий на примитивные. 6.1. Производящие функции для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах с малым числом вершинИз полиномиальных формул для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах вида $(G,n)$ для $|V(G)| \leqslant 4$ и произвольного $n$ (следствие 2, теоремы 2–4) следуют формулы для экспоненциальных производящих функций. Теорема 6. Для экспоненциальных производящих функций значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах серий $(G,n)$ для графов $G$ с малым числом вершин верны формулы, приведенные в табл. 1. Таблица 1.
В последней строке табл. 1 приведено значение производящей функции для значений весовой системы на $(C_5,n)$. При $n>0$ граф $(C_5,n)$ не является графом пересечений, однако если продолжение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на все простые графы существует, на графах $(C_5,n)$ оно должно равняться коэффициентам этой производящей функции. Заслуживает внимания тот факт, что эта производящая функция является линейной комбинацией лишь трех различных экспонент, тогда как в производящих функциях для графов на четырех вершинах участвует пять различных экспонент. 6.2. Производящие функции для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекциях графов с малым числом вершин на подпространство примитивных элементовПрименяя теорему 1 для графов из табл. 1, мы получаем производящие функции для значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекциях на примитивные элементы графов вида $(G,n)$, где $G$ – граф не более чем с четырьмя вершинами либо цикл на пяти вершинах $C_5$. Теорема 7. Для экспоненциальных производящих функций значений весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекциях графов серий $(G,n)$ на подпространство примитивных элементов для графов $G$ с малым числом вершин верны формулы, приведенные в табл. 2. Таблица 2.
Коэффициент при каждой экспоненте в каждой из производящих функций для значений $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекциях $(G,n)$, где $|V(G)| \leqslant \ell$, является многочленом от $c$ степени не выше $\ell$. Отсюда следует Утверждение 10. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на проекции графа $(G,n)$, где либо $|V(G)| \leqslant 4$, либо $G$ – цикл на пяти вершинах $C_5$, – это многочлен степени не выше, чем число вершин в графе $G$. Это утверждение доказывает в частном случае графов вида $(G,n)$, $|V(G)|\,{\leqslant}\,4$, следующую гипотезу. Гипотеза 1 (С. К. Ландо). Значение весовой системы $\mathfrak{sl}_2$ на проекции хордовой диаграммы на пространство примитивных элементов – это многочлен степени не выше половины окружения (т.е. длины наибольшего цикла) ее графа пересечений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zin22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|