| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оптимальное восстановление в весовых пространствах с однородными весами К. Ю. Осипенкоabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва c Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9475 
Реферативные базы данных:
     § 1. Общая постановкаПусть $T$ – некоторое непустое множество, $\Sigma$ – $\sigma$-алгебра подмножеств $T$ и $\mu$ – неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $ L_p(T,\mu)$ обозначим совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x(\,\cdot\,)\|_{ L_p(T,\mu)}= \begin{cases} {\displaystyle\biggl(\int_T|x(t)|^p\,d\mu\biggr)^{1/p}<\infty},&1\leqslant p<\infty, \\ {\displaystyle\operatorname*{vraisup}_{t\in T}|x(t)|<\infty},&p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal W=\bigl\{x(\,\cdot\,)\in L_p(T,\mu)\colon \|\varphi(\,\cdot\,) x(\,\cdot\,)\|_{L_r(T,\mu)}<\infty\bigr\}, \\ W=\bigl\{x(\,\cdot\,)\in\mathcal W\colon \|\varphi(\,\cdot\,) x(\,\cdot\,)\|_{L_r(T,\mu)}\leqslant1\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $1\leqslant p,r\leqslant\infty$, а $\varphi(\,\cdot\,)$ – некоторая функция на $T$. Рассмотрим задачу восстановления оператора $\Lambda\colon\mathcal W\,{\to}\, L_q(T,\mu)$, $1\,{\leqslant}\, q\,{\leqslant}\,\infty$, задаваемого равенством $\Lambda x(\,\cdot\,)=\psi(\,\cdot\,) x(\,\cdot\,)$, где $\psi(\,\cdot\,)$ – некоторая функция на $T$, на классе $W$ по функции $x(\,\cdot\,)\in W$, известной с погрешностью на $T$ (будем считать, что функции $\varphi(\,\cdot\,)$ и $\psi(\,\cdot\,)$ таковы, что оператор $\Lambda$ отображает пространство $\mathcal W$ в $ L_q(T,\mu)$). Предполагается, что для каждой функции $x(\,\cdot\,)\in W$ известна функция $y(\,\cdot\,)\in L_p(T,\mu)$ такая, что $\|x(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)\|_{ L_p(T,\mu)}\leqslant\delta$, $\delta>0$. Требуется по функции $y(\,\cdot\,)$ восстановить функцию $\Lambda x(\,\cdot\,)$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon L_p(T,\mu)\to L_q(T,\mu)$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$
\begin{equation*}
e_{pqr}(m)=\sup_{\substack{x(\,\cdot\,)\in W,\ y(\,\cdot\,)\in L_p(T,\mu)\\ \|x(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)\|_{ L_p(T,\mu)}\leqslant\delta}} \|\Lambda x(\,\cdot\,)-m(y)(\,\cdot\,)\|_{ L_q(T,\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина
$$
\begin{equation}
E_{pqr}=\inf_{m\colon L_p(T,\mu)\to L_q(T,\mu)}e_{pqr}(m)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным. Рассматриваемая задача является частным случаем общей задачи восстановления линейного оператора $\Lambda$, действующего из линейного пространства $X$ в линейное нормированное пространство $Z$, на множестве $W\subset X$ по значениям линейного оператора $I$, действующего из $X$ в линейное нормированное пространство $Y$ и заданного с некоторой погрешностью $\delta$. В задаче (1.1)
$$
\begin{equation*}
X=\mathcal W,\qquad Z= L_q(T,\mu),\qquad Y= L_p(T,\mu),
\end{equation*}
\notag
$$
а оператор $I\colon\mathcal W\to L_p(T,\mu)$ определен равенством $Ix(\,\cdot\,)=x(\,\cdot\,)$. Первоначальная постановка общей задачи восстановления возникла как обобщение задачи А. Н. Колмогорова о наилучшей квадратурной формуле (см. [1]) и была поставлена С. А. Смоляком (см. [2]). В этой постановке $\Lambda$ – линейный функционал, оператор $I$ состоит из конечного набора линейных функционалов, заданных точно ($\delta=0$), а в качестве методов восстановления, в отличие от задачи о наилучших квадратурных формулах, рассматривались всевозможные методы приближения (не обязательно линейные). С. А. Смоляк доказал, что для выпуклых и центрально-симметричных множеств $W$ среди оптимальных методов существует линейный. Н. С. Бахвалов предложил обобщить эту постановку на случай, когда информация о линейных функционалах известна не точно, а с некоторой погрешностью. Оказалось, что и в этом случае имеет место аналогичный результат (см. [3]). Наиболее общий вид задача восстановления получила в работе [4], где речь шла уже о восстановлении линейного оператора в бесконечномерном случае. Вопросы существования линейного оптимального метода в случае восстановления линейного функционала рассматривались в работах [4]–[6]. Наиболее общий результат в этом направлении был получен в работе [7], а окончательный в определенном смысле (критерий существования линейного оптимального метода) – в работе [8]. В отличие от восстановления линейных функционалов, в задаче восстановления линейных операторов может не существовать линейного оптимального метода. Соответствующий пример можно найти в работе [9]. В ней были сформулированы условия, при которых среди оптимальных методов существуют линейные и имеет место равенство погрешности оптимального восстановления значению двойственной экстремальной задачи
$$
\begin{equation}
\sup\bigl\{\|\Lambda x\|_Z\colon x\in W,\ \|Ix\|_Y\leqslant\delta\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Величину (1.2) часто называют модулем непрерывности оператора $\Lambda$ на классе $W$ (относительно оператора $I$). Исследование этой величины играет важную роль при получении ряда точных неравенств типа неравенств Карлсона, неравенств для производных типа Ландау–Колмогорова, в задаче Стечкина и других. Само неравенство Карлсона оказалось тесно связанным с неравенствами для производных, например, неравенство Тайкова (см. [10]) может быть легко получено из обобщенного неравенства Карлсона (см. [11]), полученного В. И. Левиным (см. [12]) еще в 1948 г. Более подробные сведения о связи величины (1.2) с задачей Стечкина и с задачами восстановления можно найти в работах [13], [14]. Отметим еще цикл работ В. В. Арестова [15]–[18] для операторов дифференцирования на числовой оси, которые весьма близки к рассматриваемым в настоящей работе, а также подобные задачи с несколькими переменными в [19], [20]. Способ построения оптимального метода восстановления для линейных операторов, предложенный в работе [9], применим только для случая, когда все метрики в задаче (1.1) евклидовы. Для неевклидовых метрик при условии совпадения любых двух из них в работе [21] был предложен метод, который используется и в настоящей работе. Он состоит из двух этапов. На первом этапе используется оценка снизу погрешности оптимального восстановления через значение экстремальной задачи (1.2). При этом для сокращения доказательств само решение задачи (1.2) нет необходимости приводить, так как, поскольку оценка дается снизу, достаточно предъявить “правильно” выбранную допустимую функцию (хотя, как правило, эта “правильно” выбранная функция находится в результате решения самой экстремальной задачи (1.2)). На втором этапе происходит оценка сверху. Для этого рассматривается метод, представляющий собой оператор восстановления, который применялся бы при точной информации, и содержащий некоторый сглаживающий множитель. Далее, погрешность этого метод оценивается с помощью неравенства Коши–Буняковского или Гёльдера с некоторыми весами. Затем подбираются веса и сглаживающий множитель так, чтобы оценка сверху совпала с оценкой снизу. Ситуация, когда в задаче (1.1) все три параметра $p$, $q$ и $r$ различны, рассматривалась в работе [11]. Здесь схема построения оптимального метода восстановления тоже состоит из оценок снизу и сверху, но предварительно требуется более тонкое исследование функций Лагранжа для экстремальной задачи (1.2) и для экстремальной задачи, возникающей при нахождении погрешности оцениваемого метода восстановления. Этот подход, реализованный в работе [11], позволил не только найти оптимальный метод восстановления, но и получить точное неравенство типа Карлсона в достаточно общем виде. В случае однородных весов из полученного неравенства вытекает неравенство, найденное ранее в работе [22]. В настоящей работе решена задача (1.1) для однородных весов $\varphi(\,\cdot\,)$ и $\psi(\,\cdot\,)$ при $(p,q,r)\in P_1\cup P_2$, где
$$
\begin{equation*}
P_1=\bigl\{(p,q,r)\colon 1\leqslant q=r<p<\infty\bigr\}, \qquad P_2=\bigl\{(p,q,r)\colon 1\leqslant q=p<r<\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай, когда $(p,q,r)\in P=\{(p,q,r)\colon 1\leqslant q<p,r<\infty\}$, был рассмотрен ранее в работе [11]. Основные результаты работы, опирающиеся на решение задачи (1.2), состоят в получении оптимальных методов восстановления в многомерном случае для линейных операторов, задаваемых в образах Фурье умножения на однородные веса, на классах функций, определяемых через операторы подобного типа, в метриках $ L_2(\mathbb R^d)$ и $L_\infty(\mathbb R^d)$ по информации о неточно заданном преобразовании Фурье в $ L_p(\mathbb R^d)$ (теоремы 3, 5). На основе этих общих результатов получены методы оптимального восстановления степеней оператора Лапласа $(-\Delta)^{k/2}$ и производных $D^\alpha$ порядка $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$. Ранее подобные результаты были известны только для степеней оператора Лапласа при значениях $p=2,\infty$ в случае метрики $ L_2(\mathbb R^d)$ (см. [23], [24]) и $p=\infty$ в случае метрики $L_\infty(\mathbb R^d)$ (см. [25]). В настоящей работе в первом случае получены результаты для $2<p<\infty$, а во втором для $1\leqslant p<\infty$.
