| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О нерегулярных метриках Сасаки–Эйнштейна в размерности Х. Зюсс Department of Mathematics, The University of Manchester, Manchester, UK
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9487 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ настоящей статье мы изучаем так называемые конические особенности Фано, поляризованные полем Риба $\xi$ в смысле, предложенном Т. Коллинзом и Г. Секелихиди. Выбор такой поляризации индуцирует сасакиеву метрику на линке особенности $X$. Сасакиева метрика называется квазирегулярной, если поле Риба порождает действие одномерного тора, и нерегулярной, если соответствующий тор имеет размерность 2 или выше. В статье [5] Коллинз и Секелихиди показывают, что для подходящей поляризации, пропорциональной $\xi$, условие $K$-стабильности поляризованной конической особенности $(X, \xi)$ равносильно существованию конической кэлеровой метрики с нулевой кривизной Риччи, а также равносильно существованию метрики Сасаки–Эйнштейна с полем Риба $\xi$ на линке особенности $X$. Долгое время были известны лишь примеры квазирегулярных структур Сасаки–Эйнштейна, пока в работах [9], [23] не были построены нерегулярные торические структуры Сасаки–Эйнштейна на $S^2 \times S^3$. Дальнейшие примеры изучались в работах [11], [26], [3], [7]. В статье [8] была обобщена конструкция из статьи [9] и построены примеры неторических структур в высших размерностях. Тем не менее в размерности $5$ некоторые задачи о существовании нерегулярных метрик Сасаки–Эйнштейна до сих пор не решены. Следующие два вопроса были сформулированы Дж. Спарксом в работах [28] и [29] соответственно. Вопрос 1.1. Существуют ли непрерывные семейства нерегулярных структур Сасаки–Эйнштейна в размерности $5$? Вопрос 1.2. Существуют ли примеры неторических нерегулярных структур Сасаки–Эйнштейна в размерности $5$? Кроме того, в статье [5] Коллинз и Секелихиди сформулировали следующий вопрос. Цель настоящей статьи – дать ответы на эти три вопроса. Основными техническими средствами для на нас являются комбинаторное описание действий тора с помощью полиэдральных дивизоров, предложенное К. Альтманном и Ю. Хаузеном в работе [1], и результаты Т. Коллинза и Г. Секелихиди из работы [5]. Статья устроена следующим образом. В § 2 показывается, что на пятимерной сфере не существует нерегулярной метрики Сасаки–Эйнштейна, т.е. дается отрицательный ответ на вопрос 1.3. В § 3 обсуждается $K$-стабильность для поляризованных конических особенностей. В § 4 рассматриваются конические особенности, построенные по полиэдральным дивизорам, и изучается их $K$-стабильность. Эти результаты используются в § 5 для того, чтобы обобщить результат о несуществовании нерегулярных структур Сасаки–Эйнштейна на пятимерной сфере на случай рационально гомологических пятимерных сфер. В § 6 изучается семейство неторических нерегулярных структур Сасаки–Эйнштейна на связных суммах $(2\ell+1)(S^2 \times S^3)$ и для $\ell > 1$ показывается существование нетривиальных модулей таких структур. Таким образом, этот пример позволяет дать утвердительные ответы на вопросы 1.1 и 1.2. БлагодарностиЯ благодарен Габору Секелихиди за указание на эту задачу, Тристану Коллинзу, Чи Ли и Джеймсу Спарксу за полезные обсуждения и Хоакину Мораге за помощь в вычислении фундаментальных групп для многообразий, рассмотренных в настоящей статье. Кроме того, я благодарен рецензенту статьи за полезные замечания. § 2. Структуры Сасаки–Эйнштейна сложности $1$ на сферахСначала мы введем некоторые обозначения, а также определим ключевое понятие поляризованной конической особенности Фано из работы [5]. Пусть $T$ – алгебраический тор. Его решетку характеров мы будем обозначать символом $M$, а символом $N$ – двойственную решетку с естественным спариванием $\langle\,{,}\,\rangle$. Символами $M_{\mathbb{R}}$ и $N_{\mathbb{R}}$ обозначим соответствующие вещественные векторные пространства. Определение 2.1. Конической особенностью называется нормальное аффинное комплексное многообразие $X\subset \mathbb{C}^\ell$, на котором действует нетривиальный алгебраический тор $T$, причем действие тора эффективно и имеет положительные веса. Это действие соответствует $M$-градуировке координатного кольца такой, что $R_0=\mathbb{C}$. Элемент $\xi \in N_{\mathbb{R}}$ называется полем Риба или поляризацией конической особенности $X$, если выполнено условие $\langle u, \xi\rangle > 0$ для всех элементов $u \in M \setminus\{0\}$ таких, что $R_u \neq 0$. Поля Риба образуют конус в пространстве $N_{\mathbb{R}}$, который называется конусом Риба многообразия $X$. Его замыкание $\sigma \subset N_{\mathbb{R}}$ является полноразмерным заостренным рациональным полиэдральным конусом. Коническая особенность $X$ называется конической особенностью Фано, если особенности многообразия $X$ являются $\mathbb{Q}$-горенштейновыми и логтерминальными. Разность $\dim X - \dim T$ называется сложностью конической особенности. Конические особенности сложности $0$ называются торическими. Условие, что $X \subset \mathbb{C}^N$ имеет изолированные особенности, означает, что линк $L=X \cap S^{2N-1}$ особенности является гладким вещественным многообразием. Кроме того, выбор поля Риба $\xi$ индуцирует сасакиеву структуру на $L$. Условие логтерминальности особенности соответствует положительной определенности сасакиевой структуры на $L$. С другой стороны, любая положительно определенная сасакиева структура на компактном многообразии получается из линка конической особенности Фано. Это утверждение следует из [2; теорема 8.2.18]. Определение 2.2. Сасакиева метрика на линке особенности $X$, соответствующая поляризации $\xi$, называется квазирегулярной, если $a\xi \in N$ для некоторого числа $a > 0$; а в противном случае она называется нерегулярной. Нас также интересует топология линков таких особенностей. Далее нам будут нужны основные результаты об их фундаментальных группах и группах гомологий. Лемма 2.3. Пусть $X$ – изолированная коническая особенность Фано. Обозначим линк особенности $X$ символом $L$. Тогда $\operatorname{Cl}(X) \cong H^2(L,\mathbb{Z})$. В частности, если $L$ является сферой, то особенность $X$ факториальна; если же $L$ является рационально гомологической сферой, то особенность $X$ является $\mathbb{Q}$-факториальной. Доказательство. По предположению однопараметрическая подгруппа общего положения в торе $T$ индуцирует хорошее $\mathbb{C}^*$-действие на $X$ такое, что особая точка $0$ является его единственной неподвижной точкой. Поэтому $L$ есть деформационный ретракт $X \setminus \{0\}$. С другой стороны, из [6; предложение 6.1] следует, что $H^2(X \setminus \{0\},\mathbb{Z}) \cong \operatorname{Cl}(X)$. Действительно, особенности $X$ рациональны, так как $X$ предполагается логтерминальным. Значит, условия из [6; предложение 6.1] в нашем случае выполнены. Лемма доказана. Факториальные конические особенности сложности $1$ были классифицированы Ш. Мори в размерности $2$ (см. [22]), М.-Н. Ишида в размерности $3$ (см. [16]) и Ю. Хаузеном, Э. Херппих и автором в произвольной размерности (см. [10]). Для частного случая изолированных конических особенностей классификацию можно сформулировать следующим образом. Предложение 2.4 (см. [20; теорема 6.5]). Изолированные факториальные конические особенности сложности $1$ и размерности не менее $3$ исчерпываются следующим списком: 1) аффинные пространства $\mathbb{C}^n$; 2) гиперповерхности в $\mathbb{C}^4$, заданные уравнениями вида где числа $p, q > 1$ взаимно просты;3) гиперповерхности в $\mathbb{C}^5$, заданные уравнениями вида где $p > 1$;4) гиперповерхность в $\mathbb{C}^6$, заданная уравнением Доказательство. Любое сасакиево многообразие размерности $5$ является линком изолированной конической особенности Фано комплексной размерности $3$. С другой стороны, по определению 2.2 поле Риба $\xi\,{\in}\, N_{\mathbb{R}}$, соответствующее нерегулярной структуре Сасаки–Эйнштейна, не пропорционально целочисленному вектору. Понятно, что такое возможно лишь в случае $\dim N_{\mathbb{R}} > 1$. Значит, соответствующая коническая особенность Фано допускает эффективное действие алгебраического тора размерности не менее $2$.
