| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Критерий равномерной сходимости негармонических синус-рядов К. А. Оганесянabcd a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, Spain d Centre de Recerca Matemàtica, Barcelona, Spain
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9445 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеМы будем рассматривать ряды
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin k^{\alpha} x, \qquad c_k \searrow 0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\alpha>0$, и при нечетном натуральном $\alpha$ – более общие ряды
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin f(k) x, \qquad c_k\searrow 0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $f(k)$ – многочлен степени $\alpha$ с рациональными коэффициентами по нечетным степеням $k$. В случае натурального $\alpha$ мы также будем рассматривать последовательности $\{c_k\}$ из более широкого класса. Нас будут интересовать условия, которые были бы необходимыми и достаточными для равномерной сходимости рядов (1.1) и (1.2). Для случая $\alpha=1$ такие условия давно известны (см. [1]). Теорема A (Т. В. Чаунди, А. Е. Джоллифф). Если неотрицательная последовательность $\{c_k\}_{k=1}^{\infty}$ не возрастает, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin kx$ сходится равномерно на $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $c_kk\to0$ при $k\to\infty$. В [2] требование монотонности последовательности ослаблено до требования квазимонотонности, т.е. существования такого неотрицательного числа $\gamma$, что $c_k k^{-\gamma}$ не возрастает, а в [3] критерий распространяется на несколько более общие последовательности. Еще одно обобщение теоремы A можно найти в [4], где соответствующий критерий доказан для последовательностей из класса $\mathrm{RBVS}$, т.е. таких, что выполняются условия
$$
\begin{equation}
\sum_{k=l}^{\infty}|c_k-c_{k+1}|\leqslant Vc_l, \qquad c_k\to0 \quad\text{при }\ k\to\infty,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
для всех $l$, где $V$ зависит только от $\{c_k\}$. Для более широкого класса последовательностей, содержащего все упомянутые выше классы, аналогичный результат получен в [5]. Теорема B (С. Ю. Тихонов). Если неотрицательная последовательность $\{c_k\}_{k=1}^{\infty}$ принадлежит классу $\mathrm{GM}$, т.е. если существует такая константа $A$, зависящая лишь от $\{c_k\}$, что для всех $l$, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin kx$ сходится равномерно на $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $c_kk\to 0$ при $k\to\infty$. Также критерии равномерной сходимости рядов $\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin kx$ для последовательностей, удовлетворяющих различным условиям обобщенной монотонности, получены в [6] и [7]. Случаи $\alpha=1/2$ и $\alpha=2$ для рядов (1.1) рассмотрены в [8], где показано, что условие $c_kk\to 0$ является необходимым и достаточным для равномерной сходимости ряда (1.1) на отрезке $[0,\pi]$ при $\alpha=1/2$, а при $\alpha=2$ необходимым и достаточным является условие $\sum_{k=1}^{\infty}c_k<\infty$. Мы покажем, что имеет место Теорема 1. Пусть неотрицательная последовательность $\{c_k\}_{k=1}^{\infty}$ не возрастает. Тогда: (a) если $\alpha$ – четное натуральное число, то ряд (1.1) сходится в точке ${\pi}/{2}$ или в точке ${2\pi}/{3}$ только тогда, когда $\sum_{k=1}^{\infty}c_k<\infty$; (b) eсли $\alpha$ – нечетное натуральное число, то для равномерной сходимости ряда (1.2) на $\mathbb{R}$ достаточно, чтобы $c_kk\to0$ при $k\to\infty$; (c) eсли $\alpha\in (0,2)$, то для равномерной сходимости ряда (1.1) на любом ограниченном подмножестве $\mathbb{R}$ достаточно, чтобы $c_k k\to0$ при $k\to\infty$. Замечание 1. Из теоремы 1, в частности, следует, что при нечетном $\alpha$ сумма ряда Теорема 1 представляет собой содержательную часть критерия равномерной сходимости ряда (1.1), который мы сформулируем позднее (в теореме 2). Замечание 2. Можно подобрать и другие точки для п. (a) теоремы 1 с тем же свойством, однако это не представляется существенным. Замечание 3. Если вместо синус-ряда (1.1) рассматривать соответствующий косинус-ряд, то легко заметить, что условие $\sum_{k=1}^{\infty}c_k<\infty$ является необходимым для его сходимости в точке $0$, а при натуральном $\alpha$ – и для сходимости в точках вида $2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$. В доказательстве теоремы 1 для случая ряда (1.2) мы имеем дело с вопросами распределения дробных частей значений многочлена (см., например, [11], [12]) и с оценками сумм Вейля (см. также [13]–[15]), играющими важную роль в теории чисел, в частности в решении проблемы Варинга о представлении натурального числа в виде суммы одинаковых степеней натуральных чисел и для оценки сумм, возникающих в теории дзета-функции Римана. Хорошо известны следующие теоремы, дающие оценки сумм Вейля в точках специального вида. Теорема C (Г. Вейль; см. [10; теорема 14]). Пусть $n\geqslant 2$, $h(x)=\alpha_1x+ \cdots +\alpha_nx^n$ и Если $0<\varepsilon_1<1$ и $P^{\varepsilon_1}\leqslant q\leqslant P^{n-\varepsilon_1}$, то при любом $0<\varepsilon<1$ выполняется оценка Теорема D (И. М. Виноградов; см. [10; теорема 17]). Пусть $n>2$, $h(x)=\alpha_1x+\dots +\alpha_nx^n$ и Если $P\leqslant q\leqslant P^{n-1}$, то справедлива оценка Однако в этих теоремах длина суммы $P$ сильно связана со знаменателями рациональных приближений к старшему коэффициенту многочлена $h$. Мы получим оценки сумм Вейля в зависимости от того, насколько хорошо старший коэффициент многочлена приближается рациональными дробями со знаменателями, меньшими некоторой малой степени числа $P$. Наиболее хорошие оценки получатся в точках, которые таким образом приближаются достаточно плохо. Такие оценки представляют интерес, потому что когда старший коэффициент “близок” к рациональному числу, суммы Вейля ведут себя в некотором смысле похоже на рациональные суммы, которые изучены достаточно хорошо и с которыми легче работать. Из доказательства теоремы 1, (b) следует, что при $c_kk\to 0$ имеет место равномерная сходимость ряда
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^{\infty}(c_m-c_{m+1})\biggl|\operatorname{Im}\sum_{k=0}^{m} e^{if(k)x}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Это, в частности, означает, если мы рассматриваем $c_m:=m^{-1}\ln^{-1}(m+1)$, что ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2\ln (m+1)}\biggl|\operatorname{Im}\sum_{k=0}^{m} e^{if(k)x}\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
сходится равномерно, а значит, для любого $a>0$ число таких $m$, что справедливо $|\operatorname{Im}\sum_{k=0}^{m} e^{if(k)x}|\geqslant am$, равномерно мало. Стоит отметить, что в [16] приведена оценка симметричных частичных сумм ряда
$$
\begin{equation*}
\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{2\pi i h(k)}}{k}
\end{equation*}
\notag
$$
для многочлена $h$ с действительными коэффициентами. Этот результат используется для оценки снизу констант Лебега и доказательства следующей теоремы, тесно связанной с настоящей работой. Теорема E (К. И. Осколков). Пусть $r\geqslant 2$, $P_r(y)=\alpha_0+\alpha_1 y+\dots +\alpha_r y^r$ – многочлен с целыми коэффициентами, принимающий различные целые значения при $y\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. Тогда $\{P_r(n)\}$ не является спектром равномерной сходимости. Здесь под спектром равномерной сходимости подразумевается такая последовательность $\mathfrak{K}=\{k_n\}$ попарно различных целых чисел, что для любой непрерывной функции, имеющей нулевые коэффициенты Фурье при $k\notin\mathfrak{K}$, частичные суммы ее ряда Фурье сходятся равномерно. В [17] была доказана равномерная ограниченность симметричных частичных сумм
$$
\begin{equation*}
\sum_{1\leqslant |k|\leqslant m}\frac{e^{2\pi i h(k)}}{k}
\end{equation*}
\notag
$$
по $m\in\mathbb{N}$ и $\deg h\leqslant r$ при фиксированном $r$. В частности, из этого результата следует Теорема F (Г. И. Архипов, К. И. Осколков). Пусть $P^+(x)$, $P^-(x)$ – многочлены с действительными коэффициентами, причем $P^+(-x)\equiv P^+(x)$ и $P^-(-x)\equiv-P^-(x)$. Тогда ряд сходится и его частичные суммы ограничены сверху по модулю величиной, зависящей лишь от степеней многочленов $P^+$ и $P^-$, но не от их коэффициентов. Можно заметить, что из теоремы F с помощью преобразования Абеля выводится справедливость теоремы 1, (b) в случае $c_kk\searrow 0$. Для формулировки критерия равномерной сходимости ряда (1.1) нам понадобится следующее определение. Для $\alpha>0$ и $\gamma>0$ назовем дискретной $(\alpha,\gamma)$-окрестностью нуля такую последовательность $\{x_j\}_{j=0}^{\infty}$, что $|x_j|={\pi}/({\gamma}^{\alpha+1}(N+j)^{\alpha})$ при всех $j\in\mathbb{Z}^+$ и некотором $N\in\mathbb{N}$. Теперь мы можем сформулировать критерий. Теорема 2. Пусть неотрицательная последовательность $\{c_k\}_{k=1}^{\infty}$ не возрастает. Тогда: (a) если $\alpha$ – четное натуральное число, то ряд (1.1) сходится равномерно на множестве, содержащем точку вида ${\pi}/{2}+2\pi m$ или ${2\pi}/{3}+2\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$, тогда и только тогда, когда $\sum_{k=1}^{\infty}c_k<\infty$; (b) если $\alpha$ – нечетное натуральное число, то ряд (1.1) сходится равномерно на множестве, содержащем при некотором $\gamma\geqslant 2$ дискретную $(\alpha,\gamma)$-окрестность нуля, тогда и только тогда, когда $c_kk\to 0$ при $k\to\infty$; (c) если $\alpha\in (0,2)$, то ряд (1.1) сходится равномерно на ограниченном множестве, содержащем при некотором $\gamma\geqslant 2$ дискретную $(\alpha,\gamma)$-окрестность нуля, тогда и только тогда, когда $c_kk\to 0$ при $k\to\infty$. Замечание 4. Пункты (a) и (b) теорем 1 и 2 остаются справедливыми, если условие монотонности коэффициентов $\{c_k\}$ ослабить до принадлежности классу $\mathrm{RBVS}$ (см. (1.3)). Замечание 5. В п. (b) (в п. (c)) теоремы 2, в частности, условие $c_k k\to 0$ является необходимым и достаточным для равномерной сходимости ряда (1.1) на любом (ограниченном) множестве, содержащем проколотую окрестность нуля. Нетрудно будет увидеть, что этот критерий можно было бы сделать более общим, добавляя в определение дискретной $(\alpha,\gamma)$-окрестности нуля дополнительные параметры. Мы не станем этого делать во избежание чрезмерной громоздкости формулировки теоремы 2. § 2. Оценки сумм Вейля в зависимости от параметров рациональных приближений старшего коэффициента многочленаЛемма 1. Пусть $P\in\mathbb{N}$, $1\leqslant A\in \mathbb R$. Тогда для любого натурального $k$ выполнено Доказательство. Утверждение следует из цепочки неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\biggl\{(y_1,y_2,\dots ,y_k) \in \{1,2,\dots ,P\}^k\colon y_1y_2\dots y_k\leqslant\frac{P^k}{A}\biggr\} \\ &\qquad \leqslant k \cdot\#\biggl\{(y_1,y_2,\dots ,y_k)\in \{1,2,\dots ,P\}^k\colon y_1\leqslant y_2,\dots ,y_k, \, y_1y_2\dots y_k\leqslant\frac{P^k}{A}\biggr\} \\ &\qquad \leqslant k \cdot\#\biggl\{(y_1,y_2,\dots ,y_k)\in \{1,2,\dots ,P\}^k\colon 1\leqslant y_1\leqslant \frac{P}{A^{1/k}}\biggr\}=\frac{kP^k}{A^{1/k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Приведем здесь утверждение (см. [10; лемма 13]), которым в дальнейшем мы будем пользоваться неоднократно. Лемма A. Пусть $\lambda$ и $x_1,\dots ,x_k$ – натуральные числа. Обозначим через $\tau_k(\lambda)$ число решений уравнения $x_1\dots x_k=\lambda$. Тогда при любом $\varepsilon\in (0,1)$ выполняется оценка где $C_k(\varepsilon)$ – константа, зависящая только от $k$ и $\varepsilon$. Для произвольного числа $y$ будем обозначать где $\{y\}$ – дробная часть числа $y$.Далее для произвольной функции $\psi(y)$ и числа $y_1$ обозначим через конечную разность первого порядка функции $\psi(y)$, а при $k\geqslant 2$ конечную разность $k$-го порядка определим индуктивно:
$$
\begin{equation*}
\underset{y_1,\dots, y_{k}}{\Delta}\psi(y)=\underset{y_k}{\Delta}\Bigl(\underset{y_1,\dots, y_{k-1}}{\Delta}\psi(y)\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [10; формула (144)] если $\psi(y)$ – многочлен степени $k\geqslant 2$, то
$$
\begin{equation}
\underset{y_1,\dots, y_{k-1}}{\Delta}\psi(y)=k!\, \alpha_k y_1\dots y_{k-1} y+\eta,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\alpha_k$ – старший коэффициент $\psi(y)$, а $\eta$ зависит лишь от коэффициентов $\psi(y)$ и чисел $y_1,\dots ,y_{k-1}$. Также по [10; лемма 12] для любых $K,k\geqslant 1$ верна оценка
