| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Максимальное дерево случайного леса в конфигурационном графе Ю. Л. Павлов Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра Российской академии наук, г. Петрозаводск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9481 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей работе рассматривается один класс лесов Гальтона–Ватсона, состоящих из $N$ корневых деревьев и содержащих $n$ некорневых вершин в каждом лесе. Для этих лесов получены предельные распределения максимального объема дерева при $N,n\to \infty$. Постановка задачи возникла в связи с последними исследованиями структуры конфигурационных графов (см. [1]). Такие графы, впервые введенные в статье [2], широко используются для моделирования современных сложных сетей коммуникаций таких, как Интернет, социальные, телефонные, транспортные сети. По этой тематике опубликованы сотни статей и ряд монографий. Наиболее полный обзор результатов исследований можно найти в книгах [3], [4]. Многочисленные наблюдения за реальными сетями показали, что большинство сетей обладает фундаментальным свойством, состоящим в том, что число узлов, степень которых не меньше $k$, при больших $k$ пропорционально $k^{-\tau}$, где $\tau$ – положительный параметр. Оказалось также, что если общее число узлов в сети достаточно велико, то в моделях степени вершин можно считать независимыми одинаково распределенными случайными величинами. На основании анализа эмпирических данных было предложено в качестве таких моделей использовать случайные графы, степени вершин которых независимы и имеют общее распределение такое, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf P\{\eta =k\}=\frac{h(k)}{k^{\tau}}, \qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta$ – случайная величина, равная степени любой вершины графа, а $h(x)$ – медленно меняющаяся функция. Для моделирования сетей в последние годы часто применяются конфигурационные графы со случайными степенями вершин. В таких графах степень каждой вершины равна числу выходящих из нее полуребер, т.е. ребер, инцидентных этой вершине, но для которых смежные вершины еще не определены. Все полуребра различимы (занумерованы в произвольном порядке). Граф строится путем равновероятного попарного соединения полуребер друг с другом для образования ребер. Поскольку сумма степеней вершин любого графа должна быть четной, в случае нечетной суммы в граф вводится вспомогательная вершина единичной степени. В [3; ч. III, п. 7.6] и в [5] отмечается, что эта вспомогательная вершина вместе с инцидентным ей ребром не влияет на асимптотические свойства графа при стремлении числа вершин к бесконечности. Понятно, что такая конструкция графа допускает появление петель и кратных ребер. В процессе исследования структуры и предельного поведения конфигурационных графов успешно применяются методы теории ветвящихся процессов (см. [4; ч. II, гл. 4, ч. III, гл. 7]). Каждой вершине графа можно поставить в соответствие начинающийся с одной частицы ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона, в котором распределение числа прямых потомков начальной частицы совпадает с распределением $\eta$. Предположим, что случайная величина $\eta$ имеет конечное математическое ожидание $\mathbf E \eta$. Обозначим $\xi$ случайную величину, равную числу прямых потомков всех остальных частиц ветвящегося процесса, и пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbf P\{\xi =k\}=\frac{(k+1)\mathbf P\{\eta =k+1\}}{\mathbf E\eta}, \qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Связь между такими ветвящимися процессами и конфигурационными графами подробно изучается в [4; ч. II, гл. 4, ч. III, гл. 7]. С помощью этой связи при стремящемся к бесконечности числе вершин графа найдены условия возникновения гигантской компоненты связности, получены оценки объемов гигантской и второй по величине компонент связности, а также оценка диаметра графа. Установленное соответствие процесса конфигурационному графу позволило выявить локальную древовидность структуры графа. Она состоит в том, что содержащий произвольно выбранную вершину связный подграф даже при достаточно большом числе вершин этого подграфа асимптотически достоверно сближается с ограниченной общим числом частиц частью траектории начинающегося с одной частицы ветвящегося процесса. Эта часть траектории представляет собой дерево, корнем которого служит выбранная вершина. Предположим, что начальная частица породила $N$ прямых потомков. Тогда можно считать, что возникает начинающийся с $N$ частиц ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона, в котором случайные величины, равные числу прямых потомков каждой частицы, независимы и одинаково распределены. Множество траекторий такого процесса вместе с их вероятностями образует случайный лес Гальтона–Ватсона. Опишем класс случайных лесов, который будет рассматриваться в настоящей работе. Пусть однородный ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона $G$ начинается с $N$ частиц и распределение случайной величины $\xi$, равной числу прямых потомков каждой частицы, имеет вид
