| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 12 научных статьях (всего в 12 статьях) Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9468 
Реферативные базы данных:
     § 1. Математический биллиардОпределение 1. Пусть закон движения $x(t) $ материальной точки в некотором топологическом пространстве $\Omega $ является непрерывной функцией и однозначно определяется начальным положением $x_0 \,{\in}\, \Omega $ и начальным вектором скорости $v_0 $ в некоторый момент времени $t_0 \in \mathbb{R}$. Тогда для любого вектора скорости $v_0 $ можно рассмотреть функцию, сопоставляющую начальному значению $x_0$ закон движения $x(t) $ в пространстве непрерывных функций $C^0(\mathbb{R}, \Omega)$. Если функция, отображающая начальное положение $x_0 $ в пространство $C^0(\mathbb{R}, \Omega)$, непрерывна, то будем говорить о непрерывности закона движения $x(t) $ материальной точки в зависимости от начального положения. Определение 2. Рассмотрим некоторую компактную область $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ с кусочно гладкой границей и углами излома $\pi/2$. Пусть материальная точка движется по прямой с постоянной скоростью внутри этой области $\Omega $ и отражается от гладкой части границы $\partial \Omega $ без потери скорости и естественным образом: угол падения равен углу отражения. В остальных случаях движение этой материальной точки определяется исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. Тогда математическим биллиардом (биллиардом) в области $\Omega $ называется динамическая система, описываемая движением этой материальной точки. Замечание 1. Движение материальной точки по прямой внутри области и отражение ее от гладкой границы задает непрерывный закон движения относительно начального положения. Особые случаи, такие как попадание траектории биллиарда в угол излома и касание границы, доопределяются так, чтобы закон движения все так же оставался непрерывным относительно начального положения. Это свойство биллиарда гарантирует непрерывность фазового потока на фазовом пространстве. Замечание 2 (о первых интегралах в биллиардах). У динамической системы биллиарда всегда есть один первый интеграл – гамильтониан, являющийся полной энергией системы и равный половине квадрата длины вектора скорости (без ограничения общности считаем, что масса материальной точки равна единице). Значит, биллиард является гамильтоновой динамической системой с двумя степенями свободы. Из теории гамильтоновых систем следует, что для интегрируемости биллиарда необходим еще один первый интеграл. В общем случае для произвольной области $\Omega $ его может не существовать. Но если подобрать “хорошую” область $\Omega$, то можно найти функцию, которая будет первым интегралом. Например, если $\Omega $ является прямоугольником, то интегралом является угол наклона траектории биллиарда, если кругом – то интегралом является радиус окружности, которой касается траектория. Есть еще один класс интегрируемых биллиардов, о котором пойдет речь в следующем параграфе. § 2. Элементарный биллиардОпределение 3. Семейством софокусных квадрик (cофокусным семейством) называется множество кривых на плоскости $\mathbb{R}^2$ с евклидовыми координатами $(x, y)$, описываемых уравнением где $a > b > 0$ – параметры этого семейства, а число $\lambda \in (-\infty, a]$ – параметр кривой из этого семейства или параметр квадрики. Параметры софокусного семейства $a, b $ будут фиксированы на протяжении всей работы, поэтому в дальнейшем мы будем говорить просто о софокусном семействе, не уточняя его параметров. Замечание 3. Кривая из софокусного семейства является эллипсом при $\lambda \in (-\infty, b)$, гиперболой при $\lambda \in (b, a)$, прямой при $\lambda=a$ и при $\lambda=b$. Эллипсы и гиперболы из этого семейства имеют одни и те же фокусы и пересекаются под прямым углом. Прямая в случае $\lambda=b$ проходит через фокусы, а в случае $\lambda=a$ проходит через середину отрезка, соединяющего фокусы, и ортогональна ему. Определение 4. Рассмотрим элементарную биллиардную область – компактную область $\Omega $ в плоскости $\mathbb{R}^2$, граница которой состоит из дуг софокусных квадрик (см. пример на рис. 1), пересекающихся под углом ${\pi}/{2}$, направленным внутрь области $ \Omega$. Биллиард в области $\Omega $ называется элементарным биллиардом. Определение 5. В элементарной биллиардной области $\Omega $ дуга квадрики $l $ называется выпуклой, если для каждой точки $x \in l $ существует такая окрестность $U(x)$, что $U(x) \cap \Omega $ является выпуклым множеством (см. рис. 1). В противном случае дуга называется невыпуклой. Замечание 4 (об особых траекториях в элементарном биллиарде). Опишем подробнее, как выглядит движение материальной точки элементарного биллиарда в области $ \Omega $ в случаях, отличающихся от отражения от гладкой части границы. Его мы определили исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. Есть два случая такого движения. 1. Пусть траектория материальной точки, отвечающая закону движения $x(t)$, попала в угол излома. Из определения элементарной биллиардной области следует, что он равен $\pi/2$. Без ограничения общности будем считать, что начальный момент времени $t_0 $ был до попадания траектории в угол, но после последнего отражения от границы области, а также ориентируем область, как показано на рис. 2, a. Рассмотрим малую окрестность $U $ точки $x(t_0)$. Тогда для одного подмножества ($ U_1 $ на рис. 2, a) начальных значений из окрестности $U $ есть траектории, в которых материальная точка отразилась от левой границы, а потом от верхней, для другого подмножества ($ U_2 $ на рис. 2, a) – сначала от верхней, потом от левой. Причем так как угол равен $\pi/ 2$, то предел с обеих сторон одинаковый: материальная точка идет по прямой, попадает в угол, отражается и идет в обратную сторону вдоль той же прямой. 2. Пусть траектория $x(t) $ в момент времени $t_1 $ касается гладкой части границы $ \partial \Omega$. Если дуга, которой касается траектория, невыпуклая, то материальная точка продолжает движение по прямой. Если выпуклая, то траектория идет вдоль границы. Такой результат можно получить, рассмотрев, как и в предыдущем случае, близкие траектории. В этих двух случаях они изображены на рис. 2, b и 2, c. На этих рисунках $t_0 $ – начальный момент времени. Из классической теоремы Якоби–Шаля вытекает следующее свойство элементарного биллиарда (см. подробности в работе В. В. Козлова и Д. В. Трещева [1]). Лемма 1. Звенья любой траектории в элементарном биллиарде либо лежат на касательных к фиксированной квадрике из того же софокусного семейства, что и граница элементарной биллиардной области, либо проходят через любой из фокусов (рис. 3).  Рис. 3.Иллюстрация леммы 1: a – сегменты траектории касаются эллипса, b – гиперболы, c – сегменты траектории лежат на прямых, содержащих хотя бы один из фокусов $ F_1 $ или $ F_2$. Определение 6. Кривая, которой касаются звенья траектории в элементарном биллиарде, называется каустикой (огибающей). Замечание 5 (об интегрируемости элементарного биллиарда). Элементарный биллиард является интегрируемой гамильтоновой динамической системой с двумя первыми интегралами (см. [1; гл. 4, § 2]): гамильтонианом (полной энергией системы) и параметром каустики (поскольку каустика является кривой из фиксированного софокусного семейства, то ее можно задать одним параметром). Подробнее фазовое пространство и формулы описанных выше интегралов будут представлены ниже для более общего случая. § 3. Биллиардная книжкаВ этом параграфе рассмотрим обобщение элементарного биллиарда, сконструированное В. В. Ведюшкиной: склеим несколько элементарных биллиардных областей, и пусть материальная точка, ударяясь от границы, переходит с одного листа на другой (рис. 4). Определение 7. Рассмотрим несколько элементарных биллиардных областей. Выберем из них несколько с общей, как подмножество плоскости, дугой квадрики. Склеим изометрично эти области вдоль этой квадрики. Такая операция называется склейкой элементарных биллиардных областей. Определение 8. Рассмотрим двумерный клеточный комплекс $X=X^0 \cup X^1 \cup X^2$, полученный несколькими склейками односвязных элементарных биллиардных областей, со следующим естественным разбиением на клетки. Двумерными клетками является внутренность этих элементарных биллиардных областей. Одномерными – дуги квадрик (гладкие сегменты границ этих областей). Нульмерными – точки излома границ этих областей. Заметим, что на двумерных клетках этого комплекса можно ввести метрику, индуцированную метрикой плоскости, в которую эти области вложены. Клеточный комплекс $X $ с метрикой на двумерных клетках $X^2 $ называется биллиардным комплексом. Его двумерные клетки называются листами, одномерные – корешками, нульмерные – угловыми точками. Также заметим, что на элементарных биллиардных областях по определению задано непрерывное вложение в плоскость $\mathbb{R}^2$. Значит, на двумерных клетках $X^2 $ этого комплекса определено непрерывное отображение $\rho\colon X^2 \to \mathbb{R}^2 $ (это отображение уже не обязано быть вложением). Доопределим его на всем комплексе $X $ по непрерывности. Получившееся отображение $ \rho\colon X \to \mathbb{R}^2 $ биллиардного комплекса в плоскость называется каноническим. Определение 9. Биллиардной книжкой $\mathscr{B} $ называется динамическая система, описывающая движение материальной точки в биллиардном комплексе $X=X^0 \cup X^1 \cup X^2 $ (см. рис. 4) со следующими свойствами. 1. К корешкам $e^1 \in X^1 $ приписаны перестановки $\Sigma[e^1]$, действующие на листах биллиардного комплекса и описывающие переход материальной точки с одного листа на другой. 2. Для любого корешка $e^1 \in X^1 $ перестановка $\Sigma[e^1] $ является циклической перестановкой тех листов, границами которых является этот корешок. 3. Материальная точка внутри листов движется по прямой. 4. Если материальная точка с листа $e^2\,{\in}\, X^2 $ попадает на корешок $e^1\,{\in}\,X^1$ под углом, то она переходит на другой лист по перестановке $\Sigma[e^1]$, либо абсолютно упруго отражаясь от корешка $e^1$, либо продолжая свое движение без отражения. Последнее зависит от расположения листов $e^2 $ и $\Sigma[e^1](e^2)$. Если они расположены по одну сторону от корешка $e^1$, то материальная точка абсолютно упруго отражается, если по разные – продолжает движение по прямой. 5. Если траектория касается некоторого невыпуклого (в смысле определения 5) корешка $e^1 \in X^1$, к которому приписана нетождественная перестановка $\Sigma[e^1]$, то она не определена в точке касания. 6. В остальных случаях движение материальной точки возможно доопределить исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. Замечание 6 (об интегрируемости биллиардной книжки). Рассмотрим образ канонического отображения $\rho $ (см. определение 8) любой траектории материальной точки в биллиардной книжке $\mathscr{B}(X, \Sigma)$. Получим некоторое движение в плоскости. Оно является либо движением по прямой, либо отражением от некоторой квадрики из фиксированного семейства. Значит, у такого движения есть те же функции, которые сохраняются вдоль траектории, что и у элементарного биллиарда. Значит, в биллиардной книжке есть такие же первые интегралы, как и в элементарном биллиарде: полная энергия и параметр каустики. Из этого следует, что биллиардная книжка так же, как и элементарный биллиард, является интегрируемой гамильтоновой динамической системой. Но главное преимущество обобщения элементарного биллиарда в том, что динамическая система биллиардной книжки устроена сложнее и позволяет реализовывать больший класс других интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Поэтому важно подробнее описать эту динамическую систему. Замечание 7 (о невыпуклых склейках). Пусть корешок $e^1 $ в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ является невыпуклым хотя бы для одного листа, для которого он является границей, а перестановка $\Sigma[e^1] $ не является тождественной. Тогда траекторию, которая касается дуги $e^1$, невозможно определить исходя из непрерывности закона движения материальной точки относительно начального положения. Это происходит из-за того, что есть близкие ей траектории, которые продолжают движение по тому же листу, что и шли, и траектории, которые переходят по перестановке $\Sigma[e^1] $ на другой лист (рисунок аналогичен рис. 2, b). Поэтому траектория, которая касается такого корешка, не определена в точках касания согласно определению 9, п. 5 биллиардной книжки. Можно было бы запретить такие корешки (невыпуклые склейки). Тогда определялись бы все траектории, и фазовый поток был бы полным. Но нас в первую очередь интересуют слоения Лиувилля. А они корректно определены даже в случае невыпуклых склеек (см. подробнее ниже). То обстоятельство, что на некоторых слоях такого слоения интегральные траектории системы не определены, не влияет на бифуркации слоев слоения Лиувилля. Кроме того, для реализации грубых молекул нам необходимы биллиардные книжки с невыпуклыми склейками, так как они обеспечивают необходимое число бифуркаций. Если все склейки выпуклы, то особых слоев всего три, а этого недостаточно для реализации произвольной молекулы со сколь угодно большим числом седловых особенностей. Замечание 8 (о нумерации листов биллиардной книжки). Для удобства описания перестановок введем нумерацию на листах $N\colon X^2 \to \mathbb{N} $ и будем рассматривать перестановки уже не на листах, а на их номерах. При этом обозначение биллиардной книжки расширяется до $\mathscr{B}(X, \Sigma, N)$. В расширенном определении биллиардные книжки считаются эквивалентными, если они совпадают с точностью до перенумерации листов. Поскольку для реализации грубых молекул нам понадобятся не все биллиардные книжки, выделим в их классе подклассы и далее будем работать только с ними. Для этого воспользуемся обозначением из классификации [2] В. В. Фокичевой (В. В. Ведюшкиной). Определение 10. Зафиксируем гиперболу с некоторым параметром $\widetilde{\lambda} $ и будем говорить, что элементарная биллиардная область имеет тип $B_0$, если она ограничена слева вертикальной прямой (квадрикой с параметром $a $), справа гиперболой с параметром $\widetilde{\lambda}$, сверху эллипсом с параметром $0$, снизу эллипсом с произвольным параметром (рис. 5). Снизу дуга эллипса должна быть невыпуклой. Элементарная область типа $A'_0 $ выглядит так же, за исключением того, что снизу она ограничена горизонтальной прямой, т.е. квадрикой с параметром $b $ (рис. 6). Определение 11. Биллиардная книжка принадлежит классу $\mathbf{a}$ (классу $\mathbf{b}$), если все ее листы имеют тип $A'_0 $ ($ B_0 $ или $A'_0 $), и правым границам всех листов соответствуют тождественные перестановки, а нижним границам всех листов – нетождественные. Замечание 9. Класс $\mathbf{b} $ биллиардных книжек расширяет класс $\mathbf{a}$. Поскольку для реализации грубых молекул необходимы биллиардные книжки класса $\mathbf{b}$, то далее будем рассматривать только этот класс. Определение 12. Пусть дана биллиардная книжка $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ класса $\mathbf{b}$. Для каждого параметра квадрики $\lambda \in [0, a] $ определим перестановку $\sigma[\lambda]$, называемую перестановкой на квадрике, как композицию всех перестановок, соответствующих таким одномерным клеткам, которые являются дугами квадрики с параметром $\lambda$. То есть где $X^1_{\lambda} $ – это множество одномерных клеток, являющихся дугой квадрики с параметром $\lambda$. Замечание 10. Покажем, что определение 12 перестановки на квадрике корректно, т.е. не зависит от порядка перемножения перестановок. Напомним, что для любого корешка $e^1 $ перестановка $ \Sigma[e^1] $ является циклической перестановкой листов, границами которых является этот корешок (см. определение 9). Так как книжка $\mathscr{B} $ принадлежит классу $\mathbf{b}$, то циклы в перестановках $\Sigma[e^1]$ таких, что $e^1 \in X^1_{\lambda'}$, не пересекаются. Значит, эти перестановки можно перемножать в произвольном порядке. Для удобства будем записывать перестановки на квадриках в виде разложения в произведение независимых циклов, явно выписывая циклы длины один, поскольку каждый из циклов в разложении соответствует некоторому корешку. Замечание 11. Согласно определению 12 перестановки на квадриках определены для каждого параметра $ \lambda \in [0, a]$. Таким образом, получается параметрическое семейство перестановок $ \sigma[\lambda]$. Но заметим, что только конечное число таких перестановок окажутся нетождественными, поскольку корешков конечное число. Лемма 2 (о коммутирующих перестановках). Биллиардная книжка класса $\mathbf{b} $ корректно определена тогда и только тогда, когда для любого параметра $\lambda$, соответствующего некоторому корешку, перестановки $\sigma[\lambda] $ и $\sigma[a] $ на квадриках коммутируют. Замечание 12. Лемма 2 является частным случаем [3; лемма 2] и переформулирована в терминах перестановок на квадриках для биллиардных книжек класса $\mathbf{b}$. Корректность биллиардной книжки может быть нарушена в том случае, когда не выполнен п. 6 определения 9 биллиардной книжки. То есть, только когда существует такое движение $x(t) $ материальной точки, которое невозможно доопределить исходя из непрерывности ее закона движения относительно начального положения. Это может возникнуть, когда существует два принципиально разных, но при этом близких движения к $x(t)$. В случае некоммутирующих перестановок такое движение возникает (см. детали в [3]). § 4. Конструирование биллиардных книжек по перестановкамЛемма 3 (о конструировании биллиардной книжки класса $\mathbf{b} $ по семейству перестановок на квадриках). Пусть задано параметрическое семейство перестановок $\sigma[\lambda] $ с параметром $ \lambda \in [0, a]$ со следующими свойствами. 1. Есть только конечное число нетождественных перестановок из семейства $\sigma[\lambda]$. Они отвечают параметрам $ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{k-1},\lambda_k$, а также, возможно, $0$ и $a$ таким, что $0<\lambda_1<\lambda_2<\dots <\lambda_{k-1}<\lambda_k \leqslant b<a$, $ k \in \mathbb{N}$. 2. Обозначим через $N_1,N_2,\dots,N_k,N_0,N_a$ множества чисел, на которые действуют нетождественно перестановки $\sigma[\lambda_1],\sigma[\lambda_2], \dots,\sigma[\lambda_k],\sigma[0]$ и $ \sigma[a] $ соответственно. Потребуем, чтобы множества $ N_i $ не пересекались, где $i=1,\dots,k$. Также потребуем: $ N_0 \subset \bigcup_{i=1}^k N_i$, $ N_a \subset \bigcup_{i=1}^k N_i$. 3. Перестановка $\sigma[a] $ коммутирует с любой другой перестановкой из семейства $ \sigma[\lambda]$. Тогда существует единственная биллиардная книжка класса $\textbf{b} $ такая, что ее семейство перестановок на квадриках совпадает с семейством $\sigma[\lambda]$. Доказательство. Итак, дано семейство перестановок $\sigma[\lambda] $ с параметром $ \lambda\,{\in}\, [0, a]$ с указанными выше свойствами. Построим по ним биллиардную книжку $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ класса $ \mathbf{b}$. Единственность будет вытекать из построения $\sigma[\lambda]$.