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{y=1}^K e^{2\pi i h(y)}\biggr|^{2^k} \leqslant 2^{2^k}K^{2^k-(k+1)}\sum_{y_1=0}^{K_1-1}\dotsb \sum_{y_k=0}^{K_k-1} \biggl|\sum_{y=1}^{K_{k+1}}\exp\Bigl\{2\pi i \underset{y_1,\dots, y_{k}}{\Delta}h(y)\Bigr\}\biggr|,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $K_1:=K$, $K_{\nu+1}:=K_{\nu}-y_{\nu}$, $\nu=1,2,\dots ,k$. Теперь с учетом (2.2) и (2.3) для любого многочлена $f$ степени $n$ со старшим коэффициентом $\alpha_n$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{k=1}^m e^{if(k) x}\biggr|^{2^{n-1}} &\leqslant 2^{2^{n-1}}m^{2^{n-1}-n}\sum_{y_1=0}^{m-1}\sum_{y_2=0}^{m-y_1-1} \nonumber \\ &\quad\dotsb \sum_{y_{n-1}=0}^{m-y_1-\dots -y_{n-2}-1} \biggl|\sum_{y=1}^{m-y_1-\dots -y_{n-1}}\exp\Bigl\{i\underset{y_1,\dots, y_{n-1}}{\Delta}f(y)x\Bigr\}\biggr| \nonumber \\ &=2^{2^{n-1}}m^{2^{n-1}-n}\sum_{y_1=0}^{m-1}\sum_{y_2=0}^{m-y_1-1} \nonumber \\ &\quad\dotsb \sum_{y_{n-1}=0}^{m-y_1-\dots -y_{n-2}-1} \biggl|\sum_{y=1}^{m-y_1-\dots -y_{n-1}}\exp\{in!\,yy_1\dots y_{n-1}\alpha_n x\}\biggr| \nonumber \\ &\leqslant 2^{2^{n-1}}m^{2^{n-1}-n}\biggl((n-1)m^{n-1} \nonumber \\ &\quad+\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^{m}\biggl|\sum_{y=1}^{m-y_1-\dots -y_{n-1}} \exp\{in!\,yy_1\dots y_{n-1}\alpha_n x\}\biggr|\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Заметим, что для любого числа $t$ и натурального $l$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \biggl|\sum_{y=1}^l e^{iyt}\biggr| &\leqslant \biggl|\sum_{y=1}^l\sin yt\biggr|+\biggl|\sum_{y=1}^l \cos yt\biggr| =\biggl|\frac{\cos \frac{t}{2}-\cos\frac{(2l+1)t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}}\biggr| +\biggl|\frac{\sin\frac{t}{2}-\sin\frac{(2l+1)t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}}\biggr| \\ &=\biggl|\frac{\sin \frac{lt}{2}\sin\frac{(l+1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\biggr| +\biggl|\frac{\sin\frac{lt}{2}\cos\frac{(l+1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\biggr| \leqslant 2\biggl|\frac{\sin\frac{lt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Объединяя (2.4) и (2.5), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl|\sum_{k=1}^m e^{if(k) x}\biggr|^{2^{n-1}} \leqslant 2^{2^{n-1}}m^{2^{n-1}-1}(n-1) \nonumber \\ &\qquad\qquad+2^{2^{n-1}+1}m^{2^{n-1}-n}\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^{m}\biggl|\frac{\sin\frac{(m-y_1-\dots -y_{n-1})n!\,y_1\dots y_{n-1}\alpha_n x}{2}}{\sin\frac{n!\,y_1\dots y_{n-1}\alpha_n x}{2}}\biggr| \nonumber \\ &\qquad \leqslant 2^{2^{n-1}}m^{2^{n-1}-1}(n-1) \nonumber \\ &\qquad\qquad+2^{2^{n-1}+1}m^{2^{n-1}-n}\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^{m} \biggl|\min\biggl\{m,\frac{1}{2\|\frac{n!\,y_1\dots y_{n-1}\alpha_n x}{2\pi}\|}\biggr\}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Лемма 2. Пусть $0<y\in\mathbb{R}\,{\setminus}\,\mathbb{Q}$, $\varepsilon\in(0,1)$, $4\leqslant P\in\mathbb{N}$, $3\leqslant n\in\mathbb{N}$. Если нет такой пары взаимно простых натуральных чисел $C$ и $M\leqslant P^{\varepsilon}$, что Замечание 6. Здесь и далее мы проводим рассуждения с иррациональными ($\pi$-иррациональными) числами не потому, что в рациональных ($\pi$-рациональных) точках ситуация иная, а лишь из соображений удобства. Доказательство леммы 2. Пусть $T$ – это минимальное число из $\{1,2, \dots ,P^{n-1}\}$ такое, что $\|yT\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$ (если такого $T$ нет, то утверждение очевидно). Тогда имеем $T\geqslant P^{\varepsilon}$. В этом случае для любого $0\leqslant k\leqslant P^{n-1}-T$ среди значений не более одного лежит в полуинтервале $(0,P^{\varepsilon-1}]$ (иначе для некоторых $1\leqslant i<j\leqslant T$ выполнялось бы $\|y(j-i)\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$, что невозможно в силу минимальности $T$) и не более одного лежит в полуинтервале $[1-P^{\varepsilon-1},1)$. Итак, среди значений $\{1,2,\dots ,P^{n-1}\}$ не более
$$
\begin{equation*}
2\biggl\lceil\frac{P^{n-1}}{T}\biggr\rceil\leqslant \frac{4P^{n-1}}{T}\leqslant 4P^{n-1-\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
значений $k$ удовлетворяют условию $\|yk\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$, а так как при этом для любого $k$ (согласно (2.1)) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}=k\bigr\} \\ &\qquad \leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{2(n-1)}\biggr)k^{{\varepsilon}/(2(n-1))}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то справедливо
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon \|yy_1\dots y_{n-1}\|\leqslant P^{\varepsilon-1}\bigr\} \\ &\qquad\leqslant 4P^{n-1-\varepsilon}C_{n-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{2(n-1)}\biggr)(P^{n-1})^{\varepsilon/(2(n-1))} =4C_{n-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{2(n-1)}\biggr)P^{n-1-\varepsilon/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\} \\ &\qquad \leqslant P\cdot 4C_{n-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{2(n-1)}\biggr)P^{n-1-{\varepsilon}/{2}} +P^{n-1}\frac{1}{2 P^{\varepsilon-1}}\leqslant GP^{n-{\varepsilon}/{2}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $G$ зависит лишь от $n$ и $\varepsilon$, что и завершает доказательство леммы. Следствие 1. В условиях леммы 2 для любого действительного приведенного (т.е. имеющего единичный старший коэффициент) многочлена $f$ степени $n$ выполнено где $D$ зависит лишь от $n$ и $\varepsilon$. Доказательство. Из (2.6) и леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl|\sum_{k=1}^P \exp\biggl\{\frac{2\pi if(k)y}{n!}\biggr\}\biggr|^{2^{n-1}} &\leqslant 2^{2^{n-1}}P^{2^{n-1}-n}\bigl((n-1)P^{n-1}+2GP^{n-{\varepsilon}/{2}}\bigr) \\ &\leqslant D'P^{2^{n-1}-{\varepsilon}/{2}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $D'>0$ зависит лишь от $\varepsilon$ и $n$. Отсюда и вытекает утверждение при $D=(D')^{{1}/{2^{n-1}}}$. Следствие доказано. Лемма 3. Пусть $0<y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\varepsilon\in(0,{1}/{6})$, $9\leqslant P\in\mathbb{N}$, $3\leqslant n\in\mathbb{N}$. Если есть такая пара взаимно простых натуральных чисел $C$ и $M\leqslant P^{\varepsilon}$, что Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $P^{\varepsilon-n}<y-C/M=\beta\leqslant P^{\varepsilon-1}$. Пусть некоторые взаимно простые $C'$ и $M'$, отличные от $C$ и $M$, удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation*}
\biggl|y-\frac{C'}{M'}\biggr|=:|\beta'|\leqslant\frac{2}{M'P^{1-\varepsilon}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем, во-первых,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{MM'}\leqslant \biggl|y-\frac{C}{M}\biggr|+\biggl|y-\frac{C'}{M'}\biggr|\leqslant \frac{3}{P^{1-\varepsilon}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда а во-вторых, откуда $\{\beta'M'M\}=\{\beta M'M\}$. Тогда если $\beta'>0$, то (так как $\beta'M'\leqslant 2P^{\varepsilon-1}$) имеем $\beta'M'M\leqslant 2P^{2\varepsilon-1}<1$ и $\{\beta' M'M\}=\beta' M'M$, а значит, либо $M'\geqslant \beta^{-1}M^{-1}$, либо $\{\beta'M'M\}=\beta'M'M=\beta M'M$, откуда получаем $\beta'M'\geqslant\beta'M=\beta M$. Если же $\beta'<0$, то $(-\beta'+\beta)M'M\geqslant 1$, а значит,
$$
\begin{equation}
M'\geqslant\frac{1+\beta'M'M}{\beta M}\geqslant (1-2P^{2\varepsilon-1})\beta^{-1}M^{-1}\geqslant \frac{1}{2}\beta^{-1}M^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Итак, мы получили, что вне зависимости от знака $\beta'$ выполнено либо $\beta'M'\geqslant\beta M$, либо $M'\geqslant \frac{1}{2}\beta^{-1}M^{-1}$. Пусть теперь $T_1<T_2<\dots <T_K$ – все числа $k$ из $\{1,2,\dots ,P^{n-1}\}$ такие, что $\|yk\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$. Так как $\{y(T_{i+1}-T_i)\}\in(0,2P^{\varepsilon-1}]\cup[1-2P^{\varepsilon-1},1)$, то из рассуждений выше следует, что либо $T_{i+1}-T_i\geqslant \frac{1}{2}\beta^{-1}M^{-1}$, либо
$$
\begin{equation}
\{y(T_{i+1}-T_i)-(1-P^{\varepsilon-1})\}\geqslant \beta M.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Но так как
$$
\begin{equation*}
\bigl(\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor+1\bigr)\beta M>P^{\varepsilon-1},
\end{equation*}
\notag
$$
то среди чисел $i=1,2,\dots ,\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor+1$ найдется такое, что выполнено $T_{i+1}-T_i\geqslant \frac{1}{2}\beta^{-1}M^{-1}$. Также заметим, что из (2.10) следует, что среди любых $\lceil 2 P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rceil+1$ последовательных значений $i$ есть такое, что выполнено $T_{i+1}-T_i\geqslant \frac{1}{2}\beta^{-1}M^{-1}$. Заметим, что $\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor M\leqslant P^{\varepsilon-1}P^{n-\varepsilon}=P^{n-1}$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{T}:= \bigl\{M,2M,\dots ,\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor M\bigr\}\subset\{T_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^{n-1} &\geqslant T_K\geqslant \lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor M \\ &\qquad+\frac{K-\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor}{\lceil 2 P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rceil+1} \biggl(\lceil 2 P^{\varepsilon -1}\beta^{-1}M^{-1}\rceil M+\frac{\beta^{-1}M^{-1}}{2}\biggr) \\ &\geqslant \frac{K-\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor}{3 P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}}\frac{\beta^{-1}M^{-1}}{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
K-\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor\leqslant 6P^{n-2+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая (2.1) и лемму 1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon \|yy_1\dots y_{n-1}\|\leqslant P^{\varepsilon-1} \bigr\} \\ &\quad = \#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}\in\{T_k\}\bigr\} \\ &\quad =\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}\in\{T_k\}\setminus\mathfrak{T}\bigr\} \\ &\quad\qquad +\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}\in\mathfrak{T}\bigr\} \\ &\quad \leqslant 6P^{n-2+\varepsilon}C_{n-1}\biggl(\frac{2\varepsilon}{n-1}\biggr)(P^{n-1})^{{2\varepsilon}/(n-1)} \\ &\quad\qquad +\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon \\ &\quad\qquad\qquad y_1\dots y_{n-1}\in\bigl\{M,2M,\dots ,\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor M\bigr\}\bigr\} \\ &\quad \leqslant 6P^{n-3/2}C_{n-1}\biggl(\frac{2\varepsilon}{n-1}\biggr) \\ &\quad\qquad +\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}=M\bigr\} \\ &\quad\qquad\qquad\times \#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\,{\in}\,\{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}\,{\leqslant}\, P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\bigr\} \\ &\quad \leqslant 6P^{n-3/2}C_{n-1}\biggl(\frac{2\varepsilon}{n-1}\biggr)+C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr) M^{1/(2(n-1))}\frac{(n-1)P^{n-1}}{(\beta M P^{n-\varepsilon})^{1/(n-1)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\} \leqslant P \biggl(6P^{n-3/2}C_{n-1}\biggl(\frac{2\varepsilon}{n-1}\biggr) \\ &\qquad\qquad +(n-1)C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)P^{n-1-(n-\varepsilon)/(n-1)} \beta^{-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))}\biggr) \\ &\qquad\qquad+P^{n-1}\frac{1}{2 P^{\varepsilon-1}} \\ &\qquad\leqslant U\bigl(P^{n-\varepsilon}+P^{n-(n-\varepsilon)/(n-1)}\beta^{-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $U$ зависит лишь от $n$ и $\varepsilon$, что и завершает доказательство леммы. Следствие 2. В условиях леммы 3 для любого действительного приведенного многочлена $f$ степени $n$ выполнено Доказательство. Из леммы 3 и из (2.6) аналогично (2.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{k=1}^P \exp\biggl\{\frac{2\pi if(k)y}{n!}\biggr\}\biggr|^{2^{n-1}} \leqslant 2^{2^{n-1}}P^{2^{n-1}-1}(n-1) \\ &\qquad\qquad+2^{2^{n-1}+1}P^{2^{n-1}-n}\bigl(UP^{n-\varepsilon}+UP^{n-(n-\varepsilon)/(n-1)}\beta^{-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))}\bigr) \\ &\qquad\leqslant D_1'P^{2^{n-1}-\varepsilon}+D_1'P^{2^{n-1}-(n-\varepsilon)/(n-1)}\beta^{-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая неравенство $(a+b)^{1/(n-1)}\leqslant a^{1/(n-1)}+b^{1/(n-1)}$, верное для любых положительных $a$ и $b$, получаем требуемое утверждение с $D_1=(D_1')^{1/2^{n-1}}$. Следствие доказано. Лемма 4. Пусть $0<y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\varepsilon\in(0,{1}/{6})$, $8\leqslant P\in\mathbb{N}$, $3\leqslant n\in\mathbb{N}$. Если найдется такая пара взаимно простых натуральных чисел $C$ и $M\leqslant P^{\varepsilon}$, что где $A_{\delta}$ зависит лишь от $\delta$ и $n$. Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $\beta>0$. Покажем, что минимальное $T\in\mathbb{N}$ такое, что $\|yT\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$, есть $M$. Действительно, иначе существует $T<M$ такое, что $yT=Z+\gamma$, где $Z\in\mathbb{Z}^+$, $\gamma\in (0,P^{\varepsilon-1}]\cup[1-P^{\varepsilon-1},1)$, и тогда но откуда $P^{1-3\varepsilon}\,{<}\,2$, что невозможно, так как $P^{1-3\varepsilon}\,{\geqslant}\,\sqrt{P}\,{>}\, 2$. Пусть $T_1\,{=}\,M\,{<}\,T_2\,{<} T_3<\dots <T_K$ – все такие натуральные числа, меньшие $P^{n-1}$, что $\|yT_k\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$. Покажем, что $K=\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor$ и что $T_k=kM$ для всех $k\leqslant K$. Будем доказывать вторую часть утверждения по индукции. База: $k=1$. Пусть для $k=l<K$ это утверждение доказано, докажем его для $k=l+1$. Предположим, что оно неверно и $lM<T_{l+1}<(l+1)M$. В силу иррациональности $y$ имеем $\{yT_{l+1}\}\neq\{ylM\}=l\beta$. Остаются два возможных варианта. 1) $l\beta<\{yT_{l+1}\}\leqslant P^{\varepsilon-1}$. Но тогда $0<T_{l+1}-lM<M$ и $\{y(T_{l+1}-lM)\}\in(0,P^{\varepsilon-1}]$, что невозможно в силу того, что $T_1=M$. 2) $\{yT_{l+1}\}\in[1-P^{\varepsilon-1},1)$ или $\{yT_{l+1}\}<l\beta\leqslant P^{n-1}P^{\varepsilon-n}=P^{\varepsilon-1}$. Тогда $\{y(T_{l+1}-lM)\}\in(1-2P^{\varepsilon-1},1)$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\{y(T_{l+1}-lM)M\}>1-2MP^{\varepsilon-1}\geqslant 1-2P^{2\varepsilon-1}\geqslant 1-2P^{-2/3}>\frac{1}{2},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
а с другой стороны –
$$
\begin{equation}
\{yM(T_{l+1}-lM)\}\leqslant (T_{l+1}-lM)M\beta\leqslant M^2\beta\leqslant P^{3\varepsilon-n}<P^{-2}\leqslant \frac{1}{64}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Получили противоречие. Осталось показать, что $K=\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor$. Заметим, что при $l$, удовлетворяющем $\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor+1\leqslant l\leqslant P^{n-1}$, выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{ylM\}\leqslant \{yM\}l\leqslant P^{n-1}\beta M\leqslant P^{n-1-n+\varepsilon+\varepsilon}=P^{2\varepsilon-1}, \\ \{ylM\}> P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\beta M=P^{\varepsilon-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $lM$ не равно $T_k$ ни для какого $k$. Предположим, что есть такое натуральное $T$, что $lM<T<(l+1)M$ для некоторого $\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor\leqslant l\leqslant P^{n-1}$ и $\|yT\|\leqslant P^{\varepsilon-1}$. Но тогда $\{y(T-lM)\}\geqslant 1- 2P^{2\varepsilon-1}$, а значит, снова
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{y(T-lM)M\} &>1-2MP^{2\varepsilon-1}\geqslant 1-2P^{3\varepsilon-1} \nonumber \\ &\geqslant 1-2P^{-1/2}\geqslant 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\geqslant\frac{1}{5}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
а с другой стороны –
$$
\begin{equation*}
\{yM(T-lM)\}\leqslant (T-lM)M\beta\leqslant M^2\beta\leqslant P^{3\varepsilon-3}<P^{-2}\leqslant \frac{1}{64}.
