| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Об автоморфизмах квазигладких взвешенных полных пересечений В. В. Пржиялковскийab, К. А. Шрамовac a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва c Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9451 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеОдин из способов получения интересных примеров многообразий Фано – строить их как полные пересечения во взвешенном проективном пространстве. Читатель может найти определения и основные свойства взвешенных проективных пространств и полных пересечений в них в работах [7] и [12] (или в § 2 настоящей статьи). Эта конструкция дает возможность проследить за многими свойствами получающихся многообразий. В частности, известна следующая теорема о группе автоморфизмов взвешенных полных пересечений. Теорема 1.1 (см. [2; теорема 1.3]). Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение размерности $n$. Предположим, что либо $n\geqslant 3$, либо $K_X\neq 0$. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ конечна, за исключением случаев, когда $X$ изоморфно $\mathbb{P}^n$ или квадрике в $\mathbb{P}^{n+1}$. Из теоремы 1.1, в частности, вытекает такое утверждение. Следствие 1.2. Пусть $X$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$, либо $K_X\neq 0$. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ редуктивна. Несмотря на то, что гладкие многообразия являются наиболее естественным объектом для исследования, во многих случаях имеет смысл рассматривать взвешенные полные пересечения с немного более слабым свойством, а именно квазигладкие взвешенные полные пересечения (см. § 2). Основная цель настоящей статьи – доказать следующий результат о группах автоморфизмов квазигладких взвешенных полных пересечений. Теорема 1.3. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$, либо $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$, либо $X$ является рациональной кривой. Тогда $\operatorname{Aut}(X)$ – линейная алгебраическая группа. Далее, пусть $\Gamma$ – редуктивная подгруппа в $\operatorname{Aut}(X)$. Тогда существует действие $\Gamma$ на $\mathbb{P}$, индуцирующее действие $\Gamma$ на $X$. Отметим, что утверждение теоремы 1.3 не выполняется для кривых рода $1$, являющихся полными пересечениями (см. пример 4.2). Применяя следствие 1.2 и теорему 1.3, получаем следующее утверждение. Следствие 1.4. Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 3$, либо $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$, либо $X$ является рациональной кривой. Тогда существует действие $\operatorname{Aut}(X)$ на $\mathbb{P}$, индуцирующее действие $\operatorname{Aut}(X)$ на $X$. Было бы интересно получить ответ на следующий вопрос (ср. пример 5.2). Вопрос 1.5. Выполняется ли второе утверждение теоремы 1.3 для всей группы автоморфизмов $\Gamma=\operatorname{Aut}(X)$ без предположения о редуктивности группы $\Gamma$? План работы таков. В § 2 собраны вспомогательные факты о взвешенных полных пересечениях. В § 3 доказано несколько вспомогательных результатов о группах автоморфизмов взвешенных полных пересечений. В § 4 доказывается теорема 1.3. В § 5 приводятся примеры, показывающие, что группа автоморфизмов квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения Фано может быть бесконечной и даже нередуктивной (так что утверждение следствия 1.2 в этом случае не выполняется). БлагодарностиМы благодарны Т. Окаде, Ю. Г. Прохорову, Д. А. Тимашеву, Р. Хартсхорну и И. А. Чельцову за полезные обсуждения. Также мы благодарим анонимного рецензента, который обнаружил несколько пробелов в первой версии статьи. § 2. Предварительные сведенияВ этом параграфе собраны некоторые вспомогательные факты о взвешенных полных пересечениях. Положим $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)=\operatorname{Proj}\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$, где вес переменной $x_i$ равен $a_i$. Без потери общности можно предполагать, что $a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$. Мы будем использовать обозначение
$$
\begin{equation*}
(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})= (\underbrace{a_0,\dots,a_0}_{r_0},\dots,\underbrace{a_M,\dots,a_M}_{r_M}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_0,\dots,r_M$ – положительные целые числа. Если некоторые из чисел $r_i$ равны $1$, то для простоты мы будем их опускать. Подмногообразие $X\subset\mathbb{P}$ коразмерности $k\geqslant 1$ называется взвешенным полным пересечением мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$, если его взвешенный однородный идеал в $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$ порождается регулярной последовательностью, состоящей из $k$ однородных элементов степеней $d_1,\dots,d_k$. Регулярность такой последовательности эквивалентна требованию того, что коразмерность (каждой неприводимой компоненты) многообразия $X$ равна $k$; см., например, [20; § 2]. Мы наложим некоторые естественные ограничения на $\mathbb{P}$ и $X$ для того, чтобы избежать слишком плохих полных пересечений. Многообразие $X$ называется хорошо сформированным, если выполнены два следующих условия. Во-первых, само $\mathbb{P}$ является хорошо сформированным, т.