| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9483 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть заданы банаховы пространства $X$ и $Y$ с нормами $\|\cdot\|_X$ и $\|\cdot\|_Y$ соответственно, топологическое пространство $\Sigma$ и непрерывное отображение $f\colon X \times \Sigma \to Y$. Рассмотрим уравнение относительно неизвестного $x\in X$ и с параметром $\sigma \in \Sigma$. Цель настоящей работы состоит в получении условий, при которых при всех значениях параметра $\sigma\in \Sigma$ это уравнение разрешимо и существует решение $x=g(\sigma)$, которое непрерывно зависит от параметра $\sigma$. Непрерывную функцию $g(\cdot)$, определенную на пространстве $\Sigma$ и удовлетворяющую на нем тождеству $f(g(\sigma),\sigma) \equiv 0$, называют неявной функцией (на $\Sigma$).Напомним классическую теорему о неявной функции. Если в некоторой точке $(x_0,\sigma_0)\in X\times \Sigma$, в которой $f(x_0,\sigma_0)=0$, отображение $f$ строго дифференцируемо по $x$ равномерно по $\sigma$ и выполняется условие регулярности то существуют окрестность $O \subset\Sigma$ точки $\sigma_0$, число $c>0$ и непрерывная функция $g\colon O\to X$ такие, что $f(g(\sigma),\sigma)=0$ и $\|g(\sigma)-x_0\|_X\leqslant c \|f(x_0,\sigma)\|_Y$ для любого $\sigma\in O$.Это утверждение и его различные модификации хорошо известны (см. [1]–[3]). Классическая теорема о неявной функции носит локальный характер, т.е. она гарантирует разрешимость уравнения (1.1) лишь в некоторой окрестности заданной точки $\sigma_0$, но не на всем пространстве. Одним из первых результатов, связанных с вопросом существования неявной функции, определенной на всем пространстве параметров, является полученная в [4] теорема Адамара (см. также [5; теорема 5.3.10]). Сформулируем ее обобщение (см. [6; теорема 3.11]) для банаховых пространств. Пусть $F\colon X\to Y$ – непрерывно дифференцируемое отображение, производная которого в каждой точке $x\in X$ является обратимым линейным оператором. Если существует число $c>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|{\frac{\partial F}{\partial x}(x)}^{-1}\biggr\|\leqslant c \quad \forall \, x\in X,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
то $F$ является диффеоморфизмом, а обратное отображение $F^{-1}$ удовлетворяет условию Липшица с константой $c$. Здесь и далее обратимость линейного непрерывного оператора означает, что у него существует линейный непрерывный обратный оператор, а $\|\cdot\|$ – норма линейного оператора. В [7] в теореме Адамара предположение равномерной регулярности (1.2) было существенно ослаблено до предположения
$$
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} \inf_{\|x\|_X\leqslant r} \biggl(\biggl\|{\frac{\partial F}{\partial x}(x)}^{-1}\biggr\|^{-1} \biggr)\, dr = +\infty.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Теорема Адамара представляет собой достаточное условие существования глобального решения для уравнения $F(x)-\sigma=0$, являющегося частным случаем уравнения (1.1). Тем не менее из теоремы Адамара (точнее, из ее обобщения, см. [6; теорема 3.11]) непосредственно вытекают достаточные условия существования неявной функции и для общего случая. Сформулируем их. Пусть отображение $f\colon X\times \Sigma\to Y$ непрерывно, при $\sigma \in \Sigma$ отображение $f(\cdot,\sigma)$ непрерывно дифференцируемо и его производная в каждой точке $x\in X$ обратима. Если существует число $c>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|{\frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)}^{-1}\biggr\|\leqslant c \quad \forall \, x\in X, \quad \forall \, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
то существует непрерывное отображение $g\colon \Sigma\to X$, для которого справедливо $f(g(\sigma),\sigma)\equiv 0$. В приведенных утверждениях о глобальном диффеоморфизме и глобальной неявной функции и их модификациях (см., например, [7]–[9] и др.) предполагается, что производная отображения в каждой точке обратима. В связи с этим возникает естественный вопрос о достаточных условиях существования неявной функции без априорного предположения обратимости линейных операторов $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)$, $x\in X$, $\sigma\in \Sigma$. Этой проблеме посвящена настоящая работа. § 2. Теоремы о неявной функцииВначале приведем необходимые обозначения и определения. Обозначим через $\mathcal{L}(X,Y)$ пространство линейных ограниченных операторов $A\colon X\to Y$, через $\|\cdot\|$ – норму в $\mathcal{L}(X,Y)$, через $\mathcal{SL}(X,Y)$ – множество всех сюръективных операторов $A\in \mathcal{L}(X,Y)$. Через $B_X(x,r)$ обозначим замкнутый шар в пространстве $X$ радиуса $r\geqslant 0$ с центром в точке $x\in X$. Через $\mathbb{R}_+$ будем обозначать множество неотрицательных вещественных чисел. Для линейного оператора $A\in \mathcal{L}(X,Y)$ положим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cov} A = \sup \{\alpha\geqslant 0\colon B_Y(0,\alpha)\subset AB_X(0,1)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Банаха об открытом отображении $\operatorname{cov} A>0$ тогда и только тогда, когда $A\in \mathcal{SL}(X,Y)$. Как известно, множество $\mathcal{SL}(X,Y)$ открыто в $\mathcal{L}(X,Y)$. Задана непрерывная функция $\pi\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$. Для $d > 0$ положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma(d):=\{\sigma\in \Sigma\colon \pi(\sigma) < d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, отображение $\Sigma(\cdot)$ возрастает (т.е. если $d_1<d_2$, то $\Sigma(d_1)\subset \Sigma(d_2)$) и объединение всех $\Sigma(d)$, $d>0$, совпадает с $\Sigma$. Введем следующие предположения относительно заданного отображения $f\colon X \times \Sigma \to Y$ и семейства множеств $\{\Sigma(d)\colon d>0\}$.
Поскольку отображение $f$ дифференцируемо, то имеет место представление
$$
\begin{equation*}
f(x+\xi,\sigma)=f(x,\sigma)+ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\xi +o(x,\sigma;\xi), \qquad (x,\sigma)\in X\times\Sigma, \quad \xi\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $o\colon X\times\Sigma\times X \to Y$ – отображение, для которого
$$
\begin{equation*}
\forall \, (x,\sigma)\in X\times \Sigma, \quad \forall \, \varepsilon>0 \quad \exists \, \delta>0\colon \quad \|o(x,\sigma;\xi)\|_Y \leqslant \varepsilon \|\xi\|_X \quad \forall \, \xi \in B_X(0,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Из предположения (A1) вытекает непрерывность $o(\cdot)$.
Замечание 2.1. Пусть условие (A1) выполняется. Условия (A2) и (A3) выполняются автоматически, если пространства $X$ и $Y$ конечномерны, а пространство $\Sigma$ либо компактно, либо является метрическим пространством, в котором замкнутые шары конечного радиуса компактны. В последнем случае в качестве функции $\pi$ можно взять функцию $\pi(\sigma):=\rho(\sigma_0,\sigma)$, $\sigma\in\Sigma$, где $\rho$ – метрика, а $\sigma_0\in \Sigma$ – заданная точка. Аналогично, если пространства $X$ и $Y$ конечномерны, $\Sigma=Y$ и $f$ представимо в виде $f(x,\sigma)\equiv F(x)-\sigma$, а $F$ непрерывно дифференцируемо, то предположения (A1)–(A3) также выполняются. Пусть выполняются условия (A1) и (A3), а также при каждом $d>0$ выполняется следующее. На шаре $B_X(0,d)$ отображение $\dfrac{\partial f}{\partial x}(\cdot,\sigma)$ непрерывно по переменной $x$ равномерно по $\sigma \in \Sigma(d)$, т.е. для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $x_1,x_2\in B_X(0,d)$, для которых $\|x_1-x_2\|_X<\delta$, для любого $\sigma \in \Sigma(d)$ имеет место неравенство Тогда выполняется (A2).Как обычно, $C(\Sigma,X)$ – множество непрерывных функций $\varphi\colon \Sigma\to X$. Для произвольной функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$ и $r\geqslant 0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{\varphi}(r):=\inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma)\colon x\in B_X(\varphi(\sigma),r), \ \sigma \in \Sigma \biggr\}, \\ \mathcal{I}_{\varphi}(r):= \int_0^r \alpha_{\varphi}(t) \, dt, \qquad \mathcal{I}_{\varphi}:=\mathcal{I}_{\varphi}(+\infty) =\int_0^{+\infty} \alpha_{\varphi} (t) \,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будем считать, что выполнены условия (A1)–(A3). Теорема 2.1. Для любой функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$ и $\varepsilon >0$ таких, что существует непрерывная функция $g=g_{\varphi}\colon \Sigma \to X$, для которой Если, кроме того, $\varphi$ не является неявной функцией на $\Sigma$, т.е. существует $\overline\sigma\in \widehat\Sigma$ такое, что $f(\varphi(\overline\sigma),\overline\sigma)\neq 0$, то Теорема 2.2. Для любой функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$ и $\gamma>0$ таких, что существует непрерывная функция $g=g_{\varphi}\colon \Sigma\to X$, для которой Сравним теоремы 2.1 и 2.2. Они независимы, т.е каждая из этих теорем не является следствием другой. Проиллюстрируем сказанное примерами. В следующем примере при некоторых $\gamma>0$ предположения теоремы 2.2 выполняются, однако предположения теоремы 2.1 нарушаются. Пример 2.1. Пусть $X=Y=\mathbb{R}$, $\Sigma=[0,+\infty)$, $\varphi(\sigma)\equiv 0$, $a,b\colon [0,+\infty)\to (0,+\infty)$ – непрерывные функции такие, что $a(\sigma)\to +\infty$ при $\sigma\to +\infty$. Положим $f(x,\sigma):=x-a(\sigma)x^2+b(\sigma)$, $x\in X$, $\sigma\in \Sigma$. Непосредственно проверяется, что $\alpha_{\varphi}(r)=0$ для любого $r>0$ и, значит, условие (2.1) теоремы 2.1 нарушается. В то же время для любого $\gamma<1$ условие (2.4) теоремы 2.2 выполняется, если $2 \sup_{\sigma \in\Sigma} a(\sigma)b(\sigma)<\gamma-\gamma^2$. В следующем примере предположения теоремы 2.1 выполняются, однако предположения теоремы 2.2 при всех $\gamma>0$ нарушаются. Пример 2.2. Пусть $X=Y=\Sigma=\mathbb{R}$, $\varphi(\sigma)\equiv 0$, $\theta\colon [0,+\infty)\to (0,+\infty)$ – непрерывная убывающая функция такая, что $\theta(t)\to 0$ при $t \to +\infty$ и $\displaystyle\int_0^{+\infty} \theta(t)\, dt= +\infty$. Положим $\displaystyle f(x,\sigma):=\int_0^x \theta(t)\, dt -\sigma$ при $x\geqslant 0$ и $f(x,\sigma)=-f(-x,\sigma)$ при $x<0$ для всех $\sigma\in \Sigma$. Очевидно, что для выбранных $f$ и $\varphi$ предположения теоремы 2.1 выполняются. В частности, условие (2.1) выполняется, поскольку его левая и правая части равны $+\infty$. В то же время условие (2.4) теоремы 2.2 при любом $\gamma>0$ нарушается, поскольку правая часть в (2.4) равна нулю. Отметим, что теоремы 2.1 и 2.2 получены в предположении сюръективности линейных операторов $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)$ и без априорного предположения их взаимнооднозначности. Более того, в этих теоремах не предполагается, что подпространства $\operatorname{ker} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)$ топологически дополняемы и, значит, линейные операторы $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)$ могут не иметь непрерывного линейного правого обратного. Отметим также, что, в отличие от локальной теоремы о неявной функции, в теоремах 2.1 и 2.2 не предполагается существование точки $(x_0,\sigma_0)\in X\times \Sigma$, в которой $f(x_0,\sigma_0)=0$. Формулировки теорем 2.1 и 2.2 носят весьма абстрактный характер. Поэтому в следующем параграфе мы приведем их важные следствия, которые уже вполне удобны для приложений, а также обсудим их. Доказательства теорем 2.1 и 2.2 приведены в § 4. § 3. Обсуждение и следствия теорем о неявной функцииНачнем с теоремы 2.1. Если имеет место то условие (2.1) выполняется автоматически и, кроме того, $r_{\varphi} = +\infty$, значит, утверждение (2.3) также выполняется автоматически. Очевидно также, что если $\varliminf_{\,t\to\infty} t\alpha_\varphi(t) >0$, то имеет место (3.1). Приведем достаточные условия, не зависящие от функции $\varphi$, но гарантирующие справедливость условия (3.1).Всюду в этом параграфе будем предполагать, что задано отображение $f$: $X \times \Sigma \to Y$, для которого выполняются предположения (A1)–(A3). Для $x_0\in X$ положим
$$
\begin{equation*}
\alpha(r,x_0):= \inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma)\colon x\in B_X(x_0,r), \ \sigma \in \Sigma \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее утверждение аналогично предложению 2 из [10]. Тогда (3.1) выполняется для любой ограниченной функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$. Доказательство. Пусть $x_0\in X$ и $\mathcal{I}(x_0)=+\infty$. При любых $t \geqslant 0,\,\sigma \in \Sigma$ имеем $B_X(\varphi(\sigma),t)\subset B_X(x_0,t+\|x_0\|_X + \|\varphi\|)$, где $\|\varphi\|:=\sup \{\|\varphi(\sigma)\|_X\colon \sigma\in \Sigma\}$. Поэтому при $a:= \|x_0\|_X +\|\varphi\|$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\varphi}(t)\geqslant \inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma)\colon x\in B_X(x_0, t+a), \ \sigma \in \Sigma \biggr\} = \alpha(t+a,x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_{\varphi} &= \int_0^{+\infty}\alpha_{\varphi}(t) \, dt \geqslant\int_0^{+\infty} \alpha(t + a,x_0) \, dt \\ &= \int_{a}^{+\infty} \alpha(t,x_0) \, dt =\mathcal{I}(x_0) - \int_0^{a}\alpha(t,x_0) \, dt = +\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Таким образом, показано, что для ограниченных функций $\varphi$ из (3.2) вытекает (3.1), и поэтому вместо условия (2.1) достаточно проверить более простое, но и более грубое условие (3.2). Предположение ограниченности функции $\varphi$ в этом рассуждении существенно. Это демонстрирует следующий пример. Пример 3.1. Пусть $X=Y=\mathbb{R}$, $\Sigma=\mathbb{R}_+$, $f(x,\sigma)=\ln (1+x)-\sigma$ при $x\,{\geqslant}\, 0$, $f(x,\sigma)=-\ln(1-x)-\sigma$ при $x<0$ для всех $\sigma\in \mathbb{R}$. Непосредственно проверяется, что $\alpha_{\varphi}(r,0)\equiv (r+1)^{-1}$, и, значит, (3.2) выполняется. В то же время для приведенного отображения $f$ и для любой неограниченной функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$, которая не является неявной, предположение (2.1) (а значит, и (3.1)) нарушается, поскольку $\alpha_{\varphi}(r)=0$ при $r>0$. В связи с теоремой 2.1 возникает вопрос: можно ли в ней предположение (2.1) ослабить, заменив в нем функцию $\alpha_{\varphi}$ на функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}_{\varphi}(r) :=\inf\biggl\{\operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma)\colon x\in B_X(\varphi(\sigma),r), \ \|\varphi(\sigma)\|_X\leqslant r, \ \sigma\in \Sigma\biggr\}?