§ 2. Оптимальное восстановление с однородными весами при совпадении двух метрикБудем использовать обозначение
$$
\begin{equation*}
a_+=\begin{cases} a,&a\geqslant0, \\ 0,&a<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуется следующий результат, доказанный в работе [21]. Теорема 1. 1. Пусть $(p,q,r)\in P_1$. Если $\widehat\lambda_2$ является решением уравнения 2. Пусть $(p,q,r)\in P_2$. Если $\widehat\lambda_1$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\biggl(\int_T|\varphi(t)|^{pr/(p-r)}\bigl(|\psi(t)|^p-\widehat\lambda_1 \bigr)_+^{p/(r-p)}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p} \\ &\qquad =\delta\biggl(\int_T|\varphi(t)|^{pr/(p-r)}\bigl(|\psi(t)|^p-\widehat\lambda_1 \bigr)_+^{r/(r-p)}\,d\mu(t)\biggr)^{1/r}>0, \end{split} \\ \notag \widehat\lambda_2=\frac pr\delta^{p-r}\biggl(\int_T|\varphi(t)|^{pr/(p-r)} \bigl(|\psi(t)|^p-\widehat\lambda_1\bigr)_+^{p/(r-p)}\,d\mu(t)\biggr)^{(r-p)/p}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
то а метод где является оптимальным. Применим этот результат к случаю, когда $T$ – конус в линейном пространстве, $|\psi(\,\cdot\,)|$ и $|\varphi(\,\cdot\,)|$ – однородные функции порядков $k\geqslant0$ и $n>0$ ($k$ и $n$ не обязательно целые), а $\mu(\,\cdot\,)$ – однородная мера порядка $d>0$. Следствие 1. 1. Пусть $(p,q,r)\in P_1$, $k\geqslant0$, $n>k$ и 2. Пусть $(p,q,r)\in P_2$, $k>0$, $n>k+d(1/p-1/r)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1&=\int_T|\varphi(\xi)|^{pr/(p-r)}\bigl(|\psi(\xi)|^p-1\bigr)_+^{p/(r-p)}\,d\mu(\xi)<\infty, \\ J_2&=\int_T|\varphi(\xi)|^{pr/(p-r)}\bigl(|\psi(\xi)|^p-1\bigr)_+^{r/(r-p)}\,d\mu(\xi)<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда а метод является оптимальным. Доказательство. 1. Рассмотрим уравнение (2.1). Будем искать $\widehat\lambda_2$ в виде $\widehat\lambda_2=a^{(k-n)q}$, $a>0$. Сделав в уравнении (2.1) замену $t=a\xi$, получаем
$$
\begin{equation*}
a^{kq/(p-q)+d/p}I_1^{1/p}=\delta a^{n+kq/(p-q)+d/q}I_2^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем После той же замены имеем Остается подставить полученные величины в выражения для погрешности оптимального восстановления и для оптимального метода. 2. Рассмотрим уравнение (2.3). Будем искать $\widehat\lambda_1$ в виде $\widehat\lambda_1=a^{kp}$, $a>0$. Сделав в уравнении (2.3) замену $t=a\xi$, получаем
$$
\begin{equation*}
a^{nr/(p-r)+d/p}J_1^{1/p}=\delta a^{np/(p-r)+d/r}J_2^{1/r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем После той же замены имеем Подставляя полученные величины в выражения для погрешности оптимального восстановления и для оптимального метода, получаем доказываемое утверждение. § 3. Однородные веса в $\mathbb R^d$Пусть $T$ – конус в $\mathbb R^d$, $d\mu(t)=dt$, $|\psi(\,\cdot\,)|$ и $|\varphi(\,\cdot\,)|$ – однородные функции порядков $k\geqslant0$ и $n>0$, $\varphi(t)\ne0$ и $\psi(t)\ne0$ для почти всех $t\in T$. Рассмотрим сферическую систему координат
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t_1&=\rho\cos\omega_1, \\ t_2&=\rho\sin\omega_1\cos\omega_2, \\ \dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ t_{d-1}&=\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\cos\omega_{d-1}, \\ t_d&=\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\omega=(\omega_1,\dots,\omega_{d-1})$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde\psi(\omega) &=\rho^{-k}|\psi(\rho\cos\omega_1,\dots, \rho\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1})|, \\ \widetilde\varphi(\omega) &=\rho^{-n}|\varphi(\rho\cos\omega_1,\dots, \rho\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1})|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обозначим через $\Omega$ область изменения $\omega$, когда $t\in T$. Из того, что $T$ – конус, следует, что $\Omega$ не зависит от $\rho$. Положим
$$
\begin{equation*}
J(\omega)=\sin^{d-2}\omega_1\sin^{d-3}\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $1\leqslant q<p,r$, функция $\kappa^{r-q}(1-\kappa)^{-(p-q)}$ при $\kappa\in[0,1)$ монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$. Поэтому для всех $t\in T$ можно определить функцию $\kappa(t)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\frac{\kappa^{r-q}(t)}{(1-\kappa(t))^{p-q}} =\frac{|\psi(t)|^{q(p-r)}}{|\varphi(t)|^{r(p-q)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $q=r$ положим
$$
\begin{equation*}
\kappa(t)=\biggl(1-\frac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}\biggr)_+,
\end{equation*}
\notag
$$
а при $q=p$ Введем величину Пусть $k>d(1/p-1/q)$ и $n>k+d(1/q-1/r)$. Тогда легко показать, что $\gamma\in(0,1)$. Определим число $q^*$ в этом случае равенством Теорема 2. Пусть $k>d(1/p-1/q)$, $n>k+d(1/q-1/r)$ и $(p,q,r)\in P\cup P_1\cup P_2$. Предположим, что Доказательство. Случай, когда $(p,q,r)\in P$, доказан в [11; теорема 3] (в этой работе ответ дается в терминах $B$-функции с аргументами $q^*\gamma/p$ и $q^*(1-\gamma)/r$, но нам удобнее перейти к аргументам $q^*\gamma /p+1$ и $q^*(1-\gamma)/r$, что легко сделать, пользуясь свойствами $B$-функции). Остается рассмотреть два случая: $(p,q,r)\in P_1$ и $(p,q,r)\in P_2$. 1. Пусть $(p,q,r)\in P_1$. Воспользуемся следствием 1. Перейдем в интеграле $I_1$ к сферической системе координат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega\bigl(\rho^{kq}\widetilde\psi^q(\omega)- \rho^{nq}\widetilde\varphi^q(\omega)\bigr)_+^{p/(p-q)}J(\omega)\,d\omega \\ &=\int_\Omega\widetilde\psi^{qp/(p-q)}(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_0^{+\infty}\rho^{kqp/(p-q)+d-1}\biggl(1-\rho^{(n-k)q} \frac{\widetilde\varphi^q(\omega)}{\widetilde\psi^q(\omega)}\biggr)_+^{p/(p-q)}\,d\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\omega$ и сделаем во втором интеграле замену
$$
\begin{equation}