$$
\begin{equation}
p_k=\mathbf P\{\xi =k\}=\frac{h(k+1)}{(k+1)^{\tau +1}}, \qquad k=0,1,2, \dots, \quad \tau \in (1, 2),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где медленно меняющаяся функция $h(x)$ при $x\geqslant 1$ принимает только положительные значения. В распределении (1.1) выбор возможных значений параметра $\tau$ связан с тем, что, как показали наблюдения за разнообразными сетями, именно такие значения параметра характерны для многих сетей (см., например, [3; гл. 1]). Ниже будет использоваться хорошо известное свойство медленно меняющейся функции, состоящее в том, что при любом $\delta >0$ и достаточно больших $x$ Из (1.1), (1.2) и условия $\tau >1$ следует, что если $\delta$ в (1.2) мало, то случайная величина $\xi$ имеет конечное математическое ожидание. Будем далее считать, что $\mathbf E \xi=1$, т.е. процесс $G$ является критическим.Очевидно, что $G$ распадается на $N$ начинающихся с одной частицы независимых ветвящихся процессов $G_1, \dots, G_N$. Рассмотрим подмножество траекторий процесса $G$, в которых кроме $N$ начальных существовало еще $n$ остальных частиц за все время эволюции процесса. Распределение вероятностей на таком подмножестве траекторий естественным образом индуцируется ветвящимся процессом. В результате получаем случайный лес $\mathcal F_{N,n}$, состоящий из $N$ корневых деревьев, корни которых имеют номера $1, \dots, N$ и соответствуют начальным частицам процесса, а общее число некорневых вершин равно $n$. Таким образом, любая реализация $F_{N,n}\in \mathcal F_{N,n}$ содержит $N+n$ вершин. Различные примеры таких случайных лесов Гальтона–Ватсона, их структура и предельное поведение важнейших числовых характеристик при $N, n\to \infty$ были изучены в монографии [6]. Однако эти результаты были получены при условии, что распределение числа прямых потомков каждой частицы генерирующего лес ветвящегося процесса имеет конечный третий момент. Позднее, в [7], было показано, что результаты из [6] остаются справедливыми и при существовании только конечной дисперсии. Из (1.1), (1.2) видно, что при $\tau \in (1, 2)$ распределение (1.1) не имеет дисперсии, следовательно, результаты из [6], [7] к случайному лесу $\mathcal F_{N,n}$ неприменимы. Обозначим $\nu_1(\mathcal F), \dots, \nu_N(\mathcal F)$ случайные величины, равные объемам деревьев леса из $\mathcal F_{N,n}$, имеющих корни с номерами $1, \dots, N$ соответственно. Под объемом дерева понимается число его вершин. Обозначим $\nu_{\max}$ максимальный объем дерева в таком случайном лесе:
$$
\begin{equation}
\nu_{\max}=\max_{1\leqslant i \leqslant N} \nu_i(\mathcal F).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Ниже будут доказаны предельные теоремы для $\nu_{\max}$ в трех зонах стремления $N$ и $n$ к бесконечности: $n/N\to 0$, $0<C_1\leqslant n/N \leqslant C_2<\infty$, $n/N\to \infty$; здесь и далее символы $C_1, C_2, \dots$ обозначают некоторые положительные постоянные. Полученные в статье результаты не охватывают все возможные варианты поведения $N, n$. В некоторых случаях найти предельные распределения $\nu_{\max}$ не удалось, и автор надеется сделать это в следующих работах. Статья организована следующим образом. В § 2 приводятся формулировки основных результатов (теоремы 1–3). В § 3 обсуждается связь между случайными лесами и обобщенной схемой размещения частиц по ячейкам. На использовании этой связи в значительной степени базируется идея доказательства теорем. Результаты из § 4 позволяют оценить асимптотическое поведение бинома, возникающего в обобщенной схеме размещения в рамках рассматриваемой модели (см. лемму 1). В § 5 и § 6 доказываются леммы о локальной сходимости к предельным законам распределений серий сумм вспомогательных независимых случайных величин. Результаты из §§ 4–6 применяются в § 7 для доказательства теорем 1–3. § 2. Основные результатыВведем необходимые обозначения. Пусть случайная величина $\xi(\lambda)$ имеет распределение
$$
\begin{equation}
p_k(\lambda)=\mathbf P\{\xi(\lambda)=k\}=\frac{\lambda^kp_k}{F(\lambda)}, \qquad k=0,1,2, \dots,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $0<\lambda <1$, вероятности $p_k$ определены в (1.1) и Наряду с процессом $G$ рассмотрим также ветвящийся процесс $G(\lambda)$, отличающийся от $G$ только тем, что случайная величина, равная числу прямых потомков каждой частицы, имеет распределение (2.1). Пусть $m(\lambda)=\mathbf E\xi(\lambda)$. Нетрудно видеть, что Далее в качестве значения параметра $\lambda$ распределения (2.1) будем выбирать решение уравнения Используя (2.2) и (2.3), легко установить, что при $0<\lambda <1$ уравнение (2.4) имеет единственное решение.Обозначим
$$
\begin{equation}
\alpha =\frac{\lambda}{F(\lambda)}, \qquad \beta =-\ln \alpha .
