| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Неустойчивость по Ляпунову стационарных течений полимерной жидкости в канале с перфорированными стенками А. М. Блохин, Д. Л. Ткачёв Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9507 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работе продолжается исследование течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в областях с различной геометрией границы, в нашем случае в бесконечном плоском канале. В качестве математической модели, описывающей динамику полимерной жидкости, выбрана структурно-феноменологическая модель Покровского–Виноградова, в основе которой лежит физическое представление о полимерной сплошной среде как суспензии макромолекул полимера, движущихся в анизотропной жидкости, образованной, например, растворителем и другими макромолекулами. При этом воздействие окружающей среды на выделенную макромолекулу аппроксимируется воздействием на линейную цепочку из броуновских частиц, каждая из которых представляет собой достаточно большую часть макромолекулы. Сформулированная физическая модель эффективна при описании медленных релаксационных процессов в системах, содержащих линейные полимеры; при этом, используя механическую аналогию, броуновские частицы принято называть “бусинками”, аналог упругих сил между частицами – “пружинками”. В самом простом случае, когда макромолекула моделируется “гантелью” (“гантель” – две “бусинки”, связанные “пружинкой”), формулируется система дифференциальных соотношений (модель Покровского–Виноградова; см. [1], [2])
$$
\begin{equation}
\rho\biggl(\frac{\partial}{\partial t}v_{i}+v_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}}v_{i}\biggr)=\frac{\partial}{\partial x_{k}}\sigma_{ik}, \qquad \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma_{ik}=-p\delta_{ik}+3\frac{\eta_{0}}{\tau_{0}}a_{ik},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}a_{ik}-v_{ij}a_{jk}-v_{kj}a_{ji}+\frac{1+(k-\beta)I}{\tau_{0}}a_{ik}= \frac{2}{3}\gamma_{ik}-\frac{3\beta}{\tau_{0}}a_{ij}a_{jk},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
I=a_{11}+a_{22}+a_{33}, \qquad \gamma_{ik}=\frac{v_{ik}+v_{ki}}{2}, \quad i,k=1,2,3.
\end{equation}
\notag
$$
Здесь $\rho$ – плотность полимера, $v_{i}$ – $i$-я компонента скорости, $\sigma_{ik}$ – тензор напряжений, $p$ – гидростатическое давление; $\eta_{0}$, $\tau_{0}$ – начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации для вязкоупругой составляющей, $v_{ij}$ – тензор градиентов скорости, $a_{ik}$ – симметрический тензор анизотропных напряжений; $\gamma_{ik}$ – симметризованный тензор градиентов скорости, причем компоненты тензора градиентов скорости $\nabla\otimes v$ вычисляются следующим образом: $v_{ik}={\partial v_{i}}/{\partial x_{k}}$, $i,k=1,2,3$; $k$ и $\beta$ – феноменологические параметры, учитывающие размеры и форму молекулярного клубка (более детально модель Покровского–Виноградова сформулирована в § 2). Здесь (1.1) – уравнение движения и условие несжимаемости, а (1.2) – реологическое соотношение, устанавливающее связь между кинематическими характеристиками потока и его термодинамическими параметрами; для каждой компоненты $a_{ik}$ сумма первых трех слагаемых в левой части равенства (1.3) – так называемая верняя конвективная производная, или производная Олдройда (см. [3]), ${d}/{dt}= {\partial}/{\partial t}+(\vec{v},\nabla)$ – материальная производная. Для модели (1.1)–(1.3) и ее обобщений довольно подробно изучен вопрос о линейной устойчивости аналогов течения Пуазейля в бесконечном плоском канале. Оказалось, что в широком, допускающем применение преобразования Лапласа по времени классе возмущений, причем решение принадлежит классу обобщенных функций медленного роста по переменной $x$, меняющейся вдоль стенки канала, смешанная задача (на сторонах канала заданы условия прилипания) поставлена некорректно: с увеличением параметра, двойственного к переменной $x$ относительно преобразования Фурье, вещественная часть параметра, отвечающая за рост решения по времени, неограниченно возрастает (см. [4]). Этот результат хорошо согласуется с известным фактом о линейной неустойчивости по Ляпунову течения Пуазейля для вязкой жидкости в модели Навье–Стокса (см. [5], [6]). В ряде работ (см., например, [7], [8]) исследована линейная устойчивость аналогов течения Пуазейля в более узком классе возмущений, периодических по переменной $x$: а именно, описана область значений параметров задачи, при которых спектр задачи расположен строго в левой комплексной полуплоскости. В настоящей работе также рассматривается течение полимерной жидкости в бесконечном плоском канале, но сейчас стенки канала перфорированы. В механике сплошных сред давно поставлен вопрос об управлении течениями жидкостей в каналах с помощью перфорации стенок канала, через отверстия в которых происходит вдув/отсос жидкости, в частности с целью влияния на толщину пограничных слоев вблизи стенок каналов. Такая ситуация имеет место для аэродинамических труб, для которых вопрос о гомогенизации (выравнивании) потока в трубах решается с помощью перфорированных стенок трубы; в магнитной гидродинамике, когда скорость вдува/отсоса через перфорированные стенки каналов помимо влияния на толщину обычного пограничного слоя жидкости существенно влияет и на толщину гартмановского пограничного слоя, возникающего при воздействии магнитного поля на жидкость (см. [9], [10]). Возникает также соблазн управлять течениями полимерной жидкости в канале 3D-принтера с помощью перфорированных стенок канала. Настоящая работа показывает, что стационарные течения пуазейлевского типа в каналах 3D-принтеров, к сожалению, являются неустойчивыми по Ляпунову