| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Нелокальные уравнения баланса с параметром в пространстве знакопеременных мер Н. И. Погодаевab, М. В. Старицынb a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург b Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9516 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе рассматривается следующее нелинейное уравнение в частных производных на пространстве конечных знакопеременных борелевских мер на $\mathbb{R}^d$:
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu_t+\nabla\cdot(V_\lambda(t,\mu_t)\mu_t) =G_\lambda(t,\mu_t), \qquad \mu_0=\vartheta, \quad t \in [0,T].
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $T>0$ – фиксированный момент времени, $\lambda$ – параметр, принимающий значения в метрическом пространстве $\Lambda$. При каждом $t \in [0,T]$$\mu_t$ является знакопеременной борелевской мерой на $\mathbb{R}^d$; $V_\lambda(t, \cdot)$ и $G_\lambda(t, \cdot)$ – параметрические семейства отображений, переводящие знакопеременные меры в векторные поля и в знакопеременные меры соответственно. Типичные примеры таких отображений (для наглядности опускаем зависимость от $t$ и $\lambda$) – это где $K\colon\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d$, $g\colon \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ – заданные функции (см. также § 4). Уравнение (1.1) следует понимать как уравнение в обобщенных функциях. По определению для любой пробной функции $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^d)$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle G_\lambda(t,\mu_t),\varphi\rangle :=\int \varphi \,d G_\lambda(t,\mu_t), \\ \bigl\langle\nabla \cdot (V_\lambda(t,\mu_t)\mu_t), \varphi\bigr\rangle :=-\int \nabla \varphi\cdot V_\lambda(t,\mu_t) \,d \mu_t, \\ \langle\partial_t\mu_t,\varphi\rangle :=\frac{d}{dt}\int\varphi\,d\mu_t. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, непрерывная кривая $\mu\colon [0,T]\to\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ является решением уравнения (1.1), если оно выполнено для каждой пробной функции $\varphi$ при п.в. $t\in [0,T]$. Здесь и далее предполагаем, что пространство $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ конечных знакопеременных мер на $\mathbb{R}^d$ снабжено метрикой Канторовича–Рубинштейна. В зарубежной литературе уравнение (1.1) обычно называется нелокальным уравнением баланса. В случае, когда $G\equiv 0$ и $\vartheta$ – вероятностная мера, оно сводится к нелокальному уравнению неразрывности. Последнее хорошо изучено, активно используется для формализации понятия динамической системы в пространстве вероятностных мер (см. [1], [15], [31]) и играет центральную роль в таких областях прикладной математики, как теория оптимального переноса массы (см. [31]) и теория управления мультиагентными системами (см. [11], [9], [22], [3]). Работ, посвященных изучению нелокальных уравнений баланса, значительно меньше и в большинстве из них уравнения баланса рассматриваются на пространстве неотрицательных мер (см. [18], [25], [26], [16], [10]). Чтобы объяснить, с чем это связано, напомним, что нелокальные уравнения неразрывности, как правило, рассматриваются в пространстве $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ вероятностных мер на $\mathbb{R}^d$ с конечным вторым моментом. Последнее, будучи снабженным $L^{2}$-метрикой Канторовича, обретает формальную риманову структуру (см. [24]), которая позволяет смотреть на целый ряд транспортных уравнений (как правило, это уравнения типа реакция-диффузия) как на “градиентные потоки” геодезически выпуклых функционалов (см. [1]). Метрику с похожими свойствами можно определить на пространстве неотрицательных борелевских мер (см. [25], [16], [19], [14]), однако на $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ сделать этого не получается (см. [2], [20]); известные обобщения не удовлетворяют той или иной аксиоме метрики. В связи с этим исследования уравнений неразрывности и законов баланса в пространстве знакопеременных мер носят фрагментарный характер. Так, например, в работе [2] рассматривается транспортное уравнение в пространстве знакопеременных мер, связанное с гидродинамической моделью Гинзбурга– Ландау. Для его изучения используется некоторая конструкция $\mathcal W_2$, обобщающая $W_2$ на класс знакопеременных мер. Функция $\mathcal W_2$, не будучи метрикой, позволяет тем не менее работать с рассматриваемым уравнением методами теории градиентных потоков. Аналогичный подход применяется в [21] для исследования нелинейного уравнения теплопроводности. С другой стороны, $\mathcal M(\mathbb{R}^d)$ всегда можно снабдить классической метрикой Канторовича–Рубинштейна. В этом случае мы теряем риманову структуру и вместе с ней возможность исследовать уравнения баланса с помощью аппарата градиентных потоков. Однако если нелокальные операторы $V$ и $G$ липшицевы в метрике Канторовича–Рубинштейна, для изучения уравнения (1.1) применимы методы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений: это либо топологическая техника, основанная на применении теорем о неподвижных точках, либо аппроксимационный подход, который заключается в дискретизации рассматриваемого уравнения по времени, построении “ломаных Эйлера” и изучении их предела при стремлении параметра дискретизации к нулю. Примером использования топологических методов в теории дифференциальных уравнений в пространстве мер служит пионерская работа [12], в которой с помощью принципа сжимающих отображений доказывается теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальной меры решения нелинейных уравнений Власова. Аппроксимационный метод применялся в целом ряде работ, из которых мы выделим статью [27], где была доказана аналогичная теорема уже для нелокального уравнения баланса вида (1.1), причем “ломанные Эйлера” здесь строились с помощью техники операторного разложения (см. п. 5.3). В данной работе, в отличие от [27], мы выбираем для изучения уравнения (1.1) упомянутый выше метод, основанный на применении теорем о неподвижных точках. Вкратце он заключается в следующем: среди всех кривых в пространстве мер находится подмножество $ \mathcal X$, заведомо содержащее все решения рассматриваемого уравнения (если они есть) и являющееся полным либо компактным метрическим пространством в подходящей метрике; затем строится отображение $\mathscr F\colon \mathcal X\to \mathcal X$, неподвижные точки которого совпадают с решениями исходного уравнения, после чего к $\mathscr F$ применяется либо принцип сжимающих отображений (см. [12]), либо теорема Шаудера (см. [6]). Как правило, конструкция множества $\mathcal X$ и доказательство непрерывности отображения $ \mathscr F$ опираются на свойства линейного уравнения, которое получается из исходного заменой коэффициентов, нелинейно зависящих от меры, на произвольные функции. Конкретный вид семейства кривых $\mathcal X$, а также метрика на нем определяются характером рассматриваемого уравнения (см., например, § 5 в [12] для случая уравнений Власова и теорему 9.8.41 в [6] для системы, описывающей равновесие игры в среднем поле). Настоящая статья посвящена исследованию зависимости решения уравнения (1.1) от параметра, принимающего значения в метрическом пространстве (§ 3). Этот вопрос, важный, в частности, для теории управления законами баланса (§ 5), не затронут в [27] и других известных нам источниках. Предложенные нами условия, гарантирующие непрерывную зависимость, являются достаточно общими и охватывают широкий класс нелокальных операторов, встречающихся в прикладных моделях (§ 4). Как следствие основной теоремы мы построим аппроксимацию решения уравнения (1.1) посредством решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемый предел в среднем поле, п. 5.1) и докажем существование решения одной задачи оптимального управления (п. 5.2). В качестве другой полезной иллюстрации мы дадим простое доказательство формулы Троттера для произведения полугрупп операторов $V$ и $G$, основанное на интерпретации параметризованного