\end{equation*}
\notag
$$
Противоречие. Итак,
$$
\begin{equation}
K=\lfloor P^{\varepsilon-1}\beta^{-1}M^{-1}\rfloor, \qquad T_k=kM \quad\text{для всех }\ k\leqslant K.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\sum_{\underset{y_1\dots y_{n-1}\notin \{T_k\}}{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\}\leqslant P^{n-1}\frac{1}{2 P^{\varepsilon-1}}\leqslant \frac{P^{n-\varepsilon}}{2}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Заметим, что с учетом (2.1) имеем для произвольного натурального $l$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1y_2\dots y_{n-1}\in\{M,2M,\dots ,lM\}\bigr\} \\ &\qquad\leqslant \#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1y_2\dots y_{n-1}\leqslant l\bigr\} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1y_2\dots y_{n-1}=M\bigr\} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)M^{1/(2(n-1))} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \#\bigl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1y_2\dots y_{n-1}\leqslant l\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Теперь согласно (2.18) и лемме 1 получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{\underset{y_1\dots y_{n-1}\in\{T_k\}}{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\} \leqslant \sum_{\underset{y_1\dots y_{n-1}\in\{T_k\}}{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}}^P P \\ &\qquad\leqslant P C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr) M^{1/(2(n-1))} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\#\biggl\{(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1y_2\dots y_{n-1}\leqslant \frac{P^{n-1}}{M}\biggr\} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)\frac{(n-1)P^n}{M^{1/(2(n-1))}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Объединяя оценки (2.17) и (2.19), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\} \\ &\qquad \leqslant \frac{P^{n-\varepsilon}}{2}+C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)\frac{(n-1)P^n}{M^{1/(2(n-1))}} <\frac{BP^n}{M^{1/(2(n-1))}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим случай $P^n\beta\geqslant 2$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_t&:=\bigl\{(y_1,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon \\ &\qquad y_1\dots y_{n-1}\in\{M,2M,\dots ,\lfloor t(P\beta M)^{-1}\rfloor M\}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при $t>P^n\beta$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\biggl\lfloor \frac{t}{P\beta M} \biggr\rfloor M > \frac{P^n\beta}{P\beta M}M=P^{n-1}\geqslant y_1y_2\dots y_{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, при таких значениях $t$ имеем $F_t=F_{\lfloor P^n\beta \rfloor}$. Для произвольного натурального $t\leqslant P^n\beta$ по лемме 1 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\#\biggl\{(y_1,\dots ,y_{n-1})\in \{1,2,\dots ,P\}^{n-1}\colon y_1\dots y_{n-1}\leqslant \frac{t}{P\beta M}\biggr\} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{(n-1)P^{n-1}}{\bigl(\frac{P^n\beta M}{t}\bigr)^{1/(n-1)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Объединяя оценки (2.18) и (2.20), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |F_t|&\leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)M^{1/(2(n-1))}\frac{(n-1)P^{n-1}}{\bigl(\frac{P^n\beta M}{t}\bigr)^{1/(n-1)}} \nonumber \\ &=C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)\frac{(n-1)P^{n-1}}{\bigl(\frac{P^n\beta M^{1/2}}{t}\bigr)^{1/(n-1)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Если $y_1y_2\dots y_{n-1}\in\{T_k\}_{k=1}^K\setminus F_t$, то
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\leqslant \frac{1}{2\beta t P^{-1}\beta^{-1}}= \frac{P}{2t}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Тогда с учетом (2.22) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(P,y) &:=\sum_{\underset{y_1\dots y_{n-1}\in\{T_k\}}{y_1,\dots ,y_{n-1}=1}}^P\min\biggl\{P,\frac{1}{2\|yy_1\dots y_{n-1}\|}\biggr\} \\ &\leqslant |F_2|\max p+\bigl(|F_3|-|F_2|\bigr)\frac{P}{2\cdot 2} +\bigl(|F_4|-|F_3|\bigr)\frac{P}{2\cdot 3}+\dots \\ &\qquad+\bigl(|F_{\lfloor P^n\beta \rfloor+1}|-|F_{\lfloor P^n\beta \rfloor}|\bigr)\frac{P}{2\cdot {\lfloor P^n\beta \rfloor}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что в выражении выше каждый член $|F_i|$ встречается с неотрицательным коэффициентом, получаем с учетом (2.21)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber S(P,y) &\leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)P(n-1)P^{n-1-n/(n-1)}\beta^{-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))} \\ \nonumber &\qquad\times \biggl(2^{1/(n-1)}+(3^{1/(n-1)}-2^{1/(n-1)})\frac{1}{2}+\dotsb \\ &\qquad\qquad+\bigl((\lfloor P^n\beta \rfloor +1)^{1/(n-1)}-\lfloor P^n\beta \rfloor^{1/(n-1)}\bigr)\frac{1}{\lfloor P^n\beta\rfloor}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
При любом $a\geqslant 2$ по теореме Лагранжа для некоторого $\theta\in(0,1)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(a+1)^{1/(n-1)}-a^{1/(n-1)} \\ &\qquad=\frac{1}{n-1}(a+\theta)^{-(n-2)/(n-1)} \leqslant \frac{2}{n-1}a^{-(n-2)/(n-1)}\leqslant 1\leqslant 2^{1/(n-1)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, из (2.23) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber S(P,y) &\leqslant C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)P(n-1)P^{n-1-n/(n-1)}\beta^{-1/(n-1)} \\ &\qquad\times M^{-1/(2(n-1))}2^{1/(n-1)}\ln(P^n\beta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Так как для любого $\delta>0$ существует такое число $B_{\delta}>0$, что $\ln(s+1)\leqslant B_{\delta} s^{\delta}$ при $s>0$, то из (2.24) вытекает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S(P,y) &\leqslant B_{\delta}C_{n-1}\biggl(\frac{1}{2(n-1)}\biggr)(n-1)P^{n-n/(n-1)+\delta n}\beta^{\delta-1/(n-1)} \nonumber \\ &\qquad\times M^{-1/(2(n-1))}2^{1/(n-1)} =A_{\delta}P^{n-n/(n-1)+\delta n}\beta^{\delta-1/(n-1)}M^{-1/(2(n-1))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $A_{\delta}$ – константа, зависящая лишь от $n$. Объединяя оценки (2.17) и (2.25), получаем неравенство из условия леммы для случая $P^n\beta\geqslant 2$. Лемма 4 доказана. Следствие 3. В условиях леммы 4 для любого действительного приведенного многочлена $f$ степени $n$ имеет место неравенство где $W$ зависит лишь от $n$. При этом если $P^n|\beta|\geqslant 2$, то выполняется где $J$ зависит лишь от $n$. Доказательство. Из леммы 4 и из (2.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{k=1}^P \exp\biggl\{\frac{2\pi if(k)y}{n!}\biggr\}\biggr|^{2^{n-1}}\leqslant 2^{2^{n-1}}P^{2^{n-1}-n}\biggl((n-1)P^{n-1}+2\frac{BP^n}{M^{1/(2(n-1))}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и вытекает (2.26). Если $P^n|\beta|\geqslant 2$, то согласно (2.6) по лемме 4 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl|\sum_{k=1}^P \exp\biggl\{\frac{2\pi if(k)y}{n!}\biggr\}\biggr|^{2^{n-1}}\leqslant 2^{2^{n-1}}P^{2^{n-1}-1}(n-1) \\ &\qquad +2^{2^{n-1}+1}P^{2^{n-1}-n}\biggl(\frac{P^{n-\varepsilon}}{2}+\frac{A_{1/(2(n-1))}}{M^{1/(2(n-1))}|\beta|^{1/(2(n-1))}} P^{n-n/(2(n-1))}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Учитывая неравенство $(a+b)^{1/(n-1)}\leqslant a^{1/(n-1)}+b^{1/(n-1)}$, $a,b>0$, а также (2.28), получаем (2.27). Следствие доказано. Замечание 7. Утверждения лемм 3 и 4, а также следствий 2 и 3 остаются справедливыми для $\varepsilon\in(0,{1}/{3})$ при достаточно большом $P$. Действительно, в очевидных изменениях нуждаются лишь оценки (2.8), (2.9), (2.12), (2.13), (2.14) и (2.15). § 3. Случай целых степенейРассмотрим случай, когда $\alpha=:n\in\mathbb{N}$. Имеем две принципиально разные ситуации: когда $n$ четное и когда нечетное. Начнем с четного случая. Доказательство теоремы 1, (a). Заметим, что $k^2\equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$ при любом четном $k$ и $k^2\equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)$ при любом $k$ нечетном. Тогда для любых $l<L$ откуда и вытекает требуемое. Аналогичные рассуждения можно провести и для точки ${2\pi}/{3}$ с учетом того, что $k^2\equiv 1 \ (\operatorname{mod}3)$ при любом $k$, не кратном 3. Обратимся теперь к случаю нечетной степени $n$ и ряда (1.2). Этот случай отличается от предыдущего тем, что для любого нечетного $l$ и любой точки вида $x=2\pi a/{b}\in 2\pi\mathbb{Q}$ выполнено $\sum_{k=1}^b\sin k^l x=0$, за счет чего не происходит “накопления”, наблюдаемого в случае четного $l$. Мы увидим, что благодаря этому свойству и для точек, достаточно близких к $\pi$-рациональным, соответствующие мнимые части сумм Вейля удается хорошо оценить. Для остальных же точек эффективные оценки дают результаты из § 2, и эти оценки остаются справедливыми, если $f$ заменить на произвольный многочлен той же степени. Доказательство теоремы 1, (b). Пусть $c_kk \to 0$. Зафиксируем некоторое $\varepsilon\in(0,{1}/{6})$ и $x\in\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Q}$. Поскольку мы будем доказывать утверждение для всех $x\in\mathbb{R}$, то можем считать, что многочлен $f$ приведенный. Без ограничения общности считаем, что $x>0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{M}=\mathfrak{M}_x&:=\biggl\{M\in\mathbb{N}\colon \exists\, C_M\in\mathbb{N} \text{ такое, что }\ \\ &\qquad\qquad (C_M,M)=1 \text{ и }\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C_M}{M}\biggr|\leqslant M^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathfrak{M}$ есть конечная или бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел $\{M_i\}_{i\geqslant 1}$, в которой для любого $i\geqslant 1$ выполнено Действительно, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{M_iM_{i+1}} &\leqslant\biggl|\frac{C_{M_i}}{M_i}-\frac{C_{M_{i+1}}}{M_{i+1}}\biggr|\leqslant \biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C_{M_i}}{M_i}\biggr|+\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C_{M_{i+1}}}{M_{i+1}}\biggr| \\ &\leqslant M_i^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}+M_{i+1}^{(\varepsilon-1)/\varepsilon} \leqslant 2M_i^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда Будем называть натуральное число $m$ неудобным, если существует такая пара взаимно простых натуральных чисел $C$ и $M\leqslant m^{\varepsilon}$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C}{M}\biggr|\leqslant m^{\varepsilon-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иначе если существует такая пара взаимно простых натуральных чисел $C$ и $M\leqslant m^{\varepsilon}$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C}{M}\biggr|\leqslant m^{\varepsilon-1},
\end{equation*}
\notag
$$
будем называть число $m$ почти удобным. В остальных же случаях $m$ будем называть удобным. Обозначим
$$
\begin{equation*}
