| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в П. В. Парамоновabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Санкт-Петербургский государственный университет c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9503 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеИстория вопроса подробно обсуждается в работах [1]–[3]. При фиксированном $N \in \{2, 3, \dots\}$ пусть
$$
\begin{equation*}
L(\mathbf x)=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j}, \qquad \mathbf x=(x_1, \dots, x_N) \in \mathbb R^N,
\end{equation*}
\notag
$$
– произвольный однородный полином второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами $c_{i j}=c_{ji}$, удовлетворяющий условию эллиптичности $L(\mathbf x)\neq 0$ при всех $\mathbf x \neq 0$. С полиномом $L(\mathbf x)$ ассоциируется эллиптический дифференциальный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример: лапласиан $\Delta_N$ в $\mathbb R^N$. Пусть $E$ – непустое подмножество в $\mathbb R^N$. Нам потребуются следующие обозначения: $\|f\|_E$ – равномерная ($\sup$-) норма ограниченной функции $f$ на $E$ (все функции и пространства будут комплекснозначными); $\omega_E(f, r)$ – модуль непрерывности ограниченной функции $f$ на $E$ (при $E=\mathbb R^N$ пишем $\|f\|$ и $\omega_f(r)$ соответственно); $\mathrm{BC}(E)$ (соответственно $C(E)$) – пространство всех непрерывных и ограниченных (соответственно непрерывных) функций на $E$ с нормой $\|\cdot\|_E$ (топология в $C(E)$ для некомпактных $E$ здесь не используется). Для открытого множества $U \neq \varnothing$ в $\mathbb R^N$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_{\mathcal L}(U)=\{ f \in C^2(U)\mid\mathcal L f (\mathbf x)=0\ \forall\, \mathbf x \in U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции этого класса назовем $\mathcal L$-аналитическими в $U$. Хорошо известно, что $\mathcal A_{\mathcal L}(U)\subset C^{\infty}(U)$ (см., например, [4; теорема 4.4.1]). Обозначим через $\Phi (\mathbf x)$ стандартное фундаментальное решение для уравнения $\mathcal L u=0$ в $\mathbb R^N$ (см., например, [5; с. 161]). При $N \geqslant 3$ назовем $\mathcal L$-емкостью непустого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^N$ (в классе непрерывных функций) значение
$$
\begin{equation}
\kappa (E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E, \,\Phi * T \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3),\,\|\Phi * T\| \leqslant 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$, $*$ – оператор свертки, $\langle T,\varphi \rangle$ – действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^{\infty}(\mathbb R^N)$, $\operatorname{Spt} (T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$. (При $E=\varnothing$ полагаем $\kappa(E)=0$.) Свойствам этих емкостей посвящен § 3 этой работы. Для открытого множества $U \neq \varnothing$ через $C_0(U)$ (соответственно $C^{\infty}_0(U)$) обозначается подпространство в $\mathrm{BC}(U)$ (соответственно в $C^{\infty}(U)$) функций с компактными носителями в $U$. Для открытого шара $B=B(\mathbf a,r)$ в $\mathbb R^N$ (с центром $\mathbf a$ и радиусом $r>0$) и $\lambda>0$ через $\lambda B$ будем обозначать шар $B(\mathbf a, \lambda r)$. Всюду далее $A \in (0,+\infty)$ – постоянная, которая может принимать различные значения в разных соотношениях. Пусть $X \neq \varnothing$ – компакт в $\mathbb R^N$ и $f \in C(X)$. Наша первая задача о равномерной (индивидуальной) аппроксимации $\mathcal L$-аналитическими функциями состоит в следующем. При каких условиях (на $\mathcal L$, $X$ и $f$) найдется последовательность $\{f_n\}^{+\infty}_{n=1}$ такая, что каждая из функций $f_n$ является $\mathcal L$-аналитической в (своей) окрестности компакта $X$ и $\|f-f_n\|_X \to 0$ при $n\to+\infty$? Класс всех функций $f$ с указанным условием приближаемости ($\mathcal L$ и $X$ фиксируются) обозначим через $\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Нетрудно показать, что всегда имеем $\mathcal A_{\mathcal L}(X)\subseteq C_{\mathcal L}(X)=C(X) \cap \mathcal A_{\mathcal L}(X^{\circ})$, где $X^{\circ}$ – внутренность $X$. (При $X^{\circ}=\varnothing$ полагаем $C_{\mathcal L}(X)=C(X)$.) Поэтому условие $f \in C_{\mathcal L}(X)$ называют простейшим необходимым условием приближаемости. Естественно возникает вторая задача о равномерной аппроксимации (для классов функций): для каких компактов $X$ выполняется равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$? По теореме Брауэра–Урысона мы можем всегда (в указанном контексте) считать функцию $f$ продолженной с компакта $X$ до непрерывной финитной на $\mathbb R^N$ функции (которую снова обозначим через $f$) с условием $\|f\|=\|f\|_{X}$. В работе М. Я. Мазалова [3] обе рассматриваемые задачи были решены для всех размерностей $N\geqslant 3$. Для формулировки этих результатов нам потребуется понятие $L$-осцилляции функции $f$ на шаре $B=B(\mathbf a,r)$ в $\mathbb R^N$ (см. [6]):
$$
\begin{equation*}
\mathcal O^{L}_{B} (f) =\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\mathbf x) \frac{L(\mathbf x-\mathbf a)}{r^2}\,d\sigma_\mathbf x -\frac{\sum_{j=1}^N c_{j j}}{N|B|} \int_B f(\mathbf x)\,d\mathbf x,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|B|$ – мера Лебега шара $B$ в $\mathbb R^N$, а $\sigma$ – поверхностная мера Лебега на $\partial B$. Теорема A (см. [3]). Для компакта $X$ в $\mathbb R^N$ ($N \geqslant 3$) и $f \in C_0(\mathbb R^N)$ следующие условия эквивалентны: (a) $f|_X \in \mathcal A_{\mathcal L}(X)$; (b) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega(r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для любого открытого шара $B$ с радиусом $r$ имеем: Более того, если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)= A\omega_f(r)$, где $A\in (0,+\infty)$ зависит только от $\mathcal L$.Из теоремы A сравнительно просто вытекает следующий критерий приближаемости для классов функций. Теорема B (см. [3]). Для компакта $X$ в $\mathbb R^N$, $N \geqslant 3$, следующие условия эквивалентны: (a) $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$; (b) для любой ограниченной области $D \subset \mathbb R^N$ справедливо равенство $\kappa (D \setminus X^{\circ})=\kappa (D \setminus X)$; (c) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и $A>0$ такие, что для любого открытого шара $B$ выполняется неравенство $\kappa (B \setminus X^{\circ}) \leqslant A \kappa (\lambda B \setminus X)$. Эти два результата являются естественными аналогами известных критериев А. Г. Витушкина равномерной приближаемости рациональными функциями на компактах в $\mathbb C$ (см. [7]). В случае $N=2$ имеется своя специфика. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_2=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1\,\partial x_2}+c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation*}
\notag
$$
– эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, и пусть $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – корни соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$. Из условия эллиптичности $\mathcal L_2$ следует, что $\lambda_1, \lambda_2 \notin \mathbb R$. Говорят, что оператор $\mathcal L_2$ является сильно эллиптическим, если мнимые части корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ имеют разные знаки. В работе [8] получен следующий критерий приближаемости. Теорема C. Для всякого не сильно эллиптического оператора $\mathcal L_2$ в $\mathbb R^2$ и любого компакта $X$ в $\mathbb R^2$ выполняется равенство $\mathcal A_{\mathcal L_2}(X)=C_{\mathcal L_2}(X)$. Для сильно эллиптических операторов $\mathcal L_2$ (в $\mathbb R^2$) обе из поставленных задач оставались неизученными, за исключением гармонического случая $\mathcal L_2=\Delta_2$ (см. [2]). Нашей целью является обобщение основных результатов из [2] на все сильно эллиптические операторы $\mathcal L_2$. Всюду далее $\mathbf x=(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3$, $\mathbf x'=(x_1, x_2) \in \mathbb R^2$. Для открытого шара $B=B(\mathbf x_0, r)$ в $\mathbb R^3_\mathbf x$ через $B'$ обозначим открытый шар в $\mathbb R^2_{\mathbf x'}$ того же радиуса с центром $\mathbf x'_0$. Фиксируем произвольный сильно эллиптический оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal L'=\mathcal L_2=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2} +c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
в $\mathbb R^2$. Без ограничения общности (в контексте наших задач) всюду далее будем предполагать, что $c_{11}=1$. Тогда по лемме 2.1 (см. § 2) оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\mathcal L_3=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2} +c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2} =:\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} x_{i} x_{j}
\end{equation*}
\notag
$$
является эллиптическим оператором в $\mathbb R^3$. Первым основным результатом настоящей статьи является следующая редуктивная теорема, доказанная в § 2. Теорема 1.1. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3} \subset \mathbb R^3$. Пусть $f \in C(X')$ и $F(\mathbf x)=f(\mathbf x')$, $\mathbf x \in X$. Тогда $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X') \Leftrightarrow F \in \mathcal A_\mathcal L(X)$. Из этой теоремы и теоремы A вытекают следующие критерии (индивидуальной) равномерной приближаемости $\mathcal L'$-аналитическими функциями на плоских компактах. Следствие 1.1. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3}$. Для любой функции $f \in C_0(\mathbb R^2)$ следующие условия эквивалентны: (a) $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')$; (b) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega (r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для всякого открытого шара $B$ в $\mathbb R^3$ с центром $\mathbf a=(\mathbf a', 0)$ и радиусом $r$ имеем Если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)=A\omega_f(r)$. Здесь $L'=L_2$ – символ оператора $\mathcal L'$, емкость $\kappa=\kappa_3$ определяется оператором $\mathcal L=\mathcal L_3$, $A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty)$.Как правило, из критериев индивидуальной аппроксимации легко выводятся соответствующие критерии приближаемости для классов функций. Однако в нашем случае из теоремы 1.1 и следствия 1.1 критерии, аналогичные теореме B, получаются уже не так просто. Они будут вытекать из следующего (второго) основного результата этой работы, доказанного в § 2. Теорема 1.2. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3} \subset \mathbb R^3$. Тогда $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$, если и только если $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$. Тем самым наши критерии приближаемости для классов функций тоже сводятся (редуцируются) к теореме B. § 2. Доказательство теорем 1.1 и 1.2Лемма 2.1. Пусть $\mathcal L'$ – сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$ c символом тогда функция $L'(\mathbf x')$ не принимает значений $(-\infty, 0]$ из $\mathbb R$ при $\mathbf x' \neq \mathbf 0'$. Доказательство. Пусть $\lambda_1$, $\lambda_2$ – корни многочлена $\lambda^2+2c_{12} \lambda+c_{22}$, $\alpha_j=\operatorname{Re}(\lambda_j)$, $\beta_j=\operatorname{Im}(\lambda_j)$, $j \in \{1,2\}$. Тогда по условию сильной эллиптичности оператора $\mathcal L'$ имеем $\beta_1 \beta_2 < 0$. Надо установить, что при $\mathbf x'=(x_1,x_2) \neq \mathbf 0'$ и $\operatorname{Im}(L'(\mathbf x'))=0$ всегда справедливо неравенство $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$. Так как $L'(\mathbf x')=(x_1-\lambda_1 x_2)(x_1-\lambda_2 x_2)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Im}(L'(\mathbf x')) &=-(\beta_1+\beta_2)x_1x_2+(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2^2, \\ \operatorname{Re}(L'(\mathbf x')) &=x_1^2-(\alpha_1+\alpha_2)x_1x_2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)x_2^2 . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\operatorname{Im}(L'(\mathbf x'))=0$. Если $x_2=0$, то очевидно, что $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$. Пусть теперь $x_2 \neq 0$, тогда $(\beta_1+\beta_2)x_1=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2$. Если $\beta_1+\beta_2=0$, то $\alpha_1=\alpha_2$ и условие $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$ легко проверяется. Пусть, наконец, $\beta_1+\beta_2 \neq 0$, тогда $x_1=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2/(\beta_1+\beta_2)$, откуда $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))=P x_2^2/(\beta_1+\beta_2)^2$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)^2 \,{-}\,(\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)(\beta_1+\beta_2) \,{+}\,(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)(\beta_1+\beta_2)^2 \\ &=-\beta_1\beta_2((\alpha_1-\alpha_2)^2+(\beta_1+\beta_2)^2)>0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.1. Докажем только нетривиальную часть теоремы 1.1: $F \in \mathcal A_{\mathcal L}(X)$ $\Rightarrow$ $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')$. Ясно, что достаточно рассмотреть случай $\rho=1$. Как уже сказано, по теореме Брауэра–Урысона мы считаем функцию $f$ продолженной с компакта $X'$ до непрерывной финитной на $\mathbb R^2$ функции (которая также обозначена через $f$) с условием $\|f\|=\|f\|_{X'}$. Тогда $F(\mathbf x)=f(\mathbf x')$ принадлежит классу $\mathrm{BC}(\mathbb R^3)$.
По условию (и опять по теореме Брауэра–Урысона), для каждого $\varepsilon>0$ найдутся окрестность $U^{\varepsilon}$ компакта $X$ в $\mathbb R^3$ и функция $G^{\varepsilon} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)\cap \mathcal A_{\mathcal L}(U^{\varepsilon})$ такие, что $\|F-G^{\varepsilon}\| < \varepsilon$. Основная идея доказательства (как в [2; § 2]) состоит в том, что (пользуясь функциями $G^{\varepsilon}$) для любого $\delta>0$ мы найдем окрестность $V^{\delta}$ компакта $X'$ в $\mathbb R^2$ и $1$-периодическую по переменной $x_3$ функцию $H^{\delta} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)\cap \mathcal A_{\mathcal L} (V^{\delta}\times \mathbb R_{x_3})$ с условием $\|F-H^{\delta}\| < \delta$ (период $1$ связан с выбором решетки $\{\mathbf b_\mathbf j\}$ ниже). Тогда искомое приближение для $f$ класса $C(\mathbb R^2)\cap \mathcal A_{\mathcal L'} (V^{\delta})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
h^{\delta}(\mathbf x')=\int_{x_3}^{x_3+1}H^{\delta}(\mathbf x', t)\, dt =\lim_{S \to+\infty} \sum_{s=1}^{S} S^{-1}H^{\delta}\biggl(\mathbf x', x_3+\frac sS\biggr).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Из первого равенства в (2.1) следует независимость $h^{\delta}$ от $x_3$. Из второго – $\mathcal L$-аналитичность функции $h^{\delta}$ на множестве $V^{\delta}\times \mathbb R_{x_3}$, а следовательно, и ее $\mathcal L'$-аналитичность на множестве $V^{\delta}$ (как функции двух переменных).