уравнения (1.1) в терминах управляемой системы (п. 5.3). Наконец, еще одним приложением станет доказательство существования решения дифференциального включения, обобщающего (1.1), которое будет опираться на теоремы о существовании непрерывных селекторов многозначных отображений и теорему Шаудера (п. 5.4). Список обозначенийНиже $X$, $Y$ – метрические пространства, $E$ – банахово пространство. $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ – пространство конечных знакопеременных борелевских мер на $ \mathbb{R}^d$. $\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^d)$ – подпространство $\mathcal M(\mathbb{R}^d)$ мер с конечным первым моментом. $C(X;Y)$ – пространство непрерывных отображений $f\colon X\to Y$. $C_{b}(\mathbb{R}^d)$ – пространство непрерывных ограниченных функций. $C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ – пространство гладких функций с компактным носителем. $C_{0}(\mathbb{R}^d)$ – пространство функций $C_{b}(\mathbb{R}^{d})$, исчезающих на бесконечности. $L^{1}([a,b];E)$ – пространство интегрируемых по Лебегу функций $f\colon [a,b]\to E$. $\operatorname{Lip}(X;Y)$ – пространство ограниченных липшицевых функций $f \colon X\to Y$. $|x|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^d$. $\operatorname{Lip} (f):=\displaystyle\sup_{x\ne y}\frac{d_Y(f(x),f(y))}{d_X(x,y)}$ – константа Липшица функции $f\in C(X,Y)$. $\|f\|_{\infty}:=\displaystyle \sup_{x\in X}\|f(x)\|_E$ – норма на $C(X,E)$. $\|f\|_{\operatorname{Lip}}:=\displaystyle \max\{\|f\|_{\infty},\operatorname{Lip}(f)\}$ – норма банахова пространства $\operatorname{Lip}(X;E)$. $\|\mu\|$ – норма полной вариации на $\mathcal M(\mathbb{R}^d)$. $\|\mu\|_{K}$ – норма Канторовича–Рубинштейна на $\mathcal M(\mathbb{R}^d)$. $|\mu|$ – полная вариация меры $\mu\in \mathcal M(\mathbb{R}^d)$. $\mathfrak{m}_{1}(\mu):=\displaystyle \int|x|\,d|\mu|(x)$ – первый момент меры $\mu\in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$. $\mathcal M_r$ – множество мер $\mu \in \mathcal M(\mathbb{R}^d)$ таких, что $\mathfrak m_1(\mu) \leqslant r$, $\|\mu\|\leqslant r$. $\langle\mu,f\rangle:=\int f\,d\mu$ – действие меры на интегрируемую функцию $f$. $\rightharpoonup$ – слабая сходимость в $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$. $\sigma(E^*,E)$ – слабая-$*$ топология на $E^*$. Обозначим через $\operatorname{\mathbf{Vec}}$ семейство всех борелевских векторных полей $\mathbf v \colon [0,T]\times \mathbb{R}^{d}\to \mathbb{R}^{d}$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{ess\,sup}_{t\in [0,T]} \|\mathbf v_t\|_{\operatorname{Lip}} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В $\operatorname{\mathbf{Vec}}$ выделим подмножество $\operatorname{\mathbf{Vec}}_L$, состоящее из таких векторных полей, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{ess\,sup}_{t\in [0,T]}\operatorname{Lip}(\mathbf v_t)\leqslant L.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для любых $\mathbf v\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$, $s\in[0,T]$ и $x\in \mathbb{R}^{d}$ задача Коши имеет единственное решение $t\mapsto y(t;s,x)$. Поэтому формула $\Phi_{s,t}(x):=y(t;s,x)$ корректно определяет отображение $\Phi\colon [0,T]\times[0,T]\times\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$, которое называется потоком векторного поля $\mathbf v$. Очевидно, что $\Phi_{s,s}=\operatorname{\mathbf{id}}$ и $\Phi_{s,t}=\Phi_{\tau,t}\circ\Phi_{s,\tau}$ для всех $s\leqslant\tau\leqslant t$.Назовем кривую $\mu\colon [0,T]\to \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ интегрируемой, если для каждого борелевского $A\subset \mathbb{R}^{d}$ функция $t\mapsto\mu_{t}(A)$ измерима и Множество всех интегрируемых кривых обозначим через $ L^{1}([0,T];\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}))$.На пространстве $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ определим норму Канторовича–Рубинштейна:
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{K} :=\sup\biggl\{\int f\,d\mu\colon f\in C_b(X),\ \|f\|_{\operatorname{Lip}}\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выделим в $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ семейство выпуклых подмножеств
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_r :=\bigl\{\mu\in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})\colon \mathfrak m_1(\mu) \leqslant r, \ \|\mu\|\leqslant r\bigr\}, \qquad r>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно показать, что каждое $\mathcal{M}_r$, снабженное метрикой является компактным метрическим пространством, причем топология, индуцированная расстоянием $d_{K}$, совпадает на $\mathcal{M}_{r}$ со слабой и слабой-$*$ топологией (см. [5]). Заметим, что множество $\mathcal{M}^1(\mathbb{R}^{d})$ конечных мер с ограниченным первым моментом есть $\bigcup_{r>0} \mathcal{M}_r$.
§ 2. Линейное уравнение балансаНачнем исследование свойств уравнения (1.1) c изучения линейного закона баланса, т.е. случая, когда векторное поле $V$ и источник $G$ не зависят от $\mu_t$. 2.1. Представление решенияПусть $t \mapsto \mu_t$ – интегрируемая кривая. Обозначим через $\displaystyle\int_0^t\mu_s\,d s$ отображение из борелевской $\sigma$-алгебры $ \mathcal B(\mathbb{R}^{d})$ в $\mathbb{R}$, действующее по правилу
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_0^t\mu_s\,d s\biggr) (A)=\int_0^t\mu_s(A)\,d s, \qquad A\in\mathcal B(\mathbb{R}^{d}).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим линейное уравнение баланса
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu_t+\nabla \cdot (\mathbf v_t\mu_t)=\nu_t
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
при условии, что $\mathbf v$ лежит в классе $\operatorname{\mathbf{Vec}}$, а кривая $\nu\colon [0,T]\to \mathcal M(\mathbb{R}^{d})$ интегрируема. Определение. Кривая $\mu\in C([0,T];\mathcal M(\mathbb{R}^{d}))$ называется решением уравнения (2.1), если для любой пробной функции $\varphi\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$ равенство выполнено при п.в. $t\in [0,T]$. Утверждение 1. Уравнение (2.1) с начальным условием $\mu_0=\vartheta$ имеет единственное решение, определяемое формулой Доказательство. Прежде всего отметим, что кривая $\mu$ корректно определена, поскольку $\|\Phi_{s,t\sharp}\nu_{s}\|=\|\nu_{s}\|$. Тот факт, что решений не может быть несколько, следует из единственности решения уравнения неразрывности
$$
\begin{equation*}
\partial_{t}\mu_{t}+\nabla\cdot(\mathbf v_{t}\mu_{t})=0
\end{equation*}
\notag
$$
(см. утверждение 8.1.7 из [1]). Осталось проверить, что (2.2) – действительно решение. Прямым вычислением находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\langle \mu_t,\varphi\rangle &=\frac{d}{dt}\int \varphi\circ \Phi_{0,t}\,d\vartheta+\frac{d}{dt}\int_0^t \int \varphi\circ\Phi_{s,t}\,d\nu_s\,d s \\ &=\int \nabla\varphi(\Phi_{0,t}(x))\cdot \mathbf v_t(\Phi_{0,t}(x))\,d\vartheta(x) +\int \varphi(\Phi_{t,t}(x))\,d\nu_t(x) \\ &\qquad +\int_0^t\int \nabla\varphi(\Phi_{s,t}(x))\cdot \mathbf v_t(\Phi_{s,t}(x))\,d\nu_s(x)\,d s \\ &=\int \nabla\varphi\cdot \mathbf v_t\,d\Phi_{0,t\sharp}\vartheta +\int_0^t \int\nabla\varphi\cdot \mathbf v_t\,d\Phi_{s,t\sharp}\nu_s\,d s+\int\varphi\,d\nu_t \\ &=\int \nabla\varphi\cdot \mathbf v_t\,d\mu_t+\int\varphi\,d\nu_t \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\varphi\in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})$. Утверждение доказано. 2.2. Свойства потоковНапомним некоторые полезные свойства потоков векторных полей из класса $\operatorname{\mathbf{Vec}}_{L}$. Лемма 1. Пусть $\vartheta,\vartheta'\in \mathcal M(\mathbb{R}^{d})$, $\Phi$, $\Phi'$ – потоки векторных полей $\mathbf v,\mathbf v'\in \operatorname{\mathbf{Vec}}_{L}$. Тогда для всех $s,t\in [0,T]$ таких, что $s\leqslant t$, имеют место неравенства Лемма 2. Пусть $\vartheta\in \mathcal M(\mathbb{R}^{d})$, $\Phi$ – поток векторного поля $\mathbf v\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$. Тогда для всех $t_{1},t_{2}\in [s,T]$ таких, что $t_{1}\leqslant t_{2}$, имеет место неравенство Неравенства из лемм 1 и 2 очевидным образом выводятся из стандартных свойств потоков и определения нормы $\|\cdot\|_{K}$. Лемма 3. Пусть $\Phi^{j}$ – потоки векторных полей таких, что Если $\mathbf v^{j}_{(\cdot)}(x)\to \mathbf v^{0}_{(\cdot)}(x)$ слабо-$*$ в $ L^{\infty}([0,T];\mathbb{R}^{d})$ для всех $x\in\mathbb{R}^{d}$, то $ \Phi^{j}_{s,t}\to\Phi^{0}_{s,t}$ поточечно для всех $s,t\in [0,T]$, $s\leqslant t$. Доказательство. Зафиксируем $a\in \mathbb{R}^{d}$, $s\in [0,T]$ и введем обозначение $x^{j}(t) := \Phi^{j}_{s,t}(a)$. Для произвольного $t\geqslant s$ рассмотрим очевидное равенство