е. наибольший общий делитель любых $N$ весов $a_i$ равен $1$. Во-вторых, $\operatorname{codim}_X ( X\cap\operatorname{Sing}\mathbb{P})\geqslant 2$. Отметим, что особое множество пространства $\mathbb{P}$ является объединением некоторых координатных стратов. Многообразие $X$ является пересечением с линейным конусом, если $d_j=a_i$ для некоторых $i$ и $j$. Замечание 2.1. Пусть $X\subset\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$, где $a_0<\dots<a_M$, – взвешенное полное пересечение, не являющееся пересечением с линейным конусом. Имеем $\mathbb{P}\cong\operatorname{Proj}(R(\mathbb{P}))$, где так что $x_{i,p}$ является координатой веса $a_i$ на $\mathbb{P}$. В частности, ни одна из координат $x_{i,p}$ не равна тождественно нулю на $X$. Действительно, если $x_{i,p}$ обращается в нуль на $X$, то она содержится во взвешенном однородном идеале $I\subset R(\mathbb{P})$ многообразия $X$. С другой стороны, $x_{i,p}$ не содержится в идеале $I'\subset I$, порожденном координатами $x_{0,1},\dots,x_{i-1,r_{i-1}}$ меньших весов. Таким образом, одно из уравнений, определяющих $X$, должно иметь степень, равную $a_i$, что противоречит предположению. Сделав, если нужно, замену координат, из этого можно заключить, что если взвешенный однородный многочлен $f$ взвешенной степени $a_i$ обращается в нуль на $X$, то $f$ зависит только от переменных $x_{0,1},\dots,x_{i-1,r_{i-1}}$ весов, меньших $a_i$. Каждому подмногообразию во взвешенном проективном пространстве естественным образом соответствует конус над ним. А именно, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]\cong\mathbb{A}^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbb{P}=(\mathbb{A}\setminus \{0\})/\mathbb{C}^*$, где $\mathbb{C}^*$ естественным образом действует с весами $a_0, \dots,a_N$. Обозначим проекцию $\mathbb{A}\setminus \{0\}\to \mathbb{P}$ через $\pi$. Для подмногообразия $X\subset\mathbb{P}$ определим $C_X$ как замыкание в $\mathbb{A}$ прообраза $\pi^{-1}(X)\subset\mathbb{A}\setminus\{0\}$ многообразия $X$; будем называть $C_X$ аффинным конусом над $X$. Подмногообразие $X$ называется квазигладким, если аффинный конус над ним гладок вне вершины. Лемма 2.2 (ср. [10; теорема 3.4]). Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – взвешенное полное пересечение положительной размерности. Тогда $X$ связно. Более того, если $X$ квазигладко, то оно неприводимо. Доказательство. Докажем сначала утверждение о связности. Предположим, что $X$ несвязно. Пусть $X=X'\cap X''$, где $X'$ и $X''$ – объединения неприводимых компонент многообразия $X$ такие, что $X'\cap X''=\varnothing$. Тогда $C_X=C_X'\cup C_X''$, где $C_X'$ и $C_X''$ – конусы над $X'$ и $X''$ соответственно. С другой стороны, конус $C_X$ является полным пересечением в аффинном пространстве $\mathbb{A}$. В частности, он коэн-маколеев; см. [8; п. 18.5]. Более того, он, являясь конусом, очевидно, связен. По теореме связности Хартсхорна (см. [8; теорема 18.12]) пересечение $C_X'\cap C_X''$ имеет коразмерность $1$ в $C_X$. Так как размерность каждой неприводимой компоненты конуса $C_X$ равна $\dim (X)+1\geqslant 2$, то $C_X'\cap C_X''$ содержит точки, отличные от вершины конуса $C_X$. Это значит, что $X'\cap X''\neq\varnothing$, что противоречит предположению.
Теперь предположим, что $X$ квазигладко. Предположим, что оно приводимо. Пусть $X_1$ – одна из его неприводимых компонент. Пусть $X_2$ – другая компонента, пересекающая $X_1$ в некоторой точке $P$, существование которой гарантируется связностью $X$. Пусть $C_{X_1}, C_{X_2}\subset C_X$ – конусы над этими компонентами. Тогда пересечение конусов $C_{X_1}$ и $C_{X_2}$ содержит аффинный конус над точкой $P$ и, таким образом, $C_X$ особо в точках этого конуса. Получаем противоречие с квазигладкостью. Лемма доказана. Замечание 2.3. Альтернативное доказательство первого утверждения леммы 2.2 может быть получено из теоремы лефшецова типа; см. [14; предложение 1.4]. Заметим, что общее квазигладкое взвешенное полное пересечение размерности не меньше $3$ изоморфно квазигладкому хорошо сформированному взвешенному полному пересечению, не являющемуся пересечением с линейным конусом; см. [3; предложение 2.9]. Несложно описать особенности квазигладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений. Предложение 2.4 (см. [6; предложение 8]). Особым множеством квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения $X\subset \mathbb{P}$ является его пересечение с особым множеством пространства $\mathbb{P}$. Замечание 2.5. В предложении 2.4 можно опустить предположение, что $X$ является взвешенным полным пересечением. Доказательство в этом случае буквально повторяет доказательство предложения 8 из [6]. Следствие 2.6. Квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение размерности $1$ гладко. Обратное утверждение к следствию 2.6 верно в любой размерности. Лемма 2.7 (см. [19; следствие 2.14]). Гладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение $X\subset\mathbb{P}$ квазигладко. Если взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}$ не хорошо сформировано, то утверждение леммы 2.7 может быть неверным. Пример 2.8. Гиперповерхность $X$ в $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1,2^n)$ с координатами $x_0,\dots,x_n$, заданная уравнением $x_0^2x_1+x_2^2+\dots+x_n^2=0$, не квазигладка, так как конус над ней в $\mathbb{A}^{n+1}$ особ в точке $(0,1,0,\dots,0)$. С другой стороны, гиперповерхность $X$ изоморфна квадрике в $\mathbb{P}^n\cong \mathbb{P}(1,2^n)$ с однородными координатами $z_0,\dots,z_n$, заданной уравнением $z_0z_1+z_2^2+\dots+z_n^2=0$, и, таким образом, гладко. Представляется интересным вопрос: существует ли гладкое (но не хорошо сформированное) взвешенное полное пересечение $X$ в хорошо сформированном взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}$ такое, что $X$ не квазигладко? Следующий пример, предложенный нам И. А. Чельцовым и Ю. Г. Прохоровым, дает положительный ответ на этот вопрос. Пример 2.9. Рассмотрим гиперповерхность $X$ в хорошо сформированном взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}=\mathbb{P}(2,3,5^n)$ с координатами $x_0,\dots, x_{n+1}$, заданную уравнением $x_0^3=x_1^2$. Очевидно, она не квазигладка (и не хорошо сформирована). Мы утверждаем, что она гладка. Действительно, это утверждение достаточно проверить в окрестности подмножества, определенного уравнениями $x_0=x_1=0$. Это подмножество покрывается попарно изоморфными аффинными картами, заданными уравнениями $x_i=1$. Поэтому рассмотрим карту $U\subset\mathbb{P}$, где $x_{n+1}=1$. Эта карта является фактором аффинного пространства $\mathbb{A}^{n+1}$ с координатами $u_0,\dots,u_n$ по группе $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, порождающая которой умножает координаты $u_0$ и $u_1$ на $\varepsilon^2$ и $\varepsilon^3$ соответственно, где $\varepsilon$ – нетривиальный корень степени $5$ из 1, а на остальных координатах действует тривиально. Пересечение $X\cap U$ изоморфно фактору подмножества в $\mathbb{A}^{n+1}$, определенного уравнением $u_0^3=u_1^2$. Алгебра инвариантов упомянутого выше действия на $\mathbb{A}^{n+1}$ порождена функциями $u_0^5, u_1^5, u_0u_1, u_2,\dots,u_n$. Обозначая их через $v_0,\dots,v_{n+1}$, мы видим, что $U\cong\mathbb{A}^{n+1}/(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ изоморфно гиперповерхности, заданной уравнением $v_0v_1\,{=}\,v_2^5$ в аффинном пространстве $\mathbb{A}^{n+2}$ с координатами $v_0,\dots,v_{n+1}$, а $X\cap U$ изоморфно подмногообразию пространства $\mathbb{A}^{n+2}$, заданному уравнениями $v_0-v_2^2=v_1-v_2^3=0$. Эти уравнения, очевидно, определяют гладкое многообразие. Хотя утверждение следствия 2.6 неверно в размерностях, больших $1$, можно показать, что особенности квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения не так уж и плохи. Предложение 2.10. Квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение $X$ нормально и имеет лишь факторособенности. В частности, его особенности логтерминальны. Доказательство. Так как многообразие $X$ квазигладко, то оно имеет лишь факторособенности; см., к примеру, [12; § 6]. Значит, $X$ нормально. Более того, факторособенности логтерминальны по [13; предложение 1.7]. Предложение доказано. Дивизориальный пучок $\mathscr{O}_\mathbb{P}(1)$ не обязательно является линейным расслоением. Описание всех линейных расслоений на $\mathbb{P}$ дается следующим утверждением; см. [22; предложение 8] или доказательство теоремы 3.2.4, (i) из [7]. Предложение 2.11. Группа Пикара $\operatorname{Pic}(\mathbb{P})$ хорошо сформированного взвешенного проективного пространства $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ является свободной группой, порожденной пучком $\mathscr{O}_\mathbb{P}(l)$, где $l$ является наименьшим общим кратным весов $a_i$. Для взвешенного полного пересечения $X$ мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$ в $\mathbb{P}(a_0, \dots,a_N)$ положим $i_X=\sum a_j-\sum d_i$. Пусть $\omega_X$ – дуализирующий пучок на $X$. Теорема 2.12 (см. [7; теорема 3.3.4], [12; п. 6.14]). Пусть $X$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Тогда $\omega_X\cong\mathscr{O}_X(-i_X)$. Теорема 2.12 позволяет изучать основные геометрические свойства взвешенных полных пересечений, если известны веса взвешенных проективных пространств и степени уравнений, определяющих пересечения. Мы продемонстрируем это следующим наблюдением. Напомним, что многообразие $X$ называется рационально связным, если для двух общих точек $P_1,P_2\in X$ существует рациональная кривая на $X$, проходящая через $P_1$ и $P_2$. Многообразие называется унилинейчатым, если оно покрывается рациональными кривыми. Предложение 2.13. Пусть $X\subset\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0,\dots,a_N)$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Тогда: Доказательство. По предложению 2.10 многообразие $X$ имеет логтерминальные особенности. Предположим, что $i_X>0$. Тогда антиканонический дивизор $-K_X$ обилен по теореме 2.12. Таким образом, утверждение (i) выполнено по [25].
