| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О тензорных дробях и тензорных произведениях в категории стереотипных пространств С. С. Акбаров Департамент прикладной математики, Московский институт электроники и математики им. А. Н. Тихонова Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9508 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работах автора [1]–[5] были описаны свойства класса $\operatorname{Ste}$ локально выпуклых пространств, названных стереотипными и определяемых условием1 в котором каждая звездочка $\star$ означает сопряженное пространство функционалов, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах. Как отмечалось, этот класс обладает серией замечательных свойств, в частности:
Тождества (1.1)–(1.3) в этом списке означают, что $\operatorname{Ste}$ является симметрической моноидальной категорией относительно бифункторов $\circledast$ и $\odot$, и это оправдывает для них название стереотипные тензорные произведения ($\circledast$ – проективное, а $\odot$ – инъективное). С другой стороны, тождества (1.4) оправдывают для бифунктора $\oslash$ его обозначение и название стереотипная тензорная дробь (потому что среди арифметических операций именно дробь выглядит самой естественной аналогией для операции $\oslash$ в описании свойств произведений $\circledast$ и $\odot$, представляемых тождествами (1.4)). При этом левое тождество в (1.4) означает, что относительно $\circledast$ моноидальная категория $\operatorname{Ste}$ замкнута с внутренним hom-функтором $\oslash$. В дальнейших исследованиях автором (а позднее Ю. Н. Кузнецовой и О. Ю. Аристовым) отмечались многочисленные приложения категории стереотипных пространств в функциональном анализе и геометрии и, в частности, в построении обобщений понтрягинской двойственности на некоммутативные группы. Как один из примеров, из результатов работ [4], [7] следует, что понтрягинская двойственность продолжается с категории конечных абелевых групп на категорию аффинных алгебраических групп функтором $G\mapsto {\mathcal O}^\star(G)$ перехода к групповой алгебре аналитических функционалов. Это обобщение выражается функториальной диаграммой в которой $\mathfrak{e}$ – естественное вложение категорий, $G^\bullet$ – двойственная по Понтрягину группа, $\unicode{8224}$ – композиция функтора $H\mapsto \widehat{H}$ оболочки Аренса–Майкла (см. определение в [5] или в [8]) и функтора $X\mapsto X^\star$ перехода к сопряженному стереотипному пространству, а под алгебрами Хопфа, рефлексивными относительно оболочки Аренса–Майкла, понимаются алгебры Хопфа в моноидальной категории $(\operatorname{Ste},\circledast)$, удовлетворяющие тождеству (см. подробности в [8]). Коммутативность же диаграммы (1.7) понимается как изоморфизм двух функторов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний:
$$
\begin{equation}
{\mathcal O}^\star(G)^\unicode{8224}\cong {\mathcal O}^\star(G^\bullet).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
После работы автора [4], в которой двойственность относительно оболочки была впервые описана и применена к комплексным группам Ли, эта же идея (с заменой оболочки Аренса–Майкла на другие оболочки) была использована для обобщений понтрягинской двойственности на разные другие классы групп. В частности, Ю. Н. Кузнецова в работе [9] предложила теорию двойственности для (не обязательно коммутативных) групп Мура (впоследствии ее результаты уточнялись в [10]–[12]), и, кроме того, сам автор в [10], [11] описал теорию двойственности для дифференциальной геометрии, работающую по крайней мере для вещественных групп Ли вида $\mathbb R^n\times K\times D$, где $K$ – компактная группа Ли, а $D$ – дискретная группа Мура. Эти наблюдения не получили пока оформления в виде теорий с естественными границами, потому что очевидно, что все эти результаты можно обобщать на более широкие классы групп и не ясно, где в этих исследованиях логично будет остановиться. В рамках этой программы в работе [8] автором был рассмотрен вопрос: можно ли по аналогии с диаграммой (1.7) обобщить понтрягинскую двойственность с категории конечных абелевых групп на категорию счетных дискретных групп? В [8] на него был дан положительный ответ, описывающийся диаграммой в которой под голоморфной рефлексивностью алгебры Хопфа понимается ее рефлексивность относительно одного из стереотипных вариантов оболочки Аренса–Майкла (см. детали в [8]).Доказательство этого факта, однако, как оказалось, требует глубокого погружения в основания теории стереотипных пространств с выводом некой серии технических утверждений, которые из-за их объема и идеологической обособленности желательно выделить в отдельный текст. Настоящая статья как раз является таким текстом. Здесь мы выводим две формулы, выражающие инъективное стереотипное тензорное произведение $\odot$ и тензорную дробь $\oslash$, упоминавшиеся выше, через некоторые более простые конструкции в теории топологических векторных пространств. Первая формула выражает $\odot$ через один из вариантов тензорного произведения в категории локально выпуклых пространств, который мы обозначаем точкой $\,\cdot\,$ и называем первичным тензорным произведением. Формально $X\cdot Y$ определяется как пространство линейных непрерывных отображений $\varphi\colon X^\star\to Y$ с топологией равномерной сходимости на полярах $U^\circ$ окрестностей нуля в $X$, и для него мы доказываем формулу
$$
\begin{equation}
X^\vartriangle\odot Y^\vartriangle\cong (X^\vartriangle\cdot Y^\vartriangle)^\vartriangle\cong (X\cdot Y)^\vartriangle,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
справедливую для произвольных псевдополных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ (без условия, что какое-то из них должно обладать классической аппроксимацией). Вторая формула дополняет формальное определение тензорной дроби $\oslash$ через пространство операторов. Напомним, что в [3] пространство $\oslash$ определялось в два этапа. Сначала вводилось пространство $Y:X$ (первичная тензорная дробь), под которым понималось пространство линейных непрерывных отображений $\varphi\colon X\to Y$ с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах. После этого пространство $Y\oslash X$ определяется как псевдонасыщение пространства $Y:X$ Так вот, формула, связывающая $\oslash$ с $:$ и доказываемая в этой статье, выглядит так:
$$
\begin{equation}
Y^\vartriangle\oslash X^\triangledown\cong(Y^\vartriangle:X^\triangledown)^\vartriangle\cong (Y:X)^\vartriangle,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $\triangledown$ – операция псевдопополнения в категории локально выпуклых пространств (см. [3; п. 1.3]), а $\vartriangle$ – по-прежнему операция псевдонасыщения. Формула (1.10) ценна тем, что позволяет судить о свойствах пространства $X^\vartriangle\odot Y^\vartriangle$ без детального исследования свойств топологий псевдонасыщений $X^\vartriangle$ и $Y^\vartriangle$. Например, в [8] такие формулы применяются для доказательства тождеств вида
$$
\begin{equation}
{\mathcal F}(M)^\vartriangle\odot {\mathcal F}(N)^\vartriangle\cong {\mathcal F}(M\times N)^\vartriangle,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
