| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О регуляризованной асимптотике решения задачи Коши при наличии слабой точки поворота у предельного оператора А. Г. Елисеев Национальный исследовательский университет "МЭИ", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9444 
Реферативные базы данных:
  § 1. ВведениеСингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с нестабильным спектром предельного оператора всегда вызывали интерес как физиков, так и математиков. Среди таких задач особенно трудными являются задачи с точечной нестабильностью, именно, точками поворота. Первые задачи с точками поворота возникли, по-видимому, в квантовой механике. И первым методом решения был метод ВКБ (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна) – самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 г. независимо друг от друга. В 1923 г. математик Г. Джеффри развил общий метод приближенного решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Методы решения задач со спектральными особенностями развиваются и в настоящее время. Отметим только школу В. П. Маслова, школу А. Б. Васильевой–В. Ф. Бутузова–Н. Н. Нефедова, школу С. А. Ломова. Обзор всех методов не является целью настоящей статьи. C точки зрения метода регуляризации точки поворота делятся на три группы. 1. Простая точка поворота – собственные значения изолированы друг от друга и одно собственное значение в отдельных точках $t$ обращается в нуль. 2. Слабая точка поворота – хотя бы пара собственных значений пересекается в отдельных точках $t$, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения. Базис из собственных векторов остается гладким по $t$. 3. Сильная точка поворота – хотя бы пара собственных значений пересекается в отдельных точках $t$, но при этом предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову в точках пересечения. Базис из собственных векторов в точках пересечения теряет гладкость по $t$. Классические точки поворота относятся к третьему типу. В настоящей работе методом регуляризации Ломова (см. [1]) строится регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной неоднородной задачи Коши на всем отрезке $[0,T]$ при наличии спектральной особенности в виде “слабой” точки поворота у предельного оператора. Отметим работу [2], посвященную построению асимптотики решений сингулярно возмущенных задач Коши для интегро-дифференциальных уравнений при наличии спектральных особенностей у предельного оператора. Следует отметить также работу [3], в которой рассмотрены задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения (этот случай в статье называется случаем обмена устойчивостями). Исследование данной проблемы основано на асимптотическом методе дифференциальных неравенств. Точка $ \varepsilon = 0 $ для сингулярно возмущенной задачи Коши является особой в том смысле, что классические теоремы существования решения задачи Коши не имеют места в этой точке. Поэтому в решении сингулярно возмущенных задач возникают существенно особые сингулярности, описывающие нерегулярную зависимость решения от $\varepsilon$. Описание этих сингулярностей и представляет основную проблему метода регуляризации. При выполнении условий стабильности спектра существенно особые сингулярности описываются с помощью экспонент вида $e^{({1}/{\varepsilon})\varphi(t)}$, где $\varphi(t)$ – гладкая, в общем случае комплексная функция действительного переменного $t$. Для решений линейных однородных уравнений такие сингулярности были выделены еще Ж. Лиувиллем в [4]. Если же условия стабильности нарушены, например точки спектра пересекаются в одной или нескольких точках $t$, описание сложнее. В работе [5] приведены сингулярности в случае “простой” точки поворота, когда отдельная точка спектра оператора $A(t)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)=t^{k_0}(t-t_1)^{k_1}\dotsb (t-t_m)^{k_m}a(t), \qquad a(t)\neq 0, \quad k_0+k_1+\dots + k_m = n .
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [6] рассмотрена рациональная “простая” точка поворота, иррациональная “простая” точка поворота изучена в работе [7]. Существенно особые сингулярности с математической точки зрения – это специальные функции, описывающие нерегулярную зависимость решения от $\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0 $, а с точки зрения гидродинамики – функции пограничного слоя, порождаемого спектральной особенностью точки $\lambda(t)$. Вопрос о существенно особых сингулярностях связан с тем, как решение сингулярно возмущенной задачи Коши наследует свойства гладкости коэффициентов уравнения. В частности, коэффициенты уравнения зависят от параметра $\varepsilon$ аналитически. При наличии особой точки $\varepsilon=0$ аналитичность именно в этой точке наследуется решением задачи сингулярно возмущенной задачи Коши не так, как это известно из классических теорем существования: особая точка и определенный характер спектра оператора $A(t)$ порождают в решении существенно особые сингулярности, выделив которые, мы вправе рассчитывать, что оставшаяся часть решения будет уже аналитической в некоторой окрестности значения $\varepsilon=0$, если на $h(t)$ и $A(t)$ наложить определенные ограничения (бесконечной дифференцируемости по $t$ недостаточно!). Слова “оставшаяся часть решения” поясним на простейшем примере скалярной задачи
$$
\begin{equation*}
\varepsilon \dot{u}(t,\varepsilon) = a(t)u(t,\varepsilon)+h(t), \qquad u(0, \varepsilon) = u^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a(t)<0$, то решение этой задачи имеет следующую структуру в случае $a(t) =tk(t)$, $k(t) <0 $:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(t,\varepsilon) &=f(t,\varepsilon) \exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\int_0^t a(s)\,ds\biggr) \\ &\qquad + g(t,\varepsilon)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\int_0^t a(s)\,ds\biggr) \int_0^t \exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\int_0^s a(s_1)\,ds_1\biggr)ds + y(t,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь функции $f(t,\varepsilon)$, $g(t,\varepsilon)$, $y(t,\varepsilon) $ будут аналитическими по $\varepsilon$, если на $k(t)$, $h(t)$ наложить определенные требования. Настоящая статья продолжает исследования точек поворота [5]–[7], а именно “слабой” точки поворота методом регуляризации. Определение “слабой” точки поворота у предельного оператора будет дано ниже при постановке задачи.