Количество листов биллиардной книжки класса $\mathbf{b} $ определено однозначно множеством $ \bigcup_{i=1}^k N_i$, поскольку согласно определению 10 все листы такой книжки должны иметь нетождественную перестановку на нижнем корешке. Поэтому эта перестановка возникнет в виде нетривиального цикла в какой-нибудь из перестановок $ \sigma[\lambda_i] $ при разложении их в независимые циклы, а значит, и в некотором множестве $ N_i$. Каждому числу $ j \in N_i $ сопоставим лист $ e^2 $ биллиардной книжки $\mathscr{B}$. Этот лист будет ограничен сверху эллипсом с параметром $ 0$, справа – гиперболой с параметром $ \widetilde{\lambda} $ (параметр $\widetilde{\lambda} $ зафиксирован в определении 10), слева – вертикальной прямой, т.е. квадрикой с параметром $ a$, снизу – квадрикой с параметром $ \lambda_i $ (эллипсом, если $ \lambda_i<b$, или горизонтальной прямой, если $ \lambda_i=b $). Снизу и справа границы невыпуклые, сверху и слева – выпуклые. Таким образом, этот лист будет типа $B_0$, если $ \lambda_i<b$, или типа $A'_0$, если $ \lambda_i=b$. Из условия 2 на семейство перестановок $\sigma[\lambda] $ следует, что существует единственное множество $ N_i$, которое содержит число $j$. Значит, можно занумеровать этот лист номером $j$, т.е. положим $ N(e^2)=j$. Поскольку биллиардная книжка $\mathscr{B} $ принадлежит классу $\mathbf{b}$, то справа лист $j $ ни с чем не склеивается, а перестановка, приписанная правому корешку, – тождественная. Слева этот лист склеивается по перестановке $\sigma[a] $ следующим образом. Рассмотрим разложение перестановки $\sigma[a] $ в произведение независимых циклов. Найдем тот независимый цикл $\gamma$, в котором встречается номер $j$. Он может быть единичной длины. Тогда листы с номерами из этого цикла склеены между собой по левой границе, и к их общему корешку $e^1 $ приписан этот цикл, т.е. $ \Sigma[e^1]=\gamma$. Листы, с которыми этот лист склеен сверху, и перестановка, приписанная верхнему корешку, определяется по перестановке $\sigma[0] $ аналогично перестановке $\sigma[a]$. Склейка снизу определяется по перестановке $\sigma[\lambda_i] $ также аналогично. Таким образом, для каждого листа однозначно определены его граница и перестановки, приписанные корешкам. Это значит, что биллиардный комплекс $X $ и перестановки $ \Sigma $ задаются однозначно. Покажем, что получившаяся книжка корректно задана и на ней можно определить движение материальной точки. Пункт 2 определения 9 биллиардной книжки выполняется по построению. Движение материальной точки на такой биллиардной книжке $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ задается оставшимися пунктами определения 9. Это движение можно корректно определить в силу леммы 2 о коммутирующих перестановках и условия 3 на семейство перестановок $\sigma[\lambda]$. Из описанного выше построения и определения 12 семейства перестановок на квадриках следует, что для получившейся биллиардной книжки $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ это семейство совпадает с семейством $\sigma[\lambda]$. Лемма доказана. Лемма 4 (о конструировании биллиардной книжки класса $\mathbf{a} $ по трем перестановкам). Пусть все перестановки параметрического семейства $ \sigma[\lambda] $ с параметром $\lambda \in [0, a] $ тождественны, кроме, возможно, перестановок $ \sigma[0]$, $ \sigma[b] $ и $ \sigma[a]$, а также перестановка $\sigma[a] $ коммутирует двумя остальными. Обозначим через $ N_0$, $ N_b$, $N_a$ множества чисел, на которые действуют нетождественно перестановки $ \sigma[0]$, $ \sigma[b] $ и $ \sigma[a] $ соответственно. Пусть верны включения $ N_0 \subset N_b $ и $ N_a \subset N_b$. Тогда по семейству $ \sigma[\lambda] $ с параметром $\lambda \in [0, a] $ однозначно строится биллиардная книжка класса $\mathbf{a}$ такая, что ее семейство перестановок на квадриках совпадает с этим семейством. Доказательство. Этот факт является частным случаем леммы 3. В этом случае $ k= 1$, $ \lambda_1=b$, а все листы имеют тип $A'_0 $ и снизу ограничены горизотальной прямой (квадрикой с параметром $ b $). Лемма доказана.
§ 5. Фазовое пространство биллиардной книжки класса $\mathbf{b}$. ИнтегралыРассмотрим биллиардную книжку $\mathscr{B}(X=X^0 \cup X^1 \cup X^2, \Sigma, N) $ класса $\mathbf{b}$. Движение материальной точки по клеточному комплексу $X $ задает динамическую систему биллиардной книжки $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ на некотором фазовом пространстве $M^4$. Точка на фазовом пространстве должна описывать состояние этой системы. Его можно задать положением материальной точки на комплексе и вектором скорости. Считаем, что вектор скорости не равен нулю. На границе листов из-за отражения и перехода материальной точки с листа на лист векторы скорости будут устроены сложнее: некоторые векторы необходимо будет склеить, чтобы движение отвечало движению материальной точки в биллиардной книжке. Итак, нужно рассмотреть несвязное объединение всех листов, считая границу для каждого листа отдельно: Тогда фазовое пространство $M^4 $ – это пространство кокасательного расслоения над $[ X]^2$. Поскольку метрика плоская, то можем отождествить касательное и кокасательное расслоение. Учитывая отражение от границы листов и то, что вектор скорости не равен нулю, получаем
$$
\begin{equation}
M^4=[ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})/\sim,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где отношение эквивалентности описывает отражение от границы листов материальной точки и переход с листа на лист. Опишем подробнее это отношение эквивалентности. Для этого нам понадобится определение проекции расслоения, введенное по аналогии с терминологией расслоений. Определение 13. Проекцией расслоения назовем отображение $\pi \colon [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) \to X$, которое является композицией проекции $[ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) $ на $[ X]^2 $ и отображения $[ X]^2 $ на $X$, отображающее двумерные клетки в себя тождественно, а их границу в соответствующие клетки меньшей размерности. Функцию $N $ (см. замечание 8), отвечающую номеру листа, можно расширить на многообразие $[ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) $ следующим естественным образом. Если $x \in X^2$, $v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, то положим $ \widetilde{N}(x, v)=N(x)$. На границе функцию $ \widetilde{N}\colon [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) \to \mathbb{N} $ доопределяем по непрерывности. Поскольку границу каждого листа в $[ X]^2 $ мы считаем отдельно, то доопределить на границе по непрерывности мы можем. Отношение эквивалентности в (5.2) задается по-разному в разных частях границы, так как отражение в них разное. А именно, есть три случая: первый – отражение от границы, второй и третий определяются из непрерывности закона движения материальной точки в зависимости от начального положения и были описаны в лемме 2 о коммутирующих перестановках. Разберем эти три случая, проиллюстрированные на рис. 7. I. Случай отражения от дуги. Когда материальная точка попадает на корешок (одномерную клетку) под углом, то угол падения равен углу отражения. Иными словами, пусть две точки $(x_1, v_1), (x_2, v_2) \in [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ удовлетворяют следующим условиям: $\bullet$ $ \pi(x_1, v_1)=\pi(x_2, v_2) \in e^1 $ для некоторого $e^1 \in X^1 $ (см. в определении 13); $\bullet$ $ \Sigma[e^1](\widetilde{N}(x_1, v_1))=\widetilde{N}(x_2, v_2)$; $\bullet$ вектор $v_1 $ направлен наружу листа c номером $\widetilde{N}(x_1, v_1)$, а вектор $v_2 $ – внутрь листа c номером $\widetilde{N}(x_2, v_2)$, причем ни один из векторов не направлен по касательной к корешку $e^1 $; $\bullet$ $ |v_1|=|v_2| $ и $v_1-v_2 $ ортогонален касательной к корешку $e^1$, т.е. отражение является абсолютно упругим. Тогда считаем, что $ (x_1, v_1) \sim (x_2, v_2)$. II. Случай касания кривой границы. Касание материальной точки выпуклой границы дает движение вдоль дуги квадрики, при касании невыпуклой – движение не определено (см. определение 9 и замечание 7). Однако на фазовом пространстве эти два случая не отличаются. Дело в том, что такое положение материальной точки задает однозначно состояние динамической системы: материальная точка находится на некотором корешке и идет по направлению касательной. Это состояние должно отвечать точке на фазовом пространстве. Но если в невыпуклом случае интегральная кривая достигает этой точки на фазовом пространстве за конечное время, то далее она однозначно не определяется. Поэтому на траекториях мы эту точку выкалываем, а на фазовом пространстве – нет. Из непрерывности закона движения относительно начального положения получаем, что если траектория касается дуги квадрики, то она принадлежит сразу всем листам, граничащим с этой дугой. Иными словами, пусть две точки $(x_1, v_1), (x_2, v_2) \in [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ удовлетворяют следующим условиям: $\bullet$ $ \pi(x_1, v_1)=\pi(x_2, v_2) \in \overline{e}^1 $ для некоторого $e^1 \in X^1 $; $\bullet$ $ \Sigma[e^1](\widetilde{N}(x_1, v_1))=\widetilde{N}(x_2, v_2)$; $\bullet$ $ v_1=v_2 $; $\bullet$ векторы $v_1 $ и $v_2 $ направлены по касательной к корешку $e^1$. Тогда считаем, что $ (x_1, v_1) \sim (x_2, v_2)$. III. Случай угловой точки. В этом случае материальная точка идет по прямой на некотором листе с номером $ i$, попадает на некоторую угловую точку $e^0$, отражается и идет в обратную сторону вдоль той же прямой на листе с номером $ \sigma[\lambda'] \circ \sigma[\lambda''](i)$, где $ \lambda' $ и $ \lambda'' $ – параметры квадрик, которые пересекаются в точке $ \rho(e^0)$, a $ \rho $ отображает угловую точку $e^0 $ на плоскость $\mathbb R^2$. Иными словами, пусть две точки $(x_1, v_1), (x_2, v_2) \in [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ удовлетворяют следующим условиям: $\bullet$ $ \pi(x_1, v_1)=\pi(x_2, v_2)=e^0 $ для некоторой угловой точки $e^0 \in X^0 $; $\bullet$ $ \sigma[\lambda'] \circ \sigma[\lambda''] (\widetilde{N}(x_1, v_1))=\widetilde{N}(x_2, v_2)$, где $ \lambda' $ и $ \lambda'' $ – параметры квадрик, которые пересекаются в точке $ \rho(e^0)$, a $ \rho $ отображает угловую точку $e^0 $ на плоскость $\mathbb R^2 $ (см. определение 8); $\bullet$ вектор $v_2 $ направлен внутрь листа c номером $\widetilde{N}(x_2, v_2)$, и $v_1= -v_2$. Тогда считаем, что $ (x_1, v_1) \sim (x_2, v_2)$. Профакторизовав точки на $[X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) $ по описанному выше отношению эквивалентности, получаем фазовое пространство $M^4$. Траектории в биллиардной книжке соответствуют некоторой кривой на $ M^4. $ Также заметим, что на фазовом пространстве $M^4 $ естественно определяется топология, полученная из топологии на клеточном комплексе и плоскости, отвечающей пространству векторов скорости. Замечание 13. Расширим определение 13 проекции расслоения. Нетрудно заметить, что в описанном выше отношении эквивалентности мы отождествляли только точки, у которых $ \pi(x_1, v_1)=\pi(x_2, v_2). $ Это означает, что проекцию расслоения можно определить не на произведении $ [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$, а на фазовом пространстве $ M^4$, т.е. далее считаем, что $ \pi \colon M^4 \to X. $ Замечание 14 (явный вид первых интегралов). Теперь, определив фазовое пространство $M^4$, можем выписать явные формулы первых интегралов биллиардной книжки класса $\mathbf{b}$. Итак, пусть $m \in M^4$. Берем любой элемент $m' $ из класса эквивалентности точки $m$, описанного выше. Это точка из $[ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$. Рассмотрим композицию $\rho \circ \pi\colon [ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) \to \mathbb{R}^2$, где $\rho $ – каноническое отображение биллиардного комплекса в плоскость (см. определение 8), а $\pi $ – проекция расслоения (см. определение 13). Воспользуясь этим отображением, можем связать c $[ X]^2 \times (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) $ декартовы координаты в плоскости $\mathbb{R}^2$. А значит, точке $ m' $ можно сопоставить декартовы координаты $(x_1, x_2, v_1, v_2)$ в пространстве $\mathbb{R}^4$. Без ограничения общности считаем, что масса материальной точки равна единице. Тогда первые интегралы имеют вид: Значение обоих первых интегралов не зависит от выбора представителя $m'$. Этот факт проверяется явной подстановкой в них точек, которые мы отождествили. Это означает, что первые интегралы корректно определены на всем фазовом пространстве $M^4$. Определение 14. Изоэнергетическим многообразием называется топологическое пространство $Q^3 := \{m \in M^4\colon H(m)=h \}$ с топологией, индуцированной топологией на $M^4$, где $h > 0 $ – фиксированное число, а $H(m) $ – гамильтониан (в случае биллиардных книжек он задается уравнением (5.3)). Обратим внимание, что изначально не предполагается, что топологическое пространство $Q^3 $ и фазовое пространство $M^4 $ биллиардной книжки являются многообразиями. Поэтому важны следующая теорема и следствие из нее, доказательство которых можно найти в статье И. С. Харчевой [3]. Теорема 1. Для любой биллиардной книжки изоэнергетическое многообразие $Q^3=\{x \in M^4\colon H(x)=h\} $ для фиксированного $h > 0$ действительно является топологическим кусочно гладким трехмерным многообразием. Следствие 1. Для любой биллиардной книжки фазовое пространство $ M^4 $ является четырехмерным топологическим кусочно гладким многообразием, гомеоморфным декартову произведению изоэнергетического многообразия $ Q^3 $ и интервала. Таким образом, в биллиардной книжке на фазовом пространстве $M^4 $ определены непрерывные функции $ H $ и $ \Lambda$, являющиеся гладкими функциями в точках гладкости многообразия $M^4$. Эти функции являются первыми интегралами (см. подробнее § 6). Замечание 15. Заметим, что на изоэнергетическом многообразии $Q^3 $ первый интеграл $\Lambda $ является квадратичным, поскольку $v_1^2+v_2^2=\mathrm{const}$. Таким образом, замечательной особенностью биллиардных книжек является то, что на них имеется простой квадратичный и наглядный (отвечающий параметру каустики) первый интеграл. При этом биллиардные книжки эквивалентны другим динамическим системам с более сложными первыми интегралами, например случаям динамики твердого тела (см. [4]) и интегрируемым геодезическим потокам на ориентируемых двумерных поверхностях (см. [5]). Таким образом, биллиардные книжки позволяют понижать степень дополнительного интеграла, поскольку во многих системах дополнительные интегралы имеют степень больше двух. Эквивалентность таких систем была установлена при помощи инвариантов Фоменко–Цишанга, о которых пойдет речь в следующем параграфе. § 6. Атом. Грубая молекулаБудем изучать топологию изоэнергетического многообразия $Q^3$, расслаивая его на уровни интеграла $ \Lambda$, отвечающего параметру каустики. Для этого нам понадобятся элементы теории инвариантов Фоменко–Цишанга, а именно понятия атомов и грубых молекул (см. работы А. Т. Фоменко [6], [7]). Пусть на гладком многообразии $X^2 $ задана функция Морса $f \colon X^2\,{\to}\, \mathbb{R}$, т.е. гладкая функция, у которой в критических точках невырождена матрица Гессе вторых частных производных. Определение 15. Введем на многообразии $X^2 $ следующее отношение эквивалентности: на каждом уровне функции $f $ точки $x_1 $ и $x_2 \in X^2$ считаем эквивалентными, если они принадлежат одной компоненте связности. Профакторизуем многообразие $X^2 $ по этому отношению эквивалентности. Получим граф (рис. 8), который называется графом Риба для функции $f $ на многообразии $X^2$. Определение 16. Рассмотрим достаточно малую $\varepsilon$-окрестность некоторой точки графа Риба, принадлежащей связной компоненте слоя, где есть критическая точка. Ее прообраз с точностью до послойного диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию критических окружностей и многообразия $X^2$, называется $2$-атомом. Замечание 16. Все $2$-атомы сложности не больше трех перечислены и закодированы общепринятыми обозначениями в книге А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [8]. В нашей работе мы будем пользоваться обозначениями этой книги. Замечание 17. Все вершины графа Риба лежат на критических слоях. Кроме того, множество критических значений имеет меру нуль, а в прообразе всех регулярных значений лежат окружности. Определение 17. Граф Риба вместе с указанными атомами в соответствующих точках на нем называется грубой молекулой для функции $f $ на многообразии $X^2 $ (см. рис. 8). Замечание 18 (об ориентации ребер на грубой молекуле). Заметим, что грубая молекула, отвечающая некоторой функции $f$, обычно рассматривается как неориентированный граф, но, вообще говоря, при ее построении можно ввести ориентацию так, что ребра графа будут направлены по возрастанию функции $f$. Замечание 19 (о круговых молекулах). Обратим внимание, что существуют также круговые грубые молекулы. Это такие грубые молекулы, в которых при их рассмотрении как ориентированных графов (см. замечание 18) встречаются циклы. Они возникают в случае, когда образом интеграла является не отрезок или действительная прямая $\mathbb{R}$, а, например, $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$. В настоящей статье мы такие случаи не рассматриваем. Кроме того, эти случаи невозможно реализовывать биллиардами, подобными биллиардным книжкам. Это происходит, потому что интеграл $\Lambda$, отвечающий параметру каустики, принимает значения на отрезке $[\lambda', a]$, где $\lambda' $ – минимальный параметр эллипса, являющегося дугой границы. Но вместо этого интеграл обладает другими “хорошими” свойствами, описанными в замечании 15. Таким образом, для любой грубой молекулы $W$, рассматриваемой в этой статье, на графе нет циклов, а значит, мы можем определить топологический порядок на вершинах, в том числе определить такую непрерывную функцию $f\colon W \to \mathbb{R}$, что если атомы $P$ и $Q$ соединены ребром в направлении от атома $P$ к атому $Q$, то $f(P)<f(Q)$. Теперь перейдем к четырехмерным фазовым многообразиям и определим аналогичным образом граф Риба, $3$-атомы и грубые молекулы в этом случае. Пусть задана гамильтонова динамическая система $g^t\colon \mathbb{R} \times M^4 \to M^4 $ на гладком компактном многообразии $M^4 $ (фазовом пространстве) с гамильтонианом $ H $ и симплектической структурой $\omega$. Допустим, что у этой системы есть дополнительный первый интеграл $\Lambda$, функционально независимый с гамильтонианом $H$. Предположим также, что векторные поля $\omega^{ij} \,{\partial H}/{\partial x^j} $ и $\omega^{ij}\, {\partial \Lambda}/{\partial x^j} $ полны, т.е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой. Определение 18. Если для первых интегралов $H $ и $\Lambda $ выполнено равенство $\{H, \Lambda\} := \omega^{ij}({\partial H}/{\partial x^i})({\partial \Lambda}/{\partial x^j})=0$, то говорят, что эти интегралы находятся в инволюции, а система является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Определение 19. Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой по Лиувиллю системе, называется разбиение многообразия $M^4 $ на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов $H $ и $\Lambda$. Будем считать, что данная система $ g^t $ на $ M^4 $ – вполне интегрируемая по Лиувиллю. Для такой системы рассмотрим изоэнергетическое многообразие $Q^3 := \{m \in M^4\colon H(m)=c\}$, где $c $ – некоторая фиксированная константа. Второй первый интеграл $\Lambda $ можно теперь рассмотреть как функцию на многообразии $Q^3$. Граф Риба, $3$-атомы и грубая молекула для гладкой функции $\Lambda \colon Q^3 \to \mathbb{R} $ определяются аналогично двумерному случаю. Согласно теореме Лиувилля, которую можно, например, найти в [8; теорема 1.2], регулярный уровень функции $\Lambda $ состоит из двумерных торов, называемых торами Лиувилля. Определение 20. Две системы называются грубо лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм баз слоений Лиувилля, который может быть локально (в окрестности каждой точки базы) поднят до послойного гомеоморфизма. Теорема 2 (А. Т. Фоменко). Две интегрируемые гамильтоновы системы грубо лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их грубые молекулы совпадают. Замечание 20. $3$-атомы и грубые молекулы являются частью полного инварианта вполне интегрируемых гамильтоновых систем на четырехмерном многообразии – меченой молекулы (см. [8], [9]). Замечание 21 (гамильтоновость биллиардных книжек в точках гладкости). В случае биллиардных книжек фазовое пространство $M^4 $ является кусочно гладким многообразием. В точках гладкости явным вычислением можно проверить, что динамическая система биллиардной книжки является гамильтоновой со стандартной симплектической структурой Пусть дана динамическая система $g^t\colon \mathbb{R} \times M^4 \to M^4 $ на кусочно гладком компактном многообразии $M^4 $ (фазовом пространстве), у которой есть два первых интеграла $H $ и $ \Lambda $ (здесь под первым интегралом подразумевается непрерывная функция, которая сохраняется вдоль любой траектории). Граф Риба можно определить так же, как и в определении 17, для топологического многообразия и, в частности, для кусочно гладкого. Определение 21. Рассмотрим прообраз точки $\xi $ на графе Риба, построенного для первого интеграла $\Lambda\colon Q^3 \rightarrow \mathbb{R} $ на изоэнергетическом кусочно гладком многообразии $Q^3 := \{m \in M^4\colon H(m)=c\}$. Пусть этот прообраз не является регулярным, т.