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Введем стремящуюся к бесконечности последовательность $B_r$, $r=1,2,\dots$, которая при $r\to \infty$ удовлетворяет условию Пусть $g(x)$ означает плотность устойчивого закона с показателем $\tau$ и характеристической функцией
$$
\begin{equation}
f(t)=\exp \biggl\{-c|t|^\tau\biggl(1-i\frac{t}{|t|} \operatorname{tg} \frac{\pi \tau}{2}\biggr)\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
c=-\frac{\Gamma(2-\tau)}{\tau(\tau-1)}\cos \frac{\pi \tau}{2},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$\Gamma(x)$ – гамма-функция. Заметим, что $0<g(0)<\infty$ при $\tau\in (1, 2)$ в силу одновершинности устойчивых распределений (см. [8; гл. 2, п. 2.7]). Основными результатами статьи являются следующие теоремы. Теорема 1. Пусть $N,n\to \infty$, так что $n/N \to 0$, $\gamma$ – некоторая неотрицательная постоянная. Пусть натуральные числа $r=r(N,n)$ выбраны так, что выполнено одно из следующих условий: Тогда Теорема 2. Пусть $N,n\to \infty$, так что $0<C_1 \leqslant n/N \leqslant C_2<\infty$, а $r=r(N,n)$ пробегают натуральные значения такие, что где $\gamma$ – некоторая положительная постоянная. Тогда для $k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ Теорема 3. Пусть $N,n\to \infty$, так что $n/N\to \infty$ и существуют такие положительные постоянные $\Delta$, $\omega$, $\upsilon$, где $\upsilon <1/2$, что Пусть $r=r(N,n)$ выбраны так, что где $z$ – фиксированное положительное число. Тогда § 3. Связь с обобщенной схемой размещенияПроцесс $G(\lambda)$, как и $G$, распадается на $N$ независимых начинающихся с одной частицы процессов $G_1(\lambda), \dots, G_N(\lambda)$. Обозначим $\nu^{(1)}(\lambda), \dots, \nu^{(N)}(\lambda)$ случайные величины, равные числу частиц, существовавших соответственно в процессах $G_1(\lambda), \dots, G_N(\lambda)$ до их вырождения. Пусть $\nu(\lambda)\,{=}\,\nu^{(1)}(\lambda)\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,\nu^{(N)}(\lambda)$. В [6; гл. 2, п. 1] (см. также [9]) показано, что для натуральных $k_1, \dots, k_N$ таких, что $k_1+ \dots +k_N=N+n$, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbf P\{\nu_1(\mathcal F)=k_1, \dots, \nu_N(\mathcal F)=k_N\} \\ &\qquad =\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k_1, \dots, \nu^{(N)}(\lambda)=k_N\mid \nu(\lambda)=N+n\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Равенство (3.1) означает, что для двух наборов случайных величин $\nu_1(\mathcal F), \dots, \nu_N(\mathcal F)$ и $\nu^{(1)}(\lambda), \dots, \nu^{(N)}(\lambda)$ выполнены условия обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам, предложенной и подробно исследованной В. Ф. Колчиным (см. [10; гл. I, § 2]). Введем вспомогательные независимые случайные величины $\nu_r^{(1)}(\lambda),\dots, \nu_r^{(N)}(\lambda)$ такие, что для целых $r>1$
$$
\begin{equation}
\mathbf P\{\nu_r^{(i)}(\lambda)=k\}=\mathbf P\{\nu^{(i)}(\lambda)=k\mid \nu^{(i)}(\lambda)\leqslant r\},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $i=1, \dots, N$, $k=1,2, \dots, r$. Обозначим также
$$
\begin{equation}
P_r=\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)>r\}=\sum_{i=0}^\infty \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и пусть $\nu_r(\lambda)=\nu_r^{(1)}(\lambda)+ \dots +\nu_r^{(N)}(\lambda)$. В [10; гл. I, § 8, лемма 2] показано, что в условиях обобщенной схемы размещения из (1.3) и (3.1) следует такое утверждение. Идея доказательства теорем 1–3 основана на использовании леммы 1. Равенство (3.4) показывает, что для получения утверждений теорем достаточно изучить предельное поведение бинома $(1-P_r)^N$ и сумм $\nu_r(\lambda), \nu(\lambda)$. Для этого полезно знать характер изменения решения уравнения (2.4) в зависимости от $N$ и $n$. Дифференцируя (2.3) и проводя элементарные вычисления, нетрудно получить следующий результат, доказанный в [6; гл. 2, п. 2, лемма 1]. § 4. Асимптотика $NP_r$Для оценки предельного поведения величины $(1-P_r)^N$ (см. (3.4)) рассмотрим произведение $NP_r$. Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда Доказательство. Пусть случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_N$ независимы и одинаково распределены по закону (1.1). Обозначим $\zeta_N=\xi_1+\dots+\xi_N$. Аналогично, пусть $\xi_1(\lambda), \dots, \xi_N(\lambda)$ – независимые копии случайной величины $\xi(\lambda)$ с распределением (2.1) и $\zeta_N(\lambda)=\xi_1(\lambda)+\dots+\xi_N(\lambda)$. В [10; гл. II, § 1, лемма 3] утверждается, что при $i=0,1,2,\dots$
$$
\begin{equation}
\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\}=\frac{1}{r+i+1}\mathbf P\{\zeta_{r+i+1}(\lambda)=r+i\}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Отсюда и из (2.1), (2.5) вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\}=\frac{\alpha^{r+i}}{(r+i+1)F(\lambda)}\mathbf P\{\zeta_{r+i+1}=r+i\}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Применив к (3.3) соотношения (2.2), (2.5), (4.1), (4.2) и утверждение 1 леммы 2, приходим к выводу, что
Пусть $r$ фиксировано. Из (1.1), (2.2), (2.10) и (4.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, NP_{r-1}\sim \frac{N\alpha^{r-1}}{rp_0}R(r-1), \qquad NP_r\sim \frac{N\alpha^r}{(r+1)p_0}R(r), \\ NP_{r+1}\sim \frac{N\alpha^{r+1}}{(r+2)p_0}R(r+1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и из (2.5), (2.9) следует утверждение леммы 3 для этого случая.
