| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О конечной порожденности присоединенного кольца для нормирования рационального ранга больше 1 Ч. Щуabc a Department of Mathematics, Princeton University, Princeton, NJ, USA b Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA c Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University, Beijing, P.R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9448 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВопрос о конечной порожденности кольца сечений, заданного всеми целочисленными кратными фиксированного дивизора, является одним из центральных в алгебраической геометрии. Хотя в случае произвольного дивизора ответ на этот вопрос отрицательный, программа минимальных моделей позволяет получить сильные результаты о конечной порожденности для логканонических дивизоров пар; см. [3]. В работах [13], [14] была сформулирована серия гипотез, объединенных под общим названием “гипотеза о стабильном вырождении”. Согласно этой гипотезе любой особенности, логтерминальной по Кавамате, соответствует единственное $K$-полустабильное вырождение в конус лог-Фано. Это вырождение получается из присоединенного градуированного кольца, построенного по нормированию, которое минимизирует так называемый нормализованный объем, определенный в работе [13]. Доказательству гипотезы о стабильном вырождении были посвящены многочисленные работы. В частности, из работы [17] известно, что любое минимизирующее нормирование квазимономиально и является логканоническим центром некоторого $\mathbb{Q}$-дополнения. Единственная часть гипотезы, остающаяся недоказанной, есть следующее утверждение (см. [13]). Гипотеза 1.1. Пусть $x \in (X=\operatorname{Spec}(R), \Delta)$ – росток логтерминальной по Кавамате особенности. Пусть $v$ – квазимономиальное нормирование, минимизирующее нормализованный объем $\widehat{\operatorname{vol}}_{X, \Delta}$. Тогда присоединенное градуированное кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено. Это утверждение доказано только в размерности $2$ (см. [7; предложение 1.2]). Также можно сформулировать глобальный вариант гипотезы 1.1. Гипотеза 1.2. Пусть $(X, \Delta)$ – пара лог-Фано такая, что дельта-инвариант $\delta(X, \Delta)$ не превосходит $1$. Возьмем целое положительное число $r$ такое, что $-r(K_X+ \Delta)$ является дивизором Картье. Обозначим через кольцо сечений. Если нормирование $v$ вычисляет $\delta(X, \Delta)$, то кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено. В работе [4] было показано, что в предположениях гипотезы 1.2 любое нормирование, вычисляющее дельта-инвариант, квазимономиально и является логканоническим центром некоторого дополнения пары $(X, \Delta)$. В настоящей работе мы обсуждаем подход к доказательству гипотез 1.1 и 1.2, а также формулируем и доказываем нужные для этого подхода результаты о вырождениях. Так как минимизирующие нормирования в гипотезах 1.1 и 1.2 всегда являются логканоническими центрами некоторых дополнений, мы сначала строим некоторое вырождение по произвольному конечному набору дивизориальных нормирований, являющихся логканоническими центрами одного и того же $\mathbb{Q}$-дополнения. Сформулируем локальный вариант нашего утверждения; его глобальный вариант сводится к локальному переходом к аффинному конусу над парой лог-Фано. Теорема 1.3. Пусть особенность $x \in (X=\operatorname{Spec}(R), \Delta)$ логтерминальна по Кавамате. Рассмотрим $\mathfrak{m}_x$-примарный идеал $\mathfrak{a}$ и обозначим $c\,{=}\operatorname{lct}(X, \Delta; \mathfrak{a})$. Тогда для любого набора дивизориальных нормирований $E_1, \dots, E_r$, являющихся логканоническими центрами пары $(X, \Delta\,{+}\,\mathfrak{a}^c)$, существует $\mathbb{G}_m^r$-эквивариантное локально стабильное семейство $(\mathscr{X}, \Delta_{\mathscr{X}}) \to \mathbb{A}^r$, ограничение которого на каждую из $r$ координатных осей изоморфно индуцированному вырождению $X$ в $\operatorname{Spec}(\operatorname{gr}_{E_i}(R))$, $i\,{=}\,1,\dots, r$, заданному расширенной алгеброй Риса. Подробное построение этого вырождения приведено в п. 3.2. Заметим, что в [1; задача 3.1] была сформулирована более сильная гипотеза, согласно которой присоединенное градуированное кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено для любого логканонического центра $v$ пары $(X, \Delta+\mathfrak{a}^c)$. Недавно к этой гипотезе был построен контрпример (см. [2; теорема 1.4]). Мы доказываем следующий критерий конечной порожденности присоединенного градуированного кольца. Теорема 1.4. В обозначениях теоремы 1.3 пусть нормирование $v$ является логканоническим центром пары $(X, \Delta+\mathfrak{a}^c)$ и имеет рациональный ранг $r$. Тогда присоединенное градуированное кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено тогда и только тогда, когда существуют $r$ дивизориальных нормирований $E_1, \dots, E_r$, также являющихся логканоническими центрами пары $(X, \Delta+\mathfrak{a}^c)$ и таких, что выполнены следующие условия. 1. Существуют бирациональная модель $Y \to X$ такая, что $E_1,\dots, E_r$ – простые дивизоры на $Y$, и схемная точка $\eta \in (Y, E_1+ \dots +E_r)$ такая, что нормирование $v$ является тороидальным дивизориальным нормированием над $\eta \in (Y, E_1+ \dots +E_r)$. 2. Вырождение, построенное в теореме 1.3 по дивизориальным нормированиям $E_1,\dots, E_r$, имеет неприводимый слой над $0 \in \mathbb{A}^r$. Замечание 1.5. Для дальнейшего продвижения в доказательстве гипотез 1.1 и 1.2 необходимо найти и сформулировать в терминах бирациональной геометрии условие, которое обеспечивало бы неприводимость в теореме 1.4, а также включало бы в себя условия на $K$-стабильность, входящие в формулировки гипотез. БлагодарностиМы благодарны Х. Блуму, Ю. Лю, М. Мустате и Ц. Чжуану за полезные обсуждения. Кроме того, мы благодарны рецензенту статьи за многочисленные полезные замечания. § 2. Предварительные сведения2.1. Обозначения и соглашенияМы следуем терминологии, принятой в [9], [10], [12]. Определения логканонических, логтерминальных по Кавамате и дивизориально логтерминальных особенностей логпары $(X, \Delta)$ см. в [9; определение 2.34]. Определение квазидивизориально логтерминальных особенностей было дано в [8; определение 35]; полулогканонические особенности определены в [11; п. 5.2]. Далее $X$ обозначает неприводимое и приведенное отделимое многообразие над полем $k$. Обозначим $\operatorname{Val}_X$ пространство вещественнозначных нормирований поля $K(X)$, имеющих центр на $X$. Для замкнутой точки $x \in X$ обозначим $\operatorname{Val}_{X, x}$ пространство нормирований поля $K(X)$ с центром в точке $x \in X$. Будем говорить, что нормальное многообразие $X$ потенциально логтерминально по Кавамате, если существует такой эффективный $\mathbb{Q}$-дивизор $\Delta$, что пара $(X, \Delta)$ логтерминальна по Кавамате. 2.2. Градуировки и действия тора2.2.1. Нормирования и градуированные последовательности идеаловПусть $R$ – кольцо, а $\Phi$ – некоторая полугруппа. Множество идеалов $\{\mathfrak{a}_i\}_{i \in \Phi}$ называется градуированной последовательностью идеалов, если выполнено условие $\mathfrak{a}_i \cdot \mathfrak{a}_j \subset \mathfrak{a}_{i+j}$ для любых $i, j \in \Phi$. Мы всегда считаем, что $\mathfrak{a}_0=R$. Если полугруппа $\Phi$ частично упорядочена, то мы также считаем, что $\mathfrak{a}_i \supset \mathfrak{a}_j$ для любых индексов $i \leqslant j$. Если существует вложение полугрупп $\Phi \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0}$, то для любого $i \in \Phi$ введем обозначение $\mathfrak{a}_{> i}=\bigcup_{j > i}\mathfrak{a}_j$. Мы можем рассмотреть присоединенное градуированное кольцо
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}(R, \mathfrak{a}_{\bullet})=\bigoplus_{i \in \Phi}\mathfrak{a}_i/\mathfrak{a}_{> i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что $R$ – область целостности, и обозначим $X=\operatorname{Spec}(R)$. Рассмотрим пространство $\operatorname{Val}_X$ всех вещественных нормирований поля $K(X)$, имеющих центр на $X$. Для нормирования $v \in \operatorname{Val}_{X}$ обозначим символом $\Phi$ полугруппу значений $v$, т.е. $\Phi=\{v(f) \mid f \in R\}$. Для любого $t \in \mathbb{R}$ можно рассмотреть (возможно, тривиальный) идеал нормирования $\mathfrak{a}^v_{t}=\{f \in R \mid v(f) \geqslant t\}$. Следующая простая лемма дает необходимое и достаточное условие того, что градуированная система идеалов получается из некоторого нормирования описанной выше конструкцией. Лемма 2.1. Пусть $R$ – область целостности, и пусть система идеалов $\mathfrak{a}_{\bullet}$ градуирована полугруппой в $\mathbb{R}_{\geqslant 0}$. Тогда $\operatorname{gr}(R, \mathfrak{a}_{\bullet})$ является областью целостности тогда и только тогда, когда $\mathfrak{a}_{\bullet}$ есть градуированная система идеалов некоторого вещественного нормирования $v$. Доказательство см. в [16; § 8]. Для любых двух наборов из $r$ вещественных чисел будем считать, что $\underline{i}=(i_1,\dots, i_r) \geqslant \underline{j}=(j_1,\dots, j_r)$, если $i_k \geqslant j_k$ для любого индекса $1 \leqslant k \leqslant r$, и аналогично, что $(i_1,\dots, i_r) > (j_1,\dots, j_r)$, если $i_k \geqslant j_k$ для любого индекса $k$ и хотя бы одно из неравенств строгое. Для последовательности идеалов $\{\mathfrak{a}_{\underline{i}}\}_{\underline{i} \in \mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}}$, градуированной полугруппой $\mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}$, мы можем определить присоединенное градуированное кольцо так:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}(R, \mathfrak{a}_{\bullet})=\bigoplus_{\underline{i} \in \mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}}\mathfrak{a}_{\underline{i}}/\mathfrak{a}_{> \underline{i}}.
