| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для ограниченных систем Виленкина А. С. Целищев Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9482 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПусть $\{I_j\}_{j\in\mathbb Z}$ – набор попарно непересекающихся отрезков в $\mathbb Z$, а $f$ – функция, заданная на $\mathbb{T}$. Через $P_j$ обозначим оператор, определяемый соотношением $(P_j f)\,\widehat{ }=\chi_{I_j}\widehat{f}$, где $\widehat{f}$ – преобразование Фурье функции $f$ (т.е. попросту последовательность коэффициентов Фурье). В своей работе [6] Ж. Л. Рубио де Франсиа доказал, что при $p\geqslant 2$ выполняется следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\biggl(\sum_j |P_j f|^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_p\lesssim \|f\|_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Использованное здесь обозначение $A\lesssim B$ означает, что левая часть неравенства не превосходит правой, умноженной на некоторую константу. Здесь эта константа не зависит от набора интервалов $\{I_j\}$ и функции $f$. По двойственности несложно видеть, что такое неравенство эквивалентно следующему:
$$
\begin{equation}
\biggl\| \sum_j f_j \biggr\|_p\lesssim \biggl\|\biggl(\sum_j |f_j|^2\biggr)^{1/2}\biggr\|_p, \qquad 1<p\leqslant 2,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где функции $f_j$ таковы, что $\operatorname{supp} \widehat{f}_j\subset I_j$. Мы докажем аналогичное неравенство для систем Виленкина. Сначала введем некоторые обозначения. Под пространством $L^p$ мы всегда будем понимать пространство $L^p[0,1]$, $L^p(\ell^2)$ обозначает пространство $\ell^2$-значных функций $L^p([0,1]; \ell^2)$. Во многих рассуждениях не будет различий между скалярными и $\ell^2$-значными функциями; если функция $f$ $\ell^2$-значная, то под $|f|$ мы подразумеваем $\|f(\cdot)\|_{\ell^2}$. Пусть $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ – последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше чем 2. В таком случае система Виленкина, соответствующая этой последовательности – это множество характеров (т.е. непрерывных гомоморфизмов в единичную окружность $\{z\in\mathbb{C}\colon |z|=1\}$) на группе Такие системы были впервые введены и изучены Н. Я. Виленкиным в его работе [8].Обозначим произведение $p_1 p_2\dotsb p_l$ через $m_l$ (и будем считать, что $m_0=1$). Нам будет удобно считать функции из систем Виленкина заданными на отрезке $[0,1]$ (иногда их считают заданными на полуинтервале, см., например, определения в книгах [2], [10], но в контексте настоящей работы это несущественно) – множество $G$ (с мерой Хаара на $G$) можно отождествить с отрезком $[0,1]$ (за исключением счетного числа точек) с помощью отображения
$$
\begin{equation*}
G\ni (a_1, a_2, \dots)\mapsto \sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{m_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы считаем, что $0\leqslant a_i\leqslant p_i-1$. Нетрудно видеть, что такое отображение сохраняет меру. Разделим отрезок $[0,1]$ на $p_1$ равных отрезков и через $r_1$ обозначим функцию, равную $e^{2\pi i k/p_1}$ на $k$-м отрезке (мы считаем, что нумерация отрезков начинается с нуля). Далее, с каждым из полученных отрезков проделаем аналогичную операцию: разделим его на $p_2$ частей и через $r_2$ обозначим функцию, равную $e^{2\pi i k/p_2}$ на $k$-й части. Повторяя эти операции, получаем последовательность функций $r_i$, являющихся аналогами функций Радемахера. Все функции из системы Виленкина являются произведениями построенных обобщенных функций Радемахера. А именно, всякое число $n\in\mathbb N_0$ ($\mathbb N_0$ обозначает множество целых неотрицательных чисел) запишем в “$(m)$-ичной системе счисления”, т.е. представим в виде $n=\alpha_1+\alpha_2 m_1+\dots+ \alpha_k m_{k-1}$, где $0\leqslant \alpha_i\leqslant p_i-1$. Отметим сразу, что для такой $(m)$-ичной записи нам будет удобно использовать следующее обозначение:
$$
\begin{equation*}