Всюду ниже $A_1, A_2, \dots$ – фиксированные положительные константы, которые могут зависеть только от $\mathcal L$. Константа $A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty)$ может принимать разные значения в разных соотношениях. При $\mathbf j=(j_1, j_2, j_3) \in {\mathbb Z }^3$ пусть $\mathbf b_\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)$ и $B_{\mathbf j}=B(\mathbf b_\mathbf j, 1)$, так что $\{(9/10) B_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$ покрывают $\mathbb R^{3}$. Найдется $\varphi \in C_0^{\infty}(B_{(0, 0, 0)})$ с условиями $0 \leqslant \varphi (\mathbf x) \leqslant 1$, $\varphi (\mathbf x)=1$ при $|\mathbf x|\leqslant 9/10$ и $\|\nabla^2 \varphi\| \leqslant A_1$, где
$$
\begin{equation*}
\|\nabla^2 \varphi\|=\max \biggl\{\biggl\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\|,\,1\leqslant i \leqslant j \leqslant 3 \biggr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда семейство
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \varphi_\mathbf j (\mathbf x)=\frac{\varphi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)}{\sum_{{\mathbf m} \in {\mathbb Z }^3} \varphi (\mathbf x-\mathbf b_{\mathbf m})}\biggr\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}
\end{equation*}
\notag
$$
образует разбиение единицы на $\mathbb R^3$ (подчиненное покрытию $\{B_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$) с оценками
Как и ранее, через $\Phi (\mathbf x)$ обозначается стандартное фундаментальное решение уравнения $\mathcal Lu=0$. Четность функции $\Phi(\mathbf x)$ и ее однородность порядка $-1$ относительно гомотетий (с центром в начале координат) вытекает из того, что $\Phi$ является преобразованием Фурье (в пространстве $\mathcal S'$ распределений умеренного роста в $\mathbb R^3$) четной локально интегрируемой по мере Лебега в $\mathbb R^3$ функции $1/L(\mathbf x)$, однородной порядка $-2$. Пусть $B=B(\mathbf a, r)$, $\psi \in C^{\infty}_0(B)$. Оператор называется локализационным оператором (типа) Витушкина, соответствующим оператору $\mathcal L$ и индекс-функции $\psi$ (см. [7], [5]).Следующее свойство этого оператора хорошо известно (см., например, [5; лемма 2.1]), однако для полноты изложения мы приведем набросок его доказательства, тем более что нам в дальнейшем потребуется одна возникающая в нем формула. Лемма 2.2. В указанных обозначениях оператор $V_{\psi}$ непрерывен в $\mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Точнее, найдется константа $A_3$ c условиями для всех $g \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Кроме того, $\mathcal L V_{\psi}(g)=\psi \mathcal L g$, т.е. оператор $V_{\psi}$ “локализует” $\mathcal L$-особенности функции $g$ на носителе $\operatorname{Spt}(\psi) \subset B$. Доказательство. Напомним, что $\mathcal L_\mathbf y \Phi(\mathbf y-\mathbf x)={\underline{\delta}}_\mathbf x$ является $\underline{\delta}$-функцией Дирака с центром в точке $\mathbf x$. Из соображений регуляризации достаточно провести доказательство леммы для любой функции $g \in C^{\infty}(\mathbb R^3) \cap \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Кратко напомним метод регуляризации. Фиксируем какую-либо неотрицательную функцию $\varphi_1$ класса $C^{\infty}_0(B(\mathbf 0,1))$ с условием $\displaystyle\int\varphi_1(\mathbf x)\,d\mathbf x=1$. При $\varepsilon>0$ положим Ясно, что $\varphi_{\varepsilon} \in C^{\infty}_0(B(\mathbf 0, \varepsilon))$, $\|\nabla^2 \varphi_{\varepsilon}\|=\|\nabla^2 \varphi_{1}\|/\varepsilon^5$ и $\displaystyle\int\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)\,d\mathbf x=1$. Если $g \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$, то для любого $\varepsilon>0$ функции $g_{\varepsilon}=g*\varphi_{\varepsilon} \in C^{\infty}(\mathbb R^3)$ удовлетворяют условиям $\|g_{\varepsilon}\|\leqslant \|g\|$ и $g_{\varepsilon} \to g$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно на компактах в $\mathbb R^3$.
Итак, пусть $g\in C^{\infty}(\mathbb R^3)\cap \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. При любом фиксированном $\mathbf x$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V_{\psi}(g) (\mathbf x) &=\bigl\langle \Phi (\mathbf x-\mathbf y)\psi(\mathbf y),\mathcal L_\mathbf y g(\mathbf y)\bigr\rangle=\bigl\langle \mathcal L_\mathbf y (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)\psi(\mathbf y)), g (\mathbf y)\bigr\rangle \\ \notag &=\psi(\mathbf x) g (\mathbf x) +2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i}\, \frac{\partial \psi (\mathbf y)}{\partial y_j} g(\mathbf y)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B} \Phi (\mathbf y-\mathbf x) \mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) g(\mathbf y)\,d\mathbf y . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Теперь непрерывность функции $V_{\psi}(g)$ и ее надлежащая равномерная оценка следует из стандартных оценок последних слагаемых с учетом локальной интегрируемости функций $\Phi(\mathbf y-\mathbf x)$ и $\partial \Phi(\mathbf y-\mathbf x)/\partial y_j$, неравенств
$$
\begin{equation}
|\Phi(\mathbf y-\mathbf x)| \leqslant \frac{A}{|\mathbf y-\mathbf x|}, \qquad \biggl|\frac{\partial \Phi(\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_j}\biggr| \leqslant \frac{A}{|\mathbf y-\mathbf x|^2}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
и формул
$$
\begin{equation*}
\psi=\Phi* (\mathcal L \psi), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y_j}=\frac{\partial \Phi}{\partial y_j} * (\mathcal L \psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.2 доказана. Положим $F_\mathbf j=\Phi * (\varphi_\mathbf j \mathcal L F)$. Тогда $\mathcal L F_\mathbf j= \varphi_\mathbf j \mathcal L F$, т.е. функция $F_\mathbf j$ является $\mathcal L$-аналитической вне $B_\mathbf j$, и ввиду (2.2) и леммы 2.2 имеем $\|F_\mathbf j\| \leqslant A\|F\|$. Обозначим через $\mathbf J'$ совокупность индексов $\mathbf j=(j_1, j_2, 0)$ с условием $B_\mathbf j \cap X \neq \varnothing$. Их число $|\mathbf J'|$ зависит только от $X'$. Теперь фиксируем достаточно малое $\varepsilon>0$, соответствующую (упомянутую выше) функцию $G^{\varepsilon}$ и для каждого $\mathbf j \in \mathbf J'$ определим $G^{\varepsilon}_\mathbf j=\Phi * (\varphi_\mathbf j \mathcal L G^{\varepsilon})$. Тогда $\mathcal L G^{\varepsilon}_\mathbf j=\varphi_\mathbf j \mathcal L G^{\varepsilon}=0$ на некоторой цилиндрической окрестности $V^{\varepsilon}_\mathbf j \times \mathbb R_{x_3}$ множества $Y=X' \times \mathbb R_{x_3}$. Кроме того, по лемме 2.2 $\|F_\mathbf j- G^{\varepsilon}_\mathbf j\| \leqslant A\|F-G^{\varepsilon}\| \leqslant A \varepsilon$. Применяя равенство (2.5) к функции $F_\mathbf j-G^{\varepsilon}_\mathbf j$, при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$ получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_\mathbf j (\mathbf x)-G^{\varepsilon}_\mathbf j (\mathbf x) &=\int_{B_\mathbf j} \Phi (\mathbf x- \mathbf b_\mathbf j) \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y)) \bigl(F(\mathbf y)- G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B_\mathbf j} \bigl(\Phi (\mathbf x-\mathbf y)-\Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)\bigr) \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y))\bigl (F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y \\ &\qquad +2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B_\mathbf j} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i} \,\frac{\partial \varphi_\mathbf j (\mathbf y)}{\partial y_j} (F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y))\,d\mathbf y \\ &=a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)+\Theta_\mathbf j(\mathbf x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_\mathbf j=\int_{B_\mathbf j} \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y)) \bigl(F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y, \qquad |a_\mathbf j| \leqslant A \varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
и при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$
$$
\begin{equation*}
\Theta_\mathbf j(\mathbf x)=F_\mathbf j (\mathbf x)-G^{\varepsilon}_\mathbf j (\mathbf x)- a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j), \qquad |\Theta_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j|^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\mathbf j \in \mathbf J'$ с условием $B_\mathbf j \setminus Y \neq \varnothing$ выберем $B_\mathbf j^*=B(\mathbf b^*_\mathbf j, r_\mathbf j)$ так, чтобы $\overline{B_\mathbf j^*} \subset B_\mathbf j \setminus Y$ ($B_\mathbf j^*$ можно выбрать в зависимости только от $\mathbf j$ и $X$). Теперь найдем $\Psi_\mathbf j \in C(\mathbb R^{N})$ с условиями $\Psi_\mathbf j(\mathbf x)= a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b^*_\mathbf j)$ при $\mathbf x \notin B_\mathbf j^*$ и $\|\Psi_\mathbf j\| \leqslant A\varepsilon/r_\mathbf j$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
|\Psi_\mathbf j(\mathbf x)-a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j|^{2}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$.