в линейном приближении, причем малые возмущения основного стационарного решения приводят к возникновению решений с экспоненциально растущей со временем амплитудой – аналогов примера Адамара (см. [11]). Это может означать в нелинейном случае существование довольно сложной картины течений в каналах 3D-принтеров. В структурном отношении работа организована следующим образом. В § 2 сформулирована нелинейная модель течения полимерной жидкости в канале с перфорированными стенками и дано описание основного решения. В § 3 сформулированы линеаризованная проблема и основные результаты, составляющие содержание теорем 1–3, а именно представление общего решения линеаризованной проблемы, утверждений о некорректности постановки этой проблемы и о неустойчивости по Ляпунову выбранного основного решения. Наконец, в § 4 приведены доказательства теорем. § 2. Нелинейная модель течения полимерной жидкости в канале с перфорированными стенками. Основное течениеСледуя работе [1] и монографии [2], сформулируем нелинейную реологическую модель Покровского–Виноградова, описывающую течение вязкоупругой полимерной жидкости в бесконечном плоском канале с перфорированными стенками (рис. 1; предварительно проведена процедура обезразмеривания, подробно описанная в работе [12]):
$$
\begin{equation}
\frac{d\alpha_{11}}{dt}-2\alpha_{1}u_{x}-2\alpha_{12}u_{y}+L_{11}=0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\alpha_{12}}{dt}-\alpha_{1}v_{x}-\alpha_{2}u_{y}+\widetilde{K}_{I}\alpha_{12}=0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\alpha_{22}}{dt}-2\alpha_{2}v_{y}-2\alpha_{12}v_{x}+L_{22}=0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Здесь $t$ – время; $u$, $v$ – компоненты вектора скорости $\vec{u}$ в декартовой системе координат $x$, $y$; $p$ – давление; $\alpha_{ij}={a_{ij}}/{\mathrm{Re}}$, $i,j=1,2$, где $a_{ij}$ – компоненты симметрического тензора анизотропии второго ранга, $\Pi=(\alpha_{ij})$, $i,j=1,2$;
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{i}=\alpha_{ii}+\varkappa^{2}, \quad i=1,2; \qquad \varkappa^{2}=\frac{1}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Wi}}; \\ L_{ii}=K_{I}\alpha_{ii}+\beta \,\mathrm{Re}\,(\alpha_{ii}^{2}+\alpha_{12}^{2}), \qquad i=1,2; \\ K_{I}=\mathrm{Re}\biggl[\varkappa^{2}+\frac{\overline{k}}{3}I\biggr], \qquad I=\alpha_{11}+\alpha_{22}; \\ \widetilde{K}_{I}=K_{I}+\beta\, \mathrm{Re}\,I=\mathrm{Re}\biggl[\varkappa^{2}+\frac{\widehat{k}}{3}I\biggr], \qquad \widehat{k}= \overline{k}+ 3\beta, \quad \overline{k}=k-\beta; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$k$, $\beta$ ($0 < \beta < 1$) – феноменологические параметры реологической модели, характеризующие вклады в тензор анизотропии $a_{ik}$, связанные с размерами и ориентацией макромолекулярного клубка соответственно (см. [13]), $\mathrm{Re}={\rho u_{H}l}/{\eta_{0}}$ – число Рейнольдса, $\mathrm{Wi}={\tau_{0}u_{H}}/{l}$ – число Вайсенберга, $\eta_{0}$, $\tau_{0}$ – начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации (см. [13]), $u_{H}$ – характерная (достаточно малая) скорость; ${d}/{dt}={\partial}/{\partial t}+(\vec{u},\nabla)$. Переменные $t$, $x$, $y$, $u$, $v$, $p$, $\alpha_{11}$, $\alpha_{12}$, $\alpha_{22}$ в системе (2.1)–(2.5) отнесены соответственно к характерным величинам ${l}/{u_{H}}$, $l$, $u_{H}$, $\rho u_{H}^{2}$, ${\mathrm{Wi}\,\mathrm{Re}}/{3}$. На границах канала зададим следующие условия:
$$
\begin{equation}
u=v_{y}=0, \qquad y=0, \quad t > 0, \qquad x\in R^{1};
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
u=v_{y}=0, \qquad y=1, \quad t > 0, \qquad x \in R^{1}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Конечно, дополнительно нужно задать начальные данные:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \vec{U}(t,x,y)=(u,v,\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{22})^\top=\vec{U}_{0}(x,y), \\ P= P_{0}(x,y),\qquad t=0, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1,\quad x\in\mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Замечание 1. В силу того, что полости в стенках канала расположены друг напротив друга, решение задачи (2.1)–(2.8) описывает течения с постоянным расходом. Будем искать стационарное решение задачи (2.1)–(2.8) следующего вида:
$$
\begin{equation}
\vec{U}(t,x,y)=(u,v,\alpha_{11},\alpha_{12},\alpha_{22})^\top=\widehat{\vec{U}}(y), \qquad p(t,x,y)= \widehat{P}(y)+\widehat{p}_{0}-\widehat{A}x,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
соответствующее течению несжимаемой полимерной жидкости в плоском бесконечном канале под действием постоянного перепада давления вдоль стенки канала $y=0$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\widehat{\vec{U}}(y)=\bigl(\widehat{u}(y), \widehat{v}(y), \widehat{\alpha}_{11}(y), \widehat{\alpha}_{12}(y), \widehat{\alpha}_{22}(y)\bigr)^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
$\widehat{P}(y)$ – некоторая функция, подлежащая определению, $\widehat{P}(0)=0$, $\widehat{p}_{0}$ – значение давления при $y=0$, $x=0$; $\widehat{A}={\widehat{\Delta p}}/{(\rho u_{H}^{2}h)}$, $-{\widehat{\Delta p}}/{(\rho u_{H}^{2}h)}$ – безразмерный перепад давления на отрезке $h$, причем размерная величина $\widehat{\Delta p}$ больше нуля. Для определения функций $\widehat{u}(y)$, $\widehat{v}(y)$, $\widehat{\alpha}_{11}(y)$, $\widehat{\alpha}_{12}(y)$, $\widehat{\alpha}_{22}(y)$, $\widehat{P}(y)$ из задачи (2.1)–(2.5) получаем набор соотношений
$$
\begin{equation}
\widehat{v}'(y)=0, \quad \text{т.е. }\ \widehat{v}=r=\mathrm{const}, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\alpha}_{12}(y)=-\widehat{A}y+r\widehat{u}(y)+\widehat{\alpha}_{12}(0),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{P}(y)=\widehat{\alpha}_{22}(y)-\widehat{\alpha}_{22}(0),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