t=\rho^{(n-k)q}\frac{\widetilde\varphi^q(\omega)}{\widetilde\psi^q(\omega)}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &=\frac1{(n-k)q}\int_\Omega\widetilde\psi^{qp/(p-q)}(\omega) \biggl(\frac{\widetilde\psi(\omega)} {\widetilde\varphi(\omega)}\biggr) ^{\frac{kqp}{(p-q)(n-k)}+\frac d{n-k}}J(\omega)\,d\omega \\ &\qquad \times\int_0^1t^{\frac{kp}{(p-q)(n-k)}+\frac d{(n-k)q}-1}(1-t)^{p/(p-q)}\,dt \\ & =\frac I{(n-k)q}B\biggl(\frac{q^*\gamma}p+2,\frac{q^*(1-\gamma)}q\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проведем аналогичные вычисления для $I_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2&=\int_0^{+\infty}\rho^{nq+d-1}\,d\rho \int_\Omega\widetilde\varphi^q(\omega)\bigl(\rho^{kq}\widetilde\psi^q(\omega)- \rho^{nq}\widetilde\varphi^q(\omega)\bigr)_+^{q/(p-q)}J(\omega)\,d\omega \\ &=\int_\Omega\widetilde\varphi^q(\omega) \widetilde\psi^{q^2/(p-q)}(\omega)J(\omega)\,d\omega \\ &\qquad\times \int_0^{+\infty}\rho^{nq+kq^2/(p-q)+d-1}\biggl(1-\rho^{(n-k)q} \frac{\widetilde\varphi^q(\omega)}{\widetilde\psi^q(\omega)}\biggr)_+^{q/(p-q)}\,d\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав ту же замену (3.2), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &=\frac1{(n-k)q}\int_\Omega\widetilde\varphi^q(\omega)\widetilde \psi^{q^2/(p-q)}(\omega)\biggl(\frac{\widetilde\psi(\omega)} {\widetilde\varphi(\omega)}\biggr) ^{\frac{nq}{n-k}+\frac{kq^2}{(p-q)(n-k)}+\frac d{n-k}}J(\omega)\,d\omega \\ &\qquad \times\int_0^1t^{\frac n{n-k}+\frac{kq}{(p-q)(n-k)}+\frac d{(n-k)q}-1}(1-t)^{q/(p-q)}\,dt \\ &=\frac I{(n-k)q}B\biggl(\frac{q^*\gamma}p+1,\frac{q^*(1-\gamma)}q+1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
B_1=B\biggl(\frac{q^*\gamma}p+1,\frac{q^*(1-\gamma)}r\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, пользуясь свойствами $B$-функции, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&=\frac{q^*\gamma/p+1}{q(n-k)(q^*\gamma/p+1+q^*(1-\gamma)/q)}B_1I, \\ I_2&=\frac{q^*(1-\gamma)/q}{q(n-k)(q^*\gamma/p+1+q^*(1-\gamma)/q)}B_1I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В рассматриваемом случае (когда $r=q$)
$$
\begin{equation*}
\frac1{q^*}=\gamma\biggl(\frac1q-\frac1p\biggr), \qquad\gamma=\frac{n-k}{n+d(1/q-1/p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $q^*\gamma/p+1=q^*\gamma/q$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
I_1=\gamma\frac{B_1I}{q(n-k)}, \qquad I_2=(1-\gamma)\frac{B_1I}{q(n-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{pqq} &=I_1^{-\gamma/p}I_2^{-(1-\gamma)/q}(I_1+I_2)^{1/q}\delta^\gamma \\ &=\gamma^{-\gamma/ p} (1-\gamma)^{-(1-\gamma)/q}\biggl(\frac{B_1I}{q(n-k)}\biggr)^{\gamma(1/q-1/p)}\delta^\gamma =C\delta^\gamma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Метод (2.4) может быть записан в виде
$$
\begin{equation*}
\widehat m(y)(t)=\kappa\bigl(b^{\frac1{n+d(1/r-1/p)}}t\bigr)\psi(t)y(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b&=\delta\frac{I_2^{1/q}}{ I_1^{1/p}}=\delta\gamma^{-1/p}(1-\gamma)^{1/q} \biggl(\frac{B_1I}{q(n-k)}\biggr)^{1/q-1/p} \\ &=\delta\gamma^{-1/p}(1-\gamma)^{1/q} C^{1/\gamma}\gamma^{1/p}(1-\gamma)^{(1-\gamma)/(q\gamma)} \\ &=\delta(1-\gamma)^{1/(q\gamma)}C^{1/\gamma} =\delta\bigl((1-\gamma)C^q\bigr)^{1/(q\gamma)} =\delta\bigl((1-\gamma)C^q\bigr)^{\frac{q^*}{q}(\frac1{q}-\frac1{p})} \\ &=\delta\bigl((1-\gamma)C^q\bigr)^{q^*(p-q)/(pq^2)}=\xi_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть $(p,q,r)\in P_2$. Воспользуемся снова следствием 1. Перейдем в интеграле $J_1$ к сферической системе координат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1 &=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega \rho^{npr/(p-r)}\widetilde\varphi^{pr/(p-r)}(\omega) \bigl(\rho^{kp}\widetilde\psi^p(\omega)-1\bigr)_+^{p/(r-p)}J(\omega)\,d\omega \\ &=\int_\Omega\widetilde\varphi^{pr/(p-r)}(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_0^{+\infty}\rho^{npr/(p-r)+d-1} \bigl(\rho^{kp}\widetilde\psi^p(\omega)-1\bigr)_+^{p/(r-p)}\,d\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\omega$ и сделаем во втором интеграле замену Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1 &=\frac1{kp}\int_\Omega\widetilde\varphi^{\frac{pr}{p-r}} (\omega)\widetilde\psi^{-\frac{npr}{(p-r)k}-\frac{d}{k}}(\omega)J(\omega)\,d\omega \\ &\qquad\times \int_1^{+\infty}t^{\frac{nr}{(p-r)k}+\frac{d}{kp}-1}(t-1)^{p/(r-p)}\,dt \\ &=\frac I{kp}\int_0^1s^{\frac{nr}{(r-p)k}-\frac p{r-p}-\frac d{kp}-1}(1-s)^{p/(r-p)}\,ds =\frac I{kp}B\biggl(\frac{q^*\gamma}p+1,\frac{q^*(1-\gamma)}r+1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проведем аналогичные вычисления для $J_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2&=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega\rho^{npr/(p-r)} \widetilde\varphi^{pr/(p-r)}(\omega) \bigl(\rho^{kp}\widetilde\psi^p(\omega)-1\bigr)_+^{r/(r-p)}J(\omega)\,d\omega \\ &=\int_\Omega\widetilde\varphi^{pr/(p-r)}(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_0^{+\infty}\rho^{npr/(p-r)+d-1} \bigl(\rho^{kp}\widetilde\psi^p(\omega)-1\bigr)_+^{r/(r-p)}\,d\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав ту же замену (3.3), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2&=\frac1{kp}\int_\Omega\widetilde\varphi^{pr/(p-r)}(\omega) \widetilde\psi^{-\frac{npr}{(p-r)k}-\frac dk}(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_1^{+\infty}t^{\frac{nr}{(p-r)k}+\frac d{kp}-1}(t-1)^{r/(r-p)}\,dt \\ &=\frac I{kp}\int_0^1s^{\frac{nr}{(r-p)k}-\frac r{r-p}-\frac d{kp}-1}(1-s)^{r/(r-p)}\,ds =\frac I{kp}B\biggl(\frac{q^*\gamma}p,\frac{q^*(1-\gamma)}r+2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
B_2=B\biggl(\frac{q^*\gamma}p,\frac{q^*(1-\gamma)}r+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, пользуясь свойствами $B$-функции, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1&=\frac{q^*\gamma/p}{kp(q^*\gamma/p+q^*(1-\gamma)/r+1)}B_2I, \\ J_2&=\frac{q^*(1-\gamma)/r+1}{kp(q^*\gamma/p+q^*(1-\gamma)/r+1)}B_2I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В рассматриваемом случае (когда $q=p$)
$$
\begin{equation*}
\frac1{q^*}=(1-\gamma)\biggl(\frac1p-\frac1r\biggr), \qquad \gamma=\frac{n-k-d(1/p-1/r)}{n-d(1/p-1/r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $q^*(1-\gamma)/r+1=q^*(1-\gamma)/p$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
J_1=\gamma\frac{B_2I}{kp}, \qquad J_2=(1-\gamma)\frac{B_2I}{kp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{ppr} &=J_1^{-\gamma/p}J_2^{-(1-\gamma)/r}(J_1+J_2)^{1/p}\delta^\gamma \\ &=\gamma^{-\gamma/p} (1-\gamma)^{-(1-\gamma)/r}\biggl(\frac{B_2I}{kp}\biggr)^{(1-\gamma)(1/p-1/r)}\delta^\gamma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств $B$-функции вытекает, что
$$
\begin{equation*}
B_2=\frac{q^*(1-\gamma)/r}{q^*\gamma /p}B_1=\frac{kpB_1}{r(n-k-d(1/q-1/r))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
E_{ppr}=\gamma^{-\gamma/p}(1-\gamma)^{-(1-\gamma)/r} \biggl(\frac{B_1I}{r(n-k-d(1/q-1/r))}\biggr)^{1/q^*}\delta^\gamma =C\delta^\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Метод (2.5) может быть записан в виде
$$
\begin{equation*}