Теперь предположим, что $i_X\leqslant 0$ и $i_X$ делится на все веса $a_i$. Тогда пучок $\mathscr{O}_{\mathbb{P}}(-i_X)$ является линейным расслоением по предложению 2.11. Таким образом, по теореме 2.12 канонический класс $K_X$ является эффективным дивизором Картье. В частности, особенности многообразия $X$ горенштейновы, и поэтому все дискрепантности $X$ – целые числа. Так как особенности $X$ также логтерминальны, мы заключаем, что дискрепантности неотрицательны, т.е. особенности $X$ канонические. Значит, существует такое разрешение особенностей $\widetilde{X}\to X$, что канонический дивизор $K_{\widetilde{X}}$ эффективен. Отсюда $\widetilde{X}$ (а значит, и $X$) не унилинейчато (см. [15]), что доказывает утверждение (ii). Утверждение (iii) следует из утверждения (ii). Предложение доказано. Нам не известно, является ли условие делимости в предложении 2.13, (ii) необходимым. Заметим, что без этого условия из теоремы 2.12 не следует, что особенности многообразия $X$ горенштейновы. С другой стороны, многообразие с негоренштейновыми логтерминальными особенностями и обильным каноническим классом может быть не унилинейчатым, что можно увидеть из следующего примера, указанного нам Ю. Г. Прохоровым и анонимным рецензентом. Пример 2.14. Рассмотрим нодальную плоскую рациональную кривую $C\subset \mathbb{P}^2$ степени $d$ (скажем, общую проекцию рациональной нормальной кривой степени $d$). Она имеет $m=(d\,{-}\,1)(d\,{-}\,2)/2$ нодов. Пусть $f\colon \widetilde{X}\to \mathbb{P}^2$ – раздутие этих нодов, пусть $E_1,\dots, E_m$ – исключительные кривые, а $E=\sum_{i=1}^m E_i$. Обозначим через $\widetilde{C}$ собственный прообраз кривой $C$ на $\widetilde{X}$. Имеем так что Отсюда получаем $\widetilde{C}^2<0$ для $d\geqslant 6$. Предположим теперь, что $d> 6$, и обозначим $\widetilde{d}=\widetilde{C}^2$. Так как кривая $\widetilde{C}$ гладкая и рациональная, существует стягивание $g\colon \widetilde{X}\to X$ кривой $\widetilde{C}$ на поверхность $X$ с единственной особой точкой. Окрестность особой точки поверхности $X$ локально изоморфна фактору пространства $\mathbb{A}^2$ по циклической группе порядка $\widetilde{d}$, действующей с весами $(1,1)$; в частности, эта особая точка логтерминальна. Имеем Таким образом, после стягивания получаем Так как $d>6$, канонический класс $K_X$ эффективен. Обозначим $L_i=g_*E_i$ и $L=\sum_{i=1}^m L_i$, так что Запишем $E_i=g^*L_i-\alpha \widetilde{C}$. Тогда $2=E_i\cdot \widetilde{C}=-\alpha \widetilde{C}^2=-\alpha \widetilde{d}$. По формуле проекции В частности, $L^2>0$. Более того, мы утверждаем, что индекс пересечения любой неприводимой эффективной кривой $F$ на $X$ с $L$ положителен. Действительно, по неравенству выше это верно для $F=L_i$. Пусть теперь $F\neq L_i$ для всех $i$. Если $F$ пересекает $L_i$ для некоторого $i$, то ее индекс пересечения с $L$ положителен. Таким образом, можно предполагать, что $F$ не пересекает $L_i$ для любого $i$. В частности, она не проходит через точку $g(\widetilde{C})$. Это значит, что собственный прообраз $\widetilde F$ кривой $F$ на $\widetilde X$ не пересекает кривую $\widetilde C$. Кроме того, он не пересекает $E_i$ для всех $i$. Таким образом, $f(\widetilde{F})$ не пересекает $C$, что нереально. По критерию Накаи–Мойшезона это показывает, что класс кривой $L$, а значит, и $K_X$, обилен. Наконец, заметим, что $X$ рационально по конструкции, что, в частности, показывает его унилинейчатость.Группа классов дивизоров квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения обладает хорошими свойствами. Теорема 2.15 (ср. [16; замечание 4.2], [17; предложение 2.3]). Пусть $X$ – квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение. Предположим, что либо $\dim X\geqslant 2$, либо $X$ является рациональной кривой. Тогда группа классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$ не имеет кручения. Более того, если $\dim(X)\,{\geqslant}\, 3$, то группа $\operatorname{Cl}(X)\cong \mathbb{Z}$ порождена классом пучка $\mathscr{O}_X(1)$. Мы с некоторыми изменениями, предложенными нам Т. Окадой, воспроизведем доказательство (см. [16; замечание 4.2]). Доказательство теоремы 2.15. Если $X$ является рациональной кривой, то она гладка по следствию 2.6, так что утверждение теоремы очевидно. Пусть $\dim X\geqslant 2$. Рассмотрим аффинный конус $C_X\subset\mathbb{A}$ над $X$ и градуированную координатную алгебру $R$ этого конуса. Имеется точная последовательность
$$
\begin{equation*}
0 \to\mathbb{Z} \xrightarrow{\theta} \operatorname{Cl}(X)\to \operatorname{Cl}(R) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta$ отображает $1$ в класс дивизоров, соответствующий $\mathscr{O}_{X}(1)$; см., к примеру, [24; теорема 1.6].