\end{equation*}
\notag
$$
2.2.2. Расширенная алгебра РисаДля градуированной системы $\{\mathfrak{a}_{\underline{i}}\}_{\underline{i} \in \mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}}$ существует ее расширенная $k[t_1,\dots, t_r]$-алгебра Риса $\mathscr{R}$. Нас интересует преимущественно случай, когда присоединенное кольцо $\operatorname{gr}(R, \mathfrak{a}_{\bullet})$ конечно порождено. Градуировка на кольце $\operatorname{gr}(R, \mathfrak{a}_{\bullet})$ определяет действие тора $T\,{=}\,(\mathbb{G}_m)^r$ на нем. Пример 2.2. Пусть $\{\mathfrak{a}_{i}\}_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}$ – градуированная система идеалов в конечно порожденной алгебре $R$ над полем $k$ такая, что $\mathfrak{a}_0=R$. Тогда кольцо $\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\mathfrak{a}_i$ конечно порождено тогда и только тогда, когда присоединенное кольцо $\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\mathfrak{a}_i/\mathfrak{a}_{i+1}$ конечно порождено. В этом случае рассмотрим расширенную $k[t]$-алгебру Риса где мы полагаем $\mathfrak{a}_i\,{=}\,R$ для $i\,{\leqslant}\,0$. Структура $k[t]$-алгебры и градуировка определяют $\mathbb{G}_m$-эквивариантный морфизм $\operatorname{Spec}(\mathscr{R}) \to \mathbb{A}^1$, для которого а слой над $0$ есть $\operatorname{Spec}\bigl(\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\mathfrak{a}_i/\mathfrak{a}_{i+1}\bigr)$. Эквивариантные вырождения, которые мы строим, обобщают конструкцию из примера 2.2 на случай базы большей размерности. Конструкция 2.3. Пусть $(X_B=\operatorname{Spec}(R)) \to (B=\operatorname{Spec}(A))$ – доминантный морфизм аффинных многообразий. Пусть $\{\mathfrak{a}_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}$ – градуированная последовательность идеалов кольца $R$. Мы считаем, что $\mathfrak{a}_0=R$ и $\mathfrak{a}_i=R$ для $i \leqslant 0$. Предположим также, что $\mathfrak{a}_i \cap A=0$ для любого $i > 0$. Пусть кольцо $\bigoplus_i \mathfrak{a}_i$ конечно порождено над $A$. Тогда рассмотрим относительную расширенную ($k[t]$-)алгебру Риса Геометрически мы получаем морфизм $\mathscr{X}=\operatorname{Spec}(\mathscr{R}) \to \mathbb{A}^1_A.$ Теперь предположим, что кольцо $R/\mathfrak{a}_i$ плоско над $A$ для любого индекса $i$. Тогда конструкция расширенной алгебры Риса коммутирует с заменой базы в следующем смысле: для морфизма $B'=\operatorname{Spec}(A') \to B$, заданного отображением колец $A \to A'$, положим $\mathfrak{b}_i=\mathfrak{a}_i \otimes_A A'$. Тогда, так как $R/\mathfrak{a}_i$ плоско, для градуированной системы идеалов $\{\mathfrak{b}_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}$ выполнены предположения нашей конструкции. Кроме того, конечная порожденность $\bigoplus_i \mathfrak{a}_i$ над $A$ влечет конечную порожденность $\bigoplus_i \mathfrak{b}_i$ над $A'$. Делая замену базы на $B'$, получаем отображение колец т.е., в геометрических терминах, имеем морфизмЛемма 2.4. В обозначениях конструкции 2.3 предположим, что $R$ плоско над $A$. Тогда построенный выше морфизм $\operatorname{Spec}(\mathscr{R}) \to \mathbb{A}_A^1$ плоский. Доказательство. Для любого $k \in \mathbb{N}$ положим $\mathscr{R}_k=\bigoplus_{j \leqslant k}\mathfrak{a}_j\cdot t^{-j}$. Так как $\mathscr{R}=\bigcup_k \mathscr{R}_k$, достаточно показать, что $\mathscr{R}_k$ является плоским $A[t]$-модулем для каждого $k$. Определим идеал $\mathfrak{c}_i$ в кольце $\mathscr{R}$ формулой и обозначим $\mathfrak{c}_{i, k}=\mathfrak{c}_i \cap \mathscr{R}_k$. Для каждого индекса $0 \leqslant i \leqslant k-1$ существует точная последовательность $A[t]$-модулей Заметим, что $\bigoplus^{-\infty}_{j=i}(\mathfrak{a}_{i}/\mathfrak{a}_{i+1})t^{-j}$ изоморфен $(\mathfrak{a}_{i}/\mathfrak{a}_{i+1})[t]$ как $A[t]$-модуль. Модуль $(\mathfrak{a}_{i}/\mathfrak{a}_{i+1})[t]$ плоский над $A[t]$, поскольку $\mathfrak{a}_{i}/\mathfrak{a}_{i+1}$ плоский над $A$. По индукции для каждого $i \geqslant 0$ кольцо $\mathscr{R}_k/\mathfrak{c}_{i, k}$ плоско над $A[t]$, так как $\mathfrak{c}_{0, k}=\mathscr{R}_k$. Кольца $R$ и $R/\mathfrak{a}_{i}$ плоские над $A$, поэтому $\mathfrak{a}_i$ также является плоским $A$-модулем. А поскольку $\mathfrak{c}_{k, k} \cong \mathfrak{a}_k[t]$ как $A[t]$-модули, модуль $\mathfrak{c}_{k, k}$ плоский над $A[t]$, откуда следует, что $\mathscr{R}$ плоско над $A[t]$. Лемма доказана. Определение 2.5. В обозначениях, принятых выше, пусть $I \subset R$ – идеал. Тогда определим идеал $\widetilde{I}$ как плоское семейство идеалов, задающее вырождение идеала $I$ в семействе $\mathscr{X} \to \mathbb{A}^1$: Это означает, что подсхема нулей $V(\widetilde{I})$ является замыканием произведения $V(I) \times (\mathbb{A}^{1} \setminus\{0\})$ в $\mathscr{X}$. В частности, рассмотрим семейство $\mathbb{Q}$-дивизоров $\Delta_B$ на многообразии $X_B$ над базой $B$, записанное в виде $\sum_i d_i\Delta_i$, где $\Delta_i$ – неприводимый дивизор на $X_B$, заданный идеалом $I_i$. Тогда для каждого $i$ построенный выше идеал $\widetilde{I}_i$ задает вырождение $\widetilde{\Delta}_i$ дивизора $\Delta_i$ над базой $B \times \mathbb{A}^1$. Обозначим $\Delta_{\mathscr{X}}=\sum_i d_i\widetilde{\Delta}_i$. Лемма 2.6. Пусть $x \in X=\operatorname{Spec}(R)$, и рассмотрим градуированную систему $\mathfrak{m}_x$-примарных идеалов $\{\mathfrak{a}_i\}_{i\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}$. Предположим, что кольцо $\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\mathfrak{a}_i$ конечно порождено, и обозначим $\mathscr{R}=\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}}\mathfrak{a}_i t^{-i}$. Пусть $\mathfrak{b}$ – некоторый $\mathfrak{m}_x$-примарный идеал. Тогда идеал $\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} (\mathfrak{b} \cap \mathfrak{a}_i)t^{-i}$ обладает тем свойством, что подсхема $\operatorname{Cosupp}(\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} (\mathfrak{b} \cap \mathfrak{a}_i)t^{-i})$ – единственное плоское семейство над $\mathbb{A}^1$, продолжающее семейство $\operatorname{Cosupp}(\mathfrak{b}) \times (\mathbb{A}^1 \setminus \{0\})$ на многообразии $\mathscr{X}=\operatorname{Spec}\mathscr{R}$. Доказательство. Легко проверить, что подсхема $\operatorname{Cosupp}\bigl(\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} (\mathfrak{b} \cap \mathfrak{a}_i)t^{-i}\bigr)$ является плоской над $\mathbb{A}^1$ (см., например, [15; лемма 4.1]). Единственность продолжения следует из того, что схема Гильберта нульмерных подсхем длины $\dim_k(R/\mathfrak{b})$ собственна над $\mathbb{A}^1$. Лемма доказана. Пример 2.7. Рассмотрим действие тора $(\mathbb{G}_m)^r$ на $\mathbb{A}^N$, заданное следующим образом: $\mathbb{G}_m$-сомножитель с индексом $k$ действует с весом $(w_{k, 1},\dots, w_{k, N})\,{\in}\,\mathbb{N}^r$. Обозначим $P=k[x_1,\dots,x_N]$ и определим кольцо: Оно может быть получено последовательным применением конструкции 2.3 к фильтрациям, заданным условиями (2.1) для каждого $1\leqslant k \leqslant r$ (т.е. индуцированными действием $\mathbb{G}_m$-сомножителя с индексом $k$). 2.3. Логпары2.3.1. ЛогпарыВ этом пункте мы приводим некоторые стандартные определения и результаты, обобщенные на случай логпары с идеалом. Определение 2.8. Пусть $(X, \Delta)$ – логканоническая пара, а $\mathfrak{a}$ – идеал на $(X, \Delta)$. В точке $x \in \operatorname{Cosupp}(\mathfrak{a})$ определим логканонический порог: где минимум берется по всем нормированиям $w$ таким, что $x \in \operatorname{Cent}_X(w) \subset \operatorname{Cosupp}(\mathfrak{a})$. Если $x$ не принадлежит $\operatorname{Cosupp}(\mathfrak{a})$, положим $\operatorname{lct}_x(X,\Delta; \mathfrak{a})=+\infty$. Обозначим также Более общо, если пара $(X,\Delta)$ имеет полулогканонические особенности, а $\mathfrak{a}$ – идеал на $(X, \Delta)$, рассмотрим нормализацию $\pi \colon X^{n} \to X$ и запишем Тогда пара $(X^n, \Delta^n)$ имеет логканонические особенности, и можно положитьПусть $(X,\Delta)$ – логканоническая пара, $c$ – неотрицательное рациональное число и $\mathfrak{a}$ – идеал на $X$. Выберем точку $p \in X$. Тогда (возможно, после ограничения на некоторую аффинную окрестность $U$ точки $p$) условие
$$
\begin{equation*}
c \cdot \operatorname{mult}_{F}(\mathfrak{a})\leqslant A_{X,\Delta}(F)
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех дивизориальных нормирований $F$ с центром, содержащим точку $p$, тогда и только тогда, когда пара $\bigl(X,\Delta\,{+}\,\frac{c}{k}(H_1\,{+}\,\dots\,{+}\,H_k)\bigr)$ логканонична в точке $p$ для общих гиперповерхностей $H_1,\dots , H_k$, содержащих подсхему нулей идеала $\mathfrak{a}$, и любого $k \geqslant c$. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим морфизм $\mu \colon Y \to X$, являющийся композицией раздутия идеала $\mathfrak{a}$ и нормализации. Тогда дивизор $\mu^{-1} \mathfrak{a}=\mathscr{O}_Y(-E)$ обилен и не имеет базисных точек над $U$. Поэтому $\mu^*(H_i)(-E)$ содержатся в линейной системе, не имеющей базисных точек. В случае, если выполнено одно из этих эквивалентных условий, будем говорить, что пара $(X,\Delta+\mathfrak{a}^c)$ логканонична в точке $p$. Аналогично, будем говорить, что пара $(X, \Delta+\mathfrak{a}^c)$ полулогканонична, если пара $(X, \Delta)$ полулогканонична и пара $(X^n, \Delta^n+(\mathfrak{a} \cdot \mathscr O_{X^n})^c)$ логканонична. Лемма 2.9. Пусть $(X, \Delta)$ – пара, логтерминальная по Кавамате, $\mathfrak{a}$ – идеал на $(X, \Delta)$. Обозначим $c=\operatorname{lct}(X,\Delta; \mathfrak{a})$. Пусть $\mu \colon (Y, E) \to (X, \Delta+ \mathfrak{a})$ – логразрешение. Тогда множество нормирований, удовлетворяющих условию $A_{X,\Delta}(v)=c\,{\cdot}\, v(\mathfrak{a})$, есть в точности конус над двойственным комплексом, образованным неприводимыми компонентами $E$, вычисляющими логканонический порог $\operatorname{lct}(X,\Delta; \mathfrak{a})$. Доказательство см. в [17; лемма 2.4]. 2.3.2. ПрисоединениеПусть $(X, \Delta)$ – полулогканоническая пара, а дивизор $E \subset \lfloor \Delta \rfloor$ приведен (возможно, приводим). Определим (см. также [10; определение 4.2]) дивизор $\Delta_E$ соотношением $(K_X+\Delta)|_{E}=K_{E}+\Delta_{E}$, т.е. $\Delta_E=\operatorname{Diff}_E(\Delta)$ – дифферента. Если $E$ удовлетворяет условию $S_2$, то $E$ полунормально (см. [10; определение 5.1]) и пара $(E,\Delta_E)$ также полулогканонична. Если $\mathfrak{a}$ – идеал, определим $\mathfrak{a}|_{E}$ как идеал, порожденный образом $\mathfrak{a}$ при отображении $\mathscr{O}_X \to \mathscr{O}_E$. Предложение 2.10. Пусть $(X, \Delta)$ – полулогканоническая пара, $E$ – дивизор такой, что $E \subset \lfloor \Delta \rfloor$, и $\mathfrak{a}$ – идеал на $X$. Предположим, что $E$ удовлетворяет условию $S_2$. Тогда пара $(X,\Delta+\mathfrak{a}^c)$ полулогканонична в окрестности дивизора $E$, если и только если пара $(E, \Delta_{E}+(\mathfrak{a}|_E)^c)$ полулогканонична. Доказательство. В случае логканонической пары $(X,\Delta)$ утверждение хорошо известно (“обращение присоединения”, см. [10; теорема 4.9]). Случай полулогканонической пары сводится к логканоническому таким рассуждением.