§ 2. Постановка задачи. Описание основных сингулярностей задачи2.1. Постановка задачиПусть дана сингулярно возмущенная задача Коши
$$
\begin{equation}
\varepsilon \dot{u}(t,\varepsilon) = A (t) u (t,\varepsilon) + h (t),u (t,\varepsilon) = u^{0}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и выполнены условия 1) $h (t) \in C^\infty ([0, T], R^n))$; 2) $A (t) \in C^\infty ([0, T],\mathscr {L} (R^n, R^n)) $, собственные значения этого оператора удовлетворяют условиям $ \lambda_i (t)\in C^\infty ([0, T])$, $i = 1,2 $; 3) $A (t) = \lambda_1 (t) P_1(t)+\lambda_2 (t) P_2 (t)$, $P_1 (t) + P_2 (t) = I $; 4) условие слабой точки поворота
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_2 (t) - \lambda_1(t) = t^{k_0}(t-t_1)^{k_1}\dotsb(t-t_m)^{k_m}a (t), \\ a(t)\neq 0, \qquad k_0 + k_1 +\dots + k_m = n , \\ \lambda_2(t)\neq \lambda_1(t) \quad\forall\,t \in (0, t_1) \cup (t_1, t_2) \cup \dots \cup (t_ {m-1}, t_m) \cup (t_m, T], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем геометрическая кратность собственных значений равна алгебраической для любых $t \in [0,T]$; 5) $\lambda_i(t)\neq 0$, $\operatorname{Re}\lambda_i(t)\leqslant 0$ $\forall\, t\,\in [0,T]$. 2.2. Описание пространства безрезонансных решений. Формализм метода регуляризацииПри изложении метода регуляризации для решения задачи (2.1) будут использованы интерполяционные многочлены Лагранжа–Сильвестра, которые описывают дифференцируемые функции $f(t)$, заданные в точках $t_0,t_1,\dots,t_m $ вместе со своими производными. Они имеют вид
$$
\begin{equation}
K (t)f (t) = \sum_{j = 0}^{m}\sum_{i = 0}^{k_j-1}K_{j, i}(t)f^{( i)}(t_j),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $K_{j,i}(t)$ – многочлены, обладающие свойством $({d^s}/{dt^s})K_{j,i}(t)_{t=t_k}=\delta^k_j\delta^s_i$. Сингулярности $J_1(t,\varepsilon)$, $J_2(t,\varepsilon)$ данной задачи (2.1) находятся из решения задачи Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon \dot J_1(t,\varepsilon)=\lambda_1(t)J_1(t,\varepsilon)+\varepsilon K(t)J_2(t,\varepsilon), \\ \varepsilon \dot J_2(t,\varepsilon)=\lambda_2(t)J_2(t,\varepsilon)+\varepsilon K(t)J_1(t,\varepsilon), \\ J_1(0,\varepsilon)=1, \quad J_2(0,\varepsilon)=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь $ K(t)=\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{k_j-1}K_{j,i}(t)$. Доказательство существования решения системы (2.3) и оценки решения приведены в § 6. Решения системы (2.3) порождают серию функций, описывающих сингулярности задачи (2.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{i}(t) &=\frac{1}{\varepsilon}\int_0^t \lambda_i(s)\,ds, \qquad\sigma_{i,0}(t,\varepsilon)=e^{\varphi_{i}(t)}, \quad i=1,2, \\ \sigma_{1,1}^{(j_1,i_1)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{1}(t)}\int_0^t e^{ \Delta\varphi}(s_1)K_{j_1,i_1}(s_1)\,ds_1, \\ \sigma_{2,1}^{(j_1,i_1)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{2}(t)}\int_0^t e^{-\Delta\varphi}(s_1)K_{j_1,i_1}(s_1)\,ds_1, \\ &\dots \\ \sigma_{1,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{1}(t)}\int_0^t e^{\Delta\varphi(s_1)}K_{j_p,i_p}(s_1) \int_0^{s_1}e^{-\Delta\varphi(s_2)}K_{j_{p-1},i_{p-1}}(s_2) \\ &\qquad\times\dotsb\times \int_0^{s_{p-1}}e^{(-1)^{p-1}\Delta\varphi(s_p)}K_{j_1,i_1}(s_p)\,ds_p\,\dots \,ds_1, \\ \sigma_{2,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{2}(t)}\int_0^t e^{-\Delta\varphi(s_1)}K_{j_p,i_p}(s_1) \int_0^{s_1}e^{\Delta\varphi(s_2)}K_{j_{p-1},i_{p-1}}(s_2) \\ &\qquad\times\dotsb\times \int_0^{s_{p-1}}e^{(-1)^{p}\Delta\varphi(s_p)}K_{j_1,i_1}(s_p)\,ds_p\,\dots\,ds_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
здесь $p$ – число интегралов, $ j_s=0,\dots,m$, $i_s=0,\dots,k_s-1$, $\displaystyle\Delta\varphi(t)=\int_0^t(\lambda_2(s)-\lambda_1(s))\,ds$. Заметим, что $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)$ удовлетворяют системе
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon \dot \sigma_{1,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) \\ \qquad=\lambda_1(t)\sigma_{1,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)+ \varepsilon K_{j_p,i_p}(t)\sigma_{2,p-1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p-1}-1,i_{p-1}-1)}(t,\varepsilon), \\ \varepsilon \dot \sigma_{2,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) \\ \qquad=\lambda_2(t)\sigma_{2,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)+ \varepsilon K_{j_p,i_p}(t)\sigma_{1,p-1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p-1}-1,i_{p-1}-1)}(t,\varepsilon). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Вместо искомого решения $u(t,\varepsilon)$ задачи (2.1) будем изучать вектор-функцию $ z(t,\sigma, \varepsilon)$ такую, что ее сужение совпадает с искомым решением:
$$
\begin{equation}
z(t, \sigma, \varepsilon)|_{\sigma={\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)}} = u(t,\varepsilon), \qquad s=1,2, \quad p=0,\dots, \infty.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
С учетом (2.1), (2.4), (2.5) можно написать задачу для $z(t, \sigma, \varepsilon)$. Используя формулу сложного дифференцирования
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{dz}{dt} &=\dot z+\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}\biggl(\frac{\lambda_s}{\varepsilon} \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)} \\ &\qquad\qquad+K_{j_p,i_p}(t)\sigma_{3-s,p-1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p-1},i_{p-1})}\biggr) \frac{\partial z}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
