Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 9, страницы 3–17
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9501 (Mi sm9501) 		 
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Полные наборы полиномов в биинволюции на нильпотентных семимерных алгебрах Ли

К. С. Ворушилов

Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
PDF полного текста (464 kB) PDF английской версии (430 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9501
Аннотация: Построены полные наборы полиномов в биинволюции на семимерных нильпотентных алгебрах Ли из списка М.-П. Гонга. Тем самым для всех алгебр из данного списка проверена обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко.
Библиография: 14 названий.
Ключевые слова: алгебры Ли, интегрируемые гамильтоновы системы, полные коммутативные наборы полиномов, метод сдвига аргумента.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 19-31-90151
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 19-31-90151.
Поступила в редакцию: 01.09.2020 и 15.02.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages 1193–1207
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9501
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 514.745.8
MSC: Primary 30C65, 30L10, 58C06; Secondary 31C12, 31C15, 31B15, 30D45

§ 1. Введение

Пусть $\mathfrak g$ – комплексная или вещественная конечномерная алгебра Ли со структурными константами $c_{ij}^k$. Для функций на ее двойственном пространстве $\mathfrak g^*$ естественным образом определена скобка Пуассона

$$ \begin{equation*} \{f,g\}(x)= c_{ij}^k x_k\, \frac{\partial f }{\partial x_i}\,\frac{\partial g }{\partial x_j}, \qquad f,g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathfrak g^*). \end{equation*} \notag $$
Данная пуассонова структура $\mathcal{A}_x$ (называемая также “скобкой Ли–Пуассона”) задается тензором типа $(2,0)$ на $\mathfrak g^*$, т.е. семейством билинейных форм на алгебре Ли $\mathfrak g$, матрицы которых $\mathcal{A}_x(x)=(c_{ij}^k x_k)$ линейно зависят от координат $x_i$ точки $x\in\mathfrak g^*$.

Вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли задаются полным набором функций, находящихся в инволюции относительно скобки Ли–Пуассона. Полным набором считается набор, содержащий в себе $n$ функций, дифференциалы которых линейно независимы почти всюду на $\mathfrak g^*$, где $n$ равно сумме половины размерности орбиты общего положения и коразмерности орбиты, т.е. размерности ядра скобки:

$$ \begin{equation*} n=\dim \ker \mathcal{A}_x+ \frac{1}{2}\dim \mathcal{O}_x=\dfrac{1}{2}(\dim \mathfrak g+\operatorname{ind} \mathfrak g). \end{equation*} \notag $$

Наибольший с практической точки зрения интерес представляют гамильтоновы системы, где полный набор в инволюции можно выбрать среди полиномиальных функций.

В 1978 г. А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко предложили метод сдвига аргумента для построения полных коммутативных наборов. Суть метода в следующем. Если $f$ и $g$ – инварианты коприсоединенного представления алгебры Ли, то их так называемые сдвиги $f(x+\lambda a)$ и $g(x+\mu a)$ находятся в инволюции относительно сразу двух пуассоновых структур: скобки Ли–Пуассона и скобки “с замороженным аргументом”

$$ \begin{equation*} \{f,g\}_a (x)= c_{ij}^k a_k \,\frac{\partial f }{\partial x_i}\,\frac{\partial g }{\partial x_j}, \qquad f,g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathfrak g^*), \end{equation*} \notag $$
для которой матрица соответствующей билинейной формы $(c_{ij}^k a_k)$ на $\mathfrak g$ постоянна. С помощью данного метода А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко построили полные наборы полиномов в инволюции для полупростых алгебр Ли (см. [10], [11]), а также применили полученные результаты для интегрирования широкого класса гамильтоновых систем (см. [12], [14]). На основании этих результатов авторами была выдвинута гипотеза, полностью доказанная С. Т. Садэтовым в 2004 г.

Теорема 1 (С. Т. Садэтов). На двойственном пространстве $\mathfrak g^*$ любой алгебры Ли $\mathfrak g$ существует полный набор полиномов в инволюции.

Доказательство теоремы 1 подробно описано, например, в [2]. В отличие от наборов, построенных методом сдвига аргумента, наборы полиномов, построенные методом Садэтова, не находятся в инволюции относительно скобки с замороженным аргументом. Соответственно, был поставлен вопрос о возможности построения полного набора в биинволюции, т.е. в инволюции относительно обеих пуассоновых структур, $\mathcal{A}_x$ и $\mathcal{A}_a$ (см. [3; задача 12], а также [4] и [1]).

Обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко. На двойственном пространстве $\mathfrak g^*$ любой алгебры Ли $\mathfrak g$ существует полный набор полиномов в биинволюции, т.е. в инволюции как относительно скобки Ли–Пуассона $\mathcal{A}_x$, так и относительно скобки с замороженным аргументом $\mathcal{A}_a$, где $a\in\mathfrak g^*$ – регулярный элемент.

Для некоторых классов алгебр Ли такие наборы были построены. В частности, для маломерных алгебр ($\dim \mathfrak g \leqslant 5$), а также для некоторых других классов наборы построены в [1]. Для алгебр Ли размерности 6 наборы в биинволюции были получены Ф. И. Лобзиным. Тем не менее в общем случае обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко не доказана.

С методом сдвига аргумента тесно связано понятие инвариантов Жордана–Кронекера.

Теорема 2 (теорема Жордана–Кронекера; см. [13]). Пусть $A$ и $B$ – две произвольные билинейные кососимметрические формы на линейном пространстве $V$ над алгебраически замкнутым полем $\mathbb K$. Тогда существует такой базис пространства $V$, в котором формы $A$ и $B$ одновременно приведены к блочно-диагональному виду $A=\operatorname{diag}\{A_1,\dots,A_n\},B=\operatorname{diag}\{B_1,\dots,B_n\}$ с блоками следующих видов:

1) жорданов блок с собственным значением $\lambda_i \in \mathbb K$

$$ \begin{equation*} A_i=\begin{pmatrix} 0& J(\lambda_i) \\ -J^\top(\lambda_i) & 0 \end{pmatrix}, \qquad B_i=\begin{pmatrix} 0& -E \\ E & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} J(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1&&&0 \\&\lambda & \ddots \\ &&\ddots& &1 \\0 &&&&\lambda \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
а $E$ – единичная матрица;

2) жорданов блок с собственным значением $\lambda_i = \infty$

$$ \begin{equation*} A_i= \begin{pmatrix} 0& -E \\ E & 0 \end{pmatrix}, \qquad B_i=\begin{pmatrix} 0& J(0) \\ -J^\top(0) & 0 \end{pmatrix}; \end{equation*} \notag $$

3) кронекеров блок

$$ \begin{equation*} A_i=\begin{pmatrix} 0& K_1 \\ -K_1^\top & 0 \end{pmatrix}, \qquad B_i=\begin{pmatrix} 0& K_2 \\ -K_2^\top & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где $K_1$ и $K_2$ – матрицы размера $(k_i-1)\times k_i$ вида
$$ \begin{equation*} K_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0\\ &\ddots &\ddots \\ 0 & \dots& 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad K_2= \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 0\\ &\ddots &\ddots \\ 0 & \dots& 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Известно (см. [1]), что для открытого всюду плотного множества пар $(x,a)$ в $\mathfrak g^*\times\mathfrak g^*$ разложения Жордана–Кронекера пары форм $\mathcal{A}_x(x)$ и $\mathcal{A}_a$ одинаковы в том смысле, что для всех таких пар количества и размеры кронекеровых блоков и жордановых блоков для каждого собственного значения одни и те же. Эти числовые характеристики для произвольной пары форм называются их инвариантами Жордана–Кронекера, а для пары форм $\mathcal{A}_x(x)$ и $\mathcal{A}_a$ при $(x,a)$ общего положения – инвариантами Жордана–Кронекера соответствующей алгебры Ли. Обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко справедлива, если для пары форм общего положения на алгебре Ли отсутствуют жордановы блоки, так как в таком случае инвариантов и функций, полученных из них методом сдвига аргумента, хватает для полноты набора.

Понятие инвариантов Жордана–Кронекера было введено А. В. Болсиновым и П. Чанг в работе [1]. Там же содержится более подробная информация о связи инвариантов Жордана–Кронекера алгебры Ли с существованием на ней полных наборов в биинволюции, а также приведены полные биинволютивные наборы для некоторых классов алгебр Ли. Отметим, что вопросы, связанные с полнотой биинволютивных наборов полиномов, в последнее время активно изучаются с разных точек зрения (см., например, [5], [8]).