Обозначим $\pi \colon X^n \to X $ отображение нормализации, и пусть дивизор $D \subset X^n$ – кондуктор. Пусть также $\pi_E \colon E^n \to E$ – отображение нормализации $E$, а $i \colon E \hookrightarrow X$ и $i^n \colon E^n \to X^n$ – вложения. Тогда выполнено равенство $(i^{-1}\mathfrak{a})|_{E^n}= (i^n)^{-1}(\mathfrak{a}\,{\cdot}\, \mathscr{O}_{X^n})$. Если пара $(E, \Delta_{E}+(\mathfrak{a}|_E)^c)$ полулогканонична, то пара $(E^n, \Delta_{E^n}+i^{-1}(\mathfrak{a}|_E)^c)$ логканонична. Поэтому, применяя обращение присоединения для логканонических пар, получаем, что пара $(X^n, \pi^*\Delta+ D+(\mathfrak{a}\cdot \mathscr{O}_{X^n})^c)$ логканонична. Таким образом, пара $(X, \Delta+ \mathfrak{a}^c)$ полулогканонична. Предложение доказано. Лемма 2.11. Пусть $(X, \Delta)$ – логтерминальная по Кавамате пара, $X$ квазипроективно. Пусть дивизориальное нормирование $E$ вычисляет логканонический порог $c=\operatorname{lct}(X,\Delta; \mathfrak{a})$ для некоторого идеала $\mathfrak{a}$. Тогда существует проективный морфизм $\mu \colon Y \to X$ такой, что $\operatorname{Ex}(\mu)=E$, дивизор $-E$ обилен над $X$ и пара $(Y, E\,{+}\,\mu_*^{-1}(\Delta))$ логканонична. Более того, для любого $m$ такого, что $mE$ – дивизор Картье, выполнено следующее условие. Если мы запишем $\mu^{-1}(\mathfrak{a}^m)=\mathscr{O}_Y(-m \cdot \operatorname{ord}_{E}(\mathfrak{a})E) \cdot \mathfrak{b}_m$, то пара $(Y, E+\mu_*^{-1}(\Delta)+ \mathfrak{b}_m^{c/m})$ также логканонична. Существование бирациональной модели $Y$ с нужными свойствами следует из [3; п. 1.3.1]. Остальные утверждения следуют непосредственно из определений. В лемме 2.11, если $m_1|m_2$ и $m_1E$ – дивизор Картье, то выполнено $\mathfrak{b}_{m_2}=\mathfrak{b}^{m_2/m_1}_{m_1}$. В таком случае мы можем записать
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}=\mathfrak{b}_{m}^{1/m}\quad \text{для достаточно делимых $m$ и } \mu^{-1}(\mathfrak{a})= \mathscr{O}_Y(-\operatorname{ord}_{E}(\mathfrak{a})E)\cdot \mathfrak{b}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и говорить, что пара $(Y, E+\mu_*^{-1}(\Delta)+\mathfrak{b}^{c})$ логканонична. 2.3.3. Локально стабильные семействаОпределение семейства логпар $(X,\Delta) \to B$, параметризованного базой $B$, достаточно сложно, особенно если $B$ имеет “плохие” особенности; обсуждение этого вопроса см. в [11]. Определение 2.12. Семейство логпар $(X,\Delta) \to B$ над нормальной базой $B$ называется локально стабильным, если: 1) $X$ плоско над $B$ и пучок $\omega^{[m]}_{X/B}(m\Delta)$ является линейным расслоением для некоторого $m \in \mathbb{N}$; 2) для любой точки $s \in B$ дивизор $\Delta$ не содержит неприводимых компонент слоя $X_s$ либо компонент коразмерности $1$ особого множества $\operatorname{Sing}(X_s)$; 3) для любой точки $s$ пара $(X_s, \Delta_s)$ полулогканонична, где $\Delta_s$ есть собственный прообраз дивизора $\Delta$ на $X_s$. Главное свойство локально стабильных семейств, нужное нам, это существование индуцированного семейства при замене базы $B' \to B$; подробности см. в [11; § 4]. Нам понадобится следующая простая лемма. Лемма 2.13. Пусть $(X, \Delta)$ – логканоническая пара, а $\pi \colon X \to B$ – плоский морфизм на гладкое многообразие $B$. Возьмем схемную точку $s \in B$ коразмерности $e$ и общие гиперповерхности $H_1,\dots,H_e$, уравнения которых порождают $\mathfrak{m}_s/\mathfrak{m}_s^2$. Предположим, что пара $(X,\Delta+\pi^*(\sum^e_{i=1}H_i))$ логканонична в каждой точке прообраза $ \pi^{-1}(s)$. Тогда $(X,\Delta) \to B$ является локально стабильным семейством в окрестности $s$. Доказательство. Ограничивая морфизм $\pi $ на прообраз $\bigcap^{e-1}_{i=1}H_i$, применяя локализацию и индукцию по размерности базы, мы можем считать, что $B$ – кривая и $H_e=\{s\}$. Поскольку никакая точка на $X_s$ не является логканоническим центром, то $(X, \Delta)$ удовлетворяет условию $S_3$ в каждой точке $X_s$ (см. [10; следствие 7.21]). Поэтому слой $X_s$ удовлетворяет условию $S_2$.
Поскольку пара $(X,\Delta+X_s)$ логканонична, из классификации логканонических особенностей поверхностей следует, что $\operatorname{Supp}(\Delta)$ не содержит ни компонент слоя $X_s$, ни компонент коразмерности $1$ множества особенностей $X_s$. Следовательно, пара $(X_s, \Delta_s)$ полулогканонична. Лемма доказана. § 3. Вырождение к локально стабильному семейству3.1. Построение локально стабильного вырожденияЛемма 3.1. Рассмотрим локально стабильное семейство $(X, \Delta) \to B$ над гладкой базой $B$ такое, что слой над точкой общего положения логтерминален по Кавамате. Пусть $\sigma \colon B \to X$ – сечение. Пусть $\mu \colon Y \to (X, \Delta)$ – проективный бирациональный морфизм такой, что исключительный дивизор $E$ неприводим, семейство $\pi_Y \colon (Y, \mu_*^{-1}\Delta+E) \to B$ локально стабильно, $\operatorname{Center}_X(E)=\sigma(B)$ и дивизор относительно обилен над $X$. Тогда для любого $m\geqslant 0$ факторпучок является плоским над $B$, а морфизм является изоморфизмом для любой точки $s \in B$ и любого $m\in \mathbb{N}$. В частности, пучок $\mathscr{O}_X/\mu_*\mathscr{O}_Y(-mE)$ является плоским над $B$. Доказательство. Так как многообразие $Y$ потенциально логтерминально по Кавамате, а $E$ есть $\mathbb{Q}$-дивизор Картье, мы получаем, что пучки $\mathscr{O}_Y(-mE)$ и $\mathscr{O}_E$ коэн-маколеевы (см. [9; следствие 5.25]). Поскольку семейство пар $(Y, E\,{+}\,\mu_*^{-1}\Delta) \to B$ локально стабильно, то морфизм $\pi_Y|_E \colon E \to B$ равноразмерный над гладкой базой $B$, поэтому он плоский.
Заметим, что выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
-mE\sim_{\mathbb{Q}}K_Y+\mu_*^{-1}\Delta+E+(-am-1)(K_Y+\mu_*^{-1}\Delta+E)
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того, пара $(Y,\mu_*^{-1}\Delta+(1-\varepsilon)E)$ логтерминальна по Кавамате для любого $\varepsilon\in (0,1]$. Отсюда по теореме Каваматы–Фивега получаем для всех $m\geqslant 0$ обращение в нуль
$$
\begin{equation*}
R^i\mu_*(\mathscr{O}_Y(-mE))=0 \quad\text{для любого }\ i>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем целое положительное число $p$ такое, что $pE$ – дивизор Картье на $Y$. Определим пучок $Q_m$ с помощью точной последовательности
$$
\begin{equation}
0\to \mathscr{O}_Y((-m-1)E)\to \mathscr{O}_Y(-mE)\to Q_m\to 0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
т.е. $Q_{m+p}=Q_m \otimes \mathscr{O}_Y(-pE)$.
Покажем, что пучок $Q_m$ плоский над $B$ для любого $m$. Рассуждение аналогично доказательству в [9; следствие 5.25]. Заменяя $Y$ на окрестность произвольной точки $s \in E$, возьмем $p$-листное конечное накрытие $Y'\to Y$ такое, что полный прообраз $E'$ на $Y'$ является дивизором Картье. Тогда прямой образ пучка $\mathscr{O}_{E'}$ на $E$ распадается в прямую сумму $\bigoplus^{p-1}_{m=0}Q_m$. Поскольку $E'$ плоско над базой $B$, то же верно и для $Q_m$. Так как $E$ является собственным над базой $B$, то пучок $Q_m$ имеет носитель на $E$, поэтому $\mu_*Q_m$ является конечным $\mathscr{O}_B$-модулем. Из длинной точной последовательности, соответствующей (3.1), получаем обращение в нуль $R^i\mu_*(Q_m)$ для любого $i>0$, откуда следует, что пучок $\mu_*(Q_m)$ плоский над $B$. Таким образом, для любого $m$ пучок $\mu_*\mathscr{O}_Y(-mE)$ плоский над $B$ и совместим с заменой базы, поэтому пучок $\mu_*\mathscr{O}_Y(-mE)/\mu_*\mathscr{O}_Y(-(m+1)E)\cong \mu_*Q_m$ также плоский над $B$. Наконец, то, что $\mathscr{O}_X/\mu_*\mathscr{O}_Y(-mE)$ плоский, следует по индукции из того, что он является расширением плоских пучков. Лемма доказана. Предложение 3.2. Рассмотрим локально стабильное семейство пар $\pi$: $(X,\Delta)\to B$ над гладкой базой $B$ такое, что слой над точкой общего положения логтерминален по Кавамате. Пусть $\sigma \colon B \to X$ – сечение. Пусть $\mathfrak{a}$ – идеал на $X$ такой, что носитель фактора $\mathscr{O}_X/\mathfrak{a}$ с приведенной структурой есть $\sigma(B)$. Предположим, что пучок $\mathscr{O}_X/\mathfrak{a}$ плоский над $B$ и что для любой точки $s\in B$ логканонический порог $\operatorname{lct}(X_s,\Delta_s; \mathfrak{a}_s)=c$ постоянен. Пусть $E$ – дивизориальное нормирование на $X$, вычисляющее логканонический порог, т.е. такое, что $c\cdot \operatorname{ord}_{E}(\mathfrak{a})=A_{X,\Delta}(E)$. Тогда верны следующие утверждения. 1. Существует бирациональный морфизм $\mu\colon Y\to X$, исключительное множество которого есть в точности $E$, и $E$ доминантно отображается на $B$. 2. Для любой точки $s\in B$ индуцированный морфизм $\mu_s \colon Y_s \to X_s$ бирациональный (над каждой компонентой $X_s$), и семейство пар $\pi_Y \colon (Y, E+\mu_*^{-1}\Delta) \to B$ локально стабильно. 3. Если записать $\mu^{-1}\mathfrak{a}=\mathscr{O}_Y(-\operatorname{ord}_E(\mathfrak{a})E) \cdot \mathfrak{b}$ (как в (2.2)), то для любой точки $s\in B$ пара $(Y_s, E_s+ (\mu_s)^{-1}_*\Delta_s+\mathfrak{b}^c_s)$ полулогканонична. 4. $E$ полунормально, и можно записать $K_E+\Delta_E :=(K_Y+E+\mu_*^{-1}\Delta)|_E$; определенное так семейство пар $(E,\Delta_E) \to B$ локально стабильно. Доказательство. Из условия $A_{X,\Delta}(E)=c \cdot \operatorname{ord}_E(\mathfrak{a})$ и [3; п. 1.3.1] следует существование бирационального морфизма $\mu \colon Y \to X$ такого, что его исключительное множество есть $E \subset Y$ и дивизор $-E$ относительно обилен над $X$. Пусть теперь $F$ – некоторое дивизориальное нормирование на $X$; допустим, что центр $F$ отображается на $B$ не доминантно. Тогда пусть $s$ – общая точка образа центра $F$ на $B$; обозначим $\operatorname{dim}(\mathscr{O}_{s,B})=e$. Возьмем общие гиперповерхности $H_1,\dots, H_e$, проходящие через точку $s$. Поскольку для пары $(X, \Delta+\sum^e_{i=1}H_{i})$ выполнено условие то, применяя обращение присоединения, получаем Следовательно, $E$ отображается доминантно на $B$, и п. 1 доказан.
