| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Задачи восстановления интегрируемых функций и тригонометрических рядов М. Г. Плотниковabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Вологодский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9459 
Реферативные базы данных:
     ВведениеРабота посвящена проблемам восстановления функций и тригонометрических рядов. К ним можно отнести широкий круг задач математического анализа и прикладной математики. Так, многие задачи интерполяции и аппроксимации сводятся к построению процедур, позволяющих приближенно восстанавливать значения функций из некоторого класса по ее значениям на конечном множестве точек. По этому поводу см. [1]. Эта тематика получила развитие в задачах об оптимальном восстановлении функций и функционалов, см., например, [2], [3] и библиографию в [3]. К ней также примыкают теоремы типа Марцинкевича, посвященные оцениванию норм интегрируемых функций через их значения на дискретном множестве точек (см. [4]). Отдельно в этом ряду стоит известная теорема Котельникова–Шеннона–Найквиста (см., например, [5; гл. 2, п. 2.1]), утверждающая, что значения непрерывной функции $f \in L^2 (\mathbb R)$, преобразование Фурье которой имеет компактный носитель $[- \Omega, \Omega]$, во всех $x \in \mathbb R$ можно выразить через ее значения в точках вида $\pi n/{\Omega}$. Проблемы восстановления другого сорта возникают в теории единственности ортогональных рядов. Одно из направлений этой теории посвящено изучению вопросов восстановления сходящихся рядов по их сумме, понимаемой в каком-нибудь смысле. См., например, [6]. Теория сходимости ортогональных рядов, напротив, изучает проблемы восстановления суммируемых функций по их разложениям в ортогональные ряды, в частности в ряды Фурье. Основная цель настоящей работы – решение задач о восстановлении функций в иной постановке, отличной от упомянутых. По сравнению с задачами интерполяции, аппроксимации и родственными им мы значительно расширяем множества, где функция считается известной, с конечных на множества малой, но положительной меры. Но при этом рассматривается полное, а не приближенное восстановление функций. В определенном смысле такая “не дискретная” постановка проблемы ближе к классической тематике. С другой стороны, в отличие от задач теории единственности и теории сходимости ортогональных рядов, мы не используем никакой информации о сходимости к функции ее ряда Фурье или какого-то другого ряда. Опишем основные результаты работы в этом направлении (см. § 4). Отождествим функции из $L [a, b)$, различающиеся на множестве меры нуль, и зададимся следующими вопросами. Пусть задан некоторый класс $\Gamma \subset L [a, b)$. Можно ли построить множество $G \subset [a,b)$ меры, меньшей $b-a$, обладающее тем свойством, что почти все значения произвольной функции $f \in \Gamma$ однозначно восстанавливаются по ее значениям на множестве $G$? В случае положительного ответа такие множества $G$ в дальнейшем мы назовем восстанавливающими для класса $\Gamma$. В этом случае сразу возникает второй вопрос: как должен быть устроен процесс восстановления значений $f$ на $[a,b)$ по ее значениям на $G$? Очевидно, что ответ на первый вопрос положительный, если $\Gamma=C [a,b)$, а множество $G$ всюду плотно на $[a,b)$. И отрицательный, если $\Gamma=L [a,b)$, а множество $G$ фиксировано. Будем налагать минимальные ограничения, в стиле работ А. Зигмунда и Кахана–Кацнельсона (см. [7; гл. 9, п. 7], [8]), на поведение коэффициентов Фурье функций $f \in L [-\pi,\pi)$ и рассматривать классы $\Gamma$, являющиеся подклассами соответствующих классов Зигмунда для общих тригонометрических рядов. Показывается, что для всех таких классов $\Gamma$ будут существовать восстанавливающие множества $G$. Устанавливается алгоритм восстановления произвольной функции $f \in \Gamma$ по ее значениям на любом таком множестве $G$. Более того, приведена формула для вычисления коэффициентов Фурье произвольной функции $f \in \Gamma$ по ее значениям лишь на множестве $G$. Приведенные результаты содержатся в теоремах 4 и 5. Интересен следующий факт (замечание 9). Оказывается, для произвольной функции $f \in L [-\pi,\pi)$ можно подобрать “персональные” восстанавливающие множества сколь угодно малой меры. Другими словами, любая суммируемая функция полностью определяется своими значениями на специально подобранном множестве малой меры. Выбор такого множества зависит от скорости убывания коэффициентов Фурье функции $f$. Параллельно с основной в работе решается вторая задача, относящаяся к теории единственности тригонометрических рядов. В § 3 показывается, что дополнение к каждому построенному восстанавливающему множеству $G$ является не только $U$-множеством, но и $V$-множеством для классов Зигмунда (теорема 2). Напомним, что множество $A \subset [-\pi,\pi)$ называется $V$-множеством (иногда говорят об $U^*$-множестве) для тригонометрических рядов, если любой такой ряд, сходящийся на $[-\pi,\pi) \setminus A$ к конечной суммируемой функции $f$, является ее рядом Фурье. Если положим $f \equiv 0$, получим определение $U$-множества. Отметим, что если модифицировать данное определение и вместо всех тригонометрических рядов рассматривать только некоторый их класс, то среди $U$-множеств могут появиться множества положительной меры. В этом случае определение $V$-множества нуждается в уточнении (см. замечание 5). Такое уточнение приведено в определении 1. По сути, упомянутые выше множества $G$ выбираются, путем подходящей настройки параметров, среди дополнений к множествам Зигмунда (см. [7; т. 1, гл. 9, п. 6, теорема 6.21]). Последние являются $U$-множествами для соответствующих классов тригонометрических рядов. Оставшаяся часть работы устроена следующим образом. В § 1 приведены основные обозначения и определения; доказан ряд вспомогательных результатов. В § 2 приводятся и модифицируются для наших целей известные факты, касающиеся функции Римана для общих тригонометрических рядов и рядов Фурье. § 1. Основные определения и обозначенияВсюду $\mathbb N$ означает множество целых неотрицательных, $\mathbb Z$ – целых, $\mathbb{R}$ – действительных, $\mathbb{C}$ – комплексных чисел, а $\mathbb{T} \stackrel{\text{def}}{=} [-\pi, \pi)$. Меру Лебега множества $A \subset \mathbb{T}$ будем обозначать $|A|$. Пусть заданы интервал $I \subset \mathbb{T}$ и функция $G \colon [-\pi, \pi] \to \mathbb{C}$. Через $I^{\mathrm{right}}$, $I^{\mathrm{center}}$, $I^{\mathrm{left}}$ обозначим соответственно правый конец, середину и левый конец $I$,