S_m(x):=\operatorname{Im}\sum_{k=1}^m e^{i f(k)x}=\sum_{k=1}^m\sin f(k)x.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольных натуральных $l<L$, применяя преобразование Абеля, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x\biggr| &\leqslant c_l l+c_{L+1}L+\biggl|\sum_{m=l}^{L}(c_m-c_{m+1})S_m(x)\biggr|\qquad\qquad\qquad\nonumber \\ &\leqslant 2\sup_{k\geqslant l}c_k k+\sum_{m=l}^{L}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Далее будем считать, что $l\geqslant 9$, чтобы применять оценки из § 2. C помощью следствий 1 и 2 мы оценим $S_m(x)$ для удобных и почти удобных $m$, учитывая, что в этих случаях $\sin\dfrac{n!\,y_1\dots y_{n-1}x}{2\pi}$, грубо говоря, редко принимает близкие к нулю значения. Для этих $m$ мы нигде не используем нечетность $f$ и тот факт, что коэффициенты $f$ рациональны. Итак, если $m$ удобное, из следствия 1 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{\underset{\text{удобное}}{m\geqslant l}}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)| \leqslant D\sum_{m\geqslant l}(c_m-c_{m+1})m^{1-\varepsilon/2^n} \\ &\qquad \leqslant Dc_l l^{1-\varepsilon/2^n}+2D\sum_{m\geqslant l}c_m m^{-\varepsilon/2^n} \nonumber \\ &\qquad\leqslant D\biggl(1+2\sum_{m\geqslant l} m^{-1-\varepsilon/2^n}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \nonumber \\ &\qquad\leqslant D\biggl(1+\frac{2^{n+1}}{\varepsilon}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \leqslant D\frac{2^{n+2}}{\varepsilon}\sup_{k\geqslant l}c_k k=:D''\sup_{k\geqslant l}c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Заметим, что за каждым почти удобным числом $m$ закреплено натуральное число $M=M(m)\leqslant m^{\varepsilon}$, $M\in\mathfrak{M}$, причем все числа $m$, за которыми закреплено данное $M$, должны удовлетворять условию
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C}{M}\biggr|^{-1/(n-\varepsilon)}=:\beta^{-1/(n-\varepsilon)}\leqslant m\leqslant\beta^{-1/(1-\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Для почти удобных $m$ с учетом (3.5) и следствия 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\underset{\text{почти удобное}}{m\geqslant l}}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant \sum_{M\in \mathfrak{M}}\sum_{\underset{\text{почти удобное}}{m\geqslant l, \,M=M(m)}}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)| \\ &\qquad \leqslant D_1\sum_{m\geqslant l}(c_m-c_{m+1})m^{1-\varepsilon/2^{n-1}}+D_1\beta^{-1/(2^{n-1}(n-1))} \\ &\qquad\qquad \times\sum_{M\in \mathfrak{M}}M^{-1/(2^n(n-1))} \sum_{\underset{m=\lceil\beta^{-1/(n-\varepsilon)}\rceil}{m\geqslant l}}^{\lfloor\beta^{-1/(1-\varepsilon)}\rfloor}(c_m-c_{m+1})m^{1-(n-\varepsilon)/(2^{n-1}(n-1))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первую сумму оценим, как в (3.4); получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{\underset{\text{почти удобное}}{m\geqslant l}}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)| \leqslant D''\frac{D_1}{D}\sup_{k\geqslant l}c_k k +2D_1\beta^{-1/(2^{n-1}(n-1))} \\ \nonumber &\qquad\quad \times\sum_{M\in \mathfrak{M}}M^{-1/(2^n(n-1))} \sum_{\underset{m=\lceil\beta^{-1/(n-\varepsilon)}\rceil}{m\geqslant l}}^{\lfloor\beta^{-1/(1-\varepsilon)}\rfloor}c_m m^{-(n-\varepsilon)/(2^{n-1}(n-1))} \\ \nonumber &\qquad \leqslant D''\frac{D_1}{D}\sup_{k\geqslant l}c_k k +2D_1\beta^{-1/(2^{n-1}(n-1))} \\ \nonumber &\qquad\quad \times \sum_{M\in \mathfrak{M}}M^{-1/(2^n(n-1))} \frac{2^{n\,{-}\,1}(n\,{-}\,1)}{n-\varepsilon}\bigl(\lceil\beta^{-1/(n-\varepsilon)}\rceil\bigr)^{-(n-\varepsilon)/(2^{n-1}(n-1))}\sup_{k\geqslant l}c_k k \\ &\qquad\leqslant D_1''\sup_{k\geqslant l}c_k k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $D_1''$ зависит лишь от $n$ и $\varepsilon$ в силу (3.2). Перейдем теперь к неудобным числам $m$. В этом случае $x$ приближается $\pi$-рациональной дробью слишком хорошо, поэтому разность между $S_m$, взятым в точке $x$, и $S_m$, взятым в близкой $\pi$-рациональной точке, будет контролируемо небольшой. При некоторых $m$ мы этим воспользуемся, и это будет тот единственный случай, когда нам важно, что мы оцениваем только мнимую часть соответствующей суммы Вейля, что функция $f$ нечетна и что коэффициенты $f$ рациональные. Для остальных $m$ будем проводить оценки согласно одному из двух неравенств из следствия 3, и эти оценки останутся справедливыми для всей суммы Вейля и для любого приведенного многочлена той же степени. За каждым неудобным числом $m$ также закреплено число $M\leqslant m^{\varepsilon}$, $M\in\mathfrak{M}$. Фиксированное $M\,{\in}\,\mathfrak{M}$ закреплено за всеми натуральными числами $m$ такими, что
$$
\begin{equation*}
\beta^{-1/(n-\varepsilon)}=\beta_M^{-1/(n-\varepsilon)}=\biggl|\frac{n!\,x}{2\pi}-\frac{C}{M}\biggr|^{-1/(n-\varepsilon)}\geqslant m\geqslant M^{1/\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=C_M$, и только за ними. Обозначим $m_1:=\lceil M^{1/\varepsilon}\rceil$, $m_2:=\lfloor \beta^{-1/(n-\varepsilon)}\rfloor$ (при фиксированном $M$). Пусть $K$ – такое натуральное число, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{K^n\ln (2M)}\leqslant\beta\leqslant\frac{1}{(K-1)^n \ln (2M)}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Мы разделим отрезок $m_1\leqslant m\leqslant m_2$ на три отрезка: $m_1\leqslant m\leqslant K-1$, $K\leqslant m\leqslant \lfloor 2K\ln (2M) \rfloor$ и $\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1\leqslant m\leqslant m_2$. Для $m$, принадлежащего второму или третьему из этих отрезков, будем оценивать $S_m(x)$ с помощью первого и второго неравенств соответственно из следствия 3. И только на отрезке $m_1\leqslant m\leqslant K-1$ для оценки $S_m(x)$ нам понадобятся свойства многочлена $f$ и тот факт, что мы имеем дело с синусами, а не с косинусами. Пусть $Q\in\mathbb{N}$ – минимальное число такое, что $Qf\in\mathbb{Z}[x]$. Заметим, что для любого нечетного $l$, если числа $k_1$ и $k_2$ таковы, что $k_1\equiv -k_2 \ (\operatorname{mod} QMn!)$, то
$$
\begin{equation*}
\sin \biggl(k_1^l \frac{2\pi C}{QMn!}\biggr)+\sin\biggl(k_2^l \frac{2\pi C}{QMn!}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для любого $g\in \mathbb{Z}$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=g+1}^{g+QMn!}\sin \biggl(f(k)\frac{2\pi C}{Mn!}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |S_m(x)|&\leqslant \biggl|S_m\biggl(\frac{2\pi C}{Mn!}\biggr)\biggr|+\biggl|S_m(x)-S_m\biggl(\frac{2\pi C}{Mn!}\biggr)\biggr| \\ &\leqslant \biggl|\sum_{k=1}^m\sin \biggl(f(k)\frac{2\pi C}{Mn!}\biggr) \biggr| +\frac{2\pi}{n!}\sum_{k=1}^m |f(k)|\beta \nonumber \\ &\leqslant \biggl\{\frac{m}{QMn!}\biggr\}QMn!+2C_f\beta\sum_{k=1}^m k^n \nonumber \\ &\leqslant QMn!+C_fm^{n+1}\beta\leqslant Qm^{\varepsilon}n!+C_fm^{n+1}\beta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $C_f$ – сумма модулей коэффициентов многочлена $f$. Из (3.7) и (3.8) следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant Qn!\,\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})m^{\varepsilon} \nonumber \\ &\qquad+C_f\beta\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})m^{n+1} \leqslant Qn!\,c_{m_1} m_1^{\varepsilon}+Qn!\,\sum_{m=m_1+1}^{K-1}c_m \varepsilon (m-\theta_m)^{\varepsilon-1} \nonumber \\ &\qquad+\frac{C_f}{(K-1)^n\ln (2M)}\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})m^{n+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\theta_m\in(0,1)$ по теореме Лагранжа. Учитывая, что для любого $z\geqslant 2$ выполнено $(z-1)^{\varepsilon-1}\leqslant 2z^{\varepsilon-1}$, из (3.9) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant Qn!\,m_1^{\varepsilon-1}\sup_{k\geqslant l}c_k k+2\varepsilon Qn!\,\sum_{m=m_1+1}^{K-1}c_m m^{\varepsilon-1} \nonumber \\ &\quad\qquad +C_f\frac{c_{m_1} m_1}{\ln (2M)}+C_f\frac{n+1}{(K-1)^n\ln (2M)}\sum_{m=m_1+1}^{K-1}c_m m^n \nonumber \\ \nonumber &\quad \leqslant \sup_{k\geqslant l}c_k k \biggl(Qn!\,m_1^{\varepsilon-1}+2\varepsilon Qn!\,\sum_{m=m_1+1}^{K-1}m^{\varepsilon-2} \\ &\quad\qquad +\frac{C_f}{\ln (2M)}+\frac{(n+1)C_f}{(K-1)^n\ln (2M)}\sum_{m=m_1+1}^{K-1}m^{n-1}\biggr) \nonumber \\ &\quad\leqslant \biggl(Qn!\biggl(m_1^{\varepsilon-1}+\frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon}m_1^{\varepsilon-1}\biggr) +\frac{C_f}{\ln (2M)}+\frac{(n+1)C_f}{(K-1)^n\ln (2M)}\frac{K^n}{n}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
откуда в силу того, что $m_1^{\varepsilon}\geqslant M$ и $(n+1)K^n/(n(K-1)^n)\leqslant 2^{n+1}$, окончательно получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{m=m_1}^{K-1}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant A\biggl(M^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}+\frac{1}{\ln (2M)}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $A>0$ зависит только от $n$, $\varepsilon$ и многочлена $f$. При $2K\ln (2M)\leqslant m\leqslant m_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
m^n\beta\geqslant \bigl(2K\ln (2M)\bigr)^n\bigl(K^n\ln (2M)\bigr)^{-1}=2^n\ln^{n-1}(2M)\geqslant 2(2\ln 2)^{n-1}\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, с учетом (2.27)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)| \nonumber \\ &\qquad \leqslant J\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})\biggl(m^{1-\varepsilon/2^{n-1}}+\frac{m^{1-n/(2^n(n-1))}}{(M\beta)^{1/(2^n(n-1))}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})m^{1-\varepsilon/2^{n-1}} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{c_{\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}\bigl(\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1\bigr)}{\bigl(\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1\bigr)^{\varepsilon/2^{n-1}}}+2\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +2}^{m_2}c_m m^{-\varepsilon/2^{n-1}} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(m_1^{-\varepsilon/2^{n-1}}+2\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +2}^{m_2}m^{-1-\varepsilon/2^{n-1}}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl(M^{-1/2^{n-1}}+\frac{2^n}{\varepsilon}m_1^{-\varepsilon/2^{n-1}}\biggr) \sup_{k\geqslant l}c_k k\leqslant\frac{2^{n+1}}{\varepsilon}M^{-1/2^{n-1}}\sup_{k\geqslant l}c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Далее, в силу (3.7)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})\frac{m^{1-n/(2^n(n-1))}}{(M\beta)^{1/(2^n(n-1))}} \nonumber \\ &\quad\leqslant \sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})\frac{m^{1-n/(2^n(n-1))}K^{n/(2^n(n-1))}\bigl(\ln (2M)\bigr)^{1/(2^n(n-1))}}{M^{1/(2^n(n-1))}} \nonumber \\ &\quad\leqslant \biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))}c_{\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}\bigl(\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1\bigr) \nonumber \\ &\quad\qquad+2\biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))}\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +2}^{m_2}c_m m^{-n/(2^n(n-1))}K^{n/(2^n(n-1))} \nonumber \\ &\quad\leqslant \biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))} \nonumber \\ &\quad\qquad\times\biggl(1+2K^{n/(2^n(n-1))}\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +2}^{m_2}m^{-1-n/(2^n(n-1))}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \nonumber \\ &\quad\leqslant \biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))} \nonumber \\ &\quad\qquad\times \biggl(1+2K^{n/(2^n(n-1))}\biggl(\frac{2^n(n-1)}{n}\biggr)\bigl(\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor\bigr)^{-n/(2^n(n-1))}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \nonumber \\ &\quad\leqslant H\biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))}\sup_{k\geqslant l}c_k k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $H>0$ зависит лишь от $n$. Итак, из (3.12), (3.13) и (3.14) получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{m=\lfloor 2K\ln (2M) \rfloor +1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant H'\biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))}\sup_{k\geqslant l}c_k k,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $H'>0$ также зависит только от $n$ и $f$. При $K\leqslant m\leqslant 2K\ln (2M)$ согласно (2.26)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=K}^{\lfloor 