| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) О двух игровых задачах о сближении А. А. Ершов, А. В. Ушаков, В. Н. Ушаков Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9496 
Реферативные базы данных:
    ВведениеРабота посвящена тематике дифференциальных игр. Теория дифференциальных игр формировалась и наиболее активно развивалась во второй половине XX века. Интерес к теории во многом стимулировали исследования Л. С. Понтрягина, его сотрудников и коллег (см. [1]–[8]) в области линейных дифференциальных игр. В этих исследованиях, относящихся к игровым задачам сближения, теоретическую базу для их решения составили конструкции первого прямого метода Л. С. Понтрягина и метода, основанного на понятиях альтернированного интеграла и ассоциированных с ним альтернированных сумм. Эффективность этих методов подтверждена многочисленными работами, посвященными линейным дифференциальным играм. Параллельно Н. Н. Красовским и его сотрудниками создавалась теория позиционных дифференциальных игр, обладающая своей спецификой (см. [9]–[12]). Она охватила широкий круг задач, включая задачи с нелинейной динамикой (см. [11]). Основные понятия этой теории – это позиционные стратегии игроков, гарантированный результат и стабильные мосты. Для широкого круга антагонистических игровых задач Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным был сформулирован и обоснован позиционный принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты (см. [9]–[11]). Наряду с научными школами Л. С. Понтрягина и Н. Н. Красовского во второй половине XX века в нашей стране (в Советском Союзе) сформировались еще несколько научных коллективов, проводивших исследования в области дифференциальных игр в широком спектре направлений, включающем многочисленные приложения. Укажем здесь научные школы Б. Н. Пшеничного (см. [13], [14]), Ю. С. Осипова (см. [15]–[17]), А. Б. Куржанского (см. [18]–[20]), Ф. Л. Черноусько (см. [21]–[23]), Л. А. Петросяна (см. [24]–[26]). Упомянутые нами исследования Л. С. Понтрягина и его сотрудников, связанные с применением в игровых задачах разрешающих конструкций альтернированного интеграла, дополнены в настоящее время исследованиями А. Б. Куржанского, посвященными решению одной из центральных задач математической теории управления – проблеме синтеза управления. Так, в работах [19], [20], в которых рассматриваются системы управления с исходной линейной структурой, исследуется взаимосвязь методов, основанных на применении альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина, и методов, основанных на теории уравнений Гамильтона–Якоби. Единство изложения методов обеспечено с помощью подходов, основанных на формализме Н. Н. Красовского. К числу наиболее важных задач, привлекших повышенное внимание специалистов в области теории управления, можно отнести разнообразные задачи сближения и уклонения, в которые могут быть переформулированы многие другие игровые задачи (см. [27]–[31]). В настоящей работе изучаются две игровые задачи о сближении конфликтно управляемой системы на конечном промежутке времени. Система нелинейна по фазовой переменной и управлениям игроков. Целевые множества для конфликтно управляемой системы – компакты в $\mathbb{R}^m$. Эти задачи можно охарактеризовать как дуальные: в них одна и та же конфликтно управляемая система и целевые множества в $\mathbb{R}^m$ представляют собой альтернативные цели для игроков, при этом одно множество обволакивает другое. Эту пару дуальных задач можно трактовать как некоторую дифференциальную игру сближения-уклонения, и такая трактовка вкладывает рассматриваемые задачи в русло теории позиционных дифференциальных игр, созданной Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным в 70–80-е годы предыдущего столетия. Отличие состоит в немногом – в том, что целевые множества для обоих игроков в наших задачах есть компакты в фазовом пространстве $\mathbb{R}^m$. При такой постановке задач их множества разрешимости есть компакты в пространстве позиций игры, и граница одного из этих компактов содержится в границе другого. При этом выделение (вычисление) границ множеств разрешимости задач означает, что тем самым выделены и множества разрешимости. Согласно теории позиционных дифференциальных игр (см. [9]–[11]) принцип экстремального прицеливания движения управляемой системы на границу множества разрешимости задачи формирует позиционную стратегию игрока, обеспечивающую приведение движения системы на целевое множество для всех исходных позиций игры, заключенных внутри границы. Однако сложность конкретных игровых задач даже при относительно простой динамике систем и при целевых множествах с простой геометрией не позволяет выделить (точно) границу множеств разрешимости. Это обстоятельство принуждает разрабатывать методы приближенного вычисления множеств разрешимости игровых задач через приближенное вычисление их границ. В настоящей работе предложен один из таких методов, идейную основу которого составляет трактовка множества разрешимости игровой задачи о сближении как интегральной воронки конфликтно управляемой системы, записанной в обратном времени. Согласно этому методу системы множеств в $\mathbb{R}^m$, аппроксимирующие множество разрешимости, аппроксимируют его сверху (по включению). Это дает нам возможность, конструируя аппроксимации множеств разрешимости в двух задачах о сближении, получить двусторонние оценки границы множества разрешимости в одной из задач. Двусторонние аппроксимации заключают границу множества разрешимости в некоторый слой в пространстве $\mathbb{R}^m$, гомеоморфный шаровому слою. Такое погружение границы множества разрешимости в шаровой слой мы называем локализацией границы множества разрешимости игровой задачи о сближении. Чем тоньше этот слой, тем точнее локализация. Для придания образности изложенному нами выше отметим, что действия по разработке методов и алгоритмов локализации границ множеств разрешимости в задачах теории дифференциальных игр можно сопоставить с ситуацией, сложившейся в астрофизике при изучении черных дыр с помощью радиотелескопов. Не имея возможности изучать черные дыры непосредственно, астрофизики изучают их пространственное окружение, т.е. как бы “тени” черных дыр, и чем совершеннее радиотелескопы, тем полнее представление исследователей о природе черных дыр. Заключая введение, отметим, что настоящая работа состоит из пяти параграфов. В первых четырех параграфах формируются дуальные игровые задачи о сближении (задача 1 и 2), указывается метод приближенного вычисления множеств разрешимости в этих задачах и обосновывается корректность аппроксимирующих конструкций. В последнем параграфе (§ 5) рассматривается нелинейная конфликтно управляемая система в пространстве $\mathbb{R}^2$ и для нее – две дуальные игровые задачи о сближении. Проводится локализация множества разрешимости задачи 1 при помощи аппроксимирующих систем множеств в $\mathbb{R}^2$, отвечающих конкретному разбиению $\Gamma$ временного промежутка игровых задач. § 1. Две игровые задачи о сближении в фиксированный момент времениПусть на промежутке $[t_0,\vartheta]$, $t_0<\vartheta<\infty$, задана конфликтно управляемая система
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{dx}{dt}=f(t,x,u,v)=f^{(1)}(t,x,u)+f^{(2)}(t,x,v), \\ x(t_0)=x^{(0)}, \qquad u\in P, \quad v\in Q. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $x$ – $m$-мерный фазовый вектор из пространства $\mathbb{R}^m$, $u,v$ – управления соответственно первого и второго игроков, $P\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^p)$, $Q\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^q)$, где $\operatorname{comp}(\mathbb{R}^k)$ – метрическое пространство компактов в $\mathbb{R}^k$ с хаусдорфовой метрикой. Выполнены следующие условия. Условие 1. Вектор-функции $f^{(1)}(t,x,u)$ и $f^{(2)}(t,x,v)$ определены и непрерывны по совокупности переменных $t$, $x$, $u$ и $t$, $x$, $v$ соответственно на множествах $[t_0,\vartheta]\times \mathbb{R}^m\times P$ и $[t_0,\vartheta]\times \mathbb{R}^m\times Q$, и для любого компакта $\mathscr{D}\subset[t_0,\vartheta]\times \mathbb{R}^m$ найдется такая константа $L=L(\mathscr{D})\in(0,\infty)$, что Условие 2. Найдется такая константа $\gamma\in(0,\infty)$, что здесь $\|f\|$ – норма вектора $f$ в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$. Считаем, что наряду с системой (1.1) в пространстве $\mathbb{R}^m$ заданы компакты $M$, $M^{+}$ и $\mathscr{M}$, обладающие следующими свойствами: 1) $M$ и $M^+$ гомеоморфны замкнутому шару $B(0;1)=\{b\in\mathbb{R}^m\colon \|b\|\leqslant1\}$ в $\mathbb{R}^m$; 2) $M\subset \operatorname{int}M^+$; 3) $\mathscr{M}=\operatorname{cl}(M^+\setminus M)$, где $\operatorname{cl}X$ – замыкание множества $X$ в $\mathbb{R}^m$. Таким образом, множество $\mathscr{M}=\operatorname{cl}(M^+\setminus M)$ есть компакт в $\mathbb{R}^m$, гомеоморфный замкнутому шаровому слою в $\mathbb{R}^m$. Сформулируем две антагонистические игровые задачи о сближении системы (1.1) с целевыми множествами $M$ и $\mathscr{M}$ в фиксированный момент времени $\vartheta$. Эта пара задач родственна игровой задаче сближения-уклонения, рассмотренной Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным в ряде работ (см., например, [10], [11]). Задача 1 (о сближении с $M$). Первому игроку требуется выбором управления $u=u(t)$ обеспечить приведение фазового вектора $x(t)$ системы (1.1) на множество $M$ в момент $\vartheta$, как бы ни действовал второй игрок в рамках допустимых управлений $v=v(t,x)$. Решение задачи требуется обеспечить в классе позиционных стратегий управления $u=u(t,x)$ первого игрока (см. [11]). Задача 2 (о сближении с $\mathscr{M}$). Второму игроку требуется выбором управления $v=v(t)$ обеспечить приведение фазового вектора $x(t)$ системы (1.1) на множество $\mathscr{M}$ в момент $\vartheta$, как бы ни действовал первый игрок в рамках допустимых управлений $u=u(t,x)$. Решение задачи требуется обеспечить в классе позиционных стратегий управления $v=v(t,x)$ второго игрока (см. [11]). Отметим, что целевые множества $M$ и $\mathscr{M}$ в задачах 1 и 2 пересекаются лишь “по границам”. Точнее, $\partial M\subset\partial\mathscr{M}$, причем $\partial M\cap\partial\mathscr{M}$ совпадает с одной из компонент связности границы $\partial\mathscr{M}$ множества $\mathscr{M}$. Следуя схеме доказательства теоремы об альтернативе (см. [11; гл. III, § 17, теорема 17.1]), можем утверждать, что для задач 1, 2 о сближении существуют такие компакты $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ – множества позиционного поглощения множеств $M$ и $\mathscr{M}$ в задачах 1, 2 соответственно, – что для всех исходных позиций $(t_*,x_*)\in W^0$ разрешима задача 1 и для всех исходных позиций $(t_*,x_*)\in\mathscr{W}^0$ разрешима задача 2. Множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ для простоты будем называть множествами разрешимости в задачах 1 и 2 соответственно. Пусть $W$ – непустое множество из $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$. Обозначим $W(t)=\{x\in\mathbb{R}^m$: $(t,x)\in W\}\subset\mathbb{R}^m$. Предполагаем, что множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ обладают простой топологической структурой: a) $W^0(t)\neq\varnothing$, $t\in[t_0,\vartheta]$, и множество $W^0(t)$ гомеоморфно цилиндру $[t_0,\vartheta]\times B(0;1)$ в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$; b) $\mathscr{W}^0(t)\neq\varnothing$, $t\in[t_0,\vartheta]$, и множество $\mathscr{W}^0(t)$ гомеоморфно цилиндру $[t_0,\vartheta]\times \operatorname{cl}(B(0;1)\setminus B(0;1/2))$ в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$. Такое предположение вполне естественно, поскольку во многих конкретных игровых задачах о сближении типа задач 1, 2 множества разрешимости $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ имеют именно такую структуру. Введем обозначения: $\partial W^0(t)$ и $\partial \mathscr{W}^0(t)$ – границы множеств $W^0(t)$ и $\mathscr{W}^0(t)$, $t\in[t_0,\vartheta]$, в пространстве $\mathbb{R}^m$; $\partial W^0=\{(t,x)\colon t\in[t_0,\vartheta],x\in\partial W^0(t)\}$, $\partial \mathscr{W}^0=\{(t,x)\colon t\in[t_0,\vartheta],x\in\partial \mathscr{W}^0(t)\}$ – множества в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$, которые будем называть также границами множеств $W^0$ и $\mathscr{W}^0$. При нашем предположении относительно $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ граница $\partial W^0$ гомеоморфна множеству $[t_0,\vartheta]\times S$, а граница $\partial \mathscr{W}^0$ распадается на две компоненты связности, которые обозначим через $\partial^-\mathscr{W}^0$ и $\partial^+\mathscr{W}^0$. Так что имеет место равенство $\partial\mathscr{W}^0=\partial^-\mathscr{W}^0\cup\partial^+\mathscr{W}^0$. Каждая из этих компонент гомеоморфна множеству $[t_0,\vartheta]\times S$, где $S=\{x\in\mathbb{R}^m\colon \|x\|=1\}$, и при этом одна из компонент, пусть $\partial^-\mathscr{W}^0$, совпадает с $\partial W^0$ (рис. 1). Итак, множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ таковы, что $\partial W^0=\partial W^0\cap\partial \mathscr{W}^0=\partial^-\mathscr{W}^0$. Множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ являются максимальными стабильными мостами в задачах 1, 2 (см. [11]), и эти их свойства стабильности позволяют конструировать разрешающие позиционные стратегии игроков в задачах 1 и 2 для исходных позиций $(t_*,x_*)$, принадлежащих соответственно множествам $W^0$ и $\mathscr{W}^0$. Как известно, в теории позиционных дифференциальных игр существует несколько определений стабильности, эквивалентных по существу, т.е. выделяющих в каждой задаче о сближении одни и те же множества – стабильные мосты. Эффективность понятия стабильного моста и вместе с тем разрешающей позиционной стратегии во многом зависит от того, какое из этих определений мы выбираем за основу конструирования. В настоящей работе для системы (1.1) мы выбираем одну из самых ранних формулировок стабильности, принадлежащую Н. Н. Красовскому и А. И. Субботину (см. [10], [11]). Эта формулировка весьма удобна для конструирования разрешающих позиционных стратегий игроков. Множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ допускают эффективное аналитическое описание лишь в немногих задачах о сближении. Представление об эффективном аналитическом описании весьма расплывчато. Под эффективным аналитическим описанием, скажем, множества $W^0$, мы понимаем, например, описание множества $W^0$ при помощи конечного набора неравенств вида $\varphi_i(t,x)\leqslant0$, $i=1,\dots,I$, $(t,x)\in[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$, где каждая функция $\varphi_i(t,x)$ есть суперпозиция конечного числа элементарных функций от $t$, $x$. Однако опыт решения игровых задач о сближении показывает, что в редких задачах такое представление множества $W$ возможно. Принимая во внимание наши ограниченные возможности в вопросе аналитического описания максимальных стабильных мостов, мы делаем упор на проблематику, связанную с их приближенным конструированием. В рамках этой проблематики возникают многочисленные вопросы и разные подходы к приближенному конструированию максимальных стабильных мостов в дифференциальных играх (см., например, [12], [32]–[34]). При этом значительный вес составляют работы, в которых рассматриваются пошаговые (по времени) процедуры приближенного конструирования максимальных $u$-стабильных мостов (множеств разрешимости в задачах о сближении). В настоящей работе мы вводим и изучаем одну из таких процедур. § 2. Свойство $u$-стабильности в задаче 1Свойство $u$-стабильности, которое определим в этом параграфе, является базовым свойством при выделении множества разрешимости $W^0\subset [t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ в задаче 1. В этом параграфе определим свойство $u$-стабильности в задаче 1 в двух вариантах. В первом варианте представлено классическое определение $u$-стабильности из работ Н. Н. Красовского, А. И. Субботина [10], [11], отвечающее прямому времени $t\in[t_0,\vartheta]$. Во втором варианте представлено эквивалентное определение $u$-стабильности, отвечающее так называемому обратному времени $\tau=\vartheta-t\in[t_0,\vartheta]$, $t\in[t_0,\vartheta]$, и играющее ключевую роль в процедурах приближенного конструирования множества $W^0$. В задаче 1 для произвольного замкнутого множества $W\subset[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ его стабильность ($u$-стабильность) означает его слабую инвариантность относительно некоторого набора дифференциальных включений (д.в.), ассоциированных с конфликтно управляемой системой (1.1) и эволюционирующих на промежутке $[t_0,\vartheta]$. Приведем описание этого набора д.в. Предварительно вводится ограниченная и замкнутая область $\mathscr{D}=[t_0,\vartheta]\times \mathscr{D}_*$, $\mathscr{D}_*\subset\mathbb{R}^m$, настолько большая, что в ней содержатся все компоненты конструкции, разрешающей задачу 1. К ним относятся, в частности, целевое множество $M^*=(\vartheta,M)=\{(\vartheta,x)\colon x\in M\}$ (записанное в пространстве позиций $(t,x)$), множество разрешимости $W^0$ в задаче 1, всевозможные аппроксимации множества $W^0$, а также всевозможные движения $(t,x(t))$, $t\in[t_0,\vartheta]$, системы (1.1) (записанные в пространстве позиций $(t,x)$), начинающиеся в моменты $t_*\in[t_0,\vartheta]$ в точках $(t_*,x_*)\in W^0$. Компактность множества $M^*$ и условие 2, наложенное в § 1 на систему (1.1), позволяют выделить такую область $\mathscr{D}$. В последующих рассуждениях и выкладках мы имеем в виду именно эту область. Пусть $(t,x,v)\in \mathscr{D}\times Q$. Определим в $\mathbb{R}^m$ множество здесь $F^{(1)}(t,x)=\operatorname{co}\mathcal{F}^{(1)}(t,x)$ – выпуклая оболочка множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{F}^{(1)}(t,x)=\{f^{(1)}(t,x,u)\colon u\in P\}\subset\mathbb{R}^m, \\ F^{(1)}(t,x)+f^{(2)}(t,x,v)=\{f=f^{(1)}(t,x)+f^{(2)}(t,x,v)\colon f^{(1)}(t,x)\in F^{(1)}(t,x)\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $F^{(1)}(t,x)$ следует, что существует такая функция $\omega^*(\delta)\downarrow0$ при $\delta\downarrow0$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d(F_v(t_*,x_*),F_v(t^*,x^*))\leqslant\omega^*(|t_*-t^*|+\|x_*-x^*\|), \\ (t_*,x_*),(t^*,x^*)\in \mathscr{D}, \qquad v\in Q; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $d(F_*,F^*)=\max(h(F_*,F^*),h(F^*,F_*))$ – хаусдорфово расстояние между компактами $F_*$ и $F^*$ из $\mathbb{R}^m$, $h(F_*,F^*)=\max_{f_*\in F_*}\rho(f_*,F^*)$, $\rho(f_*,F^*)$ – евклидово расстояние от $f_*$ до множества $F^*$. Дадим определение оператора $u$-стабильного поглощения в задаче 1 в терминах прямого времени $t\in[t_0,\vartheta]$ и многозначных отображений $(t,x)\mapsto F_v(t,x)$, $v\in Q$ (см. [32]). Для этого полагаем: $X_v(t^*,t_*,x_*)$, $t_0\leqslant t_*<t^*\leqslant\vartheta$, – множество всех точек $x^*\in\mathbb{R}^m$, для каждой из которых найдется решение $x(\cdot)=(x(t)\colon t_*\leqslant t\leqslant t^*)$ д.в. $\dot{x}\in F_v(t,x)$, $x(t_*)\,{=}\,x_*$, удовлетворяющее равенству $x(t^*)=x^*$; $X_v(t^*,t_*,X_*)=\bigcup_{x_*\in X_*} X_v(t^*,t_*,x_*)$; $X_v^{-1}(t_*,t^*,X^*)=\{x_*\in\mathbb{R}^m\colon X_v(t^*,t_*,x_*)\cap X^*\neq\varnothing\}$; здесь $X_*$ и $X^*$ – множества из $\mathbb{R}^m$. Определение 1 (см. [32]). Оператором $u$-стабильного поглощения $X^{-1}$ в задаче 1 назовем отображение $(t_*,t^*,X^*)\mapsto X^{-1}(t_*,t^*,X^*)\in 2^{\mathbb{R}^m}$, определенное соотношением здесь $\Delta^*=\{(t_*,t^*)\in[t_0,\vartheta]\times[t_0,\vartheta]\colon t_0\leqslant t_*\leqslant t^*\leqslant\vartheta\}$. Определение 2 (см. [32]). Непустое замкнутое множество $W\subset \mathscr{D}$ назовем $u$-стабильным мостом в задаче 1, если В работе [32] показано, что множество разрешимости $W^0$ в задаче 1 является максимальным (по включению) $u$-стабильным мостом. Это множество удовлетворяет соотношениям $W^0\subset \mathscr{D}$, $W^0(\vartheta)=M$. Согласно определению 2 $u$-стабильный мост $W$ определяется с помощью набора д.в. $\dot{x}\in F_v(t,x)$, $v\in Q$, эволюционирующих в прямом времени $t$. В то же время в определении моста $W$ задействованы множества $X_v^{-1}(t_*,t^*,X^*)$, $(t_*,t^*)\in\Delta^*$, которые отвечают моменту $t_*$, меньшему из двух моментов $t_*$, $t^*$, и задаются по множествам $X^*\subset \mathbb{R}^m$, отвечающим моменту $t^*$, большему из двух моментов $t_*$, $t^*$. Заметим теперь, что попытки употребить определение 2 или некоторые его модификации в приближенных вычислениях множеств $W^0$ в конкретных игровых задачах 1 вызывают неизбежные трудности. Наиболее существенная трудность заключается в том, что множества $X_v^{-1}(t_*,t^*,X^*)$, $v\in Q$, в определении 2 представляют собой совокупность всех $x_*\in\mathbb{R}^m$, удовлетворяющих соотношению $X_v(t^*,t_*,x_*)\cap X^*\neq\varnothing$, в котором множества $X_v(t^*,t_*,x_*)$ и $X^*$ могут иметь сложную геометрию, не поддающуюся какому-либо аналитическому описанию. Эта трудность усугубляется наличием в определении 2 пересечения $\bigcap_{v\in Q}X_v^{-1}(t_*,t^*,X^*)$ несчетного числа множеств $X_v^{-1}(t_*,t^*,X^*)$, имеющих сложную геометрию в $\mathbb{R}^m$. Эти трудности, делающие невозможным использование определения 2 в приближенных вычислениях множества $W^0$ в конкретных игровых задачах типа задачи 1, стимулируют нас к поиску определений $u$-стабильности, более приемлемых для приближенного вычисления $W^0$. В связи с этим введем обратное время $\tau\,{=}\,t_0\,{+}\,\vartheta\,{-}\,t$, $t\,{\in}\,[t_0,\vartheta]$, и систему (1.1) запишем в терминах времени $\tau$:
$$
\begin{equation}
\frac{dz}{d\tau}=h(\tau,z,u,v)=-f(t_0+\vartheta-\tau,z,u,v), \qquad\tau\in[t_0,\vartheta], \quad z\in\mathbb{R}^m.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Представим вектор-функцию $h(\tau,z,u,v)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h(\tau,z,u,v)=h^{(1)}(\tau,z,u)+h^{(2)}(\tau,z,v), \\ h^{(1)}(\tau,z,u)=-f^{(1)}(t_0+\vartheta-\tau,z,u), \\ h^{(2)}(\tau,z,v)=-f^{(2)}(t_0+\vartheta-\tau,z,v), \\ (\tau,z)\in[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m, \qquad u\in P, \quad v\in Q. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наряду с системой (2.1) введем в рассмотрение д.в.