r\widehat{\alpha}'_{11}-2\widehat{\alpha}_{12}\widehat{u}'+K_{\widehat{I}}\widehat{\alpha}_{11}+\beta\, \mathrm{Re}(\widehat{\alpha}_{11}^{2}+\widehat{\alpha}_{12}^{2})=0,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
r\widehat{\alpha}_{12}'-(\widehat{\alpha}_{22}+\varkappa^{2})\widehat{u}'+ \widetilde{K}_{\widehat{I}}\widehat{\alpha}_{12}=0,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
r\widehat{\alpha}_{22}'+K_{\widehat{I}}\widehat{\alpha}_{22}+\beta\, \mathrm{Re}(\widehat{\alpha}_{12}^{2}+ \widehat{\alpha}_{22}^{2})=0,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $\widehat{\alpha}_{12}(0)$, $\widehat{\alpha}_{22}(0)$ – константы, которые нужно определить. Из (2.11), (2.14) и (2.6), (2.7) получаем Здесь
$$
\begin{equation*}
g(y)=\frac{r\widetilde{K}_{\widehat{I}}}{\alpha_{22}+\varkappa^{2}-r^{2}}, \qquad q(y)= \frac{(\widehat{\alpha}_{12}(0)-\widehat{A}y)\widetilde{K}_{\widehat{I}} -\widehat{A}r}{\alpha_{22}+\varkappa^{2}- r^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нахождения неизвестных $\widehat{u}$, $\widehat{\alpha}_{11}$, $\widehat{\alpha}_{22}$ необходимо решить систему из уравнений (2.13), (2.15) и (2.16), причем выполнено соотношение (2.11) и краевые условия (2.17). Можно поступить так: решить задачу Коши для системы уравнений (2.13), (2.15), (2.11), (2.16) при условии $\widehat{u}(0)=0$, а затем использовать условие $\widehat{u}(1)=0$ для нахождения постоянной $\widehat{\alpha}_{12}(0)$. Однако при этом нужно знать значения $\widehat{\alpha}_{11}(0)$ и $\widehat{\alpha}_{12}(0)$. Замечание 2. Любопытно, что, как и в случае магнитогидродинамических течений между параллельными стенками (см. [10]), профиль продольной скорости $u$ теряет симметричность, максимум скорости перемещается в направлении поперечного потока. Один из возможных вариантов выбора: $\widehat{\alpha}_{11}(0)$, $\widehat{\alpha}_{22}(0)$ подбираются таким образом, чтобы решение, полученное при малых положительных значениях $r$, было близко к предельному решению при $r=0$ (которое при различных значениях остальных параметров уже построено в работе [12], это аналог течения Пуазейля для полимерной жидкости). Заметим кстати, что уравнения (2.13), (2.15) вырождаются при $r=0$. При анализе результатов, выполненных А. М. Блохиным и Р. Е. Семенко, выяснилось, что целесообразно выбирать $\widehat{\alpha}_{11}(0)$, $\widehat{\alpha}_{22}(0)$ таким образом, чтобы в окрестности нижней границы $y=0$ кривизна графиков этих функций была минимальной. На рис. 2 представлены графики функций $\widehat{u}$, $\widehat{\alpha}_{11}$, $\widehat{\alpha}_{22}$ при значениях $r=0.1$, $r=0.2$ и их предельный вариант при $r=0$; $\mathrm{Re}=7.78$, $\mathrm{Wi}=0.1$, $\beta=0.88$, $A=1$. Зная $\widehat{u}(y)$, $\widehat{\alpha}_{11}(y)$, $\widehat{\alpha}_{22}(y)$, по формулам (2.11), (2.12) можно определить $\widehat{\alpha}_{12}(y)$ и $\widehat{P}(y)$, а значит, и все компоненты основного решения. Замечание 3. В силу равенства (2.10) начально краевая задача (2.1)–(2.8) поставлена некорректно – параметр $r$ можно выбрать произвольным образом. Этот факт в дальнейшем будет перенесен на линейный случай. Заметим однако, что нас в дальнейшем в большей степени будет интересовать вопрос устойчивости по Ляпунову выбранного основного решения (параметр $r$ фиксирован) и характер возможной его неустойчивости. § 3. Линеаризованная проблема. Формулировка основных результатовЛинеаризуя систему (2.1)–(2.5) относительно выбранного основного стационарного решения, получаем (см. также [7] для случая $r=0$)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial\vec{U}}{\partial t}+\widehat{B}\,\frac{\partial\vec{U}}{\partial x}+ \widehat{C}\,\frac{\partial\vec{U}}{\partial y}+R\vec{U}+\vec{F}=0, \\ u_{x}+v_{y}=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \vec{U}=\begin{pmatrix} u\\ v\\ \alpha_{11}\\ \alpha_{12}\\ \alpha_{22} \end{pmatrix}, \qquad \widehat{B}=\begin{pmatrix} \widehat{u} & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \widehat{u} & 0 & -1 & 0 \\ -2\widehat{\alpha}_{1} & 0 & \widehat{u} & 0 & 0 \\ 0 & -\widehat{\alpha}_{1} & 0 & \widehat{u} & 0 \\ 0 & -2\widehat{\alpha}_{12} & 0 & 0 & \widehat{u} \end{pmatrix}, \\ \widehat{C}=\begin{pmatrix} r & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & r & 0 & 0 & -1 \\ -2\widehat{\alpha}_{12} & 0 & r & 0 & 0 \\ -\widehat{\alpha}_{2} & 0 & 0 & r & 0 \\ 0 & -2\widehat{\alpha}_{2} & 0 & 0 & r \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{R}=\begin{pmatrix} 0 & \widehat{\omega} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \widehat{\alpha}_{11}' & R_{33} & R_{34} & R_{35} \\ 0 & \widehat{\alpha}_{12}' & R_{43} & R_{44} & R_{45} \\ 0 & \widehat{\alpha}_{22}' & R_{53} & R_{54} & R_{55} \end{pmatrix}, \qquad F=\begin{pmatrix} p_{x}\\ p_{y}\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{33}=\mathrm{Re}\biggl(\varkappa^{2}+\frac{\overline{k}}{3}\widehat{I} +\frac{k+5\beta}{3}\widehat{\alpha}_{11}\biggr), \qquad R_{34}=-2(\widehat{\omega}-\beta\, \mathrm{Re}\,\widehat{\alpha}_{12}), \quad \widehat{\omega}=\widehat{u}', \\ R_{35}= \mathrm{Re}\,\frac{\overline{k}}{3}\widehat{\alpha}_{11}, \\ R_{43}=\frac{\widehat{k}}{3}\,\mathrm{Re}\,\widehat{\alpha}_{12}, \qquad R_{44}=\mathrm{Re}\biggl(\varkappa^{2}+ \frac{\widehat{k}}{3}\widehat{I}\biggr), \qquad R_{45}=-\widehat{\omega}+\frac{\widehat{k}}{3}\,\mathrm{Re}\,\widehat{\alpha}_{12}, \\ R_{53}=\frac{\overline{k}}{3}\,\mathrm{Re}\,\widehat{\alpha}_{22}, \qquad R_{54}=2\beta\, \mathrm{Re}\,\widehat{\alpha}_{12}, \qquad