| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об особых компактификациях лог-Калаби–Яу моделей Ландау–Гинзбурга В. В. Пржиялковский Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9510 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и постановка задачиЗеркально двойственным объектом для гладкого многообразия Фано $X$ является так называемая модель Ландау–Гинзбурга, т.е. квазипроективное многообразие $Y$ с комплекснозначной регулярной функцией $w\colon Y\to \mathbb C$, удовлетворяющей некоторым условиям, которая называется суперпотенциалом. Ожидается, что для данного многообразия Фано объект, двойственный согласно разным версиям зеркального соответствия, один и тот же (различные версии гипотезы зеркальной симметрии лишь рассматривают различные свойства двойственного объекта). Гомологическая зеркальная симметрия (см. [41]) рассматривает особенности слоев суперпотенциала, а значит, эти слои должны быть компактны (или, как минимум, содержать все особенности). Поэтому отображение $w$ должно быть собственным. Однако на практике более удобно рассматривать как можно более простое двойственное многообразие $Y$ и строить его послойную компактификацию. Следуя А. Гивенталю (см. [28]), К. Хори и К. Вафе (см. [30]), положим В этом случае суперпотенциал, т.е. регулярная функция на алгебраическом торе, может быть представлен многочленом Лорана $f$. Мы будем ассоциировать его с семейством слоев отображения $(\mathbb C^*)^n\to \mathbb C$, задаваемого многочленом $f$. Нас будут интересовать периоды этого семейства.Сильная версия гипотезы зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа сопоставляет многообразию $X$ торическую модель Ландау–Гинзбурга. Основой этой гипотезы является классическая гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа; см., к примеру, [28]. Обозначим через $\mathbf 1$ фундаментальный класс многообразия $X$, а через $\mathcal{K}\subset H_2(X,\mathbb Z)$ – множество классов эффективных кривых. Ряд
$$
\begin{equation*}
\widetilde{I}^X_{0}=\sum_{a\in \mathbb Z_{\geqslant 0},\,\beta\in \mathcal{K}}(-K_X\cdot \beta)!\,\langle\tau_{a} {\mathbf 1}\rangle_\beta \cdot t^{-K_X\cdot \beta}\in \mathbb C[[t]],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\tau_{a} \mathbf 1\rangle_{\beta}$ – одноточечный инвариант Громова–Виттена рода $0$ с потомками (см. [4; п. VI-2.1]), называется свободным членом регуляризованного $I$-ряда для $X$. Обозначим свободный член многочлена Лорана $f$ через $[f]$. Положим $I_f=\sum [f^i]t^i$. Теорема 1.1 (см. [42; предложение 2.3]). Рассмотрим многочлен Лорана Тогда существуют (проколотая) окрестность $U\subset\mathbb C$ точки $\infty=\mathbb P^1\setminus\mathbb C$, локальная координата в $\infty$ на $U\cup\{\infty\}\subset \mathbb P^1$, послойная $(n-1)$-форма и послойный $(n-1)$-цикл $\Delta_t$ над $U$ такие, что разложение Тейлора аналитической функции задается рядом $I_f$. Определение 1.2. Пусть $X$ – гладкое $n$-мерное многообразие Фано. Многочлен Лорана $f_X$ от $n$ переменных называется слабой моделью Ландау–Гинзбурга для $X$, если $\widetilde{I}^{X}_{0}=I_{f_X}$. Замечание 1.3. Зеркальная симметрия сопоставляет модель Ландау–Гинзбурга не просто многообразию Фано, а многообразию Фано с классом дивизоров (или симплектической формой) на нем. В нашем определении классом дивизоров является антиканонический. Понятие слабой модели Ландау–Гинзбурга мотивировано следующим основополагающим результатом. Пусть $X$ – гладкое торическое многообразие, пусть $\mathcal N \simeq \mathbb Z^N$, $\mathcal N_\mathbb R=\mathcal N\otimes \mathbb R$, пусть $\Sigma$ в $\mathcal N_\mathbb R$ – веер многообразия $X$, и пусть $\{v_i\in \mathcal N\mid i\in I\}$ – множество целочисленных порождающих лучей веера $\Sigma$, где $I$ – конечное множество, нумерующее лучи. Мы будем использовать стандартное обозначение $x^{v}=x_1^{v^1}\dotsb x_n^{v^n}$ для формальных переменных $x_i$ и $v=(v^1,\dots,v^n)\in \mathcal N$. Теорема 1.4 (см. [28], а также [30]). Многочлен Лорана является слабой моделью Ландау–Гинзбурга для $X$. Как было упомянуто выше, нашей целью является построение собственного семейства. Более того, общим ожиданием зеркальной симметрии является то, что слоями модели Ландау–Гинзбурга являются многообразия Калаби–Яу, зеркально двойственные антиканоническим сечениям исходного многообразия Фано. Это обосновывает следующее определение. Определение 1.5. Пусть $X$ – гладкое $n$-мерное многообразие Фано, а $f_X$ – его модель Ландау–Гинзбурга. Рассмотрим диаграмму в которой $Y$ – гладкое открытое многообразие Калаби–Яу, $Z$ гладко, $-K_Z\sim u^{-1}(pt)$, а морфизмы $w$ и $u$ собственные. Пара $(Y,w)$ называется компактификацией Калаби–Яу многочлена $f_X$, а пара $(Z,u)$ называется его компактификацией лог-Калаби–Яу. Слабые модели Ландау–Гинзбурга трехмерных многообразий Фано построены; см., к примеру, [8]. Способ построения компактификаций лог-Калаби–Яу для большинства из них (ср. конструкцию компактификации 1.16 ниже) приводит к проективным компактификациям; см. [7], [19] и [20]. Проективная компактификация для трехмерного многообразия Фано не гладкая тогда и только тогда, когда это многообразие лежит в семействе $X_{2.1}$ или $X_{10.1}$; здесь использовано стандартное обозначение для семейств гладких многообразий Фано из [34]. Заметим, что эти семейства – в точности те, антиканоническая линейная система которых имеет базисное множество; см. [35]. В этих случаях проективные компактификации $\mathbb Q$-факториальны и имеют обыкновенные двойные точки. Таким образом, они допускают малые непроективные разрешения. Заметим, что понятие вручную компактифицированной модели Ландау–Гинзбурга, введенное в [37] и использованное для формулировки гипотез Кацаркова–Концевича–Пантева, требует гладкости и проективности; однако результаты из [37] и [29] верны также и в мойшезоновом случае. Феномен, рассматриваемый в настоящей статье, – это особые компактификации лог-Калаби–Яу. Мы ожидаем, что в некоторых случаях избежать особенностей невозможно. Определение 1.6. Пусть $X$ – гладкое $n$-мерное многообразие Фано, а $f_X$ – его модель Ландау–Гинзбурга. Рассмотрим диаграмму в которой $Y$ – гладкое открытое многообразие Калаби–Яу, $-K_Z\sim u^{-1}(pt)$, а морфизмы $w$ и $u$ собственные. Пара $(Z,u)$ называется особой компактификацией лог-Калаби–Яу