| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Глобальная ограниченность функций конечного порядка, ограниченных вне малых множеств Б. Н. Хабибуллин Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9502 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Предшествующие результатыВсюду в статье $\mathbb{N}:=\{1,2,\dots\}$ – множество натуральных чисел, $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ – соответственно поля вещественных и комплексных чисел, а $\mathbb{R}^+:=\{x\in \mathbb{R}\colon x\geqslant 0\}$ – положительный луч на $\mathbb{R}$. Для чисел $m, n\in \mathbb{N}$ векторные пространства $\mathbb{R}^m$ над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}^n$ над $\mathbb{C}$ рассматриваются как евклидовы пространства с евклидовой нормой-модулем $|\cdot|$. При необходимости и возможности пространство $\mathbb{C}^n$ отождествляется с $\mathbb{R}^{2n}$ разбиением на пару вещественных координат каждой комплексной координаты. Исходный мотивирующий классический результат – это Теорема Лиувилля (см. [1]–[4]). Из ограниченности сверху выпуклой или гармонической функции на $\mathbb{R}^m$, а также целой или плюрисубгармонической функции на $\mathbb{C}^n$ следует, что эта функция постоянна. При условии ограниченности сверху целой функции одной комплексной переменной вне асимптотически малых по площади множеств в 2018 г. была установлена и нашла полезные применения следующая теорема. Теорема 1 (см. [5; лемма 4.2], [6; лемма 4.2], [7; лемма 2.1], [8; теорема 2.1]). Если целая функция конечного порядка на $\mathbb{C}$ ограничена вне $E\subset \mathbb{C}$, а площади пересечений $E$ с кругами радиуса $r\in \mathbb{R}^+$ с центром в нуле определены и являются величиной порядка $o(r^2)$ при $r\to +\infty$, то она постоянная. На самом деле в указанных в ссылках к теореме 1 утверждениях условия на исключительное множество $E$ могут быть и несколько бо́льших размеров, чем в теореме 1. “Быстрое” краткое доказательство теоремы 1 изложено в [9]. В [10] и [11] теорема 1 перенесена на функции многих переменных. Теорема 2 (см. [10; теорема 1], [11; теорема 1]). Если плюрисубгармоническая или целая функция конечного порядка на $\mathbb{C}^n$ ограничена сверху вне $E\subset \mathbb{C}^n$, а объемы пересечений $E\subset \mathbb{C}^n$ с шарами радиуса $r\in \mathbb{R}^+$ с центром в нуле определены и являются величиной порядка $o(r^{2n})$ при $r\to +\infty$, то она постоянная. В условиях основных результатов настоящей статьи ограничения на рост функции даются на расширяющихся последовательностях окружностей или сфер вне асимптотически малых множеств на этих окружностях или сферах при стремлении их радиусов к бесконечности. Более того, методы настоящей работы дают подобные результаты и для плюрисубгармонических и целых функций на $\mathbb{C}^n$ при всех $n\in \mathbb{N}$, а также для выпуклых и гармонических функций на $\mathbb{R}^m$ при всех $m\in \mathbb{N}$. Схемы, использованные при доказательствах основных теорем в [10] и [11], а также основной теоремы настоящей статьи (теоремы 3), без особых сложностей переносятся на (плюри)субгармонические и голоморфные функции в единичном открытом интервале, круге или шаре, но с заключением не о постоянстве, а об ограниченности сверху всюду. Основные результаты настоящей статьи для функций одной переменной нам ранее также не встречались. Далее при обращении к (плюри)субгармоническим, гармоническим, целым и выпуклым функциям и их свойствам, как правило, достаточны основные сведения о них из [1]–[4]. 1.2. Порядок функцииЧерез
$$
\begin{equation}
B_m(x,r) :=\bigl\{x' \in \mathbb{R}^m \colon |x'-x|< r\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.1B}
$$
$$
\begin{equation}
\overline B_m(x,r) :=\bigl\{x' \in \mathbb{R}^m \colon |x'-x|\leqslant r\bigr\},