в которых $M$ и $N$ – многообразия определенного типа, а ${\mathcal F}(\,{\dots}\,)$ – определенные типы (топологических векторных) функциональных пространств на таких многообразиях. Типичная ситуация в теории стереотипных пространств – это когда мы легко можем описать топологию какого-то пространства, в данном случае ${\mathcal F}(\,{\dots}\,)$, но топология его псевдонасыщения ${\mathcal F}(\,{\dots}\,)^\vartriangle$ выглядит необычайно сложной настолько, что ничего проще самого определения псевдонасыщения для ее описания найти обычно невозможно. Так вот, формула (1.13) дает описание стереотипного тензорного произведения без необходимости анализировать, как устроены топологии пространств ${\mathcal F}(\,{\dots}\,)^\vartriangle$. Точно так же формула (1.12) позволяет свести описание пространства $Y^\vartriangle\oslash X^\triangledown$ к описанию свойств пространства $Y:X$ без необходимости изучать свойства пространств $Y^\vartriangle$ и $X^\triangledown$ (формулу (1.12) мы, впрочем, приводим как попутный результат, потому что напрямую в [8] она не используется). Этим вопросам посвящена настоящая работа. БлагодарностиАвтор благодарит О. Ю. Аристова, Й. Венгенрота и рецензентов за полезные советы и консультации. § 2. Псевдонасыщение первичной дроби $Y:X$Всюду в статье мы используем терминологию и обозначения работы [3]. Мы рассматриваем локально выпуклые пространства над полем $\mathbb C$. Для всякого локально выпуклого пространства $X$ символ ${\mathcal U}(X)$ обозначает множество всех окрестностей нуля в $X$, ${\mathcal S}(X)$ – множество всех вполне ограниченных подмножеств в $X$, ${\mathcal D}(X)$ – множество всех емких2 подмножеств в $X$. Термин оператор будет использоваться для линейных непрерывных отображений $\varphi\colon X\to Y$ локально выпуклых пространств. Мы начнем с доказательства формулы (1.12), последней из анонсированных во введении. 2.1. Билинейная форма $(g,x)\mapsto g:x$Напомним, что в [3; п. 5.6] билинейное отображение $\beta\colon X\times Y\to Z$ называлось непрерывным, если: 1) для всякой окрестности нуля $W\subseteq Z$ и любого вполне ограниченного множества $S\subseteq X$ найдется окрестность нуля $V\subseteq Y$ такая, что 2) для всякой окрестности нуля $W\subseteq Z$ и любого вполне ограниченного множества $T\subseteq Y$ найдется окрестность нуля $U\subseteq X$ такая, что Еще раз напомним, что для любых локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ символ $Y:X$ обозначает пространство линейных непрерывных отображений $\varphi\colon X\to Y$ с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (см. [3; п. 5.1]). Мы будем называть пространство $Y:X$ первичной тензорной дробью, имея в виду доказываемую ниже формулу (2.23), по которой применение к $Y:X$ операций $\vartriangle$ и $\triangledown$ дает стереотипную тензорную дробь $Y\oslash X$. Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$, то символ $B:A$ обозначает подмножество в $Y:X$, состоящее из отображений, переводящих $A$ в $B$ (см. [3; п. 5.4]):
$$
\begin{equation}
\varphi\in B\colon A \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi\in Y:X\ \& \ \varphi(A)\subseteq B.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для любых $x\in X$ и $g\in Y^\star$ определим функционал:
$$
\begin{equation}
(g:x)\colon (Y:X)\to\mathbb C \quad\bigm|\quad (g:x)(\varphi)=g(\varphi(x)), \qquad \varphi\in Y:X.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Теорема 1. Пусть $X$ и $Y$ – локально выпуклые пространства, причем $X$ псевдонасыщено. Тогда билинейное отображение непрерывно (в смысле определения выше). Доказательство. 1. Пусть $g_i\to 0$ и $S\in{\mathcal S}(X)$. Тогда для произвольного вполне ограниченного множества $\varPhi\subseteq Y:X$ множество $\varPhi(S)$ будет в силу [3; теорема 5.1] вполне ограничено в $Y$. Поэтому направленность $g_i$ будет стремиться к нулю равномерно на множестве $\varPhi(S)$ (по определению топологии в $Y^\star$): Это верно для любого вполне ограниченного множества $\varPhi\subseteq Y:X$, поэтому 2. Пусть $G\in {\mathcal S}(Y^\star)$ и $x_i\to 0$. Тогда для произвольного вполне ограниченного множества $\varPhi\subseteq Y:X$ множество $G\circ\varPhi$ будет в силу [3; теорема 5.1] вполне ограничено в $X^\star$. Поскольку по условию $X$ псевдонасыщено, множество $G\circ\varPhi$ равностепенно непрерывно на $X$. Как следствие, Это верно для любого вполне ограниченного множества $\varPhi\subseteq Y:X$, поэтомуСледствие 1. Пусть $X$ и $Y$ – локально выпуклые пространства, причем $X$ псевдонасыщено. Тогда если $S\subseteq X$ – вполне ограниченное множество и $g\in Y^\star$, то $g:S\subseteq (Y:X)^\star$ – вполне ограниченное множество. Двойственным образом, если $x\in X$ и $G\subseteq Y^\star$ – вполне ограниченное множество, то $G:x\subseteq (Y:X)^\star$ – вполне ограниченное множество. 2.2. Псевдонасыщение $Y:X$Пусть $\{X^\lambda;\,\lambda\in\mathbf{Ord}\}$ – инъективный ряд пространства $X$, а $\{Y_\mu;\, \mu\in\mathbf{Ord}\}$ – проективный ряд пространства $Y$ и
$$
\begin{equation*}
\vee_\lambda^X\colon X\to X^\lambda, \qquad \wedge_\mu^Y\colon Y_\mu\to Y
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующие естественные отображения. Рассмотрев аналог диаграммы (см. [3; формула (5.1)]) мы получим непрерывное отображение
$$
\begin{equation}
(\wedge_\mu^Y:\vee_\lambda^X)\colon (Y_\mu:X^\lambda) \to (Y:X).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Лемма 1. Если $X$ псевдонасыщено, а $Y$ псевдополно, то отображение (2.4) является биекцией, поэтому пространства $Y_\mu:X^\lambda$ и $Y:X$ можно отождествить как множества (а как локально выпуклые пространства они будут отличаться только топологией): Доказательство. Отображение $\vee_\lambda^X\colon X\to X^\lambda$ является эпиморфизмом. С другой стороны, отображение $\wedge_\mu^Y\colon Y_\mu\to Y$ является инъекцией. Отсюда следует, что отображение является инъекцией. Нам нужно проверить, что оно является сюръекцией. Действительно, пусть $\varphi\colon X\to Y$ – произвольный оператор. Мы последовательно построим два оператора $\varphi_\mu$ и $\psi$, замыкающие диаграмму Поскольку $X$ псевдонасыщено, оператор $\varphi$ однозначно продолжается до оператора $\varphi^\vartriangle\colon X\to Y^\vartriangle$. Если теперь рассмотреть его композицию с естественным отображением $Y^\vartriangle\to Y_\mu$, то мы получим оператор, продолжающий $\varphi$ до оператора $\varphi_\mu\colon X\to Y_\mu$. Далее, поскольку $Y$ псевдополно, $Y_\mu$ тоже псевдополно (в силу [3; предложение 3.16]). Поэтому оператор $\varphi_\mu\colon X\to Y_\mu$ продолжается до некоторого оператора $\chi\colon X^\triangledown\to Y_\mu$. Рассмотрев его композицию с естественным вложением $X^\lambda\to X^\triangledown$, мы получим оператор $\psi\colon X^\lambda\to Y_\mu$. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $X$ псевдонасыщено, а $Y$ псевдополно. Если $\varPhi\in Y:X$ – вполне ограниченное множество, то для любых $\lambda,\mu\in\mathbf{Ord}$ его представление в пространстве $Y_\mu:X^\lambda$ (биекцией (2.5)) – также вполне ограниченное множество. Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай $\lambda=0$. Если $\varPhi\subseteq Y:X$ – вполне ограниченное множество, то в силу [3; теорема 5.1] это значит, что $\varPhi$ равностепенно непрерывно и равномерно вполне ограничено на каждом вполне ограниченном множестве $S\subseteq X$. Как следствие, образ $\varPhi(S)$ будет вполне ограниченным множеством в $Y$. Пространство $Y_\mu$ представляет собой усиление топологии на $Y$, при котором класс вполне ограниченных множеств и топология на вполне ограниченных множествах не меняются. Поэтому $\varPhi(S)$ будет вполне ограниченным множеством также и в пространстве $Y_\mu$, причем с той же топологией, что и индуцированная из $Y$. И можно заключить, что множество $\varPhi$, рассматриваемое как множество операторов из $X$ в $Y_\mu$, равностепенно непрерывно и равномерно вполне ограничено на $S$. Это верно для всякого вполне ограниченного множества $S\subseteq X$. Значит (опять в силу [3; теорема 5.1]), $\varPhi$ вполне ограничено в $Y_\mu:X$. 2. Итак, мы поняли, что если $\varPhi\subseteq Y:X$ вполне ограничено в $Y:X$, то оно вполне ограничено и в $Y_\mu:X$ при любом $\mu\in\mathbf{Ord}$. Если взять достаточной большой ординал $\mu\in\mathbf{Ord}$, то мы получим, что $\varPhi\subseteq Y:X$ вполне ограничено в пространстве $Y^\vartriangle:X$. Отсюда в силу [3; лемма 5.10] мы получаем, что $\varPhi\subseteq Y:X$ вполне ограничено в пространстве $Y^{\vartriangle\triangledown}:X^\triangledown$. Поскольку по условию $Y$ псевдополно, в силу [3; предложение 3.16] пространство $Y^{\vartriangle}$ тоже псевдополно и, как следствие, Мы получаем, что множество $\varPhi\subseteq Y:X$ вполне ограничено в пространстве $Y^\vartriangle:X^\triangledown$.Теперь, зафиксировав произвольные $\lambda,\mu\in\mathbf{Ord}$ и обозначив через
$$
\begin{equation*}
\sigma\colon X^\lambda\to X^\triangledown, \qquad \pi\colon Y_\mu\gets Y^\vartriangle
\end{equation*}
\notag
$$
естественные отображения, мы получим линейное непрерывное отображение
$$
\begin{equation*}