$$
\begin{equation*}
x^{j}(t)-x^{0}(t) =\int_s^t [\mathbf v^j_{\tau}(x^{j}(\tau))-\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau))]\,d \tau +\int_s^t [\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau))-\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau))]\,d \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
|\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{j}(\tau))-\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau))|\leqslant L|x^{j}(\tau)-x^{0}(\tau)| \quad\forall \,\tau\in [s,t],
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя неравенство Беллмана–Гронуолла, получаем оценку где Для завершения доказательства достаточно проверить, что выполняется равенство $\lim_{j\to\infty}|\alpha_j(t)|=0$. Выберем последовательность $(\tau_i)_{i=0}^N$ такую, что
$$
\begin{equation*}
s=\tau_0<\tau_1<\dots<\tau_N=t, \qquad \tau_{i}-\tau_{i-1}=\frac{t-s}{N} \quad\forall \,i \in \mathbb N \cup\{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_j(t) &=\sum_{i=1}^{N}\int_{\tau_{i-1}}^{\tau_i}[\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau))-\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))]\,d \tau \\ &\qquad+\sum_{i=1}^{N}\int_{\tau_{i-1}}^{\tau_i}[\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))-\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))]\,d \tau \\ &\qquad+\sum_{i=1}^{N}\int_{\tau_{i-1}}^{\tau_i}[\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))-\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau))]\,d \tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равномерная липшицевость векторных полей влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
|\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau))-\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))|\leqslant L|x^{0}(\tau)-x^{0}(\tau_{i-1})|
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i,j,\tau$. При этом
$$
\begin{equation*}
|x_0(\tau) - x_0(\tau_{i-1})|=\biggl|\int_{\tau_{i-1}}^{\tau}\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau))\,d\tau\biggr|\leqslant \frac{C(t-s)}{N} \quad\forall\, \tau\in [\tau_{i-1},\tau_i].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\alpha_j(t)|\leqslant \frac{2LC(t-s)^2}{N}+\sum_{i=1}^{N}\biggl|\int_{\tau_{i-1}}^{\tau_i}[\mathbf v^{j}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))-\mathbf v^{0}_{\tau}(x^{0}(\tau_{i-1}))]\,d \tau\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу сначала при $j\to \infty$, а затем при $N\to\infty$, заключаем, что $\lim_{j\to\infty}|\alpha_j(t)|=0$. Лемма доказана. 2.3. Свойства решений линейного уравненияВ этом пункте мы докажем некоторые свойства решений локального закона баланса, необходимые для обоснования основного результата статьи. Утверждение 2. Пусть $\mu^1$, $\mu^2$ – решения линейного уравнения баланса (2.1), соответствующие векторным полям $\mathbf v^1,\mathbf v^2\in\operatorname{\mathbf{Vec}}_{L}$, интегрируемым источникам $\nu^1$, $\nu^2$ и начальным распределениям $\vartheta^1,\vartheta^2\in\mathcal M(\mathbb{R}^{d})$. Пусть, кроме того, полные вариации мер $\vartheta^1,\vartheta^2,\nu_t^1,\nu_t^2$, $t\in [0,T]$, ограничены числом $M_0$. Тогда Доказательство. Положим $\displaystyle\eta^i_t=\int_0^t \Phi^i_{s,t\sharp}\nu^i_s\,d s$, $i=1,2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\langle\eta^1_t-\eta^2_t,\varphi\rangle =\int_0^t \langle\Phi^1_{s,t\sharp}\nu^1_s-\Phi^2_{s,t\sharp}\nu^2_s,\varphi\rangle \,d s
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\varphi\in C_b(\mathbb{R}^d)$. Переходя к супремуму по $\{\varphi\in C_b(\mathbb{R}^d)\colon \|\varphi\|_{\operatorname{Lip}}\leqslant 1\}$, имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\eta^1_t-\eta^2_t\|_K\leqslant \int_0^t\|\Phi^1_{s,t\sharp}\nu^1_s-\Phi^2_{s,t\sharp}\nu^2_s\|_K\,d s.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\mu^1_t-\mu^2_t\|_K &\leqslant\|\Phi^1_{0,t\sharp}\vartheta^1 - \Phi^2_{0,t\sharp}\vartheta^1\|_K+ \|\Phi^2_{0,t\sharp}\vartheta^1 - \Phi^2_{0,t\sharp}\vartheta^2\|_K\notag \\ &\qquad +\int_0^t \|\Phi^1_{s,t\sharp}\nu^1_s-\Phi^2_{s,t\sharp}\nu^1_s\|_K\,d s +\int_0^t\|\Phi^2_{s,t\sharp}\nu^1_s-\Phi^2_{s,t\sharp}\nu^2_s\|_K \,d s. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Благодаря лемме 1 первые два слагаемых в правой части неравенства (2.4) оцениваются сверху выражением
$$
\begin{equation*}
M_0 e^{Lt}\int_0^t\|\mathbf v^1_s - \mathbf v^2_s\|_\infty\,d s+ e^{Lt}\|\vartheta^1-\vartheta^2\|_K,
\end{equation*}
\notag
$$
а четвертое – величиной Интегрируя по частям, легко убедиться в справедливости формулы которая позволяет получить оценку сверху для третьего слагаемого выражением Комбинируя полученные оценки, получаем требуемое неравенство. Утверждение доказано. Утверждение 3. Пусть $\mu$ – решение линейного уравнения баланса с начальным распределением $\vartheta\in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$, векторным полем $\mathbf v\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$ и интегрируемым источником $\nu\colon [0,T]\to\mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$. Тогда имеют место оценки
$$
\begin{equation}
\|\mu_t\| \leqslant \|\vartheta\|+\int_0^t \|\nu_s\|\,d s,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Доказательство. Неравенство (2.5) является прямым следствием формулы представления решения (утверждение 1). Отсюда же вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\int|x|\,d|\mu_t| =\int|\Phi_{0,t}(x)|\,d|\vartheta|+\int_0^t\int|\Phi_{s,t}(x)|\,d|\nu_s|\,d s.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая цепочку неравенств
$$
\begin{equation*}
|\Phi_{s,t}(x)|\leqslant |\Phi_{s,t}(x) - x|+|x| \leqslant \int_s^t\|\mathbf v_\tau\|_\infty\,d\tau+|x| \leqslant \int_0^t\|\mathbf v_\tau\|_\infty\,d\tau+|x|,
\end{equation*}
\notag
$$
мы приходим к оценке (2.6). Наконец, (2.7) является следствием формулы (2.2), леммы 2, а также оценки $\|\Phi_{\tau,t\sharp}\nu_{\tau}\|_{K}\leqslant \|\Phi_{\tau,t\sharp}\nu_{\tau}\|= \|\nu_{\tau}\|$. Утверждение доказано. Замечание. Из утверждения 3, в частности, вытекает, что множество $\mathcal M^{1}(\mathbb{R}^{d})$ является инвариантным для уравнения (2.1). Утверждение 4. Пусть $\mu^{j}$ – решение линейного уравнения баланса, соответствующее начальному распределению $\vartheta\in \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})$, векторному полю $\mathbf v^{j}$, которое удовлетворяет условию (2.3), и источнику $\nu^{j}\in L^{1}([0,T]; \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d}))$, $j\in\{0\}\cup\mathbb N$. Пусть, кроме того, $\|\nu^{j}_{t}\|$ и $\mathfrak m_{1}(\nu^{j}_{t})$ ограничены числом $ R_{0}$ для всех $t\in [0,T]$ и $j\in \{0\}\cup \mathbb N$. Тогда если $\mathbf v^{j}_{(\cdot)}(x)\to \mathbf v^{0}_{(\cdot)}(x)$ слабо-$*$ в $ L^{\infty}([0,T];\mathbb{R}^{d})$ для всех $x\in \mathbb{R}^{d}$ и $ \nu^{j}_{t}\rightharpoonup \nu^{0}_{t}$ для п.в. $t\in [0,T]$, то $ \mu^{j}_{t}\rightharpoonup \mu^{0}_{t}$ для всех $t\in [0,T]$. Доказательство. Заметим, что для всех $t\in [0,T]$ и $j\in\{0\}\cup\mathbb N$ имеют место включения $ \nu^{j}_{t}\in \mathcal{M}_{R_{0}}$ и $\mu^{j}_{t}\in \mathcal{M}_{R}$ для некоторого $R>0$, не зависящего от $j$ и $t$. Первое включение выполнено в силу наших предположений, а второе – благодаря утверждению 3. Отсюда следует, что слабая сходимость данных мер эквивалентна сходимости в норме $\|\cdot\|_{K}$.