$$
\begin{equation}
\frac{dz}{d\tau}\in H_v(\tau,z)=-F_v(t_0+\vartheta-\tau,z), \qquad(\tau,z)\in[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m, \quad v\in Q.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Полагаем: $Z_v(\tau^*,\tau_*,z_*)$ – множество всех точек $z^*\in\mathbb{R}^m$, для каждой из которых найдется решение $z(\cdot)=(z(\tau)\colon \tau_*\leqslant\tau\leqslant\tau^*)$ д.в. (2.2), удовлетворяющее соотношениям $z(\tau_*)=z_*$, $z(\tau^*)=z^*$;
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Z_v(\tau^*,\tau_*,Z_*)=\bigcup_{z_*\in Z_*}Z_v(\tau^*,\tau_*,z_*), \qquad Z_*\subset\mathbb{R}^m; \\ Z(\tau^*,\tau_*,Z_*)=\bigcap_{v\in Q}Z_v(\tau^*,\tau_*,Z_*). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Согласно определению $Z(\tau^*,\tau_*,Z_*)$ состоит из всех тех точек $z_*\in\mathbb{R}^m$, для каждой из которых при любом $v\in Q$ найдется решение $z(\tau)$, $\tau_*\leqslant\tau\leqslant\tau^*$, д.в. (2.2) такое, что $z(\tau_*)=z_*\in Z_*$, $z(\tau^*)=z^*$. Между отображениями $(t_*,t^*,X^*)\mapsto X^{-1}(t_*,t^*,X^*)$ и $(\tau^*,\tau_*,Z_*)\mapsto Z(\tau^*, \tau_*,Z_*)$ есть очевидная связь. Она заключается в том, что свойство $u$-стабильности (определение 2) можно выразить при помощи отображения $(\tau^*,\tau_*,Z_*)\mapsto Z(\tau^*,\tau_*,Z_*)$ следующим образом: где $t_*+\tau^*=t^*+\tau_*=t_0+\vartheta$, $X^*=Z_*\subset\mathbb{R}^m$.Сопоставим $u$-стабильному мосту $W\subset\mathscr{D}$ замкнутое множество $Z\subset \mathscr{D}$ с временны́ми сечениями $Z(\tau)=W(t)$, $t+\tau=t_0+\vartheta$, $\tau\in[t_0,\vartheta]$. Таким образом, перейдя от моста $W$ к множеству $Z$, мы записали мост $W$ в терминах обратного времени $\tau\in[t_0,\vartheta]$. Сечения $Z(\tau)=\{z\in\mathbb{R}^m\colon (\tau,z)\in Z\}$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
Z(t_0)=W(\vartheta)\subset M, \qquad Z(\tau^*)\subset Z(\tau^*,\tau_*,Z(\tau_*)), \quad (\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Определение 3. Непустое замкнутое множество $Z\subset \mathscr{D}$, удовлетворяющее (2.4), назовем $u$-стабильным трактом системы (2.1) в задаче 1. Учитывая свойство максимальности (по включению) $u$-стабильного моста $W^0$, получаем, что $u$-стабильный тракт $Z^0\subset \mathscr{D}$, определенный равенством
$$
\begin{equation}
Z^0(\tau)=W^0(t), \qquad t+\tau=t_0+\vartheta, \quad \tau\in[t_0,\vartheta],
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
содержит в себе любой другой $u$-стабильный тракт $Z\subset \mathscr{D}$. В связи с этим дадим следующее определение. Определение 4. Множество $Z^0\subset \mathscr{D}$ (2.5) назовем максимальным $u$-стабильным трактом системы (2.1) в задаче 1. Отметим, что в определении 3 $u$-стабильного тракта $Z$ уже не возникает тот диссонанс, который был налицо при определении $u$-стабильного моста $W$. А именно, при определении $Z$ мы как бы эволюционируем в направлении возрастания обратного времени $\tau$, оттолкнувшись в начальный момент $\tau_0=t_0$ от стартового множества $Z(t_0)=M$ (или его подмножества): мы используем множества достижимости $Z_v(\tau^*,\tau_*,Z^*)$, $\tau_*<\tau^*$, дифференциального включения (2.2) и нам не приходится бороться с проблемами выделения множества точек $z_*\in\mathbb{R}^m$, подобного множеству $X^{-1}(t_*,t^*,X^*)$. Это побуждает нас подменить изучение проблемы приближенного конструирования максимального $u$-стабильного моста $W^0$ в задаче 1 изучением проблемы приближенного конструирования максимального $u$-стабильного тракта $Z^0$ в задаче 1. В связи с пошаговым приближенным конструированием $u$-стабильного тракта $Z^0$ подменим промежуток $[t_0,\vartheta]$ двоичным разбиением $\Gamma=\{t_0=\tau_0,\tau_1,\dots, \tau_i,\dots,\tau_N=\vartheta\}$ ($N=2^r$, $r\in\mathbb{N}$) с диаметром $\Delta(\Gamma) = \Delta = \Delta_i = \tau_{i+1} - \tau_i = N^{-1} \cdot (\vartheta - t_0)$, $i = 0,\dots, N-1$, и введем ниже в рассмотрение отвечающую этому разбиению $\Gamma$ систему $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ множеств $A^\Gamma(\tau_i)\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^m)$, аппроксимирующую максимальный $u$-стабильный тракт $Z^0$. Понятие аппроксимирующей системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, согласно нашим представлениям, должно составить теоретическую базу для разработки приближенного конструирования множеств $Z^0$. Это понятие представляет дискретную (по времени) схему приближенных вычислений множеств $Z^0$ в задачах типа задачи 1, отвечающую разбиению $\Gamma$. § 3. Аппроксимирующая система $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$В этом параграфе опишем дискретную схему $u$-стабильности подробнее. Итак, подменим промежуток $[t_0,\vartheta]$ двоичным разбиением $\Gamma$, а множества достижимости $Z_v(\tau^*,\tau_*,z_*)$, $v\in Q$, из § 2 подменим более удобными для вычислений выпуклыми компактами $z_*+(\tau^*-\tau_*)H_v(\tau_*,z_*)$, $v\in Q$. Также определения множества $Z(\tau^*,\tau_*,Z_*)=\bigcap_{v\in Q}Z_v(\tau^*,\tau_*,Z_*)$ и максимального $u$-стабильного тракта $Z^0$ трансформируем в определения, предназначенные для применения в дискретной схеме $u$-стабильности. Прежде чем определять аппроксимирующую систему $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, введем “промежуточную” систему $\{Z^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ множеств $Z^\Gamma(\tau_i)\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^m)$, отвечающую разбиению $\Gamma$. Эта чисто умозрительная конструкция является вспомогательной, и вопрос о ее конструировании (вычислении) не возникает в принципе, но она играет определенную роль в наших рассуждениях. Итак, полагаем
$$
\begin{equation*}
Z^\Gamma(\tau_0)=M, \qquad Z^\Gamma(\tau_i)=Z(\tau_i,\tau_{i-1},Z^\Gamma(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Наряду с $\{Z^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ выделим в пространстве $\mathbb{R}^m$ еще одну “промежуточную” чисто умозрительную конструкцию – систему $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ временны́х сечений множества $Z^0$. Согласно определению систем $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{Z^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
Z^{0}(\tau_0)=Z^\Gamma(\tau_0)=M, \qquad Z^0(\tau_i)\subset Z(\tau_i,\tau_{i-1},Z^0(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N-1,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
Z^0(\tau_i)\subset Z^\Gamma(\tau_i), \qquad i=0,\dots,N.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Введем последовательность двоичных разбиений $\Gamma^{(n)}=\{\tau_0^{(n)}=\tau_0,\tau_1^{(2)},\dots , \tau_i^{(n)},\dots ,\tau_{N(n)}^{(n)}=\vartheta\}$, $n\in\mathbb{N}$, $N(n)=2^{n-1}$, промежутка $[t_0,\vartheta]$. Справедливы включения $\Gamma^{(n)}\subset\Gamma^{(n+1)}$, $n\in\mathbb{N}$. Для упрощения полагаем $Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})=Z^{\Gamma^{(n)}}(\tau_i^{(n)})$, $i=0,\dots,N(n)$, и каждому разбиению $\Gamma^{(n)}$ сопоставим систему $\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ множеств $Z^{(n)}(\tau_0^{(n)})=M$, $Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})=Z(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)}, Z^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)}))$, $i=1,\dots,N(n)$. Для любого двоичного момента $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ (т.е. $\tau_*\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Gamma^{(n)}$) справедливы включения
$$
\begin{equation}
Z^0(\tau_*)\subset Z^{(n)}(\tau_*), \qquad Z^{(k)}(\tau_*)\subset Z^{(n)}(\tau_*),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$n,k\in \mathbb{N}$, $n<k$, $\tau_*\in\Gamma^{(n)}$. Принимая во внимание (3.3), получаем, что для любого двоичного момента $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ последовательность $\{Z^{(n)}(\tau_*)\}$ сходится в хаусдорфовой метрике к компакту $Z^\nabla(\tau_*)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}Z^{(n)}(\tau_*)$. Значит, для любой точки $z_*\in Z^\nabla(\tau_*)$ найдется последовательность $\{z_*^{(n)}\}$ ($z_*^{(n)}\in Z^{(n)}(\tau_*)$, $n\in\mathbb{N}$), сходящаяся к $z_*$, а также любая сходящаяся последовательность $\{z_*^{(n)}\}$ ($z_*^{(n)}\in Z^{(n)}(\tau_*)$, $n\in\mathbb{N}$) такова, что $\lim_{n\to\infty}z_*^{(n)}\in Z^\nabla(\tau_*)$. Нетрудно распространить определение множества $Z^\nabla(\tau_*)$ с совокупности двоичных моментов $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ на весь промежуток $[t_0,\vartheta]$. Действительно, для произвольного $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ полагаем $t_n(\tau_*)=\max\{\tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\colon \tau_i^{(n)}\leqslant\tau_*\}$. Для произвольного недвоичного момента $\tau_*$ определим $Z^\nabla(\tau_*)$ как множество всех $z_*\in\mathbb{R}^m$, для которых найдется такая последовательность $\{(t_n(\tau_*),z_*^{(n)})\}$ ($z_*^{(n)}\in Z^\nabla(t_n(\tau_*))$, $n\in\mathbb{N}$), что $z_*=\lim_{n\to\infty}(t_n(\tau_*),z_*^{(n)})$. Вместе с тем мы определили множество
$$
\begin{equation}
Z^\nabla=\bigcup_{\tau_*\in [t_0,\vartheta]}(\tau_*,Z^\nabla(\tau_*))\subset \mathscr{D}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь $(\tau_*,Z^\nabla(\tau_*)) = \{ (\tau_\ast, z_\ast)\colon z_\ast \in Z^\nabla(\tau_\ast)\}$. Компакт $Z^\nabla$, полученный в результате некоторых предельных переходов от систем $\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$, $n\in\mathbb{N}$, обозначим
$$
\begin{equation*}
Z^\nabla=\lim_{n\to\infty}\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение (см. [34; § 3, лемма A]). Замечание 1. Здесь ограничимся лишь формулировкой леммы 1 с тем, чтобы сделать схему рассуждений относительно прозрачной. Также и последнее утверждение данного параграфа (лемма 2) приведем без доказательства. Однако в следующем параграфе, относящемся к задаче 2, аналогичные утверждения приведем с доказательствами. В лемме 1 утверждается, что максимальный $u$-стабильный тракт $Z^0$ есть предел $Z^\nabla$ “промежуточных” систем $\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$, $n\in\mathbb{N}$. Однако поскольку мы не имеем возможности точно вычислять множества достижимости вида $Z_v(\tau^*,\tau_*,Z_*)$ и $Z(\tau^*,\tau_*,Z_*)$, $Z_*\subset\mathbb{R}^m$, то, следовательно, не имеем возможности точно вычислять множества $Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})$, $\tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}$. Это подталкивает нас к тому, чтобы трансформировать множества $Z(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)}, Z^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)}))$ в такие, которые были бы более приемлемы для вычислений и в то же время близки (скажем, в хаусдорфовой метрике) к множествам $Z(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)}$, $Z^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)}))$. Намереваясь определить такие, более приспособленные для вычислений, множества, введем в рассмотрение наряду с “промежуточной” системой $\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ еще одну “промежуточную” систему множеств в $\mathbb{R}^m$, отвечающую разбиению $\Gamma^{(n)}$, более приспособленную для вычислений, чем $\{Z^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$. Эту систему будем называть аппроксимирующей системой, отвечающей разбиению $\Gamma^{(n)}$. Для упрощения обозначений вместо $\Gamma^{(n)}$ будем рассматривать разбиение $\Gamma=\{\tau_0=t_0,\tau_1,\dots, \tau_i,\dots,\tau_N=\vartheta\}$, и аппроксимирующую систему множеств введем как отвечающую этому разбиению. А именно, каждому промежутку $[\tau_i,\tau_{i+1}]$ разбиения $\Gamma$ сопоставим д.в.