(\pi:\sigma)\colon (Y^\vartriangle:X^\triangledown) \to (Y_\mu:X^\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Оно переводит вполне ограниченное множество $\varPhi\subseteq Y^\vartriangle:X^\triangledown$ во вполне ограниченное множество $\varPhi\subseteq Y_\mu:X^\lambda$. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $X$ псевдонасыщено, а $Y$ псевдополно. Тогда если $S\in {\mathcal S}(X^\lambda)$ и $V\in {\mathcal U}(Y_\mu)$, то3 $V:S\in {\mathcal D}(Y:X)$. Доказательство. Пусть $\varPhi\subseteq Y:X$ – вполне ограниченное множество. По лемме 2 $\varPhi$ будет вполне ограничено и в пространстве $Y_\mu:X^\lambda$. Поскольку $V:S$ – окрестность нуля в пространстве $Y_\mu:X^\lambda$, найдется конечное множество $A\subseteq Y_\mu:X^\lambda$ такое, что Но по лемме 1 все эти множества можно считать содержащимися в пространстве $Y:X$. Мы получаем, что для любого вполне ограниченного множества $\varPhi$ в $Y:X$ существует конечное множество $A$ в $Y:X$ такое, что выполняется (2.6). Это значит, что множество $V:S$ является емким в пространстве $Y:X$. Лемма доказана. Лемма 4. Если $X$ псевдонасыщено, а $Y$ псевдополно, то для любых ординалов $\lambda,\mu\in\mathbf{Ord}$: (i) при псевдонасыщении пространства $Y_\mu:X^\lambda$ и $Y:X$ становятся изоморфными, т.е. (ii) для любых $x\in X^\lambda$ и $g\in (Y_\mu)^\star$ функционал непрерывен на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$, т.е. существует единственный функционал $h\in ((Y:X)^\vartriangle)^\star$, замыкающий диаграмму Доказательство. Здесь нужно провести двойную индукцию по $\lambda$ и $\mu$. При $\lambda=\mu=0$ равенство (2.7) становится тривиальным: а диаграмма (2.8) превращается в диаграмму в которой нужно просто положить $h=g:x\ \circ\vartriangle_{X\cdot Y}$. Предположим, что для всех ординалов $\iota<\lambda$ и $\varkappa<\mu$, где $\lambda$ и $\mu$ – какие-то два фиксированных ординала, мы доказали утверждения: ${\rm (i)}^\circ$ при псевдонасыщении пространства $Y_\varkappa:X^\iota$ и $Y:X$ становятся изоморфными, т.е.
$$
\begin{equation}
(Y_\varkappa:X^\iota)^\vartriangle=(Y:X)^\vartriangle;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
${\rm (ii)}^\circ$ для любых $x\in X^\iota$ и $g\in (Y_\varkappa)^\star$ функционал
$$
\begin{equation*}
(g:x)\colon (Y_\varkappa:X^\iota)\to\mathbb C \quad\bigm|\quad (g:x)(\varphi)=g(\varphi(x)), \qquad \varphi\in Y_\varkappa:X^\iota,
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывен на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$, т.е. существует единственный функционал $h\in ((Y:X)^\vartriangle)^\star$, замыкающий диаграмму Покажем, что тогда (i) и (ii) выполняются для ординалов $\lambda$ и $\mu$. Шаг 1. Сначала зафиксируем произвольный ординал $\varkappa$ так, что $\varkappa<\mu$, и покажем, что ${\rm (i)}^\circ$ и ${\rm (ii)}^\circ$ выполняются при подстановке $\iota=\lambda$. Здесь нужно рассмотреть два случая. a) Предположим сначала, что $\lambda$ – изолированный ординал, т.е. для некоторого ординала $\iota<\lambda$. Покажем, что тогда для $\lambda$ (подставленного вместо $\iota$) выполняется условие ${\rm (ii)}^\circ$. Пусть
$$
\begin{equation*}
x\in X^\lambda=X^{\iota+1}=(X^\iota)^\vee, \qquad g\in(Y_\varkappa)^\star.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $x$ является пределом некоторой вполне ограниченной направленности $\{x_i;\, i\in I\}\subseteq X^\iota$:
$$
\begin{equation}
x_i\overset{(X^\iota)^\vee}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}x.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Поскольку множество $\{x_i\}\subseteq X^\iota$ вполне ограничено, по следствию 1 множество вполне ограничено в $(Y_\varkappa:X^\iota)^\star$. С другой стороны, из теоремы 1 следует, что $\{g:x_i;\, i\in I\}$ является направленностью Коши. Итак, мы получаем, что $\{g:x_i;\, i\in I\}$ – вполне ограниченная направленность Коши в пространстве $(Y_\varkappa:X^\iota)^\star$, значит, она сходится в объемлющем псевдополном пространстве $(Y_\varkappa:X^\iota)^{\star\triangledown}$:
$$
\begin{equation*}
(Y_\varkappa:X^\iota)^\star\subseteq (Y_\varkappa:X^\iota)^{\star\triangledown} =(Y_\varkappa:X^\iota)^{\vartriangle\star} \stackrel{(2.9)}{=} (Y:X)^{\vartriangle\star}
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.14]). То есть найдется функционал $h\in (Y:X)^{\vartriangle\star}$ такой, что
$$
\begin{equation}
g\colon x_i\overset{(Y:X)^{\vartriangle\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}h.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
С другой стороны, из цепочки равенств мы получаем, что соотношение (2.11) эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation}
x_i\overset{X^\lambda}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}} x,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
из которого по теореме 1 следует
$$
\begin{equation}
g\colon x_i\overset{(Y_\varkappa:X^\lambda)^{\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}} g:x.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Вместе соотношения (2.12) и (2.14) означают, в частности, что на каждом операторе (по лемме 1 пространства $Y_\varkappa:X^\lambda$ и $Y:X$ совпадают как множества, различаясь только топологией) функционалы $g:x$ и $h$ совпадают: Это доказывает утверждение ${\rm (ii)}^\circ$ (для $\lambda=\iota+1$, подставленного вместо $\iota$). Докажем теперь ${\rm (i)}^\circ$ (опять для $\lambda=\iota+1$, подставленного вместо $\iota$). Отображение
$$
\begin{equation*}
(Y_\varkappa:X^\lambda)^\vartriangle\to (Y:X)^\vartriangle
\end{equation*}
\notag
$$
в прямую сторону всегда непрерывно. Нужно доказать, что оно непрерывно в обратную сторону, т.е. что непрерывно отображение
$$
\begin{equation*}
(Y:X)^\vartriangle\to (Y_\varkappa:X^\lambda)^\vartriangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку пространство $(Y:X)^\vartriangle$ псевдонасыщено, нам достаточно доказать непрерывность отображения Рассмотрим базисную окрестность нуля в $Y_\varkappa:X^\lambda$, т.е. множество $V:S$, где $V$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $Y_\varkappa$, а $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$. По лемме 3 множество $V:S$ является емким в $Y:X$. Поэтому если мы докажем, что оно замкнуто в $(Y:X)^\vartriangle$, это будет означать, что оно является окрестностью нуля в $(Y:X)^\vartriangle$. Это становится очевидно, если представить $V:S$ как поляру системы функционалов вида $\{g:x;\,g\in V^\circ,\,x\in S\}$: Действительно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varphi\in V:S \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(S)\subseteq V \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\, x\in S \quad \varphi(x)\in V \\ &\ \ \Longleftrightarrow\quad \forall\, g\in V^\circ, \quad \forall\, x\in S \quad |\underbrace{g(\varphi(x))}_{\substack{\| \\ (g:x)(\varphi)}}|\leqslant 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi\in \{g:x;\,g\in V^\circ,\, x\in S\}^\circ. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Теперь нужно заметить, что в формуле (2.15) $x\in S$, где $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$, а $g\in V^\circ$, где $V$ – окрестность нуля в $Y_\varkappa$. Значит, $x\in X^\lambda$, а $g\in (Y_\varkappa)^\star$. Отсюда по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для случая $\lambda=\iota+1$) вытекает, что $g:x$ – непрерывные функционалы на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы получаем, что $V:S$ является полярой некоторой системы непрерывных функционалов на $(Y:X)^\vartriangle$, значит, $V:S$ – замкнутое множество в $(Y:X)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для $\lambda=\iota+1$, подставленного вместо $\iota$). b) Теперь рассмотрим случай, когда $\lambda$ – предельный ординал, т.е. для всех $\iota<\lambda$. Здесь опять сначала нужно доказать ${\rm (ii)}^\circ$ (для $\lambda$, подставленного вместо $\iota<\lambda$). Пусть $x\in X^\lambda$ и $g\in (Y_\varkappa)^\star$. Тогда (равенство следует из [3; формула (1.19)]), поэтому существует ординал $\iota<\lambda$ такой, что $x\in X^\iota$. Мы получаем, что $x\in X^\iota$ и $g\in (Y_\varkappa)^\star$, поэтому по предположению индукции ${\rm (ii)}^{\circ}$ функционал $g:x$ должен быть непрерывен на пространстве $(Y: X)^\vartriangle$. Это доказывает ${\rm (ii)}^\circ$ (для предельного $\lambda$, подставленного вместо $\iota<\lambda$).Теперь перейдем к ${\rm (i)}^\circ$. Здесь повторяются рассуждения п. a): нам нужно доказать непрерывность отображения Берем базисную окрестность нуля в $Y_\varkappa:X^\lambda$, т.е. множество $V:S$, где $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$, а $V$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $Y_\varkappa$, затем доказываем равенство (2.15), а потом замечаем, что в нем $x\in X^\lambda$, а $g\in (Y_\varkappa)^\star$. После этого по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для предельного $\lambda$, подставленного вместо $\iota<\lambda$) мы получаем, что $g:x$ – непрерывные функционалы на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Значит, $V:S$ – замкнутое множество в $(Y:X)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое по лемме 3, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для предельного $\lambda$, подставленного вместо $\iota<\lambda$).Шаг 2. Мы показали, что при фиксированном $\varkappa<\mu$ условия ${\rm (i)}^\circ$ и ${\rm (ii)}^\circ$ остаются справедливыми, если мы в них перейдем от $\iota<\lambda$ к $\iota=\lambda$. Теперь зафиксируем ординал $\iota$, положив $\iota=\lambda$, и покажем, что ${\rm (i)}^\circ$ и ${\rm (ii)}^\circ$ (с подставленным $\iota=\lambda$) остаются справедливыми, если в них мы перейдем от $\varkappa<\mu$ к $\varkappa=\mu$. Здесь тоже нужно рассмотреть два случая. a) Предположим сначала, что $\mu$ – изолированный ординал, т.е. для некоторого ординала $\varkappa<\mu$. Покажем, что тогда для $\mu$ (подставленного вместо $\varkappa$) выполняется условие ${\rm (ii)}^\circ$. Пусть