$$
\begin{equation*}
\Delta^2 G (I) \stackrel{\text{def}}{=} G (I^{\mathrm{right}})-2 G (I^{\mathrm{center}}) + G (I^{\mathrm{left}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что в окрестности точки $x \in (-\pi, \pi)$ задана функция $G$. Ее вторая симметрическая производная (вторая производная Шварца) в точке $x$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
D^2_{\mathrm{symm}} G (x)=\lim_{h \to 0}\frac{G (x+h)-2 G (x)+G (x-h)}{h^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что если у функции $G$ в точке $x$ существует обычная вторая производная $D^2 G (x)$, то $D^2_{\mathrm{symm}} G (x)$ также существует и совпадает с $D^2 G (x)$. Выберем и зафиксируем возрастающие последовательности нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$ и $\mathbf{L}=\{L (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$ такие, что:
$$
\begin{equation}
M (s)<L(s) \leqslant M (s+1), \qquad s \in \mathbb{N};
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{M (s+1)}{L (s)}\text{ - целое (нечетное) число при всех }\ s \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Пусть Рассмотрим открытое множество $G=G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$, где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag G=\bigcup_{s \in \mathbb{N}} G^s, \qquad G^s \stackrel{\text{def}}{=} \bigsqcup_{j=- N (s)}^{N (s)} I_{s,j}, \\ I_{s,j} \stackrel{\text{def}}{=}\biggl(\frac{2 \pi j}{M(s)}-\frac{\pi}{L(s)}, \, \frac{2 \pi j}{M(s)}+\frac{\pi}{L(s)}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Имеем:
$$
\begin{equation}
(I_{s,j})^{\mathrm{center}}=\frac{2 \pi j}{M(s)}, \qquad |I_{s,j}|=\frac{2 \pi}{L(s)}, \qquad s \in \mathbb{N}, \quad j=- N(s), \dots, N(s).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
При фиксированном $s$ центры интервалов $I_{s,j}$ образуют центрированную равномерную сетку, т.е. конечное подмножество $\mathbb{T}$, которое содержит нуль и расстояние между соседними элементами которого одинаковы (включая первый и последний элемент, которые являются соседними, если закольцевать полуинтервал $[-\pi, \pi)$ в одномерный тор, т.е. в единичную окружность). Количество элементов сетки равно $M(s)$. Каждое множество $G^s$ можно описать следующим образом. Сначала мы разбиваем $\mathbb{T}$ на $M(s)$ непересекающихся полуинтервалов длины $2 \pi / M(s)$, а затем в каждом из них берем открытую “середину” длины $2 \pi / L (s)$. Такие “середины” и есть $I_{s,j}$, а их объединение по $j$ есть $G^s$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
|G^s|= \frac{2 \pi M(s)}{L (s)}, \qquad s \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
|G|<\sum_{s=0}^\infty|G^s|=2 \pi\sum_{s=0}^\infty \frac{M(s)}{L(s)}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Предложение 1. Пусть $\delta > 0$ – любое положительное число. Если при всех $s \in \mathbb{N}$ то $|G|< \delta$. Будем рассматривать тригонометрические ряды
$$
\begin{equation}
\mathbf{TS}=\sum_{n\in\mathbb Z} c_n \exp(inx), \qquad x \in \mathbb{T}, \quad c_n \in \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Выражение $S_N (x) \stackrel{\text{def}}{=} \sum s_{n=-N}^N c_n \exp(inx)$ называют $N$-й частичной суммой ряда (1.9), $N \in \mathbb{N}$. Сходимость ряда (1.9) к значению $S$ в точке $x$ означает, что $\lim_{N \to \infty} S_N (x)=S$. Для функции $f \in L (\mathbb{T})$ будем обозначать $c_n (f)$ ее коэффициенты Фурье,
$$
\begin{equation}
c_n (f)=\frac{1}{2 \pi}\int_{\mathbb{T}}f(x) \exp(- inx) \, dx, \qquad n \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
а также рассматривать ее ряд Фурье
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb Z} c_n (f) \exp(inx), \qquad x \in \mathbb{T}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Всюду ниже считаем, что выбрана и зафиксирована произвольная последовательность $\mathbf{B}=\{B_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ такая, что $B_n \downarrow 0$. Обозначим $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ класс рядов (1.9) таких, что
$$
\begin{equation}
|c_n (f)|\leqslant B_{|n|}, \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Через $L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$ обозначим класс суммируемых функций, ряд Фурье которых принадлежит $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Замечание 1. Далее будут рассматриваться ряды вида $\sum_{n \in \mathbb{Z}} a (n) / b(n)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – непрерывные функции, не равные нулю в некоторой окрестности нуля и такие, что $a(0)=b(0)=0$. Примем соглашение, что в этом случае член такого ряда с $n=0$ определяется как $\lim_{x \to 0} a (x) / b(x)$, если предел существует. § 2. Тригонометрические ряды и функция РиманаВсякому ряду (1.9) со стремящимися к нулю коэффициентами можно поставить в соответствие его функцию Римана $F(x)$, полученную в результате двукратного формального интегрирования этого ряда:
$$
\begin{equation}
F (x)=\frac{c_0 x^2}{2}-\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}} \frac{c_n}{n^2} \exp (inx).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Так как $\lim_{n \to \infty} c_n=0$ при $n \to \infty$, ряд в правой части (2.1) сходится абсолютно в каждой точке $x \in \mathbb{T}$ и равномерно по $x \in \mathbb{T}$. Последнее означает, в частности, что $F$ непрерывна на $\mathbb{T}$. Лемма 1. Член ряда справа с $n=0$ определяется согласно договоренности, принятой в замечании $1$, т.е. как $c_0|I|^2 /4$. Доказательство. Хорошо известна формула