\end{equation}
\tag{$1.1\overline{\mathrm{B}}$}
$$
$$
\begin{equation}
S_{m-1}(x,r) :=\bigl\{x' \in \mathbb{R}^m \colon |x'-x|= r\bigr\}=\overline B_m(x,r)\setminus B_m(x,r)
\end{equation}
\tag{1.1S}
$$
обозначаем соответственно открытый и замкнутый шары, а также сферу в $\mathbb{R}^m$ радиуса $r\in \mathbb{R}^+$ с центром $x\in \mathbb{R}^m$; здесь $B_m(r):=B_m(0,r)$, ${\overline B}_m(r):={\overline B}_m(0,r)$ и $S_{m-1}(r):=S_{m-1}(0,r)$, а нижние индексы $m$ и $m-1$ указывают на размерность. Такие же обозначения с $m:=2n$ используем в $\mathbb{C}^n$, отождествляемом с $\mathbb{R}^{2n}$. Нижние индексы $m$ и $m-1$ по возможности опускаем, когда это не вызывает разночтений. Меру Лебега на $\mathbb{R}^m$ и ее сужения на шары $B(x,r)$ и $\overline B(r)$ обозначаем через $\lambda $, а поверхностную меру на $S(r)$ – через $\sigma_r$. Пусть функция $M$ со значениями в расширенной вещественной прямой $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ определена в $\mathbb{R}^+$ или $\mathbb{R}$, в $\mathbb{R}^m$ или $\mathbb{C}^n$, но, возможно, вне некоторого шара $B(r)$ радиуса $r\in \mathbb{R}^+$. Порядок $M$ (около $\infty$) определяется как (см. [12; п. 2.1])
$$
\begin{equation}
\operatorname{ord}_{\infty}[M]:=\limsup_{|x|\to +\infty}\frac{\ln (1+M^+(x))}{\ln |x|}\in \mathbb{R}^+\cup \{+\infty\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $M^+\colon x\mapsto \max\{0, M(x)\}$ – положительная часть функции $M$. Порядок целой функции $f$ на $\mathbb{C}^n$ или голоморфной функции $f$ вне некоторого шара – это порядок $\operatorname{ord}_{\infty}[\ln |f|]$ плюрисубгармонической функции $\ln|f|$ при соглашении, что субгармонические функции на подмножествах комплексной плоскости $\mathbb{C}$ называем также и плюрисубгармоническими. Пусть функция $M$ со значениями в $\overline{\mathbb{R}}$ определена на интервале $[0,1)$ или в открытом единичном шаре $B(1)\subset \mathbb{R}^m$, или $B(1)\subset \mathbb{C}^n$, но, возможно, вне некоторого шара $B(r)$ радиуса $r<1$. Порядок функции $M$ (около единицы для интервала $[0,1)$ или около границы для шара $B(1)$) определяется как
$$
\begin{equation}
\operatorname{ord}_1[M]:=\limsup_{1>|x|\to 1}\frac{\ln (1+M^+(x))}{-\ln (1- |x|)}\in \mathbb{R}^+\cup \{+\infty\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Порядок функции $f$, голоморфной в шаровом слое $B(1)\setminus B(r)\subset \mathbb{C}^n$ с $r<1$, – это порядок $\operatorname{ord}_1[\ln |f|]$ плюрисубгармонической функции $\ln|f|$. Через $\operatorname{sbh}(S)$ обозначаем класс всех субгармонических (локально выпуклых при $m=1$) функций на каких-либо открытых окрестностях множества $S\subset \mathbb{R}^m$. § 2. Основные результаты2.1. Функции на $\mathbb{R}^m$ или $\mathbb{C}^n$Основной теоремой настоящей статьи является Теорема 3. Пусть $m\in \mathbb{N}$, $r_0\in \mathbb{R}^+$, $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ – неограниченная возрастающая 1 последовательность чисел $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ на $\mathbb{R}^+$ с $r_1>r_0$, растущая не быстрее геометрической прогрессии в том смысле, что для которой множества $E_k\subset S(r_k)$ измеримы по поверхностной мере $\sigma_{r_k}$ и Теорема 4. Пусть выполнены условия основной теоремы для $\mathbb{C}^n$, отождествленного с $\mathbb{R}^{2n}$ и $m:=2n$. Если функция конечного порядка: ограничена сверху на $\bigcup_{k\in \mathbb{N}}(S(r_k)\setminus E_k)$, то эта функция постоянна. Доказательство. При $n>1$ по известному принципу Хартогса функция, голоморфная на дополнении $\mathbb{C}^n\setminus {\overline B} (r_0)$ компакта ${\overline B} (r_0)$, является сужением некоторой целой функции на $\mathbb{C}^n\setminus {\overline B} (r_0)$. Поэтому и в части (ii) голоморфную функцию можно считать целой.