\end{equation*}
\notag
$$
Ответ на этот вопрос отрицательный. Во-первых, множество, стоящее в фигурных скобках, при малых $r>0$ может быть пустым. Но даже если оно непусто при любом $r\geqslant 0$ и выполняется условие, полученное из (2.1) заменой $\alpha_{\varphi}$ на $\widetilde{\alpha}_{\varphi}$, то неявной функции может не существовать. Приведем соответствующий пример. Пусть $X=Y=\mathbb{R}$, $\Sigma=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $f(x,\sigma)\equiv x$ при $\sigma<0$, $f(x,\sigma)\equiv 1$ при $\sigma>0$, $\varphi(\sigma)\equiv 0$ при $\sigma<0$, $\varphi(\sigma)\equiv 2$ при $\sigma>0$. Очевидно, $\widetilde\alpha_\varphi (r)=1$ при $r<2$, $\widetilde\alpha_\varphi (r)=0$ при $r\geqslant 2$, и, значит,
$$
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in \Sigma}|f(\varphi(\sigma),\sigma)|=1<2=\int_{0}^{+\infty} \widetilde\alpha_\varphi(t) \, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время неявной функции в этом примере не существует. В связи c теоремой 2.1 возникает еще один вопрос: можно ли ослабить условие (3.2), достаточное для выполнения предположений теоремы 2.1, заменив в (3.2) $\mathcal{I}(x_0)$ на
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}(x_0,v):=\int_0^{+\infty}v(t,\alpha(t,x_0)) \, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $v\colon \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ – некоторая заданная функция? При естественных предположениях на $v$ следующее утверждение дает отрицательный ответ на этот вопрос (даже для обратной функции). Предложение 3.1. Пусть $v\colon \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ – непрерывная функция, для которой функция $w(t,r):=r^{-1}v(t,r)$ возрастает по первому аргументу и убывает по второму, а функция $w(t,t^{-1})$, $t\in (0,+\infty)$, возрастает и неограничена. Тогда для любого $c>0$ существует удовлетворяющая предположениям (A1)–(A3) функция $f\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, для которой $\mathcal{I}(0,w)=+\infty$, однако неявная функция для $f$ определена лишь на подмножестве интервала $(-c,c)$. Доказательство. Поскольку функция $w(t,t^{-1})$ возрастает и неограничена, то существует строго возрастающая неограниченная последовательность $r_j$, $j=0,1,2,\dots$, для которой $r_0=0$, $w(t,t^{-1}) \geqslant j$ при $t\geqslant r_j$, Последовательность $\{\lambda_j\}$ строго убывает. По последовательности $\{r_j\}$ построим непрерывную функцию $h\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ следующим образом. Положим $h(r_j)= \lambda_j$, $j=0,1,2,\dots$ . Для каждого такого $j$ доопределим функцию $h$ на интервале $(r_j,r_{j+1})$ кусочно линейным образом так. Возьмем $\tau \in (r_j,r_{j+1})$ и положим $h(t)\equiv \lambda_j$, $ t \in [r_j,\tau]$, а на отрезке $[\tau, r_{j+1}]$ функцию $h$ продолжим линейным образом так, что ее график является отрезком, соединяющим точки $(\tau,\lambda_j)$ и $(r_{j+1},\lambda_{j+1})$. Выберем $\tau$ достаточно близко к точке $r_{j+1}$ так, что Функция $h$ непрерывна, неотрицательна и убывает. Положим при $x \geqslant 0$, $F(x)=-F(-x)$ при $x<0$. Поскольку $h$ неотрицательна и убывает, то при любом $x \geqslant 0$ имеет место
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x) &= \int_{0}^{x} h(t) \, dt \leqslant \int_{0}^{\infty} h(t) \, dt =\sum_{j=0}^{\infty} \int^{r_{j+1}}_{r_j} h(t) \, dt \\ & \leqslant \sum_{j=0}^{\infty} \int_{r_{j}}^{r_{j+1}} h(r_{j}) \, dt = \sum_{j=0}^{\infty} (r_{j+1} - r_{j}) \lambda_{j} = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1)^{-2} =\frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F(\mathbb{R})\subset(-\pi^2/6,\pi^2/6)$. Пусть $c>0$. Для него возьмем $\varepsilon\in (0,1)$, для которого $\varepsilon \pi^2/6<c$. Положим $f(x,\sigma):= \varepsilon F(x)-\sigma$, $x\in \mathbb{R}$, $\sigma\in \mathbb{R}$. Так определенная функция $f$ непрерывно дифференцируема, и для $f$ неявная функция определена лишь на подмножестве интервала $(-c,c)$. Поскольку $|F'(-x)| =|F'(x)| =h(x)$ $\forall\, x \geqslant 0$, то $\alpha(t,0)=\varepsilon F'(t)= \varepsilon h(t)$, $t\geqslant 0$. Кроме того, в силу (3.3) имеем $\lambda_j\leqslant (r_{j+1}-r_j)^{-1}\leqslant r_j^{-1}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}(0,v) &=\sum_{j=0}^{\infty} \int_{r_{j}}^{r_{j+1}} w(t,\varepsilon h(t)) \varepsilon h(t) \, dt \geqslant \varepsilon \sum_{j=0}^{\infty} \int_{r_{j}}^{r_{j+1}} w(r_j,r_j^{-1}) h(t) \, dt \\ & \geqslant \varepsilon\sum_{j=0}^{\infty} j \int_{r_j}^{r_{j+1}} h(t) \, dt \stackrel{(3.4)}{\geqslant} \varepsilon\sum_{j=0}^{\infty} j \bigl((j+1)^{-2} - (j+1)^{-3}\bigr) =+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое неравенство вытекает из того, что функция $w$ возрастает по первому аргументу и убывает по второму, $\varepsilon<1$ и $h(t)\leqslant \lambda_j\leqslant r_j^{-1}$ для любого $t\geqslant r_j$. Построенная функция $f$ является искомой. Предложение доказано. Важные частные случаи для функции $v$ имеют следующий вид: $v(t,r)\equiv w(t)r$, где $w\colon \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$ – непрерывная возрастающая неограниченная функция; $v(t,r)\equiv v(r)$, где $v\colon \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$ – непрерывная функция, для которой функция $r^{-1}v(r)$ убывает и $r^{-1}v(r) \to +\infty$ при $r\to 0$. Обсудим оценку (2.2). Пусть задана функция $\varphi\in C(\Sigma,X)$. Функция $\alpha_{\varphi}$ неотрицательна и убывает. Если $\alpha_{\varphi}(0)= \inf \biggl\{\operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x} (\varphi(\sigma),\sigma),\,\sigma \in \Sigma\biggr\}=0$, то $\mathcal{I}_{\varphi}(r) \equiv 0$. Поэтому оценка (2.2) неинформативна, а предположение (2.1) выполняется, лишь если сама $\varphi$ является неявной функцией на $\Sigma$. Следовательно, в этом случае и теорема 2.1 неинформативна. Более того, даже если $\alpha_{\varphi}(0)>0$, но $\alpha_{\varphi}(0+0)=0$, как у функции $f(x,\sigma):=x-\sigma x^2$, $x\in \mathbb{R}$, $\sigma\in \mathbb{R}$, $\varphi(x)\equiv 0$, то также $\mathcal{I}_{\varphi}(r) \equiv 0$ и теорема 2.1 также неинформативна. Поэтому содержательным является лишь случай $\alpha_{\varphi}(0+0) > 0$, или, что эквивалентно, $r_{\varphi}>0$ (см. (2.3)). Последнее условие выполняется, например, если $\alpha_{\varphi}(0)\,{>}\,0$ и ${\partial f}/{\partial x}$ равномерно непрерывно по $x$ на множестве $\{(\varphi(\sigma),\sigma)\colon \sigma\,{\in}\,\Sigma\}$, т.е. для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma) - \frac{\partial f}{\partial x} (\varphi(\sigma),\sigma)\biggr\| \leqslant \varepsilon \quad \forall \,(x,\sigma)\colon \quad\|x-\varphi(\sigma)\|_X \leqslant \delta, \quad \sigma \in \Sigma.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
В этом случае $r_{\varphi} >0$, и из оценки (2.2) теоремы 2.1 вытекает следующее Следствие 3.1. Пусть $\alpha_{\varphi}(0)>0$, имеет место (3.5) и для функции $g\in C(\Sigma,X)$ выполняется (2.2). Тогда $r_{\varphi}>0$ и для любого $r_0 \in (0,r_{\varphi})$ справедлива оценка для всех $\sigma \in \Sigma$, для которых Доказательство. Пусть для $\sigma \in \Sigma$ выполняется (3.7). Положим $\alpha:=\alpha_{\varphi}$, $\kappa:= r_0 \alpha(r_0-0)$, $\widetilde{f}(\sigma):= f(\varphi(\sigma),\sigma)$, $r(\sigma):=\|g(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X$, $\mathcal{I}(r):=\mathcal{I}_{\varphi}(r)$. Вначале докажем, что $r(\sigma) \leqslant r_0$. Действительно, предположим противное, т.е. что $r(\sigma)\,{>}\, r_0$. Так как при любом $r\in (0,r_{\varphi})$$\mathcal{I}(r)$ – это интеграл от положительной функции $\alpha$ по отрезку $[0,r]$, то $\mathcal{I}(r(\sigma)) > \mathcal{I}(r_0) \geqslant \alpha(r_0-0) r_0=\kappa$. В то же время $\mathcal{I}(r(\sigma)) \leqslant (1 +\varepsilon) \| \widetilde{f}(\sigma)\|_Y \leqslant \kappa$ в силу (2.2) и (3.7). Полученное противоречие доказывает требуемое неравенство. Докажем (3.6). Поскольку $r(\sigma) \leqslant r_0$ и функция $\alpha$ убывает, то $\mathcal{I}(r(\sigma)) \geqslant \alpha (r(\sigma)-0) r(\sigma) \geqslant \alpha (r_0-0) r(\sigma)$. Отсюда в силу (2.2) получаем (3.6). Следствие доказано. Перейдем к теореме 2.2. Приведем ее важные частные случаи. Следствие 3.2. Пусть существует $\gamma >0$, для которого Тогда для любой функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$ существует непрерывная неявная функция $g = g_{\varphi}\colon \Sigma \to X$, для которой имеет место (2.5). Очевидно, из условия (3.8) вытекает (3.1), но, как показывает пример 2.2, обратное неверно. Следствие 3.2 носит глобальный характер. Из теоремы 2.2 вытекает также следующий ее полулокальный вариант. Следствие 3.3 (полулокальная теорема о неявной функции). Для любой функции $\varphi\in C(\Sigma,X)$ и любых $r>0$ и $\gamma>0$, для которых существует непрерывная функция $g\colon \Sigma\to X$ такая, что Из следствия 3.2 при ${\varphi(\sigma)\equiv x_0}$ вытекает следующий вариант теоремы о неявной функции с оценкой, как в классической теореме о неявной функции. Следствие 3.4. Пусть существует $\gamma >0$, для которого выполняется соотношение (3.8). Тогда для любой точки $x_0\in X$ существует непрерывная функция $g = g_{x_0}\colon \Sigma \to X$, для которой Из теоремы 2.2 вытекает следующее обобщение классической локальной теоремы о неявной функции. Следствие 3.5 (локальная теорема о неявной функции). Пусть существуют точки $x_0\in X$, $\sigma_0\in \Sigma$, для которых $f(x_0,\sigma_0)=0$, и линейный оператор $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\sigma_0)$ сюръективен. Тогда для любого положительного $\gamma\,{<}\operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\sigma_0)$ существуют ${\delta>0}$ и окрестность $\widehat{\Sigma}\subset\Sigma$ точки $\sigma_0$ такие, что для любой функции $\varphi \in C(\widehat{\Sigma},B_X(x_0,\delta))$ существует непрерывная функция $g\colon \widehat{\Sigma} \to X$, для которой выполняется (3.9). Доказательство. Возьмем положительное $\gamma<\operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\sigma_0)$. Выберем $\overline\gamma$, для которого $\gamma<\overline \gamma< \operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\sigma_0)$. Поскольку функция $\operatorname{cov}$ и отображение $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ непрерывны, то существуют $\delta_0>0$ и окрестность $W$ точки $\sigma_0$ такие, что $\operatorname{cov}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)> \overline \gamma$ для любых $(x,\sigma)\in B_X(x_0,\delta_0)\times W$. Поскольку $f$ непрерывно и $f(x_0,\sigma_0)=0$, то существуют положительное $\delta<\delta_0/2$ и окрестность $\widehat{\Sigma} \subset W$ точки $\sigma_0$ такие, что $\|f(x,\sigma)\|_Y< \gamma \delta_0/2$ для любых $(x,\sigma) \in B_X(x_0,\delta)\times \widehat{\Sigma}$. Возьмем произвольную непрерывную функцию $\varphi\colon \widehat{\Sigma} \to B_X(x_0,\delta)$. При любом $\sigma\in \widehat{\Sigma}$ имеем $B_X(\varphi(\sigma),\gamma^{-1}\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y)\subset B_X(x_0,\delta_0)$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\|x-x_0\|_X\leqslant \|x-\varphi(\sigma)\|_X+\|\varphi(\sigma)-x_0\|_X \leqslant \frac{\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y}{\gamma}+\delta \leqslant \frac{\delta_0}{2}+\delta \leqslant \delta_0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $x\in B_X(\varphi(\sigma),\gamma^{-1}\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma &< \overline \gamma \leqslant\inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X(x_0,\delta_0),\ \sigma\in W\biggr\} \\ &\leqslant\inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X\biggl(\varphi(\sigma), \frac{\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr), \ \sigma\in \widehat{\Sigma}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу теоремы 2.2 на окрестности $\widehat{\Sigma}$ существует искомая непрерывная неявная функция. Следствие доказано. Классическая локальная теорема о неявной функции вытекает из следствия 3.5 при $\varphi(\sigma)\equiv x_0$. Приведенные теоремы о неявной функции носят глобальный или полулокальный характер. Поэтому и предположения регулярности в них весьма обременительны (см. (2.1), (2.4), (3.1), (3.8) и т.д.). Однако поскольку они существенно зависят от пространства $\Sigma$, на котором рассматривается отображение $f$, то, переходя от пространства $\Sigma$ к некоторому его топологическому подпространству $\widehat{\Sigma}\subset \Sigma$, часто можно добиться следующего: на $\Sigma$ какое-либо из упомянутых условий регулярности нарушается, но на $\widehat{\Sigma}$ оно выполняется. Пример сказанного дает локальная теорема о неявной функции из следствия 3.5. Еще один пример дает пространство $\Sigma=\mathbb{R}$ из примера 2.1, если в нем $\Sigma$ заменить на $\widehat{\Sigma}\subset \Sigma$ такое, что