многочлена $f_X$. Другими словами, определение 1.6 отличается от определения 1.5 только тем, что $Z$ может быть особо над бесконечностью. Интересной задачей является обобщение гипотез Кацаркова–Концевича–Пантева на случай особых компактификаций лог-Калаби–Яу. Главным интересующим нас объектом и источником примеров являются взвешенные полные пересечения. А. Гивенталь доказал аналог теоремы 1.4 для полных пересечений в гладких торических многообразиях, если для таких пересечений существуют неф-разбиения. (Ниже мы дадим определение, адаптированное к интересующему нас случаю взвешенных полных пересечений.) Тотальное пространство в этом случае является не алгебраическим тором, а полным пересечением в нем. Этот подход был обобщен на случай полных пересечений в грассманианах (см. [17], а также [27]) и многообразиях частичных флагов (см. [18]). Для этого использовались “хорошие” (так называемые малые) вырождения объемлющих многообразий к торическим многообразиям и замена объемлющих многообразий на эти торические многообразия. В [16] было предположено, что теорема 1.4 выполнена для многообразий Фано, допускающих малые торические вырождения. Во многих случаях (см. ссылки после определения 1.7 ниже) модели Ландау–Гинзбурга типа Гивенталя для полных пересечений бирационально эквивалентны алгебраическим торам и суперпотенциалы таких моделей Ландау–Гинзбурга с носителем в торах соответствуют торическим вырождениям подобно тому, как описано в теореме 1.4. Однако торические многообразия, возникающие в этой конструкции, могут не быть “хорошими”: они могут быть очень особыми. Тем не менее мы утверждаем, что этот подход после некоторой модификации можно применить к любому торическому вырождению; см., к примеру, [6]. Напомним, что веерным многогранником $F(T)$ торического многообразия $T$ с веером $\Sigma$ в $\mathcal{N}\simeq \mathbb Z^n$ называется выпуклая оболочка в $\mathcal{N}_\mathbb R\simeq \mathcal{N}\otimes \mathbb R$ целочисленных порождающих лучей веера $\Sigma$, а многогранником Ньютона $N(f)$ многочлена Лорана $f\in \mathbb C[\mathcal{N}]$ называется выпуклая оболочка в $\mathcal N_\mathbb R$ ненулевых мономов многочлена $f$ (рассматриваемых как элементы решетки $\mathcal N$). Определение 1.7 (см. [8; определение 3.5]). Пусть $X$ – многообразие Фано размерности $n$. Многочлен Лорана $f$ от $n$ переменных называется торической моделью Ландау–Гинзбурга многообразия $X$, если $f$ является слабой моделью Ландау–Гинзбурга для $X$, если $f$ допускает компактификацию Калаби–Яу и если существует вырождение $X\rightsquigarrow T$ многообразия $X$ к торическому многообразию $T$ такое, что $N(f)=F(T)$. (Последнее условие называется торическим условием.) Доказано, что торические модели Ландау–Гинзбурга существуют для поверхностей дель Пеццо и трехмерных многообразий Фано (см. [6], [32], [21], [36]) полных пересечений (см. [22], [32], [44], [9]); некоторые частичные результаты известны для грассманианов (см. [11], [12]), лагранжевых грассманианов (см. [10]) и полных пересечений в торических многообразиях (см. [28], [26]). В [6; гипотеза 36] постулируется существование торической модели Ландау– Гинзбурга для любого гладкого многообразия Фано. Обсудим, что известно о гладких полных пересечениях Фано во взвешенных проективных пространствах (взвешенных полных пересечениях). Основные сведения о взвешенных полных пересечениях можно найти в [25], [31] или [46]; см. также [14]. Пусть $X$ – гладкое полное пересечение Фано мультистепени $(d_1,\dots, d_k)$ во взвешенном проективном пространстве $\mathbb P(a_0,\dots,a_N)$. Положим Определение 1.8. Неф-разбиением $(I_1,\dots,I_k)$ для $X$ называется разбиение такое, что $\sum_{j\in I_i} a_j=d_i$ для всех $i=0,\dots,k$. Неф-разбиение называется хорошим, если существует индекс $r\in I_0$ такой, что $a_r=1$. Гипотетически хорошие неф-разбиения существуют для всех гладких взвешенных полных пересечений. Свидетельством в пользу этой гипотезы является следующее. Теорема 1.9 (см. [43; теорема 9], [45; теорема 1.3], [46; предложение 11.4.5]). Хорошие неф-разбиения существуют для гладких многообразий Фано, являющихся взвешенными полными пересечениями дивизоров Картье или имеющих коразмерность $2$, или имеющих размерность не больше $5$. Имея неф-разбиение, в духе конструкции Гивенталя для полных пересечений в гладких торических многообразиях можно выписать модель Ландау–Гинзбурга для взвешенного полного пересечения. Более того, если неф-разбиение хорошее, тотальное пространство такой модели бирационально эквивалентно алгебраическому тору. Определение 1.10. Пусть $X$ – хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано. Предположим, что для него существует хорошее неф-разбиение $(I_1,\dots,I_k)$. Для любого $0\leqslant i \leqslant k$ обозначим элементы множества $I_i$ через $a_{i0},\dots,a_{im_i}$ и предположим, что $a_{00}=1$. Моделью Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа называется многочлен Лорана от переменных $x_{ij}$, $1\leqslant i \leqslant k$, $1\leqslant j\leqslant m_i$. Комбинаторно можно проверить верность следующего утверждения. Предложение 1.11. Пусть $X$ – хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано. Предположим, что для него существует хорошее неф-разбиение, и пусть $f_X$ – многочлен, определенный формулой (*). Тогда Следующее можно вывести из [28; теорема 0.1]. Теорема 1.12 (см. [5; теорема 1.1]). Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано. Предположим, что для него существует хорошее неф-разбиение, и пусть $f_X$ – многочлен, определенный формулой (*). Тогда Следствие 1.13. Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано. Предположим, что для него существует хорошее неф-разбиение. Тогда многочлен $f_X$, определенный формулой (*), является слабой моделью Ландау–Гинзбурга для $X$. Теорема 1.14 (см. [32; теорема 3.1]). Пусть $X$ – хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано. Предположим, что для него существует хорошее неф-разбиение. Тогда многочлен $f_X$, определенный формулой (*), удовлетворяет торическому условию. Существование компактификации Калаби–Яу доказано только для полных пересечений в обычных проективных пространствах. Теорема 1.15 (см. [44; теорема 5.1]). Пусть $X\subset \mathbb P^N$ – гладкое полное пересечение Фано. Тогда многочлен $f_X$, определенный формулой (*), допускает компактификацию Калаби–Яу. Доказательство теоремы 1.15 непросто обобщить на взвешенные полные пересечения. Более многообещающим подходом является процедура компактификации лог-Калаби–Яу, предложенная в [7]. Во-первых, она не использует специфику полных пересечений. Во-вторых, она дает описание (с точностью до коразмерности 1) слоя над бесконечностью как граничного дивизора некоторого торического многообразия. Этот слой играет ключевую роль в гипотезах Кацаркова–Концевича–Пантева (см. [37]) и зеркальной гипотезе $P=W$ (см. [3]). Этот подход был применен к трехмерным многообразиям Фано (см. [7]) и полным пересечениям в обычных проективных пространствах (см. [9]). Коротко, он состоит в следующем. Конструкция компактификации 1.16. Рассмотрим гладкое многообразие Фано $X$ размерности $n$ и его слабую модель Ландау–Гинзбурга $f_X$, удовлетворяющую торическому условию. В частности, $X$ допускает вырождение к торическому многообразию $T$ такому, что $\Delta=N(f_X)=F(T)\subset \mathcal N_\mathbb R$. Рассмотрим многогранник двойственный многограннику $\Delta$. Предположим, что $\nabla$ целочисленный (другими словами, $\Delta$ рефлексивен) и допускает унимодулярную триангуляцию; другими словами, существует гладкое торическое многообразие $\widetilde{T}^\vee$ такое, что $F(\widetilde{T}^\vee)=\nabla$. Таким образом, пучок $\{f_X=\lambda,\, \lambda\in \mathbb C\}$ можно компактифицировать до антиканонического пучка в $\widetilde{T}^\vee$. Если $f_X$ имеет специальный вид, то базисное множество этого пучка является объединением гладких подмногообразий коразмерности $2$. Более того, базисное множество не содержит торических страт коразмерности $2$ в $\widetilde{T}^\vee$. Если раздуть одну из компонент базисного множества, мы получим пучок, базисным множеством которого опять будет объединение гладких подмногообразий коразмерности $2$, и антиканонический класс раздутого семейства по-прежнему линейно эквивалентен слою. Повторяя подобные раздутия одно за другим, мы получим требуемую компактификацию лог-Калаби–Яу $u\colon Z\to \mathbb P^1$. Эта процедура также дает описание слоя над бесконечностью $u^{-1}(\infty)$ как граничного дивизора (с точностью до коразмерности $2$) для $\widetilde{T}^\vee$. В частности, он состоит из $k$ компонент, где $k$ равно числу целых точек на границе многогранника $\nabla$.Эта процедура компактификации лог-Калаби–Яу обосновывает следующее. Гипотеза 1.17 (ср. [20; гипотеза 1.6]). Пусть $X$ – гладкое многообразие Фано, и пусть $(Z,u)$ – особая компактификация лог-Калаби–Яу его торической модели Ландау–Гинзбурга. Тогда слой $u^{-1}(\infty)$ состоит из неприводимых компонент. Прямыми вычислениями гипотеза 1.17 доказана для трехмерных многообразий Фано, полных пересечений в проективных пространствах и в некоторых торических многообразиях; см. [20]. Неожиданно она не проверена для поверхностей дель Пеццо; мы заполним этот пробел в предложении 1.20. Замечание 1.18. Мотивация гипотезы 1.17 такова. Пусть $\Delta$ – многогранник Ньютона для $f_X$. Рассмотрим плоское вырождение многообразия $X$ к торическому многообразию Фано $T_\Delta$. Так как это вырождение плоское, имеем Не только слой над бесконечностью может быть приводим. Другие приводимые слои компактификации лог-Калаби–Яу также предсказывают инварианты исходного многообразия Фано. Гипотеза 1.19 (см. [44; гипотеза 1.1]). Пусть $X$ – гладкое многообразие Фано размерности $n$, и пусть $(Y,w)$ – компактификация Калаби–Яу торической модели Ландау–Гинзбурга для $X$. Положим Тогда $h_{\mathrm{pr}}^{1,n-1}(X)=\kappa_{Y}$, где $h_{\mathrm{pr}}^{1,1}(X)=h^{1,1}(X)+1$ и $h_{\mathrm{pr}}^{1,n-1}(X)=h^{1,n-1}(X)$ для $n>2$. Конструкция компактификации 1.16 дает возможность проверить эту гипотезу; см. пример 3.6. Однако обычно для этого удобнее использовать более прямолинейную компактификацию в проективном пространстве (см. [19]). К сожалению, конструкция компактификации 1.16 имеет ряд ограничений. Во-первых, многогранник $\Delta$ должен быть рефлексивен. Далее, мы предполагаем, что $\nabla$ допускает унимодулярную триангуляцию, так что существует гладкое торическое многообразие с веерным многогранником $\nabla$. Наконец, базисное множество пучка, компактифицированного в этом гладком торическом многообразии, должно быть “хорошим”. Обычно торические модели Ландау–Гинзбурга имеют очень специальные многогранники Ньютона и коэффициенты, так что вторую и третью проблему решить относительно несложно. Однако процедуру компактификации в том виде, как она описана, невозможно начать в нерефлексивном случае, который чаще всего встречается уже для взвешенных полных пересечений. Мы утверждаем, что процедура компактификации 1.16 после некоторой модификации может быть применена к более общим случаям. Это сделано в следующих основных результатах статьи. Предложение 1.20 (см. предложение 2.1 и замечание 2.2). Пусть $S$ – гладкая поверхность дель Пеццо. Тогда жесткий максимально мутируемый многочлен Лорана $f_S$ для $S$ допускает компактификацию лог-Калаби–Яу. В частности, $f_S$ является торической моделью Ландау–Гинзбурга. Более того, для нее выполнены гипотезы 1.17 и 1.19. Теорема 1.21 (см. теорема 3.1). Пусть $X$ – гладкое накрытие проективного пространства, имеющее индекс Фано $1$. Тогда слабая модель Ландау–Гинзбурга типа Гивенталя является торической моделью Ландау–Гинзбурга для $X$. Она допускает особую компактификацию лог-Калаби–Яу. Для нее выполнена гипотеза 1.17. В лемме 3.2 показано, что если в случае, рассмотренном в теореме 3.1, степень накрытия больше 2, то не существует гладкой проективной компактификации лог-Калаби–Яу; мы ожидаем, что не существует также и непроективной гладкой компактификации. В § 4 намечено предлагаемое направление обобщения процедуры компактификации. БлагодарностиАвтор благодарен А. Корти, Т. Пантеву, И. А. Чельцову и К. А. Шрамову за полезные обсуждения. § 2. Поверхности дель ПеццоНапомним, что гладкие поверхности дель Пеццо можно описать либо как квадратичную поверхность, либо как поверхность $S_d$ степени $d\leqslant 9$, которая является раздутием $\mathbb P^2$ в $9-d$ достаточно общих точках. Для $d\geqslant 3$ антиканонический класс поверхности $S_d$ очень обилен. Модели Ландау–Гинзбуга гладких поверхностей дель Пеццо и общих дивизоров на них были предложены в [15]. Они являются пучками эллиптических кривых с нодальными особыми слоями и одним слоем (“над бесконечностью”), который является колесом из $12-d$ гладких рациональных кривых. Конструкцию торической модели Ландау–Гинзбурга для любого дивизора на $S_d$, $d\geqslant 3$, можно найти в [7]. Эта конструкция использует горенштейново торическое вырождение, построенное в [1]. Для общих дивизоров компактификации лог-Калаби–Яу торических моделей Ландау–Гинзбурга являются пучками, построенными в [15]. Для простоты мы рассматриваем торические модели Ландау–Гинзбурга, соответствующие антиканоническому дивизору; заметим, что на самом деле в доказательстве предложения 2.1 единственное, что зависит от конкретного дивизора, – это структура центрального слоя. Поверхности дель Пеццо степени $1$ или $2$ являются взвешенными полными пересечениями, поэтому они имеют модели Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа. Мы будем называть упомянутые выше слабые модели Ландау–Гинзбурга (для всех поверхностей дель Пеццо) стандартными. Предложение 2.1. Пусть $S$ – гладкая поверхность дель Пеццо. Тогда стандартная слабая модель Ландау–Гинзбурга $f_S$ для $S$ допускает компактификацию лог-Калаби–Яу. В частности, $f_S$ является торической моделью Ландау–Гинзбурга. Более того, для нее выполнены гипотезы 1.17 и 1.19. Доказательство. Заметим, что торическое условие по определению выполнено для стандартных слабых моделей Ландау–Гинзбурга для поверхностей дель Пеццо. Таким образом, для доказательства второго утверждения предложения достаточно доказать первое. Пусть $\deg (S)\geqslant 3$. Тогда $f_{S}$ допускает компактификацию лог-Калаби–Яу, которая дается в [7; конструкция компактификации 16]. Гипотеза 1.17 выполнена для $S$ по [7; замечание 17]. Гипотезу 1.19 можно проверить, компактифицируя $f_{S}$ как пучок эллиптических кривых в $\mathbb P^2$ и разрешая базисное множество этого пучка. (На самом деле этот способ является другим описанием конструкции компактификации 1.16.) К примеру, если $d=3$, то Используя вложение $\mathbb T(x,y)\subset \mathbb P(x:y:z)$, где $\mathbb T(x,y)\cong(\mathbb C^*)^2$ обозначает алгебраический тор с координатами $x$ и $y$, можно компактифицировать семейство слоев для $f_S$ до эллиптического пучка
$$
\begin{equation*}
\mathcal F=\{\mathcal F_{(\lambda:\mu)}\mid (\lambda:\mu)\in \mathbb P^1\},
\end{equation*}
\notag
$$
где Этот пучок порожден тройной прямой и объединением прямых Базисное множество для $\mathcal F$ состоит из трех точек $p_i=l\cap l_i$, $i=1,2,3$. Слой над $(0:1)\in\mathbb P^1$ имеет кратность $3$ в каждой из этих точек, а любой другой слой имеет кратность $1$. Разрешим базисное множество пучка $\mathcal F$. Сначала разрешим его в окрестности точки $p_1$. Для этого раздуем ее. Так как кратность слоя $\mathcal{F}_{(0:1)}=3l$ в точке $p_1$ равна $3$, исключительная кривая раздутия лежит в слое над $(0:1)$ собственного прообраза ${\mathcal{F}}^1$ пучка $\mathcal{F}$, и кратность этого слоя вдоль исключительной кривой равна $2$. Поэтому пересечение исключительной кривой со слоем над бесконечностью является базисной точкой для ${\mathcal{F}}^1$ кратности $2$. Продолжая таким же образом, сделаем еще два раздутия для того, чтобы разрешить базисное множество в окрестности точки $p_1$; заметим, что первые два исключительных дивизора лежат в слое над $(0:1)$ раздутого пучка, тогда как последний исключительный дивизор горизонтален для этого пучка, т.е. он проектируется сюръективно на его базу. Таким же образом разрешим базисное множество пучка $\mathcal F$ в окрестности точек $p_2$ и $p_3$. Заметим, что после этого разрешения антиканонический класс линейно эквивалентен слою собственного прообраза пучка $\mathcal{F}$, поэтому в итоге мы получим компактификацию лог-Калаби–Яу для $f_S$. Ее слой над $(1:0)$ состоит из трех кривых, а именно собственных прообразов кривых $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Таким образом, гипотеза 1.17 выполнена для $S$. Наконец, заметим, что над каждой из точек $p_i$ лежат три исключительные кривые. Две из них лежат в слое над точкой $(0:1)$, т.е. в слое, содержащем тройную прямую, а одна горизонтальна. Следовательно, мы имеем неприводимых компонент в слое над $(0:1)$, так что гипотеза 1.19 выполнена в рассматриваемом случае. Эти компоненты образуют расширенную диаграмму Дынкина $\widetilde{\mathbf{E}}_6$.Теперь пусть $\deg (S)=2$. Тогда поверхность $S$ можно описать как квартику в $\mathbb P(1,1,1,2)$. Таким образом, моделью Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа для $S$ является многочлен Его многогранник Ньютона $\Delta$ является выпуклой оболочкой вершин $(3,-1)$, $(-1,3)$, $(-1,-1)$. Двойственный многогранник $\nabla=\Delta^\vee$ является выпуклой оболочкой вершин $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1/2,-1/2)$. Таким образом, $\nabla$ не целочислен, так что конструкция компактификации 1.16 неприменима. Однако мы по-прежнему можем построить торическое многообразие, лучи которого порождены вершинами многогранника $\nabla$. Его веер порожден целыми точками $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,-1)$, так что оно является не чем иным, как $\mathbb P^2$. Пучок слоев для $f_2$ теперь порожден слоем над бесконечностью, который является объединением трех прямых $l_1$, $l_2$, $l_3$, одна из которых имеет кратность $2$, и центральным слоем, который является прямой $l$ в общем положении, взятой с кратностью $4$. Другими словами, как и выше, можно компактифицировать пучок, задаваемый многочленом $f_2$, до пучка $\mathcal F=\{\mathcal F_{(\lambda:\mu)},\ (\lambda:\mu)\in \mathbb P^1\}$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{(\lambda:\mu)}=\{\mu (x+y+z)^4=\lambda xyz^2\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
