| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Новые компоненты пространства модулей расслоений ранга 2 на проективном пространстве Ч. Алмейдаa, М. Жардимb, А. С. Тихомировc, С. А. Тихомировd a Department of Mathematics, Federal University of Minas Gerais, Belo Horizonte, Brazil b Department of Mathematics, Institute of Mathematics, Statistics and Scientific Computing, Campinas, Brazil c Факультет математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва d Физико-математический факультет, Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9490 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1.В работе [34] М. Маруяма доказал, что стабильные векторные расслоения ранга $r$ на проективной схеме $X$ с фиксированными классами Черна $c_1,\dots ,c_r $ могут быть параметризованы алгебраическим квазипроективным многообразием, обозначаемым $\mathcal{B}_{X}(r,c_1,\dots ,c_r)$. Хотя этот результат известен почти 40 лет, имеется всего несколько конкретных примеров и установленных фактов о таких многообразиях даже для случая $X = \mathbb{P}^3$ и $r=2$. Например, $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,0,1)$ было изучено В. Бартом в [3], $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,0,2)$ было описано Р. Хартсхорном в [19], $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,-1,2)$ изучалось Р. Хартсхорном и И. Сольсом в [22] и Н. Манолахе в [33], в то время как $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,-1,4)$ было описано К. Баникой и Н. Манолахе в [1]. Вероятно, это связано с тем, что вопрос неприводимости (решенный в [38] и [39]) и вопрос гладкости (решенный в [28]) так называемой инстантонной компоненты пространства модулей $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,0,c_2)$ для всех $c_2\in\mathbb{Z}_+$ оставались открытыми вплоть до 2014 г. 1.2.В настоящей статье мы продолжаем изучение пространства модулей $\mathcal{B}_{\mathbb{P}^3}(2,0,n)$, которое с этого момента мы будем для простоты обозначать через $\mathcal{B}(n)$, и нашей целью является получение новых примеров семейств векторных расслоений и выяснение их геометрии. Из таблицы в [21; п. 5.3] более или менее очевидно, что пространства $\mathcal{B}(1)$ и $\mathcal{B}(2)$ должны быть неприводимыми, в то время как пространства $\mathcal{B}(3)$ и $\mathcal{B}(4)$ должны иметь в точности две неприводимые компоненты; см. доказательства утверждений о $\mathcal{B}(3)$ и $\mathcal{B}(4)$ в [16] и [11] соответственно. Что касается $\mathcal{B}(5)$, то описание всех его неприводимых компонент было трудной проблемой начиная с 1980-х годов. В настоящей статье мы даем полное решение данной проблемы (см. теорему 2). Для $n\geqslant5$ были изучены два семейства неприводимых компонент, а именно инстантонные компоненты, общая точка которых соответствует инстантонному расслоению, и компоненты Эйна, общая точка которых соответствует расслоению, получаемому как когомология монады вида
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-c) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-b) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(a) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(b) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(c) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b\geqslant a\geqslant 0$ и $c>a+b$. В [31] было доказано, что компоненты Эйна являются рациональными многообразиями. Все компоненты пространства $\mathcal{B}(n)$ для $n\leqslant4$ являются компонентами одного из этих двух типов; здесь мы сосредоточимся на новом семействе расслоений, которые появляются при $n\geqslant5$. Более точно, мы изучаем множество векторных расслоений из $\mathcal{B}(a^2+k)$ для всех $a\geqslant2$ и $k\geqslant1$, которые возникают как когомологии монад вида
$$
\begin{equation}
0 \to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \oplus V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to V_{2k+4}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \to V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \oplus {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a) \to 0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
которое мы будем обозначать через $\mathcal{G}(a,k)$. Мы устанавливаем биекцию между этими монадами и монадами вида
$$
\begin{equation*}
0 \to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \xrightarrow{\sigma} \widetilde{E} \xrightarrow{\tau} {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{E}$ является симплектическим инстантонным расслоением ранга 4 и заряда $k$. 1.3.В случае $k=1$ эти факты используются для доказательства нашего первого основного результата. Теорема 1. Для каждого $a\,{\geqslant}\,2$, не равного 3, $\mathcal{G}(a,1)$ является неособым плотным подмножеством рациональной неприводимой компоненты пространства $\mathcal{B}(a^2+1)$, имеющей размерность Наш второй основной результат дает полное описание всех неприводимых компонент пространства $\mathcal{B}(5)$. Теорема 2. Пространство модулей $\mathcal{B}(5)$ имеет в точности три неприводимые рациональные компоненты, а именно: 1) инстантонную компоненту размерности 37, которая является неособой и состоит из расслоений, получающихся как когомологии монад вида
$$
\begin{equation}
0 \to V_{5}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to V_{12}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \to V_{5}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to 0
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
либо вида
$$
\begin{equation}
0 \to V_{2}\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-2) \to V_{3}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \oplus V_{3}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2) \to 0;
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
2) неособую компоненту Эйна размерности 40, которая состоит из расслоений, получающихся как когомологии монад вида
$$
\begin{equation}
0 \to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-3) \to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2) \oplus V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \oplus {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2) \to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(3) \to 0;
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
3) компоненту размерности 37 – замыкание множества $\mathcal{G}(2,1)$, состоящую из расслоений, получающихся как когомологии монад вида
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to V_{6}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2) \to0
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
либо вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\oplus V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus V_{6}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \\ &\to V'_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\oplus {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2) \to 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
1.4.Р. Хартсхорн и А. П. Рао доказали в [21], что каждое стабильное расслоение $\mathcal{E}$ ранга 2 на $\mathbb{P}^3$ с классами Черна $c_1(\mathcal{E})=0$ и $c_2(\mathcal{E})=5$ является когомологией одной из монад, перечисленных выше. А. П. Рао показал в [36], что расслоения, задаваемые как когомологии монад вида (1.3), лежат в замыкании семейства инстантонных расслоений заряда 5, неприводимость которого впервые была доказана И. Коандой, А. С. Тихомировым и Г. Траутманном в [13]; см. также [38]. Неприводимость семейства расслоений, которые получаются как когомологии монад вида (1.4), была установлена Л. Эйном в [15]. Факт о том, что замыкание множества $\mathcal{G}(2,1)$ – неприводимая рациональная компонента $\mathcal{B}(5)$, является частным случаем при $a=2$ основной теоремы 1. В заключение мы показываем, что множество расслоений, задаваемых монадами вида (1.6), лежит в замыкании множества $\mathcal{G}(2,1)$. Дадим теперь краткое описание содержания статьи. В § 2 мы напоминаем некоторые общие свойства монад и симплектических инстантонных расслоений на $\mathbb{P}^3$. Наиболее подробно мы рассматриваем симплектические инстантоны ранга 4 и заряда 1. Каждое такое расслоение $E$ описывается как средний член точной тройки с тривиальным расслоением ранга 2 слева и нуль-корреляционным пучком ранга 2 справа. В § 3 мы изучаем множество $\mathcal{G}(a,k)$ (классов изоморфизма) так называемых модифицированных инстантонных расслоений, которые являются расслоениями ранга 2, возникающими как когомологические расслоения монад вида (1.1) с $a\geqslant2$ и $k\geqslant1$. Мы показываем, что всякий модифицированный инстантон возникает как когомологическое расслоение монады вида
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\to0,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $E$ – симплектический инстантон ранга 4 и заряда $k$. В случае $k=1$ это свойство будет существенным для дальнейших построений. В § 4 мы изучаем множество $\mathcal{G}(a,1)$. Мы строим три семейства симплектических монад вида (1.7). Первое является универсальным семейством монад с базой – схемой $S$, в которых расслоение $E$ расщепляется как $E={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}\oplus N$, где $N$ – нуль-корреляционное расслоение. Второе – это семейство монад с базой $\widetilde{S}$, содержащей схему $S$ как плотное открытое подмножество, в которых $E$ – общий симплектический инстантон ранга 4 с зарядом 1. Третье есть семейство монад с $E$, расщепляющимся, как в первом случае, но с новой базой $Y$. Все три семейства наследуют универсальные когомологические пучки, и показано, что образы соответствующих модулярных морфизмов $\mathcal{L}(a^2+1)$ этих семейств имеют одно и то же замыкание $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$ (см. предложения 7 и 8). В § 5 вышеупомянутые три семейства используются для доказательства основной теоремы 1 (см. теорему 2). В § 6 и § 7 изучаются монады вида (1.6). В § 6 мы показываем, что когомологические пучки $\mathcal{E}$ тех из таких монад, которые не сводятся к монадам вида (1.5), тесно связаны (двумя последующими элементарными преобразованиями; см. предложение 9) с рефлексивными пучками ранга 2 с классами Черна $(0,2,2k)$, $0\leqslant k\leqslant3$. Полная классификация компонент пространств модулей этих рефлексивных пучков, выполненная в § 7 (см. предложения 10 и 11), приводит к оценке размерности, данной в теореме 4, для подмножества расслоений $\mathcal{E}$, указанных выше. Отсюда следует, что данное подмножество не является компонентой в $\mathcal{B}(5)$, и мы используем это в § 8 для доказательства основной теоремы 2. Обозначения и соглашенияВ настоящей работе $\mathbf{k}$ – алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. $V_n$ и соответственно $U_n$ обозначают $\mathbf{k}$-векторные пространства размерности $n$. $\langle v\rangle$ – одномерное подпространство в $V_n$, порожденное ненулевым вектором $v\in V_n$. $\mathbf{P}(F):=\operatorname{Proj}(\mathrm{Sym}^{\bullet} _{\mathcal{O}_X}F)$ – проективный спектр $F$ когерентного $\mathcal{O}_X$-пучка $F$ на заданной схеме $X$. $\mathcal{O}_{\mathbf{P}(F)}(1)$ – пучок Гротендика на $\mathbf{P}(F)$. $\mathbf{V}(F):=\mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}^{\bullet} _{\mathcal{O}_X}F)$ для тех же $X$ и $F$, что и выше. $\mathbb{P}^3:=P(U_4)$ – трехмерное проективное пространство. $\mathbf{Isom}(V_n\otimes\mathcal{O}_X,F)\to X$ – главное $\mathrm{GL}(n,\mathbf{k})$-расслоение реперов локально свободного $\mathcal{O}_X$-пучка $F$ ранга $n$. $\mathbf{X}:=\mathbb{P}^3\times X$ для заданной схемы $X$. $p_X\colon \mathbf{X}\to X$ – проекция на второй сомножитель, где $\mathbf{X}$ и $X$ указаны выше. $\mathbf{f}\colon \mathbf{X}\to\mathbf{Y}$ – морфизм, индуцированный морфизмом схем $f\colon X\to Y$. $F_X:=f^*F$, $\varphi_X:=f^*\varphi\colon F_X\to G_X$, $\mathbf{E}_{\mathbf{X}}:={\mathbf{f}}^*\mathbf{E}$, где $F$ – заданный $\mathcal{O}_Y$-пучок, $\varphi\colon F\to G$ – заданный морфизм $\mathcal{O}_Y$-пучков, $\mathbf{E}$ – заданный $\mathcal{O}_{\mathbf{Y}}$-пучок (или комплекс пучков), а $f\colon X\to Y$ и $\mathbf{f}\colon \mathbf{X}\to \mathbf{Y}$ – вышеуказанные морфизмы. $\mathbf{E}(a,0):=\mathbf{E}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\boxtimes \mathcal{O}_X$, где $X$ и $\mathbf{E}$ те же, что и выше, и $a\in \mathbb{Z}$. $X\xleftarrow{g_X}X\times_ZY\xrightarrow{f_Y}Y$ – проекции расслоенного произведения $X\times_ZY$, индуцированные морфизмами $X\xrightarrow{f}Z\xleftarrow{g}Y$. $H^i(F)$ – $i$-я группа когомологий пучка $F$ на $\mathbb{P}^3$. $\mathrm{Gr}(n,V_k)$ – грассманово многообразие $n$-мерных подпространств $V_k$. Многообразие означает интегральную (т.е. приведенную и неприводимую) схему. Поскольку мы работаем с векторными расслоениями ранга 2 на $\mathbb{P}^3$ и стабильность по Гизекеру для них эквивалентна $\mu$-стабильности, мы не будем делать различия между этими двумя понятиями. Мы не будем делать различия между векторными расслоениями и локально свободными пучками. $[E]$ – класс изоморфизма заданного пучка $E$ на $\mathbb{P}^3$; когда $\mathcal{E}$ – стабильный пучок ранга 2 на $\mathbb{P}^3$, $[\mathcal{E}]$ также рассматривается как точка в пространстве модулей $M$ стабильных пучков ранга 2 на $\mathbb{P}^3$. $\Phi_X\colon X\to M$, $x\mapsto[\mathbf{E}|_{\mathbb{P}^3\times\{x\}}]$, – морфизм, определенный $\mathcal{O}_{\mathbf{X}}$-пучком $\mathbf{E}$, являющимся семейством стабильных векторных расслоений ранга 2 на $\mathbb{P}^3$ с базой $X$ для вышеуказанного пространства $M$. Мы называем $\Phi_X$ модулярным морфизмом, определенным семейством $\mathbf{E}$. $\mathcal{R}(e,n,m)$ – множество классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга 2 на $\mathbb{P}^3$ с классами Черна $(c_1,c_2,c_3)=(e,n,m)$. $\ell(Y):=h^0(\mathcal{O}_Y)$ – длина нульмерной схемы $Y$. $\mathrm{H}^{1}_{*}(E)=\bigoplus_{i\in\mathbb{Z}}\mathrm{H}^1(E(i))$ – градуированный модуль когомологий над градуированным кольцом $\Gamma_*({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}):=\bigoplus_{j\geqslant0}\mathrm{H}^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(j))$. $(s)_0:=\{x\in X\mid s(x)=0\}$ – схема нулей сечения $s$ заданного векторного расслоения на схеме $X$. $\mathrm{Sp}(\mathcal{E})$ – спектр векторного расслоения $[\mathcal{E}]\in\mathcal{B}(5)$, т.е. неубывающая последовательность целых чисел $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$, однозначно определенная расслоением $\mathcal{E}$ (см. [5], [20; § 7]). Все коммутативные диаграммы пучков, которые не содержат монад, предполагаются имеющими точные строки и столбцы. В этих диаграммах стрелки $F\rightarrowtail G$ и соответственно $F\twoheadrightarrow G$ являются сокращениями для $0\to F\to G$ и соответственно $F\to G\to0$. БлагодарностиЧ. Алмейда благодарен за гостеприимство Университету Барселоны, где была частично выполнена настоящая работа во время визита в 2018 г. М. Жардим благодарит Университет Эдинбурга, где частично была выполнена работа во время визита в 2018 г. А. С. Тихомиров благодарит за поддержку Математический институт им. Макса Планка в Бонне, где часть настоящей работы была выполнена зимой 2017 г. Авторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания и предложения по улучшению статьи. § 2. Монады и симплектические инстантонные расслоения2.1.Напомним, что монада – это комплекс векторных расслоений вида
$$
\begin{equation}
0\to A\xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C\to 0
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
такой, что $\alpha$ инъективно и $\beta$ сюръективно. Мы называем пучок $E := \ker \beta / \operatorname{im} \alpha $ когомологией (или когомологическим пучком) монады (2.1). Если $\alpha$ локально обратимо слева (т.е. является морфизмом подрасслоения), то $E$ – векторное расслоение. Понятие монады важно при изучении векторных расслоений на $\mathbb{P}^3$, поскольку Г. Хоррокс доказал в [23], что каждое векторное расслоение на $\mathbb{P}^3$ является когомологией монады вида (2.1) с $A$, $B$ и $C$ – прямыми суммами линейных расслоений. Для полноты изложения приведем некоторые полезные результаты о монадах, которые потребуются в настоящей работе. Следующая лемма дает связь между классами изоморфизма монад и их когомологических векторных расслоений; доказательство можно найти в [35; лемма 4.1.3]. Лемма 1. Пусть $E$ и $E'$ суть когомологии следующих монад: Следующее важное следствие будет использовано несколько раз в дальнейшем; его доказательство можно найти в [35; лемма 4.1.3, следствие 2]. Следствие 1. Рассмотрим монаду $M$ и двойственную к ней монаду $M^{\vee}$, где Напомним, что каждый локально свободный пучок $E$ на $\mathbb{P}^3$ является когомологией монады вида (см. [23])
$$
\begin{equation}
0 \to \bigoplus_{i = 1}^{r} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(a_i) \to \bigoplus_{j = 1}^{s} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(b_j) \to \bigoplus_{k = 1}^{t} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(c_k) \to 0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В настоящей работе нас будут интересовать локально свободные пучки ранга 2 с первым классом Черна, равным нулю. При этом условии мы имеем $E^{\vee} \simeq E$, и это влечет, что $t = r$, $s=2r+2$ и $\{a_i\} = \{-c_k\}$. Вдобавок средний член монады для $E$ также является самодвойственным, и тем самым (2.4) сводится к монаде
$$
\begin{equation*}
0 \to \bigoplus_{i = 1}^{r} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(a_i) \to \bigoplus_{j = 1}^{r+1} \left( \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(b_j)\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-b_j) \right) \to \bigoplus_{i = 1}^{r} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-a_i) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $r$ совпадает с числом образующих $\mathrm{H}^{1}_{*}(E) = \bigoplus_{p \in \mathbb{Z}} \mathrm{H}^{1}(E(p))$ как градуированного модуля над кольцом однородных многочленов от четырех переменных, в то время как $a_i$ являются степенями этих образующих; см. [27; теорема 2.3]. 2.2.Инстантонные расслоения представляют собой особенно важный класс стабильных векторных расслоений ранга 2 благодаря их многочисленным замечательным свойствам и приложениям в математической физике. Кроме того, инстантонные расслоения образуют единственную известную неприводимую компоненту пространства модулей $\mathcal{B}(c)$ для каждого $c\in\mathbb{N}$. В оставшейся части данного параграфа мы представим основные результаты, касающиеся инстантонных пучков, которые будут использоваться ниже. Начнем с напоминания определения инстантонных пучков на $\mathbb{P}^3$; см. [25; введение] для дальнейшей информации об этих объектах. Определение 1. Инстантонный пучок на $\mathbb{P}^3$ – это когерентный пучок $E$ без кручения с $c_1(E)=0$, удовлетворяющий следующим когомологическим условиям: Целое число $n:=c_2(E)$ называется зарядом пучка $E$. Когда пучок $E$ локально свободен, мы говорим, что $E$ – инстантонное расслоение. Заметим, что инстантонные расслоения ранга $r>2$ и нелокально свободные инстантонные пучки ранга $r\geqslant2$ на $\mathbb{P}^3$ не являются, вообще говоря, $\mu$-полустабильными, и зануление $h^1(E(-2))$ не влечет зануление $h^2(E(-2))$. Приведенное выше определение является правильным обобщением обычного определения инстантонного векторного расслоения в том смысле, что при применении спектральной последовательности Бейлинсона (см. [35; гл. II, теорема 3.1.4])
$$
\begin{equation}
\mathrm{E}_1^{pq}\,{=}\,H^q(E(-p-1)\otimes\Omega_{\mathbb{P}^3}^{-p})\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(p+1) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{E}^{p+q}_{\infty}= \begin{cases} E, & p+q=0, \\ 0, & p+q\ne0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
к произвольному инстантонному пучку $E$ ранга $r$ и заряда $k$ получаем ввиду зануления (2.5), что $E$ – когомология монады вида
$$
\begin{equation}
0 \to V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to V_{r+2k}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \to V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to 0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Заметим, что, наоборот, когомология монады (2.7) является инстантонным пучком в смысле определения 1; см. [25; теорема 3]. Коядро $N$ любого мономорфизма пучков $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to \Omega^1_{\mathbb{P}^3}(1)$ называется нуль-корреляционным пучком:
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{s}\Omega_{\mathbb{P}^3}^1(1)\to N \to0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Такие пучки являются в точности инстантонными пучками ранга 2 и заряда $1$ и параметризованы проективным пространством $\mathbb{P}H^0(\Omega^1_{\mathbb{P}^3}(2))\simeq \mathbb{P}^5$. Если пучок $N$ локально свободен, то мы говорим, что $N$ – нуль-корреляционное расслоение. Множество нуль-корреляционных пучков, не являющихся локально свободными, параметризовано грассманианом прямых в $\mathbb{P}^3$: для заданной прямой $l\subset\mathbb{P}^3$ соответствующий нуль-корреляционный пучок $N_l$ определен с точностью до изоморфизма точной последовательностью
$$
\begin{equation}
0 \to N_l\to V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\varepsilon} \mathcal{O}_l(1)\to 0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
2.3.Для целей настоящей работы важно изучить свойства инстантонных расслоений ранга 4 и заряда 1. Некоторые из следующих фактов об инстантонных расслоениях могут быть хорошо известны, но из-за отсутствия ссылок мы приводим здесь их доказательства. Лемма 2. Каждое инстантонное расслоение $E$ ранга 4 и заряда 1 на $\mathbb{P}^3$ включается в точную последовательность: Доказательство. Как отмечалось в п. 2.2, $E$ может быть получено как когомология монады (2.7) для $r=4$ и $k=1$:
$$
\begin{equation}
M_E\colon \quad 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \xrightarrow{\alpha} V_6 \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3} \xrightarrow{\beta} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to 0.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Без потери общности мы можем выбрать однородные координаты $[x:y:z:w]$ в $\mathbb{P}^3$ и базис в $V_6$ такие, в которых отображение $\beta$ может быть записано как
$$
\begin{equation}
\beta := \bigl(\ x \ \ y\ \ z\ \ w\ \ 0\ \ 0 \ \bigr).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Поэтому, переходя к дисплею монады (2.12), мы получаем, что $E$ включается в следующую короткую точную последовательность:
$$
\begin{equation}
0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to V_2 \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3} \oplus \Omega(1)\to E \to 0.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Из этой короткой точной последовательности мы можем построить следующую коммутативную диаграмму: Крайний правый столбец здесь – искомая последовательность (2.10).
Если $N$ – локально свободный пучок, то $ \mathrm{Ext}^1(N,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}) \simeq H^1(N)=0$, так что последовательность (2.10) расщепляется. Равенство (2.11) следует из (2.10). Лемма доказана. Замечание 1. Предположим, что расслоение $E$ является когомологическим расслоением монады (2.12). Тогда простое когомологическое вычисление показывает, что $E$ – инстантонное расслоение ранга 4 и заряда 1. Заметим, что подстановка $N$ вместо $E$ в спектральную последовательность Бейлинсона (2.6) дает монаду для $N$:
$$
\begin{equation}
M_N\colon \quad 0\to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\overline{\alpha}} V_4\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\overline{\beta}}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0, \qquad N=\frac{\ker\overline{\beta}}{\operatorname{im}\overline{\alpha}},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
включающуюся вместе с монадой (2.12) в коммутативную диаграмму В этой диаграмме точный средний столбец получается из точной тройки $0\to V_2\to V_6\to V_4\to0$, возникающей как когомологическая последовательность для точной тройки $0\to V_2\otimes\Omega_{\mathbb{P}^3}\to E\otimes\Omega_{\mathbb{P}^3}\to N\otimes\Omega_{\mathbb{P}^3}\to0$, индуцированной тройкой (2.10). Вдобавок из (2.16) и (2.13) мы получаем
$$
\begin{equation}
\overline{\beta}=\bigl(\ x \ \ y\ \ z\ \ w\ \bigr).