получим задачу для расширенной функции $z(t, \sigma, \varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle A(t)z-\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}\bigl( \lambda_s \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)} \\ \qquad -K_{j_p,i_p}(t)\sigma_{3-s,p-1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p-1},i_{p-1})}\bigr) \dfrac{\partial z}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}}=\varepsilon \dot z-h(t), \\ z(0,0,\varepsilon)=u^0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
По соглашению примем, что если слагаемое содержит в индексе $p-1<0$, то это слагаемое равно нулю. Для решения этой задачи введем пространство безрезонансных решений $\widehat E $:
$$
\begin{equation*}
\widehat{E} =\bigoplus_{s=1}^{2}\bigoplus_{p=0}^{\infty}\bigoplus_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\bigoplus_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}E\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}\oplus E.
\end{equation*}
\notag
$$
Элемент $\widehat{z}\in \widehat {E} $ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{z}=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}+w,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}$, $w \in E $. Здесь $\bigoplus$ – знак прямой суммы линейных пространств, $\bigotimes$ – знак тензорного произведения. Введем операторы, порожденные задачей (2.8):
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \mathscr{L}_0=\bigoplus_{s=1}^{2}\bigoplus_{p=0}^{\infty}\bigoplus_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \bigoplus_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}(A(t)-\lambda_s(t)) \\ \displaystyle \qquad\otimes \biggl\{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)} \frac{\partial}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}}\biggr\}\oplus A(t), \\ \displaystyle \mathscr{L}_1=\bigoplus_{s=1}^{2}\bigoplus_{p=0}^{\infty}\bigoplus_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\bigoplus_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} \bigoplus_{j_{p+1}=0}^{m}\bigoplus_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1}K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t) \\ \displaystyle \qquad\otimes \biggl\{\sigma_{3-s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\frac{\partial}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}}\biggr\}, \\ Gz=z(0,0,\varepsilon). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Действия операторов запишутся в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \mathscr{L}_0\widehat{z}(t)=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}(A(t)-\lambda_s(t))z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \\ \displaystyle \qquad\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}+ A(t)w, \\ \displaystyle \mathscr{L}_1\widehat{z}(t)=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}\biggl(\sum_{j_{p+1} =0}^{m}\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t) \\ \displaystyle \qquad \times z_{3-s,p+1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t)\biggr)\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}, \\ G\widehat{z}=z(0,0,\varepsilon). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Кроме того, введем спектральные проекторы
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \widehat{P}_{k,s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)=P_{k}(t)\otimes \biggl\{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)} \frac{\partial}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}}\biggr\}, \\ \displaystyle \widehat{\pi}_{k,s,p}^{(j_0,i_0,j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) =(-1)^{i_0}P_k(t)\langle\delta^{(i_0)}(t-t_{j_0}), P_k(t)\cdot\rangle \\ \qquad \displaystyle\otimes \biggl\{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)} \dfrac{\partial}{\partial \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}}\biggr\}, \\ \displaystyle \widehat{P}_0(t)=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}\widehat{P}_{s,s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \\ \quad\text{- оператор, проектирующий на ядро }\mathscr{L}_0, \\ \displaystyle \widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} \widehat{\pi}_{3-s,s,p}^{(j_0,i_0,j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t), \\ j_0=0,\dots,m, \qquad i_0=0,\dots,k_{j_0}-1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Действие проекторов на элемент $\widehat{z}\in \widehat{E}$ запишется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a)}\quad \widehat{P}_{k,s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\widehat{z}(t) =P_{k}(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \otimes\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}; \\ &\mathrm{b)}\quad \widehat{P}_{k,s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\mathscr{L}_0\widehat{z}(t) \\ &\qquad\qquad =(\lambda_k(t)-\lambda_s(t))P_{k}(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \otimes\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}; \\ &\mathrm{c)}\quad \widehat{\pi}_{k,s,p}^{(j_0,i_0,j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\widehat{z}(t) \\ &\qquad\qquad= P_k(t)\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{i_0}P_k(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)|_{t=t_{j_0}} \otimes\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя операторы (2.10), (2.11), задачу (2.8) можно переписать в пространстве $\widehat{E}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathscr{L}_0\widehat{z}=\varepsilon \mathscr{L}_1\widehat{z} + \varepsilon \dot{\widehat{z}}-h(t), \\ G\widehat{z}=u^0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Задача (2.12) является регулярной по $\varepsilon$. Поэтому решение (2.12) будем определять в виде регулярного ряда по степеням $\varepsilon$, т.е.
