| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Особенности торических расслоений К. Биркарa, Й. Ченb a Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, Centre for Mathematical Sciences, Cambridge University, Cambridge, UK b Hua Loo-Keng Key Laboratory of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, P.R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9446 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеМы работаем над алгебраически замкнутым полем $k$ характеристики $0$. В настоящей работе расслоением мы называем стягивание, т.е. проективный морфизм $f\colon X\to Z$ со связными слоями. В алгебраической геометрии часто возникает задача изучения геометрии $X$ в терминах базы $Z$ и слоев $f$. В частности, этот вопрос фундаментален для бирациональной геометрии, где часто встречаются расслоения Фано и Калаби–Яу, являющиеся частным случаем более общего класса расслоений лог-Калаби–Яу. Важной задачей является описание особенностей $X$ в терминах особенностей слоев $f$ и базы $Z$. В этом контексте МакКернан выдвинул гипотезу о том, что особенности $Z$ ограничены в терминах особенностей $X$. Гипотеза 1.1. Пусть даны натуральное число $d$ и вещественное число $\varepsilon\,{>}\,0$. Тогда существует такое вещественное число $\delta>0$, зависящее от $d$ и $\varepsilon$, что выполнено следующее. Предположим, что: – многообразие $X$ является $\varepsilon$-логканоническим, $\mathbb{Q}$-факториальным и имеет размерность $d$; – $f\colon X\to Z$ является расслоением Мори, т.е. $K_X$-отрицательным экстремальным стягиванием с $\dim X>\dim Z$. Тогда $Z$ является $\delta$-логканоническим. В случае $d\leqslant 2$ гипотеза тривиальна, так как $Z$ является либо точкой, либо гладкой кривой. Ш. Мори и Ю. Г. Прохоров (см. [18]) доказали гипотезу для $d=3$ и $\varepsilon=1$ при условии, что $X$ имеет терминальные особенности: в этом случае можно положить $\delta=1$, что подтверждает гипотезу Исковских. В. Алексеев и А. Борисов (см. [1]) доказали гипотезу для торических морфизмов торических многообразий. С другой стороны, более общая гипотеза была независимо высказана В. В. Шокуровым. Она формулируется в терминах пар. Также нам потребуется вспомнить формулу присоединения для расслоений, называемую формулой для канонического расслоения. Рассмотрим стягивание нормальных многообразий $f\colon X\to Z$, и пусть $(X,B)$ является логтерминальной по Кавамате парой с условием $K_X\,{+}\,B\sim_{\mathbb{R}}0/Z$. Согласно Ю. Кавамате (см. [14], [15]) и Ф. Амбро (см. [3], [2]) можем записать где $B_Z$ называется дискриминантным дивизором и $M_Z$ называется модульным дивизором. Дискриминантный дивизор определен как дивизор Вейля, в то время как $M_Z$ определен только с точностью до $\mathbb R$-линейной эквивалентности. Дискриминантный дивизор определяется в терминах логканонических порогов, а именно, коэффициент при простом дивизоре $D$, входящем в $B_Z$, равен $1-t$, где $t$ является наибольшим вещественным числом таким, что пара $(X, B\,{+}\,tf^*D)$ логканонична над общей точкой $D$. Более того, для любого бирационального морфизма $Z'\to Z$ можно аналогично определить дивизоры $B_{Z'}$ и $M_{Z'}$, образы которых на $Z$ равны $B_Z$ и $M_Z$ соответственно. Выбирая в качестве $Z'$ достаточно высокое разрешение, для любого бирационального морфизма $Z''\to Z'$ получаем, что $M_{Z''}$ является обратным образом $M_{Z'}$ и оба дивизора численно эффективны.По формуле присоединения мы получаем обобщенную пару $(Z, B_Z+M_Z)$; см. п. 2.5. Чтобы изучить особенности пары $(Z,B_Z+M_Z)$, требуется описать дискриминантный дивизор $B_{Z'}$ на бирациональных моделях $Z'$. В этом случае уточненная версия гипотезы Шокурова утверждает следующее. Гипотеза 1.2. Пусть даны натуральное число $d$ и вещественное число $\varepsilon\,{>}\,0$. Тогда существуют рациональные числа $\alpha,\delta\in (0,1)$, зависящие только от $d$, $\varepsilon$ и такие, что выполнено следующее. Предположим, что для пары $(X,B)$ и стягивания $f\colon X\to Z$ верно, что: – пара $(X,B)$ является $\varepsilon$-логканонической и имеет размерность $d$; – $K_X+B\sim_{\mathbb{R}}0/Z$; – $X$ является многообразием типа Фано над $Z$, или, эквивалентным образом, $-K_X$ объемен над $Z$. Тогда пара $(Z,B_Z+M_Z)$ является обобщенной $\delta$-логканонической. Эта гипотеза эквивалентна тому, что дискриминантные дивизоры $B_{Z'}$ имеют коэффициенты $\leqslant 1\,{-}\,\delta$ для любой бирациональной модели $Z'\to Z$. В частности, из гипотезы следует, что кратности (т.е. коэффициенты) слоев морфизма $f$ над точками коразмерности $1$ в $Z$ ограничены в терминах $d$, $\varepsilon$. В качестве специального случая укажем результат Ш. Мори и Ю. Г. Прохорова [19], утверждающий, что если $X\to Z$ является терминальным трехмерным расслоением на поверхности дель Пеццо над гладкой кривой, то кратности слоев ограничены числом $6$. Наиболее общий результат, касающийся гипотезы Шокурова, получен первым автором. Совмещая основные результаты работ [4] и [5], получаем следующую теорему. Теорема 1.3. Гипотеза Шокурова верна при условии, что логограничена пара $(F,\operatorname{Supp} B|_F)$, где $F$ – общий слой морфизма $f$. В частности, гипотеза верна, если для коэффициентов горизонтальных компонент дивизора $B$ выполнено условие $\geqslant \tau$ для некоторого фиксированного вещественного числа $\tau>0$. Первое утверждение следует из [4]. Второе утверждение следует из [5], так как в этом случае пара $(F,\operatorname{Supp} B|_F)$ логограничена. В настоящей работе мы доказываем следующий результат, утверждающий, что гипотеза Шокурова верна в торической ситуации после усреднения с торическим дивизором границы. Также мы показываем, что этот результат ведет к некоторым интересным приложениям. Теорема 1.4. Пусть даны натуральное число $d$ и вещественное число $\varepsilon\,{>}\,0$. Тогда существуют рациональные числа $\alpha,\delta\in (0,1)$, зависящие от $d$ и $\varepsilon$ и такие, что верно следующее. Предположим, что: – $(X,\Delta)$ является проективной торической парой размерности $d$, где $\Delta$ – торически инвариантный дивизор; – $f\colon X\to Z$ является торическим стягиванием; – $(X,B)$ является $\varepsilon$-логканонической парой для некоторого $\mathbb{Q}$-дивизора $B$ (не обязательно торически инвариантного); – $K_X+B\sim_{\mathbb{Q}}0/Z$. Пусть $ \Gamma^{\alpha}=\alpha B+(1-\alpha)\Delta$, и пусть по формуле присоединения имеем $K_X+\Gamma^{\alpha}\sim_{\mathbb{Q}} f^*(K_Z+\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$. Тогда $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является обобщенной $\delta$-логканонической парой. В качестве следствия получаем следующий результат. Следствие 1.5. Рассмотрим торическое стягивание Фано $f\colon X\to Z$, где $X$ – проективное многообразие размерности $d$ с $\varepsilon$-логканоническими особенностями. Тогда существует натуральное число $m$, зависящее от $\varepsilon$, $d$ и такое, что кратности слоев морфизма $f$ над точками коразмерности $1$ в $Z$ ограничены числом $m$. Из этого следствия вытекает, что для простого дивизора $D$ на $Z$ коэффициенты компонент $f^*D$, отображающихся на $D$, ограничены числом $m$. В общем случае обратный образ $f^*D$ может быть не везде определенным, так как $D$ может не быть дивизором $\mathbb Q$-Картье, но он является определенным в окрестности общей точки дивизора $D$. Другим следствием теоремы 1.4 является новое доказательство результата, полученного В. Алексеевым и А. Борисовым (см. [1]). Следствие 1.6. Рассмотрим торическое стягивание Фано $f\colon X\to Z$, где $X$ – проективное многообразие размерности $d$ с $\varepsilon$-логканоническими особенностями. Тогда существует вещественное число $\delta>0$, зависящее только от $\varepsilon$, $d$ и такое, что $Z$ имеет $\delta$-логканонические особенности. Также мы доказываем более общую форму основной теоремы для обобщенных пар. Теорема 1.7. Пусть даны натуральное число $d$ и вещественное число $\varepsilon\,{>}\,0$. Тогда существуют рациональные числа $\alpha,\delta\in (0,1)$, зависящие только от $d$, $\varepsilon$ и такие, что верно следующее. Предположим, что: – $(X,\Delta)$ является проективной торической парой размерности $d$, где дивизор $\Delta$ торически инвариантен; – стягивание $f\colon X\to Z$ является торическим; – $(X,B+M)$ является обобщенно $\varepsilon$-логканонической парой, где $B$, $M'$ – $\mathbb{Q}$-дивизоры (не обязательно торические), $M'$ является численно эффективной частью пары; – $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}}0/Z$. Пусть $\Gamma^{\alpha}=\alpha B+(1-\alpha)\Delta$, $N^{\alpha}=\alpha M$, и пусть по обобщенной формуле присоединения имеем $K_X+\Gamma^{\alpha}+N^{\alpha}\sim_{\mathbb{Q}} f^*(K_Z+\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$. Тогда обобщенная пара $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является $\delta$-логканонической. Обсуждение формулы присоединения для обобщенных пар см. в п. 2.6. Мы сформулировали наши результаты в проективной ситуации, т.е. когда многообразие $X$ проективно. Тем не менее предложенные доказательства работают в более общей ситуации, а именно когда морфизм $X\to Z$ проективен. Причина предполагать проективность $X$ заключается в том, что мы используем формулу присоединения для обобщенных пар (см. п. 2.6), где эта формула доказана в ситуации, когда тотальное пространство проективно. Тем не менее мы ожидаем, что она работает и в общем случае. БлагодарностиЧасть настоящей работы была выполнена во время визита в Тианьюаньский математический центр в Северо-Восточном Китае, а также в Джилинский университет в августе 2019 г. Мы благодарим эти организации за гостеприимство. Часть работы была выполнена во время визита второго автора в Математический центр Кембриджского университета в январе 2020 г. Он благодарен Центру за поддержку. Также авторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания. § 2. Предварительные сведенияМы работаем над алгебраически замкнутым полем $k$ характеристики $0$; все многообразия и схемы предполагаются определенными над $k$, если не оговорено иное. 2.1. СтягиванияСтягиванием будем называть проективный морфизм многообразий $f\colon X\to Y$ такой, что $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ (при этом $f$ не обязательно бирационален). В частности, морфизм $f$ сюръективен и имеет связные слои. 2.2. ПарыСубпара $(X,B)$ состоит из нормального квазипроективного многообразия $X$ и субграницы $B$, т.е. $\mathbb{R}$-дивизора на $X$ с коэффициентами в $(-\infty,1]$, таких, что $K_X+B$ является дивизором $\mathbb{R}$-Картье. Будем называть $(X,B)$ парой, если, кроме того, $B\geqslant 0$. Рассмотрим логразрешение $\varphi\colon W\to X$ субпары $(X,B)$. Пусть $K_W+B_W$ является логобратным образом $K_X+B$. Тогда логдискрепантностью простого дивизора $D$ на $W$ по отношению к субпаре $(X,B)$ будем называть число Будем говорить, что субпара $(X,B)$ является сублогканонической (соответственно сублогтерминальной по Кавамате, суб-$\varepsilon$-логканонической), если для $a(D,X,B)$ выполнено $\geqslant 0$ (соответственно $>0$, $\geqslant \varepsilon$) для любого $D$. В частности, для коэффициентов $B_W$ выполнено $\leqslant 1$ (соответственно $<1$, $\leqslant 1-\varepsilon$). Если $(X,B)$ является парой, будем говорить, что она является логканонической (соответственно логтерминальной по Кавамате, $\varepsilon$-логканонической), если для нее выполнены перечисленные выше условия. Заметим, что так как $a(D,X,B)=1$ для большинства простых дивизоров, то с необходимостью $\varepsilon\leqslant 1$. Стандартные определения и результаты об особенностях пар и программе логминимальных моделей могут быть найдены в [16]. Пусть $(X,B)$ является сублогканонической субпарой, и пусть $M\geqslant 0$ является дивизором $\mathbb{R}$-Картье. Тогда логканоническим порогом $M$ по отношению к паре $(X,B)$ назовем наибольшее вещественное число $t$ такое, что субпара $(X,B+tM)$ является сублогканонической. 2.3. Многообразия типа ФаноРассмотрим стягивание нормальных многообразий $X\to Z$. Будем говорить, что $X$ является многообразием типа Фано над $Z$, если существует граница $C$ такая, что пара $(X,C)$ является логтерминальной по Кавамате и $-(K_X+C)$ обилен над $Z$. Из [9] следует, что можно запустить программу минимальных моделей для любого $\mathbb R$-Картье $\mathbb R$-дивизора $D$ на $X$ над $Z$ и что она завершится либо $D$-отрицательным расслоением, либо $D$-минимальной моделью, т.е. $D$-численно эффективной моделью. Будем говорить, что $X\to Z$ является расслоением Мори, если $-K_X$ обилен над $Z$ и для относительного числа Пикара имеем $\rho(X/Z)=1$. 2.4. $b$-дивизорыЗафиксируем многообразие $X$. Тогда $b$-$\mathbb{R}$-Картье $b$-дивизором над $X$ будем называть выбор проективного бирационального морфизма $Y\,{\to}\,X$ из нормального многообразия $Y$ и $\mathbb{R}$-Картье дивизора $M$ на $Y$ с точностью до такого отношения эквивалентности: другой проективный бирациональный морфизм $Y'\,{\to}\,X$ из нормального многообразия $Y'$ и $\mathbb{R}$-Картье дивизор $M'$ определяют тот же $b$-$\mathbb{R}$-Картье $b$-дивизор, если существует общее разрешение $W\,{\to}\,Y$ и $W\to Y'$ такое, что на нем совпадают обратные образы $M$ и $M'$. 2.5. Обобщенные парыОбобщенные пары определялись и изучались в [10]; современный обзор теории обобщенных пар см. в [7]. Обобщенная пара состоит из:
таких, что $M'$ численно эффективен$/Z$ и $K_X+B+M$ является дивизором $\mathbb{R}$-Картье, где $M:=\varphi_*M'$. Мы будем говорить, что $(X,B+M)$ является обобщенной парой с данными $X'\to X\to Z$ и $M'$, и называть $M'$ численно эффективной частью пары. Теперь определим обобщенные особенности. Заменяя $X'$, можно считать $\varphi$ логразрешением пары $(X,B)$. Запишем для однозначно определенного $B'$. Для простого дивизора $D$ на $X'$ назовем обобщенной логдискрепентностью $a(D,X,B+M)$ число $1-\mu_DB'$. Будем говорить, что $(X,B+M)$ является обобщенно логканонической (соответственно обобщенно логтерминальной по Кавамате, обобщенно $\varepsilon$-логканонической), если для каждого $D$ для обобщенной логдискрепатности $a(D,X,B+M)$ выполнено $\geqslant 0$ (соответственно $>0$, $\geqslant \varepsilon$).Обобщенные субпары и их особенности определяются аналогично с той разницей, что коэффициенты $B$ принадлежат множеству $(-\infty,1]$. Рассмотрим обобщенную субпару $(X,B+M)$. Пусть $\psi\colon Y\to X$ – конечный в общей точке морфизм из нормального многообразия $Y$. Выберем разрешение $Y'\to Y$ такое, что $\rho\colon Y'\dashrightarrow X'$ является морфизмом. Как отмечено выше, мы можем записать откуда получаем где $K_{Y'}+B_{Y'}$ является обратным образом $K_{X'}+B'$, а $M_{Y'}$ является обратным образом $M'$. Обозначим через $B_Y$ и $M_Y$ образы на $Y$ дивизоров $B_{Y'}$ и $M_{Y'}$ соответственно. Тогда получаем где мы рассматриваем $(Y,B_Y+M_Y)$ как обобщенную субпару с численно эффективной частью $M_{Y'}$. Используя формулу Гурвица, несложно видеть, что если $(X,B+M)$ суб-$\varepsilon$-логканонична, то $(Y,B_Y+M_Y)$ также суб-$\varepsilon$-логканонична. Действительно, предполагая, что $\varphi$ является логразрешением, тот факт, что для коэффициентов $B'$ выполнено неравенство $\leqslant 1-\varepsilon$, влечет, что для коэффициентов $B_{Y'}$ также выполнено неравенство $\leqslant 1-\varepsilon$.2.6. Обобщенная формула присоединения для расслоенийБудем работать в следующей ситуации. Предположим, что: – $(X,B+M)$ является обобщенной субпарой с данными $X'\to X\to Z$ и $M'$; – $f\colon X\to Z$ является стягиванием с $\dim Z>0$; – $(X,B+M)$ обобщенно сублогканонична над общей точкой $Z$; – $K_X+B+M\sim_{\mathbb{R}}0/Z$. В этой ситуации определим дискриминантный дивизор $B_Z$. Рассмотрим простой дивизор $D$ на $Z$. Пусть $t$ – наибольшее вещественное число такое, что $(X,B+tf^*D+M)$ обобщенно логканонична над общей точкой $D$. Это имеет смысл и в случае, если $D$ не является дивизором $\mathbb{Q}$-Картье, так как нам достаточно рассмотреть обратный образ $f^*D$ над общей точкой $D$, где $Z$ гладок. Тогда положим коэффициент при $D$ в $B_Z$ равным $1\,{-}\,t$. Заметим, что так как $(X,B+M)$ обобщенно сублогканонична над общей точкой $Z$, то $t$ является вещественным числом, т.е. исключен случай $-\infty$ или $+\infty$. Определив $B_Z$, мы можем выбрать $M_Z$ так, что выполнено где $M_Z$ определен с точностью до $\mathbb{R}$-линейной эквивалентности. Назовем $B_Z$ дискриминантным дивизором присоединения для $(X,B+M)$ над $Z$. Если $B$, $M'$ являются $\mathbb Q$-дивизорами и выполнено $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}}0/Z$, то $B_Z$ является $\mathbb Q$-дивизором, и мы можем выбрать $M_Z$ так, что это тоже $\mathbb Q$-дивизор.Для любого бирационального морфизма $Z'\to Z$ из нормального многообразия мы можем аналогично определить $B_{Z'}$ и $M_{Z'}$. За подробностями о присоединении для обобщенных расслоений мы отсылаем к [12] и [6; п. 6.1]. В работе [12] было показано, что если $X$ проективно, $(X,B+M)$ является обобщенно логканонической над общей точкой $Z$ и $B$, $M'$ являются $\mathbb Q$-дивизорами, а $M'$ глобально численно эффективен, то, выбирая в качестве $Z'$ достаточно высокое разрешение, получаем, что $M_{Z'}$ численно эффективен, поэтому мы можем рассматривать $(Z,B_Z+M_Z)$ как обобщенную пару с численно эффективной частью $M_{Z'}$. – $(X,B+M)$ является проективной обобщенной субпарой с данными $X'\,{\to}\, X$ и $M'$; – $X \xrightarrow{g} Y\xrightarrow{h} Z$ – стягивания нормальных многообразий с $\dim Z>0$; – $(X,B+M)$ обобщенно логканонична над общей точкой $Z$; – $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}}0/Z$. Пусть $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}} g^*(K_Y+B_Y+M_Y)$ получено из формулы присоединения для $(X,B+M)$ над $Y$, и пусть $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}}f^*(K_Z+B_Z+M_Z)$ получено формулой присоединения для $(X,B+M)$ над $Z$, где $f=hg$ является стягиванием $X\to Z$. Тогда дает формулу присоединения для $(Y,B_Y+M_Y)$ над $Z$. Доказательство. По существу доказательство следует из леммы 6.10 в работе [6], где это утверждение сформулировано в случае $M=0$. Как следует из обсуждения перед леммой, предположения леммы влекут, что модульный дивизор $M_{Y'}$ численно эффективен для достаточно высокого разрешения $Y'\to Y$, так что имеет смысл рассмотреть формулу присоединения для $(Y,B_Y+M_Y)$ над $Z$.
Рассмотрим простой дивизор $D$ на $Z$. Пусть $t$ – наибольшее вещественное число такое, что $(X,B+{t}f^*D+M)$ обобщенно логканонична над общей точкой $D$. Аналогично, пусть $s$ – наибольшее вещественное число такое, что $(Y,B_Y+{s}h^*D+M_Y)$ обобщенно логканонична над общей точкой $D$. Лемма утверждает, что $s=t$ (и аналогичное равенство верно для простых дивизоров на бирациональных моделях $Z$). Так как это утверждение локально в окрестности общей точки $D$, мы можем сузить $Z$ в окрестности этой общей точки: нам не потребуется проективность $X$, $Y$, $Z$, а будем использовать только тот факт, что $M'$, $M_{Y'}$, $M_{Z'}$ численно эффективны над $Z$ для достаточно высоких разрешений $X'\to X$, $Y'\to Y$ и $Z'\to Z$. Сужая $Z$, как и выше, можем предполагать, что $(X',B'\,{+}\,tf^*D\,{+}\,M')$ обобщенно сублогканонична и что $B'+tf^*D$ имеет компоненту $S$ с коэффициентом $1$, отображающуюся на $D$. В частности, из этого следует, что $(Y,B_Y+th^*D+M_Y)$ обобщенно сублогканонична, но не обобщенно сублогтерминальна по Кавамате над общей точкой $D$. Действительно, можно считать, что $X'\to Y$ пропускается через достаточно высокое разрешение $Y'\to Y$ так, что образ $S$ на $Y$, который мы обозначим через $T$, является простым дивизором; но тогда по определению присоединения коэффициент при $T$ в $B_{Y'}$ равен $1$. Отсюда получаем $t=s$. Лемма доказана. 2.7. Торические многообразия и торические морфизмыТорическое многообразие $X$ задается парой $(N_X,\Sigma_X)$, состоящей из решетки $N_X$ и рационального полиэдрального веера $\Sigma_X$ в пространстве $N_X\otimes \mathbb{R}$. Торический морфизм торического многообразия $X$ в торическое многообразие $Y$ задается линейным отображением $F\colon N_X\to N_Y$ таким, что его расширение $F_{\mathbb{R}}\colon N_X\otimes \mathbb{R}\to N_Y\otimes \mathbb{R}$ отображает каждый конус веера $\Sigma_X$ в конус веера $\Sigma_Y$. Теория торических многообразий изложена в работах [13], [20] и [11]. Имеется биективное соответствие между конусами $\sigma$ в $\Sigma_X$ и орбитами $O(\sigma)$ в $X$. При этом $m$-мерный конус $\sigma$ соответствует орбите $O(\sigma)$ коразмерности $m$. В частности, каждый луч, т.е. одномерный конус $\sigma$, определяет торически инвариантный простой дивизор $\overline{O(\sigma)}$. Для торической границы $\Delta$ на торическом многообразии $X$, т.