| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О локальном и граничном поведении обратных отображений на римановых многообразиях Д. П. Ильюткоa, Е. А. Севостьяновbc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Zhytomyr Ivan Franko State University, Zhytomyr, Ukraine c Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine, Slavyansk, Ukraine
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9511 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеКак известно, локальное поведение квазиконформных отображений и отображений с конечным искажением является важнейшим объектом современного анализа. Необходимо отметить значительное число публикаций различных авторов по этому поводу (см., например, [1]–[15], а также [16] и [17]). Основное внимание в настоящей работе уделяется отображениям, обратные к которым имеют конечное искажение “в некотором смысле”. Следует отметить, что класс квазиконформных отображений совпадает с классом отображений, обратных к ним. (В некоторых случаях определение квазиконформных отображений дается таким образом, чтобы совпадение этих классов вытекало из определения (см., например, [15; определение 13.1]). В самом деле, определим квазиконформное отображение $f\colon D\to {\mathbb{R}}^n$ как гомеоморфизм, удовлетворяющий условию где $M$ – модуль семейств кривых $\Gamma\subset D$, а $K\geqslant 1$ – некоторая (конечная) постоянная. Тогда обратное отображение $f^{-1}\colon f(D)\to D$ также квазиконформно, поскольку в этом случае $f^{-1}$ – гомеоморфизм, удовлетворяющий условию
$$
\begin{equation*}
M(f^{-1}(\Gamma_*))\leqslant K^{n-1}\cdot M(\Gamma_*)
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [15; теоремы 34.3 и 34.4]). Таким образом, перейдя к обратному отображению, мы не вышли за пределы изучаемого класса. В более сложных ситуациях, когда искажение модуля семейств кривых при отображении не обязательно ограниченное, переход к обратным отображениям может уже не обладать указанным свойством. При этом свойства обратных гомеоморфизмов по отношению к отображениям исходного семейства могут существенно “испортиться”. Ниже по тексту рассматривается один из подобных примеров, когда семейство отображений $f_m$ имеет интегрируемую мажоранту, отвечающую за искажение модуля, а обратное к нему семейство $g_m=f_m^{-1}$, $m=1,2,\dots $, – не имеет. Всюду далее мы считаем известными основные понятия, касающиеся римановых многообразий, включая понятие длины и объема, нормальной окрестности точки и т.п. (см., например, [16]). Мы также считаем известными определение модуля $M(\Gamma)$ семейств кривых $\Gamma$, включая понятие допустимой функции $\rho\in\operatorname{adm}\Gamma$. Пусть ${\mathbb{M}}^n$ и ${\mathbb{M}}_*^n$ – римановы многообразия размерности $n$ с геодезическими расстояниями $d$ и $d_*$ соответственно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B(\mathbf{x}_0, r)=\bigl\{\mathbf{x}\in{\mathbb{M}}^n\mid d(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<r\bigr\}, \qquad S(\mathbf{x}_0,r)=\bigl\{\mathbf{x}\in{\mathbb{M}}^n\mid d(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)=r\bigr\}, \\ A=A(\mathbf{x}_0, r_1, r_2)=\bigl\{\mathbf{x}\in {\mathbb{M}}^n\mid r_1<d(\mathbf{x}, \mathbf{x}_0)<r_2\bigr\}, \qquad 0<r_1<r_2<r_0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$dv(\mathbf{x})$ и $dv_*(\mathbf{x})$ – меры объема на ${\mathbb{M}}^n$ и ${\mathbb{M}}_*^n$ соответственно (см. [16]). Пусть $\mathbf{x}_0\in D$, $Q\colon D\to [0,\infty]$ – измеримая относительно меры $v$ функция и число $r_0>0$ таково, что шар $B(\mathbf{x}_0, r_0)$ лежит вместе со своим замыканием в некоторой нормальной окрестности $U$ точки $\mathbf{x}_0$. Пусть также $S_i=S(\mathbf{x}_0,r_i)$, $i=1,2$, – геодезические сферы с центром в точке $\mathbf{x}_0$ и радиусов $r_1$ и $r_2$. Для множеств $E$, $F$ и $G$ в ${\mathbb{M}}^n$ через $\Gamma(E, F, G)$ обозначаем семейство всех кривых $\gamma\colon[a,b]\to{\mathbb{M}}^n$, соединяющих множества $E$ и $F$ в $G$, другими словами, $\gamma(a)\in E$, $\gamma(b)\in F$ и $\gamma(t)\in G$ при $t\in(a,b)$. Определим изучаемый класс отображений следующим образом. Отображение $f\colon D\to {\mathbb{M}}_*^n$ условимся называть кольцевым $Q$-отображением в точке $\mathbf{x}_0\in\overline{D}$, если соотношение
$$
\begin{equation}
M(f(\Gamma(S_1,S_2,D)))\ \leqslant \int_{A\cap D} Q(\mathbf{x})\cdot \eta^n(d(\mathbf{x}, \mathbf{x}_0))\,dv(\mathbf{x})
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
выполнено в кольце $A$ для произвольных $r_1,r_2$, указанных выше, и для каждой такой измеримой функции $\eta\colon(r_1,r_2)\to[0,\infty ]$, что Сформулируем теперь пример, иллюстрирующий отличие гомеоморфизмов с условием (1.1) от обратных к ним отображений. Положим для простоты ${\mathbb{M}}^n={\mathbb{M}}_*^n={\mathbb{R}}^n$, $D={\mathbb{B}}^n:=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid |\mathbf{x}|<1\}$, и пусть $\mathfrak{F}_Q(D)$ – семейство гомеоморфизмов $f\colon D\to \mathbb R^n$, удовлетворяющих условию (1.1) при некоторой измеримой по Лебегу функции $Q\colon{\mathbb{B}}^n\to[0, \infty]$ в каждой точке $\mathbf{x}_0\in D$. Зафиксируем произвольным образом число $\alpha\in (0, n/(n-1))$ и положим
$$
\begin{equation*}
g_m(\mathbf{x}) =\begin{cases} \dfrac{1+|\mathbf{x}|^{\alpha}}{|\mathbf{x}|}\cdot \mathbf{x}, & \dfrac1m\leqslant |\mathbf{x}|\leqslant 1, \\ \dfrac{1+(1/m)^{\alpha}}{1/m}\cdot \mathbf{x}, & 0\leqslant |\mathbf{x}|< \dfrac1m, \end{cases} \qquad m=1,2,\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что отображения $g_m$ удовлетворяют соотношению (1.1) в каждой точке $\mathbf{x}_0\in {\mathbb{B}}^n$ при
$$
\begin{equation*}
Q(\mathbf{x})=\biggl(\dfrac{1+|\mathbf{x}|^{\alpha}}{\alpha|\mathbf{x}|^{\alpha}}\biggr)^{n-1}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [14; доказательство теоремы 8]). Прямым подсчетом можно убедиться, что $Q\in L^1({\mathbb{B}}^n)$, поэтому $g_m\in\mathfrak{F}_Q({\mathbb{B}}^n)$ при каждом фиксированном $m\in{\mathbb{N}}$. С другой стороны, путем непосредственных вычислений можно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_m(\mathbf{y}):=g^{-1}_m(\mathbf{y})= \begin{cases} \dfrac{\mathbf{y}}{|\mathbf{y}|}(|\mathbf{y}|-1)^{1/\alpha}, & 1+\dfrac1{m^{\alpha}}\leqslant|\mathbf{y}|< 2, \\ \dfrac{1/m}{1+(1/m)^{\alpha}}\cdot \mathbf{y}, & 0<|\mathbf{y}|<1+\dfrac{1}{m^{\alpha}}, \end{cases} \qquad m=1,2,\dots, \\ f_m\colon B(0, 2)\to\mathbb{B}^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $K_I(\mathbf{x}, f)$ – внутренняя дилатация отображения $f$ в точке $\mathbf{x}$ (см. [8; соотношение (1.16)], а также [14; соотношение (45)]). Тогда на основании подхода, изложенного при рассмотрении предложения 6.3 в [8] (см. также доказательство теоремы 7 в [14]), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
K_I(\mathbf{y}, f_m)= \begin{cases} \dfrac{|\mathbf{y}|}{\alpha(|\mathbf{y}|-1)}, & 1+\dfrac{1}{m^{\alpha}}\leqslant|\mathbf{y}|< 2, \\ 1, & 0<|\mathbf{y}|< 1+\dfrac{1}{m^{\alpha}}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему Фубини, мы будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{B(0, 2)}K_I(\mathbf{y}, f_m)\,dm(\mathbf{y}) \geqslant \int_{1+1/m^{\alpha}<|\mathbf{y}|<2}K_I(\mathbf{y}, f_m)\,dm(\mathbf{y}) \\ &\qquad=\frac{1}{\alpha}\int_{1+1/m^{\alpha}<|\mathbf{y}|<2} \frac{|\mathbf{y}|}{|\mathbf{y}|-1}\, dm(\mathbf{y}) =\frac{\omega_{n-1}}{\alpha}\int_{1+1/m^{\alpha}}^2\frac{r^n}{r-1}\,dr\to\infty \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