$$
\begin{equation}
\widehat{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon^k \widehat z_k.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Подставив ряд (2.13) в задачу (2.12), получим следующую серию итерационных задач:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathscr{L}_0\widehat z_0=-h(t), \qquad G\widehat z_0=u^0, \\ \mathscr{L}_0\widehat z_k=\mathscr{L}_1\widehat{z}_{k-1} + \dot{\widehat{z}}_{k-1}, \qquad k=1,2,\dots, \\ G\widehat z_k=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
§ 3. Разрешимость итерационных задачДля того чтобы решить итерационные задачи (2.14), сформулируем теорему разрешимости уравнений вида $\mathscr{L}_0(t)\widehat{z}=\widehat{h}(t)$ в пространстве $\widehat{E}$. Справедлива следующая теорема о нормальной разрешимости. Теорема 1. Пусть в $\widehat{E}$ имеется уравнение и выполнены условия 1)–5) задачи (2.1). Тогда уравнение (3.1) разрешимо в $\widehat{E}$ тогда и только тогда, когда 1) $\widehat{P}_0(t)\widehat{h}(t)=0$ $\forall\, t \in [0,T]$; 2) $\widehat{\pi}_{0}^{(j_0,i_0)}(t)\widehat{h}(t)=0$, $j_0=0,\dots,m$, $i_0=0,\dots,k_{j_0}-1$. Доказательство. Необходимость. Пусть уравнение разрешимо. Подействуем на уравнение оператором $\widehat{P}_0(t)$.
Так как $\widehat{P}_0(t)\mathscr{L}_0(t)=0$, то и $\widehat{P}_0(t)\widehat{h}(t)=0$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{h}(t) &=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} P_{3-s}(t)h_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \\ &\qquad\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}+h_0(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Подействуем оператором $\widehat{\pi}_0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)\mathscr{L}_0\widehat{z}=\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)\widehat{h}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)\mathscr{L}_0\widehat{z} \\ &\qquad =\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}P_{3-s}(t_{j_0}) \biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{i_0}((\lambda_{3-s}(t)-\lambda_s(t)) \\ &\qquad\qquad\times P_{3-s}(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_0}}\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)\widehat{h}(t) =\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} P_{3-s}(t)\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{i_0}(P_{3-s}(t) \\ &\qquad\times h_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_0}}\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Достаточность очевидна. Теорема доказана. В результате получим решение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{z}(t) &=\widehat{P}_0(t)\widehat{z}(t)+\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} (A(t)-\lambda_s(t))^{-1} \\ &\qquad\times P_{3-s}(t)h_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}+A^{-1}(t)h_0(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь $\widehat{P}_0(t)\widehat{z}(t)$ – произвольный вектор из ядра оператора $\mathscr{L}_0(t)$. Теорема 2. Пусть дана задача в $\widehat{E}$ и выполнены условия теоремы 1. Тогда при выполнении Доказательство. Решение уравнения системы (3.5) запишется в виде
Вычислим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathscr{L}_1\widehat z_0+\dot{\widehat z_0} =\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_0-1,\dots,k_p-1}\biggl[ \frac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)) \\ &\qquad +\sum_{j_{p+1} =0}^{m}\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t)P_{3-s}(t)z_{3-s,p+1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t)\biggr] \otimes \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Здесь $ P_s(t) z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)$ – произвольный собственный вектор оператора $A(t)$. Подчиним (3.7) начальному условию, учитывая, что $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(0,\varepsilon)=0$, $p\geqslant 1 $. Тогда имеем $P_s(0) z_{s,0}(0)= 0$, $s=1,2$. Так как $\widehat{P}_0(t)(\mathscr{L}_1\widehat{z}(t) + \dot{\widehat{z}}(t))=0$, то отсюда получим серию задач Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \text{при}\ \ p=0 \\ \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,0}(t))= \dot{P}_s(t)(P_s(t)z_{s,0}(t)), \\ P_s(0)z_{s,0}(0)=0, \qquad s=1,2 , \\ \text{при}\ \ p\geqslant 1 \\ \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))= \dot{P}_s(t)(P_s(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)), \\ P_s(t_{j_p})z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_p})=\,? \quad\text{ на данный момент не определено}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для решения возникающих задач Коши введем разрешающие операторы
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{d}{dt}U_s(t,\tau)=\dot{P}_s(t)U_s(t,\tau), \\ U_s(t,t)=I, \qquad s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Решением при $p=0$ будет $P_s(t)z_{s,0}(t)=U_s(t,0)P_s(0)z_{s,0}(0)\equiv 0$. Чтобы определить начальные условия для задач Коши (3.9) при $ p\geqslant 1$, вычислим $\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)(\mathscr{L}_1\widehat{z} + \dot{\widehat{z}})=0$, $j_0=0,\dots,m$, $i_0=0,\dots,k_{j_0}-1$.