е. в случае, когда $\Delta$ является суммой всех торически инвариантных простых дивизоров, пара $(X,\Delta)$ является логканонической и выполнено $K_X+\Delta\sim 0$. Торическое многообразие $X$ является $\mathbb{Q}$-факториальным тогда и только тогда, когда веер $\Sigma_X$ симплициален, т.е. каждый конус является симплексом. Торическим расслоением Мори мы называем расслоение Мори $f\colon X\to Y$, где $f$ является торическим морфизмом торических многообразий. Хорошо известно, что торические многообразия являются пространствами мечты Мори (Mori dream space). Таким образом, для торического стягивания $X\to Z$ мы можем запустить программу минимальных моделей (ПММ) над $Z$ для любого $\mathbb R$-дивизора $\mathbb R$-Картье $D$ и она завершится либо $D$-отрицательным расслоением, либо $D$-минимальной моделью. Это утверждение следует из того, что $X$ является многообразием типа Фано над $Z$. Более того, все шаги этой ПММ являются торическими, так как на каждом шаге конус Мори порожден торически экстремальными лучами; см. [17; § 14] для изложения в $\mathbb Q$-факториальном случае. Утверждение 2.2 (см. [11; 3.3.7]). Пусть $X$ – торическое многообразие, определенное парой $(N_X,\Sigma_X)$. Пусть $N_{X'}$ – подрешетка конечного индекса в $N_X$, и пусть $\Sigma_{X'}=\Sigma_X$. Пусть $X'$ – торическое многообразие, определенное парой $(N_{X'},\Sigma_{X'})$. Положим $G=N_X/N_{X'}$. Тогда торический морфизм индуцированный вложением $N_{X'}\hookrightarrow N_X$, представляет $X$ как фактор $X'/G$. Теперь рассмотрим торические стягивания, базой которых является тор. Лемма 2.3. Пусть $f\colon X\to Z$ – торическое стягивание торических многообразий размерностей $d$ и $e$ соответственно. Если $Z$ является тором $(k^*)^e$, то $X$ изоморфно $F\times Z$, где $F$ – слой морфизма $f$. Доказательство. Предположим, что $X$ определено парой $(N_X,\Sigma_X)$, $Z$ определено парой $(N_Z,\Sigma_Z)$, а морфизм $f$ определен $\mathbb Z$-линейным отображением $\pi\colon N_X\to N_Z$. Так как $Z$ является тором, то $\Sigma_Z$ состоит только из нульмерного конуса. Поскольку морфизм $f$ является стягиванием, то он сюръективен, поэтому образ $\pi$, который мы обозначим через $L$, является подрешеткой $N_Z$ конечного индекса. Отсюда получаем $L=N_Z$, таким образом, $\pi$ сюръективно, иначе $f$ представляется как $(N_X,\Sigma_X)\to (L,\Sigma_Z)\to (N_Z,\Sigma_Z)$ для конечного морфизма $(L,\Sigma_Z)\to (N_Z,\Sigma_Z)$, степень которого $>1$ согласно утверждению 2.2, что ведет к противоречию.
Рассмотрим ядро $N_F$ отображения $\pi$. Так как $Z$ является тором, то любое торически инвариантное подмногообразие многообразия $X$ отображается на $Z$, т.е. каждый конус в $\Sigma_X$ отображается в нулевой конус $\Sigma_Z$, из чего следует, что каждая точка решетки в $\Sigma_X$ принадлежит $N_F$. С другой стороны, так как $N_Z$ – свободная абелева группа и, следовательно, проективный $\mathbb Z$-модуль, то согласно стандартному результату из коммутативной алгебры последовательность $0\to N_F\to N_X\to N_Z\to 0$ расщепляется. Действительно, выбирая базис $N_F$ вместе с $e$ элементами из $N_X$, отображающимися на базис $N_Z$, получаем базис $N_X$. Но тогда $N_X\simeq N_F\times N_Z$ и $\Sigma_X\simeq \Sigma_F\times \Sigma_Z$, где $\Sigma_F=\Sigma_X$ рассматривается как веер в $N_F\otimes \mathbb R$. Поэтому $X$ изоморфно $F\times Z$, где $F$ определяется парой $(N_F,\Sigma_F)$. Лемма доказана. Нам потребуется следующий результат о присоединении для торических пар. Лемма 2.4. Пусть $f\colon X\to Z$ является торическим стягиванием торических многообразий. Пусть $\Delta$ – торический дивизор границы на $X$. Рассмотрим формулу присоединения где $\Delta_Z$ – дискриминантный дивизор и $M_Z$ – модульный дивизор. Тогда $\Delta_Z$ является торическим дивизором границы на $Z$ и $M_Z\sim 0$. Доказательство. Заметим, что в формуле присоединения мы можем записать $\sim$ вместо $\sim_{\mathbb Q}$. Это следует из того, что $K_X+\Delta\sim 0$, поэтому мы можем выбрать $M_Z$ так, что формула верна для $\sim$ вместо $\sim_{\mathbb Q}$. С другой стороны, достаточно показать, что $\Delta_Z$ является торическим дивизором границы на $Z$, так как тогда
а поскольку $f$ является стягиванием, то $M_Z\sim 0$. Рассмотрим простой дивизор $D$ на $Z$. Предположим, что он торически инвариантен. Тогда так как морфизм $f$ сюръективен, то существует торически инвариантное подмногообразие в $X$, отображающееся на $D$. Поэтому логканонический порог $t$ для $f^*D$ по отношению к $(X,\Delta)$ над общей точкой $D$ равен $0$; отсюда получаем, что коэффициент при $D$ в $\Delta_Z$ равен $1$. Значит, торически инвариантный дивизор границы $Z$ содержится в приведенной части $\Delta_Z$. Теперь рассмотрим простой дивизор $D$, не являющийся торически инвариантным. Сужая $Z$, можно считать, что $Z$ является тором размерности $\dim Z$. Тогда по лемме 2.3 имеем, что $X$ изоморфно $F\times Z$, где $F$ – слой $f$. В частности, логканонический порог $t$ для $f^*D$ по отношению к паре $(X,\Delta)$ над общей точкой $D$ равен $1$, отсюда следует, что коэффициент $D$ в $\Delta_Z$ равен $0$. Другое рассуждение состоит в том, чтобы компактифицировать $X$, $Z$ и продолжить $f$ таким образом, чтобы $X$, $Z$ были проективны. В этом случае если $\Theta_Z$ – торическая граница на $Z$, то согласно первым двум абзацам этого доказательства имеем $\Delta_Z-\Theta_Z\geqslant 0$ и $\Delta_Z-\Theta_Z+M_Z\sim 0$. Отсюда следует, что $\Delta_Z-\Theta_Z=0$ и $M_Z\sim 0$, так как $M_Z$ псевдоэффективен. Лемма доказана. § 3. Доказательства основных результатовНачнем с доказательства обобщенной версии гипотезы Шокурова в относительной размерности $1$. Лемма 3.1. Для $\varepsilon\in \mathbb{R}_{>0}$ существует $\delta\in \mathbb{R}_{>0}$, зависящее только от $\varepsilon$ и удовлетворяющее следующему. Предположим, что: – $(X,B+M)$ является проективной обобщенной $\varepsilon$-логканонической парой с данными $X'\xrightarrow{\varphi} X$ и $M'$; – $X\to Z$ является стягиванием с $\dim X-\dim Z=1$; – $K_X+B+M\sim_{\mathbb{Q}}0/Z$, где $B$, $M'$ являются $\mathbb{Q}$-дивизорами; – $X$ является многообразием типа Фано над $Z$. Тогда в формуле присоединения $(Z,B_Z+M_Z)$ обобщенно $\delta$-логканонична. Доказательство. Рассмотрим простой дивизор $D$ на достаточно высоком разрешении $Z'\to Z$. Можем предполагать, что $X'\to X$ является достаточно высоким разрешением с тем свойством, что $f'\colon X'\to Z'$ является морфизмом. Пусть $K_{X'}+B'+M'$ является обратным образом $K_X+B+M$. Можно считать, что $(X',\operatorname{Supp} B'\cup \operatorname{Supp} f'^*D)$ логгладко. Мы хотим показать, что коэффициент при $D$ в $B_{Z'}$ ограничен сверху числом $< 1$. Этот коэффициент несложно вычислить, зная коэффициент при $B'$ и $f'^*D$. По определению присоединения он равен $1\,{-}\,t$, где $t$ – логканонический порог для $f'^*D$ по отношению к $(X',B')$ над общей точкой $D$.
