| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Слайд-многочлены и комплексы подслов Е. Ю. Смирновab, А. А. Тутубалинаa a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Независимый Московский университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9477 
Реферативные базы данных:
  § 1. Введение1.1. Многочлены Шуберта и $\mathrm{rc}$-графыМногочлены Шуберта $\mathfrak S_w\in\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots]$ были определены И. Н. Бернштейном, И. М. Гельфандом и С. И. Гельфандом в [3], а также А. Ласку и М.-П. Шютценберже в [11]. Их можно рассматривать как “хорошие” полиномиальные представители классов многообразий Шуберта $[X_w]\in H^*(G/B)$, где $G=\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ – полная линейная группа, $B$ – борелевская подгруппа в $G$, а $G/B$ – многообразие полных флагов. Хорошо известно, что их коэффициенты неотрицательны, и существует явное комбинаторное правило для вычисления этих коэффициентов. Также можно описывать $K$-теорию $K_0(G/B)$ многообразия флагов $G/B$. Вместо классов Шуберта $[X_w]\in H^*(G/B)$ при этом рассматриваются классы структурных пучков многообразий Шуберта $[\mathcal{O}_w]\in K_0(G/B)$ в $K$-группе многообразия флагов. Эти классы также имеют хорошее представление в виде полиномов: это так называемые многочлены Гротендика $\mathfrak G^{(\beta)}_w\in\mathbb{Z}[\beta,x_1,x_2,\dots]$, зависящие еще и от дополнительного параметра $\beta$. Их коэффициенты также неотрицательны, но, в отличие от многочленов Шуберта, они не являются однородными в привычном смысле этого слова; они становятся однородными, если положить $\deg\beta=-1$. Можно рассматривать их как неоднородные деформации многочленов Шуберта $\mathfrak S_w$: вычисляя $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ при $\beta=0$, мы получаем соответствующий многочлен Шуберта $\mathfrak S_w=\mathfrak G^{(0)}_w$. Многочлены Шуберта и Гротендика можно описать комбинаторно в терминах диаграмм, называемых $\mathrm{rc}$-графами (по-английски pipe dreams). Эти диаграммы являются конфигурациями псевдолиний, ассоциированных с перестановкой; также каждой такой диаграмме можно сопоставить моном. $\mathrm{RC}$-граф называется приведенным, если любые две псевдолинии пересекаются не более одного раза. Многочлен Шуберта (соответственно Гротендика) для перестановки $w$ можно получить как сумму мономов по всем приведенным (соответственно не обязательно приведенным) $\mathrm{rc}$-графам, отвечающим перестановке $w$. Этот результат, принадлежащий С. Билли и Н. Бержерону (см. [2]), а также С. В. Фомину и А. Н. Кириллову (см. [7]), является аналогом полученного Дж. Литтлвудом представления многочленов Шура в виде суммы мономов по таблицам Юнга. В частности, из него следует положительность коэффициентов многочленов Шуберта и Гротендика. Определения, связанные с $\mathrm{rc}$-графами, приведены в п. 2.3. В [9] А. Кнутсон и Э. Миллер приводят геометрическую интерпретацию $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w$: последние соответствуют неприводимым компонентам в “глубоком” грёбнеровском вырождении соответствующего матричного многообразия Шуберта $\overline{X_w}$ в объединение аффинных подпространств. Комбинаторная структура этого вырождения описывается специальным симплициальным комплексом, который мы будем называть комплексом $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w$. Из этого можно вывести, что мультистепень многообразия Шуберта $\overline{X_w}$ относительно максимального тора $T\subset B\subset G$ совпадает с многочленом Шуберта $\mathfrak S_w$. В следующей своей статье [8] те же авторы обобщают понятие комплекса $\mathrm{rc}$-графов, определяя комплексы подслов для произвольных групп Кокстера, и показывают, что такие комплексы являются расшелушиваемыми и, более того, они гомеоморфны дискам или, в редких случаях, сферам. Из этого следует множество интересных результатов, касающихся геометрии соответствующих многообразий Шуберта, как матричных, так и классических, включая новые доказательства нормальности и коэн-маколеевости многообразий Шуберта в многообразии полных флагов. 1.2. Слайд- и глайд-многочленыНедавно С. Ассаф и Д. Сирлз в [1] определили слайд-многочлены $\mathfrak F_Q$. Это еще одно семейство многочленов, схожих с многочленами Шуберта: они образуют базис в кольце многочленов от счетного числа переменных, а их коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона являются положительными. Они индексируются $\mathrm{rc}$-графами $Q$, удовлетворяющими дополнительному комбинаторному условию; они называются квазияманучиевыми $\mathrm{rc}$-графами. Это условие соответствует условию Яманучи для косых таблиц Юнга; точные определения даны в п. 2.4. Более того, существует комбинаторная формула, позволяющая раскладывать многочлены Шуберта по слайд-базису: каждый многочлен Шура является линейной комбинацией слайд-многочленов с коэффициентами 0 и 1. Слайд-многочлены также имеют $K$-теоретический аналог: глайд-многочлены $\mathcal G^{(\beta)}_Q$, определенные О. Печеником и Д. Сирлзом в [14] (отметим, что фамилии Schubert и Grothendieck, равно как и слова “slide” и “glide”, начинаются с букв S и G). Существуют аналогичные представления многочленов Гротендика в виде сумм глайд-многочленов. 