| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О формуле следов для обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка Е. Д. Гальковскийa, А. И. Назаровba a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9449 
Реферативные базы данных:
    ВведениеРассмотрим оператор $\mathbb L$ на отрезке $[a,b]$, порождаемый дифференциальным выражением порядка $n \geqslant 2$ (здесь $p_k\in L_1(a,b)$ – комплекснозначные функции) и граничными условиями
$$
\begin{equation}
(P_j(D)y)(a)+(Q_j(D)y)(b)=0, \qquad j=0, \dots, n-1,
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
где $P_j$ и $Q_j$ – полиномы степени меньше $n$ с комплексными коэффициентами. Обозначим через $d_j$ наибольшую из степеней $P_j$ и $Q_j$ и через $a_j$ и $b_j$ – коэффициенты при $t^{d_j}$ у полиномов $P_j$ и $Q_j$ соответственно (таким образом, $a_j$ и $b_j$ не могут одновременно обращаться в нуль). Будем считать систему граничных условий (0.2) нормированной. Это означает, что величина $\varkappa:=\sum_{j=0}^{n-1}d_j$ является минимальной среди всех систем граничных условий, которые могут быть получены из (0.2) невырожденными линейными преобразованиями; см. [1; гл. II, § 4], а также [2] в случае более общей постановки. Предположим далее, что система (0.2) регулярна по Биркгофу (см. [1; гл. II, § 4]). Тогда оператор $\mathbb{L}$ имеет дискретный спектр1, который мы будем обозначать $\{\lambda_N\}_{N=1}^{\infty}$. В дальнейшем мы всегда будем нумеровать собственные числа в порядке возрастания их модулей с учетом кратности (т.е. $|\lambda_N| \leqslant |\lambda_{N+1}|$). Обозначим через $\mathfrak M[a,b]$ пространство конечных комплекснозначных зарядов, а через $\mathbb{Q}$ оператор умножения на ${\mathfrak q} \in \mathfrak M[a,b]$. Тогда спектр оператора $\mathbb{L}_{\mathfrak q}=\mathbb{L}+\mathbb{Q}$ также будет дискретным, мы будем обозначать его $\{\lambda_N({\mathfrak q})\}_{N=1}^{\infty}$. Нас будет интересовать регуляризованный след
$$
\begin{equation*}
\mathscr{S}({\mathfrak q}) := \sum_{N=1}^{\infty} \biggl[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N-\frac{1}{b-a}\int_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что $\displaystyle\int_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$. Впервые формула регуляризованного следа была получена И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном в 1953 г. А именно, в работе [3] они рассмотрели задачу
$$
\begin{equation}
{-}y''+{\mathfrak q}(x)y=\lambda y, \qquad y(0)=y(\pi)=0
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
и показали, что для вещественной функции ${\mathfrak q}(x)\in \mathscr C^1[0,\pi]$ выполнено следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{S}({\mathfrak q})= -\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Статья [3] породила многочисленные усиления и обобщения. Большой обзор результатов в задаче о вычислении регуляризованного следа можно найти в статье В. А. Садовничего и В. Е. Подольского [4]. В работе А. И. Назарова, Д. М. Столярова и П. Б. Затицкого [5] была получена формула
$$
\begin{equation}
\mathscr{S}({\mathfrak q})=\frac{\psi_a(a+)}{2n}\cdot\mathbf{tr}\,(\mathbb A)+\frac{\psi_b(b-)}{2n}\cdot\mathbf{tr}\,(\mathbb B)
\end{equation}
\tag{0.4}
$$
для произвольного $n\geqslant 2$ и регулярных граничных условий в предположениях, являющихся сейчас стандартными2: ${\mathfrak q} \in L_1(a,b)$, и функции
$$
\begin{equation*}
\psi_a(x)=\frac{1}{x-a}\int_{[a,x]} {\mathfrak q}(dt), \qquad \psi_b(x)=\frac{1}{b-x}\int_{[x,b]} {\mathfrak q}(dt)
\end{equation*}
\notag
$$
имеют ограниченную вариацию в точках $a$ и $b$ соответственно. В формуле (0.4) $\mathbb A$ и $\mathbb B$ – матрицы, элементы которых явно выражаются через коэффициенты $a_j$ и $b_j$, $j=0,\dots,n-1$ (это явное выражение нам в дальнейшем не понадобится). Более того, в [5] было показано, что в важном частном случае почти разделенных граничных уловий множители $\mathbf{tr}\,(\mathbb A)$ и $\mathbf{tr}\,(\mathbb B)$ в (0.4) упрощаются и выражаются через суммы степеней полиномов $P_j$ и $Q_j$ соответственно. Новый эффект был обнаружен А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым в [7], [8], см. также [9]. А именно, если ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[0,\pi]$ – (вещественный) заряд, локально непрерывный в точках $0$ и $\pi$, то результат в задаче (0.3) меняется:
$$
\begin{equation}
\mathscr{S}({\mathfrak q})=-\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}-\frac{1}{8}\sum_j h_j^2,
\end{equation}
\tag{0.5}
$$
где $h_j$ – скачки функции распределения заряда ${\mathfrak q}$. Ряд $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ в этом случае суммируется методом средних. Таким образом, при ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ регуляризованный след может стать нелинейным функционалом от ${\mathfrak q}$. В работе [10] этот эффект был получен для $\delta$-потенциала и некоторых других граничных условий. Подобный эффект в другой задаче можно найти в [11; теорема 1]. В работе [12] был получен аналог формулы (0.5) для $n=2$ и произвольных регулярных граничных условий. В то время как линейный член в формуле для $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ полностью определяется граничными условиями, оказалось, что нелинейный член от граничных условий не зависит. Также в [12] было показано, что для $n\geqslant3$ нелинейное слагаемое отсутствует, и сформулирована гипотеза о том, что при $\mathfrak q \in \mathfrak M[a,b]$ для операторов высокого порядка справедлива формула (0.4). В настоящей статье эта гипотеза доказывается для нечетных $n\geqslant3$ и опровергается для четных $n\geqslant4$. А именно, в последнем случае формула для $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ включает принципиально новое слагаемое, не известное ранее. Это слагаемое возникает в случае, когда ${\mathfrak q}$ имеет атом в точке $(a+b)/2$. Результаты статьи были частично анонсированы в [13]. Статья организована следующим образом. В § 1 сформулированы основные результаты (теоремы 1 и 2) и дается их вывод из промежуточных утверждений (теоремы 4 и 5). Эти утверждения доказаны в § 2 и § 3 соответственно. В § 4 получен явный вид нового слагаемого в формуле для $\mathscr{S}({\mathfrak q})$. Некоторые вспомогательные факты вынесены в § 5. Введем некоторые обозначения. Обозначим через $\mathbb{L}_0$ оператор, порожденный дифференциальным выражением $\mathscr L_0=(-i)^nD^n$ и регулярными условиями (0.2), а через $\{\lambda_N^0\}_{N=1}^{\infty}$ обозначим его собственные числа. Далее, $G_0(x,y,\lambda)$ – функция Грина оператора $\mathbb{L}_0-\lambda$ (см. [1; гл. I, § 3]). Заметим, что резольвента $\frac1{\mathbb{L}_0-\lambda}$ – интегральный оператор с ядром $G_0(x,y,\lambda)$, и определим его след:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{Sp}\,\frac{1}{{\mathbb L}_0 - \lambda}=\int_a^b G_0(x,x,\lambda)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольной функции $\Phi(\lambda)$, определенной на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, введем функцию $\widetilde{\Phi}(z)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Phi}(z)=\Phi(\lambda), \quad \text{где }\ z=\lambda^{1/n}, \quad \operatorname{Arg}(z) \in \biggl[0,\frac{2\pi}{n}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним определение суммирования ряда методом средних (метод Чезаро порядка $1$). Пусть $I_{\ell}$ – последовательность частичных сумм ряда $\sum_{j}a_j$. Ряд называется суммируемым методом средних, если существует предел по Чезаро у его частичных сумм