n\sim \begin{pmatrix} m_{k-1} & \dots & m_1 & m_0 \\ \alpha_k & \dots & \alpha_2 & \alpha_1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае функция Виленкина $w_n$ равна $r_1^{\alpha_1} r_2^{\alpha_2}\dotsb r_k^{\alpha_k}$. Описанное представление и нумерация систем Виленкина содержится, например, в работе [9]. Система Виленкина является полной ортонормированной системой в $L^2$. Отметим, что если все $p_i$ равны 2, то в качестве частного случая получаются классические функции Радемахера и Уолша. Приступим теперь к формулировке основного результата настоящей работы. Мы будем считать, что последовательность $p_i$ ограничена: $p_i\leqslant M$ для некоторого $M>2$. Такие системы Виленкина называются ограниченными. Это существенное предположение для наших рассуждений, как будет видно из дальнейшего. Через $\widehat{f}$ обозначим последовательность коэффициентов разложения $f$ по системе Виленкина: $\widehat{f}(n)=(f, w_n)={\displaystyle\int f\overline{w}_n}$. Ясно, что тогда $f={\displaystyle\sum_{n\in\mathbb N_0} \widehat{f}(n) w_n}$ (в случае, если $f\in L^2$). До конца настоящей работы зафиксируем ограниченную последовательность $\{p_i\}_{i\in \mathbb N}$ и соответствующую систему Виленкина $\{w_n\}_{n\in\mathbb N_0}$. Мы докажем следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $\{I_s\}$ – набор попарно непересекающихся конечных интервалов в $\mathbb N_0$, а функции $f_s$ таковы, что $\operatorname{supp}\widehat{f}_s\subset I_s$ (таким образом, каждая функция $f_s$ – полином Виленкина). Тогда при $1<p\leqslant 2$ справедливо следующее неравенство: Отметим, что соответствующее утверждение для функций Уолша было доказано в работе [5]. Однако рассуждение для функций Уолша не обобщается на системы Виленкина напрямую – оказалось, что необходимо использовать специальную, не мартингальную, квадратичную функцию, а также правильным образом уточнить комбинаторные рассуждения из статьи [5]. Кроме того, классическое неравенство Рубио де Франсиа (1.1) было позднее доказано и для $p=1$ Ж. Бургейном в работе [1], а также для всех $p\in(0,2]$ С. В. Кисляковым и Д. В. Париловым в работе [4]. Некоторые замечания на этот счет в контексте настоящей работы можно найти в § 4. § 2. Вспомогательные утвержденияПусть $k, l \in \mathbb N_0$ – числа, записывающиеся в $(m)$-ичной системе счисления следующим образом:
$$
\begin{equation*}
k=\alpha_1 + \alpha_2 m_1+\dots+\alpha_j m_{j-1}, \qquad l=\beta_1 +\beta_2 m_1 +\dots+ \beta_j m_{j-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда нетрудно видеть, что произведение функций $w_k$ и $w_l$ – это функция Виленкина $w_{k\dotplus l}$, где $k\dotplus l$ – число, имеющее следующую $(m)$-ичную запись:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} m_{j-1} & \dots & m_1 & m_0\\ (\alpha_j+\beta_j)\, \mathrm{mod}\, p_j & \dots & (\alpha_2+\beta_2)\, \mathrm{mod}\, p_2 & (\alpha_1+\beta_1)\, \mathrm{mod}\, p_1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $ \dot{-} k$ будем обозначать число, обратное $k$ относительно операции $\dotplus$. Через $\mathcal{F}_k$ обозначим $\sigma$-алгебру, порожденную интервалами $[jm_k^{-1},(j+1)m_k^{-1})$, $0\leqslant j\leqslant m_k-1$. В таком случае оператор $\mathbb{E}_k$, является оператором условного математического ожидания относительно $\mathcal{F}_k$. Соответствующие мартингальные разности тогда имеют вид
$$
\begin{equation*}
\Delta_k f=\mathbb{E}_k f-\mathbb{E}_{k-1} f=\sum_{n=m_{k-1}}^{m_k-1} (f, w_n)w_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Под $\Delta_0 f$ мы понимаем функцию $(f, w_0)w_0$ (т.е. попросту функцию, равную $\displaystyle\int f$ на отрезке $[0,1]$). Отметим, что ограниченность последовательности $\{p_i\}$ равносильна тому, что фильтрация $\{\mathcal{F}_k\}$ регулярна (т.е. для всякого множества $e\in\mathcal{F}_k$ найдется множество $e'\in\mathcal{F}_{k-1}$, содержащее $e$, меры не более чем в $M$ раз большей). Мартингальная квадратичная функция $Sf$ задается следующим образом: Хорошо известно, что для $p>1$ выполняется соотношение $\|Sf\|_p\asymp \|f\|_p$ (см., например, [10; § 2.2]).Однако при работе с системами Виленкина часто оказывается более удобна другая квадратичная функция. Определим операторы $\Delta_{k,l}$ по формуле:
$$
\begin{equation*}
\Delta_{k,l}f=\sum_{n=lm_{k-1}}^{(l+1)m_{k-1}-1} (f,w_n)w_n, \qquad 1\leqslant l\leqslant p_k-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичная функция, которой мы будем пользоваться, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S} f = \biggl( |\Delta_0 f|^2 + \sum_{k=1}^\infty \sum_{l=1}^{p_k-1} |\Delta_{k,l} f|^2 \biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая квадратичная функция рассматривалась еще в работе [9]. Там же было доказано, что ее $L^p$-норма оценивается через $L^p$-норму самой функции $f$. Однако мы приведем здесь несложное доказательство этого факта для полноты изложения (к тому же это доказательство дословно работает и для $\ell^2$-значных функций $f$). Лемма 1. Для $1\,{<}\,p\,{<}\,\infty$ и $f\,{\in}\, L^p$ выполняется соотношение $\|\widetilde{S} f\|_p \asymp \|f\|_p$. Доказательство. Во-первых, очевидно, выполняется поточечная оценка $Sf \lesssim \widetilde{S}f$, поэтому достаточно доказать неравенство $\|\widetilde{S} f\|_p \lesssim \|Sf\|_p$. Для этого для всякого $k$ зафиксируем $l_k$, $1\leqslant l_k\leqslant p_k-1$, и докажем оценку Из этого неравенства следует требуемое, так как $\widetilde{S}f$ представляется в виде корня из суммы квадратов нескольких (не более чем $M$) квадратичных функций, стоящих в левой части неравенства.
Рассмотрим набор функций $(\Delta_1 f, \Delta_2 f, \dots)=(f_1, f_2, \dots)$. Заметим, что верно следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
\Delta_{k, l_k}f=w_{l_k m_{k-1}}\mathbb{E}_{k-1}[w_{l_k m_{k-1}}^{-1} f_k].
\end{equation*}
\notag
$$
Это соотношение следует из того, что $w_n^{-1}w_m=w_{m \dot{-} n}$ и
$$
\begin{equation*}
[l_km_{k-1}, (l_k+1)m_{k-1}-1] \dot{-} l_km_{k-1}=[0, m_{k-1}-1].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| \biggl( \sum_k |\Delta_{k, l_k} f|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p &= \biggl\| \biggl( \sum_k \bigl|\mathbb{E}_{k-1}[w_{l_k m_{k-1}}^{-1} f_k]\bigr|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p \\ &\lesssim \biggl\| \biggl( \sum_k \bigl|w_{l_k m_{k-1}}^{-1}f_k\bigr|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p=\|Sf\|_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы воспользовались здесь тем, что для произвольных натуральных чисел $n_k$ выполняется неравенство Оно следует из того, что квадратичная функция (мартингальная) от $\ell^2$-значной функции $\{\mathbb{E}_{n_k} g_k\}$ не больше, чем квадратичная функция от $\{g_k\}$. В самом деле, имеет место неравенство Лемма доказана. Как уже было сказано, эта лемма верна и для скалярных, и для $\ell^2$-значных функций $f$. Отметим также, что здесь существенно используется ограниченность системы Виленкина – вне этого предположения лемма не верна, что также было показано в работе [9]. Нам потребуется еще одно несложное свойство операторов $\Delta_{k,l}$. Заметим, что если носитель функции $f$ лежит в множестве $e_k\in\mathcal{F}_{k-1}$, то и носитель функции $\Delta_k$ будет содержаться в $e_k$ (так как $\Delta_k f=\mathbb{E}_k f - \mathbb{E}_{k-1}f$, а операторы $\mathbb{E}_k$ и $\mathbb{E}_{k-1}$ усредняют функцию $f$ по отрезкам из $\mathcal F_k$ и $\mathcal F_{k-1}$ соответственно). Докажем такое же свойство и для $\Delta_{k,l}$. Лемма 2. Пусть $\operatorname{supp}f \subset e_k\in\mathcal{F}_{k-1}$. Тогда $\operatorname{supp} \Delta_{k,l} f \subset e_k$, $1\leqslant l\leqslant p_k-1$. Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что $e_k$ – один из отрезков длины $m_{k-1}$, порождающих $\sigma$-алгебру $\mathcal{F}_{k-1}$, т.е. отрезок вида $[jm_{k-1}^{-1},(j+1)m_{k-1}^{-1})$. Рассмотрим любой другой такой отрезок $e$ и докажем, что $\Delta_{k,l} f = 0$ на $e$. Как было сказано выше, функция равна нулю на $e$. Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что функции $\Delta_{k,l} f$, $1\leqslant l\leqslant p_k-1$, попарно ортогональны в пространстве $L^2(e)$.