Пусть $r\to \infty$. Обозначим $F_\xi(x)$ функцию распределения случайной величины $\xi$. Из (1.1) видим, что при $x<0$ а если $x>0$, то Из условия (1.1) и [11; гл. VIII, § 9, теорема 1, а] следует, что при $x\to \infty$ Соотношения (4.4) и (4.5) означают, что функция $F_\xi(x)$ удовлетворяет условиям теоремы 2.6.1 из [12; гл. II, § 6], следовательно, она принадлежит области притяжения устойчивого закона $H(x)$ с показателем $\tau$. Поскольку максимальный шаг распределения (1.1) равен единице, из теоремы 4.2.1 в [12; гл. IV, § 2] следует, что при $r\to \infty$ и любом фиксированном $k=0, \pm 1, \pm 2, \dots$ имеет место локальная сходимость
$$
\begin{equation*}
\sup_k|B_r\mathbf P\{\zeta_{r+k+1}=r+k\}-g(-B_r^{-1})|\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $B_r\to \infty$, отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf P\{\zeta_{r+k+1}=r+k\}\sim \frac{g(0)}{B_r},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
и из (2.2), (2.5), (3.3), (4.2), (4.3) заключаем, учитывая лемму 2, что при $k=0,\pm 1, \pm 2, \dots$ Из этого равенства, (2.5), (2.11), (3.3), условия $n/N\to 0$ и леммы 2 очевидным образом вытекают доказываемые утверждения.
Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для $k\,{=}\,0,\pm 1, \pm 2, \dots$ Доказательство. Пусть $k>0$. Из (3.3) следует, что
$$
\begin{equation}
NP_{r+k}=NP_r-N\sum_{i=0}^{k-1} \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В условиях теоремы 2 $r\to \infty$, поэтому из (4.2) и (4.6) находим, что для любого фиксированного $i$
$$
\begin{equation}
\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\}\sim \frac{\alpha^{r+i}}{(r+1)F(\lambda)}\mathbf P\{\zeta_{r+1}=r\}=\alpha^i\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+1\}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (2.3)–(2.5) и утверждения 2 леммы 2 получаем, что $\alpha\leqslant C_5<1$, поэтому из (4.8) следует
$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{k-1}\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+i+1\}\sim \frac{1-\alpha^k}{1-\alpha} \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+1\},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
при этом
$$
\begin{equation*}
P_r\sim \frac{1}{1-\alpha}\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.12), (4.2), (4.6), (4.7), (4.9) вытекает утверждение леммы 4 при $k> 0$. Доказательство для $k\leqslant 0$ проводится аналогично.
Лемма доказана. Осталось рассмотреть случай $n/N\to \infty$. Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда $NP_r\to z$. Доказательство. Из (2.2), (2.5), (3.3), (4.2), (4.6) и утверждения 3 леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag P_r &=\frac{1}{F(\lambda)}\sum_{i=0}^\infty \frac{\alpha^{r+i}}{r+i+1}\mathbf P\{\zeta_{r+i+1}=r+i\} \\ &=\frac{g(0)+o(1)}{F(\lambda)}\sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-(r+i)\beta}}{(r+i+1)B_{r+i+1}} \notag \\ \notag &=(g(0)+o(1))\sum_{k=r}^\infty \frac{1}{kB_k}e^{-k\beta}\sim g(0)\int_r^\infty \frac{1}{xB_{[x]}}e^{-x\beta}\,dx \\ &\sim g(0)\int_1^\infty \frac{1}{yB_{[yr]}}e^{-yr\beta}\,dy =\frac{g(0)}{B_r}\int_1^\infty \frac{B_r}{yB_{[ry]}}e^{-yr\beta}\,dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В силу условия (2.6) при $r\to \infty$ равномерно внутри любого конечного интервала $[1,K]$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_1^K \frac{B_r}{yB_{[yr]}}e^{-yr\beta}\,dy \sim \int_1^K \frac{1}{y^{1+1/\tau}}e^{-yr\beta}\,dy =(r\beta)^{1/\tau}\int_{r\beta}^{Kr\beta} \frac{1}{u^{1+1/\tau}}e^{-u}\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношение $r\beta \to \infty$ (оно следует из (2.6), (2.14), (2.15)) и асимптотические свойства неполной гамма-функции (см., например, [13; гл. 9, п. 9.5, равенство (4)]), отсюда получаем, что
$$
\begin{equation}
\int_1^K \frac{B_r}{yB_{[ry]}}e^{-yr\beta}\,dy \sim \frac{1}{r\beta}e^{-r\beta}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Легко видеть также, что
$$
\begin{equation}
\int_K^\infty \frac{B_r}{yB_{[ry]}}e^{-yr\beta}\,dy \leqslant \frac{C_6}{K}\int_K^\infty e^{-yr\beta}\,dy =\frac{C_6}{Kr\beta}e^{-Kr\beta}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Поскольку число $K$ можно выбрать сколь угодно большим, из (4.10)–(4.12) находим, что Отсюда и из условия (2.15) следует утверждение леммы.