Чтобы доказать п. 2, сначала покажем, что морфизм $\pi_Y|_E$ равноразмерный. Допустим, что для некоторой точки $s\in B$ условие равноразмерности не выполнено: $\dim (E_s) \geqslant \dim(X) - \dim (B)$. Обозначим $e=\operatorname{codim}_{E_s}Y$. Рассмотрим общие гиперповерхности $H_1,\dots , H_e$, проходящие через $s$. Тогда пара $(X, \Delta+\pi^*\sum^e_{i=1}H_i+c\cdot \mathfrak{a})$ логканонична и выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
A_{X, \Delta+\sum^e_{i=1}H_i}(E)=c\cdot \operatorname{ord}_E(\mathfrak{a}).
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае пара $(Y, E+\mu^{-1}_* \Delta+\pi_Y^*\sum^e_{i=1}H_i)$ тоже логканонична. В то же время общая точка $E_s$ имеет коразмерность $e$ в $Y$, но существуют $e+1$ целочисленных дивизоров $\mathbb{Q}$-Картье $H_1,\dots,H_e, E$, проходящих через $e$. Это противоречит результату из [8; предложение 34]. Таким образом, морфизм $Y\,{\to}\,B$ равноразмерный. Так как $Y$ потенциально логтерминально по Кавамате, то $Y$ коэн-маколеево, поэтому морфизм $Y \to B$ плоский. В частности, морфизмы $\mu_s \colon Y_s \to X_s$ бирациональны на каждой компоненте $X_s$. Тогда из леммы 2.13 следует, что семейство пар $(Y, E+\mu_*^{-1}\Delta) \to B$ локально стабильно.
Мы показали, что пары $(X_s,\Delta_s)$, $(X_s,\Delta_s+\mathfrak{a}_s^c)$ и $(Y_s,E_s+(\mu_s)^{-1}_*\Delta_s)$ полулогканоничны. Также из приведенного выше рассуждения следует, что $\mu_s^{-1}(\mathfrak{a}_s)=\mathscr{O}_{Y_s}(\sum_i a_i\Gamma_i)\,{\cdot}\, \mathfrak{b}_s$, где $a_i\,{\cdot}\, c=A_{X_s,\Delta_s}(\Gamma_i)$, для любого исключительного дивизора $\Gamma_i$ морфизма $\mu_s$. Поэтому пара $(Y_s, E_s+(\mu_s)^{-1}_*\Delta_s+\mathfrak{b}^c_s)$ тоже является полулогканоничной. Это доказывает п. 3. Наконец, докажем п. 4. Так как пара $(Y, E+\mu^{-1}_*\Delta)$ логканонична, из классификации логканонических особенностей поверхностей следует, что дивизор $E$ полунормален. Поскольку $E$ – дивизор $\mathbb{Q}$-Картье, а многообразие $Y$ потенциально логтерминально по Кавамате, то $E$ является коэн-маколеевым. В частности, морфизм $\pi_E \colon E \to B$ равноразмерный и поэтому плоский. Чтобы доказать локальную стабильность, мы можем ограничить семейство на общую кривую, проходящую через $s$, поэтому будем считать, что $B$ – кривая. Тогда семейство пар $(E^n, \Delta_{E^n}) \to B$ локально стабильно. Действительно, $E^n$ плоско над $B$, а дивизор $\Delta_{E^n}$ определяется из соотношения откуда следует, что пара $({E^n}, E_s^n+\Delta_{E^n})$ логканонична. Значит, $(E, \Delta_{E}+E_s)$ полулогканонична, т.е. семейство пар $(E, \Delta_E) \to B$ локально стабильно в точке $s$. Предложение доказано.Лемма 3.3. Пусть $\pi \colon (X, \Delta) \to B$ – локально стабильное семейство пар над гладкой базой $B$ такое, что слой над точкой общего положения логтерминален по Кавамате. Пусть $\sigma \colon B \to X$ – сечение. Пусть $E$ – дивизориальное нормирование на $X$, центр которого есть $\sigma(B)$. Рассмотрим бирациональный морфизм $\mu \colon Y \to (X=\operatorname{Spec}(R),\Delta)$ такой, что $\operatorname{Ex}(\mu)=E$ и дивизор $-E$ обилен. Предположим, что семейство пар $(Y, E+\mu_*^{-1}\Delta) \to B$ локально стабильно. Тогда семейство $(\mathscr{X}, \Delta_{\mathscr{X}}) \to \mathbb{A}^1$, полученное применением конструкции 2.3, является локально стабильным над $B\times \mathbb{A}^1$. Доказательство. Вычисление из [14; предложение 2.32] показывает, что $K_\mathscr{X}+ \Delta_{\mathscr{X}}$ есть дивизор $\mathbb{Q}$-Картье. Так как пучок $\mathfrak{a}_m= \mu_*\mathscr{O}_Y(-mE)$ обладает тем свойством, что $\mathscr{O}_X/\mathfrak{a}_m$ плоский над $B$ для любого $m \in \mathbb Z_{\geqslant 0}$ по лемме 3.1, получаем, что конструкция 2.3 коммутирует с заменой базы. Поэтому для каждой точки $s\in B$ семейство $(\mathscr{X}, \Delta_{\mathscr{X}}) \times_{B \times \mathbb{A}^1}(\{s\}\times \mathbb{A}^1) \to \{s\} \times \mathbb{A}^1$ задает вырождение пары $(X_s,\Delta_s)$ в орбифолдный конус над парой $(E_s,\Delta_{E_s})$ (см. [15; п. 2.4]), которая полулогканонична по предложению 3.2, п. 4. Таким образом, полученное семейство $(\mathscr{X},\Delta_{\mathscr{X}}) \to \mathbb{A}^1$ является локально стабильным семейством над $B\times \mathbb{A}^1$. Лемма доказана. Сформулируем лемму, являющуюся ключевым утверждением для построения вырождения. Лемма 3.4. В обозначениях предложения 3.2 рассмотрим локально стабильное семейство пар $(\mathscr{X},\Delta_{\mathscr{X}})\to B\times \mathbb{A}^1$, построенное в лемме 3.3. Фиксируем точку $s \in B$ и рассмотрим пару $(\mathscr{X}_s, \Delta_{\mathscr{X}_s})=(\mathscr{X}, \Delta_{\mathscr{X}}) \times_{B\times \mathbb{A}^1} (\{s\} \times \mathbb{A}^1)$ такую, что специальный слой $(X_{s,0},\Delta_{{s,0}})$ над $0$ изоморфен индуцированному вырождению пары $(X_s,\Delta_{s})$. Обозначим $\mathbf{in}(\mathfrak{a}_s)$ идеал на $X_{s,0}$, являющийся вырождением $\mathfrak{a}_s=\mathfrak{a} \vert_{X_s}$. Тогда $\operatorname{lct}(X_{s,0},\Delta_{{s,0}}; \mathbf{in}(\mathfrak{a}_s))=c$. Доказательство. По предположению семейство пар $(Y, E+\mu_*^{-1}\Delta) \to B$ локально стабильно. Обозначим $\mu^{-1}\mathfrak{a}=\mathscr{O}_Y(-aE)\cdot \mathfrak{b}$, как в (2.2). Тогда $c\cdot a=A_{X,\Delta}(E)$. Рассмотрим слой над точкой $s$; тогда пара $(Y_s, E_s+(\mu_s)_*^{-1}\Delta_s+\mathfrak{b}_s^c)$ полулогканонична по предложению 3.2, п. 3. Кроме того, семейство $(E, \Delta_E)\,{\to}\,B$ тоже локально стабильно по предложению 3.2, п. 4, поэтому пара $(E_s,\Delta_{E_s})$ полулогканонична. По формуле присоединения откуда, обозначая $\mathfrak{b}_s|_{E_s}=\mathfrak{c}_s$, получаем, что пара $(E_s, \Delta_{E_s}+\mathfrak{c}_s^c)$ также полулогканонична.