$$
\begin{equation}
\frac{dz}{d\tau}\in H_v(\tau_i,z^{(i)})+\varphi(\Delta)U, \qquad z(\tau_i)=z^{(i)}\in\mathbb{R}^m, \quad \tau\in[\tau_i,\tau_{i+1}), \quad v\in Q;
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
здесь $K=\max\{\|h(\tau,z,u,v)\|\colon (\tau,z,u,v)\in \mathscr{D}\times P\times Q)\}<\infty$, $\Delta=\Delta(\Gamma)$ – диаметр разбиения $\Gamma$, $U=B(0;1)$, $\varphi(\delta)=\omega^*((1+K)\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$, функция $\omega^*(\delta)$ определена в § 2. Пусть $(\tau_i,z^{(i)})\in\mathscr{D}$, $(\tau_i,Z^{(i)})\subset\mathscr{D}$ и $v\in Q$. Введем следующие обозначения: $\overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})=z^{(i)}+\Delta H_v(\tau_i,z^{(i)})$ – множество достижимости в момент $\tau_{i+1}$ д.в. $dz/d\tau\in H_v(\tau_i,z^{(i)})$, $z(\tau_i)=z^{(i)}$; $\overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})=\bigcup_{z^{(i)}\in Z^{(i)}}\overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})$; $\overline{A}^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})=\bigcap_{v\in Q} \overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})$; ${A}_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)}) =\overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})\,{+}\,\omega(\Delta)U$ – множество достижимости в момент $\tau_{i+1}$ д.в. (3.5); $A_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})=\bigcup_{z^{(i)}\in Z^{(i)}} A_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})$; $A^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})=\bigcap_{v\in Q}A_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})$; здесь $\omega(\delta)=\delta\cdot\varphi(\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$ и $A$ – символ аппроксимирующих множеств. Множество $A^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})$ можем трактовать как множество совместной достижимости д.в. (3.5) (по всем $v\in Q$) в момент $\tau_{i+1}$ из стартового множества $Z^{(i)}$, отвечающего моменту $\tau_i$. Справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d\bigl(Z_v(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)}),\overline{A}_v^{\,\Gamma}(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})\bigr) \leqslant\omega(\Delta), \\ \notag \tau_i,\tau_{i+1} \in \Gamma, \qquad (\tau_i,z^{(i)})\in \mathscr{D}, \quad v\in Q, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
из которой следует
$$
\begin{equation}
Z_v(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)})\subset\overline{A}_v(\tau_{i+1},\tau_i,z^{(i)}) +\omega(\Delta)\cdot U =A_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,z_i).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Из (3.7) следует включение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Z_v(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})\subset A_v^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)}), \\ \notag (\tau_i,Z^{(i)})\subset \mathscr{D}, \qquad \tau_i,\tau_{i+1}\in \Gamma, \quad v\in Q. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (3.8), в свою очередь, следует
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Z(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)})\subset A^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Z^{(i)}), \\ \notag \tau_i,\tau_{i+1}\in \Gamma, \qquad (\tau_i,Z^{(i)})\subset \mathscr{D}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Дадим определение аппроксимирующей системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$. Определение 5. Аппроксимирующей системой множеств $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\,{\in}\,\Gamma\}$ в $\mathbb{R}^m$, отвечающей двоичному разбиению $\Gamma=\{\tau_0=t_0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots ,\tau_N=\vartheta\}$ промежутка $[t_0,\vartheta]$, назовем совокупность множеств, заданных рекуррентными соотношениями Сравним по включению системы $\{Z^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, отвечающие разбиению $\Gamma$. Учитывая равенство $Z^\Gamma(\tau_0)=A^\Gamma(\tau_0)=M$ и включение (3.9), получаем
$$
\begin{equation}
Z^\Gamma(\tau_i)\subset A^\Gamma(\tau_i), \qquad \tau_i\in\Gamma.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Таким образом, системы множеств $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, $\{Z^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ связаны соотношениями
$$
\begin{equation*}
Z^0(\tau_i)\subset Z^\Gamma(\tau_i)\subset A^\Gamma(\tau_i), \qquad \tau_i\in\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Видим, что аппроксимирующая система $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ мажорирует набор $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ временны́х сечений множества $Z^0$. При этом естественно возникает вопрос: насколько близка мажоранта $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ к системе $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, например, в хаусдорфовой метрике? Этот вопрос можно формализовать как вопрос об оценке сверху величины
$$
\begin{equation}
J^\Gamma(\Delta)=\max_{\tau_i\in\Gamma} h(A^\Gamma(\tau_i),Z^0(\tau_i));
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
здесь $h(A,Z)$ – хаусдорфово отклонение $A$ от $Z$. При ответе на этот вопрос приходится констатировать, что для общей постановки задачи 1 о сближении вряд ли реально получить какую-либо содержательную (т.е. не слишком грубую) оценку. Такой пессимизм относительно вывода оценки мотивируется тем, что множества $Z^0(\tau_i)$ и $A^\Gamma(\tau_i)$ имеют “плохое происхождение”: в их определение вплетена операция пересечения множеств, очень неудобная для получения каких-либо содержательных оценок сверху. Действительно, если в случаях пересечения выпуклых множеств такие оценки (при определенных условиях на множества) можно получить, то в случаях пересечения невыпуклых множеств эти оценки создают серьезную проблему для исследователя. В отсутствие перспективы получения каких-либо оценок величины (3.12) в общем случае задачи 1 постараемся показать, что $J^\Gamma(\Delta)\to0$ при $\Delta(\Gamma)\to0$. Тем самым мы получим некоторое оправдание того, что система $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\,{\in}\,\Gamma\}$ названа системой, аппроксимирующей множество $Z^0$. Для доказательства предельного соотношения $\lim_{\Delta=\Delta(\Gamma)\to0}J^\Gamma(\Delta)=0$ вернемся к рассмотрению двоичных разбиений $\Gamma^{(n)}=\{\tau_0^{(n)}=t_0,\tau_1^{(n)},\dots ,\tau_i^{(n)},\dots , \tau_{N(n)}^{(n)}=\vartheta\}$, $n\in\mathbb{N}$. Для упрощения обозначим $A^{(n)}(\tau_*)\,{=}\,A^{\Gamma^{(n)}}(\tau_*)$, $\tau_*\,{\in}\,\Gamma^{(n)}$, $n\,{\in}\,\mathbb{N}$. Тогда аппроксимирующая система $\{A^{\Gamma^{(n)}}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\,{\in}\,\Gamma^{(n)}\}$ запишется в виде $\{A^{(n)}(\tau_i^{(n)})$: $\tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$. Введем множество $\Omega^0$ всех точек $(\tau_*,z_*)=\lim_{n\to\infty}(t_n(\tau_*),z_n)$, $(t_n(\tau_*),z_n)\in(t_n(\tau_*),A^{(n)}(t_n(\tau_*)))$, $n\in\mathbb{N}$. Для так определенного множества $\Omega^0\subset \mathscr{D}$ имеет место равенство $\Omega^0(\tau_0^{(n)})=\Omega^0(t_0)=M$, $n\in\mathbb{N}$. Справедливо следующее утверждение относительно $\Omega^0$, которое приводим без доказательства. Объединяя леммы 1 и 2, получаем следующее утверждение. Отсюда вытекает, в частности, следующее предельное соотношение: $\lim_{\Delta=\Delta(\Gamma)\to0} J^\Gamma(\Delta)\,{=}\,0$. Таким образом, теорема 1 представляет собой теоретическое обоснование использования аппроксимирующих систем $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ для приближенного вычисления максимального $u$-стабильного тракта $Z^0$ в задаче 1. Мы можем трактовать аппроксимирующую систему $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ как обобщение на дифференциальные игры известного понятия ломаных Эйлера из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Максимальный $u$-стабильный тракт $Z^0$, являющийся согласно теореме 1 пределом ломаных Эйлера $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ при $\Delta(\Gamma)\to0$, мы рассматриваем как своеобразный аналог интегральной воронки из теории управления. $Z^0$ есть интегральная воронка в задаче управления, отягощенной наличием еще одного управляющего воздействия – управления $v\in Q$. При этом под траекторией в задаче 1 мы понимаем отображение
$$
\begin{equation*}
\tau\mapsto Z^0(\tau)\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^m), \qquad \tau\in[t_0,\vartheta],
\end{equation*}
\notag
$$
с начальной “точкой” $Z^0(\tau_0)=Z^0(t_0)=M\in\operatorname{comp}(\mathbb{R}^m)$. Такая аналогия максимальных $u$-стабильных трактов $Z^0\subset[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ в игровых задачах с интегральными воронками $Z\subset[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m$ управляемых систем, не стесненных наличием второго игрока (помехи), вполне естественна, ибо между ними много общего. Так, при условиях, наложенных на управляемую систему, аналогичных условиям 1, 2, наложенным на систему (1.1) в настоящей работе, многозначные отображения $\tau\mapsto Z^0(\tau)\subset\mathbb{R}^m$ и $\tau\mapsto Z(\tau)\subset\mathbb{R}^m$ непрерывны и в ряде игровых задач липшицевы в хаусдорфовой метрике в области их определения, а множества $Z^0$ и $Z$ представимы как некоторые пределы аналогов ломаных Эйлера. В то же время имеются существенные различия между $Z^0$ и $Z$ в смысле их свойств. Так, например, интегральная воронка $Z$ управляемой системы определена на всем промежутке $[t_0,\vartheta]$, т.е. отображение $\tau\mapsto Z(\tau)$, $Z(\tau_0)=M\subset\mathbb{R}^m$, продолжимо на $[t_0,\vartheta]$, в то время как не для всякой конфликтно управляемой системы (1.1) отображение $\tau\mapsto Z^0(\tau)$, $Z^0(\tau_0)=M\subset\mathbb{R}^m$, продолжимо на $[t_0,\vartheta]$. Условий 1 и 2, наложенных исключительно на правую часть системы (1.1), недостаточно для продолжимости этого отображения на $[t_0,\vartheta]$; необходимы дополнительные условия, связывающие систему (1.1) с множеством $M$. Проблема получения достаточных условий продолжимости отображения $\tau\mapsto Z^0(\tau)$ на $[t_0,\vartheta]$ является важной и нетривиальной отдельной задачей теории дифференциальных игр. В настоящей работе эта проблема не обсуждается. Можно показать, что среди $u$-стабильных трактов $Z$ в задаче 1 множество $Z^0$ – максимальный $u$-стабильный тракт – выделяется тем, что ассоциированная с ним траектория $\tau\mapsto Z^0(\tau)$, $\tau\in[t_0,\vartheta]$, удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
Z^0(\tau^*)=Z(\tau^*,\tau_*,Z^0(\tau_*)), \qquad Z^0(\tau_0)=M, \quad (\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, что в задаче 1 мы для некоторого разбиения $\Gamma^{(n)}$ промежутка $[t_0,\vartheta]$ вычислили систему $\{A^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$, аппроксимирующую максимальный $u$-стабильный тракт $Z^0$. После этого представим систему $\{A^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ в терминах прямого времени $t$ как систему $\{\widetilde{W}^{(n)}(t_j^{(n)})\colon t_j^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$, аппроксимирующую множество разрешимости $W^0$ в задаче 1:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{W}^{(n)}(t_j^{(n)})=A^{(n)}(\tau_i^{(n)}), \qquad t_j^{(n)}+\tau_i^{(n)}=t_0+\vartheta, \quad i=0,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым мы показали, как может быть реализована процедура приближенного вычисления множества разрешимости $W^0$ в задаче 1:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{W}^{(n)}(\vartheta)=M\to\widetilde{W}^{(n)}(t_{N-1}^{(n)})\to\dots \to\widetilde{W}^{(n)}(t_{j}^{(n)})\to\dots\to\widetilde{W}^{(n)}(t_{0}^{(n)}) =\widetilde{W}^{(n)}(t_{0}).