Для этого достаточно проверить ортогональность в $L^2(e)$ функций $w_{n_1}$ и $w_{n_2}$, если $n_1\in[l_1 m_{k-1}, (l_1+1)m_{k-1}-1]$, а $n_2\in[l_2 m_{k-1}, (l_2+1)m_{k-1}-1]$. Такие функции $w_{n_1}$ и $w_{n_2}$ имеют следующий вид: где $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ и $\beta_1, \dots, \beta_{k-1}$ – какие-то целые неотрицательные числа. По построению функции $r_1, \dots, r_{k-1}$ постоянны на $e_k\in\mathcal{F}_{k-1}$, а ортогональность $r_k^{l_1}$ и $r_k^{l_2}$ на $e$ следует из того, что Лемма доказана.Нам потребуется аналог теоремы Ганди для систем Виленкина. Благодаря лемме 2 мы можем переформулировать теорему Ганди в удобном виде. Доказательство теоремы Ганди для векторнозначных мартингалов приведено в статье [3]. Предложение 1. Пусть $T$ – линейный оператор, переводящий $\ell^2$-значные функции, заданные на отрезке $[0,1]$, в скалярные. Пусть также область определения $T$ содержит все “полиномы Виленкина”, т.е. такие функции $f$, что $\mathbb{E}_n f = f$ для всех достаточно больших $n$. Пусть также выполняются следующие условия. 1. $\|Tf\|_2\lesssim \|f\|_2$. 2. Если функция $f$ такова, что $\Delta_0 f=0$ и $\operatorname{supp}\Delta_k f\subset e_{k}$, где $e_k\in \mathcal{F}_{k-1}$, то $\{Tf\neq 0\} \subset \bigcup_{k\geqslant 1} e_k$. Тогда оператор $T$ имеет слабый тип $(1,1)$ и, следовательно, действует из $L^p(\ell^2)$ в $L^p$ при $1<p\leqslant 2$. Из леммы 2 следует, что во втором условии этой теоремы операторы $\Delta_k$ можно заменить на $\Delta_{k,l}$. Лемма 3. В предыдущем предложении условие 2 можно заменить на следующее. $2'$. Если функция $f$ такова, что $\Delta_0 f=0$ и $\operatorname{supp} \Delta_{k,l} f \subset e_k \in \mathcal{F}_{k-1}$ для всех $1\leqslant l<p_k-1$, то $\{Tf\neq 0\} \subset \bigcup_{k\geqslant 1} e_k$. В самом деле, из леммы 2 следует, что если $\Delta_k f \subset e_k$, то и $\Delta_{k,l} f\subset e_k$. Применив эту лемму, можно получить ограниченность в $L^p$ операторов специального вида, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим интервал $[lm_{k-1}, (l+1)m_{k-1}-1]$ через $\delta_{k,l}$. Следствие. Пусть $\mathcal{A}\subset\mathbb N_0^2$, $h=\{h_{j,k}\}_{(j,k)\in \mathbb N_0^2}\in L^p(\ell^2)$. Для всякого элемента $(j,k)\in\mathcal{A}$ зафиксируем множество $\Lambda_{\mathcal{A}}\subset [1, p_k-1]$. Кроме того, пусть $\{a_{j,k}\}_{(j,k)\in\mathcal{A}}$ – такой набор целых неотрицательных чисел, что $\{a_{j,k}\dotplus \delta_{k,l}\}_{\substack{(j,k)\in\mathcal{A} \\ l\in\Lambda_{\mathcal{A}}}}$ – набор непересекающихся подмножеств $\mathbb N_0$. Зададим оператор $G$ формулой Тогда $\|Gh\|_p \lesssim \|h\|_{L^p(\ell^2)}$ при $1<p\leqslant 2$. Доказательство. Так как множества $a_{j,k}\dotplus \delta_{k,l}$ не пересекаются, функции $w_{a_{j,k}} \Delta_{k,l}(h_{j,k})$ попарно ортогональны. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|Gh\|_2^2 = \sum_{\substack{(j,k)\in\mathcal{A} \\ l\in\Lambda_{\mathcal{A}}}} \|w_{a_{j,k}} \Delta_{k,l}h_{j,k}\|_2^2 = \sum_{\substack{(j,k)\in\mathcal{A} \\ l\in\Lambda_{\mathcal{A}}}} \| \Delta_{k,l}h_{j,k}\|_2^2 \leqslant \|h\|_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, очевидно, для $G$ выполняется условие $2'$ из леммы 3, а значит, $G$ – оператор слабого типа $(1,1)$ и действует из $L^p(\ell^2)$ в $L^p$ при $1<p\leqslant 2$. Следствие доказано. Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы 1. § 3. Доказательство теоремы 1Нам даны непересекающиеся интервалы $I_s=[a_s, b_s)\subset \mathbb N_0$. Доказательство теоремы 1 будет состоять из двух частей: разбиение каждого из интервалов на более мелкие (близкое к проделанному в работе [5]) и применение этого разбиения к оценке $L^p$-нормы функции $\displaystyle\sum_s f_s$. 3.1. Конструкция разбиения интерваловОпустим здесь индекс $s$ и опишем разбиение интервала $I=[a,b)$. Пусть $b$ имеет следующую $(m)$-ичную запись: Разобьем сначала интервал $[0,b)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[0,b)=\bigcup_{j=1}^{k+1} J_j, \quad \text{где } \ J_j=[\beta_{k+1}m_k +\dots+\beta_{j+1}m_j, \beta_{k+1}m_k +\dots+\beta_j m_{j-1}-1].
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $J_{k+1}$ – это интервал $[0, \beta_{k+1}m_{k}-1]$. Если $\beta_j=0$ при некотором $j$, то интервал $J_j$ мы считаем пустым. Отметим, что $J_j$ состоит из всех чисел, имеющих следующее $(m)$-ичное представление:
$$
\begin{equation}
J_j \sim \begin{pmatrix} m_k& \dots & m_j & m_{j-1}& m_{j-2}& \dots & m_0 \\ \beta_{k+1} & \dots & \beta_{j+1} & [0, \beta_j-1]& * & \dots & * \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Эта запись означает, что числа из интервала $J_j$ в $(m)$-ичной системе счисления представляются в виде $\beta_{k+1}m_k + \dots +\beta_{j+1}m_j + \gamma_j m_{j-1}+ \varepsilon_{j-1}m_{j-2}+\dots + \varepsilon_1$, где $\gamma_j\in [0, \beta_j-1]$, а $\varepsilon_i$ – любое число в промежутке $[0, p_i-1]$, $1\leqslant i\leqslant j-1$. Мы будем пользоваться подобной записью в дальнейшем без дополнительных пояснений. Число $a$ попадает в один из интервалов $J_j$ – пусть $a\in J_t$, $1\leqslant t\leqslant k+1$. В таком случае $a$ в $(m)$-ичной системе счисления записывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
a=\beta_{k+1}m_k+\dots+\beta_{t+1}m_t + \alpha_t m_{t-1} +\alpha_{t-1}m_{t-2}+\dots+\alpha_1,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\alpha_t < \beta_t$. Для удобства положим $\alpha_{k+1}=\beta_{k+1}, \dots, \alpha_{t+1}=\beta_{t+1}$. Разобьем теперь отрезок $[a, \beta_{k+1}m_k + \dots+\beta_{t+1}m_t+\beta_t m_{t-1}-1]=[a, +\infty)\cap J_t$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[a, +\infty)\cap J_t=\{a\}\cup\bigcup_{j=1}^t \widetilde{J}_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где при $1\leqslant j\leqslant t-1$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{J}_j = [\alpha_{k+1}m_k+\dots+\alpha_{j+1}m_j + (\alpha_j+1)m_{j-1}, \alpha_{k+1}m_k+\dots+\alpha_{j+1}m_j+p_jm_{j-1}-1],
\end{equation*}
\notag
$$
а отрезок $\widetilde{J}_t$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{J}_t=[\alpha_{k+1}m_k+\dots+\alpha_{t+1}m_t + (\alpha_t+1)m_{t-1}, \alpha_{k+1}m_k+\dots+\alpha_{t+1}m_t+\beta_tm_{t-1}-1].