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\|\mu^{j} - \mu^{0}\|_{K} \leqslant \| \Phi^{j}_{0,t\sharp}\vartheta - \Phi^{0}_{0,t\sharp}\vartheta \|_{K} +\int_{0}^{t}\|\Phi^{j}_{s,t\sharp}\nu^{j}_{s} - \Phi^{0}_{s,t\sharp}\nu^{0}_{s}\|_{K}\,d s.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю ввиду леммы 3. Второе слагаемое оценивается суммой
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{t}\|\Phi^{0}_{s,t\sharp}\nu^{0}_{s} - \Phi^{j}_{s,t\sharp}\nu^{0}_{s}\|_{K}\,d s +\int_{0}^{t}\|\Phi^{j}_{s,t\sharp}\nu^{j}_{s} - \Phi^{j}_{s,t\sharp}\nu^{0}_{s}\|_{K}\,d s.
\end{equation*}
\notag
$$
Первый интеграл здесь стремится к нулю опять же благодаря лемме 3. Второй интеграл в силу леммы 1 мажорируется числом
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{t}e^{L(t-s)}\|\nu^{j}_{s}-\nu^{0}_{s}\|_{K}\,d s,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, также сходится к нулю. Утверждение доказано. § 3. Нелинейное уравнение баланса: основной результатВернемся к нелокальному закону баланса (1.1). Напомним, что уравнение (1.1) следует понимать в слабом смысле – как уравнение в обобщенных функциях. Основные предположенияОтображения
$$
\begin{equation*}
V\colon \Lambda \times [0,T]\times \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)\to C(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d), \qquad G\colon \Lambda \times [0,T]\times \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)\to \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют следующим условиям.
Основной результат статьи представляет следующая Теорема 1. Пусть выполнены предположения $\mathbf{(H_1)}$–$\mathbf{(H_4)}$. Тогда для любого $\lambda\in \Lambda$ и $\vartheta\in \mathcal M^1(\mathbb{R}^d)$ уравнение (1.1) имеет на отрезке $[0,T]$ единственное решение $t \mapsto \mu_t[\lambda,\vartheta]$, причем отображение $(\lambda , \vartheta)\mapsto \mu_{(\cdot)}[\lambda,\vartheta]$ непрерывно как функция $\Lambda\times\mathcal{M}_{r}\mapsto C([0,T];\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^d))$ для любого $r>0$. Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим вариантом принципа сжимающих отображений (см. [8; теорема A.2.1]). Теорема 2. Пусть $(\mathcal X,d)$ – полное метрическое пространство, $\mathcal A$ – метрическое пространство. Предположим, что функция ${F}\colon \mathcal A\times \mathcal X\to \mathcal X$ удовлетворяет следующим условиям: Тогда для любого $\alpha\in\mathcal A$ существует единственная точка $x(\alpha)\in \mathcal X$, удовлетворяющая уравнению При этом отображение $\alpha\mapsto x(\alpha)$ непрерывно как функция $\mathcal A \mapsto \mathcal X$.Предположим, что решение нелокального уравнения баланса с начальным условием $\vartheta\in \mathcal M_{r}$ существует; обозначим его через $\mu$. Согласно $\mathbf{(H_2)}$ для всех $t\in [0,T]$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|V_\lambda(t,\mu_t)\|_\infty \leqslant C(1+\|\mu_t\|), \qquad \|G_\lambda(t,\mu_t)\|\leqslant C(1+\|\mu_t\|), \\ \mathfrak m_1(G_\lambda(t,\mu_t))\leqslant C(1+\|\mu_t\|+\mathfrak m_1(\mu_t)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства (2.5) получаем оценку откуда в силу леммы Беллмана–Гронуолла находим В частности,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r+\int_0^t C(1+\|\mu_s\|)\,d s &\leqslant r+\int_0^tC(1+(r+Cs)e^{Cs})\,d s \notag \\ &=(r+C t)e^{C t} - e^{Ct}+C t+1\leqslant (r+C t)e^{C t}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Используя неравенство (2.6), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak m_1(\mu_t) &\leqslant \biggl(r+\int_0^tC(1+\|\mu_s\|)\,d s\biggr)\int_0^t C(1+\|\mu_s\|)\,d s \\ &\qquad +r+\int_0^tC(1+\|\mu_s\|+\mathfrak m_1(\mu_s))\,d s \\ &\leqslant (r+C t)e^{C t}\,((r+C t)e^{C t} - r+1)+\int_0^tC\mathfrak m_1(\mu_s)\,d s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Снова применяя лемму Беллмана–Гронуолла, имеем где Положим $R :=M(T)e^{CT}$ и в качестве пространства $\mathcal X$ из теоремы 2 возьмем множество кривых
$$
\begin{equation}
\mathcal X = \bigl\{\rho\in C([0,T];\mathcal{M}_R)\colon \|\rho_t\|\leqslant (r+Ct)e^{Ct},\,\mathfrak m_1(\rho_t)\leqslant M(t)e^{Ct},\, t\in [0,T]\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
снабженное нормой
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_\gamma=\max_{t\in[0,T]}e^{-\gamma t}\|\mu_t\|_K
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого числа $\gamma>0$, которое мы определим позднее. Заметим, что при любом $\gamma>0$ норма $\|\cdot\|_\gamma$ эквивалентна норме $\|\cdot \|_\infty$. Доказательство. Поскольку $\mathcal X$ является подмножеством полного метрического пространства $C([0,T];\mathcal{M}_R)$, достаточно показать, что оно замкнуто. Рассмотрим последовательность $\{\rho^k\} \subset \mathcal X$ такую, что $\|\rho^k-\rho\|_\gamma\to 0$. Тогда $\|\rho^k_t - \rho_t\|_K\to 0$ для всех $t\in [0,T]$. Полунепрерывность снизу полной вариации влечет требуемые оценки $\|\rho_t\|\leqslant (r+Ct)e^{Ct}$, $\mathfrak m_1(\rho_t)\leqslant M(t)e^{Ct}$. Лемма доказана. В качестве пространства параметров возьмем множество $\mathcal A=\Lambda \times \mathcal{M}_r$ с топологией прямого произведения (напомним, что $\mathcal{M}_{r}$ снабжено нормой $\|\cdot\|_{K}$). Обозначим через $\mu[\vartheta, \mathbf v, \nu]\in C([0,T]; \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d))$ решение линейного закона баланса (2.1), соответствующее начальному условию $\mu_0=\vartheta$, векторному полю $\mathbf v\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$ и источнику $\nu\in L^1([0,T]; \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d) )$. Рассмотрим вспомогательные операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{V}&\colon \Lambda\times C([0,T];\mathcal{M}_R) \to \operatorname{\mathbf{Vec}}, \\ \mathscr{G}&\colon \Lambda\times C([0,T];\mathcal{M}_R) \to L^1([0,T];\mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)), \\ \mathscr{T}&\colon \mathcal{M}_r \times \operatorname{\mathbf{Vec}} \times L^1([0,T];\mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)) \to C([0,T];\mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
заданные соотношениями
$$
\begin{equation*}