е. не гомеоморфен кусочно гладкому двумерному тору Лиувилля. Прообраз $ \varepsilon $-окрестности этой точки $\xi$, рассматриваемый с точностью до послойного гомеоморфизма, называется $3$-атомом. Определение 22. Граф Риба с указанными $3$-атомами в соответствующих вершинах называется грубой молекулой для функции $\Lambda $ на изоэнергетическом кусочно гладком многообразии $Q^3$. Замечание 22. Заметим, что сформулированные определения действительно являются обобщениями. Иными словами, если динамическая система является гладкой и вполне интегрируемой по Лиувиллю, то эти определения $3$-атомов и грубых молекул совпадут с классическими. Кроме того, в негладком случае нельзя пользоваться теоремой Лиувилля, доказательство которой требует гладкость фазового пространства. Поэтому в случае биллиардных книжек (и любых других биллиардов) нет гарантии, что регулярные слои будут состоять из торов. Например, в случае биллиардов, области которых содержат тупые углы, на регулярных слоях вместо торов возникают сферы с несколькими ручками и выколотыми точками (см. работы В. И. Драгович, М. Раднович [10], В. А. Москвина [11]). Поэтому топологию каждого слоя интеграла $\Lambda $ мы будем определять методом В. В. Фокичевой (В. В. Ведюшкиной), описанным в работах [2], [12], а именно для каждого уровня мы будем явно находить, чему он гомеоморфен. Оказывается, построенные для биллиардных книжек грубые молекулы в основном имеют обычный вид: в прообразе ребер графа грубой молекулы – двумерные торы, в прообразе вершин – $3$-атомы, подчиняющиеся классификации из книги А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [8], о которой пойдет речь в следующем параграфе. § 7. Структура атомовВ этом параграфе мы кратко опишем нужные нам элементы теории атомов и молекул, изложенной в [8]. $2$-атомы описывают перестройку одного набора окружностей в другой, $3$-атомы описывают перестройку двумерных торов. 2 и $3$-атомы бывают двух видов: атомы $A$, отвечающие минимуму или максимуму интеграла $\Lambda$, и седловые атомы, отвечающие промежуточным (седловым) критическим значениям интеграла $\Lambda$. Минимаксные $2$-атомы $A $ послойно гомеоморфны двумерному диску $D$, расслоенному на окружности и точку. Минимаксные $3$-атомы $A $ послойно гомеоморфны полноторию $D \times S^1$, расслоенному на торы и окружность. Седловые 2 и $3$-атомы устроены сложнее. Для их описания нам понадобятся следующие определения. Определение 23. Крестом называется прообраз $\varepsilon$-окрестности точки $0 $ функции $x^2-y^2$, заданной в некоторой достаточно малой $\delta $-окрестности точки $(0, 0) $ вместе со структурой слоения, необходимой для того, чтобы говорить о послойном гомеоморфизме (рис. 9). Здесь уровень $x^2-y^2=0 $ критический. Ребро креста – это пересечение креста с границей $ \delta $-окрестности точки $(0, 0)$, т.е. $(|x^2-y^2|<\varepsilon) \cap (x^2+y^2=\delta)$. Теорема 3 (А. Т. Фоменко). Любой седловой $2$-атом $P$ можно представить как склейку из $k \in \mathbb{N} $ крестов вдоль их ребер так, чтобы каждый уровень $( x^2-y^2=c)$, $c \in (-\varepsilon,+\varepsilon)$, на одном кресте склеивался с таким же уровнем на другом кресте (рис. 10). Число $k $ называется сложностью $2$-атома $P$. Теорема 4 (А. Т. Фоменко). Любой ориентируемый $2$-атом допускает гладкое погружение в сферу, а потому и в плоскость, с сохранением ориентации. Замечание 23. $3$-атомы бывают как ориентируемыми, так и неориентируемыми. Если на каком-то критическом уровне возникает неориентируемый атом, то изоэнергетическое 3-многообразие в целом получается неориентируемым. В теории интегрируемых гамильтоновых систем встречаются только ориентируемые многообразия, поэтому вопрос о представлении неориентируемых $3$-атомов мы здесь обсуждать не будем. Замечание 24 (о явной конструкции $3$-атомов). Согласно теореме Фоменко (см. [8; теорема 3.3]) любой ориентируемый $3$-атом невырожденной системы является расслоением Зейферта над $2$-атомом, причем особые слои этого расслоения могут иметь только тип $ (2, 1)$. Иными словами, любой ориентируемый седловой $3$-атом может быть получен одним из двух следующих способов. Первый способ описывает $3$-атомы без звездочек. Они могут быть получены прямым произведением некоторого ориентируемого седлового $2$-атома на окружность $S^1$. Второй способ устроен несколько сложнее. Здесь мы опишем $3$-атом со звездочками. Пусть дан ориентируемый седловой $2$-атом $\widehat{P}$. Для определенности фиксируем на нем функцию Морса $ \widehat{f}$, которая задает слоение. Предположим, что на $2$-атоме задано гладкое отображение $ \tau\colon \widehat{P} \to \widehat{P}$, обладающее следующими свойствами: 1) $ \tau^2=\mathrm{id}$ (инволюция); 2) $ \tau $ сохраняет уровни, т.е. $\widehat{f}(\tau(x))=\widehat{f}(x)$; 3) $ \tau $ сохраняет ориентацию; 4) некоторое конечное число критических точек является неподвижными точками инволюции $\tau$. Для построения $3$-атома рассмотрим цилиндр $\widehat{P} \times [0, 2\pi] $ и склеим его основания по инволюции $\tau$, отождествляя точки $(x, 2\pi) $ и $(\tau (x), 0) $ для каждого $x \in \widehat{P}$. В результате мы получим ориентируемое 3-многообразие $U $ c краем. Функция $\widehat{f} $ естественным образом продолжается на $U$, поскольку $\widehat{f}(\tau(x))=\widehat{f}(x)$, и ее поверхности уровня задают структуру слоения на $U $ с единственным особым слоем. Многообразие $U $ cо структурой слоения, заданной функцией $f$, является $3$-атомом со звездочками. Если профакторизовать $\widehat{P} $ по инволюции $\tau$, получим другой $2$-атом $P$. Выделим на нем звездочками точки на критической окружности, которые сохраняются под действием инволюции $\tau$. Полученный $2$-атом $P$ с выделенными звездочками называется $2$-атомом со звездочками, а $2$-атом $\widehat{P} $ называется дублем $2$-атома $P$. Кроме того, $3$-атом $\widehat{P} \times S^1 $ называется дублем $3$-атома $U$. Иногда после факторизации получается кольцо со звездочками, расслоенное на окружности. В этом случае считаем, что у нас атом $A $ со звездочками. Отметим, что дубль $\widehat{P} $ является разветвленным двулистным накрытием над $2$-атомом $P$, причем точками ветвления являются как раз звездочки атома $P$. А также обратим внимание, что дублей у одного атома со звездочкой может быть несколько, и все они задают один и тот же $3$-атом (см. [8; лемма 3.3]). Поэтому многообразие $U $ однозначно определяется атомом со звездочками $P$. Таким образом, все ориентируемые $3$-атомы можно описать обычными ориентируемыми $2$-атомами и ориентируемыми $2$-атомами, на которых стоит конечное число звездочек на критическом уровне. Пример 1. На рис. 11 приведены примеры $3$-атомов. Атом $A $ минимума и максимума функции описывает сжатие торов на окружность. Атом $B $ является прямым произведением $2$-атома $B $ на окружность и описывает перестройку одного тора в два. Атом $A^* $ устроен несколько сложнее атома $ B $: нужно удалить из полнотория лишь одно полноторие, но обходящее два раза вдоль оси. Особый слой получается протаскиванием вдоль окружности вращающейся восьмерки, успевающей провернуться на угол $ \pi $ за один оборот. При прохождении через особый уровень этого $3$-атома один тор перестраивается в один тор. Замечание 25 (о возможных дублях двумерных торов). Выделим кольцо на регулярном уровне $2$-атома $\widehat{P}$, являющегося дублем для $2$-атома $P$ при инволюции $\tau$. Под действием инволюции $\tau $ это кольцо может перейти в другое кольцо или в себя же. Значит, выбранной окружности на $2$-атоме $P$ со звездочками может соответствовать 1 или 2 тора на дубле $\widehat{P}$. В то же время выбранному тору на $3$-атоме со звездочками, соответствующему $2$-атому $P$, может отвечать 1 или 2 тора на дубле $\widehat{P} \times S^1$. То есть дублем для окружности (тора) может быть одна или две окружности (тора). Например, если рассмотреть дубль $B $ для $2$-атома $A^* $ с инволюцией, переводящей одну половину “восьмерки” в другую, то внешней окружности $2$-атома $A^* $ на рис. 12 будет соответствовать одна окружность на дубле, а внутренней – две. Таблица 1.Пример конструирования дубля для $2$-атома $B^{***}$; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\zeta$, $\eta $ задают склейку двух разрезанных копий $2$-атома $B^{***} $ в дубль
Замечание 26 (о явном конструировании дублей для атомов). Пусть дан $2$-атом $P$ сложности $k $ с $l $ звездочками. Сконструируем для него дубль и укажем на нем инволюцию с неподвижными точками, находящимися на месте звездочек. Фиксируем некоторую звездочку. Разрежем $2$-атом $P$ по любому из колец до некоторой звездочки (см. пример в табл. 1). Проделаем эту операцию для каждой звездочки. Берем второй такой же разрезанный $2$-атом $P$. Определим инволюцию $\tau $: она отображает точки из разрезанного $2$-атома $P$ в соответствующие точки на его копии. Склеиваем разрезанный $2$-атом $P$ с его копией по разрезанным ребрам при звездочках так, чтобы в окрестности каждой звездочки получился крест, как на рис. 9. Получили дубль. А именно седловой $2$-атом $\widehat{P} $ без звездочек сложности $ 2k+l$. Заметим, что если $2$-атом $\widehat{P} $ профакторизовать по инволюции $\tau$, то получим обратно $2$-атом $P$. Таким образом, этим способом мы можем получить несколько дублей в зависимости от того, по какому из колец разрезали: ниже критического уровня или выше. И, как уже упоминалось ранее, $3$-атом не зависит от того, на основе какого дубля он будет построен. Заметим также, что это не все способы получить дубли. Замечание 27. Также заметим, что далее для реализации грубых молекул нам важно, какие кольца у фиксированного $2$-атома ($3$-атома) верхние (лежат на уровне выше критического), а какие нижние (лежат на уровне ниже критического). Иными словами, каждый из $2$-атомов ($3$-атомов) можно отразить относительно критического уровня и получить тот же атом, но перестраивающий окружности (торы) в обратном порядке (см. пример на рис. 13). Нам важно различать такие атомы. § 8. Гипотеза ФоменкоАнализируя результаты В. В. Фокичевой [2], [12], А. Т. Фоменко предложил следующую гипотезу, которая состоит из четырех частей (см. [13]). Гипотеза 1 (Фоменко). Интегрируемыми биллиардными книжками можно реализовать: – (гипотеза А) любой атом или, другими словами, любую бифуркацию двумерных торов Лиувилля; – (гипотеза B) любую грубую молекулу, или, другими словами, базу любого слоения Лиувилля; – (гипотеза C) любую меченую молекулу, или, другими словами, любое слоение Лиувилля; – (гипотеза D) любое трехмерное замкнутое изоэнергетическое многообразие любой невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы. Гипотеза $\mathbf{D} $ является частным случаем гипотезы $\mathbf{C}$. Таким образом, была поставлена обратная задача. А именно, пусть дана меченая молекула. Можно ли сконструировать такой биллиард, для которого грубая молекула совпадет с изначально заданной? Положительный ответ на данный вопрос будет означать, что сложные интегрируемые гамильтоновы системы могут реализовываться наглядными биллиардными книжками с квадратичным интегралом – параметром квадрики. В этом случае сложность динамической системы будет отражаться на сложности клеточного комплекса биллиардной книжки, но динамика на этом клеточном комплексе будет описываться просто. Гипотеза $\mathbf{A} $ была подтверждена в статьях В. В. Ведюшкиной, А. Т. Фоменко, И. С. Харчевой [14], [15] предъявлением явного алгоритма. Подтверждение гипотезы $ \mathbf{B} $ является целью настоящей работы. Поскольку доказательство гипотезы $\mathbf{B} $ использует результаты гипотезы $\mathbf{A}$, то приведем их в следующем параграфе без доказательства. § 9. Реализация $3$-атомов биллиардными книжками класса $\mathbf{a}$Теорема 5 (Ведюшкина–Харчева). Гипотеза Фоменко $\mathbf{A} $ верна, а именно, для любого $3$-атома (со звездочками или без) алгоритмически строится биллиардная книжка класса $\mathbf{a}$ такая, что в ее изоэнергетической поверхности $Q^3 $ слоение Лиувилля прообраза окрестности особого значения интеграла $\Lambda$, отвечающего траекториям, направленным к одному или от одного из фокусов, послойно гомеоморфно данному атому. Алгоритмы реализации атомов без звездочек и со звездочками различаются. Изложим оба алгоритма. Алгоритм 1 (реализации $3$-атомов без звездочек). Пусть дан произвольный ориентируемый седловой $3$-атом $U $ без звездочек. Тогда существует ориентируемый седловой $2$-атом $P$ такой, что $U=P\times S^1$ (см. § 7). Чтобы построить биллиардную книжку $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ класса $\mathbf{a}$, у которой на уровне $\Lambda=b $ возникает $3$-атом $U$, нужно выполнить следующие действия. 1. Погрузим $2$-атом $P$ в плоскость с сохранением ориентации (это можно сделать согласно теореме 4). Зададим направление на критическом уровне атома так, чтобы уровни интеграла, которые меньше критического, оставались слева. Распространим по непрерывности это направление на близкие регулярные уровни интеграла. Заметим, что если поменять направление, то в получившейся биллиардной книжке циклы, приписанные одномерным клеткам, будут идти в противоположном порядке, т.е. перестановки заменятся на обратные им. 2. Согласно теореме 3 атом $P$ представляется в виде склейки из $k $ крестов, где $k \in \mathbb{N} $ – сложность атома. Напомним, что крестом называется прообраз $\varepsilon$-окрестности точки 0 функции $x^2-y^2$, заданной в некоторой окрестности точки $(0, 0)$ вместе со структурой слоения (см. рис. 9). Разделим каждый крест пополам по положительному уровню, как показано на рис. 14. Кресты разбились на верхнюю и нижнюю половины. Занумеруем полукресты от $1 $ до $2k$.  Рис. 14.Разделение креста на полукресты по положительному уровню (на уровнях интеграла задано направление согласно п. 1 алгоритма 1). 3. Биллиардная книжка $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ класса $\mathbf{a} $ будет состоять из $ 2k $ листов типа $A'_0 $ (см. рис. 6). Сопоставим каждой половине креста лист биллиардной книжки. Введем нумерацию на листах в соответствии с нумерацией полукрестов. Направление на полукрестах, заданное на шаге 1 указывает направление траектории материальной точки в окрестности особого слоя на соответствующих листах. На основе этого рассуждения будем писать перестановки. 4. Согласно лемме 4 для построения биллиардной книжки класса $\mathbf{a} $ достаточно указать три перестановки $\sigma[0]$, $\sigma[b] $ и $ \sigma[a]$ на квадриках, отвечающих верхней эллиптической границе, нижней границе (фокальной прямой) и левой границе (вертикальной прямой) биллиардных областей соответственно. В случае атомов без зведочек $ \sigma[a]=\mathrm{id}$. Осталось указать две перестановки. Перестановка $\sigma[b] $ нижней границы области отвечает склейке полукрестов в кресты, перестановка $\sigma[0] $ верхней границы области отвечает склейке крестов в атом. Более детально опишем эти перестановки ниже. 5. Построим перестановку $\sigma[b]$. Если полукресты с номерами $i $ и $j $ склеены в крест, то указываем $\sigma[b](i)=j $ и $\sigma[b](j)=i$. В итоге получим, что перестановка $ \sigma[b] $ раскладывается в произведение независимых циклов длины 2, где каждый цикл содержит номера двух полукрестов, склеивающихся в крест. 6. Построим перестановку $\sigma[0]$. Рассмотрим полукрест с номером $i$. На шаге 1 этого алгоритма мы задали направление на уровнях интеграла. Смотрим на исходящее направление $i $-го полукреста. Ему соответствует некоторое ребро. Это ребро склеено с другим ребром, которому соответствует входящее направление некоторого $j $-го полукреста. В том числе $i $-й полукрест может склеиться сам с собой. Положим $\sigma[0](i)= j$. Проделав такую операцию для всех половин крестов, получим перестановку $\sigma[0]$ из $2k $ элементов. Эта перестановка однозначно определяется атомом с фиксированной нумерацией полукрестов. В итоге лемма 4 дает биллиардную книжку, состоящую из элементарных областей типа $A'_0$, которая строится по трем перестановкам $\sigma[0]$, $\sigma[b]$, $\sigma[a]$ на квадриках. Получившаяся биллиардная книжка является результатом алгоритма 1. Алгоритм 2 (реализации $3$-атомов со звездочками). Пусть дан $3$-атом $ U $ сложности $k+l$, где $k $ – число крестов, из которых он склеен, а $ l $ – число звездочек. $3$-атому $U $ соответствует ориентируемый $2$-атом $P$ сложности $k $ (сложность $0$ в данном случае означает, что атом – это кольцо, расслоенное на окружности), на котором на критическом уровне стоит $l $ звездочек (см. § 7). – Cконструируем для $2$-атома $P$ дубль $\widehat{P} $ с инволюцией $\tau\colon \widehat{P} \to \widehat{P} $ согласно замечанию 26. – Воспользуемся алгоритмом 1 и построим биллиардную книжку $ \mathscr{B} $ класса $\mathbf{a} $ из $4k+2l $ листов для седлового $2$-атома $\widehat{P}$, умноженного на окружность. – В полученной биллиардной книжке изменим только перестановку $\sigma[b]$, отвечающую левой границе листов. Раньше она была тождественной, теперь она описывает инволюцию $\tau$. А именно, если инволюция $\tau $ переводит $i $-ю половину креста в $j $-ю, то задаем $ \sigma[b](i)=j$. Полученная перестановка $\sigma[b] $ также будет инволюцией. Таким образом, мы получили биллиардную книжку класса $\mathbf{a}$. Особенностью биллиардных книжек, отвечающих атомам со звездочками, является наличие склейки на левой границе, являющейся инволюцией. Замечание 28. Заметим, что в алгоритмах 1 и 2 перестановки строились, основываясь не на нумерации полукрестов, а на склейке полукрестов в атом и инволюции $\tau$. Перестановка $\sigma[b] $ на нижней границе листов отвечает склейке полукрестов в кресты, $\sigma[0]$ на верхней границе – крестов в атом, $\sigma[a]$ на левой границе – инволюции $\tau $ на дубле атомов со звездочками. Нумерация полукрестов вводилась, чтобы упростить обозначения. Таким образом, получившаяся биллиардная книжка не зависит от нумерации полукрестов. В случае $3$-атомов без звездочек биллиардная книжка строится однозначно. В случае $3$-атомов со звездочками – строится однозначно, только если зафиксировать дубль. § 10. Вспомогательные леммы для изучения слоений Лиувилля биллиардных книжек класса $\mathbf{b}$. Несвязное объединение двух биллиардных книжекЗамечание 29 (о методе). Опишем метод, с помощью которого мы будем изучать слои на биллиардных книжках класса $ \mathbf{b}$, введенный В. В. Ведюшкиной (см., например, статьи [2], [12]) и на котором будут основываться представленные в работе результаты. К этому методу мы будем многократно возвращаться. Напомним, что на фазовых пространствах $M^4 $ биллиардных книжек класса $\mathbf{b} $ определены проекции расслоения $ \pi \colon M^4 \to X $ (см. замечание 13). Можно посмотреть, в какие точки на биллиардном комплексе $X $ перейдут слои на изоэнергетическом многообразии $Q^3$. Образ слоя при такой проекции называется областью возможного движения и показывает, по какой части биллиардной книжки может идти траектория, принадлежащая этому слою. Заметим, что каждой точке на биллиардном комплексе $X $ соответствует не более 4-х точек на выделенном уровне интеграла $\Lambda $ на изоэнергетическом многообразии $Q^3$. Это верно, поскольку точки на изоэнергетическом многообразии описывают состояние системы, которое идентифицируется положением на листе биллиардной книжки и вектором, указывающим направление движения материальной точки (см. § 5). Условие, что точка должна принадлежать уровню интеграла $\Lambda$, отвечает направлениям векторов, которые либо касаются определенной квадрики, либо идут от одного или к одному из фокусов. Поскольку листы биллиардных книжек класса $\mathbf{b} $ не содержат фокусов, то если зафиксировать положение материальной точки на такой книжке, получается не более четырех возможных векторов. Будем изучать уровни интеграла $\Lambda$, рассматривая положение материальной точки на биллиардной книжке и различные направления вектора скорости для этого положения. Эти векторы будут некоторым образом склеиваться на границе области возможного движения и образовывать двумерные слои. Таким образом мы можем описывать топологию любого слоя биллиардной книжки. Фиксируем биллиардную книжку $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ класса $\mathbf{b}$. Пусть $\lambda_1< \lambda_2<\dots <\lambda_m $ – параметры $m $ эллипсов, являющихся нижними дугами листов этой биллиардной книжки. Пусть также дано некоторое число $\lambda $ такое, что $0<\lambda\,{<}\,a$, $ \lambda \neq \lambda_i$ $\forall\, i=1, \dots, m$. Определение 24. Перестановкой уровня $\lambda $ называется композиция всех нетождественных перестановок $\sigma[\lambda_i] $ на квадриках таких, что $\lambda_i<\lambda $ (композицию можно брать в произвольном порядке), т.е. $\Pi[\lambda] := \prod_{\lambda_i<\lambda} \sigma[\lambda_i]$. Лемма 5. Пусть у биллиардной книжки $\mathscr{B} $ класса $\mathbf{b} $ перестановка $\sigma[a] $ на квадрике, соответствующей левой границе листов, является тождественной. Тогда верны следующие утверждения. 1. Уровень интеграла $\Lambda=\lambda $ является регулярным. 2. Существует взаимно однозначное соответствие между двумерными торами Лиувилля на уровне интеграла $\Lambda=\lambda $ и независимыми циклами в разложении композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов. 3. Рассмотрим тор, который соответствует произвольному независимому циклу $\gamma $ композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]$. Этому тору соответствуют некоторые траектории на биллиардной книжке $\mathscr{B}$. Рассмотрим листы, на которых эти траектории идут вниз (к невыпуклой дуге эллипса). Тогда номера этих листов составляют орбиту независимого цикла $\gamma$. Доказательство. Нижние дуги листов имеют параметры $\lambda_1<\lambda_2<\dots <\lambda_m$. Параметр $ \lambda $ не совпадает ни с одним параметром $\lambda_i$. Тогда для некоторого $k \in \mathbb{N} $ верно $\lambda_1<\dots <\lambda_k<\lambda<\lambda_{k+1}<\dots <\lambda_m$. То есть $k $ квадрик с параметрами $\lambda_1<\dots <\lambda_k $ отвечают эллипсам, большим эллипса с параметром $\lambda$. Это означает, что дуги этих эллипсов, являющиеся нижней границей некоторых листов, находятся выше эллипса с параметром $\lambda$, которого касается траектория.