\end{equation*}
\notag
$$
До сих пор мы не затрагивали один из основных и наиболее важных вопросов – вопрос о вычислении множеств $A^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Как известно, вычислить (точно) аппроксимирующую систему $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ в конкретных игровых задачах 1 с нетривиальной управляемой системой (1.1) не представляется возможным, поскольку множества $A^\Gamma(\tau_i)$ обладают сложной геометрией, не поддающейся аналитическому описанию. В самом деле, множества $A^\Gamma(\tau_i)$ представимы в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})) =\bigcap_{v\in Q}A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})), \\ A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})) =A^\Gamma(\tau_{i-1})+\Delta H_v(\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})) +\omega(\Delta)U, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A^\Gamma(\tau_{i-1})+\Delta H_v(\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})) =\bigcup_{z^{(i-1)}\in A^\Gamma(\tau_{i-1})} (z^{(i-1)}+\Delta H_v(\tau_{i-1},z^{(i-1)})),
\end{equation*}
\notag
$$
$v\in Q$, $\tau_{i-1},\tau_i\in\Gamma$, $\Delta=\Delta(\Gamma)$. Точное вычисление множеств $A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$ для нетривиальных конфликтно управляемых систем (2.1) невозможно. Убедительным подтверждением этого являются соотношения (3.13), задающие $A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$, $v\in Q$. Проблема аналитического описания множеств $A^\Gamma(\tau_i)$ усугубляется к тому же необходимостью точного вычисления пересечений $\bigcap_{v\in Q}A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$. Очевидно, что эта операция пересечения множеств $A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$ для большинства задач 1 превращается в неразрешимую проблему. К тому же эта операция (как правило) для многих задач 1 есть операция пересечения несчетного числа несчетных множеств в $\mathbb{R}^m$. Указанные особенности, делающие невозможным точное вычисление множеств $A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$ и $A^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$, приводят нас к необходимости при приближенных вычислениях множества $Z^0$ подменять множества $A_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$, $v\in Q$, и $A^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$ некоторыми финитными множествами $\widetilde{A}_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_{i-1}))$, $v\in Q$, и $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$. При этом вычисление указанных финитных множеств должно быть достаточно эффективным. Вопрос о способах определения множеств $\widetilde{A}_v^\Gamma(\tau_i,\tau_{i-1},\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_{i-1}))$, $v\in Q$, и $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i,\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1}))$ – непростой вопрос, и в этой работе мы его не затрагиваем. Он требует отдельного серьезного изучения. § 4. Свойство $u$-стабильности в задаче 2В этом параграфе изучим задачу 2 о сближении системы (1.1) с компактом $\mathscr{M}$ в $\mathbb{R}^m$, стоящую перед вторым игроком. В определенном смысле эта задача альтернативна задаче 1. Она близка по постановке к задаче об уклонении второго игрока в игре сближения-уклонения, сформулированной и изученной Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным в работах [9]–[11]. Совместное рассмотрение двух задач о сближении (задачи 1 и задачи 2) в настоящей работе представляется нам весьма полезным, поскольку позволяет оценить в конкретных игровых задачах возможности игроков (выделение множеств разрешимости $W^0$ и $\mathscr{W}^0$) в отношении наведения конфликтно управляемой системы (1.1) на “альтернативные” целевые множества $M$ и $\mathscr{M}$. Определим свойство $v$-стабильности в задаче 2 – ключевое при выделении множества разрешимости $\mathscr{W}^0$ – максимального $v$-стабильного моста в этой задаче. Свойство $v$-стабильности определим сразу (в отличие от § 2) в терминах обратного времени $\tau=t_0+\vartheta-t$, $t\in[t_0,\vartheta]$, с помощью некоторого набора дифференциальных включений, ассоциированных с системой (2.1), запараметризованных параметром $u\in P$ и эволюционирующих на промежутке $[t_0,\vartheta]$. Опишем этот набор д.в. Полагаем, как и в задаче 1, что все компоненты конструкции, разрешающей задачу 2, содержатся в цилиндрической области $\mathscr{D}=[t_0,\vartheta]\times \mathscr{D}_*$, введенной в § 2. Пусть $(t,x,u)\in \mathscr{D}\times P$. Определим в $\mathbb{R}^m$ множество здесь $F^{(2)}(t,x)=\operatorname{co}\mathscr{F}^{(2)}(t,x)$, $\mathscr{F}^{(2)}(t,x)=\{f^{(2)}(t,x,v)\colon v\in Q\}$.Из определения множества $F^{(2)}(t,x)$ следует, что существует такая положительная функция $\omega^*(\delta)\downarrow0$, $\delta\downarrow0$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d(F_u(t_*,x_*),F_u(t^*,x^*))\leqslant\omega^*(|t_*-t^*|+\|x_*-x^*\|), \\ (t_*,x_*),(t^*,x^*)\in \mathscr{D}, \qquad u\in P. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Не нарушая общности рассуждений, считаем, что функция $\omega^*(\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$, одна и та же в задачах 1 и 2. Запишем множества $F_u(t,x)$, $(t,x,u)\in \mathscr{D}\,{\times}\, P$, в терминах обратного времени $\tau=t_0+\vartheta-t$, $t\in[t_0,\vartheta]$:
$$
\begin{equation*}
\Phi_u(\tau,y)=-F_u(t_0+\vartheta-\tau,y), \qquad (\tau,y,u)\in \mathscr{D}\times P.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем в рассмотрение д.в.
$$
\begin{equation}
\frac{dy}{d\tau}\in\Phi_u(\tau,y), \qquad (\tau,y)\in \mathscr{D}, \quad u\in P.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Введем также обозначения. Пусть $(\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*$ и $(\tau_*,y_*)\in \mathscr{D}$. Полагаем: $Y_u(\tau^*,\tau_*,y_*)$ – множество всех точек $y^*\,{\in}\,\mathbb{R}^m$, для каждой из которых найдется решение $y(\cdot)\,{=}\,(y(\tau)\colon \tau_*\,{\leqslant}\,\tau\,{\leqslant}\,\tau^*)$ д.в. (4.1) такое, что $y(\tau_*)\,{=}\,y_*$, $y(\tau^*)\,{=}\,y^*$;
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Y_u(\tau^*,\tau_*,Y_*)=\bigcup_{y_*\in Y_*}Y_u(\tau^*,\tau_*,y_*), \qquad Y_*\subset\mathbb{R}^m; \\ Y(\tau^*,\tau_*,Y_*)=\bigcap_{u\in P}Y_u(\tau^*,\tau_*,Y_*). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Согласно определению $Y_u(\tau^*,\tau_*,Y_*)$ есть множество достижимости в момент $\tau^*$ д.в. (4.1) со стартовым множеством $Y_*$, отвечающим моменту $\tau_*$. Множество $Y(\tau^*,\tau_*,Y_*)$ можно трактовать как множество совместной (по $u$ из $P$) достижимости в момент $\tau^*$ со стартовым множеством $Y_*$. Приведем в терминах обратного времени $\tau$ определение $v$-стабильного тракта $Y\subset \mathscr{D}$ в задаче 2. Непустое замкнутое множество $Y\subset \mathscr{D}$ назовем $v$-стабильным трактом системы (2.1) в задаче 2, если
$$
\begin{equation}
Y(\tau_0)=Y(t_0)=\mathscr{M}, \qquad Y(\tau_*)\subset Y(\tau^*,\tau_*,Y(\tau_*)), \quad (\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Существует максимальный (по включению) $v$-стабильный тракт $Y^0\subset \mathscr{D}$. Этот $v$-стабильный тракт связан с множеством разрешимости $\mathscr{W}^0$ в задаче 2 – максимальным $v$-стабильным мостом – равенством
$$
\begin{equation*}
Y^0(\tau)=\mathscr{W}^0(t), \qquad t+\tau=t_0+\vartheta, \quad \tau\in[t_0,\vartheta].
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, тракт $Y^0$ удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation}
Y^0(\tau_0)=\mathscr{M}, \qquad Y^0(\tau^*)=Y(\tau^*,\tau_*,Y^0(\tau_*)), \quad (\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Так же, как в задаче 1, в задаче 2 актуален вопрос о приближенном конструировании $Y^0$. Схема приближенного конструирования $Y^0$ аналогична схеме приближенного конструирования $Z^0$ в задаче 1. А именно, введем двоичное разбиение $\Gamma=\{\tau_0=t_0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots ,\tau_N=\vartheta\}$ ($N=2^r$, $r\in\mathbb{N}$) и две “промежуточные” системы множеств в $\mathbb{R}^m$, отвечающие этому разбиению. Первая из этих систем $\{Y^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ – это набор сечений $Y^0(\tau_i)$ множества $Y^0$, $Y^0(\tau_0)=\mathscr{M}$. Вторая система $\{Y^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ определяется рекуррентными соотношениями
$$
\begin{equation*}
Y^\Gamma(\tau_0)=\mathscr{M}, \qquad Y^\Gamma(\tau_i)=Y(\tau_i,\tau_{i-1},Y^\Gamma(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Обе эти системы множеств в $\mathbb{R}^m$ представляют собой исключительно вспомогательные умозрительные конструкции, и вопрос об их конструировании не возникает. Согласно их определению справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
Y^0(\tau_0)=\mathscr{M}, \qquad Y^0(\tau_i)\subset Y(\tau_i,\tau_{i-1},Y^0(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N-1,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
Y^0(\tau_i)\subset Y^\Gamma(\tau_i), \qquad i=0,\dots,N.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Далее, обратимся снова к последовательности двоичных разбиений $\Gamma^{(n)}=\{\tau_0^{(n)}=t_0$, $\tau_1^{(n)},\dots ,\tau_i^{(n)},\dots ,\tau_{N(n)}^{(n)}=\vartheta\}$, $n\in\mathbb{N}$, с диаметрами $\Delta^{(n)}=\Delta(\Gamma^{(n)})$. Для сокращения записи полагаем $Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})=Y^{\Gamma^{(n)}}(\tau_i^{(n)})$, $i=0,\dots,N(n)$. Каждому $\Gamma^{(n)}$ сопоставим систему $\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ множеств в $\mathbb{R}^m$:
$$
\begin{equation*}
Y^{(n)}(\tau_0^{(n)})=\mathscr{M}, \qquad Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})=Y(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)},Y^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)})), \quad i=1,\dots,N(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых $\tau_*\in\Gamma^{(n)}$, $n,k\in \mathbb{N}$, $n<k$, справедливы включения
$$
\begin{equation}
Y^0(\tau_*)\subset Y^{(n)}(\tau_*), \qquad Y^{(k)}(\tau_*)\subset Y^{(n)}(\tau_*).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из (4.7) следует, что для любого двоичного момента $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ последовательность $\{Y^{(n)}(\tau_*)\}$ сходится в хаусдорфовой метрике к компакту $Y^\nabla(\tau_*)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}Y^{(n)}(\tau_*)$. Это означает, что для любой точки $y_*\in Y^\nabla(\tau_*)$ найдется последовательность $\{y_*^{(n)}\}$, $y_*^{(n)}\in Y^{(n)}(\tau_*)$ при $n\in\mathbb{N}$, сходящаяся к $y_*$, и любая сходящаяся последовательность $\{y_*^{(n)}\}$, $y_*^{(n)}\in Y^{(n)}(\tau_*)$ при $n\in\mathbb{N}$, такова, что $\lim_{n\to\infty}y_*^{(n)} =y_*\in Y^\nabla(\tau_*)$. Распространим определение множества $Y^\nabla(\tau_*)$ с совокупности двоичных моментов $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ на промежуток $[t_0,\vartheta]$. В связи с этим для произвольного $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ полагаем $t_n(\tau_*)=\max\{\tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\colon \tau_i^{(n)}\leqslant\tau_*\}$. Для произвольного двоичного момента $\tau_*\in [t_0,\vartheta]$ определим $Y^\nabla(\tau_*)$ как множество всех $y_*\in\mathbb{R}^m$ таких, что точка $(\tau_*,y_*)$ представима в виде
$$
\begin{equation*}
(\tau_*,y_*)=\lim_{n\to\infty}(t_n(\tau_*),y_*^{(n)}), \quad\text{где }\ y_*^{(n)}\in Y^{(n)}(t_n(\tau_*)), \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с тем определено множество
$$
\begin{equation}
Y^\nabla =\bigcup_{\tau_*\in[t_0,\vartheta]}(\tau_*,Y^\nabla(\tau_*))\subset \mathscr{D}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Множество $Y^\nabla \in\operatorname{comp}([t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^m)$, определенное с помощью предельных переходов от систем $\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$, $n\in\mathbb{N}$, обозначим
$$
\begin{equation*}
Y^\nabla=\lim_{n\to\infty}\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Доказательство. Докажем сначала включение $Y^\nabla\subset Y^0$. Для этого покажем, что $Y^\nabla$ удовлетворяет соотношениям вида (4.3).
Имеем $Y^\nabla(t_0)=Y^0(t_0)=\mathscr{M}$. Покажем теперь, что
$$
\begin{equation}
Y^\nabla(\tau^*)\subset Y(\tau^*,\tau_*,Y^\nabla(\tau_*)), \qquad (\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Возьмем произвольные двоичные моменты $\tau_*$, $\tau^*$, $(\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*$, и точку $y^*\in Y^\nabla(\tau^*)$. Из включения $y^*\in Y^{(n)}(\tau^*)=Y(\tau^*,\tau_*,Y^{(n)}(\tau_*))$, $n\in\mathbb{N}$, следует $y^*\in Y_u(\tau^*,\tau_*,Y^{(n)}(\tau_*))$, $n\in\mathbb{N}$, $u\in P$. Значит, при любых $n\in\mathbb{N}$, $u\in P$ найдется такая точка $y_*^{(n)}\in Y^{(n)}(\tau_*)$, что некоторое решение $y_u^{(n)}(\tau)$ д.в.
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{d\tau}\in\Phi_u(\tau,y), \qquad y_u^{(n)}(\tau_*)=y_*^{(n)}, \quad \tau\in[\tau_*,\tau^*],
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет равенству $y_u^{(n)}(\tau^*)=y^*$.
Не нарушая общности рассуждений, считаем, что последовательность $\{y_u^{(n)}(\tau)\}$ равномерно сходится к некоторой функции $y_u(\tau)$ на промежутке $[\tau_*,\tau^*]$. Функция $y_u(\tau)$, $\tau\in[\tau_*,\tau^*]$, является решением д.в.