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Предложение 1. Пусть $E$ – инстантонное расслоение ранга 4 и заряда 1 на $\mathbb{P}^3$. Тогда $h^0(S^2E)=3$, $h^1(S^2E)=5$, $h^2(S^2E)=0$. Доказательство. Если взять симметрическую степень последовательности (2.14), мы получим, что $S^2 E$ включается в следующую короткую точную последовательность:
$$
\begin{equation*}
0\to V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus\Omega\to(S^2 V_2 \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3})\oplus(V_2 \otimes\Omega(1))\oplus S^2 \Omega (2)\to S^2E\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из длинной точной последовательности когомологий для этой точной тройки мы имеем
$$
\begin{equation*}
0 \to S^2 V_2 \to H^0(S^2 E) \to \mathbf{k} \to \Lambda^2 U_4^{\vee} \to H^1(S^2 E) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $U_4$ – четырехмерное $\mathbf{k}$-векторное пространство такое, что $\mathbb{P}^3 = \mathbb{P}(U_4)$, и Отсюда мы получаем, что $H^2(S^2 E) = 0$. Отображение $\mathbf{k} \to \Lambda^2U_4^{\vee}$ задается кососимметрической формой, соответствующей морфизму $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \to \Omega(1)$ в (2.14) и, в частности, являющейся ненулевой. Это означает, что $\mathbf{k} \to \Lambda^2 U_4^{\vee}$ инъективно и тем самым откуда следует наш результат. Предложение доказано. 2.4.В оставшейся части этого параграфа мы обсудим существование симплектической структуры на произвольном инстантонном расслоении ранга 4 и заряда 1. Напомним, что локально свободный пучок $E$ называется симплектическим, если он допускает симплектическую структуру, т.е. существует изоморфизм $\varphi\colon E\xrightarrow{\sim} E^{\vee}$ такой, что $\varphi^{\vee}=-\varphi$. Симплектическое инстантонное расслоение – это пара $(E,\varphi)$, состоящая из инстантонного расслоения $E$ вместе с симплектической структурой $\varphi$ на нем; два симплектических инстантонных расслоения $(E,\varphi)$ и $(E',\varphi')$ изоморфны, если существует изоморфизм расслоений $g\colon E\stackrel{\sim}{\to} E'$ такой, что $\varphi=g^\vee\circ\varphi'\circ g$. Предложение 2. Любое инстантонное расслоение $E$ ранга 4 и заряда 1 допускает симплектическую структуру. В частности, если $E$ расщепляется как $E=V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus N$, где $N$ – нуль-корреляционное расслоение, то любая симплектическая структура $\varphi$ на $E$ расщепляется как $\varphi=\varphi_1\oplus\varphi_2$, где $\varphi_1$ и $\varphi_2$ – симплектические структуры на $V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ и $N$ соответственно. Доказательство. Пусть $E$ – инстантонное расслоение ранга 4. Если $E$ расщепляется как $E=V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus N$, где $N$ – нуль-корреляционное расслоение, то $\det(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=\det N={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$; следовательно, оба расслоения ранга 2, т.е. $V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ и $N$, допускают симплектические структуры, скажем, Тогда является симплектической структурой на $E$.
Поскольку
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hom}(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3},N) =\operatorname{Hom}(N,V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=0,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
то отсюда немедленно следует, что любая симплектическая структура на $E$ расщепляется, как в (2.19).
Заметим также, что ввиду (2.8)
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}^i(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3},N)=\operatorname{Ext}^i(N,V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=0, \qquad i\geqslant1.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Теперь пусть $E$ – нерасщепляющийся инстантон, т.е. $E/V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ – это нуль-корреляционный пучок $N_l$, который не является локально свободным в точках прямой $l$, заданной уравнениями, скажем, $\{x=y=0\}$. Это означает, что морфизм $\overline{\alpha}$ в монаде (2.15) для $N=N_l$ зануляется в $l$, так что
$$
\begin{equation}
\overline{\alpha}=A\binom{x}{y}, \qquad A=(\alpha_{ij}), \quad 1\leqslant i\leqslant4, \quad 1\leqslant j\leqslant2,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $A$ – $(4\times2)$-матрица ранга 2. Условие, что ${\overline{\beta} \mathbin{\circ}\overline{\alpha}}$ в (2.15) – нулевой морфизм, вместе с (2.22) и (2.17) влечет, что все коэффициенты $\alpha_{ij}$ матрицы $A$, исключая $\alpha_{12}$ и $\alpha_{21}$, зануляются и $\alpha_{12}+\alpha_{21}=0$. Поэтому, полагая без потери общности $\alpha_{12}=1$, получаем
$$
\begin{equation}
\overline{\alpha}= \begin{pmatrix} y \\ -x\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Поскольку когомологический пучок средней монады в (2.16) локально свободен, морфизм $\alpha$ в той диаграмме является морфизмом подрасслоения. Это вместе с (2.23) влечет снова без потери общности, что существует $(2\times2)$-матрица $C=(c_{ij})$ такая, что
$$
\begin{equation}
\alpha=\begin{pmatrix} y \\-x\\ 0\\ 0\\ c_{11}x+c_{12}y+z\\ c_{21}x+c_{22}y+w \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Теперь из (2.24) и (2.13) следует, что кососимметрическая $(6\times6)$-матрица $J$, состоящая из следующих $(2\times2)$-блоков:
$$
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix} Q & \mathbf{0} & -C^t \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & -\mathbf{1} \\ C & \mathbf{1} & \mathbf{0} \end{pmatrix}, \quad \text{где }\ Q=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условию $\alpha=J\beta^t$. Это означает, что, беря $-J$ в качестве матрицы симплектической формы $q\colon V_6\to V_6^{\vee}$ по отношению к указанному выше выбору базиса в $V_6$, мы получаем, что $\alpha$ и $\beta$ как морфизмы удовлетворяют условию $\beta=\alpha^{\vee}\circ q$. Другими словами, монада (2.12) является симплектической. Тогда согласно следствию 1 ее когомологическое расслоение $E$ также допускает симплектическую структуру. Предложение 2 доказано. § 3. Модифицированные инстантонные монады3.1.Теперь изучим монады вида (1.1) с $a\geqslant2$ и $k\geqslant1$:
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\oplus V_{k}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha}V_{2k+4} \otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\beta}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\oplus V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
которые мы называем модифицированными инстантонными монадами. Множество классов изоморфизма расслоений, получаемых как когомологии таких монад, будет обозначаться $\mathcal{G}(a,k)$. Отметим, что из определения $\mathcal{G}(a,k)$ не следует его непустота. Предложение 3. Для каждых $a\geqslant2$ и $k\geqslant1$ семейство $\mathcal{G}(a,k)$ непусто и содержит стабильные расслоения, в то время как каждое $[\mathcal{E}]\in \mathcal{G}(a,k)$ является $\mu$-полустабильным. Кроме того, каждое $[\mathcal{E}]\in\mathcal{G}(a,1)$ стабильно. Доказательство. Пусть $F$ – инстантонное расслоение ранга $2$ и заряда $k$. Пусть $a \geqslant 2$, и возьмем сечение $\sigma \in \mathrm{H}^0(F(2a))$ такое, что его схема нулей $X:=(\sigma)_0$ является кривой; такое $\sigma$ всегда существует, если, например, $F$ – инстантонное расслоение Хуфта. Пусть $Y$ – кривая полного пересечения, заданная пересечением двух поверхностей степени $a$, такая, что $X \cap Y = \varnothing$. Согласно [21; лемма 4.8] существуют расслоение $E$ и сечение $\tau \in\mathrm{H}^0(E(a))$ такое, что $(\tau)_{0}=Y\cup X$, и $E$ является когомологией монады вида (3.1). Вдобавок, поскольку $F$ стабильно, $X$ не содержится в какой-либо поверхности степени $a$, а следовательно, $Y\cup X$ не содержится в поверхности степени $a$, и $\mathcal{E}$ также стабильно.
Можно легко проверить, что каждое $[\mathcal{E}]\in\mathcal{G}(a,k)$ удовлетворяет условию $h^0(\mathcal{E}(-1))=0$ и, таким образом, $\mathcal{E}$ является $\mu$-полустабильным. Теперь зафиксируем $k=1$ и предположим, что существует нестабильное расслоение $[\mathcal{E}]\in \mathcal{G}(a,1)$, а значит, удовлетворяющее условию $h^0(\mathcal{E})\ne0$; см. [35; гл. II]. Полагая $K:=\ker\beta$, получаем, что $h^0(K)\ne0$, и, следовательно, фактор $K':=K/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ включается в следующую точную последовательность:
$$
\begin{equation*}
0 \to K' \to V_{5}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \xrightarrow{\beta'} {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [8; теорема 2.7] $K'$ является $\mu$-стабильным. С другой стороны, мономорфизм $\alpha\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to K$ индуцирует мономорфизм ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to K'$; тогда ввиду $\mu$-стабильности $K'$ получаем противоречие. Предложение доказано. Замечание 2. Заметим, что пространство $X$ монад (3.1) является локально замкнутой подсхемой аффинного пространства $A=\operatorname{Hom}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\oplus V_{k}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1),V_{2k+4}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\times\operatorname{Hom}(V_{2k+4}\,{\otimes}\, {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\,{\oplus}\, V'_k\,{\otimes}\,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1))$, определенной как $X\,{=}\,\bigl\{(\alpha, \beta)\,{\in}\, A\mid \alpha \text{ - морфизм подрасслоения}, \beta \text{ - эпиморфизм и } \beta\,{\circ}\,\alpha\,{=}\,0\bigr\}$, и существует универсальное когомологическое расслоение $\boldsymbol{\mathcal{E}}$ на $\mathbf{X}$. В случае $k=1$ из предложения 3 следует, что $\mathcal{G}(a,1)$ – образ $X$ при модулярном морфизме $\Phi_X\colon X\to\mathcal{B}(a^2+1)$, $x\mapsto[\mathbf{E} |_{\mathbb{P}^3\times\{x\}}]$. Поэтому $\mathcal{G}(a,1)$ является конструктивным множеством, т.е. дизъюнктным объединением локально замкнутых подмножеств в $\mathcal{B}(a^2+1)$. 3.2.Далее мы дадим когомологическую характеристику модифицированных инстантонных расслоений. Предложение 4. Векторное расслоение $\mathcal{E}$ на $\mathbb{P}^3$ является когомологией монады вида (3.1), если и только если $\mathrm{H}^1_{*}(\mathcal{E})$ имеет одну образующую в степени $-a$ и $k$ образующих в степени $-1$ и его классы Черна равны $c_1(\mathcal{E}) = 0$ и $c_2(\mathcal{E}) = a^2 + k$. Доказательство. Часть “только если” проверяется прямой проверкой. Если $\mathcal{E}$ – самодвойственное векторное расслоение на $\mathbb{P}^3$ с одной образующей в степени $-a$ и $k$ образующими в степени $-1$, то согласно [27; теорема 2.3] $\mathcal{E}$ является когомологией монады вида
$$
\begin{equation*}
0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \oplus V_{k}\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \xrightarrow{\alpha} \bigoplus_{i=1}^{2k+4} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(k_i) \xrightarrow{\beta} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(a)\oplus V_{k}\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисление классов Черна дает $c_2(\mathcal{E}) = a^2 + k -\sum_{i=1}^{6}k_{i}^{2}$; а поскольку $c_2(\mathcal{E}) = a^2 + k$, имеем $k_i = 0 $ для всех $i$. Предложение доказано. Модифицированные инстантонные расслоения также связаны с обычными инстантонными расслоениями более высокого ранга. Точная взаимосвязь между ними изложена в следующих двух леммах и обобщена в предложении 5 ниже. Лемма 3. (i) Для заданного векторного расслоения $[\mathcal{E}]\in\mathcal{G} (a,k)$ существуют инстантонное расслоение $E$ ранга 4 и заряда $k$ и сечения $\sigma\in H^0(E(a))$, $\tau\in H^0(E^{\vee}(a))$ такие, что комплекс является монадой с когомологическим расслоением $\mathcal{E}$. (ii) Конструкция монады (3.2) функториальна в том смысле, что для данного изоморфизма $\mathcal{E}\xrightarrow{\sim}\mathcal{E}'$ индуцированный изоморфизм $E\xrightarrow{\sim}E'$ продолжается до изоморфизма монад Доказательство. (i) Поскольку $a\geqslant2$, то существует канонический морфизм подрасслоения $i\colon V_{k}\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\oplus V_{k}\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$, который вместе с морфизмами $\alpha$ и $\beta$ из монады (3.1) дает морфизм подрасслоения $\alpha_1:=\alpha\circ i\colon V_{k}\,{\otimes}\, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to V_{2k+4}\,{\otimes}\, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}$ и эпиморфизм $\beta_1:=i^{\vee}\circ\beta\colon V_{2k+4}\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}\to V'_{k}\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)$. Поэтому получаем новую монаду вида (2.7) с $r=4$
$$
\begin{equation}
0 \to V_{k}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \xrightarrow{\alpha_1}V_{2k+4}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\beta_1}V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to 0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
когомологическое расслоение которой является инстантоном ранга 4 согласно замечанию после (2.7). Монады (3.1) и (3.4) включаются в коммутативную диаграмму с точными столбцами Теперь стандартный диаграммный поиск с диаграммой (3.6), использующий (3.5) и равенство $\mathcal{E}=\ker( \beta)/{\operatorname{im}(\alpha)}$, дает морфизм подрасслоения ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\xrightarrow{\sigma} E$ и эпиморфизм $E\xrightarrow{\tau}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)$, включающийся в монаду (3.2) с когомологическим расслоением $\mathcal{E}$.
(ii) Снова, поскольку $a\geqslant2$, из (3.4) и (3.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Hom}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a),E') =\operatorname{Hom}(E,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a))=\operatorname{Ext}^1({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)) \\ &\qquad=\operatorname{Ext}^{1}(E, {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a))=\operatorname{Ext}^{1}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a),E') =\operatorname{Ext}^{2}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a))=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для инстантонных расслоений $E$ и $E'$ ранга 4 и заряда $k$. Утверждение (ii) следует теперь из [35; лемма 4.1.3]. Лемма 3 доказана. 3.3.Далее мы переходим к соотношению между когомологическими расслоениями монад (3.1) и (3.2). Лемма 4. Для заданной монады (3.2) с инстантонным расслоением $E$ ранга 4 и заряда $k$ существует монада вида (3.1), когомология которой совпадает с когомологией монады (3.2). Доказательство. Проводим диаграммный поиск. А именно, согласно (2.7) $E$ является когомологией монады вида
$$
\begin{equation}
0\to V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_1}V_{2k+4}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \xrightarrow{\beta_1}V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to 0.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Эта монада расщепляется на точные тройки расслоений
$$
\begin{equation}
0\to E\to\operatorname{coker}(\alpha_1)\to V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to 0,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
$$
\begin{equation}
0\to V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_1}V_{2k+4}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\varepsilon}\operatorname{coker}(\alpha_1)\to0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Соответственно монада (3.2) расщепляется на точные тройки
$$
\begin{equation}
0\to\ker(\tau)\to E\xrightarrow{\tau}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\to0, \qquad 0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to\ker(\tau)\xrightarrow{\delta}\mathcal{E}\to0,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $\mathcal{E}$ – когомологическое расслоение монады (3.2). Тройка (3.8) и первая тройка (3.10) вместе с занулением $\operatorname{Ext}^1(V'_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a))$ влекут точную тройку $0\to\ker(\tau)\to\operatorname{coker}(\alpha_1)\xrightarrow{\gamma}V'_k \otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\to0$, которая вместе с (3.9) включается в следующую коммутативную диаграмму, где мы полагаем $K:=\ker(\gamma\circ\varepsilon)$: Аналогично, верхняя горизонтальная тройка этой диаграммы вместе со второй тройкой (3.10) дает точную тройку $0\to V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to K\to\mathcal{E}\to0$, которая, будучи скомбинированной со средней вертикальной тройкой в этой диаграмме, приводит к монаде (3.1) с когомологическим расслоением $\mathcal{E}$. Лемма доказана. Покажем, что инстантонное расслоение $E$, полученное в лемме 3, имеет естественную симплектическую структуру. Лемма 5. Если $E$ – инстантонное расслоение ранга 4 и заряда $k$, которое включается в монаду вида (3.2) такую, что ее когомологический пучок $\mathcal{E}$ является векторным расслоением, то $E$ допускает симплектическую структуру, и $\tau$ определено посредством $\sigma$. Доказательство. Поскольку $\mathcal{E}$ – векторное расслоение ранга $2$ с $c_1(\mathcal{E})=0$, то существует (единственный с точностью до скалярного множителя) симплектический изоморфизм $\varphi\colon \mathcal{E}\xrightarrow{\simeq}\mathcal{E}^{ \vee}$. Теперь, повторяя доказательство леммы 3, (ii) для $\mathcal{E}'=\mathcal{E}^{\vee}$, мы получаем изоморфизм монад такой, что $\varphi^{\vee} = - \varphi$, поэтому $(E,\varphi)$ есть симплектическое инстантонное расслоение и $\tau=\sigma^\vee\circ\varphi$. Лемма доказана. Собирая вместе леммы 3–5, мы получаем следующее утверждение. Предложение 5. Расслоение $\mathcal{E}$ ранга 2 принадлежит $\mathcal{G}(a,k)$, т.е. $\mathcal{E}$ является когомологией монады вида (3.1), если и только если оно также является когомологией $\mathcal{E}= \mathcal{H}^0(A_{E,\varphi,\sigma})$ монады вида где $(E,\varphi)$ – симплектическое инстантонное расслоение ранга 4 и заряда $k$. § 4. Множество $\mathcal{G}(a,1)$ и связанные с ним семейства пучков4.1.Введем некоторые обозначения, которые будем использовать ниже. Через $\mathcal{I}(k)$ обозначим множество классов изоморфизма симплектических инстантонных расслоений ранга 4 с зарядом $c_2=k$. Как и прежде, пусть $V_k$ и $V_{2k+4}$ – фиксированные векторные пространства размерностей $k$ и $2k+4$ соответственно, и пусть $(\wedge^2V_{2k+4}^{\vee})^0$ – открытое подмножество векторного пространства $\wedge^2V_{2k+4}^{\vee}$, состоящее из невырожденных симплектических форм на $V_{2k+4}$. Далее, для заданного морфизма $\widetilde{\alpha}\colon V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to V_{2k+4}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ обозначаем через $a$ гомоморфизм $V_k\otimes U_4\to V_{2k+4}$, соответствующий морфизму $\widetilde{\alpha}$ при $\operatorname{Hom}(V_k\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1), V_{2k+4}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\cong W:=\operatorname{Hom}(V_k\otimes U_4,V_{2k+4})$, где $U_4:=H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1))^{\vee}$. Будем называть $\widetilde{\alpha}$ морфизмом, ассоциированным с $a\in W$. Напомним описание симплектических инстантонов $(E, \varphi)$ ранга 4 в терминах симплектических монад (4.1). А именно, для заданной точки рассмотрим монаду (3.7), в которой $\alpha_1=\widetilde{\alpha }$ – морфизм, ассоциированный с гомоморфизмом $a$, а морфизм $\beta_1=\widetilde{\beta}$ определяется как $\beta_1=\widetilde{\alpha}^t(q)$, где $\widetilde{\alpha}^t(q)$ есть композиция $V_{2k+4}\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{q\otimes\mathrm{id}_{{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}}} V_{2k+4}^{\vee}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{\widetilde{\alpha}^{\vee}} V_k^{\vee}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$:
$$
\begin{equation}
A_{m}\colon \quad 0\to V_k\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1) \xrightarrow{\widetilde{\alpha}} V_{2k+4}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{ \widetilde{\alpha}^t(q)} V_k^{\vee}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Мы называем $A_m$ симплектической монадой. Будем также обозначать через $\mathcal{H}^0(A_m)$ когомологическое расслоение монады $A_m$. Рассмотрим множество симплектических монад (4.1)
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}(k)=\bigl\{(a,q)\in W\times(\wedge^2V_{2k+4}^{\vee})^0 \mid (a,q)\text{ удовлетворяет условиям (i), (ii)}\bigr \},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где: (i) морфизм $\widetilde{\alpha}$, ассоциированный с $a$, является морфизмом подрасслоения; (ii) композиция $\widetilde{\alpha}^t(q)\circ\widetilde{\alpha} $ – нулевой морфизм. Поскольку $W$ – векторное пространство, а условие (i) (соответственно (ii)) есть открытое (соответственно замкнутое) условие на точку $a\in W$, то отсюда следует, что $\mathcal{M}(k)$ имеет естественную структуру локально замкнутой подсхемы аффинного пространства $W\times\wedge^2V_{2k+4}^{\vee}$. 4.2.В дальнейшем мы ограничимся случаем $k=1$. Положим $\widetilde{M}:= \mathcal{M}(1)$. Заметим, что условие (i) из определения $\mathcal{M}(k)$ является пустым при $k=1$, поскольку в этом случае зануление $\wedge^2(V_1^{\vee}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1))$, очевидно, влечет ${\alpha^t(q)\,{\circ}\,\alpha}\,{=}\,0$. Следовательно, $\widetilde{M}$ – непустое открытое (следовательно, плотное) подмножество аффинного пространства $W\times\wedge^2V_6^{\vee}$, где $W\,{=}\,\operatorname{Hom}(V_1\,{\otimes}\, U_4,V_6)\,{\simeq}\,\mathbf{k}^{24}$. В частности, $\widetilde{M}$ неприводимо и Предложение 6. Любой инстантон ранга 4 и заряда 1 получается как когомологическое расслоение симплектической монады для некоторого $m\in\widetilde{M}$. Доказательство. Пусть $E$ – инстантон ранга 4 и заряда 1. Согласно предложению 2 $E$ допускает симплектическую структуру $\varphi\colon E\xrightarrow{\sim}E^{\vee}$. Далее, из [10; § 3] известно, что при условии $h^0(E)=h^1(-2)=0$ на симплектическое расслоение $E$ оно является когомологией симплектической монады из $\widetilde{M}$. Однако приведенное в [10] доказательство работает без изменений и при более слабых условиях (2.5), используемых в определении 1. Предложение доказано. На $\widetilde{\mathbf{M}}=\mathbb{P}^3\times\widetilde{M}$ имеется универсальная симплектическая монада
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\widetilde{\mathbf{M}}}\colon \quad 0\to\mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{M}}}(-1,0) \xrightarrow{\boldsymbol{\alpha}}V_6\otimes \mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{M}}}\xrightarrow{\boldsymbol{\alpha}^t} \mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{M}}}(1,0)\to0
\end{equation*}
\notag
$$
с когомологическим пучком $\widetilde{\mathbf{E}}=\ker\boldsymbol{\alpha}^t/ \operatorname{im}\boldsymbol{\alpha}$. Здесь $\boldsymbol{\alpha}^t=\boldsymbol{\alpha}^{\vee}\circ \mathbf{q}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$, а $\mathbf{q}_{\widetilde{\mathbf{M}}}\colon V_6\otimes\mathcal{O}_{ \widetilde{\mathbf{M}}}\xrightarrow{\sim}V_6^{\vee}\otimes \mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$ – тавтологическая симплектическая структура на $V_6\otimes\mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$. Всюду ниже мы фиксируем изоморфизм монады $\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$ с двойственной к ней монадой $\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\widetilde{\mathbf{M}}}^{\vee}$ посредством следующей диаграммы: Этот изоморфизм индуцирует симплектическую структуру
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{\varphi}_{\widetilde{\mathbf{M}}}\colon \widetilde{\mathbf{E}}\xrightarrow{\simeq}\widetilde{\mathbf{E}}^{\vee}, \qquad \varphi_{m}=\boldsymbol{\varphi}_{\widetilde{\mathbf{M}}} |_{\mathbb{P}^3\times\{m\}}\colon E_{m}\xrightarrow{\sim}E_{m}^{\vee}, \\ \text{где }\ E_{m}:=\widetilde{\mathbf{E}}|_{\mathbb{P}^3\times\{m\}}, \quad m\in\widetilde{M}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
т.е. $(E_m,\varphi_m)$ – симплектический инстантон ранга 4 и заряда 1. Заметим, что ввиду универсальности пространства $\widetilde{M}$ для всякого симплектического инстантона $(E,\varphi)$ ранга 4 существует единственная точка $m\in\widetilde{M}$ такая, что $(E,\varphi)=(E_m, \varphi_m)$, где $E_m$ и $\varphi_m$ заданы посредством (4.5). Из (2.11) и замены базы следует, что $\mathcal{O}_{\widetilde{M}}$-пучок $\widetilde{\mathbf{U}}:=p_{\widetilde{M} *}\widetilde{\mathbf{E}}$ – локально свободный пучок ранга 2, и существует точная тройка на $\widetilde{\mathbf{M}}$, где $\mathbf{ev}$ является каноническим морфизмом
$$
\begin{equation}
0\to \widetilde{\mathbf{U}}_{\widetilde{\mathbf{M}}} \xrightarrow{\mathbf{ev}}\widetilde{\mathbf{E}}\to \widetilde{\mathbf{N}}\to0, \qquad \widetilde{\mathbf{N}}:=\operatorname{coker}(\mathbf{ev}),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