В таком случае по предложению 2.4 любая нерегулярная структура Сасаки–Эйнштейна на $S^5$ получалась бы из линка гиперповерхностной особенности из списка в предложении 2.4, 2). Но известно, что все структуры Сасаки–Эйнштейна на этих многообразиях квазирегулярны; см. работу [5]. § 3. $K$-стабильность конических особенностей ФаноВ этом параграфе мы в основном следуем обозначениям, принятым в работах [4] и [5]. Будем рассматривать весовое разложение координатного кольца, индуцированное действием тора $T$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}[X]=R=\bigoplus_{u \in \sigma^\vee \cap M} R_u.
\end{equation*}
\notag
$$
Для вектора $\xi$, лежащего во внутренности конуса $\sigma$, определим индекс-характер $F(\xi,t)$ формулой
$$
\begin{equation*}
F(\xi,t)= \sum_{u \in \sigma^\vee \cap M} e^{-t\langle u, \xi \rangle} \dim_\mathbb{C} R_u.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем разложение $F(\xi,t)$ в ряд с мероморфными коэффициентами:
$$
\begin{equation}
F(\xi,t)=\frac{a_0(\xi)(n-1)!}{t^n}+\frac{a_1(\xi)(n-2)!}{t^{n-1}}+ O(t^{2-n}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определение 3.1. Коэффициент $a_0(\xi)$ называется объемом поляризованной особенности $(X,\xi)$; будем обозначать его символом $\operatorname{vol}(\xi)$. Определение 3.2. Инвариант Футаки для пары $(X,\xi)$ и вектора $v \in N_{\mathbb{R}}$ определяется формулой где $D_v$ обозначает производную по направлению вектора $v$, т.е. Определение 3.3. $T$-эквивариантное специальное вырождение поляризованной конической особенности Фано $(X,\xi)$ – это пара $(\mathcal{X},v)$, где $f\colon \mathcal{X} \to \mathbb{C}$ есть семейство с послойным действием тора $T$, а $v$ есть действие $\mathbb{C}^*$ на $\mathcal{X}$ такое, что: Если $\mathcal{X} \cong X \times \mathbb{C}^*$, то специальное вырождение называется тривиальным. Для специального вырождения, как выше, существует действие на $\mathcal{X}_0$ алгебраического тора $T'$, порожденное коммутирующими действиями $T$ и $\mathbb{C}^*$. Вложение алгебраических торов индуцирует вложение на группах, двойственных к группам характеров, и на соответствующих векторных пространствах. С таким вложением $N_{\mathbb{R}} \hookrightarrow N_{\mathbb{R}}'$ пара $(\mathcal{X}_0,\xi)$ является поляризованной конической особенностью Фано, а действие $v$ можно рассматривать как элемент решетки $N'$. Определение 3.4. Поляризованная коническая особенность Фано $(X, \xi)$ называется $K$-стабильной, если для любого $T$-эквивариантного специального вырождения $(\mathcal{X},v)$ со специальным слоем $Y$ выполнены условия: Следующая теорема, доказанная Т. Коллинзом и Г. Секелихиди, объясняет, насколько важно понятие $K$-стабильности для изучения структур Сасаки–Эйнштейна. Теорема 3.5 (см. [5; теорема 1.1]). $K$-стабильность пары $(X,\xi)$ равносильна существованию конической кэлеровой метрики с нулевой кривизной Риччи на $(X,\widehat \xi)$, где $\widehat \xi$ – некоторое поле Риба, пропорциональное $\xi$, а также равносильна существованию структуры Сасаки–Эйнштейна с полем Риба $\widehat \xi$ на линке особенности $X$. § 4. Конические особенности Фано, построенные по полиэдральным дивизорамНапомним описание действий тора на аффинных многообразиях из работы [1]. Как и в § 2, мы обозначаем символом $T$ алгебраический тор размерности $n$, символами $M$ и $N$ – решетку характеров тора и двойственную к ней, а символами $M_{\mathbb{R}}$ и $N_{\mathbb{R}}$ – соответствующие векторные пространства над ${\mathbb{R}}$. Под полиэдральным дивизором с рациональным полиэдральным конусом рецессии $\sigma \subset N_{\mathbb{R}}$ на нормальном квазипроективном многообразии $Y$ мы подразумеваем формальную сумму где сумма берется по всем простым дивизорам $Z \subset Y$, а $\mathfrak{D}_Z$ – рациональные многогранники в пространстве $N_{\mathbb{Q}}$ с конусом рецессии $\sigma$, т.е. $\sigma=\{v \in N_{\mathbb{R}} \mid v+\mathfrak{D}_Z \subset \mathfrak{D}_Z\}$ для всех $Z$. Для всех дивизоров $Z$, кроме конечного числа, полиэдральные коэффициенты $\mathfrak{D}_Z$ совпадают с конусом рецессии $\sigma$. Эти коэффициенты мы будем называть тривиальными. Носителем полиэдрального дивизора $\mathfrak{D}$ называется объединение всех $Z$, для которых коэффициенты $\mathfrak{D}_Z$ нетривиальны. Для явных примеров полиэдральных дивизоров мы записываем лишь слагаемые с нетривиальными коэффициентами (как и в случае обычных дивизоров).Для полиэдрального коэффициента $\mathfrak{D}_Z$ обозначим через $\mathfrak{D}_Z^{(0)}$ его множество вершин. Определим кратность вершины $v \in \mathfrak{D}_Z^{(0)}$ как наименьшее натуральное число $\mu(v) \in \mathbb{N}$ такое, что $\mu(v)v$ является элементом решетки. Полиэдральный дивизор можно вычислять в элементах $u \in \sigma^\vee \cap M$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}(u)=\sum_{Z} \Bigl(\min_{v \in \mathfrak{D}_Z} \langle u , v \rangle\Bigr)\cdot Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Результат такого вычисления есть $\mathbb{Q}$-дивизор на $Y$. Будем называть полиэдральный дивизор собственным, если выполнены следующие условия:
Собственный полиэдральный дивизор определяет аффинное многообразие $X=\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ размерности $\dim Y+\dim T$ с координатным кольцом