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{d\tau}\in\Phi_u(\tau,y), \qquad y_u(\tau_*)=y_*=\lim_{n\to\infty}y_u^{(n)}(\tau_*)\in Y(\tau_*), \quad\tau\in[\tau_*,\tau^*],
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяет краевому условию $y_u(\tau^*)=y^*$. Это означает, что справедливо включение Так как $y^*\in Y^\nabla(\tau^*)$ выбрана произвольно, то из (4.10) следует (при двоичных $\tau_*$ и $\tau^*$) включение (4.9). Рассмотрим теперь произвольные недвоичные моменты $\tau_*$ и $\tau^*$ из $[t_0,\vartheta]$ и точку $(\tau^*,y^*)\in Y^\nabla$. Пусть $\{(t_n(\tau^*),y_n^*)\}$ – последовательность из $Y^\nabla$, сходящаяся к $(\tau^*,y^*)$. Рассмотрим последовательность $\{t_n(\tau_*)\}$, сходящуюся к $\tau_*$. Для двоичных моментов $t_n(\tau_*)$ и $t_n(\tau^*)$ из $\Gamma^{(n)}$ справедливо включение
$$
\begin{equation*}
Y^{(n)}(t_n(\tau^*))\subset Y(t_n(\tau^*),t_n(\tau_*),Y^{(n)}(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, при любом $u\in P$ имеем
$$
\begin{equation*}
Y^{(n)}(t_n(\tau^*))\subset Y_u(t_n(\tau^*),t_n(\tau_*),Y^{(n)}(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих включений следует, что для некоторой точки $y_*^{(n)}\in Y^{(n)}(t_n(\tau_*))$ найдется решение $y_u^{(n)}(\tau)$, $\tau\in[t_n(\tau_*),t_n(\tau^*)]$ д.в.
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{d\tau}\in \Phi_u(\tau,y), \qquad y_u^{(n)}(t_n(\tau_*))=y_*^{(n)},
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющее условию $y_u^{(n)}(t_n(\tau^*))=y_n^*$.
Выделим при каждом $n\in\mathbb{N}$ такое решение $y_u^{(n)}(\tau)$, $\tau\in[t_n(\tau_*),t_n(\tau^*)]$. Не нарушая общности рассуждений, мы будем считать, что последовательность $\{y_u^{(n)}(\tau)\}$ сходится равномерно к некоторой функции $y_u(\tau)$ на $[\tau_*,\tau^*]$ (здесь функции $y_u^{(n)}(\tau)$ доопределены на промежутке $[t_n(\tau^*),\tau^*]$ равенством $y_u^{(n)}(\tau)\,{=}\,y_n^*$, $n\in\mathbb{N}$). Вектор-функция $y_u(\tau)$, $\tau\in[\tau_*,\tau^*]$, есть решение д.в. $dy/d\tau\in\Phi_u(\tau,y)$, удовлетворяющее краевым условиям
$$
\begin{equation*}
y_u(\tau_*)=y_*=\lim_{n\to\infty}y_*^{(n)}\in Y^\nabla(\tau_*), \qquad y_u(\tau^*)=y^*=\lim_{n\to\infty}y^*_n\in Y^\nabla(\tau^*).
\end{equation*}
\notag
$$
Эти соотношения показывают, что $y^*\in Y_u(\tau^*,\tau_*,Y^\nabla(\tau_*))$, $u\in P$, и так как $y^*\in Y^\nabla(\tau^*)$, то
$$
\begin{equation}
Y^\nabla(\tau^*)\subset Y(\tau^*,\tau_*,Y^\nabla(\tau_*))
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
для недвоичных моментов $\tau_*$, $\tau^*$, $(\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*$.
Аналогично доказывается (4.11) в случае, когда один из моментов $\tau_*$, $\tau^*$ двоичный, а другой нет. Вместе с тем доказано включение (4.9) для всевозможных пар $(\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*$, из которого следует $Y^\nabla\subset Y^0$. Докажем теперь обратное включение $Y^0\subset Y^\nabla$. Для любого двоичного момента $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ справедливо включение Пусть $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ – недвоичный момент и $(\tau_*,y_*)\in Y^0$. Рассмотрим последовательность $\{t_n(\tau_*)\}$ двоичных моментов $t_n(\tau_*)\in\Gamma^{(n)}$, $\Delta^{(n)}\downarrow0$ при $n\to\infty$. Так как
$$
\begin{equation*}
Y^0(\tau_*)\subset Y(\tau_*,t_n(\tau_*),Y^0(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
y_*\in Y(\tau_*,t_n(\tau_*),Y^0(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
y_*\in Y(\tau_*,t_n(\tau_*),Y^\nabla(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем произвольное $u\in P$. При этом справедливы включения
$$
\begin{equation*}
y_*\in Y_u(\tau_*,t_n(\tau_*),Y^\nabla(t_n(\tau_*))), \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
из которых следует, что существует такая последовательность $\{y_n(t_n(\tau_*))\}$ точек $y_n(t_n(\tau_*))\in Y^\nabla(t_n(\tau_*))$, $n\in\mathbb{N}$, для каждой из которых некоторое решение $y_u^{(n)}(\tau)$, $\tau\in[t_n(\tau_*),t_n(\tau^*)]$, д.в. $dy/d\tau\in\Phi_u(\tau,y)$, $y_u^{(n)}(t_n(\tau_*))=y_n(t_n(\tau_*))$, удовлетворяет условию $y_u^{(n)}(\tau_*)=y_*$, $n\in\mathbb{N}$. Отсюда следует, что последовательность $\{(t_n(\tau_*),y(t_n(\tau_*)))\}$ точек $(t_n(\tau_*),y(t_n(\tau_*)))\in Y^\nabla$ удовлетворяет предельному соотношению и, следовательно, $(\tau_*,y_*)=\lim_{n\to\infty}(t_n(\tau_*),y(t_n(\tau_*)))\in Y^\nabla$.
Вместе с тем доказано, что $(\tau_*,y_*)\in Y^\nabla$. Так как недвоичный момент $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$ и точка $(\tau_*,y_*)\in Y^0$ выбраны произвольно, то $Y^0(\tau_*)\subset Y^\nabla(\tau_*)$ при недвоичных $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$. Учитывая также это включение при двоичных $\tau_*\,{\in}\,[t_0,\vartheta]$, получаем $Y^0\,{\subset}\,Y^\nabla$. Из включений $Y^0\subset Y^\nabla$, $Y^\nabla\subset Y^0$ следует $Y^0=Y^\nabla$. Лемма 3 доказана. В лемме 3 утверждается, что максимальный $v$-стабильный тракт $Y^0$ в задаче 2 есть предел $Y^\nabla=\lim_{n\to\infty}\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ “промежуточных” систем $\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)} \}$. Однако вычислять (точно) эти системы множеств в $\mathbb{R}^m$ мы не в состоянии. Поэтому так же, как в задаче 1, мы постараемся трансформировать множества $Y(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)},Y^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)}))$ в множества из $\mathbb{R}^m$, достаточно близкие к $Y(\tau_i^{(n)},\tau_{i-1}^{(n)},Y^{(n)}(\tau_{i-1}^{(n)}))$ в хаусдорфовой метрике и более доступные для вычислений. Для этой трансформации мы, как и в задаче 1, обратимся к конструкциям ломаных Эйлера. Для упрощения обозначений вместо разбиений $\Gamma^{(n)}$ будем рассматривать двоичное разбиение $\Gamma=\{\tau_0=t_0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots ,\tau_N=\vartheta\}$ промежутка $[t_0,\vartheta]$. Систему множеств, которую определим ниже, назовем аппроксимирующей системой множеств, отвечающих разбиению $\Gamma$. Итак, каждому промежутку $[\tau_{i},\tau_{i+1}]$ разбиения $\Gamma$ сопоставим д.в.
$$
\begin{equation}
\frac{dy}{d\tau}\in\Phi_u(\tau_i,y^{(i)})+\varphi(\Delta)U, \qquad y(\tau_i)=y^{(i)}\in\mathbb{R}^m, \quad \tau\in[\tau_i,\tau_{i+1}), \quad u\in P;
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
числа $K$ и $\Delta=\Delta(\Gamma)$ определены в § 3. Пусть $(\tau_i,y^{(i)})\in\mathscr{D}$, $(\tau_i,Y^{(i)})\subset\mathscr{D}$ и $u\in P$. Введем следующие обозначения: $\overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})=y^{(i)}+\Delta \Phi_u(\tau_i,y^{(i)})$ – множество достижимости в момент $\tau_{i+1}$ д.в.
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{d\tau}\in\Phi_u(\tau_i,y^{(i)}),\qquad y(\tau_i)=y^{(i)};
\end{equation*}
\notag
$$
$\overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})=\bigcup_{y^{(i)}\in Y^{(i)}}\overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})$; $\overline{\mathcal{A}}^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})=\bigcap_{u\in P} \overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})$; $\mathcal{A}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)}) =\overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})+\omega(\Delta)U$ – множество достижимости в момент $\tau_{i+1}$ д.в. (4.13); $\mathcal{A}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})=\bigcup_{y^{(i)}\in Y^{(i)}}\mathcal{A}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})$; $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})=\bigcap_{u\in P} \mathcal{A}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})$; здесь $\mathcal{A}$ – символ аппроксимации в задаче 2. Справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d(Y_u(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)}),\overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)}))\leqslant\omega(\Delta), \\ \tau_i,\tau_{i+1} \in \Gamma,\qquad (\tau_i,y^{(i)})\in \mathscr{D}, \quad u\in P, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
из которой следует включение
$$
\begin{equation*}
Y_u(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})\subset \overline{\mathcal{A}}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,y^{(i)})+\omega(\Delta)U.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего включения следует
$$
\begin{equation}
Y_u(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})\subset \mathcal{A}_u^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)}), \qquad (\tau_i,Y^{(i)})\subset \mathscr{D}, \quad \tau_i,\tau_{i+1}\in \Gamma, \quad u\in P.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Из (4.15), в свою очередь, вытекает
$$
\begin{equation}
Y(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)})\subset \mathcal{A}^\Gamma(\tau_{i+1},\tau_i,Y^{(i)}), \qquad \tau_i,\tau_{i+1}\in \Gamma, \quad(\tau_i,Y^{(i)})\subset \mathscr{D}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Введем аппроксимирующую систему $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}\subset\mathbb{R}^m$ в задаче 2. Определение 6. Аппроксимирующей системой $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ множеств в $\mathbb{R}^m$, отвечающей двоичному разбиению $\Gamma= \{\tau_0=t_0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots, \tau_N=\vartheta\}$ промежутка $[t_0,\vartheta]$, назовем совокупность множеств, заданных рекуррентными соотношениями Сравним системы $\{Y^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, отвечающие разбиению $\Gamma$. Учитывая равенства $Y^\Gamma(\tau_0)=\mathcal{A}^\Gamma(\tau_0)=\mathscr{M}$ и включение (4.16), получаем
$$
\begin{equation}
Y^\Gamma(\tau_i)\subset \mathcal{A}^\Gamma(\tau_i), \qquad \tau_i\in\Gamma.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В итоге получаем, что $Y^0(\tau_i)$, $Y^\Gamma(\tau_i)$, $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, связаны соотношениями
$$
\begin{equation*}
Y^0(\tau_i)\subset Y^\Gamma(\tau_i)\subset \mathcal{A}^\Gamma(\tau_i), \qquad\tau_i\in\Gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
которые показывают, что система $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ есть мажоранта для набора $\{Y^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ сечений $v$-стабильного тракта $Y^0$. Можно поставить вопрос: насколько велико отклонение мажоранты $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$: $\tau_i\in\Gamma\}$ от набора $\{Y^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$? Фактически возникает вопрос об оценке сверху величины
$$
\begin{equation*}
I^\Gamma(\Delta)=\max_{\tau_i\in\Gamma}h(\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i),Y^0(\tau_i)).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что для задачи 2 в общей постановке получить какие-либо содержательные оценки сверху величины $I^\Gamma(\Delta)$ вряд ли возможно. Тем не менее можно утверждать, что
$$
\begin{equation}
I^\Gamma(\Delta)\to0 \quad\text{при }\ \Delta=\Delta(\Gamma)\to0.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
В самом деле, рассмотрим снова двоичные разбиения $\Gamma^{(n)}$, $n\in\mathbb{N}$. Введем для упрощения обозначение $\mathcal{A}^{(n)}(\tau_*)=\mathcal{A}^{\Gamma^{(n)}}(\tau_*)$, $\tau_*\in\Gamma^{(n)}$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда аппроксимирующая система $\{\mathcal{A}^{\Gamma^{(n)}}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ примет вид $\{\mathcal{A}^{(n)}(\tau_i^{(n)})$: $\tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$. Введем в рассмотрение множество $Y^\Delta$ всех точек $(\tau_*,y_*)\in \mathscr{D}$, представленных в виде $(\tau_*,y_*)=\lim_{n\to\infty}(t_n(\tau_*),y_n)$, где $\{(t_n(\tau_*),y_n)\}$ – некоторая последовательность точек $(t_n(\tau_*),y_n)\in (t_n(\tau_*),\mathcal{A}^{(n)}(t_n(\tau_*)))$, $n\in\mathbb{N}$. Справедливо равенство $Y^\Delta(\tau_0^{(n)})=Y^\Delta(t_0)=\mathscr{M}$. Так как справедливы включения
$$
\begin{equation}
Y^{(n)}(\tau_*)\subset\mathcal{A}^{(n)}(\tau_*), \qquad\tau_*\in\Gamma^{(n)}, \quad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
то из определения множества $Y^\nabla=\lim_{n\to\infty}\{Y^{(n)}(\tau_i^{(n)})\colon \tau_i^{(n)}\in\Gamma^{(n)}\}$ и включений (4.20) следует при любом $\tau_*\in[t_0,\vartheta]$, включая как двоичные моменты $\tau_*$, так и недвоичные моменты $\tau_*$ из $[t_0,\vartheta]$. Это означает, что Далее, по той же схеме, что и для множества $Y^\nabla$, доказывается включение
