| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Жесткие ростки конечных морфизмов гладких поверхностей и рациональные пары Белого Вик. С. Куликов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9455 
Реферативные базы данных:
      ВведениеВ настоящей статье мы продолжаем исследование свойств ростков $F$: $(U,o')\to (V,o)$ конечных морфизмов гладких поверхностей (далее, для краткости, ростков накрытий), начатое в [3], [4]. В [3] было введено понятие деформационной эквивалентности ростков накрытий. Росток накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$ является жестким, если любой деформационно эквивалентный ростку $F$ росток накрытия $F_1\colon (U_1,o'_1)\to (V,o)$ эквивалентен ему, т.е., коротко говоря, накрытия $F$ и $F_1$ отличаются друг от друга на замену координат в $(U,o')$ и $(V,o)$. В [4] было доказано, что если росток $(B,o)\subset (V,o)$ кривой ветвления ростка накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$ имеет один из $ADE$ типов сингулярности, то $F$ является жестким ростком. Обозначим через $\mathcal R=(\bigcup_{n\geqslant 1}\mathcal R_{\mathbf A_n})\,{\cup}\, (\bigcup_{n\geqslant 4}\mathcal R_{\mathbf D_n})\,{\cup}\, (\bigcup_{n\in\{6,7,8\}}\mathcal R_{\mathbf E_n})$ множество жестких ростков накрытий, разветвленных в ростках кривых, имеющих соответственно типы сингулярности $\mathbf A_n$, $n\geqslant 1$, $\mathbf D_n$, $n\geqslant 4$, и $\mathbf E_6$, $\mathbf E_7$, $\mathbf E_8$. Росток накрытия $F$ степени $\deg F=d$ определяет гомоморфизм $F_*$: $\pi_1(V\setminus B,p)\to \mathbb S_d$ (монодромию ростка $F$), где $\mathbb S_d$ – симметрическая группа, действующая на слое $F^{-1}(p)$. Группа $G_F=\operatorname{im} F_*\subset \mathbb S_d$ называется (локальной) группой монодромии ростка $F$. Отметим, что $G_F$ является транзитивной подгруппой группы $\mathbb S_d$. Согласно теореме Грауэрта–Реммерта–Римана–Штейна (см. [7]) гомоморфизм монодромии $F_*$ определяет накрытие $F$ однозначно с точностью до эквивалентности. Обозначим через $\mathcal{B}el$ множество рациональных пар Белого, рассматриваемых с точностью до действия группы $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$ на проективной прямой $\mathbb P^1$. Накрытие $f\colon \mathbb P^1\to\mathbb P^1$, определенное над алгебраическим замыканием $\overline{\mathbb Q}$ поля рациональных чисел $\mathbb Q$, называется парой Белого, если оно разветвлено не более чем над тремя точками, $\mathcal{B}el=\mathcal{B}el_{2}\cup \mathcal{B}el_3$, где $\mathcal{B}el_{2}$ – множество пар Белого, разветвленных не более чем над двумя точками, а пары Белого $f\in \mathcal{B}el_3$ разветвлены над тремя точками. В дальнейшем мы будем предполагать, что $f\in \mathcal{B}el_{2}$ в неоднородных координатах задаются функциями $z=x^n$, $n\geqslant 1$, и множество их точек ветвления (внизу) – это $B_f=\{ 0,\infty\}$ (если $n\geqslant 2$), а множество точек ветвления (внизу) накрытия $f\in \mathcal{B}el_{3}$ – это $B_f=\{ 0,1,\infty\}$. В [4] было определено отображение $\beta\colon \mathcal R\to\mathcal{B}el$, а именно, пусть $F\colon (U,o')\to (V,o)$ – росток накрытия, разветвленный в ростке кривой $(B,o)\subset (V,o)$, имеющем один из $ADE$ типов сингулярности, и пусть $\sigma\colon \widetilde V\to V$ – минимальная последовательность $\sigma$-процессов с центрами в точках такая, что $\sigma^{-1}(B)$ является дивизором с нормальными пересечениями (но если тип сингулярности ростка $B$ – это $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$, то $\sigma$ состоит из единственного $\sigma$-процесса с центром в точке $o$). Обозначим через $E\subset \widetilde V$ исключительную кривую последнего $\sigma$-процесса и через $\widetilde F\colon \widetilde U\to \widetilde V$ и $\tau\colon \widetilde U\to U$ – два естественных голоморфных отображения из нормализации расслоенного произведения $\widetilde U=U\times_V \widetilde V$ голоморфных отображений $F\colon (U,o')\to (V,o)$ и $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$. Легко показать, что $C=\widetilde F^{-1}(E)$ является неприводимой рациональной кривой и ограничение $f=\widetilde F_{\mid C}\colon C\to E$ отображения $\widetilde F$ на $C$ разветвлено не более чем в трех точках. По определению отображение $\beta$ отображает росток $F\in \mathcal R$ в пару Белого $f\in \mathcal{B}el$, Аналогично двумерному случаю накрытие $f\in\mathcal{B}el$ определяет гомоморфизм $f_*\colon \pi_1(\mathbb P^1\setminus B_f,p) \to \mathbb S_n$ (монодромию накрытия $f$), где $n=\deg f$. Образ $G_f=\operatorname{im} f_*\subset \mathbb S_n$ называется группой монодромии накрытия $f$. Если $f\in\mathcal{B}el_{2}$, то $G_f= \mu_n\subset\mathbb S_n$ является циклической группой порядка $n$. Группа $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{ 0,1,\infty\},p)$ является свободной группой, порожденной двумя простыми петлями $\gamma_0$ и $\gamma_1$ вокруг точек $0$ и $1$ таких, что петля $\gamma_{\infty}=\gamma_0\gamma_1$ является тривиальным элементом в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{ 0,1\},p)$. Для функции $f\in \mathcal{B}el_3$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
T_c(f)=\{ c_i=(m_{1,i},\dots ,m_{k_i,i})\}_{m_{1,i}+\dots + m_{k_i,i}=\deg f, \, i\in \{ 0,1,\infty\}}
\end{equation*}
\notag
$$
множество цикловых типов перестановок $f_*(\gamma_i)$. Тогда согласно формуле Гурвица, связывающей степень накрытия $f\colon \mathbb P^1\to \mathbb P^1$ и порядки ветвления в критических точках накрытия $f$, имеем равенство Обратно, если транзитивная группа $G\subset \mathbb S_n$ порождается двумя перестановками $\sigma_0$ и $\sigma_1$ такими, что для их цикловых типов и циклового типа перестановки $\sigma_{\infty}=\sigma_0\sigma_1$ выполнено равенство (1), то существует рациональная пара Белого $f$ такая, что $f_*(\gamma_i)=\sigma_i$. В [4] было показано, что для $F\in \mathcal R$ накрытия $\widetilde F$ и $F$ могут быть разложены в композиции двух конечных отображений (см. диаграмму (eq*) в п. 2.1), $\widetilde F=\widetilde H_2\circ\widetilde H_1$ и $F=H_2\circ H_1$, где $\widetilde H_1\colon \widetilde U\to \widetilde W$ и $H_1\colon U\to W$ являются циклическими накрытиями (здесь $\widetilde W$ и $W$ – нормальные поверхности) такими, что $\widetilde H_{1\mid C}\colon C\to \widetilde H_1(C)$ является изоморфизмом, а $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ и $H_2\colon W\to V$ – такие накрытия, что гомоморфизмы монодромий $\widetilde H_{2*}$ и $H_{2*}$ накрытий $\widetilde H_2$ и $H_2$ могут быть отождествлены с гомоморфизмом монодромии $\beta(F)_*$ пары Белого $\beta(F)$. В § 2 (см. теорему 4) дано описание пересечения $\mathcal R_T\cap\beta^{-1}(f)$ для всех рациональных пар Белого $f\in \mathcal{B}el$ и ростков накрытий $\mathcal R_T\subset \mathcal R$ в терминах гомоморфизма монодромии $f_*$. В частности, в § 3 доказана следующая Теорема 1. Пусть $f\in \mathcal{B}el$, $\deg f=n>1$ и $B_f\subset \{0,1,\infty\}$, задано двумя взаимно простыми однородными от переменных $x_1,x_2$ формами $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_1,x_2)$, и пусть $p_1=(0,1)$ и $p_2=(1,0)$ – две точки такие, что $\{ f(p_1), f(p_2)\}\cup B_f=\{ 0,1,\infty\}$. Тогда росток накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$, заданный функциями принадлежит множеству $\mathcal R_{\mathbf D_4}$, где $m_1, m_2\in \mathbb N$ такие, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$, и где $m_1>1$ и $f(p_1)=1$, если $f\in\mathcal{B}el_2$. Обратно, любой росток накрытия $F\in\mathcal R_{\mathbf D_4}$ эквивалентен ростку, заданному функциями вида (2), и его образ $\beta(F)$ – это рациональное отображение $f\colon (x_1,x_2)\mapsto (h(x_1,x_2):h_2(x_2,x_2))$. Полное описание множеств $\mathcal R_T\,{\cap}\,\beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ содержится в следующей теореме. Теорема 2. Если $F\in \bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cup\mathcal R_{\mathbf E_6}\cup\mathcal R_{\mathbf E_8}$, то $\beta(F)\in\mathcal{B}el_3$. Если $\beta(F)=f\in\mathcal{B}el_2$, $\deg f=n$, для $F\in \mathcal R\setminus\bigl(\bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cup\mathcal R_{\mathbf E_6}\cup\mathcal R_{\mathbf E_8}\bigr)$, то $F$ эквивалентен одному из следующих накрытий: $F\in \mathcal R_{\mathbf A_0}\colon \quad u=z^m$, $v=w$, где $m\geqslant 1$, $n= 1$; $F\in \mathcal R_{\mathbf A_1}\colon \quad u=z^{nm_1}$, $v=w^{nm_2}$, где $n\geqslant 1$, $m_1\geqslant m_2\geqslant 1$; $F\in \mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$, $k\geqslant 1\colon \quad u=(z^m+w^{m_0})^n$, $v=w$, где $n,m,m_0>1$, $k+1=nm_0$; $F\in\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$, $k\geqslant 1\colon \quad u=z^{nm_1}$, $v=z^{m_1}+w^{m_2}$, где $m_1\geqslant 1$, $n,m_2>1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$, $k\geqslant 1\colon \quad u=(\omega_jz^{m_1}-w^{m_2})^n$, $v=z^{m_1}-w^{m_2}$, где $n, m_1,m_2>1$, $\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$, $1\geqslant j\geqslant n-1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}$, $k\geqslant 1\colon \quad u=z^{2m_1}$, $v=z^{m_1(2k+1)}+w^{m_2}$, где $m_1\geqslant 1$, $m_2>1$, $n=2$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(2k+1,m_2)=1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$, $k\geqslant 2\colon \quad u=z^{n_1m_1}$, $v=(z^{m_1k_2}+w^{m_2})^{n}$, где $k=k_1k_2$, $n=n_1k_1\,{\geqslant}\, 2$, $m_1,m_2\geqslant 1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(nm_2,k_2)=1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$, $k\geqslant 2\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}$, $v=z^{m_1n}$, где $n=n_1k\geqslant 1$, $m_1,m_2\geqslant 1$; $F\in \mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$, $k\geqslant 2\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}$, $v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^{n}$, где $n=n_1k\geqslant 2$, $m_1,m_2\geqslant 1$, $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$, $j=1,\dots, n-1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf D_{4}}\colon \quad u=z^{m_1n}$, $v=(z^{m_1}+w^{m_2})^n$, где $n\geqslant 2$, $m_1$, $m_2\geqslant 1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf D_{4}}\colon \quad u=(z^{m_1}-w^{m_2})^n$, $v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^n$, где $n\geqslant 2$, $m_1$, $m_2\geqslant 1$, $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$, $1\leqslant j\leqslant n-1$; $F\in\mathcal R_{\mathbf E_{7}}\colon \quad u=z^{3m_1}$, $v=z^{2m_1}+w^{m_2}$, где $m_1\geqslant 1$, $m_2>1$. Во всех случаях $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$. Доказательство теоремы 2 приведено в § 4. § 1. Предварительные результаты1.1. О фундаментальных группахОбозначим через $(X,o)$ росток нормальной поверхности и через $(B,o)=\bigcup_{j=1}^m B_j$ – объединение $m\geqslant 0$ неприводимых ростков кривых $(B_j,o)\subset (X,o)$. Пусть $\sigma\colon \widetilde X\to (X,o)$ – минимальное разрешение особенностей пары $(X,B,o)$, т.е. $\widetilde X$ является гладкой поверхностью и $\widetilde B=\sigma^{-1}(B)$ – дивизор с нормальными пересечениями, в котором каждая $(-1)$-кривая пересекает по крайней мере три неприводимых компоненты кривой $\sigma^{-1}(B)$. Ниже мы будем предполагать, что $\sigma^{-1}(o)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ является объединением рациональных кривых и двойственный граф прообраза $\sigma^{-1}(o)$ является деревом. Кроме того, если это не приводит к недоразумению, собственные прообразы $\sigma^{-1}(B_j)$ неприводимых ростков $B_j$ кривой $(B,o)$ будут обозначаться той же буквой $B_j$. Двойственный взвешенный граф $\Gamma(\widetilde B)$ кривой $\widetilde B$ является деревом, имеющим $m+k$ вершин $v_j$. Вершины $v_j$, $j=1,\dots, m$, соответствуют росткам кривых $B_j$ и их веса – это $w_j=0$, вершины $v_{m+j}$, $j=1,\dots, k$, соответствуют кривым $E_{j}$ и их веса $w_{m+j}\,{=}\,{-}(E_{j}^2)_{\widetilde X}$. Для каждой пары вершин $v_i$ и $v_j$ графа $\Gamma(\widetilde B)$ определим
$$
\begin{equation*}