$$
\begin{equation*}
g\in (Y_\mu)^\star=(Y_{\varkappa+1})^\star=((Y_\varkappa)^\wedge)^\star =((Y_\varkappa)^\star)^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
(третье равенство следует из [3; теорема 3.10]) и Тогда $g$ является пределом некоторой вполне ограниченной направленности $\{g_i;\,i\in I\}\subseteq (Y_\varkappa)^\star$:
$$
\begin{equation}
g_i\overset{((Y_\varkappa)^\star)^\vee}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}g.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Поскольку множество $\{g_i\}\subseteq (Y_\varkappa)^\star$ вполне ограничено, по следствию 1 множество вполне ограничено в $(Y_\varkappa:X^\lambda)^\star$. С другой стороны, из теоремы 1 следует, что $\{g_i:x;\,i\in I\}$ является направленностью Коши. Итак, мы получаем, что $\{g_i:x;\,i\in I\}$ – вполне ограниченная направленность Коши в пространстве $(Y_\varkappa:X^\lambda)^\star$, значит, она сходится в объемлющем псевдополном пространстве $(Y_\varkappa:X^\lambda)^{\star\triangledown}$:
$$
\begin{equation*}
(Y_\varkappa:X^\lambda)^\star\subseteq (Y_\varkappa:X^\lambda)^{\star\triangledown}= (Y_\varkappa:X^\lambda)^{\vartriangle\star} \stackrel{(2.9)}{=}(Y:X)^{\vartriangle\star}
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.14]). То есть найдется функционал $h\in (Y:X)^{\vartriangle\star}$ такой, что
$$
\begin{equation}
g_i\colon x\overset{(Y:X)^{\vartriangle\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}h.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
С другой стороны, из цепочки равенств
$$
\begin{equation*}
((Y_\varkappa)^\star)^\vee= ((Y_\varkappa)^\wedge)^\star=(Y_{\varkappa+1})^\star=(Y_\mu)^\star
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.10]) мы получаем, что соотношение (2.17) эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation}
g_i\overset{(Y_\mu)^\star}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}} g,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
из которого по теореме 1 следует
$$
\begin{equation}
g_i\colon x\overset{(Y_\mu:X^\lambda)^{\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}} g:x.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Вместе соотношения (2.18) и (2.20) означают, в частности, что на каждом операторе (по лемме 1 пространства $Y_\mu:X^\lambda$ и $Y:X$ совпадают как множества, различаясь только топологией) функционалы $g:x$ и $h$ совпадают: Это доказывает утверждение ${\rm (ii)}^\circ$ (для $\mu=\varkappa+1$, подставленного вместо $\varkappa$). Докажем теперь ${\rm (i)}^\circ$ (опять для $\mu=\varkappa+1$, подставленного вместо $\varkappa$). Отображение в прямую сторону всегда непрерывно. Нужно доказать, что оно непрерывно и в обратную сторону, т.е. что непрерывно отображение
$$
\begin{equation*}
(Y:X)^\vartriangle\to (Y_\mu:X^\lambda)^\vartriangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку пространство $(Y:X)^\vartriangle$ псевдонасыщено, нам достаточно доказать непрерывность отображения Рассмотрим базисную окрестность нуля в $Y_\mu:X^\lambda$, т.е. множество $V:S$, где $V$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $Y_\mu$, а $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$. По лемме 3 множество $V:S$ является емким в $Y:X$. Поэтому если мы докажем, что оно замкнуто в $(Y:X)^\vartriangle$, то это будет означать, что оно является окрестностью нуля в $(Y:X)^\vartriangle$. Это становится очевидно, если представить $V:S$ как поляру системы функционалов вида $\{g:x;\,g\in V^\circ,\,x\in S\}$: что доказывается той же цепочкой (2.16). Далее мы замечаем, что в формуле (2.21) $x\in S$, где $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$, а $g\in V^\circ$, где $V$ – окрестность нуля в $Y_\mu$. Значит, $x\in X^\lambda$, а $g\in (Y_\mu)^\star$. Отсюда по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для $\mu=\varkappa+1$) следует, что $g:x$ – непрерывные функционалы на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы получаем, что $V:S$ является полярой некоторой системы непрерывных функционалов на $(Y:X)^\vartriangle$, значит, $V:S$ – замкнутое множество в $(Y:X)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для $\mu=\varkappa+1$, подставленного вместо $\varkappa$).b) Теперь рассмотрим случай, когда $\mu$ – предельный ординал, т.е. для всех $\varkappa<\mu$. Здесь опять сначала нужно доказать ${\rm (ii)}^\circ$ (с подставленным $\mu$ вместо $\varkappa<\mu$). Пусть $x\in X^\lambda$ и $g\in (Y_\mu)^\star$. Тогда
$$
\begin{equation*}
g\in (Y_\mu)^\star =(Y^\star)^\mu =\bigcup_{\varkappa<\mu} (Y^\star)^\varkappa=\bigcup_{\varkappa<\mu}(Y_\varkappa)^\star
\end{equation*}
\notag
$$
(первое и третье равенства следуют из [3; теорема 3.12], второе – из [3; формула (1.19)]), поэтому существует ординал $\varkappa<\mu$ такой, что $g\in (Y^\star)^\varkappa=(Y_\varkappa)^\star$. Мы получаем, что $x\in X^\iota$ и $g\in (Y_\varkappa)^\star$, поэтому по предположению индукции ${\rm(ii)}^{\circ}$ функционал $g:x$ должен быть непрерывен на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Это доказывает ${\rm (ii)}^\circ$ (для предельного $\mu$, подставленного вместо $\varkappa<\mu$). Теперь перейдем к ${\rm (i)}^\circ$. Здесь повторяются рассуждения п. a): нам нужно доказать непрерывность отображения Мы берем базисную окрестность нуля в $Y_\mu:X^\lambda$, т.е. множество $V:S$, где $S$ – вполне ограниченное множество в $X^\lambda$, а $V$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $Y_\mu$, затем доказываем равенство (2.21), а потом замечаем, что в нем $x\in X^\lambda$, а $g\in (Y_\mu)^\star$. После этого по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для предельного $\mu$, подставленного вместо $\varkappa<\mu$) мы получаем, что $g:x$ – непрерывные функционалы на пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Значит, $V:S$ – замкнутое множество в $(Y:X)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое по лемме 3, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(Y:X)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для предельного $\mu$, подставленного вместо $\varkappa<\mu$).Для произвольных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ отображения
$$
\begin{equation*}
\triangledown_X\colon X\to X^\triangledown, \qquad \vartriangle_Y\colon Y^\vartriangle\to Y
\end{equation*}
\notag
$$
определяют отображение
$$
\begin{equation}
(\vartriangle_Y:\triangledown_X)\colon (Y^\vartriangle:X^\triangledown) \to (Y:X)
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
(которое, понятно, просто совпадает с отображением (2.4) при подходящих $\lambda$ и $\mu$). Лемма 4 доказана. Теорема 2. Пусть $X$ псевдонасыщено, а $Y$ псевдополно. Тогда псевдонасыщение отображения (2.22) является изоморфизмом локально выпуклых (и стереотипных) пространств: Доказательство. Здесь второе равенство получается из (2.7), если подобрать ординалы $\lambda$ и $\mu$ так, что $X^\lambda=X^\triangledown$ и $Y_\mu=Y^\vartriangle$. А первое – просто определение (1.11) тензорной дроби $\oslash$ (при этом пространства $X^\triangledown$ и $Y^\vartriangle$ стереотипны в силу [3; предложения 3.17 и 3.16]).