Пусть $v$ – плюрисубгармоническая функция на $\mathbb{C}^n$, которую можно рассматривать как субгармоническую на $\mathbb{R}^{2n}$. Выберем произвольным образом положительное $r_0<r_1$ и числа $M_E$ и $M_0$, как в (2.3E) и (2.3o) соответственно. Тогда по теореме 3 (основной теореме) имеет место (2.3M), и функция $v$ ограничена сверху на $\mathbb{C}^n$. Но поскольку она плюрисубгармонична, то по теореме Лиувилля она постоянна. Если $f$ – целая функция, то для плюрисубгармонической функции $\ln|f|$ выполнены все условия теоремы 4. Следовательно, $|f|$ – постоянная функция, поэтому и функция $f$ постоянна. Теорема доказана. Приведем отдельно одномерную формулировку теоремы 4. Теорема 4'. Пусть множества $E_k\subset \mathbb{C}$, $k\in \mathbb{N}$, лежат на окружностях $S_1(r_k)$, $k\in \mathbb{N}$, с центрами в нуле и возрастающими радиусами $r_k$, удовлетворяющими (2.1), для которых множества $e_k:=\{\arg z\colon z\in E_k\}\cap [0,2\pi)$ измеримы по линейной мере Лебега на интервале $[0,2\pi)$, а предел линейных мер Лебега множеств $e_k$ при $k\to \infty$ равен нулю. Если целая или субгармоническая функция конечного порядка ограничена сверху на объединении всех множеств $S_1(r_k)\setminus E_k$, то она постоянна. Обозначения и условия в теореме 4' согласованы с (2.2) при $n=1$ и $m=2\cdot 1$ для меры Лебега $\lambda$ на $[0,2\pi)$ и меры длины окружности $\sigma_{r_k}$ на окружности $S_1(r_k)$ радиуса $r_k$, так как
$$
\begin{equation*}
\lambda(e_k)=\frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{r_k}, \qquad \limsup_{k\to \infty} \lambda(e_k)=\limsup_{k\to \infty} \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{r_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Теорема 2 может быть выведена из теоремы 4, поскольку при подразумеваемой в ней $\lambda$-измеримости множества $E$ из условия Теорема 5. Пусть для каждой точки $\mathbf s$ на единичной сфере $S(1)\in \mathbb{C}^n$ и соответствующей ей комплексной прямой $\mathbb{C}_\mathbf s:=\{z\mathbf s\colon z\in \mathbb{C}\}$ в $\mathbb{C}^n$, рассматриваемой как комплексная плоскость, найдутся последовательность $(r_k(\mathbf s))_{k\in \mathbb{N}}$ на $\mathbb{R}^+$ и множества $E_k(\mathbf s)$ на окружностях $S_1(r_k(\mathbf s))\subset \mathbb{C}_\mathbf s$, для которых выполнены все условия теоремы 4'. Если для плюрисубгармонической или целой функции на $\mathbb{C}^n$ ее сужение на каждую плоскость $\mathbb{C}_\mathbf s$ – функция конечного порядка, ограниченная сверху на объединении $\bigcup_{k\in \mathbb{N}} \bigl(S_1(r_k(\mathbf s))\setminus E_k(\mathbf s)\bigr)$, то эта функция постоянна на $\mathbb{C}^n$. Доказательство. По теореме 4' для субгармонических функций на комплексной плоскости сразу получаем, что сужение исходной плюрисубгармонической функции на каждую комплексную плоскость $\mathbb{C}_\mathbf s$ – постоянная функция. Но все комплексные прямые $\mathbb{C}_\mathbf s$ имеют общую точку $0$, следовательно, и исходная плюрисубгармоническая функция постоянна. От исходной целой функции $f$ переходим к плюрисубгармонической функции $\ln|f|$, которая по доказанной