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \sum_{j_{p+1} =0}^{m}\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} P_{s}(t_{j_0})\biggl(\dfrac{d}{dt}\biggr)^{i_{0}}(K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t) P_{s}(t)z_{s,p+1}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t))|_{t=t_{j_0}} \\ \qquad =P_{s}(t_{j_0})\biggl(\dfrac{d}{dt}\biggr)^{i_{0}}(\dot{P}_{s}(t) P_{3-s}(t)z_{{3-s},p}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p},i_{p})}(t))|_{t=t_{j_0}}, \qquad p\geqslant 0, \\ j_{0}=0,\dots,m , \qquad i_{0}=0,\dots,k_0-1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из системы (3.11) получим начальные условия для остальных задач Коши. Для этого перебирая последовательно $i_{p}$, получим при $p=0$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} P_{s}(t_{j_0})z_{s,1}^{(j_0,0)}(t_{j_0}) =\dot{P}_{s}(t_{j_0})P_{3-s}(t_{j_0})z_{3-s,0}(t_{j_0})=0, \\ j_0=0,\dots,m , \qquad i_0 =0, \qquad s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Отсюда при $p=1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_s(t)z_{s,1}^{(j_1,0)}(t)=U_s(t,t_{j_1})P_s(t_{j_1})z_{s,1}^{(j_1,0)}(t_{j_1})\equiv 0, \\ j_{1}=0,\dots,m ,\qquad i_1 =0,\qquad s=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $p=0$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} &P_{s}(t_{j_{0}})z_{s,1}^{(j_0,1)}(t_{j_{0}}) =-P_{s}(t_{j_{0}})\dfrac{d}{dt}({P}_{s}(t)z_{s,0}(t))|_{t=t_{j_{0}}} \\ &\qquad\qquad+P_{s}(t_{j_{0}})\dfrac{d}{dt}(\dot{P}_{s}(t) P_{3-s}(t)z_{{3-s},0}(t))|_{t=t_{j_{0}}}=0, \end{split} \nonumber \\ j_{0}=0,\dots,m,\qquad i_{0}=1,\qquad s=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Отсюда при $p=1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_s(t)z_{s,1}^{(j_1,1)}(t)=U_s(t,t_{j_1})P_s(t_{j_1})z_{s,1}^{(j_1,1)}(t_{j_1})\equiv 0, \\ j_{1}=0,\dots,m,\qquad i_1 =1,\qquad s=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $p=0$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} P_{s}(t_{j_0})z_{s,1}^{(j_0,n)}(t_{j_{0}}) \\ \displaystyle \quad=-\sum_{j_{1}=0}^{m}\sum_{i=0}^{n-1}C_n^i P_{s}(t_{j_{0}})\biggl(\dfrac{d}{dt}\biggr)^{n-i}(P_{s}(t)z_{s,0}(t))|_{t=t_{j_{0}}} \\ \quad\quad+P_{s}(t_{j_{0}})\biggl(\dfrac{d}{dt}\biggr)^n (\dot{P}_{s}(t)P_{3-s}(t)z_{{3-s},0}(t))|_{t=t_{j_{0}}}=0, \\ j_{0}=0,\dots,m , \qquad i_{0}=n, \qquad n=0,\dots,k_{0}-1, \qquad s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Отсюда при $p=1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_s(t)z_{s,1}^{(j_1,n)}(t)=U_s(t,t_{j_{1}})P_s(t_{j_{1}})z_{s,1}^{(j_1,n)}(t_{j_{1}})\equiv 0, \\ j_{1}=0,\dots,m , \qquad i_{1}=n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Просчитав случай $p=1$ (напомним, что $p=1$ означает порядок кратных сингулярных интегралов), переходим к случаю $p=2$. Так как начальные условия при $p$ выражаются через начальные условия при $p-1$, то тем самым мы по индукции доказываем, что начальные условия равны нулю для любых $p$. А отсюда
$$
\begin{equation*}
P_{s}(t)z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p},i_{p})}(t)) =U_s(t,t_{j_p})P_s(t_{j_p})z_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p},i_{p})}(t_{j_p})) \equiv 0.
\end{equation*}
\notag
$$
А следовательно, решение задачи (3.5) тождественно равно нулю. Теорема доказана. § 4. Построение формального асимптотического решенияПрименим теоремы 1, 2 для решения итерационных задач (2.14). Запишем задачу на итерационном шаге $\varepsilon^0$:
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}_0\widehat z_0=-h(t), \qquad G\widehat z_0=u^0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Или покомпонентно
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} (A(t)-\lambda_s(t))z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)=0, \\ A(t)w_0(t)=-h(t), \\ z_{1,0,0}(0)+ z_{2,0,0}(0)+w_0(0)=u^0, \\ z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_p}), \qquad p\geqslant 1, \qquad s=1,2 \quad \text{(определяются в процессе} \\ \text{решения итерационных задач)}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение (4.1) запишется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat z_0 &=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}P_s(t) z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\} \\ &\qquad -A^{-1}(t)h(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Здесь $ P_s(t) z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)$ – произвольный собственный вектор оператора $A(t)$. Подчиним (4.2) начальному условию, учитывая, что $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(0,\varepsilon)=0$, $p\geqslant 1$. Тогда имеем $P_1(0) z_{1,0,0}(0)+ P_2(0) z_{2,0,0}(0)-A^{-1}(0)h(0)=u^0$. Отсюда $P_s(0) z_{s,0,0}(0)= P_s(0)u^0+{P_s(0)h(0)}/{\lambda_s(0)}$, $s=1,2$. Начальные условия для $ P_s(t_{j_p}) z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_p}) $ определяются из условий разрешимости итерационной системы на первом итерационном шаге. Таким образом, на нулевом итерационном шаге получили
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle \widehat z_0=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}P_s(t) z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \\ \qquad {\displaystyle\otimes \{\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}\}} -A^{-1}(t)h(t), \\ P_s(0) z_{s,0,0}(0)= P_s(0)u^0+\dfrac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}, \qquad s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Задача на первом итерационном шаге $\varepsilon$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathscr{L}_0\widehat z_1 =\dot{\widehat z_0}+\mathscr{L}_1\widehat z_0, \\ G\widehat z_1=0 \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