$$
\begin{equation*}
2 \sup_{\sigma\in\widehat{\Sigma}} \{a(\sigma)b(\sigma)\colon \sigma\in \widehat\Sigma\}<\gamma-\gamma^2,\quad\text{где }\ \gamma<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, разумный выбор подпространства $\widehat{\Sigma}\subset \Sigma$, на котором выполнено условие регулярности, играет решающую роль. При построении $\widehat\Sigma$ и $\varphi$ можно действовать следующим образом. Вначале находим точку $(x_0,\sigma_0)$, в которой $f(x_0,\sigma_0)=0$ и оператор $\dfrac{\partial f}{\partial x}(\varphi(\sigma_0),\sigma_0)$ сюръективен. Полагаем $\widehat\Sigma:=\{\sigma_0\}$, $\varphi(\sigma_0)=x_0$ и берем $\gamma$ такое, что $0 < \gamma < \operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\sigma_0)$. При этом условие (2.4), очевидно, выполняется. После этого начинаем увеличивать множество $\widehat\Sigma$, одновременно продолжая на него непрерывную функцию $\varphi$, и будем уменьшать при необходимости $\gamma >0$ так, чтобы условие (2.4) продолжало выполняться. Подобным способом можно действовать с построением $\widehat\Sigma$ и $\varphi$ и в теореме 2.1. Если в предположениях теорем 2.1 и 2.2 пространство $\Sigma$ является нормированным, то для уравнения (1.1) может не существовать даже локально липшицевой неявной функции $g$ при самых сильных предположениях гладкости отображения $f$. Поясним сказанное на примере. Возьмем такие банаховы пространства $X$, $Y$ и оператор $A\in \mathcal{SL}(X,Y)$, что оператор $A$ не имеет липшицевого правого обратного. Существование их доказано в [11; теорема 2] (см. также [12]). Положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma:=Y,\quad f(x,\sigma):=Ax-\sigma,\qquad x\in X,\quad \sigma\in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, линейное отображение $f$ удовлетворяет предположениям теорем 2.1 и 2.2, однако у него даже не существует локально липшицевой неявной функции. Сравним приведенные результаты с известными теоремами о глобальных неявных и обратных функциях. Они являются естественным развитием результатов работ [10], [13], [14] на отображения, действующие в банаховых пространствах, и при минимальных предположениях гладкости. Отметим, что в [10], [13], [14] рассматривались лишь дважды непрерывно дифференцируемые отображения, действующие в конечномерных и гильбертовых пространствах. Заметим также, что методы исследования в настоящей работе принципиально отличаются от методов, использованных в [10], [13], которые непригодны для бесконечномерных банаховых пространств, а также требуют повышенных предположений гладкости $f$. Отметим также работу [15], в которой получены локальные, полулокальные и глобальные теоремы об обратной функции для локально липшицевых отображений в конечномерных пространствах. В [6], [7], [16] для непрерывно дифференцируемых отображений $F$, действующих в линейно топологически изоморфных банаховых пространствах, в предположениях (1.2) или (1.3) доказано, что $F$ является диффеоморфизмом. При этом, в отличие от сделанных нами предположений в работах [6], [7], [16], ограниченность производных ${\partial F}/{\partial x}$ на ограниченных множествах не предполагалась. Особо выделим важную работу [17], в которой для уравнения (1.1) получены глобальные теоремы существования неявной функции, имеющей те или иные свойства гладкости. Эти результаты получены без априорного предположения линейной топологической изоморфности пространств $X$ и $Y$. При этом в [17] предполагается, что любой оператор $A\in \mathcal{SL}(X,Y)$ имеет линейный непрерывный правый обратный (в терминах работы [17] это формулируется как $Y,Z\in \mathcal{K}(\alpha)$). Однако (см. [11; теорема 7]) это свойство выполняется не для всех пар $(X,Y)$ банаховых пространств, для которых $\mathcal{SL}(X,Y)\neq \varnothing$ (а лишь для тех, для которых $X$ топологически изоморфно гильбертову пространству). В теоремах 2.1 и 2.2 указанное предположение отсутствует. В связи со сказанным приведем пример задачи, к которой применимы теоремы 2.1 и 2.2, однако неприменимы теоремы, содержащие априорное предположение о том, что для любого оператора из $\mathcal{SL}(X,Y)$ существует непрерывный линейный правый обратный. Пусть заданы оператор $A\in \mathcal{SL}(X,Y)$, не имеющий правого обратного из $\mathcal{L}(Y,X)$ (см. [11; теорема 2]), и непрерывно дифференцируемое отображение $\widetilde{f}\colon X\to Y$, производная которого липшицево зависит от $x$ на любом ограниченном подмножестве пространства $X$. И из теоремы 2.1, и из теоремы 2.2 вытекает, что при любом $\sigma$ из некоторой окрестности нуля $\Sigma\subset\mathbb{R}$ существует решение $x=x(\sigma)\in X$ уравнения $Ax+\sigma \widetilde{f}(x)=0$. При этом производная отображения $f(x,\sigma):=Ax\,{+}\,\sigma \widetilde{f}(x)$ по $x$ в точке $(0,0)\in X\,{\times}\,\Sigma$ совпадает с $A$ и не имеет правого обратного отображения в $\mathcal{L}(Y,X)$. Укажем другие отличия теоремы 4 из [17] от предположений теорем 2.1 и 2.2. В частности, в [17; теорема 4] предполагается, что $\Sigma$ является подмножеством банахова пространства и звездным телом относительно заданной точки $\sigma_0\in \Sigma$, и существует $x_0\in X$, для которого $f(x_0,\sigma_0)=0$, а отображение $f$ достаточно гладко по совокупности переменных. Все перечисленные предположения из [17] сильнее соответствующих предположений теорем 2.1 и 2.2. Однако в [17] отсутствуют предположения (A2) и (A3) теорем 2.1 и 2.2. В то же время, в отличие от теорем 2.1, 2.2, теоремы 4–6 из [17] гарантируют липшицевость неявной функции или ее гладкость в зависимости от предположений гладкости $f$. При этом теоремы 2.1 и 2.2 гарантируют лишь непрерывность неявной функции, и, как отмечалось выше, в этом смысле их усилить нельзя. В то же время теоремы 2.1, 2.2 содержат важные для приложений априорные оценки неявной функции (2.2) и (2.5), которые в [17] не изучались. § 4. Доказательства теорем о неявной функцииДоказательства теорем 2.1 и 2.2 основаны на приведенных ниже леммах. Всюду в этом параграфе будем предполагать, что заданы отображение $f$: $X \times \Sigma \to Y$, для которого выполняются предположения (A1)–(A3), и функция $\varphi\in C(\Sigma,X)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{f}(\sigma):=f(\varphi(\sigma),\sigma), \qquad \sigma\in \Sigma, \\ \Sigma_{\varphi}(d):=\bigl\{\sigma\in \Sigma\colon \pi(\sigma) < d, \, \|\varphi(\sigma)\|_X < d, \, \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y < d \bigr\}, \qquad d > 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, при любом $d >0$ на множестве $\Sigma_{\varphi}(d)$ непрерывные функции $\pi(\cdot)$, $\|\varphi(\cdot)\|_X$ и $\|\widetilde{f}(\cdot)\|_Y$ ограничены числом $d$, множества $\Sigma(d)$ и $\Sigma_{\varphi}(d)$ открыты, а также $\Sigma_{\varphi}(\widetilde{d})\subset \Sigma_{\varphi}(d) \subset \Sigma(d)$ при $0 < \widetilde{d}\leqslant d$. Сначала приведем утверждение о существовании неявной функции для линейного уравнения с параметром. Пусть $\Upsilon$ – топологическое пространство и задано непрерывное отображение $\mathcal{A}\colon \Upsilon \to \mathcal{L}(X,Y)$. Рассмотрим уравнение относительно неизвестного $x\in X$ и с параметрами $\sigma \in \Upsilon$ и $y\in Y$. Получим условия, при которых для всех значений параметров $y$ и $\sigma$ это уравнение разрешимо и существует решение $x(y,\sigma)$, непрерывно зависящее от параметров.Лемма 4.1. Пусть $\inf_{\sigma\in \Upsilon}\operatorname{cov}\mathcal{A}(\sigma)>0$. Тогда для любого $\eta>0$, для которого существует непрерывное отображение $\mathcal{R}\colon Y\times \Upsilon \to X$ такое, чтоЭта лемма является модификацией теоремы 7.4 из [18], с помощью которой мы докажем лемму 4.1. Доказательство леммы 4.1. Возьмем произвольное $\eta>0$, удовлетворяющее (4.1). Положим $\lambda:=(1/\eta)\inf_{\sigma\in \Upsilon} \operatorname{cov} \mathcal{A}(\theta)$. В силу (4.1) $\lambda>1$. Из [18; теорема 7.4] следует, что существует непрерывное отображение $\mathcal{G}\colon \mathcal{SL}(X,Y) \times Y\,{\to}\, X$, для которого
$$
\begin{equation*}
A \mathcal{G}(A,y)=y, \quad \|\mathcal{G}(A,y)\|_X\leqslant \lambda \frac{\|y\|_Y}{\operatorname{cov} A} \quad \forall \, A\in \mathcal{SL}(X,Y), \quad \forall \, y\in Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\mathcal{R}(\sigma,y):=\mathcal{G}(\mathcal{A}(\sigma),y)$, $\sigma \in \Upsilon$, $y\in Y$. Тогда $\mathcal{A}(\sigma)\mathcal{R}(\sigma,y)=y$ и
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{R}(\sigma,y)\|_X = \|\mathcal{G}(\mathcal{A}(\sigma),y)\|_X \leqslant \lambda \frac{\|y\|_Y}{\operatorname{cov} \mathcal{A}(\sigma)}\leqslant \lambda \frac{\|y\|_Y}{\inf_{\sigma\in \Upsilon}\operatorname{cov} \mathcal{A}(\sigma)} =\frac{\|y\|_Y}{\eta}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $\sigma\in \Upsilon$, $y\in Y$. Лемма доказана. Вернемся к рассмотрению уравнения (1.1). Лемма 4.2. Пусть $\gamma>0$, $d>0$, функции $\psi_1\in C(\Sigma,X)$ и $v\in C(\Sigma,Y)$ ограничены на $\Sigma_{\varphi}(d)$ и выполняется Тогда существует такая непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi} (\psi_1,v,\gamma,d;\cdot)\colon \Sigma \to X$, что функция $(\widehat{\chi}-\psi_1)$ ограничена и выполняются соотношения Доказательство. Возьмем указанные в условии $\gamma$, $d$, $\psi_1$, $v$. Если множество $\Sigma_{\varphi}(d)$ пусто, то функция $\widehat{\chi} = \psi_1$, очевидно, является искомой. Поэтому далее будем считать, что $\Sigma_{\varphi}(d)$ непусто. Положим $f_0(\sigma):=f(\psi_1(\sigma),\sigma)-v(\sigma)$, ${\sigma\in \Sigma}$. Покажем, что функция $f_0$ ограничена на $\Sigma_{\varphi}(d)$. Действительно, возьмем $b_1$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|\psi_1(\sigma)\|_X\leqslant b_1\quad\forall\, \sigma\in \Sigma_{\varphi}(d).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предположения (A3) при фиксированном $\sigma$ отображение $f(\cdot,\sigma)$ на шаре $B_X (0, d+b_1)$ удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой $c$, которая не зависит от $\sigma \in \Sigma_{\varphi}(d) \subset \Sigma(d)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|f(\psi_1(\sigma),\sigma) - \widetilde{f}(\sigma)\|_Y \leqslant c \|\psi_1(\sigma) - \varphi(\sigma) \|_X \leqslant c(d+b_1)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех указанных $\sigma$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|f_0(\sigma)\|_Y \leqslant \|f(\psi_1(\sigma),\sigma) - \widetilde{f}(\sigma)\|_Y + \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y + \|v(\sigma)\|_Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\widetilde{f}(\sigma)$ ограничено на $\Sigma_{\varphi}(d)$, то отсюда вытекает ограниченность $f_0$ на $\Sigma_{\varphi}(d)$. Возьмем $b > \sup\{\|f_0(\sigma)\|_Y\colon\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)\}$. Обозначим через $\Omega$ множество всех непрерывных функций $\chi\colon \Sigma \to X$, для которых $(\chi - \psi_1)$ ограничена и выполняется
$$
\begin{equation}
\|f(\chi(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y + \gamma \|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X \leqslant \|f_0(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Множество $\Omega$ непусто, поскольку $\psi_1 \in \Omega$. Определим функционал $U\colon \Omega\to \mathbb{R}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
U(\chi):=\sup \{ \|f(\chi(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y\colon \sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)\}, \qquad \chi \in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение корректно, т.е. $U(\chi)$ конечно для любого $\chi\in \Omega$, поскольку для любого $\chi\in \Omega$ в силу (4.4) и выбора числа $b$ имеем $U(\chi)\leqslant b$. Если существует $\widehat{\chi} \in \Omega$, для которого $U(\widehat{\chi})=0$, то $\widehat{\chi}$ удовлетворяет утверждению леммы. Действительно, из равенства $U(\widehat{\chi})=0$ вытекает тождество (4.2), а из включения $\widehat{\chi}\in \Omega$ – неравенство (4.3), непрерывность функции $\widehat{\chi}$ и ограниченность функции $\widehat{\chi} - \psi_1$. Таким образом, дальнейшее доказательство леммы состоит в нахождении $\widehat{\chi} \in \Omega$, для которого $U(\widehat{\chi})=0$. Воспользуемся для этого полученными в [19; лемма 1] и [20; теорема 3] достаточными условиями существования минимума полунепрерывного снизу функционала. Зададим на $\Omega$ метрику $\rho$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\rho(\chi_1,\chi_2)= \bigl\{ \|\chi_1(\sigma)-\chi_2(\sigma)\|_X\colon \sigma\in \Sigma \bigr\}, \qquad \chi_1,\chi_2\in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, пространство $(\Omega,\rho)$ полно. Теорема 3 из [20] утверждает, что если функционал $U$ является неотрицательным собственным полунепрерывным снизу и для него выполнено условие типа Каристи с константой $\gamma$, т.е.