при $m\to\infty$, где, как обычно, $\omega_{n-1}$ – площадь единичной сферы в ${\mathbb{R}}^n$. Заметим, что отображения $f_m$ не могут удовлетворять соотношению (1.1) ни с какой интегрируемой функцией $Q(\mathbf{y})$. В самом деле, согласно [13; утверждение 1.3] $K_I(\mathbf{y},f_m)\leqslant c_n\,{\cdot}\, Q(\mathbf{y})$ при почти всех $\mathbf{y}\in B(0, 2)$, где $c_n>0$ – некоторая положительная постоянная. Поэтому если бы $Q(\mathbf{y})$ была интегрируема, то $K_I(\mathbf{y}, f_m)$ была бы ограничена в $L^1({\mathbb{B}}^n)$, что противоречит соотношению (1.3). Таким образом, $g_m$ принадлежит $\mathfrak{F}_Q({\mathbb{B}}^n)$ при некоторой интегрируемой в ${\mathbb{B}}^n$ функции $Q$, в то же время $g^{-1}_m$ не принадлежит $\mathfrak{F}_Q(B(0, 2))$ ни для какой суммируемой $Q$ в $B(0,2)=g_m({\mathbb{B}}^n)$. Отсюда следует, что вопрос об изучении отображений в (1.1) не редуцируется к изучению соответствующих им обратных отображений, и наоборот, как только функция $Q$ неограничена в $D$. Нетрудно убедиться, что семейство отображений $f_m$ равностепенно непрерывно в $B(0, 2)$ и даже в $\overline{B(0, 2)}$, хотя семейство отображений $g_m$ не является таковым. Более того, равностепенная непрерывность семейства $f_m$ есть некий частный случай более общих фундаментальных фактов, устанавливаемых ниже (см. теоремы 1.1 и 1.2). Наши дальнейшие исследования относятся к отображениям, обратным к (1.1). Мы постараемся охватить наиболее общий случай, относящийся к римановым многообразиям, учитывая более ранние результаты второго автора [18]–[20]. Рассмотрим некоторые определения. Напомним, что область $D\subset{\mathbb{R}}^n$ называется локально связной в точке $\mathbf{x}_0\in\partial D$, если для любой окрестности $U$ точки $\mathbf{x}_0$ найдется такая окрестность $V\subset U$ этой точки, что $V\cap D$ связно. Область $D$ локально связна на $\partial D$, если $D$ локально связна в каждой точке $\mathbf{x}_0\in\partial D$. Граница области $D$ называется слабо плоской в точке $\mathbf{x}_0\in \partial D$, если для каждого $P>0$ и для любой окрестности $U$ точки $\mathbf{x}_0$ найдется такая окрестность $V\subset U$ этой точки, что $M(\Gamma(E, F, D))>P$ для произвольных континуумов $E, F\subset D$, пересекающих $\partial U$ и $\partial V$. Граница области $D$ называется слабо плоской, если соответствующее свойство выполнено в каждой точке границы $D$. Пусть $(X,d)$ и $(X',{d}')$ – метрические пространства с расстояниями $d$ и ${d}'$ соответственно. Семейство $\mathfrak{F}$ отображений $f\colon X\to {X}'$ называется равностепенно непрерывным в точке $\mathbf{x}_0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что ${d}'(f(\mathbf{x}),f(\mathbf{x}_0))<\varepsilon$ для всех таких $\mathbf{x}\in X$, что $d(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<\delta$, и для всех $f\in \mathfrak{F}$. Говорят, что $\mathfrak{F}$ равностепенно непрерывно, если $\mathfrak{F}$ равностепенно непрерывно в каждой точке $\mathbf{x}_0\in X$. Пусть $D_*$ – область в ${\mathbb{M}}_*^n$, $n\geqslant 2$. Здесь и далее равностепенная непрерывность для семейства отображений $\mathfrak{F}=\{f\colon D_*\to {\mathbb{M}}^n\}$ либо $\mathfrak{F}=\{f\colon \overline{D_*}\to {\mathbb{M}}^n\}$ понимается в смысле геодезических расстояний $d_*$ и $d$ на ${\mathbb{M}}_*^n$ и ${\mathbb{M}}^n$ соответственно. Для областей $D\subset {\mathbb{M}}^n$, $D_*\subset {\mathbb{M}}_*^n$, $n\geqslant 2$, и произвольной измеримой относительно меры объема $v$ функции $Q\colon{\mathbb{M}}^n\to [0, \infty]$, $Q(\mathbf{x})\equiv 0$ при $\mathbf{x}\not\in D$, обозначим через ${\mathfrak R}_Q(D, D_*)$ семейство всех гомеоморфизмов $g\colon D_*\to {\mathbb{M}}^n$, $g(D_*)=D$, для которых $f=g^{-1}$ – гомеоморфизм, удовлетворяющий условию (1.1) в каждой точке $\mathbf{x}_0\in D$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.1. Предположим, что $\overline{D}$ и $\overline{D_*}$ – компакты в ${\mathbb{M}}^n$ и ${\mathbb{M}}_*^n$ соответственно, при этом $\overline{D}\ne{\mathbb{M}}^n$ и многообразие ${\mathbb{M}}^n$ является связным. Если $Q\in L^1(D)$, то семейство ${\mathfrak R}_Q(D, D_*)$ равностепенно непрерывно в $D_*$. У теоремы 1.1 имеется версия не только для внутренних, но и граничных точек области $D$. В этом случае на класс отображений ${\mathfrak R}_Q(D, D_*)$ должны быть наложены некоторые дополнительные ограничения (см. пример 4.1). В связи с этим рассмотрим следующее определение. Для числа $\delta>0$, областей $D\subset {\mathbb{M}}^n$, $D_*\subset {\mathbb{M}}_*^n$, $n\geqslant 2$, континуума $A\subset D$ и произвольной измеримой относительно меры объема $v$ функции $Q\colon{\mathbb{M}}^n\to [0, \infty]$, $Q(\mathbf{x})\equiv 0$ при $\mathbf{x}\not\in D$, обозначим через ${\mathfrak S}_{\delta, A,Q}(D, D_*)$ семейство всех отображений $g\colon D_*\to D$ таких, что $f=g^{-1}$ – гомеоморфизм области $D$ на $D_*$ с условием (1.1) в каждой точке $\mathbf{x}_0\in \overline{D}$, при этом $d_*(f(A))\geqslant\delta$, где
$$
\begin{equation*}
d_*(f(A)):=\sup_{\mathbf{x}, \mathbf{y}\in f(A)}d_*(\mathbf{x}, \mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.2. Предположим, что область $D$ локально связна во всех граничных точках, $\overline{D}$ и $\overline{D_*}$ – компакты в ${\mathbb{M}}^n$ и ${\mathbb{M}}_*^n$ соответственно, $\overline{D}\ne {\mathbb{M}}^n$, многообразие ${\mathbb{M}}^n$ является связным, а область $D_*$ имеет слабо плоскую границу. Предположим также, что любая компонента связности $\partial D_*$ есть невырожденный континуум. Если $Q\in L^1(D)$, то каждое отображение $g\in {\mathfrak S}_{\delta,A,Q }(D,D_*)$ продолжается по непрерывности до отображения $\overline{g}\colon\overline{D_*}\to \overline{D}$, $\overline{g}|_{D_*}=g$, при этом $\overline{g}(\overline{D_*})=\overline{D}$ и семейство ${\mathfrak S}_{\delta, A, Q }(\overline{D}, \overline{D_*})$, состоящее из всех продолженных отображений $\overline{g}\colon\overline{D_*}\to \overline{D}$, равностепенно непрерывно в $\overline{D_*}$. § 2. Равностепенная непрерывность отображений во внутренних точкахВсюду далее мы сохраняем обозначения для сфер $S(\mathbf{x}_0,r)$ и шаров $B(\mathbf{x}_0, r)$ в пространстве ${\mathbb{R}}^n$, принятых выше для римановых многообразий. Если невозможно недоразумение, то мы также обозначаем модуль семейств кривых в ${\mathbb{R}}^n$ символом $M(\Gamma)$. Для множеств $A$ и $B\subset {\mathbb{M}}^n$ полагаем
$$
\begin{equation*}
d(A,B):=\inf_{\mathbf{x}\in A,\,\mathbf{y}\in B}d(\mathbf{x},\mathbf{y}), \qquad d(A):=\sup_{\mathbf{x}, \mathbf{y}\in A}d(\mathbf{x},\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $I$ – открытый, замкнутый или полуоткрытый интервал в $\mathbb{R}$. Как обычно, для кривой $\gamma\colon I\to{\mathbb{M}}^n$ полагаем $|\gamma|=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{M}}^n\mid \exists\, t\in [a,b]\colon\gamma(t)=\mathbf{x}\}$, при этом $|\gamma|$ называется носителем (образом) кривой $\gamma$. Будем говорить, что кривая $\gamma$ лежит в области $D$, если $|\gamma|\subset D$, кроме того, будем говорить, что кривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не пересекаются, если не пересекаются их носители. Кривая $\gamma\colon I\to {\mathbb{M}}^n$ называется жордановой дугой или просто дугой, если $\gamma$ – гомеоморфизм на $I$. Установим, прежде всего, справедливость следующего результата. Лемма 2.1. Пусть $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ – четыре различные точки области $D$ риманова многообразия ${\mathbb{M}}^n$, $n\geqslant 2$. Тогда найдутся не пересекающиеся между собой жордановы дуги $\gamma_1\colon[0,1]\to D$ и $\gamma_2\colon[0, 1]\to D$ такие, что $\gamma_1(0)=\mathbf{a}$, $\gamma_1(1)=\mathbf{b}$, $\gamma_2(0)=\mathbf{c}$ и $\gamma_2(1)=\mathbf{d}$. Доказательство. Если $n\geqslant 3$, соединим точки $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ произвольной жордановой дугой $\gamma_1$ в области $D$, не проходящей через точки $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$. Тогда $\gamma_1$ не разбивает область $D$ как множество топологической размерности $1$ (см. [21; гл. IV, следствие 1.5]), что и обеспечивает существование искомой кривой $\gamma_2$. Таким образом, в случае $n\geqslant 3$ утверждение леммы 2.1 установлено. Пусть теперь $n=2$. Зафиксируем произвольную точку $\mathbf{x}_0\in D$ и некоторую нормальную окрестность $U_0$ точки $\mathbf{x}_0$ такую, что $\partial U_0\ne\varnothing$. Пусть $(\varphi_2, U_0)$ – нормальные координаты точки $\mathbf{x}_0$, и пусть $0<r_0<d(\mathbf{x}_0,\partial U_0)$. По определению нормальной окрестности геодезический круг $B(\mathbf{x}_0, r_0)$ отображается при отображении $\varphi_2$ на евклидов