R_{55}= \mathrm{Re}\biggl(\varkappa^{2}+\frac{\overline{k}}{3}\widehat{I} +\frac{k+5\beta}{3}\widehat{\alpha}_{12}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если по аналогии с работой [12] ввести переменную $\Omega\,{=}\,p\,{-}\,\alpha_{22}$, то система (3.1) перепишется так:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\vec{U}}{\partial t}+\widetilde{B}\,\frac{\partial\vec{U}}{\partial x}+ \widetilde{C}\,\frac{\partial\vec{U}}{\partial y}+R\vec{U}+\vec{\Gamma}=0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \widetilde{B}=\begin{pmatrix} \widehat{u} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & \widehat{u} & 0 & -1 & 0 \\ -2\widehat{\alpha}_{1} & 0 & \widehat{u} & 0 & 0 \\ 0 & -\widehat{\alpha}_{1} & 0 & \widehat{u} & 0 \\ 0 & -2\widehat{\alpha}_{12} & 0 & 0 & \widehat{u} \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{C}=\begin{pmatrix} r & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & r & 0 & 0 & 0 \\ -2\widehat{\alpha}_{12} & 0 & r & 0 & 0 \\ -\widehat{\alpha}_{2} & 0 & 0 & r & 0 \\ 0 & -2\widehat{\alpha}_{2} & 0 & 0 & r \end{pmatrix}, \\ \vec{\Gamma}=\begin{pmatrix}\Gamma_{1} \\ \Gamma_{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Omega_{x}\\ \Omega_{y} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
К системе (3.4) необходимо добавить соотношение для $\Omega$ (следствие из уравнения несжимаемости и уравнений Эйлера)
$$
\begin{equation}
\Delta\Omega=\sigma_{xx}+2(\alpha_{12})_{xy}-2\widehat{\omega}v_{x},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где введено обозначение $\sigma=\alpha_{11}-\alpha_{22}$. Для системы (3.4)–(3.6) должны быть выполнены краевые условия
$$
\begin{equation}
u=v_{y}=0, \quad \Omega_{y}=(\alpha_{12})_{x}-v_{t} \qquad \text{при }\ y=0, \quad t > 0, \quad x \in R^{1},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
u=v_{y}=0, \quad \Omega_{y}=(\alpha_{12})_{x}-v_{t} \qquad \text{при }\ y=1, \quad t > 0, \quad x \in R^{1}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Будем искать у задачи (3.4), (3.6)–(3.8) периодические по переменной $x$ решения
$$
\begin{equation}
\vec{U}=\overline{U}(y)e^{\lambda t+i\omega x}, \quad \Omega=\overline{\Omega}(y)e^{\lambda t+i\omega x}, \qquad \omega\in R^{1}, \quad \lambda\in C.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Тогда система (3.4), (3.6) преобразуется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\lambda\overline{U}+i\omega\widetilde{B}\overline{U}+\widetilde{C}\,\frac{\partial \overline{U}}{\partial y}+ R\overline{U}+ \begin{pmatrix} \Omega_{x}\\ \Omega_{y} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=0,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{\Omega}_{yy}-\omega^{2}\overline{\Omega}=-\omega^{2}\overline{\alpha}_{11}+ \omega^{2}\overline{\alpha}_{22}+2i\omega(\overline{\alpha}_{12})_{y} -2i\omega\widehat{\omega}\widehat{v}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Используя идею работы [6], с помощью линейной замены переменных
$$
\begin{equation*}
\overline{U}=TY, \qquad T=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & \dfrac{1}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2\widehat{\alpha}_{2}} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dfrac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}} & \dfrac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
приведем систему (3.4) к каноническому виду: где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K=\begin{pmatrix} r & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} \end{pmatrix}, \\ L=\begin{pmatrix} \widehat{u} & 0 & -\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}\widehat{\alpha}_{1}}{\widehat{\alpha}_{2}^{2}} & \dfrac{2\widehat{\alpha}_{1}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & -\dfrac{2\widehat{\alpha}_{1}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ 0 & \widehat{u} & \dfrac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \widehat{u} & 2\widehat{\alpha}_{2} & 2\widehat{\alpha}_{2} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} & \dfrac{\widehat{\alpha}_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}} & \widehat{u}+ \dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & -\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} & \dfrac{1}{2}\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} & \dfrac{\widehat{\alpha}_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}} & -\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & u-\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \end{pmatrix}, \\ { M=\!\begin{pmatrix} \!R_{33}{-}\frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43} & R_{35}{-} \frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{45} & {-}\frac{\widehat{\alpha}_{11}}{2\widehat{\alpha}_{2}}{-} \frac{\widehat{\alpha}_{12}\widehat{\alpha}_{12}'}{\widehat{\alpha}_{2}^{2}} & \Delta_{1} & \Delta_{1} \\ R_{53} & R_{55} & {-}\frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{2\widehat{\alpha}_{2}}{-} \frac{1}{\widehat{\alpha}_{2}}\widehat{\alpha}_{2}' & \frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{53}{+}R_{54} & \frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}{+}R_{53}{+}R_{54}\!\!\! \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{R_{43}}{2} & \frac{R_{45}}{2} & \frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{-} \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}} &\Delta_{2} & \Delta_{3} \\ \frac{R_{43}}{2} & \frac{R_{43}}{2} & {-}\frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{-} \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}} & \Delta_{2} & \Delta_{3} \end{pmatrix},} \\ \Delta_{1}=2\dfrac{\alpha_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{33}+R_{34}- 4\dfrac{\widehat{\alpha}^{2}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}^{2}}R_{43}- 2\dfrac{\alpha_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{44}, \qquad \Delta_{2}= \dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\dfrac{R_{44}}{2}- \dfrac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}', \\ \Delta_{3}=\Delta_{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}', \qquad \widetilde{\Gamma}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2\widehat{\alpha}_{2}\Omega' \\ -i\omega\dfrac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2}\Omega \\ i\omega\dfrac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2}\Omega \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом уравнение (3.11) преобразуется так:
$$
\begin{equation}
\overline{\Omega}''-\omega^{2}\Omega=2i\omega(y_{4}'+y_{5}')-\omega^{2}y_{1}+ i\omega\widehat{\omega}\frac{1}{\widehat{\alpha}_{2}}y_{3}+\omega^{2}y_{2}- 2\omega^{2}\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}y_{4}- 2\omega^{2}\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}y_{5}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Граничные условия (3.7), (3.8) приобретают новый вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, y_{4}-y_{5}=0, \\ \widehat{\alpha}_{2}y_{3}'-\widehat{\alpha}_{2}'y_{3}=0, \\ \Omega_{y}-i\omega(y_{4}+y_{5}) -\frac{\lambda}{2\widehat{\alpha}_{2}}y_{3}=0 \quad \text{при } y= 0,1, \quad t > 0, \quad x\in R^{1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
В следующей теореме дано описание множества возможных значений числа $\lambda$, которое является параметром в задаче (3.12)–(3.14) при фиксированном значении параметра $\omega$, и множества решений этой задачи. Теорема 1. Пусть $r \neq 0$, $r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} \neq 0$, $r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}} \neq 0$. Тогда множество решений краевой задачи (3.12)–(3.14) имеет следующее асимптотическое представление при $|\lambda| \to \infty$: Из теоремы 1 с учетом представления (3.9) и вида матрицы $T$ следует справедливость следующей теоремы. Теорема 2. Смешанная задача (3.4)–(3.8) (дополнительно задана система начальных данных) поставлена некорректно в классе гладких функций. И в заключение сформулируем основной результат. Замечание 4. Аналогичные результаты справедливы для течений в канале, когда вместо вторых краевых условий $v_{y}|_{y=0,1}=0$ в соотношениях (2.6), (2.7) выбираются такие: $v|_{y=0,1}=r$. § 4. Доказательство теорем 1–3Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
Y=\overline{Z}=(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5})^\top, \qquad z_{6}=\Omega, \qquad z_{7}=\Omega', \qquad Z= (\overline{z}^\top, z_{6}, z_{7})^\top.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда систему (3.12) и скалярное уравнение (3.13) можно записать в виде новой системы где матрицы $P$ и $\widetilde{G}$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P=\begin{pmatrix} &&&&& 0 & 0\\ &&&&& 0 & 0\\ && K &&& 0 & 0\\ &&&&& 0 & 0\\ &&&&& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -2i\omega & -2i\omega' & 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ \widetilde{G}=\begin{pmatrix} &&&&& 0 & 0\\ &&&&& 0 & 0\\ && i\omega L+M+\lambda E &&& 0 & -2\widehat{\alpha}_{2}\\ &&&&& -i\omega\dfrac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} & 0 \\ &&&&& i\omega\dfrac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ \omega^{2} & -\omega^{2} & -\dfrac{i\omega\widehat{\omega}}{\widehat{\alpha}_{2}} & 2\omega^{2}\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}} & 2\omega^{2}\dfrac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}} & -\omega^{2} & 0 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
матрицы $K$, $L$, $M$ описаны в § 3. Приведем матрицу $P$ к единичной матрице, при этом меняется матрица коэффициентов при векторе $Z$, а система (4.1) преобразуется так: где матрица $G$ имеет компоненты
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{11}=i\omega\frac{\widehat{u}}{r}+\frac{1}{r}\biggl(R_{33}- \frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}\biggr)+\frac{\lambda}{r}, \qquad g_{12}= \frac{1}{r}\biggl(R_{35}-\frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{45}\biggr), \\ &g_{13}=-i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{12}\widehat{\alpha}_{1}}{\widehat{\alpha}_{2}^{2}r}- \biggl(\frac{\widehat{\alpha}_{11}'}{2\widehat{\alpha}_{2}}+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}\widehat{\alpha}_{12}'}{\widehat{\alpha}_{2}^{2}}\biggr)\frac{1}{r}, \qquad g_{14}= i\omega\frac{2\widehat{\alpha}_{1}}{\sqrt{\alpha_{2}}r}+\frac{\Delta_{1}}{r}, \\ &g_{15}=-i\omega\frac{2\widehat{\alpha}_{1}}{\sqrt{\alpha_{2}}r}+\frac{\Delta_{1}}{r}, \qquad g_{16}= g_{17}=0; \\ &g_{21}=\frac{1}{r}R_{53}, \qquad g_{22}=(i\omega\widehat{u}+R_{55}+\lambda)\frac{1}{r}, \\ &g_{23}=\biggl(i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}- \frac{\widehat{\alpha}_{2}'}{\widehat{\alpha}_{2}}-\frac{i\omega\widehat{u}}{r}- \frac{\lambda}{r}\biggr)\frac{1}{r}, \qquad g_{24}=\biggl(2\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{53}+ R_{54}-i\omega\frac{2\widehat{\alpha}_{2}}{r}\biggr)\frac{1}{r}, \\ &g_{25}=\biggl(2\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{53}+R_{54}- i\omega\frac{2\widehat{\alpha}_{2}}{r}\biggr)\frac{1}{r}, \qquad g_{26}=g_{27}=0; \\ &g_{31}=g_{32}=0, \qquad g_{33}=\frac{i\omega}{r}\widehat{u}+\frac{\lambda}{r}, \qquad g_{34}= i\omega\frac{2\widehat{\alpha}_{2}}{r}, \\ &g_{35}=\frac{2\widehat{\alpha}_{2}}{r}i\omega, \qquad