\delta_{i,j}=\begin{cases} 1, & \text{если }v_i\text{ и }v_j\text{ соединены ребром в }\Gamma(\widetilde B), \\ 0, & \text{если }v_i\text{ и }v_j\text{ не соединены ребром в }\Gamma(\widetilde B), \\ 0, & \text{если }i=j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенная ниже теорема 3 позволяет задавать копредставление фундаментальной группы $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ в терминах графа $\Gamma(\widetilde B)$. Доказательство этой теоремы совпадает практически дословно с доказательством аналогичного утверждения в [6] (см. также [4]) и поэтому будет опущено. Теорема 3. Элементы $b_1,\dots, b_m$, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с вершинами $v_1,\dots, v_m$, и элементы $e_{m+1},\dots, e_{m+k}$, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с вершинами $v_{m+1},\dots ,v_{m+k}$ графа $\Gamma(\widetilde B)$, порождают группу $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ и связаны в ней следующими определяющими соотношениями: Замечание 1. Порождающие элементы $b_1,\dots, b_m$ и $e_{m+1},\dots, e_{m+k}$ фундаментальной группы $\pi_1(\widetilde X\setminus \widetilde B)$ в теореме 3 представлены простыми петлями вокруг соответствующих им кривым (см. [4]). Следующая лемма является хорошо известной (см., например, [5]). Лемма 1. Пусть $(Y,o)$ – росток гладкой поверхности, $\sigma\colon X\to (Y,o)$ – это $\sigma$-процесс с центром в точке $o$, $(C_1,o)$ и $(C_2,o)$ – два гладких ростка кривых в $(Y,o)$, пересекающихся трансверсально в точке $o$. Тогда $\gamma_E=\gamma_1\gamma_2$ в группе где $\gamma_E$ – элемент в $\pi_1(X\setminus \sigma^{-1}(C_1\cup C_2))$, представленный простой петлей вокруг исключительной кривой $E=\sigma^{-1}(o)$, а $\gamma_j$, $j=1,2$, – элементы, представленные простыми петлями вокруг $C_j$. 1.2. Графы разрешения особенностей $ADE$ типов сингулярностиНапомним, что уравнения ростков кривых $(B,o)$, имеющих особенности одного из $ADE$ типов сингулярности (см. [1]), – это: $\mathbf A_n\colon \quad u^2-v^{n+1}=0$, $n\geqslant 0$; $\mathbf D_n\colon \quad v(u^2-v^{n-2})=0$, $n\geqslant 4$; $\mathbf E_6\colon \quad u^3-v^4=0$; $\mathbf E_7\colon \quad u(u^2-v^3)=0$; $\mathbf E_8\colon \quad u^3-v^5=0$. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf A_{2k+1}$, $k\geqslant 0$, изображен на рис. 1 (если $k=0$, то вес вершины $e_3$ равен $-1$). Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf A_{2k}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 2. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf D_{2k+2}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 3. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf D_{2k+3}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 4. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{6}$, изображен на рис. 5. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{7}$, изображен на рис. 6. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющий тип сингулярности $\mathbf E_{8}$, изображен на рис. 7. Замечание 2. Отметим, что во всех графах $\Gamma(\widetilde B)$ ростков кривых $(B,o)$, имеющих один из $ADE$ типов сингулярности (за исключением типов сингулярности $\mathbf A_0$ и $\mathbf A_1$), существует единственная вершина $e$ валентности 3 (обозначим соответствующую ей кривую через $E$), и эта вершина имеет вес $w=-1$. Предложение 1 (см. [4; следствие 1]). Пусть $(B,o)$ – росток кривой, имеющий один из $ADE$ типов сингулярности, $E\subset \sigma^{-1}(o)\subset \widetilde V$ – исключительная кривая последнего раздутия в последовательности раздутий $\sigma\colon \widetilde V\to V$, разрешающих особую точку ростка $(B,o)$, и $e$ – элемент в $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$, представленный простой петлей вокруг $E$. Тогда $e$ принадлежит центру группы $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o):= \pi_1(V\setminus B)\simeq \pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)$. Предложение 2 (см. [4; предложение 1]). Пусть $(B,o)$ – росток кривой, имеющий один из $ADE$ типов сингулярности. Если тип сингулярности ростка $(B,o)$ не $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$, то группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ порождается элементом $e$ и элементами $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$, соответствующими вершинам графа $\Gamma(\widetilde B)$, соединенным ребром с вершиной $e$ (если тип сингулярности ростка $(B,o)$ – это $\mathbf A_1$, то группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$ порождается элементами $b_1$, $b_2$ и $e$). Ниже, если тип сингулярности ростка $(B,o)$ – это $\mathbf A_{2n+1}$ или $\mathbf D_{2n+2}$, то мы будем отождествлять элемент $\gamma_1$ с $e_{n+2}$ (см. рис. 1 и рис. 3); если тип сингулярности – это $\mathbf A_{2n}$, то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{n+1}$ и $\gamma_2$ с $e_{n+3}$ (см. рис. 2); если тип сингулярности – это $\mathbf D_{2n+3}$, то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{n+2}$ и $\gamma_2$ с $e_{n+4}$ (см. рис. 4); если тип сингулярности – это $\mathbf E_{6}$, то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{2}$ и $\gamma_2$ с $e_{4}$ (см. рис. 5); если тип сингулярности – это $\mathbf E_{7}$, то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{5}$ и $\gamma_2$ с $e_{3}$ (см. рис. 6); и если тип сингулярности – это $\mathbf E_{8}$, то мы будем отождествлять $\gamma_1$ с $e_{5}$ и $\gamma_2$ с $e_{3}$ (см. рис. 7). Пусть $\overline{\widetilde B\setminus E}$ – замыкание кривой $\widetilde B\setminus E$ в $\widetilde V$. Определение 1. Если тип сингулярности ростка кривой $(B,o)$ не $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$, то $\overline{\widetilde B\setminus E}$ является несвязным объединением трех цепей кривых, которые мы будем называть хвостами кривой $\widetilde B$. Обозначим через $\widetilde B_j$, $j=1,2,3$, хвост, содержащий кривую, для которой элемент $\gamma_j$ представлен петлей вокруг этой кривой. Хвост является исключительным (соответственно полностью исключительным), если он содержит исключительную кривую, т.е. кривую, стягиваемую отображением $\sigma$ (соответственно содержит только исключительные кривые). Обозначим через $Z_e$ подгруппу группы $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)$, порожденную элементом $e$. Вложение $i_1\colon \widetilde V\setminus \widetilde B\hookrightarrow \widetilde V\setminus (\widetilde B_1\,{\cup}\,\widetilde B_2\,{\cup}\,\widetilde B_3)$ индуцирует эпиморфизм $i_{1*}$: $\pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)\to \pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3))$, ядро которого – это $Z_e$. Из теоремы 3 следует, что $e=\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ и
$$
\begin{equation}
\pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3))\simeq (\langle \widetilde{\gamma}_1\rangle * \langle \widetilde{\gamma}_2\rangle * \langle \widetilde{\gamma}_3\rangle) / \langle \widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3\rangle
\end{equation}
\tag{3}
$$
является факторгруппой свободного произведения трех циклических групп $\langle \widetilde{\gamma}_j\rangle$, $j=1,2,3$, по нормальному замыканию $(\langle \widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3\rangle)$ циклической группы, порожденной произведением $\widetilde{\gamma}_1\widetilde{\gamma}_2\widetilde{\gamma}_3$, где $\widetilde{\gamma}_j=i_{1*}(\gamma_j)$. Из теоремы 3 следует, что группа $\langle \widetilde{\gamma}_j\rangle$ является конечной тогда и только тогда, когда $\widetilde B_j$ является полностью исключительным хвостом. Легко видеть, что вложение $i_2\colon E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)\hookrightarrow \widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)$ индуцирует эпиморфизм
$$
\begin{equation}
i_{2*}\colon \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)\to \pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)
\end{equation}
\tag{4}
$$
(здесь мы предполагаем, что $p\in E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3)$). Замечание 3. Отметим, что если тип сингулярности ростка кривой $(B,o)$ – это $\mathbf D_4$, то $i_{2*}$ является изоморфизмом. Поэтому в этом случае мы будем отождествлять группы $\pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ и $\pi_1(\widetilde V\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$. Пусть $P_j=E \cap \widetilde B_j$, и обозначим через $\overline{\gamma}_j\in \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ петлю вокруг $P_j$ такую, что $i_{2*}(\overline{\gamma}_j)=\widetilde{\gamma}_j$. Определение 2. Если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, то через $\widetilde B^0_j$ будем обозначать объединение исключительных кривых, содержащихся в $\widetilde B_j$, и положим $\widetilde{\pi}_j:=\pi_1(N_T\setminus \widetilde B_j)$ и $\widetilde{\pi}_j^0:=\pi_1(N_T\setminus \widetilde B^0_j)$, где $N_T$ – достаточно малая трубчатая окрестность кривой $\widetilde B_j$. Замечание 4. Из теоремы 3 следует, что $\widetilde{\pi}_j$ и $\widetilde{\pi}_j^0$ являются циклическими группами. 1.3. Циклические факторповерхностиПусть циклическая группа $\mu_m\simeq\mathbb Z_m$ порядка $m$ действует на ростке гладкой поверхности $(U,o')$. Обозначим через $(W,o_1)=(U,o')/\mu_m$ факторповерхность и через $\xi\colon (U,o')\to (W,o_1)$ факторотображение. Согласно лемме Картана мы можем предполагать, что росток $(U,o')$ биголоморфен шару $\mathbb B_2\,{=}\,\{ (u_1,u_2)\,{\in}\, \mathbb C^2\mid |u_1|^2\,{+}\,|u_2|^2\,{<}\,1\}$ и порождающий элемент $g$ группы $\mu_m$ действует по правилу
$$
\begin{equation*}
g\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi p_1i}{m}\biggr)u_1, \exp\biggl(\frac{2\pi p_2i}{m}\biggr)u_2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_j$, $j=1,2$, – это некоторые целые числа, $1\leqslant p_j\leqslant m$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m,p_1,p_2)=1$. Пусть $m=m_1m_2m_0$, $p_1=m_1t_1s$, $p_2=m_2t_2s$, где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1t_1,m_2t_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(st_1,m_0)=\operatorname{\textrm{НОД}}(st_2,m_0)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g^{m_1m_0}\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi p_1i}{m_2}\biggr)u_1,u_2\biggr), \\ g^{m_2m_0}\colon (u_1,u_2)\mapsto \biggl(u_1,\exp\biggl(\frac{2\pi p_2i}{m_1}\biggr)u_2\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и подгруппа $\mu_{m_1m_2}\subset \mu_m$, порожденная элементами $g^{m_1m_0}$ и $g^{m_2m_0}$, является циклической группой порядка $m_1m_2$. Отображение $\xi$ может быть разложено в композицию двух отображений, $\xi=\varphi\circ\vartheta_{m_1,m_2}$, где $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$ – это факторотображение, определенное действием группы $\mu_{m_1m_2}$ на $(U,o')$, и $\varphi\colon (X,\widetilde o)\to (W,o_1)$ – факторотображение, определенное действием факторгрупппы $\mu_m/\mu_{m_1m_2}\simeq \mu_{m_0}$ порядка $m_0$ на $(X,\widetilde o)$. Легко видеть, что $(X,\widetilde o)$ является ростком гладкой поверхности,
$$
\begin{equation*}
(X,\widetilde o)\simeq \mathbb B_2=\{ (x_1,x_2)\in \mathbb C^2\mid |x_1|^2+|x_2|^2<1\},
\end{equation*}
\notag
$$
и отображение $\vartheta_{m_1,m_2}$ задается функциями $x_1=u_1^{m_2}$, $x_2=u_2^{m_1}$. Образ $\overline g$ в $\mu_{m_0}$ порождающего элемента $g\in\mu_m$ действует на $(X,\widetilde o)$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\overline g\colon (x_1,x_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi st_1i}{m_0}\biggr)x_1, \exp\biggl(\frac{2\pi st_2i}{m_0}\biggr)x_2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и существует целое число $r$ такое, что $rst_2\equiv 1\ \operatorname{mod} m_0$ и $rst_1\equiv q\ \operatorname{mod}m_0$, где $1\leqslant q<m_0$, так как $\operatorname{\textrm{НОД}}(st_j,m_0)=1$ для $j=1,2$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\overline g^r\colon (x_1,x_2)\mapsto \biggl(\exp\biggl(\frac{2\pi qi}{m_0}\biggr)x_1, \exp\biggl(\frac{2\pi i}{m_0}\biggr)x_2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и легко показать, что $(W,o_1)$ является нормализацией ростка поверхности в $\mathbb B_3=\{ (z_1,z_2,z_3)\in \mathbb C^3\mid |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2<1\}$, заданной уравнением $z_3^n=z_1z_2^{m_0-q}$, где $z_3=x_1x_2^{m_0-q}$, $z_1=x_1^{m_0}$ и $z_2=x_2^{m_0}$, т.е. росток $(W,o_1)$ имеет особенность Хирцебруха–Юнга $A_{m_0,q}$ типа. Отображение $\vartheta_{m_1,m_2}$ разветвлено в $L_1\,{=}\,\{ x_1\,{=}\,0\}$ (если $m_2\,{>}\,0$) и $L_2\,{=}\,\{ x_2\,{=}\,0\}$ (если $m_1>0$), а $\varphi$ не разветвлено вне точки $o_1$ (далее мы будем обозначать отображение $\varphi$ через $\theta_{m_0,q}$). Поэтому $\pi_1(W\setminus o_1)\simeq \mu_{m_0}$ и отображение $\theta_{m_0,q}$: $X\setminus \widetilde o\to W\setminus o_1$ является неразветвленным универсальным накрытием. Пусть $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение особой точки $o_1\subset W$. Обозначим через $B_j=\tau^{-1}(\theta_{m_0,q}(L_j))$, $j=1,2$, собственный прообраз кривой $\theta_{m_0,q}(L_j)$, и пусть $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$. Хорошо известно (см., например, [2; гл. III, § 5]), что $E_j$ – это рациональные кривые и с точностью до перенумерации кривых $E_j$ двойственный взвешенный граф $\Gamma(\widetilde B)$ кривой $\widetilde B=(B_1\cup B_2)\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)$ является цепью, т.е. он имеет вид, как на рис. 8, где веса $\omega_j=-(E_j^2)_{\widetilde W}$ удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation}
\frac{m_0}{q}=\omega_1-\frac{1}{\omega_2-\dfrac{1}{\omega_3- \dfrac{1} {\dots -\dfrac{1}{\omega_k}}}}\stackrel{\mathrm{def}}{:=}[w_1;w_2,\dots,w_k].