Лемма доказана. § 5. Предельное поведение $\nu(\lambda)$В § 3 было введено обозначение $\nu(\lambda)$ для общего числа частиц, существовавших в процессе $G(\lambda)$ до его вырождения. Рассмотрим предельное поведение этой случайной величины в условиях теорем 1–3. Нетрудно видеть, что производящая функция распределения (2.1) имеет вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty p_k(\lambda)x^k=\frac{F(\lambda x)}{F(\lambda)}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Пусть $\varphi_\nu^{(1)}(t)$ обозначает характеристическую функцию случайной величины $\nu^{(1)}(\lambda)$. Из [10; гл. 2, § 4, лемма 1] и (5.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\varphi_\nu^{(1)}(t)=e^{it}\frac{F(\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t))}{F(\lambda)}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Обозначим $a(\lambda)=\mathbf E \nu^{(1)}(\lambda), \ b^2(\lambda)=\mathbf D \nu^{(1)}(\lambda)$. Дифференцируя (5.2) и используя простейшие свойства характеристических функций, нетрудно получить равенства
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\frac{1}{1-m(\lambda)}, \qquad b^2(\lambda)=\frac{\sigma^2(\lambda)}{(1-m(\lambda))^3},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $m(\lambda)$ определено в (2.4), а $\sigma^2(\lambda)=\mathbf D \xi(\lambda)$. Пусть $\psi_\nu(t)$ обозначает характеристическую функцию случайной величины $(\nu(\lambda)-Na(\lambda))/(b(\lambda)\sqrt{N})$. В следующей лемме показано, что распределение этой случайной величины слабо сходится к нормальному закону. Доказательство. Если выполнены условия теорем 1 или 2, то доказательство утверждения леммы 6 повторяет доказательство леммы 1 из [6; гл. 2, п. 3] (см. также лемму 3 в статье [7]), при этом учитываются лемма 2, (2.4) и (5.3).
Пусть выполнены условия теоремы 3. Нетрудно видеть, что при достаточно малых $t$ справедливо разложение
$$
\begin{equation*}
\ln \varphi_\nu^{(1)}(t)=ita(\lambda)-\frac{b^2(\lambda)t^2}{2}+\frac{t^3}{6}Q(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
|Q(t)|\leqslant 2\max_{|v|\leqslant |t|} |(\ln \varphi_\nu^{(1)}(v))_v^{'''}|.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Отсюда следует, что при достаточно больших $N,n$ и любом фиксированном $t$
$$
\begin{equation}
\ln \psi_\nu(t)=-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6b^3(\lambda)\sqrt{N}}\,Q\biggl (\frac{t}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr ).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Разумеется, лемма будет доказана, если последнее слагаемое в (5.5) стремится к нулю. Из (1.1), (2.1) находим, что при достаточно больших $k$
$$
\begin{equation*}
\mathbf E \xi^2(\lambda)>\sum_{i\geqslant k} \frac{i^2p_i\lambda^i}{F(\lambda)}\geqslant C_7\sum_{i\geqslant k} \frac{\lambda^ih(i+1)}{(i+1)^{\tau-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (1.2) получаем, что для любого $\delta >0$
$$
\begin{equation}
\mathbf E \xi^2(\lambda)>C_8\sum_{i\geqslant k}\frac{\lambda^i}{(i+1)^{\tau+\delta-1}}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Из [11; гл. III, § 5, теорема 5] следует, что при $\lambda\to 1$ и $0\leqslant \rho <\infty$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty k^{\rho-1}\lambda^k \sim \frac{\Gamma(\rho)}{(1-\lambda)^\rho}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Полагая $\rho=2-\tau -\delta$, отсюда с учетом (2.4), (5.3), (5.6) и леммы 2 выводим, что при достаточно малых $\delta$
$$
\begin{equation}
b^2(\lambda)\geqslant \frac{C_9}{(1-\lambda)^{2-\tau-\delta}}\biggl (\frac{n}{N}\biggr )^3 \geqslant C_9\biggl(\frac{n}{N}\biggr)^3.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Дифференцируя (5.2), легко получить, что
$$
\begin{equation*}
(\varphi_\nu^{(1)}(t))_t'=\frac{ie^{it}F^{-1}(\lambda)F(\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t))}{1-e^{it}\lambda F^{-1}(\lambda) F_\varphi'(\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t))},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом, очевидно, производная производящей функции $F(\lambda \varphi_\nu ^{(1)}(t))$ берется по аргументу $\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t)$. Это равенство было использовано в [6; гл. 2, п. 3, лемма 1], где путем логарифмирования (5.2) и последующего дифференцирования был найден явный вид $(\ln \varphi_\nu^{(1)}(t))_t^{'''}$ и было показано, что из (2.4), (5.3) и (5.4) при достаточно малых $t$ вытекает оценка
$$
\begin{equation}
|Q(t)|\leqslant C_{10}\biggl (\frac{n}{N}\biggr )^5|F_\varphi ^{'''}(\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t))|.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Учитывая (1.1), (1.2), (2.1) и (5.1), нетрудно обнаружить, что
$$
\begin{equation*}
|F_\varphi ^{'''}(\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t))|\leqslant C_{11} \sum_{k=1}^\infty k^3p_k|\lambda \varphi_\nu^{(1)}(t)|^{k-3}\leqslant C_{11}\sum_{k=1}^\infty \lambda^k(k+1)^{2-\tau+\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опять применяя (5.7) в случае $\rho \,{=}\,3\,{-}\,\tau \,{+}\,\delta$, как и при нахождении (5.8), из (5.9) получаем