\widehat m(y)(t)=\kappa\bigl(c^{\frac1{n-d(1/p-1/r)}}t\bigr)\psi(t)y(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c &=\delta\frac{J_2^{1/r}}{J_1^{1/p}}=\delta\gamma^{-1/p}(1-\gamma)^{1/r} \biggl(\frac{B_2I}{kp}\biggr)^{1/r-1/p} \\ &=\delta\gamma^{-1/p}(1-\gamma)^{1/r} C^{-1/(1-\gamma)}\gamma^{-\gamma/(p(1-\gamma))}(1-\gamma)^{-1/r} \\ &=\delta\gamma^{-1/(p(1-\gamma))}C^{-1/(1-\gamma)} =\delta(\gamma C^p)^{-1/(p(1-\gamma))} \\ &=\delta(\gamma C^p)^{(p-r)q^*/(p^2r)}=\xi_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из работ [21], [11] вытекает, что во всех рассмотренных случаях справедливо равенство
$$
\begin{equation}
E_{pqr}=\sup_{\substack{x(\,\cdot\,)\in W\\\|x(\,\cdot\,)\|_{ L_p(T,\mu)}\leqslant\delta}}\|\Lambda x(\,\cdot\,)\|_{ L_q(T,\mu)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Отсюда легко получить, что имеет место точное неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\Lambda x(\,\cdot\,)\|_{ L_q(T,\mu)} \leqslant C\|x(\,\cdot\,)\|_{ L_p(T,\mu)}^\gamma\|\varphi(\,\cdot\,) x(\,\cdot\,)\|_{L_r(T,\mu)}^{1-\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 4. Восстановление дифференциальных операторов по неточно заданному преобразованию ФурьеПусть $T=\mathbb R^d$, $d\mu(t)=dt$, $|\psi(\,\cdot\,)|$ и $|\varphi(\,\cdot\,)|$, как и ранее, – однородные функции порядков $k\geqslant0$ и $n>0$, $\varphi(t)\ne0$ и $\psi(t)\ne0$ для почти всех $t\in\mathbb R^d$. Положим
$$
\begin{equation*}
X_p=\bigl\{x(\,\cdot\,)\in L_2(\mathbb R^d)\colon \varphi(\,\cdot\,) Fx(\,\cdot\,)\in L_2(\mathbb R^d),\ Fx(\,\cdot\,)\in L_p(\mathbb R^d)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $Fx(\,\cdot\,)$ – преобразование Фурье $x(\,\cdot\,)$
$$
\begin{equation*}
Fx(\xi)=\int_{\mathbb R^d} x(t)e^{-i\langle\xi,t\rangle}\,dt, \qquad\langle\xi,t\rangle=\xi_1t_1+\dots+\xi_dt_d.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим оператор $D$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
Dx(\,\cdot\,)=F^{-1}\bigl(\varphi(\,\cdot\,) Fx(\,\cdot\,)\bigr)(\,\cdot\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\psi(\,\cdot\,) x(\,\cdot\,)\in L_2(\mathbb R^d)$ для всех $x(\,\cdot\,)\in X_p$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda x(\,\cdot\,)=F^{-1}\bigl(\psi(\,\cdot\,) Fx(\,\cdot\,)\bigr)(\,\cdot\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим задачу об оптимальном восстановлении значений оператора $\Lambda$ по неточно заданному преобразованию Фурье функции $x(\,\cdot\,)$ на классе
$$
\begin{equation*}
W_p=\bigl\{x(\,\cdot\,)\in X_p\colon \|Dx(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}\leqslant1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что для каждой функции $x(\,\cdot\,)\in W_p$ известна функция $y(\,\cdot\,)\in L_p(\mathbb R^d)$ такая, что $\|Fx(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)\|_{ L_p(\mathbb R^d)}\leqslant\delta$, $\delta>0$. Требуется по функции $y(\,\cdot\,)$ восстановить функцию $\Lambda x(\,\cdot\,)$. Предположим, что $\Lambda x(\,\cdot\,)\in L_q(\mathbb R^d)$ для всех $x(\,\cdot\,)\in X_p$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon L_p(\mathbb R^d)\to L_q(\mathbb R^d)$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$
\begin{equation*}
e_{pq}(\Lambda,D,m) =\sup_{\substack{x(\,\cdot\,)\in W_p,\ y(\,\cdot\,)\in L_p(\mathbb R^d)\\ \|Fx(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)\|_{ L_p(\mathbb R^d)}\leqslant\delta}} \|\Lambda x(\,\cdot\,)-m(y)(\,\cdot\,)\|_{L_q(\mathbb R^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина
$$
\begin{equation}
E_{pq}(\Lambda,D)=\inf_{m\colon L_p(\mathbb R^d)\to L_q(\mathbb R^d)}e_{pq}(\Lambda,D,m)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным. 4.1. Восстановление в метрике $ L_2(\mathbb R^d)$В силу теоремы Планшереля
$$
\begin{equation*}
\|\Lambda x(\,\cdot\,)-m(y)(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}=\frac1{(2\pi)^{d/2}}\|\widetilde\Lambda x(\,\cdot\,)-F(m(y))(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde\Lambda x(\,\cdot\,)=\psi(\,\cdot\,) Fx(\,\cdot\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|Dx(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}=\frac1{(2\pi)^{d/2}}\|\varphi(\,\cdot\,) Fx(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, рассматриваемая задача с точностью до множителя $(2\pi)^{-d/2}$ совпадает с задачей (1.1) при $q=r=2$ с заменой $\varphi(\,\cdot\,)$ на $(2\pi)^{-d/2}\varphi(\,\cdot\,)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde\gamma=\frac{n-k}{n+d(1/2-1/p)}, \qquad\widetilde q=\frac1{\widetilde\gamma(1/2-1/p)}, \\ C_p(n,k)=\widetilde\gamma^{-\widetilde\gamma /p} (1-\widetilde\gamma)^{-(1-\widetilde\gamma)/2}\biggl(\frac{B(\widetilde q\widetilde\gamma/p+1,\widetilde q(1-\widetilde\gamma)/2)}{2(n-k)}\biggr)^{1/\widetilde q}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3. Пусть $k\geqslant0$, $n>k$, $2<p\leqslant\infty$, Доказательство. Случай $2<p<\infty$ вытекает из теоремы 2. Рассмотрим случай $p=\infty$. Из хорошо известной оценки снизу (см., например, [21]) имеем
$$
\begin{equation}
E_{\infty2}(\Lambda,D)\geqslant\sup_{\substack{x(\,\cdot\,)\in W_\infty \\ \|Fx(\,\cdot\,)\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\leqslant\delta}}\|\Lambda x(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Определим $\widehat x(\,\cdot\,)$ так, что
$$
\begin{equation*}
F\widehat x(\xi)= \begin{cases} \delta,&|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|, \\ 0,&|\psi(\xi)|\leqslant\lambda|\varphi(\xi)|, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda>0$ выбрано из условия
$$
\begin{equation*}
\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2\,|F\widehat x(\xi)|^2\,d\xi=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым $\lambda>0$ надо выбрать из условия
$$
\begin{equation*}
\delta^2\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\varphi(\xi)|^2\,d\xi=(2\pi)^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к сферической системе координат, получаем
$$
\begin{equation*}
\delta^2\int_{\Pi_{d-1}}\widetilde\varphi^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_1(\omega)} \rho^{2n+d-1}\,d\rho=(2\pi)^d,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi_1(\omega)=\biggl(\frac{\widetilde\psi(\omega)} {\lambda\widetilde\varphi(\omega)}\biggr)^{1/(n-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta^2}{2n+d}\lambda^{-(2n+d)/(n-k)}I=(2\pi)^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lambda=\biggl(\frac{\delta^2I}{(2\pi)^d(2n+d)}\biggr)^{(n-k)/(2n+d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