Можно считать, что $X$ является $\mathbb Q$-факториальным. Так как $X$ является многообразием типа Фано над $Z$, получаем, что $-K_X$ объемен над $Z$. Таким образом, запишем где $H'$ обилен и выполнено $C'\geqslant 0$. Запишем также $\varphi^*K_X=K_{X'}+E'$, и легко видеть, что $E'\leqslant B'$. Для любого малого рационального числа $u>0$ мы можем найти общий дивизор такой, что, полагая $\Delta'=uE'+(1-u)B'+uC'+L'$, получаем, что субпара $(X',\Delta')$ является суб-${\varepsilon}/{2}$-логканонической, так как Тогда над $Z$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{X'}+\Delta' &=K_{X'}+uE'+(1-u)B'+uC'+L' \\ &\sim_{\mathbb Q} K_{X'}+uE'+(1-u)B'+uC'+(1-u)M'+uH' \\ &\sim_{\mathbb Q} K_{X'}+uE'+(1-u)B'+(1-u)M'-u(K_{X'}+E') \\ &=(1-u)(K_{X'}+B'+M')\sim_{\mathbb Q} 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, полагая $\Delta=\varphi_*\Delta'$, получаем, что $K_{X'}+\Delta'$ является обратным образом $K_X+\Delta$, откуда следует, что $(X,\Delta)$ является ${\varepsilon}/{2}$-логканонической.
Теперь, выбирая $u$ достаточно малым, можно предполагать, что логканонический порог $s$ для $f'^*D$ по отношению к $(X',\Delta')$ над общей точкой $D$ достаточно близок к $t$. Отсюда получаем, что коэффициент $D$ в дискриминантном дивизоре $\Delta_{Z'}$, полученный из формулы присоединения для $(X,\Delta)$ над $Z$, достаточно близок к коэффициенту $D$ в $B_{Z'}$. Теперь мы можем применить следствие 1.7 из [4], чтобы заключить, что этот коэффициент ограничен сверху числом $<1$. Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть $d$, $r$ – натуральные числа. Предположим, что теорема 1.7 верна в следующих случаях: – $\dim X\leqslant d-1$; – $\dim X\,{=}\,d$ и для относительной размерности выполнено $\dim X\,{-}\dim Z\,{=}\,r$. Тогда теорема верна в размерности $d$, когда $f\colon X\to Z$ может быть разложено в композицию $X\xrightarrow{h}V \xrightarrow{g}Z$, где $h$, $g$ являются торическими стягиваниями и $h$ имеет относительную размерность $r$. Доказательство. По предположению $h$ имеет относительную размерность $r\geqslant 1$, откуда $\dim V\leqslant d-1$. Поэтому по предположению теорема 1.7 верна для $g$, $h$ в следующем смысле. Существуют $\lambda,\xi\in \mathbb{Q}_{>0}$, зависящие только от $d$, $\varepsilon$ и такие, что, полагая $\Gamma^{\lambda}=\lambda B+(1-\lambda)\Delta$ и $N^{\lambda}=\lambda M$, получаем, что в формуле присоединения
$$
\begin{equation*}
K_X+\Gamma^{\lambda}+N^{\lambda}\sim_{\mathbb{Q}}h^*(K_V+\Gamma_V^{\lambda}+N_V^{\lambda})
\end{equation*}
\notag
$$
пара $(V,\Gamma_V^{\lambda}+N_V^{\lambda})$ является обобщенно $\xi$-логканонической. С другой стороны, существуют $\beta,\delta\in \mathbb{Q}_{>0}$, зависящие от $d-r$, $\xi$ и поэтому от $d$, $\varepsilon$, такие, что, полагая где $\Delta_V$ является торически инвариантным дивизором на $V$, получаем, что в формуле присоединения пара $(Z,\Omega_Z^{\beta}+L_Z^{\beta})$ является обобщенно $\delta$-логканонической.
Положим теперь $\alpha=\lambda\beta$, $\Gamma^{\alpha}=\alpha B+(1-\alpha)\Delta$, $N^{\alpha}=\alpha M$ и рассмотрим формулы присоединения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_X+\Gamma^{\alpha}+N^{\alpha}\sim_{\mathbb{Q}}f^*(K_Z+\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha}), \\ K_X+\Gamma^{\alpha}+N^{\alpha}\sim_{\mathbb{Q}}h^*(K_V+\Gamma_V^{\alpha}+N_V^{\alpha}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является обобщенно $\delta$-логканонической. Из леммы 2.1 следует, что $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ также является обобщенной парой, определенной по формуле присоединения для $(V,\Gamma_V^{\alpha}+N_V^{\alpha})$ над $Z$. Поэтому достаточно показать, что $(V,\Gamma_V^{\alpha}+N_V^{\alpha})$ имеет “лучшие” особенности, чем $(V,\Omega_V^{\beta}+ L_V^{\beta})$, в следующем смысле. Рассмотрим произвольное разрешение $V'\to V$ и простой дивизор $D$ на $V'$. Выбирая в качестве $X'$ достаточно высокое разрешение, можно считать, что численно эффективная часть $M'$ определена на $X'$ и что индуцированное отображение $h'\colon X'\dashrightarrow V'$ является морфизмом. Пусть $t$ – обобщенный логканонический порог для $h'^*D$ относительно $(X',\Gamma'^\lambda+N'^\lambda)$ над общей точкой $D$, где $K_{X'}+\Gamma'^\lambda+N'^\lambda$ является обратным образом $K_{X}+\Gamma^\lambda+N^\lambda$; более точно, если $K_{X'}+B'+M'$ является обратным образом $K_X+B+M$ и если $K_{X'}+\Delta'$ является обратным образом $K_X+\Delta$, то
$$
\begin{equation*}
\Gamma'^\lambda=\lambda B'+(1-\lambda)\Delta',\qquad N'^\lambda=\lambda M'.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $1-t=b$, где $b$ – коэффициент при $D$ в $\Gamma_{V'}'^\lambda$. Аналогично, пусть $s$ – логканонический порог для $h'^*D$ по отношению к $(X',\Delta')$ над общей точкой $D$. Тогда $1-s=c$, где $c$ – коэффициент при $D$ в $\Delta_{V'}$. Здесь $(V',\Delta_{V'})$ определено по формуле присоединения, примененной к $(X,\Delta)$ над $Z$. Из леммы 2.4 следует, что $K_{V'}+\Delta_{V'}$ является обратным образом $K_V+\Delta_V$ и $\Delta_V$ является торической границей.
Теперь заметим, что
$$
\begin{equation*}
(X',\beta \Gamma'^\lambda+\beta N'^\lambda+\beta t h'^*D+(1-\beta)\Delta'+(1-\beta)sh'^*D)
\end{equation*}
\notag
$$
является обобщенно логканонической над общей точкой $D$ с численно эффективной частью $\beta N'^\lambda$. Таким образом, обобщенный логканонический порог для $h'^*D$ по отношению к
$$
\begin{equation*}
(X',\beta \Gamma'^\lambda+\beta N'^\lambda+(1-\beta)\Delta')
\end{equation*}
\notag
$$
не меньше, чем $\beta t+(1-\beta)s$. Но тогда, предполагая, что $K_{X'}+\Gamma'^\alpha+N'^\alpha$ является обратным образом $K_{X}+\Gamma^\alpha+N^\alpha$, имеем
$$
\begin{equation*}
\beta \Gamma'^\lambda+(1-\beta)\Delta'=\beta\lambda B'+\beta(1-\lambda)\Delta'+(1-\beta)\Delta' =\beta\lambda B'+(1-\beta\lambda)\Delta'=\Gamma'^\alpha
\end{equation*}
\notag
$$
и $\beta N'^\lambda=\beta\lambda M'=N'^\alpha$. Тогда обобщенный логканонический порог для $h'^*D$ по отношению к $(X',\Gamma'^\alpha+N'^\alpha)$ не меньше, чем $\beta t+(1-\beta)s$. Отсюда следует, что коэффициент при $D$ в $\Gamma'^\alpha_{V'}$ ограничен сверху числом
$$
\begin{equation*}
1-\beta t-(1-\beta)s=\beta(1-t)+(1-\beta)(1-s)=\beta b+(1-\beta)c,
\end{equation*}
\notag
$$
равным коэффициенту при $D$ в $\beta \Gamma'^\lambda_{V'}\,{+}\,(1\,{-}\,\beta)\Delta_{V'}$. Таким образом, мы доказали, что
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{V'}^{\alpha}\leqslant \beta \Gamma_{V'}^\lambda+(1-\beta)\Delta_{V'}=\Omega_{V'}^{\beta},
\end{equation*}
\notag
$$
где $K_{V'}+\Omega_{V'}^\beta+L^\beta_{V'}$ является обратным образом $K_{V}+\Omega_{V}^\beta+L^\beta_{V}$.