\end{equation}
\tag{5}
$$
Обратно, если $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение нормальной особенности такое, что $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ является цепью рациональных кривых (см. рис. 8), то $(W,o_1)$ имеет особенность Хирцебруха–Юнга $A_{m_0,q}$ типа, где $m_0$ и $q$ можно найти, используя равенство (5). Замечание 5. Представление особенности $(W,o_1)$ типа $A_{m_0,q}$ в виде циклической факторособенности однозначно определяется выбором дивизоров $B_1$ и $B_2$ (см. рис. 8) в $\widetilde W$ (см. [2; гл. III, § 5]). Отметим, что если мы перенумеруем кривые $E_j$ и их веса $\omega_j$ по правилу $E'_j:=E_{k-j+1}$ и $\omega'_j:=\omega_{k-j+1}$ и подставим новые веса $\omega'_j$ вместо старых $\omega_j$ в правую часть равенства (5), то мы получим дробь ${m_0}/{q'}$ в левой части равенства (5) с $q'$ таким, что $qq'\equiv 1\ \operatorname{mod}m_0$ (см. [2; гл. III, § 5]). В частности, типы сингулярности $A_{m_0,q}$ и $A_{m_0,q'}$ – это один и тот же тип сингулярности. Замечание 6. В обозначениях, использованных в теореме 3, из теоремы 3 следует, что группа $\pi_1\bigl(\widetilde W\,{\setminus}\, \bigr(B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\bigr)\bigr)$ порождается элементами $b_1$ и $e_1$, а группа $\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl( B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\bigr)\bigr)$ является свободной группой $\mathbb F_1$, порожденной элементом $e_1$. Для особенности $(W,o_1)$ типа $A_{m_0,q}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\pi_1(W\setminus \{ o_1\})=\pi_1\biggl(\widetilde W\setminus \biggl(\bigcup_{j=1}^k E_j\biggr)\biggr)\simeq \mu_{m_0},
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\theta_{m_0,q}\colon X\setminus \{\widetilde o\} \to W\setminus \{o_1\}$ является универсальным накрытием. Лемма 2. Если $[\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_{k}]=[2,\dots,2]$, $k\geqslant 1$, то $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{k+1,k}$ и, в частности, $\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq \mu_{k+1}$. Доказательство. Имеем Отметим, что типы сингулярности $\mathbf A_{k}$ и $A_{k+1,k}$ – это один и тот же тип сингулярности. Лемма доказана. Лемма 3. Если $[\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_{k+1}]=[n,2,\dots,2]$, $k\geqslant 0$, то $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n(k+1)-k,k+1}$ и, в частности, $\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq \mu_{n(k+1)-k}$. Доказательство. Имеем Поэтому $[n;2,\dots,2]=n-\dfrac{k}{k+1}=\dfrac{n(k+1)-k}{k+1}$. Лемма доказана. Обозначим через $\mathbb D^2_{r_1,r_2}=\{ (y_1,y_2)\in \mathbb C^2\mid |y_1|<r_1, |y_2|< r_2 \}$ бидиск в $\mathbb C^2$, где $(r_1,r_2)\in \mathbb R_+^2$, и пусть $L_{y_j}=\{ y_j=0\}\subset \mathbb D^2_{r_1,r_2}$, $j=1,2$, – координатные оси в $\mathbb D^2_{r_1,r_2}$. Следующая лемма является прямым следствием из теоремы 5.1 в [2; гл. III]. Лемма 4. Пусть $Z$ – это неприводимый росток нормальной поверхности и $\xi\colon Z\to\mathbb D^2_{(r_1,r_2)}(y_1,y_2)$ – циклическое накрытие степени $n$, разветвленное в $L_{y_1}\cup L_{y_2}$. Тогда $n=n_1n_2n_3$ для некоторых $n_1\geqslant 1$, $n_2\geqslant 1$, $n_3\geqslant 1$ таких, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(n_1,n_2)=1$ и $\xi$ разветвлено над $L_j$ с кратностью $n_jn_3$ для $j=1,2$, и если $n_3>1$, то тип сингулярности ростка $Z$ над началом координат $(0,0)\in \mathbb D^2_{r_1,r_2}$ – это $A_{n_3,q}$ для некоторого $q$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(n_3,q)=1$, и $Z$ является ростком гладкой поверхности, если $n_3=1$. Пусть росток нормальной поверхности $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n,q}$, $\tau\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – минимальное разрешение особой точки $o_1\in W$, $\tau^{-1}(o_1)=\bigcup_{j=1}^kE_j$ – цепь рациональных кривых, $(E_j)^2=-\omega_j$, и пусть $\widetilde B\subset \widetilde W$ – кривая, двойственный граф которой $\Gamma(\widetilde B)$ изображен на рис. 8. Пусть $m$ – делитель числа $n$, $n=mk$. Обозначим через $\varphi_m \colon (X_m,\widetilde o)\to (W,o_1)$ циклическое накрытие степени $m$, определенное естественным эпиморфизмом $\varphi_{m*}\colon \pi_1(W\setminus \{ o_1\})\simeq \mu_n\twoheadrightarrow \mu_m$. Накрытие $\varphi_m$ не разветвлено вне точки $\widetilde o$ и $(X_m,\widetilde o)$ является нормальной поверхностью сингулярного типа $A_{k,q'}$ с некоторым $q'$, если $k>1$, и $(X_m,\widetilde o)$ – росток гладкой поверхности, если $k=1$. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: в которой $\widetilde X_m$ – это нормализация расслоенного произведения $\widetilde W\times_{(W,o_1)} (X_m,\widetilde o)$ и $\varrho\colon \overline X_m\to \widetilde X_m$ – минимальное разрешение особых точек поверхности $\widetilde X_m$. Из леммы 4 следует, что $\widetilde X_m$ может иметь особые точки (и их типы сингулярности – это $A_{m',q'}$ с некоторыми делителями $m'$ числа $m$) только над точками пересечения соседних исключительных кривых $E_j$ и $E_{j+1}$ отображения $\tau$.Обозначим через $\psi:=\rho\circ\varrho$ композицию отображений $\rho$ и $\varrho$. Отметим, что $\psi$ является разрешением особой точки $\widetilde o\in X_m$. и оно раскладывается в композицию двух отображений, $\psi=\varsigma\,{\circ}\,\sigma$, где $\varsigma\colon \overline X_{m,\min}\to (X_m,\widetilde o)$ является минимальным разрешением особой точки $\widetilde o$, если $m<n$, а $\sigma\colon \overline X_m\to \overline X_{m,\min}$ является композицией $\sigma$-процессов, $\sigma=\sigma_l\circ \dots\circ \sigma_1$ ($\psi=\sigma$, если $m=n$). Пусть $\widetilde B=B_1\,{\cup}\, B_2\,{\cup}\,\bigl(\bigcup_{j=1}^kE_j\bigr)\subset \widetilde W$ – объединение кривых и ростков кривых, двойственный взвешенный граф которого изображен на рис. 8. Обозначим одной и той же буквой $C_j$ собственный прообраз $(\tau\,{\circ}\,\widetilde{\varphi}_m)^{-1}(B_j)$ ростка $B_j$, $j=1,2$, и собственные прообразы $(\sigma_l\,{\circ}\,{\cdots}\,{\circ}\,\sigma_{l-s})^{-1}(C_j)$ при $1\leqslant s\leqslant l$. Обозначим через $\Delta_m(n,q)$ число $\sigma$-процессов, входящих в множество $\{\sigma_1,\dots,\sigma_{l}\}$, которые раздувают точки, принадлежащие кривым $C_1$, и назовем его $m$-й прибавкой для сингулярного типа $A_{n,q}$. Лемма 5. Пусть росток $(W,o_1)$ имеет тип сингулярности $A_{n,n-1}$, $n\,{=}\,mk$ и $\varphi_m \colon (Z_m,\widetilde o)\to (W,o_1)$ – циклическое накрытие степени $m$, определенное естественным эпиморфизмом $\varphi_{m*}\colon \pi_1(W\setminus \{ o_1\})\simeq \mu_n\twoheadrightarrow \mu_m$. Тогда: Доказательство. Чтобы доказать утверждение (ii), рассмотрим квадрику $Q=\mathbb P^1\,{\times}\,\mathbb P^1$, и пусть $S_1$, $S_2$ – это два слоя проекции $\operatorname{pr}_2\colon Q\to \mathbb P^1$ на второй множитель, а $L$ – слой проекции $\operatorname{pr}_1\colon Q\to \mathbb P^1$ на первый множитель. Рассмотрим диаграмму в которой:
Обозначим через $E_j\subset \widetilde Q$, $j=1,\dots,n-1$, собственный прообраз исключительной кривой раздутия $\tau_j$, через $B_1\subset \widetilde Q$ – собственный прообраз слоя $L$ и через $B_2\subset \widetilde Q$ – исключительную кривую раздутия $\tau_n$. Имеем
$$
\begin{equation*}
(B_1^2)_{\widetilde Q}=(B_2^2)_{\widetilde Q}=-1, \qquad (E_j^2)_{\widetilde Q}=-2 \quad\text{для }\ j=1,\dots,n-1;
\end{equation*}
\notag
$$
двойственный граф $\Gamma(\widetilde B)$ кривой $\widetilde B=B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ изображен на рис. 8 (в котором $\omega_j=-2$ для $j=1,\dots, n-1$). Следовательно, мы можем отождествить $\widetilde W$ с трубчатой окрестностью кривой $\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j$, а $\widetilde Z_m$ с $\widetilde{\varphi}^{-1}_m(\widetilde W)$. Отметим, что двойственный взвешенный граф $\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ кривой $\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j$ является центрально симметричным графом, т.е. для весов $\omega_j$ вершин $e_j$ выполнено равенство $\omega_j=\omega_{n-j}$.