§ 2. Наборы в биинволюции

В приведенной далее таблице представлены нильпотентные алгебры Ли из списка работы [6] (всего 119 алгебр и шесть однопараметрических семейств алгебр). Для всех этих алгебр Ли найдены наборы полиномов в биинволюции (последний столбец). Также в третьем столбце указаны инварианты Жордана–Кронекера, а именно размеры жордановых и кронекеровых блоков. Инварианты Жордана–Кронекера для этих алгебр Ли были получены А. Ю. Грозновой в [7]. Вопрос построения наборов в инволюции относительно скобки Ли–Пуассона для данных алгебр Ли был изучен А. А. Короткевичем в работе [9], но не все построенные им наборы являются наборами в биинволюции.

За $x_i$ в таблице принимаются базисные элементы алгебры Ли, или, что то же самое при отождествлении $\mathfrak g$ и $\mathfrak g^*$, координатные функции на $\mathfrak g^*$; $a_i$ – координаты элемента $a \in \mathfrak g^*$. Если к полиному применяется метод сдвига аргумента для получения полного набора, то рядом с ним указано “плюс сдвиг” или “плюс сдвиги” в зависимости от степени полинома (так как наборы имеют степень не больше 3, это либо один полином-сдвиг, либо два). В последнем столбце также отмечен тип построенного набора (линейный, квадратичный, кубический) по максимальной степени полиномов, входящих в него.