Пусть $\mathfrak{m}$ – максимальный идеал вершины конуса $C_X$. Тогда по [9; следствие 10.3] выполнено $\operatorname{Cl}(R)\cong \operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}})$. Если $\dim (X)\geqslant 3$, то $R_\mathfrak{m}$ – локальное кольцо полного пересечения размерности не меньше $4$, которое регулярно вне максимального идеала, так что $\operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}})=0$; см. [9; § 18]. Таким образом, группа $\operatorname{Cl}(X)\cong \mathbb{Z}$ порождена классом, соответствующим $\mathscr{O}_X(1)$. Предположим теперь, что $\dim (X)=2$. Положим $U = \operatorname{Spec}(R_{\mathfrak{m}}) \setminus \{\mathfrak{m}\}$. По [9; предложение 18.10, (b)] имеется изоморфизм $\operatorname{Pic} (U) \cong \operatorname{Cl} (R_{\mathfrak{m}})$. Наконец, по утверждению (ii) основной теоремы работы [21] группа $\operatorname{Pic}(U)$ не имеет кручения. Поэтому группа $\operatorname{Cl}(R) \cong \operatorname{Cl}(R_{\mathfrak{m}}) \cong\operatorname{Pic}(U)$, а значит, и группа $\operatorname{Cl}(X)$, не имеет кручения. Замечание 2.16. Утверждение теоремы 2.15, очевидно, неверно, когда $X$ является кривой положительного рода. § 3. АвтоморфизмыВ этом параграфе собраны вспомогательные результаты о группах автоморфизмов взвешенных полных пересечений. Заметим, что взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}$ является многообразием Фано (с логтерминальными особенностями). Поэтому $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ является линейной алгебраической группой. Это также можно вывести из того, что $\mathbb{P}$ – проективное торическое многообразие. Следующее утверждение хорошо известно специалистам. Предложение 3.1. Предположим, что взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$, $a_0<\dots<a_M$, хорошо сформировано. Пусть $R_U$ – унипотентный радикал группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, так что $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})\cong R_U\rtimes\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$, где группа $\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ редуктивна. Тогда $R_U$ состоит из автоморфизмов Доказательство. Утверждение о редуктивной части группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ можно найти в [18; предложение A.2.5]. Утверждение об унипотентной части также может быть получено из доказательства предложения A.2.5 из [18]. А именно, можно проверить, что группа $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ изоморфна фактору $\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})/\mathbb{C}^*$, где $\mathbb{C}^*$ – тор, действие которого на $\mathbb{A}=\mathbb{A}^{r_0+\dots+r_M}$ определяется весами $a_0,\dots,a_M$, и при этом $\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ является нормализатором группы $\mathbb{C}^*$ в стабилизаторе точки $0\in\mathbb{A}$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{A})$. В частности, $R_U$ изоморфен унипотентному радикалу группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$. Далее, группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ изоморфна группе однородных автоморфизмов кольца Кокса взвешенного проективного пространства $\mathbb{P}$, которое можно отождествить с координатной алгеброй аффинного пространства $\mathbb{A}$ с градуировкой, определяемой весами $a_0,\dots,a_M$. Эта алгебра является алгеброй многочленов от $r_0\,{+}\,{\cdots}\,{+}\,r_M$, градуировка на которой определяется весами. Теперь структура унипотентного радикала группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(\mathbb{P})$ становится очевидной. Предложение доказано. Отметим, что предложение 3.1 не работает без предположения, что $\mathbb{P}$ хорошо сформировано, как видно из примера проективной прямой $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1,2)\cong\mathbb{P}^1$. Чтобы работать с редуктивными подгруппами в группах автоморфизмов взвешенных проективных пространств, нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма 3.2. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, причем $a_0<\dots<a_M$. Пусть $\Delta$ – редуктивная подгруппа в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$. Тогда можно выбрать взвешенные однородные координаты $x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ на $\mathbb{P}$ так, что $\Delta$ содержится в подгруппе $\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$ группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, описанной в предложении 3.1. Доказательство. Каждая редуктивная подгруппа линейной алгебраической группы содержится в максимальной редуктивной подгруппе, а все максимальные редуктивные подгруппы сопряжены друг другу; см., например, [1; теоремы 6.4.4 и 6.4.5]. Поэтому $\Delta$ сопряжена подгруппе группы $\operatorname{Aut}_{\mathrm{red}}(\mathbb{P})$. Лемма доказана. Покажем, что некоторые интересные подгруппы в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ действуют эффективно на взвешенных полных пересечениях в $\mathbb{P}$. Лемма 3.3. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – неприводимое взвешенное полное пересечение положительной размерности, не являющееся пересечением с линейным конусом. Пусть $\Delta$ – редуктивная подгруппа в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, сохраняющая каждую точку многообразия $X$. Тогда группа $\Delta$ тривиальна. Доказательство. Запишем $\mathbb{P}=\mathbb{P}(a_0^{r_0},\dots,a_M^{r_M})$, где $a_0<\dots<a_M$. По лемме 3.2 можно выбрать взвешенные однородные координаты $x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$ на $\mathbb{P}$ так, что результат действия группы $\Delta$ на координате $x_{i,p}$ зависит только от координат $x_{i,1},\dots,x_{i,r_i}$ того же веса $a_i$. Это дает $\Delta$-эквивариантные рациональные проекции $\psi_i\colon \mathbb{P}\dashrightarrow \mathbb{P}_i=\operatorname{Proj}(\mathbb{C}[x_{i,1},\dots,x_{i,r_i}])\cong\mathbb{P}^{r_i-1}$.
Так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, никакая из координат $x_{i,p}$ не обращается в нуль на $X$; см. замечание 2.1. Таким образом, $X$ содержит точки, где проекции $\psi_i$ регулярны. Пусть $Y_i\subset\mathbb{P}_i$ – замыкание образа $\psi_i(X)$. Так как многообразие $X$ неприводимо, мы видим (снова применяя замечание 2.1), что $Y_i$ не содержится в гиперплоскости в проективном пространстве $\mathbb{P}_i$. С другой стороны, действие группы $\Delta$ на многообразии $Y_i$ тривиально по предположению. Следовательно, действие $\Delta$ на $\mathbb{P}_i$ тоже тривиально. Таким образом, каждый элемент $\delta\in\Delta$ действует на $\mathbb{P}$ преобразованием вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\delta\colon (x_{0,1}:\ldots:x_{0,r_0}:\ldots: x_{i,p}:\ldots: x_{M,1}:\ldots:x_{M,r_M}) \\ &\qquad \mapsto (\lambda_0 x_{0,1}:\ldots:\lambda_0 x_{0,r_0}:\ldots: \lambda_i x_{i,p}:\ldots: \lambda_M x_{M,1}:\ldots:\lambda_M x_{M,r_M}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_0,\dots,\lambda_M$ – комплексные числа. Как мы показали выше, можно выбрать точку $P$ на $X$, в которой не обращается в нуль ни одна из координат $x_{0,1},\dots,x_{M,r_M}$. Поскольку $\delta(P)=P$ по предположению, мы заключаем, что $\lambda_0^{a_0}=\dots=\lambda_M^{a_M}$. Это значит, что элемент $\delta$ действует на $\mathbb{P}$ тривиально; ср. (3.3). Лемма доказана. Утверждение леммы 3.3 не выполняется без предположения о том, что $X$ не является пересечением с линейным конусом, даже в случае $\mathbb{P}\cong\mathbb{P}^N$ (где это предположение означает, что $X$ не содержится в гиперплоскости). Лемма 3.4. Пусть $\mathbb{P}$ – хорошо сформированное взвешенное проективное пространство, и пусть $X\subset\mathbb{P}$ – неприводимое взвешенное полное пересечение мультистепени $(d_1,\dots,d_k)$, имеющее положительную размерность. Предположим, что для всех $i$ и $j$ выполнены неравенства $a_i<d_j$. Пусть $\Delta$ – подгруппа унипотентного радикала группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, сохраняющая все точки многообразия $X$. Тогда группа $\Delta$ тривиальна. Доказательство. Пусть $X$ задано в $\mathbb{P}$ уравнениями $f_1=\dots=f_k=0$, причем $d_j=\deg f_j$. Можно считать, что $a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$ и $d_1\leqslant\dots\leqslant d_k$. По предположению выполнено неравенство $d_1>a_N$.