круг $B(0,r_0):=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2\mid |\mathbf{x}|<r_0\}$. Положим $F:=\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}\}$. Ввиду [22; гл. 5, лемма 2.6] найдется гомеоморфизм $\varphi_1$ области $D$ на себя такой, что $\varphi_1(F)\subset B(\mathbf{x}_0,r_0)$. Пусть также $\varphi_3\colon B(0,r_0)\to\mathbb{R}^2$ – некоторый гомеоморфизм круга $B(0,r_0)\subset \mathbb{R}^2$ на плоскость $\mathbb{R}^2$. Обозначим $h:=\varphi_3\circ\varphi_2\circ\varphi_1$. Точки $\widetilde{\mathbf{a}}=h(\mathbf{a})$, $\widetilde{\mathbf{b}}=h(\mathbf{b})$, $\widetilde{\mathbf{c}}=h(\mathbf{c})$ и $\widetilde{\mathbf{d}}=h(\mathbf{d})$ лежат в плоскости ${\mathbb{R}}^2$. Очевидно, существует жорданова кривая $\widetilde{\gamma_1}$, соединяющая точки $\widetilde{\mathbf{a}}$ и $\widetilde{\mathbf{b}}$ в ${\mathbb{R}}^2$ и не проходящая через точки $\widetilde{\mathbf{c}}$ и $\widetilde{\mathbf{d}}$. Ввиду [23; гл. II, теорема 5.2] найдется кривая $\widetilde{\gamma_2}$, соединяющая точки $\widetilde{\mathbf{c}}$ и $\widetilde{\mathbf{d}}$ в ${\mathbb{R}}^2$ и не пересекающая $\widetilde{\gamma_1}$. В таком случае положим $\gamma_1:=h^{-1}(\widetilde{\gamma_1})$ и $\gamma_2:=h^{-1}(\widetilde{\gamma_2})$. Заметим, что кривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не пересекаются, соединяют точки $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$, $\mathbf{d}$ соответственно и лежат в области $D$. Лемма доказана. Следующая лемма содержит в себе утверждение о том, что во внутренних точках произвольной области $D$ свойство “слабой плоскости” всегда имеет место (см. также [15; теорема 10.12]). Лемма 2.2. Пусть $D$ – область в ${\mathbb{M}}^n$, $n\geqslant 2$, и $\mathbf{x}_0\in D$. Тогда существует окрестность $U_0\subset D$ точки $\mathbf{x}_0$, относительно которой выполнено следующее условие: для каждого $P>0$ и для любой окрестности $U\subset U_0$ точки $\mathbf{x}_0$ найдется такая окрестность $V\subset U$ этой же точки, что $M(\Gamma(E,F,D))>P$ для произвольных континуумов $E$, $F\subset D$, пересекающих $\partial U$ и $\partial V$. Доказательство. Пусть $U_0$ – нормальная окрестность точки $\mathbf{x}_0$, а $(U_0,\varphi)$ – соответствующие нормальные координаты. Пусть $U\subset U_0$ – произвольная окрестность точки $\mathbf{x}_0$, лежащая в $U_0$, и $\varepsilon_0>0$ таково, что $B(\mathbf{x}_0,\varepsilon_0)\subset U$. По определению $\varphi\colon B(\mathbf{x}_0, \varepsilon_0)\to {\mathbb{R}}^n$ – гомеоморфизм шара $B(\mathbf{x}_0, \varepsilon_0)\subset D$ на шар $B(0,\varepsilon_0):=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid |\mathbf{x}|<\varepsilon_0\}$. Зафиксируем $P>0$. Пусть $c_n$ – положительная постоянная, определенная в соотношении (10.11) в [15], а число $\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$ настолько мало, что $c_n\cdot\log({\varepsilon_0}/{\varepsilon})>P$. Положим $\widetilde{U}=\varphi(U)$ и $\widetilde{V}:=B(0, \varepsilon)=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid |\mathbf{x}|<\varepsilon\}$. Пусть, кроме того, $V:=\varphi^{-1}(\widetilde{V})$. Пусть $E$, $F$ – произвольные континуумы, пересекающие $\partial U$ и $\partial V$, тогда также $\varphi(E)$ и $\varphi(F)$ пересекают $S(0, \varepsilon_0)$ и $S(0, \varepsilon)$ (см. [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]). На основании [15; п. 10.12] получаем где $A=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n\mid \varepsilon<|\mathbf{y}|<\varepsilon_0\}$. Так как в нормальных координатах $(\varphi, U)$ тензорная матрица $g_{ij}(\mathbf{x})$ близка к единичной, отсюда следует, что где $\widetilde{c}_n>0$ – некоторая положительная постоянная и $\widetilde{A}=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{M}}^n\mid \varepsilon<d(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<\varepsilon_0\}$. Доказательство леммы завершено, так как $P>0$ произвольно. Доказательство теоремы 1.1. Проведем доказательство от противного. Предположим, что семейство $\mathfrak{R}_Q(D, D_*)$ не является равностепенно непрерывным в некоторой точке $\mathbf{y}_0\in D_*$. Тогда найдется $\varepsilon_0>0$, для которого выполнено следующее условие: для любого $m\in {\mathbb{N}}$ существуют элемент $\mathbf{y}_m\in D_*$, $d_*(\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_0)<1/m$, и гомеоморфизм $g_m\in\mathfrak{R}_Q(D, D_*)$ такие, что
$$
\begin{equation}
d(g_m(\mathbf{y}_m), g_m(\mathbf{y}_0))\geqslant \varepsilon_0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Поскольку по условию $\overline{D}$ является компактом, мы можем считать, что последовательности $g_m(\mathbf{y}_m)$ и $g_m(\mathbf{y}_0)$ сходятся при $m\to\infty$ к точкам $\overline{\mathbf{x}_1}, \overline{\mathbf{x}_2}\in\overline{D}$ соответственно. В силу неравенства (2.1) по непрерывности метрики $d(\overline{\mathbf{x}_1}, \overline{\mathbf{x}_2})\geqslant\varepsilon_0$. Из условия теоремы вытекает, что область $D$ содержит не менее двух точек границы. В самом деле, по условию $\overline{D}\ne\mathbb{M}^n$, поэтому найдется точка $\mathbf{z}_0\in\mathbb{M}^n\setminus\overline{D}$. По условию многообразие ${\mathbb{M}}^n$ является связным, поэтому точки $\mathbf{z}_0$ и $\mathbf{x}_0$ могут быть соединены кривой в ${\mathbb{M}}^n$. Каждая такая кривая пересекает $\partial D$ ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1], поэтому $\partial D\ne\varnothing$. Заметим, что граница области $D$ является множеством, содержащим бесконечное множество точек, так как конечное (или даже счетное) множество не разбивает ${\mathbb{M}}^n$; см. [21; гл. IV, следствие 1.5]. Пусть $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in \partial D$ – две различные точки, не совпадающие ни с $\overline{\mathbf{x}_1}$, ни с $\overline{\mathbf{x}_2}$. По лемме 2.1 мы можем соединить точки $\mathbf{x}_1$ и $\overline{\mathbf{x}_1}$, а также точки $\mathbf{x}_2$ и $\overline{\mathbf{x}_2}$ непересекающимися кривыми $\gamma_1\colon[1/2, 1]\to{\mathbb{M}}^n$ и $\gamma_2\colon[1/2,1]\to{\mathbb{M}}^n$ соответственно. Пусть $R_1>0$ такое, что $\overline{B(\overline{\mathbf{x}_1}, R_1)}\cap |\gamma_2|=\varnothing$, и пусть $R_2>0$ таково, что
$$
\begin{equation*}
(\overline{B(\overline{\mathbf{x}_1},R_1)}\cup|\gamma_1|) \cap\overline{B(\overline{\mathbf{x}_2},R_2)}=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку инфинитезимальные шары на многообразии связны, мы можем считать, что $B(\overline{\mathbf{x}_1},r)$ и $B(\overline{\mathbf{x}_2},r)$ – линейно связные множества при всяком $r\in[0,\max\{R_1,R_2\}]$. Мы также можем считать, что $g_m(\mathbf{y}_m)\in B(\overline{\mathbf{x}_1}, R_1)$ и $g_m(\mathbf{y}_0)\in B(\overline{\mathbf{x}_2},R_2)$ при всех $m\geqslant 1$. Соединим точки $g_m(\mathbf{y}_m)$ и $\overline{\mathbf{x}_1}$ кривой $\alpha^{*}_m\colon[0, 1/2]\to B(\overline{\mathbf{x}_1},R_1)$, а точку $g_m(\mathbf{y}_0)$ соединим с точкой $\overline{\mathbf{x}_2}$ кривой $\beta^{*}_m\colon[0, 1/2]\to B(\overline{\mathbf{x}_2}, R_2)$ (рис. 1).
Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\alpha_m(t)= \begin{cases} \alpha^*_m(t), & t\in \biggl[0, \dfrac12\biggr], \\ \gamma_1(t), & t\in \biggl[\dfrac12, 1\biggr], \end{cases} \qquad \beta_m(t)= \begin{cases} \beta^*_m(t), & t\in \biggl[0, \dfrac12\biggr], \\ \gamma_2(t), & t\in \biggl[\dfrac12, 1\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению множества
$$
\begin{equation*}
A_1:=|\gamma_1|\cup \overline{B(\overline{\mathbf{x}_1},R_1)}, \qquad A_2:=|\gamma_2|\cup \overline{B(\overline{\mathbf{x}_2}, R_2)}
\end{equation*}
\notag
$$
не пересекаются, в частности, найдется такое $\varepsilon_1>0$, что Покроем множество $A_1$ шарами $B(\mathbf{x}, \varepsilon_1/4)$, $\mathbf{x}\in A_1$, где $\varepsilon_1$ – число из соотношения (2.2). Заметим, что $|\gamma_1|$ является компактом в ${\mathbb{M}}^n$ как непрерывный образ компактного множества $[1/2, 1]$ при отображении $\gamma_1$. Тогда по лемме Гейне–Бореля–Лебега найдется конечное подпокрытие $\bigcup_{i=1}^pB(\mathbf{x}_i, \varepsilon_1/4)$ множества $A_1$, т.е.