и для каждой точки $m\in\widetilde{M}$ ограничение этой тройки на $\mathbb{P}^3\times\{m\}$ совпадает с тройкой (2.10) для $E=E_{m}$. Поэтому мы имеем отображение $\Psi\colon \widetilde{M}\to\mathbb{P} ^5=P(\wedge^2V_4^{\vee})$, $m\mapsto[\widetilde{\mathbf{N }}|_{\mathbb{P}^3\times\{m\}}]$. Отображение $\Psi$ имеет следующее точное описание. Для заданной точки $m=(a,q)\in\widetilde{M}$ рассмотрим гомоморфизм $f(a,q)\colon V_4\xrightarrow{a}V_6\xrightarrow{q}V_6 ^{\vee}\xrightarrow{a^{\vee}}V_4^{\vee}$. Он, очевидно, кососимметричен: $f(a,q)\in\wedge^2V_4^{\vee}$. Простой диаграммный поиск с дисплеем монады $\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\widetilde{\mathbf{M} }}|_{\mathbb{P}^3\times\{m\}}$ (т.е., что то же самое, монады (4.4)) с использованием (4.6) показывает, что
$$
\begin{equation}
\Psi(m)=\langle f(a,q)\rangle\in P(\wedge^2V_4^{\vee}),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
так что $\Psi$ – корректно определенный морфизм. Ввиду универсальности монады $\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$ морфизм $\Psi$ сюръективен. 4.3.Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
M:=\bigl\{m\in\widetilde{M}\mid \text{ пучок } \widetilde{\mathbf{N}}| _{\mathbb{P}^3\times\{m\}}\text{ локально свободен}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $M$ следует, что оно является непустым открытым подмножеством в $\widetilde{M}$, а следовательно, оно неприводимо, поскольку $\widetilde{M}$ неприводимо. Обозначим
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}:=\widetilde{\mathbf{E}}_{\mathbf{M}}, \qquad \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{M}}:=(\boldsymbol{\varphi} _{\widetilde{\mathbf{M}}})_{\mathbf{M}}\colon \mathbf{E}\xrightarrow{\simeq}\mathbf{E}^{\vee}, \qquad \mathbf{U}:=\widetilde{\mathbf{U}}_{M}, \qquad \mathbf{N}:=\widetilde{\mathbf{N}}_{\mathbf{M}},
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $\boldsymbol{\varphi}_{\widetilde{\mathbf{M}}}$ – симплектическая структура (4.5). Заметим, что по лемме 2 для каждой точки $m\in M$ тройка (4.6), ограниченная на $\mathbb{P}^3\times\{m\}$, расщепляется:
$$
\begin{equation}
E_{m}\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}\oplus N_{m}, \qquad m\in M,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $N_{m}$ – нуль-корреляционное расслоение. Покажем, что эти расщепления глобализуются в расщепление тройки $0\to\mathbf{U}\to \mathbf{E}\to\mathbf{N}\to0$, получаемой из (4.6) ограничением на $\mathbf{M}$: В самом деле, предыдущая тройка, рассматриваемая как расширение, задается элементом в $\operatorname{Ext}^1(\mathbf{N},\mathbf{U})$. В силу (2.20), (2.21) и замены базы (см. [32; теорема 1.4]) пучки ${\mathcal E}\mathit{xt}^i_{p_M}(\mathbf{N},\mathbf{U})$, $i=0,1$, зануляются и точная последовательность глобальных и относительных $\operatorname{Ext}$ (см. [32; формула (1)]) дает $\operatorname{Ext}^1(\mathbf{N},\mathbf{U})=0$. Теперь для $a\geqslant2$ и любой точки $m\in M$ тройка (2.10), подкрученная на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)$, в которой мы полагаем $E=E_{m}$, дает
$$
\begin{equation}
h^0(E_{m}(a))=4\binom{a+3}{3}-a-2, \qquad h^i(E_{m}(a))=0, \quad i>0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Формулы (4.5), (4.11) и замена базы показывают, что пучок является локально свободным $\mathcal{O}_{M}$-пучком ранга $r=h^0(E_{m}(a))$. Рассмотрим схему $T=\mathbf{P}(F^{\vee})$. Ввиду замены базы $T$ теоретико-множественно описывается как
$$
\begin{equation}
T=\bigl\{(m,\langle\sigma\rangle)\mid m\in M,\ 0\ne\sigma\in H^0(E_{m}(a))\bigr\},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
и естественная проекция $\rho\colon T\to M$, $(m,\langle\sigma \rangle)\mapsto m$, является локально тривиальным $\mathbb{P}^{r-1}$-расслоением. Заметим, что так как $M$ – открытое подмножество аффинного пространства $W$, то отсюда следует, что $T$ является многообразием, и из (4.3) и (4.11) мы имеем
$$
\begin{equation}
\dim T=h^0(E_{m}(a))-1+\dim M=4\binom{a+3}{3}-a+42.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
4.4.На $T$ и $\mathbf{M}$ мы имеем канонические морфизмы $F_T^{\vee} \stackrel{\mathrm{ev}}{\twoheadrightarrow}L$ и $F_{\mathbf{M}} \xrightarrow{\mathrm{can}}\mathbf{E}(a,0)$, где $L=\mathcal{O}_{\mathbf{P} (F^{\vee})}(1)$ – пучок Гротендика. Рассмотрим композицию морфизмов
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma}\colon\quad {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\boxtimes L^{\vee}\xrightarrow{\mathrm{ev}_{\mathbf{T}}^{\vee}} F_{\mathbf{T}}\xrightarrow{\mathrm{can}_{\mathbf{T}}} \mathbf{E}_{\mathbf{T}}(a,0).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
По определению для любой точки $(m,\mathbf{k}\sigma)\in T$ ограничение $\boldsymbol{\sigma}|_{\mathbb{P}^3\times\{(m,\mathbf{k}\sigma)\}}$ совпадает с точностью до подкрутки на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)$ с морфизмом $\sigma\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_{m}$. Ввиду (4.9) мы можем представить $\sigma$ как $\sigma\,{=}\,(\sigma_1,\sigma_2)$, $\sigma_1\,{\in}\, H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}(a))$, $\sigma_2\in H^0(N_{m}(a))$. Для пары $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)\ne(0,0 )$ в дальнейшем мы примем наряду с обозначением $\langle\sigma\rangle$ следующее эквивалентное обозначение:
$$
\begin{equation}
[\sigma_1:\sigma_2]:=\langle\sigma\rangle=\bigl\{(\lambda\sigma_1, \lambda\sigma_2)\mid \lambda\in\mathbf{k}^{\times}\bigr\},
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
а также будем рассматривать $[\sigma_1:\sigma_2]$ как точку проективного пространства $\mathbb{P}(H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}(a))\oplus H^0(N_m(a)))$. Используя это обозначение, определим открытое подмножество $S$ в $T$ как
$$
\begin{equation}
S:=\left\{(m,[\sigma_1:\sigma_2])\in T\Biggm| \begin{array}{l} {\rm (i)}\ \ \sigma=(\sigma_1,\sigma_2)\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_m\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}\oplus N_{m}\text{ -} \\ \quad\ \ \text{морфизм подрасслоения}; \\ {\rm (ii)}\ \sigma_1,\sigma_2\ne0 \end{array} \right\}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Подмножество $S$, очевидно, открыто в $T$. Более того, оно непусто. В самом деле, для любой точки $m\in M$ $E_m$ разлагается, как в (4.9). Берем любое $a\geqslant2$. Поскольку прямое слагаемое $N_{m}$ – нуль-корреляционное расслоение, из тройки (2.8) для $N=N_{m}$, подкрученной на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)$, следует, что $N_{m}(a)$ порождено глобальными сечениями. Отсюда получаем (см. [19; доказательство предложения 1.4]), что общее сечение $\sigma_2\in H^0(N_{m}(a))$ имеет одномерную схему нулей $(\sigma_2)_0$. Далее, поскольку общее сечение $\sigma_1\in H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}(a))$ имеет в качестве схемы нулей кривую полного пересечения $(\sigma_1)_0=D_1 \cap D_2$ двух поверхностей $D_1$ и $D_2$ степени $a$, то отсюда следует, что для общих $D_1$ и $D_2$ мы имеем $(\sigma_1)_0 \cap(\sigma_2)_0=\varnothing$. Поэтому сечение $\sigma=( \sigma_1,\sigma_2)\in H^0(E_m(a))$ не имеет нулей и тем самым определяет морфизм подрасслоения $\sigma\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_m$. Отсюда следует, что $S$ неприводимо и плотно в $T$, поскольку $T$ неприводимо. Морфизм $\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{S}}$ включается в монаду $\boldsymbol{\mathcal{A}}:=(\boldsymbol{\mathcal{A}}_{ \widetilde{\mathbf{M}}})_{\mathbf{S}}$ на $\mathbf{S}$:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathcal{A}}\colon\quad 0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\boxtimes L^{\vee}\xrightarrow{\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{S}}} \mathbf{E}_{\mathbf{S}}\xrightarrow{\boldsymbol{ \sigma}_{\mathbf{S}}^t}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\boxtimes L\to0,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{S}}^t$ – композиция $\mathbf{E}_{\mathbf{S}}\xrightarrow{ \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{S}}}\mathbf{E}_{\mathbf{S}}^{\vee} \xrightarrow{\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{S}}^{\vee}}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\boxtimes L$. По конструкции для каждой точки $(m,\langle\sigma\rangle)\in S$ ограничение монады $\boldsymbol{\mathcal{A}}$ на $\mathbb{P}^3\times\{(m,\langle\sigma\rangle)\}$ изоморфно монаде $A_{E_m,\varphi_m,\sigma}$ в (3.11). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^0(\boldsymbol{\mathcal{A}})|_{\mathbb{P}^3\times\{(m,\langle \sigma\rangle)\}}=\mathcal{H}^0(A_{E_{m},\varphi_{m},\sigma}), \qquad m,\langle\sigma\rangle)\in S.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
4.5.В нижеследующих формулах (4.21)–(4.23) мы расширим построение (4.12), (4.13) и (4.17)–(4.19) данных $F$, $T$, $S$, $\boldsymbol{ \mathcal{A}}$ и $\mathcal{H}^0(\boldsymbol{\mathcal{A}})$ над $M$ до построения соответствующих данных $\widetilde{F}$, $\widetilde{T}$, $\widetilde{S}$, $\widetilde{\boldsymbol{\mathcal{A}}}$, $\mathcal{H}^0 (\widetilde{\boldsymbol{\mathcal{A}}})$ над $\widetilde{M}$. Как следствие, будем иметь соотношения Для построения этих данных мы сначала положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{F}:=p_{\widetilde{M}*}(\widetilde{\mathbf{E}}(a,0)), \qquad \widetilde{T}:=\mathbf{P}(\widetilde{F}^{\vee})
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
и заметим, что формулы (4.11) остаются в силе для любой точки $m\in\widetilde{M}$, так что пучок $\widetilde{F}$ – локально свободный $\mathcal{O}_{\widetilde{M}}$-пучок ранга $r=h^0(E_m(a))$, задаваемого формулой (4.11), а схема $\widetilde{T}: =\mathbf{P}(\widetilde{F}^{\vee})$ теоретико-множественно описывается как $\widetilde{T}=\bigl\{(m,\langle\sigma\rangle)\mid m\in\widetilde{ \mathcal{M}},\ 0\ne\sigma\in H^0(E_{m}(a))\bigr\}$. Естественная проекция $\widetilde{\rho}\colon \widetilde{T}\to\widetilde{M}$, $(m,\langle\sigma \rangle)\mapsto m$, – локально тривиальное $\mathbb{P}^{r-1}$-расслоение, так что, поскольку $\widetilde{M}$ – открытое подмножество аффинного пространства $W$, отсюда следует, что $\widetilde{T}$ является неприводимым многообразием размерности
$$
\begin{equation}
\dim\widetilde{T}=h^0(E_{m}(a))-1+\dim\widetilde{M}=4\binom{a+3}{3}-a+ 42.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Здесь в соответствии с (4.14) $\widetilde{T}$ и $T$ имеют одинаковые размерности. Далее, мы имеем открытое подмножество $\widetilde{S}$ в $\widetilde{T}$, определенное как
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}:= \bigl\{(m,\langle\sigma\rangle)\in\widetilde{T}\mid \sigma\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_{m} \text{ - морфизм подрасслоения}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку условие (ii) в (4.17) открытое, сравнивая определение $\widetilde{S}$ с (4.17), получаем, что $S$ – открытое подмножество $T \cap\widetilde{S}$, где пересечение взято в $\widetilde{T}$. Поскольку $S$ непусто и $\widetilde{T}$ неприводимо, то отсюда следует включение  в (4.20), и, более того, $\widetilde{\rho}_S\colon S\to M$ совпадает с проекцией $\rho$. Далее, мы имеем продолжение универсальной монады (4.18) с $\mathbf{S}$ на $\widetilde{\mathbf{S}}$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\boldsymbol{ \mathcal{A}}}\colon\quad 0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\boxtimes L^{\vee}\xrightarrow{\boldsymbol{ \sigma}}\widetilde{\mathbf{E}}_{\widetilde{\mathbf{S}}}\xrightarrow{ \boldsymbol{\sigma}^t}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\boxtimes L\to0,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющее равенству, аналогичному (4.19),
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^0(\widetilde{\boldsymbol{\mathcal{A}}}) |_{\mathbb{P}^3\times\{(m,\langle\sigma\rangle)\}}=\mathcal{H}^0(A_{E_{m}, \varphi_{m},\sigma}), \qquad (m,\langle\sigma\rangle)\in\widetilde{S}.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Теперь равенства (4.20) следуют из (4.8), (4.21) и замены базы. Рассмотрим модулярные морфизмы
$$
\begin{equation}
\Phi_{S}\colon S\to\mathcal{B}(a^2+1), \qquad \Phi_{\widetilde{S}}\colon \widetilde{S} \to\mathcal{B}(a^2+1),
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
определяемые семействами пучков $\mathcal{H}^0(\boldsymbol{ \mathcal{A}})$ и $\mathcal{H}^0(\widetilde{\boldsymbol{\mathcal{A}}})$ соответственно. Равенства (4.20), (4.23) и предложение 5 вместе с неприводимостью $\widetilde{S}$ дают Предложение 7. (i) Для $a\geqslant2$ множество $\mathcal{G}(a,1)$ классов изоморфизма когомологических пучков монад (3.1) для $k=1$ – образ модулярного морфизма определенного семейством $\mathcal{H}^0(\widetilde{\boldsymbol{ \mathcal{A}}})$ пучков над $\widetilde{S}$. Его замыкание $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$ в схеме $\mathcal{B}(a^2+1)$ – неприводимая схема. (ii) Множество $\mathcal{G}(a,1)_0:=\Phi_{S}(S)$ плотно в $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$. 4.6.В оставшейся части этого параграфа мы построим новое семейство монад $\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}$ на $\mathbb{P}^3$ с базой $Y$ и когомологическими пучками, принадлежащими $\mathcal{G}(a,1)$, для которого соответствующий модулярный морфизм
$$
\begin{equation*}
\Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1), \qquad y\mapsto[\mathcal{H}^0(\mathbf{A}_{\mathbf{Y}})|_{\mathbb{P}^3\times\{y\}}],
\end{equation*}
\notag
$$
имеет $\mathcal{G}(a,1)_0$ в качестве своего образа (см. предложение 8 ниже). Это семейство будет использоваться в следующем параграфе для доказательства одного из главных результатов работы – рациональности $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$. Чтобы построить многообразие $Y$, рассмотрим пространство модулей $B:=\mathcal{B}(1)$ нуль-корреляционных расслоений на $\mathbb{P}^3$. Хорошо известно, что оно изоморфно $\mathbb{P}^5\setminus G(2,4)$, где $G(2,4)$ – гиперквадрика Плюккера (см., например, [35; теорема 4.3.4]). Более того, на $\mathbf{B}\,{=}\,\mathbb{P}^3\,{\times}\, B$ имеется универсальное семейство $\boldsymbol{\mathcal{N}}$ нуль-корреляционных расслоений. Рассмотрим векторное расслоение $\boldsymbol{\mathcal{E}}\,{=}\,V_2\,{\otimes}\, \mathcal{O}_{\mathbf{B}}\,{\oplus}\,\boldsymbol{\mathcal{N}}$ и обозначим $E_b\,{=}\,\boldsymbol{\mathcal{E}}|_{\mathbb{P}^3\times\{b\}}$, $N_b\,{=}\,\boldsymbol{\mathcal{N}}|_{\mathbb{P}^3\times\{b\}}$, $b\,{\in}\, B$, так что
$$
\begin{equation}
E_b=V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}\oplus N_b, \qquad b\in B.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Из линейной алгебры вытекает существование канонических изоморфизмов $\boldsymbol{\varphi}_{(1)}\colon V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}}\xrightarrow{ \simeq}V_2^{\vee}\otimes\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}}$ и $\boldsymbol{\varphi}_{(2)}\colon \boldsymbol{\mathcal{N}}\xrightarrow{\simeq} \boldsymbol{\mathcal{N}}^{\vee}\otimes\wedge^2\boldsymbol{\mathcal{N}}$. Пучок $\boldsymbol{\mathcal{N}}$ включается в точную тройку $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} (-1)\boxtimes\mathcal{O}_B(-1)\to\Omega_{\mathbb{P}^3}^1(1)\boxtimes\mathcal{O}_B\to \boldsymbol{\mathcal{N}}\to0$, глобализующую (2.8). Эта тройка дает
$$
\begin{equation}
\wedge^2\boldsymbol{\mathcal{N}}\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\boxtimes\mathcal{O}_B(1), \qquad \wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}}\oplus\wedge^2 \boldsymbol{\mathcal{N}}\simeq(\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_B\oplus \mathcal{O}_B(1))_{\mathbf{B}}.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
(Здесь мы полагаем $\mathcal{O}_B(\pm1):=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(\pm1)|_B$.) Рассмотрим многообразия $B_1:=\mathbf{V}(\wedge^2V_2^{\vee} \otimes\mathcal{O}_B)\setminus\{\text{нулевое сечение}\}\xrightarrow{\pi_1}B$ и $B_2:=\mathbf{V}(\mathcal{O}_B(-1))\setminus\{\text{нулевое сечение}\} \xrightarrow{\pi_2}B$. Заметим, что обратный образ линейного расслоения на его тотальное пространство с исключенным нулевым сечением тривиализует это расслоение, поэтому мы получаем $\pi_2^*\mathcal{O}_B(1) \simeq\mathcal{O}_{B_2}$, значит, в силу (4.26) $(\wedge^2 \boldsymbol{\mathcal{N}}) _{\mathbf{B}_2}\simeq\mathcal{O}_{\mathbf{B}_2}$ и соответственно $(\wedge^2V _2\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}})_{\mathbf{B}_1}\simeq\mathcal{O}_{\mathbf{B}_1}$. Таким образом, мы получаем симплектические структуры
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{B}_1}:=(\boldsymbol{\varphi}_{(1)})_{ \mathbf{B}_1}\colon V_2\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}_1}\xrightarrow{\simeq}V_2^{ \vee}\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{B}_1}, \qquad \varphi_{\mathbf{B}_2}:= (\boldsymbol{\varphi}_{(2)})_{\mathbf{B}_2}\colon \boldsymbol{\mathcal{N}} _{\mathbf{B}_2}\xrightarrow{\simeq}\boldsymbol{\mathcal{N}}_{\mathbf{B} _2}^{\vee}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим многообразие $\widetilde{B}:=B_1\times_BB_2$. На $\widetilde{\mathbf{B}}$ из $\boldsymbol{\mathcal{E}}$ мы получаем векторное расслоение $\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\widetilde{\mathbf{B}}} $ с симплектической структурой $\boldsymbol{\varphi}_{\widetilde{ \mathbf{B}}}$, где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\widetilde{\mathbf{B}}}=V_2\otimes\mathcal{O}_{ \widetilde{\mathbf{B}}}\oplus\boldsymbol{\mathcal{N}}_{\widetilde{ \mathbf{B}}}, \qquad \boldsymbol{\varphi}_{\widetilde{\mathbf{B}}}=\boldsymbol{ \varphi}_1\oplus\boldsymbol{\varphi}_2\colon \boldsymbol{ \mathcal{E}}_{\widetilde{\mathbf{B}}}\to\boldsymbol{ \mathcal{E}}^{\vee}_{\widetilde{\mathbf{B}}},
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
и $\boldsymbol{\varphi}_1:=(\varphi_{\mathbf{B}_1})_{\widetilde{\mathbf{B} }}\colon V_2\otimes\mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{B}}}\xrightarrow{\simeq}V_2^{ \vee}\otimes\mathcal{O}_{\widetilde{\mathbf{B}}}$, $\boldsymbol{\varphi}_2:=( \varphi_{\mathbf{B}_2})_{\widetilde{\mathbf{B}}}\colon \boldsymbol{\mathcal{N} }_{\widetilde{\mathbf{B}}}\xrightarrow{\simeq}\boldsymbol{\mathcal{N}} _{\widetilde{\mathbf{B}}}^{\vee}$. Согласно вышесказанному мы имеем следующее описание многообразий $B_1$, $B_2$ и $\widetilde{B}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B_1\,{=}\,\bigl\{(b,\varphi_1)\mid b\,{\in}\, B, \ \varphi_1\colon V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \xrightarrow{\simeq}V_2^{\vee}\,{\otimes}\,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\text{ - симплектическая структура}\bigr\}, \\ B_2=\bigl\{(b,\varphi_2)\mid b\in B,\ \varphi_2\colon N_b\xrightarrow {\simeq}N_b^{\vee}\text{ - симплектическая структура}\bigr\}, \\ \widetilde{B}=\bigl\{(b,\varphi_1,\varphi_2)\mid (b,\varphi_i)\in B_i,\ i=1,2\bigr\}=B_1\times_BB_2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
4.7.Следующие конструкции (см. (4.30)–(4.35)) параллельны конструкциям (4.17)–(4.19). Подкручивая равенство (4.25) на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)$, мы получаем, как и в (4.11),
$$
\begin{equation*}
h^0(E_b(a))=4\binom{a+3}{3}-a-2, \qquad h^i(E_b(a))=0, \qquad i>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, как и в (4.12), пучок $F_B=p_{B*}(\boldsymbol{\mathcal{E}}(a,0))$ является локально свободным $\mathcal{O}_B$-пучком ранга $r=h^0(E_b(a))$. Рассмотрим многообразие $\mathcal{T}:=\mathbf{P}( F_B^{\vee})$. По аналогии с (4.13) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}=\bigl\{(b,\langle\sigma\rangle)\mid b\in B,\ 0\ne\sigma\in H^0(E_b(a))\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Для любой точки $(b,\langle\sigma\rangle)\in\mathcal{T}$ ввиду (4.25) мы можем представить $\sigma$ как пару $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)$, $\sigma_1\in H^0(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a))$, $\sigma_2\in H^0(N_b(a))$. Поэтому, используя обозначение (4.16), мы можем переписать (4.29) как $\mathcal{T}=\bigl\{(b,[\sigma_1:\sigma_2]) \mid b\in B, [\sigma_1:\sigma_2]\in P(H^0(E_b(a)))\bigr\}$. С другой стороны, представляя $\sigma$ как морфизм $\sigma\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_b$, мы видим, что когда $(b,\langle\sigma\rangle)$ пробегает $\mathcal{T}$, морфизмы $\sigma$, как и в (4.15), глобализуются в морфизм $\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{\mathcal{T}}}\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\boxtimes L_{\mathcal{T}}^{\vee}\to\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\boldsymbol{ \mathcal{T}}}$ на $\boldsymbol{\mathcal{T}}$, где $L_{\mathcal{T}}$ – пучок Гротендика $\mathcal{O}_{\mathcal{T}/B}(1)$. Далее, по аналогии с (4.17) мы определяем открытое подмножество $\mathcal{S}$ в $\mathcal{T}$ как
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}:=\left\lbrace (b,[\sigma_1:\sigma_2]) \in\mathcal{T}\Biggm| \begin{array}{l} {\rm (i)}\ \ (\sigma_1,\sigma_2)\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \to E_b\text{ -} \\ \quad\ \ \text{морфизм подрасслоения;} \\ {\rm (ii)}\ \sigma_1,\sigma_2\ne0 \qquad \qquad \qquad \qquad \end{array} \right\rbrace.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Заметим, что $\mathcal{S}$ – непустое множество. (Доказательство повторяет доказательство непустоты подмножества $M$ в $T$, приведенное в абзаце после (4.17).) Ввиду замены базы пучок $F_{ \widetilde{B}}=p_{\widetilde{B}*}(\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\widetilde{ \mathbf{B}}}(a,0))$ изоморфен пучку $(F_B)_{\widetilde{B}}$. Таким образом, из определения $\mathcal{T}$ следует, что многообразие $\widetilde{Y}:=\mathbf{P}(F_{\widetilde{B}}^{\vee})$ изоморфно $\widetilde{B}\times_B\mathcal{T}$:
$$
\begin{equation}
\widetilde{Y}\simeq\widetilde{B}\times_B\mathcal{T}.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Поэтому согласно (4.28) и (4.29) имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Y}=\bigl\{(b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2])\mid (b,\varphi_1,\varphi_2)\in \widetilde{B},\ [\sigma_1:\sigma_2]\in P(H^0(E_b(a)))\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и естественная проекция $\widetilde{Y}\to \widetilde{B}$, $(\beta,\langle\sigma\rangle)\mapsto\beta$ является локально тривиальным $\mathbb{P}^{r-1}$-расслоением. Теперь мы используем (4.31) и открытое подмножество $\mathcal{S}$ в $\mathcal{T}$ для определения открытого подмножества $Y$ в $\widetilde{Y}$ как Здесь $Y$ – непустое открытое подмножество в $\widetilde{Y}$, поскольку $\mathcal{S}$ непустое. Отсюда следует, что $Y$ является неприводимым и плотным в $\widetilde{Y}$, поскольку $\widetilde{Y}$ неприводимо. Вдобавок, используя (4.30) и конструкцию $\widetilde{Y}$ выше, мы получаем
$$
\begin{equation}
Y=\left\lbrace (b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2]) \in\widetilde{Y}\Biggm| \begin{array}{l} {\rm (i)}\ \ (\sigma_1,\sigma_2)\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\to E_b\text{ -} \\ \quad\ \ \text{морфизм подрасслоения;} \\ {\rm(ii)}\ \sigma_1,\sigma_2\ne0\qquad \qquad \qquad \qquad \end{array} \right\rbrace.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Морфизм $\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{Y}}:=(\boldsymbol{\sigma}_{ \boldsymbol{\mathcal{T}}})_{\mathbf{Y}}$ включается в универсальную монаду на $\mathbf{Y}$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}\colon\quad 0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)\boxtimes L_Y^{\vee} \xrightarrow{\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{Y}}}\boldsymbol{ \mathcal{E}}_{\mathbf{Y}}\xrightarrow{\boldsymbol{\sigma} _{\mathbf{Y}}^t}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)\boxtimes L_Y\to0,
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
где $L_Y=(L_{\mathcal{T}})_Y$ и $\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{Y}}^t$ – это композиция $\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\mathbf{Y}} \xrightarrow{\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{Y}}} \boldsymbol{\mathcal{E}}_{\mathbf{Y}}^{\vee} \xrightarrow{\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{Y}}^{\vee}}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a) \boxtimes L_{Y}$. По построению для любой точки $(\beta,\langle\sigma\rangle)\in Y$, $\beta=(b,\varphi_1, \varphi_2)$, ограничение монады $\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}$ на $\mathbb{P}^3\times\{(\beta,\langle\sigma\rangle)\}$ изоморфно монаде $A_{E_b,\varphi_1\oplus\varphi_2,\sigma}$ в (3.11). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^0(\mathbf{A}_{\mathbf{Y}})|_{\mathbb{P}^3\times\{(\beta, \langle\sigma\rangle)\}}=\mathcal{H}^0(A_{E_b,\varphi_1\oplus \varphi_2,\sigma}), \qquad (\beta,\langle\sigma\rangle)\in Y, \qquad \beta=(b,\varphi_1,\varphi_2).