l=\{x+y+z=0\},\qquad l_1=\{x=0\},\qquad l_2=\{y=0\},\qquad l_3=\{z=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_0=\mathcal F_{(0:1)}=4l, \qquad \mathcal F_\infty=\mathcal F_{(1:0)}=l_1+l_2+2l_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\mathcal F_t\sim -K_{\mathbb P^2}+l_3$. Обозначим $p_i=l\,{\cap}\, l_i$. Разрешим базисное множество пучка $\mathcal F$. Сначала разрешим его в окрестности точки $p_1$. Для этого раздуем ее. Так как кратность слоя $\mathcal{F}_{(0:1)}=4l$ в $p_1$ равна $4$, мы видим, что исключительная кривая раздутия лежит в слое над $(0:1)$ собственного прообраза ${\mathcal{F}}^1$ пучка $\mathcal{F}$, и эта кривая имеет кратность $3$ в этом слое. Поэтому пересечение исключительной кривой со слоем над $(1:0)$ является базисной точкой кратности $3$ пучка ${\mathcal{F}}^1$. Продолжая таким же образом, сделаем еще три раздутия для того, чтобы разрешить базисное множество пучка $\mathcal F$ в окрестности точки $p_1$; заметим, что первые три исключительных дивизора лежат в слое над $(0:1)$ разрешенного пучка, тогда как последний является горизонтальным. Таким же образом разрешим базисное множество пучка $\mathcal F$ в окрестности точки $p_2$. Раздуем теперь точку $p_3$. Пусть $e$ – исключительная кривая для этого раздутия. Так как кратность слоя $\mathcal F_{(0:1)}$ в точке $p_3$ равна $4$, а кратность слоя $\mathcal F_{(1:0)}$ в этой точке равна $2$, получаем, что кратность слоя над $(0:1)$ собственного прообраза пучка $\mathcal{F}$ в окрестности кривой $e$ равна $4-2=2$. Будем обозначать собственные прообразы кривых так же, как и сами кривые. Чтобы разрешить базисное множество пучка, необходимо раздуть точку $e_1\cap l_3$. После этого раздутия мы получим семейство без базисных точек
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal F}=\{\widetilde{\mathcal F}_t\mid t\in \mathbb P^1\}
\end{equation*}
\notag
$$
с тотальным пространством $\widetilde Z$. Имеем Более того, так как $l_3^2=1$ на $\mathbb P^2$ и мы раздуваем две гладкие точки, лежащие на $l_2$, то выполнено $l_3^2=-1$ на $\widetilde Z$. Таким образом, стянув кривую $l_3$ на $\widetilde{Z}$, мы получим пучок $\mathcal G=\{\mathcal G_t\mid t\in \mathbb P^1\}$ с гладким тотальным пространством $Z$ и $-K_Z\sim \mathcal G_t$. Это значит, что $Z$ является требуемой компактификацией лог-Калаби–Яу для $f_2$. Из этой конструкции следуют гипотезы 1.17 и 1.19. Действительно, слой $\mathcal G_{(1:0)}=l_1+l_2$ является объединением двух рациональных кривых, пересекающихся трансверсально в двух точках. Заметим, что слой $\mathcal G_{(0:1)}$ состоит из $l$, $e$, трех исключительных дивизоров, лежащих над точкой $p_1$, и трех исключительных дивизоров, лежащих над точкой $p_2$. Эти кривые образуют расширенную диаграмму Дынкина $\widetilde{\mathbf{E}}_7$. Подобным же образом можно построить компактификацию лог-Калаби–Яу для $\deg (S)=1$. В этом случае поверхность $S$ может быть описана как секстика в $\mathbb P(1,1,2,3)$. Таким образом, моделью Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа для $S$ является многочлен Многогранник, двойственный многограннику $N(f_1)$, является выпуклой оболочкой точек $(1,0)$, $(0,1/2)$, $(-1/3,-1/3)$. Компактифицируем наше семейство до пучка $\mathcal F=\{\mathcal F_{(\lambda:\mu)},\ (\lambda:\mu)\in \mathbb P^1\}$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{(\lambda:\mu)}=\{\mu (x+y+z)^6=\lambda xy^2z^3\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что для
$$
\begin{equation*}
l=\{x+y+z=0\}, \qquad l_1=\{x=0\}, \qquad l_2=\{y=0\}, \qquad l_3=\{z=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_0=\mathcal F_{(0:1)}=6l, \qquad \mathcal F_\infty=\mathcal F_{(1:0)}=l_1+2l_2+3l_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\mathcal F_t\sim -K_{\mathbb P^2}+l_2+2l_3$. Обозначим $p_i=l\cap p_i$. Как и выше, сделав шесть раздутий для $p_1$, три раздутия для $p_2$ и два раздутия для $p_3$, получим семейство $\widetilde{\mathcal F}=\{\widetilde{\mathcal F}_t,\ t\in \mathbb P^1\}$ с тотальным пространством $\widetilde{Z}$ и $\widetilde{\mathcal F}_t\sim-K_{\widetilde{Z}}+l_2+2l_3$. Заметим, что $l_2^2=-2$ и $l_3^2=-1$ на $\widetilde{Z}$. Пусть $\varphi\colon \widetilde Z\to Z'$ – стягивание кривой $l_3$. Тогда $Z'$ гладко и $\varphi(l_2)^2=-1$, так что кривую $\varphi(l_2)$ можно стянуть и получить компактификацию лог-Калаби–Яу $Z$ многочлена $f_X$. Из этой конструкции следуют гипотезы 1.17 и 1.19. Заметим, что слой пучка $Z\to\mathbb P^1$ над $(0:1)$ состоит из кривой $l$, пяти исключительных дивизоров, лежащих над $p_1$, двух исключительных дивизоров, лежащих над $p_2$, и одного исключительного дивизора, лежащего над $p_3$. Эти кривые образуют расширенную диаграмму Дынкина $\widetilde{\mathbf{E}}_8$. Предложение 2.1 доказано. Замечание 2.2. По [23; теорема 3.12] классы мутационной эквивалентности так называемых жестких максимально мутируемых многочленов Лорана (см. [23; определение 2.5 и определение 2.6]) взаимно однозначно соответствуют деформационным семействам гладких поверхностей дель Пеццо, и стандартные слабые модели Ландау–Гинзбурга лежат в этих классах. Так как компактификации лог-Калаби–Яу мутационно эквивалентных слабых моделей Ландау–Гинзбурга от двух переменных изоморфны и каждая такая модель соответствует торическому вырождению ассоциированной поверхности дель Пеццо по [33], предложение 2.1 выполнено для жестких максимально мутируемых многочленов Лорана. § 3. Накрытия проективных пространств, имеющие индекс 1В этом параграфе мы обобщим процедуру компактификации лог-Калаби–Яу для поверхности дель Пеццо степени $2$, построенной в предложении 2.1, на многообразия Фано, являющиеся накрытиями проективных пространств и имеющие индекс $1$. Пусть $X$ – гладкое многообразие Фано, имеющее индекс $1$ и являющееся $a$-листным накрытием проективного пространства, разветвленным в дивизоре степени $ad$. Положим Тогда $X$ можно описать как гиперповерхность степени $ad$ в Таким образом, его модель Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа – это многочлен
$$
\begin{equation*}