Уровень $\Lambda=\lambda $ соответствует траекториям на листах, которые касаются эллипса с параметром $\lambda$. Значит, на листах, у которых нижние дуги с параметрами $\lambda_1<\dots < \lambda_k $, происходит отражение относительно нижней границы, на листах, у которых нижние дуги с параметрами $\lambda_{k+1}<\dots <\lambda_m $, траектории не доходят до нижней границы и касаются эллипса с параметром $\lambda$. Поэтому на нижней границе мы переходим только по перестановкам, которые приписаны дугам квадрик с параметрами $\lambda_1<\dots <\lambda_k$, т.е. по перестановкам $\sigma[\lambda_1], \sigma[\lambda_2],\dots,\sigma[\lambda_k]$. Заметим, что для каждого $i=1,\dots,m$ перестановка $\sigma[\lambda_i] $ переводит только листы с параметром квадрики нижней границы листа, равным $\lambda_i$. Поэтому перестановки $\sigma[\lambda_i] $ не пересекаются. Таким образом, материальная точка при движении вниз отражается от нижней границы листа или касается эллипса с параметром $\lambda$, переходя с листа на лист по композиции $ \sigma[\lambda_1] \circ \sigma[\lambda_2] \circ \dots \circ \sigma[\lambda_k] $ (композицию можно брать в произвольном порядке), которая равна перестановке $\Pi[\lambda] $ уровня $\lambda$. Сверху все листы имеют границу с параметром квадрики, равным $0$, поскольку мы рассматриваем биллиардную книжку класса $\mathbf{b}$. Значит, и на уровне $ \Lambda=\lambda $ материальная точка отражается от верхней границы, переходя на следующий лист по перестановке $\sigma[0]$. Поскольку это биллиардная книжка класса $\mathbf{b}$, то справа приписана тождественная перестановка $ \sigma[\widetilde{\lambda}]=\mathrm{id}$. Поскольку по условию леммы слева перестановка $\sigma[a] $ тоже тождественна, то траектории, отражаясь от левой и правой границы, остаются на том же листе. Поэтому можно не обращать внимания на отражение слева и справа и классифицировать все траектории следующим образом. Рассмотрим траекторию, которая идет вниз по $i $-му листу. Внизу эта траектория после отражения или касания перейдет по перестановке $\Pi[\lambda] $ и пойдет по листу с номером $\Pi[\lambda](i) $ наверх. Когда она дойдет до верхней границы, она отразится и перейдет на следующий лист по перестановке $\sigma[0]$, затем продолжит движение вниз на листе с номером $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda](i)$. Если подействовать еще раз композицией $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ на номер листа, получим следующий лист, на котором эта траектория идет вниз. Если продолжать применять эту перестановку, в какой-то момент мы снова вернемся на лист с номером $i$, т.е. получим цикл, который соответствует движению этой траектории. Получается, если разложить композицию $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов, то каждый из циклов будет соответствовать некоторому классу траекторий. Числа в циклах будут соответствовать номерам листов, по которым эти траектории идут вниз. Легко видеть, что мы рассмотрели все траектории, лежащие на уровне $\Lambda=\lambda$, поскольку все траектории идут либо вверх, либо вниз на каждом из листов, так как они касаются эллипса с параметром $\lambda$. Покажем, используя метод, описанный в замечании 29, что каждая из таких траекторий соответствует некоторому тору на уровне $\Lambda=\lambda$. Рассмотрим произвольный лист на биллиардной книжке. Поскольку уровень $\Lambda=\lambda $ отвечает траекториям, которые касаются эллипса с параметром $\lambda $, для каждой точки внутри листа есть четыре типа векторов: векторы, направленные влево вверх, вправо вверх, вправо вниз и влево вниз (рис. 15). Справа и слева из-за отражения и тождественных перестановок векторы, направленные влево, склеиваются с векторами, направленными вправо. Из-за этого несвязное объединение четырех областей возможного движения склеивается в два кольца. Итак, каждый лист соответствует двум кольцам с траекториями, направленными вверх и вниз (рис. 15). Эти кольца склеиваются между собой согласно перестановкам, приписанным снизу и сверху листов следующим образом. Рассмотрим лист с номером $i$. Пусть материальная точка находится внизу области возможного движения на $ i $-м листе. Рассмотрим векторы, направленные вниз для этих точек. Они склеиваются согласно закону отражения с векторами, направленными вверх на листе с номером $\Pi[\lambda](i)$. Точно так же сверху векторы склеиваются по перестановке $\sigma[0]$. В итоге кольцо, отвечающее $i$-му листу с траекториями, направленными вниз, склеивается с кольцом $\Pi[\lambda](i) $-го листа с траекториями, направленными вверх, которое, в свою очередь, склеивается с кольцом $(\sigma[0] \circ \Pi[\lambda](i))$-го листа с траекториями, направленными вниз, и т.д. В какой-то момент склейка зациклится и мы получим тор (см. рис. 15). Из этих рассуждений прослеживается соответствие между этими торами, траекториями и независимыми циклами разложения перестановки $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]$. Также заметим, что если рассмотреть достаточно малую окрестность уровня $\Lambda=\lambda$, то перестановка $\Pi[\lambda] $ не изменится, а векторы и области, по которым будет идти материальная точка, немного деформируются, но склеятся таким же образом в торы. Поэтому близкие уровни к уровню $ \Lambda=\lambda $ гомеоморфны ему. Значит, уровень интеграла $\Lambda=\lambda $ – регулярный. Лемма доказана. Замечание 30. Если в формулировке леммы 5 рассмотреть композицию в обратном порядке $ \Pi[\lambda] \circ \sigma[0]$, то получится аналогичный результат, за исключением того, что траектории будут идти вверх. А именно, рассмотрим тор, который соответствует произвольному независимому циклу $\zeta $ обратной композиции $\Pi[\lambda] \circ \sigma[0]$. Рассмотрим траектории на биллиардной книжке $ \mathscr{B}$, которые соответствуют этому тору. Тогда номера листов, на которых эти траектории идут вверх (к выпуклой дуге эллипса), составляют орбиту независимого цикла $\zeta$. Предложение 1. Пусть даны две коммутирующие перестановки $ \pi $ и $ \sigma$, а разложение перестановки $ \pi $ в независимые циклы содержит цикл $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) $ длины $ l \in \mathbb N$. Тогда это разложение содержит также цикл $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l)$, где $ j_s=\sigma(i_s) $ для всех $ s=1, \dots, l$. Доказательство. Из условия леммы получаем, что $ \pi=(i_1\, i_2\,\dots\, i_l) \circ S$, где $ S $ – произведение оставшихся независимых циклов в разложении перестановки $\pi$. Значит, перестановка $ S $ действует на числа $ i_1,i_2,\dots,i_l$ тождественно.
Также заметим, что $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l)=\sigma \circ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) \circ \sigma^{-1}$. Воспользовавшись этим, а таже коммутируемостью $ \pi $ и $ \sigma$, получаем следующую цепочку равенств.
$$
\begin{equation}
\pi=\sigma \circ \pi \circ \sigma^{-1}=\sigma \circ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) \circ S \circ \sigma^{-1}=(j_1\, j_2\,\dots\, j_l) \circ \sigma \circ S \circ \sigma^{-1}.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Учитывая, что $ \sigma $ взаимно однозначно отображает набор чисел на себя, причем числа $ i_1,i_2,\dots,i_l$ переводит в числа $j_1,j_2,\dots,j_l$, получаем, что поскольку перестановка $ S $ оставляла числа $ i_1,i_2,\dots,i_l$ на месте, то перестановка $ \sigma \,{\circ}\, S\,{\circ}\, \sigma^{-1} $ оставляет числа $ j_1,j_2,\dots,j_l$ на месте. Значит, из (10.1) получаем, что цикл $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l) $ входит в разложение $ \pi $ в независимые циклы, что и требовалось доказать. Лемма 6. В биллиардной книжке $\mathscr{B} $ класса $\mathbf{b} $ уровень интеграла $\Lambda=\lambda $ является регулярным. Доказательство. Если левая перестановка $\sigma[a] $ на квадрике в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ тождественная, то лемма верна по лемме 5. Поэтому будем считать, что эта перестановка не является тождественной. Рассмотрим другую биллиардную книжку $\widehat{\mathscr{B}}$, которая отличается от книжки $\mathscr{B} $ тем, что у нее левая перестановка на квадрике тождественная. Для нее верно, что уровень интеграла $\Lambda=\lambda $ является регулярным. Чтобы получить слой $\Lambda=\lambda $ в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ из слоя $\Lambda=\lambda $ в книжке $\widehat{\mathscr{B}}$, нужно поменять склейку на левом корешке согласно перестановке $ \sigma[a]$. Покажем, что при этой замене регулярные торы из слоя $ \Lambda=\lambda $ переклеиваются также в регулярные торы.
Сначала отменим склейку на левом корешке на уровне $ \Lambda=\lambda $ биллиардной книжки $ \widehat{\mathscr{B}}$. Покажем, что при этом торы разрезаются на цилиндры. Действительно, из доказательства леммы 5 получаем, что точки на регулярном уровне $ \Lambda= \lambda$, которые при проекции расслоения $ \pi \colon M^4 \to X $ (см. замечание 13) переходят в левую границу листов, образуют базисные циклы на регулярных торах. Значит, разрезав торы по этим базисным циклам, мы получим цилиндры. Покажем, что если получившиеся цилиндры склеить по левой перестановке $\sigma[a] $ книжки $ \mathscr{B}$, то снова получатся регулярные торы. Рассмотрим произвольный цилиндр. Этот цилиндр был получен из тора, которому соответствовал некоторый независимый цикл в разложении перестановки $ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda]$. Пусть этим независимым циклом будет $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) $ длины $ l \in \mathbb N$. Тогда по лемме 5 произвольная траектория на торе, из которого был получен этот цилиндр, идет вниз на листах $ i_1, i_2, \dots, i_l $ и только на них. Для каждого такого листа $ i_s $ рассмотрим лист $ j_s := \sigma[a](i_s)$, полученный действием левой перестановки $ \sigma[a] $ на него. Заметим, что по лемме 2 о коммутирующих перестановках верно, что перестановки $ \sigma[0] $ и $ \sigma[\lambda_t] $ коммутируют с $ \sigma[a] $ для любого $ t=1, \dots,m$. Значит, и перестановка $ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ коммутирует с $\sigma[a]$. Тогда согласно предложению 1 в разложении перестановки $ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов встретится также цикл $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l)$. Заметим, что этот цикл может совпадать с циклом $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l)$. Циклу $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l) $ также соответствует некоторый регулярный тор на уровне $ \Lambda=\lambda $ книжки $\widehat{\mathscr{B}}$, а ему, в свою очередь, некоторый цилиндр. Поскольку $ j_s := \sigma[a](i_s)$ $\forall\,s=1,\dots,l$, то цилиндры, соответствующие циклам $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) $ и $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l)$, склеиваются по перестановке $\sigma[a] $ друг с другом по одной из окружностей и снова образуют цилиндр. Далее, подействовав перестановкой $ \sigma[a] $ уже на номера $ j_1,j_2,\dots,j_l$, мы получим приклейку еще одного цилиндра. Продолжая действовать таким образом, мы получим, что цикл в какой-то момент совпадет с изначальным циклом $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l)$ и цилиндр склеится в тор. В частности, это может произойти на первом шаге в случае, когда цикл $ (i_1\, i_2\,\dots\, i_l) $ совпадает с циклом $ (j_1\, j_2\,\dots\, j_l)$. Поскольку вышеперечисленное верно для любого цилиндра, получаем, что уровень $ \Lambda=\lambda $ биллиардной книжки $\mathscr{B} $ состоит из регулярных торов. Применив такие же рассуждения к близким уровням $ \Lambda=\lambda \pm \varepsilon$, получаем, что они также состоят из регулярных торов. Таким образом, уровень $ \Lambda=\lambda $ является регулярным. Лемма доказана. Предложение 2 (о грубой молекуле биллиардной книжки из теоремы 5). Пусть биллиардная книжка $\mathscr{B} $ получена в результате алгоритма теоремы 5 и реализует некоторый $3$-атом $P$. Тогда молекула для этой биллиардной книжки выглядит так, как показано на рис. 16. А именно, $3$-атом $P$ находится на уровне $\Lambda=b$. Допустим, он перестраивает $k $ торов в $l$. Тогда снизу, на уровне $\Lambda=0$, находится $k $ $3$-атомов $A $ минимума, соединенных ребрами с $3$-атомом $P$, а сверху, на уровне $\Lambda=a$, – $l$ $3$-атомов $A $ максимума, соединенных ребрами с $3$-атомом $P$. Доказательство. Согласно теореме 5 на критическом уровне $\Lambda=b $ находится $3$-атом $P$. Поскольку биллиардная книжка $\mathscr{B} $ принадлежит классу $\mathbf{a}$, являющемуся подклассом в классе $\mathbf{b}$, то из леммы 6 следует, что на уровнях $\lambda \in (0, b) \cup (b, a) $ нет перестроек. Кроме того, уровень $\Lambda=0 $ является минимальным, при котором возможно движение в книжке $\mathscr{B}$, а уровень $\Lambda=a $ – максимальным. Таким образом, грубая молекула для книжки $\mathscr{B} $ может иметь только вид, изображенный на рис. 16. Предложение доказано. Определение 25. Введем операцию несвязного объединения двух книжек $ \mathscr{B}_1(X_1, \Sigma_1, N_1) $ и $ \mathscr{B}_2(X_2, \Sigma_2, N_2)$. Перенумеруем листы на одной из книжек так, чтобы нумерации этих двух книжек не пересекались, и изменим перестановки согласно этой нумерации. Результатом операции несвязного объединения будет книжка $\mathscr{B}(X, \Sigma, N)= \mathscr{B}_1(X_1, \Sigma_1, N_1) \sqcup \mathscr{B}_2(X_2, \Sigma_2, N_2)$, которая задается следующим образом. Биллиардный комплекс $X $ является несвязным объединением $X=X_1 \sqcup X_2$. Нумерация $N $ на листах книжки $\mathscr{B}_1 $ совпадает с нумерацией $N_1$, на листах книжки $ \mathscr{B}_2 $ – с нумерацией $N_2$. Аналогично определим функцию перестановок $\Sigma $ на одномерных клетках комплекса $X_1 $ как функцию $\Sigma_1$, на одномерных клетках комплекса $X_2 $ – как функцию $\Sigma_2$. Задав комплекс $X $ и функции $\Sigma$, $N$, мы определили биллиардную книжку $\mathscr{B}$, являющуюся результатом операции. Предложение 3. Пусть $ \mathscr{B}_1$, $ \mathscr{B}_2 $ – биллиардные книжки класса $\mathbf{b} $ с семействами перестановок на квадриках $ \sigma_1[\lambda]$, $ \sigma_2[\lambda] $ соответственно, где $ \lambda \in [a, b]$. Тогда несвязное объединение этих книжек $ \mathscr{B}_1 \sqcup \mathscr{B}_2 $ также является биллиардной книжкой класса $\mathbf{b}$, при этом ей соответствует следующее семейство перестановок на квадриках: $ \sigma_1[\lambda] \circ \sigma_2[\lambda]$, где $ \lambda \in [a, b]$. Доказательство сразу вытекает из определения 12 перестановки на квадрике и определения 25 несвязного объединения двух книжек. Предложение 4. Пусть биллиардным книжкам $\mathscr{B}_1$ и $\mathscr{B}_2 $ соответствуют грубые молекулы $W_1 $ и $W_2$. Тогда несвязному объединению $\mathscr{B}_1 \sqcup \mathscr{B}_2 $ соответствует грубая молекула $W_1 \sqcup W_2$. Доказательство. Несвязное объединение $\mathscr{B}_1 \sqcup \mathscr{B}_2 $ имеет фазовое пространство, являющееся несвязным объединением фазовых пространств книжек $\mathscr{B}_1$ и $\mathscr{B}_2$, на которых определены те же первые интегралы $H $ и $\Lambda$, что и ранее. Значит, и грубая молекула будет также несвязным объединением $W_1 \sqcup W_2$. Предложение доказано.