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}[X]=R=\bigoplus_{u \in \sigma^\vee \cap M} H^0\bigl(Y, \mathcal{O}(\lfloor \mathfrak{D}(u)\rfloor)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, естественная $M$-градуировка индуцирует эффективное действие тора $T$ на $X$. Из [1] следует, что любое нормальное аффинное многообразие с действием тора можно получить с помощью этой конструкции. Условие $R_0\,{=}\,\mathbb{C}$ выполнено тогда и только тогда, когда $Y$ проективно. Кроме того, конус Риба есть внутренность конуса $\sigma$. Ясно, что размерность многообразия $Y$ равна сложности действия тора. Теперь рассмотрим случай конической особенности Фано сложности $1$. В этом случае $Y$ является кривой. Более того, по [20; следствие 5.8] логтерминальность особенности влечет $Y \cong \mathbb{P}^1$. Поэтому условия, перечисленные выше, значительно упрощаются. Для полиэдрального дивизора $\mathfrak{D}=\sum_{y \in \mathbb{P}^1}\mathfrak{D}_y \cdot y$ условие собственности есть просто условие
$$
\begin{equation*}
\deg(\mathfrak{D}) := \sum_{y} \mathfrak{D}_y \subsetneq \operatorname{tail} \mathfrak{D},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{tail} \mathfrak{D}$ есть конус рецессии дивизора $\mathfrak{D}$. Здесь в суммировании по полиэдральным коэффициентам мы применяем сумму Минковского многогранников. Пусть $\mathfrak{D}$ – собственный полиэдральный дивизор на $\mathbb{P}^1$ с носителем в точках $y_1, \dots ,y_r \in \mathbb{P}^1$. Тогда по [20; предложение 4.4] условие $\mathbb{Q}$-горенштейновости равносильно существованию единственного решения $(a_{y_1}, \dots, a_{y_r}, \mathbf{u}) \in \mathbb{Q}^r \times M_{\mathbb{Q}}$ следующей системы линейных уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \forall\, i=1,\dots, r, \quad \forall\, v \in \mathfrak{D}_{y_i}^{(0)} \quad \langle \mathbf{u}, v \rangle = a_{y_i} - \frac{\mu(v)-1}{\mu(v)}, \\ \forall\,\rho \subset (\operatorname{tail} \mathfrak{D} \setminus \deg \mathfrak{D}) \quad \langle \mathbf{u}, v_\rho \rangle=1, \\ \sum_{i=1}^r a_{y_i} =2 . \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь индекс $\rho$ пробегает лучи конуса рецессии, не пересекающие многогранник $\deg \mathfrak{D}$, а символ $v_\rho$ обозначает примитивную образующую луча $\rho$. Из [20; следствие 5.8] следует, что условие логтерминальности $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ равносильно условию
$$
\begin{equation}
\sum_{y\in \mathbb{P}^1} \biggl(1-\frac{1}{\max \{\mu(v) \mid v \text{ является вершиной } \mathfrak{D}_y\}}\biggr) < 2.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Как следствие, вектор $\mathbf{u}$ лежит во внутренности конуса весов $(\operatorname{tail} \mathfrak{D})^\vee$. Любой полиэдральный дивизор $\mathfrak{D}$ на $\mathbb{P}^1$, для которого выполнены приведенные выше условия, определяет коническую особенность Фано $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$, и любая коническая особенность Фано сложности $1$ получается такой конструкцией. Конус Риба в этом случае есть внутренность конуса $\operatorname{tail}(\mathfrak{D})$. Определение 4.1. Вектор $\mathbf{u}\in M_{\mathbb{Q}}$, однозначно определенный условием (4.1), будем называть каноническим весом дивизора $\mathfrak{D}$. Аналогично, для торической $\mathbb{Q}$-горенштейновой особенности, заданной конусом $\sigma \subset N_{\mathbb{R}}$, определим канонический вес как единственный вектор $\mathbf{u} \in M_{\mathbb{R}}$ такой, что $\langle \mathbf{u}, v_\rho \rangle=1$ для всех примитивных образующих $v_\rho$ лучей $\rho$ конуса $\sigma$. Заметим, что в обоих случаях вектор $\mathbf{u}$ является весом образующего канонического модуля $\omega_R$ модуля $R=\mathbb{C}[X]$. Следуя работе [15], опишем эквивариантные специальные вырождения многообразия $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ в терминах данных полиэдрального дивизора $\mathfrak{D}$. Определение 4.2. Фиксируем полиэдральный дивизор $\mathfrak{D}$ на $\mathbb{P}^1$. Точку $y \in \mathbb{P}^1$ назовем допустимой, если для любого вектора $u \in (\operatorname{tail} \mathfrak{D})^\vee\,{\cap}\, M$ условие $\min_{v \in \mathfrak{D}_z} \langle u , v \rangle \notin \mathbb{Z}$ выполнено не более чем для одной точки $z \neq y$. Предложение 4.3 (см. [15; теорема 4.3]). Специальный слой эквивариантного специального вырождения многообразия $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ является аффинным торическим многообразием, соответствующим конусу где точка $y\in \mathbb{P}^1$ допустимая. Возможные индуцированные действия $\mathbb{C}^*$ соответствуют элементам $N \times \mathbb{Z}_{> 0}$. Замечание 4.4. Пусть точка $y \in \mathbb{P}^1$ допустимая для полиэдрального дивизора $\mathfrak{D}$. Тогда канонический вес $\mathbf{u}_y$ для $\sigma_y$ имеет вид $\mathbf{u}_y=(\mathbf{u},a_y+1)$, где $\mathbf{u} \in M_{\mathbb{R}}$ – канонический вес дивизора $\mathfrak{D}$, коэффициенты $a_{y_i}$ определены выше, а также $a_y := 0$, если $y \notin \{y_1, \dots, y_r\}$. Пусть дан конус $\sigma \subset N_{\mathbb{R}}$. Рассмотрим следующий многогранник, получающийся подразбиением двойственного конуса:
$$
\begin{equation*}