2K\ln (2M)\rfloor}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant W\sum_{m=K}^{\lfloor 2K\ln (3M)\rfloor}(c_m-c_{m+1})\frac{m}{M^{1/(2^n(n-1))}} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{W}{M^{1/(2^n(n-1))}}\biggl(c_KK+\sum_{m=K+1}^{\lfloor 2K\ln (3M)\rfloor}c_m\biggr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{W}{M^{1/(2^n(n-1))}}\biggl(1+2\ln\frac{2K\ln (3M)}{K+1}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k\leqslant 3W\frac{\ln\ln (3M)}{M^{1/(2^n(n-1))}}\sup_{k\geqslant l}c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Собирая вместе оценки (3.11), (3.15) и (3.16), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=m_1}^{m_2}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)|\leqslant A\biggl(M^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}+\frac{1}{\ln (2M)}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \nonumber \\ &\qquad +\biggl(H'\biggl(\frac{\ln (2M)}{M}\biggr)^{1/(2^n(n-1))}+3W\frac{\ln\ln (3M)}{M^{1/(2^n(n-1))}}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k \leqslant A'\frac{\sup_{k\geqslant l}c_k k}{\ln (2M)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где $A'>0$ зависит лишь от $\varepsilon$, $n$ и $f$. А значит, учитывая, что $M\in\mathfrak{M}$ и (3.2), окончательно имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{\underset{\text{неудобное}}{m\geqslant l}}(c_m-c_{m+1})|S_m(x)| \leqslant\sum_{i\geqslant 1}A'\frac{\sup_{k\geqslant l}c_k k}{\ln (2M_i)}\leqslant A'\biggl(\frac{1}{\ln 2}+\sum_{i\geqslant 2}\frac{1}{\ln M_i}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k\nonumber \\ &\qquad\leqslant A'\biggl(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 2}\sum_{i\geqslant 2}\frac{1}{3^{i-2}}\biggr)\sup_{k\geqslant l}c_k k\leqslant \frac{3}{\ln 2} A'\sup_{k\geqslant l}c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Итак, объединяя оценки (3.3), (3.18), (3.4) и (3.6), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x\biggr| &\leqslant 2\sup_{k\geqslant l}c_k k+\frac{3}{\ln 2} A'\sup_{k\geqslant l}c_k k+D''\sup_{k\geqslant l}c_k k+D_1''\sup_{k\geqslant l}c_k k \\ &\leqslant A''\sup_{k\geqslant l}c_k k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A''>0$ зависит лишь от $\varepsilon$, $n$ и $f$. Таким образом, утверждение доказано для $x\in \mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Q}$. Наконец, если $x\in \pi\mathbb{Q}$, то найдем такое $x'\notin \pi\mathbb{Q}$, что
$$
\begin{equation*}
|x-x'|\leqslant L^{-n-1}c_1^{-1}\sup_{k\geqslant l}c_k k.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x\biggr| \leqslant \biggl|\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x'\biggr|+\biggl|\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x-\sum_{m=l}^L c_m\sin f(m)x'\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant A''\sup_{k\geqslant l}c_k k+C_f\sum_{m=l}^L c_m m^n|x-x'| \leqslant A''\sup_{k\geqslant l}c_k k+C_fL^{-n-1}\sup_{k\geqslant l}c_k k\sum_{m=l}^L m^n \nonumber \\ &\qquad\leqslant (A''+C_f)\sup_{k\geqslant l}c_k k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
откуда и следует утверждение теоремы 1 для нечетного $\alpha$. § 4. Случай степени из интервала $(1,2)$Специфика этого случая состоит в том, что при $\alpha\in(1,2)$ разности вида $(k\,{+}\,1)^{\alpha}-k^{\alpha}$ возрастают и возрастают достаточно медленно. Идея доказательства заключается в следующем: выделить блоки таких $k$, что разности $(k+1)^{\alpha}x-k^{\alpha}x$, взятые по модулю $2\pi$, лежат близко к $0$ или $2\pi$. Тогда $``$шаги$"$ между $k^{\alpha}x$ и $(k+1)^{\alpha}x$ в таких блоках достаточно малы, и суммы вида $\sum_{k=k_1}^{k_1+s}\sin k^{\alpha}x$ в них можно оценить с помощью леммы 5. Для остальных же $k$ сумма вида $\sum_{k=k_1}^{k_1+s}\sin k^{\alpha}x$ мало отличается от суммы
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^s\sin(x_0+k\gamma)=\frac{\cos\bigl(x_0-\frac{\gamma}{2}\bigr)-\cos\bigl(x_0+(2k+1)\frac{\gamma}{2}\bigr)}{2\sin\frac{\gamma}{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ отделено от $0$ и $2\pi$, а значит, $\sin \frac{\gamma}{2}$ отделено от нуля. Основная трудность состоит в выборе длин таких блоков: они не должны быть слишком маленькими, чтобы обеспечить нужную оценку всей суммы, но при этом не должны быть и большими, иначе слова $``$мало отличается$"$ потеряют смысл, так как внутри длинного блока разности $(k+1)^{\alpha}x-k^{\alpha}x$ успеют сильно измениться. Доказательство теоремы 1, (c) для случая $\alpha\in(1,2)$. Пусть выполнено условие $c_k k\to0$. Покажем, что ряд (1.1) сходится равномерно на множестве $|x|\leqslant X<\infty$. Без ограничения общности будем далее считать, что $x>0$ (случай $x=0$ очевиден). Зафиксируем некоторое число $\delta$ из интервала $(0,(2\,{-}\,\alpha)/3)$. Положим натуральное число $l_0\geqslant 2$ таким, чтобы выполнялись условия Тогда для любого $l\geqslant l_0$ все эти условия также выполнены. Рассмотрим где $l\geqslant l_0$, а $x\in (0,X]$ – фиксированная точка. Обозначим $m:=\lceil x^{-1/\alpha}\rceil$, тогда
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=l}^L c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant \biggl|\sum_{k=l}^{m-1} c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|+\biggl|\sum_{k=m}^L c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|=:|S_1|+|S_2|.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Если $m=1$, то $S_1=0$. Иначе $2\leqslant m\leqslant x^{-1/\alpha}+1\leqslant 2x^{-1/\alpha}$, и мы имеем
$$
\begin{equation}
|S_1|\leqslant \sum_{k=l}^{m-1}c_k k^{\alpha} x\leqslant \sup_{k\geqslant l}c_k k\sum_{k=1}^{m-1}k^{\alpha-1}x\leqslant x\sup_{k\geqslant l} c_k k \int_1^{2x^{-1/\alpha}} y^{\alpha-1} dy\leqslant\frac{2^{\alpha}}{\alpha} \sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Далее обозначим
$$
\begin{equation*}
\Delta_k^1:=k^{\alpha}x-(k-1)^{\alpha}x, \qquad \Delta_k^2:=\Delta_k^1-\Delta_{k-1}^1, \qquad \widetilde{\Delta}_k^1:=\Delta_k^1 \ \operatorname{mod} 2\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\widetilde{\Delta}_k^1\in [0,2\pi)$. Заметим, что $\Delta_k^2$ убывает по $k$. Действительно, по теореме Лагранжа имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{\Delta_k^2}{x}\biggr)_k' &=\alpha\bigl(k^{\alpha-1}-2(k-1)^{\alpha-1}+(k-2)^{\alpha-1}\bigr) \nonumber \\ &=\alpha(\alpha-1)\bigl((k-1+\theta_1)^{\alpha-2}-(k-2+\theta_2)^{\alpha-2}\bigr)<0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\theta_1,\theta_2\in(0,1)$. Также заметим, что
$$
\begin{equation}
\Delta_k^2=\alpha x\bigl((k-1+\theta_3)^{\alpha-1}-(k-2+\theta_4)^{\alpha-1}\bigr)\leqslant 2\alpha(\alpha-1)x(k-2)^{\alpha-2},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\theta_3,\theta_4\in(0,1)$, и что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_k^2 &\geqslant \frac{1}{2}(\Delta_{k+1}^2+\Delta_k^2)=\frac{1}{2}(\Delta_{k+1}^1-\Delta_{k-1}^1) \nonumber \\ &=\frac{1}{2}\alpha x \bigl((k+\theta_5)^{\alpha-1}-(k-2+\theta_6)^{\alpha-1}\bigr) \geqslant \frac{1}{2}\alpha(\alpha-1)x (k+1)^{\alpha-2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где снова $\theta_5,\theta_6\in(0,1)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_1:=\bigl\{k\colon \widetilde{\Delta}_{k+1}^1\in[0,m^{-\delta}]\cup[2\pi-m^{-\delta},2\pi]\bigr\}, \\ K_2:=\bigl\{k\colon \widetilde{\Delta}_{k+1}^1\in[m^{-\delta},2\pi-m^{-\delta}]\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation}
|S_2|\leqslant \biggl|\sum_{\underset{k\in K_1}{k=m}}^L c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|+\biggl|\sum_{\underset{k\in K_2}{k=m}}^L c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|=:|S_2'|+|S_2''|.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Сначала оценим $S_2'$. Согласно (4.4) и (4.5) при $k\geqslant m+2$ выполнено $\Delta_k^2\leqslant 2\alpha(\alpha-1)x m^{\alpha-2}$. Значит, можно выбрать такое $p=p(m)$, что
$$
\begin{equation*}
p:=\min\bigl\{p'>1\colon |\Delta_{m+p'}^1-\Delta_{m+1}^1-2\pi|\leqslant 2\alpha(\alpha-1)x m^{\alpha-2}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что тогда
$$
\begin{equation*}
2\alpha (\alpha-1)xm^{\alpha-2}p\geqslant 2\pi -2\alpha(\alpha-1) x m^{\alpha-2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
p\geqslant -1+\frac{2\pi}{2\alpha(\alpha-1)x}m^{2-\alpha}\geqslant m^{2-\alpha}x^{-1}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
в силу первого условия из (4.1). Так как $\Delta_k^1$ возрастает по $k$ (см., например, (4.6)) и так как $p$ мы выбрали минимальным, то $0<\Delta_{m+p-1}^1-\Delta_{m+1}^1<2\pi$ и, значит, среди $\widetilde{\Delta}_{m+1}^1,\widetilde{\Delta}_{m+2}^1, \dots ,\widetilde{\Delta}_{m+p}^1$ встречается не более трех блоков подряд идущих $\widetilde{\Delta}_i^1$, т.е. блоков из $\widetilde{\Delta}_{i_1}^1, \widetilde{\Delta}_{i_1+1}^1,\dots ,\widetilde{\Delta}_{i_1+i_2}^1$, значения в которых возрастают и лежат в одном из отрезков $[0,m^{-\delta}]$ или $[2\pi-m^{-\delta},2\pi]$. Остановимся на случае отрезка $[0,m^{-\delta}]$, второй случай разбирается аналогично. Пусть наш блок – это $\widetilde{\Delta}_{s+1}^1, \widetilde{\Delta}_{s+2}^1, \dots ,\widetilde{\Delta}_{s+v}^1$. Без ограничения общности можно считать, что $s^{\alpha}x\in[\pi u, \pi(u\,{+}\,1))=:I_u$ для некоторого четного $u$. Пусть $t$ таково, что
$$
\begin{equation*}
s^{\alpha}x+\sum_{i=0}^t \widetilde{\Delta}_{s+i}^1\in I_u, \qquad s^{\alpha}x+\sum_{i=0}^{t+1} \widetilde{\Delta}_{s+i}^1\notin I_u.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда должно выполняться по крайней мере
$$
\begin{equation}
\pi\geqslant (t-1)\Delta_{s+2}^2+(t-2)\Delta_{s+3}^2+\dots +1\cdot \Delta_{s+t}^2.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из (4.6) и (4.9) тогда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi &\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} \nonumber \\ &\quad\times x \bigl((t-1)(s+3)^{\alpha-2}+(t-2)(s+4)^{\alpha-2}+\dots +1\cdot (s+t+1)^{\alpha-2}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Заметим, что функция $\kappa(y)=y(a-y)^{-c}+(b-y)(a-b+y)^{-c}$ не возрастает при $c>0$, $a\geqslant b\geqslant 2y>0$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa'(y)&=(a-y)^{-c}-y(-c)(a-y)^{-c-1} \\ &\qquad-(a-b+y)^{-c}+(b-y)(-c)(a-b+y)^{-c-1}<0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $a-y\geqslant a-b+y$ и $y\leqslant b-y$. Значит, при $c=2-\alpha$, $b=t$, $a=s+t+2$ и $y=t-i$, $i=1,2,\dots ,\lfloor(t-1)/2\rfloor$, имеем
$$
\begin{equation*}
(t-i)(s+2+i)^{\alpha-2}+i(s+t+2-i)^{\alpha-2}\geqslant 2\frac{t}{2}\biggl(s+2+\frac{t}{2}\biggr)^{\alpha-2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с учетом (4.10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi &\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x(t-1)\frac{t}{2}\biggl(s+2+\frac{t}{2}\biggr)^{\alpha-2} \nonumber \\ &\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x(t-1)\frac{t-1}{2}\biggl(s+2+\frac{t-1}{2}\biggr)^{\alpha-2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Если $t-1\geqslant 2(s+2)$, то в силу (4.11)
$$
\begin{equation*}
\pi\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x\frac{(t-1)^{\alpha}}{2}\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{4}(t-1)^{\alpha}m^{-\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
t-1\leqslant \biggl(\frac{4\pi}{\alpha(\alpha-1)}\biggr)^{1/\alpha} m\leqslant \frac{4\pi}{\alpha-1} m \leqslant \frac{4\pi}{\alpha-1} (s+2).