Для других $\mathbf j\,{\in}\,\mathbf J'$ имеем $F_\mathbf j\,{=}\,0$ (поскольку все такие $F_\mathbf j\,{\in}\,\mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3)$ и $F_\mathbf j(\infty)\,{=}\,0$). Для них мы берем $G^{\varepsilon}_\mathbf j=\Psi_\mathbf j=0$, $r_\mathbf j=0$. Положим $H^{\varepsilon}_\mathbf j=G^{\varepsilon}_\mathbf j+\Psi_\mathbf j$, $\mathbf j \in \mathbf J'$. Тогда для некоторой окрестности $W^{\varepsilon}_\mathbf j$ множества $X'$ имеем
$$
\begin{equation}
H^{\varepsilon}_\mathbf j \in \mathcal A_\mathcal L (W^{\varepsilon}_\mathbf j \times \mathbb R_{x_3}), \qquad \|F_\mathbf j-H^{\varepsilon}_\mathbf j\| \leqslant \frac{A \varepsilon}{r_\mathbf j},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
|F_\mathbf j(\mathbf x)-H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x- \mathbf b_\mathbf j|^{2}}, \qquad \mathbf x \notin 2B_\mathbf j.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Определим $\mathbf J=\{\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)\mid(\mathbf j', 0) \in \mathbf J'\}$ и при всех $\mathbf j \in \mathbf J$ положим $H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)=H^{\varepsilon}_{(\mathbf j', 0)}(\mathbf x', x_3- j_3))$ и $B_\mathbf j^*=B(\mathbf b^*_\mathbf j, r_\mathbf j)$, где $\mathbf b^*_\mathbf j=\mathbf b^*_{(\mathbf j', 0)}+(\mathbf 0', j_3)$. Тогда (2.7) и (2.8) остаются в силе при всех $\mathbf j \in \mathbf J$. Пусть $M=|\mathbf J'_*|\max_{\{\mathbf j\in \mathbf J'_*\}} (r_\mathbf j^{-1})$, где $\mathbf J'_*= \{\mathbf j \in \mathbf J'\colon r_\mathbf j>0\}$. Из (2.7) и (2.8)
$$
\begin{equation*}
\sum_{\mathbf j \in \mathbf J}|F_\mathbf j(\mathbf x)-H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant AM\varepsilon \biggl(1+\sum_{j_3\neq 0}|j_3|^{-2}\biggr) < 5AM\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для любого заданного $\delta>0$ выберем $\varepsilon=\delta/(5AM)$ и возьмем $H^{\delta}=F+\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} (H^{\varepsilon}_\mathbf j-F_\mathbf j)$. Остается учесть, что $\mathcal L H^{\delta}=\mathcal L F (1-\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \varphi_\mathbf j)+ \sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \mathcal L H^{\varepsilon}_\mathbf j$ обращается в нуль в некоторой цилиндрической (вдоль переменной $x_3$) окрестности $V^{\delta}$ множества $Y$. Теорема 1.1 доказана. Доказательство следствия 1.1. Формула (1.4) непосредственно получается из (1.2) при $N=3$ и $f(\mathbf x)=f(\mathbf x')$ с учетом тех фактов, что $d\sigma_\mathbf x=r(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{-1/2}\,d\mathbf x'$ и что на $B'$ проектируется две полусферы из $\partial B$. Точнее, ввиду соотношения $L(\mathbf x)=L'(\mathbf x')+x_3^2$ на $\partial B$ имеем $L(\mathbf x-\mathbf a)=L'(\mathbf x'- \mathbf a')+r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2$, откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal O^{L}_{B} (f) &= \frac{1}{4\pi r^2}\int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'- \mathbf a')+r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2}{r^2} \,\frac{2r}{(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{1/2}}\,d\mathbf x' \\ &\qquad -\frac{2+c_{22}}{4\pi r^3} \int_{B'} f(\mathbf x')2(r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2)^{1/2}\,d\mathbf x' \\ &=\frac{1}{2\pi r^3}\int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'\,{-}\,\mathbf a')\,{+}\,r^2\,{-}\,|\mathbf x'\,{-}\,\mathbf a'|^2\,{-}\,(2\,{+}\,c_{22})(r^2\,{-}\,|\mathbf x'\,{-}\, \mathbf a'|^2)}{(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{1/2}}\,d\mathbf x', \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с левой частью в (1.4), деленной на $2r$. При $\mathcal L'=\Delta_2$ (т.е. при $\mathcal L=\Delta_3$) эти результаты соответствуют полученным ранее утверждениям в [2]. Следствие 1.1 доказано. Доказательство теоремы 1.2. Снова предполагаем, что $\rho=1$. По теореме 1.1 импликация $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$ $\Rightarrow$ $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$ тривиальна.