g_{36}=0, \qquad g_{37}= -\frac{2\widehat{\alpha}_{2}}{r}; \\ &g_{41}=\biggl(\frac{i\omega\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2}+\frac{R_{43}}{2}\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \qquad g_{42}=\biggl(\frac{-i\omega\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2}+ \frac{R_{45}}{2}\biggr)\frac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{43}=\biggl(i\omega\frac{\alpha_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}} +\frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}}\biggr)\frac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{44}=\biggl(i\omega\biggl(\widehat{u} +\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr)- \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}+\lambda\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{45}=\biggl(i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}+ \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{46}=\frac{i\omega\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2(r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}})}, \qquad g_{47}=0; \\ &g_{53}=\biggl(i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}}- \frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}}\biggr) \frac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{54}=\biggl(-i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43} +\frac{R_{44}}{2}\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{55}=\biggl(i\omega\biggl(\widehat{u} -\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \biggr) + \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}+\lambda\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ &g_{56}=\frac{i\omega\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2(r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}})}, \qquad g_{57}=0; \\ &g_{61}=g_{62}=\dots=g_{66}=0, \qquad g_{67}=1; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g_{71}=2i\omega\biggl[\biggl(i\omega\frac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} +\frac{R_{43}}{2}\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ &\qquad\qquad+\biggl(-i\omega\frac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} +\frac{R_{43}}{2}\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr]\frac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}+\omega^{2}, \\ &g_{72}=2i\omega\biggl[\biggl(-i\omega\frac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} +\frac{R_{43}}{2}\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ &\qquad\qquad+\biggl(i\omega\frac{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}{2} +\frac{R_{43}}{2}\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr]\frac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}-\omega^{2}, \\ &g_{73}=2i\omega\biggl[\biggl(i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}}+ \frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}}\biggr) \frac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ &\qquad\qquad+ \biggl(i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{1}}{4\widehat{\alpha}_{2}} -\frac{\widehat{\omega}}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{\widehat{\alpha}_{22}'}{4\widehat{\alpha}_{2}}\biggr) \frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr] -\frac{i\omega\widehat{\omega}}{\widehat{\alpha}_{2}}, \\ &g_{74}=2i\omega\biggl[\biggl(i\omega\biggl(\widehat{u} +\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr)- \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43} +\frac{R_{44}}{2}+\lambda\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ &\qquad\qquad +\biggl(-i\omega\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr] +2\omega^{2}\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}, \\ &g_{75}=2i\omega\biggl[\biggl(i\omega+\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}+ \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43} +\frac{R_{44}}{2}\biggr)\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} \\ &\qquad\qquad +\biggl(-i\omega\biggl(\widehat{u}-\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr)+ \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43} +\frac{R_{44}}{2}\biggr)\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}+\lambda\biggr]\qquad \\ &\qquad\qquad+2\omega^{2}\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}, \\ &g_{76}=-\frac{r^{2}+\widehat{\alpha}_{2}}{r^{2}-\widehat{\alpha}_{2}}\omega^{2}, \qquad g_{77}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Особенный интерес представляет матрица $D$, матрица коэффицентов при параметре $\lambda$. Она достаточно разреженная:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_{11}=d_{22}=d_{33}=\frac{1}{r}, \qquad d_{23}=-\frac{1}{r^{2}}, \qquad d_{44}=\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \qquad d_{55}=\frac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ d_{74}=2i\omega\frac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \qquad d_{75}=2i\omega\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
остальные компоненты равны нулю. Систему (4.2) удобно переписать в следующем виде: причем матрица $N$ не содержит параметр $\lambda$.С помощью матрицы $\widetilde{T}$ с компонентами
$$
\begin{equation*}
t_{11}=t_{22}=t_{44}=t_{55}=t_{66}=t_{77}=1, \qquad t_{33}=-r^{2}, \qquad t_{74}=t_{75}= 2i\omega,
\end{equation*}
\notag
$$
остальные компоненты равны нулю, матрицу $D$ можно привести к верхней жордановой форме:
$$
\begin{equation}
J=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{r} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & \dfrac{1}{r} & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r} & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