$$
\begin{equation}
Y^\Delta(\tau^*)\subset Y(\tau^*,\tau_*,Y^\Delta(\tau_*)), \qquad(\tau_*,\tau^*)\in\Delta^*.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Из равенства $Y^\Delta(t_0)=\mathscr{M}$ и включения (4.23) следует, что непустое замкнутое множество $Y^\Delta\subset \mathscr{D}$ есть $v$-стабильный тракт системы (2.1) в задаче 2, откуда получаем Из включений (4.22), (4.24) следует утверждение. Объединив леммы 3 и 4, получаем следующее утверждение. Отсюда следует предельное соотношение (4.19), которое мы трактуем как теоретическое обоснование возможности использования аппроксимирующих систем $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ для приближенного вычисления максимального $v$-стабильного тракта $Y^0$ (и, стало быть, для приближенного вычисления множества разрешимости $\mathscr{W}^0$) в конкретных задачах 2. § 5. Локализация границы $\partial W^0$ множества $W^0$ в задаче 1В этом параграфе представим обоснование целесообразности совместного рассмотрения дуальных игровых задач 1 и 2. Изучение игровых задач 1 и 2 с конкретными управляемыми системами самих по себе (т.е. в отдельности друг от друга) уже представляет значительный интерес с точки зрения выявления возможностей игроков в достижении тех или иных областей ($M$ и $\mathscr{M}$) фазового пространства управляемой системы. В частности, на основании исследования множеств разрешимости $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ для различных областей $M$ и $\mathscr{M}$ мы можем делать выводы о том, какие из областей $M$ и $\mathscr{M}$ предпочтительнее в качестве целевых множеств в задачах 1 и 2. Множества $W^0$ и $\mathscr{W}^0$ в конкретных игровых задачах 1 и 2 вычисляются, как правило, приближенно. При этом критериями точности приближенных вычислений являются величины $J^\Gamma(\Delta)$, $I^\Gamma(\Delta)$, отвечающие разбиению $\Gamma$ промежутка $[t_0,\vartheta]$. В связи с этим неизбежно возникают вопросы, связанные с получением верхней оценки для величины $J^\Gamma(\Delta)$ и, следовательно, с представлениями о точности вычислений сечений $W^0(t_j)$, $t_j\in\Gamma$, множества $W^0$ в задаче 1. Как уже отмечалось, дать какие-либо содержательные верхние оценки величины $J^\Gamma(\Delta)$ в задаче 1 (рассматриваемой в общей постановке) на основе теоретических рассуждений и выкладок не представляется возможным из-за сложности этой задачи. Однако здесь мы покажем, что в конкретных игровых задачах 1 (с конкретной управляемой системой) для получения таких оценок величины $J^\Gamma(\Delta)$ полезно подключение к задаче 1 дуальной с ней задачи 2. При тех нежестких ограничениях, которыми стеснены целевые множества $M$, $\mathscr{M}$ и множества $W^0$, $\mathscr{W}^0$ в задачах 1, 2, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\partial W^0=\partial W^0\cap \partial \mathscr{W}^0=\partial^-\mathscr{W}^0;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\partial^-\mathscr{W}^0$ – одна из компонент связности границы $\partial \mathscr{W}^0$ множества $\mathscr{W}^0$. В терминологии обратного времени $\tau$ и соответствующих этой терминологии стабильных трактов $Z^0$ и $Y^0$ последнее равенство принимает вид
$$
\begin{equation*}
\partial Z^0=\partial Z^0\cap\partial Y^0=\partial^-Y^0;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\partial^-Y^0$ – одна из компонент связности границы $\partial Y^0$ максимального $v$-стабильного тракта $Y^0$ в задаче 2. Системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ в $\mathbb{R}^m$, аппроксимирующие $Z^0$ и $Y^0$, аппроксимируют их сверху (по включению):
$$
\begin{equation*}
Z^0(\tau_i)\subset A^\Gamma(\tau_i), \quad Y^0(\tau_i)\subset \mathcal{A}^\Gamma(\tau_i), \qquad \tau_i\in\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 2 представлены сечения $Z^0(\tau_i)$, $Y^0(\tau_i)$ трактов $Z^0$, $Y^0$, отвечающие моменту $\tau_i\in\Gamma$, и множества $A^\Gamma(\tau_i)$, $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, аппроксимирующие эти сечения. При этом $\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, $\partial^+\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ – компоненты связности границы $\partial\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ множества $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$. Так как
$$
\begin{equation*}
\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\subset Z^0(\tau_i)\subset A^\Gamma(\tau_i), \qquad\tau_i\in\Gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\partial Z^0(\tau_i)$ содержится в слое (гомеоморфном шаровому слою в $\mathbb{R}^m$), граница которого состоит из двух компонент связности, $\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ и $\partial A^\Gamma(\tau_i)$ (рис. 3). Хаусдорфово отклонение $h(A^\Gamma(\tau_i),Z^0(\tau_i))$ стеснено неравенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag h(A^\Gamma(\tau_i),Z^0(\tau_i)) &=h(\partial A^\Gamma(\tau_i),Z^0(\tau_i)) \leqslant d(\partial A^\Gamma(\tau_i),\partial Z^0(\tau_i)) \\ &\leqslant d(\partial A^\Gamma(\tau_i),\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)), \qquad\tau_i\in\Gamma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Допустим, что вычислены системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, аппроксимирующие тракты $Z^0$ и $Y^0$. Выделим из этих систем множества $\partial A^\Gamma(\tau_i)$ и $\partial^- \mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ и вычислим верхние оценки хаусдорфовых отклонений $h(A^\Gamma(\tau_i),Z^0(\tau_i))$, $\tau_i\in\Gamma$, – величины
$$
\begin{equation*}
\gamma_i=d(\partial A^\Gamma(\tau_i),\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)), \qquad \tau_i\in\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно оценкам (5.1) множество $A^\Gamma(\tau_i)$ аппроксимирует $Z^0(\tau_i)$ с точностью до величины $\gamma^{(i)}$. При этом граница $\partial Z^0(\tau_i)$ множества $Z^0(\tau_i)$ содержится в слое, заключенном между $\partial A^\Gamma(\tau_i)$ и $\partial^- \mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, ширина которого не превосходит числа $\gamma^{(i)}$. Эту ситуацию мы трактуем как локализацию множества $\partial Z^0(\tau_i)$. Чем меньше $\gamma^{(i)}$, тем точнее эта локализация. Замечание 2. Локализация границ $\partial Z^0(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, множеств $Z^0(\tau_i)$ – временны́х сечений тракта $Z^0$ – предполагает, что мы можем вычислить (точно) аппроксимирующие системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, $\{\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и затем выделить множества $\partial A^\Gamma(\tau_i)$ и $\partial^-\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$. Однако эти множества вычислить точно невозможно так же, как и $\partial Z^0$, из-за сложности задач 1 и 2 в подавляющем большинстве конкретных задач и, в частности, из-за несчетности множеств $A^\Gamma(\tau_i)$ и $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Поэтому неизбежен переход от этих множеств к их финитным аппроксимациям, которые обозначим символами $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Этот переход означает замену множеств $A^\Gamma(\tau_i)$ и $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ достаточно близкими к ним финитными множествами $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, которые должны вычисляться подобно множествам $A^\Gamma(\tau_i)$ и $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ по соответствующим рекуррентным соотношениям. В этих соотношениях присутствует операция пересечения множеств в $\mathbb{R}^m$. При вычислении множеств $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ мы будем вынуждены столкнуться с необходимостью пересекать финитные множества в $\mathbb{R}^m$. Нам надлежит операции пересечения множеств в $\mathbb{R}^m$ сопоставить некоторый аналог в случае пересечения финитных множеств в $\mathbb{R}^m$ при вычислении множеств $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$. Ниже сформулируем две конкретные дуальные игровые задачи 1 и 2 о сближении в пространстве $\mathbb{R}^2$ нелинейной управляемой системы. При решении этих задач ограничимся лишь приближенным вычислением аппроксимирующих систем $\{\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ для множеств $Z^0$ и $Y^0$, отвечающих конкретному разбиению $\Gamma$. Локализация границы $\partial Z^0$ $u$-стабильного тракта в задаче 1 будет состоять в том, что мы укажем слои в плоскости $\mathbb{R}^2$, в которых содержатся сечения $\partial Z^0(\tau_i)$ границы $\partial Z^0$ тракта $Z^0$. Пусть на промежутке $[t_0,\vartheta]=[0,1]$ задана конфликтно управляемая система Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2, \qquad u=\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\end{pmatrix}\in P, \qquad v=\begin{pmatrix} v_1\\ v_2\end{pmatrix}\in Q, \\ P=Q=\biggl\{h\in\mathbb{R}^2\colon \|h\|\leqslant\frac12\biggr\}; \qquad h(x)=\begin{pmatrix} x_2\\ -x_1\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2; \\ a(x)=\alpha(\|x\|)\cdot(1-e^{-\|x\|});\qquad b(x)=\beta(\|x\|)\cdot\frac{\|x\|}{1+\|x\|}; \\ \alpha(\|x\|)=-\beta(\|x\|)= \begin{cases} \dfrac{1}{100}&\text{при }\|x\|\in[0,1), \\ \dfrac{1}{100\|x\|}&\text{при }\|x\|\in[1,\infty). \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим в двух вариантах дуальные игровые задачи 1 и 2 о сближении для системы (5.2) с множествами $M$ и $\mathscr{M}$ из $\mathbb{R}^2$ в момент $\vartheta=1$. Вариант 1. $M$ – эллипс в $\mathbb{R}^2$ с центром в $0$, $\mathscr{M}$ – замкнутое кольцо вокруг $M$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M=\biggl\{x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\!\colon \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}\leqslant1\biggr\}, \qquad a=2.9, \quad b=2.4; \\ \mathscr{M}=\operatorname{cl}(M_\varepsilon\setminus M), \qquad \varepsilon=0.24. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в варианте 1 имеем $M\subset M\cup\mathscr{M}\subset B(0;r)$, где $r=3.2$. Вариант 2. $M=\Phi\cup B(0;\rho_*)$, где $\Phi$ – эллипс в $\mathbb{R}^2$ с центром в 0, $B(0;\rho_*)$ – круг в $\mathbb{R}^2$ радиуса $\rho_*$ с центром в 0:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi=\biggl\{x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}\!\colon \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}\leqslant1\biggr\}, \qquad a=3.6, \quad b=2.1; \\ \rho_*=2.7; \qquad \mathscr{M}=\operatorname{cl}(M_\varepsilon\setminus M), \quad\varepsilon=0.4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в варианте 2 имеем $M\subset M\cup\mathscr{M}\subset B(0;r)$, где $r=4$. Наша задача относительно системы (5.2) состоит в том, чтобы сконструировать (т.е. вычислить) для стабильных трактов $Z^0$ и $Y^0$ в задачах 1 и 2 (варианты 1 и 2) финитные аппроксимации $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, отвечающие конкретному разбиению $\Gamma=\{\tau_0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots ,\tau_N=\vartheta\}$ промежутка $[t_0,\vartheta]=[0,1]$ с диаметром $\Delta=\Delta(\Gamma)=\Delta_i=0.005$. Для системы (5.2) определим параметры (числовые величины и функции), участвующие в формировании множеств $A^\Gamma(\tau_i)$ и $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$ и, следовательно, множеств $\{\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$, $\tau_i\in\Gamma$. Определение параметров проведем для варианта 1. В варианте 2 эти параметры, участвующие в формировании множеств $A^\Gamma(\tau_i)$ и $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, определяются аналогично. Итак, сначала выделим в $[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^2$ цилиндрическую область $\mathscr{D}$, в которой содержатся все составляющие конструкций, разрешающих задачи 1 и 2. Для этого обозначим символом $\mathscr{Z}$ интегральную воронку управляемой системы
$$
\begin{equation}
\frac{dz}{d\tau}=-h(z)-a(z)u-b(z)v, \qquad z\in\mathbb{R}^2, \quad \tau\in[t_0,\vartheta]=[0,1],
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