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
4.8.Теперь рассмотрим векторное расслоение $\mathbf{U}$ ранга 2 на $M$, определенное в (4.8), и его ассоциированное главное расслоение реперов
$$
\begin{equation*}
I:=\mathbf{Isom}(V_2\otimes\mathcal{O}_{M},\mathbf{U}) \xrightarrow{\xi}M
\end{equation*}
\notag
$$
вместе с тавтологическим изоморфизмом $V_2\otimes\mathcal{O}_{I} \xrightarrow{\sim}\mathbf{U}_I$. Используя этот изоморфизм и применяя к (4.10) функтор $\boldsymbol{\xi}^*$, мы получаем изоморфизм
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}_{\mathbf{I}}\cong V_2\otimes\mathcal{O} _{\mathbf{I}}\oplus\mathbf{N}_{\mathbf{I}}.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Кроме того, ввиду (4.8) имеем симплектическую структуру $\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I}}:=(\boldsymbol{\varphi} _{\mathbf{M}})_{\mathbf{I}}$: $\mathbf{E}_{\mathbf{I}}\xrightarrow{\simeq} \mathbf{E}_{\mathbf{I}}^{\vee}$ на $\mathbf{E}_{\mathbf{I}}$. Эта симплектическая структура ввиду (4.36) расщепляется в прямую сумму двух симплектических структур
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I}}=\boldsymbol{\varphi} _{\mathbf{I},1}\oplus\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I},2}, \qquad \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I},1}\colon V_2\otimes\mathcal{O} _{\mathbf{I}}\xrightarrow{\simeq}V_2^{\vee}\otimes\mathcal{O}_{\mathbf{I}}, \quad \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I},2}\colon \mathbf{N}_{\mathbf{I}} \xrightarrow{\simeq}\mathbf{N}_{\mathbf{I}}^{\vee}.
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Заметим, что согласно описанию морфизма $\Psi$, данному в (4.7), мы имеем $\Psi(M)=B$. Теперь, сравнивая (4.27), (4.28) с (4.36), (4.37), получаем морфизм
$$
\begin{equation}
\Gamma\colon I\to\widetilde{B}, \quad x\mapsto(b,\varphi_1, \varphi_2), \qquad b=\Psi(\xi(x)), \quad \varphi_i=\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I},i}|_{\mathbb{P}^3\times\{x\}}, \quad i=1,2,
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
такой, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}_{\mathbf{I}}\cong(\boldsymbol{\mathcal{E}} _{\widetilde{\mathbf{B}}})_{\mathbf{I}}, \qquad \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{I}}\cong(\boldsymbol{\varphi}_{ \widetilde{\mathbf{B}}})_{\mathbf{I}},
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
и эти изоморфизмы совместимы с разложениями в прямые суммы (4.36), (4.37) и (4.27). Из (4.38) и сюръективности $\Psi$ следует, что $\Gamma$ также сюръективен. Положим
$$
\begin{equation}
X:=I\times_M S, \qquad Y\xleftarrow{\Gamma_Y}X\xrightarrow{\xi_S}S, \qquad F_I:=p_{I*}(\mathbf{E}_{\mathbf{I}}(a,0)).
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
Из (4.12), (4.39), изоморфизма $F_{\widetilde{B} }\simeq(F_B)_{\widetilde{B}}$ и замены базы мы получаем $F_I\simeq (F_{\widetilde{B}})_I$, так что ввиду (4.31) и равенства $T=\mathbf{P}(F^{\vee})$ многообразие $\widetilde{X}:=\mathbf{P}(F_X^{\vee})$ удовлетворяет изоморфизмам
$$
\begin{equation}
I\times_{M}T\simeq\widetilde{X}\simeq I\times_{\widetilde{B}} \widetilde{Y}.
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Из определения $X$ (см. (4.40)) и левого изоморфизма (4.41) следует, что существует открытое вложение $X\hookrightarrow\widetilde{X}$ такое, что $X= \widetilde{X}\times_{T}S$. Поэтому, сравнивая описания (4.33) и (4.17) для $Y$ и $S$ и используя правый изоморфизм (4.41), получаем Это вместе с (4.39) влечет изоморфизм $\mathbf{E}_{\mathbf{X}} \cong(\boldsymbol{\mathcal{E}}_{\mathbf{Y}})_{\mathbf{X}}$. Более того, поскольку $X=I\times_MS$, мы имеем изоморфизм монад
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\mathbf{X}}\cong(\mathbf{A}_{\mathbf{Y} })_{\mathbf{X}},
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
где монады $\boldsymbol{\mathcal{A}}$ и $\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}$ были определены в (4.18) и (4.34) соответственно. Рассмотрим модулярный морфизм
$$
\begin{equation}
\Phi_X\colon X\to\mathcal{B}(a^2+1), \qquad \Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1),
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
определенный семействами пучков $\mathcal{H}^0(\boldsymbol{\mathcal{A}}_{\mathbf{X}})$ и $\mathcal{H}^0(\mathbf{A}_{\mathbf{Y}})$ соответственно. Из (4.40), (4.42), (4.43) следует, что $\Phi_X$ пропускается через $\Gamma_Y$ и через $\xi_S$: $\Phi_X=\Phi_Y\circ\Gamma_Y=\Phi_{S}\circ\xi_S$. Здесь $\Phi_{S}\colon S\to\mathcal{B}(a^2+1)$ – модулярный морфизм (4.24), $\xi_S$ в (4.40) сюръективен ввиду сюръективности $\xi$, а $\Gamma_Y$ сюръективен, так как $\Gamma$ сюръективен. Следовательно, С другой стороны, согласно предложению 7 $\mathcal{G}(a,1)_0$ плотно в $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$. Тем самым мы получаем Предложение 8. Пусть $\Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1)$ – модулярный морфизм, определенный семейством пучков $\mathcal{H}^0(\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}) $, где $\mathbf{A}_{\mathbf{Y}}$ – монада (4.34). Тогда $\Phi_Y(Y)$ плотно в $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$. § 5. Серия рациональных неприводимых компонент пространства модулей $\mathcal{B}(a^2+1)$В этом параграфе мы будем доказывать первый основной результат статьи (теорему 1), в котором утверждается, что существует новая бесконечная серия рациональных неприводимых компонент схемы Гизекера–Маруямы $\mathcal{B}(a^2+1)$, $a\geqslant2$. Для этого мы сначала докажем необходимый результат – теорему 3 о свойствах модулярного морфизма $\Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1)$ из предложения 8. Доказательство теоремы 3 занимает основную часть этого параграфа. Для удобства читателя мы разделим это доказательство на три шага и приступим к их подробному описанию. 5.1.Шаг 1. На этом шаге мы построим рациональное многообразие $\mathcal{G}$ (см. определение в (5.9)) и свяжем с ним многообразие $\mathcal{S}$, определенное в (4.30) посредством морфизма $\tau\colon \mathcal{S}\to\mathcal{G}$. Этот морфизм будет получен как морфизм факторизации по действию $G$ на $\mathcal{S} $, где $G$ – некоторая факторгруппа группы $\overline{G}=\mathrm{GL}(V_2) \times\mathbf{k}^{\times}$. Рассмотрим многообразие $Y$. Согласно описанию (4.32), (4.33) всякая точка $y\in Y$ является набором данных где: (i) $b\in B$; (ii) $\varphi_1\colon V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\xrightarrow{ \simeq}V_2^{\vee}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$ и $\varphi_2\colon N_b\xrightarrow{ \simeq}N_b^{\vee}$ – симплектические изоморфизмы,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi_1\in H^0(\wedge^2(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})^{\vee})\setminus\{0\} =\wedge^2V_2^{\vee}\setminus\{0\}\cong\mathbf{k}^{\times}, \\ \varphi_2\in H^0(\wedge^2N_b^{\vee})\setminus\{0\} =H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\setminus\{0\}\cong\mathbf{k}^{\times}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(iii) $\sigma_1$ и $\sigma_2$ есть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\ne\sigma_1\in H^0(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a))=\operatorname{Hom}(V_2^{\vee},W), \\ W:=H^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)), \qquad 0\ne\sigma_2\in H^0(N_b(a)); \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
(iv) $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a) \to V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus N_b$ – морфизм подрасслоения. В $\operatorname{Hom}(V_2^{\vee},W)$ рассмотрим открытое подмножество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W):=\bigl\{\sigma_1\in \operatorname{Hom}(V_2^{\vee},W)\mid \sigma_1\colon V_2^{\vee} \to W\text{ - мономорфизм}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть (используя рассуждение в абзаце после (4.17)), что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)=\bigl\{\sigma_1\in \operatorname{Hom}(V_2^{\vee},W)\mid \dim (\sigma_1)_0=1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, заметим, что группа $\mathrm{GL}(V_2)$ действует естественным образом на $\operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)$ посредством ее действия на $V_2^{\vee}$, и мы имеем изоморфизм
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)/\mathrm{GL}(V_2)\xrightarrow{\simeq }\mathrm{Gr}(2,W)
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
и морфизм факторизации
$$
\begin{equation}
\tau_1\colon \operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)\to \mathrm{Gr}(2,W), \qquad \sigma_1\mapsto\operatorname{im}(\sigma_1\colon V_2^{\vee}\hookrightarrow W).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Далее, как упоминалось в § 4 (см. абзац после (4.17)), множество $H^0(N_b(a))^*:=\bigl\{\sigma_2\in H^0(N_b(a))\mid \dim (\sigma_2)_0=1\bigr\}$ является открытым плотным в $H^0(N_b(a) )$. Кроме того, оно, очевидно, инвариантно относительно действия группы $\mathrm{Aut}(N_b(a))=\mathbf{k}^{\times}$. (Напомним, что нуль-корреляционное расслоение $N_b$ является стабильным и тем самым простым, т.е. $\mathrm{End}(N_b(a))=\mathbf{k}\cdot\mathrm{id}$.) Следовательно, где $r=2\binom{a+3}{3}-a-3$, и мы имеем морфизм факторизации
$$
\begin{equation}
\tau_2\colon H^0(N_b(a))^*\to P(H^0(N_b(a)))^*, \qquad \sigma_2\mapsto\langle\sigma_2\rangle.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Теперь приведенное выше условие (iv), налагаемое на $(\sigma_1,\sigma_2)$, может быть переписано в виде
$$
\begin{equation}
(\sigma_1,\sigma_2)\in H_b:=\bigl\{(\sigma_1,\sigma_2)\in \operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)\times H^0(N_b(a))^*\mid (\sigma_1)_0\cap (\sigma_2)_0=\varnothing\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Очевидно, что $H_b$ – это плотное открытое подмножество в $\operatorname{Hom}^{\mathrm{in}}(V_2^{\vee},W)\times H^0(N_b(a))^*$. Это подмножество инвариантно относительно действия группы $\mathbf{k}^{\times}$ гомотетиями. Следовательно, обозначая $P(H_b):=H_b/\mathbf{k}^{\times}$ и используя (5.4) и (5.6), мы получаем морфизм факторизации
$$
\begin{equation}
\tau\colon P(H_b)\to \mathrm{Gr}(2,W)\times P(H^0(N_b(a)))^*, \qquad [\sigma_1:\sigma_2]\mapsto(\tau_1(\sigma_1),\tau_2(\sigma_2)).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Чтобы глобализовать приведенные выше поточечные (по отношению к точкам $b\in B$) конструкции над $B$, положим $\mathcal{K}:=p_{B*}( \boldsymbol{\mathcal{N}}(a,0))$. Ввиду замены базы $\mathcal{K}$ – локально свободный пучок ранга $h^0(N_b(a))=\chi(N_b(a))$ над $B$, следовательно, $\mathbf{P}(\mathcal{K}^{\vee})$ – рациональное многообразие, которое поточечно описывается как $\mathbf{P}(\mathcal{K} ^{\vee})=\bigl\{(b,\langle\sigma_2\rangle)\mid b\in B,\ \langle\sigma_2 \rangle\in P(H^0(N_b(a)))\bigr\}$. Рассмотрим его плотное открытое подмножество
$$
\begin{equation*}
\Pi:=\bigl\{(b,\langle\sigma_2\rangle)\in\mathbf{P}(\mathcal{K} ^{\vee})\mid \langle\sigma_2\rangle\in P(H^0(N_b(a)))^*\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}:=\mathrm{Gr}(2,W)\times\Pi=\bigl\{(b,V,\langle\sigma_2\rangle)\mid V \in \mathrm{Gr}(2,W),(b,\langle\sigma_2\rangle)\in\Pi\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Заметим, что поскольку $\Pi$ – рациональное многообразие, $\mathcal{G}$ – также рациональное многообразие. Далее, рассмотрим многообразие $\mathcal{S}$, введенное в (4.30). Из (4.30) и (5.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\bigl\{(b,[\sigma_1:\sigma_2])\mid b\in B,\ [\sigma_1: \sigma_2]\in P(H_b)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому согласно (5.8) мы имеем корректно определенный морфизм
$$
\begin{equation}
\tau\colon \mathcal{S}\to\mathcal{G}, \qquad (b,[\sigma_1:\sigma_2]) \mapsto(b,\tau_1(\sigma_1),\tau_2(\sigma_2)).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Рассмотрим группу
$$
\begin{equation}
\overline{G}=\mathrm{GL}(V_2)\times\mathbf{k}^{\times},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
ее нормальную подгруппу $G'=\bigl\{(\rho\cdot\mathrm{id}_{V_2},\rho) \mid \rho\in\mathbf{k}^{\times}\bigr\}$, и пусть – факторгруппа. Мы будем использовать для элементов группы $G$ следующее обозначение: $[g_1:\lambda]:=(g_1,\lambda)G'=\bigl\{(\rho g_1,\rho\lambda)\mid \rho\in\mathbf{k}^{\times}\bigr\}$, $ (g_1,\lambda) \in\overline{G}$. Группа $G$ естественным образом действует на $\mathcal{S}$ как
$$
\begin{equation}
a_{\mathcal{S}}\colon \mathcal{S}\times G\to\mathcal{S}, \qquad ((b,[\sigma_1:\sigma_2]),[g_1:\lambda])\mapsto (b,[g_1\circ\sigma_1:\lambda\sigma_2]),
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
и формулы (5.3)–(5.10) показывают, что $\mathcal{G}=\mathcal{S}/G$ и морфизм $\tau\colon \mathcal{S}\to\mathcal{G}$ в (5.10) является морфизмом факторизации для данного действия и главным $G$-расслоением. Следовательно, ввиду (4.11) имеем
$$
\begin{equation}
\dim\mathcal{G}=\dim P(H_b)+\dim B-\dim G= 4\binom{a+3}{3}-a-2.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
5.2.Шаг 2. Теперь построим новое рациональное многообразие $\mathcal{P}$ и свяжем его с многообразием $Y$ посредством морфизма $\pi\colon Y\to\mathcal{P}$, который будет определен ниже. Рассмотрим многообразие $\mathbf{P}(\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_B \oplus\mathcal{O}_B(1))$ вместе с вложениями
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_B)\stackrel{i_1} {\hookrightarrow}\mathbf{P}(\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_B \oplus\mathcal{O}_B(1))\stackrel{i_2}{\hookleftarrow}\mathbf{P}(\mathcal{O}_B( 1))
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим $P\widetilde{B}:=\mathbf{P}(\wedge^2V_2\otimes\mathcal{O}_B \oplus\mathcal{O}_B(1))\setminus\bigl\{\operatorname{im}(i_1)\sqcup\operatorname{im} (i_2)\bigr\}$. По построению естественная проекция $P\widetilde{B}\to B$ является локально тривиальным расслоением со слоем
$$
\begin{equation}
\mathbf{F}\simeq\mathbb{P}^1\setminus\{\text{2 точки}\}.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Используя равенство (4.26), описание (4.28) многообразий $B_1$, $B_2$, $\widetilde{B}$ и обозначение $[\varphi_1:\varphi_2]:=\bigl\{( \lambda\varphi_1,\lambda\varphi_2)\mid \lambda\in\mathbf{k}^{\times }\bigr\}$ для $(b,\varphi_1,\varphi_2)\in\widetilde{B}$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
P\widetilde{B}=\bigl\{(b,[\varphi_1:\varphi_2])\mid (b,\varphi_i)\in B_i, \ i=1,2\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и что группа $\mathbf{k}^{\times}$ естественным образом действует на $\widetilde{B}$ как
$$
\begin{equation}
\widetilde{B}\times\mathbf{k}^{\times}\to\widetilde{B}, \qquad ((b,\varphi_1,\varphi_2),\lambda)\mapsto(b,\lambda \varphi_1,\lambda\varphi_2).
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Поэтому и мы имеем морфизм факторизации
$$
\begin{equation}
\pi_{\widetilde{B}}\colon \widetilde{B}\to P\widetilde{B}, \qquad (b,\varphi_1,\varphi_2)\mapsto(b,[\varphi_1:\varphi_2]).