§ 11. Реализация любых грубых молекул биллиардными книжками класса $\mathbf{b}$В этом параграфе будет доказан следующий новый результат. Теорема 6 (Ведюшкина–Харчева). Гипотеза Фоменко $\mathbf{B} $ верна, т.е. любая грубая молекула реализуется биллиардными книжками. Более точно: по любой грубой молекуле алгоритмически строится биллиардная книжка класса $ \mathbf{b} $ с каноническим квадратичным интегралом $\Lambda$, отвечающим параметру каустики, такая, что грубая молекула, соответствующая этой системе, изоморфна заданной изначально грубой молекуле. Замечание 31. Из теоремы 6 и теоремы 2 следует, что любая невырожденная вполне интегрируемая по Лиувиллю система с двумя степенями свободы на компактном изоэнергетическом многообразии грубо лиувиллево эквивалентна некоторой биллиардной книжке. Опишем сначала алгоритм для грубой молекулы, состоящей из двух седловых атомов без звездочек и минимаксных атомов $A $ (рис. 17). Алгоритм 3 (склейки двух $3$-атомов без звездочек по ребру). Пусть даны два седловых атома $P$ и $Q$. Хотим склеить эти два атома по выбранному ребру так, чтобы значение интеграла, которому соответствует атом $Q$, было меньше значения интеграла, которому соответствует атом $P$, т.е. $\Lambda(Q)<\Lambda(P)$. Пусть атомы $A $ минимума интеграла $ \Lambda $ лежат на уровне $\Lambda=0$, максимума – на уровне $\Lambda=a$, и, кроме того, положим $\Lambda(Q) := \lambda_1$, $\Lambda(P) := \lambda_2$ и $ 0<\lambda_1<\lambda_2<b<a$. 1. По алгоритму 1 из теоремы 5 строим две биллиардные книжки $ \mathscr{B}_{P} $ и $\mathscr{B}_{Q} $ для атомов $P$ и $Q$ соответственно. Все листы таких биллиардных книжек согласно алгоритму теоремы 5 имеют тип $A'_0 $ (ограничены прямыми $ \lambda=a $ и $\lambda=b $ и софокусными эллипсом и гиперболой (см. рис. 6)). 2. Все листы биллиардной книжки $\mathscr{B}_{Q}(X_Q, \Sigma_Q, N_Q) $ заменим на листы типа $B_0 $ (см. рис. 5), ограниченные прямой $\lambda=a$, гиперболой с параметром $ \widetilde{\lambda} $ и двумя софокусными эллипсами (выпуклым и невыпуклым) с параметрами $0 $ и $\lambda_1$. Все листы биллиардной книжки $\mathscr{B}_{P}(X_P, \Sigma_P, N_P) $ также заменим на листы типа $B_0$, но теперь с параметрами эллипсов $0 $ и $\lambda_2$. Замена всех листов – это изменение метрики на листах биллиардного комплекса. Итак, мы получили две биллиардные книжки $\mathscr{B}'_{P} $ и $\mathscr{B}'_{Q}$, изменив $\mathscr{B}_{P} $ и $\mathscr{B}_{Q}$. Позже докажем, что от такого изменения грубые молекулы, отвечающие этим книжкам, не изменятся и они так же, как и раньше, будут отвечать атомам $P$ и $Q$ (см. лемму 7). 3. Рассмотрим несвязное объединение $\mathscr{B}=\mathscr{B}'_{P} \sqcup \mathscr{B}'_{Q} $ (см. определение 25). Будем менять перестановку $\sigma[0] $ книжки $\mathscr{B} $ так, чтобы в грубой молекуле склеились нужные нам ребра. Тем самым мы склеим книжки $\mathscr{B}'_{P}$, $\mathscr{B}'_{Q} $ по верхней границе. 4. Выберем на атоме $Q$ ребро (тор), которое хотим склеить. Пусть $\lambda $ – любое значение интеграла $\Lambda$, находящееся между атомами $P$ и $Q$, т.е. $\lambda_1<\lambda<\lambda_2$. Рассмотрим разложение композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов ($ \Pi[\lambda] $ – перестановка уровня из определения 24) и найдем тот цикл, который соответствует фиксированному тору в атоме $Q$ (см. лемму 5). Обозначим этот цикл через $\alpha=(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r)$ для некоторого $r \in \mathbb{N}$. Получаем, что где $X $ – произведение оставшихся независимых циклов.5. Фиксируем произвольный номер из цикла $\alpha$, например, $\alpha_1$. Согласно лемме 5 это номер листа, по которому траектория идет вниз при проекции фиксированного тора атома $Q$ на биллиардную книжку. 6. Проделаем предыдущие два шага также для атома $P$. Результатом этих шагов является некоторый номер $\beta_1$. 7. Заменим перестановку $\sigma[0] $ на новую: $\sigma'[0]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$. Как говорилось в предыдущих пунктах, номерам листов $ \alpha_1$, $\beta_1 $ сопоставлены два тора. При такой замене перестановки с $\sigma[0] $ на $ \sigma'[0] $ эти два тора склеятся. При этом траектория, которая после удара от верхней границы переходила на лист с номером $\alpha_1$, стала переходить на лист с номером $\beta_1$. Иными словами, траектория раньше шла вверх по листу с номером $\sigma[0]^{-1}(\alpha_1)$, ударялась от верхней границы, переходила на лист с номером $\alpha_1 $ и шла по нему вниз. При замене перестановки эта траектория после удара от верхней границы будет идти вниз по листу с номером $\beta_1 $ вместо листа с номером $\alpha_1$. То же самое верно и для траектории, которая до этой замены перестановки шла вниз по листу с номером $\beta_1$. 8. Новая перестановка $\sigma'[0] $ полностью описывает то, как в результате выглядит новый комплекс $X' $ в окрестности верхней границы листов, и какие перестановки приписаны верхним корешкам листов. Поэтому на основе новой перестановки $\sigma'[0] $ перестроим комплекс $X $ в новый комплекс $X' $ следующим образом. Отменим (разрежем) все склейки на верхних дугах листов (дугах эллипса с параметром, равным $0 $) комплекса $X$. Разложим перестановку $\sigma'[0]$ в независимые циклы: $ \sigma'[0]=\gamma_1 \circ \gamma_2 \circ \dots \circ \gamma_t$, $t \in \mathbb{N}$. Каждому независимому циклу $\gamma_i=(\gamma_{i, 1}\,\gamma_{i, 2}\,\dots\,\gamma_{i, s})$, $s \in \mathbb{N}$, $i=1, \dots,t$ перестановки $\sigma'[0]$ соответствует некоторый корешок $e^1_i$. Этот корешок склеивает в точности те листы, номера которых цикл $\gamma_i $ переставляет. То есть в границе листов с номерами $\gamma_{i, 1},\gamma_{i, 2},\dots,\gamma_{i, s} $ лежит корешок $e^1_i$, а перестановку, приписанную этому корешку, положим равной этому циклу: $ \Sigma'[e^1_i]=\gamma_i$. Иными словами, листы, отвечающие одному независимому циклу перестановки $\sigma'[0]$, склеиваются по верхней границе. Похожее построение было описано в лемме 3. Биллиардная книжка $\mathscr{B}'(X', \Sigma', N) $ с перестроенными по перестановке $\sigma'[0] $ комплексом $X' $ и перестановками $\Sigma' $ имеет грубую молекулу, изображенную на рис. 17, и является результатом алгоритма 3. Алгоритм 3 работал только с атомами без звездочек. Следующим шагом будет переход к произвольным атомам. В отличие от атомов без звездочек, у атомов со звездочками есть инволюция и склейка слева на соответствующей им книжке. Поскольку мы не можем просто склеить атом с инволюцией с атомом без инволюции, то нужно научиться строить “дубли” для атомов без звездочек. При этом на биллиардной книжке, соответствующей таким атомам, появится склейка слева. Для этого сформулируем следующий алгоритм, обобщающий два алгоритма реализации $3$-атомов (со звездочками и без). Алгоритм 4 (реализации $3$-атомов (обобщенный)). Этот алгоритм совпадает для $3$-атомов со звездочками с алгоритмом 2. В случае, если дан $3$-атом $U $ без звездочек, построим для него простейший дубль следующим образом. Рассмотрим $2$-атом $P$ такой, что $U=P \times S^1$. Возьмем две копии атома $P$. Получим несвязный атом $\widehat{P}=P \sqcup P$. И определим на нем инволюцию $\tau$, которая одну копию отражает на другую. Очевидно, что факторизация по этой инволюции даст один $2$-атом $P$. А если выполнить операцию построения $3$-атома для атома $\widehat{P} $ и инволюции $\tau$, описанную в замечании 24, то получится тот же $3$-атом $U$. Поэтому к $3$-атомам без звездочек также можно применить алгоритм 2 реализации $3$-атомов со звездочками, в результате которого получится биллиардная книжка $\mathscr{B}' $ с нетождественной склейкой слева, являющейся инволюцией. Пусть результатом алгоритма 1 реализации $3$-атомов без звездочек является биллиардная книжка $\mathscr{B}$. Заметим, что книжка $\mathscr{B}' $ является “удвоенной копией” книжки $\mathscr{B}$. Более точно: книжка $\mathscr{B}' $ может быть получена с точностью до перенумерации листов в результате следующих операций. Берем несвязное объединение $\mathscr{B} \sqcup \mathscr{B} $ двух копий книжек $\mathscr{B} $ и склеиваем их друг с другом по левой границе. Иными словами, меняем перестановку $\sigma[a] $ на квадрике, отвечающую левой границе листов, на инволюцию $\sigma'[a]$, отображающую одну копию листа на другую. Биллиардная книжка $\mathscr{B}' $ получается заменой левой границы листов $\mathscr{B} \sqcup \mathscr{B} $ в соответствии с перестановкой $\sigma'[a]$. Алгоритм 5 (склейки по ребру двух произвольных атомов, со звездочками или без). Даны два произвольных $3$-атома $P$ и $Q$, которые могут быть как со звездочками, так и без. Аналогично алгоритму 3 склеим эти два атома по выбранному ребру так, чтобы значение интеграла, которому соответствует атом $Q$, было меньше значения интеграла, которому соответствует атом $P$. Обозначения и схема также аналогичны алгоритму 3. 1. Выполняем первые три шага алгоритма 3, за исключением того, что для построения биллиардных книжек $\mathscr{B}_P $ и $\mathscr{B}_Q $ будем использовать обобщенный алгоритм 4 реализации $3$-атомов. В результате получается биллиардная книжка $ \mathscr{B}$, у которой перестановка $\sigma[a] $ на квадрике, отвечающая левой границе листов, является нетождественной. Эта перестановка задает инволюцию на листах биллиардной книжки $ \mathscr{B}$. 2. Рассмотрим также книжку $\widehat{\mathscr{B}}$, которую получим из книжки $ \mathscr{B}$, положив перестановку $\sigma[a] $ тождественной и убрав все склейки слева в комплексе $X$. Напомним, что по построению в обобщенном алгоритме 4 реализации $3$-атомов инволюция $\sigma[a] $ описывает инволюции $\tau $ на дублях атомов. Значит, если положить перестановку $\sigma[a] $ тождественной, то мы снова получим дубли вместо атомов. То есть в книжке $\widehat{\mathscr{B}} $ на критических уровнях интеграла $\Lambda $ возникают дубли атомов, появляющихся на тех же критических уровнях в книжке $\mathscr{B}$. 3. Выберем на атоме $Q$ ребро (тор), которое хотим склеить. В книжке $ \widehat{\mathscr{B}} $ в окрестности уровня $\lambda_2 $ вместо атома $Q$ получается некоторый дубль $\widehat{Q} $ этого атома. Как уже было отмечено в замечании 25, в этом дубле выбранному ребру (тору) соответствуют одно или два ребра (тора). Фиксируем любое из них. Снова согласно лемме 5 можно выбрать независимый цикл, соответствующий данному ребру на дубле $\widehat{Q}$, и выбрать в нем номер $\alpha_1$. 4. Выполним действия предыдущего шага для атома $P$. Результатом этих действий является некоторый номер $\beta_1$. 5. Главное отличие этого алгоритма от алгоритма склейки атомов без звездочек по ребру будет заключаться в том, что наши перестройки должны быть инвариантны относительно инволюции $ \sigma[a] $ (перестановки, отвечающей левой границе, которая является инволюцией по построению в алгоритме 4). Поэтому изменения перестановки $\sigma[0] $ требуют такие же изменения на листах, симметричных относительно инволюции $\sigma[a]$. Это требование обеспечивает коммутируемость перестановок, описанную в лемме 2. Итак, пусть $\widehat{\alpha}_1=\sigma[a](\alpha_1)$, $\widehat{\beta}_1=\sigma[a](\beta_1)$ – образы листов $\alpha_1$, $\beta_1 $ при инволюции $ \sigma[a]$. Ранее, на шаге 7 алгоритма 3, новая перестановка $\sigma'[0] $ определялась как композиция $(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$. Теперь положим $\sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$. Такая новая перестановка $\sigma'[0] $ инвариантна относительно инволюции $ \sigma[a]$, т.е. верхняя перестановка $\sigma'[0] $ и левая перестановка $\sigma[a] $ коммутируют (этот простой факт будет доказан в предложении ниже). 6. Как и ранее, новая перестановка $\sigma'[0] $ полностью описывает вид комплекса $X' $ вверху и перестановки $\Sigma'$, приписанные верхним корешкам этого комплекса (см. последний шаг алгоритма 3). Биллиардная книжка $\mathscr{B}'(X', \Sigma', N) $ с перестроенными по перестановке $\sigma'[0] $ комплексом $X' $ и перестановками $\Sigma' $ имеет грубую молекулу, изображенную на рис. 17, и является результатом алгоритма 5. Предложение 5. Перестановки $\sigma'[0] $ и $\sigma[a] $ из алгоритма 5 коммутируют. Доказательство. В алгоритме 5 перестановка $\sigma'[0] $ определена как $\sigma'[0]= (\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$, где $\widehat{\alpha}_1=\sigma[a](\alpha_1)$, $\widehat{\beta}_1=\sigma[a](\beta_1)$. Также известно, что перестановка $\sigma[a] $ является инволюцией и перестановки $\sigma[0] $ и $ \sigma[a]$ коммутируют. Докажем, что $\sigma'[0] \circ \sigma[a]=\sigma[a] \circ \sigma'[0]$,
Поскольку перестановка $\sigma[a] $ – инволюция и $\widehat{\alpha}_1=\sigma[a](\alpha_1)$, $\widehat{\beta}_1=\sigma[a](\beta_1)$, то ее можно представить как $ \sigma[a]=(\alpha_1\,\widehat{\alpha}_1) \circ (\beta_1\,\widehat{\beta}_1) \circ T$, где $ T $ – произведение оставшихся независимых циклов, в которых не встречаются числа $\alpha_1$, $\beta_1$, $\widehat{\alpha}_1 $ и $\widehat{\beta}_1$. Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma'[0] \circ \sigma[a] &=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ (\alpha_1\,\widehat{\alpha}_1) \circ (\beta_1\,\widehat{\beta}_1) \circ T \circ \sigma[0] \\ &=(\alpha_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\widehat{\alpha}_1\,\beta_1) \circ T \circ \sigma[0]=T \circ (\alpha_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\widehat{\alpha}_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] \\ &= T \circ (\alpha_1\,\widehat{\alpha}_1) \circ (\beta_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]=\sigma[a] \circ \sigma'[0]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Алгоритм 6 (реализации любой грубой молекулы). Пусть дана произвольная грубая молекула $\widehat{W}$. Выполним следующие действия, схематически изображенные на рис. 18.  Рис. 18.Схема алгоритма 6: последовательно изображен пример грубой молекулы, задание функции $\widetilde{\Lambda} $ на ней, грубая молекула для биллиардной книжки $\mathscr{B} $ на шаге 4, изменение грубой молекулы при последовательном присоединении ребер (шаг 5) и схематическое изображение биллиардной книжки, которая получится в результате. 1. Грубая молекула строится по некоторой функции, а после ее построения функция забывается. Но для реализации грубой молекулы нам нужно восстановить функцию, по которой она строилась. Для этого сначала восстановим ориентацию на грубой молекуле $\widetilde{W} $ (см. замечание 18), т.е. ориентируем ребра графа молекулы $\widetilde{W} $ так, чтобы они соответствовали возрастанию функции. Возьмем произвольный седловой атом $P$ грубой молекулы $\widetilde{W}$. Каждый атом (за исключением атомов $A $ минимума и максимума) содержит два типа колец, находящиеся по разные стороны от критического уровня. Определимся с направлением функции на атоме $P$, т.е. считаем, что один тип колец находится ниже критического уровня, второй тип – выше. Распространим это направление на всю молекулу $\widetilde{W} $ следующим образом. Возьмем каждое из ребер, которое выходит из атома $P$. Если оно соответствует кольцу на атоме $P$, которое ниже критического уровня, то ориентируем это ребро так, чтобы оно входило в атом $P$, выше критического – выходило. Основываясь на ориентации этих ребер, определяем направление функции на соседних атомах. И далее тем же способом определяем ориентацию на всех ребрах графа. Заметим, что согласно замечанию 19 о круговых молекулах в полученном ориентированном графе молекулы $\widetilde{W} $ нет циклов. 2. Основываясь на ориентации ребер на грубой молекуле $\widetilde{W}$, восстановим непрерывную функцию $\widetilde{\Lambda}\colon \widetilde{W} \to [0, a] $ следующим образом. Всем атомам $A $ минимума (из которых ребро выходит) сопоставим значение $0$, максимума (в которые ребро входит) – $a$. Все остальные $n \in \mathbb{N} $ атомов расположим на произвольных различных уровнях $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n $ таких, что $0<\lambda_1< \lambda_2<\dots <\lambda_n<b$, и если атомы $P$ и $Q$ соединены ребром в направлении от атома $P$ к атому $Q$, то $\widetilde{\Lambda}(P)<\widetilde{\Lambda}(Q)$. Это сделать возможно, поскольку в графе молекулы $\widetilde{W} $ нет циклов, а значит, на вершинах этого графа можно ввести топологический порядок. Распространим непрерывно и монотонно функцию $ \widetilde{\Lambda} $ на ребра грубой молекулы $\widetilde{W}$. Получим, что все ребра на грубой молекуле $\widetilde{W} $ направлены по возрастанию функции $\widetilde{\Lambda} $ (см. рис. 18). Будем строить биллиардную книжку $\mathscr{B}(X, \Sigma, N) $ так, чтобы грубая молекула $W$ биллиардной книжки с квадратичным интегралом $\Lambda $ совпала с заданной грубой молекулой $\widetilde{W}$, а интеграл $\Lambda $ на грубой молекуле $W $ совпал с только что построенной функцией $\widetilde{\Lambda} $ на грубой молекуле $\widetilde{W}$. 3. Для каждого атома $P_i$, $i=1, \dots, n $, построим по обобщенному алгоритму 4 реализации $3$-атомов биллиардную книжку $\mathscr{B}_{P_i} $. Заменим в ней листы на листы типа $B_0$, ограниченные слева вертикальной прямой (кривой из семейства с параметром $a $), справа гиперболой с параметром $\widetilde{\lambda}$, а сверху и снизу двумя эллипсами с параметрами $0 $ и $\widetilde{\Lambda}(P_i) $ соответственно. 4. Рассмотрим объединение книжек $\mathscr{B}=\bigsqcup_{i=1}^{n} \mathscr{B}_{P_i}$ (см. определение 25). Молекула $W $ для книжки $\mathscr{B} $ изображена на рис. 18. У нее все атомы $A $ минимума находятся на уровне $\Lambda=0$, максимума – на уровне $\Lambda=a$, а атомы $P_i $ на уровнях $\widetilde{\Lambda}(P_i)$, где $i=1, \dots, n$. Осталось правильно соединить ребра и убрать лишние атомы $A$. 5. Для каждого ребра, соединяющего два седловых атома $P$ и $Q$ в грубой молекуле $ \widetilde{W}$, применяем шаги 3–6 алгоритма 5. Перебирать ребра можно в любом порядке. После каждой итерации два ребра, которые были присоединены к атомам $A $ минимума или максимума, склеятся в одно ребро. Таким образом, после каждой итерации мы реализуем одно ребро из грубой молекулы $\widetilde{W} $ в молекуле $W $ (см. рис. 18). Алгоритм завершается, когда мы реализуем все ребра в грубой молекуле $\widetilde{W}$, соединяющие седловые атомы. Построенная биллиардная книжка является результатом алгоритма 6. § 12. Примеры реализации атомов и грубых молекулБудем реализовывать грубую молекулу $\widetilde{W}$, изображенную на рис. 18. Сначала построим биллиардные книжки класса $\mathbf{a} $ для $3$-атомов $B $ и $D_2$, которые встречаются в выбранной грубой молекуле $\widetilde{W}$, по алгоритму 1. Эти $3$-атомы – без звездочек, поэтому являются тривиальным расслоением над соответствующими $2$-атомами со слоем окружность. Эти $3$-атомы $B $ и $D_2 $ представлены в табл. 2, а $3$-атом $B $ – также на рис. 11. Таблица 2.Пример использования алгоритма 1 для построения книжек для $3$-атомов $B $ и $D_2$