Теорема доказана. § 3. Псевдонасыщение первичного тензорного произведения $X\cdot Y$3.1. Первичное тензорное произведение $X\cdot Y$Конструкция первичного тензорного произведения $X\cdot Y$, которую мы определяем здесь, совпадает с так называемым $\varepsilon$-произведением, введенным К. Бирштедтом в работе [13], а для случая, когда пространство $X$ полно, с $\varepsilon$-произведением, введенным в книге Х. Яршова [14]. Мы употребляем для этого понятия термин “первичное тензорное произведение”, потому что из доказываемой ниже формулы (3.29) следует, что $X\cdot Y$ играет такую же роль для инъективного стереотипного тензорного произведения $X\odot Y$, какую первичная тензорная дробь $Y:X$ играет для стереотипной тензорной дроби $Y\oslash X$ в формуле (2.23): применяя к $X\cdot Y$ (различными способами) операцию $\vartriangle$, мы получаем $X\odot Y$.Пусть $X$ и $Y$ – локально выпуклые пространства. Условимся первичным тензорным произведением $X\cdot Y$ называть локально выпуклое пространство, состоящее из операторов $\varphi\colon X^\star\to Y$ и наделенное топологией равномерной сходимости на полярах окрестностей нуля $U\subseteq X$:
$$
\begin{equation}
\varphi_i\overset{X\cdot Y}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}\varphi \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\, U\in{\mathcal U}(X) \quad \varphi_i(f)\overset{Y}{\underset{f\in U^\circ}{\underset{i\to\infty}{\rightrightarrows}}}\varphi(f).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Эту топологию удобно обозначить какой-нибудь буквой, например $\xi$, тогда пространство $X\cdot Y$ можно будет представить формулой (индекс $\xi$ обозначает сходимость в топологии $\xi$). Очевидно, что существует биективный оператор (который, однако, не является изоморфизмом, если $X$ не псевдонасыщено). Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$, то обозначим (где знак : был определен в (2.1)). Если $\alpha\colon X'\to X$, $\beta\colon Y'\to Y$ – операторы, то диаграмма определяет отображениеПредложение 1. Для любых операторов $\alpha\colon X'\to X$ и $\beta\colon Y'\to Y$ отображение непрерывно. Доказательство. Из непрерывности $\alpha$ следует, что сопряженное отображение $\alpha^\star\colon X^\star\to (X')^\star$ переводит поляру любой окрестности нуля $U\subseteq X$ в поляру некоторой окрестности нуля $U'$, а именно $U'=\alpha^{-1}(U)$: Поэтому из сходимости $\psi_i\to \psi$ в $X'\cdot Y'$
$$
\begin{equation*}
\forall\, U'\in{\mathcal U}(X') \quad \psi_i(g)\overset{Y'}{\underset{g\in (U')^\circ}{\underset{i\to\infty}{\rightrightarrows}}}\psi(g)
\end{equation*}
\notag
$$
следует сходимость $(\alpha\cdot\beta)(\psi_i)\to (\alpha\cdot\beta)(\psi)$ в $X\cdot Y$:
$$
\begin{equation*}
\forall\, U\in{\mathcal U}(X) \quad (\alpha\cdot\beta)(\psi_i)(f)=\beta\bigl(\psi_i(\alpha^\star(f))\bigr) \overset{Y}{\underset{f\in U^\circ}{\underset{i\to\infty}{\rightrightarrows}}} \beta\bigl(\psi(\alpha^\star(f))\bigr) =(\alpha\cdot\beta)(\psi)(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть далее $X$ и $Y$ – локально выпуклые пространства, причем $X$ псевдополно. Для всякого оператора $\varphi\colon X^\star\to Y$ мы можем рассмотреть двойственный оператор $\varphi\colon Y^\star\to X^{\star\star}$, а после этого сформировать композицию с оператором $i_X^{-1}\colon X^{\star\star}\to X$ (который в силу [3; следствие 2.13] существует и непрерывен, потому что $X$ псевдополно). Обозначим эту композицию символом $\omega_{X,Y}(\varphi)$: Мы получаем отображение
$$
\begin{equation}
\omega_{X,Y}\colon X\cdot Y=Y\underset{\xi}{:}X^\star\to X\underset{\xi}{:}Y^\star=Y\cdot X \quad\bigm|\quad \omega_{X,Y}(\varphi)=i_X^{-1}\circ\varphi^\star.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Предложение доказано. Теорема 3. Если локально выпуклые пространства $X$ и $Y$ псевдополны, то отображение (3.5) устанавливает изоморфизм локально выпуклых пространств Доказательство. 1. Сначала отметим такое тождество:
$$
\begin{equation}
f(\omega_{X,Y}(\varphi)(g))=g(\varphi(f)), \qquad f\in X^\star, \quad g\in Y^\star, \quad \varphi\in Y:(X^\star).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Для доказательства нужно обозначить тогда мы получим 2. После того как доказано (3.7), убедимся, что отображение $\omega_{X,Y}$ биективно. Это следует из тождества
$$
\begin{equation}
\omega_{Y,X}(\omega_{X,Y}(\varphi))=\varphi, \qquad \varphi\in X\cdot Y=Y\underset{\xi}{:}X^\star.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Действительно, для любых $f\in X^\star$ и $g\in Y^\star$ мы получим
$$
\begin{equation*}
g(\omega_{Y,X}(\omega_{X,Y}(\varphi))(f)) \stackrel{(3.7)}{=}f(\omega_{X,Y}(\varphi)(g)) \stackrel{(3.7)}{=}g(\varphi(f)).