$$
\begin{equation}
F (x+2h)-2 F (x)+F (x-2h) =4 c_0 h^2+\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}} \frac{4 c_n}{n^2} \exp (inx)\sin^2 (nh).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Формула (2.3) доказана для записи ряда Фурье через синусы и косинусы (см., например, [7; т. 1, гл. 9, п. 2, формула (2.3)], [9; гл. 1, § 68, формула (68.3)]), но легко преобразуется в экспоненциальную форму. Полагая $x=I^{\mathrm{center}}$, $4h =|I|$, получаем формулу (2.2). Лемма доказана. Лемма 2. Рассмотрим произвольный интервал $I_{s,j}$ из формулы (1.4). Имеет место соотношение Для доказательства достаточно объединить формулы (1.5) и (2.2). Лемма 3. Пусть заданы интервал $I \subset \mathbb{T}$, точка $a \in \mathbb{T}$, функция $f \in L (\mathbb{T})$, а также функция Тогда величина $\Delta^2 \widetilde{F}_a (I)$ не зависит от $a \in \mathbb{T}$. Доказательство. Очевидно, функция $\widetilde{F}_a-\widetilde{F}_b$ является линейной при любых $a$, $b \in \mathbb{T}$. Поэтому $\Delta^2 \widetilde{F}_a (I)=\Delta^2 \widetilde{F}_b (I)$. Лемма доказана. Теорема A1 (см. [7; гл. 10, п. 2, теорема 2.3]). Пусть ряд $\mathbf{S}$ вида (1.9) сходится к значению $S$ в точке $x$. Тогда если $F$ – его функция Римана, то $D^2_{\mathrm{symm}} F (x)=S$. Теорема A2 (см. [10; гл. 10, § 5, теорема 2]). Пусть заданы интервал $I \subset \mathbb{T}$, точка $a \in \mathbb{T}$ и функция $F$, являющаяся непрерывной на замыкании $I$ и такая, что $D^2_{\mathrm{symm}} F (x)=f (x)$ всюду на $I$. Если $f$ всюду конечна и суммируема, то функция $F-\widetilde{F}_a$ является линейной на замыкании $I$, где $\widetilde{F}_a$ задается формулой (2.5). Для любого ряда (1.9) со стремящимися к нулю коэффициентами его функция Римана $F$ непрерывна всюду. Кроме того, из сходимости ряда (1.9) на любом интервале вытекает стремление к нулю его коэффициентов согласно теореме Кантора–Лебега. Поэтому из теорем A1 и A2 вытекает Теорема A3. Пусть имеются интервал $I \subset \mathbb{T}$, точка $a \in \mathbb{T}$ и ряд $\mathbf{S}$ вида (1.9). Предположим, что $\mathbf{S}$ сходится к конечной суммируемой функции $f$ всюду на $I$. Тогда функция $F-\widetilde{F}_a$ линейна на замыкании $I$ и $\Delta^2 F (I)=\Delta^2 \widetilde{F}_a (I)$, где $F$ – функция Римана ряда $\mathbf{S}$, а функция $\widetilde{F}_a$ определена в (2.5). Если в теореме A3 положить $f=0$ на $I$, то $\widetilde{F}_a =0$ на замыкании $I$. Значит, верна Теорема A4. Если ряд (1.9) сходится к нулю всюду на некотором интервале $I$ и $F$ – его функция Римана, то $\Delta^2 F (I) =0$. Пусть задана произвольная функция $f{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}L (\mathbb{T})$ с коэффициентами Фурье (1.10) и рядом Фурье (1.11). Коэффициенты Фурье функции $f$ стремятся к нулю при $n \to \infty$. Поэтому для ее ряда можно построить функцию Римана $F$ и пользоваться результатами выше. К ним добавим ряд новых. Лемма 4. Пусть функция $\widetilde{F} \colon \mathbb{T} \to \mathbb{C}$ задана формулой Тогда функция $F(x)-\widetilde{F} (x)$ является линейной и $\Delta^2 F (I)=\Delta^2 \widetilde{F} (I)$ для каждого интервала $I \subset \mathbb{T}$. Доказательство. Введем функцию $\Phi \colon \mathbb{T} \to \mathbb{C}$, $\displaystyle \Phi (t) \stackrel{\text{def}}{=} \int_{0}^t f(u)\,du$. Хорошо известно (см., например, [7; т. 1., гл. 2, п. 2, теорема (2.5)], [9; гл. 1, § 23, формула (23.12)]), что ряд Фурье функции $\Phi$ имеет вид
$$
\begin{equation}
A+\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}} \frac{c_n (f)}{in} \exp (int),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $A$ – некоторая константа. Кроме того (см. [9; гл. 1, § 40, формула (40.1)]), ряд в правой части (2.7) сходится равномерно и его сумма есть $\Phi (t)$. Проделывая такой же прием еще раз, получим, что ряд Фурье функции выглядит как где $B$ – некоторая константа, а его сумма есть $F (x)-Ax$. Отсюда всюду на $[-\pi, \pi)$, что доказывает линейность функции $F(x)-\widetilde{F} (x)$. Кроме того, очевидно, $\Delta^2 (Ax+B) (I)=0$ для любого интервала $I$, откуда $\Delta^2 F (I)=\Delta^2 \widetilde{F} (I)$. Лемма доказана. Доказательство. Положим $a=I^{\mathrm{center}}$. Так как $f=0$ п.в. на $I$, то согласно формуле (2.5) $\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{right}})=\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{center}})=\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{left}})=0$. Тогда $\Delta^2 \widetilde{F}_a (I)\,{=}\,0$. Применим лемму 3 и получим $\Delta^2 F (I)=0$. Лемма доказана. Замечание 2. Значение $\Delta^2 F (I)$ определено, причем однозначно, если известны почти все значения функции $f$ на интервале $I$. Действительно, в этом случае значения $\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{right}})$, $\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{center}})$ и $\widetilde{F}_a (I^{\mathrm{left}})$, а с ними и $\Delta^2 \widetilde{F}_a (I)$, однозначно определяются формулой (2.5) с $a=I^{\mathrm{center}}$. С учетом лемм 3 и 4 последнее значение и есть $\Delta^2 F (I)$. Лемма 6. Пусть $f \in L (\mathbb{T})$, а $F$ – функция Римана ряда Фурье функции $f$. Тогда $D^2_{\mathrm{symm}} F=f$ п.в. на $\mathbb{T}$. Доказательство. Из леммы 4 вытекает, что $D^2_{\mathrm{symm}} F=D^2_{\mathrm{symm}} \widetilde{F}$, где $\widetilde{F}$ определяется формулой (2.6). Из (2.6) видно, что $D^2_{\mathrm{symm}} \widetilde{F} (x)=f (x)$ в тех точках $x$, где $\displaystyle\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) \, dt=f(x)$. Такими $x$ являются почти все точки из $\mathbb{T}$ согласно теореме Лебега о дифференцировании неопределенного интеграла. Лемма доказана.