Пример 2 (реализации $3$-атомов $B $ и $D_2 $ при помощи алгоритма 1). На критическом уровне $2$-атомов $B $ и $D_2 $ зададим ориентацию так, чтобы уровни интеграла, которые меньше критического (закрашенные кольца в табл. 2), оставались слева. Распространим эту ориентацию по непрерывности на близкие регулярные уровни интеграла. Представим $2$-атомы $B $ и $D_2 $ в виде склейки из крестов. Разобьем каждый крест на два полукреста по положительному уровню. Занумеруем полукресты, как показано в табл. 2. Каждому полукресту будет соответствовать лист на биллиардной книжке. Книжка $\mathscr{B}_B $ класса $\mathbf{a}$, реализующая $3$-атом $B$, будет состоять из двух листов типа $A'_0 $ (лист этого типа изображен на рис. 6). Книжка $\mathscr{B}_{D_2}$, реализующая $3$-атом $D_2$, – из четырех. Занумеруем листы на этих книжках в соответствии с нумерацией полукрестов. Положим перестановки справа и слева у этих книжек тождественными: $ \sigma_B(\widetilde{\lambda})=\mathrm{id}$, $\sigma_B(a)=\mathrm{id}$, $ \sigma_{D_2}(\widetilde{\lambda})=\mathrm{id}$ и $\sigma_{D_2}(a)=\mathrm{id}$. Перестановка снизу определяется на основе склейки полукрестов в кресты. В $2$-атоме $B $ первый полукрест склеен со вторым. Значит, $\sigma_B(b)=(1\, 2)$, где $\sigma_B(b) $ – нижняя перестановка книжки $\mathscr{B}_B$. В $2$-атоме $D_2 $ первый полукрест склеен со вторым полукрестом, третий – с четвертым. Значит, $\sigma_{D_2}(b)=(1\, 2) (3\, 4)$, где $ \sigma_{D_2}(b) $ – нижняя перестановка книжки $\mathscr{B}_{D_2}$. Верхняя перестановка определяется на основе склейки крестов в атомы. В $2$-атоме $B $ исходящая стрелка первого полукреста ведет во второй полукрест, второго – в первый. Значит, $ \sigma_B(0)(1)=2$, $\sigma_B(0)(2)=1$, где $\sigma_B(0) $ – верхняя перестановка книжки $ \mathscr{B}_B$. То есть $\sigma_B(0)=(1\, 2)$. В $2$-атоме $D_2 $ исходящая стрелка первого полукреста ведет третий полукрест, поэтому $ \sigma_{D_2}(0)(1)=3$, где $\sigma_{D_2}(0) $ – верхняя перестановка книжки $\mathscr{B}_{D_2}$. Аналогично получаем, $\sigma_{D_2}(0)(3)=2$, $ \sigma_{D_2}(0)(2)=1$, $ \sigma_{D_2}(0)(4)= 4$. То есть $ \sigma_{D_2}(0)=(1\,2\,3)(4)$. Согласно лемме 4 для построения биллиардной книжки класса $\mathbf{a} $ этих перестановок достаточно, чтобы полностью задать биллиардные книжки $\mathscr{B}_B $ и $ \mathscr{B}_{D_2}$. Эти биллиардные книжки представлены в табл. 2. Рассмотрим теперь $3$-атом $A^*$. Он тоже встречается в выбранной грубой молекуле $\widetilde{W}$. Он также представлен на рис. 11. Кроме того, он изображается в виде $2$-атома, как показано в табл. 3. Рассмотрим алгоритм 2 на примере этого $3$-атома и построим реализующую его биллиардную книжку $\mathscr{B}_{A^*}$. Таблица 3.Иллюстрация алгоритма 2 на примере $3$-атома $A^*$; инволюция $\tau $ на дубле представлена как центральная симметрия
Пример 3 (реализации $3$-атома $A^* $ при помощи алгоритма 2). Сконструируем для атома $A^* $ дубль $\widehat{A}^* $ с инволюцией $\tau\colon \widehat{A}^* \to \widehat{A}^* $ по замечанию 26 следующим образом. Разрежем кольцо на соответствующем $2$-атоме $A^* $ так, как показано в табл. 3. Берем копию получившегося разрезанного $2$-атома. Склеиваем эти копии по разрезанной части. Получаем атом $ B $ – дубль для атома $A^*$. Инволюция $\tau $ на дубле представлена в виде центральной симметрии. Режем дубль на полукресты. Нумеруем их (см. табл. 3). Из дубля $B $ получается 2 полукреста. Значит, у биллиардной книжки, соответствующей атому $A^* $, будет два листа типа $A'_0$. Для вычисления всех перестановок, кроме левой, используем алгоритм 1. Получаем, что правая перестановка $\sigma_{A^*}[\widetilde{\lambda}]=\mathrm{id}$ – тождественная. Для нижней и верхней перестановок верно: $\sigma_{A^*}[b]=(1\, 2)$, $ \sigma_{A^*}[0]=(1\, 2)$. Левая перестановка определяется на основе инволюции $\tau$. Эта инволюция отображает первый полукрест на второй и второй на первый. Значит, $\sigma_{A^*}[a](1)=2$ и $\sigma_{A^*}[a](2)=1$, т.е. $ \sigma_{A^*}[a]=(1\, 2)$. Снова используем лемму 4 для построения биллиардной книжки класса $\mathbf{a} $ на основе трех перестановок. Получившаяся биллиардная книжка, реализующая атом $ A^*$, представлена в табл. 3. Теперь проиллюстрируем работу алгоритма 3 на примере склейки двух $3$-атомов без звездочек по ребру. Пример 4 (склейки $3$-атомов $B $ и $D_2 $ по ребру). В этом примере мы собираемся выполнить преобразования над книжками $\mathscr{B}_{B} $ и $ \mathscr{B}_{D_2}$, полученными в примере 2, так, чтобы в соответствующих им грубых молекулах атом $B $ склеился c атомом $D_2 $ по ребру (рис. 19). При этом после этой склейки атом $B $ будет находиться ниже атома $D_2$, верхнее штриховое ребро атома $B $ склеится с нижним штриховым ребром атома $D_2$, а атомы $A $ на других концах этих ребер пропадут. Сначала расположим атомы $B $ и $D_2 $ на разных уровнях $\lambda_1 $ и $\lambda_2$ таких, что $0<\lambda_1<\lambda_2<b$. Чтобы атом $B $ оказался на уровне $\lambda_1$, а атом $D_2 $ – на уровне $\lambda_2$, поменяем нижние границы листов у книжек $\mathscr{B}_{B} $ и $ \mathscr{B}_{D_2}$, а именно сделаем их дугами эллипсов с соответствующими параметрами: $ \lambda_1 $ для $B $ и $\lambda_2 $ для $D_2$. Возьмем несвязное объединение этих книжек (операция несвязного объединения введена в определении 25). В итоге получится биллиардная книжка $\mathscr{B}$, представленная на рис. 19. Заметим, что у нее сдвинулась нумерация на листах, отвечающих книжке $\mathscr{B}_{D_2} $: лист 1 перешел в лист 3, 2 в 4, 3 в 5, 4 в 6. Перестановки переписались в соответствии с этой перенумерацией: $\sigma[0]=(1\,2)(3\,4\,5)(6)$, $ \sigma[\lambda_1]=(1\,2)$, $ \sigma[\lambda_2]=(3\,4)(5\,6)$. Изменим верхнюю перестановку $ \sigma[0] $ в книжке $\mathscr{B} $ так, чтобы в грубой молекуле склеились нужные ребра. Для этого выполним действия, описанные ниже. Рассмотрим произвольный уровень $\lambda$ такой, что $\lambda_1<\lambda<\lambda_2$. Поскольку нижние дуги листов книжки $\mathscr{B} $ имеют параметры $\lambda_1 $ или $\lambda_2$, то перестановка уровня $\Pi[\lambda] $ из определения 24 выглядит так: $ \Pi[\lambda]= \prod_{\lambda_i<\lambda} \sigma[\lambda_i]=\sigma[\lambda_1]=(1\,2). $ Рассмотрим разложение в независимые циклы композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2)(3\,4\,5)(6) \circ (1\,2)=(1)(2)(3\,4\,5)(6)$. Согласно лемме 5 есть взаимно однозначное соответствие между двумерными торами Лиувилля на уровне $\Lambda=\lambda $ и этими независимыми циклами. Штриховым ребрам (торам) атомов $B $ и $ D_2 $ соответствуют некоторые циклы. Пусть это будут циклы $(1) $ и $(6)$. Нужно выбрать из каждого цикла произвольный номер. Здесь это можно сделать единственным образом. Получим номера 1 и 6. Заменим верхнюю перестановку $\sigma[0] $ на $ \sigma'[0]=(1\,6) \circ \sigma[0]=(1\,6) \circ (1\,2)(3\,4\,5)(6)=(1\,2\,6)(3\,4\,5)$. Поменяем верхнюю границу всех листов в соответствии с новой перестановкой: каждый независимый цикл в разложении перестановки $\sigma'[0] $ соответствует одному корешку (одномерной клетке), который склеивает в точности те листы, которые этот цикл переставляет (см. рис. 19). Получившаяся в результате новая книжка $\mathscr{B}' $ будет иметь нужную грубую молекулу. Заметим, что на уровне $\Lambda=\lambda $ два тора, отвечающие циклам $(1) $ и $(6)$, склеились. Действительно, если рассмотреть композицию $\sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]=\sigma'[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2\,6)(3\,4\,5) \circ (1\,2)=(1\,6)(2)(3\,4\,5)$, то можно увидеть, что циклы $(1) $ и $(6) $ склеились в один цикл $(1\,6)$. Новому циклу $(1\,6) $ соответствует движение материальной точки, являющееся объединением двух движений, соответствующих старым циклам $(1) $ и $(6)$. Для других циклов движение материальной точки не меняется. Рассмотрим пример использования алгоритма 4. Он совпадает с алгоритмом 2 для атомов со звездочками и модифицирует алгоритм 1 для атомов без звездочек. Используя его, построим новые книжки для атомов $B $ и $D_2$. Пример 5. Сконструируем для атомов $B $ и $D_2 $ дубли $\widehat{B} $ и $\widehat{D}_2 $ с инволюциями $ \tau_B\colon \widehat{B} \to \widehat{B} $ и $\tau_{D_2}\colon \widehat{D}_2 \to \widehat{D}_2 $ по алгоритму 4 следующим образом. Дублем для атомов $B $ и $D_2 $ являются пары копий соответствующих $2$-атомов $B $ и $D_2 $ (табл. 4). Инволюции $ \tau_B $ и $\tau_{D_2} $ отражают одну копию на другую. Теперь можно применить алгоритм 2 реализации атомов со звездочками к атомам $B $ и $D_2 $ без звездочек. Режем дубль $\widehat{B} $ на полукресты. Нумеруем их (см. табл. 4). Из дубля $ \widehat{B} $ получается четыре полукреста. Значит, у биллиардной книжки, соответствующей атому $B $, будет четыре листа типа $A'_0$. Правая перестановка $\sigma'_{B}[\widetilde{\lambda}]=\mathrm{id}$ тождественная. Для нижней и верхней перестановок для атома $B $ верно: $ \sigma'_{B}[b]=(1\,2)(3\,4)$, $ \sigma'_{B}[0]= (1\,2) (3\,4)$. Левая перестановка определяется на основе инволюции $\tau $: $ \sigma'_{B}[a]= (1\,3)(2\,4)$. Таблица 4.Иллюстрация алгоритма 4 на примере $3$-атомов $B $ и $D_2$; инволюция $\tau $ на дублях отображает одну копию атома на другую
Аналогично получаем перестановки для атома $D_2 $: $\sigma'_{D_2}[\widetilde{\lambda}]=\mathrm{id}$, $ \sigma'_{D_2}[b]=(1\,2)(3\,4)(5\,6)(7\,8)$, $ \sigma'_{D_2}[0]=(1\,2\,3)(4)(5\,6\,7)(8)$, $ \sigma'_{D_2}[a]=(1\,5)(2\,6)(3\,7)(4\,8)$. Используем лемму 4 для построения биллиардных книжек класса $\mathbf{a}$. По этой лемме описанные выше перестановки полностью задают биллиардные книжки $\mathscr{B}'_{B} $ и $ \mathscr{B}'_{D_2}$, реализующие атомы $B $ и $D_2 $ соответственно, изображенные в табл. 4. Эти же книжки можно также получить другим путем. Возьмем книжки $\mathscr{B}_{B} $ и $ \mathscr{B}_{D_2}$, полученные в примере 1. Удвоим их – рассмотрим книжки $ \mathscr{B}_{B} \sqcup \mathscr{B}_{B} $ и $\mathscr{B}_{D_2} \sqcup \mathscr{B}_{D_2}$. Сейчас левые перестановки на удвоенных книжках являются тождественными. Поменяем их на инволюцию, отображающую одну копию листа на другую, т.е. положим $\sigma'_{B}[a]=(1\,3)(2\,4) $ и $\sigma'_{D_2}[a]=(1\,5)(2\,6)(3\,7)(4\,8)$. Поменяем левую границу листов в соответствии с этой заменой перестановок. Получившиеся биллиардные книжки совпадают с книжками $\mathscr{B}'_{B} $ и $ \mathscr{B}'_{D_2}$. Теперь покажем, как можно склеить два произвольных атома по ребру на примере склейки атома $B $ без звездочек и атома $A^* $ со звездочкой. Пример 6 (склейки $3$-атомов $B $ и $A^* $ по ребру). Этот пример иллюстрирует алгоритм 5 склейки двух произвольных атомов, со звездочками или без. Этот алгоритм основан на алгоритме 3 склейки двух произвольных атомов без звездочек, но устроен сложнее. Чтобы проиллюстрировать этот алгоритм, выполним преобразования над книжкой $\mathscr{B}'_{B} $ из примера 5 и книжкой $\mathscr{B}_{A^*} $ из примера 3 так, чтобы в соответствующих им грубых молекулах атом $B $ склеился c атомом $A^* $ по ребру (рис. 20).  Рис. 20.Иллюстрация алгоритма 5 на примере склейки $3$-атомов $B $ и $A^* $ по ребру; атомом $ \widehat{B} $ обозначен некоторый дубль $3$-атома $ B$. Аналогично примеру 4 расположим атомы $B $ и $A^* $ на разных уровнях $\lambda_1 $ и $ \lambda_2$ таких, что $0<\lambda_1<\lambda_2<b$. Для этого поменяем нижние границы листов у книжек $\mathscr{B}'_{B} $ и $\mathscr{B}_{A^*}$, а именно сделаем их дугами эллипсов с параметрами $\lambda_1 $ для $B $ и $\lambda_2 $ для $A^*$. Возьмем несвязное объединение этих книжек (см. определение 25). В итоге получится биллиардная книжка $\mathscr{B}$, представленная на рис. 20, с перестановками $ \sigma[0]=(1\,2)(3\,4)(5\,6)$, $ \sigma[\lambda_1]=(1\,2)(3\,4)$, $ \sigma[\lambda_2]=(5\,6)$, $ \sigma[a]=(1\,3)(2\,4)(5\,6)$. Изменим верхнюю перестановку $\sigma[0] $ в книжке $\mathscr{B} $ так, чтобы в грубой молекуле склеились нужные ребра. Для этого выполним действия, описанные ниже. Рассмотрим также другую книжку $\widehat{\mathscr{B}}$, которая получается из книжки $ \mathscr{B}$, если положить левую перестановку $\sigma[a] $ тождественной. У нее на месте атомов возникают их дубли: на месте атома $B $ – две копии атома $B$, на месте атома $A^* $ – атом $B$. Рассмотрим произвольный уровень $\lambda$ такой, что $\lambda_1<\lambda<\lambda_2$. Перестановка уровня $\Pi[\lambda] $ из определения 24 выглядит так: $\Pi[\lambda]= \sigma[\lambda_1]=(1\,2)(3\,4). $ Рассмотрим разложение в независимые циклы композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2)(3\,4)(5\,6) \circ (1\,2)(3\,4)=(1)(2)(3)(4)(5\,6)$. Лемма 5 в этом случае не применима к книжке $\mathscr{B}$, поскольку у нее слева нетождественная перестановка, но применима к дубль-книжке $ \widehat{\mathscr{B}}$. Поэтому согласно этой лемме есть взаимно однозначное соответствие между двумерными торами Лиувилля на уровне $\Lambda=\lambda $ на дубль-книжке $ \widehat{\mathscr{B}} $ и независимыми циклами $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ и $ (5\,6)$. Каждому из торов Лиувилля на книжке $\mathscr{B} $ соответствуют один или два тора на дубль-книжке $\widehat{\mathscr{B}}$. Как именно выглядит соответствие, можно понять исходя из левой перестановки $\sigma[a] $ книжки $\mathscr{B}$. В нашем случае торы, соответствующие циклам $(1) $ и $(3)$ в дубль-книжке $\widehat{\mathscr{B}}$, – это один тор в книжке $\mathscr{B}$, поскольку $\sigma[a](1)=3 $ и $\sigma[a](3)=1$, т.е. эти циклы (торы) переходят друг в друга по инволюции. Аналогично, циклы $(2) $ и $(3) $ соответствуют одному тору в книжке $\mathscr{B}$. А цикл $(5\,6) $ переходит в себя же под действием перестановки $\sigma[a]$. Значит, цикл $(5\,6) $ (тор в дубль-книжке $\widehat{\mathscr{B}} $) соответствует одному тору в книжке $\mathscr{B}$. Итак, штриховому ребру (тору) атома $B $ на книжке $\mathscr{B} $ соответствует одно или два ребра (тора) на дубль-книжке $\widehat{\mathscr{B}}$, а им, в свою очередь, некоторые циклы. Пусть ими будет пара циклов $(1) $ и $(3)$. Выберем из них произвольный цикл и фиксируем в нем любое число. Получим $1$. Выполним аналогичные действия для атома $A^*$. Пусть штриховому ребру атома $ A^* $ в книжке $\mathscr{B} $ соответствует один цикл $(5\,6)$. Фиксируем в нем произвольное число – $5$. Итак, мы получили два числа $1 $ и $5$. Рассмотрим также образы листов $1 $ и $5 $ относительно инволюции $\sigma[a] $ – листы $\sigma[a](1)=3 $ и $\sigma[a](5)=6$. Заменим верхнюю перестановку $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]=(1\,5) \circ (3\,6) \circ \sigma[0]=(1\,5) \circ (3\,6) \circ (1\,2)(3\,4)(5\,6)=(1\,2\,5\,3\,4\,6)$. Поменяем верхнюю границу всех листов в соответствии с новой перестановкой (см. рис. 20). Получившаяся в результате новая книжка $ \mathscr{B}' $ имеет нужную грубую молекулу. Заметим, что на уровне $\Lambda=\lambda $ два тора, отвечающие циклам $(1)$, $(3) $ и $(5\,6)$, склеились. Действительно, если рассмотреть композицию $\sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]= \sigma'[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2\,5\,3\,4\,6) \circ (1\,2)(3\,4)=(1\,5\,3\,6)(2)(4)$, то можно увидеть, что циклы $(1)$, $ (3) $ и $ (5\,6) $ склеились в один цикл $(1\,5\,3\,6)$. Продолжим реализовывать грубую молекулу $\widetilde{W}$, изображенную на рис. 18. Следующим шагом приклеим атом $D_2 $ к грубой молекуле, сконструированной в примере 6, а именно, приклеим его к атому $A^* $ по ребру. Пример 7 (приклейки атома $D_2 $ к атому $A^* $ по ребру). Рассмотрим книжку $\mathscr{B}' $ из примера 6 и книжку $\mathscr{B}'_{D_2} $ из примера 5, реализующую атом $D_2$. Собираемся изменить эти две книжки, действуя по алгоритму 5 так, чтобы атом $D_2 $ приклеился к атому $A^* $ по ребру (см. рис. 18). Расположим атом $D_2 $ на некотором уровне $\lambda_3$ таком, что $\lambda_2<\lambda_3<b$, т.е. этот атом находится выше атомов $B $ и $A^* $ из грубой молекулы книжки $\mathscr{B}'$. Чтобы атом $D_2 $ оказался на уровне $\lambda_3$, поменяем нижние границы листов у книжки $ \mathscr{B}'_{D_2}$, а именно, сделаем их дугой эллипса с параметром $\lambda_3$. Возьмем несвязное объединение получившейся книжки и книжки $\mathscr{B}' $ (см. определение 25). В итоге получится биллиардная книжка $\mathscr{B} $ из 14 листов с перестановками