$$
\begin{equation*}
(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to \infty} I_{\ell}:=(\mathscr C,1)\,\text{-}\sum_{j=1}^{\infty} a_j := \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum_{\ell=1}^k I_{\ell}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полную вариацию заряда $\|\mathfrak q\|$ обозначим через $\mathfrak q$. Определим также функцию распределения: Мы считаем, что заряд $\mathfrak q$ не содержит атомов на концах отрезка $a$ и $b$. Поскольку $\displaystyle\int_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$, это влечет $\mathscr Q(a)=\mathscr Q(a+)=\mathscr Q(b-)=\mathscr Q(b)=0$. Назовем комплекснозначный заряд $\mathfrak q$ $BV$-регулярным, если функции
$$
\begin{equation*}
\psi_a(x)=\frac{\mathscr Q(x)}{x-a}, \qquad \psi_b(x)=\frac{\mathscr Q(x)}{x-b}
\end{equation*}
\notag
$$
имеют ограниченную вариацию на $[a,b]$. В частности, в этом случае функция $\mathscr Q$ имеет (одностороннюю) производную в точках $a$ и $b$, причем
$$
\begin{equation*}
\mathscr Q'(a)=\psi_a(a+), \qquad \mathscr Q'(b)=\psi_b(b-).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma^1=\biggl\{w=e^{i\phi}\colon\phi\in\biggl(0,\frac{\pi}{n}\biggr)\biggr\}, \qquad \Gamma^2=\biggl\{w=e^{i\phi}\colon \phi\in\biggl(\frac{\pi}{n},\frac{2\pi}{n}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим гладкий замкнутый контур, однозначно проектирующийся на единичную окружность (рис. 1). Тогда он может быть задан формулой $\gamma(w)=\mathscr R^n(w)w^n$, где вещественная функция $\mathscr R(w)$ определена на $\overline{\Gamma^1\cup\Gamma^2}$. Определим еще соответствующий гладкий контур $\Gamma(w)=\mathscr R(w)w$ (рис. 2). Назовем последовательность замкнутых контуров $\{\gamma_\ell\}$, описанных выше, допустимой, если $R_\ell:= \mathscr R_\ell(1) \to \infty$ при $\ell\to\infty$ и при некотором $c_0>0$ следующие утверждения выполнены для всех $\ell$: 1) $|\mathscr R_\ell(w)-\mathscr R_\ell(1)| \leqslant c_0$, $\biggl|\dfrac{d\mathscr R_\ell(w)}{dw}\biggr| \leqslant c_0 \mathscr R_\ell(w)$, $w\in\overline{\Gamma^1\cup\Gamma^2}$; 2) соответствующие контуры $\{\Gamma_\ell\}_{\ell=1}^\infty$ отделены от всех $(\lambda_N^0)^{1/n}$ и $(\lambda_N)^{1/n}$ равномерно по $\ell$. Замечание 1. Как известно (см., например, [1; гл. II, § 4] и [2]), собственные числа $\lambda_N^0$ и $\lambda_N$ имеют одинаковые двучленные асимптотики при $N\to\infty$. А именно, если $n$ нечетно, то собственные числа разбиваются на две последовательности с асимптотиками Далее, если $n$ четно и краевые условия (0.2) сильно регулярны, то собственные числа также разбиваются на две последовательности с асимптотиками
$$
\begin{equation}
\lambda_{N,j}^0=\biggl(2 \pi N+\alpha_j+ O\biggl(\frac{1}{N}\biggr)\biggr)^n, \qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{0.6}
$$
где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ различны, причем $\alpha_1\,{+}\,\alpha_2\in\mathbb R$ (см., например, [14; теорема 1.1]). Поэтому в этих случаях можно провести такую допустимую последовательность контуров, что между любыми двумя соседними контурами находится ровно одно собственное число. Более того, если $n$ четно и $\alpha_1 \neq \overline{\alpha}_2$, то в качестве этих контуров можно взять окружности радиуса $R_\ell^n$ с центром в нуле. Если же $n$ четно, а краевые условия регулярны, но не сильно регулярны, то соотношение (0.6) выполнено при $\alpha_1=\alpha_2\in\mathbb R$. В этом случае можно выбрать контуры так, чтобы между двумя соседними контурами находилась ровно пара собственных чисел. Заметим, что для четных $n$ величины $\xi_j=e^{i\alpha_j}$, $j=1,2$, являются корнями квадратичного полинома Биркгофа; см. [1; гл. II, § 4]. Таким образом, $\xi_1\ne\xi_2$ в сильно регулярном случае и $\xi_1=\xi_2$ в регулярном, но не сильно регулярном случае. Далее мы будем использовать обозначение $\rho=e^{i2\pi/n}$. Обозначим через $\langle a\rangle$ произвольный полином от $z^{-1}$ со свободным членом $a$. Подчеркнем, что стандартный символ Биркгофа $[a]$ означает $a\,{+}\,O(z^{-1})$. Введение более ограничительного обозначения вызвано необходимостью выписывать разложение функции Грина с точностью до $z^{-2}$; см. § 3 и § 4. Если функция распределения заряда ${\mathfrak q}$ имеет скачок в точке $(a+b)/{2}$, то обозначим его величину через $h_{(a+b)/2}$. Также определим функцию $\nu $ ($\lfloor\cdot\rfloor$ означает целую часть числа):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nu(w)=\begin{cases} \biggl\lfloor\dfrac{n+1}{2}\biggr\rfloor, &w \in \Gamma^1, \\ \biggl\lfloor\dfrac{n}{2}\biggr\rfloor, &w \in \Gamma^2. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{0.7}
$$
Все положительные константы, значения которых нам не важны, будут обозначаться через $C$. § 1. Формулировка результатовНаш основной результат заключается в двух следующих теоремах. Теорема 1. Пусть $n \geqslant 3$ нечетное. Предположим, что функция распределения $\mathscr Q$ имеет одностороннюю производную3 в точках $a$ и $b$. Тогда для любых регулярных граничных условий (0.2) справедлива следующая формула: В случае четного $n$ появляется принципиально новое слагаемое, которое зависит от величины скачка функции распределения в точке $(a+b)/2$. Теорема 2. Пусть $n \geqslant 4$ четное. Предположим, что заряд ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ $BV$-регулярен. Тогда для любых регулярных граничных условий (0.2) справедлива следующая формула: Если граничные условия (0.2) сильно регулярны (что соответствует различным корням квадратичного полинома Биркгофа $\xi_1\ne\xi_2$), то ряд $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ может быть просуммирован методом средних. Если же граничные условия (0.2) регулярны, но не сильно регулярны (это соответствует совпадающим корням полинома Биркгофа $\xi_1=\xi_2$), то ряд $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ может быть просуммирован методом средних со скобками. А именно, слагаемые, соответствующие асимптотически сближающимся собственным числам, складываются попарно, а затем полученный ряд суммируется методом средних. Значение константы $\mathfrak{C}$ дается следующей теоремой. Теорема 3. Пусть $n \geqslant 4$ четное и заряд ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ $BV$-регулярен. Если граничные условия (0.2) сильно регулярны (напомним, что это соответствует $\xi_1\ne\xi_2$), то
$$
\begin{equation}
\mathfrak{C}=\mathfrak c\frac{\operatorname{Log}(-\xi_2/\xi_1)}{\xi_1-\xi_2}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Если граничные условия (0.2) регулярны, но не сильно регулярны (что соответствует $\xi_1=\xi_2$), то