§ 3. Восстановление общих тригонометрических рядов по их сумме Доказательство. Если $Q=0 \ (\operatorname{mod} M)$, то все слагаемые в сумме слева в (3.1) равны единице, а сама сумма есть $2N+1=M$. Если $Q \ne 0 \ (\operatorname{mod}M)$, вычислим сумму слева в (3.1) как сумму конечной геометрической прогрессии:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=- N}^{N}\exp\biggl(\frac{2 \pi i Q j}{M}\biggr) \\ &\qquad=\exp\biggl(\frac{- 2\pi i Q N}{M}\biggr)\biggl(\exp \biggl(\frac{2 \pi i Q (2N+1)}{M}\biggr)-1\biggr) \biggl(\exp\biggl(\frac{2 \pi i Q}{M}\biggr)-1\biggr)^{-1} \\ &\qquad=\exp\biggl(\frac{- 2 \pi i Q N}{M}\biggr)(1-1)\biggl(\exp\biggl(\frac{2 \pi i Q}{M}\biggr)-1\biggr)^{-1}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Знаменатели дробей в последней цепочке не обращаются в нуль в силу того, что $Q \ne 0 \ (\operatorname{mod}M)$. Лемма доказана. Лемма 8. Для нечетного $M=2N+1$ рассмотрим матрицу $A$ размера $M \times M$, положив $A= (a_{jn})_{- N \leqslant j,n \leqslant N}$, $a_{jn}=\exp (2 \pi in j / M)$. Тогда $A^{-1}=({1}/{M})\overline{A}$, черта означает комплексное сопряжение. Доказательство. Обозначим $D\stackrel{\text{def}}{=} A\overline{A}^{\,t}$, $D=(d_{jn})_{- N \leqslant j,n \leqslant N}$. Имеем:
Так как $-N \leqslant j,n \leqslant N$, то $M<j-n<M$. Поэтому либо $j-n=0$, либо $j-n \ne 0 \ (\operatorname{mod}M)$. Принимая во внимание этот факт, применяем к правой части (3.2) лемму 8, получаем $d_{jn}=M$ при $j=n$ и $d_{jn}=0$ в противном случае. Отсюда $A\overline{A}^{\,t}=M Id$ и $A^{-1}=({1}/{M})\overline{A}^{\,t}$. Матрица $A$ очевидно симметрична, поэтому из последнего равенства вытекает утверждение леммы. Лемма доказана. Теорема 1. Для любого $\delta > 0$ найдутся последовательности нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$ и $\mathbf{L}=\{L (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$, удовлетворяющие (1.1), (1.2) и такие, что открытое множество $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$, определяемое формулой (1.4), обладает следующими свойствами. 1. Мера $|G (\mathbf{M}, \mathbf{L})|< \delta$. 2. Для коэффициентов $c_n$ каждого тригонометрического ряда $\mathbf{S} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
c_n=\lim_{s \to \infty} \frac{1}{M(s)}\sum_{j=- N (s)}^{N (s)}4 \exp\biggl(-\frac{2 \pi in j}{M (s)}\biggr) \frac{\Delta^2 F (I_{s,j})}{|I_{s,j}|^2}, \qquad n \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Здесь $N (s)$ – число, связанное с $M(s)$ формулой (1.3). Доказательство. Возьмем произвольную последовательность положительных чисел $\{\varepsilon_s \}_{s \in \mathbb{N}}$ такую, что Начинаем индуктивно строить нужные последовательности $\mathbf{M}$ и $\mathbf{L}$.