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\alpha_j = p_j-1$, $1\leqslant j\leqslant t-1$, то отрезок $\widetilde{J}_j$ мы считаем пустым. Аналогично, если $\alpha_t = \beta_t-1$, то $\widetilde{J}_t=\varnothing$. Опять же, отметим, что отрезок $\widetilde{J}_j$ при $1\leqslant j\leqslant t-1$ состоит из чисел, имеющих следующее $(m)$-ичное представление:
$$
\begin{equation}
\widetilde{J}_j\sim \begin{pmatrix} m_k& \dots & m_j & m_{j-1}& m_{j-2}& \dots & m_0\\ \alpha_{k+1} & \dots & \alpha_{j+1} & [\alpha_j+1, p_j-1]& * & \dots & * \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Отрезок $\widetilde{J}_t$ в таком виде можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{J}_t \sim \begin{pmatrix} m_k& \dots & m_t & m_{t-1}& m_{t-2}& \dots & m_0\\ \alpha_{k+1} & \dots & \alpha_{t+1} & [\alpha_t+1, \beta_t-1]& * & \dots & * \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Таким образом, мы построили разбиение отрезка $I=[a,b)$:
$$
\begin{equation*}
I=\{a\}\cup\bigcup_{j=1}^t \widetilde{J}_j\cup \bigcup_{j=1}^{t-1}J_j.
\end{equation*}
\notag
$$
3.2. Завершение доказательстваБудем теперь писать индекс $s$ у интервалов, получающихся при разбиении интервала $I_s$:
$$
\begin{equation*}
I_s=\{a_s\}\cup\bigcup_{j=1}^{t_s} \widetilde{J}_{j,s}\cup \bigcup_{j=1}^{t_s-1}J_{j,s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим также $\{a_s\}=:\widetilde{J}_{0,s}$. Каждую функцию $f_s$ также разобьем в соответствующую сумму
$$
\begin{equation*}
f_s=\sum_{j=0}^{t_s} \widetilde{f}_{j,s}+\sum_{j=1}^{t_s-1}f_{j,s},
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $\widetilde{f}_{j,s}$ и $f_{j,s}$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}_{j,s}=\sum_{n\in \widetilde{J}_{j,s}} (f_s, w_n) w_n, \quad 0\leqslant j\leqslant t_s, \qquad f_{j,s}=\sum_{n\in J_{j,s}} (f_s, w_n)w_n, \quad 1\leqslant j\leqslant t_s-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующие функции:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}_{j,s}=w_{a_s}^{-1}\widetilde{f}_{j,s}, \quad 0\leqslant j\leqslant t_s, \qquad g_{j,s}=w_{b_s}^{-1}f_{j,s}, \quad 1\leqslant j\leqslant t_s-1.
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае функции $f_s$ можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
f_s=w_{a_s}\sum_{j=0}^{t_s}\widetilde{g}_{j,s}+w_{b_s}\sum_{j=1}^{t_s-1} g_{j,s}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Отметим, что ненулевые коэффициенты Виленкина у функций $\widetilde{g}_{j,s}$ и $g_{j,s}$ содержатся в отрезках $\widetilde{J}_{j,s} \dot{-} a_s$ и $J_{j,s} \dot{-} b_s$, соответственно. Используя формулы (3.1)–(3.3), можно заключить, что эти множества имеют следующий вид (в формулах, приведенных ниже, предполагается, что $1\leqslant j\leqslant t_s-1$):
$$
\begin{equation}
\widetilde{J}_{j,s} \dot{-} a_s \sim \begin{pmatrix} m_{k_s}& \dots & m_j & m_{j-1}& m_{j-2}& \dots & m_0\\ 0 & \dots & 0 & [1, p_j-1-\alpha_{j,s}]& * & \dots & * \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{J}_{t_s,s} \dot{-} a_s \sim \begin{pmatrix} m_{k_s}& \dots & m_{t_s} & m_{t_s-1}& m_{t_s-2}& \dots & m_0\\ 0 & \dots & 0 & [1, \beta_{t_s,s}-1-\alpha_{t_s,s}]& * & \dots & * \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