(\mathscr{V}_\lambda(\rho))_t:=V_\lambda(t,\rho_t), \qquad (\mathscr{G}_\lambda(\rho))_t:=G_{\lambda}(t,\rho_t), \qquad \mathscr{T}(\vartheta, \mathbf v, \nu):=\mu[\vartheta, \mathbf v, \nu],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho\in C([0,T];\mathcal{M}_R)$, $\vartheta\in \mathcal{M}_r$, $\mathbf v\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$, $\nu\in L^1([0,T]; \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d))$. Определим функцию $\mathcal F\colon \mathcal A\times C([0,T]; \mathcal{M}_R)\mapsto C([0,T]; \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d))$ как композицию вспомогательных отображений:
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_\alpha(\rho):= \mathscr {T}(\vartheta,\mathscr {V}_\lambda(\rho), \mathscr{G}_\lambda(\rho)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=(\lambda,\vartheta)$, $\rho\in C([0,T];\mathcal{M}_R)$. Утверждение 5. Для любого $\alpha\in \mathcal A$ функция $\mathcal F_\alpha$ отображает $\mathcal X$ в $\mathcal X$. Доказательство. Пусть $\rho\in \mathcal X$ и $\alpha=(\lambda, \vartheta)\in \mathcal A$. Оценим величины $\|\mathcal F_\alpha(\rho)\|$ и $\mathfrak m_1(\mathcal F_\alpha(\rho))$. Из неравенства
$$
\begin{equation*}
\|(\mathscr{G}_\alpha(\rho))_t\|=\|G_\alpha(t,\rho_t)\|\leqslant C(1+\|\rho_t\|) \leqslant C(1+(r+Ct)e^{Ct}),
\end{equation*}
\notag
$$
(2.5) и (3.2) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal F_\alpha(\rho)_t\| &\leqslant \|\vartheta\| + \int_0^t \|(\mathscr{G}_\alpha(\rho))_s\|\,d s \\ &\leqslant r + C\int_0^t (1+(r+Cs)e^{Cs})\,d s\leqslant (r+C t)e^{C t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, используя оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|(\mathscr{V}_\alpha(\rho))_t\|_\infty=\|V_\alpha(t,\rho_t)\|_\infty\leqslant C(1+\|\rho_t\|) \leqslant C(1+(r+Ct)e^{Ct}), \\ \mathfrak m_1((\mathscr{G}_\alpha(\rho))_t) \leqslant C(1+\|\rho_t\|+\mathfrak m_1(\rho_t)) \leqslant C(1+(r+Ct+M(t))e^{Ct}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя (2.6), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak m_1(\mathcal F_\alpha(\rho)_t)&\leqslant \biggl(\|\vartheta\|+\int_0^t \|(\mathscr{G}_\alpha(\rho))_s\|\,d s\biggr) \int_0^t\|(\mathscr{V}_\alpha(\rho))_s\|_\infty\,d s \\ &\qquad+\biggl(\mathfrak m_1(\vartheta)+\int_0^t\mathfrak m_1((\mathscr{G}_\alpha(\rho))_s)\,d s\biggr) \\ &\leqslant \biggl(r+\int_0^t C(1+(r+Cs)e^{Cs})\,d s\biggr) \int_0^t C(1+(r+Cs)e^{Cs})\,d s \\ &\qquad +\biggl(r+\int_0^t C(1+(r+Cs)e^{Cs})\,d s\biggr)+C\int_0^t M(s)e^{Cs}\,d s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь благодаря последнему неравенству в (3.2) заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak m_1(\mathcal F_\alpha(\rho)_t)\leqslant M(t)+\int_0^t CM(s)e^{Cs}\,d s.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование по частям и тождество $M(0)=r$ дают Поскольку $M'\geqslant 0$, имеем Таким образом, $\mathfrak m_1(\mathcal F_\alpha(\rho)_t)\leqslant M(t)e^{Ct}$. Утверждение доказано. Доказательство. Зафиксируем $\alpha=(\lambda,\vartheta)\in \mathcal A$ и $\rho^1,\rho^2\in \mathcal X$. Поскольку в силу $(\mathbf{H_2})$
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal G(\rho^i)_t\|\leqslant C(1+\|\rho^i_t\|) \leqslant C(1+R), \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in [0,T]$, то благодаря утверждению 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{F}_\alpha(\rho^1)_t -\mathcal{F}_\alpha(\rho^2)_t\|_K &\leqslant e^{Ct}\int_0^t \|G_\lambda(s,\rho^1_s) - G_\lambda(s,\rho^2_s)\|_K\,d s \\ &\qquad+ C(1+R)\frac{L_{R}+1}{L_{R}} e^{Ct} \int_0^t\|V_\lambda(s,\rho_s^1) - V_\lambda(s,\rho_s^2)\|_\infty\,d s \\ &\leqslant (L_R+C(1+R)(1+L_{R})) e^{Ct}\int_0^t\|\rho^1_s-\rho^2_s\|_K\,d s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценив последний интеграл следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^t\|\rho^1_s-\rho^2_s\|_K\,d s &=\int_0^te^{\gamma s}e^{-\gamma s}\|\rho^1_s-\rho^2_s\|_K\,d s \\ &\leqslant \int_0^te^{\gamma s}\|\rho^1-\rho^2\|_\gamma\,d s \leqslant \frac{e^{\gamma t}}{\gamma}\|\rho^1-\rho^2\|_\gamma, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что для всех $t\in [0,T]$. Переходя к максимуму по $t$ в обеих частях, получаем требуемое неравенство. Утверждение доказано. Утверждение 7. Отображение $\alpha\mapsto \mathcal F_{\alpha}(\rho)$ непрерывно для любого $\rho\in \mathcal X$. Доказательство. Зафиксируем $\rho\in \mathcal X$ и напомним, что $\alpha=(\lambda,\vartheta)$. Из гипотез $\mathbf{(H_1)}$, $\mathbf{(H_2)}$ и утверждения 2 следует, что отображение $\vartheta\mapsto \mathcal F_{(\lambda,\vartheta)}(\rho)$ липшицево с константой $ e^{L_{R}T}$ для любого $\lambda\in \Lambda$. С другой стороны, из гипотез $\mathbf{(H_3)}$, $\mathbf{(H_4)}$ и утверждения 4 вытекает непрерывность отображения $\lambda\mapsto \mathcal F_{(\lambda,\vartheta)}(\rho)$ для любого $\vartheta\in \mathcal{M}_{r}$. Утверждение доказано. Доказательство теоремы 1. Достаточно проверить, что $\mathcal F$ удовлетворяет всем условиям теоремы 2. Действительно, в силу утверждения 5 и леммы 4 $\mathcal F$ отображает полное метрическое пространство $\mathcal X$ в себя. Согласно утверждению 6 функция $\rho\mapsto \mathcal F_{\alpha}(\rho)$ является равномерно сжимающей при достаточно большом $\gamma$. Наконец, непрерывность отображения $\alpha\mapsto \mathcal F_{\alpha}(\rho)$ гарантируется утверждением 7.
Теорема доказана. § 4. Примеры векторных полей и источниковВ данном параграфе мы покажем, что приведенные выше гипотезы $(\mathbf{H}_1)$– $(\mathbf{H}_4)$ выполняются для достаточно широкого класса нелокальных векторных полей и источников, встречающихся в прикладных моделях. Как правило, нелокальные операторы задаются операцией свертки. Напомним соответствующие определения. Свертка функции $f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}$ и знакопеременной меры $\mu\in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{n})$ определяется равенством В случае, когда мера $\mu$ имеет вид $\mu=g\mathcal L^{n}$, где $\mathcal L^{n}$ – $n$-мерная мера Лебега, а $g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ – заданная измеримая (относительно $\mathcal L^{n}$) функция, принято обозначение
$$
\begin{equation*}
(f*g)(x):=(f*g\mathcal{L}^{n})(x)=\int f(x-y)g(y)\,d y=\int f(y)g(x-y)\,d y.