$$
\begin{equation}
|Q(t)|\leqslant \frac{C_{12}}{(1-\lambda)^{3-\tau+\delta}}\biggl (\frac{n}{N}\biggr )^5.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Эта оценка и (5.8) показывают, что при любом фиксированном $t$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{b^3(\lambda)\sqrt{N}}\biggl |Q\biggl (\frac{t}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr )\biggr |\leqslant \frac{C_{13}}{(1-\lambda)^{(\tau+5\delta)/2}}\frac{\sqrt{n}}{N}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Из условий $\tau<2$, $\upsilon<1/2$ и (2.13) вытекает, как нетрудно проверить, что при достаточно малом $\delta$
$$
\begin{equation}
\frac{n}{N^2(1-\lambda)^{\tau+5\delta}} =o\biggl(\frac{1}{N^{3/4}(1-\lambda)^{(3-\Delta+10\delta)/2}}\biggr ).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Из (2.13) следует, что $N^{\upsilon}(1-\lambda)^{1+\Delta}\to \infty$, поэтому $N^{3/4}(1-\lambda)^{3(1+\Delta)/(4\upsilon)}\to \infty$. Нетрудно видеть, что при $\lambda \to 1$, $\upsilon <1/2$ и достаточно малых $\delta$
$$
\begin{equation*}
N^{3/4}(1-\lambda)^{(3-\Delta+10\delta)/2} > N^{3/4}(1-\lambda)^{3(1+\Delta)/(4\upsilon)}\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому из (5.12) находим, что оценка (5.11) стремится к нулю. что и завершает доказательство.
Лемма 6 доказана. Из установленной в лемме 6 слабой сходимости следует локальная, что показано ниже. Лемма 7. Пусть выполнены условия любой из теорем 1–3. Тогда для натуральных $k$ равномерно относительно $(k-N-n)/(b(\lambda)\sqrt{N})$ в любом фиксированном конечном интервале Доказательство. При выполнении условий теорем 1 и 2 утверждение леммы доказано в [6; гл. 2, п. 3, лемма 2] (см. также [9; лемма 4]). Для доказательства в условиях теоремы 3 заметим, что в силу выбора параметра $\lambda$ как решения уравнения (2.4) суммы вида $\nu(\lambda)$ образуют схемы серий. В теореме 1 статьи [14] показано, в каких случаях из слабой сходимости распределений серий сумм независимых решетчатых случайных величин к предельному закону следует локальная сходимость. Учитывая лемму 6, (2.4) и (5.3), докажем лемму 7, проверив выполнение условия III теоремы 1 из [14], поскольку более простые условия I и II этой теоремы в нашем случае не выполняются.
Введем необходимые обозначения. Пусть
$$
\begin{equation*}
M(\nu^{(i)}(\lambda),d)=\mathbf E \langle (\nu^{(i)}(\lambda))^*d\rangle^2, \qquad i=1, \dots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\nu^{(i)}(\lambda))^*$ обозначает симметризованную случайную величину $\nu^{(i)}(\lambda)$, $\langle x \rangle$ – расстояние от $x$ до ближайшего целого числа, $d$ – вещественное число. Положим
$$
\begin{equation}
M_N(d)=\sum_{i=1}^N M(\nu^{(i)}(\lambda),d), \qquad M_N=\inf_{1/4\leqslant d\leqslant 1/2}M_N(d).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Обозначим также
$$
\begin{equation}
W^2(\nu^{(i)}(\lambda),\vartheta)=\sum_{0\leqslant k\leqslant \vartheta} k^2\mathbf P\{(\nu^{(i)}(\lambda))^*=k\}, \qquad i=1, \dots, N,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$$
\begin{equation}
W_N^2(\vartheta)=\sum_{i=1}^N W^2(\nu^{(i)}(\lambda),\vartheta).
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Проверяемое условие состоит в том, что $M_N\to \infty$ и существует положительное число $\upsilon<1/2$ такое, что Согласно [14; лемма 1] при $i=1, \dots, N$
$$
\begin{equation}
D(\nu^{(i)}(\lambda),d)\leqslant M(\nu^{(i)}(\lambda),d)\leqslant 4D(\nu^{(i)}(\lambda),d),
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
D(\nu^{(i)}(\lambda),d)=\inf_{a\in R}\mathbf E \langle (\nu^{(i)}(\lambda)-a)d\rangle^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Случайная величина $\nu^{(i)}(\lambda)$ равна числу частиц, существовавших в начинающемся с одной частицы ветвящемся процессе $G_i(\lambda)$ до его вырождения. Поэтому все значения $\nu^{(i)}(\lambda)$ с положительными вероятностями являются натуральными числами. Расстояние от $(\nu^i(\lambda)-a)d$ при любых $a$ и $d$ до ближайшего целого не превосходит единицы, следовательно, С другой стороны, в [14; лемма 2] доказано, что при $1/4\leqslant d\leqslant 1/2$
$$
\begin{equation*}
D(\nu^{(i)}(\lambda),d)\geqslant \frac{1}{4}|d|^2\sum_{k=1}^\infty \min \bigl(\mathbf P\{\nu^{(i)}(\lambda)=k\},\, \mathbf P\{\nu^{(i)}(\lambda)=k+1\}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $\lambda \to 1$
$$
\begin{equation*}
D(\nu^{(i)}(\lambda),d) > \frac{1}{64}p_1(\lambda)p_0(\lambda)\to \frac{1}{64}p_0p_1>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (5.18) получаем
$$
\begin{equation*}
0<C_{14}\leqslant D(\nu^{(i)}(\lambda),d)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих неравенств и из (5.13), (5.17) вытекают оценки Это значит, что $M_N\to \infty$, и осталось проверить (5.16).