f_X=\frac{(x_1+\dots+x_{\alpha}+1)^{ad}}{x_1\dotsb x_{\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.1. Многочлен Лорана $f_X$ является торической моделью Ландау–Гинзбурга для $X$. Он допускает особую компактификацию лог-Калаби–Яу. Для нее выполнена гипотеза 1.17. Доказательство. Многочлен $f_X$ является слабой моделью Ландау–Гинзбурга по следствию 1.13. По теореме 1.14 он удовлетворяет торическому условию. Построим теперь компактификацию Калаби–Яу. Многогранник Ньютона $\Delta$ для $f_X$ является выпуклой оболочкой точек, координаты которых задаются строками матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} ad-1 & -1 & \dots & -1 \\ -1 & ad-1 & \dots & -1 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ -1 & -1 & \dots & ad-1 \\ -1 & -1 & \dots & -1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Двойственный многогранник $\Delta^\vee$ является выпуклой оболочкой точек, координаты которых задаются строками матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & 0 & \dots & 1\\ -\dfrac{1}{d} & -\dfrac{1}{d} & \dots & -\dfrac{1}{d} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Торическое многообразие, лучи которого порождены строками этой матрицы, – это $\mathbb P=\mathbb P^{\alpha}$, а целочисленные порождающие этих лучей задаются строками матрицы, в которой координаты последней строки умножены на $d$. Это значит, что компактифицированный (в $\mathbb P$) пучок $\mathcal F$, соответствующий многочлену $f_X$, порожден слоем над бесконечностью $\mathcal F_\infty$, который является объединением гиперплоскостей в $\mathbb P$, одна из которых взята с кратностью $d$, и центральным (т.е. лежащим над $(0:1)$) слоем $\mathcal F_0$, который является гиперплоскостью (в общем положении относительно координатных гиперплоскостей), взятой с кратностью $ad$. Другими словами, компактифицируем семейство, используя вложение
$$
\begin{equation*}
\mathbb T(x_1,\dots,x_{\alpha})\subset \mathbb P(x_0:\dots:x_{\alpha}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb T(x_1,\dots,x_{\alpha})\cong(\mathbb C^*)^\alpha$ обозначает алгебраический тор с координатами $x_1, \dots,x_\alpha$, чтобы получить пучок $\mathcal F=\{\mathcal F_{(\lambda:\mu)},\ (\lambda:\mu)\in \mathbb P^1\}$, в котором
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{(\lambda:\mu)}=\{\mu \cdot (x_0+\dots+x_{\alpha})^{ad}=\lambda \cdot x_0^d\cdot x_1\dotsb x_{\alpha}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для $H=\{x_0+\dots+x_{\alpha}=0\}$ и $H_i=\{x_i=0\}$, $i=1,\dots,\alpha$, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_0=\mathcal F_{(0:1)}=adH, \qquad \mathcal F_\infty=\mathcal F_{(1:0)}=dH_0+H_1+\dots+H_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $-K_\mathbb P\sim H_0+\dots+H_\alpha$, имеем $\mathcal F_t\sim -K_{\mathbb P}+(d-1)H_0$. Обозначив $B_i=H\cap H_i$, получим, что базисным множеством пучка $\mathcal F$ является объединение компонент $B_i$, $i=0,\dots,\alpha$. Кратность слоя $\mathcal F_0$ в $B_i$ равна $ad$, тогда как кратность слоя $\mathcal F_\infty$ в $B_0$ равна $d$, а кратность слоя $\mathcal F_\infty$ в $B_i$, $i=1,\dots,\alpha$, равна $1$. Раздуем $\mathbb P$ вдоль $B_0$. Мы получим исключительный дивизор $E_1$ и собственный прообраз $\mathcal F^1$ пучка $\mathcal{F}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal F^1_0=(a-1)dE_1+adH, \qquad \mathcal F^1_\infty=dH_0+H_1+\dots+H_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и раньше, будем обозначать дивизоры и их собственные прообразы одинаково. Кроме того, обозначим $B_0=E_1\cap H_0$ и $B_i=H\cap H_i $ для $i=1,\dots,\alpha$. Кратность слоя $F^1_0=(a-1)d$ в $B_0$ равна $(a-1)d$, кратность слоя $\mathcal F^1_\infty$ в $B_0$ равна $d$, кратность слоя $\mathcal F^1_0$ в $B_i$, $i=1,\dots,\alpha$, равна $ad$, а кратность слоя $\mathcal F^1_\infty$ в $B_i$, $i=1,\dots,\alpha$, равна $1$. Базисным множеством пучка $\mathcal F^1$ является объединение нескольких гладких страт коразмерности $2$. Его неприводимыми компонентами являются $B_i$, $i=0,\dots,\alpha$, и $B^1_i=E_1\cap H_i$, $i=1,\dots,\alpha$. Также имеем где $Z^1$ – тотальное пространство пучка $\mathcal F^1$. Повторяя эту процедуру еще $a-1$ раз, разрешим компоненту $B_0$ базисного множества и получим пучок $\mathcal F^a=\{\mathcal F^a_t, \ t\in \mathbb P^1\}$ с (гладким) тотальным пространством $Z^a$. Базисным множеством этого пучка является объединение гладких подмногообразий в $Z^a$ коразмерности $2$, пересекающихся трансверсально. Дивизор $\mathcal F^a_\infty$ имеет кратность $1$ в каждой компоненте базисного множества. Более того, $\mathcal F^a_t\sim-K_{Z^a}+(d-1)H_0$. Рассмотрим торическую структуру на исходном пространстве $\mathbb P^\alpha$ с граничными дивизорами $H_0, H, H_2,\dots, H_\alpha$. Тогда описанные выше раздутия, а значит, и многообразие $Z^a$, являются торическими. Лучи веера для $Z^a$ порождены векторами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &v_0=(1,0,0,\dots,0,0), \\ &v_1=(0,1,0,\dots,0,0), \\ &\dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ &v_{\alpha-1}= (0,0,0,\dots,0,1), \\ &v_{\alpha}=(-1,-1,-1,\dots,-1,-1), \\ &u_1=(1,1,0,\dots,0,0), \\ &\dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ &u_a=(a,1,0,\dots,0,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь вектор $v_1$ соответствует собственному прообразу дивизора $H$, векторы $v_i$, $i=0,2,\dots,v_\alpha$, соответствуют собственным прообразам дивизора $H_i$, а векторы $u_i$, $i=1,\dots,u_a$, соответствуют исключительным дивизорам $E_i$. Так как можно удостовериться, что собственный прообраз дивизора $H_0$ на $Z^a$ можно стянуть в точку $P$. (Другими словами, нормальным пучком к $\mathbb P^{\alpha-1}\cong H_0\subset Z^a$ является $\mathcal O_{\mathbb P^{\alpha-1}}(1-a)$, так что собственный прообраз дивизора $H_0$ можно стянуть в точку.) Точка $P$ является циклической факторособенностью типа $\dfrac{1}{a-1}(1,\dots,1)$. В частности, она является гладкой для $a=2$ и особой для $a>2$. Пусть $Z^a\to Z'$ – рассматриваемое стягивание. Образом пучка $\mathcal F^a$ является пучок $\mathcal F'=\{\mathcal F'_t\mid t\in \mathbb P^1\}$ на $Z'$. Заметим, что точка $P$ не лежит в базисном множестве пучка $\mathcal F'$, так как $H_0\subset Z^a$ не пересекает $\mathcal F^a_t$ для $t\neq \infty$. Более того, $\mathcal F'_t\sim -K_{Z'}$. Теперь мы можем продолжить так же, как в конструкции компактификации 1.16 (ср. [7; предложение 26]), и получить семейство $u\colon Z\to\mathbb P^1$. Многообразие $Z$ является гладким для $a=2$ и имеет единственную особую точку для $a>2$, и эта точка лежит в слое $D=u^{-1}(\infty)$. Более того, $-K_{Z}\sim D$, так что $Z$ является требуемой особой компактификацией лог-Калаби–Яу. В частности, $Z\setminus D$ является компактификацией Калаби–Яу для $f_X$, так что этот многочлен Лорана является торической моделью Ландау–Гинзбурга для $X$. Слой семейства $Z\to\mathbb P^1$ над бесконечностью является дивизором с нормальными пересечениями, и его двойственный комплекс пересечения является границей $a(d-1)$-мерного симплекса с одной стянутой гранью максимальной размерности, так что он гомеоморфен $(a(d-1)-1)$-мерной сфере и состоит из $\alpha=(a-1)d$ компонент. По [25; теорема 3.3.4] и [13; следствие 3.3] имеем что доказывает гипотезу 1.17.