\end{equation*}
\notag
$$
4.1. Векторные поляУтверждение 8. Пусть $K\in \operatorname{Lip}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d})$, $ f\colon[0,T]\,{\times}\,\mathbb{R}^{d}\,{\times}\,\mathbb{R}^{d}\to \mathbb{R}^{d}$ измерима по первой переменной, липшицева с константой $L_f$ по второй и третьей и удовлетворяет условию подлинейного роста $|f(t,x,y)|\leqslant C_{f}(1+|y|)$ для п.в. $t\in[0,T]$ и всех $x,y\in \mathbb{R}^d$. Тогда отображение удовлетворяет гипотезам $(\mathbf{H_{1}})$–$(\mathbf{H_{3}})$. Доказательство. Принадлежность векторного поля $(t,x)\mapsto V(t,\eta)(x)$ классу $\operatorname{\mathbf{Vec}}$ вытекает из оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|f(t,x,K*\eta(x)) - f(t,y,K*\eta(y))| \\ &\qquad\leqslant L_f(| K*\eta(x)-K*\eta(y)|+|x-y|) \\ &\qquad\leqslant L_f\biggl(\int|K(x-z)-K(y-z)|\,d|\mu|(z)+ |x-y|\biggr) \\ &\qquad\leqslant L_f(\operatorname{Lip}(K)\|\eta\|+1)|x-y|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которая выполнена для п.в. $t\in [0,T]$ и всех $x,y\in \mathbb{R}^d$, $\eta\in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$. Липшицевость отображения $\eta\mapsto V(t,\eta)(x)$ является следствием неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|f(t,x,K*\eta(x)) - f(t,x,K*\eta'(x))|\leqslant L_f| K*\eta(x)-K*\eta'(x)| \\ &\qquad =L_f\biggl|\int K(x-y)\,d(\eta-\eta')(y)\biggr| \leqslant L_f\|K\|_{\operatorname{Lip}}\cdot\|\eta-\eta'\|_{K}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta,\eta'\in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$. Оценка
$$
\begin{equation*}
|f(t,x,K*\eta(x)) | \leqslant C_{f}\biggl(1+\biggl|\int K(x-y)\,d \eta(y)\biggr|\biggl) \leqslant C_{f}(1+\|K\|_{\infty}\cdot\|\eta\|),
\end{equation*}
\notag
$$
справедливая для п.в. $t\in [0,T]$ и всех $x\in\mathbb{R}^d$, $\eta\in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$, гарантирует подлинейный рост. Наконец, из неравенства
$$
\begin{equation*}
|K*\mu_{s} - K*\mu_{t}|\leqslant \|K\|_{\operatorname{Lip}}\cdot \|\mu_{s}-\mu_{t}\|_{K}
\end{equation*}
\notag
$$
и стандартного результата об измеримости композиции (см., например, [28; утверждение 3.1, лемма 3.10]) следует измеримость отображения $t\mapsto V(t,\mu_{t})(x)$ для любых $ \mu\in C([0,T];\mathcal{M}_r)$ и $x\in \mathbb{R}^d$. Утверждение доказано. Приведенные ниже примеры отображения $V$ взяты из работ по математической биологии, посвященных моделированию коллективного поведения в биологических сообществах. В таких моделях мера $\eta\,{\in}\, \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$, как правило, характеризует распределение однотипных индивидуумов (агентов) в заданной области пространства. Пример 1. В работе [23] динамика движения биологического сообщества моделируется уравнением неразрывности с нелокальным векторным полем Здесь $\mathbf w\in \operatorname{\mathbf{Vec}}$ – заданное векторное поле, определяющее дрифт; ядро $ K$ моделирует свойство притяжения/отталкивания индивидуумов – представителей сообщества – и имеет вид В последнем выражении константы $a$ и $r$ характеризуют радиусы, а $A_{a}$ и $A_{r}$ – интенсивности притяжения и отталкивания членов сообщества. Как правило, $r<a$, т.е. индивидуумы отталкиваются на малых расстояниях и притягиваются на больших. Пример 2. Еще одно нелокальное векторное поле, возникающее в математической биологии (см. [11]), определяется выражением где $\mathbf w \in \operatorname{\mathbf{Vec}}$ – заданное векторное поле, $K\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}_{+}$ – гладкое ядро усреднения вида $g\colon \mathbb{R}_{+}\to [0,1]$ – невозрастающая липшицева функция. При таком выборе $V$ скорость агента, находящегося в точке $x$, уменьшается при увеличении “взвешенного” числа агентов, которое равно $\displaystyle\int K(x-y)\,d \eta(y)$, в окрестности этой точки. Очевидно, что отображения $V$ из примеров 1 и 2 удовлетворяют всем предположениям утверждения 8. 4.2. ИсточникиУтверждение 9. Пусть $\nu \in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$, $F\in \operatorname{Lip}(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$, $K, g\in \operatorname{Lip}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R})$, причем Тогда отображение удовлетворяет гипотезам $(\mathbf{H_{1}})$, $(\mathbf{H_{2}})$, $(\mathbf{H_{4}})$. Доказательство. 1. Положим $\displaystyle I_{K}:=\int K\,d x$. Пусть $\varphi\in C_b(\mathbb{R}^{d})$ такая, что $\|\varphi\|_{\operatorname{Lip}}\leqslant 1$. Тогда для всех $x,y\in\mathbb{R}^d$. Таким образом, $\|K*\varphi\|_{\operatorname{Lip}}\leqslant I_{K}$. Аналогично из $\|\varphi\|_\infty\leqslant 1$ вытекает $\|K*\varphi\|_\infty\leqslant I_K$. 2. Для любой $\varphi\in C_b(\mathbb{R}^{d})$ такой, что $ \|\varphi\|_{\operatorname{Lip}}\leqslant 1$, и всех $\eta,\eta'\in \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int \varphi \,d(F_\sharp\eta-F_\sharp\eta')=\int \varphi \circ F\,d (\eta -\eta') \leqslant \|F\|_{\operatorname{Lip}}\cdot \|\eta-\eta'\|_{K}, \\ \int\varphi g\,d(\eta - \eta') \leqslant \|\varphi g\|_{\operatorname{Lip}}\cdot\|\eta-\eta'\|_{K} \leqslant 2\|g\|_{\operatorname{Lip}}\cdot\|\eta-\eta'\|_{K}, \\ \begin{split} &\int \varphi(K*\eta-K*\eta')\,d x =\int \varphi(x)\biggl(\int K(x-y)\,d(\eta-\eta')(y)\biggr)\,d x \\ &\qquad=\int \biggl(\int \varphi(x)K(x-y)\,d x\biggr) \,d(\eta-\eta')(y) =\int K*\varphi(y)\,d(\eta-\eta')(y) \\ &\qquad \leqslant \|K*\varphi\|_{\operatorname{Lip}}\cdot \|\eta-\eta'\|_{K} \leqslant I_{K}\|\eta-\eta'\|_{K}. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует липшицевость отображения $\eta\mapsto G(\eta)$. 3. Ясно, что $\|F_\sharp\eta\|=\|\eta\|$ и Наконец, из свойств свертки вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(K*\eta)\mathcal L^{d}\| &=\sup\int\varphi (K*\eta)\,d x=\sup\int (K*\varphi)\,d \eta \\ &\leqslant \|K*\varphi\|_{\infty}\cdot\|\eta\|\leqslant I_K\|\eta\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по всем $\varphi\in C_0(\mathbb{R}^d)$, $\|\varphi\|_\infty\leqslant 1$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\|G(\eta)\|\leqslant \|\nu\|+(1+\|g\|_\infty+I_K)\|\eta\|.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
4. Чтобы получить оценку на $\mathfrak{m}_1(G(\eta))$, заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_{1}(F_\sharp\eta)=\int |x| \,d |F_\sharp\eta| \leqslant \int |x| \,d F_\sharp|\eta|=\int |F| \,d |\eta|\leqslant \|F\|_\infty\cdot \|\eta\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{m}_{1}(g\eta)=\int |x||g(x)|\,d |\eta|\leqslant \|g\|_\infty\cdot \mathfrak{m}_1(\eta), \\ \mathfrak{m}_{1}((K*\eta)\mathcal L^{d})=\int|x||(K*\eta)(x)| \,d x \leqslant \int (K*|\cdot|)\,d |\eta| \leqslant C_K \bigl(\|\eta\|+\mathfrak{m}_{1}(\eta)\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_{1}(G(\eta))\leqslant (\mathfrak{m}_{1}(\nu)+\|F\|_{\infty}+\|g\|_\infty+C_K) (1+\|\eta\|+\mathfrak{m}_{1}(\eta)).