Пусть теперь $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$. Надо установить, что $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$. По теореме B достаточно доказать, что найдется $\lambda=\lambda(L)\geqslant 1$ такое, что для любого открытого шара $B=B(\mathbf a, r)$ в $\mathbb R^3$ выполняется неравенство $\kappa (B \setminus X^{\circ}) \leqslant A \kappa (\lambda B \setminus X)$. Будем считать, что $B \cap \partial X \neq \varnothing$, иначе все тривиально. Кроме того, мы можем положить $\mathbf a=\mathbf 0$. Для краткости положим $\kappa_*=\kappa (B \setminus X^{\circ})$. Заметим, что $\kappa(B)=\alpha r$, где $\alpha=\kappa(B(\mathbf 0, 1))>0$ (см. § 3 ниже). Фиксируем компакт $K \subset B \setminus X^{\circ}$ с условием $\kappa (K)>\kappa_*/2$ и положим $\delta=\kappa_*/(2\alpha)$. Тогда $\alpha \delta < \kappa(K) \leqslant \kappa_*=2\alpha\delta$ и $\delta < r$. Пусть $\mathbf b=(5r, 0, 0)$, $Q=\overline{B(\mathbf b, r)}$. Тогда $Q \subset 6\overline{B} \setminus 4B$ и $\alpha \delta < \kappa (K) < \kappa(Q)$. По определению емкости $\kappa$ существуют распределения $T_1$ с носителем на $K$ и $T_2$ с носителем на $Q$ со следующими свойствами: Лемма 2.3. Пусть $\mathbf a_1=\mathbf 0$, $\mathbf a_2$=$\mathbf b$, тогда для $j \in \{1,2\}$ при $|\mathbf x-\mathbf a_j|>3r$ имеем Доказательство. Утверждение этой леммы стандартно (см., например, [9; следствие 3.4]), его достаточно установить при $j=1$. Более простое доказательство (без использования техники рядов Лорана, которая нуждается во введении многих дополнительных обозначений) нетрудно получить, используя формулу (2.5). Из нее следует, что для $|\mathbf x|>2r$ и функции $\psi \in C_0^{\infty}(2B)$ с условиями $0 \leqslant \psi (\mathbf x) \leqslant 1$, $\psi (\mathbf x)=1$ при $\mathbf x \in B$ и $\|\nabla^2 \psi\| \leqslant A_1/r^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1(\mathbf x) &=V_{\psi}(F_1) (\mathbf x)=\bigl\langle \mathcal L_\mathbf y (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)\psi(\mathbf y)),F_1 (\mathbf y)\bigr\rangle \\ &=2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i} \,\frac{\partial \psi (\mathbf y)}{\partial y_j} F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B} (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)- \Phi(\mathbf x))\mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y +\Phi(\mathbf x) \int_{B} \mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее слагаемое здесь имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Phi(\mathbf x) \bigl\langle \mathcal L_\mathbf y F_1(\mathbf y), \psi (\mathbf y)\bigr\rangle=\Phi(\mathbf x) \langle T_1, 1\rangle=\alpha\delta\Phi(\mathbf x),
\end{equation*}
\notag
$$
а остальные слагаемые оцениваются, как раньше, с помощью оценок (2.6). Лемма доказана. Пусть $F_0=F_1 -F_2$. Тогда $\|F_0\| \leqslant 2$ и при $|\mathbf x|>18r$ имеем из (2.9):
$$
\begin{equation}
|F_0(\mathbf x)| \leqslant \frac{A_5r^2}{|\mathbf x|^2} .
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
F(\mathbf x)=\sum_{m\in \mathbb Z} F_0(\mathbf x-(0, 0, mr))
\end{equation*}
\notag
$$
с условиями $F\in C(\mathbb R^3)$, $\|F\| \leqslant A_6$ (последняя оценка вытекает из (2.10) и сходимости ряда $\sum_{m\neq 0}1/m^2$), $F$ периодична с периодом $r$ по переменной $x_3$, $\mathcal L$-аналитична вне $(K' \cup Q')\times \mathbb R_{x_3}$, где $K'$ и $Q'=\overline{B'(\mathbf b', r)}$ – проекции $K$ и $Q$ на $\mathbb R^2_{\mathbf x'}$ соответственно. Как ранее в формуле (2.1), введем усредненную функцию
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf x')=r^{-1}\int_{x_3}^{x_3+r}F(\mathbf x', t)\, dt =r^{-1}\lim_{S \to+\infty} \sum_{s=1}^{S} S^{-1} F\biggl(\mathbf x', x_3+\frac{rs}{S}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которая не зависит от $x_3$ и, следовательно, $\mathcal L'$-аналитична вне $K' \cup Q'$, $\|f\|\leqslant A_6$. Введем новое разбиение единицы $\{(B^r_{\mathbf j}, \varphi^r_{\mathbf j})\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$, где $\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)$, $\mathbf b^r_\mathbf j=(j_1r, j_2r, j_3r)$, $B^r_{\mathbf j}= B(\mathbf b^r_\mathbf j, r)$, так что $\{(9/10) B^r_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$ покрывают $\mathbb R^3$. Как ранее (при $r=1$), находятся функции $\varphi^r_\mathbf j \in C_0^{\infty}(B^r_{\mathbf j})$ с условиями $0 \leqslant \varphi^r_\mathbf j(\mathbf x) \leqslant 1$, $\|\nabla^2 \varphi^r_\mathbf j\| \leqslant A_2/r^2$, и $\sum_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3} \varphi^r_\mathbf j \equiv 1$ в $\mathbb R^3$. Фиксируем натуральное $M \geqslant 5$ (выберем его позже), и пусть $\varphi_M=\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \varphi^r_{\mathbf j}$, где $\mathbf J=\{\mathbf j=(j_1,j_2,j_3)\bigm| |j_1|\leqslant 1,\, |j_2|\leqslant 1,\,0 \leqslant j_3 \leqslant M \}$. Положим $\Omega_M=\bigcup_{\mathbf j \in \mathbf J} B^r_{\mathbf j} $ и пусть $F_M=V_{\varphi_M}(f)$. По лемме 2.2 $\|F_M\|\leqslant A_7M$. Лемма 2.4. В указанных обозначениях найдется $A_8 \geqslant 5$ такое, что при $M \geqslant A_8$ справедливо неравенство $|\langle \mathcal LF_M,1 \rangle|\geqslant \alpha\delta$. Доказательство. Имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle \mathcal LF_M,1 \rangle &=\langle \mathcal L f,\varphi_M\rangle=\int_{\Omega_M} f(\mathbf x') \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d\mathbf x \\ &=r^{-1}\int_{\Omega_M} \int_0^r F(\mathbf x', x_3+t)\,dt \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d \mathbf x \\ &=r^{-1}\int_0^r \,dt \int_{\Omega_M} F(\mathbf x', x_3+t) \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d \mathbf x \\ &=r^{-1}\int_0^r \langle \mathcal L F(\mathbf x', x_3+t) ,\varphi_M \rangle \,dt \\ &=r^{-1}\int_0^r \sum_{m\in \mathbb Z} \langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr) ,\varphi_M \rangle \,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\operatorname{Spt}(\varphi_M)\subset \Omega_M$ и $\varphi_M(\mathbf x)\equiv 1$ на множестве $\Omega'_M=B'\times (0, Mr)$. Так как при $r \leqslant mr-t \leqslant (M-1)r$ имеет место
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Spt} (T_1(\mathbf x', x_3+t-mr)) \subset B((0,0,mr-t),r)\subset \Omega'_M ,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $t\in [0,r]$, то при $2 \leqslant m \leqslant M-1$ получаем Соответственно, при $mr-t \in (-\infty, -2r]\cup [(M+2)r,+\infty)$ справедливо откуда при $m \in (-\infty, -2]\cup [(M+3),+\infty)$ имеем $\langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr),\varphi_M \rangle=0$.