$$
\begin{equation}
A_1\subset \bigcup_{i=1}^pB\biggl(\mathbf{x}_i,\frac{\varepsilon_1}4\biggr), \qquad 1\leqslant p<\infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Не ограничивая общности, можно считать, что в (2.3) все элементы $\mathbf{x}_i$ принадлежат области $D$. В самом деле, если для некоторого $i\in {\mathbb{N}}$ это не так, то по неравенству треугольника мы можем подобрать $\mathbf{x}^{*}_i\in D$ и $\varepsilon_1/4<\varepsilon_*<\varepsilon_1/2$ таким образом, что $B(\mathbf{x}_i, \varepsilon_1/4)\subset B(\mathbf{x}^{*}_i, \varepsilon_*)$. В таком случае шар $B(\mathbf{x}_i,\varepsilon_1/4)$ в (2.3) можно заменить шаром $B(\mathbf{x}^{*}_i, \varepsilon_*)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
t_m=\sup_{t\in [0, 1]}\bigl\{t\mid \alpha_m(t)\in D\bigr\}, \qquad s_m=\sup_{t\in [0, 1]}\bigl\{t\mid \beta_m(t)\in D\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $\alpha_m(t_m)\in\partial D$ и $\beta_m(s_m)\in\partial D$. Положим
$$
\begin{equation*}
\theta_m=\alpha_m|_{[0, t_m)}, \qquad \Delta_m=\beta_m|_{[0,s_m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $f_m:=g_m^{-1}$. Поскольку $C(f,\partial D)\subset\partial D_*$, где
$$
\begin{equation*}
C(f,\partial D)=\bigl\{\mathbf{y}\in {\mathbb{M}}_*^n\mid \exists\,\mathbf{x}_0\in\partial D,\, \mathbf{x}_k\in D\colon \mathbf{x}_k\stackrel{d}\to\mathbf{x}_0,\, f(\mathbf{x}_k)\stackrel{d_*}\to \mathbf{y},\, k\to\infty\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного гомеоморфизма $f$ области $D$ на область $D_*$ (см. [8; предложение 13.5]), то найдутся последовательности точек $\mathbf{z}^1_m\in |\theta_m|$ и $\mathbf{z}^2_m\in |\Delta_m|$ таких, что $d_*(f_m(\mathbf{z}^1_m), \partial D_*)<1/m$ и $d_*(f_m(\mathbf{z}^2_m),\partial D_*)<1/m$. Так как $\overline{D_*}$ – компакт, то можно считать, что $f_m(\mathbf{z}^1_m)\to \mathbf{p}_1\in \partial D_*$ и $f_m(\mathbf{z}^2_m)\to\mathbf{p}_2\in \partial D_*$ при $m\to\infty$. Пусть $P_m$ – часть носителя кривой $\theta_m$ в ${\mathbb{M}}^n$, расположенная между точками $g_m(\mathbf{y}_m)$ и $\mathbf{z}^1_m$, а $Q_m$ – часть носителя кривой $\Delta_m$ в ${\mathbb{M}}^n$, расположенная между точками $g_m(\mathbf{y}_0)$ и $\mathbf{z}^2_m$. По построению $P_m\subset A_1$ и $Q_m\subset A_2$. Положим $\Gamma_m:=\Gamma(P_m, Q_m, D)$. Тогда на основании (2.2) и (2.3), а также учитывая [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1], имеем где $\Gamma_{im}$ определено как семейство тех и только тех кривых $\gamma\colon[0,1]\to D$, для которых $\gamma(0)\in S(\mathbf{x}_i,\varepsilon_1/4)$, $\gamma(1)\in S(\mathbf{x}_i,\varepsilon_1/2)$ и, кроме того, $\gamma(t)\in A(\mathbf{x}_i,\varepsilon_1/4,\varepsilon_1/2)$ при $0<t<1$. Напомним, что для семейств кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ в $\mathbb{M}^n$ мы пишем $\Gamma_1>\Gamma_2$ тогда и только тогда, когда каждая кривая $\gamma_1\in \Gamma_1$ имеет подкривую $\gamma_2\in \Gamma_2$, т.е. если $\gamma_1\colon[a,b]\to\mathbb{M}^n$, то $\gamma_2\colon[c,d]\to\mathbb{M}^n$, где $[c, d]\subset [a, b]$ и $\gamma_2(t)=\gamma_1(t)$ при $t\in [c, d]$. Отметим, что в зависимости от того, какие именно кривые содержатся в семействах $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, область определения кривых $\gamma_1$ и $\gamma_2$ может быть также интервалом или полуинтервалом.В соответствии с определением кольцевого $Q$-отображения в точке $\mathbf{x}_i$ рассмотрим “допустимую” функцию $\eta$ для семейства $\Gamma_{im}$, определенную равенством
$$
\begin{equation*}
\eta(t)= \begin{cases} \dfrac{4}{\varepsilon_1}, & t\in \biggl(\dfrac{\varepsilon_1}4, \dfrac{\varepsilon_1}2\biggr), \\ 0, & t\in {\mathbb{R}}\setminus \biggl(\dfrac{\varepsilon_1}4,\dfrac{\varepsilon_1}2\biggr). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\eta$ удовлетворяет соотношению (1.2) при $r_1=\varepsilon_1/4$ и $r_2=\varepsilon_1/2$. Поскольку по условию $Q\in L^1(D)$, то по определению кольцевого $Q$-отображения в точках $\mathbf{x}_i$ с учетом сказанного выше и ввиду (2.4) мы получим, что
$$
\begin{equation}
M(f_m(\Gamma_m))\leqslant \frac{p4^n}{\varepsilon^n_1}\cdot\| Q\|_1<\infty,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\| Q\|_1$ – норма функции $Q$ в $L^1(D)$. Дальнейшие рассуждения связаны со “слабой плоскостью” внутренних точек области $D_*$ (см. лемму 2.2). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_*(f_m(P_m))\geqslant d_*(\mathbf{y}_m, f_m(\mathbf{z}^1_m))\geqslant \frac12\,d_*(\mathbf{y}_0,\mathbf{p}_1)>0, \\ d_*(f_m(Q_m))\geqslant d_*(\mathbf{y}_0,f_m(\mathbf{z}^2_m))\geqslant \frac12\, d_*(\mathbf{y}_0,\mathbf{p}_2)>0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
кроме того,
$$
\begin{equation*}
d_*(f_m(P_m), f_m(Q_m))\leqslant d_*(\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_0)\to 0, \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ввиду леммы 2.2
$$
\begin{equation*}
M(f_m(\Gamma_m))=M(\Gamma(f_m(P_m), f_m(Q_m), D_*))\to\infty, \qquad m\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит соотношению (2.5). Полученное противоречие указывает на ошибочность предположения в (2.1), что и завершает доказательство теоремы 1.1. § 3. Равностепенная непрерывность отображений в замыкании областиСледующее важнейшее утверждение в случае пространства ${\mathbb{R}}^n$ доказано в [25; лемма 2.2]. Лемма 3.1. Предположим, что $D\subset {\mathbb{M}}^n$, $n\geqslant 2$, – область, локально связная на $\partial D$. Если $U$ – окрестность континуума $E_0\subset {\overline{D}}$, то найдется такая окрестность $V\subset U$ континуума $E_0$, что $V\,{\cap}\, D$ – линейно связное множество. Доказательство. Будем следовать схеме доказательства леммы 2.2 из [25]. Поскольку $E_0$ – континуум, а $D$ локально связна на $\partial D$, найдутся конечное число номеров $1, 2, \dots, m$ и соответствующие окрестности $V_1, V_2,\dots,V_m\subset U$ некоторых точек $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_m\in E_0$ такие, что $W_j:=V_j\cap D$ – связное множество при каждом $j=1,2,\dots, m$, $V:=V_1\cup V_2\cup\dots\cup V_m\subset U$ и $V$ – окрестность $E_0$. Не ограничивая общности, можно считать, что $V_i$ – открытые множества при каждом $i=1,2,\dots,m$. Покажем, что $W:=V\cap D$ – связное множество. Предположим противное; тогда ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 2] найдутся два открытых не пересекающихся множества $G$ и $H\subset {\mathbb{M}}^n$ таких, что $W=G\cup H$, $G\cap W\ne\varnothing\ne H\cap W$. Не ограничивая общности, можно считать, что $G=\bigcup_{i=1}^kW_i$ и $H=\bigcup_{i=k+1}^mW_i$, $1\leqslant k<m$. Поскольку $E_0\subset \overline{W}\subset\overline{G}\cup\overline{H}$ и $E_0$ – континуум, при этом $E_0=(E_0\cap\overline{G})\cup (E_0\cap\overline{H})$, то $E_0\cap\overline{G}\cap\overline{H}\ne\varnothing$, что вытекает из определения связности для множества $E_0$ (см. [24; гл. 5, § 46, п. I]). В таком случае найдутся $1\leqslant i\leqslant k$ и $k<j\leqslant m$ такие, что $E_0\cap\overline{W_i}\cap\overline{W_j}\ne\varnothing$. Пусть $\mathbf{x}_0\in E_0\cap\overline{W_i}\cap\overline{W_j}$. Поскольку $V$ – окрестность $E_0$, найдутся $p\in {\mathbb{N}}$, $1\leqslant p\leqslant m$, и число $\varepsilon_0>0$ такие, что $B(\mathbf{x}_0, \varepsilon_0)\subset V_p$. Поскольку $\mathbf{x}_0\in E_0\cap\overline{W_i}$, найдется $\mathbf{z}_1\in W_i\cap B(\mathbf{x}_0, \varepsilon_0)\subset W_i\cap V_p\subset W_i\cap W_p$. Аналогично найдется $\mathbf{z}_2\in W_j\cap W_p$, следовательно, $W_i\cap W_p\ne\varnothing\ne W_j\cap W_p$. Значит, $G\cap H\ne\varnothing$, что противоречит сделанному выше предположению. Полученное противоречие указывает на связность множества $W:=V\cap D$. В таком случае $W$ линейно связно ввиду [8; предложение 13.1]. Лемма доказана. Следующее утверждение относится к “достаточно хорошим” областям римановых многообразий и состоит в том, что в указанных областях образ фиксированного континуума при отображениях с условием (1.1), диаметр которого ограничен снизу, отстоит от границы на фиксированное расстояние (см. также [15; теоремы 21.13 и 21.14]). Отметим, что приводимое ниже утверждение в некоторых частных случаях устанавливалось ранее в [18; § 5, лемма 2)], [19; лемма 4.1] и [20; лемма 4.1]. Лемма 3.2. Предположим, область $D$ локально связна на $\partial D$, $\overline{D}$ и $\overline{D_*}$ – компакты в ${\mathbb{M}}^n$ и ${\mathbb{M}}_*^n$ соответственно, $n\geqslant 2$, $\overline{D}\ne {\mathbb{M}}^n$, $D_*$ имеет слабо плоскую границу, $Q\in L^1(D)$ и никакая связная