части теоремы 5 постоянна, поэтому постоянна и $f$. Теорема доказана. Теорема 6. В условиях основной теоремы 3 ограниченность сверху на объединении $\bigcup_{k\in \mathbb{N}}(S(r_k)\setminus E_k)$ выпуклой или гармонической функции на $\mathbb{R}^m$ конечного порядка влечет за собой ее постоянство всюду на $\mathbb{R}^m$. Доказательство. Выпуклая или гармоническая функция $v$ субгармонична, а в условиях основной теоремы 3 эта функция ограничена сверху на всем $\mathbb{R}^m$. По теореме Лиувилля она постоянна. Теорема доказана. 2.2. Функции в единичном круге или шаре Теорема 7. Пусть $m\in \mathbb{N}$, $r_0\in (0,1)$, $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ – возрастающая последовательность чисел $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ на $[0,1)$ с Теорема 8. Пусть $m\in \mathbb{N}$, $E\subset B(1)\subset \mathbb{R}^m$ измеримо по мере Лебега и Доказательство. Подобно замечанию 1 из теории интегрирования и меры следует, что в каждом шаровом слое $B(1\,{-}\,2^{-k-1})\,{\setminus}\, B(1\,{-}\,2^{-k})$ при каждом $k\,{\in}\, \mathbb{N}$ найдется сфера $S(r_k)$ радиуса $r_k\in [1-2^{-k},1-2^{-k-1})$, для которой множество $E_k:=E\cap S(r_k)$ измеримо по поверхностной мере $\sigma_{r_k}$, и для этих сфер $S(r_k)$ выполнено соотношение (2.5).
§ 3. Неравенства со средними по сферам и шарамЧерез $b_m$ и $s_{m-1}$ обозначаем соответственно объем $\lambda(B(1))$ единичного шара ${\overline B}(1)$ в $\mathbb{R}^m$ и площадь $\sigma_r(S(r))$ единичной сферы $S(1)\subset {\overline B}(1)\subset \mathbb{R}^m$. Для функции $v\colon \overline B_m(x,r)\to \overline{\mathbb{R}}$ ее среднее по шару $\overline B_m(x,r)$ обозначаем как
$$
\begin{equation}
\mathbf B_v(x,r):= \frac{1}{b_mr^m}\int_{\overline B(x,r)} v \,{\mathrm d} \lambda, \qquad \mathbf B_v(r):=\mathbf B_v(0, r),
\end{equation}
\tag{3.1B}
$$
а для функции $v\colon S_{m-1}(x,r)\to \overline{\mathbb{R}}$ ее среднее по сфере $S_{m-1}(x,r)$ обозначаем
$$
\begin{equation}
\mathbf S_v(x,r):= \frac{1}{s_{m-1}r^{m-1}} \int_{S(r)} v(x+y) \,{\mathrm d} \sigma_r(y), \qquad \mathbf S_v(r):=\mathbf S_v(0, r),
\end{equation}
\tag{3.1S}
$$
в предположении существования интегралов. Для $\lambda$-интегрируемой функции $v\colon \overline B(x,r)\to \overline{\mathbb{R}}$ средние по сферам (3.1S) определены почти всюду по линейной мере Лебега на $[0,r]$ и связаны равенством
$$
\begin{equation}
\mathbf B_v(x,r)=\frac{m}{r^m}\int_0^r\mathbf S_v(x,t)t^{m-1}\,{\mathrm d} t.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Роль средних из (3.1B), (3.1S) для субгармонических функций $v\not\equiv -\infty$ обусловлена полностью характеризующими их (при условии полунепрерывности сверху и локальной $\lambda$-интегрируемости) неравенствами для средних по шару и сфере
$$
\begin{equation}
v(x)\leqslant \mathbf B_v(x,r)\leqslant \mathbf S_v(x,r) \quad\text{для всех }\ v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(x,r)).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Известно, что с постоянной
$$
\begin{equation}