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Рассмотрим многообразия
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag PY:=P\widetilde{B}\times_B\mathcal{S}=\bigl\{(b,[\varphi_1:\varphi_2], [\sigma_1:\sigma_2])\mid (b,[\varphi_1:\varphi_2])\in P\widetilde{B}, \ (b,[\sigma_1:\sigma_2])\in\mathcal{S}\bigr\}, \\ \mathcal{P}:=P\widetilde{B}\times_B\mathcal{G}=\bigl\{(b,[\varphi_1:\varphi_2],V, \langle\sigma_2\rangle)\mid (b,[\varphi_1:\varphi_2])\in P \widetilde{B},\ (b,V,\langle\sigma_2\rangle)\in\mathcal{G}\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $\mathcal{G}$ было определено в (5.9). Здесь $\mathcal{P}$ рационально ввиду (5.15) и рациональности многообразия $\mathcal{G}$ (см. замечание после (5.9)), и из (5.14) и (5.15) имеем
$$
\begin{equation}
\dim\mathcal{P}=\dim\mathcal{G}+\dim \mathbf{F}=4\binom{a+3}{3}-a-1.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Из описания (4.33) многообразия $Y$ и морфизма $\pi_{\widetilde{B}}$ в (5.18) получаем морфизм
$$
\begin{equation}
\pi_Y\colon Y\to PY, \qquad (b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1: \sigma_2])\mapsto(b,[\varphi_1:\varphi_2],[\sigma_1:\sigma_2]),
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
и из (5.16)–(5.18) следует, что $\pi_Y$ – морфизм факторизации по следующему действию группы $\mathbf{k}^{\times}$ на $Y$:
$$
\begin{equation}
a_Y\colon Y\times\mathbf{k}^{\times}\to Y, \qquad ((b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2]),\lambda)\mapsto (b,\lambda\varphi_1,\lambda\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2]).
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Соответственно морфизм $\tau\colon \mathcal{S}\to\mathcal{G}$, определенный в (5.10), индуцирует морфизм
$$
\begin{equation}
\tau_Y\colon PY\to\mathcal{P}, \qquad (b,[\varphi_1:\varphi_2],[\sigma_1:\sigma_2])\mapsto (b,[\varphi_1:\varphi _2],\tau_1(\sigma_1),\tau_2(\sigma_2)).
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Определим морфизм $\pi\colon Y\to\mathcal{P}$ как композицию
$$
\begin{equation}
\pi\colon Y\xrightarrow{\pi_Y}PY\xrightarrow{\tau_Y}\mathcal{P}, \qquad (b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2])\mapsto(b, [\varphi_1:\varphi_2],\tau_1(\sigma_1),\tau_2(\sigma_2)).
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
5.3.Шаг 3. На этом шаге мы показываем, что $\pi$ – морфизм факторизации по корректно определенному действию $\overline{G}$ на $Y$ и что слои $\pi$ являются классами изоморфизма симплектических монад $A_y$ в (5.26). Это вместе с технической леммой 6 и теоремой 3 завершает доказательство теоремы 1. Определение 2. Введем на $Y$ следующее отношение эквивалентности: если существует коммутативная диаграмма со строками $A_y$ и $A_{\widetilde{y}}$ Обозначаем через $[y]=[b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2]]$ класс эквивалентности точки $y=(b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1: \sigma_2])\in Y$ относительно данного отношения эквивалентности. Заметим, что в диаграмме (5.26)
$$
\begin{equation}
g_1\in\mathrm{Isom}(V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3},V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\cong \mathrm{GL}(V_2)
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
и $g_2\in\mathrm{Isom}(N_b,N_{\widetilde{b}})$, что ввиду стабильности $N_b$ дает
$$
\begin{equation}
b=\widetilde{b}, \qquad g_2=\lambda\cdot\mathrm{id}_{N_b}, \qquad \lambda\in\mathbf{k}^{\times};
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
кроме того, изоморфизмы $h_-$, $h_+$ являются умножениями на некоторые константы $\mu,\nu\in\mathbf{k}^{\times}$ соответственно:
$$
\begin{equation}
h_-=\mu\cdot\mathrm{id}_{{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)}, \qquad h_+=\nu\cdot\mathrm{id}_{{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)}.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Более того, ввиду (5.1), (5.27), (5.28) и симплектичности $\varphi_1$, $\varphi_2$ в (5.26) имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varphi}_1=\lambda_1\varphi_1, \quad \widetilde{\varphi}_2=\lambda_2\varphi_2, \qquad \lambda_1,\lambda_2\in\mathbf{k}^{\times}.
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Левый квадрат диаграммы (5.26) вместе с (5.29) дает
$$
\begin{equation}
\widetilde{\sigma}_1=\frac{1}{\mu}g_1\circ\sigma_1, \qquad \widetilde{\sigma}_2=\frac{\lambda}{\mu}\sigma_2.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Соответственно правый квадрат диаграммы (5.26) дает $\nu\sigma_1^{\vee}\,{\circ}\,\varphi_1 =\widetilde{\sigma}_1^{\vee}\,{\circ}\,\widetilde{\varphi}_1\,{\circ}\, g_1$, $\nu\sigma_2^{\vee}\,{\circ}\,\varphi_2=\lambda\widetilde{\sigma}_2^{\vee} \,{\circ}\,\widetilde{\varphi}_2$. Подставляя (5.29)–(5.31) в последние равенства, получаем соотношения $g_1^{\vee}\circ\varphi_1\circ g_1=\det(g_1)\varphi_1$, $g_2^{\vee}\circ\varphi_2\circ g_2=\lambda^2\varphi_2$, которые влекут $\nu={\lambda_1\det(g_1)}/{\mu}$ и $\nu=\lambda_2\lambda^2/\mu$. Отсюда получаем $\lambda_1\det(g_1)=\lambda_2\lambda^2$. Это равенство показывает, что действие (5.13) группы $G$ на $\mathcal{S}$ поднимается до следующего действия $G$ на $PY$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_{PY}\colon PY\times G\to PY, \\ ((b,[\varphi_1:\varphi_2],[\sigma_1:\sigma_2]),[g_1:\lambda] )\mapsto \biggl(b,\biggl[\frac{\varphi_1}{\det(g_1)}:\frac{\varphi_2} {\lambda^2}\biggr],[g_1\circ\sigma_1:\lambda\sigma_2]\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Поэтому $\mathcal{P}=PY/G$, и морфизм в (5.23) есть морфизм факторизации по данному действию. Поэтому имеем коммутативную диаграмму где $\mathrm{pr}_{\mathcal{G}}$ – естественная проекция. Далее, из (5.21), (5.22), (5.32) и (5.33) следует, что морфизм $\pi\colon Y\to \mathcal{P}$ в (5.24) есть морфизм факторизации по следующему действию группы $\overline{G}=\mathrm{GL}(V_2)\times\mathbf{k}^{ \times}$ на $Y$, где группа $\overline{G}$ была определена в (5.11):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_Y\colon Y\times\overline{G}\to Y, \\ ((b,\varphi_1,\varphi_2,[\sigma_1:\sigma_2]),([g_1:\lambda],\mu)) \mapsto\biggl(b,\frac{\mu\varphi_1}{\det(g_1)}, \frac{\mu\varphi_2}{\lambda^2},[g_1\circ\sigma_1:\lambda \sigma_2]\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Более того,
$$
\begin{equation}
\pi\colon Y\to\mathcal{P}=Y/\overline{G} \quad\text{- главное $\overline{G}$-расслоение},
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
и вычисления (5.27)–(5.32) показывают, что класс эквивалентности $[y]$ для каждой точки $y\in Y$ есть $\overline{G}$-орбита $y$:
$$
\begin{equation}
[y]=a_Y(\{y\}\times \overline{G})=\pi^{-1}(\pi(y)), \qquad y\in Y.
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Другими словами, $\mathcal{P}$ есть множество классов эквивалентности точек многообразия $Y$: Заметим, что согласно следствию из § 2 равенство $[y]=[\widetilde{y}]$, т.е. изоморфизм симплектических монад $A_y$ и $A_{\widetilde{y}}$ в (5.26), эквивалентен изоморфзму их когомологических расслоений ранга 2 как симплектических расслоений $(\mathcal{H}^0(A_y),\psi_y)$ и $(\mathcal{H}^0(A_{\widetilde{y}}),\psi_{ \widetilde{y}})$, или, что то же, эквивалентен коммутативности диаграммы Здесь $\psi_y$ (соответственно $\psi_{\widetilde{y}}$) – симплектический изоморфизм, индуцированный симплектическим изоморфизмом монады $A_y$ с двойственной к ней $A_y^{\vee}$ (соответственно $A_{\widetilde{y}}$ с $A_{\widetilde{y}}^{\vee}$). Поэтому, обозначая через $[\mathcal{H}^0(A_y), \psi_y]$ класс изоморфизма пары $(\mathcal{H}^0(A_y),\psi_y)$, мы имеем
$$
\begin{equation}
[y]=[\mathcal{H}^0(A_y),\psi_y]=[\mathcal{H}^0(A_y)].
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Это вместе с (5.35)–(5.37) показывает, что модулярный морфизм
$$
\begin{equation*}
\Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1), \qquad y\mapsto[\mathcal{H} ^0(A_y)],
\end{equation*}
\notag
$$
пропускается через инъективное отображение $\Theta\colon \mathcal{P}\to\mathcal{B} (a^2+1)$, т.е. Поскольку $Y$, очевидно, является гладким, отображение $\Theta$ действительно является морфизмом. Это вытекает из следующего хорошо известного общего результата. (Для удобства читателя мы приводим здесь его доказательство.) Лемма 6. Пусть $X$, $Y$, $Z$ – квазипроективные многообразия с гладким $Y$, и пусть $a\colon X\to Y$ и $b\colon X\to Z$ – морфизмы такие, что $a$ сюръективен, а морфизм $b$ постоянен на слоях морфизма $a$. Тогда существует морфизм $f\colon Y\to Z$ такой, что $b=f\circ a$. Доказательство. Рассмотрим морфизм $g\colon X\to Y\times Z$, $x\mapsto(a(x),b(x))$, и пусть $Y\xleftarrow{a'}Y\times Z\xrightarrow{b'}Z$ – проекции на сомножители такие, что $a=a'\circ g$ и $b=b'\circ g$. Поскольку $b$ постоянно на слоях $p$, то отсюда следует, что $\widetilde{a}:=a'|_{g(X)}\colon g(X)\to Y$ – биекция. Таким образом, поскольку $Y$ гладкое, $\widetilde{a}$ – изоморфизм (см., например, [37; ч. 1, гл. 1, § 4, теорема 2]). Поэтому искомый морфизм $f$ является композицией $f=b'\circ\widetilde{a}^{-1}$. Лемма доказана. Теперь предложение 8 вместе с рациональностью $\mathcal{P}$ и формулами (5.20), (5.35) и (5.40) дает следующую теорему. Теорема 3. Существует инъективный морфизм $\Theta\colon \mathcal{P}\hookrightarrow\mathcal{B}(a^2+1) $ такой, что модулярный морфизм $\Phi_Y\colon Y\to\mathcal{B}(a^2+1)$ разлагается в композицию где $\pi\colon Y\to\mathcal{P}$ – главное $\overline{G}$-расслоение с группой $\overline{G}$, определенной в (5.11). Многообразие $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$, содержащее рациональное многообразие $\mathcal{G}(a,1)_0=\Theta(\mathcal{P})$ в качестве плотного подмножества, является рациональным многообразием размерности $4\binom{a+3}{3}-a-1$. 5.4.Теперь получим следующую важную формулу. Лемма 7. Для каждого $[\mathcal{E}]\in\mathcal{G}(a,1)_0$ с $a\geqslant2$ имеет место равенство где $\varepsilon(a)=1$, когда $a=3$, и $\varepsilon(a)=0$, когда $a\ne3$. Доказательство. Поскольку $\mathcal{E}$ – самодвойственное расслоение ранга 2, имеем ${\mathcal E}\mathit{nd}(\mathcal{E})\simeq S^2\mathcal{E}\oplus\Lambda^2\mathcal{E} = S^2\mathcal{E}\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$, поэтому $h^{1}({\mathcal E}\mathit{nd}(\mathcal{E}))= h^1(S^2\mathcal{E})$. Вычислим последнее выражение.
По определению $\mathcal{G}(a,1)_0$ (см. предложение 7, (ii), (4.17) и (4.19)) $\mathcal{E}$ – когомология комплекса $M^{\bullet}$ с членами $M^{-1}={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-a)$, $M^0=E\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} ^{\oplus2}\oplus N$, $M^1={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)$. Перейдем к двойному комплексу $M^{\bullet}\otimes M^{\bullet}$ и его тотальному комплексу $T^{\bullet}$. Симметрическая часть комплекса $T^{\bullet}$ есть монада $0\to E(-a)\to S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\to E(a)\to 0$, когомологический пучок которой изоморфен $S^2\mathcal{E}$. Следовательно, эта монада может быть разбита на две короткие точные последовательности
$$
\begin{equation*}
0\to K\to S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\to E(a)\to 0 , \qquad 0 \to E(-a)\to K\to S^2\mathcal{E}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $h^0(E(-a))=h^0(S^2\mathcal{E})=0$, отсюда следует, что $h^0(K)=0$; в дополнение $h^1(E(a))=h^2(S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=0$ (используем предложение 1) влечет, что $h^2(K)=0$. Тем самым ввиду расщепления $E\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}^{\oplus2}\oplus N$ получаем
$$
\begin{equation}
h^1(S^2\mathcal{E})=h^1(K)+h^2(E(-a))=h^1(K)+\varepsilon(a), \qquad \varepsilon(a):=h^2(N(-a)),
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
поскольку $h^1(E(-a))=0$ для $a\geqslant2$.
Для завершения нашего вычисления рассмотрим точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to H^0(S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}) \to H^0(E(a)) \to H^1(K) \to H^1(S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $h^0(S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})= 4$ и $h^1(S^2E\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})= 5$ по предложению 1, мы заключаем, что
$$
\begin{equation*}
h^1(K) = h^0(E(a)) + 1 = h^0(N(a))+2h^0({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(a)) + 1,
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с равенством в (5.42) дает искомую формулу. Лемма доказана. Интересно отметить, что правая часть формулы в лемме 7 дает значение $h^1({\mathcal E}\mathit{nd}(\mathcal{E}))$, ожидаемое по теории деформаций, когда $a=2$ и $a=3$, равное соответственно 37 и 77; когда $a\geqslant4$, можно проверить, что $4\binom{a+3}{3} - a - 1 > 8(a^2+1)-3$. Замечая, что в силу теоремы 3 размерность $\overline{\mathcal{G}(a,1)}$ равна $h^1({\mathcal E}\mathit{nd}(E))$ для $a=2$ и $a\geqslant4$, как вычислено в лемме 7, и используя предложение 7, мы тем самым завершаем доказательство первого основного результата настоящей статьи – теоремы 1. Теорема 1 доказана. В частности, для случая $a=2$ мы заключаем, что расслоения ранга 2, задаваемые как когомологии монад вида (1.5), составляют плотное подмножество неприводимой компоненты пространства $\mathcal{B}(5)$, имеющей ожидаемую размерность 37. § 6. Когомологическое расслоение $\mathcal{E}$ монады вида (1.6) и связанный с ним рефлексивный пучок $\mathcal{F}$6.1.Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}=\bigl\{ [\mathcal{E}]\in\mathcal{B}(5) \mid \mathcal{E} \text{ - когомология монады вида }(1.6)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $\mathcal{H}\ne\varnothing$ (см. [21; таблица 5.3, $c_2=5$, случай (2), ii)]). Заметим, что множество $\mathcal{H}$ является конструктивным подмножеством в $\mathcal{B}(5)$ так же, как и $\mathcal{G}(2,1)$ (см. замечание 2 после предложения 3). Цель этого и следующего параграфов – доказать следующую теорему. Теорема 4. Множество $\mathcal{H}$ удовлетворяет условию Его замыкание в $\mathcal{B}(5)$ не образует компоненту в $\mathcal{B}(5)$. В этом параграфе свяжем с векторным расслоением $[\mathcal{E}]\in\mathcal{H} \setminus(\mathcal{G}(2,1)\cap\mathcal{H})$ рефлексивный пучок $\mathcal{F}$ ранга 2 с классами Черна $c_1(\mathcal{F})=0$, $c_2(\mathcal{F})=2$ и $c_3(\mathcal{F})=2k$, $0\leqslant k\leqslant 6$, который появляется как средняя когомология точного слева комплекса $K^{\bullet}$ (см. (6.25)), индуцированного монадой вида (1.6), определяющей $\mathcal{E}$. Эта связь будет установлена в предложении 9. Затем мы воспользуемся ею в § 7 для доказательства теоремы 4. Пусть $[\mathcal{E}]\in\mathcal{H}\setminus(\mathcal{G}(2,1)\cap\mathcal{H})$ – это когомологическое расслоение монады вида (1.6):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M^{\bullet}\colon\quad 0\to M^{-1}\xrightarrow{\alpha}M^0\xrightarrow{\beta} M^{1}\to0, \\ M^{-1}={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\oplus V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1), \qquad M^0={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus V_{6}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1), \\ M^{1}=V'_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Поскольку расслоение $V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$ – однозначно определенное подрасслоение расслоения $M^{-1}$ (соответственно $V'_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ – однозначно определенное факторрасслоение расслоения $M^{1}$), мы получаем коммутативную диаграмму, в которой $\alpha_0$ и $\beta_0$ – индуцированные морфизмы: Здесь индуцированная монада
$$
\begin{equation}
0\to V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_0}M^0\xrightarrow{ \beta_0}V'_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
имеет когомологическое расслоение ранга 4. Повторяя теперь рассуждение с диаграммой (3.6), мы получаем, что существуют морфизм подрасслоения $\sigma\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\to E$ и эпиморфизм $\tau\colon E\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)$, которые дают следующую монаду и ее когомологическое расслоение $\mathcal{E}$:
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\stackrel{\sigma}{\to}E\stackrel{\tau}{\to}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)\to0, \qquad \mathcal{E}=\frac{\ker\tau}{\operatorname{im}\sigma}.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Поскольку имеется однозначно определенный (с точностью до скалярного множителя) факторморфизм $M^0\twoheadrightarrow {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$, мы имеем корректно определенный морфизм
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha}\colon\quad V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\stackrel{\alpha_0} {\hookrightarrow}M^0\twoheadrightarrow {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
и корректно определенный морфизм
$$
\begin{equation}
\widetilde{\beta}\colon\quad {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1){\hookrightarrow}M^0\stackrel{\beta_0} {\twoheadrightarrow}V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Предположим, что $\widetilde{\alpha}$ и $\widetilde{\beta}$ являются ненулевыми морфизмами. Тогда стандартный диаграммный поиск показывает, что в монаде (6.3) можно отщепить прямое слагаемое ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$ от $V_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$ и от $M^0$ и соответственно отщепить прямое слагаемое ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ от $M^0$ и $V'_{2}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) $ без изменения ее когомологического расслоения $E$. Поэтому монада (6.3) сводится к монаде
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\stackrel{\alpha'}{\to}V_{6}\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \stackrel{\beta'}{\to}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0, \qquad E=\frac{\ker\beta'}{\operatorname{im}\alpha'}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Теперь согласно замечанию 1 после леммы 2 пучок $E$ – инстантонное расслоение ранга 4, так что по (6.5) и лемме 4 пучок $\mathcal{E}$ является когомологическим расслоением монады (3.1) для $a=2$ и $k=1$. Это означает, что $\mathcal{E}\in\mathcal{G}(2,1)\cap\mathcal{H}$; противоречие с предположением о $\mathcal{E}$. Тем самым мы можем предположить, что либо (a) $\widetilde{\alpha}=0$, $\widetilde{\beta}\ne0$, либо (b) $\widetilde{\alpha}=\widetilde{\beta}=0$. (Мы опускаем случай $\widetilde{\alpha}\ne0$, $\widetilde{\beta}=0$, поскольку он полностью аналогичен случаю (a).) 6.2.Случай (a): $\widetilde{\alpha}=0$, $\widetilde{\beta}\ne0$. Мы собираемся показать, что этот случай невозможен. Предположим противное и покажем, что это приведет к противоречию. Сначала заметим, что, поскольку $\widetilde{\beta}\ne0$, мы можем, как и выше, отщепить прямое слагаемое ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ от среднего и правого членов монады (6.3) без изменения ее когомологического расслоения $E$. Поэтому эта монада сводится к монаде
$$
\begin{equation}
0\to V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\stackrel{\alpha'}{\to}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus V_6\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\stackrel{\beta'}{\to}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0,\qquad E=\frac{\ker\beta'}{\operatorname{im}\alpha'}.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Далее, условие $\widetilde{\alpha}=0$ означает, что морфизм подрасслоения $\alpha'$ в (6.3) пропускается через морфизм подрасслоения $\alpha''$ в коммутативной диаграмме где $F_4:=\operatorname{coker}\alpha''$ и $F_5:=\operatorname{coker}\alpha'$ – векторные расслоения ранга 4 и 5 соответственно. Из этой диаграммы следует, что ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$ отщепляется как прямое слагаемое в $F_5$:
$$
\begin{equation}
F_5\cong {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\oplus F_4.
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Монада (6.9) и диаграмма (6.10) дают коммутативную диаграмму где $F_3:=\ker(\eta\circ\lambda)$, $A:=F_4/F_3$, $B:=E/F_3$, $C:={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)/A$. Здесь $A\ne0$, поскольку в противном случае $C\simeq{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$, и тогда $\overline{\eta}$ не является сюръективным, что противоречит (6.12). Следовательно, $C$ – пучок кручения, а $A$, $B$ и $F_3$ – пучки без кручения рангов 1, 1 и 4 соответственно. Тем самым диаграмма (6.12) влечет, что $c_1(F_4)-c_1(E)=2c_1({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1))$. С другой стороны, ввиду (6.11) мы имеем корректно определенный инъективный морфизм $\rho\colon E\xrightarrow{\nu}F_5\xrightarrow{\mathrm{pr}_2}F_4$ такой, что по лемме о змее $Q:=\operatorname{coker}\rho\cong A/B$ – пучок кручения. Отсюда получаем, что $c_1(Q)=2c_1({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1))\ne0$, т.е. $Q\ne0$. Однако (6.12) и лемма о змее влекут коммутативную диаграмму где $i$ – включение прямого слагаемого и $\overline{i}$ – индуцированный морфизм. Но пучок кручения $Q$ не является подпучком ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$, и мы получаем противоречие, как и утверждалось. Суммируя приведенные выше рассуждения, мы видим, что расслоение $[\mathcal{E}]\,{\in}\,\mathcal{H}$ есть когомология $\mathcal{H}^0(M^{\bullet})$ монады $M^{\bullet}$ вида (1.6), удовлетворяющей условию (a): $(\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta})\ne(0,0)$; тогда $M^{\bullet}$ сводима к монаде вида (1.5), т.е. $[\mathcal{E}]\in\mathcal{H}\cap \mathcal{G}(2,1)$. Поэтому, обозначая
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_0:=\bigl\{[\mathcal{E}]\in\mathcal{H}\mid \mathcal{E}=\mathcal{H}^0(M^{\bullet }), \text{ где }M^{\bullet}\text{ удовлетворяет условию (b): }\ \widetilde{\alpha}=\widetilde{\beta}=0\bigr\},
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\setminus(\mathcal{H}\cap\mathcal{G}(2,1))\subset\mathcal{H}_0.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Итак, перейдем к рассмотрению случая $\widetilde{\alpha}=\widetilde{\beta}=0$. 6.3.Случай (b): $\widetilde{\alpha}=\widetilde{\beta}=0$. Сначала рассмотрим коммутативную диаграмму и точные тройки, следующие из (6.3) и (6.4):
$$
\begin{equation}
0\to V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_0}M^0\xrightarrow{c_0}C_0 \to0,
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
$$
\begin{equation}
0\to E\xrightarrow{d_0}C_0\xrightarrow{e_0}V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to0, \qquad C_0:=\operatorname{coker}\alpha_0, \quad \beta_0=e_0\circ c_0.