Из предложения 3.1 нам известно, что группа $\Delta$ состоит из элементов вида (3.1). Если такой элемент сохраняет все точки многообразия $X$, то в обозначениях (3.1) многочлены $\Phi_{i,p}$ должны содержаться в однородном идеале $I$ многообразия $X$ в алгебре $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_N]$. Идеал $I$ порожден элементами $f_1,\dots,f_k$, степени которых больше, чем $a_N$, в то время как степени многочленов $\Phi_{i,p}$ не превосходят $a_N$. Это значит, что все многочлены $\Phi_{i,p}$ нулевые, и поэтому группа $\Delta$ тривиальна. Лемма доказана. Утверждение леммы 3.4 не выполняется без предположения о степенях. Пример 3.5. Рассмотрим взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^N,m)$ со взвешенными однородными координатами $x_0,\dots,x_N$, где $N\geqslant 3$ и $m\geqslant 2$. Пусть $X$ – взвешенное полное пересечение в $\mathbb{P}$, заданное уравнениями $f_2=f_{2m}=0$, где $f_2$ и $f_{2m}$ – общие взвешенные однородные многочлены от переменных $x_i$ степеней $2$ и $2m$ соответственно. Тогда многообразие $X$ гладкое и хорошо сформированное. Более того, $X$ является многообразием Фано при $N\geqslant m+3$. Рассмотрим однородный многочлен $g$ степени $m-2$ от переменных $x_0,\dots,x_{N-1}$ и (нетривиальный) автоморфизм взвешенного проективного пространства $\mathbb{P}$. Очевидно, что этот автоморфизм действует тривиально на многообразии $X$. Так как многочлены степени $m-2$ от переменных $x_0,\dots,x_{N-1}$ образуют $\binom{N+m-3}{N-1}$-мерное векторное пространство, то подгруппа в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, состоящая из автоморфизмов, которые действуют тривиально на $X$, содержит подгруппу, изоморфную $(\mathbb{C}^+)^{\binom{N+m-3}{N-1}}$. Выведем удобное следствие из леммы 3.4. Следствие 3.6. Пусть $X\,{\subset}\,\mathbb{P}$ – квазигладкая хорошо сформированная взвешенная гиперповерхность положительной размерности, не являющаяся пересечением с линейным конусом. Тогда подгруппа унипотентного радикала группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, сохраняющая все точки многообразия $X$, тривиальна. Доказательство. Многообразие $X$ неприводимо по лемме 2.2. Пусть $X$ задается в $\mathbb{P}$ уравнением $f=0$. Положим $d=\deg f$. Можно считать, что $a_0\leqslant\dots\leqslant a_N$.
Предположим, что $d<a_N$. Тогда многочлен $f$ не зависит от переменной $x_N$. Поэтому точка $P=(0:\ldots:0:1)$ лежит на $X$. Так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, многочлен $f$ не содержит мономов вида $\alpha x_i$, где $x_i$ – одна из взвешенных однородных координат на $\mathbb{P}$, а $\alpha\in\mathbb{C}$. Следовательно, все частные производные многочлена $f$ обращаются в нуль в точке $P$. Это значит, что многообразие $X$ не квазигладко. Полученное противоречие показывает, что $d\geqslant a_N$. Более того, так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, выполнено неравенство $d>a_N$. Теперь нужное нам утверждение следует из леммы 3.4. Следствие доказано. § 4. Ограничение автоморфизмовВ этом параграфе мы докажем теорему 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Будем (в основном) следовать доказательству леммы A.2.13 из [18].
Обозначим через $A$ класс пучка $\mathscr{O}_X(1)$ в группе $\operatorname{Cl}(X)$. Если $\dim X\geqslant 3$, то $A$ является обильным классом, порождающим $\operatorname{Cl}(X)$ по теореме 2.15; поэтому $A$ инвариантен относительно группы $\operatorname{Aut}(X)$. Если размерность $X$ произвольная, заметим, что класс пучка $\omega_X$ в $\operatorname{Cl}(X)$, т.е. канонический класс $K_X$, инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$. Поэтому в случае, если $\dim X=2$ и $K_X\neq 0$ или если $X$ – рациональная кривая, из теорем 2.15 и 2.12 следует, что $A$ тоже инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$. Таким образом, в каждом из нужных нам случаев обильный класс $A$ инвариантен относительно $\operatorname{Aut}(X)$. Отсюда следует, что $\operatorname{Aut}(X)$ – линейная алгебраическая группа. Класс $A$ инвариантен относительно группы $\operatorname{Aut}(X)$ и, в частности, относительно ее подгруппы $\Gamma$. Положим
$$
\begin{equation*}
R(\mathbb{P})_m=H^0(\mathbb{P}, \mathscr{O}_{\mathbb{P}}(m)), \qquad R(X,A)_m=H^0(X, \mathscr{O}_X(mA)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда на векторных пространствах
$$
\begin{equation*}
R(\mathbb{P})=\bigoplus_{m=0}^{\infty} R(\mathbb{P})_m, \qquad R(X,A)=\bigoplus_{m=0}^{\infty} R(X,A)_m
\end{equation*}
\notag
$$
есть естественная структура градуированной алгебры. Так как $\mathscr{O}_{\mathbb{P}}(1)$ и $A$ обильны, алгебры $R(\mathbb{P})$ и $R(X,A)$ конечно порождены. Имеются изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}\cong\operatorname{Proj}(R(\mathbb{P})), \qquad X\cong\operatorname{Proj}(R(X,A)).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что отображение ограничения $\rho_m\colon R(\mathbb{P})_m\to R(X,A)_m$ сюръективно при всех $m\geqslant 0$; см. [2; следствие 3.3].