Теперь пусть $Z'\to Z$ – достаточно высокое разрешение и $S$ – простой дивизор на $Z'$. Возьмем достаточно высокое логразрешение $V'\to V$ такое, что индуцированное отображение $g'\colon V'\dashrightarrow Z'$ является морфизмом и численно эффективные части $(V,\Gamma_V^{\alpha}+N_V^{\alpha})$ и $(V,\Omega_V^{\beta}+L_V^{\beta})$ спускаются на $V'$. Так как то обобщенный логканонический порог для $g'^*S$ по отношению к $(V',\Gamma^{\alpha}_{V'}+N^{\alpha}_{V'})$ над общей точкой $S'$ не меньше, чем обобщенный логканонический порог для $g'^*S$ по отношению к $(V',\Omega^{\beta}_{V'}+L^{\beta}_{V'})$ над общей точкой $S'$. Следовательно, $\Gamma_{Z'}^{\alpha}\leqslant \Omega_{Z'}^{\beta}$. Иными словами, пара $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ имеет “лучшие” особенности, чем $(Z,\Omega_Z^{\beta}+L_Z^{\beta})$. Тогда $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является обобщенно $\delta$-логканонической, что и утверждалось. Лемма доказана.Лемма 3.3. Пусть $r\in \mathbb N$ и $\varepsilon\in \mathbb R_{>0}$. Тогда существует натуральное число $n$, зависящее только от $r$, $\varepsilon$ и удовлетворяющее следующему. Пусть $f\colon X\to Z$ является торическим расслоением относительной размерности $r$, где $X$ является $\mathbb Q$-факториальным и $\varepsilon$-логканоническим. Тогда существует конечный морфизм $\pi\colon X'\to X$ такой, что выполнено следующее: – $X'$ является $\mathbb Q$-факториальным; – для степени $\pi$ верно $\leqslant n$; – общий слой индуцированного морфизма $X'\to Z$ изоморфен $\mathbb P^r$ как торическое многообразие. Доказательство. Так как $f$ является стягиванием, то над тором $U$ в $Z$ по лемме 2.3 мы получаем, что $X$ изоморфно $F\times U$, где $F$ – общий слой $f$. В частности, имеется взаимно однозначное соответствие между горизонтальными торически инвариантными простыми дивизорами на $X$ и торически инвариантными простыми дивизорами на ${F}$. Так как $\rho(X/Z)=1$, это влечет $\rho(F)=1$. Более того, $F$ является $\mathbb Q$-факториальным, так как из доказательства леммы 2.3 следует, что веер $\Sigma_F$ является субвеером в $\Sigma_X$, соответствующим симплициальному торическому многообразию $X$. Следовательно, веер $\Sigma_F$ имеет в точности $r+1$ лучей; обозначим их $R_1,\dots, R_{r+1}$. Они содержатся в множестве лучей веера $\Sigma_X$.
С другой стороны, так как $f$ является расслоением Мори и $X$ является $\varepsilon$-логканоническим, то $F$ является торическим многообразием Фано с $\varepsilon$-логканоническими особенностями. Такие многообразия ограничены согласно результату из [8]. Таким образом, имеется лишь конечное число возможностей для веера $\Sigma_F$ с точностью до действия группы $\mathrm{GL}_{r}(\mathbb{Z})$. Пусть $v_i$ является примитивным вектором, содержащимся в луче $R_i$, $i=1,\ldots,r+1$, и принадлежащим вееру $F$. Тогда существуют целые числа $q_i\in \mathbb{Z}$ такие, что $\sum_{i=1}^{r+1} q_iv_i=0$ и НОД$(q_1,\ldots,q_{r+1})=1$. Более того, можно считать, что все $q_i$ – положительные целые числа, так как $\Sigma_F$ является полным веером и все конусы в нем порождены подмножествами $v_1,\dots,v_{r+1}$ мощности ${\leqslant}\,r$: если некоторые числа $q_i$ положительны, а некоторые отрицательны, то, перенумеровывая индексы, мы можем найти индекс $s$ такой, что конус, порожденный $v_1,\dots,v_s$, имеет нетривиальное пересечение с конусом, порожденным $v_{s+1},\dots,v_{r+1}$, что невозможно. Так как для конуса $\Sigma_{F}\subseteq \mathbb{R}^{r}$ имеется конечное число возможностей с точностью до действия $\mathrm{GL}_{r}(\mathbb{Z})$ и НОД$(q_1,\ldots,q_{r+1})=1$, то такие $q_i$ принадлежат конечному множеству. Пусть $e_1,\dots, e_d$ образуют базис $N_X$. Согласно доказательству леммы 2.3 можно выбрать $e_i$ так, что $e_1,\dots, e_r$ образуют базис $N_F$ и $e_{r+1},\dots,e_d$ отображаются на базис $N_Z$. Также мы можем считать, что имеется только конечное число возможностей для векторов $q_iv_i$ при $i=1,\dots,r+1$: этого можно добиться заменой базиса $e_1,\dots,e_r$. Пусть $N_{X'}$ – подрешетка в $N_X$, порожденная $\{q_1v_1,\ldots,q_{r}v_{r},e_{r+1},\ldots,e_{d}\}$. Тогда фактор $N_X/N_{X'}$ конечен, и его порядок ограничен сверху числом $n$, зависящим только от $r$, $\varepsilon$. Пусть $\Sigma_{X'}$ – веер $\Sigma_X$, рассмотренный как веер в $N_{X'}\otimes \mathbb R$. Считая $X'$ торическим многообразием, ассоциированным с $(N_{X'},\Sigma_{X'})$, согласно утверждению 2.2 получаем конечный морфизм
$$
\begin{equation*}
\pi\colon X'=(N_{X'},\Sigma_{X'})\to X=(N_X,\Sigma_X)
\end{equation*}
\notag
$$
степени $|N_X/N_{X'}|\leqslant n$.
Рассмотрим индуцированный торический морфизм $f'\colon X'\to Z$: Общий слой $F'$ этого морфизма является торическим многообразием, ассоциированным с $(N_{F'},\Sigma_{F'})$, где $N_{F'}$ является решеткой, порожденной $\{q_1v_1,\dots, q_{r}v_{r}\}$, и $\Sigma_{F'}$ является веером, порожденным лучами $R_1,\dots,R_{r+1}$. Мы утверждаем, что $F'$ изоморфно $\mathbb P^r$ как торическое многообразие. Рассмотрим $\mathbb{Z}^r$ со стандартным базисом $e_1',\ldots,e_r'$. Определим отображение решеток $\psi\colon \mathbb Z^r\to N_{F'}$ следующим образом: $\psi(e_i')=q_iv_i$, $i=1,\ldots,r$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\psi(-e_1'-\cdots-e_{r}')=-\sum_{i=1}^{r}q_iv_i=q_{r+1}v_{r+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем изоморфизм между $F'$ и торическим многообразием, определенным в $\mathbb Z^r$ веером, порожденным $e_1',\ldots,e_r', -e_1'-\cdots-e_{r}'$. Это и дает проективное пространство $\mathbb P^r$.