J_{j,s} \dot{-} b_s \sim \begin{pmatrix} m_{k_s}& \dots & m_j & m_{j-1}& m_{j-2}& \dots & m_0\\ 0 & \dots & 0 & [p_j-\beta_{j,s}, p_j-1]& * & \dots & * \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Таким образом, формула (3.4) переписывается в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_s &= w_{a_s}\biggl( \Delta_0 \widetilde{g}_{0,s}+\sum_{j=1}^{t_s-1}\sum_{l=1}^{p_j-1-\alpha_{j,s}}\Delta_{j,l}\widetilde{g}_{j,s} +\sum_{l=1}^{\beta_{t_s,s}-1-\alpha_{t_s,s}} \Delta_{t_s, l}\widetilde{g}_{t_s,s} \biggr) \\ &\qquad +w_{b_s}\sum_{j=1}^{t_s-1} \sum_{l=p_j-\beta_{j,s}}^{p_j-1} \Delta_{j, l}g_{j,s} . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись следствием из леммы 3, мы можем заключить, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\| \sum_s f_s \biggr\|_p\lesssim \biggl\| \biggl( \sum_s \sum_{j=0}^{t_s} |\widetilde{g}_{j,s}|^2 + \sum_s \sum_{j=1}^{t_s-1} |g_{j,s}|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Это выражение можно оценить величиной
$$
\begin{equation*}
\biggl\| \biggl( \sum_s \sum_{j=0}^{t_s} |\widetilde{g}_{j,s}|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p+ \biggl\|\biggl( \sum_s \sum_{j=1}^{t_s-1} |g_{j,s}|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p=: A+B.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим отдельно величины $A$ и $B$. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}_s=w_{a_s}^{-1} f_s=\sum_{j=0}^{t_s}\widetilde{g}_{j,s}+w_{a_s}^{-1} \sum_{j=1}^{t_s-1}f_{j,s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3.5), (3.6), (3.1) соответственно можно заключить, что выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{g}_{j,s}=\Delta_j \widetilde{g}_s, \qquad 0\leqslant j\leqslant t_s-1, \\ \widetilde{g}_{t_s,s}=\sum_{l=1}^{\beta_{t_s,s}-1-\alpha_{t_s,s}} \Delta_{t_s, l} \widetilde{g}_s, \\ w_{a_s}^{-1} \sum_{j=1}^{t_s-1}f_{j,s}=\Delta_{t_s, \beta_{t_s,s}-\alpha_{t_s,s}}\widetilde{g_s}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
A\lesssim \biggl\| \biggl( |\Delta_0 \widetilde{g}_s|^2 +\sum_{j=1}^\infty \sum_{l=1}^{p_j-1} |\Delta_{j,l} \widetilde{g}_s|^2 \biggr)^{1/2} \biggr\|_p=\|\widetilde{S}(\{\widetilde{g}_s\}_s)\|_p,
\end{equation*}
\notag
$$
где под $\widetilde{S}(\{\widetilde{g}_s\}_s)$ мы понимаем оператор $\widetilde{S}$, примененный к $\ell^2$-значной функции $\{\widetilde{g}_s\}_s$. Остается применить лемму 1, заметить, что $\|\{g_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}=\|\{f_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}$ и завершить таким образом оценку выражения $A$. Выражение $B$ оценивается аналогично. Положим
$$
\begin{equation*}
g_s=w_{b_s}^{-1}f_s=w_{b_s}^{-1}\sum_{j=0}^{t_s} \widetilde{f}_{j,s}+\sum_{j=1}^{t_s-1}g_{j,s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3.2), (3.3) и (3.7) можно сделать вывод, что выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w_{b_s}^{-1}\sum_{j=0}^{t_s}\widetilde{f}_{j,s}=\Delta_{t_s}g_s, \\ g_{j,s}=\Delta_{j} g_s, \qquad 1\leqslant j\leqslant t_s-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
B\lesssim \|S(\{g_s\}_s)\|_p\lesssim \|\{g_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}= \|\{f_s\}\|_{L^p(\ell^2)},
\end{equation*}
\notag
$$
и теорема 1 доказана.