компонента множества $\partial D_*$ не вырождается в точку. Пусть $f_m\colon D\to D_*$ – последовательность гомеоморфизмов области $D$ на область $D_*$ с условием (1.1) в каждой точке $\mathbf{x}_0\in D$. Пусть также найдутся континуум $A\subset D$ и число $\delta>0$ такие, что при всех $m=1,2,\dots $ . Тогда найдется такое $\delta_1>0$, что Доказательство. Прежде всего заметим, что в условиях леммы 3.2 заведомо $\partial D_*\ne\varnothing$, так что формулировка леммы 3.2 является корректной. В самом деле, по условию $\overline{D}\ne {\mathbb{M}}^n$, поэтому найдется точка $\mathbf{z}_0\in {\mathbb{M}}^n\setminus\overline{D}$. По условию многообразие ${\mathbb{M}}^n$ является связным, поэтому точка $\mathbf{z}_0$ и некоторая точка $\mathbf{x}_0\in D$ могут быть соединены кривой в ${\mathbb{M}}^n$. Каждая такая кривая пересекает $\partial D$ ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1], поэтому $\partial D\ne\varnothing$. Пусть $\mathbf{p}_0\in\partial D$, и пусть $\mathbf{p}_k\in D$, $\mathbf{p}_k\to\mathbf{p}_0$ при $k\to\infty$. Заметим, что последовательность $f_1(\mathbf{p}_k)$ имеет сходящуюся подпоследовательность $f_1(\mathbf{p}_{k_l})\stackrel{l\to\infty}\to\widetilde{\mathbf{p}_0}\in\partial D_*$, так как по условию $\overline{D_*}$ – компакт в ${\mathbb{M}}^n_*$, кроме того, $C(f_1,\partial D)\subset \partial D_*$ (см. [8; предложение 13.5]). Таким образом, величина $\delta_1$ в (3.1) определена корректно, и мы можем непосредственно приступить к доказательству леммы 3.2. Предположим противное, а именно, что утверждение леммы не имеет места. Тогда для каждого $k\in {\mathbb{N}}$ найдется такое $m=m_k\in\mathbb N$, что $d_*(f_{m_k}(A), \partial D_*)< 1/k$. Без ограничения общности мы можем считать последовательность $m_k$ монотонно возрастающей по $k=1,2,\dots $ . По условию $\overline{D_*}$ является компактом, поэтому и $\partial D_*$ – также компакт как замкнутое подмножество компакта $\overline{D_*}$. Кроме того, $f_{m_k}(A)$ – компакт как непрерывный образ компакта $A$ при отображении $f_{m_k}$. Тогда найдутся такие $\mathbf{x}_k\in f_{m_k}(A)$ и $\mathbf{y}_k\in\partial D_*$, что
$$
\begin{equation*}
d_*(f_{m_k}(A),\partial D_*)=d_*(\mathbf{x}_k, \mathbf{y}_k)<\frac1k
\end{equation*}
\notag
$$
(рис. 2). Так как $\partial D_*$ – компакт, можно считать, что $\mathbf{y}_k\to \mathbf{y}_0\in \partial D_*$ при $k\to \infty$. Тогда также
$$
\begin{equation*}
\mathbf{x}_k\to \mathbf{y}_0\in \partial D_*, \qquad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $K_0$ – связная компонента $\partial D_*$, содержащая точку $\mathbf{y}_0$. Тогда, очевидно, $K_0$ – континуум в $\mathbb M_*^n$. Поскольку по условию $D_*$ имеет слабо плоскую границу, при каждом $k\in {\mathbb{N}}$ отображение $g_{m_k}:=f_{m_k}^{-1}$ продолжается до непрерывного отображения $\overline{g}_{m_k}\colon\overline{D_*}\to \overline{D}$ (см. [26; теорема 1]). Более того, $\overline{g}_{m_k}$ равномерно непрерывно на $\overline{D_*}$ как отображение, непрерывное на компакте. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta_k=\delta_k(\varepsilon)<1/k$, что
$$
\begin{equation}
d(\overline{g}_{m_k}(\mathbf{x}), \overline{g}_{m_k}(\mathbf{x}_0))<\varepsilon \quad \forall\,\mathbf{x},\mathbf{x}_0\in \overline{D_*}: \quad d_*(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<\delta_k, \quad \delta_k<\frac1k.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть далее $\varepsilon>0$ – произвольное число с условием где $A$ – континуум из условия леммы. При каждом фиксированном $k\in {\mathbb{N}}$ рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
B_k:=\bigcup_{\mathbf{x}_0\in K_0}B(\mathbf{x}_0, \delta_k), \qquad k\in {\mathbb{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $B_k$ – открытое множество, содержащее $K_0$, другими словами, $B_k$ – некоторая окрестность континуума $K_0$. Заметим, что область $D_*$ локально связна на $\partial D_*$ (см. [8; лемма 13.1]). Тогда по лемме 3.1 существует такая окрестность $U_k\subset B_k$ континуума $K_0$, что $U_k\cap D_*$ связно. Не ограничивая общности, можно считать, что $U_k$ – открытое множество, тогда $U_k\cap D_*$ также линейно связно (см. [8; предложение 13.1]). Пусть $d_*(K_0)=m_0$, тогда найдутся такие $\mathbf{z}_0,\mathbf{w}_0\in K_0$, что $d_*(K_0)=d_*(\mathbf{z}_0, \mathbf{w}_0)=m_0$. Следовательно, можно выбрать последовательности $\overline{\mathbf{y}_k}\in U_k\cap D_*$, $\mathbf{z}_k\in U_k\cap D_*$ и $\mathbf{w}_k\in U_k\cap D_*$ так, что $\mathbf{z}_k\to \mathbf{z}_0$, $\overline{\mathbf{y}_k}\to \mathbf{y}_0$ и $\mathbf{w}_k\to \mathbf{w}_0$ при $k\to\infty$. Можно считать, что
$$
\begin{equation}
d_*(\mathbf{z}_k ,\mathbf{w}_k)>\frac{m_0}2 \quad \forall\,k\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Соединим последовательно точки $\mathbf{z}_k$, $\overline{\mathbf{y}_k}$ и $\mathbf{w}_k$ кривой $\gamma_k$ в $U_k\cap D_*$ (это возможно, поскольку $U_k\cap D_*$ линейно связно). Пусть $|\gamma_k|$ – как обычно, носитель (образ) кривой $\gamma_k$ в $D_*$. Тогда $g_{m_k}(|\gamma_k|)$ – компакт в $D$. Пусть $\mathbf{x}\in|\gamma_k|$. Тогда найдется такой элемент $\mathbf{x}_0\in K_0$, что $\mathbf{x}\in B(\mathbf{x}_0,\delta_k)$. Зафиксируем $\omega\in A\subset D$. Поскольку $\mathbf{x}\in|\gamma_k|$, то $\mathbf{x}$ – внутренняя точка области $D_*$, так что мы вправе писать $g_{m_k}(\mathbf{x})$ вместо $\overline{g}_{m_k}(\mathbf{x})$ для указанных $\mathbf{x}$. В таком случае из (3.2) и (3.3) ввиду неравенства треугольника для больших $k\in {\mathbb{N}}$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d(g_{m_k}(\mathbf{x}), \omega) &\geqslant d(\omega,\overline{g}_{m_k}(\mathbf{x}_0)) -d(\overline{g}_{m_k}(\mathbf{x}_0),g_{m_k}(\mathbf{x})) \\ &\geqslant d(\partial D, A)-\frac12 d(\partial D, A)=\frac12 d(\partial D, A)>\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Переходя в (3.5) к $\inf$ по всем $\mathbf{x}\in |\gamma_k|$ и всем $\omega\in A$, мы получим
$$
\begin{equation}
d(g_{m_k}(|\gamma_k|), A)>\varepsilon \quad\forall\,k=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Покроем континуум $A$ шарами $B(\mathbf{x}, \varepsilon/4)$, $\mathbf{x}\in A$. Поскольку $A$ – континуум, мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
A\subset \bigcup_{i=1}^{M_0}B\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{\varepsilon}4\biggr),\qquad \mathbf{x}_i\in A,\quad i=1,2,\dots, M_0,\quad 1\leqslant M_0<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Исходя из определения $M_0$ зависит только от $A$, в частности, $M_0$ не зависит от $k$. Положим Заметим, что где $\Gamma_{ki}$ состоит из тех и только тех кривых $\gamma\colon[0,1]\to D$ семейства $\Gamma_k$, для которых $\gamma(0)\in B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/4)$ и $\gamma(1)\in g_{m_k}(|\gamma_k|)$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\Gamma_{ki}>\Gamma\biggl(S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{\varepsilon}4\biggr), S\biggl(\mathbf{x}_i,\frac{\varepsilon}2\biggr), D\biggr).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В самом деле, пусть $\gamma\in \Gamma_{ki}$, т.е. $\gamma\colon[0,1]\to D$, $\gamma(0)\in B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/4)$ и $\gamma(1)\in g_{m_k}(|\gamma_k|)$. Согласно (3.6) $|\gamma|\cap B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/4)\ne\varnothing\ne|\gamma|\cap (D\setminus B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/4))$. Следовательно, ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1] существует такое $0<t_1<1$, что $\gamma(t_1)\in S(\mathbf{x}_i,\varepsilon/4)$. Мы можем считать, что $\gamma(t)\not\in B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/4)$ при $t>t_1$. Положим $\gamma_1:=\gamma|_{[t_1, 1]}$. По (3.6) $|\gamma_1|\cap B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/2)\ne\varnothing\ne |\gamma_1|\cap (D\setminus B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/2))$. Тогда снова по [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1] существует такое $t_1<t_2<1$, что $\gamma(t_2)\in S(\mathbf{x}_i,\varepsilon/2)$. Мы можем считать, что $\gamma(t)\in B(\mathbf{x}_i, \varepsilon/2)$ при всех $t<t_2$. Полагаем $\gamma_2:=\gamma|_{[t_1, t_2]}$. Таким образом, $\gamma_2$ является подкривой кривой $\gamma$ и принадлежит семейству $\Gamma(S(\mathbf{x}_i,\varepsilon/4),S(\mathbf{x}_i,\varepsilon/2),D)$. Следовательно, соотношение (3.8) установлено. Положим
$$
\begin{equation*}