$$
\begin{equation}
\forall \, \chi\in \Omega\colon \quad U(\chi) > 0 \quad \exists \, \chi'\in \Omega\colon \quad \chi'\neq \chi, \quad U(\chi')+\gamma \rho(\chi,\chi')\leqslant U(\chi),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
то существует элемент $\widehat{\chi} \in \Omega$ такой, что $U(\widehat{\chi})=0$. Покажем, что для функционала $U$ выполнены предположения теоремы 3 из [20]. Неотрицательность функционала $U$ очевидна. Покажем, что он полунепрерывен снизу. Возьмем произвольные $\{\chi_j\}\subset \Omega$, $\chi\in \Omega$, $y\in \mathbb{R}$ такие, что $\chi_j \to \chi$, $U(\chi_j)\to y$, и покажем, что $U(\chi)\leqslant y$. Предположим противное: существует $z>0$, для которого ${U(\chi)=y+2z}$. Тогда существует $\sigma_0 \in \Sigma_0$ такой, что $\|f(\chi(\sigma_0),\sigma_0)-v(\sigma)\|_Y>y+z$. Поскольку $\chi_j\to \chi$, то $\chi_j(\sigma_0)\to \chi(\sigma_0)$, а из непрерывности отображения $f$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\|f(\chi_j(\sigma_0),\sigma_0)-v(\sigma_0)\|_Y \to \|f(\chi(\sigma_0),\sigma_0)-v(\sigma_0)\|_Y>y+z.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее в силу определения $U$ противоречит предположению $U(\chi_j)\to y$. Полученное противоречие доказывает полунепрерывность снизу $U$. Итак, для завершения доказательства леммы осталось показать, что функционал $U$ удовлетворяет условию типа Каристи с константой $\gamma$. Возьмем произвольное $\chi \in \Omega$, для которого $U(\chi)>0$. Будем искать $\chi'\in \Omega$, отвечающий $\chi$ в силу условия типа Каристи (4.5), в виде где $\xi\colon \Sigma \to X$, $t\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$ – некоторые функции, произведение которых непрерывно и ограничено. Построение $t$ и $\xi$ и дальнейшие рассуждения проведем в четыре этапа.I. Выбор функции $\xi$. Прежде чем задать функцию $t$, построим вспомогательные множества $\Upsilon_0$, $\Upsilon$, отображение $\mathcal{R}$ и константы $\eta$, $\beta$ и $\alpha$. Возьмем произвольные $\eta$, $\beta$ и $\alpha$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\gamma<\eta<\beta<\alpha <\inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X\biggl(\psi_1(\sigma),\frac{\|f_0(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr),\ \sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существование этих чисел вытекает из (i). Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Upsilon_0:= \biggl\{ \sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)\colon \gamma\|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X <b, \ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma) > \alpha \biggr\}, \\ \Upsilon:= \biggl\{ \sigma\in \Sigma_{\varphi}(d+1)\colon \gamma\|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X <b+1, \ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma) > \beta \biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти множества открыты, поскольку непрерывны функции $\pi$, $\operatorname{cov}$, $\psi_1$, $\chi$ и производная $f$ по $x$. Очевидно, $\Upsilon_0\subset \Upsilon$. Докажем, что Действительно, для любого $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)$ в силу (4.4) имеем $\gamma \|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X\leqslant \|f_0(\sigma)\|_Y$, и, значит, $\gamma\|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X < b$. Кроме того, из (i) следует, что $\operatorname{cov} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma)>\alpha$. Соотношение (4.6) доказано. В силу леммы 4.1 существует непрерывное отображение $\mathcal{R}\colon Y \times \Upsilon \to X$ такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma) \mathcal{R}(y,\sigma)=y, \quad \|\mathcal{R}(y,\sigma)\|_X \leqslant \frac{\|y\|_Y}{\eta} \quad \forall \, y\in Y, \quad \forall \, \sigma\in \Upsilon.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Зададим функцию $\xi\colon \Sigma \to X$ по формуле
$$
\begin{equation}
\xi(\sigma):=\mathcal{R}\bigl(v(\sigma)- f(\chi(\sigma),\sigma)\bigr), \quad \sigma\in \Upsilon, \qquad\xi(\sigma):=0, \quad \sigma\not\in \Upsilon.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Функция $\xi$ непрерывна в точках $\sigma\in \Upsilon$, поскольку множество $\Upsilon$ открыто, а функции $\mathcal{R}$, $f$ и $\chi$ непрерывны. II. Выбор функции $t$. Прежде чем задать функцию $t$, построим вспомогательные константы $\delta$, $c$, $\lambda$ и функции $t_1$ и $t_2$ следующим образом. В силу предположения (A2) существует $\delta>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\|o(\chi(\sigma),\sigma;h)\|_Y \leqslant (\eta-\gamma) \|h\|_X \quad \forall \, \sigma \in \Upsilon, \quad \forall \, h \in B_X(0,\delta).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
c:= \sup \biggl\{ \frac{\|v(\sigma)-f(\chi(\sigma),\sigma)\|_Y}{\|\xi(\sigma)\|_X}\colon \sigma\in \Upsilon, \ \xi(\sigma)\neq 0\biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Множество, стоящее в фигурных скобках, непусто, т.е. существует точка $\sigma\in \Upsilon$ такая, что $\xi(\sigma)\neq 0$. Действительно, поскольку $U(\chi)>0$, то существует точка $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)\subset \Upsilon$, для которой $f(\chi(\sigma), \sigma) - v(\sigma)\neq 0$. Значит, $\xi(\sigma)\neq 0$, поскольку в противном случае имеет место равенство $\mathcal{R}\bigl(v(\sigma)- f(\chi(\sigma), \sigma)\bigr)=0$ в силу (4.8), откуда в силу (4.7) следует, что $f(\chi(\sigma), \sigma) - v(\sigma) =0$. Покажем, что $0<c<+\infty$. Значения $\biggl\| \dfrac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma)\biggr\|$ ограничены на $\Upsilon$ в силу предположения (A3). Поэтому из соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v(\sigma)- f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr)\|_Y &\stackrel{(4.7), (4.8)}{=} \biggl\|\frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma) \xi(\sigma)\biggr\|_Y \\ &\ \, \quad\leqslant\biggl\|\frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma)\biggr\|\|\xi(\sigma)\|_X \quad \forall \, \sigma\in \Upsilon \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $c<+\infty$. Из неравенства $U(\chi)>0$ вытекает, что $c>0$. Возьмем непрерывную функцию $\tau\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$, которая топологически отделяет множества $\Sigma\setminus \Upsilon$ и $\Upsilon_0$, т.е. для нее выполняется
$$
\begin{equation}
\tau(\sigma)=0 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma \setminus \Upsilon, \qquad 0\leqslant \tau (\sigma) \leqslant 1 \quad \forall \, \sigma\in \Upsilon, \qquad \tau(\sigma)=1 \quad \forall \, \sigma\in \Upsilon_0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Например, свойством (4.11) обладает функция $\tau(\sigma)\equiv t_1(\sigma)t_2(\sigma)$, $\sigma\in \Sigma$, где $t_1,t_2\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$ – функции, определенные по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t_1(\sigma) &:=\min\{1,(d+1-\max\{\pi(\sigma), \, \|\varphi(\sigma)\|_X, \,\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y\})^+\}, \qquad \sigma\in \Sigma; \\ t_2(\sigma) &:= \min\{1,(d+1-\|\chi(\sigma)\|_X)^+\} \\ &\qquad\times\frac{1}{\alpha}\cdot \min\biggl\{ \biggl(\beta - \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(\chi(\sigma),\sigma)\biggr)^+, \, \alpha \biggr\}, \qquad \sigma\in \Sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $(a)^+:=\max\{0,a\}$, $a\in \mathbb{R}$. Функции $t_1$ и $t_2$ непрерывны, поскольку непрерывны функции $\operatorname{cov}$, $\pi$, $\chi$, $\varphi$, $\widetilde{f}$ и производная $f$ по $x$. Положим
$$
\begin{equation}
\lambda:=\min \biggl\{\frac{\delta}{U(\chi)}, \,\frac{1}{c}, \,\frac{1}{\gamma}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Зададим функцию $t\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$ по формуле
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle t (\sigma) := \lambda \tau(\sigma) \min \biggl\{\frac{\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr)-v(\sigma)\|_Y}{\|\xi(\sigma)\|_X}, \, \frac{U(\chi)}{\|\xi(\sigma)\|_X}\biggr\}, &\sigma\in \Sigma\colon \xi(\sigma) \neq 0, \\ t(\sigma):= 0, &\sigma\in \Sigma\colon \xi(\sigma) = 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Покажем, что функция $t\xi$ непрерывна в каждой точке $\sigma_0\in \Sigma$ и ограничена. Пусть $\xi(\sigma_0)\neq 0$. Тогда $\sigma_0\in \Upsilon$ и, значит, функция $\xi$ непрерывна в точке $\sigma_0$. Отсюда в силу непрерывности $\tau$ и $f$ вытекает непрерывность функции $t$ в точке $\sigma_0$, а значит, и функции $t\xi$. Путь теперь $\xi(\sigma_0) = 0$. Тогда либо $\sigma_0 \in \Upsilon$, и тогда в силу (4.7) и (4.8) $f\bigl(\chi(\sigma_0), \sigma_0\bigr) - v(\sigma_0)=0$, либо $\sigma_0 \not\in \Upsilon$, и тогда $\tau(\sigma_0)=0$ в силу (4.11). Имеем
$$
\begin{equation*}
\|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X \stackrel{(4.12), \, (4.13)}{\leqslant} \tau(\sigma)\frac{\delta}{U(\chi)}\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) - v(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку правая часть этого неравенства непрерывна по $\sigma$ и обращается в нуль в точке $\sigma_0$, то функция $t\xi$ непрерывна в точке $\sigma_0$. Итак, функция $t\xi$ непрерывна. Ее ограниченность вытекает из неравенств
$$
\begin{equation}
\|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X \stackrel{(4.13)}{\leqslant} \lambda \tau(\sigma) U(\chi) \stackrel{(4.11)}{\leqslant} \lambda U(\chi) \stackrel{(4.12)}{\leqslant} \delta \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
В заключение этого пункта докажем используемые далее соотношения
$$
\begin{equation}
0\leqslant t(\sigma)\leqslant 1 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma, \qquad t(\sigma)=0 \quad \forall \, \sigma \not\in \Upsilon,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
t(\sigma)\stackrel{(4.10),\,(4.13)}{\leqslant} \lambda \tau(\sigma) c\stackrel{(4.12)}{\leqslant} \frac{1}{c}\tau(\sigma) c\stackrel{(4.11)}{\leqslant} 1 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma, \qquad \lambda \gamma \stackrel{(4.12)}{\leqslant}\frac{1}{\gamma} \gamma=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Неотрицательность функции $t$ и числа $\lambda\gamma$ очевидна. III. Свойства функции $\chi'$. Покажем, что $\chi'\in \Omega$. Действительно, поскольку функции $\chi$ и $t\xi$ непрерывны, функции $t\xi$ и $(\chi - \psi_1)$ ограничены, то функция $\chi'=\chi+t\xi$ также непрерывна, а $(\chi' - \psi_1)$ ограничена. Поэтому осталось доказать, что для $\chi'$ выполняется неравенство (4.4). Покажем сначала, что
$$
\begin{equation}
\|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr)-v(\sigma)\|_Y\leqslant \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr)-v(\sigma)\|_Y - \gamma \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Отметим, что в силу (4.7), (4.8) и (4.15) имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\eta \|t(\sigma) \xi(\sigma)\|_X \leqslant t(\sigma) \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr)-v(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Кроме того, имеет место тождество
$$
\begin{equation}
t(\sigma) \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) \xi(\sigma)=t(\sigma) \bigl(v(\sigma) - f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr)\bigr) \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Для $\sigma\in \Upsilon$ оно вытекает из соотношений (4.7) и (4.8), а для $\sigma\not\in \Upsilon$ – из (4.15). Далее, для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr)-v(\sigma)\|_Y \\ &\qquad=\biggl\| f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)+ t(\sigma) \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) \xi(\sigma)+o\bigl(\chi(\sigma),\sigma; t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr) \biggr\|_Y \\ &\qquad\leqslant\biggl\| f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma) + t(\sigma) \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) \xi(\sigma)\biggr\|_Y+ \bigl\|o\bigl(\chi(\sigma),\sigma; t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr) \bigr\|_Y \\ &\,\,\stackrel{(4.9),\,(4.14)}{\leqslant} \biggl\| f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma) + t(\sigma) \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) \xi(\sigma)\biggr\|_Y + (\eta-\gamma) \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X \\ &\,\,\quad\stackrel{(4.19)}{=} \|\bigl(1-t(\sigma)\bigr) \bigl(f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\bigr)\|_Y + (\eta-\gamma) \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X \\ &\,\,\quad\stackrel{(4.15)}{=} \bigl(1-t(\sigma)\bigr) \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y+ (\eta-\gamma) \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X \\ &\,\,\quad\stackrel{(4.18)}{\leqslant} \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y - \eta \|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X+ (\eta-\gamma) \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X \\ &\!\qquad=\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y - \gamma \bigl\|t(\sigma)\xi(\sigma)\bigr\|_X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (4.17) доказано. Докажем теперь, что для $\chi'$ выполняется неравенство (4.4). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y + \gamma \|\chi'(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X \\ &\,\,\quad \stackrel{(4.17)}{\leqslant} \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y - \gamma \bigl\|\chi'(\sigma)-\chi(\sigma)\bigr\|_X + \gamma \|\chi'(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X \\ &\qquad \leqslant \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y + \gamma \|\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)\|_X \stackrel{(4.4)}{\leqslant} \|f_0(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in \Sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $\chi'$ выполняется (4.4) и, значит, $\chi'\in \Omega$. IV. Проверка условия типа Каристи. Покажем сначала, что Имеем
$$
\begin{equation*}
\|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X \stackrel{(4.13)}{=} \begin{cases} \displaystyle \lambda \tau(\sigma)\min \bigl\{\|f(\chi(\sigma),\sigma) -v(\sigma)\|_Y, \, U(\chi) \bigr\}, &\sigma\in \Sigma\colon \xi(\sigma) \neq 0, \\ 0, &\sigma\in \Sigma\colon \xi(\sigma) = 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)$ из определения функционала $U$ следует, что $U(\chi)\geqslant \|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y$, а из (4.6) и (4.11) следует, что $\tau(\sigma)=1$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_X=\|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X= \lambda \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in\Sigma_{\varphi}(d).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Для $\sigma \not\in \Sigma_{\varphi}(d)$ из (4.11) следует, что $\tau(\sigma)\leqslant 1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_X=\|t(\sigma)\xi(\sigma)\|_X \stackrel{(4.13)}{\leqslant} \lambda U(\chi) \quad \forall\, \sigma \not\in \Sigma_{\varphi}(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученного соотношения, равенства (4.21) и определения функционала $U$ вытекает равенство (4.20). Докажем, что $\chi'$ отвечает $\chi$ в силу условия типа Каристи (4.5). Из (4.17) имеем
$$
\begin{equation}
\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y \geqslant \|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y +\gamma \|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_Y \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Отсюда и из определения функционала $U$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U(\chi)-\gamma\rho(\chi,\chi')\stackrel{(4.20)}{=}(1-\gamma\lambda)U(\chi) \\ &\quad \stackrel{(4.16)}{=} \sup_{\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)} \bigl(\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y -\gamma\lambda \|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y \bigr) \\ &\quad \stackrel{(4.21)}{=} \sup_{\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)} \bigl(\|f\bigl(\chi(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y -\gamma \|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_Y \bigr) \\ &\quad \stackrel{(4.22)}{\geqslant} \sup_{\sigma\in \Sigma_{\varphi}(d)} \bigl(\|f\bigl(\chi'(\sigma),\sigma\bigr) -v(\sigma)\|_Y +\gamma \|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_Y -\gamma \|\chi(\sigma)-\chi'(\sigma)\|_Y \bigr) \\ &\,\,\,\quad=U(\chi'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, условие типа Каристи с константой $\gamma$ для функции $U$ доказано. Поэтому в силу цитированной выше теоремы 3 из [20] существует функция $\widehat{\chi}\in\Omega$, для которой $U(\widehat{\chi})=0$. Лемма 4.2 доказана. Лемма 4.3. Пусть $\gamma>0$, отображения $\psi_2\in C(\Sigma,X)$ и $v\in C(\Sigma,Y)$ при каждом $d>0$ ограничены на множестве $\Sigma_{\varphi}(d)$ и выполняется Тогда существует непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi} (\psi_2,v,\gamma;\cdot)\colon \Sigma \to X$, для которой Прежде чем доказать лемму 4.3, сравним ее с леммой 4.2. Предположение (i) отличается от (ii) тем, что (i) выполняется для заданного $d>0$, а (ii) – для всех $d>0$. В то же время лемма 4.2 гарантирует существование неявной функции лишь на подмножестве $\Sigma_{\varphi}(d)\subset \Sigma$, а лемма 4.3 – на всем $\Sigma$. Доказательство леммы 4.3. Рассуждения проведем в три этапа. I. Положим $\widehat{\chi}_0:=\psi_2$. Построим непрерывные ограниченные функции $\widehat{\chi}_j$: $\Sigma\to X$, $j\in \mathbb{N}$, такие, что для отображений
$$
\begin{equation*}
f_j(\sigma):=f\biggl(\sum_{i=0}^{j}\widehat{\chi}_i (\sigma),\sigma\biggr)-v(\sigma), \qquad \sigma\in \Sigma, \quad j=0,1,2,\dots ,
\end{equation*}
\notag
$$
соотношения
$$
\begin{equation}
f_{j}(\sigma)=0 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma_{\varphi}(j),
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
$$
\begin{equation}
\|f_j(\sigma)\|_Y + \gamma \|\widehat{\chi}_j (\sigma)\|_X \leqslant \|f_{j-1}(\sigma)\|_Y \quad \quad \forall \, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^j \|\widehat{\chi}_i (\sigma)\|_X \leqslant \frac{\|f_0(\sigma)\|_Y-\|f_j(\sigma)\|_Y}{\gamma} \quad \forall \, \sigma\in \Sigma
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