\sigma^\vee(\xi)=\bigl\{u \in \sigma^\vee \mid \langle u, \xi \rangle \leqslant 1 \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из результатов работы [24] следует, что можно вычислить объем $\xi$, зная многогранник $\sigma^\vee(\xi)$. Предложение 4.5. Для $\mathbb{Q}$-горенштейновой торической конической особенности Фано функция объема $\operatorname{vol} \colon N_{\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ дается формулой Аналогичное утверждение верно и в случае действия тора сложности $1$. Предложение 4.6. Для $\mathbb{Q}$-горенштейновой конической особенности Фано, заданной полиэдральным дивизором $\mathfrak{D}$ на $\mathbb{P}^1$, функция объема $\operatorname{vol} \colon N_{\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ вычисляется по формуле для любой точки $y \in \mathbb{P}^1$. Доказательство. С одной стороны, это утверждение следует из того, что асимптотическое поведение размерностей градуированных компонент не меняется при эквивариантной плоской деформации. Другое доказательство можно получить, применив результат из [21; лемма 3.12], который выражает $\operatorname{vol}(\xi)$ как $\operatorname{vol} (\widehat\sigma^\vee(\xi))$ для некоторого конуса $\widehat \sigma$, построенного по нормированию со значениями в $(N\times \mathbb{Z})$. Действительно, по [14; следствие 5.5] мы можем подобрать такое нормирование, для которого имеет место равенство $\sigma_y=\widehat \sigma$. Предложение доказано. Пример 4.7 (случай $\mathbb{Q}$-факториальной торической особенности). Рассмотрим полноразмерный симплициальный конус $\sigma \subset N_{\mathbb{R}}$. Пусть $u_1, \dots, u_n \in M$ – примитивные образующие двойственного конуса. Тогда В дальнейшем для удобства мы будем рассматривать нормализованный объем на решетке. Он отличается от объема в мере Лебега множителем $n!$. Пусть теперь $(Y,\xi)$ – поляризованная коническая особенность Фано с решеткой характеров $M$, двойственной решеткой $N$ и каноническим весом $\mathbf{u} \in M_{\mathbb{R}}$. Тогда из результатов [5; п. 6.2] и [21; п. 2.5] для любого вектора $v \in N$ получаем равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Fut}_\xi(Y,v)= D_{-\widehat v}\operatorname{vol}(\widehat \xi) ,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\widehat \xi=\mathfrak{\xi}{\langle \mathbf{u}, \xi \rangle}$ и $\widehat v$ – некоторый вектор, пропорциональный вектору $v\,{-}\,\frac{\langle \mathbf{u}, v \rangle}{\langle \mathbf{u}, \xi \rangle} \xi$ с положительным коэффициентом. В частности, выполнено $\widehat v \in \mathbf{u}^\perp$. Поскольку в торическом случае все эквивариантные специальные вырождения тривиальны, условие $K$-стабильности равносильно обращению в нуль $D_{-\widehat v}\operatorname{vol}(\xi)$ для всех векторов $\widehat v \in \mathbf{u}^\perp$. С другой стороны, как показано в [25], функция объема выпукла и собственна на множестве $[\mathbf{u}=1] \cap \sigma$. Поэтому она имеет лишь одно критическое значение. В работе [5] было отмечено, что таким образом можно получить следующий результат, доказанный в [7]. Предложение 4.8. Линк $\mathbb{Q}$-горенштейновой торической особенности имеет структуру Сасаки–Эйнштейна. Пример 4.9 (случай $\mathbb{Q}$-факториальной торической особенности; продолжение). Снова рассмотрим случай торической особенности $X$ и предположим также, что $X$ является $\mathbb{Q}$-факториальной, т.е. соответствующий конус $\sigma$ порождается некоторым целочисленным $N_{\mathbb{R}}$-базисом $v_1, \dots, v_n$. Обозначим элементы двойственного базиса пространства $M_{{\mathbb{R}}}$ через $u_1, \dots, u_n$. Из примера 4.7 видно, что $D_{(v_j-v_i)}\operatorname{vol}(\xi)=0$ тогда и только тогда, когда выполнено Тогда получаем равенства Поскольку $\langle u_i, \xi \rangle > 0$ для всех $i=1,\dots, n$, мы можем разделить левую и правую части на $\prod_{k\neq i,j} \langle u_k, \xi \rangle$ и получить, что $\langle u_j, \xi \rangle - \langle u_i, \xi \rangle=0$. Значит, особенность $(X,\xi)$ является $K$-стабильной, только если $\langle u_i, \xi \rangle=\langle u_j, \xi \rangle$, но это условие равносильно тому, что поляризация $\xi$ пропорциональна $\sum_{i=1}^n v_i$. Следовательно, любая торическая структура Сасаки–Эйнштейна на рационально гомологической сфере квазирегулярна. В случае конической особенности Фано $X=\mathcal{X}(\mathfrak{D})$, построенной по полиэдральному дивизору $\mathfrak{D}$ на $\mathbb{P}^1$, мы доказываем следующую теорему. Теорема 4.10. Пусть $(X,\xi)$ – поляризованная коническая особенность Фано, построенная по полиэдральному дивизору $\mathfrak{D}$ с каноническим весом $\mathbf{u}$. Тогда $(X,\xi)$ является $K$-стабильной тогда и только тогда, когда для некоторой точки $y \in \mathbb{P}^1$ и для любого вектора $\widehat v \in \mathbf{u}^\perp$, а также для любой допустимой точки $y \in \mathbb{P}^1$ и для $v' \in \mathbf{u}_y^\perp \cap (N_{\mathbb{Q}} \times \mathbb{Z}_{> 0}).$ Доказательство. Для любого вектора $v \in N$ по равенству (4.4) и по предложению 4.6 имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Fut}_\xi(X,v)=D_{(\widehat v,0)} \operatorname{vol}\bigl(\sigma_y^\vee(\widehat \xi,0)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat v$ есть проекция вектора $v$ на подпространство $\mathbf{u}^\perp$ из (4.4). Таким образом, в наших предположениях условие (4.5) равносильно условию 1) из определения 3.4. Аналогично, из предложений 4.3 и 4.5 следует, что условие (4.6) равносильно условию 2) из определения 3.4. Теорема доказана. § 5. Несуществование нерегулярных метрик Сасаки–Эйнштейна на рационально гомологических пятимерных сферахВ этом параграфе мы рассматриваем случай трехмерной изолированной конической особенности Фано $X$, т.