\eta(t)= \begin{cases} \dfrac4\varepsilon, & t\in \biggl[\dfrac\varepsilon4,\dfrac\varepsilon2\biggr], \\ 0, & t\not\in \biggl[\dfrac\varepsilon4,\dfrac\varepsilon2\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\eta$ удовлетворяет условию (1.2) при $r_1=\varepsilon/4$, $r_2=\varepsilon/2$. Тогда по определению кольцевого $Q$-гомеоморфизма в точке $\mathbf{x}_i$ имеем
$$
\begin{equation}
M\biggl(f_{m_k}\biggl(\Gamma\biggl(S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac\varepsilon4\biggr), S\biggl(\mathbf{x}_i,\frac\varepsilon2\biggr)\biggr), D\biggr)\biggr) \leqslant \biggl(\frac4\varepsilon\biggr)^n\cdot\|Q\|_1<c<\infty,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $c$ – некоторая положительная постоянная и $\| Q\|_1$ – $L_1$-норма функции $Q$ в $D$. Из (3.7), (3.8) и (3.9), используя полуаддитивность модуля, получаем, что
$$
\begin{equation}
M(f_{m_k}(\Gamma_k))\leqslant\frac{4^nM_0}{\varepsilon^n}\int_DQ(\mathbf{x})\,dm(\mathbf{x}) =c=c(\varepsilon,Q)<\infty.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Покажем теперь, что мы приходим к противоречию с (3.10) ввиду слабой плоскости границы $\partial D_*$. Выберем в точке $\mathbf{y}_0\in\partial D_*$ шар $U:=B(\mathbf{y}_0, r_0)$, где $r_0>0$ и $r_0<\min\{\delta/4, m_0/4\}$, $\delta$ – число из условия леммы, а $d_*(K_0)=m_0$. Заметим, что $|\gamma_k|\cap U\ne\varnothing\ne|\gamma_k|\cap (D_*\setminus U)$ при достаточно больших $k\in\mathbb N$, поскольку $d_*(|\gamma_k|)\geqslant m_0/2>m_0/4$ и $\overline{\mathbf{y}_k}\in |\gamma_k|$, $\overline{\mathbf{y}_k}\to \mathbf{y}_0$ при $k\to\infty$. Ввиду тех же соображений $f_{m_k}(A)\cap U\ne\varnothing\ne f_{m_k}(A)\cap (D_*\setminus U)$. Так как $|\gamma_k|$ и $f_{m_k}(A)$ – континуумы, то
$$
\begin{equation}
f_{m_k}(A)\cap \partial U\ne\varnothing, \qquad|\gamma_k|\cap\partial U\ne\varnothing;
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
см. [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]. Для числа $c>0$ из (3.10) пусть далее $V\subset U$ – окрестность точки $\mathbf{y}_0$, соответствующая определению слабо плоской границы, т.е. такая, что для любых континуумов $E, F\subset D_*$ с условиями $E\cap\partial U\ne\varnothing\ne E\cap \partial V$ и $F\cap \partial U\ne\varnothing\ne F\cap \partial V$ выполнено неравенство Заметим, что при достаточно больших $k\in {\mathbb{N}}$ имеем
$$
\begin{equation}
f_{m_k}(A)\cap \partial V\ne\varnothing, \qquad|\gamma_k|\cap\partial V\ne\varnothing.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В самом деле, $\overline{\mathbf{y}_k}\in |\gamma_k|$, $\mathbf{x}_k\in f_{m_k}(A)$, где $\mathbf{x}_k,\overline{\mathbf{y}_k}\to \mathbf{y}_0\in V$ при $k\to\infty$, поэтому $|\gamma_k|\cap V\ne\varnothing\ne f_{m_k}(A)\cap V$ при больших $k\in {\mathbb{N}}$. Кроме того, $d_*(V)\leqslant d_*(U)=2r_0<m_0/2$, и поскольку $d_*(|\gamma_k|)>m_0/2$ ввиду (3.4), то $|\gamma_k|\cap(D_*\setminus V)\ne \varnothing$. Тогда $|\gamma_k|\cap\partial V\ne\varnothing$ (см. [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]). Аналогично $d_*(V)\leqslant d_*(U)=2r_0<\delta/2$, и поскольку $d_*(f_{m_k}(A))>\delta$ по условию леммы, то получаем $f_{m_k}(A)\cap (D_*\setminus V)\ne\varnothing$. Ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1] имеем $f_{m_k}(A)\cap\partial V\ne \varnothing$. Соотношения в (3.13) установлены. Таким образом, согласно (3.11)–(3.13) мы получим Заметим, что $\Gamma(f_{m_k}(A), |\gamma_k|, D_*)=f_{m_k}(\Gamma(A,g_{m_k}(|\gamma_k|), D))=f_{m_k}(\Gamma_k)$, так что неравенство (3.14) может быть переписано в виде
$$
\begin{equation*}
M(\Gamma(f_{m_k}(A), g_{m_k}(|\gamma_k|), D))=M(f_{m_k}(\Gamma_k))>c,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит неравенству (3.10). Полученное противоречие указывает на ошибочность изначального предположения $d_*(f_{m_k}(A),\partial D_*)<1/k$. Лемма 3.2 доказана. Докажем еще одно весьма важное утверждение; см. [19; предложение 2.1]. Лемма 3.3. Пусть $\mathbf{a},\mathbf{c}\in D$, $\mathbf{b},\mathbf{d}\in \overline{D}$ – четыре различные точки связного риманова многообразия ${\mathbb{M}}^n$, $n\geqslant 2$. Предположим, что $D$ является локально связной на $\partial D$. Тогда найдутся не пересекающиеся между собой жордановы дуги $\gamma_1\colon[0,1]\to \overline{D}$ и $\gamma_2\colon[0, 1]\to \overline{D}$ такие, что $\gamma_i(t)\in D$ при $t\in [0,1)$, $i=1,2$, при этом $\gamma_1(0)=\mathbf{a}$, $\gamma_1(1)=\mathbf{b}$, $\gamma_2(0)=\mathbf{c}$ и $\gamma_2(1)=\mathbf{d}$. Доказательство. Если $n\geqslant 3$, соединим точки $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ произвольной жордановой дугой $\gamma_1$ в области $D$, не проходящей через точки $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ (что возможно ввиду локальной связности $D$ на границе и путем отбрасывания счетного числа петель кривой, если это необходимо; см. [8; предложение 13.2]). Тогда $\gamma_1$ не разбивает область $D$ как множество топологической размерности 1 (см. [21; гл. IV, следствие 1.5]), что и обеспечивает на основании [8; предложение 13.2] существование искомой кривой $\gamma_2$. Таким образом, в случае $n\geqslant 3$ утверждение леммы 2.1 можно считать установленным. Пусть теперь $n=2$. Выберем произвольным образом нормальную окрестность $U\subset {\mathbb{M}}^2$ и такую жорданову дугу $\alpha\colon[0,1]\to{\mathbb{M}}^2$, лежащую в этой окрестности, что в некоторых локальных координатах $(U,\varphi)$ кривая $\alpha$ является отрезком
$$
\begin{equation*}
I=I(t)=(t, 0), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1, \quad \varphi(\alpha(t))=I(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $D$ локально связна на $\partial D$, мы можем соединить точки $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ жордановой дугой $\alpha_0\colon[0, 1]\to\overline{D}$ так, что $\alpha_0(0)=\mathbf{a}$, $\alpha_0(1)=\mathbf{b}$ и $\alpha_0(t)\in D$ при $t\in [0,1)$ (см. [8; предложение 13.2]). Переходя, если нужно, к ломаным, а затем сглаживая кривую в точках излома, мы можем считать, что $\alpha_0|_{(0, 1)}$ – гладкая кривая. Тогда $|\alpha_0|$ – гладкое подмногообразие многообразия ${\mathbb{M}}^2$ ввиду [22; гл. 1, теорема 3.1], и, значит, в силу [22; гл. 8, теоремы 1.3 и 3.1] существует гомеоморфизм $\varphi_0\colon{\mathbb{M}}^2\to {\mathbb{M}}^2$ многообразия ${\mathbb{M}}^2$ на себя, переводящий $|\alpha_0|$ в $|\alpha|$. Соединим теперь точки $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ такой жордановой дугой $\beta\colon[0,1]\to\overline{D}$, что $\beta(0)=\mathbf{c}$, $\beta(1)=\mathbf{d}$ и $\beta(t)\in D$ при $t\in [0,1)$ (что возможно ввиду [8; предложение 13.2]). Если $\alpha_0$ и $\beta$ не пересекаются, утверждение леммы доказано. Допустим теперь, что $\alpha_0$ и $\beta$ пересекаются. Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau_1=\min\{t\in [0, 1]\mid \alpha_0(t)\cap|\beta|\ne\varnothing\}, \qquad \tau_2=\max\{t\in [0, 1]\mid \alpha_0(t)\cap|\beta|\ne\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\varepsilon>0$ настолько малым, чтобы для прямоугольника $P_{\varepsilon}=\{\mathbf{x}=(x^1,x^2)\in\mathbb{R}^2\mid -\varepsilon<x^1<\tau_2+\varepsilon,\,-\varepsilon<x^2<\varepsilon\}$, содержащего отрезок $I|_{[0, \tau_2]}$, было верно $\overline{P_{\varepsilon}}\subset \varphi(\varphi_0(D))$ (рис. 3). Если хотя бы одна из точек, $\mathbf{c}$ или $\mathbf{d}$, лежит в $\varphi_0^{-1}(U)$, то, уменьшая при необходимости число $\varepsilon$, можно считать, что элементы $\varphi(\varphi_0(\mathbf{c}))$ и $\varphi(\varphi_0(\mathbf{d}))$ не лежат в $\overline{P_{\varepsilon}}$. Пусть $t_1$ и $t_2$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