a_m:=\begin{cases} \dfrac12 &\text{при $m=1$}, \\ \dfrac1{\sqrt{e}} &\text{при $m=2$}, \\ \dfrac1{\sqrt[{m-2}]{m/2}} &\text{при $m\geqslant 3$} \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
имеют место точные неравенства (см. [13; теорема], [14; формулы (5), (6)])
$$
\begin{equation}
v(0)\leqslant \mathbf S_v(a_mR)\leqslant \mathbf B_v(R)\leqslant \mathbf S_v(R)
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
для любой функции $v\colon \overline B(R)\to \overline{\mathbb{R}}$ c четырьмя свойствами: (1v) функция $v$ интегрируема на $\overline B(R)$ по мере Лебега $\lambda$; (2v) сужение $v|_{B(R)}$ функции $v$ на $B(R)\subset \mathbb{R}^m$ – субгармоническая функция; (3v) сужение $v|_{S(R)}$ функции $v$ на $S(R)\subset \mathbb{R}^m$ интегрируемо по мере $\sigma_R$; (4v) $\limsup_{B(R)\ni x'\to x} v(x')\leqslant v(x)$ для $\sigma_R$-почти каждой точки $x\in S(R)$. Легко показать, используя (3.2) с $x=0$ и $r<R$, что свойства (2v)–(4v) влекут за собой свойство (1v). В случае функции $v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(R))$ с $v\not\equiv -\infty$, который только и используется в настоящей статье при доказательстве основных результатов, все четыре свойства (1v)–(4v) выполнены. Следующие элементарные неравенства для средних по сферам и шарам – это один из ключевых моментов доказательства наших основных результатов. Лемма 1. Пусть $0<r<R\in \mathbb{R}^+$, а функция $v$ на ${\overline B}(R)\subset \mathbb{R}^m$ обладает свойством (1v), а $v^+$ – ее положительная часть. Тогда Если та же функция $v$ обладает и свойством (2v), то для любого измеримого по положительной борелевской мере $\mu$ на ${\overline B}(r)$ подмножества $E\subset {\overline B}(r)$
$$
\begin{equation}
\int_{E}v\,{\mathrm d} \mu \leqslant \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mu (E)\mathbf B_{v^+}(R).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Допустим, что функция $v$ обладает тремя свойствами (2v)–(4v). Тогда а также для любого измеримого по некоторой конечной положительной борелевской мере $\mu$ на $S(r)$ подмножества $E\subset S(r)\subset \mathbb{R}^m$ имеем Доказательство. Неравенство (3.6), приведенное в [10; предложение 1] и [11; предложение 1], сразу следует из цепочки неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathbf B_v(x,R-r) &\stackrel{(3.1B)}{=} \frac{1}{b_m(R-r)^m}\int_{\overline B(x,R-r)} v \,{\mathrm d} \lambda \leqslant \frac{1}{b_m(R-r)^m}\int_{\overline B(R)} v^+ \,{\mathrm d} \lambda \\ &\ \ =\frac{b_mR^m}{b_m(R-r)^m}\,\frac{1}{b_mR^m}\int_{\overline B(R)} v^+ \,{\mathrm d} \stackrel{(3.1B)}{=} \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mathbf B_{v^+}(R) \end{aligned} \\ \text{при всех }x\in {\overline B}(r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для субгармонической функции $v\in \operatorname{sbh}(B(R))$ по (3.3) имеем
$$
\begin{equation*}
v(x)\stackrel{(3.3)}{\leqslant} \mathbf B_v(x,R-r)\leqslant \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mathbf B_{v^+}(R) \quad\text{при всех }\ x\in {\overline B}(r),
\end{equation*}
\notag
$$
и интегрирование этих неравенств по мере $\mu$ и по $E\subset {\overline B}(r)$ дает (3.7).