\end{equation*}
\notag
$$
А тогда из (4.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi &\geqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x\frac{(t-1)^2}{2}\biggl(\frac{4\pi}{\alpha-1}+1\biggr)^{\alpha-2} (s+2)^{\alpha-2} \\ &>\frac{(\alpha-1)^2}{20\pi}(t-1)^{2}(s+2)^{\alpha-2}x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
значит,
$$
\begin{equation}
t<\frac{8}{\alpha-1}(s+2)^{1-\alpha/2}x^{-1/2}+1\leqslant \frac{27}{\alpha-1}s^{1-\alpha/2}x^{-1/2}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Обозначим $t_0:=t$, a $t_i$ при $i\geqslant 1$ определим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
s^{\alpha}x+\sum_{j=1}^{t_i} \widetilde{\Delta}_{s+j}^1\in I_{u+i}, \qquad s^{\alpha}x+\sum_{j=1}^{t_i+1} \widetilde{\Delta}_{s+j}^1\notin I_{u+i}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом обозначим через $R$ минимальное четное число, для которого выполнено $s^{\alpha}x+\sum_{j=1}^{v} \widetilde{\Delta}_{s+j}^1<\pi(u+R+2)$. Тогда, рассуждая аналогично выводу неравенства (4.12), получим Также имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=s}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x =\sum_{k=s}^{s+t_0}c_k\sin k^{\alpha}x+\sum_{i=0}^{R/2-1}\sum_{k=s+t_{2i}+1}^{s+t_{2i+2}}c_k\sin k^{\alpha}x+\sum_{k=s+t_R}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Заметим, учитывая (4.12), что Лемма 5. Пусть точки $y_1,\dots ,y_k$ таковы, что $0 < y_1\leqslant y_2-y_1\leqslant y_3-y_2\leqslant \dots \leqslant y_k-y_{k-1}$ и $y_k\leqslant 2\pi$, и пусть номер $q$ таков, что $y_q\leqslant \pi<y_{q+1}$ и $y_{q+1}-y_q=a<\pi$. Тогда Доказательство. Пусть $\mu$ таково, что $\sin y_{\mu}\,{\geqslant}\, \sin y_i$ при всех $i$, а $\nu$ таково, что $\sin y_{\nu}\leqslant \sin y_i$ при всех $i$. Заметим, что тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_1,\dots ,y_{\mu-1}\in\biggl[0,\frac{\pi}{2}\biggr], \qquad y_{\mu+1},\dots ,y_q\in\biggl[\frac{\pi}{2},\pi\biggr], \\ y_{q+1},\dots ,y_{\nu-1}\in\biggl[\pi,\frac{3\pi}{2}\biggr], \qquad y_{\nu+1},\dots ,y_k\in\biggl[\frac{3\pi}{2},\pi\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае при $1\leqslant i\leqslant \mu-1$ имеем $y_{i+1}-y_i\leqslant a$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\sin y_i\geqslant \max\bigl\{\sin\bigl(y_{\mu}-a(M-i)\bigr),0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{\mu-1}\sin y_i\geqslant \sum_{j=1}^{\lceil y_{\mu}/a\rceil -1}\sin(y_{\mu}-aj).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, так как при $\mu+1\leqslant i\leqslant q$ имеем $y_{i+1}-y_i\leqslant a$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=\mu+1}^{q}\sin y_i\geqslant \sum_{j=1}^{\lceil(\pi-y_{\mu})/a\rceil -1}\sin(y_{\mu}+aj).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, так как при $q+1\leqslant i\leqslant k-1$ выполняется $y_{i+1}-y_i\geqslant a$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{i=q+1}^{\nu-1}\sin y_i\geqslant \sum_{j=1}^{\lceil(y_{\nu}-\pi)/a\rceil -1}\sin(y_{\nu}-aj), \\ \sum_{i=\nu+1}^{k}\sin y_i\geqslant \sum_{j=1}^{\lceil(2\pi-y_{\nu})/a\rceil -1}\sin(y_{\nu}+aj). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть справедливо
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^{q}\sin y_i &\geqslant \sum_{j=-\lceil y_{\mu}/a\rceil+1}^{\lceil(\pi-y_{\mu})/a\rceil -1}\sin(y_{\mu}+aj) \\ &=\frac{\cos\bigl(y_{\mu}-\lceil \frac{y_{\mu}}{a}\rceil a+\frac{a}{2}\bigr)-\cos\bigl(y_{\mu}+\lceil \frac{\pi-y_{\mu}}{a}\rceil a-\frac{a}{2}\bigr)}{2\sin\frac{a}{2}}\geqslant \frac{\cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=q+1}^{k}\sin y_i &\geqslant \sum_{j=-\lceil(y_{\nu}-\pi)/a\rceil+1}^{\lceil(2\pi-y_{\nu})/a\rceil -1}\sin(y_{\nu}+aj) \\ &=\frac{\cos\bigl(y_{\nu}-\lceil \frac{y_{\nu}-\pi}{a}\rceil a+\frac{a}{2}\bigr)-\cos\bigl(y_{\nu}+\lceil \frac{2\pi-y_{\nu}}{a}\rceil a-\frac{a}{2}\bigr)}{2\sin\frac{a}{2}}\geqslant \frac{-1}{\sin\frac{a}{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}\sin y_i\geqslant\frac{\cos\frac{a}{2}-1}{\sin\frac{a}{2}}\geqslant \frac{\cos^2\frac{a}{2}-1}{\sin\frac{a}{2}}=-\sin\frac{a}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Следствие 4. Пусть точки $y_1,\dots ,y_k$ такие, как в лемме 5, а последовательность $\{a_j\}$ не возрастает. Тогда Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^{k}a_i\sin y_i &=\sum_{i=1}^{q}a_i\sin y_i+\sum_{i=q+1}^{k}a_i\sin y_i \\ &\geqslant a_{q+1}\sum_{i=1}^{q}\sin y_i+a_{q+1}\sum_{i=q+1}^{k}\sin y_i\geqslant -a_{q+1}\sin\frac{a}{2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
по лемме 5. Следствие доказано. По следствию 4 для любого $0\leqslant i\leqslant {R}/{2}-1$ имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=s+t_{2i}+1}^{s+t_{2i+2}}c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant \frac{m^{-\delta}}{2}c_{s+t_{2i+1}+1},
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=s+t_R}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant \frac{m^{-\delta}}{2}c_{s+t_{R+1}+1}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Итак, из (4.14) и (4.15), (4.16) и (4.17) получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=s}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant \biggl(\frac{R}{2}+1\biggr) \frac{m^{-\delta}}{2}c_s+\frac{27}{\alpha-1}s^{-\alpha/2}x^{-1/2}\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Заметим, что $v$ должно удовлетворять неравенству
$$
\begin{equation}
\Delta_{s+v}^1-\Delta_{s+1}^1\leqslant m^{-\delta},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
а по теореме Лагранжа для некоторых $\theta_7,\theta_8\in(0,1)$ левую часть (4.19) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\alpha x\bigl((s+v-1+\theta_7)^{\alpha-1}-(s+\theta_8)^{\alpha-1}\bigr)\geqslant \alpha x \bigl((s+v-1)^{\alpha-1}-(s+1)^{\alpha-1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. должно выполняться
$$
\begin{equation*}
(s+v-1)^{\alpha-1}\leqslant m^{-\delta}x^{-1}+(s+1)^{\alpha-1},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\biggl(1+\frac{v-2}{s+1}\biggr)^{\alpha-1}\leqslant m^{-\delta}x^{-1}(s+1)^{1-\alpha}+1.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
По неравенству Бернулли левая часть неравенства (4.20) не меньше, чем $1+ (\alpha-1)(v-2)/(s+1)$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
(\alpha-1)\frac{v-2}{s+1}\leqslant m^{-\delta}x^{-1}(s+1)^{1-\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит,
$$
\begin{equation}
v\leqslant \frac{1}{\alpha-1}m^{-\delta}x^{-1}(s+1)^{2-\alpha}+2\leqslant \frac{1+2X(\alpha-1)}{\alpha-1}m^{-\delta}x^{-1}(s+1)^{2-\alpha}.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Тогда из (4.4), (4.5) и (4.21) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R &\leqslant \frac{1}{2\pi}\Delta_{s+2}^2 v \leqslant \frac{\alpha(\alpha-1)}{\pi}s^{\alpha-2}x \frac{1+2X(\alpha-1)}{\alpha-1}m^{-\delta}x^{-1}(s+1)^{2-\alpha} \nonumber \\ &\leqslant\frac{2\cdot2^{2-\alpha}\cdot (1+2X)}{\pi}m^{-\delta}\leqslant (2+4X)m^{-\delta}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Из (4.18) и (4.22) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=s}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x &\leqslant (2+4X)m^{-\delta} \frac{m^{-\delta}}{2}c_s+\frac{27}{\alpha-1}s^{-\alpha/2}x^{-1/2}\sup_{k\geqslant l}c_k k \\ &\leqslant \biggl((1+2X)m^{-1-2\delta}+\frac{27}{\alpha-1}s^{-\alpha/2}x^{-1/2}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=m}^{m+p}c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant 3 \biggl((1+2X)m^{-1-2\delta}+\frac{27}{\alpha-1}m^{-\alpha/2}x^{-1/2}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с учетом (4.8)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_2'&\leqslant 3\sum_{i=0}^{\infty}\biggl((1+2X)w_i^{-1-2\delta}+\frac{27}{\alpha-1}w_i^{-\alpha/2}x^{-1/2}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k \nonumber \\ &\leqslant 3 \biggl((1+2X)\frac{m^{-2\delta}}{2\delta}+\frac{27}{\alpha-1}\sum_{i=0}^{\infty}w_i^{-\alpha/2}x^{-1/2}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $w_0:=m$, а $w_{i+1}:=w_i+w_i^{2-\alpha}x^{-1}\geqslant w_i+1$ при $i\geqslant 0$, а значит, Вспомним, что $m\geqslant l\geqslant l_0\geqslant 2$, и рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
F(m):=\int_m^{\infty}\frac{dy}{y\ln ^2 y}=\frac{1}{\ln m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (4.24)
$$
\begin{equation}
F(m)=\sum_{j=0}^{\infty}\int_{w_j}^{w_{j+1}}\frac{dy}{y\ln^2 y}=:\sum_{j=0}^{\infty}W_j.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Пусть для $j=0,\dots ,J$ и только для этих значений выполнено $x^{-1}>w_j^{\alpha-1}$; тогда при $j=0,\dots ,J-1$ выполнено $w_{j+1}\geqslant 2w_j$, а значит,
$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{J}w_i^{-\alpha/2}x^{-1/2}\leqslant m^{-\alpha/2}x^{-1/2}\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i\alpha/2}\leqslant \frac{1}{1-2^{-\alpha/2}}\leqslant 4.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
При этом при $j>J$ выполнено $x^{-1}\leqslant w_j^{\alpha-1}$, а тогда, пользуясь неравенством $\ln(1+y)\geqslant y/2$, верным при $y\leqslant 1$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_j &=\frac{1}{\ln w_j}-\frac{1}{\ln(w_j+w_j^{2-\alpha}x^{-1})} =\frac{\ln(1+w_j^{1-\alpha}x^{-1})}{\ln w_j \ln(w_j+w_j^{2-\alpha}x^{-1})} \nonumber \\ &\geqslant \frac{w_j^{1-\alpha}x^{-1}}{2\ln w_j \ln(2w_j)}\geqslant w_j^{-\alpha/2}x^{-1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Здесь мы воспользовались двойным неравенством
$$
\begin{equation*}
w_j^{1-\alpha/2}x^{-1/2}\geqslant w_j^{1-\alpha/2}\pi^{-1/2}\geqslant 4\ln^2 w_j,
\end{equation*}
\notag
$$
верным, так как $w_j\geqslant m\geqslant l_0$, по второму условию из (4.1). Таким образом, из (4.25) и (4.27) следует
$$
\begin{equation}
\sum_{i=J+1}^{\infty}w_i^{-\alpha/2}x^{-1/2}\leqslant \sum_{i=J+1}^{\infty}W_j\leqslant F(m)\leqslant \frac{1}{\ln 2}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Объединяя оценки (4.26) и (4.28), получим из (4.23)
$$
\begin{equation}
S_2'\leqslant 3 \biggl(\frac{1+2X}{2\delta}+\frac{27}{\alpha-1}\biggl(4+\frac{1}{\ln 2}\biggr)\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Записывая вместо (4.14)
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=s}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x =\sum_{k=s}^{s+t_1}c_k\sin k^{\alpha}x+\sum_{i=2}^{R/2-1}\sum_{k=s+t_{2i-1}+1}^{s+t_{2i+1}}c_k\sin k^{\alpha}x+\sum_{k=s+t_R}^{s+v}c_k\sin k^{\alpha}x
\end{equation*}
\notag
$$
и рассуждая абсолютно аналогично, с помощью (4.13) получаем
$$
\begin{equation}
S_2'\geqslant -3 \biggl(\frac{1+2X}{2\delta}+\frac{54}{\alpha-1}\biggl(4+\frac{1}{\ln 2}\biggr)\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Объединяя (4.29) и (4.30), окончательно имеем
$$
\begin{equation}
|S_2'|\leqslant C(\alpha, X)\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Теперь рассмотрим $S_2''$. Пусть $m'=m'(m)\geqslant m$ – первый номер такой, что $m'\in K_2$. Положим $Q=Q(m):=\lceil m^{(2-\alpha)/3}\rceil$. Заметим, что при $k\in K_2$ выполнено
$$
\begin{equation}
\frac{m^{-\delta}}{2}\leqslant \frac{\widetilde{\Delta}_{k+1}^1}{2}\leqslant \pi-\frac{m^{-\delta}}{2}.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Применяя преобразование Абеля, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=m'}^{m'+Q-1}c_k \sin k^{\alpha} x=\sum_{q=0}^{Q-1}(c_{m'+q}-c_{m'+q+1})\sum_{k=m'}^{m'+q}\sin k^{\alpha} x+c_{m'+Q}\sum_{k=m'}^{m'+Q-1}\sin k^{\alpha}x.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
(m'+q)^{\alpha} x\underset{\mod 2\pi}{=} (m')^{\alpha} x+\sum_{t=1}^q \widetilde{\Delta}_{m'+t}^1,
\end{equation*}
\notag
$$
а тогда из (4.4) и (4.5) вытекает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl|(m'+t)^{\alpha}-(m')^{\alpha}-\widetilde{\Delta}_{m+1}^1 t\bigr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{t(t-1)}{2}\Delta_{m'+2}^2\leqslant t(t-1)\alpha(\alpha-1) x m^{\alpha-2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Так как для произвольных $g,h\in\mathbb{R}$ выполнено $|\sin(g+h)-\sin g|\leqslant |h|$, то из (4.34) следует, что при $q\leqslant Q-1$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{k=m'}^{m'+q}\sin k^{\alpha}x-\sum_{t=0}^{q}\sin\bigl((m')^{\alpha}x+\widetilde{\Delta}_{m+1}^1 t\bigr)\biggr| \leqslant \frac{Q(Q+1)(2Q+1)}{6}\alpha(\alpha-1)x m^{\alpha-2} \nonumber \\ &\ \leqslant Q^3\alpha(\alpha-1)x m^{\alpha-2} \leqslant ((2m)^{(2-\alpha)/3})^3\alpha(\alpha-1)x m^{\alpha-2} =2^{2-\alpha}\alpha(\alpha-1)x\leqslant 4X. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
При этом с учетом (4.32)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{t=0}^q\sin ((m')^{\alpha}x+\widetilde{\Delta}_{m+1}^1 t)\biggr| \nonumber \\ &\qquad=\biggl|\frac{\cos \bigl((m')^{\alpha}x-\frac{\widetilde{\Delta}_{m+1}^1}{2}\bigr)-\cos \bigl((m')^{\alpha}x+\frac{\widetilde{\Delta}_{m+1}^1(2q+1)}{2}\bigr)}{2\sin\frac{\widetilde{\Delta}_{m+1}^1}{2}}\biggr| \leqslant \frac{2}{2\frac{2}{\pi}\frac{m^{-\delta}}{2}}=\pi m^{\delta}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Из (4.35) и (4.36) следует
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=m'}^{m'+q}\sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant \pi m^{\delta}+4X\leqslant (\pi+4X) m^{\delta},
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
а из (4.37) и (4.33) –
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=m'}^{m'+Q-1}c_k\sin k^{\alpha}x\biggr| \leqslant c_{m'} (\pi+4X) m^{\delta} \leqslant c_{m} (\pi+4X) m^{\delta} \leqslant (\pi+4X) m^{\delta-1}\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Пусть $Q'=Q'(m)\geqslant Q(m)$ – наименьшее число такое, что $m'+Q'\in K_2$. Положим $m_0:=m$, $m_{i+1}:=m'(m_i)+Q'(m_i)$ при всех $i\geqslant 0$. Так как тоЗаметим, что в сумме, стоящей в левой части (4.38), могут встречаться блоки таких $k$, что $k\in K_1$ и значения $\widetilde{\Delta}_{k+1}^1$ в одном блоке возрастают и лежат в одном из отрезков $[0,m^{-\delta}]$, $[2\pi\,{-}\,m^{-\delta},2\pi]$. Сумму по каждому из таких блоков оценим, как в (4.18) при оценке соответствующего блока в $S_2'$. Тогда из (4.31), (4.38) и (4.39), вспоминая, что $\delta<(2-\alpha)/3<1$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |S_2''|&\leqslant C(\alpha, X)\sup_{k\geqslant l}c_k k+(\pi+4X) \sup_{k\geqslant l} c_k k\sum_{i=0}^{\infty}c_{m_i}m_i^{\delta-1} \nonumber \\ &\leqslant C(\alpha, X)\sup_{k\geqslant l}c_k k+(\pi+4X) \sup_{k\geqslant l} c_k k\sum_{i=0}^{\infty}z_i^{\delta-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
где $z_0:=m$, $z_{i+1}:=z_i+z_i^{(2-\alpha)/3}\geqslant z_i+1$ для любого $i$, а значит, $z_i\to\infty$, следовательно,
$$
\begin{equation}
F(m)=\sum_{j=0}^{\infty}\int_{z_j}^{z_{j+1}}\frac{dy}{y\ln ^2 y}=:\sum_{j=0}^{\infty} Z_j.