1.3. Слайд-комплексыВ настоящей статье определены соответствующие слайд-многочленам аналоги комплексов подслов, названные слайд-комплексами. Каждый комплекс подслов разбивается в объединение слайд- комплексов. Мы показываем, что слайд-комплексы являются расшелушиваемыми (теорема 5). Нашим основным результатом является теорема 6, утверждающая, что каждый слайд-комплекс, появляющийся как страта в комплексе подслов, гомеоморфен диску или сфере. В случае комплексов $\mathrm{rc}$-графов по слайд-комплексу можно получить соответствующий слайд- (соответственно глайд-) многочлен, просуммировав мономы по всем гиперграням (соответственно всем внутренним граням) комплекса. Это дает топологическую интерпретацию для комбинаторного представления многочлена $\mathfrak S_w$ в виде суммы $\mathfrak F_Q$ и многочлена $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ в виде суммы $\mathcal G_Q^{(\beta)}$ (следствия 4 и 5). 1.4. Возможная связь с вырождением матричных многообразий ШубертаВ настоящей статье мы имеем дело только с комбинаторными конструкциями и не касаемся геометрических аспектов данной теории. Но было бы интересно изучить связь слайд-многочленов с вырождениями матричных многообразий Шуберта. Скажем, естественным образом возникает вопрос, существует ли “промежуточное вырождение” матричного многообразия Шуберта $\overline{X_w}\to \bigcup \overline{Y_{w,Q}}$, неприводимые компоненты $\overline{Y_{w,Q}}$ которого индексируются квазияманучиевыми $\mathrm{rc}$-графами, а их мультистепени равняются слайд-многочленам $\mathfrak F_Q$? Такое вырождение дало бы геометрическую интерпретацию коэффициентов Литтлвуда–Ричардсона для слайд-многочленов, описанных С. Ассаф и Д. Сирлзом в [1]. 1.5. Структура статьиВ § 2 приведены определения многочленов Шуберта и Гротендика и их комбинаторное описание с помощью $\mathrm{rc}$-графов, а также приведены определения слайд- и глайд-многочленов. В § 3 содержится определение комплекса подслов для произвольной системы Кокстера и напоминается доказательство того факта, что комплексы подслов являются расшелушиваемыми и гомеоморфны дискам или сферам. Также там подробно разбираются комплексы $\mathrm{rc}$-графов, являющиеся наиболее интересным частным случаем комплексов подслов. Основные результаты этой статьи содержатся в § 4: в п. 4.1 определяется разбиение комплекса подслов на страты, называемые слайд-комплексами, и доказывается, что эти страты являются расшелушиваемыми и гомеоморфными дискам или сферам. В п. 4.2 показывается, что разбиение комплекса $\mathrm{rc}$-графов на слайд-комплексы согласуется с представлением соответствующего многочлена Шуберта (соответственно Гротендика) в виде суммы слайд- (соответственно глайд-) многочленов. Последний п. 4.3 описывает связь слайд-комплексов с графами флипов, рассматриваемыми в работе [13]. § 2. Многочлены Шуберта и Гротендика, слайд- и глайд-многочлены2.1. Симметрическая группаЧерез $\mathbf{S}_n$ обозначим симметрическую группу порядка $n$, т.е. группу биективных отображений множества $\{1,\dots,n\}$ в себя. Она порождена простыми транспозициями $s_i=(i\leftrightarrow i+1)$ для $1\leqslant i\leqslant n-1$, связанными соотношениями Кокстера:
Мы будем использовать однострочную запись для перестановок: например, $w=\overline{1423}$ переводит $1$ в $1$, $2$ в $4$, $3$ в $2$ и $4$ в $3$. Каждая перестановка $w\in \mathbf{S}_n$ представима в виде произведения $w=s_{i_1}\dotsb s_{i_k}$ простых транспозиций. Будем говорить, что последовательность $(s_{i_1},\dots,s_{i_k})$ является словом для перестановки $w$. Минимальную длину слова для перестановки $w$ назовем длиной $w$ и обозначим через $\ell(w)$. Слово для $w$ называется приведенным, если его длина равна $\ell(w)$. Хорошо известно, что длина $\ell(w)$ равна количеству инверсий в перестановке $w$, т.е. числу
$$
\begin{equation*}
\ell(w)=\#\{(i,j)\mid 1\leqslant i<j\leqslant n, \ w(i)>w(j)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать через $w_0$ самую длинную перестановку из $\mathbf{S}_n$. Эта перестановка переводит $i$ в $n+1-i$ для каждого $i$; ясно, что $\ell(w_0)=C_{n}^{2}=n(n-1)/2$. Существует множество приведенных слов для $w_0$; одно из них понадобится нам в дальнейшем:
$$
\begin{equation*}
w_0=(s_{n-1}\dotsb s_3s_2s_1)(s_{n-1}\dotsb s_3s_2)(s_{n-1}\dotsb s_3)\dotsb(s_{n-1}s_{n-2})(s_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Многочлены Шуберта и ГротендикаОбозначим последовательность переменных $x_1,\dots, x_n$ через $\mathbf x$ и рассмотрим кольцо многочленов $\mathbb{Z}[\mathbf x]$. Группа $\mathbf{S}_n$ действует на этом кольце перестановкой переменных: Определение 1. Для $i=1,\dots,n-1$ определим операторы разделенных разностей $\partial_i\colon \mathbb{Z}[\mathbf x]\to\mathbb{Z}[\mathbf x]$ следующим образом: Поскольку числитель этой дроби кососимметричен по переменным $x_i$ и $x_{i+1}$, он делится на знаменатель, и частное является многочленом с целыми коэффициентами. Операторы разделенных разностей удовлетворяют соотношениям Кокстера:
Определение 2. Многочленами Шуберта называются однородные многочлены $\mathfrak S_w \in \mathbb{Z}[\mathbf x]$, занумерованные перестановками $w\in\mathbf{S}_n$ и удовлетворяющие соотношениям для всех $i=1,\dots, n-1$. А. Ласку и М.-П. Шютценберже [11] показали, что многочлены Шуберта определены этими соотношениями однозначно. Можно также определить их при помощи рекуррентного соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{w s_{i}}(\mathbf{x})=\partial_{i} \mathfrak{S}_{w}(\mathbf{x}), \text{ если } \ell(ws_i)<\ell(w),
\end{equation*}
\notag
$$
с начальным условием
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{w_0}(\mathbf x)=x_1^{n-1}x_2^{n-2}\dotsb x_{n-2}^2x_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно переписать это соотношение следующим образом: если $s_{i_k}\dotsb s_{i_1}$ является приведенным словом для перестановки $w_0w$, то
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_w=\partial_{i_1}\dotsb\partial_{i_k}\mathfrak{S}_{w_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку разделенные разности удовлетворяют соотношениям далекого коммутирования и кос, а любое приведенное слово для $w_0w$ можно превратить в любое другое при помощи только этих соотношений, то такое определение многочленов Шуберта корректно (т.е. не зависит от выбора приведенного слова). Многочлены Гротендика были определены А. Ласку в [10]. Мы будем использовать их деформации, $\beta$-многочлены Гротендика, введенные С. В. Фоминым и А. Н. Кирилловым в [6]. Иногда мы будем называть их просто многочленами Гротендика. Они определяются так же, как многочлены Шуберта, но вместо $\partial_i$ мы будем использовать операторы изобарических разделенных разностей $\pi^{(\beta)}_i$. Определение 3. Пусть $\beta$ – формальный параметр. Для $i=1,\dots,n-1$ определим $\beta$-изобарические операторы разделенных разностей $\pi^{(\beta)}_i\colon \mathbb{Z}[\beta,\mathbf x]\to\mathbb{Z}[\beta,\mathbf x]$: Так же, как обычные операторы разделенных разностей, их изобарические аналоги удовлетворяют соотношениям Кокстера:
Определение 4. Определим $\beta$-многочлены Гротендика $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ при помощи начального условия и рекуррентного соотношения где $s_{i_k}\dotsb s_{i_1}$ является приведенным словом для перестановки $w_0w$. Поскольку операторы $\pi^{(\beta)}_i$ удовлетворяют соотношениям Кокстера, эти многочлены также определены корректно. Можно видеть, что $\pi^{(0)}_i=\partial_i$ и $\mathfrak G^{(\beta)}_{w_0}=\mathfrak S_{w_0}$, и, значит, $\mathfrak G^{(0)}_w=\mathfrak S_w$ для всех $w\in\mathbf{S}_n$. Таким образом, подставив $\beta=0$ в $\mathfrak G^{(\beta)}$, можно получить многочлены Шуберта. 2.3. $\mathrm{RC}$-графыЭтот пункт посвящен $\mathrm{rc}$-графам: основному комбинаторному инструменту для работы с многочленами Шуберта и Гротендика. Определение 5. Рассмотрим квадрат $n\times n$ и заполним его элементами двух типов: “крестами” $\mathrm{RC}$-граф можно рассматривать как систему псевдолиний, или труб, ведущих от левой стороны квадрата к верхней. Пронумеруем входы и выходы этих труб числами от 1 до $n$ сверху вниз и слева направо. $\mathrm{RC}$-граф называется приведенным, если никакие две трубы в нем не пересекаются дважды. На рис. 1 приведены примеры приведенного и неприведенного $\mathrm{rc}$-графов. Определение 6. Можно воспринимать $\mathrm{rc}$-граф как биекцию из множества начальных (левых) точек труб в множество их конечных (верхних) точек. Это представление сопоставляет каждому приведенному $\mathrm{rc}$-графу $P$ перестановку $w(P)\in\mathbf{S}_n$, называемую формой $P$. Также будем ассоциировать с каждым $\mathrm{rc}$-графом $P$ множество $D_P$ координат его крестов (первая координата – номер строки, вторая – номер столбца). Например, форма $\mathrm{rc}$-графа $P$ на рис. 1, (a) равна $w(P)=\overline{15423}$, а множество $D_P$ для него выглядит как $D_P=\{(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1)\}$. Определение 7. Операция приведения $\operatorname{reduct}$ действует на $\mathrm{rc}$-графах следующим образом: строчки перебираются сверху вниз и каждая строка читается справа налево. Если в какой-то клетке пересекаются две трубы, которые уже пересекались до этого, то крест в этой клетке заменяется на колено (рис. 2). Очевидно, $\mathrm{rc}$-граф $\operatorname{reduct}(P)$ является приведенным для любого $P$, и данная операция действует тождественно на приведенных $\mathrm{rc}$-графах: $\operatorname{reduct}(P)=P$. Формой неприведенного $\mathrm{rc}$-графа $P$ будем называть форму $w(\operatorname{reduct}(P))$ его приведения. Множество всех $\mathrm{rc}$-графов данной формы $w\in\mathbf{S}_n$ обозначим через $\operatorname{PD}(w)$, а подмножество приведенных $\mathrm{rc}$-графов данной формы – через $\operatorname{PD}_0(w)\subset\operatorname{PD}(w)$. Следующая теорема была доказана С. Билли и Н. Бержероном и независимо от них С. В. Фоминым и А. Н. Кирилловым. Теорема 1 (см. [2], [7]). Многочлены Шуберта удовлетворяют равенству где Пример 1. Рассмотрим перестановку $w=\overline{1432}$. Существует пять приведенных $\mathrm{rc}$-графов формы $w$:
Поэтому многочлен Шуберта для перестановки $w$ имеет вид Существует аналог этой теоремы для многочленов Гротендика. Определение 8. Обозначим через $\operatorname{ex}(P)$ избыток $P$, т.е. число “лишних” крестов в (неприведенном) $\mathrm{rc}$-графе $P$. А именно, $\operatorname{ex}(P)=\#(D_P\setminus D_{\operatorname{reduct}(P)})$. Теорема 2 (см. [6]). Многочлены Гротендика удовлетворяют следующему равенству: Пример 2. Продолжая пример 1, вычислим многочлен Гротендика для $w=\overline{1432}$. Множество $\operatorname{PD}(w)$ состоит из 11 $\mathrm{rc}$-графов, пять из которых являются приведенными, а шесть – неприведенными:  Соответствующий многочлен Гротендика равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak G^{(\beta)}_{(1432)} &=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3} \\ &\qquad +\beta x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\beta x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+2\beta x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+\beta^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{ex}(P)=0$, если и только если $\mathrm{rc}$-граф $P$ приведенный, то $\mathfrak G_w^{(\beta)}=\mathfrak S_w+\beta(\dots)$. Из этого следует равенство $\mathfrak G_w^{(0)}=\mathfrak S_w$, упоминавшееся ранее. 2.4. Слайд- и глайд-многочленыС. Ассаф и Д. Сирлз [1] определили другой базис в кольце многочленов: слайд-многочлены. Одно из их основных свойств заключается в том, что любой многочлен Шуберта можно представить в виде суммы слайд-многочленов с коэффициентами 0 и 1. В последующей статье О. Печеника и Д. Сирлза [14] приводится аналогичная конструкция для многочленов Гротендика. Напомним эти конструкции. Определение 9. Пусть $P$ – $\mathrm{rc}$-граф (возможно, неприведенный). Определим слайд-движение $S_i$ следующим образом. Допустим, что в $P$ все кресты в ряду $i$ расположены строго правее всех крестов в ряду $i+1$ (в частности, ряд $i+1$ может быть пустым). Тогда можно передвинуть самый левый крестик в ряду $i$ вниз-влево на одну клетку: Заметим, что слайд-движение сохраняет форму $\mathrm{rc}$-графа. Действительно, $\operatorname{reduct}(S_i(P))$ и $\operatorname{reduct}(P)$ либо совпадают, либо получаются друг из друга сохраняющим форму сдвигом одного крестика: Определение 10. Если все слайд-движения действуют на $\mathrm{rc}$-граф $P$ тождественно (иными словами, для всех $i$ верно, что в $i$-й строке $P$ самый левый крестик лежит либо в первом столбце, либо нестрого левее какого-то крестика из $(i+1)$-й строки), то такой $\mathrm{rc}$-граф называется квазияманучиевым (quasi-Yamanouchi). Обозначим множество всех квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов формы $w$ через $\operatorname{QPD}(w)\subset\operatorname{PD}(w)$, а подмножество всех приведенных квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов через $\operatorname{QPD}_0(w)=\operatorname{PD}_0(w)\cap\operatorname{QPD}(w)$. Определение 11. Операции дестандартизации $\operatorname{dst}\colon\operatorname{PD}(w)\to\operatorname{QPD}(w)$ и $\operatorname{dst}_0\colon\operatorname{PD}_0(w)\to\operatorname{QPD}_0(w)$ определяются как последовательное применение к $\mathrm{rc}$-графу слайд-движений до тех пор, пока он не станет квазияманучиевым. В [1; лемма 3.12] показано, что каждый $\mathrm{rc}$-граф можно сделать квазияманучиевым, применяя к нему слайд-движения, и получившийся квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф не зависит от последовательности слайд-движений, а значит, определен корректно. Операции $\operatorname{dst}\colon\operatorname{PD}(w)\to\operatorname{QPD}(w)$ и $\operatorname{dst}_0\colon\operatorname{PD}_0(w)\to\operatorname{QPD}_0(w)$ являются проекторами на множества квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов и приведенных квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов соответственно и, следовательно, сюръективны. Определение 12. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$ – приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф. Множество $\operatorname{dst}_0^{-1}(Q)$ называется слайд-орбитой $\mathrm{rc}$-графа $Q$. Если $Q\in\operatorname{QPD}(w)$ – не обязательно приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф, то $\operatorname{dst}^{-1}(Q)$ называется глайд-орбитой $Q$. Определение 13. Если $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$, то слайд-многочлен $\mathfrak F_Q$ определяется как сумма мономов, отвечающих $\mathrm{rc}$-графам из соответствующей слайд-орбиты: Если $Q\in\operatorname{QPD}(w)$, то глайд-многочлен $\mathcal G^{(\beta)}_Q$ определяется как сумма мономов, отвечающих $\mathrm{rc}$-графам из соответствующей глайд-орбиты: Из этого определения и теорем 1 и 2 следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak S_w=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}_0(w)} \mathfrak F_Q, \qquad \mathfrak G^{(\beta)}_w=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}(w)}\beta^{\operatorname{ex}(Q)}\mathcal G^{(\beta)}_Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 3. Существует пять квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов формы $w=\overline{1432}$, и, соответственно, $\operatorname{PD}(w)$ подразбивается на пять глайд-орбит. В одной из них семь $\mathrm{rc}$-графов (квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф среди них выделен скобками):  Следовательно, соответствующий глайд-многочлен равен
$$
\begin{equation*}
\mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3}= 2\beta x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+\beta x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая из четырех оставшихся глайд-орбит содержит по одному $\mathrm{rc}$-графу:  Поэтому соответствующие глайд-многочлены являются мономами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal G^{(\beta)}_{s_2s_3s_2s_3}=x_1x_2^2x_3, \qquad\mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3s_2}=x_1^2x_2^2, \\ \mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3s_2s_3}=x_1^2x_2^2x_3, \qquad\mathcal G^{(\beta)}_{s_2s_3s_2}=x_1x_2^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Комплексы подслов и комплексы $\mathrm{rc}$-графов3.1. Комплексы подсловРассмотрим произвольную систему Кокстера $(\Pi, \Sigma)$, где $\Pi$ – группа Кокстера, минимально порожденная набором простых отражений $\Sigma$. Основным примером по-прежнему будет симметрическая группа $\Pi=\mathbf{S}_n$, порожденная набором простых транспозиций $\Sigma=\{s_1,\dots,s_{n-1}\}$. Определение 14. Словом длины $m$ будем называть последовательность $\mathcal{Q}=(\sigma_1, \dots, \sigma_m)$ простых отражений. Подсловом слова $\mathcal{Q}$ называется подпоследовательность $\mathcal{P}=(\sigma_{i_1},\sigma_{i_2}, \dots, \sigma_{i_k})$, где $1\leqslant i_1<i_2<\dots<i_k\leqslant m$. Будем говорить, что $\mathcal{P}$ представляет $\pi \in \Pi$, если $\sigma_{i_1} \sigma_{i_2} \dotsb \sigma_{i_k}$ является приведенным словом для элемента $\pi$. Если какое-то подслово слова $\mathcal{P}$ представляет элемент $\pi$, то будем говорить, что $\mathcal{P}$ содержит $\pi$. Комплекс подслов $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ – это множество непустых слов $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$, дополнения $\mathcal{P}$ к которым содержат $\pi$. Это симплициальный комплекс; одна его грань лежит на границе другой тогда и только тогда, когда первое из соответствующих подслов является подмножеством второго. Все приведенные слова для $\pi \in \Pi$ имеют одинаковую длину, и, следовательно, комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ является чистым комплексом размерности $m-\ell(\pi)$. Те подслова $\mathcal{Q} \setminus \mathcal{P}$, для которых $\mathcal{P}$ представляет $\pi$, являются его гипергранями. Замечание 1. Чтобы различать слова в произвольных системах Кокстера и $\mathrm{rc}$-графы, мы используем каллиграфический шрифт $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$ для слов и стандартный шрифт $P$, $Q$ для $\mathrm{rc}$-графов. Пример 4. Пусть $\Pi=\mathbf{S}_4$, $\pi=\overline{1432}$, $Q=s_3s_2s_1s_3s_2s_3$. Для этой перестановки есть два приведенных слова: $\pi=s_2s_3s_2=s_3s_2s_3$. Обозначим центр пятиугольника через $s_1$, а вершины пронумеруем транспозициями $s_3$, $s_2$, $s_3$, $s_2$, $s_3$ по кругу. Тогда гипергранями комплекса $\Delta(Q, \pi)$ будут являться треугольники, образованные двумя соседними вершинами пятиугольника и его центром (рис. 3). Определение 15. Пусть $\Delta$ – симплициальный комплекс, а $F\in\Delta$ – его грань. Результатом удаления $F$ из $\Delta$ является комплекс Линк $F$ в $\Delta$ – это комплекс Определение 16. Комплекс $\Delta$ размерности $n$ называется вершинно-разложимым, если он чистый и удовлетворяет одному из двух следующих условий: – $\Delta$ является симплексом размерности $n$; или – для какой-то вершины $v \in \Delta$ комплекс $\operatorname{del}(v, \Delta)$ является вершинно-разложимым размерности $n$, а комплекс $\operatorname{link}(v, \Delta)$ – вершинно-разложимым размерности $(n-1)$. Определение 17. Расшелушиванием (shelling; по-русски также встречается термин шеллинг) симплициального комплекса $\Delta$ называется полный порядок на множестве его гиперграней $F_1, F_2, \dots, F_t$, удовлетворяющий следующему условию: для любых $i,j$, для которых $1 \leqslant i < j \leqslant t$, существует такой $k$ и такая вершина $v \in F_j$, что $1 \leqslant k < j$ и $F_i \cap F_j \subseteq F_k \cap F_j = F_j \setminus \{v\}$. Комплекс, обладающий расшелушиванием, называется расшелушиваемым. Определение расшелушивания можно перефразировать следующим образом: для любого $j$, для которого $2\leqslant j \leqslant t$, комплекс $(\bigcup_{i<j}F_i)\cap F_j$ является чистым размерности $\dim F_j-1$. Определение вершинной разложимости было впервые дано в работе [4]; в той же статье показано, что из вершинной разложимости комплекса следует его расшелушиваемость. Предложение 1 (см. [4]). Вершинно-разложимые комплексы являются расшелушиваемыми. Следующее утверждение доказывается в работе [8; теорема 2.5]. Определение 18. Произведение Демазюра $\delta(\mathcal{Q})\in\Pi$ для слова $\mathcal{Q}$ определяется индуктивно: $\delta(\sigma)=\sigma$ для $\sigma\in \Sigma$, и Напомним главный результат статьи [8]. Теорема 4 (см. [8; теорема 3.7]). Комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ гомеоморфен диску или сфере. Грань $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит границе комплекса тогда и только тогда, когда $\delta(\mathcal{P})\ne \pi$. Следствие 1 (см. [8; следствие 3.8]). Комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ является сферой, если $\delta(\mathcal{Q})=\pi$, и диском в противном случае. 3.2. Комплексы $\mathrm{rc}$-графов$\mathrm{RC}$-графы тесно связаны с комплексами подслов специального вида. Пусть $\Pi=\mathbf{S}_n$. Зафиксируем приведенное слово для самой длинной перестановки:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{0,n}=(s_{n-1} s_{n-2}\dotsb s_1) (s_{n-1} s_{n-2} \dotsb s_2) (s_{n-1} s_{n-2} \dotsb s_3) \dotsb( s_{n-1} s_{n-2}) (s_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Его можно получить, если прочитать таблицу