$$
\begin{equation}
\mathfrak{C}=-\frac{\mathfrak c}{\xi_1}=-\frac{\mathfrak c}{\xi_2}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Значение $\mathfrak c$ определено в (4.1) и зависит только от старших коэффициентов полиномов $P_j$ и $Q_j$ из краевых условий (0.2). Здесь $\operatorname{Log}$ из формулы (1.3) обозначает выбор ветви логарифма с $\operatorname{Im} \operatorname{Log} \in (-\pi, \pi)$. Замечание 2. Если $\xi_2/\xi_1\in \mathbb R_+$, то естественная упорядоченность собственных чисел $\lambda_{N,1}$ и $\lambda_{N,2}$ отсутствует ввиду $\alpha_1=\overline\alpha_2$ в формуле (0.6). В этом случае выбор $\operatorname{Im} \operatorname{Log}=\pm\pi$ в (1.3) зависит от порядка суммирования, т.е. от того, какой из членов с $\lambda_{N,j}$ входит в сумму $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ первым. Далее, подчеркнем, что формула (1.4) не может быть получена переходом к пределу в (1.3) при $\xi_2\,{\to}\,\xi_1$, так как ряд $\mathscr{S}({\mathfrak q})$ в этих случаях суммируется по-разному: в сильно регулярном случае методом средних, а в не сильно регулярном – методом средних со скобками. Отметим также, что для некоторых важных классов граничных условий константа $\mathfrak{C}$ обращается в нуль; см. замечание 3 в § 4. Доказательство теорем 1 и 2 базируется на следующем предложении. Предложение 1 (см. [12; теорема 2.2]). Пусть $n \geqslant 3$. Для любой допустимой последовательности контуров $\gamma_\ell$ выполнено следующее соотношение при $\ell \to \infty$ (суммирование в левой части равенства производится по тем $\lambda_N({\mathfrak q})$, $\lambda_N$, которые находятся внутри $\gamma_\ell$): Переход к пределу в правой части равенства (1.5) обеспечивается следующими промежуточными утверждениями. Теорема 4. Пусть $n \geqslant 3$ нечетное и $\mathscr Q'(a)=\mathscr Q'(b)=0$. Тогда для любой допустимой последовательности контуров $\gamma_\ell$ выполнено следующее соотношение: Теорема 5. Пусть $n \geqslant 4$ четное. Предположим, что комплекснозначный заряд ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ $BV$-регулярен и $\mathscr Q'(a)=\mathscr Q'(b)=0$. Пусть, наконец, допустимая последовательность контуров $\gamma_\ell$ выбрана в соответствии с замечанием 1. Тогда выполнено следующее соотношение: Доказательство теорем 1 и 2. Разложим заряд $\mathfrak q$ на две части: где $\mathfrak{q}_0$ – гладкая функция с $\mathfrak{q}_0(a)=\mathscr Q'(a)$, $\mathfrak{q}_0(b)=\mathscr Q'(b)$ и $\displaystyle\int_{[a,b]} {\mathfrak q}_0(dx)=0$.
Пусть $n\geqslant3$ нечетное. Тогда $\mathfrak{q}_1$ удовлетворяет условиям теоремы 4. Поскольку согласно предложению 1 $\mathscr{S}({\mathfrak q})=\mathscr{S}({\mathfrak q}_0)+\mathscr{S}({\mathfrak q}_1)$, формула (1.1) следует из (0.4) для ${\mathfrak q}_0$, а также (1.5) и теоремы 4 для ${\mathfrak q}_1$. Пусть $n\geqslant4$ четное. Тогда $\mathfrak{q}_1$ удовлетворяет условиям теоремы 5. Формула (1.2) следует из (0.4) для ${\mathfrak q}_0$, а также (1.5) и теоремы 5 для ${\mathfrak q}_1$. § 2. Вспомогательные оценки. Доказательство теоремы 4Не умаляя общности, здесь и далее будем полагать $a=0$, $b=1$. Начнем с явного выражения для функции Грина. Для $y=x$ формула (12) в [5] дает
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}_0(x,x,z)=-\frac{i}{n z^{n-1}}\sum_{\alpha,\beta=1}^n \rho^{\alpha-1}e^{i z x(\rho^{\beta-1}-\rho^{\alpha-1})}\cdot\frac{\Delta_{\alpha,\beta}(z)}{\Delta(z)}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
(обозначения для определителей $\Delta(z)$, $\Delta_{\alpha,\beta}(z)$ введены в § 5). Для краткости введем обозначение $k=n/2$ для четных $n$. Лемма 1. Пусть пара $(\alpha,\beta)$, $\alpha\neq\beta$, произвольна для нечетных $n$, и пусть для четных $n$. Тогда для любой допустимой последовательности контуров $\gamma_\ell$ справедлива оценка где $C$, $c_1 > 0$. Доказательство. Из предложения 3 в § 5 следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|e^{i\mathscr R(w)w x(\rho^{\beta-1}-\rho^{\alpha-1})}\cdot \frac{\Delta_{\alpha,\beta}(\mathscr R(w) w)}{\Delta(\mathscr R(w) w)}\biggr| \leqslant C e^{\mathscr R(w)\Psi_{\alpha,\beta}(w,x)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Psi_{\alpha,\beta}(w,x)=\operatorname{Re}\bigl(iw\rho^{\alpha-1}\eta^1_{\alpha}(w, x)+iw\rho^{\beta-1}\eta^2_{\beta}(w, x)\bigr), \\ \eta^1_{\alpha}(w, x)= \begin{cases} 1-x, & \alpha \leqslant \nu(w), \\ 0-x, & \alpha > \nu(w), \end{cases} \qquad \eta^2_{\beta}(w, x)= \begin{cases} x-0, & \beta \leqslant \nu(w), \\ x-1, & \beta > \nu(w). \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что функция $\nu(w)$, определенная в (0.7), различается для четных и нечетных $n$. А именно, если $n$ четное, то $\nu(w)={n}/{2}$ для любых $w\in\Gamma^1\cup\Gamma^2$. Если же $n$ нечетное, то $\nu(w)=(n+1)/2$ для $w\in\Gamma^1$ и $\nu(w)=(n-1)/{2}$ для $w\in\Gamma^2$. Заметим, что вещественная часть обоих слагаемых в $\Psi_{\alpha,\beta}(w,x)$ отрицательна для любых $(w,x) \in (\Gamma^1\cup\Gamma^2)\times(0,1)$. Более того, если $n$ нечетно, то вещественная часть $iw\rho^{m-1}$, $w\in\overline{\Gamma^1\cup\Gamma^2}$, может обращаться в нуль только в трех случаях:
Поэтому для нечетных $n$ значения суммы $|\operatorname{Re}(iw\rho^{\alpha-1})|+|\operatorname{Re}(iw\rho^{\beta-1})|$ отделены от нуля при $\alpha \neq \beta$ равномерно по $w\in\overline{\Gamma^1\cup\Gamma^2}$. Тем самым,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi_{\alpha,\beta}(w,x) &=-|\operatorname{Re}(iw\rho^{\alpha-1})|\cdot|\eta^1_{\alpha}(x)|-|\operatorname{Re}(iw\rho^{\beta-1})|\cdot|\eta^2_{\beta}(x)| \\ &\leqslant -\min(x,1-x)(|\operatorname{Re}(iw\rho^{\alpha-1})|+|\operatorname{Re}(iw\rho^{\beta-1})|) \leqslant -c_1\min(x,1-x) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой положительной константы $c_1$. Этим завершается доказательство леммы для нечетных $n$.
Если $n$ четно, то $\operatorname{Re}(iw\rho^{m-1})$ может обратиться в нуль в одном из четырех случаев:
Во всех остальных случаях $|\operatorname{Re}(i w \rho^{m-1})|$ отделено от нуля равномерно по $w \in \overline{\Gamma^1\cup\Gamma^2}$. Таким образом, неравенство $\Psi_{\alpha,\beta}(w,x)\leqslant -c_1\min(x,1-x)$ выполнено для четных $n$ при условии, что $(\alpha,\beta)$ удовлетворяют (2.2). Этим завершается доказательство леммы для четных $n$. Лемма 2. Пусть функция распределения комплекснозначного заряда $\mathfrak q$ удовлетворяет условию4 $\mathscr Q'(0)=\mathscr Q'(1)=0$. Пусть $\Xi$ – некоторая ограниченная функция, и пусть Тогда для любой последовательности $\mathscr R_\ell(w) \rightrightarrows \infty$ выполнено соотношение Доказательство. Выберем точку $\widehat x\in(0,1)$ так, что $\mathscr Q$ непрерывна в $\widehat x$, и разобьем промежуток интегрирования $[0,1]$ на две части: $x \in [0,\widehat x]$ и $x \in [\widehat x,1]$. Докажем оценку для первого интеграла, второй интеграл оценивается аналогично.