со стартовым (т.е. начальным) множеством $\mathscr{Z}^{(0)}=M\cup\mathscr{M}$, отвечающим моменту $\tau_0=t_0=0$. Область $\mathscr{D}$ выберем настолько большой, чтобы она содержала $\mathscr{Z}$ с некоторым “запасом”: $\mathscr{Z}_\rho\subset \mathscr{D}$, где $\rho$ – некоторое положительное число. Для этого вычислим $K\in(0,\infty)$, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation}
\max_{\substack{(\tau,u,v)\in[t_0,\vartheta]\times P\times Q \\ ((\tau,z(\tau))\colon \tau\in[t_0,\vartheta])\in\mathscr{Z}}} \|h(z(\tau))+a(z(\tau))u+b(z(\tau))v\|\leqslant K;
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
здесь $((\tau,z(\tau))\colon \tau\,{\in}\,[t_0,\vartheta])$ – движение системы (5.3), записанное в пространстве позиций $(\tau,z)$ системы (5.3). При любых $(\tau,z)\in[t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^2$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f(z,u,v)\| &\leqslant \|h(z)\|+a(z)\|u\|+b(z)\|v\| \\ &\leqslant \biggl\|\begin{pmatrix}-z_2\\z_1\end{pmatrix}\biggr\|+\alpha(\|z\|)\cdot(1-e^{-\|z\|})\|u\| +\beta(\|z\|)\cdot\frac{\|z\|}{1+\|z\|}\|v\| \\ &\leqslant \|z\|+\frac{1}{100}\cdot(1-e^{-\|z\|})\cdot\frac12 +\frac{1}{100}\cdot\frac{\|z\|}{1+\|z\|}\cdot\frac12\leqslant\|z\|+\frac{1}{100}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем, что для любого движения $z(\tau)$, $\tau\in[t_0,\vartheta]$, $z(\tau_0)\in\mathscr{Z}^{(0)}=\mathscr{Z}(\tau_0)$, системы (5.3) справедливо неравенство при $\tau\in[t_0,\vartheta]$
$$
\begin{equation}
\frac{d\|z(\tau)\|}{d\tau}\leqslant \biggl\|\frac{dz(\tau)}{d\tau}\biggr\|\leqslant \|z(\tau)\|+\frac{1}{100}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Воспользуемся для оценки величины $\|z(\tau)\|$, $\tau\in[t_0,\vartheta]$, леммой Гронуолла (см. [35; гл. 2, § 1, лемма 2.1.2]). Справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|z(\tau)\|\leqslant r\cdot \exp\biggl(\int_{t_0}^\tau 1\cdot ds\biggr) +\frac{1}{100}\int_{t_0}^\tau \exp\biggl(\int_{s}^\tau 1\cdot d\xi\biggr)\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\|z(\tau)\|\leqslant r\cdot e^{(\tau-t_0)}+\frac{1}{100}\int_{t_0}^\tau e^{(\tau-s)}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, учитывая равенство $r=3.2$, получаем
$$
\begin{equation}
\|z(\tau)\|\leqslant3.2\cdot e^1+\frac{1}{100}e^1<3.3\cdot e^1<3.3\cdot 2.72\approx 7.876<7.9.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Учитывая (5.6), полагаем
$$
\begin{equation*}
\mathscr{\mathscr{D}}=[t_0,\vartheta]\times B(0;7.9)=[0,1]\times B(0;7.9)\subset [t_0,\vartheta]\times\mathbb{R}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (5.6), получаем
$$
\begin{equation}
\|f(z(\tau),u(\tau),v(\tau))\|\leqslant \|z(\tau)\|+\frac{1}{100}<8;
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
здесь $u(\tau)$ и $v(\tau)$, $\tau\in[t_0,\vartheta]=[0,1]$, – допустимые управления игроков, порождающие движение $(z(\tau)\colon \tau\in[t_0,\vartheta])$ системы (5.3). Полагаем $K=8$. Определим также для вектор-функции $f(z,u,v)$ постоянную Липшица по $z$ – число $L\in(0,\infty)$. Очевидно, что вектор-функция $\displaystyle f(z)=\begin{pmatrix}-z_2\\z_1\end{pmatrix}$ имеет постоянную Липшица $L_f=1$, вектор-функции $a(z)u$ и $b(z)v$ ($u\in P$, $v\in Q$) имеют постоянные Липшица $L_a=L_b={1}/{200}$. Следовательно, постоянная Липшица для $f(z,u,v)$ по $z$ равна $L=L_f+L_a+L_b=1.01$. Введем разбиение $\Gamma=\{\tau_0=0,\tau_1,\dots ,\tau_i,\dots ,\tau_N=1\}$, $N=200$, промежутка $[t_0,\vartheta]=[0,1]$, $\Delta=\Delta(\Gamma)=0.005$. Введем также функцию $\omega(\delta)=\delta\cdot\varphi(\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$, где функция $\varphi(\delta)$ в общем случае управляемой системы (5.2) (и, следовательно, системы (5.3)) определена равенством $\varphi(\delta)=\omega^*((1+K)\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$. Однако поскольку система (5.2) стационарна, то формулу для функции $\varphi(\delta)$ можно заменить формулой $\varphi(\delta)=\omega^*(K\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$, где в качестве функции $\omega^*(\rho)$, $\rho\in(0,\infty)$, можно взять модуль непрерывности функции $f(z,u,v)$ по $z$
$$
\begin{equation*}
\omega^*(\rho)=L\cdot\rho=1.01\rho, \qquad \rho=(0,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате для системы (5.2) ((5.3)) в качестве функции $\varphi(\delta)$, $\delta\in(0,\infty)$, рассматриваем функцию $\varphi(\delta)=\omega^*(K\delta)=1.01K\delta=8.08\delta$, $\delta\in(0,\infty)$. Запишем для системы (5.3) множества, участвующие в формировании аппроксимирующей системы $\{A^\Gamma(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$. Пусть $t_0\leqslant\tau_*<\tau^*\leqslant\vartheta$ и $z_*,Z_*\in\mathbb{R}^2$. Полагаем
$$
\begin{equation}
\nonumber A_v^\Gamma(\tau^*,\tau_*,z_*)=z_*\,{-}\,\Delta(h(z_*)\,{+}\,a(z_*)\cdot P\,{+}\,b(z_*)v)\,{+}\,1.01K\Delta^2\cdot B(0;1), \qquad v\,{\in}\, Q;
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} A_v^\Gamma(\tau^*,\tau_*,Z_*) &=\bigcup_{z_*\in Z_*}A_v^\Gamma(\tau^*,\tau_*,z_*) \\ &=\bigcup_{z_*\in Z_*}\biggl\{(z_*\,{-}\,\Delta h(z_*)\,{-}\,b(z_*)v)\,{+}\,\Delta \biggl({-}\frac12a(z_*)\,{+}\,1.01K\Delta\biggr)B(0;1)\biggr\}; \end{split}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
$$
\begin{equation}
A^\Gamma(\tau^*,\tau_*,Z_*)=\bigcap_{v\in Q}A_v^\Gamma(\tau^*,\tau_*,Z_*).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Множества $A^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, из аппроксимирующей системы, отвечающей разбиению $\Gamma$, определяются рекуррентными соотношениями
$$
\begin{equation}
A^\Gamma(\tau_0)=M, \qquad A^\Gamma(\tau_i)=A^\Gamma(\tau_{i},\tau_{i-1},A^\Gamma(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Однако в рассматриваемой задаче множества (5.8), (5.9) несчетны, и в их определении задействованы операции объединения и пересечения, исключающие возможность их точного вычисления. Поэтому в этой задаче о сближении мы вынуждены заменить множества, присутствующие в формулах (5.8)–(5.10), достаточно близкими финитными множествами в $\mathbb{R}^2$. В итоге финитные множества $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$ (подменяющие $A^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$), вычисляются по формулам, аналогичным формулам (5.8)–(5.10). Особенность подмены состоит в том, что в новых формулах участвуют наряду с исключительно финитными множествами аналоги операции пересечения множеств. Новые формулы принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\widetilde{A}^{\,\Gamma}_v(\tau^*,\tau_*,\widetilde{Z}_*) =\bigcup_{z_*\in\widetilde{Z}_*}\widetilde{A}^{\,\Gamma}_v(\tau^*,\tau_*,z_*) \\ &\qquad=\bigcup_{z_*\in\widetilde{Z}_*}\biggl\{(z_*-\Delta h(z_*)-\Delta b(z_*)v) +\Delta\biggl(-\frac12 a(z_*)+1.01K\Delta\biggr)\widetilde{B}(0;1)\biggr\}, \end{split}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau^*,\tau_*, \widetilde{Z}_*)=\bigcap_{v\in \widetilde{Q}}\widetilde{A}^{\,\Gamma}_v(\tau^*,\tau_*, \widetilde{Z}_*);
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
здесь $\widetilde{Z}_*$, $\widetilde{Q}$, $\widetilde{B}(0;1)$ – финитные аппроксимации множеств $Z_*$, $Q$, $B(0;1)$ в $\mathbb{R}^2$. Множества $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, вычисляются на основе рекуррентных соотношений
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_0)=\widetilde{M}, \qquad\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)=\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i,\tau_{i-1},\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_{i-1})), \quad i=1,\dots,N;
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
здесь $\widetilde{M}$ – финитная аппроксимация множества $M$. Схема, аналогичная схеме (5.11)–(5.13), применяется и для вычисления множеств $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, аппроксимирующих множества $\mathcal{A}^\Gamma(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, в задаче 2. После вычисления систем $\{\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ из них выделяются множества $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, соответствующие в $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ границам $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ множеств $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, и компонентам связности $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ множеств $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$. Эти множества $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, есть финитные множества в $\mathbb{R}^2$. Однако они настолько густые, что визуально представляются в виде замкнутых кривых в $\mathbb{R}^2$. Множества $\partial Z^0(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, заключены между этими финитными множествами $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)$ и $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Тем самым мы считаем, что не поддающаяся в этой задаче точным вычислениям граница $\partial Z^0(\tau_i)$ множества $Z^0(\tau_i)$ – временно́го сечения тракта $Z^0$ в задаче 1 – локализована. Параллельно, вычислив величины $\widetilde{\gamma}^{(i)} =d(\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i), \partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i))$, $\tau_i\in\Gamma$, мы устанавливаем точность выделения границ $\partial Z^0(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Ниже приведем графические представления результатов вычисления систем $\{\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ из $\mathbb{R}^2$ в рассматриваемом примере. Напомним, что в примере анализируются два варианта относительно целевых множеств $M$ и $\mathscr{M}$ в игровых задачах 1, 2. Каждому варианту соответствует серия из шести рисунков. Рассмотрение двух вариантов мотивировано желанием показать, что результаты приближенных вычислений множеств $Z^0$ и $Y^0$ в определенной мере не случайны. В обеих сериях рисунков (рис. 4–9) и (рис. 10–15) приведены изображения множеств $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ и $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$, $\tau_k=40\Delta k=0.2k$, $k=0,\dots,5$, соответствующие вариантам 1 и 2. При этом границы $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ множеств $\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ представлены сплошными кривыми на плоскости $\mathbb{R}^2$, а границы $\partial\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ множеств $\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ представлены парами штриховых кривых $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ и $\partial^+\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ на плоскости $\mathbb{R}^2$. На самом деле все эти кривые есть достаточно густые финитные множества в $\mathbb{R}^2$. Множества $\partial Z^0(\tau_k)$, $\tau_k\in\Gamma$, – границы сечений $Z^0(\tau_k)$, $\tau_k\in\Gamma$, интегральной воронки $Z^0$ системы (5.3) – заключены между финитными множествами $\partial \widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ и $\partial^-\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$, $\tau_k\in\Gamma$ (см. рис. 3–8 и рис. 9–14). На рис. 3–8 и рис. 9–14 видно, что кривые $\partial\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_k)$ и $\partial^- \widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_k)$, $\tau_k\in\Gamma$, близки друг к другу и некоторые их участки совпадают. Это позволяет нам сделать вывод о достаточно точной локализации границ $\partial Z^0(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$. Эта достаточно точная локализация есть, в свою очередь, следствие достаточно точных аппроксимаций наборов $\{Z^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{Y^0(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ системами $\{\widetilde{A}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$ и $\{\widetilde{\mathcal{A}}^{\,\Gamma}(\tau_i)\colon \tau_i\in\Gamma\}$. Локализация границ $\partial Z^0(\tau_i)$, $\tau_i\in\Gamma$, означает вместе с тем локализацию границ $\partial W^0(t_j)$, $t_j\in\Gamma$, множеств $W^0(t_j)$, $t_j\in\Gamma$, – сечений множества разрешимости $W^0$ в игровой задаче 1. В заключение отметим, что приведеный пример подтверждает эффективность предложенного в настоящей работе подхода по локализации границы $\partial W^0$ множеств разрешимости $W^0$ в игровых задачах о сближении типа задачи 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ErsUshUsh21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|