Для корректности построений при доказательстве (3.8) и (3.9) можем рассмотреть только функции $v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(R))$, к которым можно перейти с помощью растяжения – гомотетии пространства $\mathbb{R}^m$, а затем вернуться к исходной функции $v$, устремляя коэффициент растяжения к единице. Ввиду возрастания и непрерывности среднего по сфере для субгармонических функций неравенство (3.8) при таком переходе не нарушится. Более того, достаточно рассматривать только непрерывные положительные функции $v\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R))$, а потом для произвольной функции $v^+\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R))$ воспользоваться убывающей к ней последовательностью таких функций. Для положительной непрерывной функции $v^+\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R))$ уже можно рассмотреть ее положительное гармоническое продолжение $H\geqslant v^+$ со сферы $S(R)$ внутрь ${\overline B}(R)$, т.е. в $B(R)$, построенное с помощью интеграла Пуассона. Для такой функции $H$ по неравенству Харнака (см. [2; теорема 1.18]) для положительных гармонических функций имеем
$$
\begin{equation*}
H (x)\leqslant \frac{(R+|x|)R^{m-2}}{(R-|x|)^{m-1}}H(0) \quad\text{для любой точки }\ x\in B(R),
\end{equation*}
\notag
$$
где $H(0)$ равно среднему $\mathbf S_{v^+}(R)$ по сфере $S(R)$ функции $v^+$, а $v^+(x)\leqslant H(x)$, поскольку $H$ – мажоранта субгармонической функции $v^+$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
v^+(x)\leqslant \frac{(R+|x|)R^{m-2}}{(R-|x|)^{m-1}}\mathbf S_{v^+}(R) \quad\text{для любой точки }\ x\in B(R).
\end{equation*}
\notag
$$
Дробь в правой части здесь возрастает при росте $|x|$. Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation*}
v(x)\leqslant v^+(x)\leqslant \frac{(R+r)R^{m-2}}{(R-r)^{m-1}}\mathbf S_{v^+}(R) \quad\text{при }\ |x|\leqslant r,
\end{equation*}
\notag
$$
где правая часть неравенства совпадает с правой счастью неравенства (3.8). Интегрирование неравенств (3.8) по мере $\mu$ по множеству $E\subset S(r)$ дает (3.9). Лемма 1 доказана. Замечание 2. Последнее точное неравенство в (3.5) позволяют перейти от (3.6), (3.7) к неравенствам вида (3.8), (3.9), но с множителем Доказательства следующих двух элементарных лемм опускаем. Лемма 2. Пусть $S$ – положительная возрастающая функция конечного порядка на некотором луче положительной полуоси $\mathbb{R}^+$. Если для некоторой возрастающей последовательности $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ на этом луче, растущей не быстрее геометрической прогрессии в смысле (2.1), выполнено соотношение то функция $S$ нулевая, т.е. $S\equiv 0$ всюду на этом луче. Лемма 3. Пусть $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ – возрастающая последовательность на луче в $\mathbb{R}^+$, растущая не быстрее геометрической прогрессии в смысле (2.1). Тогда для любого числа $q>1$ можно выделить строго возрастающую подпоследовательность из $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$, растущую не быстрее геометрической прогрессии, для которой отношение каждого последующего члена подпоследовательности к предшествующему не меньше $q$. § 4. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 3. Если хотя бы одна из величин $M_0$ или $M_E$ равна $+\infty$, то (2.3M) очевидно. В противном случае выберем произвольное число $M>\max\{M_0,M_E\}$. Сначала рассмотрим случай функции $v$, субгармонической на всем $\mathbb{R}^m$, для которой по принципу максимума