После интегрирования по частям по переменной $x$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{[0,\widehat x]} \mathscr R_\ell(w) e^{\mathscr R_\ell(w) \Psi(w,x)}\Xi(\mathscr R_\ell(w) w)\, \mathfrak q(dx)=\mathscr R_\ell(w) \mathscr Q(\widehat x)e^{\mathscr R_\ell(w) \Psi(w,\widehat x)}\Xi(\mathscr R_\ell(w) w) \\ &\qquad\qquad - \int_0^{\widehat x} \mathscr R_\ell^2(w)\Psi'_x(w,x) \mathscr Q(x)e^{\mathscr R_\ell(w) \Psi(w,x)}\Xi(\mathscr R_\ell(w) w)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое оценивается через $O(R_\ell e^{-c_1 R_\ell\widehat x})$ равномерно по $w$ (напомним, что $R_\ell=\mathscr R_\ell(1)$). Для оценки второго слагаемого положим $\tau_\ell= R_\ell^{-1/2}\to0$. В силу условия $\mathscr Q'(0) =0$ имеем $|\mathscr Q(x)| \leqslant \varepsilon_\ell x$ для $x\in[0,\tau_\ell]$, где $\varepsilon_\ell \to 0$ при $\ell \to \infty$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\Gamma^1 \cup \Gamma^2} \int_0^{\widehat x} \mathscr R_\ell^2(w)\Psi'_x(w,x) \mathscr Q(x)e^{\mathscr R_\ell(w) \Psi(w,x)}\Xi(\mathscr R_\ell(w) w)\,dx\,dw\biggr| \\ &\qquad\leqslant C \varepsilon_\ell\biggl|\int_0^{\tau_\ell} \mathscr R_\ell^2(w) x e^{-c_1 \mathscr R_\ell(w) x}\,dx\biggr| +C \|\mathfrak q\| R_\ell^2 e^{-c_1 R_\ell\tau_\ell} \leqslant C \varepsilon_\ell+C R_\ell^2 e^{-c_1\sqrt{ R_\ell}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство леммы. Доказательство теоремы 4. Перепишем интеграл, используя представление (2.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{\gamma_\ell}\int_{[0,1]} G_0(x,x,\lambda)\, \mathfrak q(dx)\,d\lambda \\ &\qquad =\int_{\Gamma_\ell}\int_{[0,1]} \widetilde{G}_0(x,x,z)nz^{n-1}\, \mathfrak q(dx)\,dz = -i\sum_{\alpha,\beta=1}^n\int_{\Gamma_\ell}\mathscr I_{\alpha,\beta}(z)\,dz, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathscr I_{\alpha,\beta}(z)=\int_{[0,1]} \rho^{\alpha-1}e^{i z x (\rho^{\beta-1}-\rho^{\alpha-1})}\cdot\frac{\Delta_{\alpha,\beta}(z)}{\Delta(z)}\, \mathfrak q(dx).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При $\alpha=\beta$ интеграл (2.4) равен нулю ввиду условия $\displaystyle\int_{[0,1]} {\mathfrak q}(dx)=0$. При $\alpha\ne\beta$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Gamma_\ell}\mathscr I_{\alpha,\beta}(z)\,dz = \int_{\Gamma^1 \cup \Gamma^2}\int_{[0,1]}(\mathscr R_\ell(w)+\mathscr R_\ell'(w)w) \\ &\qquad\times\rho^{\alpha-1}e^{i \mathscr R_\ell(w)w x (\rho^{\beta-1}-\rho^{\alpha-1})}\cdot\frac{\Delta_{\alpha,\beta}(\mathscr R_\ell(w)w)}{\Delta(\mathscr R_\ell(w)w)}\, \mathfrak q(dx)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 и свойство 1 допустимых контуров дают оценку, необходимую для применения леммы 2. Поэтому интегралы стремятся к нулю при $\ell \to \infty$, что и доказывает теорему. § 3. Доказательство теоремы 5Эта теорема – аналитически наиболее трудная часть работы. Для перехода к пределу мы выделяем вклад в интеграл атомарной меры в точке $1/2$ (см. (3.1)) и строим разложение функции Грина с точностью до $z^{-2}$ (см. (3.5)). Первый шаг в доказательстве такой же, как и в теореме 4. Мы используем разложение (2.3), (2.4). Слагаемые с $\alpha=\beta$ обнуляются в силу $\displaystyle\int_{[0,1]} {\mathfrak q}(dx)=0$. Далее, из лемм 1 и 2 получаем для $n=2k$
$$
\begin{equation*}
\int_{\gamma_\ell}\int_{[0,1]} G_0(x,x,\lambda)\, \mathfrak q(dx)\,d\lambda =-i \int_{\Gamma_\ell}\bigl(\mathscr I_{1,k+1}+\mathscr I_{k+1,1}+\mathscr I_{k, n}+\mathscr I_{n, k}\bigr)\,dz+o(1)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\ell\to\infty$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr I_{1,k+1}= \mathscr I_{1,k+1}(z)=\int_{[0,1]} e^{2iz(1-x)} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{1,k+1}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}\, \mathfrak q(dx), \\ \mathscr I_{k+1,1} = \mathscr I_{k+1,1}(z)=\int_{[0,1]} \rho^{k}e^{2izx} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}\, \mathfrak q(dx), \\ \mathscr I_{k, n} = \mathscr I_{k, n}(z)=\int_{[0,1]} \rho^{k-1}e^{2iz(1-x)\rho^{k-1}} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{k,n}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}\, \mathfrak q(dx), \\ \mathscr I_{n, k} = \mathscr I_{n, k}(z)=\int_{[0,1]} \rho^{n-1} e^{2izx\rho^{k-1}} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{n, k}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}\, \mathfrak q(dx). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае эти четыре слагаемых не имеют предела в обычном смысле при $\ell\to\infty$. Поэтому мы используем переход к пределу в смысле средних $(\mathscr C,1)$. Разделим заряд $\mathfrak q(dx)$ на две части следующим образом:
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak q}(dx)=h_{1/2}\cdot\delta\biggl(x-\frac 12\biggr)+{\mathfrak q}_1(dx),
\end{equation*}
\notag
$$
так что ${\mathfrak q}_1(dx)$ не имеет атома в точке $1/2$, но, вообще говоря, $\displaystyle\int_{[0,1]} {\mathfrak q}_1(dx)\ne0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}\int_{\gamma_\ell}\int_{[0,1]} G_0(x,x,\lambda)\, \mathfrak q(dx)\,d\lambda \\ &\qquad=-i {\mathfrak C}\cdot h_{1/2} -i \cdot(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}\int_{\Gamma_\ell}\bigl(\mathscr I^1_{1,k+1}+\mathscr I^1_{k+1,1}+\mathscr I^1_{k, n}+\mathscr I^1_{n, k}\bigr)\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь через $\mathscr I^1_{\alpha,\beta}$ обозначаются интегралы, аналогичные $\mathscr I_{\alpha,\beta}$, у которых $\mathfrak q$ заменено на ${\mathfrak q}_1$, а
$$
\begin{equation}
{\mathfrak C} = (\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty} \int_{\Gamma_\ell}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z) +{\mathbb I}^{\delta}_{k, n}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{n, k}(z)\bigr)\,dz,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z) = e^{iz} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{1,k+1}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}, \qquad {\mathbb I}^{\delta}_{k, n}(z)=\rho^{k-1}e^{iz\rho^{k-1}} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{k,n}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}, \\ {\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z)= \rho^{k}e^{iz} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}, \qquad {\mathbb I}^{\delta}_{n, k}(z)= \rho^{n-1} e^{iz\rho^{k-1}} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{n, k}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Первое слагаемое в (3.1) совпадает с правой частью формулы (1.6) (значение предела в (3.2) будет вычислено в § 4). Поэтому нам осталось показать, что второе слагаемое в (3.1) сходится к нулю в смысле Чезаро. Проведем это доказательство в два шага. На первом шаге выберем допустимую последовательность контуров $\gamma_\ell$ так, что между любыми двумя соседними контурами содержится ровно одна пара собственных значений. Заметим, что в качестве таких контуров мы всегда можем выбрать окружности с радиусами $R_\ell^n$ (см. замечание 1). Лемма 3. Пусть комплекснозначный заряд $\mathfrak{q}$ удовлетворяет условиям теоремы 5. Рассмотрим разложение (3.1). Тогда для любой последовательности $R_\ell\to\infty$ такой, что окружности радиуса $R_\ell^n$ разделяют пары собственных значений, выполнено следующее соотношение: Доказательство. Докажем, что интеграл от $\mathscr I^1_{k+1,1}$ имеет $(\mathscr C,1)$-предел, равный нулю. Для остальных интегралов доказательство аналогично. В силу (0.6) можно без потери общности положить $R_\ell=R_0+2\ell\pi$ для больших $\ell$.