выполняются при всех $j\in \mathbb{N}$. Построение проведем индукцией по $j$. Докажем вначале существование непрерывной ограниченной функции $\widehat{\chi}_1\colon \Sigma\to X$, для которой соотношения (4.25)–(4.27) выполняются при $j=1$. Из предположения (ii) следует, что предположение (i) леммы 4.2 выполняется при указанных $\gamma$, $v$ и $d:=1$, $\psi_1:=\psi_2$. Поэтому в силу леммы 4.2 существует непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi}(\psi_1,v,\gamma,d;\cdot)$: $\Sigma\to X$. Положим ${\widehat\chi_1= \widehat\chi-\psi_1}$. Тогда в силу леммы 4.2 функция $\widehat{\chi}_1$ ограничена и для нее выполняются соотношения (4.25)–(4.27) при $j=1$. Пусть теперь для некоторого $n\in \mathbb{N}$ уже построены непрерывные ограниченные функции $\widehat{\chi}_j\colon \Sigma \to X$, $j=1,\dots, n$, для которых соотношения (4.25)–(4.27) выполняются при всех $j=1,\dots,n$. Построим непрерывную ограниченную функцию $\widehat{\chi}_{n+1}\colon \Sigma \to X$, для которой соотношения (4.25)–(4.27) выполняются при $j=n+1$. Для этого докажем, что предположения леммы 4.2 выполняются при указанных $\gamma$, $v$ и при $d:=n+1$, $\psi_1:=\sum_{i=0}^n \widehat\chi_i$. Поскольку функции $\widehat\chi_i$, $i=1,\dots,n$, ограничены, а $\chi_0=\psi_2$ ограничена на $\Sigma_{\varphi}(d)$, то $\psi_1$ ограничена на $\Sigma_{\varphi}(d)$. По предположению функция $v$ тоже ограничена на $\Sigma(d)$. Проверим (i). Для произвольного $\sigma\in \Sigma$ и $x\in B_X\biggl(\psi_1(\sigma), \dfrac{\|f(\psi_1(\sigma),\sigma) - v(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x-\psi_2(\sigma)\|_X &\leqslant\|x-\psi_1(\sigma)\|_X+\|\psi_1(\sigma)-\psi_2(\sigma)\|_X \\ &\leqslant\frac{\|f(\psi_1(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}+\biggl\|\sum_{i=1}^n \chi_i(\sigma)\biggr\|_X \\ &=\frac{\|f_n(\sigma)\|_Y}{\gamma}+\biggl\|\sum_{i=1}^n \chi_i(\sigma)\biggr\|_X \leqslant \frac{\|f_0(\sigma)\|_Y}{\gamma} \\ &=\frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое неравенство следует из неравенства треугольника, второе – из включения $x\in B_X\biggl(\psi_1(\sigma), \dfrac{\|f(\psi_1(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr)$ и определения функции $\psi_1$, первое равенство – из определения функций $f_n$ и $\psi_1$, последнее неравенство – из (4.27), а последнее равенство – из определения $f_0$. Из полученного неравенства следует, что
$$
\begin{equation*}
B_X\biggl(\psi_1(\sigma), \frac{\|f(\psi_1(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr) \subset B_X\biggl(\psi_2(\sigma), \frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(n+1)$. Следовательно, в силу (ii) предположение (i) выполняется. Поэтому в силу леммы 4.2 существует непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi}(\psi_1,v,\gamma,d;\cdot)\colon\Sigma \to X$. Положим $\widehat\chi_{n+1}(\sigma)=\widehat\chi(\sigma)-\psi_1(\sigma)$, $\sigma\in \Sigma$. Тогда функция $\widehat{\chi}_{n+1}$ ограничена в силу леммы 4.2 и для нее выполняются соотношения (4.25)–(4.27) при $j=n+1$. Для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^{n+1} \|\widehat{\chi}_i (\sigma)\|_X &\leqslant\|\widehat{\chi}_{n+1}(\sigma)\|_X+\sum_{i=1}^{n}\|\widehat{\chi}_i (\sigma)\|_X \\ &\leqslant \frac{\|f_{n}(\sigma)\|_Y-\|f_{n+1}(\sigma)\|_Y}{\gamma} +\frac{\|f_0(\sigma)\|_Y-\|f_n(\sigma)\|_Y}{\gamma} \\ &=\frac{\|f_{0}(\sigma)\|_Y-\|f_{n+1}(\sigma)\|_Y}{\gamma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое неравенство следует из неравенства треугольника, а второе – из соотношений (4.26) при $j=n+1$ и (4.27) при $j=n$. Значит, (4.27) выполняется при $j=n+1$. Построение искомой последовательности функций завершено. II. Для построенных $\widehat{\chi}_j$ докажем тождество
$$
\begin{equation}
\widehat{\chi}_j(\sigma)=0 \quad \forall \, j>1+\pi(\sigma), \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Возьмем произвольную точку $\sigma\in \Sigma$ и номер $j>1+\pi(\sigma)$. Тогда $\sigma\not\in \Sigma_{\varphi}(j-1)$ и $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(j)$. Поэтому $f_j(\sigma)=0$ и $f_{j-1}(\sigma)=0$ в силу соотношения (4.25). Отсюда и из (4.26) следует, что $\|\widehat{\chi}_j(\sigma)\|_X=0$. Тождество (4.28) доказано. III. Определим функцию $\widehat{\chi}\colon \Sigma \to X$ соотношением
$$
\begin{equation*}
\widehat{\chi}(\sigma):=\sum_{i=0}^{\infty} \widehat{\chi}_i(\sigma), \qquad \sigma\in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (4.28) при любом $\sigma\in \Sigma$ ряд в правой части этого равенства является суммой конечного числа слагаемых и, значит, значение $\widehat{\chi}(\sigma)$ при каждом $\sigma\in \Sigma$ определено корректно. Покажем, что функция $\widehat{\chi}$ является искомой. Покажем, что $\widehat{\chi}$ непрерывна. Для этого возьмем произвольное открытое множество $V\subset X$ и покажем, что множество $\widehat{\chi}^{\,-1}(V):=\{\sigma\in \Sigma\colon\widehat{\chi}(\sigma) \in V \}$ открыто. Положим
$$
\begin{equation*}
W_j:=\biggl\{\sigma\in \Sigma\colon \sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma) \in V \biggr\} \cap \Sigma_{\varphi}(j-1), \qquad j\in \mathbb{N}, \quad W:=\bigcup_{j=1}^{\infty} W_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $W=\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Для произвольной точки $\sigma\in W$ существует $j\in \mathbb{N}$ такой, что $\sigma\in W_j$. Значит, $j>1+\pi(\sigma)$ и $\sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma) \in V$. В силу (4.28) отсюда следует, что $\widehat{\chi}(\sigma)=\sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma) \in V$. Значит, $W\subset\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Обратно, для произвольной точки $\sigma\in \widehat{\chi}^{\,-1}(V)$ выполняется включение $\widehat{\chi}(\sigma)\in V$ и существует $j\in \mathbb{N}$ такой, что $j>1+\pi(\sigma)$. Поэтому из (4.28) следует, что $\sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma) = \widehat\chi(\sigma)\in V$. Значит, $\sigma\in W_j\subset W$. Таким образом, $W\supset\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Равенство $W=\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$ доказано. При каждом $j\in \mathbb{N}$ множество $W_j$ открыто, поскольку открыто множество $\Sigma_{\varphi}(j-1)$ и непрерывны функции $\widehat{\chi}_i$, $i=0,\dots,j$. Следовательно, $W$ открыто. Значит, открыто и $\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Непрерывность $\widehat{\chi}$ доказана. Докажем соотношения (4.23) и (4.24). Возьмем произвольную точку $\sigma\in \Sigma$ и номер $j>1+\pi(\sigma)$. Тогда $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(j)$ и
$$
\begin{equation*}
f(\widehat{\chi}(\sigma),\sigma)-v(\sigma)= f\biggl(\sum_{i=0}^j\widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)-v(\sigma)=f_j(\sigma)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое равенство следует из определения функции $\widehat{\chi}$ и (4.28), второе – из определения отображения $f_j$, а третье – из соотношений $\sigma\in \Sigma_{\varphi}(j)$ и (4.25). Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{\chi}(\sigma)-\psi_2(\sigma)\|_X\leqslant \sum_{i=1}^j \|\widehat{\chi}_i (\sigma)\|_X \leqslant \frac{\|f_0(\sigma)\|_Y}{\gamma}=\frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v_2(\sigma)\|_Y}{\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое неравенство следует из (4.28), второе – из (4.25) и (4.27), а равенство – из определения $f_0$. Значит, (4.23) и (4.24) выполняются. Лемма 4.3 доказана. Лемма 4.4. Пусть заданы возрастающая последовательность $\{r_j\}\subset \mathbb{R}_+$, $r_0=0$, $r_1> 0$, убывающая последовательность $\{\gamma_j\}\subset (0,+\infty)$ и функция $\widetilde{\gamma}\colon\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, определенная равенством Предположим, что:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{(iii)}\quad \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y < \int_0^{+\infty} \widetilde{\gamma}(t) \, dt\textit{ для любого }\sigma \in \Sigma; \\ &\mathrm{(iv)}\quad \gamma_j< \inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X(\varphi(\sigma),r_j), \ \sigma\in \Sigma \biggr\}\textit{ для любого }j\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует непрерывная функция $\widehat{\chi}\colon \Sigma \to X$, для которой
$$
\begin{equation}
f(\widehat{\chi}(\sigma),\sigma)=0 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Доказательство. Определим функции $\lambda_j\colon \Sigma \to \mathbb{R}_+$ соотношениями Если при этом $\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y=0$, то считаем, что $\lambda_j(\sigma)=0$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^j\gamma_i(r_i-r_{i-1}) \to\int_0^{+\infty} \widetilde{\gamma}(t) \, dt, \qquad j \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу (iii) для любого $\sigma\in \Sigma$ существует $j(\sigma)\in \mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\lambda_j(\sigma)>0 \quad \forall \, j<j(\sigma), \qquad \lambda_j(\sigma)=0 \quad \forall \,j\geqslant j(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Pi_0:=\varnothing, \qquad \Pi_{j}:=\biggl\{\sigma\in \Sigma\colon \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y <\sum_{i=1}^j \gamma_i(r_i-r_{i-1})\biggr\}, \quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\Pi_j$ открыто, $\Pi_{j-1}\subset \Pi_{j}$ для всех $j\in \mathbb{N}$ и в силу (iii) $\bigcup_{j=0}^{\infty} \Pi_j= \Sigma$. Дальнейшие рассуждения проведем в три этапа. I. Установим некоторые свойства функций $\lambda_j$. Очевидно, все функции $\lambda_j$ непрерывны и $\lambda_j(\sigma)=0$ при любых $\sigma\in \Pi_{j}$, $j\in \mathbb{N}$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
|\lambda_{j+1}(\sigma)-\lambda_{j}(\sigma)|\cdot \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y\leqslant \gamma_j(r_{j+1}-r_{j}) \quad\forall \,\sigma\in \Sigma, \quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Возьмем $j\in \mathbb{N}$, $\sigma\in \Sigma$. Рассмотрим три случая. Предположим вначале, что $\sigma\in \Sigma \setminus \Pi_{j+1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lambda_{j}(\sigma)=1-\frac{\sum_{i=1}^j\gamma_i(r_i-r_{i-1})} {\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y}, \qquad \lambda_{j+1}(\sigma)=1-\frac{\sum_{i=1}^{j+1}\gamma_i(r_i-r_{i-1})} {\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y\neq 0$, поскольку $\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y\geqslant \gamma_1(r_1-r_0)>0$ для $\sigma\in \Sigma \setminus \Pi_{j+1}$). Значит, (4.33) выполняется. Рассмотрим второй случай: $\sigma\in \Pi_{j+1}\setminus \Pi_{j}$. Тогда $\lambda_{j+1}(\sigma)=0$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_{j}(\sigma) &=1-\frac{\sum_{i=1}^j\gamma_i(r_i-r_{i-1})}{\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y} = \frac{\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y - \sum_{i=1}^j\gamma_i(r_i-r_{i-1})}{\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y} \\ &\leqslant\frac{\sum_{i=1}^{j+1} \gamma_i (r_i-r_{i-1}) - \sum_{i=1}^j\gamma_i(r_i-r_{i-1})}{\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y} =\frac{\gamma_{j+1} (r_{j+1}-r_{j})}{\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь неравенство следует из включения $\sigma\in \Pi_{j+1}$. Значит, (4.33) выполняется. Наконец, если $\sigma\in\Pi_j$, то $\lambda_j(\sigma)=\lambda_{j+1}(\sigma)=0$, и (4.33) снова выполняется. II. Положим $\widehat{\chi}_0:=\varphi$. Построим непрерывные функции $\widehat{\chi}_j\colon \Sigma \to X$, $j\in \mathbb{N}$, такие, что
$$
\begin{equation}
f\biggl(\sum_{i=0}^j\widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr) -\lambda_j(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)=0 \quad \forall\, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_j \|\widehat{\chi}_j(\sigma)\|_X \leqslant \biggl\|f\biggl(\sum_{i=0}^{j-1} \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)- \lambda_j(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)\biggr\|_Y \quad \forall\, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl\|f\biggl(\sum_{i=0}^{j-1} \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)- \lambda_j(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)\biggr\|_Y \leqslant \gamma_j(r_j-r_{j-1}) \quad \forall\, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{j} \|\widehat{\chi}_i(\sigma)\|_X \leqslant r_j \quad \forall\, \sigma\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Построение проведем индукцией по $j$. Докажем вначале существование непрерывной функции $\widehat{\chi}_1\colon \Sigma\to X$, для которой соотношения (4.34)–(4.37) выполняются при $j=1$. Для этого покажем, что выполнены предположения леммы 4.3 при $\psi_2:=\varphi$, $v:=\lambda_1 \widetilde{f}$ и $\gamma:=\gamma_1$. Функции $\psi_2$ и $v$ непрерывны и при каждом $d>0$ ограничены на множестве $\Sigma_{\varphi}(d)$, поскольку таковыми являются функции $\varphi$, $\lambda_1$ и $\widetilde{f}$. Проверим условие (ii) леммы 4.3. Для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y &=|1-\lambda_1(\sigma)| \cdot \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y \\ &=\min \bigg\{1,\frac{\gamma_1(r_1-r_{0})} {\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y}\biggr\} \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y \leqslant \gamma_1 (r_1-r_{0}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Здесь первое равенство следует из определения функций $\psi_2$ и $v$, а второе – из определения функции $\lambda_1$. Отсюда и из (iv) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_1 &< \inf \biggl\{\operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X(\varphi(\sigma),r_1-r_0),\,\,\, \sigma\in \Sigma\biggr\} \\ &\leqslant\inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma)\colon x\in B_X\biggl(\psi_2(\sigma), \frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma}\biggr), \ \sigma\in \Sigma \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (ii) выполняется. Поэтому существует непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi}(\psi_2,v,\gamma;\cdot)\colon \Sigma \to X$, для которой выполняется утверждение леммы 4.3. Положим $\widehat{\chi}_1(\sigma):=\widehat{\chi}(\sigma)-\psi_2(\sigma)$, $\sigma\in \Sigma$. Тогда соотношения (4.34) и (4.35) выполняются при $j=1$. Справедливость неравенства (4.36) при $j=1$ вытекает из (4.38). Наконец, для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{\chi}_1(\sigma)\|_X\leqslant \frac{\|\widetilde{f}(\sigma)- \lambda_1(\sigma)\widetilde{f}(\sigma)\|_Y}{\gamma_1} =\frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma_1} \leqslant r_1-r_0=r_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое неравенство следует из (4.35), а второе – из (4.38). Значит, неравенство (4.37) выполняется при $j=1$. Пусть теперь для некоторого $n\in \mathbb{N}$ уже построены непрерывные функции $\widehat{\chi}_j\colon\Sigma\to X$, $j=1,\dots,n$, для которых выполняются соотношения (4.34)–(4.37). Построим непрерывную функцию $\widehat{\chi}_{n+1}\colon \Sigma \to X$, для которой соотношения (4.34)–(4.37) выполняются при $j=n+1$. Рассмотрим два случая: $r_{n+1}=r_{n}$ и $r_{n+1}>r_{n}$. Если $r_{n+1}-r_{n}=0$, то положим $\widehat{\chi}_{n+1}(\sigma):=\widehat{\chi}_n(\sigma)$, $\sigma\in\Sigma$. Очевидно, соотношения (4.34)–(4.37) выполняются при $j=n+1$, а функция $\widehat{\chi}_{n+1}$ непрерывна. Рассмотрим второй случай: $r_{n+1}>r_{n}$. Покажем, что предположения леммы 4.3 выполнены при $\psi_2:=\sum_{i=0}^{n}\widehat{\chi}_i$, $v:=\lambda_{n+1}\widetilde{f}$ и $\gamma:=\gamma_{n+1}$. Функции $\psi_2$ и $v$ непрерывны, поскольку непрерывны функции $\varphi$, $\widehat\chi_i$, $i=0,\dots,n$, $\lambda_{n+1}$ и $\widetilde{f}$. Поскольку $\varphi$ и $\widetilde{f}$ ограничены на $\Sigma_{\varphi}(d)$ при каждом $d>0$, функция $\lambda_{n+1}$ ограничена, а функция $\sum_{i=1}^{n} \widehat{\chi}_i$ ограничена в силу (4.37), то функции $\psi_2$ и $v$ ограничены на $\Sigma_{\varphi}(d)$ при каждом $d>0$. Проверим условие (ii) леммы 4.3. Для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y &=\biggl\|f\biggl(\sum_{i=0}^{n}\widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr) -\lambda_{n+1}(\sigma)\widetilde{f}(\sigma)\biggr\|_Y \\ \notag &=\|\lambda_n(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)- \lambda_{n+1}(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)\|_Y \\ &=|\lambda_n(\sigma)-\lambda_{n+1}(\sigma)|\cdot \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y \leqslant \gamma_{n+1}(r_{n+1}-r_n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Здесь второе равенство следует из (4.34) при $j=n$, а неравенство – из (4.33) при $j=n$. Для произвольных $\sigma\in \Sigma$ и $ x\in B_X\biggl(\psi_2(\sigma), \dfrac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma_{n+1}}\biggr)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x-\varphi(\sigma)\|_X &\leqslant \|x-\psi_2(\sigma)\|_X + \|\psi_2(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X \\ &\leqslant \frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma_{n+1}} + \|\psi_2(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X \\ &=\frac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma_{n+1}} + \biggl\|\sum_{i=1}^{n} \widehat{\chi}_i (\sigma)\biggr\|_X \\ &\leqslant r_{n+1}-r_n +\sum_{i=1}^{n} \|\widehat{\chi}_i (\sigma)\|_X \leqslant r_{n+1}-r_n+r_n=r_{n+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь второе неравенство следует из того, что точка $x$ принадлежит шару $B_X\biggl(\psi_2(\sigma), \dfrac{\|f(\psi_2(\sigma),\sigma)-v(\sigma)\|_Y}{\gamma_{n+1}}\biggr)$, четвертое – из (4.39), а пятое – из (4.37) при $j=n$. Из доказанного неравенства и (iv) вытекает условие (ii). Итак, предположения леммы 4.3 справедливы при $\psi_2:=\sum_{i=0}^{n}\widehat{\chi}_i$, $v:=\lambda_{n+1}\widetilde{f}$ и $\gamma:=\gamma_{n+1}$. Поэтому существует непрерывная функция $\widehat{\chi}=\widehat{\chi}(\psi_2,v,\gamma;\cdot)$: $\Sigma\to X$, для которой выполняется утверждение леммы 4.3. Пусть $\widehat{\chi}_{n+1}(\sigma):=\widehat{\chi}(\sigma)-\psi_2(\sigma)$, $\sigma\in \Sigma$. Тогда при $j=n+1$ имеют место соотношения (4.34) и (4.35). Справедливость неравенства (4.36) при $j=n+1$ следует из (4.39) и определения функций $\psi_2$ и $v$. Наконец, для произвольного $\sigma\in \Sigma$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{i=1}^{n+1}\widehat{\chi}_i(\sigma)\biggr\|_X &\leqslant \sum_{i=1}^{n}\|\widehat{\chi}_i(\sigma)\|_X+\|\widehat{\chi}_{n+1}(\sigma)\|_X \leqslant r_n+ \|\chi_{n+1}(\sigma)\|_X \\ &\leqslant r_n + \frac{1}{\gamma_{n+1}}\biggl\|f\biggl(\sum_{i=0}^n \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)-\lambda_{n+1}(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)\biggr\|_Y\leqslant r_{n+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь второе неравенство следует из соотношений (4.37) при $j=n$, третье – из (4.35) при $j=n+1$, а четвертое – из (4.39) и определения функций $\psi_2$ и $v$. Таким образом, неравенство (4.37) выполняется при $j=n+1$. Построение искомой последовательности функций завершено. III. Покажем, что для построенных $\widehat{\chi}_1,\widehat{\chi}_2,\dots$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\widehat{\chi}_n(\sigma)=0 \quad \forall \, \sigma\in \Sigma, \quad \forall \, n>j(\sigma).