C_\infty^2(n,k)=\frac1{2k+d}(2n+d)^{(k+d/2)/(n+d/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\lambda^2=\beta$. Итак, в силу (4.3)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag E^2_{\infty2}(\Lambda,D) &\geqslant\|\Lambda\widehat x(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)}=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_ {|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi \\ \notag &=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\widetilde\psi^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_1(\omega)} \rho^{2k+d-1}\,d\rho \\ &=\frac{\delta^2}{(2k+d)(2\pi)^d}\lambda^{-(2k+d)/(n-k)}I =\frac1{(2\pi)^{d\widetilde\gamma}} C^2_\infty(n,k)I^{2/\widetilde q}\delta^{2\widetilde\gamma}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Оценим погрешность метода (4.2). Положим
$$
\begin{equation*}
a(\xi)=\biggl(1-\beta\frac{|\varphi(\xi)|^2}{|\psi(\xi)|^2}\biggr)_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к преобразованию Фурье, получаем
$$
\begin{equation*}
\|\Lambda x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} =\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)|^2\,\bigl|Fx(\xi)- a(\xi)y(\xi)\bigr|^2\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $z(\,\cdot\,)=Fx(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)$ и будем учитывать, что
$$
\begin{equation*}
\|z(\,\cdot\,)\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\leqslant\delta, \qquad\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2\,|Fx(\xi)|^2\,d\xi\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\Lambda x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} =\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)|^2\,\bigl|(1-a(\xi))Fx(\xi)+ a(\xi)z(\xi)\bigr|^2\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем подынтегральное выражение в виде
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{|\psi(\xi)|(1-a(\xi))\sqrt\beta|\varphi(\xi)|Fx(\xi)}{\sqrt\beta|\varphi(\xi)|} +\sqrt{a(\xi)}\sqrt{a(\xi)}\,|\psi(\xi)|z(\xi)\biggr|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся неравенством Коши–Буняковского Получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\Lambda x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} \\ &\qquad \leqslant\operatorname*{vraisup}_{\xi\in\mathbb R^d}S(\xi)\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\bigl(\beta|\varphi(\xi)|^2\,|Fx(\xi)|^2 +a(\xi)|\psi(\xi)|^2\,|z(\xi)|^2\bigr)\,d\xi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S(\xi)=\frac{|\psi(\xi)|^2\,|(1-a(\xi))^2}{\beta|\varphi(\xi)|^2}+a(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|\psi(\xi)|^2\leqslant\beta|\varphi(\xi)|^2$, то $a(\xi)=0$ и $S(\xi)\leqslant1$. Если $|\psi(\xi)|^2>\beta|\varphi(\xi)|^2$, то $S(\xi)=1$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^2_{\infty2}(\Lambda,D,\widehat m) &\leqslant\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\bigl(\beta|\varphi(\xi)|^2\,|Fx(\xi)|^2+ a(\xi)|\psi(\xi)|^2\,|z(\xi)|^2\bigr)\,d\xi \\ &\leqslant\beta+\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}\bigl(|\psi(\xi)|^2- \beta|\varphi(\xi)|^2\bigr)\,d\xi \\ &=\beta+\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi- \beta\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2\,|F\widehat x(\xi)|^2\,d\xi \\ &=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_ {|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi\leqslant E^2_{\infty2}(\Lambda,D). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что метод $\widehat m(y)(\,\cdot\,)$ является оптимальным и (с учетом (4.4)) При $d=1$ (в этом случае $I=2$), $D={d^n}/{dt^n}$ и $\Lambda={d^k}/{dt^k}$ утверждение теоремы 3 было получено в работе [26]. Определим оператор $(-\Delta)^{n/2}$, $n\geqslant0$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(-\Delta)^{n/2}x(\,\cdot\,)=F^{-1}\bigl(|\xi|^n Fx(\xi)\bigr)(\,\cdot\,), \qquad|\xi|=\sqrt{\xi_1^2+\dots+\xi_d^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Следствие 2. Пусть $k\geqslant0$, $n>k$, $2<p\leqslant\infty$. Тогда Доказательство. В силу того, что в рассматриваемом случае $\widetilde\psi(\omega)=\widetilde\varphi(\omega)= 1$, имеем
$$
\begin{equation*}
I=\int_{\Pi_{d-1}}J(\omega)\,d\omega=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}=I_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее применяется теорема 3. При $p=\infty$ утверждение следствия было получено в работе [24]. Выражение для $E_{22}((-\Delta)^{k/2},(-\Delta)^{n/2})$ и соответствующий оптимальный метод были получены в работе [23]. Отметим, что оптимальный метод (4.6) использует информацию о неточном преобразовании Фурье функции $x(\,\cdot\,)$, измеренном только в шаре Причем чем с большей погрешностью $\delta$ известна исходная информация, тем меньше шар, содержащий “полезную” информацию.Рассмотрим еще один пример. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb R_+^d$. Определим оператор $D^\alpha$ (производную порядка $\alpha$) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
D^\alpha x(\,\cdot\,)=F^{-1}((i\xi)^\alpha Fx(\xi))(\,\cdot\,),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(i\xi)^\alpha=(i\xi_1)^{\alpha_1}\dotsb(i\xi_d)^{\alpha_d}$. Функция $|(i\xi)^\alpha|$ является однородной функцией порядка $k=\alpha_1+\dots+\alpha_d$. Рассмотрим задачу (4.1) при $\Lambda=D^\alpha$ и $D=(-\Delta)^{n/2}$. Следствие 3. Пусть $n>k$, $2<p\leqslant\infty$. Тогда Доказательство. По известной формуле Дирихле
$$
\begin{equation*}
\int_{\substack{\xi_1\geqslant0,\dots,\xi_d\geqslant0\\ \xi_1^2+\dots+\xi_d^2\leqslant1}}\xi_1^{p_1-1}\dotsb\xi_d^{p_d-1}\,d\xi_1\dotsb d\xi_d =\frac{\Gamma(p_1/2)\dotsb\Gamma(p_d/2)} {2^d\Gamma(p_1/2+\dots+p_d/2+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