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma[0]=(1\,2\,5\,3\,4\,6)(7\,8\,9)(10)(11\,12\,13)(14), \\ \sigma[\lambda_1]=(1\,2)(3\,4), \qquad \sigma[\lambda_2]=(5\,6), \qquad \sigma[\lambda_3]= (7\,8)(9\,10)(11\,12)(13\,14), \\ \sigma[a]=(1\,3)(2\,4)(5\,6)(7\,11)(8\,12)(9\,13)(10\,14). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта книжка имеет грубую молекулу $W_1 $ на рис. 18. Изменим верхнюю перестановку $\sigma[0] $ в книжке $\mathscr{B} $ так, чтобы получилась грубая молекула $W_2$, выполнив действия, описанные ниже. Рассмотрим произвольное значение $\lambda $ интеграла $\Lambda$, находящееся между атомом $A^* $ и $D_2$, т.е. $\lambda_2<\lambda<\lambda_3$. Тогда $\Pi[\lambda]= \sigma[\lambda_1] \circ \sigma[\lambda_2]=(1\,2)(3\,4)(5\,6)$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2\,5\,3\,4\,6)(7\,8\,9)(10)(11\,12\,13)(14) \circ (1\,2)(3\,4)(5\,6), \\ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,5)(2)(3\,6)(4)(7\,8\,9)(10)(11\,12\,13)(14). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие пары циклов соответствуют некоторым торам на уровне $\lambda $ интеграла $\Lambda $: $ (1\,5)(3\,6)$, $ (2)(4)$, $(7\,8\,9)(11\,12\,13) $ и $(10)(14)$. Пусть выделенным (штриховым на молекуле $W_1 $ на рис. 18) ребрам соответствуют пары циклов $(1\,5)(3\,6) $ и $ (7\,8\,9)(11\,12\,13)$. Выберем произвольные числа в каждой из пар циклов – $1 $ и $7$. Рассмотрим также образы листов $1 $ и $7$, полученных действием инволюции $\sigma[a] $ – листы $ \sigma[a](1)=3 $ и $\sigma[a](7)=11$. Тогда верхняя перестановка записывается в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma''[0]=(1\,7)(3\,11) \circ \sigma[0]=(1\,7)(3\,11) \circ (1\,2\,5\,3\,4\,6)(7\,8\,9)(10)(11\,12\,13)(14), \\ \sigma''[0]=(1\,2\,5\,11\,12\,13\,3\,4\,6\,7\,8\,9)(10)(14). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поменяем верхнюю границу всех листов в соответствии с новой перестановкой. Получившаяся в результате новая книжка $\mathscr{B}'' $ имеет грубую молекулу $W_2 $ из рис. 18. Рассмотрим последний пример. В нем будет рассмотрен переход от грубой молекулы $W_2$, полученной в примере 6, к грубой молекуле $W_3$, совпадающей с требуемой молекулой $\widetilde{W} $ (см. рис. 18). Здесь также воспользуемся алгоритмом 5 и склеим атом $B $ c атомом $D_2 $ по ребру. Пример 8 (склейки атома $B $ c атомом $D_2 $ по ребру). Рассмотрим книжку $\mathscr{B}'' $ из примера 7 с перестановками Рассмотрим произвольное регулярное значение $\lambda $ интеграла $\Lambda$, находящееся между атомом $B $ и $D_2$, т.е. $\lambda_1<\lambda<\lambda_3, \lambda \neq \lambda_2$. Тогда если $\lambda<\lambda_2$, то $\Pi[\lambda]=\sigma[\lambda_1]=(1\,2)(3\,4)$. Если $\lambda > \lambda_2$, то $\Pi[\lambda]=\sigma[\lambda_1] \circ \sigma[\lambda_2]=(1\,2)(3\,4)(5\,6)$. Без ограничения общности будем считать, что $\lambda > \lambda_2$. Ответ от этого выбора не будет зависеть, поскольку торы, которые соответствуют штриховым ребрам, есть в том и в другом случае. Эти торы будут соответствовать тем же циклам. Таким образом, получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma''[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,2\,5\,11\,12\,13\,3\,4\,6\,7\,8\,9)(10)(14) \circ (1\,2)(3\,4)(5\,6), \\ \sigma''[0] \circ \Pi[\lambda]=(1\,5\,7\,8\,9)(3\,6\,11\,12\,13)(2)(4)(10)(14). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие пары циклов соответствуют некоторым торам на уровне $\lambda $ интеграла $\Lambda $: $ (1\,5\,7\,8\,9)(3\,6\,11\,12\,13)$, $(2)(4) $ и $(10)(14)$. Выделенным (штриховым на молекуле $ W_2 $ на рис. 18) ребрам соответствуют пары циклов $(2)(4) $ и $(10)(14)$. Выберем произвольные числа в каждой из пар – $ 2 $ и $ 14$. Рассмотрим также образы листов $2 $ и $14 $ относительно инволюции $\sigma[a] $ – листы $\sigma[a](2)=4 $ и $\sigma[a](14)=10$. Тогда верхняя перестановка записывается в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma'''[0]=(2\,14)(4\,10) \circ \sigma''[0]=(2\,14)(4\,10) \circ (1\,2\,5\,11\,12\,13\,3\,4\,6\,7\,8\,9)(10)(14), \\ \sigma'''[0]=(1\,14\,2\,5\,11\,12\,13\,3\,10\,4\,6\,7\,8\,9). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поменяем верхнюю границу всех листов в соответствии с новой перестановкой. Получившаяся в результате новая книжка $\mathscr{B}''' $ имеет грубую молекулу $W_3=\widetilde{W} $ из рис. 18. Итак, мы получили грубую молекулу $\widetilde{W} $ последовательным применением алгоритма 5, в чем и состоит алгоритм 6 реализации любой грубой молекулы. Заметим также, что данная книжка, вообще говоря, строится неоднозначно, поскольку номера в циклах можно выбирать произвольным образом. Однако сами циклы выбираются однозначно, поскольку они соответствуют ребрам на молекуле, которые фиксированы для заданной грубой молекулы. § 13. Доказательство корректности алгоритма реализации любых грубых молекулДля доказательства теоремы 6 докажем, что алгоритм 6 реализации любых грубых молекул биллиардными книжками класса $\mathbf{b} $ корректен. Разобьем доказательство на несколько лемм. Лемма 7. Пусть дана биллиардная книжка $\mathscr{B} $ класса $\mathbf{a}$. Построим биллиардную книжку $\mathscr{B}' $ из $\mathscr{B} $ заменой всех листов на листы типа $B_0 $ с некоторым фиксированным параметром $\lambda_1 $ эллипса, являющегося нижней границей. Тогда грубые молекулы, отвечающие книжкам $\mathscr{B} $ и $\mathscr{B}'$, совпадут. Доказательство. Обозначим через $Q^3 $ и $Q'^3 $ изоэнергетические многообразия биллиардных книжек $ \mathscr{B} $ и $\mathscr{B}' $ соответственно. Предъявим явный гомеоморфизм $\varphi\colon [0, a] \to [0, a]$ такой, что уровень интеграла $\Lambda=\lambda$ будет гомеоморфен уровню $\Lambda'=\varphi(\lambda)$ $\forall\, \lambda \in [0, a]$, где $\Lambda $ – интеграл, отвечающий параметру квадрики, определенный на $ Q^3$, $ \Lambda' $ – на $Q'^3. $ Этот гомеоморфизм даст грубую эквивалентность систем $(Q^3, \Lambda) $ и $(Q'^3, \Lambda')$, что эквивалентно совпадению грубых молекул по теореме 2.
Функцию $\varphi $ зададим так, чтобы отрезок $[0, b] $ переходил в отрезок $[0, \lambda_1]$, отрезок $[b, a] $ переходил в отрезок $[\lambda_1, a] $ (рис. 21). Например, такое отображение можно задать следующей кусочно линейной функцией: В старой биллиардной книжке $\mathscr{B} $ уровни интеграла являются критическими при $ \Lambda=0$, $ \Lambda=b$, $\Lambda=a $ (см. рис. 21). Они переходят в уровни $ \Lambda'=0$, $ \Lambda'=\lambda_1$, $\Lambda'=a$, которые также являются критическими в новой биллиардной книжке $\mathscr{B}'$. Во всех случаях, отличных от критических, область возможного движения материальной точки (см. замечание 29) очевидно переходит в такую же область с теми же условиями склейки векторов. Критические уровни $\Lambda=0$, $\Lambda=a$, $ \Lambda'= 0 $ и $\Lambda'=a $ соответствуют постепенному сжатию области возможного движения (до дуги), которое соответствует сжатию торов на окружности (атомам $A $). Эти слои также очевидно гомеоморфны. Единственный нетривиальный уровень интеграла $\Lambda $ – это $\Lambda=b$, отвечающий траекториям, сегменты которых лежат на прямых, содержащих хотя бы один из фокусов. Он переходит в уровень $\Lambda'=\lambda_1$, отвечающий траекториям, которые касаются эллипса с параметром $ \lambda_1$, являющегося нижней дугой границы. Рассмотрим окрестность этих уровней на каждом из листов. Будем изучать эти уровни интеграла с помощью метода, описанного в замечании 29: рассмотрим точку на биллиардной книжке и каждый из не более четырех векторов, соответствующих возможным направлениям на выбранном уровне, и изучим, как эти векторы между собой склеиваются, образуя двумерный слой. В окрестности уровней $\Lambda=b $ и $\Lambda'=\lambda_1 $ удобно рассматривать не отдельно каждую точку на листе биллиардной книжки, а семейство точек, лежащих на фиксированной гиперболе. Сравним эти семейства для произвольной гиперболы на уровнях $\Lambda=b-\varepsilon $ и $ \Lambda'=\lambda_1-\varepsilon$, $ \Lambda=b $ и $ \Lambda'=\lambda_1$, $\Lambda=b+\varepsilon $ и $\Lambda'=\lambda_1+\varepsilon$. Результат представлен на рис. 22. На этом рисунке видно, как векторы, направленные вверх и вниз, сближаются при движении вниз по гиперболе в каждом из случаев. В случаях $\Lambda=b-\varepsilon $ и $\Lambda'=\lambda_1-\varepsilon$, $ \Lambda=b $ и $\Lambda'=\lambda_1 $ векторы, достигнув интегральной кривой (эллипса или фокальной прямой), склеиваются в один. В случаях $\Lambda=b+\varepsilon $ и $ \Lambda'=\lambda_1+\varepsilon $ эти векторы не успевают склеиться и переходят по закону отражения на другой лист. Видно, что получившиеся уровни в старой и новой книжках (на левом и правом рисунках) гомеоморфны для каждого из листов. Эти уровни изображены в центре рис. 22. А поскольку в новой биллиардной книжке $\mathscr{B}' $ перестановки остались такими же, как и в старой книжке $\mathscr{B}$, то векторы склеиваются одинаково, и слои гомеоморфны. Лемма доказана. Более подробное доказательство можно прочесть в статье [12]. Заметим также, что в старой биллиардной книжке $\mathscr{B} $ класса $\mathbf{a} $ нет невыпуклых склеек, а в новой книжке $\mathscr{B}' $ класса $\mathbf{b} $ они появляются. Как уже говорилось в описании фазового пространства биллиардной книжки (см. случай II касания кривой границы, § 5), в окрестности невыпуклых склеек есть траектории, продолжение которых не определено в некоторых точках. В нашем случае это траектории, которые касаются эллипса с параметром $\lambda_1$. Но при этом эти точки определены на фазовом пространстве, а следовательно, на изоэнергетическом многообразии и в слоях. Более того, все такие точки лежат на одном уровне – уровне интеграла $\Lambda'=\lambda_1$, поскольку продолжение траектории невозможно определить в момент касания эллипса с параметром $\lambda_1$. Сформулируем лемму в обозначениях алгоритма 3. Лемма 8 (главная). Построенная в алгоритме 3 новая перестановка $\sigma'[0]=(\alpha_1\,\beta_1)\circ \sigma[0] $ задает следующую топологическую перестройку грубой молекулы, содержащей два седловых атома $P$ и $Q$ без звездочек, построенных по алгоритму 1. А именно, исчезает ребро, соединяющее атом $P$ с некоторым максимальным атомом $A$, и ребро, соединяющее атом $Q$ с некоторым минимальным атомом $A$. Вместо них появляется новое ребро, соединяющее атомы $P$ и $Q$ (рис. 23, 24). Доказательство. Напомним, что атом $P$ находится на уровне $\lambda_1$, атом $Q$ на уровне $\lambda_2$ и $0< \lambda_1<\lambda_2<b<a$. Рассмотрим отдельно, как преобразуется грубая молекула на регулярных уровнях интеграла в каждом из трех возможных случаев:
1) регулярный уровень интеграла $\Lambda=\lambda$, где $\lambda_1<\lambda< \lambda_2$, т.е. уровень, находящийся между уровнями, на которых лежат атомы $P$ и $Q$; 2) регулярный уровень интеграла $\Lambda=\lambda$, где $\lambda<\lambda_1$, т.е. уровень, находящийся ниже уровня, на котором лежит атом $Q$; 3) регулярный уровень интеграла $\Lambda=\lambda$, где $\lambda > \lambda_2$, т.е. уровень, находящийся выше уровня, на котором лежит атом $P$. Регулярные уровни можно изучать в терминах перестановок, поскольку к ним применима лемма 5. Схематически изменение слоев представлено на рис. 23, 24. Рассмотрим первый случай, соответствующий регулярному уровню интеграла $\Lambda=\lambda$, где $ \lambda_1<\lambda<\lambda_2$. Согласно лемме 5 в новой биллиардной книжке $ \mathscr{B}' $ на этом уровне есть взаимно однозначное соответствие между двумерными торами Лиувилля и независимыми циклами в разложении композиции $\sigma'[0]\, {\circ}\, \Pi'[\lambda]$, где $ \Pi'[\lambda] $ – перестановка уровня из определения 24 в новой биллиардной книжке $\mathscr{B}'$. Заметим, что в новой книжке $\mathscr{B}' $ поменялась только перестановка $\sigma[0]$. Значит, перестановка уровня $\Pi'[\lambda] $ в новой биллиардной книжке $\mathscr{B}' $ совпадает с перестановкой уровня $\Pi[\lambda] $ в старой биллиардной книжке $\mathscr{B}$. Из этого следует, что $\sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda]$. Заметим, что в старой биллиардной книжке $\mathscr{B} $ тоже есть взаимно однозначное соответствие между торами Лиувилля на уровне интеграла $\Lambda=\lambda $ и независимыми циклами в разложении перестановки $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]$. Изучим изменение уровня при переходе от старой книжки к новой, изучая, как меняются циклы в разложении композиции при замене перестановки $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]$. Рассмотрим циклы $(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ и $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) $ в разложении композиции $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов. Этим циклам соответствуют ребра (торы) в старой грубой молекуле, обозначенные штриховыми линиями на рис. 23. Они соединяют атом $Q$ с некоторым максимальным атомом $A $ и атом $P$ с некоторым минимальным атомом $P$ соответственно. Эти ребра мы собирались клеить на шаге 4 алгоритма 3. Итак, перестановку $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ можно представить в виде композиции
$$
\begin{equation*}
\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) \circ (\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_1 $ – произведение оставшихся независимых циклов и $\lambda_1<\lambda<\lambda_2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] = (\alpha_1\,\beta_1) \circ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) \circ (\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_1, \\ \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda] =(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r\,\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы видим, на этом уровне интеграла два тора, соответствующие циклам $(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ и $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$, склеились в один тор, который соответствует циклу $ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r\,\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$. Тор стал более “длинным”, поскольку два тора разрезались по циклу и полученные цилиндры склеились. Значит, в грубой молекуле на этом уровне исчезнут два штриховых ребра, соединяющие атом $P$ c атомом $A $ минимума и атом $Q$ с атомом $A $ максимума, и появится новое штриховое ребро (см. рис. 24). Чтобы изучить, какие атомы оно соединяет, нужно изучить окрестность критических уровней. Это мы сделаем позже. Все остальные ребра на этом уровне изменение перестановки $\sigma[0] $ не затронет.
Рассмотрим второй случай, который соответствует уровню, находящемуся ниже уровня, на котором лежит атом $Q$. Здесь, как и в предыдущем случае, поскольку уровень некритический, изменение уровня можно описать в терминах перестановок. В грубой молекуле старой биллиардной книжки $\mathscr{B} $ рассматриваемое штриховое ребро, которое соединено с атомом $P$, соединяется с другой стороны с атомом $A $ минимума. Значит, тор, соответствующий этому ребру, не перестраивается ни через какой критический уровень, находящийся ниже уровня атома $P$. Поэтому в разложении перестановки $ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ в произведение независимых циклов, где $\lambda<\lambda_1$, есть цикл $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$ такой же, как и на уровне между $\lambda_1 $ и $ \lambda_2$. Кроме того, в этом разложении есть некоторый цикл, который содержит число $\alpha_1$. Пусть этим циклом является цикл $(\alpha_1\,\alpha'_2\,\dots\,\alpha'_t)$, где $\alpha'_2, \dots, \alpha'_t $ – оставшиеся элементы этого цикла. Итак, перестановку $\sigma[0]\,{\circ}\, \Pi[\lambda] $ можно представить в виде композиции
$$
\begin{equation*}
\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(\alpha_1\,\alpha'_2\,\dots\,\alpha'_t) \circ (\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_2 $ – произведение оставшихся независимых циклов, и $\lambda<\lambda_1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] = (\alpha_1\,\beta_1) \circ (\alpha_1\,\alpha'_2\,\dots\,\alpha'_t) \circ (\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_2, \\ \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda] =(\alpha_1\,\alpha'_2\,\dots\,\alpha'_t\,\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) \circ S_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть тор, который отвечал ребру, соединяющему атом $P$ c атомом $A $ минимума, на этом уровне приклеился к уже существующему тору. Значит, в грубой молекуле на этом уровне исчезнет штриховое ребро, соединяющее атом $P$ c атомом $A $ минимума (то же самое ребро, что и то, которое мы рассматривали для уровня $\lambda$ такого, что $\lambda_1<\lambda<\lambda_2 $). Все остальные ребра на этом уровне изменение перестановки $\sigma[0] $ не затронет (см. рис. 23, 24). Третий случай аналогичен второму. Здесь цикл $ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ останется неизменным, но будет какой-то другой цикл, содержащий номер $\beta_1$. Пусть этим циклом является цикл $(\beta_1\,\beta'_2\,\dots\,\beta'_u)$, где $\beta'_2, \dots, \beta'_u $ – оставшиеся элементы этого цикла. Снова перестановку $\sigma[0] \circ \Pi[\lambda] $ представим в виде композиции
$$
\begin{equation*}
\sigma[0] \circ \Pi[\lambda]=(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) \circ (\beta_1\,\beta'_2\,\dots\,\beta'_u) \circ S_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_3 $ – произведение оставшихся независимых циклов и $\lambda > \lambda_2$. Тогда исчезновение ребра происходит в результате объединения двух циклов $(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ и $(\beta_1\,\beta'_2\,\dots\,\beta'_u)$. В результате получается следующая перестановка:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] \circ \Pi[\lambda] = (\alpha_1\,\beta_1) \circ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) \circ (\beta_1\,\beta'_2\,\dots\,\beta'_u) \circ S_3, \\ \sigma'[0] \circ \Pi'[\lambda] =(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r\,\beta_1\,\beta'_2\,\dots\,\beta'_u) \circ S_3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из получившегося разложения следует, что в грубой молекуле на этом уровне исчезнет штриховое ребро, соединяющее атом $Q$ c атомом $A $ максимума. Все остальные ребра на этом уровне не изменятся (см. рис. 23, 24).