Наконец заметим, что вееры многообразий $X'$ и $X$ совпадают, поэтому $\Sigma_{X'}$ симплициален, откуда получаем, что $X'$ является $\mathbb Q$-факториальным. Лемма доказана. Лемма 3.4. Предположим, что теорема 1.7 верна в размерности $\leqslant d\,{-}\,1$. Тогда теорема 1.7 верна в размерности $d$ в случае, когда общий слой $f$ изоморфен $\mathbb P^r$ как торическое многообразие. Доказательство. По лемме 3.1 мы можем считать, что для относительной размерности выполнено неравенство $r=\dim X-\dim Z\geqslant 2$. Более того, переходя к торической $\mathbb Q$-факториализации, можем считать, что $X$ является $\mathbb Q$-факториальным. Так как $f$ является торическим морфизмом, то согласно лемме 2.3 имеем $f^{-1}U\cong F\times U$, где $F$ является общим слоем морфизма $f$ и $U\subseteq Z$ является тором. Так как $F\simeq \mathbb{P}^r$ по предположению, то мы имеем изоморфизм торических многообразий $f^{-1}U\cong \mathbb{P}^r\times U$. Выберем нульмерную торически инвариантную точку $P\in F$. Рассматривая замыкание $P\times U\subseteq F\times U$ в $X$, получаем торически инвариантное замкнутое подмногообразие $\Pi\subseteq X$. Раздувая $F\times U$ в $P\times U$, получаем экстремальное стягивание $Y_U\to F\times U$ и $\mathbb{P}^1$-расслоение $Y_U\to \mathbb{P}^{r-1}\times U$, так как раздутие $\mathbb{P}^r$ в точке дает $\mathbb{P}^1$-расслоение над $\mathbb{P}^{r-1}$.
Замыкание $E$ исключительного дивизора морфизма $Y_U\to F\times U$ является торически инвариантным дивизором над $X$; таким образом, определено экстремальное торическое дивизориальное стягивание $g\colon Y\to X$ с исключительным дивизором $E$. Над $U$ оба стягивания $Y\to X$ и $Y_U\to F\times U$ совпадают. Запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} K_Y+\Delta_Y=g^*(K_X+\Delta), \\ K_Y+B_Y+M_Y=g^*(K_X+B+M). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
\Gamma^{\theta}=\theta B+(1-\theta)\Delta, \qquad N^{\theta}=\theta M,
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\Gamma^{\theta}_Y=\theta B_Y+(1-\theta)\Delta_Y, \qquad N^{\theta}_Y=\theta M_Y,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
K_Y+\Gamma_Y^{\theta}+N_Y^{\theta}=g^*(K_X+\Gamma^{\theta}+N^{\theta}).
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при $E$ в $B_Y$ ограничен сверху числом $<1-r$, так как коразмерность $\Pi$ в $X$ равна $r$. Положим $\theta={1}/{r}$. Тогда, поскольку коэффициент при $E$ в $\Delta_Y$ равен $1$, имеем $\Gamma_Y^{\theta}\geqslant 0$, так как коэффициент при $E$ в $\Gamma_Y^{\theta}$ не меньше, чем В частности, $(Y,\Gamma_{Y}^{\theta}\,{+}\,N_{Y}^{\theta})$ является обобщенной парой с численно эффективной частью $\theta M'$, где мы можем предполагать, что $X'\dashrightarrow Y$ является морфизмом.По построению $Y\to Z$ является торическим стягиванием. Запуская ПММ для над $Z$ для некоторого малого $t>0$, получаем торическое расслоение Мори $h\colon Y'\to W$, так как имеем
$$
\begin{equation*}
K_Y+\Gamma_Y^{\theta}+N_Y^{\theta}-tE\equiv -\frac{tE}{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта ПММ индуцирует ПММ для $Y_U$ над $U$.
Обозначим через $Y'_U$ и $W_U$ обратные образы $U$. Тогда $Y_U'\to W_U$ является расслоением Мори. Заметим, что $Y_U$ имеет два экстремальных луча над $U$. Один соответствует $Y_U\to F\times U$, а другой соответствует $\mathbb{P}^1$-расслоению над $\mathbb{P}^{r-1}\times U$. Так как обилен над $X$ и так как $Y_U\to U$ имеет два экстремальных луча, ПММ для $Y_U$ дает расслоение Мори $Y_U\to \mathbb{P}^{r-1}\times U$.Тогда $Y\dashrightarrow Y'$ является изоморфизмом над $U$ и $Y'\to W$ над $U$ является прямым произведением $Y_U\to \mathbb{P}^{r-1}\times U$. Значит, $Y'\to W$ имеет относительную размерность $1$, и общий слой этого морфизма изоморфен $\mathbb P^1$. Заметим, что $f'\colon Y'\to Z$ пропускается через $Y'\to W\to Z$, где оба стягивания, $Y'\to W$ и $W\to Z$, торические. По построению $(Y,\Gamma_{Y}^{\theta}\,{+}\,N_{Y}^{\theta})$ является обобщенно ${\varepsilon}/{r}$-логканоническим, тогда $(Y',\Gamma_{Y'}^{\theta}+N_{Y'}^{\theta})$ является обобщенно ${\varepsilon}/{r}$-логканоническим. Так как теорема 1.7 верна в относительной размерности $1$ по лемме 3.1, то, применяя лемму 3.2 (полагая $r=1$), мы получаем, что теорема верна для Более точно, существуют рациональные числа $\gamma$ и $\delta>0$, зависящие только от $d$, $\varepsilon$ (так как $r\leqslant d-1$) и такие, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_{Y'}^{\gamma}=\gamma \Gamma_{Y'}^{\theta}+(1-\gamma)\Delta_{Y'}, \qquad L_{Y'}^{\gamma}=\gamma N_{Y'}^{\theta},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому в формуле присоединения
$$
\begin{equation*}
K_{Y'}+\Omega_{Y'}^{\gamma}+L_{Y'}^{\gamma}\sim_{\mathbb{Q}}f'^*(K_Z+\Omega_Z^{\gamma}+L_Z^{\gamma})
\end{equation*}
\notag
$$
пара $(Z,\Omega_Z^{\gamma}+L_Z^{\gamma})$ является обобщенной $\delta$-логканонической.
Определяя $\Omega_{Y}^{\gamma}$, $L_{Y}^{\gamma}$ аналогичным образом, видим, что $\Omega_{Y'}^{\gamma}$, $L_{Y'}^{\gamma}$ являются образами $\Omega_{Y}^{\gamma}$, $L_{Y}^{\gamma}$. Более того, можно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_{Y}^{\gamma}=\Gamma_{Y}^{\gamma\theta}:=\gamma\theta B_Y+(1-\gamma\theta)\Delta_{Y}
\end{equation*}
\notag
$$
и $L_{Y}^{\gamma}=N_{Y}^{\gamma\theta}:=\gamma\theta M_Y$. По формулам, приведенным выше, в третьем абзаце доказательства, получаем где $\Gamma^{\gamma\theta}$, $N^{\gamma\theta}$ определены аналогично $\Gamma_Y^{\gamma\theta}$, $N_Y^{\gamma\theta}$. Поэтому имеем формулу присоединения где $\Gamma_Z^{\gamma\theta}=\Omega_Z^{\gamma}$ и $N_Z^{\gamma\theta}=L_Z^{\gamma}$, а также $(Z,\Gamma_Z^{\gamma\theta}+N_Z^{\gamma\theta})$ является обобщенно $\delta$-логканонической. Значит, $\alpha=\gamma \theta$. Лемма доказана. Лемма 3.5. Предположим, что теорема 1.7 верна в размерности $\leqslant d-1$. Тогда теорема 1.7 верна в размерности $d$ в случае, когда $f\colon X\to Z$ является торическим расслоением Мори и $X$ является $\mathbb{Q}$-факториальным. Доказательство. Пусть $\pi\colon \widetilde{X}\to X$ – конечный морфизм, определенный в лемме 3.3, и $\widetilde{f}$ – индуцированный морфизм $\widetilde{X}\to Z$. Так как общий слой $\widetilde{f}$ изоморфен $\mathbb P^r$, $\widetilde{f}$ является стягиванием. Запишем
$$
\begin{equation*}
K_{\widetilde{X}}+\widetilde{\Delta}=\pi^*(K_X+\Delta)
\end{equation*}
\notag
$$
и формулу присоединения
$$
\begin{equation*}
K_{\widetilde{X}}+\widetilde{B}+\widetilde{M}=\pi^*(K_X+B+M),
\end{equation*}
\notag
$$
определенную, как в п. 2.5. Тогда $(\widetilde{X},\widetilde{\Delta})$ является торической, т.е. $\widetilde{\Delta}$ является торической границей $\widetilde X$, но $(\widetilde{X},\widetilde{B}+\widetilde{M})$ является только обобщенной субпарой с обобщенно суб-$\varepsilon$-логканоническими особенностями.