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Условие $\widetilde{\alpha}=0$ влечет, что существует морфизм подрасслоения $0\to V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_1}V_6\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\oplus{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ такой, что Полагая $C:=\operatorname{coker}(h_0\circ\alpha_0)$, $C_1:=\operatorname{coker}\alpha_1$, $\alpha_2:=h_1\circ\alpha_1$, $C_2:=\operatorname{coker}\alpha_2 $, получаем из (6.16), (6.17) и (6.19) индуцированную коммутативную диаграмму и точную тройку
$$
\begin{equation}
0\to V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\xrightarrow{\alpha_2}V_6\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3} \xrightarrow{c_2}C_2\to0.
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
Из условия $\widetilde{\beta}=0$ и диаграммного поиска следует, что существует инъективный морфизм $j\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\to E$ такой, что $\overline{j}_0=d_0\circ j$. Из этого равенства и (6.18), (6.20) и (6.21) диаграммным поиском мы получаем следующие данные: 1) точную тройку
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\xrightarrow{j}E\xrightarrow{h}E_3\to0, \qquad E_3:=\operatorname{coker}j;
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
2) коммутативную диаграмму где $d$ и $e$ – индуцированные морфизмы, $\varepsilon:= d\circ\overline{g}$, $\overline{e}:=e\circ\overline{i}$;3) пучок и точный слева комплекс
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, K^{\bullet}\colon\quad 0\to K^{-1}\xrightarrow{\alpha_2}K^0\xrightarrow{ \beta_2}K^{1}\to0, \qquad \beta_2:=\overline{e}\circ c_2, \\ K^{-1}=V_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1), \qquad K^0=V_6\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}, \qquad K^{1}=V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
такие, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^0(K^{\bullet})=\mathcal{F}, \qquad \mathcal{H}^1(K^{\bullet})= \operatorname{coker}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Из (6.5), (6.25) и зануления $\operatorname{Hom}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2))$ следует коммутативная диаграмма где $\mathcal{L}:=\operatorname{coker}(h\circ\sigma)$ и $j'$ – индуцированный морфизм, являющийся ненулевым, следовательно, инъективным, поскольку $\operatorname{coker}\sigma$ локально свободно по точной тройке $0\to\mathcal{E}\to\operatorname{coker}\sigma\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)\to0$, следующей из (6.5). Ввиду того, что $\mathcal{E}$ стабильно по предположению, имеем $h^0(\mathcal{E}(-1))=0$ (см. [35]), и последняя тройка и (6.27) приводят к коммутативной диаграмме где $\mathbb{P}^2=\mathrm{Supp}(\operatorname{coker}\overline{\beta})$ – проективная плоскость в $\mathbb{P}^3$. Заметим, что в этой диаграмме морфизм $\overline{\beta}$ – это композиция $\overline{\beta}\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\xrightarrow{\mathrm{can}}M^0 \xrightarrow{\beta}M^1$ и $\operatorname{im}\overline{\beta} \hookrightarrow {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)$, поскольку $\widetilde{\beta}=0$. Поэтому плоскость $\mathbb{P}^2$ однозначно определена морфизмом $\beta$ в монаде $M^{\bullet}$. Аналогично, поскольку $\widetilde{\alpha}=0$, морфизм $\alpha$ в $M^{\bullet}$ однозначно определяет морфизм $\overline{ \alpha}\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$, а следовательно, проективную плоскость $\mathbb{P}^2_0=\mathrm{Supp}(\operatorname{coker}\overline{\alpha})$. Для этих двух плоскостей мы будем использовать обозначение
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}^2=\mathbb{P}^2(M^{\bullet},\beta), \qquad \mathbb{P}^2_0=\mathbb{P}^2(M^{\bullet}, \alpha).
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Рассмотрим нижнюю горизонтальную тройку в (6.28)
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{E}\xrightarrow{\theta}\mathcal{L}\xrightarrow{\gamma}\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2}(2)\to0, \qquad \mathbb{P}^2=\mathbb{P}^2(M^{\bullet},\beta).
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
6.4.Свойства пучка $\mathcal{L}$, введенного выше, суммированы в следующей лемме. Лемма 8. Пучок $\mathcal{L}$ в (6.30) – стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на $\mathbb{P}^3$, $[\mathcal{L}]\in\mathcal{R}(1,4,6)$. Доказательство. Сначала покажем, что тройка (6.30) не расщепляется. В самом деле, в противном случае нижняя горизонтальная тройка в (6.27) продолжается естественным образом до коммутативной диаграммы где нижняя тройка расщепляется, поскольку $\operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P} ^2}(2),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2))=0$. Это дает ненулевой морфизм $\delta\colon \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to E_3$, который в композиции с морфизмом $\varepsilon$ в (6.24) дает нулевой морфизм ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$. Поэтому верхняя горизонтальная тройка в (6.24) показывает, что морфизм $\delta$ пропускается через ненулевой морфизм
$$
\begin{equation}
\delta'\colon \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to \mathcal{F}.
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
С другой стороны, (6.25) и (6.26) влекут точную тройку $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\to\ker\beta_2\to \mathcal{F}\to0$, которая вместе с (6.32) продолжается до коммутативной диаграммы, аналогичной (6.31), где $\delta''|_{\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)}$ является ненулевым. Это, однако, невозможно, так как пучок $\ker\beta_2$ не имеет кручения, поскольку по определению является подпучком локально свободного пучка $V_6\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}$.
Далее, поскольку пучок $\mathcal{E}\cong\mathcal{E}^{\vee}$ локально свободный и $\mathcal{E} xt^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=\mathcal{O}_{\mathbb{P} ^2}(-1)$, то, применяя функтор $\mathcal{E} xt^{\bullet}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ к тройке (6.30), получаем точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{L}^{\vee}\xrightarrow{\theta^{\vee}}\mathcal{E}\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} (-1)\xrightarrow{\varphi}{}^1\mathcal{L}\to0, \qquad {}^1\mathcal{L}:=\mathcal{E} xt^1(\mathcal{L},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}).
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
Пусть $d=\dim({}^1\mathcal{L})$. Рассмотрим три возможных случая: (a) $d=2$; (b) $d=1$; (c) $d=0$. Покажем, что случаи (a) и (b) приводят к противоречию.
(a) $d=2$. В этом случае $\dim\operatorname{Sing}\mathcal{L}=2$, т.е. пучок кручения $\mathcal{T}ors(\mathcal{L})$ в $\mathcal{L}$ имеет размерность 2. Это необходимо влечет, что композиция $\mathcal{T}ors(\mathcal{L}) \hookrightarrow\mathcal{L}\stackrel{\gamma}{\twoheadrightarrow}\mathcal{O} _{\mathbb{P}^2}(2)$ – изоморфизм, дающий расщепление тройки (6.30), в противоречии с доказанным выше. (b) $d=1$. В этом случае ${}^1\mathcal{L}=\mathcal{O}_Z(-1)$ для $Z$ – подсхемы в $\mathbb{P}^2$ размерности $\dim Z=1$. Следовательно, $\ker\varphi \hookrightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1-k)$ для некоторого $k\geqslant2$. Согласно (6.34) пучок $\ker\varphi$ есть фактор $\mathcal{E}$, откуда следует, что $h^0(\mathcal{E}_{\mathbb{P}^2}(-1-k))\ne0$, $k\geqslant1$, и, таким образом, $h^0(\mathcal{E}_{\mathbb{P}^2}(-2))\ne0$. С другой стороны, поскольку расслоение $\mathcal{E}$ – это когомология монады (6.1), то согласно [21; таблица 5.3, случай 5, (2.ii)] оно имеет спектр $\mathrm{Sp}(\mathcal{E})=(-1,0,0,0,1)$, откуда следует, что
$$
\begin{equation}
h^1(\mathcal{E}(-3))=0, \qquad h^1(\mathcal{E}(-2))=1.
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
Согласно первому равенству в (6.35) неравенство $h^0(\mathcal{E} _{\mathbb{P}^2}(-2))\ne0$ противоречит когомологической последовательности точной тройки
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{E}(-3)\to\mathcal{E}(-2)\to\mathcal{E}_{\mathbb{P}^2}(-2)\to0,
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
так как $h^0(\mathcal{E}(-2))=0$ ввиду стабильности $E$. Заметим также, что мы доказали здесь равенство
$$
\begin{equation}
H^0(\mathcal{E}_{\mathbb{P}^2}(-2))=0 \quad \forall\, \mathbb{P}^2\subset\mathbb{P}^3.
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
(c) $d=1$. В этом случае ${}^1\mathcal{L}=\mathcal{O}_Z(-1)$ для некоторой подсхемы $Z$ размерности $\dim Z=0$ в $\mathbb{P}^2$, и имеем точную последовательность $0\to\mathcal{L}^{\vee}\xrightarrow{\theta^{\vee}}\mathcal{E}\to \mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(-1)\to0$ и равенство $Z=(s)_0$, $0\ne s\in H^0(\mathcal{E} (-1)|_{\mathbb{P}^2})$. Поскольку $\dim Z\,{=}\,0$, отсюда следует, что ${\mathcal E}\mathit{xt}^1(\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(-1),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})={\mathcal E}\mathit{xt}^1({\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(-1),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})={\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$. Поэтому, применяя функтор ${\mathcal E}\mathit{xt}^{\bullet}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ к последней тройке, ввиду изоморфизма $\mathcal{E}\cong\mathcal{E}^{\vee}$ получаем точную тройку $0\to\mathcal{E} \xrightarrow{\theta^{\vee\vee}}\mathcal{L}^{\vee\vee}\xrightarrow{\gamma} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to0$. Сравнивая эту тройку с (6.30) и учитывая, что по построению композиция $\mathcal{E}\xrightarrow{\theta} \mathcal{L}\xrightarrow{\mathrm{can}}\mathcal{L}^{\vee\vee}$ совпадает с $\theta^{\vee\vee}$, получаем, что $\mathcal{L}\xrightarrow{\mathrm{can}} \mathcal{L}^{\vee\vee}$ – изоморфизм, т.е. пучок $\mathcal{L}$ рефлексивен. Далее, поскольку $c_t(\mathcal{E})=1+5t^2$, формулы для классов Черна $\mathcal{L}$ следуют из (6.30). В частности, $\mathcal{L}^{\vee}\cong \mathcal{L}(-1)$ имеет $c_1(\mathcal{L}(-1))=-1$, и, поскольку $h^0(\mathcal{E})\,{=}\,0$, отсюда следует, что Поэтому $\mathcal{L}$ является стабильным согласно [20; лемма 3.1]. Лемма 8 доказана.6.5.Перейдем теперь к более детальному изучению пучка $\mathcal{F}$. Рассмотрим верхнюю горизонтальную тройку диаграммы (6.23), которая продолжается до точной последовательности
$$
\begin{equation}
0\to \mathcal{F}\to E_3\xrightarrow{\varepsilon}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to\mathcal{O}_{\overline{Y}}(-1)\to0, \qquad \overline{Y}\subset\mathbb{P}^3.
\end{equation}
\tag{6.39}
$$
Лемма 9. Пучок $\mathcal{F}$, определенный в (6.24), – это рефлексивный пучок ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, включающийся в точную тройку Доказательство. Сначала покажем, что $\operatorname{rk}\mathcal{F}=2$. В самом деле, если $\varepsilon$ в (6.39) – нулевой морфизм, то диаграмма (6.23) и лемма о змее дают эпиморфизм $V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\twoheadrightarrow {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$, что невозможно. Следовательно, $\varepsilon\ne0$ и (6.24) влечет, что $\operatorname{rk}\mathcal{F}=2$ и, более того, что $\overline{Y} \subsetneqq\mathbb{P}^3$, т.е. $\overline{Y}$ – собственная подсхема в $\mathbb{P}^3$. Заметим также, что ввиду (6.3) и (6.4) $c_1(E)=0$, откуда $c_1(E_3)=-1$ ввиду (6.22). Поэтому из (6.39) следует, что $c_1(\mathcal{F})=c_1(\mathcal{O}_{\overline{Y}}(-1)) \geqslant0$.
Далее, рассмотрим нижнюю точную тройку в (6.27)
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\xrightarrow{h\circ\sigma}E_3\to\mathcal{L}\to0.
\end{equation}
\tag{6.43}
$$
Если композиция $f:=\varepsilon\circ h\circ\sigma$ – нулевой морфизм, то (6.39) и (6.43) дают, что существуют инъективные морфизмы ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\stackrel{f_1}\rightarrowtail \mathcal{F}$ и $\operatorname{coker} (f_1)\stackrel{f_2}\rightarrowtail\mathcal{L}$. Поскольку $\operatorname{rk} \mathcal{F}=2$, $c_1(\mathcal{F})\geqslant0$ и $\mathcal{L}$ рефлексивен по лемме 8, то отсюда следует, что $\operatorname{coker}(f_1)$ – пучок без кручения с $c_1(\operatorname{coker}(f_1))\geqslant2$. Поэтому инъективность $f_2$ показывает, что $h^0(\mathcal{L}(-2))\ne0$ вопреки стабильности $\mathcal{L}$ (см. лемму 8). Отсюда вытекает, что $f\ne0$, так что (6.39) и (6.43) продолжаются до коммутативной диаграммы где $\mathbb{P}^2_0$ – некоторая проективная плоскость в $\mathbb{P}^3$. Если $\overline{\delta}$ – изоморфизм, то $\operatorname{coker}(\varepsilon)\simeq \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-1)$, так что диаграмма (6.23) и лемма о змее влекут эпиморфизм $V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1)\twoheadrightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-1)$, что невозможно. Следовательно, $\overline{Y} \subsetneqq\mathbb{P}^2_0$, т.е. $\overline{Y}$ – собственная подсхема в $\mathbb{P}^2_0$, $\dim\overline{Y}\leqslant1$ и из (6.44) следует точная тройка (6.40).
Покажем, что случай $\dim\overline{Y}=1$ невозможен. В самом деле, в этом случае $\overline{Y}$ содержит дивизор $D\subset\mathbb{P}^2_0$ степени $k\geqslant1$ как подсхему, и это дает эпиморфизм $\mathcal{O}_{\overline{Y}}(-1) \stackrel{b}{\twoheadrightarrow}\mathcal{O}_D(-1)$. С другой стороны, средняя горизонтальная точная тройка в (6.44) вместе с диаграммой (6.23) и лемма о змее влекут эпиморфизм $V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \twoheadrightarrow\mathcal{O}_{\overline{Y}}(-1)$. Этот эпиморфизм в композиции с эпиморфизмом $b$ выше дает эпиморфизм $V'_2\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(1) \twoheadrightarrow\mathcal{O}_D(-1)$, что невозможно, поскольку $h^0(\mathcal{O}_D (-2))=0$, как следует из последовательности когомологий точной тройки $0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-2-k)\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-k)\to\mathcal{O}_ D(-2)\to0$. Следовательно, $\dim\overline{Y}\leqslant0$, и, обозначая ${}^i\mathcal{I}:=\mathcal{E} xt^i(\mathcal{I}_{\overline{Y},\mathbb{P}^2_0}(-1),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$, $i\geqslant1$, получаем ${}^1\mathcal{I}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(2)$, $\dim{}^2\mathcal{I} \leqslant0$, ${}^3\mathcal{I}=0$. Кроме того, положим ${}^i\mathcal{F}:=\mathcal{E} xt^i(\mathcal{F}, {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$, ${}^i\mathcal{L}:=\mathcal{E} xt^i(\mathcal{L},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$, $i\geqslant1$, и заметим, что для рефлексивного пучка $\mathcal{L}$ $\dim{}^1\mathcal{L}=0$, ${}^i\mathcal{L}=0$, $i=2,3$ (см. [20; доказательство теоремы 2.5]). Применяя теперь к (6.40) функтор $\mathcal{E} xt^{\bullet}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ и используя соотношения выше, получаем равенства ${}^i\mathcal{F}=0$, $i=2,3$, и точную последовательность $0\to\mathcal{L}^{\vee}\xrightarrow{\zeta ^{\vee}}\mathcal{F}^{\vee}\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(2)\xrightarrow{\mu}{}^1 \mathcal{L}\to{}^1\mathcal{F}\to{}^2\mathcal{I}\to0$, откуда $\dim{}^1\mathcal{F}\leqslant0$ и $\ker\mu\simeq\mathcal{I}_{Z, \mathbb{P}^2_0}(2)$ для некоторой подсхемы $Z$ в $\mathbb{P}^2_0$ размерности $\dim Z\leqslant0$. Тем самым мы получаем точную тройку $0\to\mathcal{L}^{\vee}\xrightarrow{\zeta^{\vee}}\mathcal{F}^{\vee}\to\mathcal{I}_{Z, \mathbb{P}^2_0}(2)\to0$ и равенство $\mathcal{E} xt^1(\mathcal{I}_{Y,\mathbb{P}^2_0 }(2),{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-1)$. Далее, применение к предыдущей тройке функтора $\mathcal{E} xt^{\bullet}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ влечет точную последовательность $0\to \mathcal{F}^{\vee\vee}\xrightarrow{\zeta^{\vee\vee}} \mathcal{L}^{\vee\vee}\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_0}(-1)\xrightarrow{\nu} \mathcal{E} xt^1(\mathcal{F}^{\vee},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$. Согласно [20; следствие 1.2] $\mathcal{F}^{\vee}$ – рефлексивный пучок ранга 2, следовательно, $\dim\mathcal{E} xt^1(\mathcal{F}^{\vee },{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\leqslant0$ согласно [20; замечание 2.7.1] и тем самым $\ker\nu\simeq\mathcal{I}_{W,\mathbb{P}^2_0}(-1)$ для некоторой подсхемы $W$ в $\mathbb{P}^2_0$ размерности $\dim W\leqslant0$. Поэтому предыдущая последовательность приводит к точной тройке $0\to\mathcal{F}^{\vee\vee} \xrightarrow{\zeta^{\vee\vee}}\mathcal{L}^{\vee\vee}\to\mathcal{I}_{W,\mathbb{P} ^2_0}(-1)\to0$, которая вместе с (6.40) включается в коммутативную диаграмму Кроме того, полученные выше равенства ${}^i\mathcal{F}=0$, $i=2,3$, $\dim{}^1 \mathcal{F}\leqslant0$, показывают, что пучок $\mathcal{F}$ локально свободен вне множества размерности $\leqslant0$, а отсюда следует, что пучок $\kappa= \operatorname{coker}(\mathcal{F}\xrightarrow{\mathrm{can}}\mathcal{F}^{\vee\vee})$ имеет размерность $\leqslant0$ и по лемме о змее $\kappa$ есть подпучок в $\ker c$. Однако пучок $\kappa$ не имеет подпучков размерности 0. Следовательно, $\kappa=0$ и $\mathcal{F}\xrightarrow{\mathrm{can}}\mathcal{F} ^{\vee\vee}$ – изоморфизм, т.е. $\mathcal{F}$ рефлексивен. Стандартное вычисление с тройкой (6.40) дает значения классов Черна $\mathcal{F}$. Тройка (6.41) и равенство (6.42) получаются применением к (6.40) функтора $\mathcal{E} xt^{\bullet}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ и использованием формул для классов Черна $\mathcal{F}$ и $\mathcal{L}$. Неравенство $0\leqslant c_3(\mathcal{F})\leqslant12$ следует из (6.42). Лемма 9 доказана. Лемма 10. Проективные плоскости $\mathbb{P}^2$ и $\mathbb{P}^2_0$, определенные в (6.29), совпадают. Доказательство. Средняя горизонтальная тройка $0\to\mathcal{E}\to\operatorname{coker}\sigma\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)\to0$ в (6.28) как расширение определена ненулевым элементом в $\operatorname{Ext}^1(\mathcal{E},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))\simeq H^1(\mathcal{E}(-2))$. Поскольку $h^1(\mathcal{E}(-2))=1$ согласно (6.35), отсюда следует, что пучок $\operatorname{coker}\sigma$ определен расслоением $\mathcal{E}$ однозначно с точностью до изоморфизма. Так как $h^0(\mathcal{L}(-1))=0$ ввиду стабильности $\mathcal{L}$ по лемме 8, то подкрученная на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$ средняя вертикальная тройка $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\to\operatorname{coker} \sigma(-1)\to\mathcal{L}(-1)\to0$ в (6.28) показывает, что $h^0(\operatorname{coker}\sigma(-1))=1$. Следовательно, пучок $\mathcal{L}=\mathcal{L}( M^{\bullet})$ однозначно определен с точностью до изоморфизма пучком $\operatorname{coker}\sigma$ (а тем самым пучком $\mathcal{E}$) как
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(M^{\bullet})=(\operatorname{coker}\sigma(-1)/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})(1).
\end{equation}
\tag{6.45}
$$
Тогда нижняя горизонтальная тройка в (6.28) показывает, что плоскость $\mathbb{P}^2=\mathbb{P}^2(M^{\bullet},\beta)$ определена однозначно пучком $\mathcal{E}$ как
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}^2(M^{\bullet},\beta)=\mathrm{Supp}(\mathcal{L}(M^{\bullet})/\mathcal{E}).
\end{equation}
\tag{6.46}
$$
Далее, из (6.29) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}^2(M^{\bullet},\alpha)=\mathbb{P}^2(M^{\bullet\vee},\beta^{\vee}), \qquad \mathbb{P}^2(M^{\bullet},\beta)=\mathbb{P}^2(M^{\bullet\vee},\alpha^{\vee}),
\end{equation}
\tag{6.47}
$$
где $M^{\bullet\vee}\colon0\to (M^1)^{\vee}\xrightarrow{\beta^{\vee}}(M^0)^{\vee}\xrightarrow{ \alpha^{\vee}}(M^{-1})^{\vee}\to0$ – монада, двойственная к $M^{ \bullet}$. Монада $M^{\bullet\vee}$ определяет монаду, двойственную к (6.5): $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-2)\stackrel{\tau^{\vee}}{\to}E\stackrel{\sigma^{\vee}}{\to} {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)\to0$ с $\mathcal{E}^{\vee}=\ker(\sigma^{\vee})/\operatorname{im}(\tau^{ \vee})$, и рассуждение, двойственное к приведенному выше, дает формулы, двойственные к (6.45) и (6.46): $\mathbb{P}^2(M^{\bullet\vee},\beta^{\vee})=\mathrm{Supp}(\mathcal{L}(M^{\bullet\vee}) /\mathcal{E}^{\vee})$, $\mathcal{L}(M^{\bullet\vee})=(\operatorname{coker}(\tau^{\vee}) (-1)/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})(1)$. Поскольку $\mathcal{E}^{\vee}\simeq\mathcal{E}$, эти формулы ввиду (6.47) означают, что плоскость $\mathbb{P}^2_0=\mathbb{P}^2(M^{\bullet },\alpha)$ однозначно определена расслоением $\mathcal{E}$ посредством той же конструкции, что и выше, а значит, она совпадает с $\mathbb{P}^2=\mathbb{P}^2(M^{ \bullet},\beta)$. Лемма доказана. 6.6.Пусть ${\mathcal{F}}\in\mathcal{R}(0,2,2k)$ – рефлексивный пучок, определенный в (6.24), где $0\leqslant k\leqslant6$ по лемме 9, т.е.
$$
\begin{equation}
[\mathcal{F}]\in\bigsqcup_{0\leqslant k\leqslant6}\mathcal{R}_k, \qquad \mathcal{R}_k:=\mathcal{R}(0,2,2k).