Теорема 3.1 доказана. Лемма 3.2. Пусть $a>2$. Тогда торическая модель Ландау–Гинзбурга $f_X$ не имеет гладкой проективной компактификации лог-Калаби–Яу. Доказательство. Будем использовать обозначения теоремы 3.1. Пусть $w\colon W\to \mathbb P^1$ – гладкая проективная компактификация лог-Калаби–Яу для $f_X$. Заметим, что из конструкции следует, что многообразие $Z'$ является $\mathbb Q$-факториальным. По [38; теорема 1] бирациональный изоморфизм пар $(W,w^{-1}(\infty))$ и $(Z',\mathcal F_\infty')$ раскладывается в последовательность флопов. Так как $a>2$, точка $P$ особа, так что изоморфизм не бирегулярен. В частности, должен существовать флоп в окрестности точки $P$. Используя действие тора, можно видеть, что флопируемое множество должно быть инвариантно относительно этого действия. Точка $P$ соответствует конусу с порождающими $u_a,v_2,\dots,v_\alpha$. Аффинная гиперплоскость где $e_1,\dots,e_\alpha$ – стандартные базисные векторы в $\mathbb Z^\alpha$, содержит $v_2,\dots,v_\alpha, u_a$ и не содержит других порождающих лучей веера для $Z'$. Из этого следует, что в окрестности точки $P$ не существует флопируемого множества, инвариантного относительно действия тора. Полученное противоречие доказывает лемму. Вопрос 3.3. Верно ли, что многочлен Лорана $f_X$ из теоремы 3.1 не имеет гладкой алгебраической (непроективной) компактификации лог-Калаби–Яу? Можно ли обобщить определения и конструкции из [37] на этот случай? Один из подходов к положительному ответу на первую часть вопроса 3.3 состоит в том, чтобы доказать аналог теоремы 1 из [38] в непроективном случае. К сожалению, в доказательстве этой теоремы используется программа минимальных моделей, которая с трудом обобщается на некоммутативный случай. Замечание 3.4 (ср. [6; замечание 19]). Исходная модель Ландау–Гинзбурга для $X$, построенная А. Гивенталем, является многообразием Теорема 3.1 влечет следующее. Следствие 3.5. Пусть $W$ – некоторая проективная компактификация лог-Калаби–Яу для $f_X$. Тогда его когомологии имеют чистую структуру Ходжа, и она имеет тип Ходжа–Тейта, т.е. $h^{p,q}(W)=0$, если $p\neq q$. Доказательство. Заметим, что многообразие $Z'$ является торическим, и, таким образом, его когомологии имеют чистую структуру Ходжа типа Ходжа–Тейта. Так как многообразие $Z$ получается из $Z'$ путем раздутий в гладких центрах, имеющих тип Ходжа–Тейта, многообразие $Z$ также имеет тип Ходжа–Тейта. Наконец, как и раньше, многообразие $W$ получается из $Z$ последовательностью флопов, и утверждение следует из того, что флопы не меняют свойство многообразия иметь тип Ходжа–Тейта. Следствие доказано. Конструкция, использованная в доказательстве теоремы 3.1, дает возможность подсчитать число компонент центрального слоя и доказать гипотезу 1.19. Пример 3.6. Пусть $X\subset \mathbb P(1,1,1,1,3)$ – трехмерное накрытие проективного пространства с ветвлением в секстике. Построим компактификацию лог-Калаби–Яу, следуя доказательству теоремы 3.1. Будем при этом следить за исключительными дивизорами, лежащими в центральном слое (который окажется единственным, за исключением слоя над бесконечностью, приводимым). Имеем так что $\mathcal F=\{\mathcal F_{(\lambda:\mu)},\ (\lambda:\mu)\in \mathbb P^1\}$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{(\lambda:\mu)}=\{\mu \cdot (x_0+x_1+x_2+x_3)^{6}=\lambda\cdot x_0^3x_1x_2x_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая
$$
\begin{equation*}
H=\{x_0+x_1+x_2+x_3=0\}, \qquad H_i=\{x_i=0\}, \quad i=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_0=6H, \qquad \mathcal F_\infty=3H_0+H_1+H_2+H_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим также $B_i=H\cap H_i$ и $P_{ij}=H\cap H_i\cap H_j$. Чтобы разрешить базисное множество пучка $\mathcal F$, раздуем $B_0$ и пересечение исключительного дивизора этого раздутия с собственным прообразом дивизора $H_0$. Стянем теперь собственный прообраз дивизора $H_0$ в гладкую точку, не лежащую в базисном множестве соответствующего пучка, и разрешим базисное множество, раздувая гладкие кривые. Таким образом, для того чтобы найти число компонент центрального слоя, достаточно найти число исключительных дивизоров, лежащих над общими точками кривых $B_i$ и над $P_{ij}$. Сделаем общее полезное наблюдение. Пусть $\mathcal J=\{\mathcal J_t\mid t\in \mathbb P^1\}$ – пучок на гладком трехмерном многообразии $Y$. Пусть $C\subset Y$ – гладкая кривая такая, что кратность слоя $\mathcal J_0$ в $C$ равна $bm$, а кратность слоя $\mathcal J_\infty$ в $C$ равна $m$ для некоторых положительных чисел $b$ и $m$. Таким образом, чтобы разрешить базисное множество пучка $\mathcal J$ в окрестности общей точки кривой $C$, необходимо сделать $b$ раздутий кривых, лежащих над $C$. Более того, один исключительный дивизор этого разрешения не содержится ни в каком слое собственного прообраза пучка $\mathcal J$, тогда как $b-1$ дивизоров лежат в слое над $0$. В нашей ситуации, так как кратность слоя $\mathcal F_0$ в ${B_i}$, $i=0,\dots,3$, равна $6$, кратность слоя $\mathcal F_\infty$ в ${B_0}$ равна $3$, а кратность слоя $\mathcal F_\infty$ в ${B_i}$, $i=1,2,3$, равна $1$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{6}{3}-1\biggr)+3\cdot\biggl(\frac{6}{1}-1\biggr)=16
\end{equation*}
\notag
$$
исключительных дивизоров в центральном слое, лежащих над общими точками неприводимых компонент базисного множества. Теперь необходимо найти число исключительных дивизоров, лежащих над точками $P_{ij}$. Положим $P=P_{0j}$ для $1\leqslant j\leqslant 3$. Пусть $E$ – исключительный дивизор раздутия кривой $B_0$. Тогда после раздутия этой кривой получим еще одну кривую $C_j=E\cap H_j$ в базисном множестве такую, что центральный слой имеет кратность $3$ в $C_j$, а слой над точкой $(1:0)$ имеет кратность $1$ в $C_j$. Раздутие кривой $E\cap H_0$ не дает новых кривых в базисном множестве. Таким образом, имеем исключительных дивизора в центральном слое, лежащих над $P$, а всего $3\cdot 2=6$ дивизоров в центральном слое, лежащих над точками $P_{0j}$.Положим теперь $P=P_{ij}$ для $1\leqslant i<j\leqslant 3$. Разрешая базисное множество пучка в окрестности общей точки кривой $B_i$, получим пять исключительных дивизоров $E_1,\dots,E_5$ в центральном слое, лежащих над $P$, и кратность центрального слоя в $E_s$ равна $6-s$, так что мы имеем пять новых неприводимых компонент $B^s_j=E_s\cap H_j$. Кратность центрального слоя в $B^s_j$ равна $6-s$, тогда как кратность слоя над $(1:0)$ в $B^s_j$ равна $1$. Таким образом, в сумме мы имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{5}{1}-1\biggr)+\biggl(\frac{4}{1}-1\biggr) +\biggl(\frac{3}{1}-1\biggr)+\biggl(\frac{2}{1}-1\biggr)+\biggl(\frac{1}{1}-1\biggr)=10