Таблица 1.Полные наборы в биинволюции на семимерных нильпотентных алгебрах Ли

Алгебра ЛиСоотношенияЖК-инвариантыПолный биинволютивный набор полиномов
37A$ [x_1,x_2]=x_5$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7 $$\text{К}\colon 1,1,1,1,3$$ x_1,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7 $ (линейный)
37B$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_3,x_4]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$ x_1,x_4,x_5,x_6,x_7 $ (линейный)
37C$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_5 $$\text{Ж}\colon 4$; $\text{К}\colon 1,1,1$$ x_1,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
37D$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_5 $$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$x_1,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
357A$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
357B$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
357C$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_5 $$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
27A$ [x_1,x_2]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
27B$ [x_1,x_2]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257A$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257B$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257C$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{Ж}\colon 2,2$; $\text{К}\colon 1,1,1$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257D$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257E$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_4,x_5]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_2,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257F$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_4,x_5]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257G$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_4,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257H$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_4,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257I$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257J$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
257K$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_4,x_5]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1 x_7-x_2 x_6+\frac{x_3^2}{2}$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
257L$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_4,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$-2x_1 x_7+2x_2 x_6-x_3^2$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
247A$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4,5$$\text{К}\colon 1,1,1,1,3$$x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247B$ [x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_3,x_5]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247C$ [x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4,5$, $[x_3,x_5]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247D$ [x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1 x_7-x_3 x_6 +x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
247E$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1 x_7-(x_2 +x_3) x_6+x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_5-x_4,x_6,x_7$ (квадратичный)
247F$ [x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_1,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247G$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_4^2 x_6+x_5^2 x_6+2x_1 x_6^2-2x_2 x_6^2-2x_3 x_6^2-2 x_4 x_5 x_7+2x_2 x_6 x_7+2 x_3 x_6 x_7-2x_1 x_7^2$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
247H$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_5^2 x_6-2 x_4 x_5 x_7+x_7(x_4^2+2x_1 x_6-2 x_2 x_6+2 x_3 x_6-2 x_1 x_7)$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
247I$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_3,x_4]=x_6$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_1,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247J$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_1 x_7-x_2 x_6+x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_4,x_6,x_7$ (квадратичный)
247K$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$-\frac{1}{2} x_4^2 x_6 +x_2 x_6^2+x_4 x_5 x_7+x_7 (x_1 x_7-x_3 x_6)$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
247L$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4,5$, $[x_2,x_3]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247M$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247N$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247O$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247P$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
247Q$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_1 x_7-x_3 x_6+x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
247R$[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$-x_2 x_6 x_7-x_3 x_6 x_7+x_1 x_7^2+x_5(x_6^2+\frac{1}{2}x_4 x_7)+x_4(\frac{1}{2}x_5 x_7-x_6^2)$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
2457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=4,5 $$\text{К}\colon 1,1,1,1,3$$x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457C$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=4,5$, $[x_2,x_5]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457D$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=4,5$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457E$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457F$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=4,5$, $[x_2,x_3]=x_6$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457G$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457H$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457I$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457J$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6+x_7$, $[x_2,x_5]=x_7 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457K$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457L$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2457M$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_6 $$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2357A$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5+x_6$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2357B$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
2357C$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_4 x_5-x_2 x_7-x_3 x_6$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
2357D$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=x_6$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_2 x_7+x_3 x_6 -x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
23457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
23457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_3,x_4]=-x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$2 x_1 x_6-x_4^2+2x_3 x_5$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
23457C$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1 x_7 -x _2 x_6 +x_3 x_5 -\frac{1}{2}x^2$ плюс сдвиг, $x_5(-a_5 x_7 +\frac{1}{2} x_5 a_7)+x_4(a_6 x_7-x_6 a_7), x_6, x_7$ (квадратичный)
23457D$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$\frac{1}{2}(x_5^2 x_6 -2 x_4 x_6^2+x_4^2 x_7-2x_3 x_5 x_7+2 x_7(x_2 x_6-x_1 x_7))$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
23457E$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_5 +x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
23457F$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_2,x_3]=x_5 +x_7$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_3,x_4]=-x_6$$\text{К}\colon 1,1,5$$x_1 x_6+x_3 x_5-\frac{1}{2}x_4^2$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
23457G$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,1,5$$\frac{1}{3} x_5^3 + x_3 x_6^2 + x_7 (\frac{1}{2} x_4^2 + x_2 x_6 - x_1 x_7) - x_5 (x_4 x_6 + x_3 x_7)$ плюс сдвиги, $x_6,x_7$ (кубический)
17$[x_1,x_2]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_5,x_6]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2,2,2$; $\text{К}\colon 1$$x_2,x_4,x_5,x_6+x_3,x_7$ (линейный)
157$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_5,x_6]=x_7 $$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_1+x_2, x_3-x_4,x_5,x_7$ (линейный)
147A$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
147B$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
147D$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=-x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-2x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
147E$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_3]=-x_6$, $[x_1,x_5]=-x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_6]=\lambda x_7$, $[x_3,x_4]=(1-\lambda)x_7, \lambda\neq 0,1$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_5,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_2,x_3,x_4,x_5,x_7$ (линейный)
1457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_5,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_3,x_4,x_5,x_7$ (линейный)
137A$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_6$, $[x_3,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
137B$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_6$, $[x_3,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
137C$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
137D$[x_1,x_2]=x_5$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357A$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357B$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_3,x_4]=-x_7$, $[x_3,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357C$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_4]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$, $[x_3,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357D$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357E$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_4,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_1,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357F$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_7$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_4,x_6]=-x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_1,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357G$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357H$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357I$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_4,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_1,x_3,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357J$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_7$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_4,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_1,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357L$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4,5$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_4]=x_5$, $[x_2,x_6]=\frac{1}{2}x_7$, $[x_3,x_4]=\frac{1}{2}x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357M$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4,5$, $[x_2,x_4]=x_5$, $[x_2,x_6]=\lambda x_7$, $[x_3,x_4]=(1-\lambda)x_7$, $\lambda\neq 0$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357N$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4,5$, $[x_2,x_3]=\lambda x_7$, $[x_2,x_4]=x_5$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_4,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_2,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357O$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357P$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,5$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_5$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357Q$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357R$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
1357S$[x_1,x_2]=x_3$, $[x_1,x_3]=x_5$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_2,x_5]=\lambda x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $\lambda \neq 1$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457C$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457D$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457E$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457F$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_6]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457G$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
13457I$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
12457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6+x_7$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12457C$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$-x_4^2+2x_5 x_6+2 x_1 x_7$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
12457D$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_i]=x_{i+2}$, $i=4,5$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
12457E$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_6]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_6$, $[x_3,x_5]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
12457F$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_i]=x_{i+1}$, $i=5,6$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_1 x_7+x_6(x_3-x_5)-\frac{1}{2}x_4^2$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
12457G$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3$, $[x_1,x_4]=x_6$, $[x_1,x_5]=x_7$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_i]=x_{i+1}$, $i=5,6$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12457H$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_4 x_5+x_2 x_7-x_3 x_6$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
12457I$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12457J$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4,5$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12457K$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_3,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2 x_7-x_3 x_6+x_4 x_5$ плюс сдвиг, $x_5,x_6,x_7$ (квадратичный)
12457L$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_7(x_1-x_2)+x_3 x_6-x_4 x_5$ плюс сдвиг, $2x_7(x_4+x_5)-x_6^2$, $x_6, x_7$ (квадратичный)
12457N$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,5,6$, $[x_1,x_4]=x_7$, $[x_2,x_i]=x_{i+2}$, $i=3,4$, $[x_2,x_5]=\lambda x_7$, $[x_2,x_6]=x_7$, $[x_3,x_4]=x_7$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_3,x_4,x_6,x_7$ (линейный)
12357A$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_3,x_4]=-x_6$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
12357B$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_5+x_7$, $[x_3,x_4]=-x_6$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_2,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
12357C$[x_1,x_2]=x_4$, $[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_6$, $[x_3,x_5]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457A$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$$\text{К}\colon 1,1,1,1,3$$x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457B$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_7$$\text{Ж}\colon 2$; $\text{К}\colon 1,1,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457C$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 2,4$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457D$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457E$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_6+x_7$, $[x_2,x_4]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457F$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_6$, $[x_2,x_4]=x_7$, $[x_2,x_5]=x_7$, $[x_3,x_4]=-x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457H$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_5+x_7$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=x_7$$\text{К}\colon 1,3,3$$x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)
123457I$[x_1,x_i]=x_{i+1}$, $i=2,3,4,5,6$, $[x_2,x_3]=x_5$, $[x_2,x_4]=x_6$, $[x_2,x_5]=\lambda x_7$, $[x_3,x_4]=(1-\lambda)x_7$$\text{Ж}\colon 6$; $\text{К}\colon 1$$x_4,x_5,x_6,x_7$ (линейный)