разрешима в $\widehat{E}$, если правая часть удовлетворяет условиям теоремы 1. Предварительно вычислим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathscr{L}_1\widehat z_0+\dot{\widehat z_0} =\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p=0}^{k_0-1,\dots,k_p-1} \biggl[\frac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)) \\ &\ +\sum_{j_{p+1} =0}^{m}\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t)z_{3-s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t)\biggr] \otimes \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}-\frac{d}{dt}A^{-1}(t)h(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Расписывая (4.4) на первом итерационном шаге по компонентам и учитывая (4.5), получим серию задач
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (A(t)-\lambda_s(t))z_{s,p,1}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) =\dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)) \\ \displaystyle \qquad +\sum_{j_{p+1}=0}^{m} \sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1}K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t) P_{3-s}(t)z_{3-s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t), \\ \displaystyle z_{1,0,1}(0)+ z_{2,0,1}(0) =\biggl(\biggl(A^{-1}(t)\frac{d}{dt}\biggr)^2\int_0^t h(s)\,ds\biggr)(0), \\ z_{s,p,1}(0), \qquad p\geqslant 1, \qquad s=1,2 \quad \text{(определяются в процессе решения} \\ \text{итерационных задач)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из условий разрешимости (4.6), учитывая (4.3), получим серию задач Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \text{при }\ p=0 \\ \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,0,0}(t))= \dot{P}_s(t)(P_s(t)z_{s,0,0}(t)), \\ P_s(0)z_{s,0,0}(0)=P_s(0)u^0+\dfrac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}, \qquad s=1,2 , \\ \text{при }\ p\geqslant 1 \\ \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))= \dot{P}_s(t)(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)), \\ P_s(0)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(0)=\, ? \quad\text{на данный момент не определено}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Чтобы определить начальные условия для задач Коши (4.7) при $ p\geqslant 1$, вычислим $\widehat{\pi}_0^{(j_0,i_0)}(t)(\mathscr{L}_1\widehat{z}_0 + \dot{\widehat{z}}_0)=0$, $j_0=0,\dots,m $, $i_0=0,\dots,k_{j_0}-1$. Тогда получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum_{j_{p+1}=0}^{m}\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} P_{s}(t_{j_{0}})\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{i_{0}}(K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t) P_{s}(t)z_{s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t))|_{t=t_{j_{0}}} \\ &\qquad =P_{s}(t_{j_{0}})\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{i_{0}} (\dot{P}_{s}(t)P_{3-s}(t)z_{{3-s},p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_{0}}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Перебирая последовательно $i_{0}$ при фиксированном $p$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{cases} P_{s}(t_{j_{0}})z_{s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p,j_{0},0)}(t_{j_{0}}) =\dot{P}_{s}(t_{j_{0}})P_{3-s}(t_{j_{0}})z_{3-s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_{0}}), \\ j_{0}=0,\dots,m, \qquad i_{0}=0, \qquad s=1,2; \\ P_{s}(t_{j_{0}})z_{s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p,j_{0},1)}(t_{j_{0}}) =-P_{s}(t_{j_{0}}) \dfrac{d}{dt}({P}_{s}(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_{0}}} \\ \quad+P_{s}(t_{j_{0}})\dfrac{d}{dt}(\dot{P}_{s}(t) P_{3-s}(t)z_{{3-s},p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_{0}}}, \\ j_{0}=0,\dots,m, \qquad i_{0}=1, \qquad s=1,2; \\ P_{s}(t_{j_{0}})z_{s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p,j_{0},n)}(t_{j_{0}}) \\ \displaystyle \quad=-\sum_{j_{p+1}=0}^{m}\sum_{i=0}^{n-1}C_n^i P_{s}(t_{j_0})\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^{n-i} (P_{s}(t)z_{s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p,j_{0},i)}(t))|_{t=t_{j_{0}}} \\ \displaystyle \quad\quad+P_{s}(t_{j_0})\biggl(\frac{d}{dt}\biggr)^n(\dot{P}_{s}(t) P_{3-s}(t)z_{{3-s},p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t))|_{t=t_{j_{0}}}, \\ j_{0}= 0,\dots,m , \qquad i_{0}= n, \qquad n=0,\dots,k_{0}-1, \qquad s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Так как начальные условия при $p+1$ выражаются через начальные условия при $p$, то тем самым мы по индукции доказываем, что начальные условия определены для любых $p$. После определения начальных условий из системы (4.9) получаем решения системы (4.7)
$$
\begin{equation}