Вначале возьмем $a>0$ из формулы (1.8). Затем находим произвольную последовательность $\{d (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$, состоящую из нечетных $d (s) \geqslant 3$ и такую, что Найдем нечетные $M(0)<L(0)$, удовлетворяющие соотношению Начиная с $s=1$, берем достаточно большое нечетное $M(s)$ так, чтобы $M(s)$ нацело делилось на $L(s-1)$ и $M (s)=2 N(s)+1$. Наконец, положимПокажем, что построенные последовательности $\{M (s) \}$ и $\{L (s) \}$ будут удовлетворять условию теоремы. Нечетность чисел $M(s)$ и $L(s)$, а также свойства (1.1) и (1.2) сразу видны из построения с учетом нечетности $d (s)$. В силу предложения 1 из (3.5), (3.6) и (3.8) вытекает справедливость первого свойства из условия теоремы. Остается доказать выполнение второго свойства. Возьмем произвольный тригонометрический ряд $\mathbf{S} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Фиксируем на некоторое время $s \in \mathbb{N}$ и рассмотрим множества из формулы (1.4). Применим к интервалам $I_{s,j}$ формулу (2.4). Получим следующую систему равенств:
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{4 c_n}{n^2} \exp\biggl(\frac{2 \pi in j}{M(s)}\biggr)\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L (s)}\biggr) =\Delta^2 F (I_{s,j}), \qquad j=-N, \dots, N.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Временно для уменьшения громоздкости пишем $M$ и $L$ вместо $M(s)$ и $L (s)$ соответственно. Системе (3.9) можно придать следующий вид ($M=2N+1$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{n=-N}^{N} \exp \biggl(\frac{2 \pi in j}{M}\biggr)\frac{4 c_n}{n^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L}\biggr) =-\sum_{|n|> N}\exp\biggl(\frac{2 \pi in j}{M}\biggr) \\ &\qquad\qquad \times\frac{4 c_n}{n^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L}\biggr)+\Delta^2 F (I_{s,j}), \qquad j, n=-N, \dots, N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Рассмотрим матрицу $A=\{a_{jn} \}$ размера $M \times M$, а также векторы-столбцы $X= \{x_{n} \}$, $B=\{b_{j} \}$ и $B' =\{b_{j}' \}$ одинаковой длины $M$, положив
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag a_{jn} \stackrel{\text{def}}{=}\exp\biggl(\frac{2 \pi in j}{M}\biggr), \qquad x_n \stackrel{\text{def}}{=}\frac{4 c_n}{n^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L}\biggr), \\ \notag b_j \stackrel{\text{def}}{=}-\sum_{|m|> N}\exp\biggl(\frac{2 \pi im j}{M}\biggr) \frac{4 c_m}{m^2} \sin^2\biggl(\frac{\pi m}{2 L}\biggr), \qquad b_{j}' \stackrel{\text{def}}{=} \Delta^2 F (I_{s,j}), \\ j,n=-N, \dots, N. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Тогда систему (3.10) можно переписать в виде $AX=B+ B'$. К матрице $A$ применима лемма 8, она является обратимой и $X=A^{-1} (B+B')$. Имеем $A^{-1}=\overline{A}$ согласно лемме 8. Значит,
$$
\begin{equation}
X=Y+Y', \qquad Y \stackrel{\text{def}}{=} \frac{1}{M}\overline{A} B \qquad Y' \stackrel{\text{def}}{=} \frac{1}{M}\overline{A} B'.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Нумерация элементов векторов $Y=\{y_n \}$ и $Y'=\{y_n' \}$ та же, что и у $X$.
Вычислим элементы матрицы $Y$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag y_n &\stackrel{\text{(3.12)}}{=}\frac{1}{M}\sum_{j=-N}^{N} \overline{a_{nj}} b_j \\ \notag &=-\frac{1}{M}\sum_{j=-N}^{N}\exp\biggl(-\frac{2 \pi in j}{M}\biggr) \sum_{|m|> N}\exp\biggl(\frac{2 \pi im j}{M}\biggr)\frac{4 c_m}{m^2} \sin^2\biggl(\frac{\pi m}{2 L}\biggr) \\ \notag &=-\frac{1}{M}\sum_{|m|> N}\frac{4 c_m}{m^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi m}{2 L}\biggr) \sum_{j=-N}^{N}\exp\biggl(\frac{2 \pi i (m-n) j}{M}\biggr) \\ &\stackrel{\text{лемма 7}}{=} -\sum_{\substack{|m|> N \\ m=n \ (\operatorname{mod}M)}} \frac{4 c_m}{m^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi m}{2 L}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
А теперь найдем элементы матрицы $Y'$:
$$
\begin{equation}
y_n' =\frac{1}{M}\sum_{j=-N}^{N} \overline{a_{nj}} b_j' =\frac{1}{M}\sum_{j=-N}^{N}\exp\biggl(-\frac{2 \pi in j}{M}\biggr)\Delta^2 F (I_{s,j}).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Соберем вместе (3.12), (3.14) и вспомним формулу (3.11):
$$
\begin{equation}
\frac{4 c_n}{n^2}\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L}\biggr) =y_n+\frac{1}{M}\sum_{j=-N}^{N}\exp\biggl(-\frac{2 \pi in j}{M}\biggr)\Delta^2 F (I_{s,j}), \qquad |n|\leqslant N.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Отметим, что до этого момента мы не использовали в доказательстве ни тот факт, что $\mathbf{S} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$, ни соотношение (3.7). Используя (3.13), оценим значения $y_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |y_n| &\leqslant\sum_{\substack{|m|> N \\ m=n \ (\operatorname{mod}M)}}\frac{4|c_m|}{m^2} \leqslant\max_{|m|> N}4|c_m|\sum_{\substack{|m|> N\\ m=n \ (\operatorname{mod} M)}} \frac{1}{m^2} \\ &\!\!\!\! \stackrel{(1.12)}{\leqslant}\max_{|m|> N}4 B_N \sum_{\substack{|m|> N\\m=n \ (\operatorname{mod} M)}}\frac{1}{m^2} \stackrel{(3.7), (3.8)}{\leqslant} \frac{4 \varepsilon_s M^2}{L^2} \sum_{\substack{|m|> N\\ m=n \ (\operatorname{mod} M)}}\frac{1}{m^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Так как $|n|\leqslant N$, то $(|m|> N)$ влечет $(m \ne n)$. В связи с этим последняя сумма в (3.16) может быть преобразована в более удобную форму, а сама цепочка (3.16) продолжена следующим образом:
$$
\begin{equation}
|y_n|\leqslant\frac{4 \varepsilon_s M^2}{L^2}\sum_{i \in \mathbb{Z} \setminus \{0 \}} \frac{1}{(n+i M)^2} =\frac{4 \varepsilon_s}{L^2}\sum_{i \in \mathbb{Z} \setminus \{0 \}}\frac{1}{(n/M+i)^2} \leqslant\frac{8 \varepsilon_s}{L^2}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{(i-1/2)^2}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Устанавливая последнее неравенство, мы приняли во внимание соотношение