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Положим $(2-\alpha)/3\,{=:}\,\gamma\,{>}\,\delta$. Пользуясь неравенством $\ln(1+y)\,{\geqslant}\, y/2$, справедливым при $y\leqslant 1$, имеем
$$
\begin{equation}
Z_j=\frac{1}{\ln z_j}-\frac{1}{\ln (z_j+z_j^{\gamma})} =\frac{\ln(1+z_j^{\gamma-1})}{\ln z_j \ln(z_j+z_j^{\gamma})}\geqslant \frac{z_j^{\gamma-1}}{2\ln z_j \ln(2z_j)}>z_j^{\delta-1}.
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Последнее неравенство в (4.42) следует из неравенства которое выполнено в силу соотношения $z_j\geqslant l_0$ и третьего условия из (4.1). А тогда из (4.40), (4.41) и (4.42) вытекает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |S_2''| &\leqslant C(\alpha, X)\sup_{k\geqslant l} c_k k+(\pi+4x) \sup_{k\geqslant l} c_k k\sum_{i=0}^{\infty}Z_i \nonumber \\ &=C(\alpha, X)\sup_{k\geqslant l} c_k k +(\pi+4X) F(m)\sup_{k\geqslant l} c_k k \leqslant \biggl(C(\alpha, X)+\frac{\pi+4X}{\ln 2}\biggr)\sup_{k\geqslant n} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
Окончательно, объединяя (4.2), (4.3), (4.7), (4.31) и (4.43), получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{k=l}^L c_k \sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant \biggl(\frac{2^{\alpha}}{\alpha}+2C(\alpha, X)+\frac{\pi+4X}{\ln 2}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и вытекает, что при выполнении условия $c_k k\to 0$ наш ряд сходится равномерно.
§ 5. Случай степени из интервала $(0,1)$ Доказательство теоремы 1, (c) для случая $\alpha\in(0,1)$. Пусть выполнено условие $c_k k\to 0$. Покажем, что ряд (1.1) сходится равномерно на множестве $|x|\leqslant X<\infty$. Без ограничения общности далее будем считать, что $x>0$. Возьмем $D\geqslant 3$ – нечетное число, удовлетворяющее условиям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\pi X^{-1})^{1/\alpha}D^{1/\alpha-1}\geqslant 12\alpha, \qquad\biggl(1+\frac{1}{D}\biggr)^{1/\alpha-1}\leqslant \frac{4}{3}, \\ \biggl(1-\frac{3}{2\alpha}\frac{1}{D}\biggr)^{\alpha-1}\leqslant \frac{4}{3}, \qquad \biggl(1+\frac{3}{2D}\biggr)^{1/\alpha-2}\leqslant 2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
и положим $E:=D+1$. Рассмотрим в произвольной точке $x\in(0,X]$ сумму $\sum_{k=l}^{L}c_k\sin k^{\alpha}x$. Если $x\leqslant \pi L^{-\alpha}$, то имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 0&\leqslant \sum_{k=l}^{L}c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant x\sum_{k=l}^L c_k k^{\alpha}\leqslant x\sup_{k\geqslant l} c_k k\sum_{k=l}^L k^{\alpha-1} \\ &\leqslant \pi L^{-\alpha}\frac{(2L)^{\alpha}}{\alpha}\sup_{k\geqslant l} c_k k =:C_1\sup_{k\geqslant l} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Если же $x\geqslant \pi l^{-\alpha}$ и $L^{\alpha}x-l^{\alpha}x\leqslant 6\pi$, то имеем $L^{\alpha}-l^{\alpha}\leqslant 6\pi/x\leqslant 6 l ^{\alpha}$, откуда $L\leqslant 7^{1/\alpha}l$, а значит,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \biggl|\sum_{k=l}^L c_k\sin k^{\alpha}x\biggr| &\leqslant \sum_{k=l}^L c_k \leqslant c_l(L-l+1) <7^{1/\alpha}l c_l \\ &\leqslant 7^{1/\alpha}\sup_{k\geqslant l} c_k k =:C_2(\alpha)\sup_{k\geqslant l} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Остался лишь случай, когда $x\geqslant \pi l^{-\alpha}$ и $L^{\alpha}x-l^{\alpha}x > 6\pi$. Пусть нечетные числа $d_1$, $d_2$ и четные числа $e_1$, $e_2$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi(e_1-2)<xl^{\alpha}\leqslant \pi e_1, \qquad \pi(d_1-2)<xl^{\alpha}\leqslant \pi d_1, \\ \pi e_2\leqslant xL^{\alpha}< \pi(e_2+2), \qquad \pi d_2\leqslant xL^{\alpha}\leqslant \pi(d_2+2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для любых $\gamma>0$ и $d\geqslant 3$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(\gamma,d) &=F(\gamma,d,\alpha):=\frac{\lfloor(\gamma d)^{1/\alpha}\rfloor-\lfloor(\gamma (d-2))^{1/\alpha}\rfloor}{\lfloor(\gamma (d-2))^{1/\alpha}\rfloor+1} \leqslant \frac{2((\gamma d)^{1/\alpha}-(\gamma (d-2))^{1/\alpha})}{(\gamma (d-2))^{1/\alpha}} \\ &\leqslant \frac{2((\gamma d)^{1/\alpha}-(\gamma (d-2))^{1/\alpha})}{(\gamma (d-2))^{1/\alpha}} =2\biggl(\biggl(\frac{d}{d-2}\biggr)^{1/\alpha}-1\biggr)\leqslant 2\big (3^{1/\alpha}-1\bigr)=:C. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{k=l}^{\lfloor (\pi x^{-1}d_1)^{1/\alpha}\rfloor}c_k\sin k^{\alpha}x\biggr| \leqslant c_l \sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1}(d_1-2))^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} d_1)^{1/\alpha}\rfloor}1 \nonumber \\ &\ \ \leqslant c_l\bigl(\lfloor (\pi x^{-1}(d_1-2))^{1/\alpha}\rfloor+1\bigr)F(\pi x^{-1},d_1) \leqslant lc_l F(\pi x^{-1},d_1)\leqslant C\sup_{k\geqslant l} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=l}^{\lfloor (\pi x^{-1} e_1)^{1/\alpha}\rfloor}c_k\sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant C\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Далее,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} e_2)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{L}c_k\sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant c_{\lfloor (\pi x^{-1} e_2)^{1/\alpha}\rfloor+1} \sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} e_2)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (e_2+2))^{1/\alpha}\rfloor}1 \nonumber \\ &\qquad\leqslant c_{\lfloor (\pi x^{-1} e_2)^{1/\alpha}\rfloor+1}\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} e_2)^{1/\alpha}\rfloor+1\bigr)F(\pi x^{-1},e_2+2)\leqslant C \sup_{k\geqslant l} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} d_2)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{L}c_k\sin k^{\alpha}x\biggr|\leqslant C \sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Теперь рассмотрим следующую сумму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(d)&:=\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+2))^{1/\alpha}\rfloor}\sin k^{\alpha}x =\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+1/2))^{1/\alpha}\rfloor}+\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} (d+1/2))^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor} \\ &\qquad+\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+3/2))^{1/\alpha}\rfloor}+\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} (d+3/2)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+2))^{1/\alpha}\rfloor}\sin k^{\alpha}x \\ &=:S_1(d)+S_2(d)+S_3(d)+S_4(d), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $d\geqslant D$ – нечетное число. Сначала покажем, что сумма $S_2(d)+S_3(d)$ не может быть слишком велика, так как большую часть слагаемых, входящих в суммы $S_2(d)$ и $S_3(d)$, можно разбить на пары так, что сумма значений в парах будет близка к нулю и неположительна. Пусть в $s$-й паре значениями $k$ будут $\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor+s$ и $\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor-1-s$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s&=0,1,\dots ,\min\biggl\{\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-\bigl\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor, \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \bigl\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor-\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-1\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Заметим, что ровно одна пара состоит из слагаемых суммы $S_2(d)$, а каждая из остальных пар состоит из одного слагаемого из $S_2(d)$ и одного слагаемого из $S_3(d)$. Сумма слагаемых в $s$-й паре равна
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sin \bigl(\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha}x +\sin \bigl(\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor-1-s\bigr)^{\alpha}x \nonumber \\ &\ =2\sin \bigl(\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha} +\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor-1-s\bigr)^{\alpha}\bigr)\frac{x}{2} \nonumber \\ &\ \qquad\times\cos \bigl(\bigl(\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha} -\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor-1-s\bigr)^{\alpha}\bigr)\frac{x}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Согласно (5.8) аргумент каждого косинуса в (5.9) лежит на отрезке $[0,\pi/2]$, а значит, все косинусы неотрицательны. Покажем теперь, что аргументы всех синусов в (5.9) лежат в полуинтервале $[\pi d,\pi(d+1))$, из чего будет следовать неположительность этих синусов. В силу выпуклости вверх функции $\chi(y)=y^{\alpha}$ ($\chi''(y)=\alpha(\alpha-1)y^{\alpha-2}<0$ при $y>0$) на $\mathbb{R}^+$ аргумент синуса не превосходит
$$
\begin{equation*}
2\biggl(\bigl\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor-\frac{1}{2}\biggr)^{\alpha}\frac{x}{2}<\pi(d+1).