$$
\begin{equation}
\sup_{{\overline B}(r_1)} v\stackrel{(2.3o)}{\leqslant} M_0\leqslant M.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
По лемме 3, оставаясь в рамках условия (2.1), можно выделить такую строго возрастающую подпоследовательность из последовательности $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$, что отношение каждого последующего члена подпоследовательности к предшествующему не меньше, чем 2. Сохраним за этой подпоследовательностью то же обозначение $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$; теперь
$$
\begin{equation}
2\leqslant \frac{r_{k+1}}{r_k} \quad\text{для каждого }\ k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
а для соответствующих множеств $E_k$ по-прежнему выполнено (2.2). Кроме того, по определению (2.3E) числа $M_E$ можно начать нумерацию последовательности $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ заново со столь большого $r_k$ (отбросив конечное число предшествующих членов этой последовательности), что $\sup_{S(r_k)\setminus E_k} v\leqslant M$ для каждого номера $k\in \mathbb{N}$. Вместо функции $v\in \operatorname{sbh}(\mathbb{R}^m)$ рассмотрим функцию – положительную часть функции $v-M$, которая отрицательна на $S(r_1)$ и на всех множествах $S(r_k)\setminus E_k$ при $k\in \mathbb{N}$ и также является субгармонической функцией конечного порядка $\operatorname{ord}_{\infty}[V]<+\infty$ на $\mathbb{R}^m$. Интегрирование по поверхностной мере $\sigma_{r_k}$ для каждого $k\in \mathbb{N}$ дает неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf S_{V}(r_k)\stackrel{(3.1S)}{=}\frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \int_{S(r_k)}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k}\leqslant \frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \int_{E_k}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим теперь к интегралу в правой части неравенство (3.9) основной леммы с $r_k$ в роли $r$, $r_{k+1}$ в роли $R$, $E_k$ в роли $E$, $\sigma_k$ в роли $\mu$ и $V=V^+$ в роли $v$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E_k}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k} &\leqslant \biggl(1+\frac{2r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggl) \biggl(1+\frac{r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggr)^{m-2}\sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ & \stackrel{(4.2)}{\leqslant} 3\cdot 2^{m-2} \sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эту оценку к предшествующему соотношению, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathbf S_V(r_k) \leqslant \frac{3\cdot 2^{m-2}}{s_{m-1}} \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{r_k^{m-1}}\mathbf S_V(r_{k+1}) \stackrel{(2.2)}{=}o(1)\mathbf S_V(r_{k+1}) \quad\text{при }\ k\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf S_V$ – функция конечного порядка, поскольку таковой является функция $V$. По лемме 2, примененной к функции $\mathbf S_V$ в роли $S$, $\mathbf S_V$ – нулевая функция на $\mathbb{R}^+$ и, как следствие, $(v-M)^+\equiv 0$ и $v\leqslant M$. Отсюда в силу произвола в выборе числа $M>\max \{M_0,M_E\}$ и определения чисел $M_0$ и $M_E$ в (2.3E) и (2.3o) получаем требуемое (2.3M).