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} s_1 & s_2 & s_3 &\dots & s_{n-2}& s_{n-1}&\\ s_2 & s_3& \dots &s_{n-2}&s_{n-1}&\\ s_3& \dots & s_{n-2} &s_{n-1}\\ \vdots &\vdots &\ddots\\ s_{n-2} &s_{n-1}\\ s_{n-1} \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
справа налево сверху вниз. Пусть $P\in\operatorname{PD}_0(w)$ – приведенный $\mathrm{rc}$-граф формы $w\in\mathbf{S}_n$. Для каждого крестика в нем возьмем транспозицию из соответствующего места в таблице. Мы получим подслово $\operatorname{word}(P)$ в $\mathcal{Q}_{0,n}$. Несложно увидеть, что $\operatorname{word}(P)$ будет представлять перестановку $w$. Верно и обратное: если $\mathcal{T}$ – подслово в $\mathcal{Q}_{0,n}$, представляющее $w$, то $\mathrm{rc}$-граф с крестиками на местах, соответствующих буквам $\mathcal{T}$, будет приведенным формы $w$. Таким образом, мы получили биекцию между элементами множества $\operatorname{PD}_0(w)$ и гипергранями комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)$. Операция приведения $\mathrm{rc}$-графа естественным образом связана с операцией взятия произведения Демазюра: для любого $\mathrm{rc}$-графа $P$ выполнено равенство $w(\operatorname{reduct}(P))=\delta(\operatorname{word}(P))$. Кроме этого, если $P$ – неприведенный $\mathrm{rc}$-граф формы $w$, то $\operatorname{word}(P)$ содержит $\operatorname{word}(\operatorname{reduct}(P))$ в качестве подслова, а значит, содержит перестановку $w$. Пользуясь этими фактами и теоремой 4, мы получаем, что существует биекция между $\operatorname{PD}(w)$ и внутренними гранями комплекса $\mathrm{rc}$-графов $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)$. Следующее описание многочленов Гротендика в терминах комплексов $\mathrm{rc}$-графов принадлежит А. Кнутсону и Э. Миллеру, см. [8; следствие 5.5]. Иногда, как, например, в [5], оно используется в качестве эквивалентного определения многочленов Гротендика. Следствие 2. Многочлен Гротендика $\mathfrak G_w^{\beta}$ можно получить как сумму мономов по внутренним граням комплекса $\mathrm{rc}$-графов. А именно, для $w\in\mathbf{S}_n$ мы получаем (через $\mathbf x^\mathcal{P}$ мы обозначаем моном для $\mathrm{rc}$-графа, соответствующего грани $\mathcal{P}$). Пример 5. На рис. 4 изображен комплекс $\mathrm{rc}$-графов для $w=\overline{1432}$. $\mathrm{RC}$-графы в нем разбиты на группы в зависимости от их формы; к каждому $\mathrm{rc}$-графу приписан соответствующий ему моном $\beta^{\operatorname{ex}(P)}\mathbf x^P$ из многочлена Гротендика. Для $k\in \mathbb Z_{\geqslant 0}$ введем обозначение: $\operatorname{PD}_k(w)=\{P\in \operatorname{PD}(w)\mid \operatorname{ex}(P)=k\}$. Доказательство. Рассмотрим специализацию многочлена Гротендика в $\mathbf x=(1,1,\dots,1)$ и $\beta=-1$ и получим соотношение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \mathfrak G_w^{(-1)}(1,1,\dots,1)=\sum_{P\in\operatorname{PD}(w)} (-1)^{\operatorname{ex}(P)}=\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{PD}_k(w)| \\ &\qquad=\sum_{P\in\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w))} (-1)^{\operatorname{codim}(P)} =\sum_{P \in \Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}(-1)^{\operatorname{codim}(P)} \\ &\qquad\qquad +\sum_{P \in \partial\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}(-1)^{\operatorname{codim}(P)} =(-1)^d\chi_{\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}+(-1)^{d-1}\chi_{\partial\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $d=n(n-1)/2-\ell(w)$ – размерность комплекса $\mathrm{rc}$-графов, а $\chi_\Delta$ – эйлерова характеристика комплекса $\Delta$.
Для каждого элемента $w\ne\delta(\mathcal{Q}_{0,n})=w_0$ соответствующий комплекс $\mathrm{rc}$-графов $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$ гомеоморфен $d$-мерному диску, а его граница гомеоморфна $(d-1)$-мерной сфере (для $w=w_0$ соответствующий комплекс $\mathrm{rc}$-графов является точкой). Поэтому и, следовательно, Следствие доказано.§ 4. Слайд-комплексыВ этом параграфе описана основная конструкция статьи: разбиение комплексов подслов на страты, соответствующие слайд- (или глайд-) орбитам. Эти страты называются слайд-комплексами. Будет показано, что так же, как и комплексы подслов, слайд-комплексы гомеоморфны дискам или сферам. 4.1. Общие сведения о слайд-комплексахКак раньше, пусть $(\Pi, \Sigma)$ – система Кокстера. Определение 20. Пусть $\mathcal{Q}, \mathcal{S}$ – два слова в алфавите $\Sigma$. Слайд-комплексом подслов $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ назовем множество таких подслов $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$, что их дополнения $\mathcal{P}$ содержат $\mathcal{S}$ в качестве подслова. Аналогично случаю комплексов подслов, это множество обладает естественной структурой симплициального комплекса. Следующая теорема является аналогом теоремы 3. Доказательство. Очевидно, что все слайд-комплексы являются чистыми.