§ 4. Случай $p \leqslant 1$В этом параграфе мы покажем, что на самом деле из приведенного выше доказательства теоремы 1 можно вывести также некоторое неравенство для $p\leqslant 1$. Чтобы это сделать, нам понадобится понятие мартингальных классов Харди $\mathcal{H}^p$. Вся необходимая информация о них содержится в книге [10]. Отметим, что все необходимые нам утверждения верны и для скалярных, и для $\ell^2$-значных классов Харди. Функция $f$ принадлежит классу Харди $\mathcal{H}^p$, если $Sf\in L^p$, $0<p\leqslant 2$. В случае $p>1$, как известно, $\mathcal{H}^p=L^p$, а для $p\leqslant 1$ классы Харди не совпадают с $L^p$. Полагают $\|f\|_{\mathcal{H}^p}=\|Sf\|_{p}$ (отметим, что для $p<1$ выражение $\|\cdot\|_p$ является только квазинормой, а не нормой). Сформулируем следующую теорему, которая доказывается аналогично теореме 1. Теорема 2. В условиях теоремы 1 для интервалов $I_s=[a_s, b_s)$ при $0<p\leqslant 2$ выполняется неравенство Доказательство. Во-первых, отметим, что для $p>1$ эта теорема равносильна теореме 1 – достаточно заменить стоящие в правой части неравенства нормы в классе Харди на нормы в $L^p(\ell^2)$ и заметить, что $\|\{w_{a_s}^{-1}f_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}=\|\{w_{b_s}^{-1}f_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}=\|\{f_s\}_s\|_{L^p(\ell^2)}$.
Покажем теперь, как изменить доказательство теоремы 1, чтобы получить данное неравенство для $0<p\leqslant 1$. Во-первых, отметим, что оператор $T$, для которого выполняются условия леммы 3, действует из $\mathcal{H}^p(\ell^2)$ в $L^p$. Это очевидно следует из атомного разложения для классов Харди (опять же, см. книгу [10], в которой содержится соответствующая теория для скалярных классов $\mathcal{H}^p$; для пространств $\mathcal{H}^p(\ell^2)$ все соответствующие утверждения, такие как атомное разложение, остаются справедливыми). Это наблюдение позволяет заключить, что неравенство (3.8) справедливо и в случае $0<p\leqslant 1$ (ввиду того, что $\Delta_j \widetilde{g}_{j,s}=\widetilde{g}_{j,s}$ и $\Delta_j g_{j,s}=g_{j,s}$, см. формулы (3.5)–(3.7)). Далее, выражения $A$ и $B$ мы оценили величинами $\|\widetilde{S}(\{\widetilde{g}_s\}_s)\|_p$ и $\|S(\{g_s\}_s)\|_p$. Для завершения доказательства теоремы 2 остается заметить, что $\|\widetilde{S}f\|_p\asymp \|Sf\|_p$ при $0<p\leqslant 1$ (т.е. классы Харди для систем Виленкина можно определять также и при помощи квадратичной функции $\widetilde{S}$). Это тоже известно – учитывая, что верно неравенство $Sf\lesssim\widetilde{S}f$, это переформулировка того факта, что оператор $\widetilde{S}$ действует из $\mathcal{H}^p$ в $L^p$. Это так, поскольку $\widetilde{S}$ – сублинейный оператор, удовлетворяющий условиям леммы 3. Это проверяется, например, в работе [7] (и, кроме того, там доказывается, что $\|\widetilde{S}f\|_p\asymp \|Sf\|_p$ при $p=1$). Теорема доказана. § 5. Вопросы, которые остаются открытымиРезультаты настоящей работы доказываются в предположении ограниченности системы Виленкина. Это естественное предположение во многих вопросах анализа на группах Виленкина – см., например, работы [7] и [9]. Как уже было сказано ранее, ограниченность системы Виленкина необходима для ограниченности оператора $\widetilde{S}$ в $L^p$. Кроме того, из этого предположения вытекает регулярность рассматриваемой нами фильтрации. Тем не менее в некоторых вопросах от предположения ограниченности удается отказаться (см., например, работу [11]). Мы не знаем, верны ли доказанные нами теоремы в случае неограниченных систем Виленкина, однако приведенный в настоящей работе “комбинаторный” подход существенно использует ограниченность. Кроме того, мы не знаем, верно ли само неравенство из теоремы 1 при $0<p\leqslant 1$. Однако тот факт, что неравенство (1.1) справедливо и для $p\leqslant 1$, позволяет надеяться, что соответствующая теорема верна и для систем Виленкина. Тем не менее этот вопрос остается открытым даже в частном случае – для функций Уолша. Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. В. Кислякову за постановку задачи, а также Н. Н. Осипову и В. А. Боровицкому за полезные обсуждения и замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tse21} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|