\begin{cases} P_s(t)z_{s,0,0}(t)=U_s(t,0)\biggl(P_s(0)u^0+\dfrac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}\biggr), \\ P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)=U_s(t,t_{j_p}) P_s(t_{j_p})z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_p}), \\ s=1,2, \qquad p=0,\dots,\infty , \qquad j_p=0,\dots,m , \qquad i_p=0,\dots,k_{j_p}-1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Таким образом, главный член асимптотики решения после сужения запишется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u_{\mathrm{gl}}(t,\varepsilon) &=\sum_{s=1}^{2}U_s(t,0)\biggl(P_s(0)u^0+\frac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}\biggr) e^{({1}/{\varepsilon})\varphi_s(t)} \\ \notag &\qquad+\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=1}^{\infty} \sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1}U_s(t,t_{j_p}) P_s(t_{j_p})z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t_{j_p}) \\ \qquad & \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)-A^{-1}(t)h(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Решение на первом итерационном шаге системы (4.6), записанное покомпонентно, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_{s,p,1}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)=P_s(t) z_{s,p,1}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)+(A(t)-\lambda_s(t))^{-1} \\ \quad\quad\times\biggl[ P_{3-s}(t) \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)) \\ \displaystyle \quad+\sum_{j_{p+1}=0}^{m} \sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1}K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t)P_{3-s}(t) z_{3-s,p+1,0}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t) \biggr] \\ \quad-\biggl(A^{-1}(t)\dfrac{d}{dt}\biggr)^2\displaystyle \int_0^t h(s)\,ds, \\ \displaystyle P_s(0) z_{s,0,1}(0)= P_s(0)\biggl(A^{-1}(t)\frac{d}{dt}\biggr)^2 \int_0^t h(s)\,ds|_{t=0}, \\ s=1,2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Собственные векторы $P_s(t) z_{s,p,1}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)$ и оставшиеся начальные условия находятся на втором итерационном шаге. По данной схеме находятся все слагаемые решения задачи (4.1). § 5. Оценка остаточного членаПусть члены двойного ряда (2.13) в результате решения итерационных задач определены для $0\leqslant q \leqslant n$, $ 0 \leqslant p \leqslant r$, здесь $q$ – итерационный шаг по $\varepsilon$, а $p$ – порядки сингулярных интегралов. Запишем соотношение для остатка $R_{n, r}(t,\varepsilon)$. Запишем ряд (2.13) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{z}(t,\varepsilon) &=\sum_{q=0}^{n}\varepsilon^q \sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{r}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m} \sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} z_{s,p,q}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t)\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) \\ &\qquad+\sum_{q=0}^{n}\varepsilon^q w_q(t)+\varepsilon^{n+1} R_{n,r}(t,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Подставив (5.1) в (2.1) и учитывая итерационные задачи, получим задачу для остаточного члена $R_{n,r}(t,\varepsilon)$,
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon \dot{R}_{n, r}(t,\varepsilon)-A(t)R_{n, r}(t,\varepsilon) = - H(t,\varepsilon), \\ R_{n, r}(0,\varepsilon)=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag H(t, \varepsilon) &= \sum_{s=1}^{2}\biggl[\sum_{p=0}^{r-1}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_p =0}^{k_1-1,\dots,k_p-1} (\dot{z}_{s,p,n}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t) \\ \notag &\qquad+\sum_{j_{p+1}=0}^m\sum_{i_{p+1}=0}^{k_{p+1}-1} K_{j_{p+1},i_{p+1}}(t)z_{3-s,p+1,n}^{(j_1,i_1,\dots,j_{p+1},i_{p+1})}(t)) \sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon) \\ &\qquad+ \sum_{j_1,\dots,j_r =0}^{m}\sum_{i_1,\dots,i_r =0}^{k_1-1,\dots,k_r-1} \dot{z}_{s,r,n}^{(j_1,i_1,\dots,j_r,i_r)}(t) \sigma_{s,r}^{(j_1,i_1,\dots,j_r,i_r)}(t,\varepsilon)\biggr] +\dot{w}_n(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Как следует из условий 5) на спектр в задаче (2.1) и оценок интегралов $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)$ в лемме 1, правая часть (5.3) имеет оценку
$$
\begin{equation*}
\|H(t, \varepsilon)\|_{C[0,T]}\leqslant \mathbb{C} \quad \forall\,(t,\varepsilon)\in [0, T]\times(0,\varepsilon_{0}].
\end{equation*}
\notag
$$
Решение (5.2) запишем в виде
$$
\begin{equation*}
R_{k, m}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{t}U_{\varepsilon}(t, s) H(s, \varepsilon)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где $U_{\varepsilon}(t, s)$ – разрешающий оператор, являющийся решением задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\varepsilon\dot{U}_{\varepsilon}(t, s)= A(t)U_{\varepsilon}(t, s), \qquad U_{\varepsilon}(t, s)\big|_{s=t}=I.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий 5) на спектр в задаче (2.1) следует, что $U_{\varepsilon}(t, s)$ ограничен на $[0, T]\times[0, t]$, $ \varepsilon\in(0,\varepsilon_{0}]$:
$$
\begin{equation*}
\| U_{\varepsilon}(t, s)\|_{C[0,T]}\leqslant \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{k, m} &=-U_{\varepsilon}(t, s)A^{-1}(s) H(s,\varepsilon)\big|_{0}^{t} + \int_{0}^{t} U_{\varepsilon}(t, s)\frac{d}{ds}A^{-1}(s) H(s,\varepsilon)\,ds \\ &= - A^{-1}(t)H(t,\varepsilon) + U_{\varepsilon}(t, 0) A^{-1}(0)H(0,\varepsilon) + \int_{0}^{t}U_{\varepsilon}(t, s)\frac{d}{ds}A^{-1}(s) H(s,\varepsilon)\,ds \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получим Из этих оценок следует Теорема 3 об оценке остатка (асимптотическая сходимость). Пусть дана задача Коши (2.1) и выполнены условия 1)–5). Тогда верна оценка Теорема 4 (о предельном переходе). Пусть дана задача (2.1) и выполнены условия 1)–5). Тогда: Доказательство. a) Утверждение этого пункта непосредственно следует из оценок интегралов $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)$ в лемме 1.