\end{equation*}
\notag
$$
3. Наконец, докажем непрерывность отображения $\omega_{X,Y}$ в обе стороны. Действительно, если $U:(V^\circ)$ – базисная окрестность нуля в $X\underset{\xi}{:}Y^\star=Y\cdot X$ (где $U\subseteq X$ и $V\subseteq Y$ – замкнутые выпуклые уравновешенные окрестности нуля), то $V:(U^\circ)$ – базисная окрестность нуля в $Y\underset{\xi}{:}X^\star=X\cdot Y$, и при отображениях $\omega_{X,Y}$ и $\omega_{X,Y}^{-1}$ одна окрестность переходит в другую:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\omega_{X,Y}(\varphi)\in U:(V^\circ) \quad\Longleftrightarrow\quad \omega_{X,Y}(\varphi)(V^\circ)\subseteq U \\ &\Longleftrightarrow \quad \forall\, f\in U^\circ, \quad \forall\, g\in V^\circ \quad |\underbrace{f(\omega_{X,Y}(\varphi)(g))}_{ \substack{\|(3.7) \\ g(\varphi(f))}}|\leqslant 1 \\ &\Longleftrightarrow \ \ \forall\, f\in U^\circ, \ \ \forall\, g\in V^\circ \ \ |g(\varphi(f))|\leqslant 1 \ \ \Longleftrightarrow\ \ \varphi(U^\circ)\subseteq V \ \ \Longleftrightarrow \ \ \varphi\,{\in}\,V:(U^\circ). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вернемся к диаграмме (3.3). В частном случае, когда $\alpha$ и $\beta$ представляют собой функционалы отображение $\alpha\cdot\beta$ также естественно понимать как функционал действующий по формуле
$$
\begin{equation}
(f\cdot g)(\varphi)=g(\varphi(f)), \qquad \varphi\colon X^\star\to Y.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Если $F\subseteq X^\star$ и $G\subseteq Y^\star$ – два множества функционалов, то обозначаем В частности, если $f\in X^\star$ и $G\subseteq Y^\star$, то а если $F\subseteq X^\star$ и $g\in Y^\star$, тоТеорема 3 доказана. Теорема 4. Для псевдополных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ отображение раздельно непрерывно. Доказательство. Пусть $\varPhi\subseteq X\cdot Y=Y\underset{\xi}{:}X^\star$ – вполне ограниченное множество и $f\in X^\star$. По определению топологии $\xi$ множество $\varPhi$ должно быть равностепенно непрерывным и равномерно вполне ограниченным на поляре $U^\circ$ любой окрестности нуля $U\subseteq X$ (здесь применяется вариант теоремы 5.1 из [3]). В частности, если взять окрестность $U=\{f\}^\circ$, то множество операторов $\varPhi$ будет переводить его поляру
$$
\begin{equation*}
U^\circ=\{f\}^{\circ\circ}=\{\lambda\in\mathbb C\colon |\lambda|\leqslant 1\}\cdot f
\end{equation*}
\notag
$$
во вполне ограниченное множество в пространстве $Y$
$$
\begin{equation*}
\varPhi(U^\circ)=\{\lambda\in\mathbb C\colon |\lambda|\leqslant 1\}\cdot \varPhi(f)\subseteq Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие, поляра этого множества
$$
\begin{equation*}
V=\{\lambda\in\mathbb C\colon |\lambda|\leqslant 1\}\cdot \varPhi(f)^\circ\subseteq Y^\star
\end{equation*}
\notag
$$
должна быть окрестностью нуля в $Y^\star$. Теперь мы получаем, что для любого $g\in V$ т.е. $f\cdot g\in\varPhi^\circ$. Это верно для любого $g\in V$, поэтому Иными словами, для всякой базисной окрестности нуля $\varPhi^\circ$ в $(X\cdot Y)^\star$ (где $\varPhi$ – вполне ограниченное множество в $X\cdot Y$) и любого вектора $f\in X^\star$ найдется окрестность нуля $V\subseteq Y^\star$ такая, что выполняется (3.10). В силу (3.6) то же самое будет верно, если поменять местами $X$ и $Y$. Теорема доказана. Следствие 2. Если $F\subseteq X^\star$ – вполне ограниченное множество и $g\in Y^\star$, то $F\,{\cdot}\, g\subseteq (X\,{\cdot}\, Y)^\star$ – вполне ограниченное множество. Двойственным образом, если $f\in X^\star$ и $G\subseteq Y^\star$ – вполне ограниченное множество, то $f\cdot G\subseteq (X\cdot Y)^\star$ – вполне ограниченное множество. Предложение 2. Пусть $X$ и $Y$ – полные локально выпуклые пространства, причем $Y$ обладает свойством (классической) аппроксимации. Тогда первичное тензорное произведение $X\cdot Y$ изоморфно инъективному тензорному произведению Если дополнительно $Y$ ядерно, то $X\cdot Y$ изоморфно также и проективному тензорному произведению Первая часть этого утверждения отмечается в работе К.-Д. Бирштедта (см. [13; предложение 3.9, (3)]). Ее также можно вывести из утверждений 16.1.5 и 18.2.8, (3) в книге Х. Яршова [14] (и при этом придется воспользоваться утверждением 21.9, (7) из учебника Г. Кёте [6], описывающим совпадение топологий на пространстве $X'$ в определении $X\varepsilon Y$, используемых Бирштедтом и Яршовым). Вторая часть получается из характеризации ядерных пространств действием на них инъективного и проективного тензорных произведений (см. [15; п. 7.3.3]). 3.2. Псевдонасыщение $X\cdot Y$Пусть $\{X_\lambda;\,\lambda\in\mathbf{Ord}\}$ и $\{Y_\mu;\,\mu\in\mathbf{Ord}\}$ – проективные ряды пространств $X$ и $Y$ (см. [3; п. 1.4, (b)]) и
$$
\begin{equation*}
\wedge_\lambda^X\colon X_\lambda\to X, \qquad \wedge_\mu^Y\colon Y_\mu\to Y
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующие естественные отображения. Рассмотрев аналог диаграммы (3.3) мы получим отображение
$$
\begin{equation}
\wedge_\lambda^X\cdot\,\wedge_\mu^Y\colon X_\lambda\cdot Y_\mu\to X\cdot Y,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
непрерывное по предложению 1. Лемма 5. Если $X$ и $Y$ псевдополны, то отображение (3.14) является биекцией, поэтому пространства $X_\lambda\cdot Y_\mu$ и $X\cdot Y$ совпадают как множества (различаясь только топологией): Доказательство. Отображение $\wedge_\lambda^X\colon X_\lambda\to X$ является инъекцией, значит, сопряженное отображение $(\wedge_\lambda^X)^\star\colon (X_\lambda)^\star\gets X^\star$ является эпиморфизмом. С другой стороны, отображение $\wedge_\mu^Y\colon Y_\mu\to Y$ является инъекцией. Отсюда следует, что отображение является инъекцией. Нам нужно проверить, что оно является сюръекцией. Действительно, пусть $\varphi\colon X^\star\to Y$ – произвольный оператор. Мы последовательно построим два оператора $\varphi_\mu$ и $\psi$, замыкающие диаграмму Поскольку $X$ псевдополно, пространство $X^\star$ должно быть псевдонасыщено. Отсюда следует, что $\varphi$ однозначно продолжается до оператора $\varphi^\vartriangle\colon X^\star\to Y^\vartriangle$. Если теперь рассмотреть его композицию с естественным отображением $Y^\vartriangle\,{\to}\,Y_\mu$, мы получим оператор, продолжающий $\varphi$ до оператора $\varphi_\mu\colon X^\star\,{\to}\, Y_\mu$. Далее, поскольку $Y$ псевдополно, $Y_\mu$ тоже псевдополно. Поэтому оператор $\varphi_\mu\colon X^\star\to Y_\mu$ продолжается до некоторого оператора $\chi\colon (X^\star)^\triangledown\to Y_\mu$. Рассмотрев его композицию с естественным вложением $(X^\star)^\lambda\to (X^\star)^\triangledown$, мы получим оператор $\psi\colon (X^\star)^\lambda\to Y_\mu$. В силу равенства (см. [3; формула (3.11)]) оператор $\psi$ можно считать оператором $\psi\colon (X_\lambda)^\star\to Y_\mu$. Лемма доказана. Лемма 6. Пусть $X$ и $Y$ псевдополны. Если $\varPhi\in X\cdot Y$ – вполне ограниченное множество, то для любых $\lambda,\mu\in\mathbf{Ord}$ его представление в пространстве $X_\lambda\cdot Y_\mu$ (биекцией (3.15)) – также вполне ограниченное множество. Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай $\lambda=0$. Если $\varPhi\subseteq Y\underset{\xi}{:}X^\star$ – вполне ограниченное множество, то это значит, что $\varPhi$ равностепенно непрерывно и равномерно вполне ограничено на поляре $U^\circ$ каждой окрестности нуля $U\subseteq X$ (мы используем здесь вариант теоремы 5.1 из [3]). Как следствие, образ $\varPhi(U^\circ)$ будет вполне ограниченным множеством в $Y$. Пространство $Y_\mu$ представляет собой усиление топологии на $Y$, при котором класс вполне ограниченных множеств и топология на вполне ограниченных множествах не меняются. Поэтому $\varPhi(U^\circ)$ будет вполне ограниченным множеством также и в пространстве $Y_\mu$, причем с той же топологией, что и индуцированная из $Y$. Отсюда можно заключить, что множество $\varPhi$, рассматриваемое как множество операторов из $X^\star$ в $Y_\mu$, равностепенно непрерывно и равномерно вполне ограничено на $U^\circ$. И это верно для всякой окрестности нуля $U\subseteq X$. Значит, $\varPhi$ вполне ограничено в $Y_\mu\underset{\xi}{:}X^\star=X\cdot Y_\mu$. 2. Итак, мы поняли, что если $\varPhi\subseteq X\cdot Y$ вполне ограничено в $X\cdot Y$, то оно вполне ограничено и в $X\cdot Y_\mu$ при любом $\mu\in\mathbf{Ord}$. По теореме 3 отсюда следует, что $\varPhi$ вполне ограничено в пространстве $Y_\mu\cdot X\cong X\cdot Y_\mu$. Опять по уже доказанному мы можем заключить, что $\varPhi$ вполне ограничено в пространстве $Y_\mu\cdot X_\lambda$ при любом $\lambda\in\mathbf{Ord}$. И после этого, опять применяя теорему 3, мы можем сделать вывод, что $\varPhi$ вполне ограничено в пространстве $X_\lambda\cdot Y_\mu\cong Y_\mu\cdot X_\lambda$. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть $X$ и $Y$ псевдополны. Если $U\in {\mathcal U}(X_\lambda)$ и $V\in {\mathcal U}(Y_\mu)$, то $U\cdot V\in {\mathcal D}(X\cdot Y)$. Доказательство. Пусть $\varPhi\subseteq X\cdot Y=Y\underset{\xi}{:}X^\star$ – вполне ограниченное множество. По лемме 6 $\varPhi$ будет вполне ограничено и в пространстве $X_\lambda\cdot Y_\mu=Y_\mu\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star$. Поскольку $U\cdot V=U:(V^\circ)$ – окрестность нуля в пространстве $X_\lambda\cdot Y_\mu=Y_\mu\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star$, то найдется конечное множество $A\subseteq X_\lambda\cdot Y_\mu=Y_\mu\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star$ такое, что Но по лемме 5 все эти множества можно считать содержащимися в пространстве ${X\cdot Y}$. Мы получаем, что для любого вполне ограниченного множества $\varPhi$ в ${X\cdot Y}$ существует конечное множество $A$ в ${X\cdot Y}$ такое, что выполняется (3.16). Это значит, что множество $U\cdot V$ является емким в пространстве $X\cdot Y$. Лемма доказана. Лемма 8. Для любых псевдополных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ и любых ординалов $\lambda,\mu\in\mathbf{Ord}$: (i) при псевдонасыщении пространства $X_\lambda\cdot Y_\mu$ и $X\cdot Y$ становятся изоморфными, т.е.