\end{equation}
\tag{6.48}
$$
Формулы (6.14), (6.15) и леммы 8–10 дают Предложение 9. Имеется включение § 7. Геометрические свойства пучков $\mathcal{F}$ и пространства модулей когомологических расслоений $\mathcal{E}$ монад (1.6)7.1.В этом параграфе мы подробно исследуем геометрию рефлексивных пучков $\mathcal{F}$, описанных в лемме 9. Основным результатом этого исследования будут верхние оценки для размерностей пространств модулей пучков $\mathcal{F}$ и пучков $\mathcal{L}$, получаемых из $\mathcal{F}$ элементарным преобразованием (6.41). Эти оценки получены в предложениях 10 и 11 ниже, что в конечном итоге приведет к доказательству теоремы 4. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}:=\bigl\{[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k\bigm| \mathcal{F}\ \text{нестабилен}\bigr\}, \qquad \mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}:=\bigl\{[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k\bigm| \mathcal{F}\ \text{стабилен}\bigr\}, \\ \mathcal{H}_k^{\mathrm{u}}:=\bigl\{[\mathcal{E}]\in\mathcal{H}_k\bigm| \mathcal{E}\ \text{получено из}\ \mathcal{F}\ \text{в}\ (6.50), \text{ где}\ [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}} \bigr\}, \\ \mathcal{H}_k^{\mathrm{s}}:=\bigl\{[\mathcal{E}]\in\mathcal{H}_k\bigm| \mathcal{E}\ \text{получено из}\ \mathcal{F}\ \text{в}\ (6.50), \text{ где}\ [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}} \bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0\leqslant k\leqslant6$. Поэтому $\mathcal{R}_k=\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}\sqcup\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$ и (6.15), (6.49) дают
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\setminus(\mathcal{H}\cap\mathcal{G}(2,1))\subset\bigsqcup_{0\leqslant k\leqslant6} (\mathcal{H}_k^{\mathrm{u}}\sqcup\mathcal{H}_k^{\mathrm{s}}).
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Оценка для размерности $\mathcal{H}\setminus(\mathcal{H}\cap\mathcal{G}( 2,1))$ в итоге будет следовать из вычислений размерностей $\mathcal{H}_k^{\mathrm{u}}$ и $\mathcal{H}_k^{\mathrm{s}}$, которые будут даны ниже. Для этого мы начнем с явного описания пространств $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ и $\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$. 7.2.Свойства пучка $\mathcal{F}$ в нестабильном случае $[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ и соответственно в стабильном случае $[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}} $ суммированы в предложениях 10 и 11 ниже. Предложение 10. (i) $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}\ne\varnothing$ только при $0\leqslant k\leqslant3$, и любой пучок $\mathcal{F}$ из $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ включается в точную тройку где $C=\operatorname{Sing}(\mathcal{F}/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ – кривая степени 2 в $\mathbb{P}^3$, являющаяся локально полным пересечением, $\chi(\mathcal{O}_C)=4- \frac{1}{2}c_3(\mathcal{F})=4-k$. (ii) Если $C$ – приведенная кривая, то либо $c_3(\mathcal{F})=4$ и $C$ – дизъюнктное объединение $l_1\sqcup l_2$ двух проективных прямых в $\mathbb{P}^3$, либо $c_3(\mathcal{F})=6$, и тогда $C$ – плоская коника в $\mathbb{P}^3$. (iii) Если $C$ – неприведенная кривая, то $C$ – схемная структура кратности $2$ на проективной прямой $l$ в $\mathbb{P}^3$, определенная точной последовательностью
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}\to\mathcal{I}_{l,\mathbb{P}^3}\to\mathcal{O}_l(m)\to0, \qquad -1\leqslant m=2-k\leqslant2.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
(iv) Пространства модулей $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ – многообразия размерностей и они являются тонкими пространствами модулей. Доказательство. (i)–(iii). По лемме 9 имеем $c_1(\mathcal{F})=0$, $c_2(\mathcal{F})=2$. Поскольку $\mathcal{F}$ нестабилен, из [20; лемма 3.1] следует, что $H^0(\mathcal{F})\ne0$. Кроме того, из (6.38) и тройки (6.40), подкрученной на ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)$, мы получаем $H^0(\mathcal{F}(-1))=0$. Возьмем сечение $0\ne s\in H^0(\mathcal{F})$ и определим подсхему $C$ в $\mathbb{P}^3$ пучком идеалов $\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}=\operatorname{im}\bigl(u\colon \mathcal{F}\xrightarrow[\simeq]{\mathrm{can}} \mathcal{F}^{\vee}\xrightarrow{s^{\vee}}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\bigr)$. (Канонический изоморфизм $\mathrm{can}\colon \mathcal{F}\xrightarrow{\simeq}\mathcal{F}^{\vee}$ имеет место, поскольку $c_1(\mathcal{F})=0$.) Из равенства $H^0(\mathcal{F}(-1))=0$ согласно [20; теорема 4.1] мы получаем, что:
(a) $C$ – кривая Коэна–Маколея в $\mathbb{P}^3$, удовлетворяющая тройке (7.2), так что $\deg C=c_2(\mathcal{F})=2$; (b) тройка (7.2) является точной и равенство $\chi(\mathcal{O}_C)=4-k$ следует из этой тройки и [20; теорема 2.3]; более того, (7.2) определяет расширение
$$
\begin{equation}
\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\simeq H^0(\mathcal{E} xt^1(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}, {\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}))\simeq H^0(\mathcal{E} xt^2(\mathcal{O}_C,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
(Здесь мы используем стандартные изоморфизмы, связывающие глобальные $\operatorname{Ext}$-группы с $\mathcal{E} xt$-пучками; см. [20; § 4].) Если $C$ – приведенная кривая, то, поскольку $\deg C=2$, $C$ есть либо дизъюнктное объединение $l_1\sqcup l_2$ прямых, либо коника. Если $C$ – неприведенная кривая, то $C$ – схемная структура кратности 2 на проективной прямой $l$ (в смысле [12; определение]). Более того, поскольку $C$ – кривая Коэна–Маколея, пучок $\mathcal{I}_{l,\mathbb{P}^3}/\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}$ не имеет нульмерного кручения. Следовательно, ввиду [12; утверждение] точная тройка (7.3) имеет место и, более того, $C$ – локально полное пересечение. Тройки (7.3) и (7.2) дают равенство $m=2-\frac{1}{2}c_3(\mathcal{F})=2-k$. Далее, (7.3) и изоморфизм
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_{l,\mathbb{P}^3}|_l\simeq N_{l/\mathbb{P}^3}^{\vee}\simeq\mathcal{O}_l(-1)^{\oplus2}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
влекут $m\geqslant-1$. Кроме того, $2\,{-}\,m=k=\frac{1}{2}c_3(\mathcal{F})\geqslant0$, поскольку $\mathcal{F}$ рефлексивен. Поэтому $-1\leqslant m\leqslant2$ и тем самым $0\leqslant k\leqslant3$.
(iv) Рассмотрим многообразия
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{C}_k &=\bigl\{C\mid C \text{ - кривая локально полного пересечения степени 2 в } \mathbb{P}^3, \\ &\qquad\chi(\mathcal{O}_C)=4-k\bigr\}, \qquad 0\leqslant k\leqslant3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (i)–(iii) и [12; замечание 1.3] следует, что $\mathcal{C}_k$ являются рациональными многообразиями размерностей
$$
\begin{equation}
\dim\mathcal{C}_0=11, \qquad \dim\mathcal{C}_1=9, \qquad \dim\mathcal{C}_2=\dim\mathcal{C}_3=8.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Заметим, что (7.3) дает точную тройку $0\to\mathcal{O}_l(2-k)\to \mathcal{O}_C\to\mathcal{O}_l\to0$, $k=\frac{1}{2}c_3(\mathcal{F})$. Применяя к ней функтор $\mathcal{E} xt^2(\mathcal{O}_l,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})$ и используя равенства $\mathcal{E} xt^2(\mathcal{O}_l,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\simeq\det(N_{l/\mathbb{P}^3})\simeq\mathcal{O}_l (2)$, $\mathcal{E} xt^i(\mathcal{O}_l,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=0$, $i=1,3$ (см. [35; с. 49, 50]), мы получаем точную тройку $0\to\mathcal{O}_l(2)\to\mathcal{E} xt^2( \mathcal{O}_C,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\xrightarrow{\epsilon}\mathcal{O}_l(k)\to0$, которая вместе с (7.5) дает
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dim\operatorname{Hom}(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=1, \qquad \operatorname{Ext}^{\geqslant2}(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=0, \\ \dim\operatorname{Ext}^1(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})=h^0(\mathcal{E} xt^2(\mathcal{O}_C,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}))=k+4. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Теперь согласно (i)–(iii) для $0\leqslant k\leqslant3$ пространства $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ описываются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{R}_k^{\mathrm{u}} &=\bigl\{([\mathcal{F}],\langle\xi \rangle)\mid [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k,\ \text{пучок}\ \mathcal{F}\ \text{включается в тройку}\ (7.2), \\ &\qquad\langle\xi \rangle\in\mathbb{P}(\operatorname{Ext}^1(\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}))\bigr\} \\ &=\bigl\{(C,\langle\xi \rangle)\mid C\in\mathcal{C}_k,\ \langle\xi\rangle\in\mathbb{P}(\operatorname{Ext}^1 (\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}))\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это вместе с (7.8) показывает, что $\mathcal{R}_k$ – проективное расслоение со слоем $\mathbb{P}^{k+3}$ над $\mathcal{C}_k$, и (7.7) дает (7.4). Заметим, что существуют универсальные плоские семейства $\Gamma\subset\boldsymbol{ \mathcal{C}}_k$ кривых $C$ и ввиду (7.8) и [32; теорема 1.4] пучки ${\mathcal E}\mathit{xt}^i_{p_{\mathcal{C}_k}}(\mathcal{I}_{\Gamma,\boldsymbol{\mathcal{C}}_k}, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\mathcal{C}}_k})$ коммутируют с заменой базы. Следовательно, согласно [32; предложение 4.2] существуют универсальные пучки $\boldsymbol{\mathcal{F}}$ на $\boldsymbol{\mathcal{R}}_k^{\mathrm{u}}$, т.е. $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ – тонкие пространства модулей. Предложение 10 доказано. Предложение 11. Предположим, что $[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$. Тогда верны следующие утверждения: (i) $\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}\ne\varnothing$ только для $0\leqslant k\leqslant2$; (ii) $\dim\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}=13$, $k=0,1,2$; (iii) для $0\leqslant k\leqslant2$ и любого пучка $[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$ имеем $\dim\operatorname{Ext}^1(\mathcal{F},\mathcal{F})=13$, $\operatorname{Ext}^2(\mathcal{F},\mathcal{F})=0$; (iv) для любой плоскости $\mathbb{P}^2\subset\mathbb{P}^3$ и любого пучка $[\mathcal{F}]\in \mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$ справедливо $h^0(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))=10$, $ h^1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))=0$. Доказательство. Утверждения (i)–(iii) доказаны в [12; § 2]. Равенства в утверждении (iv) следуют из точной тройки $0\to\mathcal{F}(1)\to\mathcal{F}(2)\to \mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2)\to0$ и [12; таблицы 2.8.1 и 2.12.2] для $k=2,4$ и соответственно из [19; § 9] для $k=0$. Предложение доказано. 7.3.Перейдем теперь к детальному описанию связи между пространствами $\mathcal{H}_k^{\mathrm{u}}$ и $\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}$ для $0\leqslant k\leqslant3$ и соответственно между пространствами $\mathcal{H}_k^{\mathrm{s}}$ и $\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$ для $0\leqslant k\leqslant2$, заданными посредством преобразований из (6.50). Это в итоге приведет к формуле (7.18). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}:=\bigl\{\mathbb{P}^2\in\check{\mathbb{P}}^3\mid \dim(C\cap\mathbb{P}^2)=1, \ C\subset\mathbb{P}^2,\ \mathcal{O}_C={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}/(\mathcal{F}/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3})\bigr\}, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_3^{\mathrm{u}}, \\ &{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}:=\varnothing, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}, \quad k\leqslant2, \\ &{}^1S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}:=\bigl\{\mathbb{P}^2\in\check{\mathbb{P}}^3\mid \dim(C\cap\mathbb{P}^2)=1, \ \mathcal{O}_C={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}/(\mathcal{F}/{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}),\ C\not\subset\mathbb{P}^2\bigr\}, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}, \\ &{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}:=\varnothing, \quad {}^1S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}:=\varnothing, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}, \\ &{}^0S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}:=\bigl\{\mathbb{P}^2\in\check{\mathbb{P}}^3\setminus({}^1S _{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}\cup{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}})\mid \operatorname{Sing}\mathcal{F}\cap\mathbb{P}^2 \ne\varnothing\bigr\}, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}, \\ &{}^0S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}:=\bigl\{\mathbb{P}^2\in\check{\mathbb{P}}^3\setminus({}^1S _{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}\cup{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}})\mid \operatorname{Sing}\mathcal{F}\cap\mathbb{P}^2\ne \varnothing\bigr\}, \qquad [\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}, \\ &{}^{-1}S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}:=\check{\mathbb{P}}^3\setminus({}^0 S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}} \cup{}^1S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}\cup{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{u}}), \\ &{}^{-1}S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}:=\check{\mathbb{P}}^3\setminus({}^0 S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}\cup{}^1S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}} \cup{}^2S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}), \\ &\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}:=\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}\times\check{\mathbb{P}}^3, \qquad {}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}} :=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\mid \mathbb{P}^2\in{}^iS_{ \mathcal{F}}^{\mathrm{u}}\bigr\}, \quad -1\leqslant i\leqslant2, \\ &\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}:=\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}\times\check{\mathbb{P}}^3,\qquad {}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}\mid \mathbb{P}^2\in{}^i S_{\mathcal{F}}^{\mathrm{s}}\bigr\}, \quad -1\leqslant i\leqslant2, \\ &\mathcal{D}_k:=\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\sqcup\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}=\bigsqcup_{-1\leqslant i\leqslant2} {}^i\mathcal{D}_k, \qquad {}^i\mathcal{D}_k:={}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}} \sqcup{}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}, \quad -1\leqslant i\leqslant2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что ${}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$ (соответственно ${}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}$) локально замкнуты в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$ (соответственно в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}$) и
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}=\bigsqcup_{-1\leqslant i\leqslant2}{}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}, \qquad \mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}=\bigsqcup_{-1\leqslant i\leqslant2}{}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}},
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
$$
\begin{equation}
\dim{}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\leqslant\dim\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}+2-i, \quad \dim{}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}\leqslant\dim\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}+2-i, \qquad -1\leqslant i\leqslant2.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Далее, обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2) &:=\bigl\{\langle\rho\rangle\in\mathbb{P}(\operatorname{Hom}(\mathcal{F}, {\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)))\mid \operatorname{im}(\rho\colon \mathcal{F}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))=\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(2) \\ &\qquad \text{для подсхемы}\ Z\,{\subset}\,\mathbb{P}^2,\, \dim Z\,{\leqslant}\,0,\, \ell(Z)\,{=}\,6\,{-}\,k\bigr\}, \qquad ([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\,{\in}\,\mathcal{D}_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &K_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)} :=\bigl\{\langle\rho\rangle\in\mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2)\mid [\mathcal{L}_{\rho}:=(\ker\rho)(1)]\in\mathcal{R}(1,4,6)\ \text{стабилен}\bigr\}, \\ &([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k,\mathcal{Q}_k :=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)\mid ([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k,\ \langle\rho\rangle\in K_{([\mathcal{F}], \mathbb{P}^2)}\bigr\}, \\ & \mathcal{Q}_k\xrightarrow{p_{1k}}\mathcal{D}_k\ \text{- морфизм забывания}, \qquad p_{1k}^{-1}([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)=K_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \Sigma_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)}:=\bigl\{\langle\gamma\rangle\in \mathbb{P}(\operatorname{Hom}(\mathcal{L}_{\rho},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)))\mid \gamma\colon \mathcal{L}_{\rho}\to {\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)\text{ -} \\ & \qquad\qquad\qquad\ \ \, \text{эпиморфизм и $\ker\gamma$ локально свободно}\bigr\}, \qquad ([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)\in\mathcal{Q}_k, \\ & T_k:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle,\langle\gamma\rangle)\mid ([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)\in\mathcal{Q}_k,\ \langle\gamma\rangle\in \Sigma_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)}\bigr\}, \\ & T_k\xrightarrow{p_{2k}}\mathcal{Q}_k\ \text{- морфизм забывания}, \qquad p_{2k}^{-1}([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle) \,{=}\,\Sigma_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}:=p_{1k}^{-1}(\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\cap p_{1k}(\mathcal{Q}_k)), \qquad T_k^{\mathrm{u}}:=p_{2k}^{-1}(\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\cap p_{2k}(T_k)), \\ \mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}:=p_{1k}^{-1}(\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}\cap p_{1k}(\mathcal{Q}_k)), \qquad T_k^{\mathrm{s}}:=p_{2k}^{-1}(\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}\cap p_{2k}(T_k)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
(Здесь $0\leqslant k\leqslant3$ и $0\leqslant k\leqslant2$ в нестабильном и стабильном случаях соответственно.) Так как $\mathcal{D}_k=\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\sqcup\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}$, то отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_k=\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\sqcup\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}, \quad T_k=T_k^{\mathrm{u}}\sqcup T_k^{\mathrm{s}}, \qquad 0\leqslant k\leqslant3.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
(Для согласованности обозначений в (7.15) и ниже мы полагаем $\mathcal{Q}_3^{\mathrm{s}}=T_3^{\mathrm{s}}=\varnothing$.) Поскольку стабильность пучка $\mathcal{L}_{\rho}$ является открытым свойством в плоских семействах (см. [24; предложение 2.3.1]), то отсюда вытекает открытость вложения Возьмем произвольную точку $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle,\langle \gamma\rangle)$. Поскольку по определению пучок $[\mathcal{L}_{\rho}]\in\mathcal{R} (1,4,6)$ стабилен и $\mathcal{E}=\ker\gamma$ – векторное расслоение, из второй тройки (6.50) следует, что пучок $[\mathcal{E}]\in\mathcal{R} (0,5,0)$ также стабилен, т.е. $[\mathcal{E}]\in\mathcal{B}(5)$. Поэтому мы получаем естественное отображение
$$
\begin{equation}
f_k\colon T_k\to\mathcal{B}(5), \qquad ([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle,\langle \gamma\rangle)\mapsto[\ker\gamma],
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
и согласно предложению 9 имеем $\mathcal{H}_k^{\mathrm{u}}\subset f_k(T_k^{\mathrm{u}})$, $ \mathcal{H}_k^{\mathrm{s}}\subset f_k(T_k^{\mathrm{s}})$. Это вместе с (7.1) и второй формулой (7.15) дает включение
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\setminus(\mathcal{H}\cap\mathcal{G}(2,1))\subset\bigsqcup_{0\leqslant k\leqslant3}f_k(T_k).