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}-(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}+1 \nonumber \\ &\qquad<(\pi x^{-1} (d+2))^{1/\alpha}-(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}-\frac{1}{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
так как по теореме Лагранжа найдется $\theta\in(0,1/2)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\pi x^{-1})^{1/\alpha}\biggl((d+2)^{1/\alpha}-\biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)^{1/\alpha}\biggr) \geqslant (\pi x^{-1})^{1/\alpha}\frac{1}{2\alpha}\biggl(d+\frac{3}{2}+\theta\biggr)^{1/\alpha-1} \\ &\qquad \geqslant (\pi x^{-1})^{1/\alpha}\frac{1}{2\alpha}\biggl(d+\frac{3}{2}+\theta\biggr)^{1/\alpha-1} \geqslant (\pi x^{-1})^{1/\alpha}\frac{1}{2\alpha}D^{1/\alpha-1}\geqslant 6>\frac{3}{2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
по первому условию из (5.1). Значит, из (5.10) получаем
$$
\begin{equation*}
s\leqslant \bigl(\pi x^{-1} (d+2)\bigr)^{1/\alpha}-\bigl(\pi x^{-1} (d+1)\bigr)^{1/\alpha}-\frac{1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
а тогда
$$
\begin{equation}
\frac{s+1/2}{\bigl(\pi x^{-1} (d+1)\bigr)^{1/\alpha}}<\biggl(\frac{d+2}{d+1}\biggr)^{1/\alpha}-1\leqslant \frac{4}{3\alpha(d+1)},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
так как функция $t(y)=(1+y)^{1/\alpha}-1-4y/(3\alpha)$ обращается в нуль при $y=0$, а $t'(y)=((1+y)^{1/\alpha-1}-4/3)/\alpha\leqslant 0$ при $y\leqslant 1/D$ согласно второму условию из (5.1). Также
$$
\begin{equation}
\frac{3}{\bigl(2\pi x^{-1} (d+1)\bigr)^{1/\alpha}}<\frac{2}{(\pi x^{-1})^{1/\alpha}(d+1)^{1/\alpha}}\leqslant \frac{1}{6\alpha (d+1)}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
в силу первого условия из (5.1) и того, что $d\geqslant D$. А тогда из (5.11) и (5.12) получаем, что аргумент каждого синуса в правой части (5.9) не меньше, чем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl((\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}-\frac{3}{2}+\max \biggl(s+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{\alpha}\frac{x}{2} \nonumber \\ &\quad\qquad+\biggl((\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}-\frac{3}{2}-\max \biggl(s+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{\alpha}\frac{x}{2} \nonumber \\ &\quad\geqslant \biggl(1-\frac{3}{2(\pi x^{-1}(d+1))^{1/\alpha}}+\frac{4}{3\alpha(d+1)}\biggr)^{\alpha}\frac{\pi (d+1)}{2} \nonumber \\ &\quad\qquad+\biggl(1-\frac{3}{2(\pi x^{-1}(d+1))^{1/\alpha}}-\frac{4}{3\alpha(d+1)}\biggr)^{\alpha}\frac{\pi (d+1)}{2} \nonumber \\ &\quad\geqslant \biggl(\biggl(1-\frac{1}{6\alpha(d+1)}+\frac{4}{3\alpha(d+1)}\biggr)^{\alpha} {+}\,\biggl(1\,{-}\,\frac{1}{6\alpha(d+1)}-\frac{4}{3\alpha(d+1)}\biggr)^{\alpha}\biggr)\frac{\pi (d+1)}{2} \nonumber \\ &\quad\geqslant\biggl(1+\biggl(1-\frac{3}{2\alpha(d+1)}\biggr)^{\alpha}\biggr)\frac{\pi (d+1)}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Покажем, что последнее выражение не меньше, чем $\pi d$. Для этого достаточно показать, что в точке $y=(d+1)^{-1}$ неотрицательна функция
$$
\begin{equation*}
g(y)=1+\biggl(1-\frac{3}{2\alpha}y\biggr)^{\alpha}-2+2y=\biggl(1-\frac{3}{2\alpha}y\biggr)^{\alpha}-1+2y.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $g(0)=0$, а
$$
\begin{equation*}
g'(y)=-\frac{3}{2}\biggl(1-\frac{3}{2\alpha}y\biggr)^{\alpha-1}+2\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $y\leqslant 1/D$ по третьему условию из (5.1). Таким образом, из (5.13) и сделанного замечания следует, что аргумент каждого синуса в правой части (5.9) не меньше, чем $\pi d$. При этом нетрудно заметить, что каждый из этих аргументов также не больше, чем $(\pi+1)d$, а значит, все синусы в правой части (5.9) неположительны, откуда следует неположительность всей суммы по выбранным нами парам. Если без пары осталось некоторое слагаемое из $S_2(d)$, то оценим его сверху нулем. Оценим количество слагаемых из $S_3(d)$, которые могли остаться без пары. Если такие есть, то (поскольку у нас есть ровно одна пара, состоящая из слагаемых из $S_2(d)$, а все остальные пары содержат по одному слагаемому из $S_2(d)$ и из $S_3(d)$), количество слагаемых из $S_3(d)$, оставшихся без пары, есть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\biggl(\lfloor(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor -\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-2\biggr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}-2(\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}+ \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}+4 \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{2}{\alpha}\biggl(\frac1\alpha-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Здесь мы воспользовались теоремой Лагранжа для функции $w(y)=y^{1/\alpha}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &w(y+1)-2w\biggl(y+\frac{1}{2}\biggr)+w(y) \\ &\qquad =w'\biggl(y+\frac{1}{2}+\theta_1\biggr)-w'(y+\theta_2) =\biggl(\frac{1}{2}+\theta_1-\theta_2\biggr)w''(y+\theta_0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta_1,\theta_2\in[0,1/2]$, $\theta_0\in[0,1]$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &w(y+1)-2w\biggl(y+\frac{1}{2}\biggr)+w(y)\leqslant \sup_{[y+1/2,y+3/2]}w''(z) \\ &\qquad=\frac{1}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)\max\biggl\{\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)^{1/\alpha-2}, \biggl(d+\frac{3}{2}\biggr)^{1/\alpha-2}\biggr\}\leqslant \frac{2}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr) d^{1/\alpha-2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно четвертому условию из (5.1), откуда и следует справедливость оценки (5.14). Из приведенных выше рассуждений следует, что
$$
\begin{equation}
S_2(d)+S_3(d)\leqslant \frac{2}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+4.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Покажем теперь, что сумма $S_1(d)$ мало отличается от $S_2(d)$, а $S_4(d)$ – от $S_3(d)$. Каждому
$$
\begin{equation}
s=1,2,\dots ,\bigl\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor-\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor=:s_{\max}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
поставим в соответствие одно из
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, k_s&=\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1, \nonumber \\ &\qquad\qquad\dots ,\bigl\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
таким образом,
$$
\begin{equation}
k_s:=\min\bigl\{k\in\mathbb{N}\colon \bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+k\bigr)^{\alpha}\geqslant \pi x^{-1}(2d+1)-\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Тогда, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi d\leqslant \bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha}x\leqslant \pi\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\leqslant \bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+k_s\bigr)^{\alpha}x\leqslant \pi(d+1), \\ \pi\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)-\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha}x\leqslant \bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+k_s\bigr)^{\alpha}x-\pi\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\sin \bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s\bigr)^{\alpha}x \leqslant \sin\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+k_s\bigr)^{\alpha}x.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-((\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}-1+s)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha}-(\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}+2 \nonumber \\ &\qquad\leqslant \bigl(\pi x^{-1} (d+1)\bigr)^{1/\alpha}-1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-\pi x^{-1} d\bigr)^{1/\alpha}-(\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}+3-\bigl(\pi x^{-1} (d+1)\bigr)^{1/\alpha} \\ &\qquad =3- (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\leqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу $d\geqslant D\geqslant 3$. Тогда из (5.20) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha}-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1 \\ &\qquad\leqslant \bigl\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, что для каждого $s$ из (5.16) найдется $k_s$, удовлетворяющее (5.17) и (5.18). Покажем также, что $k_{s_1}\neq k_{s_2}$ при $s_1\neq s_2$. Так как $k_s$ не возрастает с возрастанием $s$, то достаточно показать, что $k_s> k_{s+1}$. Действительно, из (5.18) вытекает
$$
\begin{equation*}
k_s\geqslant \bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha}-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor>k_s-1,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, достаточно показать справедливость
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha}-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor \nonumber \\ &\quad > \bigl(\pi x^{-1}(2d+1)-(\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+s+1)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha}-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Обозначим для краткости $a:=\pi x^{-1}(2d+1)$, $b:=\lfloor(\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor$ и рассмотрим функцию Тогда по теореме Лагранжа $h_{a,b}(s)-h_{a,b}(s+1)=-h'_{a,b}(s_0)$, где $s_0\in(1,s_{\max})$. При этом
$$
\begin{equation*}
h'_{a,b}(s)=-\bigl(a-(b+s)^{\alpha}\bigr)^{1/\alpha-1}(b+s)^{\alpha-1},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $|h'_{a,b}|$ убывает по $b+s$, а следовательно, учитывая, что
$$
\begin{equation*}
b+s\leqslant\biggl(\pi x^{-1}\biggl(d+\frac12\biggr)\biggr)^{1/\alpha}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (5.16), на интервале $(1,s_{\max})$ имеем
$$
\begin{equation*}
|h'_{a,b}(s)|> \biggl(\pi x^{-1}\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha-1}\biggl(\biggl(\pi x^{-1}\biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr)^{\alpha-1}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $h_{a,b}(s)-h_{a,b}(s+1)>1$, а значит, (5.21) выполнено. Итак, каждому $s$, удовлетворяющему (5.16), мы инъективно сопоставили $k_s$, удовлетворяющее (5.17) и (5.18), так, что для каждого $s$ имеет место (5.19), т.е. каждое слагаемое суммы $S_1(d)$ оценивается сверху соответствующим слагаемым суммы $S_2(d)$. Число слагаемых в $S_2(d)$, не участвующих в этой оценке, есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\bigr\rfloor -\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor \\ &\qquad\qquad -\biggl(\biggl\lfloor \biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}\biggr\rfloor-\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor\biggr) \\ &\qquad\leqslant (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}+(\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}-2\biggl(\pi x^{-1} \biggl(d+\frac{1}{2}\biggr)\biggr)^{1/\alpha}+2 \\ &\qquad\leqslant \frac{2}{\alpha}\biggl(\frac 1\alpha-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично оценке (5.14). Таким образом,
$$
\begin{equation}
S_1(d)\leqslant S_2(d)+\frac{2}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2.
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для сумм $S_3(d)$ и $S_4(d)$, получим для $d\geqslant D$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_4(d) &\leqslant S_3(d)+\frac{2}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)(d+1)^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2 \nonumber \\ &\leqslant S_3(d)+\frac{4}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
с учетом четвертого условия из (5.1). Итак, собирая вместе оценки (5.4), (5.7), (5.15), (5.22) и (5.23), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=l}^L c_k\sin k^{\alpha}x\leqslant 2C\sup_{k\geqslant l} c_k k+\sum_{\underset{d \text{ нечетно}}{d\geqslant d_1}}^{D-2}\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+2))^{1/\alpha}\rfloor} c_k\sin k^{\alpha}x \nonumber \\ \nonumber &\quad +\sum_{\underset{d\text{ нечетно}}{d\geqslant D}}^{d_2-2}\sum_{k=\lfloor (\pi x^{-1} d)^{1/\alpha}\rfloor+1}^{\lfloor (\pi x^{-1} (d+2))^{1/\alpha}\rfloor} c_k\sin k^{\alpha}x \\ \nonumber &\leqslant 2C\sup_{k\geqslant l} c_k k+c_{\lfloor (\pi x^{-1} d_1)^{1/\alpha}\rfloor+1}\bigl(\lfloor (\pi x^{-1} D)^{1/\alpha}\rfloor-\lfloor (\pi x^{-1} d_1)^{1/\alpha}\rfloor\bigr) \\ \nonumber &\quad+\sum_{\underset{d\text{ нечетно}}{d\geqslant D}}^{d_2-2}c_{\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor} S(d) \\ &\leqslant 2C\sup_{k\geqslant l} c_k k+2\biggl(\biggl(\frac{D}{d_1}\biggr)^{1/\alpha}-1\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k \nonumber \\ &\quad+2\sum_{\underset{d\text{ нечетно}}{d\geqslant D}}^{d_2-2}c_{\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor} \biggl(S_2(d)+S_3(d)+\frac{3}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2\biggr) \nonumber \\ &\leqslant 2C\sup_{k\geqslant l} c_k k+2(D^{1/\alpha}-1)\sup_{k\geqslant l} c_k k+2\sum_{\underset{d\text{ нечетно}}{d\geqslant D}}^{d_2-2} c_{\lfloor (\pi x^{-1} (d+1))^{1/\alpha}\rfloor} \nonumber \\ &\quad\times\biggl(\frac{2}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+4+\frac{3}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{1/\alpha-2}(\pi x^{-1})^{1/\alpha}+2\biggr) \nonumber \\ &\leqslant 2C\sup_{k\geqslant l} c_k k+2(D^{1/\alpha}-1)\sup_{k\geqslant l} c_k k \nonumber \\ &\quad+2\sup_{k\geqslant l} c_k k\sum_{d\geqslant d_1} \frac{5}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)d^{-2}+\frac{6}{(\pi x^{-1})^{1/\alpha}}d^{-1/\alpha} \nonumber \\ &\leqslant \biggl(2C+2(D^{1/\alpha}-1)+\frac{10}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)D^{-1}+\frac{6}{(\pi X^{-1})^{1/\alpha}}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr) D^{1-1/\alpha}\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k \nonumber \\ &\leqslant \biggl(2C+2(D^{1/\alpha}-1)+\biggl(\frac{10}{\alpha}+2X^2\biggr) \biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)\biggr)\sup_{k\geqslant l} c_k k=:C_3\sup_{k\geqslant l} c_k k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Проводя совершенно аналогичные рассуждения с $e_1$, $e_2$ и $E$ вместо $d_1$, $d_2$ и $D$ и оценивая $S(e)$ снизу, с учетом (5.5) и (5.6) получим
$$
\begin{equation}
\sum_{k=l}^L c_k\sin k^{\alpha}x\geqslant -C_4\sup_{k\geqslant l} c_k k.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
В итоге, объединяя оценки (5.2), (5.3), (5.24) и (5.25), имеем откуда и следует равномерная сходимость.§ 6. Доказательство теоремы 2 Доказательство теоремы 2. Пункт (a) теоремы 2 очевидным образом вытекает из теоремы 1, (a). В силу теоремы 1, (b), (c) для доказательства соответствующих пунктов теоремы 2 достаточно показать, что при любом $\alpha>0$ условие $c_kk\to 0$ является необходимым для равномерной сходимости ряда (1.1) на множестве, содержащем при некотором $\gamma\geqslant 2$ дискретную $(\alpha,\gamma)$-окрестность нуля. Пусть ряд (1.1) сходится равномерно на некотором множестве $X$, содержащем дискретную $(\alpha,\gamma)$-окрестность нуля, и пусть $\gamma\geqslant 2$ и $N$ – числа, фигурирующие в определении такой окрестности. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Для него найдется $l_0=l_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}$, $l_0\geqslant N$, такое, что при любом $L>l\geqslant l_0$ и любом $x\in X$ будет выполнено $\bigl|\sum_{k=l}^{L}c_k\sin k^{\alpha} x\bigr|<\varepsilon$. Тогда возьмем любое $l\geqslant l_0$ и положим $x_0=\pi/(\gamma^{\alpha+1}l^{\alpha})$ (либо $x_0$, либо $-x_0$ содержится в $X$); получим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon>\biggl|\sum_{k=l+1}^{2l}c_k\sin k^{\alpha} x_0\biggr|=\biggl|\sum_{k=l+1}^{2l}c_k\sin k^{\alpha} \frac{\pi}{\gamma^{\alpha+1}l^{\alpha}}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что аргумент каждого из синусов здесь не превосходит $\pi/2$, а значит, имеем т.е. $c_{2l}2l\leqslant {\gamma}^{\alpha+1}\varepsilon$. При этом откуда и следует необходимость условия. Доказательство замечания 4. Оценки из доказательства теоремы 1, (a), (b) остаются с точностью до констант верными при замене разностей вида $c_m-c_{m+1}$ на их модули. Действительно, это вытекает из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=l}^L|c_k-c_{k+1}|k^{\xi} &=l^{\xi}\sum_{k=l}^L|c_k-c_{k+1}|+\sum_{k=l}^L \bigl((k+1)^{\xi}-k^{\xi}\bigr)\sum_{j=l}^L|c_k-c_{k+1}|\nonumber \\ &\leqslant V c_l l^{\xi}+VC(\xi)\sum_{k=l}^Lc_k k^{\xi-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где $\xi>0$, $V$ – константа из (1.3), и
$$
\begin{equation}
c_k\leqslant c_m+\sum_{l=m}^{k-1}|c_l-c_{l+1}|\leqslant (V+1)c_m
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
при $k\,{>}\,m$. Из неравенства (6.3) следует справедливость (3.4), (3.6), (3.9), (3.10), (3.13), (3.14) и (3.16) с соответствующими изменениями, а из (6.4) – справедливость (3.1), (3.19), (6.1) и (6.2). БлагодарностиАвтор выражает глубокую благодарность М. И. Дьяченко и С. Ю. Тихонову за обсуждение результатов и конструктивные советы по структурированию работы, а также рецензентам за ценные замечания, способствовавшие улучшению текста статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Oga21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|