е. случай, когда линк особенности является пятимерным гладким многообразием. Предположим, что на линке особенности существует нерегулярная структура Сасаки–Эйнштейна. Тогда поле Риба $\xi$ порождает эффективное действие тора $T$ размерности не менее $2$ на $X$. С другой стороны, как было показано в примере 4.9, особенность $X$ не может быть торической. Таким образом, действие тора может иметь только сложность $1$. Пусть $X=\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ – трехмерная коническая особенность Фано, построенная по полиэдральному дивизору $\mathfrak{D}$. Напомним, что конус $\operatorname{tail}(\mathfrak{D}) \subset N_{\mathbb{R}} \cong {\mathbb{R}}^2$ равен замыканию конуса Риба и является полноразмерным. То есть конус $\operatorname{tail}(\mathfrak{D})$ заключен между двумя лучами, $\rho^1$ и $\rho^2$, с целочисленными примитивными образующими $v_1$ и $v_2$. Следовательно, любой полиэдральный коэффициент $\mathfrak{D}_y$ имеет две грани вида $v_y^1\,{+}\,\rho^1$ и $v_y^2\,{+}\,\rho^2$, где $v_y^1$ и $v_y^2$ могут совпадать. Остальные грани многогранника $\mathfrak{D}_y$ имеют вид отрезка $\overline{vw}$. В этих предположениях имеется следующий критерий изолированности для особенности $X$. Предложение 5.1. Пусть $\mathfrak{D}$ – полиэдральный дивизор на $\mathbb{P}^1$ с двумерным конусом рецессии $\sigma=\operatorname{pos}(v_1,v_2) \subset M_{\mathbb{R}} \cong {\mathbb{R}}^2$. Тогда соответствующее трехмерное аффинное $T$-многообразие $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ имеет изолированные особенности тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия. 1. Для любой грани $\overline{vw}$ полиэдрального коэффициента $\mathfrak{D}_y$ векторы $\mu(v)(v,1)$ и $\mu(w)(w,1)$ можно дополнить до базиса решетки $N \times \mathbb{Z}$. 2. Если $i\,{\in}\,\{1,2\}$ и выполнено $\rho_i\,{\cap}\, \deg \mathfrak{D}\,{=}\,\varnothing$, а $v_y^i\,{+}\,\rho^i$ является гранью полиэдрального коэффициента $\mathfrak{D}_y$, то векторы $(v^i,0)$ и $\mu(v_y^i)(v_y^i,1)$ можно дополнить до базиса решетки $N \times \mathbb{Z}$. 3. Если $i \in \{1,2\}$ и выполнено $\rho_i\,{\cap}\, \deg \mathfrak{D} \neq \varnothing$, то все вершины $v_y^i$, за исключением не более чем двух вершин $v_z^i, v_{z'}^i$, являются целочисленными, а векторы $\mu(v_z^i)(v_z^i,1)$ и $\mu(v_{z'}^i)(\sum_{y \neq z} v_y^i, 1)$ можно дополнить до базиса решетки $N \times \mathbb{Z}$. Доказательство. По теореме 5.4 из работы [20] нужно рассматривать полиэдральные дивизоры вида
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}^u=\sum \operatorname{face}(\mathfrak{D}_y,u) \otimes y
\end{equation*}
\notag
$$
для векторов $u \in (\operatorname{tail} \mathfrak{D})^\vee \setminus \{0\}$ такие, что как минимум один из полиэдральных коэффициентов $\operatorname{face}(\mathfrak{D}_y,u)$ имеет коразмерность 1. Здесь символ $\operatorname{face}(\mathfrak{D}_y,u)$ обозначает грань многогранника $\mathfrak{D}_y$, на которой линейная форма $\langle u, \cdot \rangle$ достигает минимума. Предположим, что $\overline{vw}=\operatorname{face}(\mathfrak{D}_y,u)$. Тогда $\operatorname{tail} \mathfrak{D}^u=\operatorname{tail}(\overline{vw})=0$ и, в частности, $\deg \mathfrak{D}^u \not \subset \operatorname{tail} \mathfrak{D}^u$. Таким образом, мы попадаем в случай (ii) из теоремы 5.4 в [20]. В этом случае из [20; теорема 5.3] следует, что конус $\delta_y={\mathbb{R}}_{\geqslant 0} \cdot (\overline{vw} \times \{1\})$ должен быть регулярным, т.е. примитивные образующие его лучей можно дополнить до базиса решетки. Однако лучи конуса $\delta_y$ суть в точности $\mu(v)(v,1)$ и $\mu(w)(w,1)$. Значит, выполнено условие 1.
Предположим теперь, что $v_y^i+\rho^i=\operatorname{face}(\mathfrak{D}_y,u)$. Пусть также $\rho^i \cap \deg \mathfrak{D}=\varnothing$, тогда выполнено условие $\deg \mathfrak{D}^u= \operatorname{face}(\deg \mathfrak{D},u) \not \subset \rho^i= \operatorname{face}(\operatorname{tail} \mathfrak{D},u)$. Таким образом, мы снова оказываемся в случае (ii) из теоремы 5.4 в [20]. По [20; теорема 5.3] замыкание конуса ${\mathbb{R}}_{\geqslant 0} \cdot ((v^i_y+\rho^i) \times \{1\})$, порожденное векторами $(v^i_y,1)$ и $(v^i,0)$, должно быть регулярным конусом, т.е. векторы $\mu(v^i_y)(v^i_y,1)$ и $(v^i,0)$ можно дополнить до базиса решетки. Значит, выполнено условие 2. Остается рассмотреть случай, когда $\rho^i \cap \deg \mathfrak{D} \neq \varnothing$. Из этого условия получаем, что $\rho^i\,{\cap}\,\deg \mathfrak{D}=\operatorname{face}(\deg \mathfrak{D}, u)=\deg \mathfrak{D}^u$. В частности, $\deg \mathfrak{D}^u \subset \rho^i$. Таким образом, мы оказываемся в случае (i) из теоремы 5.4 в [20]. Условие 3 тогда следует из [20; предложение 5.1]. Доказательство обратной импликации получается обращением приведенных выше рассуждений. Предложение доказано. Предложение 5.2. Любая $\mathbb{Q}$-факториальная изолированная трехмерная коническая особенность с максимальным тором $T=(\mathbb{C}^*)^2$ может быть построена по полиэдральному дивизору с носителем из трех точек на $\mathbb{P}^1$ (обозначенных через $0$, $\infty$ и $1$), для которых выполнены следующие условия. 1. $\mathfrak{D}_{\infty}=\overline{v_\infty v'_\infty}+\operatorname{tail} \mathfrak{D}$, где $v_\infty,v_\infty' \in N$ – некоторые векторы решетки, а вектор $(v_\infty-v'_\infty)$ примитивный. 2. $\mathfrak{D}_{0}=v_0+\operatorname{tail} \mathfrak{D}$ и $\mathfrak{D}_1=v_1+ \operatorname{tail} \mathfrak{D}$ для некоторых $v_0,v_1 \in N_{\mathbb{Q}}$. Доказательство. По [27; следствие 3.15] условие $\mathbb{Q}$-факториальности в наших предположениях означает, что имеет место один из двух случаев.