Остается оценить выражения $I_{mt}=\langle T_1(\mathbf x', x_3\,{+}\,t\,{-}\,mr) ,\varphi_M \rangle$ при $m \in \{-1,0, 1,M,M+1,M+2\}$ и $t\in [0,r]$. Для каждого из таких $m$ и $t$ пусть множество $\mathbf J_{mt} \subset \mathbf J$ состоит из элементов $\mathbf j$ (их всегда не более чем 36), для которых $(B^r_{\mathbf j}\cap B((0,0,mr-t),r) \neq \varnothing$, т.е.
$$
\begin{equation*}
I_{mt}=\sum_{\mathbf j\in \mathbf J_{mt}} \langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr) ,\varphi_\mathbf j \rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $K_{mt}=\{\mathbf x+(0,0,mr-t)\mid\mathbf x \in K\}$, $T_{mt}(\mathbf x)=T_1(\mathbf x\,{-}\,(0,0,mr\,{-}\,t))$, $F_{mt}(\mathbf x)=F_1(\mathbf x-(0,0,mr-t))$ (т.е. $F_{mt}=\Phi*T_{mt}$). Поскольку $\|F_{mt}\|=\|F_1\|\leqslant 1$, ввиду (2.3) при $\mathbf j\in \mathbf J_{mt}$ имеем $\|V_{\varphi_\mathbf j}(F_{mt})\|\leqslant A_2A_3$, откуда по определению емкости $\kappa(K_{mt})=\kappa(K)$ получаем Таким образом, поскольку $|I_{mt}|\leqslant 72A_2A_3\alpha\delta=: A_9\alpha\delta$, окончательно находим: и можно взять $A_8=\max\{5,A_9+3\}$. Лемма доказана. Теперь фиксируем $M=A_8$ из предыдущей леммы. Тогда
$$
\begin{equation}
\|F_M\|\leqslant A_7A_8, \qquad |\langle \mathcal LF_M,1 \rangle| \geqslant \alpha\delta.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Доказательство. Введем функцию $\psi \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf b', 2r))$, $\psi=1$ в окрестности $Q'=\overline{B'(\mathbf b', \delta)}$. Пусть $f_{\psi}=\Phi_2*(\psi \mathcal L' f)$. Очевидно, что $f_{\psi}$ является $\mathcal L'$-аналитической в окрестности $Y'$. Остается доказать, что $g=f-f_{\psi}$ удовлетворяет условию $g|_{X'} \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')\subset \mathcal A_{\mathcal L'}(Y')$. Так же, как в лемме 2.2, доказывается, что $f_{\psi}$ (и, значит, $g$) непрерывна на $\mathbb R^2$ (см., например, [10; предложение 2.5]), причем $\mathcal L' g=(1-\psi) \mathcal L' f=0$ на $(X')^{\circ}$. Остается вспомнить, что $C_{\mathcal L'}(X')=\mathcal A_{\mathcal L'}(X')$. Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы 1.2. Так как $f|_{Y'} \in \mathcal A_{\mathcal L'}(Y')$, найдется последовательность функций $f_n \in \mathrm{BC}(\mathbb R^2)$, $\mathcal L'$-аналитических в окрестности $Y'$, с условием $\|f-f_n\| \to 0$ при $n \to+\infty$. Положим $F_{Mn}=\Phi*(\varphi_M \mathcal L f_n)$, так что $\mathcal L F_{Mn}=\varphi_M \mathcal L f_n$. Пусть $\lambda=M+2$. По лемме 2.2 (примененной к шару $\lambda B$, функции $f-f_n$ и индекс-функции $\varphi_M$) и из (2.11) получаем, что (при достаточно больших $n$) $\|F_{Mn}\| < A_{10}$, $F_{Mn}$ является $\mathcal L$-аналитической вне некоторого компакта $K_n \subset \lambda B\setminus X$ и
$$
\begin{equation*}
|\langle \mathcal L F_{Mn},1 \rangle|=|\langle \mathcal L f_n,\varphi_M \rangle| =|\langle f_n,\mathcal L\varphi_M\rangle| \to |\langle f,\mathcal L\varphi_M\rangle| \geqslant \alpha\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при достаточно больших $n$ получаем
$$
\begin{equation*}
\kappa_*=2\alpha\delta \leqslant 2A_{10}\kappa(K_n) \leqslant 2A_{10} \kappa(\lambda B\setminus X).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.2 доказана. § 3. О некоторых метрических свойствах емкостей $\kappa$ при $N=3$В этом параграфе всюду (кроме следствия 3.1) предполагается, что размерность $N=3$. Фиксируем произвольный эллиптический оператор $\mathcal L=\mathcal L_3$ (с символом $L$) в $\mathbb R^3$, c фундаментальным решением $\Phi$ и емкостью $\kappa$ (см. (1.1)). С $\mathcal L$-емкостью $\kappa$ (в классе непрерывных функций) тесно связана $\mathcal L$-емкость в классе ограниченных функций:
$$
\begin{equation}
\kappa'(E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E,\,\|\Phi * T\| \leqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Емкость $\kappa'$ устроена проще емкости $\kappa$. Ясно, что $\kappa$ и $\kappa'$ являются монотонными функциями множеств и что $\kappa(E)\leqslant \kappa'(E)$ для всякого ограниченного $E \subset \mathbb R^3$. Следующие два простые, но часто используемые свойства емкости $\kappa'$ справедливы и для $\kappa$: (i) $\kappa'(E)=\sup_{K \subset E} \{\kappa'(K)\}$, где $\sup$ здесь берется по всем компактам $K$ в $E$; (ii) если $P(\cdot)$ – гомотетия в $\mathbb R^3$ с коэффициентом $\lambda>0$, то $\kappa'(P(E))=\lambda \kappa'(E)$; в частности, $\kappa'(B(\mathbf a, r))=r\kappa'(B(\mathbf 0,1))=r\alpha>0$. Кроме того, для любого ограниченного открытого множества $E \subset \mathbb R^3$ имеем $\kappa(E)=\kappa'(E)$. Докажем это методом регуляризации. А именно, пусть $\kappa'(E)>0$ (иначе доказывать нечего). Фиксируем любое $\delta \in (0,\kappa'(E))$ и (согласно (i)) найдем компакт $K \subset E$ и распределение $T$ с носителем в $K$ такие, что $h=\Phi * T \in L^{\infty}(\mathbb R^3)$, $\|h\|\leqslant 1$ и $\langle T,1\rangle= \kappa'(E) -\delta$. Положим $\varepsilon=3^{-1}\operatorname{dist}(K, \partial E)$, и пусть $\varphi_{\varepsilon}$ – функция, определенная в формуле (2.4). Тогда для распределения $T_{\varepsilon}=T*\varphi_{\varepsilon}$ с компактным носителем в $E$ и функции $h_{\varepsilon}=\Phi * T_{\varepsilon}=h*\varphi_{\varepsilon}$ имеем:
$$
\begin{equation*}
h_{\varepsilon} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3), \qquad \|h_{\varepsilon}\|\leqslant 1, \qquad \langle T_{\varepsilon}, 1\rangle=\langle T,1\rangle=\kappa'(E) -\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению отсюда имеем $\kappa(E)\geqslant \kappa'(E) -\delta$. Остается $\delta$ устремить к $0$. Таким образом, в формулировках теоремы A и следствия 1.1 (но не теоремы B) можно вместо $\kappa$-емкости использовать $\kappa'$-емкость. В приложениях полезно также следующее свойство емкости $\kappa'$, которое справедливо для многих других емкостей, однако не ясно, верно ли оно для $\kappa$. Предложение 3.1. Пусть $K$ – компакт и при $\delta>0$ через $U_{\delta}(K)$ обозначается его открытая $\delta$-окрестность. Тогда Доказательство. Для данной емкости доказательство имеет свою специфику. При $n \in \{1,2, \dots\}$ пусть $K_n$ – компакт с условиями $K \subset K_n \subset U_{1/n}(K)$, $\kappa'(K_n)>\kappa'(U_{1/n}(K))-1/n$. Найдется распределение $T_n$ с компактным носителем в $K_n$ такое, что $\|\Phi*T_n\|\leqslant 1$ и $\langle T_n,1\rangle \geqslant \kappa'(U_{1/n}(K))-1/n$. Пусть $F_n=\Phi*T_n$, а $H_n(\mathbf x)=0$ при $\mathbf x\in K_n$ и $H_n(\mathbf x)=F_n(\mathbf x)$ при $\mathbf x\notin K_n$ (так что $\|H_n\|\leqslant 1$). Нам потребуется следующий факт.