Пусть $\mathcal{Q}=(\sigma, \sigma_2, \dots, \sigma_m)$ и $\mathcal{S}=(s_{j_1},s_{j_2},\dots,s_{j_l})$ – два слова в алфавите $\Sigma$. Пусть $\mathcal{Q}'=(\sigma_2, \dots, \sigma_m)$ и $\mathcal{S}'=(s_{j_2},\dots, s_{j_l})$. Тогда $\operatorname{link}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))=\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}',\mathcal{S})$. Если слово $\mathcal{S}$ начинается с буквы $\sigma$, то $\operatorname{del}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))= \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}', \mathcal{S}')$. В противном случае $\operatorname{del}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))=\operatorname{link}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))= \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}', \mathcal{S})$. Следовательно, для любой вершины $\sigma$ результат ее удаления и ее линк в $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ являются слайд-комплексами. Осталось воспользоваться индукцией по длине слова $\mathcal{Q}$. Теорема доказана. Введем аналог произведения Демазюра для подслов. Определение 21. Слово $\widetilde{\delta}(\mathcal{Q})$ получается из слова $\mathcal{Q}$ заменой каждой максимальной группы подряд идущих одинаковых букв $s_i\dots s_i$ на одну букву $s_i$. К примеру, $\widetilde\delta(s_1s_1s_2s_1s_2s_2s_2)=s_1s_2s_1s_2$. Замечание 2. Из определения следует, что для любого слова $\mathcal{Q}$ верно, что $\widetilde\delta(\delta(\mathcal{Q}))=\delta(\widetilde\delta(\mathcal{Q}))=\delta(\mathcal{Q})$. Следующая теорема – главный результат этой статьи. Она является аналогом теоремы 4. Теорема 6. Пусть $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{S}$ – два слова в алфавите $\Sigma$, и пусть $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$. Тогда слайд-комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ гомеоморфен сфере, если $\widetilde{\delta}(\mathcal{Q})=\mathcal{S}$, и диску в противном случае. Грань $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит границе комплекса в том и только том случае, когда $\widetilde{\delta}(\mathcal{P})\ne \mathcal{S}$. Доказательство. Рассмотрим свободную группу Кокстера $\widehat \Pi$, порожденную $\Sigma$, единственными соотношениями в которой являются соотношения вида $s_i^2=e$ (т.е. значения на всех ребрах в ее графе Кокстера равны $\infty$). Существует естественная биекция между элементами $\widehat \Pi$ и словами в алфавите $\Sigma$ без одинаковых букв, идущих подряд. Тогда $\widetilde\delta(\mathcal{S})$ соответствует произведению Демазюра слова $\mathcal{S}$, и $\widetilde\delta(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{S}$ является приведенным словом в группе $\widehat \Pi$.
Получается, что слайд-комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ – это просто комплекс подслов $\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ для группы $\widehat\Pi$. Утверждение теоремы теперь напрямую следует из [8; теорема 3.7, следствие 3.8]. Теорема доказана. Замечание 3. Если $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})\ne \mathcal{S}$, слайд-комплекс не обязательно гомеоморфен диску или сфере. Например, если $\mathcal{Q}=s_1s_1s_1s_1$ и $\mathcal{S}=s_1s_1$, то комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ является 1-остовом тетраэдра. Замечание 4. Другое доказательство теоремы 6 можно получить, повторяя шаги, использованные в доказательстве [8; теорема 3.7]; все утверждения, использованные при доказательстве теоремы для комплексов подслов, остаются верными и для слайд-комплексов. Набросок этого доказательства приведен в краткой заметке [12]. Пример 6 показывает, что внутренность комплекса $\mathrm{rc}$-графов $w=\overline{1432}$ разбивается на слайд-комплексы. Можно считать это топологической интерпретацией разложения многочлена Шуберта $\mathfrak S_{1432}$ (соответственно многочлена Гротендика $\mathfrak G_{1432}^{(\beta)}$) в сумму слайд- (соответственно глайд-) многочленов. Следующее предложение обобщает это на случай произвольных комплексов подслов; в следующем параграфе мы применим это предложение к комплексам $\mathrm{rc}$-графов. Предложение 2. Внутренность комплекса подслов $\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q},w))$ может быть представлена в виде несвязного объединения внутренностей слайд-комплексов: Доказательство. Пусть $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса подслов, соответствующего элементу $w$. Это значит, что $\delta(\mathcal{P})=w$. Пусть $\mathcal{S}=\widetilde{\delta}(\mathcal{P})$. Очевидно, что $\delta(\mathcal{S})=\delta(\mathcal{P})=w$, $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$, и, таким образом, $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит внутренности слайд-комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$.
Докажем обратное. Если $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$, где $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ и $\delta(\mathcal{S})=w$, то $\widetilde\delta(\mathcal{P})=\mathcal{S}$. Значит, $\delta(\mathcal{P})=\delta(\widetilde{\delta}(\mathcal{P}))=\delta(\mathcal{S})=w$ и $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса подслов $\Delta(\mathcal{Q},w)$. Предложение доказано. 4.2. Слайд-комплексы в комплексах $\mathrm{rc}$-графовВ этом разделе будет изучена связь между слайд- и глайд-орбитами $\mathrm{rc}$-графов и слайд-комплексами. Как было показано, существует биективное соответствие между $\mathrm{rc}$-графами формы $w\in\mathbf{S}_n$, как приведенными, так и неприведенными, и внутренними гранями комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$. Этот комплекс гомеоморфен диску, если $w\ne w_0$. Предложение 3. Разбиение внутренности комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$ на внутренности слайд-комплексов согласуется с разбиением множества $\operatorname{PD}(w)$ на глайд-орбиты: существует биекция между $\mathrm{rc}$-графами из каждой глайд-орбиты и внутренними гранями соответствующего слайд-комплекса. Доказательство. Пусть $P\in\operatorname{PD}(w)$ – $\mathrm{rc}$-граф, соответствующий подслову $\operatorname{word}(P)$ в $\mathcal{Q}_{0,n}=(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n(n-1)/2})$.