Предположим, что имеет место случай 2. Так как действие двумерного тора на $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ максимально по предположению, из результатов [1; § 11] следует, что существует не менее трех полиэдральных коэффициентов, не являющихся переносами многогранника $\deg \mathfrak{D}$. Однако это противоречит условию 3 предложения 5.1 для луча $\rho$. Таким образом, возможен только случай 1. Как и выше, условие максимальности действия двумерного тора на $\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ влечет существование как минимум трех полиэдральных коэффициентов, не являющихся конусами рецессии с точностью до переноса. Кроме коэффициента вида $\overline{v v'}+\operatorname{tail} \mathfrak{D}$ существуют еще как минимум два таких полиэдральных коэффициента. Но условие 3 из предложения 5.1 показывает, что таких коэффициентов не более двух и что $v$ и $v'$ являются векторами решетки. Кроме этого, по условию 1 из предложения 5.1 вектор $v-v'$ должен быть примитивным. Предложение доказано. Теорема 5.3. Любая структура Сасаки–Эйнштейна на линке $\mathbb{Q}$-факториальной трехмерной конической особенности Фано сложности $1$ является квазирегулярной. Доказательство. Рассмотрим полиэдральный дивизор, для которого выполнены условия предложения 5.2. Положим $v=v_\infty -v_\infty'$. Тогда конус
$$
\begin{equation*}
\sigma_1=\operatorname{pos}\{(v_0,-1),(v_0+v,-1),(v_1,1)\} \subset N_{\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}}
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует специальному слою некоторого эквивариантного специального вырождения; см. § 4. Пусть $\mathbf{u}$ – канонический вес дивизора $\mathfrak{D}$. По условию (4.1) мы получаем, что выполнено $\langle \mathbf{u}, v_\infty \rangle=\langle \mathbf{u}, v'_\infty \rangle$. Так как $\dim N_{\mathbb{R}}=2$, ортогональное дополнение $\mathbf{u}^\perp$ порождено вектором $v=v_\infty-v'_\infty$. С другой стороны, двойственный конус $\sigma^\vee_1$ порожден тремя примитивными векторами решетки, $w_1$, $w_2$ и $w_3$. Один из них, например $w_1$, ортогонален векторам $(v_0+v,-1)$ и $(v_0,-1)$, а значит, и их разности $(v,0)$. Отсюда получаем Здесь $p_1\colon M_{\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}} \to M_{\mathbb{R}}$ – проекция. Тогда из соображений размерности имеет место равенство для некоторого $\lambda \in {\mathbb{R}}$. Так как векторы $w_1$ и $\mathbf{u}$ целочисленные, выполнено $\lambda \in \mathbb{Q}$.
Теперь предположим, что $\xi \in N_{\mathbb{R}}$ является полем Риба структуры Сасаки–Эйнштейна на линке $X$ и $v \in \mathbf{u}^\perp$. Тогда по теоремам 3.5 и 4.10 выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
D_{-v}\operatorname{vol}(\widehat \xi)=D_{(-v,0)}\operatorname{vol} (\sigma_1^\vee (\widehat \xi,0))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, конус $\sigma_1$ является симплициальным. Поэтому, как в примере 4.7, для $\operatorname{vol}(\widehat \xi+sv)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{vol} (\sigma^\vee_1(\widehat \xi-sv,0))=\frac{|\det(w_1,w_2,w_3)|}{\langle w_1,(\widehat \xi-sv,0) \rangle \langle w_2,(\widehat \xi-sv,0) \rangle\langle w_3,(\widehat \xi-sv,0) \rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, производная $D_{-v}\operatorname{vol}(\widehat \xi)$ обращается в нуль, если и только если
$$
\begin{equation}
\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \langle w_1,(\widehat \xi-sv,0) \rangle \langle w_2,(\widehat \xi-sv,0) \rangle\langle w_3,(\widehat \xi-sv,0) \rangle=0.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
С другой стороны, имеем $\langle w_1,(\widehat \xi-sv,0) \rangle=\langle p_1(w_1),\widehat \xi -sv \rangle=\lambda$ по определению вектора $\widehat \xi$ и по равенству (5.1). Тогда равенство (5.2) записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \!\langle w_1,(\widehat \xi-sv,0) \rangle \langle w_2,(\widehat \xi-sv,0) \rangle\langle w_3,(\widehat \xi-sv,0) \rangle \\ & =\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \!\lambda \langle w_2,(\widehat \xi-sv,0) \rangle\langle w_3,(\widehat \xi-sv,0) \rangle \\ &=-\lambda\langle w_2, (v,0)\rangle \langle w_3 , (\widehat \xi,0) \rangle -\lambda \langle w_3, (v,0)\rangle \langle w_2 , (\widehat \xi,0) \rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение линейно по $\widehat \xi$ с рациональными коэффициентами. Значит, множество его решений является одномерным рациональным подпространством. Поэтому оно порождается целочисленным элементом. Таким образом, любое решение $\widehat \xi$ уравнения (5.2) пропорционально целочисленному элементу, откуда следует, что соответствующая структура Сасаки–Эйнштейна квазирегулярна.
Теорема доказана. Следствие 5.4. Любая структура Сасаки–Эйнштейна на рационально гомологической пятимерной сфере квазирегулярна. Доказательство. По лемме 2.3 сасакиева структура на рационально гомологической пятимерной сфере получается конструкцией линка $\mathbb{Q}$-факториальной конической особенности Фано $X$ размерности $3$. Значит, сложность конической особенности может равняться $0$, $1$ или $2$. Если сложность равна $2$, то действующий на $X$ тор имеет размерность $1$ и $N_{\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}$. Поэтому любой вектор $\xi \in N_{\mathbb{R}}$ пропорционален вектору из $N=\mathbb{Z}$ и любая поляризация $\xi$ по определению квазирегулярна. Для случаев сложности $0$ и $1$ утверждение сразу следует из примера 4.9 и теоремы 5.3 соответственно. Следствие доказано.