\end{equation*}
\notag
$$
исключительных дивизоров в центральном слое, лежащих над $P$, и $3\cdot 10=30$ дивизоров, лежащих над точками $P_{ij}$. Суммируя, получим $1+16+6+30=53$ компонент центрального слоя нашей компактификации лог-Калаби–Яу для $f_X$, так что гипотеза 1.19 для него выполнена, так как $h^{12}(X)=52$. Гипотеза 1.19 для $X$ доказана (см. [6]), но вычисления, которые мы сделали здесь для ее проверки, на самом деле похожи на вычисления, проделанные в [19]. Общий случай может быть проверен похожим образом, он отличается лишь более сложной комбинаторикой. А именно, необходимо найти число исключительных дивизоров, лежащих над стратами базисного множества исходного семейства, которые являются пересечениями кратной гиперплоскости с некоторым количеством гиперплоскостей, имеющих некоторые кратности. Этот подход был развит в [44]. Скажем, в окрестности компонент $B_{ij}=B_i\cap B_j$ для $1\leqslant i<j\leqslant \alpha$ (мы используем обозначения доказательства теоремы 3.1) пучок имеет вид $\{\mu z^{ad}=\lambda xy\}$, где $x,y,z$ – координаты в $\mathbb A^{\alpha+1}$. По [44; предложение 4.7] число компонент центрального слоя, лежащих над $B_{ij}$, равно Проблема 3.7. Доказать гипотезу 1.19 для торических моделей Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа для многообразий Фано, являющихся накрытиями проективных пространств и имеющих индекс $1$. Наиболее многообещающим подходом является предложенный в [44]. § 4. Общий случайКомпактификации, построенные в § 2 и § 3, дают основание для следующей процедуры особой компактификации лог-Калаби–Яу для взвешенных полных пересечений. Рассмотрим гладкое взвешенное полное пересечение Фано $X\subset \mathbb P$, имеющее хорошее неф-разбиение. Будем использовать обозначения определений 1.8 и 1.10. В частности, рассмотрим слабую модель Ландау–Гинзбурга гивенталевского типа $f_X$, соответствующую $X$. Положим Непосредственным вычислением можно доказать следующее. Лемма 4.1. Многогранник $\nabla$, двойственный веерному многограннику $F(f_X)$, порожден строками матрицы Замечание 4.2. Неф-разбиение $(I_1,\dots,I_k)$ будем называть сильным, если $a_{0j}=1$ для $j=1,\dots,m_0$ и $a_{ij}$ делит $d_i$ для всех $i$, $j$. Мы ожидаем, что любое гладкое взвешенное полное пересечение Фано имеет сильное неф-разбиение. К примеру, это выполнено в случаях, перечисленных в теореме 1.9. (Конечно, взвешенное полное пересечение может также иметь и не сильное неф-разбиение; в качестве примера можно взять пересечение квадрики и секстики в $\mathbb P(1,1,1,1, 2,2,3)$.) Обозначим через $l$ число весов пространства $\mathbb P$, равных $1$. Предположим для простоты, что $i_X=1$, так что $m_0=0$, и в матрице $M$ нет нижнего правого блока. По [25; теорема 3.3.4 и п. 3.4.3] имеем Целые точки на границе многогранника $\nabla$ соответствуют строкам матрицы $M$, для которых $a_{ij}=1$, так что всего таких строк $l-1$. Пусть $T$ – торическое многообразие, координаты порождающих лучей веера которого даны строками матрицы $M$. Тогда $T=\mathbb P^{m_1}\times\dots\times \mathbb P^{m_k}$. Компактифицируем семейство слоев для $f_X$ в $T$ до семейства $\mathcal F$. Тогда $\mathcal F_\infty$ является объединением граничных дивизоров для $T$, а кратности этих дивизоров равны $a_{ij}$. Слой $\mathcal F_0$ является объединением компонент типа
$$
\begin{equation*}
\mathbb P^{m_1}\times\dots\times \mathbb P^{m_{i-1}}\times H_i\times \mathbb P^{m_{i+1}}\times P\times \mathbb P^{m_k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_i$ – гиперплоское сечение пространства $\mathbb P^{m_i}$; кратность такой компоненты равна $d_i$. Пусть $D_{ij}$ – граничный дивизор, соответствующий строке матрицы $M$, заданной весом $a_{ij}$. Заметим, что Мы предлагаем следующую процедуру компактификации. Рассмотрим сильное неф-разбиение $\overline I=(I_1,\dots,I_k)$ и связанную с ним слабую модель Ландау–Гинзбурга $f_X$. Компактифицируем $f_X$ в $T$ и получим пучок $\mathcal F$. Пусть $D_1,\dots,D_r$ – граничные дивизоры многообразия $T$, кратности в базисном множестве $s_i$ которых больше $1$, и пусть $B_i\subset D_i$ – компоненты базисного множества, лежащие на $D_i$. Разрешим базисное множество в окрестности $B_i$, $i=1,\dots,r$, с помощью $s_i$ раздутий. Заметим, что так как неф-разбиение $\overline I$ сильное, все исключительные дивизоры, кроме последнего горизонтального, лежат в центральном слое. Теперь сделаем, если нужно, бирациональное преобразование в коразмерности $2$ и стянем собственные прообразы компонент $D_i$. Мы получим семейство с торическим тотальным пространством $Z'$ таким, что $\mathcal F'_t\sim -K_{Z'}$. Заметим, что базисным множеством пучка $\mathcal F'$ является объединение гладких компонент коразмерности $2$, и эти компоненты не являются пересечениями компонент слоя над бесконечностью. Многообразие $Z'$ может быть особым; особенности не должны пересекать базисное множество пучка $\mathcal F'$. Теперь продолжим так же, как в конструкции компактификации 1.16 (ср. [7; предложение 26]), и получим требуемую особую компактификацию лог-Калаби–Яу $Z\to \mathbb P^1$. Заметим, что если предложенная процедура дает (особую) компактификацию лог-Калаби–Яу, то для $X$ выполнена гипотеза 1.17. Заметим также, что если $Z$ особо, то таким же образом, как в доказательстве леммы 3.2, можно доказать, что для $f_X$ не существует гладкой проективной компактификации лог-Калаби–Яу.Похожим образом можно рассмотреть случай $i_X>1$ (ср. [8] и [46; п. 9.3]). Замечание 4.3. Если мы выберем не сильное неф-разбиение, мы получим исключительные дивизоры, лежащие в слое над бесконечностью, поэтому нужно доказывать, что их можно стянуть.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Prz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|