t_1=\min\{t\in [0,1]\mid \beta(t)\cap |\alpha_0|\ne\varnothing\}, \qquad t_2=\max\{t\in [0,1]\mid \beta(t)\cap |\alpha_0|\ne\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Не ограничивая общности, мы можем считать, что кривая лежит в $U$ при всех $t\in[t_1,t_2]$. Положим, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T_1:=\sup\bigl\{t\in [0,t_1]\mid \beta^{*}(t)\in \partial \varphi^{-1}(P_{\varepsilon})\bigr\}, \\ T_2:=\inf\bigl\{t\in [t_2, 1]\mid \beta^{*}(t)\in \partial \varphi^{-1}(P_{\varepsilon})\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $T_1$ и $T_2$ определены корректно, поскольку $|\beta^{*}|\cap \varphi^{-1}(P_{\varepsilon})\ne\varnothing\ne|\beta^{*}|\cap ({\mathbb{M}}^n\setminus\varphi^{-1}(P_{\varepsilon}))$; см. [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]. Заметим также, что $\varphi(\beta^{*}(T_1))$ и $\varphi(\beta^{*}(T_2))$ принадлежат $\partial P_{\varepsilon}\setminus \{\mathbf{z}_0\}$, $\mathbf{z}_0:=(\tau_2+\varepsilon, 0)$. Более того, $\partial P_{\varepsilon}\setminus \{\mathbf{z}_0\}$ является линейно связным множеством, целиком принадлежащим $\varphi(\varphi_0(D))$, поэтому точки $\varphi(\beta^{*}(T_1))$ и $\varphi(\beta^{*}(T_2))$ могут быть соединены некоторой кривой $\gamma\colon[T_1,T_2]\to\partial P_{\varepsilon}\setminus \{\mathbf{z}_0\}$. Кривая $\gamma$ по построению не пересекает отрезок $I$. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\gamma_1(t)=\alpha_0(t), \qquad \gamma_2(t)=\begin{cases} \beta(t), & t\in [0, 1]\setminus [T_1,T_2], \\ \varphi_0^{-1}(\varphi^{-1}(\gamma(t))), & t\in [T_1,T_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются искомыми кривыми, так как они соединяют соответствующие точки на соответствующем множестве и не пересекаются. Лемма 3.3 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Зафиксируем $g\in {\mathfrak S}_{\delta, A,Q }(D, D_*)$. Поскольку $D_*$ имеет слабо плоскую границу, $g$ продолжается до непрерывного отображения $\overline{g}\colon\overline{D_*}\to \overline{D}$ (см. [27; теорема 3], а также [8; теорема 4.6]). Проверим равенство $\overline{g}(\overline{D_*})=\overline{D}$. В самом деле, по определению $\overline{g}(\overline{D_*})\subset\overline{D}$. Осталось доказать обратное включение $\overline{D}\subset\overline{g}(\overline{D_*})$. Зафиксируем $\mathbf{x}_0\in\overline{D}$. Покажем, что $\mathbf{x}_0\in\overline{g}(\overline{D_*})$. Если $\mathbf{x}_0\in \overline{D}$, то либо $\mathbf{x}_0\in D$, либо $\mathbf{x}_0\in \partial D$. Если $\mathbf{x}_0\in D$, доказывать нечего, поскольку по предположению $\overline{g}(D_*)=D$. Пусть теперь $\mathbf{x}_0\in \partial D$. Тогда найдутся такие $\mathbf{x}_k\in D$ и $\mathbf{y}_k\in D_*$, что $\mathbf{x}_k=\overline{g}(\mathbf{y}_k)$ и $\mathbf{x}_k\to \mathbf{x}_0$ при $k\to\infty$. Поскольку $\overline{D_*}$ – компакт, мы можем предположить, что $\mathbf{y}_k\to \mathbf{y}_0\in \overline{D_*}$ при $k\to\infty$. Поскольку $f=g^{-1}$ – гомеоморфизм, то $\mathbf{y}_0\in\partial D_*$. Поскольку $\overline{g}$ непрерывно в $\overline{D_*}$, то $\overline{g}(\mathbf{y}_k)\to \overline{g}(\mathbf{y}_0)$. Однако в этом случае $\overline{g}(\mathbf{y}_0)=\mathbf{x}_0$, так как $\overline{g}(\mathbf{y}_k)=\mathbf{x}_k$ и $\mathbf{x}_k\to \mathbf{x}_0$ при $k\to\infty$. Следовательно, $\mathbf{x}_0\in \overline{g}(\overline{D_*})$. Включение $\overline{D}\subset \overline{g}(\overline{D_*})$ доказано. Таким образом, $\overline{D}=\overline{g}(\overline{D_*})$, что и требовалось установить. Равностепенная непрерывность семейства отображений ${\mathfrak S}_{\delta, A, Q }(\overline{D}, \overline{D_*})$ в $D_*$ есть результат теоремы 1.1. Осталось доказать равностепенную непрерывность семейства ${\mathfrak S}_{\delta, A, Q }(\overline{D},\overline{D_*})$ в граничных точках области $D_*$. Предположим противное. Тогда найдутся точка $\mathbf{z}_0\in\partial D_*$, число $\varepsilon_0>0$ и последовательности $\mathbf{z}_m\in \overline{D_*}$, $\overline{g}_m\in {\mathfrak S}_{\delta, A, Q }(\overline{D}, \overline{D_*})$ такие, что $\mathbf{z}_m\to \mathbf{z}_0$ при $m\to\infty$ и, кроме того,
$$
\begin{equation}
d(\overline{g}_m(\mathbf{z}_m),\overline{g}_m(\mathbf{z}_0))\geqslant\varepsilon_0, \qquad m=1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Положим $g_m:=\overline{g}_m|_{D_*}$. Поскольку $g_m$ продолжается по непрерывности на границу области $D_*$, мы можем считать, что $\mathbf{z}_m\in D_*$ и, следовательно, $\overline{g}_m(\mathbf{z}_m)=g_m(\mathbf{z}_m)$. Более того, найдутся последовательности $\mathbf{z}'_m\in D_*$, $\mathbf{z}'_m\to \mathbf{z}_0$ при $m\to\infty$, такие, что $d(g_m(\mathbf{z}'_m),\overline{g}_m(\mathbf{z}_0))\to 0$ при $m\to\infty$. Поскольку по условию $\overline{D}$ – компакт, мы можем считать, что $g_m(\mathbf{z}_m)$ и $\overline{g}_m(\mathbf{z}_0)$ являются сходящимися последовательностями при $m\to\infty$. Пусть $g_m(\mathbf{z}_m)\to \overline{\mathbf{x}_1}$ и $\overline{g}_m(\mathbf{z}_0)\to \overline{\mathbf{x}_2}$ при $m\to\infty$. По непрерывности геодезического расстояния в (3.15) $\overline{\mathbf{x}_1}\ne\overline{\mathbf{x}_2}$. Кроме того, поскольку гомеоморфизмы сохраняют границу, $\overline{\mathbf{x}_2}\in\partial D$. Пусть $\mathbf{x}_1$ и $\mathbf{x}_2$ – произвольные различные точки континуума $A$, ни одна из которых не совпадает с $\overline{\mathbf{x}_1}$. По лемме 3.3 мы можем соединить точки $\mathbf{x}_1$ и $\overline{\mathbf{x}_1}$ жордановой дугой $\gamma_1\colon[0, 1]\to \overline{D}$, а точки $\mathbf{x}_2$ и $\overline{\mathbf{x}_2}$ – жордановой дугой $\gamma_2\colon[0,1]\to \overline{D}$ так, что $|\gamma_1|\cap |\gamma_2|=\varnothing$, $\gamma_i(t)\in D$ при всех $t\in (0, 1)$, $i=1,2$, $\gamma_1(0)=\mathbf{x}_1$, $\gamma_1(1)=\overline{\mathbf{x}_1}$, $\gamma_2(0)=\mathbf{x}_2$ и $\gamma_2(1)=\overline{\mathbf{x}_2}$. Поскольку область $D$ локально связна на $\partial D$, то найдутся окрестности $U_1$ и $U_2$ точек $\overline{\mathbf{x}_1}$ и $\overline{\mathbf{x}_2}$, замыкания которых не пересекаются, при этом множества $W_i:=D\cap U_i$ являются линейно связными, $i=1,2$. Без ограничения общности мы можем считать, что $\overline{U_1}\subset B(\overline{\mathbf{x}_1},\delta_0)$ и
$$
\begin{equation}
\overline{B(\overline{\mathbf{x}_1},\delta_0)}\cap|\gamma_2|=\varnothing =\overline{U_2}\cap|\gamma_1|, \qquad \overline{B(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0)}\cap\overline{U_2}=\varnothing,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
${g_m(\mathbf{z}_m)\in W_1}$ и ${g_m(\mathbf{z}'_m)\in W_2}$ при всех $m\in {\mathbb{N}}$. Пусть $\mathbf{a}_1$ и $\mathbf{a}_2$ – различные точки, принадлежащие $|\gamma_1|\,{\cap}\, W_1$ и $|\gamma_2|\,{\cap}\, W_2$ соответственно. Предположим, что $t_1$, $t_2$ таковы, что ${\gamma_1(t_1)=\mathbf{a}_1}$ и ${\gamma_2(t_2)=\mathbf{a}_2}$. Соединим $\mathbf{a}_1$ и $g_m(\mathbf{z}_m)$ кривой $\alpha_m\colon[t_1, 1]\to W_1$ так, что ${\alpha_m(t_1)=\mathbf{a}_1}$ и ${\alpha_m(1)=g_m(\mathbf{z}_m)}$. Аналогично соединим $\mathbf{a}_2$ и $g_m(\mathbf{z}'_m)$ такой кривой $\beta_m\colon[t_2, 1]\to W_2$, что $\beta_m(t_2)=\mathbf{a}_2$, $\beta_m(1)=g_m(\mathbf{z}'_m)$ (рис. 4). Положим
$$
\begin{equation*}
C^1_m(t)= \begin{cases} \gamma_1(t), & t\in [0, t_1], \\ \alpha_m(t), & t\in [t_1, 1], \end{cases} \qquad C^2_m(t)= \begin{cases} \gamma_2(t), & t\in [0, t_2], \\ \beta_m(t), & t\in [t_2, 1].\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим, как обычно, через $|C^1_m|$ и $|C^2_m|$ носители кривых $C^1_m$ и $C^2_m$ соответственно. Полагая
$$
\begin{equation*}
l_0=\min\bigl\{\operatorname{dist}(|\gamma_1|,|\gamma_2|), \operatorname{dist}(|\gamma_1|, U_2)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотрим покрытие $A_0:=\bigcup_{\mathbf{x}\in|\gamma_1|}B(\mathbf{x}, l_0/4)$. Поскольку $|\gamma_1|$ – компакт, мы можем выбрать $1\leqslant N_0<\infty$ и точки $\mathbf{x}_1,\dots, \mathbf{x}_{N_0}\in |\gamma_1|$ такими, что $|\gamma_1|\subset B_0:=\bigcup_{i=1}^{N_0}B(\mathbf{x}_i,l_0/4)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|C^1_m|\subset U_1\cup |\gamma_1|\subset \overline{B(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0)}\cup \bigcup_{i=1}^{N_0}B\biggl(\mathbf{x}_i,\frac{l_0}4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Gamma_m$ – семейство кривых, соединяющих $|C^1_m|$ и $|C^2_m|$ в $D$. В таком случае где $\Gamma_{mi}$ состоит из тех и только тех кривых $\gamma\colon[0,1]\to D$, для которых $\gamma(0)\in B(\mathbf{x}_i,l_0/4)\cap |C^1_m|$ и $\gamma(1)\in |C_2^m|$ при $1\leqslant i\leqslant N_0$. Аналогично согласно определению $\Gamma_{m0}$ состоит из таких кривых $\gamma\colon[0,1]\to D$, что $\gamma(0)\in B(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0)\cap |C^1_m|$ и $\gamma(1)\in |C_2^m|$. Из (3.16) следует, что найдется такое $\sigma_0>\delta_0>0$, что
$$
\begin{equation*}
\overline{B(\overline{\mathbf{x}_1},\sigma_0)}\cap|\gamma_2|=\varnothing =\overline{U_2}\cap|\gamma_1|, \qquad \overline{B(\overline{\mathbf{x}_1}, \sigma_0)}\cap\overline{U_2}=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим также, что ввиду [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \Gamma_{m0}>\Gamma(S(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0), S(\overline{\mathbf{x}_1}, \sigma_0), A(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0, \sigma_0)), \\ \Gamma_{mi}>\Gamma\biggl(S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}4\biggr), S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}2\biggr),A\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}4, \frac{l_0}2\biggr)\biggr), \qquad 1\leqslant i\leqslant N_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