Очевидно, $X_m\simeq \mathbb P^1\times\mathbb P^1$, где $\varphi_m^{-1}(S_1)$, $\varphi_m^{-1}(S_2)$ – это два слоя проекции $\operatorname{pr}_2$: $X_m\to \mathbb P^1$ на второй множитель, а $\varphi_m^{-1}(L):=F$ – слой проекции $\operatorname{pr}_1\colon X_m\to \mathbb P^1$ на первый множитель. Фундаментальная группа $\pi_1(Q\setminus (S_1\cup S_2))\simeq \pi_1\bigl(\widetilde Q\setminus \bigl(\tau^{-1}(S_1\cup S_2)\cup B_2\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\bigr)$ порождается элементом $\gamma$, представленным простой петлей вокруг кривой $S_1$. Обозначим через $e_j$, $j=1,\dots,n-1$, и через $b_2$ элементы в фундаментальной группе $\pi_1\bigl(\widetilde Q\setminus \bigl(\tau^{-1}(S_1\cup S_2)\cup B_2\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\bigr)$, представленные простыми петлями соответственно вокруг кривых $E_j$ и кривой $B_2$. Из леммы 1 следует, что
$$
\begin{equation}
e_j=\gamma^j \quad\text{для }\ j=1,\dots, n-1 \quad\text{и }\ b_2=\gamma^n.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Вначале рассмотрим случай, когда $m=n$. Элемент $g_1=\varphi_{n*}(\gamma)$ порождает группу $\mu_n\subset \mathbb S_n$ и в частности, $\varphi_{n*}(e_{n-1})=g_1^{n-1}:=g_2$ также порождает группу $\mu_n$ и $\varphi_{n*}(b_2)=g_1^n=\operatorname{id}$. Следовательно, $\varphi_n$ не разветвлено в кривой $B_2$ и $\widetilde X_n$ является гладкой поверхностью в окрестности кривых $\varphi_n^{-1}(B_1)$ и $\varphi_n^{-1}(B_2)$. Ограничение накрытия $\widetilde{\varphi}_n$ на $\widetilde Z_n\subset \widetilde X_n$ определяется гомоморфизмом монодромии $\varphi_{n*}$: $\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)\to\mu_n\subset\mathbb S_n$, отображающим элементы $e_j$ в $g_1^j$. Из теоремы 3 следует, что $\pi_1\bigl(\widetilde W\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)\bigr)$ порождается элементом $e_{n-1}$ и $e_j=e_{n-1}^{n-j}$. Следовательно, если мы обозначим $e'_{j}:=e_{n-j}$, то Прообраз $(\varphi_n\circ\varrho)^{-1}\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)=\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\subset \overline X_n$ является цепью рациональных кривых, которая может быть стянута в гладкую точку, кривые $\overline B_j=(\varphi_n\circ \varrho)^{-1}(B_j)$, $j=1,2$, являются рациональными кривыми,
$$
\begin{equation*}
(\overline B_j^2)_{\overline X_n}=\deg \widetilde{\varphi}_n\cdot (B_j^2)_{\widetilde X_n}=-n, \qquad (\overline B_1,\overline E_1)_{\overline X_n}=(\overline B_2,\overline E_N)_{\overline X_n}=1
\end{equation*}
\notag
$$
и $(\varphi_n\circ\rho\circ\varrho)^{-1}(L)=\overline B_1\cup\overline B_2\cup\bigl(\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\bigr)$ – слой линейчатой поверхности $\overline X_n$.
Из центральной симметрии графа $\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}E_j\bigr)$ и из равенств (11), (12) следует, что двойственный взвешенный граф $\Gamma\bigl(\bigcup_{j=1}^{N}\overline E_j\bigr)$ также центрально симметричен. Следовательно, если $\overline E_j$ является $(-1)$-кривой, то $\overline E_{N-j+1}$ – также $(-1)$-кривая и кривые $\overline E_j$, $\overline E_{N-j+1}$ могут быть стянуты в неособые точки одновременно. После последовательного стягивания всех таких пар $(-1)$-кривых и затем кривой $\overline E_{K+1}$ (легко видеть, что $N=2K+1$ должно быть нечетным числом и центральная кривая $\overline E_{K+1}$ стягивается на последнем шаге стягиваний) мы получим, что образы кривых $\overline B_1$ и $\overline B_2$ являются $(-1)$-кривыми, так как объединение этих образов является слоем линейчатой структуры. Следовательно, $\Delta_{n}(n,n-1)=n-1$, так как $(B_1^2)_{\overline X_n}=(B_2^2)_{\overline X_n}=-n$. Рассмотрим случай, когда $m<n$. Элемент $g_1=\varphi_{m*}(\gamma)$ порождает группу $\mu_m\subset\mathbb S_m$. Из (10) следует, что $ \varphi_{m*}(e_{j+lm})=g_1^j$ для $ j=1,\dots,m-1$, $l=0,\dots,k-1$ и $\varphi_{m*}(e_{lm})=\varphi_{m*}(b_2)=\operatorname{id}$ для $l=1,\dots,k-1$. Поэтому $\widetilde{\varphi}_m$ не разветвлено в кривых $E_{lm}$, $l=1,\dots, k-1$, и в кривых $B_1$, $B_2$. Следовательно, поверхность $\widetilde X_m$ неособа в окрестности кривой $\widetilde{\varphi}_m^{-1}\bigl(B_1\cup B_2\cup\bigl(\bigcup_{l=1}^{k-1}E_{lm}\bigr)\bigr)$ и
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm}),\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm}))_{\widetilde X_m}=-2m, \qquad (\widetilde{\varphi}_m^{-1}(B_j),\widetilde{\varphi}_m^{-1}(B_j))_{\widetilde X_m}=-m
\end{equation*}
\notag
$$
для $l=1,\dots,k-1$ и $j=1,2$.
Для каждого $l=0,\dots,k-1$ кривая $\bigcup_{j=1}^{m-1}\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{j+lm})$ может быть стянута в гладкую точку, и аналогично случаю $m=n$ легко видеть, что, во-первых, $\Delta_m(n,n-1)=\Delta_m(m,m-1)=m-1$, во-вторых, после стягивания кривой $\bigcup_{l=0}^{k-1}\bigcup_{j=1}^{m-1}\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{j+lm})$ образы кривых $\widetilde{\varphi}_m^{-1}(E_{lm})$ образуют цепь, состоящую из $k-1$ $(-2)$-кривых, т.е. тип сингулярности ростка $(Z_m,\widetilde o)$ – это $A_{k,k-1}$. Лемма 5 доказана. § 2. Описание прообраза $\beta^{-1}(f)$: общий случай2.1. Необходимые условияВ этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 1. Рассмотрим жесткий росток накрытия $F\colon (U,o')\to (V,o)$, разветвленный в ростке кривой $(B,o)$, имеющей один из $ADE$ типов сингулярности в точке $o$, $d=\deg F$, и пусть $F_*\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)=\pi_1(V\setminus B, p)\twoheadrightarrow G_F\subset \mathbb S_d$ – его гомоморфизм монодромии. Напомним, что симметрическая группа $\mathbb S_d$ действует (справа) на слое $F^{-1}(p)=\{ q_1,\dots, q_d\}$ и группа монодромии $G_F$ является транзитивной подгруппой группы $\mathbb S_d$. Обозначим через $G_F^1$ подгруппу в $G_F$, оставляющую неподвижной точку $q_1$. Тогда действие группы $G_F$ на $F^{-1}(p)$ можно отождествить с действием группы $G_F$ на множестве правых смежных классов подгруппы $G^1_F$. Согласно предложению 1 циклическая группа $F_*(Z_e)\subset G_F$, порожденная элементом $F_*(e)$, является центральной подгруппой в $G_F$, и согласно предложению 13 в [4] группа $F_*(Z_e)$ действует на $(U,o')$. Обозначим через $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)=(U,o')/F_*(Z_e)$ факторотображение, $\deg H_1=m=|F_*(Z_e)|$, где $(W,o_1)$ – это росток нормальной поверхности. Согласно предложению 13 в [4] существует конечное отображение $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ такое, что $F=H_2\circ H_1$, $\deg H_2=n={d}/{m}$. Группа монодромии $G_{H_1}\subset\mathbb S_m$ накрытия $H_1$ изоморфна группе $F_*(Z_e)$, и согласно замечанию 2 в [4] группа монодромии $G_{H_2}\subset\mathbb S_n$ накрытия $H_2$ изоморфна группе $G_F/N$, где $N$ – максимальная нормальная подгруппа группы $G_F$, содержащаяся в $G^1_F\times F_*(Z_e)\subset G_F$. Обозначим символом $\widetilde W$ нормализацию расслоенного произведения $\widetilde V\times_{(V,o)} (W,o_1)$, где $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$ – это минимальное разрешение особой точки $o\in V$ ростка кривой $(B,o)$ (если $(B,o)$ имеет тип сингулярности $\mathbf A_0$ или $\mathbf A_1$, то $\sigma$ состоит из единственного раздутия точки), и пусть $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ – это проекции на множители. Кроме того, обозначим через $\widetilde U$ нормализацию расслоенного произведения $\widetilde W\times_{(W,o_1)} (U,o')$, и пусть $\widetilde H_1\colon \widetilde U\to \widetilde W$ и $\tau\colon \widetilde U\to (U,o')$ – проекции на множители. Группа $G_{H_1}$ действует на $\widetilde U$ и $\widetilde H_1$ также является факторотображением. Обозначим через $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ собственный прообраз исключительной кривой $E$ последнего $\sigma$-процесса, и пусть $f\colon C\to E$, $\deg f=\deg \widetilde H_2=n$, – ограничение накрытия $\widetilde H_2$ на $C$ (по определению $f=\beta(F)$). Группа $F_*(Z_e)$ действует на $\widetilde U$, и легко видеть, что $\widetilde H_1^{-1}(C)$ является неприводимой кривой. Поэтому кривая $C$ является компонентой кривой ветвления накрытия $\widetilde H_1$ и $\widetilde H_1$ разветвлено в $C$ с кратностью $m=\deg \widetilde H_1$. По тем же причинам кривая ветвления накрытия $\widetilde H_2$ содержится в $\widetilde B\setminus E$, где $\widetilde B=\sigma^{-1}(B)$ – это прообраз ростка $(B,o)$. Двойственный граф кривой $\widetilde B$ изображен на одном из рис. 1–7. Пусть $\widetilde B^0=\sigma^{-1}(o)$, и пусть $\widetilde B_j\subset \widetilde B$, $j=1,2,3$, – хвосты кривой $\widetilde B$ (см. определение 1). Из замечания 4 и леммы 4 следует, что $\widetilde W$ может иметь особые точки (и их типы сингулярности – это $A_{k',q'}$ с некоторыми делителями $k'$ числа $n$) только над точками пересечения соседних неприводимых компонент хвостов кривой $\widetilde B$, так как $\widetilde H_2$ не разветвлено в кривой $E$. Обозначим через $\varsigma_r\colon \overline W\to \widetilde W$ разрешение особых точек поверхности $\widetilde W$. Тогда $\varsigma\,{\circ}\,\varsigma_r\colon \overline W\to (W,o_1)$ является разрешением особой точки $o_1$ ростка $(W,o_1)$. Обозначим через $\varsigma_1\colon \overline W\to \overline W_m$ голоморфное бимероморфное отображение, где $\overline W_m$ является гладкой поверхностью и $\varsigma_1$ стягивает в точки максимальное число неприводимых компонент кривой $(\widetilde H_1\circ \varsigma_r)^{-1}\bigl(\bigcup_{j=1}^3\widetilde B_j\bigr)$. Тогда $\varsigma\circ\varsigma_r= \varsigma_m\circ \varsigma_1$, где $\varsigma_m\colon \overline W_{m}\to (W,o_1)$ также является разрешением особой точки $o_1$ ростка $(W,o_1)$. Положим $\overline B^{\,0}=\varsigma_m^{-1}(o_1)$. Композиция $\overline H_1=\varsigma_m^{-1}\circ H_1\colon (U,o')\to \overline W_{m}$ является мероморфным отображением таким, что конечное накрытие $\overline H_1\colon U\setminus \{ o'\} \to \overline W_{m}\setminus \overline B^{\,0}$ естественным образом изоморфно накрытию $H_1\colon U\setminus \{ o'\}\to W\setminus \{o_1\}$. Отметим, что $\overline C=\varsigma_1\circ \varsigma_r^{-1}(C)$ является компонентой кривой $\overline B^{\,0}$. Накрытие $H_1$ разветвлено не более чем в двух неприводимых ростках кривых в $(W,o_1)$ (см. п. 1.3). Обозначим через $\overline B=\overline B_1\cup\overline B_2\cup\overline B^{\,0}\subset \overline W_{m}$ прообраз этих ростков (конечно, один из ростков $\overline B_j$ или оба могут быть пустым множеством). Двойственный граф кривой $\overline B$ является цепью, аналогичной цепи, изображенной на рис. 8. В результате мы получаем следующую коммутативную диаграмму: Отображения $\widetilde H_1$ и $H_1$ в диаграмме ($*$) являются факторотображениями относительно действия циклической группы. Поэтому $H_1$ является композицией двух отображений, $H_1=\theta_{n',q}\circ \vartheta_{m_1,m_2}$ (см. п. 1.3), где $m=n'm_1m_2$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$, и, следовательно, мы получаем следующую коммутативную диаграмму: Гомоморфизм монодромии $f_*$ является композицией двух гомоморфизмов, $f_*=H_{2*}\circ i_{2*}$ (см. (3) и (4)). Замечание 7. В силу замечания 3 мы будем отождествлять гомоморфизм монодромии $\widetilde H_{2*}$ с гомоморфизмом монодромии $\beta(F)_*=f_*$ в случае, когда $(B,o)$ имеет тип сингулярности $\mathbf D_4$. Группа монодромии $G_f$ пары Белого $f$ изоморфна группе $G_{H_2}\,{=}\,G_F/N\,{\subset}\, \mathbb S_n$, порожденной элементами $f_*(\overline{\gamma}_j)\in \mathbb S_n$, $j=1,2,3$ (определение элементов $\overline{\gamma}_j\in \pi_1(E\setminus (\widetilde B_1\cup\widetilde B_2\cup\widetilde B_3),p)$ дано в п. 1.2). Пусть