В случае субгармонической функции $v$, определенной лишь на $\mathbb{R}^m\setminus {\overline B}(r_0)$, можем заменить ее на функцию
$$
\begin{equation}
\begin{cases} M_0 &\text{на }\overline B(r_1), \\ \sup\{v,M_0\} &\text{вне }\overline B(r_1), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
которая субгармонична уже на всем $\mathbb{R}^m$ и обладает всеми требуемыми в основной теореме свойствами, но с числом $\max\{M_0,M_E\}$ в роли $M_E$, что не меняет заключения основной теоремы. Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 7. Так же, как и при доказательстве основной теоремы, с помощью конструкции (4.4) можно свести доказательство к рассмотрению случая субгармонической функции $v$ конечного порядка на всем $B(1)$, предполагая, что неравенство $v\leqslant M$, где $\max\{M_0,M_E\}<M<+\infty$, выполнено на всех дополнениях $S(r_k)\setminus E_k$ сфер $S(r_k)$ до $E_k$. При этом замена переменной
$$
\begin{equation}
r:=\frac{t}{t+1} \quad\text{с соотношениями }\ \frac{1+r}{2}=\frac{t+2}{2(t+1)}\leqslant \frac{2t}{2t+1}\quad \text{при }\ t\geqslant 2
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
и применение леммы 3 с $q:=4$ позволяют так разредить последовательность $(r_k)_{k\in \mathbb{N}}$ с соответствующей перенумерацией, что
$$
\begin{equation}
r_1\geqslant \frac12, \qquad 4\frac{r_k}{1-r_k}\stackrel{(4.5)}{=}4t_k\leqslant t_{k+1}\stackrel{(4.5)}{=}\frac{r_{k+1}}{1-r_{k+1}}, \quad \text{откуда }\ 2\leqslant \frac{1-r_{k}}{1-r_{k+1}}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
при всех $k$, сохранив при этом ограничение (2.4) и условие (2.5). По неравенству (3.9) леммы 1, примененной с $r_k$ в роли $r$, $r_{k+1}$ в роли $R$, $E_k$ в роли $E$, поверхностной мерой $\sigma_k$ в роли $\mu$ и субгармонической функцией $V:=(v-M)^+$, отрицательной на всех $S(r_k)\setminus E_k$, в роли $v$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf S_V(r_k) \stackrel{(3.9)}{\leqslant} \frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \biggl(1+\frac{2r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggl)\biggl(1+\frac{r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggr)^{m-2} \sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\ \leqslant \frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \,\frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(r_{k+1}-r_k)^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1})\stackrel{(4.6)}{\leqslant} \frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \, \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k+1})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\ =\frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \biggl(\frac{1-r_k}{1-r_{k+1}}\biggr)^{m-1} \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\stackrel{(2.4)}{\leqslant} O(1)\frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1})\stackrel{(2.5)}{=} o(1) \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \quad\text{при }\ k\to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf S_{V}\geqslant 0$ – возрастающая функция конечного порядка $\operatorname{ord}_1[\mathbf S_{V}]<+\infty$. Замена переменной (4.5) в функции $\mathbf S_{V}$ дает возрастающую положительную функцию $S(t):=\mathbf S_{V}(t/(t+1))$ конечного порядка $\operatorname{ord}_{\infty}[S]<+\infty$ на $\mathbb{R}^+$, удовлетворяющую соотношению $S(t_k)=o(1)S(t_{k+1})$ при $t\to +\infty$, где по условию (2.4) последовательность чисел $t_k:=r_k/(1-r_k)$ растет не быстрее геометрической прогрессии. По лемме 2 функция $S$ нулевая, т.е. $\mathbf S_{V}\equiv 0$, и, как следствие, $(v-M)^+\equiv 0$ и $v\leqslant M$. В силу произвола в выборе числа $M>\max\{M_0,M_E\}$ и определений (2.7) чисел $M_0$ и $M_E$ получаем требуемое (2.6). Теорема доказана. БлагодарностьВыражаю глубокую признательность рецензентам за ряд полезных замечаний, исправлений, комментариев как по математическому содержанию, так и по стилистике оформления отдельных моментов статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|