$p_1,\dots,p_d>0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\xi_1^2+\dots+\xi_d^2\leqslant1}|\xi_1|^{p_1-1}\dotsb|\xi_d|^{p_d-1}\,d\xi_1\dotsb d\xi_d =\frac{\Gamma(p_1/2)\dotsb\Gamma(p_d/2)} {\Gamma(p_1/2+\dots+p_d/2+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к сферическим координатам:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,p_1,\dots,p_d)J(\omega)\,d\omega\int_0^1\rho^{p_1+\dots+p_d-1}\, d\rho =\frac{\Gamma(p_1/2)\dotsb\Gamma(p_d/2)}{\Gamma(p_1/2+\dots+p_d/2+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi(\omega,p_1,\dots,p_d)=|{\cos\omega_1}|^{p_1-1}\dotsb |{\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}}|^{p_d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,p_1,\dots,p_d)J(\omega)\,d\omega=2\frac{\Gamma(p_1/2) \dotsb\Gamma(p_d/2)}{\Gamma(p_1/2+\dots+p_d/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для величины $I$ из теоремы 3 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I &=\int_{\Pi_{d-1}}|{\cos\omega_1}|^{\alpha_1\widetilde q}\dotsb |{\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}}|^{\alpha_d\widetilde q}J(\omega)\,d\omega \\ &=\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,\alpha_1\widetilde q+1,\dots,\alpha_d\widetilde q+1)J(\omega)\,d\omega \notag \\ &=2\frac{\Gamma((\alpha_1\widetilde q+1)/2) \dotsb\Gamma((\alpha_d\widetilde q+1)/2)}{\Gamma((k\widetilde q+d)/2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы 3. Рассмотрим случай $p=2$. Он довольно близок к исследованиям, проведенным в работах [27], [28], хотя класс, на котором восстанавливался оператор $D^\alpha$, здесь другой. Теорема 4. Пусть $n>k>0$. Тогда Доказательство. Положим для $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat\xi=\frac1{\sqrt k}\biggl(\frac{(2\pi)^d}{\delta^2}\biggr)^{1/(2n)}(\sqrt{\alpha_1}, \dots,\sqrt{\alpha_d}), \qquad\widehat\xi_\varepsilon=\widehat\xi\biggl(1-\frac\varepsilon{|\widehat\xi|}\biggr), \\ B_\varepsilon=\{\xi\in\mathbb R^d\colon |\xi-\widehat\xi_\varepsilon|<\varepsilon\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $x_\varepsilon(\,\cdot\,)$ так, что
$$
\begin{equation*}
Fx_\varepsilon(\xi)= \begin{cases} \dfrac\delta{\sqrt{\operatorname{mes} B_\varepsilon}},&\xi\in B_\varepsilon, \\ 0,&\xi\notin B_\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\|Fx_\varepsilon(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)}=\delta^2$,
$$
\begin{equation*}
\|(-\Delta)^{n/2}x_\varepsilon(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} =\frac{\delta^2}{(2\pi)^d\operatorname{mes} B_\varepsilon}\int_{B_\varepsilon}|\xi|^{2n}\,d\xi \leqslant\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}|\widehat\xi|^{2n}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь оценкой, аналогичной (4.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{22}^2(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2}) &\geqslant\sup_{\substack{\|(-\Delta)^{n/2}x(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}\leqslant1 \\ \|Fx(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}\leqslant\delta}}\|D^\alpha x(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} \\ &\geqslant\|D^\alpha x_\varepsilon(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)}=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d\operatorname{mes} B_\varepsilon}\int_{B_\varepsilon}|\xi^{2\alpha}|\,d\xi \\ &=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}|\xi_0^{2\alpha}|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi_0$ – некоторая точка из $B_\varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем оценку Будем искать оптимальные методы среди методов, имеющих вид (4.10). Переходя к преобразованию Фурье, получаем
$$
\begin{equation*}
\|D^{\alpha}x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} =\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\xi^{2\alpha}|\,\bigl|Fx(\xi)- a(\xi)y(\xi)\bigr|^2\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $z(\,\cdot\,)=Fx(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)$ и будем учитывать, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}|z(\xi)|^2\,d\xi\leqslant\delta^2, \qquad\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\xi|^{2n}\,|Fx(\xi)|^2\,d\xi\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|D^{\alpha}x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} =\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\xi^{2\alpha}|\,\bigl|\bigl(1-a(\xi)\bigr)Fx(\xi)+ a(\xi)z(\xi)\bigr|^2\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем подынтегральное выражение в виде
$$
\begin{equation*}
|\xi^{2\alpha}|\,\biggl|\frac{(1-a(\xi))\sqrt{\lambda_2}|\xi|^nFx(\xi)}{\sqrt{\lambda_2}|\xi|^n}+ \frac{a(\xi)}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\lambda_1}}(2\pi)^{d/2}\sqrt{\lambda_1}z(\xi)\biggr|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского, получим следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|D^{\alpha}x(\,\cdot\,)-\widehat m(y)(\,\cdot\,)\|^2_{ L_2(\mathbb R^d)} \\ &\qquad \leqslant\operatorname*{vraisup}_{\xi\in\mathbb R^d}S(\xi)\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\bigl(\lambda_2|\xi|^{2n}\,|Fx(\xi)|^2+ (2\pi)^d\lambda_1|z(\xi)|^2\bigr)\,d\xi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S(\xi)=|\xi^{2\alpha}|\biggl(\frac{|1-a(\xi)|^2}{\lambda_2|\xi|^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2} {(2\pi)^d\lambda_1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если предположить, что $S(\xi)\leqslant1$ для почти всех $\xi$, то, учитывая (4.12), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &e^2_{22}(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2},\widehat m) \\ &\qquad\leqslant\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\bigl(\lambda_2|\xi|^{2n}\,|Fx(\xi)|^2+ (2\pi)^d\lambda_1|z(\xi)|^2\bigr)\,d\xi \\ &\qquad\leqslant\lambda_2+\lambda_1\delta^2=\frac{\alpha^\alpha} {k^k}\biggl(\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\biggr)^{1-k/n}\leqslant E_{22}^2(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Отсюда вытекает оптимальность рассматриваемых методов и равенство (4.9). Остается доказать, что множество функций $a(\,\cdot\,)$, удовлетворяющих условию (4.11), не пусто. Условие (4.11) можно переписать в эквивалентной форме
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|a(\xi)-\frac{(2\pi)^d\lambda_1}{(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}}\biggr|^2 \\ &\qquad \leqslant\frac{(2\pi)^d\lambda_1\lambda_2|\xi|^{2n}}{|\xi^{2\alpha}|((2\pi)^d\lambda_1+ \lambda_2|\xi|^{2n})^2}(-|\xi^{2\alpha}|+(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому достаточно показать, что при всех $\xi\in\mathbb R^d$
$$
\begin{equation}
{-}|\xi^{2\alpha}|+(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}\geqslant0.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. [29]) следует, что
$$
\begin{equation*}