$$
\begin{equation*}
T_c(\widetilde H_2)=T_c(f)=\{c_1,c_2,c_3\}, \qquad c_j=(n_{j,1},\dots, n_{j,k_j}), \quad n=\sum_{l=1}^{k_j}n_{j,l},
\end{equation*}
\notag
$$
– множество цикловых типов перестановок $\widetilde H_{2*}(\widetilde {\gamma}_j)=f_*(\overline{\gamma}_j)$. Для каждого $j=1,2,3$ прообраз $\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j)$ хвоста $\widetilde B_j$ является несвязным объединением $k_j$ связных компонент, $\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j)=\bigsqcup_{l=1}^{k_j}\widetilde B_{j,l}$. Свойства циклических накрытий, изложенные в п. 1.3, влекут следующее условие стягиваемости: кривая $\widetilde B_{j,l}\cap \widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_j^{0})\subset\widetilde W$ может быть стянута в неособую точку тогда и только тогда, когда порядок $|\widetilde{\pi}^0_j|$ группы $\widetilde{\pi}^0_j$ является делителем числа $n_{j,l}$, если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, и $|\widetilde{\pi}^0_j|=n_{j,l}$, если $\widetilde B_j$ – полностью исключительный хвост, так как $\widetilde B_j^0$ можно стянуть в точку сингулярного типа $A_{|\widetilde{\pi}^0_j|,q}$. Отметим, что по той же причине числа $n_{j,l}$ являются делителями числа $|\widetilde{\pi}^0_j|$, если $\widetilde B_j$ – полностью исключительный хвост. Обозначим через $r_j(H_{2*})$ число циклов в перестановке $f_*(\overline{\gamma}_j)$, длины которых не удовлетворяют условию стягиваемости, если $\widetilde B_j$ – исключительный хвост, и положим $r_j(H_{2*})=0$, если хвост $\widetilde B_j$ не является исключительным. В итоге получаем, что имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
r_1(\widetilde H_{2*})+r_2(\widetilde H_{2*})+r_3(\widetilde H_{2*})\leqslant 2,
\end{equation}
\tag{14}
$$
так как двойственный граф кривой $\overline B$ является цепью. 2.2. Достаточные условияОбратно, пусть дана рациональная пара Белого $f\colon C\simeq \mathbb P^1\to\mathbb P^1$ степени $n$, разветвленная в $B_f\subset \{0,1,\infty\}$ и монодромия которой имеет цикловой тип $T(f)=\{ c_1,c_2,c_3\}$. Напомним, что мы рассматриваем множество рациональных пар Белого с точностью до действий группы $\mathrm{PGL}(2,\mathbb C)$ на $C$ и $\mathbb P^1$ и упорядоченный цикловой тип $T(f)=\{ c_1,c_2,c_3\}$ накрытия $f$ зависит от выбора базы в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$. Следовательно, мы можем упорядочить цикловой тип $T(f)$ таким образом, что цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_0)$ – это $c_1$, цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_{\infty})$ – это $c_2$ и цикловой тип перестановки $f_*(\overline{\gamma}_1)$ – это $c_3$, где $\overline{\gamma}_0$, $\overline{\gamma}_1$ и $\overline{\gamma}_{\infty}$ – элементы группы $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$, представленные простыми петлями соответственно вокруг точек $0$, $1$ и $\infty$ и таких, что $\overline{\gamma}_0 \overline{\gamma}_1 \overline{\gamma}_{\infty}=\mathrm{id}$ в $\pi_1(\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\})$. Определение 3. Скажем, что рациональная пара Белого $f$ имеет тип: $\mathbf A_{2k+1}$, $k\geqslant 1$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $k+1$, $r_1\leqslant 2$, а оставшиеся $r_1$ длин являются делителями числа $k+1$; $\mathbf A_{2k}$, $k\geqslant 1$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $2k+1$, а оставшиеся $r_1$ длин являются делителями числа $2k+1$, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $2$, а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$; $\mathbf D_{2k+2}$, $k\geqslant 2$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ кратны числу $k$, $r_1\leqslant 2$; $\mathbf D_{2k+3}$, $k\geqslant 1$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ кратны числу $2k+1$, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $2$, а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$; $\mathbf E_{6}$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $4$, а оставшиеся $r_1$ длин равны $2$ или $1$, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $3$, а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$; $\mathbf E_7$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ являются четными числами, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $3$, а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$; $\mathbf E_8$, если $(k_1-r_1)$ длин $n_{1,j}$ в цикловом типе $c_1=(n_{1,1},\dots, n_{1,k_1})$ равны $3$, а оставшиеся $r_1$ длин равны $1$, $(k_2-r_2)$ длин $n_{2,j}$ в цикловом типе $c_2=(n_{2,1},\dots, n_{2,k_2})$ равны $5$, а оставшиеся $r_2$ длин равны $1$ и $r_1+r_2\leqslant 2$. Замечание 8. Отметим, что рациональная пара Белого $f$ может иметь несколько $ADE$ типов. Например, если $f$ имеет тип $\mathbf A_{2k+1}$, $k\geqslant 1$, то она имеет также тип $\mathbf D_{2k+4}$. Кроме того, будем считать, что любое накрытие $f\in\mathcal{B}el$ имеет тип $\mathbf D_4$. Из лемм 2 и 3, условия стягиваемости и неравенства (14) следует, что необходимым условием для кривой ветвления $(B,o)$ накрытия $F\,{\in}\,\mathcal R_T\subset\mathcal R\,{\setminus}\,(\mathcal R_{\mathbf A_0}\,{\cup}\, R_{\mathbf A_1})$ принадлежать прообразу $\beta^{-1}(f)$, $\deg f=n$, является то, что $f$ имеет тип $T$. Если это необходимое условие выполнено, то мы можем рассмотреть гомоморфизм монодромии $H_{2*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,o)\simeq \pi_1(\widetilde V\setminus \widetilde B)\to \mathbb S_n$, отображающий $\gamma_1$ в $f_*(\overline{\gamma}_0)$, $\gamma_2$ в $f_*(\overline{\gamma}_{\infty})$, $\gamma_3$ в $f_*(\overline{\gamma}_1)$ и $e$ в $\mathrm{id}$. Гомоморфизм определяет конечные накрытия $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ и $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$, где $\sigma\colon \widetilde V\to (V,o)$ – минимальное разрешение особой точки ростка $(B,o)$. Мы можем добавить к отображениям $H_2$, $\widetilde H_2$, $\sigma$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ бимероморфные отображения $\varsigma_r\colon \overline W\to \widetilde W$, $\varsigma_1\colon \overline W\to \overline W_m$ и $\varsigma_m\colon \overline W_{m}\to (W,o_1)$ и в результате получить нижнюю часть диаграммы ($*$). Как и выше, обозначим через $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ собственный прообраз исключительной кривой $E$ последнего $\sigma$-процесса. Очевидно, ограничение накрытия $\widetilde H_2$ на $C$ совпадает с парой Белого $f\colon C\to E$, $\deg f=\deg \widetilde H_2=n$. Обозначим через $m_0$ порядок фундаментальной группы $\overline{\pi}_1=\pi_1(W\setminus \{o_1\})\simeq\pi_1(\overline W_m\setminus \overline B^{\,0})$, где $\overline B^{\,0}=\varsigma_m^{-1}(o_1)$. Мы получим следующую коммутативную диаграмму: в которой $\overline H_f\colon \overline U_{f,\min_T}\to\overline W_m$ и $H_f\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (W,o_1)$ – циклические накрытия степени $m_0$, $H_f\colon U_{f,\min_T}\setminus \{o_2\}\to W\setminus \{ o_1\}$ – универсальное накрытие, $\overline H_f$ разветвлен в $\overline B^{\,0}$, $\overline U_{f,\min_T}$ – нормальная поверхность, $(U_{f,\min_T},o_2)$ – росток неособой поверхности и $\overline{\varsigma}$ – бимероморфное голоморфное отображение.Пусть $\gamma_{\,\overline C}\in\overline{\pi}_1$ – это элемент, представленный простой петлей вокруг кривой $\overline C=\varsigma_1\circ \varsigma_r^{-1}(C)$. Назовем вторым необходимым условием следующее условие: двойственный граф кривой $\overline B^{\,0}$ является цепью и $\gamma_{\,\overline C}$ порождает группу $\overline{\pi}_1$. Если $f$ имеет тип $T$ и второе необходимое условие выполнено для ростка $(B,o)$, имеющего тип сингулярности $T$, то $\overline H_f$ разветвлен в $\overline C$ с кратностью $m_0$ и легко видеть, что накрытие $F_{f,\min_T}:=H_2\circ H_f\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (V,o)$ степени $nm_0$ принадлежит прообразу $\beta^{-1}(f)$. Назовем накрытие $F_{f,\min_T}\in \mathcal R_T $ минимальным накрытием в прообразе $\beta^{-1}(f)$ рациональной пары Белого $f$ типа $T$. Обозначим через $\chi\colon \overline U\to \overline U_{f,\min_T}$ минимальное разрешение особых точек поверхности $\overline U_{f,\min_T}$. Тогда $\overline{\varsigma}\,{\circ}\, \chi\colon \overline U\to U_{f,\min_T}$ является композицией $\sigma$-процессов с центрами в неособых точках. Отметим, что $(\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(o_2)$ является цепью, состоящей из исключительных кривых отображения $\overline{\varsigma}\circ \chi$. Обозначим через $\overline C_r=\chi^{-1}(\overline C)$ собственный прообраз кривой $\overline C$. Рассмотрим росток кривой $B$ как дивизор в $(V,o)$, и пусть $F^*_{f,\min_T}(B)=\sum r_jR_j$ – прообраз дивизора $B$, где $R_j$ – его неприводимые компоненты. Обозначим через $S_1$ множество, состоящее из пар $(R_j,r_j)$, в котором $R_j$ – это гладкие ростки и $(\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(R_j)$ являются цепями, состоящими из исключительных кривых и собственного прообраза ростка $R_j$; обозначим через $S_2$ множество, состоящее из упорядоченных пар $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}$, где $(R_{j_l},r_{j_l})\in S_1$ для $l=1,2$ и ростки $R_{j_1}$, $R_{j_2}$ пересекаются трансверсально в точке $o_2$. Фундаментальная группа $\pi_1(U_{f,\mathrm{min}_T}\,{\setminus}\, R_j)\simeq \pi_1(\overline U\setminus (\overline{\varsigma}\circ \chi)^{-1}(R_j))$ является свободной циклической группой, порожденной элементом $\gamma_j$, представленным простой петлей вокруг $R_j$. Тогда где $\gamma_{\,\overline C}$ – элемент, представленный простой петлей вокруг $\overline C_r$, а $a_j$ можно вычислить, последовательно используя лемму 1. Обозначим $M_{j}=\{ m\in \mathbb N\mid \operatorname{\textrm{НОД}}(m, a_j)=1\}$ для $(R_j,r_j)\in S_1$ и
$$
\begin{equation*}