У дивизора $\widetilde{B}$ могут найтись компоненты с отрицательными коэффициентами, но так как $\deg \pi$ ограничено фиксированным натуральным числом $n$, эти коэффициенты ограничены снизу по формуле Гурвица. Более того, такие компоненты являются компонентами $\widetilde{\Delta}$, так как $\widetilde{f}$ может быть разветвлен только вдоль торически инвариантных дивизоров. В частности, полагая $\lambda={1}/{n}$ и
$$
\begin{equation*}
\Gamma^{\lambda}=\lambda B+(1-\lambda)\Delta, \qquad N^{\lambda}=\lambda M,
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Gamma}^{\lambda}=\lambda \widetilde{B}+(1-\lambda)\widetilde{\Delta}, \qquad\widetilde{N}^{\lambda}=\lambda \widetilde{M},
\end{equation*}
\notag
$$
имеем следующее:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\Gamma}^{\lambda}\geqslant 0; \\ \begin{split} &K_{\widetilde{X}}+\widetilde{\Gamma}^{\lambda}+\widetilde{N}^{\lambda} =\lambda (K_{\widetilde{X}}+\widetilde{B}+\widetilde{M})+(1-\lambda)(K_{\widetilde{X}}+\widetilde{\Delta}) \\ &\qquad=\pi^*\lambda (K_{{X}}+{B}+{M})+\pi^*(1-\lambda)(K_{{X}}+{\Delta}) =\pi^*(K_X+\Gamma^{\lambda}+N^{\lambda})\sim_{\mathbb Q} 0/Z; \end{split} \\ (\widetilde{X},\widetilde{\Gamma}^{\lambda}+\widetilde{N}^{\lambda}) \quad\text{являются обобщенно $\lambda\varepsilon$-логканоническим}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь по лемме 3.4 существуют рациональные числа $\beta,\delta \in(0,1)$, зависящие только от $\varepsilon,d$ (так как $\lambda$ зависит только от $n$, которое в свою очередь зависит только от $r$, $\varepsilon$, поэтому от $d$, $\varepsilon$), так что, полагая
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Gamma}^{\lambda\beta}:=\lambda\beta \widetilde{B}+(1-\lambda\beta)\widetilde{\Delta} =\beta\widetilde{\Gamma}^{\lambda}+(1-\beta)\widetilde{\Delta}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde{N}^{\lambda\beta}:=\lambda\beta\widetilde{M}=\beta\widetilde{N}^{\lambda}$ и рассматривая формулу присоединения для
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{X},\widetilde{\Gamma}^{\lambda\beta}+\widetilde{N}^{\lambda\beta})\to Z,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что индуцированная обобщенная пара $(Z,\widetilde{\Gamma}_Z^{\lambda\beta}+\widetilde{N}_Z^{\lambda\beta})$ является обобщенно $\delta$-логканонической. Аналогично, полагая
$$
\begin{equation*}
{\Gamma}^{\lambda\beta}:=\lambda\beta {B}+(1-\lambda\beta){\Delta} =\beta{\Gamma}^{\lambda}+(1-\beta){\Delta}
\end{equation*}
\notag
$$
и ${N}^{\lambda\beta}:=\lambda\beta{M}=\beta{N}^{\lambda}$, рассмотрим формулу присоединения для
$$
\begin{equation*}
({X},{\Gamma}^{\lambda\beta}+{N}^{\lambda\beta})\to Z,
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы получить обобщенную пару $(Z,{\Gamma}_Z^{\lambda\beta}+{N}_Z^{\lambda\beta})$.
Теперь $\widetilde{\Gamma}_Z^{\lambda\beta}=\Gamma_Z^{\lambda\beta}$ и $\widetilde{N}_Z^{\lambda\beta}=N_Z^{\lambda\beta}$, и аналогичные равенства имеют место на бирациональных моделях $Z$: действительно, если $D$ является простым дивизором на $Z$, то для любого вещественного числа $t$ имеем, что обобщенно логканонична над общей точкой $D$, если и только если обобщенно логканонична над общей точкой $D$; последнее, в свою очередь, получаем из сравнения особенностей на достаточно высоких разрешениях многообразий $X$, $\widetilde{X}$; более того, аналогичное утверждение верно для дивизоров на бирациональных моделях $Z$. Поэтому $\widetilde{\Gamma}_Z^{\lambda\beta}=\Gamma_Z^{\lambda\beta}$, из чего следует $\widetilde{N}_Z^{\lambda\beta}=N_Z^{\lambda\beta}$, и то же самое верно на бирациональных моделях $Z$. Поэтому $(Z,\Gamma_Z^{\lambda\beta}+N_Z^{\lambda\beta})$ является обобщенно $\delta$-логканонической. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.7. Пусть $f\colon X\to Z$ определено, как в условии теоремы, причем $d=\dim X$ и для относительной размерности имеем $r=\dim X-\dim Z$. Проводя индукцию по размерности, можем предполагать, что теорема верна в размерности $\leqslant d-1$, верна в размерности $d$ и в относительной размерности $\leqslant r-1$. Переходя к $\mathbb{Q}$-факториализации $X$, можно считать, что оно $\mathbb Q$-факториально. Запустим ПММ для $K_X$ над $Z$. Эта ПММ завершится торическим расслоением Мори. Заменяя $X$, мы можем считать, что имеем расслоение Мори $X\to V/Z$ и что $X$ является $\mathbb{Q}$-факториальным.
Если морфизм $V\to Z$ бирационален, можем заменить $Z$ на $V$, и все доказано по лемме 3.5. Иначе для относительной размерности выполнено $\dim X-\dim V<r$, и мы можем применить лемму 3.2. Теорема доказана. Доказательство теоремы 1.4 – это частный случай теоремы 1.7, так что, доказав теорему 1.7, мы тем самым доказали и теорему 1.4. Доказательство следствия 1.5. Возьмем $\mathbb Q$-дивизор $B$ такой, что пара $(X,B)$ является $\varepsilon$-логканонической и выполнено $K_X+B\sim_{\mathbb Q} 0/Z$. По теореме 1.4 существуют рациональные числа $\alpha,\delta \in (0,1)$, зависящие только от $d$, $\varepsilon$ и такие, что, полагая по формуле присоединения получаем, что $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является обобщенно $\delta$-логканонической. В частности, коэффициенты $\Gamma_Z^{\alpha}$ ограничены сверху числом ${<}\,1\,{-}\,\delta$. Из этого следует, что для любого простого дивизора $D$ на $Z$ логканонический порог для $f^*D$ по отношению к $(X,B)$ над общей точкой $D$ ограничен снизу числом $\delta$, откуда следует, что кратности (коэффициенты) $f^*D$ при компонентах, отображающихся на $D$, ограничены сверху. Следствие доказано. Доказательство следствия 1.6. Возьмем $\alpha$, $\delta$ и $\Gamma^{\alpha}$, как в доказательстве следствия 1.5, что дает формулу присоединения
$$
\begin{equation*}
K_X+\Gamma^{\alpha}\sim_{\mathbb{Q}} f^*(K_Z+\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(Z,\Gamma_Z^{\alpha}+N_Z^{\alpha})$ является $\delta$-логканонической по теореме 1.4. Так как $X$ является $\mathbb Q$-факториальным, то $Z$ также $\mathbb Q$-факториально, поэтому $Z$ имеет $\delta$-логканонические особенности. Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BirChe21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|