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
Действительно, возьмем произвольные $\sigma\in \Sigma$ и $n>j(\sigma)$. Тогда в силу (4.34) и (4.32) при $j=n-1$ имеем $ f\bigl(\sum_{i=0}^{n-1} \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\bigr)=0$. Отсюда в силу (4.35) и (4.32) при $j=n$ получаем $\|\widehat{\chi}_n(\sigma)\|_X=0$. IV. Для $\sigma\in \Sigma$ положим $\widehat{\chi}(\sigma):=\sum_{i=0}^{\infty}\widehat{\chi}_i(\sigma)$. В силу (4.40) имеем
$$
\begin{equation}
\widehat{\chi}(\sigma)=\sum_{i=0}^{j(\sigma)} \widehat{\chi}_i(\sigma) \quad \forall \, \sigma\in \Sigma,
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
и, значит, при каждом $\sigma\in \Sigma$ значение $\widehat{\chi}(\sigma)$ определено корректно. Покажем, что функция $\widehat{\chi}$ является искомой. Покажем, что функция $\widehat{\chi}$ непрерывна. Для этого покажем, что если множество $V\subset X$ открыто, то множество $\widehat{\chi}^{\,-1}(V):=\{\sigma\in \Sigma\colon \widehat{\chi}(\sigma) \in V\}$ открыто. Действительно, положим
$$
\begin{equation*}
W_j:=\biggl\{\sigma\in \Sigma\colon \sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma) \in V \biggr\} \cap \Pi_j, \quad j\in \mathbb{N}, \qquad W:=\bigcup_{j=1}^{\infty} W_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $W=\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Начнем с включения $W\subset \widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Если $\sigma\in W$, то при некотором $j\in \mathbb{N}$ имеет место включение $\sigma\in W_j$, и, значит, $\sigma \in \Pi_j$ для некоторого $j\in \mathbb{N}$. Значит, $j\geqslant j(\sigma)$ и $ \sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma)\in V$. Поэтому $\widehat{\chi}(\sigma) = \sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma)\in V$ в силу (4.40) и, следовательно, $\sigma\in\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Покажем, что $W\supset \widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Если $\sigma\in \widehat{\chi}^{-1}(V)$, то $\widehat{\chi}(\sigma)\in V$. Выберем $j$ такое, что $\sigma\in \Pi_j$. Тогда $j\geqslant j(\sigma)$, и в силу (4.40) имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^j \widehat{\chi}_i(\sigma)=\widehat{\chi}(\sigma)\in V.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\sigma\in W_j\subset W$. Итак, $W=\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$. Все множества $W_j$ открыты и, значит, $W=\widehat{\chi}^{\,-1}(V)$ открыто. Соотношение (4.29) следует из (4.34) и (4.40). Докажем (4.30). Зафиксируем $\sigma\in \Sigma$ и положим $n:=j(\sigma)$. В силу определения функций $\lambda_j$ и соотношения (4.32) имеем
$$
\begin{equation}
\lambda_{n-1}(\sigma)\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y= \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y -\int_0^{r_{n-1}} \widetilde{\gamma}(t) \, dt.
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Положим $\zeta:=\gamma_n^{-1}\lambda_{n-1}(\sigma)\|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y$. Докажем, что Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widehat{\chi}_{n}(\sigma)\|_X &\leqslant\frac{1}{\gamma}_{n}\biggl\|f\biggl(\sum_{i=0}^{n-1} \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)-\lambda_{n}(\sigma) \widetilde{f}(\sigma)\biggr\|_Y \\ &=\frac{1}{\gamma}_{n}\biggl \|f\biggl(\sum_{i=0}^{n-1} \widehat{\chi}_i(\sigma),\sigma\biggr)\biggr\|_Y= \frac{1}{\gamma}_{n} \lambda_{n-1}(\sigma) \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y = \zeta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь неравенство следует из соотношения (4.35) при $j=n$, первое равенство – из (4.32) и равенства $n=j(\sigma)$, а второе – из (4.34) при $j=n-1$. Из (4.37) при $j=n-1$, (4.41) и (4.43) следует, что $\|\widehat{\chi}(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X\leqslant r_{n-1}+\zeta$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{0}^{\|\widehat{\chi}(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X} \widetilde{\gamma}(t) \, dt &\leqslant \int_{0}^{r_{n-1}+\zeta} \widetilde{\gamma}(t)\,dt \\ &=\int_{0}^{r_{n-1}} \widetilde{\gamma}(t)\,dt + \int_{r_{n-1}}^{r_{n-1}+\zeta} \widetilde{\gamma}(t)\,dt \leqslant \int_{0}^{r_{n-1}} \widetilde{\gamma}(t)\,dt + \zeta\gamma_n \\ &= \sum_{i=1}^{n-1}\gamma_i(r_i-r_{i-1}) + \lambda_{n-1}(\sigma) \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y = \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из (4.42). Неравенство (4.30) доказано. Докажем (4.31). Зафиксируем $\sigma\in \Sigma$. Пусть $j\in \mathbb{N}$ таково, что $\sigma\in \Pi_j$. Из определения множества $\Pi_j$ и соотношения (4.30) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\| \widehat{\chi} (\sigma) - \varphi(\sigma)\|_X} \widetilde{\gamma}(t) \, dt \leqslant \|\widetilde{f}(\sigma)\|_Y <\sum_{i=1}^j \gamma_i(r_i-r_{i-1})= \int_0^{r_j} \widetilde{\gamma}(t) \, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\widetilde{\gamma}$ неотрицательна на $\mathbb{R}_+$ и положительна на $[0,r_j)$, то из полученного неравенства следует, что $\| \widehat{\chi} (\sigma) - \varphi(\sigma)\|_X<r_j$. Поэтому $\| \widehat{\chi} (\sigma) - \varphi(\sigma)\|_X<r_j\leqslant \widehat{r}$. Неравенство (4.31) доказано. Лемма 4.4 доказана. Лемма 4.5. Пусть задана убывающая функция $\alpha\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, для которой Тогда для любого $\varepsilon>0$ существуют возрастающая последовательность $\{r_j\}\subset \mathbb{R}_+$, $r_0=0$, $r_1>0$ и убывающая последовательность $\{\gamma_j\}\subset (0,+\infty)$ такие, что для функции $\widetilde{\gamma}\colon\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, определенной формулой
$$
\begin{equation}
\widetilde{\gamma}(t):=\gamma_j, \quad t\in (r_{j-1},r_j], \quad j\in \mathbb{N}, \qquad \widetilde{\gamma}(t)=0, \quad t>\widehat{r}:=\lim_{j\to\infty} r_j,
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
выполняются соотношения Доказательство. Возьмем $\theta_1<\theta_2$ такие, что $\theta_1>1$ и $\theta_1\theta_2 <1+\varepsilon$. Непосредственно проверяется, что для произвольного полуинтервала $[a,b)\subset \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$, для которого $\alpha(a\,{+}\,0)<\theta_2 \alpha(b\,{-}\,0)$, при $\overline\gamma:=\theta_2^{-1}\alpha(a+0)$ выполняется
$$
\begin{equation}
\overline\gamma<\alpha(t) \quad \forall \, t\in [a,b), \qquad \int_a^r \alpha(t) \, dt \leqslant\theta_2 \int_a^r \overline\gamma \, dt \quad \forall \, r\in[a,b).
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
Положим $\widetilde{r}_0:=0$, $\widetilde{r}_j:= \sup\{t\in \mathbb{R}_+\colon \alpha(t)>\theta_1^{-j}\alpha(0+0)\}$, $j\in \mathbb{N}$, $J\,{:=}\,\{j\in \mathbb{N}$: $\widetilde{r}_{j-1}<+\infty\}$. Очевидно, $\widetilde{r}_1>0$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\alpha(\widetilde{r}_{j-1}+0)\leqslant \alpha(0+0) \theta_1^{1-j} \leqslant \theta_1 \alpha(\widetilde{r}_j-0)< \theta_2 \alpha(\widetilde{r}_j-0) \quad \forall \, j\in J.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при каждом $j\in J$ из (4.48) при $a:=\widetilde{r}_{j-1}$, $b:=\widetilde{r}_j$, $\gamma_j=\overline\gamma=\theta_2^{-1}\alpha(\widetilde{r}_{j-1})$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \gamma_{j}\leqslant \gamma_{j-1}, \qquad \gamma_j<\alpha(t) \quad \forall \, t\in [\widetilde{r}_{j-1},\widetilde{r}_j), \\ \int_{\widetilde{r}_{j-1}}^r \alpha(t) \, dt \leqslant \theta_2 \int_{\widetilde{r}_{j-1}}^r \gamma_j \, dt \quad \forall \, r\in[\widetilde{r}_{j-1},\widetilde{r}_j). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat\gamma(t):= \gamma_j$ при $t\in (\widetilde{r}_{j-1},\widetilde{r}_j]$, $j\in J$ и $\widehat\gamma(t):=0$ при $t>\sup_{j\in J} \widetilde r_j$. В силу приведенного построения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{\gamma}(t)<\alpha(t-0) \quad \forall \, t\colon \alpha(t)>0, \qquad \widehat\gamma(t)=0 \quad \forall \, t\colon \alpha(t)=0, \\ \int_0^r \alpha(t) \,dt \leqslant\theta_2 \widehat{\gamma}(t) \,dt \quad \forall \, r\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Построим последовательность $\{r_j\}$. Рассмотрим два случая. Если $J=\mathbb{N}$, то положим $r_j:=\theta_1^{-1} \widetilde{r}_{j}$, $j=0,1,2,\dots$ . Если существует $k\in \mathbb{N}$ такое, что $J=\{1,2,\dots ,k\}$, то положим $r_j:=\theta_1^{-1} \widetilde{r}_{j}$, $j=0,1,\dots ,k-1$, и $r_j:=r_{j-1}+1$, $j\geqslant k$. Положим $\widetilde\gamma(t):=\widehat{\gamma}(\theta_1 t)$, $t\geqslant 0$. По построению функция $\widetilde\gamma$ убывает. Поэтому в силу первого неравенства и равенства из (4.49) для функции $\widetilde\gamma$ выполняются соотношения (4.46). В силу последнего неравенства из (4.49) при любом $r\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^r \widetilde\gamma(t) \, dt &=\frac{1}{\theta_1} \int_0^{r\theta_1} \widehat\gamma(s) \, ds \geqslant \frac{1}{\theta_1\theta_2} \int_0^{r\theta_1}\alpha(s) \,ds \\ &\geqslant \frac{1}{\theta_1\theta_2} \int_0^{r}\alpha(s) \,ds \geqslant \frac{1}{1+\varepsilon} \int_0^{r}\alpha(s) \,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, функция $\widetilde\gamma$ является искомой. Лемма 4.5 доказана. Доказательство теоремы 2.1. Если $f(\varphi(\sigma),\sigma) \equiv 0$, то функция $g=\varphi$ является искомой. Пусть теперь
$$
\begin{equation}
\sup \bigl\{\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y\colon \sigma \in \Sigma \bigr\} > 0.
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Возьмем $\varepsilon >0$ из предположения (2.1). В силу (2.1) имеем Функция $\alpha=\alpha_{\varphi}$ удовлетворяет предположениям леммы 4.5, поскольку она убывает, и в силу (2.1) и (4.50) имеет место (4.44). Поэтому по лемме 4.5 существуют возрастающая последовательность $\{r_j\}\subset \mathbb{R}_+$, $r_0=0$, $r_1 > r_0$, и убывающая последовательность $\{\gamma_j\}\subset (0,+\infty)$ такие, что для функции $\widetilde{\gamma}\colon\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ и $\widehat{r}$, определенных в (4.45), выполняются соотношения (4.46), (4.47) и $\widehat{r}=r_{\varphi}$ (см. (2.3)). Покажем, что для последовательностей $\{r_j\}$ и $\{\gamma_j\}$ выполнены все предположения леммы 4.4. Из (4.51), (4.47) следует, что
$$
\begin{equation*}
\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y \leqslant \frac{1}{1+\varepsilon} \int_0^{+\infty} \alpha_{\varphi}(t) \, dt \leqslant \int_0^{+\infty} \widetilde{\gamma}(t) \, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, условие (iii) выполняется. В силу (4.45), (4.46) имеем $\gamma_j=\widetilde\gamma(r_j)<\alpha_{\varphi}(r_j)$. Отсюда и из определения функции $\alpha_{\varphi}$ получаем условие (iv). Таким образом, последовательности $\{r_j\}$ и $\{\gamma_j\}$ удовлетворяют предположениям леммы 4.4. Следовательно, существует непрерывная функция $\widehat{\chi}\colon \Sigma \to X$, для которой выполняются (4.29), (4.30) и (4.31). Положим $g:=\widehat{\chi}$. Из (4.29) вытекает равенство в (2.2). Из соотношения (4.30) при $\widehat{\chi}=g$ и соотношения (4.47) при $\alpha=\alpha_{\varphi}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\|g(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X} \alpha_{\varphi}(t) \, dt \leqslant (1+\varepsilon)\int_0^{\|g(\sigma)-\varphi(\sigma)\|_X} \widetilde{\gamma}(t) \, dt \leqslant (1+\varepsilon) \|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\sigma\in \Sigma$, что дает неравенство из (2.2). Из (4.31) вытекает (2.3). Таким образом, $g$ является искомой неявной функцией. Теорема 2.1 доказана. Доказательство теоремы 2.2. Положим $\psi_2:=\varphi$, $v:=0$. Функции $\psi_2$ и $v$ непрерывны и ограничены на $\Sigma_{\varphi}(d)$ при любом $d \geqslant 0$. Кроме того, из предположения (2.4) следует (ii). Поэтому по лемме 4.3 существует непрерывная функция $\widehat{\chi}\colon \Sigma \to X$, для которой имеет место (4.23) и (4.24). Очевидно, функция $g:=\widehat\chi$ является искомой.