Для каждого натурального числа $K$ определим градуированные векторные подпространства
$$
\begin{equation*}
R(\mathbb{P})_{\leqslant K}=\bigoplus_{m\leqslant K} R(\mathbb{P})_m\subset R(\mathbb{P}), \qquad R(X,A)_{\leqslant K}=\bigoplus_{m\leqslant K} R(X,A)_m\subset R(X,A).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $U_m(\mathbb{P})\subset R(\mathbb{P})_m$ является пересечением векторного пространства $R(\mathbb{P})_m$ с подалгеброй в $R(\mathbb{P})$, порожденной подпространством $R(\mathbb{P})_{\leqslant m-1}$. Аналогично, пусть $U_m(X)\subset R(X,A)_m$ обозначает пересечение $R(X,A)_m$ с подалгеброй в $R(X,A)$, порожденной подпространством $R(X,A)_{\leqslant m-1}$. Тогда Существуют центральное расширение $\widetilde{\Gamma}$ группы $\Gamma$ при помощи конечной циклической группы и действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(X,A)$, которое индуцирует исходное действие $\Gamma$ на $X$; см. [18; лемма A.2.11]. В частности, группа $\widetilde{\Gamma}$ действует на каждом векторном пространстве $R(X,A)_m$. При этом подпространство $U_m(X)$ по очевидным причинам $\widetilde{\Gamma}$-инвариантно. Выберем $\widetilde{\Gamma}$-инвариантное подпространство $V_m(X)\subset R(X,A)_m$, для которого Это можно сделать, так как группа $\Gamma$ редуктивна, а значит, группа $\widetilde{\Gamma}$ тоже редуктивна и ее представление $R(X,A)_m$ вполне приводимо. Пусть $V_m(\mathbb{P})$ – векторное подпространство в $R(\mathbb{P})_m$, которое изоморфно отображается на $V_m(X)$ при отображении $\rho_m$; заметим, что $U_m(\mathbb{P})\cap V_m(\mathbb{P})=0$ по построению. Так как $X$ не является пересечением с линейным конусом, из замечания 2.1 следует, что
$$
\begin{equation*}
R(\mathbb{P})_m=U_m(\mathbb{P})\oplus V_m(\mathbb{P}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $m\gg 0$ векторное пространство $V_m(\mathbb{P})$ нулевое.
Определим действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $V_m(\mathbb{P})$ так, чтобы изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\rho_m\vert_{V_m(\mathbb{P})}\colon V_m(\mathbb{P})\stackrel{\sim}\longrightarrow V_m(X)
\end{equation*}
\notag
$$
был $\widetilde{\Gamma}$-эквивариантным. Так как векторное пространство $U_m(\mathbb{P})$ является градуированной компонентой степени $m$ в алгебре, порожденной векторным пространством $R(\mathbb{P})_{\leqslant m-1}$, мы получаем действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $U_m(\mathbb{P})$ и $R(\mathbb{P})_m$ индукцией по $m$. Другими словами, мы отождествляем градуированную алгебру $R(\mathbb{P})$ с симметрической алгеброй градуированного векторного пространства
$$
\begin{equation*}
V(\mathbb{P})=\bigoplus_{m=1}^{\infty} V_m(\mathbb{P}),
\end{equation*}
\notag
$$
и действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(\mathbb{P})$ определяется ее действием на $V(\mathbb{P})$.