Лемма 3.1. Пусть $H$ – распределение в $\mathbb R^3$, $T=\mathcal LH$, причем $S_T=\operatorname{Spt} (T)$ – компакт (т.е. $H \in \mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3\setminus S_T)$). Если $\lim_{|\mathbf x|\to+\infty} H(\mathbf x)=0$, то $H=\Phi*T$. Доказательство. Схема доказательства более общего варианта этой леммы имеется, например, в [11; лемма 1]. Мы приведем подробное доказательство для нашего случая, оно коротко. Распределение $H_0=H-\Phi*T$ (класса $\mathcal S'$) удовлетворяет условию $\mathcal L H_0=0$. Применяя к последнему равенству преобразование Фурье $\mathcal F$ в $\mathcal S'$, получим, что $L(\mathbf x)\mathcal F(H_0)=0$, т.е. $\operatorname{Spt}(\mathcal F(H_0))=\{\mathbf 0\}$. Следовательно, $\mathcal F(H_0)$ является конечной линейной комбинацией $\underline{\delta}$-функции Дирака (с центром в $\mathbf 0$) и ее частных производных [4; теорема 2.3.4], а значит, сама функция $H_0$ является многочленом. Теперь легко показать, что $H_0\equiv 0$. Лемма доказана. Продолжим доказательство предложения 3.1. Пусть $R>0$ таково, что $U_1(K) \subset B=B(\mathbf 0,R)$. Выберем $\varphi \in C^{\infty}_0(2B)$ c условием $\varphi \equiv 1$ в $B$. Пусть $T'_n=\mathcal LH_n$. По лемме 3.1 имеем $H_n=\Phi*T'_n$, причем
$$
\begin{equation}
\langle T'_n,1\rangle=\langle T'_n,\varphi\rangle=\langle H_n,\mathcal L\varphi\rangle =\langle F_n,\mathcal L\varphi\rangle =\langle T_n,1 \rangle \geqslant \kappa'(U_{1/n}(K))-\frac1n.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для любого компакта $X$ с условием $X\cap K=\varnothing$ найдется $N_X \in \mathbb N$ такое, что семейство функций $\{H_n\}_{n \geqslant N_X}$ является равностепенно непрерывным на $X$. Поэтому найдется подпоследовательность $\{n_k\}_{k \in \mathbb N}$ такая, что последовательность $\{H_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}$ сходится поточечно всюду на $\mathbb R^3$ (и локально равномерно на $\mathbb R^3 \setminus K$) к некоторой функции $H_*$ с условиями $\|H_*\|\leqslant 1$ и $H_* \in \mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3\setminus K)$. Остается заметить, что для распределения $T_*=\mathcal LH_*$ имеем $\operatorname{Spt}(T_*) \subset K$, по лемме 3.1 выполнено $\|\Phi*T_*\|=\|H_*\|\leqslant 1$, и ввиду (3.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa'(K) &\geqslant \langle T_*,1\rangle=\langle T_*,\varphi\rangle=\langle H_*,\mathcal L\varphi\rangle \\ &=\lim_{k\to+\infty} \langle H_{n_k},\mathcal L\varphi\rangle=\lim_{k\to+\infty}\langle T'_{n_k},\varphi \rangle= \lim_{\delta \to 0} {\kappa}'(U_{\delta}(K)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно также, что $\kappa'(K) \leqslant \lim_{\delta \to 0} {\kappa}'(U_{\delta}(K))$. Предложение 3.1 доказано. Стандартно доказывается (см. [1; теорема 1.12]), что компактные множества $K$ нулевой $\kappa$-емкости (соответственно $\kappa'$-емкости) суть в точности устранимые множества для $\mathcal L$-аналитических функций в классе непрерывных (соответственно ограниченных) функций. Это означает, что если $U$ – некоторая окрестность компакта $K$ и $f \in C(U)\cap \mathcal A_\mathcal L(U \setminus K)$ (соответственно $f \in L^{\infty}(U)\cap \mathcal A_\mathcal L(U \setminus K)$), то $f\in \mathcal A_\mathcal L(U)$ (соответственно $f$ совпадает в $U \setminus K$ с некоторой функцией класса $\mathcal A_\mathcal L(U))$. Далее в этом параграфе мы установим ряд метрических свойств емкостей $\kappa$ и $\kappa'$, аналогичных метрическим свойствам классической гармонической емкости ограниченного множества $E \neq \varnothing$ в $\mathbb R^3$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cap}(E)=\sup_{\mu} \biggl\{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E,\,\biggl(\frac{1}{|\mathbf x|}\biggr) * \mu \leqslant 1\biggr\},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\sup$ берется по всем указанным неотрицательным борелевским мерам $\mu$, $\|\mu\|$ – полная масса (вариация) меры $\mu$. Так, $\operatorname{Cap}(B(\mathbf a, r))=r$ и по определению $\operatorname{Cap}(\varnothing)=0$. Замечание 3.1. В определении $\operatorname{Cap}(E)$ в (3.3) можно дополнительно потребовать непрерывность потенциала $(1/|\mathbf x|) * \mu$ на всем $\mathbb R^3$ (см. [12; лемма XII]). Замечание 3.2. Определение $\operatorname{Cap}(E)$ эквивалентно следующему (см. [13; гл. II, § 2]): где $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$ с условием $\Phi * T \in C(\mathbb R^3)$. Таким образом, из сказанного и из (1.1) получаем, что $\kappa_{\Delta}(E)=\kappa'_{\Delta}(E)=4\pi \operatorname{Cap}(E)$, где $\kappa_{\Delta}(E)=\kappa(E)$ при $\mathcal L=\Delta_3=:\Delta$ (здесь $\Phi_{\Delta}(\mathbf x)= -1/(4\pi |\mathbf x|)$). Напомним определение $p$-мерного ($p \in (0, 3]$) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^3$: где нижняя грань берется по всем покрытиям $\{B_j\}$ множества $E$ шарами (каждое $\{B_j\}$ есть не более чем счетное покрытие множества $E$ шарами $B_j$ в $\mathbb R^N$ с радиусами $r_j$).Предложение 3.2. Пусть $E \neq \varnothing$ – ограниченное множество в $\mathbb R^3$. Найдется константа $A_0=A_0(\mathcal L) \in (1,+\infty)$, для которой выполняются следующие свойства емкостей $\kappa$ и $\kappa'$: (1) ${\kappa}'(E) \leqslant A_0\mathcal M^1(E)$; (2) для любого ограниченного $F_{\sigma}$-множества $E$ (и даже для т.н. аналитических множеств) в $\mathbb R^3$ и $p \in (1, 3]$ имеем: Доказательство. Докажем (1) по аналогии с доказательством свойства (2) из [14; предложение 4.1], используя известную лемму Харви и Полкинга [15; лемма 3.1] (для согласования обозначений см. [14; лемма 4.1], где условие (a) следует заменить на условие $\|\nabla^2 \varphi_j\| \leqslant A s(Q_j)^{-2}$, а также см. обозначения непосредственно перед этой леммой). Без ограничения общности считаем $E\,{\neq}\, \varnothing$ компактом.