Теорема доказана. § 5. Глобальные обобщенные теоремы о неявной и обратной функцииРассмотрим уравнение относительно неизвестного $x\in X$ и с параметрами $y\in Y$ и $\sigma \in \Sigma$. Приведем условия, при которых для всех значений параметров $y\in Y$ и $\sigma\in \Sigma$ это уравнение разрешимо и существует непрерывно зависящее от этих параметров решение $x=g(y,\sigma)$.Для произвольной функции $\varphi\in C(Y\times \Sigma,X)$, множества $\Xi \subset Y\times \Sigma$ и $r\geqslant 0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\alpha}_{\varphi}(r; \Xi) :=\inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x,\sigma)\colon x\in B_X(\varphi(y,\sigma),r), \ (y,\sigma) \in \Xi \biggr\}, \\ \mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(r; \Xi) := \int_0^r \widetilde{\alpha}_{\varphi}(t; \Xi) \, dt, \qquad \mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(\Xi) :=\mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(+\infty; \Xi) =\int_0^{+\infty} \widetilde{\alpha}_{\varphi} (t;\Xi) \, dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (A1)–(A3), заданы подмножество $\Xi\subset Y\times\Sigma$, функция $\varphi\in C(\Xi, X)$ и $\varepsilon >0$. Если для них имеет место Если, кроме того, $\varphi$ не является обобщенной неявной функцией на $\Xi$ (т.е. существует $(y,\sigma)\in \Xi$ такое, что $f(\varphi(y,\sigma),\sigma)\neq y$), то
$$
\begin{equation}
\|g(y,\sigma)-\varphi(y,\sigma)\|_X < \sup \{r\geqslant 0\colon \widetilde{\alpha}_{\varphi}(r; \Xi)>0\} \quad\forall \, (y,\sigma) \in \Xi.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Если же для некоторого $\gamma>0$ имеет место то существует непрерывная функция $g=g_{\varphi}\colon\Xi\to X$, для которой Доказательство. Если $f(\varphi(y,\sigma),\sigma)\equiv y$, то, очевидно, функция $g:=\varphi$ является искомой. Поэтому предположим, что $f(\varphi(y,\sigma),\sigma)\neq y$ при некотором $(y,\sigma)\in \Xi$. Зададим отображение $F\colon X\times \Xi \to Y$ по формуле $F(x,y,\sigma):=f(x,\sigma)-y$, $x\in X$, $(y,\sigma)\in \Xi$. Для него, очевидно, в первом случае выполнены предположения теоремы 2.1, а во втором случае – теоремы 2.2, из которых вытекает существование искомой непрерывной функции $g\colon \Xi\to X$, удовлетворяющей соотношениям (5.3) и (5.4) в первом случае и соотношению (5.6) во втором случае. Теорема доказана. Из теоремы 5.1 вытекают утверждения, аналогичные следствиям 3.1–3.5. Перейдем к теореме об обратной функции. Рассмотрим уравнение Относительно отображения $f\colon X \to Y$ будем предполагать, что
Для $r \geqslant 0$, функции $\varphi\in C(Y,X)$ и подмножества $\widetilde{Y} \subset Y$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\alpha}_{\varphi}(r; \widetilde{Y}):= \inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x)\colon x\in B_X(\varphi(y),r), \ y \in \widetilde{Y} \biggr\}, \\ \mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(r; \widetilde{Y}):= \int_0^r \widetilde{\alpha}_{\varphi}(t; \widetilde{Y}) \, dt, \qquad \mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(\widetilde{Y}):= \mathcal{\widetilde{I}}_{\varphi}(+\infty; \widetilde{Y})= \int_0^{+\infty} \widetilde{\alpha}_{\varphi} (t;\widetilde{Y}) \,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Это построение аналогично приведенному в § 2. Теорема 5.2. Для любого подмножества $\widetilde{Y}\subset Y$, функции $\varphi\in C(\widetilde{Y},X)$ и $\varepsilon >0$ таких, что существует непрерывная функция $g=g_{\varphi}\colon\widetilde{Y}\to X$, для которой Если, кроме того, $\varphi$ не является обратной функцией (т.е. существует $y\in \widetilde{Y}$ такой, что $f(\varphi(y))\neq y$), то Теорема 5.3. Для любого подмножества $\widetilde{Y} \subset Y$, функции $\varphi\in C(\widetilde{Y},X)$ и числа $\gamma>0$ таких, что существует непрерывная функция $g=g_{\varphi}\colon \widetilde{Y}\to X$, для которой Эти теоремы вытекают из теоремы 5.1, если в последней в качестве пространства $\Sigma$ взять одноточечное множество. Для $x_0\in X$ положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}(r,x_0):= \inf\biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x} (x)\colon x\in B_X(x_0,r)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 5.2 при $\varphi(y)\equiv x_0$ получаем следующее Следствие 5.1. Пусть для $x_0\in X$ имеет место Тогда для любых $R\in (0,\widetilde{\mathcal{I}}(x_0))$ и $\varepsilon>0$ существует непрерывное отображение $g\colon B_Y(f(x_0),R)\to X$ такое, что Если точка $x_0\in X$ нормальна, т.е. $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0)X=Y$, то $\widetilde{\mathcal{I}}(x_0)>0$. В силу следствия 5.1 для любой нормальной точки $x_0\in X$ образ отображения $f$ содержит открытый шар с центром в точке $f(x_0)$ радиуса $\widetilde{\mathcal{I}}(x_0)$. Следствие 5.2. Пусть заданы $x_0\in X$ и $r>0$. Если то для любого положительного $\gamma<\gamma_0$ существует непрерывная функция $g = g_{\gamma}\colon B_Y(f(x_0),\gamma r) \to X$, для которой Приведенное утверждение вытекает из теоремы 5.3 при $\varphi(y)\equiv x_0$, $y\in\widetilde{Y}:=B_Y(f(x_0),\gamma r)$. Теоремы 5.2 и 5.3 носят полулокальный характер, что обусловлено тем, что подмножество $\widetilde{Y}$ не обязательно совпадает со всем $Y$. Если же $\widetilde{Y}=Y$, то мы получаем глобальные теоремы. Приведем глобальную теорему об обратной функции, которая вытекает из теоремы 5.3. Следствие 5.3. Пусть существует $\gamma >0$, для которого Тогда для любой функции $\varphi\in C(Y,X)$ существует непрерывная функция $g = g_{\varphi}\colon Y \to X$, для которой Отметим, что если $X=\mathbb{R}^n$, $Y=\mathbb{R}^m$, отображение $f$ дважды непрерывно дифференцируемо и выполняется (5.13), то существует непрерывно дифференцируемая функция $g$, для которой справедливо (5.14). Последнее вытекает из теоремы 1 из [13], если в ней в утверждениях б) и в) вместо $y$ подставить $y-f(\varphi(y))$, а вместо $\xi$ подставить $\varphi(y)$ соответственно. § 6. Продолжение неявных функций и их устойчивостьВ этом параграфе $f\colon X\times \Sigma\to Y$ – заданное отображение, для которого выполняются предположения (A1)–(A3). Для $\varphi \in C(\Sigma,X)$ положим $\|\varphi\| = \sup_{\sigma \in \Sigma} \|\varphi(\sigma)\|_X$, если $\varphi$ ограничена, и $\|\varphi\|:=+\infty$, если $\varphi$ не ограничена. Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение. Пусть задана непрерывная функция $\varphi\colon \Sigma \to X$, для которой выполняется предположение (2.1) теоремы 2.1 и, кроме того, $f(\varphi(\sigma),\sigma)\equiv0$, $\sigma \in \mathcal{C}$. Тогда существует такая непрерывная неявная функция $g_\varphi\colon \Sigma \to X$, что
$$
\begin{equation*}
g_\varphi(\sigma)=\varphi(\sigma) \quad \forall\,\sigma \in \mathcal{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, неявная функция $g_\varphi$ является непрерывным продолжением сужения $\varphi$ на $\mathcal{C}$. Учитывая это, ниже, в пп. 6.1, 6.2, выведем из теорем 2.1 и 2.2 утверждения непосредственно в виде теорем о непрерывном продолжении. В пп. 6.1–6.3 будем предполагать, что $\Sigma$ является хаусдорфовым паракомпактным пространством (см., например, [21]), а $\mathcal{C} \subset \Sigma$ – заданное замкнутое подмножество. Ниже нам потребуется следующая теорема о непрерывном продолжении. Пусть задана непрерывная функция $\varphi\colon \mathcal{C} \to X$. Тогда существует такое ее непрерывное продолжение $\widehat\varphi$ на $\Sigma$, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi (\sigma) \in \overline{\operatorname{conv}} (\varphi(\mathcal{C})) \quad\forall\, \sigma \in \Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\operatorname{conv}}$ – замыкание выпуклой оболочки множества. Это утверждение вытекает из теоремы Майкла о существовании непрерывного селектора у полунепрерывного снизу многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами (см., например, [18; теорема 3.2$''$], [22; теорема 1.4.2]), примененного к многозначному отображению $F$, которое определяется на $\Sigma$ по формулам
$$
\begin{equation*}
F(\sigma):=\{\varphi(\sigma)\} \quad \forall\,\sigma \in \mathcal{C}, \qquad F(\sigma):= \overline{\operatorname{conv}}(\varphi(\mathcal{C})) \quad\forall\, \sigma \notin \mathcal{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, в частности, вытекает, что если $\|\varphi(\sigma)\|_X \leqslant d$ для всех $\sigma \in \mathcal{C}$ для некоторого $d>0$, то $\|\widehat\varphi(\sigma)\|_X \leqslant d$ для всех $\sigma \in \Sigma$. 6.1.Приведем терему о непрерывном продолжении. Теорема 6.1. Пусть задана непрерывная функция $\varphi\colon \mathcal{C} \to X$, для которой $f(\varphi(\sigma),\sigma)\equiv 0$, $\sigma \in \mathcal{C}$. Предположим, что либо выполняется (3.8), либо функция $\varphi$ ограничена и выполняется (3.2). Тогда у $\varphi$ существует непрерывное продолжение, которое является неявной функцией для $f$. Доказательство. Пусть выполняется (3.8). Тогда, продолжая в силу приведенной выше теоремы о непрерывном продолжении функцию $\varphi$ и применяя к этому продолжению следствие 3.2, в силу (2.5) получаем искомую неявную функцию. Если же $\varphi$ ограничена и выполняется (3.2), то продолжим ее, применив использованную выше теорему до ограниченной непрерывной функции на $\Sigma$. Поскольку продолженная функция $\varphi$ ограничена и выполняется (3.2), то в силу леммы 3.1 выполняются предположения теоремы 2.1, из которой вытекает существование искомой неявной функции. Теорема доказана. 6.2.Обратимся к классической локальной теореме о неявной функции. В свете сказанного выше она является теоремой о непрерывном продолжении неявной функции с одноточечного множества $\mathcal{C}=\{\sigma_0\}$ на его окрестность. Приведем аналог этой теоремы на случай, когда множество $\mathcal{C}$ состоит более чем из одной точки. Пусть на замкнутом множестве $\mathcal{C}$ задана неявная непрерывная функция $\varphi$, т.е. $f(\varphi(\sigma),\sigma)\equiv 0$, $\sigma \in \mathcal{C}$. Предложение 6.1. Предположим, что существуют $\gamma >0$ и окрестность $W$ множества $\{(\varphi(\sigma),\sigma)\colon \sigma \in \mathcal{C}\}\subset X\times \Sigma$ такие, что и отображение ${\partial f}/{\partial x}$ равномерно непрерывно по $x$ на множестве $W$ в следующем смысле: для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, для которого Тогда существуют окрестность $O$ множества $\mathcal{C}$ и определенная на $O$ неявная функция, которая является непрерывным продолжением $\varphi$. Доказательство. Продолжим функцию $\varphi$ непрерывно на $\Sigma$. Покажем, что существует окрестность $\widetilde{O}$ множества $\mathcal{C}$ такая, что $\widetilde{W}:=\{(\varphi(\sigma),\sigma)$: $\sigma\in \widetilde{O}\}\subset W$. Действительно, для произвольной точки $\sigma_0\in \mathcal{C}$ существуют ее окрестность $O(\sigma_0)$ и $\delta(\sigma_0)>0$ такие, что $B_X(\varphi(\sigma_0),\delta(\sigma_0))\times O(\sigma_0)\subset W$. В силу непрерывности функции $\varphi$, уменьшая окрестность $O(\sigma_0)$, добьемся того, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(\sigma)\in B_X(\varphi(\sigma_0),\delta(\sigma_0))\quad \forall\,\sigma\in O(\sigma_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widetilde{O}:=\bigcup_{\sigma_0\in \mathcal{C}} O(\sigma_0)$. Очевидно, окрестность $\widetilde{O}$ является искомой. В силу непрерывности функции $\operatorname{cov}(\partial f/\partial x)$, уменьшая окрестность $\widetilde O$, добьемся того, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(\varphi(\sigma),\sigma) \geqslant \frac\gamma2 \quad \forall \,\sigma \in \widetilde O.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\widetilde{W}\subset W$, то в силу равномерной непрерывности ${\partial f}/{\partial x}$ по $x$ на $W$ существует такое $\delta >0$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cov} \frac{\partial f}{\partial x}(x,\sigma) \geqslant\frac\gamma3 \quad \forall\, x\in B_X(\varphi(\sigma),\delta), \qquad \sigma \in \widetilde O.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f(\varphi(\sigma),\sigma)\equiv 0$, $\sigma \in \mathcal{C}$, то у множества $\mathcal{C}$ существует окрестность $O \subset \widetilde O$, для которой
$$
\begin{equation*}
\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y < \frac{\delta \gamma}3\quad \forall\, \sigma \in O.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, выполняется условие, полученное из (2.4) заменой $\gamma$ на $\gamma/3$ и $\Sigma$ на $O$ соответственно. Существование искомой функции вытекает из теоремы 2.2. Предложение доказано. Замечание 6.1. Если $\mathcal{C}$ компактно, то предположение о равномерной по $x$ непрерывности ${\partial f}/{\partial x}$ выполняется. 6.3.Исследуем следующий естественный вопрос. Пусть задана непрерывная неявная функция $\varphi^0\colon \Sigma \to X$. Если определенная на $\mathcal{C}$ непрерывная неявная функция $\varphi$ близка в равномерной метрике к сужению $\varphi^0$ на $\mathcal{C}$, то можно ли $\varphi$ продолжить на $\Sigma$ до непрерывной неявной функции с сохранением близости к $\varphi^0$? Предложение 6.2. Пусть выполняется (3.8) и задана непрерывная неявная функция $\varphi^0\colon \Sigma \to X$. Предположим, что имеет место следующее предположение о равномерной непрерывности: для произвольного $\varepsilon >0$ существуют такие (зависящие от $\varepsilon$) окрестность $O$ множества $\mathcal{C}$ и $\delta>0$, что Тогда для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta>0$, что для любой непрерывной неявной функции $\varphi\colon \mathcal{C} \to X$, для которой существует ее непрерывное продолжение $g$, которое является неявной функцией и удовлетворяет условию $\|\varphi^0 - g\| \leqslant \varepsilon$. Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. Уменьшая в (3.8) $\gamma >0$, будем считать, что $\gamma \leqslant 1$. В силу (6.1) выполнены предположения теоремы 1 из [23]. Поэтому в силу этой теоремы существует такое $\delta >0$, что для любой непрерывной неявной функции $\varphi\colon \mathcal{C} \to X$, для которой $\|\varphi^0(\sigma) - \varphi(\sigma)\|_X \leqslant \delta$ для всех $\sigma \in \mathcal{C}$, существует ее непрерывное продолжение $\widehat{\varphi}$, для которого