Так как $(X_{s,0},\Delta_{s,0})$ – вырождение пары $(X_s,\Delta_s)$ в семействе $(\mathscr{X}_s,\Delta_{\mathscr{X}_s})\,{\to}\,\mathbb{A}^1$, построенном с помощью конструкции 2.3, то пара $(X_{s,0},\Delta_{s,0})$ является орбифолдным конусом над парой $(E_s,\Delta_{E_s})$ (см. [15; п. 2.4]). Если $\mu_{s,0} \colon Y_{s,0} \to X_{s,0}$ – раздутие вершины конуса, то исключительный дивизор изоморфен $E_s$. Тогда по построению имеем
$$
\begin{equation*}
\mu_{s,0}^*(K_{X_{s,0}}+\Delta_{s,0}+\mathbf{in}(\mathfrak{a})^c)|_{E_s} =(K_{Y_s}+E_s+ (\mu_s)_*^{-1}\Delta_s+\mathfrak{b}_s^c)|_{E_s} =K_{E_s}+\Delta_{E_s}+\mathfrak{c}_s^c.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, пара $(X_{s,0}, \Delta_{{s,0}}\,{+}\,\mathbf{in}(\mathfrak{a})^c)$ полулогканонична по предложению 2.10. Лемма доказана. 3.2. Эквивариантное вырождениеПрименяя лемму 3.4 несколько раз, мы можем доказать следующую уточненную версию теоремы 1.3. Теорема 3.5. Пусть $x \in (X=\operatorname{Spec}(R),\Delta)$ – логтерминальная по Кавамате особенность. Пусть $\mathfrak{a}$ обозначает $\mathfrak{m}_x$-примарный идеал на $X$. Пусть $E_1,\dots, E_r$ – дивизориальные нормирования на $X$, вычисляющие логканонический порог $c=\operatorname{lct}_x(X, \Delta; \mathfrak{a})$. Тогда существует $T(\cong\mathbb{G}_{m}^r)$-эквивариантное локально стабильное семейство пар $\pi \colon (\mathscr{X}_r, \Delta_{\mathscr{X}_r}) \to \mathbb{A}^r$, обладающее сечением $\sigma_r \colon \mathbb{A}^{r} \to \mathscr{X}_r$ и такое, что $\pi^{-1}(s) \cong (X, \Delta)$ для любой точки $s \in (\mathbb{A}^1\setminus\{0\})^r$. Более того, существует пучок идеалов $\widetilde{\mathfrak{a}} \subset \mathscr{O}_{\mathscr{X}_r}$, продолжающий $\mathfrak{a} \times T$ над $\mathbb A^r$, такой, что подсхема $\operatorname{Cosupp}(\widetilde{\mathfrak{a}})$ с приведенной структурой есть $\sigma(\mathbb{A}^r)$ и для любой точки $s \in \mathbb{A}^r$ выполнено равенство $\operatorname{lct}(X_s, \Delta_s; \widetilde{\mathfrak{a}}_s)=c$. Доказательство. Применяем индукцию по $r$; если $r=0$, то все доказано. Предположим, что теорема верна для $r= k$. Пусть теперь $r=k+1$.
По предположению индукции существуют локально стабильное семейство $\pi_k \colon (\mathscr{X}_{k}, \Delta_{\mathscr{X}_k}) \to \mathbb{A}^{k}$, пучок идеалов $\widetilde{\mathfrak{a}}_k$ на $\mathscr{X}_k$, плоский над $\mathbb{A}^{k}$ и такой что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathfrak{a}}_k|_{X \times (\mathbb{A}^1 \setminus \{0\})^{k}}=\mathfrak{a} \times (\mathbb{A}^1\setminus\{0\})^{k},
\end{equation*}
\notag
$$
а также сечение $\sigma_{k} \colon \mathbb{A}^{k} \to \mathscr{X}_k$. Кроме того, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{lct}((\mathscr{X}_k)_s, (\Delta_{\mathscr{X}_k})_s, (\widetilde{\mathfrak{a}}_k)_s)=c
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки $s\in \mathbb{A}^{k}$. В частности, $\operatorname{lct}(\mathscr{X}_k, \Delta_{\mathscr{X}_k}, \widetilde{\mathfrak{a}}_k)=c$.
Обозначим $\mathscr{E}_{k+1}$ дивизор на $\mathscr{X}_k$, являющийся собственным прообразом $E_{k+1}\,{\times}\,\mathbb{A}^{k}$. Заметим, что $\mathscr{E}_{k+1}$ вычисляет логканонический порог $c=\operatorname{lct}(\mathscr{X}_k, \Delta_{\mathscr{X}_k}, \widetilde{\mathfrak{a}}_k)$, потому что
$$
\begin{equation*}
A_{\mathscr{X}_k, \Delta_{\mathscr{X}_k}}(\mathscr{E}_{k+1})=A_{X,\Delta}(E_{k+1})=c \cdot \operatorname{ord}_{E_{k+1}}(\mathfrak{a})=c \cdot \operatorname{ord}_{\mathscr{E}_{k+1}}(\widetilde{\mathfrak{a}}_k).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2.11 существует бирациональный морфизм $\mu_k \colon \mathscr{Y}_{k} \to \mathscr{X}_{k}$ такой, что его исключительное множество в точности равно $\mathscr{E}_{k+1}$ и дивизор $-\mathscr{E}_{k+1}$ относительно обилен. Из леммы 2.13 следует, что для любой точки $s \in \mathbb{A}^{k}$ морфизм $(\mathscr{Y}_k)_s\to (\mathscr{X}_k)_s$ бирациональный. Поэтому локально стабильно семейство пар
$$
\begin{equation*}
(\mathscr{Y}_k, ({\mu}_k)^{-1}_*\Delta_{\mathscr{X}_k}+\mathscr{E}_{k+1}) \to \mathbb{A}^{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\mathfrak{b}_i=(\mu_k)_*(-i\mathscr{E}_{k+1})$ на $\mathscr{X}_k$ и заметим, что подсхема $\operatorname{Cosupp}(\mathfrak{b}_i)$ с приведенной структурой есть $\sigma_{k}(\mathbb{A}^{k})$. Из относительной обильности $-\mathscr{E}_{k+1}$ следует, что алгебра $\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}} \mathfrak{b}_i$ конечно порождена. Кроме того, пучки $\mathfrak{b}_i$ и $\mathfrak{b}_i/\mathfrak{b}_{i+1}$ плоские над $\mathbb{A}^{k}$ по лемме 3.1. Поэтому мы можем применить конструкцию 2.3 и получить плоское семейство
$$
\begin{equation*}
\mathscr{X}_{k+1}=\operatorname{Spec} \biggl(\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}} \mathfrak{b}_it^{-i}\biggr) \to \mathbb{A}^{k} \times \mathbb{A}^{1}=\mathbb{A}^{k+1},
\end{equation*}
\notag
$$
обладающее сечением $\sigma_{k+1} \colon \mathbb{A}^{k+1} \to \mathscr{X}_{k+1}$. Далее, запишем $\Delta_{\mathscr{X}_k}=\sum_i d_i\Delta_{k,i}$. Как в определении 2.5, можем построить вырождение $\Delta_{\mathscr{X}_{k+1}}$ дивизора $\Delta_{\mathscr{X}_k}$ над $\mathbb{A}^{k+1}$. Обозначим $\widetilde{\mathfrak{a}}_{k+1}$ пучок идеалов, являющийся вырождением $\widetilde{\mathfrak{a}}_k$.