Фиксируем любое $\varepsilon>0$ и, пользуясь определением (3.1), выберем $g$ с условиями $g=\Phi_\mathcal L * T$, $\operatorname{Spt} (\mathcal Lg)=\operatorname{Spt} (T) \subset E$, $\|g\| \leqslant 1$ и $ \langle \mathcal Lg, 1\rangle={\kappa}'(E)/2$. Из определения $\mathcal M^1(E)$ и компактности $E$ непосредственно следует, что найдется конечное семейство раздельных двоичных кубов $\{Q_j\}_{j=1}^J$ с условиями $E \subset (\bigcup_{j=1}^J Q_j)^{\circ}$ и $\sum_{j=1}^J r_j \leqslant A\mathcal M^1(E)+\varepsilon$, где $r_j=s(Q_j)$. Пусть $\{\varphi_j\}_{j=1}^J$ – разбиение единицы для $\{Q_j\}_{j=1}^J$ из леммы [14; лемма 4.1]. Тогда Из оценок $\|\mathcal L \varphi_j\| \leqslant A r_j^{-2}$ получаем, что $|\langle g, \mathcal L \varphi_j \rangle| \leqslant Ar_j$, откуда Остается $\varepsilon$ устремить к нулю.Задача 3.1. Найдется ли компакт $E$ в $\mathbb R^3$ с условиями $\mathcal M^1(E)>0$, но ${\kappa}'(E)=0$? Верно ли, что $\kappa'(I)=0$ для любого отрезка $I$? Эта задача – частный случай более сложных задач, приведенных в конце статьи. Отметим, что для случая $\mathcal L=\Delta$ ответ утвердительный (подойдет любой отрезок $I$). Докажем свойство (2). В работе [16; следствие 3.1] оно установлено, в частности, для емкости $\operatorname{Cap}(E)$, поэтому остается доказать следующее утверждение. Лемма 3.2. Пусть $a=\sup\{|\mathbf x\|\Phi (\mathbf x)|\colon \mathbf x \in \mathbb R^3\}$, т.е. $a \in (0,+\infty)$ – минимальная константа $A$ из первой оценки в (2.6). Тогда в указанных обозначениях (и ограничениях) для всякого $E \in \mathbb R^3$ имеем $\kappa(E)\geqslant a^{-1}\operatorname{Cap}(E)$. Доказательство. Пусть $\operatorname{Cap}(E)>0$ и $\varepsilon \in (0, \operatorname{Cap}(E))$ произвольно фиксированное. Найдется неотрицательная борелевская мера $\mu_{\varepsilon}$ с компактным носителем $K_{\varepsilon}$ в $E$ такая, что $(1/|\mathbf x|)*\mu_{\varepsilon}\leqslant 1$ и $\|\mu_{\varepsilon}\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon/2$. Положим $\psi_n(\mathbf x)=1/|\mathbf x|$ при $|\mathbf x|<1/n$ и $\psi_n(\mathbf x)=0$ при $|\mathbf x| \geqslant 1/n$. Ясно, что при $n \to+\infty$ для каждого $\mathbf x \in \mathbb R^3$. По теореме Егорова найдется компакт $K$ в $K_{\varepsilon}$ с условием $\mu_{\varepsilon}(K_{\varepsilon}\setminus K) < \varepsilon/2$ такой, что $\psi_n*\mu_{\varepsilon}(\mathbf x)\to 0$ при $n \to+\infty$ равномерно на $K$. Пусть $\mu=\mu_{\varepsilon}|_K$. Тогда, очевидно, $\|\mu\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon$ и $\psi_n*\mu(\mathbf x)\to 0$ при $n \to+\infty$ равномерно на $K$.
Доказательство. Достаточно показать, что для любого $n \in \mathbb N$ справедлива оценка $\|\psi_{2n}*\mu\|\leqslant 2\|\psi_n*\mu\|_K$.
Пусть $\mathbf x \in \mathbb R^3 \setminus K$. Если $\operatorname{dist}(\mathbf x, K)>1/(2n)$, то $\psi_{2n}*\mu(\mathbf x)=0$. Пусть теперь $\operatorname{dist}(\mathbf x, K) \leqslant 1/(2n)$ и $\mathbf x_0$ – какая-либо точка на $K$, ближайшая к $\mathbf x$. Для любого $\mathbf y \in K$ имеем $|\mathbf y-\mathbf x_0|\leqslant |\mathbf y-\mathbf x|+|\mathbf x-\mathbf x_0| \leqslant 2|\mathbf y-\mathbf x|$, откуда $1/|\mathbf y-\mathbf x| \leqslant 2/|\mathbf y-\mathbf x_0|$. Поскольку $B(\mathbf x, 1/(2n))\cap K \subset B(\mathbf x_{\mathbf 0}, 1/n)\cap K$, получаем, что $\psi_{2n}*\mu(\mathbf x) \leqslant 2 \psi_n*\mu(\mathbf x_0)$. Лемма доказана. Пусть теперь $\varphi_n \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$ такова, что $\varphi_n(\mathbf x)=0$ при $|\mathbf x|<1/(2n)$, $\varphi_n(\mathbf x)=1$ при $|\mathbf x| \geqslant 1/n$, причем $0 \leqslant \varphi(\mathbf x) \leqslant 1$ всюду. Положим $\Phi_n=\Phi \varphi_n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\Phi(\mathbf x)-\Phi_n(\mathbf x)| \leqslant |\Phi(\mathbf x)(1-\varphi_n(\mathbf x))| \leqslant a\psi_n(\mathbf x).
\end{equation*}
\notag
$$
Из очевидного свойства $\Phi_n*\mu \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$ (при всех $n$), предыдущей оценки и леммы 3.3 следует, что $\Phi*\mu \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Напомним, что $\|\Phi*\mu\| \leqslant a$ и $\|\mu\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon$. Остается устремить $\varepsilon$ к $0$. Лемма 3.2 доказана. Предложение 3.2 доказано. Из теоремы 1.2, теоремы B и леммы 3.2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 3.1. (1) Пусть $\mathcal L'$ – сильно эллиптический оператор, определенный в (1.3), и $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$. Тогда из условия $\mathcal A_{\Delta_2}(X')=C(X')$ вытекает $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C(X')$. (2) Пусть $\mathcal L_3$ – произвольный эллиптический оператор в $\mathbb R^3$ и $X$ – компакт в $\mathbb R^3$. Тогда из условия $\mathcal A_{\Delta_3}(X)=C(X)$ следует $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C(X)$. Естественно определить еще следующую емкость:
$$
\begin{equation*}
\kappa'_+(E)=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E,\,\|\Phi *\mu\| \leqslant 1\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sup$ берется по всем неотрицательным борелевским мерам $\mu$ с указанными условиями. В завершение сформулируем следующие важные проблемы. Задача 3.2. Верно ли, что найдется константа $A=A(\mathcal L)\in [1,+\infty)$ такая, что для всякого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^3$ выполнены оценки: (1) $\kappa'(E) \leqslant A\kappa(E)$; (2) $\kappa'(E) \leqslant A\kappa'_+(E)$; (3) $\kappa(E) \leqslant A \operatorname{Cap}(E)$? Так, для случая $\mathcal L=\Delta$ все ответы в обеих этих задачах утвердительны. Автор благодарен рецензентам за их труд по ознакомлению с этой работой и за ряд важных замечаний и исправлений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|