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируемость отображения $t\mapsto G(\mu_t)$ для всех $\mu\in C([0,T];\mathcal{M}_r)$ является следствием оценки (4.1). Утверждение доказано. Пример 3. Рассмотрим источник вида где $g$ является липшицевой аппроксимацией характеристической функции $\mathbf{1}_{\Omega}$ заданного борелевского множества $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. В этом случае решение закона баланса $t \mapsto \mu_t$ можно интерпретировать как приближенное описание динамики бесконечного ансамбля взаимодействующих однотипных заряженных частиц, движущихся под действием векторного поля $V$ и меняющих заряд при попадании в область $\Omega$. Если начальная мера $\vartheta$ неотрицательна, а векторное поле $V$ определено, как в примерах 1, 2, приходим к неконсервативным моделям биологических сообществ, где $\Omega$ описывает область пространства, при попадании в которую индивидуумы погибают (например, очаг техногенного загрязнения). Пример 4. Источник вида встречается в моделях газовой динамики, учитывающих тепловое излучение (см. [17]). 4.3. Зависимость от параметраПриведем примеры отображений $\lambda \mapsto V_\lambda$ и $\lambda \mapsto G_\lambda$, связанных с задачами управления законами баланса. Пример 5. Рассмотрим операторы $V$ из примеров 1 и 2. Пусть векторное поле $\mathbf w$, входящее в их определение, имеет вид где $\lambda \colon [0,T]\to U$ – измеримая функция, $U$ – заданное ограниченное выпуклое подмножество $\mathbb{R}^{m}$. Множество $\Lambda$ всех таких функций, снабженное топологией $\sigma(L^\infty,L^1)$, является компактным метрическим пространством. Считая $\lambda$ параметром, получаем параметризованное отображение $V_{\lambda}$, для которого гипотеза $\mathbf{(H_3)}$, очевидно, выполнена. Пример 6. Пусть $G$ определено, как в утверждении 9. Считая функцию $g$ параметром, т.е. полагая $\lambda=g$, получим пример параметризованного отображения $G_\lambda$. Положим и зададим на $\Lambda$ расстояние с помощью нормы $\|\cdot\|_\infty$. В этом случае $\Lambda$ является компактным метрическим пространством и гипотеза $(\mathbf{H}_4)$, очевидно, выполнена. § 5. Приложения5.1. Предел в среднем полеТеорема 1 может быть использована для доказательства утверждений о том, что при подходящем выборе $V$ и $G$ нелокальное уравнение баланса является пределом в среднем поле системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для примера рассмотрим модель коллективного поведения (см. уравнение (5.1)), взятую из [13]. Теорема 3. Пусть $K\colon \mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$ удовлетворяет условиям утверждения 8 и $g\in\operatorname{Lip}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R})$. Рассмотрим на отрезке $[0,T]$ для каждого натурального $N$ систему обыкновенных дифференциальных уравнений в которой $x_{i}\in\mathbb{R}^{d}$, $q_{i}\in \mathbb{R}$, $i=1,\ldots,N$. Пусть $\sum_{i=1}^{N}a_{i}\delta_{y_{i}}$ сходится к $\vartheta$ в $ (\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d}),\|\cdot\|_{K})$ при $N\to\infty$. Тогда кривая корректно определена и является единственным решением уравнения Доказательство. Заметим, что $\mu^{N}_{t}= \sum_{i=1}^{N}q_{i}(t)\delta_{x_{i}(t)}$ является решением уравнения (5.2) с начальным условием $\mu_{0}=\sum_{i=1}^{N}a_{i}\delta_{y_{i}}$. Действительно, для любого $\phi \in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dt}\int\phi\,d\mu^N_t =\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^{N}q_i(t)\phi(x_i(t)) \\ &\qquad=\sum_{i=1}^{N}\dot q_i(t)\phi(x_i(t))+\sum_{i=1}^{N}q_i(t) \nabla\phi(x_i(t))\cdot\dot x_i(t) \\ &\qquad=\sum_{i=1}^{N}q_{i}(t)g(x_i(t))\phi(x_i(t)) +\sum_{i=1}^{N}q_{i}(t)\biggl(\sum_{j=1}^{N} q_{j}(t)K(x_i(t)-x_{j}(t))\biggr)\cdot\nabla\phi(x_i(t)) \\ &\qquad=\int g\phi\,d\mu^N_t+\int (K*\mu^{N}_{t})\cdot\nabla \phi\,d \mu^N_t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь теорема 3 следует из непрерывности отображения $\vartheta \mapsto \mu[\vartheta]$ (теорема 1). Теорема доказана. 5.2. Существование оптимального управленияДалее мы применим теорему 1 для изучения следующей задачи оптимального управления:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} g(\mu_{T})+\displaystyle \int_{0}^{T}f(\mu_{t},\lambda(t))\,d t\to\min, \\ \partial_{t}\mu_{t}+\nabla \cdot (V_{\lambda}(\mu_{t})\mu_{t})=G(\mu_{t}), \quad \mu_{0}=\vartheta, \quad \lambda\in \Lambda, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $V_{\lambda}$ и $\Lambda$ определены, как в примере 5, а $G$ – как в утверждении 9, функции $g\colon \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})\to \mathbb{R}$ и $f\colon \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})\,{\times}\, U\to \mathbb{R}$ будем считать непрерывными, а $ f$, кроме того, ограниченной снизу и выпуклой по второму аргументу. Теорема 4. Существует управление $\lambda^{*}\in \Lambda$, оптимальное в задаче (5.3). Доказательство. Мы воспользуемся стандартным результатом (см. [4; теорема 2.1]) о полунепрерывности снизу интегрального функционала с интегрантом вида $f\colon X\times Y\to \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. В указанной теореме предполагается, что $X$ – сепарабельное банахово пространство. В нашем случае пространство $ (\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d}),\|\,{\cdot}\,\|_{K})$ сепарабельно1, но не банахово. Поэтому рассмотрим его пополнение $\overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})}$ и определим $ \overline f\colon \overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})}\times \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ формулой
$$
\begin{equation*}
\overline f(\eta,u) := \begin{cases} f(\eta,u), & \eta\in \mathcal{M}_{R}, \quad u\in U, \\ +\infty & \text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы считаем, что $\vartheta\in \mathcal{M}_{r}$ и $R$, зависящее от $r$, определено, как при доказательстве теоремы 1. Очевидно, что $\overline f$ секвенциально полунепрерывно снизу, ограничено снизу и выпукло по второму аргументу, а следовательно, удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1 из [4]. Теперь, учитывая компактность множества $\Lambda$ в топологии $\sigma(L^{\infty},L^{1})$ и непрерывность $\lambda \mapsto \mu_{(\cdot)}[\lambda,\vartheta]$ как отображения из $\Lambda$ в $C([0,T]; \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d}))$, мы можем применить теорему Вейерштрасса и убедиться в существовании оптимального $\lambda^{*}$. Теорема доказана. 5.3. Формула Троттера для произведенияПусть операторы $V$ и $G$ удовлетворяют гипотезам $\mathbf{(H_1)}$–$\mathbf{(H_4)}$ и не зависят от $t$ и $\lambda$. Рассмотрим на $\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})$ следующие три полугруппы: полугруппу $S^{1}_{t}$ решений уравнения $\partial_{t}\mu_{t}+\nabla\cdot(V(\mu_{t})\mu_{t})=0$; полугруппу $S^{2}_{t}$ решений уравнения $\partial_{t}\mu_{t}=G(\mu_{t})$; полугруппу $S_{t}$ решений уравнения $ \partial_{t}\mu_{t}+\nabla\cdot(V(\mu_{t})\mu_{t})=G(\mu_{t})$. Все три полугруппы корректно определены согласно теореме 1. Теорема 5. Для любого $t\in [0,T]$ и $\vartheta\in \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})$ справедливо равенство предел в котором берется по норме $\|\cdot\|_{K}$. Доказательство. Рассмотрим на $[0,2T]$ управляемую систему