$$
\begin{equation}
(X_\lambda\cdot Y_\mu)^\vartriangle=(X\cdot Y)^\vartriangle;
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
(ii) для любых функционалов $f\in (X_\lambda)^\star$ и $g\in (Y_\mu)^\star$ функционал $f\cdot g$: $X_\lambda\cdot Y_\mu\to\mathbb C$ непрерывен на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$, т.е. существует единственный функционал $h\in ((X\cdot Y)^\vartriangle)^\star$, замыкающий диаграмму Доказательство. Шаг 1. Это утверждение достаточно доказать для случая $\mu=0$. Действительно, предположим, мы доказали утверждения: ${\rm (i)}^\circ$ при псевдонасыщении пространства $X_\lambda\cdot Y$ и $X\cdot Y$ становятся изоморфными, т.е.
$$
\begin{equation}
(X_\lambda\cdot Y)^\vartriangle=(X\cdot Y)^\vartriangle;
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
${\rm (ii)}^\circ$ для любых функционалов $f\in (X_\lambda)^\star$ и $g\in Y^\star$ функционал $f\cdot g$: $X_\lambda\cdot Y\to\mathbb C$ непрерывен на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$, т.е. существует единственный функционал $h\in ((X\cdot Y)^\vartriangle)^\star$, замыкающий диаграмму Тогда, во-первых, будет выполняться (3.17), потому что
$$
\begin{equation*}
(X_\lambda\cdot Y_\mu)^\vartriangle \stackrel{(3.19)}{=}(X\cdot Y_\mu)^\vartriangle\stackrel{(3.6)}{=} (Y_\mu\cdot X)^\vartriangle\stackrel{(3.19)}{=} (Y\cdot X)^\vartriangle\stackrel{(3.6)}{=}(X\cdot Y)^\vartriangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-вторых, для любых функционалов $f\in (X_\lambda)^\star$ и $g\in (Y_\mu)^\star$ функционал будет непрерывен на пространстве $(X_\lambda\cdot Y_\mu)^\vartriangle$, а значит, и на изоморфном ему в силу только что доказанного равенства (3.17) пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$, и этот функционал на $(X\cdot Y)^\vartriangle$ как раз и будет функционалом $h$, который строится в (3.18). Его единственность также следует из (3.17). Шаг 2. Итак, мы поняли, что достаточно доказать более слабые утверждения ${\rm (i)}^\circ$ и ${\rm (ii)}^\circ$. Они доказываются индукцией по ординалам $\lambda\in\mathbf{Ord}$. Прежде всего, при $\lambda=0$ равенство (3.17) становится тривиальным: а диаграмма (3.20) превращается в диаграмму в которой нужно просто положить $h=f\cdot g\,{\circ}\,\vartriangle_{X\cdot Y}$.Далее, предположим, что для всех ординалов $\iota<\lambda$, где $\lambda$ – какой-то фиксированный ординал, мы доказали утверждения: ${\rm (i)}^{\circ\circ}$ при псевдонасыщении пространства $X_\iota\cdot Y$ и $X\cdot Y$ становятся изоморфными, т.е.
$$
\begin{equation}
(X_\iota\cdot Y)^\vartriangle=(X\cdot Y)^\vartriangle;
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
${\rm (ii)}^{\circ\circ}$ для любых функционалов $f\in (X_\iota)^\star$ и $g\in Y^\star$ функционал $f\cdot g$: $X_\iota\cdot Y\to\mathbb C$ непрерывен на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$, т.е. существует единственный функционал $h\in ((X\cdot Y)^\vartriangle)^\star$, замыкающий диаграмму Покажем, что тогда ${\rm (i)}^{\circ\circ}$ и ${\rm (ii)}^{\circ\circ}$ выполняются для самого ординала $\lambda$ (подставленного вместо $\iota$). Здесь нужно рассмотреть два случая. a) Предположим сначала, что $\lambda$ – изолированный ординал, т.е. для некоторого ординала $\iota<\lambda$. Покажем, что тогда для $\lambda$ выполняется условие ${\rm (ii)}^\circ$. Пусть
$$
\begin{equation*}
f\in (X_\lambda)^\star=(X_{\iota+1})^\star=((X_\iota)^\wedge)^\star= ((X_\iota)^\star)^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
(третье равенство следует из [3; теорема 3.10]) и Тогда $f$ является пределом вполне ограниченной направленности $\{f_i;\,i\in I\}\subseteq (X_\iota)^\star$:
$$
\begin{equation}
f_i\overset{((X_\iota)^\star)^\vee}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}f.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Поскольку множество $\{f_i\}\subseteq (X_\iota)^\star$ вполне ограничено, по следствию 2 множество вполне ограничено в $(X_\iota\cdot Y)^\star$. С другой стороны, из теоремы 4 следует, что $\{f_i\cdot g;\,i\in I\}$ является направленностью Коши. Итак, мы получаем, что $\{f_i\cdot g;\,i\in I\}$ – вполне ограниченная направленность Коши в пространстве $(X_\iota\cdot Y)^\star$, значит, она сходится в объемлющем псевдополном пространстве $(X_\iota\cdot Y)^{\star\triangledown}$:
$$
\begin{equation*}
(X_\iota\cdot Y)^\star\subseteq (X_\iota\cdot Y)^{\star\triangledown}= (X_\iota\cdot Y)^{\vartriangle\star} \stackrel{(3.21)}{=} (X\cdot Y)^{\vartriangle\star}
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.14]). То есть найдется функционал $h\in (X\cdot Y)^{\vartriangle\star}$ такой, что
$$
\begin{equation}
f_i\cdot g\overset{(X\cdot Y)^{\vartriangle\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}h.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
С другой стороны, из цепочки равенств
$$
\begin{equation*}
((X_\iota)^\star)^\vee= ((X_\iota)^\wedge)^\star=(X_{\iota+1})^\star= (X_\lambda)^\star
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.10]) мы получаем, что соотношение (3.23) эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation}
f_i\overset{(X_\lambda)^\star}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}f,
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
из которого по теореме 4 следует
$$
\begin{equation}
f_i\cdot g\overset{(X_\lambda\cdot Y)^{\star}}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}} f\cdot g.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Вместе соотношения (3.24) и (3.26) означают, в частности, что на каждом операторе
$$
\begin{equation*}
\varphi\in X_\lambda\cdot Y=Y\underset{\xi}{:} (X_\iota)^\star=Y\underset{\xi}{:} X^\star=X_\lambda\cdot Y
\end{equation*}
\notag
$$
(по лемме 5 пространства $Y\underset{\xi}{:} (X_\iota)^\star$ и $Y\underset{\xi}{:} X^\star$ совпадают как множества, различаясь только топологией) функционалы $f\cdot g$ и $h$ совпадают: Это доказывает утверждение ${\rm (ii)}^\circ$ (для случая $\lambda=\iota+1$). Докажем теперь ${\rm (i)}^\circ$. Отображение
$$
\begin{equation*}
(X_\lambda\cdot Y)^\vartriangle=(Y\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star)^\vartriangle\to (Y\underset{\xi}{:}X^\star)^\vartriangle=(X\cdot Y)^\vartriangle
\end{equation*}
\notag
$$
в прямую сторону всегда непрерывно. Нужно доказать, что оно непрерывно и в обратную сторону, т.е. что непрерывно отображение
$$
\begin{equation*}