§ 6. Семейство неторических нерегулярных метрик Сасаки–ЭйнштейнаВ этом параграфе мы докажем следующую теорему. Теорема 6.1. Для любого нечетного числа $k\,{\in}\, \mathbb{N} \setminus \{3\}$ существует семейство неторических нерегулярных структур Сасаки–Эйнштейна на $k (S^2\,{\times}\, S^3)$. При $k > 1$ существуют нетривиальные модули этих структур. Замечание 6.2. В настоящее время существует несколько способов построения семейства структур Сасаки–Эйнштейна на связных суммах $k (S^2 \times S^3)$ с произвольным числом слагаемых. Например, существуют: квазирегулярные структуры сложности $2$, полученные в работе [18] как $S^1$-расслоения над логповерхностями дель Пеццо, допускающими метрики Кэлера–Эйнштейна; квазирегулярные торические структуры, построенные в работе [30]; потенциально нерегулярные структуры из работы [3], а также линки гиперповерхностных особенностей сложности $1$ из работы [4]. Фиксируем нечетное число $k \in \mathbb{N}$ и рассмотрим полиэдральный дивизор $\mathfrak{D}$ на $\mathbb{P}^1$ с конусом рецессии $\sigma\,{=}\,\rho^1\,{+}\,\rho^2$, где $\rho^1\,{=}\,{\mathbb{R}}_{\geqslant 0}\,{\cdot}\,(-1,1)$ и $\rho^1\,{=}\,{\mathbb{R}}_{\geqslant 0}\,{\cdot}\, (15k\,{-}\,4,8)$. Полиэдральные коэффициенты имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{D}_0 &= \frac{1}{5}(2,1)+\sigma, \\ \mathfrak{D}_\infty &= \frac{1}{3}(-2,1)+\sigma, \\ \mathfrak{D}_{y_1}= \dots=\mathfrak{D}_{y_k} &= \overline{(0,0)(1,0)}+\sigma. \\ \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $k=1$ показан на рис. 1. Заметим, что $\mathfrak{D}$ является собственным для любого $k$. Действительно, имеем
$$
\begin{equation}
\deg \mathfrak{D}= \overline{\biggl(-\frac{4}{15},\frac{8}{15}\biggr) \biggl(\frac{15k- 4}{15},\frac{8}{15}\biggr)}+\sigma.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Это собственное подмножество конуса $\sigma$. Значит, при выборе $k$ различных точек $y_1, \dots, y_k\in \mathbb{C}^*$ мы получаем аффинное многообразие $X_k =\mathcal{X}(\mathfrak{D})$. Варьируя конфигурацию точек $y_1, \dots, y_k$, мы можем построить $(k-1)$-мерное семейство, слои которого попарно не являются эквивариантно изоморфными; см. [1; следствие 8.12]. Далее мы покажем, что при нечетных $k$ многообразия $X_k$ являются изолированными коническими особенностями Фано. Лемма 6.3. Для любого нечетного числа $k \in \mathbb{N}$ многообразие $X_k$ имеет изолированные особенности. Доказательство. Мы будем применять предложение 5.1. Рассмотрим многогранник $\deg\mathfrak{D}$ из равенства (6.1). Ясно, что $\deg \mathfrak{D}\,{\cap}\, \rho^1\,{\neq}\, \varnothing$ и $\deg \mathfrak{D}\,{\cap}\, \rho^2\,{=}\,\varnothing$. Значит, нам нужно проверить условие 2 для луча $\rho^1$ и условие 3 для луча $\rho^2$. Также необходимо проверить условие 1 для коэффициентов $\mathfrak{D}_{y_i}$.
Условие 1. Для каждого из коэффициентов $\mathfrak{D}_{y_i}$ мы рассматриваем векторы $(0,0,1)$ и $(1,0,1)$. Их, очевидно, можно дополнить до базиса решетки, например, добавлением вектора $(0,1,0)$. Условие 2. Нужно рассмотреть пару векторов $(-1,1,0), (2,1,5)$ для коэффициента $\mathfrak{D}_0$, пару $(-1,1,0), (-2,1,3)$ для $\mathfrak{D}_\infty$ и пару $(-1,1,0), (0,0,1)$ для $\mathfrak{D}_{y_1}= \dots=\mathfrak{D}_{y_k}$. Каждую из этих пар векторов можно дополнить до базиса решетки, добавляя векторы $(0,-1,-2)$, $(0,1,-2)$ и $(0,1,0)$ соответственно. Условие 3. Имеем $v^2_0=\frac{1}{5}(2,1)$, $v^2_\infty=\frac{1}{3}(-2,1)$, $v^2_{y_1}=\dots=v^2_{y_k}=(1,0)$. Значит, только две вершины не являются целочисленными, и нужно рассмотреть векторы $5\,{\cdot}\,(v^2_0,1)=(2,1,5)$ и $3\,{\cdot}\,\bigl(v_\infty\,{+}\,\sum_i v^2_i,1\bigr)=(3k\,{-}\,2,1,-3)$. Максимальные миноры матрицы $\bigl(\begin{smallmatrix} 3k-2 & 1& -3\\ 2 & 1& 5 \end{smallmatrix}\bigr)$ равны $3k-4$, $15k-4$ и $8$. Если $k$ нечетно, наибольший общий делитель этих миноров равен $1$, поэтому пару векторов можно дополнить до базиса решетки. Таким образом, из предложения 5.1 следует, что коническая особенность является изолированной. Лемма доказана. Доказательство. Выбирая $\mathbf{u}=(0,1)$, $a_0=a_\infty=1$ и $a_{y_i}=0$ для $i=1,\dots,k$, получаем решение уравнения (4.1). Значит, особенность $X=\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ горенштейнова. Кроме того, особенность $X$ логтерминальна, так как верно неравенство $4/5+2/3+0 < 2$. Лемма доказана. Далее, найдем единственный с точностью до пропорциональности вектор, который может быть полем Риба структуры Сасаки–Эйнштейна. Напомним, что $\widehat \xi=\xi/\langle\mathbf{u}, \xi\rangle \in [\mathbf{u}=1] \cap \sigma$. Из вычислений выше следует, что $\widehat \xi=(x,1)$, где $-1 \leqslant x \leqslant (15k-4)/8$. По теореме 4.10 нужно найти такое значение $x$, что выполнено равенство $D_{(1,0,0)}\operatorname{vol} \sigma_y^\vee(\widehat \xi,0)=0$ для некоторой точки $y\in \mathbb{P}^1$. Рассмотрим конус $\sigma_0$ такой, как в предложении 4.3, т.е. соответствующий торическому вырождению $X$. Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_0&=\operatorname{pos}\bigl((2, 1, 5),( -2+3k, 1, -3),(-2, 1, -3),(-1,1,0)\bigr), \\ \sigma_0^\vee&= \operatorname{pos}\bigl((-8, 15k - 4, -3k+4),(0, 3, 1),(3, 3, -1),(5, 5, -3)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы вычислить объем конуса $\sigma^\vee_0(\xi,0)=\sigma^\vee_0(x,1,0)$, рассмотрим подразбиение конуса $\sigma_0^\vee$ на два симплициальных конуса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega_1 &= \operatorname{pos}\bigl((-8, 15k - 4, -3k+4),(0, 3, 1),(5, 5, -3)\bigr), \\ \omega_2 &= \operatorname{pos}\bigl((0, 3, 1),(3, 3, -1),(5, 5, -3)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, поскольку $\operatorname{vol}(\sigma_0^\vee(v))=\operatorname{vol}(\omega_1(v))+\operatorname{vol}( \omega_2(v))$, мы можем применить (4.3) из примера 4.7 к каждому из двух конусов и получить