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac nM\biggr|\leqslant\biggl|\frac NM\biggr|< \frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова пишем $M(s)$, $L (s)$ и $N(s)$ вместо $M$, $L$ и $N$. Поделим обе части (3.15) на
$$
\begin{equation*}
|I_{s,j}|^2\stackrel{(1.5)}{=}\biggl(\frac{2 \pi}{L (s)}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{c_n}{4}\sin^2\biggl(\frac{\pi n}{2 L (s)}\biggr) \biggl(\frac{\pi n}{2 L (s)}\biggr)^{-2} =\frac{y_n (L (s))^2}{4 \pi^2} \\ &\qquad\qquad +\frac{1}{M(s)}\sum_{j=-N(s)}^{N(s)}\exp\biggl(-\frac{2 \pi in j}{M(s)}\biggr) \frac{\Delta^2 F (I_{s,j})}{|I_{s,j}|^2}, \qquad |n|\leqslant N(s), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{y_n (L (s))^2}{4 \pi^2}\biggr| \stackrel{(3.17)}{\leqslant}\frac{2 \varepsilon_s}{\pi^2}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{(i-1/2)^2}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Отметим, что если фиксировать произвольное $n$, то $s$ в равенстве из (3.18) может быть любым, лишь бы $|n|\leqslant N(s)$. Поэтому мы перестаем фиксировать $s$ и перейдем к пределу при $s \to \infty$ в равенстве из (3.18). Предел левой части (3.18) равен, очевидно, $c_n /4$. Далее, имеем $\varepsilon_s \to 0$ при $s \to \infty$, согласно (3.4). Поэтому (3.19) влечет
$$
\begin{equation*}
\lim_{s \to \infty} \frac{y_n (L (s))^2}{4 \pi^2} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому предел первого слагаемого в правой части (3.18) равен нулю. В итоге,
Замечание 3. Из формулы (3.3) видно, что для восстановления коэффициентов любого тригонометрического ряда из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ достаточно знать значения его функции Римана в счетном числе точек, а именно в концах и серединах всех интервалов $I_{s,j}$, составляющих в объединении $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. В качестве легкого следствия из теоремы 1 вытекает известная теорема Зигмунда о множествах относительной единственности: пусть задана произвольная последовательность $\mathbf{B}\,{=}\,\{B_n \}_{n=0}^\infty$ положительных чисел такая, что $B_n\,{\downarrow}\,0$; тогда для всякого $\delta\,{>}\,0$ найдется множество $A \subset \mathbb{T}$ меры, большей чем $2 \pi-\delta$, которое является множеством единственности $($иначе, $U$-множеством$)$ для тригонометрических рядов из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Последнее означает по определению, что если ряд из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ сходится к нулю всюду вне $A$, то все его коэффициенты равны нулю. Для доказательства возьмем множество $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ из теоремы 1 и положим $A \stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{T} \setminus G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. Рассмотрим произвольный ряд из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$, сходящийся к нулю всюду на $\mathbb{T} \setminus A$, т.е. на $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. Из теоремы A4 видим, что $\Delta^2 F (I_{s,j})=0$ для всех интервалов $I_{s,j}$, составляющих в объединении $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. Вместе с формулой (3.3) это приводит к тому, что все коэффициенты ряда равны нулю. Это и означает, что $A$ является $U$-множеством (положительной меры) для рядов из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Отметим, что если вместо класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ рассмотреть класс всех тригонометрических рядов, то все борелевские $U$-множества будут иметь нулевую меру. Таким образом, при вводе даже самых минимальных ограничений на скорость убывания коэффициентов тригонометрического ряда, появляются $U$-множества положительной меры. Более того, в [8] показано существование $U$-множеств полной меры для рядов из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. В теореме 3 мы обобщим результат Зигмунда, заменив сходимость к нулю на сходимость к суммируемым функциям. Теорема 2. Предположим, что заданы $\delta\,{>}\,0$ и функция $f\,{\in}\,L (\mathbb{T})$ такая, что она принимает конечные значения на $\mathbb{T}$ и ее ряд Фурье $\widetilde{\mathbf{S}}$ принадлежит классу $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Тогда существуют последовательности нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$ и $\mathbf{L}=\{L (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$, удовлетворяющие (1.1)–(1.2), такие, что множество $G$, определяемое формулой (1.4), имеет меру, меньшую $\delta$, и обладает следующим свойством. Если $\mathbf{S}$ – произвольный тригонометрический ряд из класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$, сходящийся к $f$ на множестве $G$, то $\mathbf{S}$ совпадает с $\widetilde{\mathbf{S}}$. Доказательство. Пусть $F$ и $\widetilde{F}$ – функции Римана для рядов $\mathbf{S}$ и $\widetilde{\mathbf{S}}$, соответственно. Оба этих ряда принадлежат одному классу $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Применим к этим рядам теорему 1 и найдем фигурирующее в ней множество $G$, единое для обоих рядов. При этом $|G|< \delta$, а для коэффициентов $c_n$ ряда $\mathbf{S}$ справедливо равенство (3.3). Для коэффициентов $c_n (f)$ ряда $\widetilde{\mathbf{S}}$ справедливо подобное равенство:
Из сходимости ряда $\mathbf{S}$ к функции $f$ на множестве $G$, теоремы A3 и леммы 4 вытекает, что $\Delta^2 F (I_{s,j})=\Delta^2 \widetilde{F} (I_{s,j})$ для всех $I_{s,j}$. Объединяя это соотношение с формулами (3.3) и (3.20), получим равенства $c_n=c_n (f)$ для всех $n$. Это означает совпадение рядов $\mathbf{S}$ и $\widetilde{\mathbf{S}}$. Теорема доказана. Замечание 4. В условии теоремы 2 ограничения в виде принадлежности классу $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ наложены на оба ряда $\mathbf{S}$ и $\widetilde{\mathbf{S}}$. Можно ли снять это ограничение хотя бы с одного из рядов? Покажем, что ответ на этот вопрос отрицательный. Предположим, что в теореме 2 можно было бы снять ограничение $\mathbf{S} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Ряд Фурье функции $f \equiv 0$ очевидно принадлежит всем классам $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. Поэтому в новой версии теоремы выходило бы, что любой тригонометрический ряд, сходящийся к нулю всюду на $G$, содержит только нулевые коэффициенты. Это означало бы, что замкнутое множество $\mathbb{T} \setminus G$ положительной меры является $U$-множеством для тригонометрических рядов. Но это не так (см., например, [9; гл. 1, § 70]). Далее, сделаем предположение, что в теореме 2 можно было бы снять ограничение $\widetilde{\mathbf{S}} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$. В этом случае выходило бы, что любой тригонометрический ряд $\mathbf{S} \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$, сходящийся всюду на $G$ к конечной функции $f$, суммируемой на $\mathbb{T}$, являлся рядом Фурье функции $f$. Но если рассмотреть функцию $f+f_1$, где $f_1$ – характеристическая функция множества $\mathbb{T} \setminus G$, то ряд $\mathbf{S}$ сходился бы всюду на $G$ к $f+f_1$ и являлся бы рядом Фурье и этой функции. Выходило бы, что функции $f$ и $f+f_1$, различающиеся на множестве положительной меры, имели бы один и тот же ряд Фурье, что невозможно. Замечание 5. Пусть множество $A$ обладает тем свойством, что любой тригонометрический ряд, сходящийся всюду вне $A$ к конечной суммируемой функции, является ее рядом Фурье. В теории ортогональных рядов такие множества $A$ называют $V$-множествами, а иногда $U^*$-множествами. Из замечания 4 видно следующее. При переносе понятия $V$-множества на подклассы тригонометрических рядов появляются множества положительной меры и само определение $V$-множеств для этого случая требует корректировки. С учетом замечания 5 введем следующее определение. Определение 1. Пусть $\Theta$ – некоторый класс рядов (1.9). Скажем, что множество $A \subset [-\pi,\pi)$ называется $V$-множеством для класса $\Theta$ (или, кратко, $V (\Theta)$-множеством), если выполнено следующее условие. Пусть функция $f \in L (\mathbb{T})$ конечна, ее ряд Фурье $\widetilde{\mathbf{S}}$ принадлежит классу $\Theta$, а некоторый ряд $\mathbf{S} \in \Theta$ всюду на $\mathbb{T} \setminus A$ сходится к $f$; тогда $\mathbf{S}=\widetilde{\mathbf{S}}$. Теорема 3. Для класса $\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ и любого $\delta > 0$ найдется замкнутое множество $A$ меры, большей чем $2 \pi-\delta$, являющееся $V (\operatorname{Coeff} (\mathbf{B}))$-множеством. Для доказательства достаточно согласно теореме 2 взять множество $G=G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ из теорем 1 и 2 и положить $A \stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{T} \setminus G$. § 4. Восстановление суммируемых функцийДальнейшие рассуждения и построения посвящены рядам Фурье. Пусть заданы множество $G \subset \mathbb{T}$ и некоторый класс функций $\Lambda \subset L (\mathbb{T})$, не обязательно линейный. Для функции $f \in \Lambda$ обозначим $f_G$ ее ограничение на $G$. Через $\Lambda_{G}$ будем обозначать множество определенных на $G$ суммируемых функций, каждая из которых совпадает с $f_G$ для некоторой функции $f \in \Lambda$. Определение 2. Пусть задано $\delta > 0$. Множество $G \subset \mathbb{T}$ будем называть $\delta$-восстанавливающим множеством для класса $\Lambda \subset L (\mathbb{T})$, если $|G|< \delta$ и отображение $\mathrm{Rec} \colon\Lambda_{G} \to \Lambda$, $\mathrm{Rec} (f_G)=f$, является взаимно однозначным. В этом случае отображение $\mathrm{Rec}$ назовем восстанавливающим отображением для класса $\Lambda$ и множества $G$. Из приведенного определения видно, что для существования восстанавливающих множеств необходимо, чтобы класс $\Lambda$ был не слишком широк. Сейчас мы адаптируем теорему 1 на случай рядов Фурье и покажем, что для получения таких множеств достаточно наложить минимальные ограничения на коэффициенты Фурье суммируемой функции. В теоремах 4 и 5 считаем заданными $\delta > 0$ и последовательность положительных чисел $\mathbf{B}=\{B_n \}_{n=0}^\infty$ такую, что $B_n \downarrow 0$. Кроме того, рассматриваем построенные при доказательстве теоремы 1 последовательности нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$ и $\mathbf{L}=\{L (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$, открытое множество $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ с $|G (\mathbf{M}, \mathbf{L})|< \delta$. Теорема 4. Пусть $f \in L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$. Тогда коэффициенты Фурье $c_n (f)$ можно найти по формуле Доказательство. Пусть $F(x)$ – функция Римана ряда Фурье функции $f$. Согласно лемме 3 для всех $s$ и $j$ имеет место равенство $\Delta^2 F (I_{s,j})=\Delta^2 \widetilde{F}_a (I_{s,j})$, где функция $\Delta^2 \widetilde{F}_a$ определяется формулой (2.5), а в качестве $a$ взято $a := I_{s,j}^{\mathrm{center}}$. Несложный расчет показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta^2 F (I_{s,j}) &=\Delta^2 \widetilde{F}_a (I_{s,j}) =\int_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}^{I_{s,j}^{\mathrm{right}}} \int_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}^xf (t) \, dt -\int^{I_{s,j}^{\mathrm{left}}}_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}} \int^{x}_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}f (t) \, dt \\ &=\int_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}^{I_{s,j}^{\mathrm{right}}} \int_{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}^xf (t) \, dt -\int_{I_{s,j}^{\mathrm{left}}}^{I_{s,j}^{\mathrm{center}}} \int_{x}^{I_{s,j}^{\mathrm{center}}}f (t) \, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается подставить найденное представление для $\Delta^2 F (I_{s,j})$ в формулу (3.3). Этим завершается доказательство теоремы. Замечание 6. Формула (4.1) означает, что для вычисления коэффициентов Фурье функции $f \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ достаточно знать ее значения на построенном при доказательстве теоремы 1 открытом множестве $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ меры меньшей, чем любое наперед заданное число $\delta > 0$. Разумеется, $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ зависит от заданных $\mathbf{B}$ и $\delta$. Замечание 7. Из теоремы 4 видно, что не существует функции $g\,{\in}\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$, отличной от $f$ и совпадающей с $f$ на $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. Теорема 5. Справедливы следующие утверждения. 1) $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ является $\delta$-восстанавливающим множеством для класса $L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$. 2) Восстанавливающее отображение $\mathrm{Rec} \colon L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]_{G (\mathbf{M}, \mathbf{L})} \to L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$ возвращает почти все значения функции $f \in L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$ по ее значениям на множестве $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ согласно следующему трехшаговому алгоритму. 1. Шаг $1$. Восстановление коэффициентов Фурье функции $f$ по ее значениям на множестве $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ при помощи формулы (4.1). 2. Шаг $2$. Построение при помощи формулы (2.1) функции Римана $F (x)$ ряда Фурье функции $f$ по найденным значениям $c_n=c_n (f)$. 3. Шаг $3$. Нахождение почти всех значений функции $f$ по найденной функции $F (x)$ с помощью формулы
$$
\begin{equation}
f(x)=D^2_{\mathrm{symm}} F (x) \qquad \textit{п.в. на $\mathbb{T}$}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В формуле (4.1) $N (s)$ – число, связанное с $M(s)$ формулой (1.3). Доказательство. Формула (4.1), позволяющая восстановить коэффициенты Фурье $c_n (f)$ функции $f$ по ее значениям на множестве $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ (шаг 1), доказана в теореме 4. Зная $c_n (f)$, можно построить функцию Римана $F (x)$ ряда Фурье функции $f$ (шаг 2), а затем (шаг 3) восстановить почти все значения функции $f$ по формуле (4.2), согласно лемме 6. Теорема доказана. Замечание 8. Интересен следующий вопрос. Существует ли алгоритм, отличный от описанного в теореме 5 и позволяющий восстанавливать почти все значения функции $f \in \operatorname{Coeff} (\mathbf{B})$ по ее значениям на множестве $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ напрямую, минуя процесс нахождения коэффициентов Фурье? Теорема 6. Пусть заданы произвольная $(!)$ функция $f \in L (\mathbb{T})$ и $\delta > 0$. Тогда существует открытое множество $G$ $($зависящее от $f$ и $\delta)$ такое, что $|G|< \delta$ и почти все значения функции $f$ полностью определяются ее значениями на множестве $G$ с помощью трехшагового алгоритма из теоремы $5$. Доказательство. Рассмотрим последовательность $\mathbf{B}=\{B_n \}_{n=0}^\infty$, где
$$
\begin{equation}
B_n \stackrel{\text{def}}{=} \sup_{|k|\geqslant n} \{|c_k (f)|\}, \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Последовательность $ \{B_n \}$, очевидно, монотонно не возрастает и стремится к нулю. Ясно, что $f \in L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$. Возьмем последовательность нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M (s) \}_{s \in \mathbb{N}}$, удовлетворяющую (1.1), и порожденное ей с помощью формулы (1.4) открытое множество $G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$. Из теоремы 5 следует, что множество $G=G (\mathbf{M}, \mathbf{L})$ является искомым. Этим завершаем доказательство. Замечание 9. Теорема 6 вскрывает любопытное обстоятельство. Для $\delta > 0$ и любой суммируемой функции $f$ найдется “персональное” для $f$ открытое множество $G$ меры, меньшей $\delta$, значения функции $f$ на котором полностью определяет всю функцию. В частности, для вычисления коэффициентов Фурье $c_n (f)$ достаточно знать только значения функции $f$ на множестве $G$ и применить формулу (4.1). Данное обстоятельство частично объясняют теорема Лузина “об исправлении” и тот факт, что в интегральной метрике любая суммируемая функция может быть приближена с любой точностью непрерывной функцией. Ведь непрерывная функция восстанавливается по своим значениям на любом счетном всюду плотном множестве. Замечание 10. Восстановление функции по ее значениям на множестве неполной меры в первую очередь становится возможным благодаря специальной арифметической (алгебраической) структуре восстанавливающих множеств, увязанной с алгебраическими свойствами функций $\exp (int)$, как характеров одномерного тора $\mathbb{T}$. В завершение приведем одно следствие теорем выше. Теорема 7. Предположим, что мы находимся в условиях теоремы $6$. Рассмотрим произвольную функцию $g \in L (\mathbb{T})$, совпадающую с $f$ на $G$, коэффициенты Фурье $c_n (g)$ которой удовлетворяют следующему условию: Тогда $g$ совпадает с $f$. Доказательство. Из (4.4) видно, что $g \in L [\operatorname{Coeff} (\mathbf{B})]$, где $\mathbf{B}$ определяется формулой (4.3). С учетом процедуры построения множества $G$ в теореме 6 и замечания 7 $g$ совпадает с $f$. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Plo21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|