\eta(t)= \begin{cases} \dfrac{4}{l_0}, & t\in \biggl[\dfrac{l_0}4, \dfrac{l_0}2\biggr], \\ 0, & t\not\in \biggl[\dfrac{l_0}4, \dfrac{l_0}2\biggr], \end{cases} \qquad \eta_0(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sigma_0-\delta_0}, & t\in [\delta_0, \sigma_0], \\ 0, & t\not\in [\delta_0, \sigma_0], \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$f_m:=g_m^{-1}$ и учитывая (1.1), мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag M(f_m(\Gamma(S(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0), S(\overline{\mathbf{x}_1}, \sigma_0), A(\overline{\mathbf{x}_1}, \delta_0, \sigma_0)))) \leqslant \biggl(\frac{1}{\sigma_0-\delta_0}\biggr)^n\cdot\| Q\|_1<c_1<\infty, \\ M\biggl(f_m\biggl(\Gamma\biggl(S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}{4}\biggr), S\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}2\biggr),A\biggl(\mathbf{x}_i, \frac{l_0}4, \frac{l_0}2\biggr)\biggr)\biggr)\biggr) \leqslant\biggl(\frac{4}{l_0}\biggr)^n\cdot\| Q\|_1<c_2<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где $c_1$ и $c_2$ – некоторые положительные постоянные, не зависящие от $m$. Таким образом, из (3.17)–(3.19) и полуаддитивности модуля семейств кривых мы получаем
$$
\begin{equation}
M(f_m(\Gamma_m))\leqslant \biggl(4^n\frac{N_0}{l_0^n}+\biggl(\frac{1}{\sigma_0-\delta_0}\biggr)^n\biggr)\cdot \| Q\|_1:=c<\infty.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
С другой стороны, по лемме 3.2 найдется такое число $\delta_1>0$, что при каждом $m=1,2,\dots $ выполнено неравенство $d_*(f_{m}(A),\partial D_*)>\delta_1>0$. Следовательно, при некотором $M_0\in {\mathbb{N}}$ и всех $m\geqslant M_0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d_*(f_m(|C^1_m|))\geqslant d_*(\mathbf{z}_m, f_m(\mathbf{x}_1)) \geqslant \frac12 d_*(f_m(A), \partial D_*)>\frac{\delta_1}2, \\ d_*(f_m(|C^2_m|))\geqslant d_*(\mathbf{z}'_m,f_m(\mathbf{x}_2)) \geqslant \frac12 d_*(f_m(A), \partial D_*)>\frac{\delta_1}2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Положим $U:=B(\mathbf{z}_0, r_0)$, где $0<r_0<\delta_1/4$ и $\delta_1$ – число из соотношений (3.21). Заметим, что $f_m(|C^1_m|)\cap U\ne\varnothing\ne f_m(|C^1_m|)\cap (D_*\setminus U)$ для достаточно больших $m\in{\mathbb{N}}$, поскольку $d_*(f_m(|C^1_m|))\geqslant \delta_1/2$ и $\mathbf{z}_m\in f_m(|C^1_m|)$, $\mathbf{z}_m\to \mathbf{z}_0$ при $m\to\infty$. Аналогично $f_m(|C^2_m|)\cap U\ne\varnothing\ne f_m(|C^2_m|)\cap (D_*\setminus U)$. Поскольку $f_m(|C^1_m|)$ и $f_m(|C^2_m|)$ – континуумы, то
$$
\begin{equation}
f_m(|C^1_m|)\cap \partial U\ne\varnothing, \qquad f_m(|C^2_m|)\cap\partial U\ne\varnothing;
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
см., например, [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]. Поскольку $\partial D_*$ является слабо плоской, для заданного числа $P>0$ найдется такая окрестность $V\subset U$ точки $\mathbf{z}_0$, что для любых континуумов $E, F\,{\subset}\, D_*$ таких, что $E\cap \partial U\ne\varnothing\ne E\cap \partial V$ и $F\cap \partial U\ne\varnothing\ne F\cap \partial V$, выполняется неравенство Заметим, что для достаточно больших $m\in {\mathbb{N}}$
$$
\begin{equation}
f_m(|C^1_m|)\cap \partial V\ne\varnothing, \qquad f_m(|C^2_m|)\cap\partial V\ne\varnothing.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
В самом деле, пусть $\mathbf{z}_m\in f_m(|C^1_m|)$, $\mathbf{z}'_m\in f_m(|C^2_m|)$, где $\mathbf{z}_m,\mathbf{z}'_m\to \mathbf{z}_0\in V$ при $m\to\infty$. Тогда для достаточно больших $m\in\mathbb{N}$ имеем $f_m(|C^1_m|)\cap V\ne\varnothing\ne f_m(|C^2_m|)\cap V$. Заметим также, что $d_*(V)\leqslant d_*(U)\leqslant 2r_0<\delta_1/2$, кроме того, из (3.21) вытекает неравенство $d_*(f_m(|C^1_m|))\,{>}\,\delta_1/2$. Таким образом, $f_m(|C^1_m|)\cap (D_*\setminus V)\ne\varnothing$ и, следовательно, $f_m(|C^1_m|)\cap\partial V\ne\varnothing$ (см. [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1]). Аналогично $d_*(V)\leqslant d_*(U)\leqslant 2r_0<\delta_1/2$. Кроме того, из (3.21) следует, что $d_*(f_m(|C^2_m|))>\delta_1/2$ и, значит, $f_m(|C^2_m|)\cap (D_*\setminus V)\ne\varnothing$. По [24; гл. 5, § 46, п. I, теорема 1] мы имеем, что $f_m(|C^1_m|)\cap\partial V\ne\varnothing$. Соотношение (3.24) установлено. Окончательно из (3.22)–(3.24) вытекает
$$
\begin{equation*}
M(f_m(\Gamma_m))=M(\Gamma(f_m(|C^1_m|), f_m(|C^2_m|), D_*))>P,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит (3.20). Полученное противоречие опровергает предположение, сделанное в (3.15). Теорема 1.2 доказана. § 4. Некоторые примерыОграничимся случаем ${\mathbb{M}}^n={\mathbb{M}}_*^n={\mathbb{R}}^n$, $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=d_*(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$, $n\geqslant 2$. Начнем с отображений на плоскости. Пример 4.1. Как известно, дробно-линейные отображения единичного круга $\mathbb{D}\subset\mathbb{C}$ на себя задаются соотношением Например, если $\theta=0$, $\mathbf{a}=1/n$, $n=1,2,\dots$, то
$$
\begin{equation*}
f_n(\mathbf{z})=\dfrac{\mathbf{z}-1/n}{1-\mathbf{z}/n}=\dfrac{n\mathbf{z}-1}{n-\mathbf{z}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $A=[0, 1/2]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f_n(0)=-\frac1{n}\to 0,\qquad f_n\biggl(\frac12\biggr)=\frac{n-2}{2n-1}\to \frac12
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$. Следовательно, $f_n$ удовлетворяют соотношению $d_*(f_n(A))\geqslant\delta$ при $\delta= 1/4$. Заметим, что $f_n^{-1}(\mathbf{z})=\dfrac{\mathbf{z}+1/n}{1+\mathbf{z}/n}$ и, следовательно, последовательность $f_n^{-1}$ равномерно сходится к отображению $f^{-1}(\mathbf{z})\equiv \mathbf{z}$ при $n\to\infty$. Таким образом, последовательность $f_n^{-1}(\mathbf{z})$ равностепенно непрерывна в $\overline{\mathbb D}$. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
f^{-1}_n(\mathbf{z})=\dfrac{\mathbf{z}-(n-1)/n}{1-\mathbf{z}(n-1)/n} =\dfrac{n\mathbf{z}-n+1}{n-n\mathbf{z}+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $f^{-1}_n$ локально равномерно сходится к $-1$ внутри круга $\mathbb D$, в то время как $f^{-1}_n(1)=1$. Отсюда вытекает, что $f^{-1}_n$ не является равностепенно непрерывной в точке 1. В этом случае $f_n(\mathbf{z})=\dfrac{\mathbf{z}+(n-1)/n}{1+\mathbf{z}(n-1)/n}$, и условие $d_*(f_n(A))\geqslant\delta$ не может быть выполнено ни для какого $\delta>0$ в силу все той же теоремы 1.2. Попутный вывод из приведенного примера состоит в том, что в условиях теоремы 1.2 от дополнительного условия $d_*(f(A))\geqslant\delta$, участвующего в определении класса отображений ${\mathfrak S}_{\delta, A, Q}(D, D_*)$, нельзя отказаться. Пример 4.2. Пусть, как прежде, $n\geqslant 2$. Тогда для числа $p\geqslant 1$ такого, что $n/p(n-1)<1$, зафиксируем произвольным образом $\alpha\in (0, n/p(n-1))$. Определим последовательность отображений $f_m$ единичного шара ${\mathbb{B}}^n$ на шар $B(0, 2)$ следующим образом: Заметим, что отображения $f_m$ удовлетворяют в каждой точке $\mathbf{x}_0\in \overline{{\mathbb{B}}^n}$ условию (1.1) при
$$
\begin{equation*}
Q(\mathbf{x})=\biggl(\dfrac{1+|\mathbf{x}|^{\alpha}}{\alpha|\mathbf{x}|^{\alpha}}\biggr)^{n-1}\in L^1({\mathbb{B}}^n);
\end{equation*}
\notag
$$
см. рассуждения, использованные при рассмотрении примера 6.3 в [8] (см. также [28; доказательство теоремы 7.1]). По [29; лемма 4.3] $B(0, 2)$ имеет слабо плоскую границу. Заметим, что отображения $f_m$ фиксируют бесконечное число точек единичного шара при каждом $m\geqslant 2$, поэтому для них заблаговременно выполняется условие вида $d_*(f(A))\geqslant\delta$, участвующее в определении класса $\mathfrak{S}_{\delta, A, Q}(D, D_*)$ из теоремы 1.2. Тогда по теореме 1.2 семейство отображений $\mathfrak{G}=\{g_m\}_{m=1}^{\infty}$, $g_m:=f_m^{-1}$, равностепенно непрерывно в $\overline{B(0,2)}$. Заметим, что “обратное” семейство ${\mathfrak{F}}=\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ не является равностепенно непрерывным в ${\mathbb{B}}^n$, так как $|f_m(\mathbf{x}_m)-f(0)|=1+1/m^{\alpha}\not\to 0$ при $m\to\infty$, где $|\mathbf{x}_m|=1/m$. Отдельные результаты настоящей статьи, относящиеся к § 2, опубликованы в работе [30]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IlySev22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|