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{vol}\bigl(\sigma^\vee(x,1,0)\bigr) &= \frac{8(15k+4)}{15(15k-8x-4)(x+1)}+\frac{4}{15(x+1)^2} \\ &= \frac{4}{15}\cdot\frac{30kx+45k+4}{(x+1)^2(15k-8x-4)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Дифференцируя по $x$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{4}{15}\cdot \frac{480kx^2-6(75k^2-200k-16)x+(-900k^2+480k+64)}{(x+1)^3(15k-8x-4)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Единственный корень $x_0 \in [-1,(15k-4)/8]$ многочлена в числителе равен
$$
\begin{equation}
x_0=\frac{225k^{2}+\sqrt{225k^{2}+600k+144}\,(15k+4)-600k-48}{480k}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
При $k \neq 3$ это число иррационально. Действительно, заметим, что Это выражение равно $63$ при $k=3$. Если $k \geqslant 9$, верны неравенства Поэтому при таких значениях $k$ квадратный корень иррационален. В оставшихся случаях иррациональность проверяется прямым вычислением. Рассмотрим теперь вектор $\xi$, пропорциональный вектору $\widehat \xi=(x_0,1)$ с положительным коэффициентом. Предложение 6.5. Для любого числа $k \in \mathbb{N}$ коническая особенность Фано $(X_k, \xi)$ является $K$-стабильной. Доказательство. Существуют лишь два допустимых выбора точки $y\,{\in}\,\mathbb{P}^1$, а именно $y=0$ и $y=\infty$. Сначала мы применим критерий из теоремы 4.10 к вырождению, соответствующему конусу $\sigma_0$. Аналогично примеру (6.2) мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_{(\widehat \xi,1)} \operatorname{vol}\bigl(\sigma^\vee(\widehat \xi,1)\bigr) &=\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \operatorname{vol}\bigl(\sigma^\vee_0(x_0,1,t)\bigr) \nonumber \\ \nonumber &=\frac{24 (15 k+4)(3k-4)-8(15 k+4)(15k-8x_0-4)}{45(15 k - 8 x_0 - 4)^2(x_0+1)} \\ &\qquad + \frac{72(15k+4)-20(15k-8x_0-4)}{225(15k-8x_0-4)(x_0+1)^2} \nonumber \\ &\qquad+ \frac{56}{225(x_0+ 1)^3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Нужно показать, что это выражение положительно для каждого $k \in \mathbb{N}$. Для $k \leqslant 9$ мы проверяем это непосредственно. В остальных случаях мы ограничиваем $x_0$ сверху и снизу для каждого значения $k$. Подставляя нижнюю оценку из (6.5) в уравнение (6.3) и пользуясь условием $k \geqslant 9$, мы находим, что
$$
\begin{equation*}
x_0 \geqslant \frac{450k^2 - 255k+28}{480k} \geqslant \frac{7}{8}k.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь этой оценкой, мы получаем нижние оценки $120k^2\,{-}\,928k\,{-}\,256$ и $920k+368$ для числителей во второй и третьей строках равенства (6.6) соответственно. Эти выражения положительны при $k \geqslant 9$. С другой стороны, выражения в знаменателях положительны, так как выполнено $-1 \leqslant x_0 \leqslant 15k-4$.
Аналогично проверяется, что инвариант Футаки вырождения, соответствующего конусу $\sigma_\infty$, положителен. Конус и его двойственный в этом случае имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_\infty &=\operatorname{pos}\bigl((-2, 3, 1),(2, -5, 1),(2+5k,-5,1),(-1,0,1)\bigr), \\ \sigma_\infty^\vee &= \operatorname{pos}\bigl((-8, -5k - 4, 15k - 4),(0, 1, 5),(5, 3, 5),(3, 1, 3)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Доказательство. Чтобы вычислить фундаментальные группы многообразий $X_k\setminus\{0\}$, применим теорему 3.4 из [19]. Множество образующих фундаментальной группы есть Здесь образующие $b_i$ соответствуют точкам носителя, а образующие $t_1, t_2$ соответствуют некоторому базису решетки $N$. Согласно [19; теорема 3.4] имеем следующие соотношения между образующими:
$$
\begin{equation}
t_1^{-1}t_2, \ t_1^{15k-4}t_2^8 \quad\text{(соответствующие лучам конуса $\sigma$)},
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Из соотношения (6.11) следует, что $t_1=1$ и $b_i=1$ для $i=1,\dots,k$. Тогда из (6.9) получаем, что $t_2=1$. Соотношение (6.10) дает $b_0^5=1$ и $b_\infty^3=1$. Так как по (6.7) выполнено $b_0=b_\infty^{-1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
1=1^2 1^5=(b_\infty^3)^2b_0^5=b_\infty^6b_\infty^{-5}=b_\infty=b_0^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, фундаментальная группа тривиальна.
Лемма доказана. Доказательство теоремы 6.1. Сначала заметим, что полиэдральный дивизор $\mathfrak{D}$ имеет $k+2 \geqslant 3$ полиэдральных коэффициента, не являющихся переносами конуса рецессии. Из результатов [1; § 11] заключаем, что особенности $X_k=\mathcal{X}(\mathfrak{D})$ не являются торическими.
Из предыдущих результатов этого параграфа и теоремы 3.5 следует, что линки $L_k$ изолированных конических особенностей Фано $X_k$ имеют структуры Сасаки–Эйнштейна. Остается показать, что линки $L_k$ диффеоморфны $k(S^2 \times S^3)$. По лемме 6.6 многообразия $L_k$ односвязны, так как являются деформационными ретрактами многообразий $X_k \setminus \{0\}$. Тогда из [27; следствие 3.15] получаем, что $\operatorname{Cl}(X_k) \cong \mathbb{Z}^{k}$. Как и выше, мы также можем применить [6] и получить, что $H^2(L_k) \cong \mathbb{Z}^{k}$. С другой стороны, среди односвязных пятимерных многообразий из классификации Смейла–Бардена только $S^5$ и $k (S^2 \times S^3)$ могут иметь структуры Сасаки–Эйнштейна с $(S^1)^2$-симметрией. Это следует из результатов статьи [17]; см. также [2; предложение 10.2.27]. Таким образом, утверждение теоремы следует из того, что $H^2(k(S^2 \times S^3)) \cong \mathbb{Z}^k$. Теорема доказана. Замечание 6.7. Существует другой способ описания многообразия $X_k$. По [12; теорема 4.8] кольца Кокса многообразий $X_k$ равны
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sus21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|