Теперь рассмотрим, как преобразуется грубая молекула на критических уровнях интеграла в каждом из трех возможных случаев: 1) критический уровень интеграла $\Lambda=\lambda_1$ такой, на котором лежит атом $Q$; 2) критический уровень интеграла $\Lambda=\lambda_2$ такой, на котором лежит атом $P$; 3) критические уровни $\Lambda=0 $ и $\Lambda=a$, на которых лежат атомы $A $ минимума и максимума. Исследуем первый случай, соответствующий критическому уровню интеграла $\Lambda=\lambda_1$. В старой биллиардной книжке $\mathscr{B} $ близкие к нему регулярные уровни $\Lambda=\lambda_1- \varepsilon $ и $\Lambda=\lambda_1+\varepsilon $ содержали тор, соответствующий циклу $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$, лежащий на “регулярном” штриховом ребре, не содержащем перестроек на уровне $\Lambda=\lambda_1$. То есть по непрерывности на этом ребре тоже расположен регулярный тор. Покажем, как этот регулярный тор приклеится к критическому уровню атома $Q$. В результате атом $Q$ не изменится, а выбранный регулярный тор исчезнет. Рассмотрим любую биллиардную траекторию на этом торе. Согласно лемме 5 числа в цикле $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) $ соответствуют номерам листов, по которым эта траектория идет вниз на биллиардной книжке $\mathscr{B}$. А именно, траектория идет вниз по листу $\beta_1$, потом вверх по листу $\Pi[\lambda] (\beta_1)$, вниз по листу $\beta_2$, вверх по $\Pi[\lambda] (\beta_2)$ и т.д. С листа $\Pi[\lambda](\beta_s) $ траектория перейдет снова на лист $\beta_1 $ и будет идти по нему вниз на биллиардной книжке $\mathscr{B}$. Если переопределить перестановку $\sigma'[0]=(\alpha_1, \beta_1) \circ \sigma[0] $ на верхней границе, то траектория после удара от верхней границы перейдет с листа $\sigma^{-1}(0)(\beta_1) $ на лист $\alpha_1 $ вместо $\beta_1$, а с листа $\sigma^{-1}(0)(\alpha_1) $ – на лист $\beta_1 $ вместо $\alpha_1$. То есть если рассмотреть окрестность уровня $\Lambda=\lambda_1$, то он преобразуется, как показано на рис. 23, 24. Видим, что на критическом уровне $ \Lambda=\lambda_1 $ при изменении перестановки $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]= (\alpha_1, \beta_1) \circ \sigma[0] $ связная компонента тора, отвечающая циклу $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$, приклеивается к другой связной компоненте, содержащей движение вниз по листу $ \alpha_1$. Эта связная компонента отвечает атому $Q$, поскольку тор, соответствующий циклу $ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ и содержащий движение вниз по листу $\alpha_1$, перестраивается на этом уровне через атом $Q$. Приклейка тора удлиняет “ленту” на атоме $Q$, поэтому атом $Q$ не изменится. Опишем эту операцию на языке двумерных атомов. Атом $Q$ является двумерной поверхностью, состоящей из “крестов” и соединяющих их концы двумерных “лент”. Взятый нами регулярный тор на уровне $\Lambda=\lambda_1 $ изображается двумерным кольцом. Мы разрезаем это кольцо и получаем “прямоугольник”. Далее, мы разрезаем одну из лент $2$-атома $Q$ и вклеиваем в атом $Q$ “прямоугольник”, соединяя его концы с границами разреза, сделанными на атоме $Q$. В результате атом $Q$, очевидно, не изменился (заменился на гомеоморфный), а выбранный выше регулярный тор исчез. Обратим внимание, что мы пока не доказали, что новый тор на регулярном уровне $ \lambda_1< \Lambda<\lambda_2 $ штрихового ребра инцидентнен атому $Q$ на критическом уровне $\Lambda= \lambda_1$. Докажем этот факт. Выше мы доказали, что регулярный тор, отвечающий циклу $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s) $ и находившийся на критическом уровне $\Lambda=\lambda_1$, приклеился к атому $Q$. Кроме того, старое штриховое ребро, которое соответствовало циклу $(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r)$, инцидентно атому $Q$. Отсюда вытекает, что новое штриховое ребро, склеенное из двух штриховых ребер, которые отвечали циклам $(\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_r) $ и $(\beta_1\,\beta_2\,\dots\,\beta_s)$, также инцидентно атому $Q$ (см. рис. 23, 24). Второй случай аналогичен первому. Только теперь тор, соответствующий циклу $ (\alpha_1\,\alpha_2\,\dots\,\alpha_s)$, приклеивается к атому $P$. Это также дает, что новое штриховое ребро, отвечающее тору на регулярном уровне $\lambda_1<\Lambda<\lambda_2$, инцидентно атому $P$ на критическом уровне $\Lambda=\lambda_2$. Рассмотрим третий случай. Атомы $A $ описывают стягивание торов на окружность с повышением или понижением уровня интеграла. Поэтому по непрерывности получаем, что склеивание двух торов в один при приближении к критическому уровню соответствует склейке двух критических окружностей в одну (см. рис. 23, 24). Итак, как мы видим, в каждом из указанных случаев изменение слоев интеграла $\Lambda $ при замене перестановки $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]=(\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] $ отражает необходимую нам склейку двух атомов по ребру, описанную в формулировке леммы 8. Лемма 8 доказана. Сформулируем лемму в обозначениях алгоритма 5. Лемма 9. Построенная в алгоритме 5 новая перестановка $\sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1)\,{\circ}\, \sigma[0]$ задает следующую топологическую перестройку грубой молекулы, содержащей любые два седловых атома $P$ и $Q$ (со звездочками или без), реализованных с помощью книжек класса $\mathbf{a} $ по обобщенному алгоритму 4. А именно, исчезает ребро, соединяющее атом $P$ с некоторым максимальным атомом $A$, и ребро, соединяющее атом $Q$ с некоторым минимальным атомом $A$. В новой грубой молекуле вместо них появляется новое ребро, соединяющее атомы $P$ и $Q$ (рисунок аналогичен рис. 23, 24). Доказательство. Биллиардная книжка $\mathscr{B}$, рассматриваемая в этой лемме, отличается от книжки в лемме 8 тем, что ранее перестановка $\sigma[a] $ слева была тождественной, а теперь она является инволюцией, которая не содержит элементов, переходящих в себя же. Эта инволюция задает симметрию на листах книжки и на слоях интеграла $\Lambda $ на изоэнергетическом многообразии $Q^3$. Если положить левую перестановку $\sigma[a] $ тождественной, то получится “дубль-книжка” $ \widehat{\mathscr{B}}$, в которой все слои будут дублями для слоев, соответствующих книжке $ \mathscr{B}$. Это вытекает из построения биллиардной книжки $\mathscr{B}$. Для “дубль-книжки” $ \widehat{\mathscr{B}} $ можно применить лемму 8. Это означает, что слои в дубль-книжке изменяются по правилу, описанному в лемме 8. Поэтому, чтобы изучить, как меняются слои в биллиардной книжке $\mathscr{B}$, мы перейдем к слоям в “дубль-книжке” $ \widehat{\mathscr{B}}$, посмотрим, как меняются слои в ней, и перейдем обратно к слоям в книжке $ \mathscr{B}$.
Рассмотрим слои в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}} $ по аналогии с леммой 8. Во всех случаях числа $\alpha_1$, $ \beta_1 $ выбирались так же, как и в алгоритме 3 склейки двух $3$-атомов без звездочек по ребру. Поэтому они так же, как и в лемме 8, соответствуют номерам листов, по которым траектории, принадлежащие выбранным торам, идут вниз на “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$. Значит, эти траектории отразились от верхней границы и перешли по перестановке $\sigma[0] $ на листы $\alpha_1$, $ \beta_1 $ с листов $\sigma^{-1}(0)(\alpha_1)$, $ \sigma^{-1}(0)(\beta_1) $ соответственно. В окрестности листов с номерами $\widehat{\alpha}_1$, $ \widehat{\beta_1} $ происходит то же самое. Изучим детальнее переклейки регулярных слоев при замене перестановки $\sigma[0] $ на $ \sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$. Ранее в лемме 8 на регулярных уровнях два тора склеивались в один. Теперь тору на регулярном уровне интеграла $\Lambda $ биллиардной книжки $\mathscr{B} $ могут соответствовать как один, так и два тора на этом же уровне в “дубль-книжке” $ \widehat{\mathscr{B}}$. Поэтому при склейке двух торов в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ возникают три случая, изображенных в табл. 5: 1) каждому из торов, которые должны быть склеены, соответствуют два тора на этом же уровне интеграла $\Lambda $ в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}} $; 2) одному из тех торов, что должны быть склеены, соответствуют два тора на этом же уровне интеграла $\Lambda $ в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$, другому – один; 3) каждому из торов, которые должны быть склеены, соответствует один тор на этом же уровне интеграла $\Lambda $ в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$. Таблица 5.Описание переклейки регулярных слоев биллиардной книжки $\widehat{\mathscr{B}} $ при замене верхней перестановки $\sigma[0]$ на перестановку $\sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$; инволюция $\tau $ на дублях условно в целях наглядности представлена как центральная симметрия
Инволюция $\tau $ в табл. 5 условно в целях наглядности представлена как центральная симметрия. При этом надо иметь в виду, что на самих слоях она не обязана быть центральной симметрией. Поскольку новая перестановка $\sigma'[0] $ является произведением старой $\sigma[0] $ на две транспозиции $(\alpha_1\,\beta_1) $ и $ (\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1)$, а не на одну, как ранее, то теперь в “дубль-книжке” $ \widehat{\mathscr{B}} $ будет две переклейки, а не одна. Как видно из табл. 5, после этих переклеек получается слой, который инволюция $\tau $ снова уважает. Кроме того, во всех случаях получившийся слой и инволюция $\tau $ являются дублем для нового тора в новой биллиардной книжке $\mathscr{B}'$. То есть если надстроить над получившимся дублем цилиндр и склеить его основания по инволюции $\tau$, получится ровно один новый тор вместо двух старых (см. замечание 24). Аналогично можно рассмотреть переклейку критического уровня $\Lambda=\lambda_1$, на котором находится атом $Q$. Напомним, что $2$-атомы состоят из крестов и “лент”, соединяющих их концы (см. теорему 3). Трехмерные атомы без звездочек являются тривиальным расслоением над двумерными атомами со слоем окружность. Поэтому они тоже могут быть представлены в виде крестов и “лент”, умноженных на окружность. Для краткости в трехмерных атомах без звездочек мы также будем говорить в терминах крестов и “лент” без упоминания того, что они умножены на окружность. Ранее в лемме 8 регулярный тор приклеивался к атому $Q$, удлиняя “ленту” на атоме. Благодаря этому тор на критическом уровне исчезал, а атом $Q$ не менялся. Теперь регулярному тору в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ может соответствовать один или два тора в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$, а на месте атома $Q$ возникает его дубль $\widehat{Q}$. При этом неизвестно, какой из многих вариантов дублей для фиксированного атома $Q$ возникнет в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$. После переклеек слоя в “дубль-книжке” $ \widehat{\mathscr{B}}$, соответствующих замене перестановки $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]$, дубль $ \widehat{Q} $ атома $Q$ может даже замениться на другой дубль. Важно, что при этом получится дубль, отвечающий тому же самому атому $Q$ (напомним, что одному атому могут отвечать разные дубли). Итак, есть два варианта переклейки, изображенных в табл. 6: 1) регулярному тору, который должен быть приклеен к атому $Q$, соответствуют два тора на этом же уровне интеграла $\Lambda $ в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$; 2) регулярному тору, который должен быть приклеен к атому $Q$, соответствует один тор на этом же уровне интеграла $\Lambda $ в “дубль-книжке” $\widehat{\mathscr{B}}$. Заметим, что в табл. 6 дубль $\widehat{Q} $ атома $Q$ представлен схематически и только в окрестности листов с номерами $\alpha_1, \widehat{\alpha}_1$. Эта окрестность на дубле $\widehat{Q} $ выделена толстыми линиями. Остальная часть дубля $\widehat{Q} $ может быть склеена между собой как угодно. В частности, компоненты, отвечающие окрестности листа $ \alpha_1 $ и окрестности листа $\widehat{\alpha}_1$, могут быть соединены “лентами”. При переклейке дубли меняются только в окрестности этих листов. То есть операция локальна, и остальная часть дубля останется неизменной. Поэтому достаточно проследить только за изменением этой окрестности. Таблица 6.Описание переклейки критического уровня $\Lambda=\lambda_1 $ биллиардной книжки $ \widehat{\mathscr{B}} $ при замене верхней перестановки $\sigma[0] $ на перестановку $\sigma'[0]= (\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$; инволюция $ \tau $ на дублях условно в целях наглядности представлена как центральная симметрия
Из табл. 6 видно, что в первом случае так же, как и в лемме 8, на уровне интеграла $\Lambda $ “дубль-книжки” $\widehat{\mathscr{B}} $ регулярные торы вклеиваются в дубль $\widehat{Q}$. При этом оба регулярных тора исчезают, а “ленты” на дубле $\widehat{Q} $ удлиняются, заменяя дубль на гомеоморфный ему. Из этого получается, что в новой биллиардной книжке $ \mathscr{B}' $ атом $Q$ останется тем же, а регулярный тор исчезнет. Во втором случае дубль меняется. Изменение представлено в табл. 6. В этом случае “ленты” на дубле $\widehat{Q} $ не только удлиняются, но и переклеиваются. При этом две несвязные компоненты могут объединиться или, наоборот, связная компонента может распасться. Но заметим, что если надстроить над получившимся дублем цилиндр и склеить его основания по инволюции $ \tau$, то получится тот же атом $Q$, что и раньше. В окрестности листов $\alpha_1, \widehat{\alpha}_1 $ этот факт виден из табл. 6, а в оставшейся части дубля ничего не менялось. Итак, как мы видим, в обоих случаях регулярный тор на критическом уровне $ \Lambda=\lambda_1 $ исчез, а атом $Q$ заменился на гомеоморфный. Критический уровень $\Lambda=\lambda_2$, на котором лежит атом $P$, преобразуется аналогично. Осталось рассмотреть критические уровни $\Lambda=0 $ и $\Lambda=a$, на которых лежат атомы $A $ минимума и максимума соответственно. Атомы $A $ описывают стягивание торов на окружность с повышением или понижением уровня интеграла. Поэтому по непрерывности получаем, что склеивание двух торов в один при приближении к критическому уровню соответствует склейке двух $3$-атомов $A $ в один. Таким образом, получаем, что в биллиардной книжке $\mathscr{B} $ при замене перестановки $\sigma[0] $ на перестановку $\sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0] $ на слоях произойдут следующие изменения: на регулярных уровнях интеграла $\Lambda $ два тора склеятся в один, на критических $\Lambda=\lambda_1 $ и $ \Lambda=\lambda_2 $ регулярный тор приклеится к соответствующему атому. Конкретный выбор торов, которые будут склеены, такой же, как и в лемме 8. Значит, грубая молекула биллиардной книжки $\mathscr{B} $ изменится так же, как и в лемме 8 (см. рис. 23, 24). Лемма 9 доказана. Лемма 10. Пусть дана биллиардная книжка $\mathscr{B} $ на любом этапе алгоритма 6 реализации грубой молекулы. Выберем на грубой молекуле этой биллиардной книжки пару ребер: одно ребро соединяет произвольный седловой атом $Q$ с некоторым максимальным атомом $A$, другое – произвольный седловой атом $P$ c некоторым минимальным атомом $A$, причем $\widetilde{\Lambda}(Q)< \widetilde{\Lambda}(P)$. Тогда после выполнения шагов 3–6 алгоритма 5 склейки двух произвольных седловых атомов по выбранным ребрам получится новая биллиардная книжка $\mathscr{B}'$, у которой в грубой молекуле эта пара выбранных ребер склеится. Иными словами, исчезнут эти выбранные ребра и появится новое, соединяющее атомы $P$ и $Q$ на новой грубой молекуле. При этом описанная операция локальна, т.е. оставшуюся часть исходной грубой молекулы изменения не затронут. Доказательство. Рассмотрим, как меняются уровни интеграла $\Lambda=\lambda$, где $0<\lambda< \widetilde{\Lambda}(P)$. Эти уровни находятся ниже атома $P$. Поскольку грубая молекула биллиардной книжки $\mathscr{B} $ может содержать более чем два седловых атома, то среди этих уровней может встретиться любое число критических. Поэтому на этих слоях сфокусируемся на регулярном торе, который соответствует выбранному ребру, соединяющему атом $P$ с минимальным атомом $A$. Изучим, как этот регулярный тор приклеивается к другим компонентам уровня интеграла $\Lambda=\lambda$.
Здесь, как и в лемме 9, перейдем к слоям в “дубль-книжке” $ \widehat{\mathscr{B}}$, посмотрим, как меняются слои в ней, и перейдем обратно к слоям в книжке $ \mathscr{B}$. Напомним, что “дубль-книжка” $\widehat{\mathscr{B}} $ получается из книжки $ \mathscr{B} $ заменой перестановки слева на тождественную. При этом все слои на уровне интеграла $ \Lambda $ упрощаются до тривиального расслоения $X \times S^1 $ со слоем окружность $S^1 $ над базой $X$, которая является дублем для соответствующих слоев книжки $\mathscr{B}$. Итак, этому выделенному регулярному тору на слоях книжки $\mathscr{B} $ соответствует один или два тора на слоях “дубль-книжки” $\widehat{\mathscr{B}}$. Эти один или два тора приклеются к некоторой компоненте $\widehat{C} $ уровня интеграла $\Lambda=\lambda $ независимо от того, является ли этот уровень критическим или нет. Эта компонента может быть дублем для некоторого атома или тора. Изображение этой переклейки аналогично показанному выше в табл. 6. Отличие состоит в том, что ранее регулярный тор приклеивался к дублю $\widehat{Q} $ атома $Q$, а теперь здесь на месте дубля $\widehat{Q} $ – некоторая компонента $\widehat{C} $ уровня интеграла $ \Lambda$. Но из аналога этого рисунка также следует, что в окрестности уровня интеграла $ \Lambda=\lambda $ выбранные один или два тора исчезнут, а компонента уровня $\widehat{C} $ заменится на компоненту $\widehat{C}'$. Получившаяся компонента уровня $\widehat{C}' $ может отличаться от старой компоненты $\widehat{C}$. Однако если над компонентами $\widehat{C} $ и $\widehat{C}' $ надстроить цилиндр и склеить его основания по инволюции $\tau$, то для компонент $\widehat{C} $ и $ \widehat{C}' $ получится одно и то же. Таким образом, на уровне интеграла $\Lambda=\lambda $ в книжке $\mathscr{B} $ выделенный регулярный тор исчезнет, а оставшиеся слои не изменятся (заменятся на гомеоморфные). Иными словами, в старой грубой молекуле выделенное ребро, соединяющее атом $P$ с минимальным атомом $A$, исчезнет, а оставшаяся часть грубой молекулы не изменится. Точно так же на уровнях интеграла $\Lambda=\lambda$, где $\widetilde{\Lambda}(Q)<\lambda<a $, в старой грубой молекуле выделенное ребро, соединяющее атом $Q$ с максимальным атомом $A$, исчезнет, а оставшаяся часть грубой молекулы не изменится. Посередине, на уровнях интеграла $\Lambda=\lambda$, где $\widetilde{\Lambda}(Q)<\lambda< \widetilde{\Lambda}(P) $, два регулярных тора, соответствующие выбранным ребрам, склеятся друг с другом и образуют новый регулярный тор, который соответствует новому ребру, соединяющему атомы $P$ и $Q$. Обратим внимание на то, что эта операция локальна. Это вытекает из того, что на каждом уровне склеиваются только две конкретные связные компоненты уровня между собой. Какие именно компоненты склеиваются, зависит от выбора чисел $\alpha_1$, $ \beta_1$, $ \widehat{\alpha}_1 $ и $ \widehat{\beta}_1 $ при замене верхней перестановки $\sigma[0] $ на $\sigma'[0]=(\widehat{\alpha}_1\,\widehat{\beta}_1) \circ (\alpha_1\,\beta_1) \circ \sigma[0]$. Склеиваются именно те связные компоненты уровня, на которых эти числа соответствуют номерам листов, по которым траектория биллиарда идет вниз. Другие связные компоненты уровня это изменение не затрагивает. Значит, происходит только описанное выше локальное изменение грубой молекулы. Лемма доказана. Доказательство теоремы 6. Заметим, что описанные выше алгоритмы 3, 5, 6 и леммы 7–10 доказывают теорему 6. А именно, алгоритм 3 позволяет склеивать два седловых атома без звездочек по ребру. Его корректность доказана в леммах 7 и 8. Алгоритм 5 позволяет склеивать уже два произвольных седловых атома (со звездочками или без) по ребру. Он является обобщением алгоритма 3. Его корректность доказана в лемме 9. Последний алгоритм 6 позволяет реализовывать любую грубую молекулу с помощью биллиардов. Алгоритм реализует все встречающиеся в грубой молекуле седловые атомы. А затем мы последовательно применяем алгоритм 5. Каждое применение алгоритма 5 соединяет ребром два произвольных ранее выбранных атома по ребру. Лемма 10 показывает, что эта склейка локальна, и доказывает корректность алгоритма 6. В результате алгоритма 6 мы получаем биллиардную книжку, реализующую наперед заданную произвольную грубую молекулу. Это и доказывает теорему 6. Авторы выражают особую благодарность А. Т. Фоменко за ряд ценных замечаний и постоянное внимание к проводимым исследованиям. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VedKha21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|