Аналогично лемме 2 интеграл по $R_\ell \Gamma^2$ стремится к нулю. Далее, в силу теоремы Коши о вычетах заменим интеграл по дуге $R_\ell \Gamma^1$ на интеграл по двум отрезкам (рис. 3): Поскольку $R_\ell$ отделены от $|\lambda_N^0|^{1/n}$, новые контуры отделены от $(\lambda_N^0)^{1/n}$ при больших $\ell$. Аналогично доказательству теоремы 4, используя леммы 1 и 2, получаем, что интеграл по второму отрезку также стремится к нулю. Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{R_\ell (\Gamma^1\cup\Gamma^2)}\mathscr I^1_{k+1,1}(z)\,dz \\ &\qquad=-i\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\int_{[0,1]} e^{2i(R_\ell+i\tau)x} \cdot\frac{\widehat{\Delta}_{k+1,1}(R_\ell+i\tau)}{\widehat{\Delta}(R_\ell+i\tau)} \, \mathfrak{q}_1(dx)\,d\tau+o(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из соотношения (5.1) видно, что если $w=e^{i\operatorname{Arg}(z)}\in\Gamma^1$, то функция $\widehat\Delta(z)$ является полиномом от переменных $e^{iz}$ и $z^{-1}$, причем его степень по переменной $e^{iz}$ равна 2. Поэтому если $z=R_\ell+i\tau$, $\tau\in(0,R_\ell \sin({\pi}/{n}))$, то
$$
\begin{equation*}
\widehat\Delta(z)=M_1(e^{iz})+z^{-1}M_2(e^{iz})+O(z^{-2})\quad \text{при } \ \ell\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_1$ и $M_2$ – полиномы второй степени. Более того, поскольку условия (0.2) регулярны по Биркгофу, свободный член $\mathfrak m$ полинома $M_1$ отличен от нуля. Разложив $\widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)$ аналогичным образом (см. (5.2)), получаем следующее соотношение при $\ell\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\frac{\widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)}{\widehat{\Delta}(z)}=\frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}}+ e^{iz}\mathbb{M}_1(e^{iz})+\frac{C}{z}+\frac{e^{iz}}{z}\mathbb{M}_2(e^{iz})+O(z^{-2}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\mathbb{M}_1$ и $\mathbb{M}_2$ – правильные рациональные дроби, а их знаменатели – полиномы с ненулевыми свободными членами. Разобьем интеграл (3.4) на части в соответствии с разложением (3.5) и оценим полученные интегралы по очереди:
$$
\begin{equation*}
\int_{R_\ell (\Gamma^1\cup\Gamma^2)}\mathscr I^1_{k+1,1}(z)\,dz=J_1(\ell)+J_2(\ell)+J_3(\ell)+ J_4(\ell)+J_5(\ell)+ o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $J_5(\ell)=o(1)$ при $\ell \to \infty$. Начнем с четвертого слагаемого:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |J_4(\ell)| &=\biggl|\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\int_{[0,1]} e^{2i(R_\ell+i\tau)x}\cdot\frac{e^{iR_\ell-\tau}}{R_\ell +i\tau}\mathbb{M}_2(e^{iR_\ell-\tau})\, \mathfrak{q}_1(dx)\,d\tau\biggr| \\ &\leqslant C\cdot\biggl|\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\|\mathfrak{q}_1\| \frac{e^{-\tau}}{R_\ell}\, d\tau\biggr|=o(1) \quad \text{при } \ \ell\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки третьего интеграла
$$
\begin{equation*}
i J_3(\ell)=\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})} \int_{[0,1]} e^{2i(R_\ell+i\tau)x} \cdot\frac{C}{R_\ell+i\tau}\, \mathfrak{q}_1(dx)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
заметим, что функция
$$
\begin{equation*}
\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})} e^{2iR_\ell x} \cdot\frac{e^{-2\tau x}}{R_\ell+i\tau}\, d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно ограничена и стремится к нулю при $\ell\to\infty$ для всех $x\in(0,1]$. Поскольку ${\mathfrak q}_1$ не имеет атома в нуле, интеграл стремится к нулю по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Второй интеграл мы преобразуем следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, iJ_2(\ell) &= \int_0^{R_\ell\sin({\pi}/{n})}\int_{[0,1]} e^{2i(R_\ell+i\tau)(1/2+x)} \mathbb{M}_1(e^{iR_\ell-\tau})\, \mathfrak{q}_1(dx)\,d\tau \\ &\stackrel{(*)}=\int_{[0,1]} F(x)e^{2iR_\ell(1/2+x)}\, \mathfrak{q}_1(dx)+o(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
F(x)=\int_0^{\infty} \mathbb{M}_1(e^{i(R_0+i\tau)})e^{-2\tau(1/2+x)}\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $(*)$ справедливо, поскольку $\mathbb{M}_1(e^{iR_\ell-\tau})=\mathbb{M}_1(e^{iR_0-\tau})$; напомним, что $R_\ell=R_0+2\ell\pi$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|\int_{R_\ell \sin({\pi}/{n})}^{\infty}\int_{[0,1]} e^{2i(R_\ell+i\tau)(1/2+x)} \mathbb{M}_1(e^{i(R_0+i\tau)})\, \mathfrak{q}_1(dx)\,d\tau\biggr| \\ &\qquad \leqslant\int_{R_\ell \sin({\pi}/{n})}^{\infty}\|\mathfrak{q}_1\| e^{-\tau}\, d\tau=o(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы уже можем применить метод Чезаро:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}\int_{[0,1]} F(x)e^{2iR_\ell(1/2+x)} \, \mathfrak{q}_1(dx) \\ &\qquad= \lim_{\ell\to\infty}\int_{[0,1]} F(x)\, \frac{e^{2 i R_0(1/2+x)}}{\ell}\, \frac{1-e^{4\pi i \ell (1/2+x)}}{1-e^{4\pi i (1/2+x)}}\, \mathfrak{q}_1(dx). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $F(x)$ – непрерывная ограниченная функция. Поэтому последнее подынтегральное выражение равномерно ограничено и стремится к нулю при $\ell\to\infty$ для всех $x\notin\{0, 1/2, 1\}$. Поскольку у $\mathfrak{q}_1$ нет атомов в этих точках5, интеграл стремится к нулю по теореме Лебега. Для оценки оставшегося интеграла $J_1$ напомним, что заряд $\mathfrak{q}_1$ $BV$-регулярен. Таким образом, $\displaystyle\mathfrak{q}_1(dx)=\psi_0(x)\,dx+x \cdot d\psi_0(x)$, и $\psi_0$ имеет ограниченную вариацию в нуле. Это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, iJ_1(\ell) &= \int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\int_0^1 \psi_0(x) e^{2 i R_\ell x - 2\tau x } \frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}} \,dx\,d\tau +\frac{1}{2} \int_0^1 e^{2 i R_\ell x}\frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}} \,d\psi_0(x) \\ &\qquad -\frac{1}{2} \int_0^1 e^{2 R_\ell x(i-\sin({\pi}/{n}))}\frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}} \,d\psi_0(x)=: J_{11}(\ell)+J_{12}(\ell)+J_{13}(\ell). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем по частям $J_{11}(\ell)$ по переменной $x$. Подстановка в точке $0$ исчезает в силу $\psi_0(0+)=\mathscr Q'(0)=0$, и мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber J_{11}(\ell) &=- \int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\int_0^1 e^{2 i R_\ell x}\frac{e^{- 2\tau x }}{2 i R_\ell - 2 \tau} \frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}} \,d\psi_0(x)\,d\tau \\ &\qquad +\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})} e^{2 i R_\ell }\frac{\psi_0(1)e^{- 2\tau }}{2 i R_\ell - 2 \tau} \frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}}\, d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Функция
$$
\begin{equation*}
\int_0^{R_\ell \sin({\pi}/{n})}\frac{e^{- 2\tau x }}{2 i R_\ell - 2 \tau}\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно ограничена и стремится к нулю при $R_\ell\to\infty$ для всех $x\in(0,1]$. Заряд $d\psi_0(x)$ не имеет атома в нуле (в силу $\psi_0(0+)=0$), и потому первое слагаемое в (3.6) стремится к нулю по теореме Лебега. Второе же слагаемое, очевидно, оценивается как $O(1/{R_\ell})$. Для $J_{12}$ мы вновь используем метод Чезаро:
$$
\begin{equation*}
(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty} J_{12}(\ell)= \lim_{\ell\to\infty}\int_0^1 \frac{e^{2 i R_0x}}{2\ell}\frac{1-e^{4\pi i \ell x}}{1-e^{4\pi i x}}\,\frac{\mathfrak{m}_{k+1,1}}{\mathfrak{m}} \,d\psi_0(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральное выражение здесь равномерно ограничено и стремится к нулю при $\ell\to\infty$ для всех $x\not\in\{0,1/2, 1\}$. Заряд $d\psi_0(x)$ не имеет атомов в этих точках, и по теореме Лебега предел равен нулю. Аналогично $(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty} J_{13}(\ell)=0$. Если граничные условия не являются сильно регулярными, то последовательность окружностей, описанная в лемме 3, соответствует замечанию 1. Таким образом, в этом случае из соотношения (3.1) и леммы 3 следует утверждение теоремы 5. В случае сильно регулярных граничных условий нам потребуется второй шаг. Рассмотрим два подслучая. Пусть $\alpha_1 \neq \overline{\alpha}_2$ в соотношении (0.6). Тогда согласно замечанию 1 можно выбрать последовательность окружностей с радиусами $R_\ell^n$ в качестве допустимых контуров, разделяющих собственные значения для больших $\ell$. Разделим последовательность $R_\ell$ на две части, $R_{2\ell}$ и $R_{2\ell-1}$, и заметим, что для каждой из полученных двух подпоследовательностей выполнены предположения леммы 3. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty} \int_{R_{2\ell} (\Gamma^1\cup\Gamma^2)}\bigl(\mathscr I^1_{1,k+1}+\mathscr I^1_{k+1,1}+\mathscr I^1_{k, n}+\mathscr I^1_{n, k}\bigr)\,dz \\ &\qquad =(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty} \int_{R_{2\ell-1} (\Gamma^1\cup\Gamma^2)}\bigl(\mathscr I^1_{1,k+1}+\mathscr I^1_{k+1,1}+\mathscr I^1_{k, n}+\mathscr I^1_{n, k}\bigr)\,dz= 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует утверждение теоремы для этого подслучая ввиду очевидного соотношения
$$
\begin{equation}
(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}I_\ell= \frac 12\Bigl((\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}I_{2\ell} +(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}I_{2\ell-1}\Bigr).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Теперь предположим, что $\alpha_1=\overline{\alpha}_2$, $\operatorname{Im}(\alpha_1)>0$. Тогда последовательность окружностей, описанную в лемме 3, можно выбрать как подпоследовательность допустимых контуров, разделяющих собственные числа при больших $\ell$, а именно $\{\gamma_{2\ell}\}$ или $\{\gamma_{2\ell-1}\}$. Для определенности пусть эти окружности есть $\{\gamma_{2\ell}\}$. Воспользуемся следующим утверждением. Предложение 2 (см. [12; лемма 4.1]). Пусть $\lim_{\ell\to\infty}\dfrac{I_\ell-I_{\ell-1}}{\ell}=0$. Тогда Таким образом, если рассмотреть контуры $g_{2\ell}$, окружающие $(\lambda_{2\ell}({\mathfrak{q}}))^{1/n}$ и $(\lambda_{2\ell})^{1/n}$, и доказать, что
$$
\begin{equation}
(\mathscr C,1)\,\text{-}\lim_{\ell\to\infty}\int_{g_{2\ell}}\bigl(\mathscr I^1_{1,k+1}+\mathscr I^1_{k+1,1}+\mathscr I^1_{k, n}+\mathscr I^1_{n, k}\bigr)\,dz=0,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
то утверждение теоремы 5 следует из соотношения (3.1), леммы 3 и предложения 2. Соотношение (0.6) и теорема Коши о вычетах позволяют выбрать $g_{2\ell}$ для достаточно больших $\ell$ как объединения двух дуг и двух коротких отрезков:
$$
\begin{equation*}
g_{2\ell}=(\mathfrak{r}_\ell+\varepsilon)\Gamma^1 \cup [(\mathfrak{r}_\ell+\varepsilon)e^{i\pi/n},(\mathfrak{r}_\ell-\varepsilon)e^{i\pi/n}] \cup(\mathfrak{r}_\ell-\varepsilon)\Gamma^1 \cup [\mathfrak{r}_\ell-\varepsilon,\mathfrak{r}_\ell+\varepsilon],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathfrak{r}_\ell=\operatorname{Re}(\alpha_1)+2\pi\ell$, а $\varepsilon$ – произвольно малое фиксированное положительное число. При заданном $\varepsilon$ пределы по Чезаро от интегралов по обеим дугам равны нулю по лемме 3. Поскольку отрезки отделены от $(\lambda_{2\ell})^{1/n}$ равномерно по $\varepsilon$, соответствующие интегралы по модулю не превосходят $C\varepsilon$. Так как $\varepsilon$ можно взять сколь угодно малым, мы получаем (3.9), и теорема 5 доказана. § 4. О значении коэффициента $\mathfrak C$ Доказательство теоремы 3. Вычисление предела в (3.2) мы проведем в два шага, аналогично доказательству теоремы 5. На первом шаге рассмотрим последовательность окружностей такую, что между любыми двумя соседними окружностями находится ровно одна пара собственных чисел.