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Из приведенных далее вычислений будет следовать, что $T_k$ являются дизъюнктными объединениями схем, а $f_k$ являются морфизмами для каждой из этих схем и всех допустимых значений $k$. 7.4.Сформулируем некоторые дальнейшие свойства пучка $\mathcal{F}$ в следующей лемме. Лемма 11. Пусть $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k$ и $\mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2)\ne\varnothing$. Тогда: (i) имеется открытое вложение
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2)\xrightarrow{\mathrm{can}}(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee} (2)\to\mathcal{O}_{W(\rho)}\to0, \qquad \ell_{W(\rho)}=k;
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
(ii) если $\Sigma_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)}\ne\varnothing$ для $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)\in\mathcal{Q}_k$, то существует открытое вложение (iii) если $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^{-1}\mathcal{D}_k$, то $k=0$, $h^0(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}^{\vee\vee}(2))=h^0(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))=10$; (iv) если ${}^0\mathcal{D}_k\ne\varnothing$ и $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^0\mathcal{D}_k$, то $1\leqslant k\leqslant2$, $h^0(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))=10$ и
$$
\begin{equation}
h^0((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}(2))=10+k;
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
(v) если ${}^1\mathcal{D}_k\cup{}^2\mathcal{D}_k\ne\varnothing$ и $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^1\mathcal{D}_k\cup{}^2\mathcal{D}_k$, то равенства (7.20) выполняются для $k=1,2,3$ и Доказательство. (i) Возьмем произвольную точку $\langle\rho\rangle\in\mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2)$. По определению множества $\mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2)$ мы можем рассматривать $\rho$ как композицию $\rho\colon \mathcal{F}\xrightarrow{\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}}\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2} \xrightarrow{\overline{\rho}}\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(2)$ с $\dim Z\leqslant0$, $\ell_Z=6-k $. Поскольку пучок $\mathcal{F}$ рефлексивен, $\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}$ не имеет кручения как ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}$-пучок (см. [20; § 1]). Следовательно, $\ker\overline{\rho}$ – это ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}$-пучок без кручения ранга 1. Так как $c_1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})=0$, $c_2(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})=2$, то $\ker\overline{\rho}\simeq\mathcal{I}_{ W,\mathbb{P}^2}(-2)$, где $\dim W\leqslant0$, и имеет место точная тройка
Мономорфизм $\theta=\theta_{\rho}$ в данной тройке продолжается до коммутативного квадрата и мы получаем морфизм $j\colon \mathrm \Pi(\mathcal{F},\mathbb{P}^2)\to\mathbb{P}(H^0((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}) ^{\vee\vee}(2)))$, $\langle\rho\rangle\mapsto\theta_{\rho}^{\vee\vee}$. Для построения обратного к $j$ морфизма $\psi\colon (\operatorname{im}j)\to\Pi( \mathcal{F},\mathbb{P}^2)$ возьмем любой $(\widetilde{\theta}\colon {\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee \vee}(2))\in\operatorname{im}j$. Морфизм $\theta\colon \mathcal{I}_{W,\mathbb{P}^2}\to\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2} (2)$ такой, что $\widetilde{\theta}=\theta^{\vee\vee}$, восстанавливается по $\widetilde{\theta}$ как $\widetilde{\theta}|_{\mathcal{I}_{W,\mathbb{P}^2}}$, где $\mathcal{I}_{W, \mathbb{P}^2}=\mathrm{can}^{-1}(\widetilde{\theta}({\mathcal O}_{\mathbb{P}^2})\cap\mathrm{can}(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2} (2)))$. Тогда $\overline{\theta}$ определяет посредством $\theta$ морфизм $\overline{\rho}$ как факторморфизм $\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2)\to\operatorname{coker}\theta \simeq\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(4)$, и мы полагаем $\psi(\langle\overline{\theta}\rangle ):=\langle\overline{\rho}\circ(-\otimes{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2})\rangle$. Открытость $j$ следует из открытости условия, что морфизм $\rho\colon \mathcal{F}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$ сюръективен. Далее, заметим, что в (7.23) ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}$-пучок $\operatorname{coker} \theta\simeq\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(4)$ не имеет кручения, следовательно, не существует ненулевого морфизма $\mathcal{O}_W={\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}/\mathcal{I}_{W,\mathbb{P}^2}\to\mathrm{ \operatorname{coker}}\theta$, поскольку $\dim W\leqslant0$. Поэтому (7.23) и лемма о змее влекут точную тройку (7.19) с $W(\rho)=W$. (ii) Вложение $\Sigma_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)} \hookrightarrow\mathbb{P}(\operatorname{Hom}(\mathcal{L}_{\rho},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)))\simeq\mathbb{P} ^{10}$ является открытым, поскольку условие, что $\gamma\colon \mathcal{L}:=\mathcal{L}_{\rho}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$ – эпиморфизм и $\ker\gamma$ локально свободен, является открытым условием на точку $\langle\gamma\rangle\in \mathbb{P}(\operatorname{Hom}(\mathcal{L},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)))$. Таким образом, нам нужно показать, что $\dim\operatorname{Hom}(\mathcal{L},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))=11$. Рассмотрим эпиморфизм $\overline{\gamma}=\gamma|_{\mathbb{P}^2}\colon \mathcal{L}_{\mathbb{P}^2}\twoheadrightarrow{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$. Поскольку по определению $[\mathcal{L}]\in\mathcal{R}(1,4,6)$, отсюда следует, что $\ker\overline{\gamma}\simeq\mathcal{I}_{Y,\mathbb{P}^2}(-1)$ для некоторой подсхемы $Y$ в $\mathbb{P}^2$, $\dim Y=0$, $\ell_Y=6$. Это дает точную тройку $0\to\mathcal{I}_{Y,\mathbb{P}^2 }(-1)\to\mathcal{L}_{\mathbb{P}^2}\xrightarrow{\overline{\gamma}}{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to0$. Применяя к ней функтор ${\mathcal E}\mathit{xt}^{\bullet}_{{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}}(-,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))$, мы получаем точную тройку $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to{\mathcal H}\mathit{om}(\mathcal{L}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(3)\to0$, которая влечет $\dim\operatorname{Hom}(\mathcal{L},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))=\dim\operatorname{Hom}(\mathcal{L}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))=h^0({\mathcal H}\mathit{om} (\mathcal{L}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)))=11$. (iii) Так как $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^{-1}\mathcal{D}_k$, то $(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}\simeq\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}$ – локально свободный ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}$-пучок, и (7.19) влечет $k=0$. Если теперь $\mathcal{F}$ нестабилен, то, применяя к (7.2) функтор $-\otimes {\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$, мы имеем точную тройку
$$
\begin{equation}
0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}\to\mathcal{I}_{Y,\mathbb{P}^2}(2)\to0, \qquad \dim Y=0, \qquad \ell_Y=\deg C=2,
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
и эта тройка дает искомые значения $h^i((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}(2))= h^i(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))$. Если пучок $\mathcal{F}$ стабилен, то эти значения даются предложением 11, (iv). (iv) Поскольку $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^0\mathcal{D}_k\cup{}^2\mathcal{D}_k\ne \varnothing$, морфизм $\mathrm{can}$ в (7.19) не является изоморфизмом, следовательно, $k=\ell_{W(\rho)}\geqslant1$. С другой стороны, $k\leqslant3$ согласно предложениям 11, (i) и 10, (i). Как и выше, если $\mathcal{F}$ нестабилен, то верна тройка (7.24), что дает равенства $h^0(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))= 10$, $h^1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))=0$. Соответственно, если $\mathcal{F}$ стабилен, то эти равенства следуют из предложения 11, (iv). Отсюда согласно (7.19) мы имеем (7.20). Остается показать, что в случае, когда $\mathcal{F}$ нестабилен, имеем $k\leqslant2$. По определению множеств ${}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$, $i=0,1$, условие $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^0\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$ влечет, что $\mathbb{P}^2\not\in{}^1S_{\mathcal{F}} ^{\mathrm{u}}$. Это означает, что верна точная тройка (7.24) с $\dim Y=0$, $\ell_Y=\deg C=2$. Дуализируя эту ${\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}$-тройку, мы легко получаем неравенство $h^0({\mathcal E}\mathit{xt}^1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}))\leqslant h^0({\mathcal E}\mathit{xt} ^2(\mathcal{O}_Y,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}))=\ell_Y=2$ и точную тройку $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{ \vee}\to\mathcal{I}_{Z,\mathbb{P}^2}(2)\to0$ для некоторой подсхемы $Z\subset\mathbb{P}^2$ с $\dim Z\leqslant0$, $\ell_Z=2-h^0({\mathcal E}\mathit{xt}^1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}))$. Эта тройка вместе с тройкой (7.24) и изоморфизмом $(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{ \vee}\simeq(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}$ дает точную тройку $0\to\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2 }(2)\xrightarrow{\mathrm{can}}(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}(2)\to K\to0$, где $K$ – артинов пучок длины $h^0(K)=h^0({\mathcal E}\mathit{xt}^1(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2})) \leqslant2$. Сравнивая эту тройку с (7.19), мы получаем $K\simeq \mathcal{O}_{W(\rho)}$ и $k=\ell_{W(\rho)}\leqslant2$. (v) Из условия $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^1\mathcal{D}_k\ne\varnothing$ и предложения 10 следует, что $\mathbb{P}^2\cap\operatorname{Sing}\mathcal{F}=l$ – прямая, если $k=0,1,2$, и соответственно $\mathbb{P}^2\cap\operatorname{Sing}\mathcal{F}= C$ – коника, если $k=3$. Поэтому, применяя к тройкам (7.2) и (7.3) функтор ${-}\,{\otimes}\,{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)$ и используя резольвенту $0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(-1)\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to0$, мы получаем следующие точные тройки, где $\dim W=0$, и если $k=0$ или 1, то $W\subset l$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & 0\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)\to\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2) \to\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}(2)|_{\mathbb{P}^2}\to0, \\ & 0\to\mathcal{O}_l(3-k)\to \mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}(2)|_{\mathbb{P}^2}\to\mathcal{I}_{W,\mathbb{P}^2}(1)\to0, \qquad\ell_W=3-k, \quad k\leqslant2, \\ & 0\to\mathcal{O}_l\to\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}(2)|_{\mathbb{P}^2}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(1)\to0, \qquad k=3, \qquad C\not\subset\mathbb{P}^2, \quad\mathbb{P}^2\cap C=l, \\ & 0\to\mathcal{O}_C(1)\to\mathcal{I}_{C,\mathbb{P}^3}(2)|_{\mathbb{P}^2}\to{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}\to0, \qquad k=3, \quad C\subset\mathbb{P}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
Поскольку $\mathcal{F}$ локально свободен при $k=0$, $h^i((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}(2))=h^i(\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}(2))$, то из (7.25) мы получаем (7.21). Соответственно при $k=1,2,3$, (7.25) и (7.19) дают (7.20). Лемма 11 доказана. 7.5.Для $0\leqslant k\leqslant3$ пусть $B\subset\mathbb{P}^3\times\check{\mathbb{P}}^3$ – график инциденции, $\mathcal{O}_B(2)={\mathcal O}_{\mathbb{P}^3}(2)\boxtimes\mathcal{O}_{\check{\mathbb{P} }^3}|_B$, и пусть $\mathrm{pr}_0\colon \boldsymbol{\mathcal{D}}_k^{\mathrm{u}}\to\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$, $\mathrm{pr}_1\colon \boldsymbol{\mathcal{D}}_k^{\mathrm{u}}\to\boldsymbol{\mathcal{R}}_k^{\mathrm{u}}$, $\mathrm{pr}_2\colon \boldsymbol{ \mathcal{D}}_k^{\mathrm{u}}\to\mathbb{P}^3\times\check{\mathbb{P}}^3$ – естественные проекции. Для каждого $m\geqslant0$ рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
Y=Y_{k,m}^{\mathrm{u}}:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\mid \dim\operatorname{Hom}(\mathcal{F},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2)) =m\bigr\}, \qquad m\geqslant0,
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
и положим $\mathbf{Y}=\mathrm{pr}_0^{-1}(Y)$, $q_i=\mathrm{pr}_i|_{\mathbf{Y}}$, $i=0,1,2$, $L={\mathcal E}\mathit{xt}_{q_0}(q_1^*\boldsymbol{\mathcal{F}},q_2^*\mathcal{O}_B(2))$, где $\boldsymbol{\mathcal{F}}$ – универсальный пучок на $\boldsymbol{\mathcal{R}} _k^{\mathrm{u}}$, который существует согласно предложению 10, (iv), $\mathcal{Y}:=\mathbf{Y}\times_Y\mathbf{P} (L^{\vee})$, и пусть $\mathbf{P}(L^{\vee}) \xleftarrow{\lambda}\mathcal{Y}\xrightarrow{\pi}\mathbf{Y}$ и $\mathcal{Y} \xrightarrow{\mu}\mathbf{P}(L^{\vee})\xrightarrow{\nu}Y$ – проекции. Согласно [2; предложение 3] множество $Y=Y_{k,m}^{\mathrm{u}}$ локально замкнуто в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$, и пучок $L$ является локально свободным пучком ранга $m$ на $Y$, коммутирующим с заменой базы, т.е. для любой точки $y=([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in Y$ имеем $L|_y=\operatorname{Hom}(\mathcal{F},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))$. На $\mathcal{Y}$ существует универсальный морфизм $\boldsymbol{\rho}\colon (q_1\circ\pi)^* \boldsymbol{\mathcal{F}}\to(q_2\circ\pi)^*\mathcal{O}_B(2)\otimes\mu^*\mathcal{O}_{ \mathbf{P}(L^{\vee})}(1)$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
X=X_{k,m}^{\mathrm{u}}:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in Y_{k,m}^{\mathrm{u}}\mid K_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)}\ne \varnothing\bigr\}.
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Из этого определения следует, что пучок $\operatorname{im} \boldsymbol{\rho}$ является плоским над $\mathbf{P}(L^{\vee})$ в каждой точке $x\in\nu^{-1}(X)$. Это влечет, что $X$ – открытое (возможно, пустое) подмножество в $Y$, следовательно, оно локально замкнуто в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$. Тем самым, поскольку ввиду предложения 10, (iv) $\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$ являются многообразиями, множество $\Phi_k^{\mathrm{u}}=\bigl\{m\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}\mid X_{k,m}^{\mathrm{u}}\ne\varnothing\bigr\}$ конечно. Согласно определениям (7.11), (7.12), (7.14) и (7.27) имеем
$$
\begin{equation}
X_k^{\mathrm{u}}:=\bigsqcup_{m\in\Phi_k^{\mathrm{u}}} X_{k,m}^{\mathrm{u}}=p_{1k}(\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}), \qquad \mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}=p_{1k}^{-1}(X_k^{\mathrm{u}}).
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
Обозначая ${}^iX_k^{\mathrm{u}}={}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}\cap X_k^{\mathrm{u}}$, ${}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}=p_{1k} ^{-1}({}^iX_k^{\mathrm{u}})$, $-1\leqslant i\leqslant2$, из первого равенства (7.9) получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}=\bigsqcup_{-1\leqslant i\leqslant2}{}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}.
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
Включение (7.16) и лемма 11, (i) показывают, что проекция $p_{1k}\colon {}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\to{}^iX_k^{\mathrm{u}}$ разлагается как где ${}^i\widetilde{\mathcal{Q}}_k^{\mathrm{u}}\xrightarrow{\widetilde{p}_{1k}}{}^iX_k^{\mathrm{u}}$ является проективным расслоением со слоем $\mathbb{P}(H^0((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2}) ^{\vee\vee}(2)))$ над произвольной точкой $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in{}^iX_k^{\mathrm{u}}$. Здесь согласно (7.28) каждое ${}^iX_k^{\mathrm{u}}$ – дизъюнктное объединение схем. Это показывает, что каждое ${}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}$ – дизъюнктное объединение схем. Поскольку ${}^iX_k^{\mathrm{u}}{}\subset\mathcal{D}_k^{\mathrm{u}}$, из (7.10) и леммы 11, (iii)–(v) следует, что
$$
\begin{equation}
\dim{}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\leqslant\dim{}^i\mathcal{R}_k^{\mathrm{u}}+11-i+k, \qquad -1\leqslant i\leqslant2, \quad 0\leqslant k\leqslant3.
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
Поэтому ввиду (7.4) мы получаем $\dim{}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\leqslant26$ для всех возможных $i,k$, следовательно, (7.29) дает
$$
\begin{equation}
\dim\mathcal{Q}_k^{\mathrm{u}}\leqslant26,\qquad 0\leqslant k\leqslant3.
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
Для получения аналогичной оценки для размерностей $\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}$ мы определяем по аналогии с (7.26) локально замкнутые подмножества $Y_{k,m}^{\mathrm{s}}:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}\mid \dim\operatorname{Hom}(\mathcal{F},{\mathcal O}_{\mathbb{P}^2}(2))=m\bigr\}$, $m\geqslant0$, в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}$. Далее, заметим, что априори не существует универсального пучка $\boldsymbol{\mathcal{F}}$ на $\boldsymbol{\mathcal{R}}_k^{\mathrm{s}}$. Тем не менее согласно предложению 11 $\operatorname{Ext}^2(\mathcal{F},\mathcal{F})=0$ для любого пучка $[\mathcal{F}]\in\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$, $0\leqslant k\leqslant2$. Это означает, что теория деформаций для $\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}$ не содержит препятствий, т.е. существуют открытое покрытие $\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}=\bigcup_{j\in J}\mathcal{U}_j$ и универсальные пучки $\boldsymbol{\mathcal{F}}_j$ на $\boldsymbol{\mathcal{U}}_j$ (см., например, [9; приложения A1, A2], [17; гл. 6]). Существования этих локальных универсальных пучков достаточно, чтобы показать, что множества $X_{k,m}^{\mathrm{s}}$, определенные аналогично (7.27) как $X_{k,m}^{\mathrm{s}}:=\bigl\{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)\in Y_{k,m}^{\mathrm{s}}\mid K_{([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2)}\ne\varnothing\bigr\}$, являются локально замкнутыми подмножествами в $\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}$. Тогда мы имеем по аналогии с (7.28), (7.29) дизъюнктные объединения схем $X_k^{\mathrm{s}}:= \bigsqcup_{m\in\Phi_k^{\mathrm{s}}}X_{k,m}^{\mathrm{s}}=p_{1k}(\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}})$ и равенства $\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}\,{=}\,p_{1k}^{-1}(X_k^{\mathrm{s}})$. Обозначая ${}^iX_k^{\mathrm{s}}={}^i\mathcal{D}_k^{\mathrm{s}}\cap X_k^{\mathrm{s}}$, ${}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}=p_{1k}^{-1}({}^iX_k^{\mathrm{u}})$, $-1\leqslant i\leqslant2$, и повторяя рассуждения в (7.29)–(7.31) с заменой $u$ на $s$, получаем, что ${}^i\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}$, $\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}$ – дизъюнктные объединения схем, удовлетворяющие неравенствам $\dim{}^i \mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}\leqslant\dim{}^i\mathcal{R}_k^{\mathrm{s}}\,{+}\,11\,{-}\,i\,{+}\,k$, $-1\leqslant i\leqslant2$, $0\leqslant k\leqslant2$. Эти формулы и предложение 11, (ii) влекут неравенства $\dim\mathcal{Q}_k^{\mathrm{s}}\leqslant26$, $0\leqslant k\leqslant2$, которые вместе с (7.32) и (7.15) дают
$$
\begin{equation}
\dim\mathcal{Q}_k\leqslant26, \qquad 0\leqslant k\leqslant3.
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
(Напомним, что, как и в (7.15), мы полагаем $\mathcal{Q}_3^{\mathrm{s}}=T_3^{\mathrm{s}}= \varnothing$.) Теперь из леммы 11, (ii) и последней формулы в (7.13) по аналогии с (7.30) получаем, что $T_k$ – дизъюнктные объединения схем и проекции $p_{2k}\colon T_k\to\mathcal{Q}_k$ являются морфизмами, которые разлагаются как композиции  , где $\widetilde{T}_k \xrightarrow{\widetilde{p}_{2k}}{}^i\mathcal{Q}_k$ – проективное расслоение со слоем $\mathbb{P}(H^0((\mathcal{F}_{\mathbb{P}^2})^{\vee\vee}(2)))\simeq\mathbb{P}^{10 }$ над произвольной точкой $([\mathcal{F}],\mathbb{P}^2,\langle\rho\rangle)\in\mathcal{Q}_k $, $0\leqslant k\leqslant3$. Это вместе с (7.33) дает
$$
\begin{equation}
\dim T_k\leqslant36, \qquad 0\leqslant k\leqslant3.
\end{equation}
\tag{7.34}
$$
Доказательство теоремы 4. Из вышесказанного следует, что отображения $f_k\colon T_k\to\mathcal{B}(5)$, определенные в (7.17), являются морфизмами. Теперь неравенство $\dim(\mathcal{H} \setminus(\mathcal{G}(2,1)\cap\mathcal{H}))\leqslant36$ вытекает из (7.18) и (7.34). Однако согласно [20; замечание 3.4.1] всякая неприводимая компонента $\mathcal{B}(5)$ имеет размерность не ниже 37. Отсюда следует теорема 4.
§ 8. Компоненты пространства $\mathcal{B}(5)$8.1.Итак, мы имеем в распоряжении все результаты, необходимые для завершения доказательства нашего второго основного результата – теоремы 2, дающей описание неприводимых компонент пространства $\mathcal{B}(5)$. Этой цели посвящен настоящий параграф. Доказательство теоремы 2. Первым ингредиентом доказательства является утверждение, доказанное Р. Хартсхорном и А. П. Рао, о том, что всякое расслоение из $\mathcal{B}(5)$ является когомологией одной из монад (1.2)–(1.6); см. [21; таблица 5.3, случай 5, (1)–(4)].
Напомним, что для стабильного расслоения $E$ на $\mathbb{P}^3$ с нулевым первым классом Черна число $\alpha(E):=h^1(E(-2))\ \operatorname{mod}2$ называется $\alpha$-инвариантом Атьи–Риса расслоения $E$; см. [19; определение]. Р. Хартсхорн показал в [19; следствие 2.4], что это число инвариантно в связных компонентах пространства модулей стабильных расслоений на $\mathbb{P}^3$. Легко проверяется, что когомологии монад вида (1.2) и (1.3) имеют $\alpha$-инвариант, равный 0, а когомологии остальных трех типов монад имеют $\alpha$-инвариант, равный 1. А. П. Рао показал в [36], что семейство расслоений, получаемых как когомологии монад вида (1.3), неприводимо, имеет размерность 36 и лежит в единственной компоненте пространства $\mathcal{B}(5)$. Так как инстантонные расслоения с зарядом 5, т.е. когомологии монад вида (1.2), образуют неприводимое семейство размерности $37$, то отсюда следует, что множество
$$
\begin{equation}
\mathcal{I} := \bigl\{ [E]\in\mathcal{B}(5) \mid \alpha(E)=0 \bigr\}
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
составляет неприводимую компоненту размерности 37 в $\mathcal{B}(5)$, общая точка которой соответствует инстантонному расслоению. Кроме того, каждое расслоение $[E]\in\mathcal{I}$ удовлетворяет условию $h^1({\mathcal E}\mathit{nd}(E))= 37$; это было первоначально доказано П. Кацыло и Дж. Оттавиани для инстантонных расслоений (см. [30]) и А. П. Рао для когомологий монад вида (1.3) (см. [36; § 3]). Поэтому отсюда следует также, что $\mathcal{I}$ неособо. Это завершает доказательство утверждения 1) теоремы 2. 8.2.Нашим следующим шагом является анализ расслоений с $\alpha$-инвариантом Атьи–Риса, равным 1. Р. Хартсхорн доказал в [20; теорема 9.9], что семейство $\mathcal{K}$ стабильных расслоений $E$ ранга 2 с $c_1(E)=0$ и $c_2(E)=5$, имеющих спектр $(-2,-1,0,1,2)$, является неприводимым гладким семейством размерности 40, причем по определению спектра такие расслоения имеют
$$
\begin{equation}
h^1(\mathcal{E}(-2))=3, \qquad [\mathcal{E}]\in\mathcal{K}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Расслоения из $\mathcal{K}$ суть в точности когомологии монад вида (1.4) (см. [21; табл. 5.3, случай 5, (4)]), которые являются частным случаем класса монад, изученных Л. Эйном в работе [15]. В [15] показано, что замыкание $\overline{\mathcal{K}}$ семейства $\mathcal{K}$ в $\mathcal{B}(5)$ является неприводимой компонентой размерности 40 пространства $\mathcal{B}(5)$. Мы доказали в теореме 1, случай $a=2$, что расслоения, возникающие как когомологии монад вида (1.5), образуют плотное подмножество $\mathcal{G}(2,1)$ неприводимой рациональной компоненты размерности 37 в $\mathcal{B}(5)$. Рассмотрим множество $\mathcal{H}$ расслоений, возникающих как когомологии монад вида (1.6). Поскольку расслоения из $\mathcal{G}(2,1)\cup\mathcal{H}$ имеют спектр $(-1,0,0,0,1)$ согласно [21; табл. 5.3, случай 5, (2)], то в соответствии с (6.35) имеем
$$
\begin{equation}
h^1(\mathcal{E}(-2))=1, \qquad [\mathcal{E}]\in\mathcal{G}(2,1)\cup \mathcal{H},
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
так что $\alpha(\mathcal{E})=1$, и поэтому ввиду (8.1) $\mathcal{H}\cap\mathcal{I}=\varnothing$. Поскольку по теореме 4 $\mathcal{H}$ не составляет компоненты в $\mathcal{B}(5)$, то из вышесказанного следует, что $\mathcal{H}\subset\overline{\mathcal{G}(2,1)}\cup\overline{\mathcal{K}}$. Предложение 12. Имеет место включение $\mathcal{H}\subset\overline{\mathcal{G}(2,1)}$ и $\overline{\mathcal{K}}= \mathcal{K}$. Доказательство. Нам нужно лишь показать, что $(\mathcal{G}(2,1)\cup\mathcal{H})\cap\overline{\mathcal{K}} =\varnothing$. Пусть, напротив, существует векторное расслоение $[\mathcal{E}]\in(\mathcal{G}(2,1)\cup\mathcal{H})\cap\overline{\mathcal{K}}$. Тогда в силу (8.2) и полунепрерывности снизу размерности групп когомологий когерентных пучков получаем, что $h^1(\mathcal{E}(-2))\geqslant 3$ вопреки (8.3). Предложение доказано. Предложение 12 завершает доказательство утверждений 2) и 3) теоремы 2. Теорема 2 доказана. 8.3.Мы суммируем всю информацию из основной теоремы 2 и дискретные инварианты стабильных расслоений ранга 2 с $c_1=0$ и $c_2=5$ в табл. 1. Таблица 1.Неприводимые компоненты в $\mathcal{B}(5)$
Замечание 3. Используя технику, введенную в настоящей работе, авторы статьи [40] построили другое бесконечное семейство неприводимых компонент пространств $\mathcal{B}(0,n)$, в которых специальная точка соответствует когомологическому расслоению монады, получаемой из монады (1.7) заменой в среднем члене инстантонного расслоения ранга 4 с зарядом 1 на прямую сумму двух инстантонных расслоений ранга 2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlmJarTik21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|