Из (5.14) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag W^2(\nu^{(1)}(\lambda),M_N^\upsilon) &=2\sum_{0\leqslant k\leqslant M_N^\upsilon} k^2\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda)=k\} \\ \notag &=\mathbf D\bigl(\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda)\bigr)-2\sum_{k>M_N^\upsilon} k^2\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda)=k\} \\ \notag &\geqslant 2\biggl(\mathbf D \nu^{(1)}(\lambda)-M_N^{-2\upsilon}\sum_{k=0}^\infty k^4\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda)=k\}\biggr) \\ & =2\bigl(b^2(\lambda)-M_N^{-2\upsilon}\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda))^4\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
По неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation}
\mathbf E \bigl((\nu^{(1)}(\lambda))^2(\nu^{(2)}(\lambda))^2\bigr)\leqslant \bigl(\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4\bigr)^{1/2}\bigl(\mathbf E (\nu^{(2)}(\lambda))^4\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Используя (5.21), нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda)-\nu^{(2)}(\lambda))^4<8\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому из (5.20) вытекает
$$
\begin{equation}
W^2(\nu^{(1)}(\lambda),M_N^\upsilon)\geqslant 2(b^2(\lambda)-8M_N^{-2\upsilon}\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4).
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Полагая $\rho =4-\tau+\delta$ в (5.7) и проводя прямые вычисления, подобные тому, как были найдены соотношения (5.3), (5.9), (5.10), находим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4=O\biggl (\frac{1}{(1-\lambda)^{4-\tau+\delta}}\biggl (\frac{n}{N}\biggr )^7\biggr ).
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Объединяя (5.8), (5.19), (5.22), (5.23) и учитывая (2.13), видим, что при достаточно малом $\delta>0$
$$
\begin{equation}
W^2(\nu^{(1)}(\lambda),M_N^\upsilon)\geqslant C_{15}b^2(\lambda),
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
поэтому из (5.15) вытекает (5.16).
Лемма 7 доказана. § 6. Предельное поведение $\nu_r(\lambda)$Асимптотику $\nu_r(\lambda)$ рассмотрим, следуя схеме рассуждений из § 5. Пусть $\Psi_\nu^{(r)}(t)$ обозначает характеристическую функцию случайной величины $(\nu_r(\lambda)-Na(\lambda))/(b(\lambda)\sqrt{N})$. Лемма 8. При выполнении условий любой из теорем 1–3 $\Psi_\nu^{(r)}(t)\to e^{-t^2/2}$. Это утверждение остается справедливым в условиях теоремы 1, если $r$ заменить на $r-1$ или $r+1$. Доказательство. При выполнении условий теорем 1 и 2 лемма 8 доказывается так же, как лемма 1 в [6; гл. 2, п. 4], при этом учитываются леммы 2–4.
Пусть выполнены условия теоремы 3. Обозначим $\varphi_r^{(1)}(t)$ характеристическую функцию случайной величины $\nu_r^{(1)}(\lambda)$. Из (3.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_r^{(1)}(t)=\frac{\varphi_\nu^{(1)}(t)-\sum_{k=0}^\infty \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+k+1\}\exp \{it(r+k+1)\}}{1-P_r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя (2.4), (5.3) и лемму 6, находим, что для любого фиксированного $t$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Psi_\nu^{(r)}(t) &=\exp \biggl \{-\frac{it(N+n)}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr \}(1-P_r)^{-N} \biggl (\varphi_\nu^{(1)}\biggl (\frac{t}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr ) \\ \notag &\qquad -\sum_{k=0}^\infty \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+k+1\}\exp \biggl \{\frac{it(r+k+1)}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr \}\biggr )^N \\ &=e^{-t^2/2}\biggl (\frac{1-(1+o(1))\Sigma (\nu^{(1)}(\lambda),t)}{1-P_r}\biggr )^N (1+o(1)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Sigma (\nu^{(1)}(\lambda),t)=\sum_{k=0}^\infty \mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r\,{+}\,k\,{+}\,1\}\exp \biggl \{\frac{it(r+k+1)}{b(\lambda)\sqrt{N}}\biggr \}=P_r\,{+}\,S(t,r)
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
и, поскольку $|e^{ix}-1|\leqslant |x|$,
$$
\begin{equation}
|S(t,r)|\leqslant \frac{|t|}{b(\lambda)\sqrt{N}}\sum_{k=0}^\infty (r+k+1)\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+k+1\}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Из (6.1) и (6.2) ясно, что для доказательства леммы 8 достаточно проверить соотношение
Аналогично тому, как было найдено (4.13), выводим
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty (r+k+1)\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=r+k+1\} \sim \frac{g(0)}{B_r}\int_r^\infty e^{-y\beta}\,dy=\frac{g(0)}{\beta B_r}e^{-r\beta}.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Из (5.8), (6.3) и (6.5) мы видим, что если то справедливо (6.4). Согласно (2.15) $N\,{\leqslant}\, C_{16}r\beta e^{r\beta}B_r$, поэтому, учитывая (2.6), условие $N/n\to 0$, а также (2.14) и соотношение $r/\sqrt{n}\to 0$ (иначе (2.15) было бы невозможно), легко установить справедливость (6.6) и вместе с ним (6.4).