Лемма 4. Для произвольной последовательности $R_\ell=R_0+2\pi\ell$ такой, что окружности радиусов $R_\ell^n$ разделяют пары собственных значений при достаточно больших $\ell$, выполнено следующее соотношение: Доказательство. Из формул (3.3) мы получаем при $\ell\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{R_\ell (\Gamma^1\cup\Gamma^2)}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z) +{\mathbb I}^{\delta}_{k, n}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{n, k}(z)\bigr)\,dz \\ &\qquad =\int_{R_\ell \Gamma^1}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z)\bigr)\,dz +\int_{R_\ell \Gamma^2}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{k, n}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{n, k}(z)\bigr)\,dz +o(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношения (5.1)–(5.3), выведенные в § 5, запишем подынтегральные выражения в явном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z)=\frac{e^{i z} \bigl(\langle \mathfrak{m}_{1,k+1}\rangle-\langle\mathfrak{m}_{k+1,1}\rangle\bigr)}{\langle\mathfrak{m}\rangle+\langle\mathfrak{m}_1\rangle e^{i z} -\rho^{\varkappa}\langle\mathfrak{m}\rangle e^{2 i z}}, \qquad z \in R_\ell\Gamma^1, \\ \begin{split} {\mathbb I}^{\delta}_{k,n}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{n,k}(z) &=\frac{ \rho^{k-1}e^{iz\rho^{k-1}}( \langle\mathfrak{m}_{k,n}\rangle - \langle\mathfrak{m}_{n, k}\rangle )}{\langle\mathfrak{m}\rangle - \rho^{-\varkappa}\langle\mathfrak{m}_1\rangle e^{iz \rho^{k-1}} -\rho^{-\varkappa} \langle\mathfrak{m}\rangle e^{2 iz \rho^{k-1}}} \\ &=\frac{e^{i \widehat{z}} (\langle\mathfrak{m}_{k+1,1}\rangle -\langle\mathfrak{m}_{1,k+1}\rangle )}{\langle\mathfrak{m}\rangle+ \langle\mathfrak{m}_1\rangle e^{i\widehat{z}} -\rho^{\varkappa}\langle\mathfrak{m}\rangle e^{2i\widehat{z}}}\rho^{-1} , \qquad z \in R_\ell\Gamma^2, \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{z}=\rho ^ {-1} z$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{R_\ell \Gamma^1}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{1,k+1}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{k+1,1}(z)\bigr)\,dz+\int_{R_\ell \Gamma^2}\bigl({\mathbb I}^{\delta}_{k, n}(z)+{\mathbb I}^{\delta}_{n, k}(z)\bigr)\,dz \\ &\qquad = \int_{R_\ell (\rho^{-1}\Gamma^2\cup\Gamma^1)}\frac{e^{i z} (\langle\mathfrak{m}_{1,k+1}\rangle -\langle\mathfrak{m}_{k+1,1}\rangle )}{\langle\mathfrak{m}\rangle+\langle\mathfrak{m}_1\rangle e^{i z} -\rho^{\varkappa} \langle\mathfrak{m}\rangle e^{2 i z}}\,dz=:{\mathbb J}(\ell). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему Коши о вычетах, заменим интеграл по дуге на интеграл по трем отрезкам (рис. 4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(R_\ell \cos\frac{\pi}{n}, -R_\ell \sin\frac{\pi}{n}\biggr) &\to \biggl(R_\ell,-R_\ell\sin\frac{\pi}{n}\biggr) \\ &\to \biggl(R_\ell,R_\ell\sin\frac{\pi}{n}\biggr) \to\biggl(R_\ell\cos\frac{\pi}{n},R_\ell \sin\frac{\pi}{n}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказательству леммы 3 интегралы по первому и третьему отрезкам стремятся к нулю, и мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathbb J}(\ell) &=i\int_{-R_{\ell} \sin(\pi/n)}^{R_{\ell}\sin(\pi/n)} \frac{e^{i R_0 - \tau}(\langle\mathfrak{m}_{1,k+1}\rangle -\langle\mathfrak{m}_{k+1,1}\rangle )}{\langle\mathfrak{m}\rangle+\langle\mathfrak{m}_1\rangle e^{i R_0 - \tau} -\rho^{\varkappa} \langle\mathfrak{m}\rangle e^{2 i R_0 - 2\tau}}\,d\tau+o(1) \\ &\qquad =i\int_{-\infty}^{\infty} \biggl[\frac{e^{i R_0 - \tau}(\mathfrak{m}_{1,k+1} -\mathfrak{m}_{k+1,1})}{\mathfrak{m}+ \mathfrak{m}_1 e^{i R_0 - \tau} -\rho^{\varkappa} \mathfrak{m} e^{2 i R_0 - 2\tau}}+e^{-|\tau|} \cdot O\biggl(\frac 1{R_\ell}\biggr)\biggr]\,d\tau+o(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену переменных $t=e^{-\tau}$ и воспользуемся тем, что знаменатель является квадратичным полиномом Биркгофа от $e^{i R_0 - \tau}$. Получаем
$$
\begin{equation*}
{\mathbb J}(\ell)= \frac{\mathfrak{m}_{1,k+1}-\mathfrak{m}_{k+1,1}}{i\rho^{\varkappa}\mathfrak{m}}\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-i R_0}\,dt}{(t-e^{-iR_0}\xi_1)(t-e^{-iR_0}\xi_2)}+o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает лемму. Продолжим доказательство теоремы 3. В случае, когда граничные условия регулярны, но не сильно регулярны, последовательность окружностей, описанная в лемме 4, выбрана в соответствии с замечанием 1. В этом случае соотношение (3.2) и лемма 4 дают (1.4) после явного интегрирования. В случае сильно регулярных краевых условий нам потребуется второй шаг. Пусть $\alpha_1 \neq \overline{\alpha}_2$ в соотношении (0.6). Тогда согласно замечанию 1 мы можем выбрать последовательность окружностей с радиусами $R_\ell^n$ в качестве допустимых контуров, разделяющих собственные числа для больших $\ell$. Разбив последовательность $R_\ell$ на две части, $R_{2\ell}=R_0+2\pi\ell$ и $R_{2\ell-1}=R_1+2\pi\ell$, применим лемму 4 для каждой подпоследовательности отдельно. После интегрирования получим (1.3) при помощи соотношения (3.7). Используя теорему Коши о вычетах, получаем, что итоговая формула непрерывна по $\xi_1$ и $\xi_2$ при $\xi_1\ne\xi_2$. Это позволяет рассмотреть подслучай $\alpha_1= \overline{\alpha}_2\notin\mathbb R$ и заканчивает доказательство теоремы 3. Замечание 3. Для почти разделенных граничных условий (т.е. если $b_j=0$ для $j < n/2$ и $a_j=0$ для $j \geqslant n/2$), как известно, $\xi_1=-\xi_2$ (см., например, [15]). Поэтому теорема 3 дает $\mathfrak{C}=0$. Если граничные условия квазипериодические (т.е. если $a_j=\vartheta b_j$, $\vartheta\ne0$ и $d_j=j$ для $j=0,1,\dots, n-1$), то $\mathfrak{m}_{1,k+1}=\mathfrak{m}_{k+1,1}=0$. Поэтому мы также получаем $\mathfrak{C}=0$. Пусть теперь $n=2$. Тогда в случае почти разделенных граничных условий $\mathfrak{C}=0$, как и выше. В противном случае имеем $d_0=0$, $d_1=1$, и из соотношения $\mathfrak{m}_{1,k+1}=(-1)^{d_0+d_1+1}\mathfrak{m}_{k+1,1}$ мы также получаем $\mathfrak{C}=0$. Это согласуется с результатами статьи [12]. Таким образом, константа $\mathfrak{C}$ обнуляется для многих важных классов операторов. Однако следующий пример показывает, что коэффициент $\mathfrak{C}$ может быть ненулевым даже для самосопряженного оператора $\mathbb L$. Пример. Рассмотрим оператор четвертого порядка, порожденный дифференциальным выражением $\mathscr L=D^4$ и системой граничных условий Прямым вычислением мы получаем § 5. ПриложениеСледуя [5], положим $\Delta(z)=\det(\mathscr W(z))$, где
$$
\begin{equation*}
\mathscr W_{jk}(z)=P_{j-1}(i z \rho ^{k-1})+e^{i z \rho^{k-1}}Q_{j-1}(i z \rho ^{k-1}), \qquad j, k =1, \dots, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, обозначим через $\Delta_{\alpha, \beta}(z)$ определитель матрицы, совпадающей с $\mathscr W(z)$, кроме столбца с номером $\beta$, который заменен на столбец с номером $\alpha$ матрицы
$$
\begin{equation*}