Допустим, слайд-движение $S_i$ действует на $P$ не тождественно: оно перемещает крест на позиции $(i,j)$ вниз-влево на позицию $(i+1,j-1)$. Пусть $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$ – две буквы в $\mathcal{Q}_{0,n}$, соответствующие старому и новому положению этого креста (обе эти буквы равны $s_{i+j-1}$). Поскольку в $i$-м ряду $\mathrm{rc}$-графа $P$ нет крестов слева от $j$-го столбца, а в $(i+1)$-м ряду нет крестов справа от $(j-1)$-го столбца, то буквы $\sigma_{k+1},\dots,\sigma_{k+m-1}$ не встречаются в подслове $\operatorname{word}(P)$. Слайд-движение $S_i$ действует на $\operatorname{word}(P)$ следующим образом: в слово $\operatorname{word}(P)$ входят либо обе буквы $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$, либо только $\sigma_k$. А в слово $\operatorname{word}(S_i(P))$ входит только буква $\sigma_{k+m}$, но не $\sigma_k$. Таким образом, все слайд-движения либо не меняют слово $\operatorname{word}(P)$, либо заменяют две последовательные буквы $s_{i+j-1}s_{i+j-1}$ в нем на $s_{i+j-1}$. А значит, слайд-движения сохраняют $\widetilde\delta$, т.е. $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P))=\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(S_i(P)))$, и любые два $\mathrm{rc}$-графа из одной глайд-орбиты принадлежат внутренности одного и того же слайд-комплекса. Обратное тоже верно. Рассмотрим $P\in\operatorname{PD}(w)$. Пусть $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$ – две такие одинаковые буквы в $\mathcal{Q}_{0,n}$, что
Таким образом, если $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ и $\mathcal{Q}_{0,n}$ содержит $\mathcal{S}$ в качестве подслова, то существует единственный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф $Q$, для которого $\operatorname{word}(Q)\,{=}\,\mathcal{S}$. Если $\mathrm{rc}$-граф $P\in\operatorname{PD}(w)$ удовлетворяет условию $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P))=\mathcal{S}$, то можно видеть, что $\operatorname{word}(\operatorname{dst}(P))=\mathcal{S}$, и, следовательно, $\operatorname{dst}(P)=Q$ и $P\in\operatorname{dst}^{-1}(Q)$. Иными словами, если $\operatorname{word}(P_1)$ и $\operatorname{word}(P_2)$ принадлежат внутренности одного и того же слайд-комплекса, то $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P_1))=\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P_2))$, и $P_1$ и $P_2$ принадлежат одной и той же глайд-орбите. Предложение доказано. Можно вывести из этого следствие, аналогичное следствию 2: глайд-многочлен можно получить как сумму мономов по внутренним граням соответствующего слайд-комплекса. Следствие 4. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}(w)$. Тогда Здесь через $\mathbf x^\mathcal{P}$ мы обозначаем моном для $\mathrm{rc}$-графа, соответствующего грани $\mathcal{P}$. Рассматривая специализацию при $\beta=0$, мы получаем аналогичное утверждение для слайд-многочленов. Следствие 5. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$. Тогда (суммирование ведется по всем гиперграням $\mathcal{P}$ комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, \operatorname{word}(Q))$). Пример 6. На рис. 5 изображен комплекс $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w=\overline{1432}$, представленный в виде несвязного объединения внутренностей слайд-комплексов. Квазияманучиевы $\mathrm{rc}$-графы выделены синим цветом. Рядом с каждым $\mathrm{rc}$-графом написан соответствующий моном $\beta^{\operatorname{ex}(P)-\operatorname{ex}(Q)}\mathbf x^P$ из глайд-многочлена. Для $k\in\mathbb Z_{\geqslant 0}$ обозначим $\operatorname{QPD}_k(w)=\{Q\in\operatorname{QPD}(w)\mid\operatorname{ex}(Q)=k\}$. Следующее следствие показывает, что знакопеременная сумма количеств квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов с данным избытком равна 1. Доказательство. Поскольку слайд-комплексы гомеоморфны дискам, а эйлерова характеристика диска равна $1$, аналогично следствию 3 мы получаем для каждого $Q\in \operatorname{QPD}(w)$. Рассмотрим специализацию равенства при $\beta=-1$ и $\mathbf x=(1,\dots, 1)$ и используем тот факт, что $\mathfrak G^{(-1)}_w(1,\dots,1)=\mathcal G^{(-1)}_Q(1,\dots,1)=1$ для всех $w\in\mathbf{S}_n, Q\in\operatorname{QPD}(w)$. Получаем требуемую формулу: Следствие доказано. 4.3. Замечание про графы флиповВ. Пило и К. Штумп в [13] описали алгоритм2, позволяющий перечислять все гиперграни комплекса подслов. Для этого конструируется так называемый граф флипов данного комплекса. Этот граф, впервые определенный в [8; замечание 4.5], является графом смежности гиперграней комплекса подслов: вершины графа соответствуют гиперграням комплекса подслов, и две вершины соединены ребром, если у соответствующих гиперграней есть общая грань коразмерности 1. Существует каноническая ориентация этого графа, превращающая его в частично упорядоченное множество. Стрелки в этой ориентации называются повышающими флипами. В этом частично упорядоченном множестве существуют наибольший и наименьший элементы, называемые положительной (соответственно отрицательной) жадной гипергранью. Стрелки в графе с противоположной ориентацией называются понижающими флипами; см. [13; п. 4.2]. Эта конструкция применима к любой системе Кокстера, в том числе к свободной группе Кокстера $(\widehat \Pi,\Sigma)$. Оказывается, графы флипов для такой системы позволяют получить описание слайд-движений. Предложение 4. Пусть $Q$ – приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф. Слайд-движения на множестве $\operatorname{dst}_0^{-1}(Q)$ в точности являются понижающими флипами на гипергранях $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(Q))$ (или, что то же самое, на гипергранях $\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(Q)))$). Предложение 5. Приведенный $\mathrm{rc}$-граф $P$ является квазияманучиевым, если и только если соответствующая гипергрань слайд-комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(P))$ является отрицательной жадной гипергранью. БлагодарностиМы благодарны Сами Ассаф, Александру Гайфуллину, Валентине Кириченко и Аллену Кнутсону за плодотворные обсуждения. Мы особенно признательны Оливеру Печенику, указавшему способ упростить доказательство основного результата. Мы также хотели бы поблагодарить анонимного рецензента, замечания которого существенно улучшили изложение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SmiTut21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|