Из леммы 3.3 следует, что семейство пар $(\mathscr{X}_{k+1}, \Delta_{\mathscr{X}_{k+1}}) \to \mathbb{A}^{k+1}$ локально стабильно над $\mathbb{A}^{k+1}$. Наконец, проверим, что для любой точки $t \in \mathbb{A}^{k+1}$ верно равенство $\operatorname{lct}(\mathscr{X}_t, (\Delta_{\mathscr{X}})_t, (\widetilde{{\mathfrak{a}}})_t)=c$. Достаточно проверить это в точках $t$ вида $(s,0)$, где $s \in \mathbb{A}^{k}$. Так как конструкция 2.3 коммутирует с заменой базы, мы можем рассмотреть вырождение, индуцированное морфизмом
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Spec} \biggl(\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}}(\mu_k)_{s*}\mathscr{O}_{Y_s}(-i(\mathscr{E}_{k+1})_s)t^{-i}\biggr) \to \operatorname{Spec}(k[t]).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку предположения леммы 3.4 выполнены для морфизма $(\mu_k)_s \colon Y_s\,{\to}\,X_s$, мы получаем требуемое равенство. Теорема доказана. Пусть $\mu \colon Y \to X$ – собственный бирациональный морфизм такой, что $Y$ нормально и $E_1,\dots, E_r \subset Y$ – простые дивизоры. Тогда семейство $\mathscr{X}_r \to \mathbb{A}^r$ из теоремы 3.5 можно построить явно. Предложение 3.6. В обозначениях теоремы 3.5 для любого $1\leqslant k \leqslant r$ верны следующие утверждения. 1) Семейство $\mathscr{X}_k \to \mathbb{A}^k$ задается как
$$
\begin{equation}
\mathscr{X}_k=\operatorname{Spec} \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k) \in \mathbb{Z}^k} \mu_{*}\mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots-i_kE_k) t_1^{-i_1} \dotsb t_k^{-i_k}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
2) Для любого $j > k$, если обозначить $\widetilde{\mu_{k,j}} \colon \mathscr{Y}_{k,j} \to \mathscr{X}_k$ морфизм с исключительным дивизором $\mathscr{E}_j$, как в теореме 3.5, то имеет место равенство Доказательство. Докажем импликации $2)_{\leqslant k}\,{+}\,1)_{\leqslant k}\ \Rightarrow\ 1)_{\leqslant k+1} \ \Rightarrow\ 2)_{\leqslant k+1}$.
Утверждения $1)_0$ и $2)_0$ тривиально выполнены. Предположим, что мы доказали $1)_{k}$, получив семейство $\mathscr{X}_k \to \mathbb{A}^{k}$, и проверили равенство $2)_{k}$. Пусть $\widetilde{\mu_{k}} \colon \mathscr{Y}_{k} \to \mathscr{X}_{k}$ – морфизм с исключительным дивизором $\mathscr{E}_{k+1}$, являющимся собственным прообразом $E_{k+1} \times \mathbb{A}^{k}$. Тогда из равенства $2)_k$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{b}_i :=\widetilde{\mu_{k}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k}}(-i\mathscr{E}_{k+1}) = \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k)\in \mathbb{Z}^k} \mu_*\mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots-i_kE_k - iE_{k+1})t_1^{-i_1} \dotsb t_k^{-i_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, по построению для семейства $\mathscr{X} :=\operatorname{Spec}(\mathscr{R}) \to \mathbb{A}^{k+1}$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{R} &=\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}} \widetilde{\mu_{k}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k}}(-i\mathscr{E}_{k+1})t^{-i}_{k+1} \\ &=\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}} \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k)\in \mathbb{Z}^k} \mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots -i_kE_k-iE_{k+1})t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k} \cdot t^{-i}_{k+1} \\ &=\bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k,i)\in \mathbb{Z}^{k+1}}\mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots -i_kE_k-iE_{k+1})t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k} t^{-i}_{k+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. верно утверждение $1)_{k+1}$.
Для $j > {k+1}$ пусть $\widetilde{\mu_{k+1,j}} \colon \mathscr{Y}_{k+1,j} \to \mathscr{X}_{k+1}$ – морфизм с исключительным дивизором $\mathscr{E}_{k+1,j}$, равным собственному прообразу $E_j\times \mathbb{A}^{k+1}$. Пусть также $\widetilde{\mu_{k,j}} \colon \mathscr{Y}_{k,j} \to \mathscr{X}_{k}$ – морфизм с исключительным дивизором $\mathscr{E}_{k,j}$, равным собственному прообразу $E_j\times \mathbb{A}^{k}$. Из равенства $2)_k$ для любого $m$ получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mu_{k,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k,j}}(-m\mathscr{E}_{k,j})= \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k)\in \mathbb{Z}^k} \mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots -i_kE_k-mE_j)t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку пучок $\widetilde{\mu_{k+1,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k+1,j}}(-m\mathscr{E}_{k+1,j})$ плоский над $\mathbb{A}^{k+1}$ (в частности, $\widetilde{\mu_{k+1,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k+1,j}}(-m\mathscr{E}_{k+1,j})$ задает вырождение $\widetilde{\mu_{k,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k,j}}(-m\mathscr{E}_{k,j})$ в плоском семействе над $ \mathbb{A}^1$), то выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{\mu_{k+1,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k+1,j}}(-m\mathscr{E}_{k+1,j}) \\ &=\bigoplus_{i_{k+1}\in \mathbb{Z}}\widetilde{\mu_{k,j}}_* \mathscr{O}_{\mathscr{Y}_{k,j}}(-m\mathscr{E}_{k,j})\cap \mathfrak{b}_{i_{k+1}} t_{k+1}^{-i_{k+1}} \quad\text{(по лемме 2.6 с заменой базы)} \\ &=\bigoplus_{i_{k+1}\in \mathbb{Z}}\biggl( \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k)\in \mathbb{Z}^k} \mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots -i_kE_k-mE_j)t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k} \biggr)\cap \mathfrak{b}_{i_{k+1}} t_{k+1}^{-i_{k+1}} \\ &=\bigoplus_{i_{k+1}\in \mathbb{Z}} \biggl( \bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k)\in \mathbb{Z}^k} \mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots -i_kE_k-mE_j)\cap \mathfrak{b}_{i_{k+1}}\biggr)t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k} t_{k+1}^{-i_{k+1}} \\ &=\!\bigoplus_{(i_1,\dots ,i_k,i_{k+1})\in \mathbb{Z}^{k+1}}\!\!\! \mu_* \mathscr{O}_{Y}(-i_1E_1-\dots-i_kE_k\,{-}\,i_{k+1}E_{k+1}\,{-}\,mE_j)t_1^{-i_1}\dotsb t_k^{-i_k} t_{k+1}^{-i_{k+1}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает утверждение $2)_{k+1}$. Предложение доказано. Следствие 3.7. Возьмем точку $s=(s_1,\dots ,s_r) \in \mathbb{A}^r$, и пусть $s_{j_1},\dots , s_{j_k}$ – все координаты точки $s$, равные $0$. Для $\underline{i}=(i_1,\dots ,i_k) \in \mathbb{Z}^{k}$ положим Тогда слой $X_s$ изоморфен $\operatorname{Spec}(T)$, где $T \cong \bigoplus_{\underline{i}\in \mathbb{Z}^k} \mathfrak{b}_{\underline{i}}/\mathfrak{b}_{>\underline{i}}$. В частности, если обозначить $R_*=\bigoplus_{\underline{i}\in \mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}} \mathfrak{a}_{\underline{i}}/\mathfrak{a}_{>\underline{i}},$ где то слой $X_0$ изоморфен $\operatorname{Spec} R_*$.Обозначим $e_k$ однопараметрическую подгруппу $\mathbb{G}_m$, являющуюся сомножителем тора $\mathbb{G}_m^r$ с индексом $k$. Обозначим $w=(w_{1},\dots ,w_r) \in \mathbb{N}^r$ и рассмотрим вектор $\xi_w=\sum^r_{k=1} w_ke_k$. Вложение $i_w \colon \mathbb{G}_m \to (\mathbb{G}_m)^r$ продолжается до морфизма $\bar{i}_w \colon \mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^r$ такого, что $\bar{i}_w(0)=0$. Тогда семейство, полученное заменой базы, имеет специальный слой $X_0=\mathscr{X} \times_{\mathbb{A}^r}\{0\}$. Предположим теперь, что специальный слой $X_0$ неприводим. Тогда фильтрация, индуцированная $\xi_w$ и такая, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt}_{\xi_w}(f)=\operatorname{wt}_{\xi_w}(\bar{f})=\sum^r_{k=1}w_k \cdot \operatorname{ord}_{E_k}(f),