Ясно, что набор полиномов в биинволюции для произвольной алгебры Ли строится неоднозначно (если он существует). В таблице приведены примеры таких наборов, что доказывает следующую теорему.

Теорема 3. Обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко верна для семимерных нильпотентных алгебр Ли.

Данные таблицы получены с применением пакета символьных вычислений Wolfram Mathematica 12. В большинстве случаев наборы получались изучением устройства матрицы скобок $\mathcal{A}_x$: перестановкой элементов базиса можно было добиться того, что матрица примет вид, в котором выделен правый нижний блок нулей размера $n \times n$, где $n$ – количество функций, необходимых для полноты набора. Координатные функции, номера которых задают этот блок, составляют линейный набор в биинволюции, а соответствующие элементы образуют коммутативную подалгебру в алгебре Ли.

В остальных случаях использовался либо метод неопределенных коэффициентов (таким образом находятся квадратичные наборы), либо рассмотрение ядра билинейной формы, иначе говоря, отыскание базиса пространства, натянутого на дифференциалы инвариантов коприсоединенного представления, с целью нахождения самих инвариантов и построения набора методом сдвига аргумента.

Стоит отметить, что в некоторых случаях были построены наборы меньшей степени, чем наборы, получаемые методом сдвига аргумента. Например, у алгебры Ли $23457\mathrm{F}$ имеется два инварианта коприсоединенного представления степени 1 $(x_6$ и $x_7)$ и инвариант степени 3:

$$ \begin{equation*} -2x_5^3+6x_3 x_5 x_6 -3 x_6(x_4^2-2x_1 x_6)-3 x_5^2 x_7, \end{equation*} \notag $$
сдвиги которого дополняют набор инвариантов до полного набора полиномов в биинволюции. Однако для этой алгебры удалось найти квадратичный набор, используя метод сдвига аргумента на квадратичной функции, которая не является ни инвариантом, ни даже полуинвариантом коприсоединенного представления.

Также интересен случай алгебры Ли $23457\mathrm{C}$. В данном случае метод сдвига аргумента не дает полный набор функций в биинволюции, но была найдена подходящая функция, зависящая от элемента $a,$ которую не удалось получить сдвигом какого-либо инварианта или полуинварианта. Это единственный квадратичный полный набор из представленных в таблице, в котором содержатся две квадратичные функции.

Благодарности

Автор благодарен А. А. Ошемкову за постоянное внимание к работе, а также А. В. Болсинову и И. К. Козлову за ценные замечания и плодотворные дискуссии.