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^0 - \widehat{\varphi}\| \leqslant \frac{\varepsilon\gamma}2 \leqslant \frac\varepsilon2, \qquad \|f(\widehat{\varphi}(\sigma), \sigma)\|_Y \leqslant \frac{\varepsilon\gamma}2 \quad\forall \, \sigma \in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом использовалось то, что $f(\varphi^0(\sigma), \sigma)\equiv 0$, $\sigma \in \Sigma$. Поэтому в силу следствия 3.2 существует непрерывная неявная функция $g\colon \Sigma \to X$, для которой ${\|g - \widehat{\varphi}\| \leqslant \varepsilon/2}$. Применяя неравенство треугольника к $\varphi^0$, $\widehat{\varphi}$ и $g$, получаем, что функция $g$ является искомой. Предложение доказано. Замечание 6.2. Если множество $\mathcal{C}$ компактно, то для любого непрерывного отображения $\varphi^0\colon \Sigma \to X$ предположение о равномерной непрерывности (6.1) выполняется (см. [23; следствие 1]). Как показывает пример 1 из [23], без предположения компактности $\mathcal{C}$ предположение о равномерной непрерывности (6.1) опустить нельзя. Предложение 6.3. Пусть выполняется (3.8). Предположим, что множества $\mathcal{C}$ и $K \subset X$ компактны. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любых непрерывных неявных функций $\varphi_1, \varphi_2\colon \mathcal{C} \to X$, для которых либо $\varphi_1(\mathcal{C}) \subset K$, либо $\varphi_2(\mathcal{C}) \subset K$, существуют такие их непрерывные продолжения $g_1$, $g_2$, что $g_1$ и $g_2$ являются неявными функциями и удовлетворяют оценке $\|g_1 - g_2\| \leqslant \varepsilon$. Доказательство этого утверждения основано на [23; следствие 2] и проводится полностью аналогично доказательству предложения 6.2. 6.4.При построении неявной функции бывает удобно использовать приближенную неявную функцию. Для заданного $\varepsilon >0$ непрерывное отображение $\varphi\colon \Sigma \to X$ будем называть $\varepsilon$-неявной функцией, если
$$
\begin{equation*}
\|f(\varphi(\sigma),\sigma)\|_Y \leqslant \varepsilon\quad\forall \, \sigma \in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, $\varphi$ является “неявной функцией с точностью до $\varepsilon$”. Из следствия 3.2 вытекает следующее утверждение. Пусть выполняется (3.8). Тогда для любой $\varepsilon$-неявной функции $\varphi$ существует непрерывная неявная функция $g_\varphi\colon \Sigma \to X$ такая, что $\|g_\varphi-\varphi\| \leqslant {\varepsilon}/{\gamma}$. Последнее свойство называют устойчивостью по Уламу–Хайерсу (см. [24]). 6.5.Пусть заданы отображения $f_1,f_2\colon X\times \Sigma \to Y$, причем для $f_2$ выполнены предположения (A1)–(A3). Обозначим через $\mathfrak{G}(f)$ множество всех непрерывных неявных функций $g$ для $f$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{G}(f):=\{g\in C(\Sigma,X)\colon f(g(\sigma),\sigma)\equiv 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим оценку расстояния между множествами $\mathfrak{G}(f_1)$ и $\mathfrak{G}(f_2)$, представляющую собой аналог леммы Лима (см. [25], [26]) для неявной функции. Пусть $h^+(\mathfrak{G}(f_1),\mathfrak{G}(f_2))$ – полуотклонение множества $\mathfrak{G}(f_1)$ от $\mathfrak{G}(f_2)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
h^+(\mathfrak{G}(f_1),\mathfrak{G}(f_2)):= \inf \{\varepsilon>0\colon \mathfrak{G}(f_1) \subset \mathfrak{G}(f_2) + B_{C(\Sigma,X)}(0,\varepsilon)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 6.4. Пусть для $f_2$ выполнено предположение (3.8). Тогда Доказательство. Возьмем произвольную функцию $g_1\in \mathfrak{G}(f_1)$. Применяя следствие 3.2 к отображению $f=f_2$ и функции $\varphi=g_1$, получаем, что существует функция $g_2\in \mathfrak{G}(f_2)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\|g_2(\sigma)-g_1(\sigma)\|_X \leqslant \frac{\|f_2(g_1(\sigma),\sigma)\|_Y}{\gamma} \quad \forall \, \sigma\in \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g_1-g_2\| &\leqslant\sup_{\sigma\in \Sigma} \frac{\|f_2(g_1(\sigma),\sigma)\|_Y}{\gamma} \\ &=\frac{1}{\gamma} \sup_{\sigma\in \Sigma}\|f_2(g_1(\sigma),\sigma)-f_1(g_1(\sigma),\sigma)\|_Y \\ &\leqslant \frac{1}{\gamma} \sup \{\|f_1(x,\sigma)-f_2(x,\sigma)\|_Y\colon (x,\sigma)\in X\times\Sigma\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $g_1\in \mathfrak{G}(f_1)$ получаем искомое неравенство. Предложение доказано. Пусть наряду с $f$ заданы последовательность отображений $f_j\colon X\times \Sigma \to Y$, удовлетворяющая предположениям (A1)–(A3), и неявная функция $g\in \mathfrak{G}(f)$. Получим условия, при которых неявная функция $g$ устойчива, т.е. если $f_j$ сходится в некотором смысле к $f$, то существует последовательность функций $g_j\in\mathfrak{G}(f_j)$, сходящаяся к $g$. Предложение 6.5. Предположим, что существует $\gamma>0$ такое, что Тогда:
Доказательство. Возьмем $j\in \mathbb{N}$. Применяя следствие 3.2 к отображению $f_j$ и функции $g$, получаем, что существует функция $g_j\in \mathfrak{G}(f_j)$ такая, что Отсюда, поскольку $g\in \mathfrak{G}(f)$ и, значит, $f(g(\sigma),\sigma)=0$, получаем требуемое. Предложение доказано. Выше, в пп. 6.1–6.5, мы получили следствия теорем о неявной функции 2.1 и 2.2. Аналогичные следствия вытекают из теорем 5.1–5.3. § 7. Приложения к теории точек совпаденияПрименим результаты о глобальных обратных функциях к исследованию существования точек совпадения двух отображений. Для $\alpha>0$ отображение $\Psi\colon X\to Y$ называется $\alpha$-накрывающим, если
$$
\begin{equation*}
B_Y(\Psi(x_0),\alpha r)\subset \Psi(B_X(x_0,r)) \quad \forall \, x_0\in X, \quad \forall \, r\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\operatorname{cov} (\Psi)$ обозначим точную верхнюю границу всех $\alpha\geqslant 0$, для которых выполняется приведенное включение. Напомним (см. [27; теорема 3.2] и [28; теорема 1.57]), что если отображение $\Psi\colon X\to Y$ непрерывно дифференцируемо, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cov} (\Psi) = \inf \biggl\{ \operatorname{cov} \frac{\partial \Psi}{\partial x}(x)\colon x\in X \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точкой совпадения двух отображений $\Psi,\Phi\colon X\to Y$ называется точка $\xi\in X$ такая, что $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$. Следующая теорема о точках совпадения доказана в [29; теорема 1]. Если отображение $\Psi$ непрерывно и является $\alpha$-накрывающим, а отображение $\Phi$ липшицево с константой Липшица $\beta<\alpha$, то для произвольного $x_0\in X$ существует точка $\xi\in X$ такая, что $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$ и
$$
\begin{equation*}
\|x_0-\xi\|_X\leqslant \frac{\|\Psi(x_0)-\Phi(x_0)\|_Y}{\alpha-\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее утверждение представляет собой развитие приведенной теоремы и обобщение теоремы Шаудера на точки совпадения. Теорема 7.1. Пусть отображение $\Psi\colon X \to Y$ удовлетворяет предположению (A4) и существует $\alpha>0$, для которого Тогда для любых $r> 0$, $x_0\in X$ и вполне непрерывного отображения $\Phi$: $B_X(x_0,r)\to Y$ такого, что существует точка $\xi\in B_X(x_0,r)$, для которой $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$. Доказательство. В силу следствия 5.4 существует непрерывное отображение $\Gamma\colon Y\to X$ такое, что $\Psi(\Gamma(y))=y$ и $\|\Gamma(y)-x_0 \|_X \leqslant \alpha^{-1} \|y-\Psi(x_0)\|_Y$ для любого $y\in Y$. Поэтому для произвольного $x\in B_X(x_0,r)$ имеем Следовательно, $\Gamma(\Phi(B_X(x_0,r)))\subset B_X(x_0,r)$. Кроме того, поскольку $\Gamma$ непрерывно, а $\Phi$ вполне непрерывно, то $\Gamma(\Phi(\cdot))$ вполне непрерывно. Поэтому по теореме Шаудера о неподвижной точке существует точка $\xi\in B_X(x_0,r)$ такая, что $\xi=\Gamma(\Phi(\xi))$. Поэтому имеем $\Psi(\xi)=\Psi(\Gamma(\Phi(\xi)))=\Phi(\xi)$. Теорема доказана. Исследуем возмущение гладких накрывающих отображений вполне непрерывными. Предложение 7.1. Пусть для отображения $\Psi\colon X\,{\to}\, Y$ выполняется предположение (A4) и при некотором $\alpha>0$ выполняется условие регулярности (7.1), а отображение $\Phi\colon X \to Y$ вполне непрерывно. Если существуют точка $x_0\in X$, неотрицательные числа $\beta<\alpha$ и $c$ такие, что то отображение $\Psi+\Phi$ сюръективно и, более того, Доказательство. Возьмем $y\in Y$ и положим
$$
\begin{equation*}
r:=(\alpha-\beta)^{-1}(\|\Psi(x_0)+\Phi(x_0)-y\|_Y+c).
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного $x\in B_X(x_0,r)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Psi(x_0)-(y-\Phi(x))\|_Y &\leqslant\|\Psi(x_0)+\Phi(x_0)-y\|_Y+\|\Phi(x)-\Phi(x_0)\|_Y \\ &\leqslant \|\Psi(x_0)+\Phi(x_0)-y\|_Y+\beta r +c=\alpha r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, применяя теорему 7.1 к отображениям $\Psi$ и ${x\mapsto y-\Phi(x)}$, $x\,{\in}\, B_X(x_0,r)$, получаем, что существует точка $\xi\in B_X(x_0,r)$ такая, что $\Psi(\xi)+\Phi(\xi)=y$. Предложение доказано. В цитированной выше теореме о точках совпадения из [29] и предложении 7.1 существенно предположение о том, что константа Липшица $\beta$ отображения $\Phi$ меньше константы накрывания $\alpha$ отображения $\Psi$. В предположении гладкости $\Psi$ приведем условия существования точки совпадения и в случае $\alpha=\beta$. Теорема 7.2. Пусть отображение $\Psi\colon X\,{\to}\, Y$ удовлетворяет условию (A4), $\alpha := \inf \biggl\{ \operatorname{cov}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}(x)\colon x\in X \biggr\}>0$, отображение $\Phi \colon X\to Y$ вполне непрерывно, существует непрерывная справа возрастающая функция $\eta\colon\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$ такая, что $\eta(t)<\alpha t$ при любом $t>0$ и Тогда существует точка $\xi\in X$ такая, что $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$. Доказательство. Деля норму $\|\cdot\|_Y$ на $\alpha$, будем считать, не теряя общности, что $\alpha=1$ и, значит, $\eta(t)<t$ при $t>0$, а отображение $\Psi$ является $(1-\varepsilon)$-накрывающим при любом $\varepsilon\in (0,1)$. Идея доказательства заключается в том, чтобы доказать существование $x_0 \in X$, $\varepsilon_0 >0$ и $r>0$, для которых
$$
\begin{equation}
\Phi(B_X(x_0,r))\subset B_Y\bigl(\Psi(x_0),(1-\varepsilon_0)r\bigr),
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
и затем применить теорему 7.1. Сделаем это. Возьмем произвольные $\overline x\in X$ и $r>0$. I. Построим вспомогательные функции $\eta^j$, $j\in \mathbb{N}$, $\delta$ и числа $d$, $\varepsilon_0$, $j_0$. Поскольку отображение $\Psi$ является $\frac{1}{2}$-накрывающим, то существует точка $x_1\in X$ такая, что $\Psi(x_1)=\Phi(\overline x)$. Положим
$$
\begin{equation*}
d:=\|x_1 - \overline x\|_X,\quad \eta^0(t):=t,\quad \eta^{j+1}(t):=\eta(\eta^j(t)),\qquad j\in \mathbb{N},\quad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta^j$ – это $j$-я итерация функции $\eta(\cdot)$. Покажем, что $\eta^j(d)\to 0$ при $j\to \infty$. Поскольку $0\leqslant \eta(t)<t$ при положительных $t$, то последовательность $\{\eta^j(d)\}$ убывает и ограничена снизу. Поэтому она сходится. Поскольку функция $\eta$ непрерывна справа, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\eta^j(d)= \lim_{j\to \infty}\eta(\eta^{j-1}(d))= \eta\biggl(\lim_{n\to \infty}\eta^{j-1}(d)\biggr)= \eta\biggl(\lim_{n\to \infty}\eta^{j}(d)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из неравенства $\eta(t)<t$, которое справедливо для всех $t > 0$, следует, что $\lim_{j\to \infty}\eta^j(d)=0$. Поскольку $\eta(t)<t$ при $t > 0$, то в силу доказанного существует номер $j_0$, для которого Положим
$$
\begin{equation*}
\delta(1,\varepsilon):=\eta(d),\quad \delta(j+1,\varepsilon):= \eta\biggl( \dfrac{\delta(j,\varepsilon)}{1-\varepsilon}\biggr),\qquad j\in \mathbb{N},\quad \varepsilon\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\eta$ непрерывна справа и возрастает, то функция $\delta(j_0,\cdot)$ непрерывна справа. Следовательно, $\delta(j_0,\varepsilon)\to \delta(j_0,0)=\eta^{j_0}(d)$ при $\varepsilon\to 0+0$. Поэтому в силу (7.4) существует $\varepsilon_0>0$, для которого
$$
\begin{equation}
\delta(j_0,\varepsilon_0)<(1-\varepsilon_0)r-\eta(r).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
II. Покажем, что существуют $x_2,\dots ,x_{j_0}\subset X$ такие, что
$$
\begin{equation}
\|\Psi(x_j)-\Phi(x_j)\|_Y \leqslant \delta(j,\varepsilon_0), \qquad j= 1,\dots ,j_0.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\|\Psi(x_1)-\Phi(x_1)\|_Y=\|\Phi(\overline x)-\Phi(x_1)\|_Y\leqslant \eta(d) =\delta(1,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое равенство следует из соотношения $\Psi(x_1)=\Phi(\overline x)$. Поскольку отображение $\Psi$ является $(1-\varepsilon_0)$-накрывающим, то существует точка $x_2\in X$ такая, что $\Psi(x_2)=\Phi(x_1)$ и $\|x_2-x_1\|_X\leqslant (1-\varepsilon_0)^{-1}\|\Phi(x_1)-\Psi(x_1)\|_Y$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Psi(x_2)-\Phi(x_2)\|_Y &=\|\Phi(x_1)-\Phi(x_2)\|_Y\leqslant\eta(\|x_1-x_2\|_X) \\ &\leqslant \eta\biggl( \frac{\|\Phi(x_1)-\Psi(x_1)\|_Y}{1-\varepsilon_0}\biggr) \leqslant\eta\biggl( \frac{\delta(1,\varepsilon_0)}{1-\varepsilon_0}\biggr) =\delta(2,\varepsilon_0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку отображение $\Psi$ является $(1-\varepsilon_0)$-накрывающим, то существует точка $x_3\in X$ такая, что $\Psi(x_3)=\Phi(x_2)$ и $\|x_3-x_2\|_X\leqslant (1-\varepsilon_0)^{-1}\|\Phi(x_2)-\Psi(x_2)\|_Y$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Psi(x_3)-\Phi(x_3)\|_Y &=\|\Phi(x_2)-\Phi(x_3)\|_Y\leqslant \eta(\|x_2-x_3\|_X) \\ &\leqslant\eta\biggl( \frac{\|\Phi(x_2)-\Psi(x_3)\|_Y}{1-\varepsilon_0}\biggr) \leqslant\eta\biggl( \frac{\delta(2,\varepsilon_0)}{1-\varepsilon_0}\biggr) =\delta(3,\varepsilon_0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая приведенные рассуждения, получим искомые $x_j$, $j=2,\dots ,j_0$. III. Положим $x_0=x_{j_0}$ и покажем, что выполняется (7.3). Действительно, для произвольного $x\in B_X(x_{j_0},r)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Phi(x)-\Psi(x_{j_0})\|_Y &\leqslant\|\Phi(x)-\Phi(x_{j_0})\|_Y+\|\Phi(x_{j_0})-\Psi(x_{j_0})\|_Y \\ &\leqslant\eta(\|x-x_{j_0}\|_X)+\|\Phi(x_{j_0})-\Psi(x_{j_0})\|_Y \\ &\stackrel{(7.6)}{\leqslant}\eta(r)+\delta(j_0,\varepsilon_0) \stackrel{(7.5)}{\leqslant} (1-\varepsilon_0)r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, (7.3) выполняется. Поэтому из теоремы 7.1 вытекает существование точки $\xi\in X$, для которой $\Psi(\xi)=\Phi(\xi)$. Теорема 7.2 доказана. Теорема 7.2 обобщает теорему Браудэра о неподвижной точке обобщенно сжимающего отображения (см. [31], [32]) на задачу о точках совпадения двух отображений при дополнительном предположении, что пространства $X$, $Y$ банаховы и отображение $\Phi$ вполне непрерывно. Соответствующее обобщение без априорных предположений гладкости $\Psi$ и вполне непрерывности $\Phi$, но при дополнительном предположении на рост функции $\eta$ было получено в [20]. БлагодарностьАвторы благодарны профессору В. И. Буренкову за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AruZhu22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|