Таким образом, начав с действия группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(X,A)$, соответствующего исходному действию $\Gamma$ на $X$, мы определили такое действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $R(\mathbb{P})$, что отображение ограничения $\rho\colon R(\mathbb{P})\to R(X,A)$ является $\widetilde{\Gamma}$-эквивариантным. Из построения видно, что ядро проекции $\widetilde{\Gamma}\to\Gamma$ содержится в подгруппе в $\operatorname{Aut}(R(\mathbb{P}))$, действующей, как в (3.3); это значит, что действие группы $\widetilde{\Gamma}$ на $\mathbb{P}$ пропускается через $\Gamma$. Другими словами, мы определили такое действие группы $\Gamma$ на взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}$, что вложение $X\hookrightarrow\mathbb{P}$ является $\Gamma$-эквивариантным. Теорема доказана. Утверждение теоремы 1.3 может не выполняться в случае, если $X$ является пересечением с линейным конусом. Пример 4.1. Пусть $X$ – прямая на $\mathbb{P}=\mathbb{P}^2$. И на $X$, и на $\mathbb{P}^2$ существует эффективное действие группы четных перестановок $\mathfrak{A}_5$. При этом действие группы $\mathfrak{A}_5$ на $X$ не индуцируется ее действием на $\mathbb{P}^2$, так как последнее приходит из неприводимого представления $\mathfrak{A}_5$. Отметим, что у этого представления есть квадратичный инвариант. Это значит, что на $\mathbb{P}^2$ существует гладкая $\mathfrak{A}_5$-инвариантная коника $X'$; действия группы $\mathfrak{A}_5$ на $X'\cong\mathbb{P}^1$ и на $\mathbb{P}^2$ согласованы между собой. Утверждение теоремы 1.3 также не выполняется для нерациональных одномерных взвешенных полных пересечений (ср. замечание 2.16). Пример 4.2. Пусть $C$ – гладкая кубическая кривая на $\mathbb{P}^2$. Тогда группа $\operatorname{Aut}(C)$ содержит конечные подгруппы сколь угодно большого порядка, в то время как стабилизатор кривой $C$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^2)$ конечен. Отметим, что теорема 1.3 все же выполняется для гладких плоских кривых рода больше $1$. Это следует из теоремы Нётера, которая утверждает, что для такой кривой линейная система, задающая вложение в $\mathbb{P}^2$, единственна; см., например, [4; лемма 2.1] или [11; теорема 2.1]. Также теорема 1.3 выполняется для гладких кривых рода больше $1$, являющихся полными пересечениями в $\mathbb{P}^3$ (и для некоторых кривых, являющихся полными пересечениями в $\mathbb{P}^4$); см. [5; следствие 2.5, теорема 2.6]. Мы не знаем, верно ли это для других гладких одномерных взвешенных полных пересечений рода больше $1$. Точно так же мы не знаем, можно ли обобщить теорему 1.3 на случай двумерных взвешенных полных пересечений с тривиальным каноническим классом. § 5. Бесконечные группы автоморфизмовВ этом параграфе мы покажем на примерах, что квазигладкое хорошо сформированное взвешенное полное пересечение Фано произвольной размерности может иметь бесконечную и даже нередуктивную группу автоморфизмов. Пример 5.1. Пусть $a$ – натуральное число. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^{N-1},a,a)$, где $N>2$. Рассмотрим взвешенную гиперповерхность $X$, заданную в $\mathbb{P}$ уравнением где $F$ – общий многочлен степени $2a$ от $N-1$ переменных. Тогда многообразие $X$ хорошо сформировано, квазигладко и не является пересечением с линейным конусом. Далее, $X$ является многообразием Фано по теореме 2.12. Гиперповерхность $X$ сохраняется подгруппой $\mathbb{C}^*\subset\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, где действие элемента $t\in\mathbb{C}^*$ задается формулой Пример 5.2. Пусть $a$ – натуральное число. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{P}(1^{N-1},a,a)$, где $N>2$. Рассмотрим взвешенную гиперповерхность $X$, заданную в $\mathbb{P}$ уравнением где $F$ – общий многочлен степени $a+1$ от $N-3$ переменных. Тогда многообразие $X$ хорошо сформировано, квазигладко и не является пересечением с линейным конусом; при этом $X$ является многообразием Фано по теореме 2.12. Зафиксируем многочлен $\Phi$ степени $a-1$ от переменных $x_0,\dots,x_{N-2}$. На $X$ действует группа $\mathbb{C}^+$; действие элемента $\alpha\in\mathbb{C}^+$ задается формулой Таким образом, $X$ сохраняется подгруппой $\Theta\subset\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, изоморфной $(\mathbb{C}^+)^s$, где $s=\binom{a+N-3}{N-2}$. По предложению 3.1 группа $\Theta$ содержится в унипотентном радикале $R_U$ группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$. Значит, по следствию 3.6 действие группы $\Theta$ на $X$ эффективно. Пусть теперь $\Gamma\subset \operatorname{Aut}(\mathbb{P})$ – подгруппа в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$, состоящая из всех автоморфизмов, сохраняющих $X$. Так как $\Theta\subset \Gamma$, пересечение $\Gamma$ с $R_U$ нетривиально, и поэтому группа $\Gamma$ нередуктивна. Отсюда следует, что группа $\operatorname{Aut}(X)$ тоже нередуктивна. Действительно, в противном случае по теореме 1.3 вся группа $\operatorname{Aut}(X)$ является фактором группы $\Gamma$. Следовательно, унипотентный радикал группы $\Gamma$ должен действовать тривиально на $X$, что противоречит эффективности действия группы $\Theta$. Как мы только что видели, образ стабилизатора квазигладкого хорошо сформированного взвешенного полного пересечения Фано $X\subset\mathbb{P}$ в группе $\operatorname{Aut}(X)$ может быть бесконечен. Это невозможно для гиперповерхностей Калаби–Яу. Предложение 5.3. Пусть $X\subset\mathbb{P}$ – квазигладкая хорошо сформированная взвешенная гиперповерхность с $i_X=0$. Пусть $\Gamma$ – стабилизатор $X$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{P})$. Тогда образ $\Gamma$ в группе $\operatorname{Aut}(X)$ конечен. Доказательство. Заметим, что $\Gamma$ – линейная алгебраическая группа, и ее образ $\overline{\Gamma}$ в $\operatorname{Aut}(X)$ – тоже линейная алгебраическая группа. (На самом деле даже вся группа $\operatorname{Aut}(X)$ линейная алгебраическая, если размерность $X$ не меньше $3$, но это утверждение не нужно для нашего доказательства.) С другой стороны, многообразие $X$ не является унилинейчатым по предложению 2.13, (iii). Следовательно, линейная алгебраическая группа $\overline{\Gamma}$ конечна; см., например, [23; теорема 14.1]. Предложение доказано. Мы не знаем, можно ли обобщить предложение 5.3 на случай $i_X<0$; ср. пример 2.14. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PrzShr21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|