Список литературы
1. A. V. Bolsinov, P. Zhang, “Jordan–Kronecker invariants of finite-dimensional Lie algebras”, Transform. Groups, 21:1 (2016), 51–86  crossref  mathscinet  zmath
2. A. V. Bolsinov, “Complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras: a proof of the Mischenko–Fomenko conjecture”, Theor. Appl. Mech., 43:2 (2016), 145–168  crossref  zmath
3. А. В. Болсинов, А. М. Изосимов, А. Ю. Коняев, А. А. Ошемков, “Алгебра и топология интегрируемых систем. Задачи для исследования”, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 28, Изд-во Моск. ун-та, М., 2012, 119–191
4. A. V. Bolsinov, A. M. Izosimov, D. M. Tsonev, “Finite-dimensional integrable systems: a collection of research problems”, J. Geom. Phys., 115 (2017), 2–15  crossref  mathscinet  zmath
5. А. А. Гаража, “О каноническом базисе пары согласованных скобок Пуассона на алгебре матриц”, Матем. сб., 211:6 (2020), 95–106  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Garazha, “A canonical basis of a pair of compatible Poisson brackets on a matrix algebra”, Sb. Math., 211:6 (2020), 838–849  crossref
6. Ming-Peng Gong, Classification of nilpotent Lie algebras of dimension 7 (over algebraically closed field and $\mathbf R$), Ph.D. thesis, Univ. of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada, 1998, viii+165 pp. http://hdl.handle.net/10012/1148
7. А. Ю. Грозновa, Вычисление инвариантов Жордана–Кронекера для алгебр Ли малых размерностей, Выпускная квалификационная работа, МГУ, М., 2018
8. А. Ю. Коняев, “Полнота коммутативных подалгебр Соколова–Одесского и операторы Нийенхейса на $\operatorname{gl}(n)$”, Матем. сб., 211:4 (2020), 112–122  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Yu. Konyaev, “Completeness of commutative Sokolov–Odesskii subalgebras and Nijenhuis operators on $\operatorname{gl}(n)$”, Sb. Math., 211:4 (2020), 583–593  crossref
9. А. А. Короткевич, “Интегрируемые гамильтоновы системы на алгебрах Ли малой размерности”, Матем. сб., 200:12 (2009), 3–40  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Korotkevich, “Integrable Hamiltonian systems on low-dimensional Lie algebras”, Sb. Math., 200:12 (2009), 1731–1766  crossref  adsnasa
10. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, “Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:2 (1978), 396–415  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. S. Miščenko, A. T. Fomenko, “Euler equations on finite-dimensional Lie groups”, Math. USSR-Izv., 12:2 (1978), 371–389  crossref
11. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, “Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли”, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 19, Изд-во Моск. ун-та, М., 1979, 3–94  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko, “Integrability of Euler equations on semisimple Lie algebras”, Selecta Math. Soviet., 2 (1982), 207–291
12. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, “Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем”, Функц. анализ и его прил., 12:2 (1978), 46–56  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko, “Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems”, Funct. Anal. Appl., 12:2 (1978), 113–121  crossref
13. R. C. Thompson, “Pencils of complex and real symmetric and skew matrices”, Linear Algebra Appl., 147 (1991), 323–371  crossref  mathscinet  zmath
14. А. Т. Фоменко, “О симплектических структурах и интегрируемых системах на симметрических пространствах”, Матем. сб., 115(157):2(6) (1981), 263–280  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. T. Fomenko, “On symplectic structures and integrable systems on symmetric spaces”, Math. USSR-Sb., 43:2 (1982), 235–250  crossref
Образец цитирования: К. С. Ворушилов, “Полные наборы полиномов в биинволюции на нильпотентных семимерных алгебрах Ли”, Матем. сб., 212:9 (2021), 3–17; K. S. Vorushilov, “Complete sets of polynomials in bi-involution on nilpotent seven-dimensional Lie algebras”, Sb. Math., 212:9 (2021), 1193–1207
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vor21}
\by К.~С.~Ворушилов
\paper Полные наборы полиномов в биинволюции на нильпотентных семимерных алгебрах Ли
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 9
\pages 3--17
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9501}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9501}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212.1193V}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47538462}
\transl
\by K.~S.~Vorushilov
\paper Complete sets of polynomials in bi-involution on nilpotent seven-dimensional Lie algebras
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 9
\pages 1193--1207
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9501}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000718595800001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85120812509}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9501
  • https://doi.org/10.4213/sm9501
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i9/p3
    • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:265
    PDF русской версии:39
    PDF английской версии:24
    HTML русской версии:77
    Список литературы:36
    Первая страница:10
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024