|\xi^{2\alpha}|\leqslant\frac{\alpha^\alpha}{k^k}|\xi|^{2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функцию $y(s)=s^{k/n}$, $s\geqslant0$. Касательная к этой функции в любой точке $s_0>0$ имеет вид Функция $y(\,\cdot\,)$ вогнутая, поэтому при всех $s\geqslant0$
$$
\begin{equation*}
s^{k/n}\leqslant\frac kns_0^{k/n-1}s+\frac{n-k}ns_0^{k/n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $s_0=|\widehat\xi|^{2n}$, $s=|\xi|^{2n}$, получаем
$$
\begin{equation*}
|\xi^{2\alpha}|\leqslant\frac{\alpha^\alpha}{k^k}|\xi|^{2k} \leqslant\frac{\alpha^\alpha}{k^k}\biggl(\frac kn|\widehat\xi|^{2(k-n)}|\xi|^{2n}+\frac{n-k}n|\widehat\xi|^{2k}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=\frac{\alpha^\alpha(n-k)}{(2\pi)^dk^kn}|\widehat\xi|^{2k}, \qquad\lambda_2= \frac{\alpha^\alpha}{k^{k-1}n}|\widehat\xi|^{2(k-n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
|\xi^{2\alpha}|\leqslant(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n},
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно неравенству (4.14). 4.2. Восстановление в метрике $L_\infty(\mathbb R^d)$Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \gamma_1=\frac{n-k-d/2}{n+d(1/2-1/p)}, \qquad q_1=\frac1{1/2+\gamma_1(1/2-1/p)}, \\ \widetilde C_p(n,k)=\gamma_1^{-\gamma_1/p} (1-\gamma_1)^{-(1-\gamma_1)/2}\biggl(\frac{B\bigl(q_1\gamma_1/p+1,q_1(1-\gamma_1)/2\bigr)} {2(n-k-d/2)}\biggr)^{1/q_1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Пусть функция $\kappa_1(\,\cdot\,)$ при $1<p<\infty$ определена равенством
$$
\begin{equation*}
\frac{\kappa_1(t)}{(1-\kappa_1(t))^{p-1}}=\frac{|\psi(t)|^{p-2}}{|\varphi(t)|^{2(p-1)}},
\end{equation*}
\notag
$$
при $p=1$ а при $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\kappa_1(t)=\biggl(1-\frac{|\varphi(t)|^2}{|\psi(t)|}\biggr)_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть $k\geqslant0$, $n>k+d/2$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $k+p>1$, Доказательство. В силу оценки, аналогичной (4.3), имеем
$$
\begin{equation*}
E_{p\infty}(\Lambda,D)\geqslant\sup_{\substack{x(\,\cdot\,)\in W_p\\ \|Fx(\,\cdot\,)\|_{ L_p(\mathbb R^d)}\leqslant\delta}}\|\Lambda x(\,\cdot\,)\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $x(\,\cdot\,)\in W_p$ и $\|Fx(\,\cdot\,)\|_{ L_p(\mathbb R^d)}\leqslant\delta$. Если взять $\widehat x(\,\cdot\,)$ таким, что
$$
\begin{equation*}
F\widehat x(\xi)=\varepsilon(\xi)e^{-i\langle t,\xi\rangle}Fx(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(\xi)= \begin{cases} \dfrac{\overline{\psi(\xi)}\overline{Fx(\xi)}}{|\psi(\xi)Fx(\xi)|},&\psi(\xi)Fx(\xi)\ne0, \\ 0,&\psi(\xi)Fx(\xi)=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
то $\widehat x(\,\cdot\,)\in W_p$, $\|F\widehat x(\,\cdot\,)\|_{ L_p(\mathbb R^d)}\leqslant\delta$ и Поэтому Пусть $1\leqslant p<\infty$. Из (3.4) вытекает, что где в задаче о нахождении $E_{p12}$ функцию $\varphi(\,\cdot\,)$ следует заменить на функцию $(2\pi)^{-d/2}\varphi(\,\cdot\,)$, а функцию $\psi(\,\cdot\,)$ на $(2\pi)^{-d}\psi(\,\cdot\,)$. Применяя теорему 2, получаем
$$
\begin{equation*}
E_{p\infty}(\Lambda,D)\geqslant E_{p12}=\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\widetilde C_p(n,k)I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из той же теоремы 2 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^d}\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\psi(\xi)Fx(\xi)-m(y)(\xi)\biggr|\,d\xi\leqslant E_{p12},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
m(y)(\xi)=\frac1{(2\pi)^d}\kappa_1\bigl(\xi_1^{\frac1{n+d(1/2-1/p)}}\xi\bigr)\psi(\xi)y(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi-\int_{\mathbb R^d}m(y)(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi\biggr| \\ &\qquad \leqslant\int_{\mathbb R^d}\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\psi(\xi)Fx(\xi)-m(y)(\xi)\biggr|\,d\xi\leqslant E_{p12} \leqslant E_{p\infty}(\Lambda,D). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что метод $\widehat m(y)(\,\cdot\,)$ является оптимальным, а погрешность оптимального восстановления совпадает с величиной $E_{p12}$. Теперь рассмотрим случай, когда $p=\infty$. Положим
$$
\begin{equation*}
s(\xi)=\begin{cases} \dfrac{\psi(\xi)}{|\psi(\xi)|},&\psi(\xi)\ne0, \\ 1,&\psi(\xi)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть функция $\widehat x(\,\cdot\,)$ такова, что
$$
\begin{equation*}
F\widehat x(\xi)= \begin{cases} \delta\overline{s(\xi)},&|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2, \\ \dfrac\delta\lambda\,\dfrac{\overline{\psi(\xi)}}{|\varphi(\xi)|^2}, &|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\lambda>0$ так, что $\|D\widehat x(\,\cdot\,)\|_{ L_2(\mathbb R^d)}=1$. Тогда для нахождения $\lambda$ получаем уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}|\varphi(\xi)|^2\,d\xi +\frac{\delta^2\lambda^{-2}}{(2\pi)^d} \int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2}\frac{|\psi(\xi)|^2 }{|\varphi(\xi)|^2}\,d\xi=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к сферическим координатам, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\widetilde\varphi^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_2(\omega)} \rho^{2n+d-1}\,d\rho \\ &\qquad\qquad +\frac{\delta^2\lambda^{-2}}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}} \frac{\widetilde\psi^2(\omega)}{\widetilde\varphi^2(\omega)} J(\omega)\,d\omega\int_{\Phi_2(\omega)}^{+\infty}\rho^{-2n+2k+d-1}\,d\rho=1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi_2(\omega)= \biggl(\frac{\widetilde\psi(\omega)}{\lambda\widetilde\varphi^2(\omega)}\biggr)^{1/(2n-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым получаем уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\lambda^{-(2n+d)/(2n-k)} \frac{4n-2k}{(2n+d)(2n-2k-d)}I=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda=\biggl(\frac{\delta^2(4n-2k)}{(2\pi)^d(2n+d)(2n-2k-d)}I\biggr)^{(2n-k)/(2n+d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.16) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag E_{\infty\infty}(\Lambda,D) &\geqslant\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)||F\widehat x(\xi)|\,d\xi \\ \notag &=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2} |\psi(\xi)|\,d\xi +\frac\delta{\lambda(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2} \frac{|\psi(\xi)|^2}{|\varphi(\xi)|^2}\,d\xi \\ \notag &=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\widetilde\psi(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_0^{\Phi_2(\omega)}\rho^{k+d-1}\,d\rho \\ \notag &\qquad +\frac\delta{\lambda(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}} \frac{\widetilde\psi^2(\omega)}{\widetilde\varphi^2(\omega)}J(\omega) \,d\omega\int_{\Phi_2(\omega)}^{+\infty}\rho^{-2n+2k+d-1}\,d\rho \\ \notag &=\frac{\delta\lambda^{-(k+d)/(2n-k)}}{(2\pi)^d(k+d)}I +\frac\delta{\lambda(2\pi)^d(2n-2k-d)} \lambda^{(2n-2k-d)/(2n-k)}I \\ &=\frac{\delta(2n-k)\lambda^{-(k+d)/(2n-k)}I}{(2\pi)^d(k+d)(2n-2k-d)}=\nu, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\nu=\frac{(n+d/2)^{(k+d)/(2n+d)}}{k+d}\biggl(\frac{(2n-k)I}{(2\pi)^d(2n-2k-d)}\biggr) ^{(2n-k)/(2n+d)}\delta^{(2n-2k-d)/(2n+d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что для всех $x(\,\cdot\,)\in X_\infty$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Lambda x(t) &=\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}\bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad +\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)\overline{F\widehat x(\xi)}e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}\bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad\qquad +\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)\overline{F\widehat x(\xi)}e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad =\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}\bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad\qquad +\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2} \lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad\qquad +\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad =\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi=\Lambda x(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим погрешность метода
$$
\begin{equation*}
m(y)(t)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2} \bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)y(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\Lambda x(t)-m(y)(t)| \\ &\qquad=\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad\qquad -\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}\bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)y(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi\biggr| \\ &\qquad \leqslant\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi \\ &\qquad\qquad -\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}\bigl(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2\bigr)Fx(\xi)e^{i\langle t,\xi\rangle}\,d\xi\biggr| \\ &\qquad\qquad +\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}|\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2|\,|Fx(\xi)-y(\xi)|\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x(\,\cdot\,)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|Fx(\,\cdot\,)-y(\,\cdot\,)\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\leqslant\delta, \qquad \frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2\,|Fx(\xi)|^2\,d\xi\leqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
учитывая (4.18), получаем
$$
\begin{equation*}
|\Lambda x(t)-m(y)(t)|\leqslant\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)||F\widehat x(\xi)|\,d\xi+\mu \leqslant\frac\lambda\delta+\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mu=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2}(|\psi(\xi)|- \lambda|\varphi(\xi)|^2)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Выше было вычислено (см. первое слагаемое в оценке (4.17))
$$
\begin{equation*}
\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2} |\psi(\xi)|\,d\xi= \frac{\delta\lambda^{-(k+d)/(2n-k)}}{(2\pi)^d(k+d)}I.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\delta\lambda}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\geqslant\lambda|\varphi(\xi)|^2} |\varphi(\xi)|^2\,d\xi \\ &\qquad=\frac{\delta\lambda}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}} \widetilde\varphi^2(\omega)J(\omega)\,d\omega \int_0^{\Phi_2(\omega)}\rho^{2n+d-1}\,d\rho \\ &\qquad =\frac{\delta\lambda^{-(k+d)/(2n-k)}}{(2\pi)^d(2n+d)}I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mu=\frac{\delta\lambda^{-(k+d)/(2n-k)}(2n-k)}{(2\pi)^d(k+d)(2n+d)}I.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что $\lambda/\delta+\mu=\nu$, поэтому
$$
\begin{equation*}
e_{\infty\infty}(\Lambda,D,m)\leqslant\nu\leqslant E_{\infty\infty}(\Lambda,D).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $m(y)(\,\cdot\,)$ – оптимальный метод, а погрешность оптимального восстановления равна $\nu$. Несложная проверка показывает, что при $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\widetilde C_\infty(n,k)I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1}=\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим $\xi_1$ при $p=\infty$. Имеем
$$
\begin{equation}
\xi_1=\delta(1-\gamma_1)^{q_1/2}\biggl(\frac{ \widetilde C_\infty(n,k)I^{1/q_1}}{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\biggr)^{q_1/2}=\lambda^{(n+d/2)/(2n-k)}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Метод $m(y)(\,\cdot\,)$ может быть записан в виде
$$
\begin{equation*}
m(y)(\,\cdot\,)=F^{-1}\biggl(\biggl(1-\lambda\frac{|\varphi(\xi)|^2}{|\psi(\xi)|}\biggr)_+\psi(\xi) y(\xi)\biggr)(\,\cdot\,).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу равенства (4.19) Следствие 4. Пусть $k\geqslant0$, $n>k$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $k+p>1$. Тогда Утверждения следствия 4 для $p=1,2,\infty$ были получены в работе [30]. Там же рассмотрен случай, когда $p=1$, а $k=0$. Следствие 5. Пусть $k\geqslant0$, $n>k+d/2$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $k+p>1$. Тогда Утверждения следствия 5 для $p=\infty$ были получены в работе [25]. Рассмотрим теперь применение теоремы 5 к операторам $\Lambda=D^\alpha$ и $D=(-\Delta)^{n/2}$. Следствие 6. Пусть $k=\alpha_1+\dots+\alpha_d>0$, $n>k+d/2$, $1\leqslant p\leqslant\infty$. Тогда Доказательство. Величина $I$ из теоремы 5 в рассматриваемом случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
I=\int_{\Pi_{d-1}}|{\cos\omega_1}|^{\alpha_1q_1}\dotsb |{\sin\omega_1\sin\omega_2\dotsb\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}}|^{\alpha_dq_1}J(\omega)\,d\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (4.8), получаем равенство (4.20). Теперь утверждение следствия непосредственно вытекает из теоремы 5. БлагодарностиАвтор признателен рецензентам за ценные замечания и советы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi22} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|