M_{j_1,j_2}=\{ (m_1,m_2)\in\mathbb N^2\mid \operatorname{\textrm{НОД}}(m_1m_2, m_1a_{j_1}+m_2a_{j_2})=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}\in S_2$ и $a_j$, определенных в (16) (отметим, что если $(m_1,m_2)\in M_2$, то $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$). Для $\{ (R_{j_1},r_{j_1}),(R_{j_2},r_{j_2})\}\in S_2$ и $(R_{j_1},r_{j_1})\in S_1$ выберем координаты $(y_1,y_2)$ в $U_{f,\min_T}$ такие, что росток $R_{j_l}$ задается уравнением $y_l=0$ для $l=1,2$ (если $(R_{j_1},r_{j_1})\in S_1$, то $R_{j_2}$ – любой гладкий росток кривой, пересекающийся трансверсально с $R_{j_1}$), и для каждой пары $(m_1,m_2)\in M_{j_1,j_2}$ (соответственно для каждого $m_1\in M_{j_1}$ и $m_2=1$) рассмотрим циклическое накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (U_{f,\min_T},o_2)$, заданное функциями $x_1^{m_1}=y_1$, $x_2^{m_2}=y_2$. Легко видеть, что накрытие $F_{R_1,R_2,m_1,m_2}:=F_f\circ \vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (V,o)$ степени $\deg F_{R_1,R_2,m_1,m_2}=nm_0m_1m_2$ также принадлежит прообразу $\beta^{-1}(f)$. Пусть $\operatorname{Aut}(V,B,o)\,{=}\,\{ g\,{\in}\, \operatorname{Aut}(V)\mid g(B)\,{=}\,B,\, g(o)\,{=}\,o\}$ – группа автоморфизмов тройки $(V,B,o)$ и $\operatorname{Gal}(F_f)=\{ g\in \operatorname{Aut}(U_{f,\min_T},o_2)\mid F_f\circ g=F_f\}$ – группа автоморфизмов ростка $(U_{f,\min_T},o_2)$ над ростком $(V,o)$. Группа $\operatorname{Aut}(V,B,o)\times \operatorname{Gal}(F_f)$ действует на множествах $S_1$ и $S_2$. Обозначим через $\operatorname{orb}_j(f)$ число орбит действия группы $\operatorname{Aut}(V,B,o)\times \operatorname{Gal}(F_f)$ на $S_j$, $j=1,2$. Полученные выше результаты могут быть сформулированы в виде следующей теоремы. Теорема 4. Пусть $T$ – это один из $ADE$ типов сингулярности, росток кривой $(B,o)$ имеет тип сингулярности $T$ в точке $o$ и $f\in \mathcal{B}el$, $\deg f=n$. Тогда пересечение $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)$ не пусто тогда и только тогда, когда $f$ имеет тип $T$ и $(B,o)$ удовлетворяет второму необходимому условию. Если $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)\neq \varnothing$, то $\mathcal R_T\,{\cap}\, \beta^{-1}(f)$ состоит из минимального накрытия $F_{f,\min_T}\colon (U_{f,\min_T},o_2)\to (V,o)$ степени $nm_0$ и $(\operatorname{orb}_1(f)+\operatorname{orb}_2(f))$ бесконечных серий накрытий $F_{R_1,R_2,m_1,m_2}$, $\deg F_{R_1,R_2,m_1,m_2}=nm_0m_1m_2$. § 3. Доказательство теоремы 1Лемма 6. Пусть морфизм $f\colon C=\mathbb P^1\to \mathbb P^1$, $\deg f=n>1$, задан уравнениями $y_1=h_1(x_1,x_2)$, $y_2=h_2(x_2,x_2)$, где $h_1(x_1,x_2)$ и $h_2(x_2,x_2)$ – две взаимно простые однородные формы от переменных $x_1,x_2$. Тогда дивизор ветвления (вверху) $R_f$ морфизма $f$ задан уравнением Доказательство. Проективная прямая $C$ покрывается четырьмя окрестностями
$$
\begin{equation*}
U_{i,j}=\{ (x_1:x_2)\in C\mid x_i\neq 0,\,h_j(x_1,x_2)\neq 0\}, \qquad 1\leqslant i,j\leqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde x_{i}={x_{i}}/{x_{\widehat i}}$ – координата в $U_{\widehat i,j}$, где $\{i,\widehat i\}=\{1,2\}$. Аналогично, $\mathbb P^1$ покрыто двумя аффинными прямыми $V_j=\{ (y_1:y_2)\in\mathbb P^1\mid y_j\neq 0\}$, $j=1,2$, и $\widetilde y_{j}={y_{j}}/{y_{\widehat j}}$ является координатой в $V_{\widehat j}$. Морфизм $f$ определяет четыре рациональные функции $\widetilde y_j=f_{i,j}(\widetilde x_i)$ и, очевидно, ограничение дивизора $R_f$ на $U_{i,j}$ – это сумма критических точек функции $f_{i,j}$, считаемых с кратностями. В частности, если $i=2$ и $j=2$ (остальные случаи аналогичны), то дивизор $R_f$ в $U_{2,2}$ задан уравнением ${d\widetilde y_{1}}/{d\widetilde x_1}=0$, где $\widetilde y_1=f_{2,2}(\widetilde x_1)={h_1(\widetilde x_1,1)}/{h_2(\widetilde x_1,1)}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{d\widetilde y_{1}}{d\widetilde x_1}=\frac{h_{1x_1}'(\widetilde x_1,1)h_2(\widetilde x_1,1)-h_1(\widetilde x_1,1)h_{2x_1}'(\widetilde x_1,1)}{h_2(\widetilde x_1,1)^2}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Из формулы Эйлера $nh(x_1,x_2)=x_1h'_{x_1}(x_1,x_2)+x_2h_{x_2}'(x_1,x_2)$ для однородных форм $h(x_1,x_2)$ степени $n$ следует, что
$$
\begin{equation}
h_i(\widetilde x_1,1)=\frac{1}{n}[\widetilde x_1h'_{i\, x_1}(\widetilde x_1,1)+h_{i\, x_2}'(\widetilde x_1,1)] ,
\end{equation}
\tag{19}
$$
и, применив (19), получаем, что числитель в правой части равенства (18) совпадает с $\frac{1}{n}J_f(\widetilde x_1,1)$.
Лемма доказана. Прямые вычисления в неоднородных координатах, задающих $\sigma$-процессы с центрами в точках, доказывают следующую лемму. Лемма 7. Пусть конечное накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задано функциями где $h_j(x_1,x_2)$ – однородные формы степени $n_j$ от переменных $x_1$ и $x_2$, и пусть $\tau\colon \widetilde U\to U$ и $\sigma\colon \widetilde V\to V$ – это $\sigma$-процессы с центрами в точках $o'$ и $o$, $\tau^{-1}(o')\,{=}\,\widetilde E$ и $\sigma^{-1}(o)=E$. Тогда:
Доказывая теорему 1, мы используем определения и обозначения, введенные в предыдущих параграфах, и будем полагать, что росток $(B,o)$ кривой ветвления накрытия $F\colon (U,o') \to (V,o)$ задан уравнением $uv(u-v)=0$. Накрытие $\widetilde H_2$ (см. диаграмму ($*)$) разветвлено только в несвязном объединении $B_1\,{\sqcup}\, B_2\,{\sqcup}\, B_3$ трех ростков гладких кривых, собственных прообразах неприводимых компонент кривой $B$. Следовательно, $\widetilde W$ является гладкой поверхностью (т.е. $\widetilde W=\overline W_m$). Ограничение отображения $\widetilde H_2$ на $C=\widetilde H_2^{-1}(E)$ – это $\beta(F)$, $\deg \beta(F)=\deg \widetilde H_2:=n'$. Поэтому $(C^2)_{\widetilde W}=-n'$ и $\varsigma\colon \widetilde W\to (W,o_1)$ является минимальным разрешением особой точки $o_1\in W$ сингулярного типа $A_{n',1}$ (т.е. $q=1$). Кроме того, в диаграмме (13) отображение $\overline{\varsigma}$ является раздутием точки $\widetilde o$, $\overline{\sigma}^{-1}(\widetilde o)=\widetilde{\theta}_{n',1}^{-1}(C)=\widetilde E$ и $(\widetilde E^2)_X=-1$, а $\tau$ является раздутием точки $o_1$, $\tau^{-1}(o')=\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}^{-1}(\widetilde E)=\overline E$ и $(\overline E^2)_{\widetilde U}=-1$. В частности, все отображения в (13) являются голоморфными отображениями. Отметим также, что ограничение отображения $\widetilde{\theta}_{n',1}$ на $\widetilde E$ является изоморфизмом между кривыми $\widetilde E$ и $C$, и поэтому мы можем отождествить ограничение отображения $F_{f,\min}:=\widetilde H_2\circ \widetilde{\vartheta}_{n',1}$ на $\widetilde E$ с $\beta(F)$. Пусть накрытие $F_{f,\min}\colon (X,\widetilde o)\to (V,o)$ задано уравнениями (20). Тогда из леммы 7 следует, что $f=\beta(F)$ задано однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$ степени $n$. Следовательно, $n'=n$. Кроме того, в соответствии с замечанием 7 отождествим гомоморфизм монодромии $\widetilde H_{2*}$ с гомоморфизмом монодромии $f_*$. Если накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задано уравнениями (2), то накрытие $F_{f,\min}$ задано однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$. Поэтому, во-первых, мы можем рассматривать $F_{f,\min}$ как ограничение на шар $\mathbb B_2\subset \mathbb C^2$ морфизма $F_{f,\min}\colon \mathbb C^2\to \mathbb C^2$, заданного теми же функциями. Во-вторых, мы можем отождествить прямую $C\simeq \mathbb P^1$ в рациональной паре Белого $f\colon C\to\mathbb P^1$ с факторпространством $\mathbb C^2/\{ (x_1,x_2)\sim (\lambda x_1,\lambda x_2)\,\,\text{для}\,\, \lambda\neq 0\}$ и прямую $\mathbb P^1$ с $\mathbb C^2/\{ (y_1,y_2)\sim (\lambda y_1,\lambda y_2)\,\,\text{для}\,\, \lambda\neq 0\}$. Дивизор ветвления (вверху) $R_{F_{f,\min}}$ накрытия $F_{f,\min}$ задан уравнением (17). Следовательно, $R_{F_{f,\min}}$ является суммой прямых, проходящих через начало координат, таких, что
$$
\begin{equation*}
R_{F_{f,\min}}/\{ (x_1,x_2)\sim (\lambda x_1,\lambda x_2) \text{ для }\lambda\neq 0\}=R_f,
\end{equation*}
\notag
$$
и из леммы 6 следует, что кривая ветвления $B_{F_{f,\min}}$ накрытия $F_{f,\min}$ задается уравнением $uv(u-v)=0$, если $f\in \mathcal{B}el_3$. Поэтому тип сингулярности кривой $B_{F_{f,\min}}$ – это $\mathbf D_4$. Если $f\in \mathcal{B}el_2$, то кривая ветвления $B_{F_{f,\min}}$ накрытия $F_{f,\min}$ задана уравнением $uv=0$, и поэтому тип сингулярности кривой $B_{F_{f,\min}}$ – это $\mathbf A_1$. Но в обоих случаях кривая ветвления $B_{F}$ накрытия $F$ задана уравнением $uv(u-v)=0$, так как кривая ветвления накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ содержится в объединении двух прямых, заданных уравнениями $x_1=0$, $x_2=0$ и $\{ f(p_1), f(p_2)\}\cup B_f=\{ 0,1,\infty\}$ для $p_1=(0,1)$, $p_2=(1,0)\in C$. Обратно, если накрытие $F\in \mathcal R_{\mathbf D_4}$ задано уравнениями (20), то из вышеприведенных рассмотрений следует, что $f=\beta(F)$ задана однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$. Рассмотрим накрытие $F'_{f,\min}\colon (X',\widetilde o)\to (V,o)$, заданное теми же однородными формами $u=h_1(x_1,x_2)$ и $v=h_2(x_2,x_2)$, и рассмотрим диаграмму (13) для $F'_{f,\min}$, в которой $\vartheta_{m_1,m_2}=\vartheta_{1,1}$ и в которой мы обозначим поверхности $W$, $\widetilde W$, $\widetilde X$ и накрытия $H_2$, $\widetilde H_2$ и т.д. теми же буквами с добавлением штриха ($W'$, $\widetilde H_2'$ и т.д.). Тогда из лемм 6 и 7 следует, что $f'=\beta(F'_{f,\min})\colon C'\to E$ задается теми же однородными формами $y_1=h_1(x_1,x_2)$ и $y_2=h_2(x_2,x_2)$. В соответствии с замечанием 7 накрытия $\widetilde H_2$ и $\widetilde H'_2$ имеют один и тот же гомоморфизм монодромии $f_*=f'_*$. Поэтому из теоремы Грауэрта–Реммерта–Римана–Штейна следует, что существуют биголоморфные изоморфизмы $\varphi$: $\widetilde W\to\widetilde W'$ и $\psi\colon W\to W'$ такие, что $\widetilde H_2=\widetilde H_2'\circ \varphi$ и $H_2=H_2'\circ \psi$, и поэтому мы можем отождествить $\widetilde W$ с $\widetilde W'$ и $W$ с $W'$ с помощью этих изоморфизмов. Следовательно, существуют изоморфизмы $\widetilde{\varphi}\colon \widetilde X\to \widetilde X'$ и $\widetilde{\psi}\colon X\to X'$ такие, что $\varphi\mathbin{\circ}\widetilde{\theta}_{n,1}\,{=}\,\widetilde{\theta}'_{n,1} \mathbin{\circ}\widetilde{\varphi}$ и $\psi\mathbin{\circ}{\theta}_{n,1}\,{=}\,\theta'_{n,1}\,{\circ}\,\widetilde{\psi}$, так как $\widetilde{\theta}_{n,1}\,{=}\,\theta_{n,1}\colon \widetilde X\setminus \widetilde E=X\setminus\widetilde o\to \widetilde W\,{\setminus}\, C\,{=}\,W\,{\setminus}\, o_1$ и $\widetilde{\theta}'_{n,1}=\theta'_{n,1}\colon \widetilde X'\,{\setminus}\, \widetilde E'=X'\,{\setminus}\,\widetilde o'\to \widetilde W'\,{\setminus}\, C'=W'\,{\setminus}\, o'_1$ – универсальные неразветвленные накрытия. Поэтому мы можем отождествить $\widetilde X$ с $\widetilde X'$ и $X$ с $X'$. В результате получаем, что $F_{f,\min}\colon X\to W$ и $F'_{f,\min}\colon X'\to W'$ эквивалентны. Если $m_1$ или $m_2$, или оба из них больше $1$ в накрытии $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$, то мы можем получить циклическое накрытие $\vartheta'_{m_1,m_2}\colon (U',o'')\,{\to}\,(X',\widetilde o')$, разветвленное в образах кривых ветвления накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ при голоморфном изоморфизме $\widetilde{\psi}$. Очевидно, накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ и $\vartheta'_{m_1,m_2}$ являются эквивалентными. Поэтому композиции $F=F_{f,\min}\circ\vartheta_{m_1,m_2}$ и $F'=F'_{f',\min}\circ\vartheta'_{m_1,m_2}$ эквивалентных накрытий также являются эквивалентными, и легко видеть, что существует замена координат в $(U',o'')$ такая, что накрытие $F'$ задается уравнениями (2). § 4. Доказательство теоремы 24.1.