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует нормированию по лемме 2.1. Так как равенство выполнено для любого $f \in R$, то для любого элемента ${f}/{g}\in K$, где $f,g\in R$, выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{wt}_{\xi_w}\biggl(\frac{f}{g}\biggr) &=\operatorname{wt}_{\xi_w}(f) - \operatorname{wt}_{\xi_w}(g) = \sum^r_{k=1}w_k\cdot(\operatorname{ord}_{E_k}(f) - \operatorname{ord}_{E_k}(g)) \\ &= \sum^r_{k=1}w_k\cdot\operatorname{ord}_{E_k}\biggl(\frac{f}{g}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Отсюда получаем следующее утверждение. Лемма 3.8. В обозначениях теоремы 3.5 предположим, что специальный слой $X_0$ неприводим. Пусть $\mu \colon Y \to (X, \Delta)$ – бирациональный морфизм такой, что дивизоры $ E_1,\dots , E_r$ содержатся в исключительном множестве. Пусть $Z$ – неприводимая компонента пересечения $E_1 \cap \dots \cap E_r$ такая, что в общей точке $\eta(Z)$ особенность $(\eta(Z) \in Y, E_1+\dots +E_r)$ квазидивизориально логтерминальна. Тогда $\operatorname{wt}_{\xi_w}$ совпадает с квазимономиальным нормированием $v_{w}$ над точкой $(\eta(Z)\in Y, E_1+\dots +E_r)$ с весом $(w_1,\dots ,w_r)$. В частности, такая компонента $Z$ единственна. Доказательство. Пусть $z_1,\dots ,z_r$ – элементы кольца $\mathscr{O}_{Y,\eta(Z)}$ такие, что $z_i$ является уравнением $E_i$ в окрестности $\eta(Z)$. Для любого элемента $f$ из $\mathscr{O}_{Y,\eta(Z)}$ мы можем записать
$$
\begin{equation*}
f=\sum_{\beta \in \mathbb{Z}^{r}_{\geqslant 0}}c_{\beta}z^{\beta}, \quad\text{где }\ c_{\beta}\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $v_w(f)=\min_{\beta} \langle \beta, w \rangle$. Из (3.3) получаем, что $\operatorname{wt}_{\xi_{w}}(f) \leqslant v_w(f)$. С другой стороны, $\operatorname{wt}_{\xi_w}$ является нормированием, поэтому Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.4. Пусть существуют дивизоры $E_1,\dots ,E_r$. Можно считать, что все координаты $w_i$ вектора $w$ положительны. Из леммы 3.8 следует, что если специальный слой $X_0$ неприводим, то присоединенное градуированное кольцо, построенное по нормированию $v_{w}$, совпадает с фильтрацией, индуцированной $\xi$, т.е. с $R_*$.
Чтобы доказать обратную импликацию, заметим, что конус $\operatorname{LC}(X, \Delta+ \mathfrak{a}^c)$ всех нормирований, являющихся логканоническими центрами пары $(X, \Delta{\kern1pt}{+}{\kern1pt}\mathfrak{a}^c)$, содержит минимальный рациональный подконус размерности $r$, внутренность которого содержит точку $v$. Тогда из [15; лемма 2.10] следует существование дивизориальных нормирований $E_1,\dots ,E_r$, содержащихся в этом подконусе и удовлетворяющих условиям 1 и 2 теоремы 1.4. Теорема доказана. 3.3. Конечная порожденность влечет оптимальное вырождениеПусть $(X,\Delta)$ – пара лог-Фано, т.е. пара $(X,\Delta)$ логтерминальна по Кавамате и $-(K_X+ \Delta)$ обилен. Возьмем $r\in \mathbb{N}$ такое, что $-r(K_X+\Delta)$ есть дивизор Картье. Нас интересует конечная порожденность присоединенных градуированных колец вида $\operatorname{gr}_v(R)$, где
$$
\begin{equation*}
R :=\bigoplus_mR_m=\bigoplus_m H^0(X, -rm(K_{X}+\Delta)).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом пункте мы покажем, что из гипотезы 1.2 следует, что дельта-инвариант $\delta(X, \Delta)$, не превосходящий $1$, вычисляется дивизориальным нормированием. Это утверждение, вероятно, хорошо известно специалистам. Предложение 3.9. Пусть $(X,\Delta)$ – пара лог-Фано. Предположим, что дельта-инвариант $\delta(X,\Delta)$ не превосходит $1$ и что существует квазимономиальное нормирование $v$, вычисляющее $\delta(X,\Delta)$ и такое, что присоединенное градуированное кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено. Тогда существует дивизориальное нормирование $E$ на $X$, вычисляющее $\delta(X,\Delta)$. В частности, пара $(X,\Delta)$ не является $K$-стабильной. В работах [6] и [5] было показано, что существование дивизориального нормирования $E$, вычисляющего $\delta(X,\Delta)\,{\leqslant}\,1$, равносильно существованию так называемого оптимального вырождения, т.е. вырождения пары $(X,\Delta)$ такого, что специальный слой $X_0$ приведен и неприводим, и для $(X_0,\Delta_0)$ выполнено равенство $\delta(X_0,\Delta_0)\,{=}\,\delta({X,\Delta})$. При этом дельта-инвариант $\delta(X_0,\Delta_0)$ вычисляется дивизориальным нормированием, индуцированным $\mathbb{G}_m$-действием на $(X_0,\Delta_0)$. Доказательство предложения 3.9. По предположению присоединенное градуированное кольцо $\operatorname{gr}_v(R)$ конечно порождено. Из [14; лемма 2.10] (см. также теорему 1.4) следует существование бирационального морфизма $Y \to (X,\Delta+D)$ и простых дивизоров $E_1,\dots , E_r$ на $Y$ с пересечением $Z$ таким, что пара $(Y, E_1+\dots +E_r)$ локально тороидальна в точке $\eta(Z)$ и нормирование $v$ имеет вид $v_{w_0}$ для некоторого $w_0\in \mathbb{R}^r_{>0}$. Более того, дивизоры $E_1,\dots,E_r$ индуцируют торически эквивариантное вырождение $R$ над $\mathbb{A}^r$, где $r=\operatorname{rat.rk.}(v)$. Обозначим $R_*$ специальный слой этого вырождения; тогда $R_*=\operatorname{gr}_vR$.
Существует $\mathbb{G}_m \times \mathbb{G}_m^r$-действие на $R_*$, которое индуцирует градуировку $R_*=\bigoplus_{m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}} (R_*)_m$. Здесь действие первого сомножителя индуцировано градуировкой на $R$, и мы можем записать $(R_*)_m=\bigoplus_{\underline{i} \in \mathbb{Z}^r_{\geqslant 0}} (R_*)_{m, \underline{i}}$, где $\underline{i}$ соответствует весу $\mathbb{G}^r_m$-действия. По лемме 3.8 для любого $w \in \mathbb{R}^r_{\geqslant 0}$ и для любого $f \in R_{m}$ выполнено $v_{w}(f)=\langle w , \underline{i} \rangle$, где $\underline{i}$ есть элемент из $\mathbb{Z}^r$, координата которого с индексом $k$ равна $\operatorname{ord}_{E_k}(f)$. Лемма 3.10. Функция $S_{X, \Delta}(v_{w})$, где $w \in \mathbb{R}^r_{\geqslant 0}$, линейна на конусе $ \mathbb{R}^r_{\geqslant 0}$. Доказательство. Фиксируем $m \in \mathbb{N}$ и положим Тогда по определению функции $S_{X, \Delta}(v_{w})$ выполнено равенство
Так как $v_{w}(f)=\langle w , \underline{i} \rangle$, мы получаем $H_{w, m}=\sum_{\underline{i}}\dim \langle {w},\underline{i} \rangle \cdot \dim(R_{\underline{i}}),$ т.е. функции $H_{w,m}$ линейны на конусе $\mathbb{R}^r_{\geqslant 0}$, что влечет также линейность $S_{X, \Delta}(v_{w})$ на конусе $\mathbb{R}^r_{\geqslant 0}$. Лемма доказана. Вернемся к доказательству предложения. Имеем $\delta(v_{w})\,{=}\,{S_{X, \Delta}(v_{w})}/{A_{X, \Delta}(v_{w})}$, а в числителе и знаменателе стоят линейные функции от $w$. Поэтому если функция $\delta(v_{w})$ достигает минимума на некотором $w_0 \in \mathbb{R}^r_{>0}$, то функция ${A_{X, \Delta}(v_{w})}/{S_{X, \Delta}(v_{w})}$ постоянна на всех $w\in U$. В частности, любое дивизориальное нормирование $E$, соответствующее элементу $w$ из $\mathbb{N}^r$, будет вычислять дельта-инвариант $\delta(X,\Delta)$. Предложение доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Xu21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|