\mathscr V_{jk}(z)=e^{i z \rho^{k-1}}Q_{j-1}(i z \rho ^{k-1}), \qquad j, k =1, \dots, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что функция $\nu(w)$ определена в (0.7). Предложение 3 (см. доказательство леммы 1 из [5]). Пусть $\alpha\neq\beta$, $\nu=\nu(w)$, $R=|z|$, $w=e^{i \operatorname{Arg}(z)}$ (напомним, что $\operatorname{Arg}(z) \in (0, 2\pi/n$)). Тогда при $R\to\infty$ имеем Для доказательства леммы 1 и теоремы 4 достаточно свойств, описанных выше. В доказательствах теоремы 5 и теоремы 3 нам требуются явные выражения для $\widehat{\Delta}(z)$ и для тех $\widehat{\Delta}_{\alpha,\beta}(z)$, которые не подпадают под условие леммы 1. Положим $n=2k$ и напомним, что $w=e^{i\operatorname{Arg}(z)}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Delta}(z)=\det[\mathscr A_1|\mathscr B_1], \quad w\in \Gamma^1, \qquad \widehat{\Delta}(z)=\det[\mathscr A_2|\mathscr B_2], \quad w\in \Gamma^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr A_1 = \begin{bmatrix} \rho^{0\cdot d_0}\bigl(\langle a_{0}\rangle +\langle b_{0}\rangle e^{iz}\bigr) & \rho^{1\cdot d_0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_0}\langle a_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0\cdot d_{n-1}}\bigl(\langle a_{n-1}\rangle +\langle b_{n-1}\rangle e^{iz}\bigr) & \rho^{1\cdot d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_1= \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\bigl(\langle a_0\rangle e^{iz}+\langle b_{0}\rangle \bigr) & \rho^{(k+1) d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots & \rho^{(n-1)d_0}\langle b_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\bigl(\langle a_{n-1}\rangle e^{iz}+\langle b_{n-1}\rangle \bigr) & \rho^{(k+1) d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-1) d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr A_2= \begin{bmatrix} \rho^{0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-2) d_0}\langle a_{0}\rangle & \rho^{(k-1) d_0}\bigl(\langle a_{0}\rangle +\langle b_{0}\rangle e^{iz \rho^{k-1}}\bigr) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-2) d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \rho^{(k-1) d_{n-1}}\bigl(\langle a_{n-1}\rangle +\langle b_{n-1}\rangle e^{iz \rho^{k-1}}\bigr) \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_2 = \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots &\rho^{(n-2) d_0}\langle b_{0}\rangle & \rho^{(n-1)d_0}\bigl(\langle a_0\rangle e^{iz \rho^{k-1}}{+}\,\langle b_{0}\rangle \bigr) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-2) d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \rho^{(n-1) d_{n-1}}\bigl(\langle a_{n-1}\rangle e^{iz \rho^{k-1}}{+}\,\langle b_{n-1}\rangle \bigr) \end{bmatrix} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним также, что $\langle a\rangle $ обозначает полином от $z^{-1}$ со свободным членом $a$). Далее, при $w \in \Gamma^1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Delta}_{1,k+1}(z)=\det[\mathscr A_{1,k+1}|\mathscr B_{1,k+1}], \qquad \widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)=\det[\mathscr A_{k+1,1}|\mathscr B_{k+1,1}],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr A_{1,k+1} = \begin{bmatrix} \rho^{0\cdot d_0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-1) d_0}\langle a_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0\cdot d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_{1,k+1}= \begin{bmatrix} \rho^{0 \cdot d_0}\langle b_{0}\rangle & \rho^{(k+1) d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots & \rho^{(n-1) d_0}\langle b_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0 \cdot d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \rho^{(k+1) d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-1)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr A_{k+1,1}= \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\langle b_{0}\rangle & \rho^{1\cdot d_0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_0}\langle a_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \rho^{1\cdot d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_{k+1,1} = \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\langle a_{0}\rangle & \rho^{(k+1) d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots & \rho^{(n-1)d_0}\langle b_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \rho^{(k+1) d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-1)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle \end{bmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, при $w \in \Gamma^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Delta}_{k,n}(z)=\det[\mathscr A_{k,n}|\mathscr B_{k,n}], \qquad \widehat{\Delta}_{n,k}(z)=\det[\mathscr A_{n,k}|\mathscr B_{n,k}],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr A_{k,n}= \begin{bmatrix} \rho^{0\cdot d_0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_0}\langle a_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0\cdot d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-1)d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_{k,n}= \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots & \rho^{(n-2)d_0}\langle b_{0}\rangle & \rho^{(k-1)d_0}\langle b_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-2)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \rho^{(k-1)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr A_{n,k}= \begin{bmatrix} \rho^{0 \cdot d_0}\langle a_{0}\rangle & \dots & \rho^{(k-2) d_0}\langle a_{0}\rangle & \rho^{(n-1)d_0}\langle b_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{0 \cdot d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(k-2) d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle & \rho^{(n-1)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle \end{bmatrix}, \\ \mathscr B_{n,k}= \begin{bmatrix} \rho^{k d_0}\langle b_{0}\rangle & \dots & \rho^{(n-2)d_0}\langle b_{0}\rangle & \rho^{(n-1)d_0}\langle a_{0}\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \rho^{k d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \dots & \rho^{(n-2)d_{n-1}}\langle b_{n-1}\rangle & \rho^{(n-1)d_{n-1}}\langle a_{n-1}\rangle \end{bmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Разложив $\widehat{\Delta}(z)$ по экспонентам, получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{\Delta}(z)=\langle \mathfrak{m}_2\rangle e^{2 i z}+\langle \mathfrak{m}_1\rangle e^{i z}+ \langle \mathfrak{m}\rangle , \qquad w \in \Gamma^1, \\ \widehat{\Delta}(z)=\langle \mathfrak{m}'_2\rangle e^{2 iz \rho^{k-1}}+\langle \mathfrak{m}'_1\rangle e^{iz \rho^{k-1}}+\langle \mathfrak{m}\rangle , \qquad w \in \Gamma^2 \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(свободные члены, очевидно, совпадают и не равны нулю в силу регулярности граничных условий (0.2)). Вынося общие множители $\rho^{d_j}$ из $j$-й строки определителя $\mathfrak{m}_2$ (ср. доказательство в [14; теорема 1.1]), получаем $\mathfrak{m}_2=-\rho^\varkappa \mathfrak{m}$. Аналогично, $\mathfrak{m}'_2=-\rho^{-\varkappa} \mathfrak{m}$ и $\mathfrak{m}'_1=-\rho^{-\varkappa} \mathfrak{m}_1$. Наконец,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{\Delta}_{1,k+1}(z)=\langle \mathfrak{m}_{1,k+1}\rangle , \quad \widehat{\Delta}_{k+1,1}(z)= \langle \mathfrak{m}_{k+1,1}\rangle , \qquad w \in \Gamma^1, \\ \widehat{\Delta}_{k,n}(z)=\langle \mathfrak{m}_{k,n}\rangle , \quad \widehat{\Delta}_{n,k}(z)=\langle \mathfrak{m}_{n,k}\rangle , \qquad w \in \Gamma^2, \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и аналогичные вычисления дают
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k,n}=-\rho^{-\varkappa}\mathfrak{m}_{k+1,1}, \qquad \mathfrak{m}_{n,k}=-\rho^{-\varkappa}\mathfrak{m}_{1,k+1}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
БлагодарностиМы признательны А. В. Баданину за ценные замечания, а также рецензенту за указания, которые помогли улучшить изложение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GalNaz21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|