а систему (4.4) – к удобному для дальнейшего анализа виду
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}X+\lambda JX+\widetilde{T}^{-1}N\widetilde{T}X=0,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $X=\widetilde{T}^{-1}Z$. Граничные условия (3.14) при этом можно переписать в таком виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_{4}-x_{5}=0, \\ \widehat{\alpha}_{2}x_{3}'-\widehat{\alpha}_{2}'x_{3}=0, \\ x_{7}+i\omega(x_{4}+x_{5})+\frac{\lambda}{2\widehat{\alpha}_{2}}r^{2}x_{3}=0 \quad\text{при }\ y=0,1, \quad x\in R^{1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Если использовать условие несжимаемости и обратиться вновь к системе (3.12), то в силу третьего уравнения этой системы получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{2\widehat{\alpha}_{2}^{2}}\widehat{\alpha}_{2}' +\frac{1}{r\cdot2\widehat{\alpha}_{2}}\lambda + \frac{i\omega}{2\widehat{\alpha}_{2}\cdot r}\widehat{u}\biggr)y_{3} =\biggl(\frac{i\omega}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}- \frac{i\omega}{r}\biggr)y_{4} +\biggl(-\frac{i\omega}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}-\frac{i\omega}{r}\biggr)y_{5} + \frac{1}{r}z_{7},
\end{equation*}
\notag
$$
что при $|\lambda| \to \infty$ влечет малость компоненты $x_{3}$ по сравнению с $x_{4}$, $x_{5}$ и $x_{7}$, а значит, позволяет исключить ее из системы (4.6); из трех граничных условий (4.7) на каждой из границ остается только одно:
$$
\begin{equation}
x_{4}-x_{5}=0 \quad \text{при }\ y=0,1, \quad x\in R^{1}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Следовательно, вместо системы (4.6) нужно исследовать систему
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}\widehat{X}+\lambda J_{1}\widehat{X}+N_{1}\widehat{X}=0,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $\widehat{X}=(\widehat{x}_{1}, \widehat{x}_{2}, \widehat{x}_{3}, \widehat{x}_{4}, \widehat{x}_{5}, \widehat{x}_{6})^\top= (x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})^\top$,
$$
\begin{equation*}
J_{1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{r} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а матрица $N_{1}$ – усеченная матрица $\widetilde{T}^{-1}NT$, из которой удалены третий столбец и третья строка. Система (4.9) должна удовлетворять граничным условиям (4.8), точнее, следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\widehat{x}_{3}-\widehat{x}_{4}=0 \quad \text{при }\ y=0,1, \quad x\in R^{1}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Следуя идее монографии [14], будем искать асимптотическую фундаментальную матрицу $\widehat{W}$ системы (4.9) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\widehat{W}_{X} =\biggl(P_{0}(y)+\frac{1}{\mu}P_{1}(y)+\frac{1}{\mu^{2}}P_{2}(y)+ \dotsb\biggr)(\delta_{ij}e^{\mu H_{j}}),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $\mu=-\lambda$, $H_{1}=H_{2}=\dfrac{1}{r}y$, $\displaystyle H_{3}=\int_{0}^{y}\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\,d\xi$, $\displaystyle H_{4}=\int_{0}^{y}\frac{1}{r-\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\,d\xi$, $H_{5}=H_{6}=0$, а $\delta_{ij}$, $i,j=1,\dots,6$, – символ Кронекера. Фактически в разложении (4.11) нам нужно знать только первое слагаемое с матрицей $P_{0}(y)$, так как все остальные слагаемые дополнительно содержат положительные степени ${1}/{\lambda}$, а они малы при $|\lambda| \to \infty$. Подставляя представление (4.11) в векторный аналог системы (4.9), получаем такое соотношение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(P_{0}'+\frac{1}{\mu}P_{1}'+\dotsb\biggr)\delta_{ij}e^{\mu H_{j}}+(\mu P_{0}+P_{1}+ \dotsb)J_{1}\delta_{ij}e^{\mu H_{j}} \\ &\qquad =\mu J_{1}\biggl(P_{0}+\frac{1}{\mu}P_{1}+\dotsb\biggr)\delta_{ij}e^{\mu H_{j}}-N_{1} \biggl(P_{0}+ \frac{1}{\mu}P_{1}+\dotsb\biggr)\delta_{ij}e^{\mu H_{j}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Сравнивая слагаемые, стоящие при одинаковых степенях $1/\mu$, получаем, в частности, задачи Коши для компонент матрицы $P_{0}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} (p^{0})_{11}'=-n_{11}^{1}p_{11}^{0}-n^{1}_{12}p_{21}^{0}, & p_{11}^{0}(0)=1, \\ (p^{0})_{21}'=-n_{21}^{1}p_{11}^{0}-n^{1}_{22}p_{21}^{0}, & p_{21}^{0}(0)=0, \\ (p^{0})_{12}'=-n_{11}^{1}p_{12}^{0}-n^{1}_{12}p_{22}^{0}, & p_{12}^{0}(0)=0, \\ (p^{0})_{22}'=-n_{21}^{1}p_{12}^{0}-n^{1}_{22}p_{22}^{0}, & p_{2}^{0}(0)=1, \end{cases} \\ \begin{cases} (p^{0})_{55}'=-n_{55}^{1}p_{55}^{0}-n^{1}_{56}p_{65}^{0}, & p_{55}^{0}(0)=1, \\ (p^{0})_{56}'=-n_{5}^{1}p_{56}^{0}-n^{1}_{56}p_{66}^{0}, & p_{65}^{0}(0)=0, \\ (p^{0})_{65}'=-n_{65}^{1}p_{55}^{0}-n^{1}_{65}p_{65}^{0}, & p_{56}^{0}(0)=0, \\ (p^{0})_{66}'=-n_{65}^{1}p_{56}^{0}-n^{1}_{66}p_{65}^{0}, & p_{66}^{0}(0)=1, \end{cases} \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $n^{1}_{ij}$ – элементы матрицы $N_{1}$;
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n^{1}_{11}=i\omega\frac{\widehat{u}}{r}+\frac{1}{r}\biggl(R_{33}- \frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}\biggr), \qquad n^{1}_{12}=\frac{1}{r}\biggl(R_{35}-\frac{2\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{45}\biggr), \\ n^{1}_{21}=\frac{1}{r}R_{53}, \qquad n^{1}_{22}=(i\omega\widehat{u}+R_{35})\frac{1}{r}, \\ n^{1}_{55}=0, \qquad n^{1}_{56}=-1, \qquad n^{1}_{65}=-\omega^{2}, \qquad n^{1}_{66}=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