Пусть $f=\beta (F)\in\mathcal{B}el_2$, $\deg f=n$, для накрытия $F$, разветвленного в ростке кривой $(B,o)$, имеющего один из $ADE$ типов сингулярности. Не ограничивая общности, мы можем предполагать, что $f$ в неоднородных координатах задана уравнением $y=x^n$ и ее множество точек ветвления $B_f=\{ 0,\infty\}\subset \{ 0,1, \infty\}$. Тогда в общем случае накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ является циклическим накрытием, разветвленным в двух из трех хвостов кривой $\widetilde B$, $\deg \widetilde H_2=n$, а накрытие $\widetilde H_1=\widetilde{\theta}_{n,q}\circ\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}\colon \widetilde U\to \widetilde W$ также является циклическим накрытием и $\widetilde{\vartheta}_{m_1,m_2}$ должно быть разветвлено по крайней мере в одной из неприводимых компонент прообраза третьего хвоста. 4.2. Случаи $\mathcal R_{\mathbf A_{0}}$ и $\mathcal R_{\mathbf A_{1}}$Легко видеть, что если $F\in (\mathcal R_{\mathbf A_0}\cup\mathcal R_{\mathbf A_1})\cap\beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$, $\deg \beta(F)=n$, то накрытие $F$ эквивалентно одному из следующих ростков накрытий степени $n^2m_1m_2$, заданных функциями $u=z^{nm_1}$, $v=w^{nm_2}$ с некоторыми $m_1\geqslant m_2\geqslant 1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ (если $F\in \mathcal R_{\mathbf A_0}$, то $n=m_2=1$). 4.3. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k+1}}$, $k\geqslant 1$Не ограничивая общности, мы можем предполагать что росток кривой $(B,o)$ задан уравнением $u(u-v^{k+1})=0$ и $u=0$ – это уравнение неприводимой компоненты $B_1$ ростка $B$. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$, имеющего тип сингулярности $\mathbf A_{2k+1}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 1 (в этом случае $E=E_{k+3}$). Перенумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1$, $\widetilde B_2=B_2$ и $\widetilde B_3=E_{3}\cup\dots\cup E_{k+2}$. Тогда $\widetilde H_2$ разветвлено либо в $B_1\cup B_2$, либо в $B_l\cup \bigl(\bigcup_{j=3}^{k+2}E_j\bigr)$, где $l=1$ или $l=2$. Покажем, что первый случай невозможен. Действительно, если $\widetilde H_2$ разветвлено в $B_1\cup B_2$, то $n$ должно быть равно $2$, так как $\widetilde H_2^{-1}\bigl(\bigcup_{j=3}^{k+3}E_j\bigr)$ должно быть цепью рациональных кривых, удовлетворяющих второму необходимому условию. Но если $n=2$, то $\widetilde H_1$ должно ветвиться только в $\widetilde H_2^{-1}\bigl(\bigcup_{j=3}^{k+3}E_j\bigr)=\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$, где $\widetilde E_{k+1}=\widetilde H_2^{-1}(E_{k+3})=C$. В этом случае $\widetilde W$ является неособой поверхностью и $(\widetilde E_j^2)_{\widetilde W}=-2$ для всех $j$. Из леммы 2 следует, что $\pi_1\bigl(N_T\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j\bigr)\bigr)\simeq \mu_{2k+2}$, где $N_T$ – это достаточно малая трубчатая окрестность кривой $\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$. Из теоремы 3 следует, что группа $\pi_1\bigl(N_T\setminus \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j\bigr)\bigr)$ порождается элементом $\gamma_{\widetilde E_1}$, представленным простой петлей вокруг кривой $\widetilde E_1$, и $\gamma_{C}=\gamma_{\widetilde E_1}^{k+1}$, где $\gamma_C$ – элемент, представленный простой петлей вокруг кривой $\widetilde E_{k+1}$. Следовательно, в этом случае второе необходимое условие не выполнено, так как $\gamma_{C}=\gamma_{\widetilde E_1}^{k+1}$ не порождает группу $\mu_{2k+2}$. Во втором случае, не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1= B_1$ и $\widetilde B_3=\bigcup_{j=3}^{k+2}E_j$, а кроме того предполагать, что $n=\deg \widetilde H_2$ является делителем числа $k+1$, $k+1=nm_0$, так как $\widetilde{\pi}^0_3\simeq \mu_{k+1}$. Рассмотрим поверхность $\widetilde W_m$ и кривую $\overline B\subset \overline W_m$ (см. диаграмму ($*$)). Прообраз $(H_2\mathbin{\circ} \varsigma_m)^{-1}(B_2)=\bigsqcup_{j=1}^n\overline B_{2,j}$ является несвязным объединением $n$ ростков кривых, каждый из которых пересекается трансверсально с $\overline C$, а $(H_2\mathbin{\circ}\varsigma_m)^{-1}(B_1)=\overline B_{1,1}$ является неприводимым ростком кривой. Согласно лемме 5 существует три возможности для кривой $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ (см. обозначения, введенные в п. 2.1). Первая (в этом случае $m_0>1$) – это когда $\overline B^{\,0}=\overline C\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{m_0-1}\overline E_j\bigr)$, кривая $\overline B_1$ является одной из неприводимых компонент прообраза $(H_2\mathbin{\circ} \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ (скажем, $\overline B_{2,1}$) и $\overline B_2=\varnothing$. В этом случае $(\overline E_j^{\,2})_{\overline W_m}=-2$ и $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}=-1$. Во втором случае (в этом случае $m_0=1$) $\overline B_1=\overline B_{1,1}$ и $\overline B_2$ – одна из неприводимых компонент прообраза $(H_2\,{\circ}\, \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ и $\overline B^{\,0}=\overline C$, $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}\,{=}\,{-}1$. В третьем случае (в этом случае $m_0=1$) $\overline B_1$ и $\overline B_2$ – это две неприводимые компоненты прообраза $(H_2\circ \varsigma_m)^{-1}(B_2)$ и $\overline B^{\,0}=\overline C$, а $(\overline C^{\,2})_{\overline W_m}\,{=}\,{-}1$. Во всех трех случаях $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности и накрытие $H_2$ задано функциями $u=y_1^n$ и $v=y_2$, где $y_1$, $y_2$ – координаты в $(W,o_1)$. Имеем $H_2^{-1}(B_2)=\bigcup_{j=1}^nB_{2,j}$, где ростки $B_{2,j}$ заданы уравнениями $y_1-\omega_jy_2^{m_0}=0$, $\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$. Возможно, после скалярных замен координат в $(V,o)$ и $(W,o_1)$ мы можем считать, что одна из неприводимых ветвей прообраза $H_2^{-1}(B_2)$, входящих в кривую ветвления накрытия $H_1$, задается уравнением $y_1-y_2^{m_0}=0$. В первом случае положим $x_1=y_1-y_2^{m_0}$ и $x_2=y_2$. Тогда легко видеть, что накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ задается функциями $z^m=x_1$ и $w=x_2$, где $z$, $w$ – координаты в $(U,o')$ и $m>1$. Второе необходимое условие (ввиду леммы 1) влечет равенство $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_0,m)=1$. Следовательно, $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями где $n,m,m_0>1$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_0,m)=1$.Во втором случае положим $x_1=y_1$ и $x_2=y_2-y_1$. Тогда легко видеть, что накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$, где $z$, $w$ – координаты в $(U,o')$, а $m_1\geqslant 1$, $m_2>1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$. Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями где $m_1\geqslant 1$, $n,m_2>1$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$.В третьем случае накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено в двух ростках кривых, заданных уравнениями $y_1-y_2=0$ и $y_1-\omega_jy_2=0$ при некотором $j$, $1\leqslant j\leqslant n-1$. Положим $x_1=(\omega_j-1)^{-1}(y_1-y_2)$ и $x_2=(\omega_j-1)^{-1}(y_1-\omega_jy_2)$. Тогда накрытие $H_1\colon (W,o_1)\to (V,o)$ задано функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$, где $z$, $w$ – координаты в $(U,o')$ и $m_1$, $m_2>1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$. Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями
$$
\begin{equation*}
u=(\omega_jz^{m_1}-w^{m_2})^n, \qquad v=z^{m_1}-w^{m_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $n, m_1,m_2>1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ и $\omega_j=\exp(2\pi j i/n)$, $1\geqslant j\geqslant n-1$. 4.4. Случай $\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}$, $k\geqslant 1$Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf A_{2k}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 2 (в этом случае $E=E_{k+2}$). Покажем, что в этом случае $\bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\bigr)\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)=\varnothing$. Действительно, предположим, что существует накрытие $F\in \mathcal R_{\mathbf A_{2k}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ для некоторого $k\geqslant 1$. Тогда (см. диаграмму ($*$)) $\widetilde H_2$ может быть разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$, либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$, где $\widetilde B_1=E_{k+3}$, $\widetilde B_2=E_{2}\cup\dots\cup E_{k+1}$ и $\widetilde B_3=B_1$. Из лемм 2 и 3 следует, что $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_2$ и $\widetilde{\pi}_2\simeq \mu_{2k+1}$. Следовательно, $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, так как $\operatorname{\textrm{НОД}}(2, 2k+1)=1$. Предположим, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$. Тогда $\deg \widetilde H_2$ является дивизором числа $2k+1$, и поэтому двойственный граф кривой $\widetilde H_2^{-1}(E_{k+2}\cup E_{k+3})$ не является деревом, т.е. не выполнено второе необходимое условие. Предположим, что $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$. Тогда $\deg \widetilde H_2=2$ и двойственный граф кривой $\widetilde H_2^{-1}(\widetilde B_{2}\cup E_{k+2})=\bigcup_{j=1}^{2k+1}\widetilde E_j$ (здесь $\widetilde E_{k+1}=\widetilde H_2^{-1}(E)\,{=}\,C$) является деревом с весами $[\,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1},3,2,3,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1}\,]$. Следовательно, $\overline B^{\,0}\,{=}\bigcup_{j=1}^{2k+1}\overline E_j\,{\subset} \overline W_m$ является деревом с весами $[\,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1},3,1,3,\underbrace{2,\dots,2}_{k-1}\,]$, так как $(\widetilde H_2^{-1}(E_{k+3}), \widetilde H_2^{-1}(E_{k+3}))_{\widetilde W}=-1$. Из теоремы 3 следует, что $\gamma_{\,\overline C}=1$ в $\pi_1(\overline W_m\setminus \overline B^{\,0})$, т.е. в этом случае также не выполнено второе необходимое условие. 4.5. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+3}}$, $k\geqslant 1$Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf D_{2k+3}$, $k\geqslant 1$, изображен на рис. 4 (в этом случае $E=E_{k+3}$). Мы можем предполагать, что росток $(B,o)$ задан уравнением $u(v^2-u^{2k+1})=0$. Циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to\widetilde V$ (см. диаграмму ($*$)) может быть разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$, либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$, где $\widetilde B_1=B_1\cup E_{3}\cup\dots\cup E_{k+2}$, $\widetilde B_2=E_{k+4}$ и $\widetilde B_3=B_2$, но, используя те же самые аргументы, как и в п. 4.4, легко показать, что накрытие $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено ни в $\widetilde B_1\cup\widetilde B_3$, ни в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$. Из замечания 6 и лемм 2 и 3 следует, что $\widetilde{\pi}_1$ является бесконечной циклической группой, порожденной элементом $e_{k+2}$, а $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_{2k+1}$ и $\widetilde{\pi}^0_2\simeq \mu_{2}$. Поэтому если $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, то $\deg \widetilde H_2=2$ и $\widetilde H_{2*}(e_{k+2})$ порождает группу монодромии $G_{\widetilde H_2}\simeq \mu_2$. Применяя копредставление группы $\widetilde{\pi}_1$, полученное с помощью теоремы 3, нетрудно показать, что $\widetilde W$ имеет особые точки типа $\mathbf A_1$ над точками пересечения неприводимых компонент кривой $\widetilde B$ и кривая $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ является цепью рациональных кривых, $\overline B^{\,0}=\overline C\cup \bigl(\bigcup_{j=1}^{2k}\overline E_j\bigr)$, веса в ее двойственном графе – это $[\underbrace{2,\dots,2}_{2k},1]$. Поэтому $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности и накрытие $H_2\colon (W,o_1)\to (V,o)$ задано функциями $y_1^2=u$ и $y_2=v$, где $y_1$, $y_2$ – координаты в $(W,o_1)$. Прообраз $H_2^{-1}(B_2)=B_{2,1}\cup B_{2,2}$ является объединением двух ветвей, заданных уравнениями $y_2-y_1^{2k+1}=0$ и $y_2+y_1^{2k+1}=0$. Циклическое накрытие $H_2\colon ((U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено с кратностью $m_1$ в кривой $H_2^{-1}(B_1)$, заданной уравнением $y_1=0$, и разветвлено с кратностью $m_2$ в одной из неприводимых компонент прообраза $H_2^{-1}(B_2)$. Не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что $H_1$ разветвлено в $B_{2,1}$. Положим $x_1\,{=}\,y_1$ и $x_2\,{=}\,y_2\,{-}\,y_1^{2k+1}$. Тогда $H_1$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$. Следовательно, $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями где $k$, $m_1\geqslant 1$, $m_2>1$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$. Заметим, что $\varsigma_m\colon \overline W_m\to (W,o_1)$ является композицией $2k+1$ $\sigma$-процессов, раздувающих точку $o_1$ и точки, лежащие в собственном прообразе кривой $B_{2,2}$, и таких, что $\overline C$ является исключительной кривой последнего раздутия. Поэтому (в силу леммы 1) из второго необходимого условия следует, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_2,2k+1)=1$.4.6. Случаи $\mathcal R_{\mathbf E_{6}}$ и $\mathcal R_{\mathbf E_{8}}$Графы $\Gamma(\widetilde B)$ ростков кривых $(B,o)$ сингулярных типов $\mathbf E_{6}$ и $\mathbf E_8$ изображены на рис. 5 и рис. 7. Покажем, что $\mathcal R_{\mathbf E_{6}}\,{\cap}\, \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)\,{=}\,\varnothing$ (доказательство того, что $\mathcal R_{\mathbf E_{8}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)=\varnothing$, аналогично и поэтому будет опущено). Предположим, что $F\in \mathcal R_{\mathbf E_{6}}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$. Тогда (см. диаграмму ($*$)) накрытие $\widetilde H_2$ может быть разветвлено либо $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, либо $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$, либо $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$, где $\widetilde B_1=E_{2}$, $\widetilde B_2=E_{4}\cup E_{5}$ и $\widetilde B_3=B_1$. Из теоремы 3 следует, что $\widetilde{\pi}^0_1\simeq \mu_4$ и $\widetilde{\pi}_2\simeq \mu_{3}$. Поэтому $\widetilde H_2$ не может быть разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, так как $\operatorname{\textrm{НОД}}(4, 3)=1$. Если $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$ или в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$, то легко видеть, что двойственный граф кривой $\overline B^{\,0}\subset \overline W_m$ не является деревом, т.е. второе необходимое условие не выполнено. 4.7. Случай $\mathcal R_{\mathbf E_{7}}$Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf E_{7}$, заданного уравнением $u(v^2-u^3)=0$, изображен на рис. 6 (в этом случае $E=E_{4}$). Перенумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1\cup E_5$, где росток $B_1$ задан уравнением $u=0$, а $\widetilde B_2=E_3$ и $\widetilde B_3=B_2$. Аналогично рассмотренным выше случаям легко показать, что накрытие $\widetilde H_2$ должно быть разветвлено в $B_1\cup B_2$, $\deg \widetilde H_2=3$, и в этом случае $(W,o_1)$ является ростком гладкой поверхности, а $H_2$ задается функциями $u=y_1^3$ и $v=y_2$. Тогда $H_1^{-1}(B_2)=B_{2,1}\cup B_{2,2}\cup B_{2,3}$, где ростки $B_{2,j}\subset W$ задаются в координатах $y_1$, $y_2$ в $(W,o_1)$ уравнениями $y_2-\omega_jy_1^2=0$, $\omega_j=\exp(2\pi ji/3)$, $j=1,2,3$. Накрытие $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено с кратностью $m_2>1$ в одной из неприводимых компонент прообраза $H_2^{-1}(B_2)$ и, возможно, в $H_2^{-1}(B_1)$. Как и выше, не ограничивая общности изложения, мы можем предположить, что $H_1\colon (U,o')\to (W,o_1)$ разветвлено в ростке $B_{2,3}$. Положим $x_1=y_1$ и $x_2=y_2-y_1^2$. Тогда $H_1$ задается функциями $z^{m_1}=x_1$ и $w^{m_2}=x_2$, где $z$, $w$ – координаты в $(U,o')$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$. Следовательно, накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ задается функциями где $m_1\geqslant 1$, $m_2>1$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$.4.8. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{4}}$Из доказательства теоремы 3 следует, что росток накрытия $F\in \mathcal R_{\mathbf D_4}\cap \beta^{-1}(\mathcal{B}el_2)$ эквивалентен одному из накрытий, заданных следующими парами функций: или
$$
\begin{equation}
u=(z^{m_1}-w^{m_2})^n, \qquad v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^n,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $n\geqslant 2$, $m_1$, $m_2\geqslant 1$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$, $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$, $1\leqslant j\leqslant n-1$. 4.9. Случай $\mathcal R_{\mathbf D_{2k+2}}$, $k\geqslant 2$Не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что росток кривой $(B,o)$ задан уравнением $uv(v-u^{k})=0$, где $u=0$ – уравнение неприводимой компоненты $B_1$ ростка $B$ и $v=0$ – уравнение неприводимой компоненты $B_2$. Граф $\Gamma(\widetilde B)$ ростка кривой $(B,o)$ сингулярного типа $\mathbf D_{2k+2}$, $k\geqslant 2$, изображен на рис. 3 (в этом случае $E=E_{k+3}$). Занумеруем хвосты кривой $\widetilde B$ следующим образом: $\widetilde B_1=B_1\cup E_4\cup \dots\cup E_{k+2}$, $\widetilde B_2=B_2$ и $\widetilde B_3=B_{3}$. Циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ разветвлено либо в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, либо в $\widetilde B_2\cup\widetilde B_3$ (случай, когда $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_3$, совпадает со случаем, когда $\widetilde H_2$ разветвлен в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, так как эти случаи отличаются друг от друга на замену координат в $(V,o)$). Как и в п. 4.3, легко показать, что случай, когда накрытие $\widetilde H_2$ разветвлено в $\widetilde B_2\cup \widetilde B_3$, невозможен. Рассмотрим случай, когда циклическое накрытие $\widetilde H_2\colon \widetilde W\to \widetilde V$ (см. диаграмму ($*$)) разветвлено в $\widetilde B_1\cup \widetilde B_2$, $\deg \widetilde H_2=n$. Пусть $n=n_1k_1$ и $k=k_1k_2$, где $k_1=\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k)$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k_2)=1$. Группа $\widetilde{\pi}_1$ порождается элементом $\gamma_{E_{k+2}}$, представленным простой петлей вокруг кривой $E_{k+2}$, и из теоремы 3 следует, что $\gamma_{B_1}=\gamma^k_{E_{k+2}}$, где $\gamma_{B_1}$ – элемент в $\widetilde{\pi}_1$, представленный простой петлей вокруг ростка $B_{1}$. Группа монодромии $G_{\widetilde H_2}\simeq \mu_n\subset\mathbb S_n$ порождается элементом $g=\widetilde H_{2*}(\gamma_{E_{k+2}})$. Элемент $\widetilde H_{2*}(\gamma_{B_2})=g^{-1}$ также порождает группу $\mu_n$, где $\gamma_{B_2}$ – это элемент в $\widetilde{\pi}_1$, представленный простой петлей вокруг ростка $B_{2}$, и порядок элемента $\widetilde H_{2*}(\gamma_{B_1})=g^{k}$ равен $n_1$. Следовательно, накрытие $\widetilde H_2$ разветвлено в $B_1$ с кратностью $n_1$ и разветвлено в $B_2$ с кратностью $n$. В результате мы получаем, что $H_2$ разветвлено только в $B_1$ с кратностью $n_1$ и в $B_2$ с кратностью $n$. В диаграмме (13) накрытие $\theta_{n',q}\colon (X,\widetilde o)\to (W,o_1)$ разветвлено только в точке $o_1$. Поэтому накрытие $F_{f,\min}=H_2\circ \theta_{n',q}\colon (X,\widetilde o)\to (V,o)$ задается в некоторых координатах $(x_1,x_2)$ в $(X,\widetilde o)$ функциями так как $(X,\widetilde o)$ является ростком гладкой поверхности и $H_2\circ \theta_{n',q}$ разветвлено в дивизоре с нормальными пересечениями $B_1\cup B_2$. Прообраз $F^{-1}_{f,\min}(B_3)=\bigcup_{j=1}^nB_{3,j}$ является объединением $n$ гладких кривых, заданных уравнением $x_2^n- x_1^{n_1k}=\prod_{j=1}^n(x_2-\omega_jx_1^{k_2})=0$, где $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$, $j=1,\dots, n$. Накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}\colon (U,o')\to (X,\widetilde o)$ разветвлено не более чем в двух неприводимых кривых, одна из которых принадлежит прообразу $F^{-1}_{f,\min}(B_3)$ (не ограничивая общности, мы можем предполагать, что она задана уравнением $y_2\,{:=}\,x_2\,{-}\,x_1^{k_2}=0$). Если кривая ветвления накрытия $\vartheta_{m_1,m_2}$ состоит из двух неприводимых компонент, то вторая компонента является неприводимой компонентой прообраза либо кривой $B_1$, либо кривой $B_2$, либо кривой $B_3$. Поэтому мы имеем три возможности: вторая неприводимая компонента задана либо уравнением $y_1:=x_1=0$, либо $y_1:=x_2=0$ (если $k_2=1$), либо $y_1:=x_2-\omega_jx_1^{k_2}\,{=}\,0$ для некоторого $j=1,\dots, n-1$ (если $k_2=1$), и накрытие $\vartheta_{m_1,m_2}$ задано функциями $y_1=z^{m_1}$ и $y_2=w^{m_2}$. Применив лемму 1, получаем, что второе необходимое условие эквивалентно условию $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(m_2,k_2)=1$ в первом случае и $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=1$ во втором и третьем случаях. В результате мы получаем, что накрытие $F\colon (U,o')\to (V,o)$ эквивалентно одному из следующих накрытий, заданных функциями: в первом случае; во втором случае;
$$
\begin{equation*}
u=(z^{m_1}-w^{m_2})^{n_1}, \qquad v=(z^{m_1}-\omega_jw^{m_2})^{n_1k_1}
\end{equation*}
\notag
$$
в третьем случае, где $k_1k_2\geqslant 2$, $n=n_1k_1\geqslant 2$, $m_1,m_2\geqslant 1$, $\omega_j=\exp(2\pi ji/n)$, $j=1,\dots, n-1$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m_1,m_2)=\operatorname{\textrm{НОД}}(nm_2,k_2)=1$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul21} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|