$$
\begin{equation*}
\partial_{t}\mu_{t}+\nabla\cdot(\lambda(t)V(\mu_{t})\mu_{t})=(1-\lambda(t))G(\mu_{t}), \qquad \lambda\in\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda$ – семейство измеримых функций $\lambda \colon [0,2T]\to[0,1]$, снабженное топологией $\sigma(L^{\infty},L^{1})$. Операторы $V_{\lambda}(t,\eta)=\lambda(t)V(\eta)$ и $G_{\lambda}(t,\lambda)=(1-\lambda(t))G(\eta)$, очевидно, удовлетворяют гипотезам $\mathbf{(H_1)}$–$\mathbf{(H_4)}$ (см. примеры 5, 6). Следовательно, в силу теоремы 1 отображение $\lambda\mapsto\mu_{t}[\lambda,\vartheta]$ непрерывно для всех $t\in [0,2T]$ и $\vartheta\in \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})$. Зафиксируем $t$ и положим
$$
\begin{equation*}
\lambda_{n}(s) := \begin{cases} 0, & s\in \biggl[0,\dfrac tn\biggr]\cup\biggl[\dfrac{2t}{n},\dfrac{3t}{n}\biggr] \cup\dots\cup\biggl[\dfrac{(2n-2)t}n,(2n-1)t\biggr], \\ 1, & s\in \biggl[\dfrac{t}{n},\dfrac{2t}{n}\biggr]\cup\biggl[\dfrac{3t}{n},\dfrac{4t}{n}\biggr] \cup\dots\cup\biggl[\dfrac{(2n-1)t}{n},2t\biggr], \end{cases} \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mu_{2t}[\lambda_{n},\vartheta]=(S^{1}_{t/n}\circ S^{2}_{t/n})^{n}\vartheta$. Поскольку $\lambda_{n}\to1/2$ в $\sigma(L^{\infty},L^{1})$, получаем $\lim_{n\to\infty}\mu_{2t}[\lambda_{n},\vartheta]=\mu_{2t}[1/2,\vartheta]=S_{t}\vartheta$. Теорема доказана. Соотношение (5.4) представляет собой так называемую формулу Троттера для произведения (см. [30]), обобщающую классический экспоненциальный закон $\exp(x\,{+}\,y)=\exp(x)\exp(y)$ на полугруппы операторов, порожденных векторным полем и источником. Подобные результаты широко применяются в теории дифференциальных уравнений при построении так называемого операторного разложения (operator splitting). 5.4. Многозначные векторные поля и источникиЗаметим, что параметризованное поле и источник есть частные случаи многозначного поля и источника
$$
\begin{equation*}
\mathbf V(t,\eta)=\bigl\{V_{\lambda}(t,\eta)\colon \lambda \in \Lambda\bigr\}, \qquad \mathbf G(t,\eta)=\bigl\{G_{\lambda}(t,\eta)\colon \lambda \in \Lambda\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отвлечемся теперь от отображений, заданных параметризацией, и рассмотрим произвольные многозначные отображения
$$
\begin{equation*}
\mathbf V\colon [0,T]\times \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d) \rightrightarrows C_{0}(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d), \qquad \mathbf G\colon [0,T]\times \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d)\rightrightarrows \mathcal{M}^1(\mathbb{R}^d),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие следующим условиям.
По аналогии со статьей [7] рассмотрим включение
$$
\begin{equation}
\partial_{t}\mu_{t}\in -\nabla\cdot(\mathbf V(t,\mu_{t})\mu_{t})+\mathbf G(t,\mu_{t})
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
и назовем его решением кривую $\mu\colon [0,T]\to\mathcal M^{1}(\mathbb{R}^{d})$, удовлетворяющую уравнению
$$
\begin{equation*}
\partial_{t}\mu_{t}+\nabla\cdot (\mathbf v_{t}\mu_{t}) =\nu_{t}
\end{equation*}
\notag
$$
с такими $\mathbf v$ и $\nu$, что $\mathbf v_{t}\in \mathbf V(t,\mu_{t})$ и $\nu_{t}\in \mathbf G(t,\mu_{t})$ для п.в. $t\in [0,T]$. Теорема 6. В рамках предположений $\mathbf{(\widetilde H_1)}$–$\mathbf{(\widetilde H_4)}$ для любого $ \vartheta \in \mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})$ существует решение включения (5.5) с начальным условием $\mu_{0}=\vartheta$. Для доказательства воспользуемся известными результатами многозначного анализа (см. [32; теорема 1.5.36], [33; теорема 2.4], [29; утверждение 2.2]), собранными в следующем утверждении. Утверждение 10. Пусть $X$ – банахово, $Y$ – сепарабельное банахово пространство, $\mathcal K$ – компактное подмножество $C([0,T];X)$, $F\colon [0,T]\times X\rightrightarrows Y$ – многозначное отображение с компактными значениями, удовлетворяющее условиям: Тогда существует непрерывное отображение $f\colon \mathcal K\to L^{1}([0,T];Y)$ такое, что для любого $x(\cdot)\in \mathcal K$ включение имеет место при п.в. $t\in [0,T]$.Поскольку пространство $(\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d}),\|\cdot\|_{K})$ не является банаховым, мы не можем применить данное утверждение к отображениям $\mathbf V $ и $\mathbf G$ напрямую. Поэтому, как и при изучении задачи оптимального управления, рассмотрим пополнение $ \overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})}$ и расширенные многозначные отображения
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf V}\colon [0,T]\times \overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})} \to C_{0}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d}), \qquad \overline{\mathbf G}\colon [0,T]\times \overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})} \to \overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})},
\end{equation*}
\notag
$$
определенные равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\mathbf V}(t,\eta) := \begin{cases} \mathbf V(t,\eta), & \eta \in \mathcal{M}_{R}, \\ \mathcal V_{R} & \text{в противном случае}, \end{cases} \\ \overline{\mathbf G}(t,\eta) := \begin{cases} \mathbf G(t,\eta), & \eta \in \mathcal{M}_{R}, \\ \mathcal{M}_{C(1+2R)} & \text{в противном случае}. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $R$ – число, определенное при доказательстве теоремы 1, $L_{R}$ – константа из предположения $\mathbf{(\widetilde H_3)}$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal V_{R} :=\bigl\{v\in C(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d})\colon \|v\|_{\infty}\leqslant C(1+R),\ \operatorname{Lip}(v)\leqslant L_{R},\ \operatorname{spt} v\subset L_{R}B_{1}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $\overline{\mathbf V}$ и $\overline{\mathbf G}$ удовлетворяют всем условиям утверждения 10. В качестве множества $\mathcal K$ выберем
$$
\begin{equation*}
\mathcal K :=\bigl\{\mu\in \mathcal{X}\colon \operatorname{Lip}(\mu)\leqslant C(1+r)(1+R)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal X$ определено формулой (3.3). Теперь утверждение 10 гарантирует существование непрерывных отображений $\mathbf v\colon \mathcal K\to L^{1}([0,T];C_{0}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d}))$ и $\mathbf g \colon \mathcal K\to L^{1}([0,T];\overline{\mathcal{M}^{1}(\mathbb{R}^{d})})$ таких, что для всякого $ \mu\in \mathcal K$
$$
\begin{equation*}
\mathbf v(\mu)_{t}\in \mathbf V(t,\mu_{t}), \qquad \mathbf g(\mu)_{t}\in \mathbf G(t,\mu_{t})
\end{equation*}
\notag
$$
при п.в. $t\in [0,T]$. Из $\mathbf{(\widetilde H_3)}$, $\mathbf{(\widetilde H_4)}$ и утверждения 3 вытекает, что отображение
$$
\begin{equation*}
\mathscr F(\mu):=\mathscr T(\vartheta, \mathbf v(\mu),\mathbf g(\mu))
\end{equation*}
\notag
$$
переводит выпуклое компактное множество $\mathcal K\subset C([0,T];\mathcal{M}_{R})$ в себя, а из утверждения 2 следует его непрерывность. Теперь теорема Шаудера позволяет заключить, что у $\mathscr F$ есть неподвижная точка, которая по построению является решением включения (5.5) с начальным условием $\mu_{0}=\vartheta$. Утверждение 10 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PogSta22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|