(X\cdot Y)^\vartriangle=(Y\underset{\xi}{:}X^\star)^\vartriangle\to (Y\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star)^\vartriangle=(X_\lambda\cdot Y)^\vartriangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку пространство $(X\cdot Y)^\vartriangle$ псевдонасыщено, нам достаточно доказать непрерывность отображения
$$
\begin{equation*}
(X\cdot Y)^\vartriangle=(Y\underset{\xi}{:}X^\star)^\vartriangle\to Y\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star=X_\lambda\cdot Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим базисную окрестность нуля в $X_\lambda\cdot Y$, т.е. множество $U\cdot V$, где $U$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $X_\lambda$, а $V$ – замкнутая выпуклая уравновешенная окрестность нуля в $Y$. По лемме 7 множество $U\cdot V$ является емким в ${X\cdot Y}$. Поэтому если мы докажем, что оно замкнуто в ${(X\cdot Y)^\vartriangle}$, то это будет означать, что оно является окрестностью нуля в $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Это становится очевидным, если представить $U\cdot V=V:U^\circ$ как поляру системы функционалов вида $\{f\cdot g;\,f\in U^\circ,\, g\in V^\circ\}$:
$$
\begin{equation}
U\cdot V=V:U^\circ=\{f\cdot g;\,f\in U^\circ,\, g\in V^\circ\}^\circ.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varphi\in U\cdot V=V:U^\circ \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(U^\circ)\subseteq V \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\, f\in U^\circ \quad \varphi(f)\in V \\ &\Longleftrightarrow\ \ \forall\, g\in V^\circ, \quad \forall\, f\in U^\circ \quad |\underbrace{g(\varphi(f))}_{\substack{\| \\ (f\cdot g)(\varphi)}}|\leqslant 1 \ \ \Longleftrightarrow\ \ \varphi\in \{f\cdot g;\,f\in U^\circ,\,g\in V^\circ\}^\circ. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь нужно заметить, что в формуле (3.27) $f\in U^\circ$, где $U$ – окрестность нуля в $X_\lambda$, а $g\in V^\circ$, где $V$ – окрестность нуля в $Y$. Значит, $f\in (X_\lambda)^\star$, а $g\in Y^\star$. Отсюда по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для случая $\lambda=\iota+1$) получаем, что $f\,{\cdot}\, g$ – непрерывные функционалы на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Мы получаем, что $U\,{\cdot}\,V$ является полярой некоторой системы непрерывных функционалов на $(X\cdot Y)^\vartriangle$, значит, $U\cdot V$ – замкнутое множество в $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для случая $\lambda=\iota+1$). b) Теперь рассмотрим случай, когда $\lambda$ – предельный ординал, т.е. для всех $\iota<\lambda$. Здесь опять сначала нужно доказать ${\rm (ii)}^\circ$. Пусть $f\in (X_\lambda)^\star$ и $g\in Y^\star$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f\in (X_\lambda)^\star=(X^\star)^\lambda= \bigcup_{\iota<\lambda}(X^\star)^\iota
\end{equation*}
\notag
$$
(первое равенство следует из [3; теорема 3.12], второе – из [3; формула (1.32)]), поэтому существует ординал $\iota<\lambda$ такой, что (равенство следует из [3; теорема 3.12]). Мы получаем, что $f\in (X_\iota)^\star$ и $g\in Y^\star$, поэтому по предположению индукции ${\rm (ii)}^{\circ\circ}$ функционал $f\cdot g$ должен быть непрерывен на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Это доказывает ${\rm (ii)}^\circ$ (для случая предельного $\lambda$). Теперь перейдем к ${\rm (i)}^\circ$. Здесь повторяются рассуждения п. a): нам нужно доказать непрерывность отображения
$$
\begin{equation*}
(X\cdot Y)^\vartriangle=(Y\underset{\xi}{:}X^\star)^\vartriangle\to Y\underset{\xi}{:}(X_\lambda)^\star=X_\lambda\cdot Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы берем базисную окрестность нуля в $X_\lambda\cdot Y$, т.е. множество $U\cdot V$, где $U$ – окрестность нуля в $X_\lambda$, а $V$ – окрестность нуля в $Y$, затем доказываем равенство (3.27), а потом замечаем, что в нем $f\in (X_\lambda)^\star$, а $g\in Y^\star$. После этого по уже доказанному свойству ${\rm (ii)}^\circ$ (для случая предельного $\lambda$) мы получаем, что $f\cdot g$ – непрерывные функционалы на пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Значит, $U\cdot V$ – замкнутое множество в $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Вдобавок оно емкое по лемме 7, значит, оно является окрестностью нуля в (псевдонасыщенном) пространстве $(X\cdot Y)^\vartriangle$. Мы доказали свойство ${\rm (i)}^\circ$ (для случая предельного $\lambda$). Для произвольных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ отображения
$$
\begin{equation*}
\vartriangle_X\colon X^\vartriangle\to X, \qquad \vartriangle_Y\colon Y^\vartriangle\to Y
\end{equation*}
\notag
$$
определяют отображение
$$
\begin{equation}
(\vartriangle_X\cdot \vartriangle_Y)\colon (X^\vartriangle\cdot Y^\vartriangle) \to (X\cdot Y)
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
(которое просто совпадает с отображением (3.14) при подходящих $\lambda$ и $\mu$). Лемма 8 доказана. Теорема 5. Для любых псевдополных локально выпуклых пространств $X$ и $Y$ псевдонасыщение отображения (3.28) является изоморфизмом локально выпуклых пространств: Доказательство. Здесь второй изоморфизм получается из (3.17), если подобрать ординалы $\lambda$ и $\mu$ так, что $X_\lambda=X^\vartriangle$ и $Y_\mu=Y^\vartriangle$. А в первом изоморфизме используется то, что псевдонасыщение $X^\vartriangle$ псевдополного пространства $X$ всегда псевдополно (и поэтому стереотипно); см. [3; предложение 3.16]. Отсюда следует, что в пространстве $(X^\vartriangle)^\star$ всякое вполне ограниченное множество $S$ содержится в поляре $U^\circ$ некоторой окрестности нуля $U\subseteq X^\vartriangle$. Как следствие, в пространстве операторов $Y^\vartriangle:(X^\vartriangle)^\star$ топология равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах совпадает с топологией равномерной сходимости на полярах $U^\circ$ окрестностей нуля $U\subseteq X^\vartriangle$:
$$
\begin{equation*}
Y^\vartriangle:(X^\vartriangle)^\star=Y^\vartriangle\underset{\xi}{:}(X^\vartriangle)^\star.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы получаем цепочку, доказывающую первый изоморфизм в (3.29):
$$
\begin{equation*}
X^\vartriangle\odot Y^\vartriangle=Y^\vartriangle\oslash (X^\vartriangle)^\star= (Y^\vartriangle:(X^\vartriangle)^\star)^\vartriangle= (Y^\vartriangle\underset{\xi}{:}(X^\vartriangle)^\star)^\vartriangle \stackrel{(3.2)}{=}(X^\vartriangle\cdot Y^\vartriangle)^\vartriangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Akb22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|