Лемма 8 доказана. Лемма 9. Пусть выполнены условия любой из теорем 1–3. Тогда для натуральных $k$ равномерно относительно $(k-N-n)/(b(\lambda)\sqrt{N})$ в любом фиксированном конечном интервале Доказательство. Если $n/N\leqslant C_2<\infty$, то доказательство леммы 9 повторяет доказательство леммы 2 из [6; гл. 2, п. 4]. При выполнении условий теоремы 3 будем следовать доказательству леммы 7, в котором $\nu^{(i)}(\lambda)$ заменим на $\nu_r^{(i)}(\lambda)$, $i=1, \dots, N$. В частности, как и в (5.13), введем обозначения
$$
\begin{equation*}
M_N^{(r)}(d)=\sum_{i=1}^N M(\nu_r^{(i)}(\lambda),d), \qquad M_N^{(r)}=\inf_{1/4\leqslant d\leqslant1/2} M_N^{(r)}(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя доказательству (5.19), легко убедиться, что поэтому $M_N^{(r)}\to \infty$. Для завершения доказательства леммы 9 теперь достаточно проверить справедливость аналога (5.16) для рассматриваемого случая.
Оценим сначала $\mathbf D \nu_r^{(1)}(\lambda)$. Из (3.2), (3.3) и (5.3) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbf E \nu_r^{(1)}(\lambda)=\frac{a(\lambda)-\sum_{k>r} k\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}}{1-P_r}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Используя (2.4)–(2.6), (2.14), (2.15), (5.3), (6.5) и лемму 5, из (6.8) получаем
Далее рассмотрим
$$
\begin{equation}
\mathbf E (\nu_r^{(1)}(\lambda))^2=\frac{\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^2-\sum_{k>r} k^2\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}}{1-P_r}.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Как и при получении (6.5), находим, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k>r} k^2\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}\sim \frac{rg(0)}{\beta B_r}e^{-r\beta}.
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Из (2.5), (2.6), (2.14), (2.15) и (6.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k>r} k^2\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}=o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому из (2.4), (5.3), (5.8), (6.9), (6.10) и леммы 5 следуют соотношения
$$
\begin{equation}
\mathbf E (\nu_r^{(1)}(\lambda))^2\sim \mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^2, \qquad\mathbf D \nu_r^{(1)}(\lambda)\sim b^2(\lambda).
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Таким же способом мы можем оценить и
$$
\begin{equation}
\mathbf E (\nu_r^{(1)}(\lambda))^4=\frac{\mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4-\sum_{k>r} k^4\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}}{1-P_r}.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{k>r} k^4\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\} \sim \frac{g(0)}{B_r}\int_r^\infty y^3e^{-y\beta}\,dy =\frac{g(0)r^3}{\beta B_r}e^{-r\beta}(1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью (2.5), (2.14), (2.15) находим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k>r} k^4\mathbf P\{\nu^{(1)}(\lambda)=k\}=o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (6.13) и леммы 5 очевидным образом получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf E (\nu_r^{(1)}(\lambda))^4\sim \mathbf E (\nu^{(1)}(\lambda))^4.
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Полагая $M_N^{(r)}$ вместо $M_N$ в (5.16) и учитывая (5.22), (6.7), (6.12), (6.14), получаем оценку, аналогичную (5.24),
$$
\begin{equation*}
W^2\bigl(\nu_r^{(1)}(\lambda),(M_N^{(r)})^\upsilon \bigr)\geqslant C_{19}\ D\nu_r^{(1)}(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (5.15) следует равенство
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\ D\nu_r^{(1)}(\lambda){N}}=O\bigl(W_N((M_N^{(r)})^\upsilon)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9 доказана. § 7. Доказательства теоремИз лемм 7 и 9 следует, что во всех рассматриваемых случаях
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf P\{\nu_r(\lambda)=N+n\}}{\mathbf P\{\nu(\lambda)=N+n\}}=1+o(1).
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Пусть выполнены условия теоремы 1. Из лемм 1, 3 и соотношения (7.1) находим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf P\{\nu_{\max}\leqslant r-1\}\to 0, \qquad \mathbf P\{\nu_{\max}\leqslant r\}\to e^{-\gamma}, \qquad \mathbf P\{\nu_{\max}\leqslant r+1\}\to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда очевидным образом следуют утверждения теоремы 1. Доказательство теоремы 2 состоит в объединении утверждений лемм 1, 4 и (7.1). Так же просто доказывается и теорема 3, если использовать леммы 1, 5 и (7.1). БлагодарностьАвтор выражает глубокую благодарность рецензенту за полезные и конструктивные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pav21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|