верхние индексы соответствуют нижним индексам матриц $P_{0}$ и $N_{1}$. Для элементов $p_{33}^{0}$, $p_{44}^{0}$ выписываются следующие задачи Коши:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (p_{33}^{0})'=-n_{33}^{1}p_{33}^{0}, \qquad p_{33}^{0}(0)=1, \\ (p_{44}^{0})'=-n_{44}^{1}p_{44}^{0}, \qquad p_{44}^{0}(0)=1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n_{33}=\biggl[i\omega\biggl(\widehat{u} +\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr)- \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}\biggr]\frac{1}{r+ \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}, \\ n_{44}=\biggl[i\omega\biggl(\widehat{u} -\frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\biggr)+ \frac{1}{4\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\widehat{\alpha}_{2}'+ \frac{\widehat{\alpha}_{12}}{\widehat{\alpha}_{2}}R_{43}+\frac{R_{44}}{2}\biggr]\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решая задачи Коши (4.13), (4.14), получаем представление для матрицы $P_{0}$:
$$
\begin{equation}
P_{0}=\begin{pmatrix} p_{11}^{0} & p_{12}^{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ p_{21}^{0} & p_{22}^{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_{33}^{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_{44}^{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p_{55}^{0} & p_{56}^{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p_{65}^{0} & p_{66}^{0} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
причем компоненты $p_{33}^{0}$, $p_{44}^{0}$ выписываются в явном виде:
$$
\begin{equation*}
p_{33}^{0}(y)=\exp\biggl(-\int_{0}^{y}n_{33}(\xi)\,d\xi\biggr), \qquad p_{44}^{0}(y)= \exp\biggl(-\int_{0}^{y}n_{44}(\xi)\,d\xi\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к представлению (4.11), получаем нужный нам первый член асимптотического ряда, который используется в дальнейшем анализе,
$$
\begin{equation}
W_{\widehat{X}}=P_{0}(y)(\delta_{ij}e^{-\lambda H_{j}}).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Замечание 5. Обоснование асимптотического представления (4.11) следует из [7], [14]. При этом учитывается тот факт, что все элементы матриц $P_{1}$, $P_{2}, \dots$ равны нулю, кроме элементов с индексами $i,j=3,4$. С помощью матрицы $W_{\widehat{X}}$ можно выписать главный член общего решения системы (4.9): где $\vec{C}$ – комплекснозначный вектор произвольных постоянных. Принимая во внимание граничные условия (4.10) на обеих границах канала $y=0,1$, можно сформулировать линейную систему для определения вектора $\vec{C}$:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} L\\ LW_{\widehat{X}}\big|_{y=1} \end{pmatrix}\vec{C}=0, \qquad L=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} L\\ LW_{\widehat{X}}\big|_{y=1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a_{1} & -a_{2} & 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{1}=\exp\biggl(-\lambda\int_{0}^{1}\frac{1}{r+\sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\,d\xi- \int_{0}^{1}n_{33}(\xi)\,d\xi\biggr), \\ a_{2}=\exp\biggl(-\lambda\int_{0}^{1}\frac{1}{r- \sqrt{\widehat{\alpha}_{2}}}\,d\xi-\int_{0}^{1}n_{44}(\xi)\,d\xi\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Переставляя столбцы матрицы, получаем систему
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_{3}\\ c_{4}\\ c_{5}\\ c_{6}\\ c_{1}\\ c_{2} \end{pmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Таким образом, $c_{3}=c_{4}=0$, $c_{1}$, $c_{2}$ $c_{5}$, $c_{6}$ – произвольные постоянные, а общее решение системы (4.9) с краевыми условиями (4.10) выглядит так:
$$
\begin{equation}
\widehat{X}(y)=c_{1}e^{-\lambda\frac{1}{r}y} \begin{pmatrix}p_{11}^{0}(y) \\ p_{21}^{0}(y) \\ 0 \\ 0 \\0 \\0 \end{pmatrix} +c_{2}e^{-\lambda\frac{1}{r}y} \begin{pmatrix} p_{12}^{0}(y) \\ p_{22}^{0}(y) \\ 0 \\ 0 \\0 \\0\end{pmatrix} +c_{5} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\p_{55}^{0}(y) \\ p_{65}^{0}(y)\end{pmatrix} +c_{6}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\p_{56}^{0}(y) \\ p_{66}^{0}(y)\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$c_{1},c_{2},c_{5},c_{6} \in C$, причем $\lambda$ – произвольное комплексное число. Возвращаясь к системе (3.12), уравнению (3.13) и краевым условиям (3.14), получаем асимптотическое представление общего решения краевой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \begin{pmatrix}Y \\ \Omega \\ \Omega'\end{pmatrix} &=c_{1}e^{-\lambda\frac{1}{r}y} \begin{pmatrix}p_{11}^{0}(y) \\ p_{21}^{0}(y) \\ 0 \\ 0 \\0 \\0\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}e^{-\lambda\frac{1}{r}y} \begin{pmatrix}p_{12}^{0}(y) \\ p_{22}^{0}(y) \\ 0 \\ 0 \\0 \\0\\ 0\end{pmatrix} +c_{5} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\p_{55}^{0}(y) \\ p_{65}^{0}(y)\end{pmatrix} +c_{6} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\p_{56}^{0}(y) \\ p_{66}^{0}(y)\end{pmatrix} \\ &\qquad +\widehat{N}(\lambda,y), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
где вектор $\widehat{N}(\lambda,y)$ содержит множители ${1}/{\lambda^{k}}$, $k=1,2,\dots$, перед экспонентами $e^{-\lambda H_{j}}$, $j=1,3,4,5$. Теорема 1 доказана. Переходя к доказательству теоремы 2, зададим вектор начальных данных (значение $\omega$ фиксировано)
$$
\begin{equation*}
\vec{U}(0,x,y)=\overline{U}(y)e^{i\omega x}, \qquad \Omega(0,x,y)=\overline{\Omega}(y)e^{i\omega x}, \qquad \Omega_{y}(0,x,y)=\overline{\Omega}'(y)e^{i\omega x},
\end{equation*}
\notag
$$
учтем представление (4.22) и вид матрицы $T$. Следовательно, в силу произвольности $\lambda$ верно утверждение теоремы 2. Принимая во внимание представление общего решения смешанной задачи для системы (3.4) и уравнения (3.6), которое фактически получено при доказательстве теоремы 2, приходим к обоснованию результата, сформулированного в теореме 3. БлагодарностьАвторы благодарят А. В. Егитова за помощь в оформлении работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BloTka22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|