b) В этом случае $\sigma_{s,p}^{(j_1,i_1,\dots,j_p,i_p)}(t,\varepsilon)$ являются быстро осциллирующими функциями и доказательство предельного перехода в слабом смысле следует из леммы Римана–Лебега. Теорема доказана. § 6. ПриложениеРассмотрим задачу Коши
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon \dot{J}(t)=\begin{pmatrix}\lambda_{1}(t) & 0 \\0 & \lambda_{2}(t) \end{pmatrix} J(t) + \varepsilon K(t)\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} J(t), \\ J(0)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $J(t)=\begin{pmatrix}J_1(t)\\ J_2(t)\end{pmatrix}$ – вектор-функция. Система (6.1) в общем случае в явном виде не решается. Найдем решение (6.1) методом последовательных приближений. Лемма 1. Решение (6.1) представляется в виде равномерно сходящегося ряда на $[0,T]\times(\,0,\varepsilon_{0}],$ который допускает следующую оценку: где $\mathbb{C}>0$ – константа, не зависящая от $\varepsilon$. Доказательство. Решив (6.1) методом последовательных приближений, получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &J(t)=\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) + \exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s}\biggr) T\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s}\biggr)\,ds \\ &\qquad +\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s}\biggr) T\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s}\biggr) \int_{0}^{s}K(s_1)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s_{1}}\biggr) T \\ &\qquad\qquad\times\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{s_{1}}\biggr)\,ds_{1}\,ds + \dotsb, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь
Используя свойство
$$
\begin{equation*}
T\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\begin{pmatrix}\varphi_{1}(t) & 0\\ 0 & \varphi_{2}(t)\end{pmatrix}\biggr) =\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\begin{pmatrix}\varphi_{2}(t) & 0\\ 0 & \varphi_{1}(t)\end{pmatrix}\biggr)T,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &J(t)=\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) + \exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s}\biggr) T\,ds \\ \notag &\quad +\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s}\biggr) \int_{0}^{s}K(s_1)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s_{1}}\biggr)T\,ds_{1}\,ds \\ &\quad +\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Lambda_{0}^{t}\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s}\biggr) \int_{0}^{s}K(s_1)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s_{1}}\biggr) \notag \\ &\quad \qquad\times \int_{0}^{s_{1}}K(s_2)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\bigtriangleup_{0}^{s_{2}}\biggr) T\,ds_{2}\,ds_{1}\,ds+\dotsb, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
здесь
$$
\begin{equation*}
\bigtriangleup_{0}^{t}= \begin{pmatrix} \varphi_{2}(t) - \varphi_{1}(t) & 0\\ 0 & \varphi_{1}(t) - \varphi_{2}(t) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покомпонентно (6.2) выглядит так:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &J_{1}(t)=\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{1}(t)\biggr) + \exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{1}(t)\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s)\biggr)\,ds \\ \notag &\ +\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{1}(t)\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s)\biggr) \int_{0}^{s}K(s_1)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s_{1})\biggr)\,ds_{1}\,ds + \dotsb, \\ \notag &J_{2}(t)=\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{2}(t)\biggr) + \exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{2}(t)\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s)\biggr)\,ds \\ &\ +\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\varphi_{2}(t)\biggr) \int_{0}^{t}K(s)\exp\biggl(-\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s)\biggr) \int_{0}^{s}K(s_1)\exp\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\Delta\varphi(s_{1})\biggr)\,ds_{1}\,ds + \dotsb. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Равномерная сходимость рядов (6.3) следует из оценок: $k_0+k_1+\dots + k_m=n$,
a) $\operatorname{Re}\lambda_{i}\leqslant -\delta < 0$, $M=\max|M_{j,i}|$, $M_{j,i}=\max|K_{j,i}(t)|$, $t\in[0,T]$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &| e^{\varphi_{1}(t)/\varepsilon}| \leqslant e^{-\delta t/\varepsilon}, \\ &\biggl| e^{\varphi_{1}(t)/\varepsilon} \int_{0}^{t}K(s)e^{(\varphi_{2}(s)-\varphi_{1}(s))/\varepsilon}\,ds\biggr| \\ &\qquad\leqslant Mn \int_{0}^{t} \exp\biggl(\frac1{\varepsilon}\int_{s}^{t}\operatorname{Re}\lambda_{1}(s_{1})\,ds_{1}+ \frac1{\varepsilon}\int_{0}^{s}\operatorname{Re}\lambda_{2}(s_{2})\,ds_{2}\biggr)\,ds \\ &\qquad \leqslant Mn\int_{0}^{t}e^{-\delta(t-s+s)/\varepsilon}\,ds= e^{-\delta t/\varepsilon} Mnt, \\ & \dots \\ &\biggl| e^{\varphi_{1}(t)/\varepsilon} \int_{0}^{t}K(s_1)e^{\Delta\varphi(s_{1})/\varepsilon} \int_{0}^{s_{1}}K(s_2)e^{\Delta\varphi(s_{2})/\varepsilon} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\dotsb\times \int_{0}^{s_{p-1}}K(s_p)e^{(-1)^{p}\Delta\varphi(s_{n})/\varepsilon}\,ds_{p} \dotsb\,ds_{1}\biggr| \\ &\quad\leqslant (Mn)^p \int_{0}^{t}\int_{0}^{s_{1}}\dots\int_{0}^{s_{p-1}} \exp\biggl(\frac1{\varepsilon}\bigl(\varphi_{1}(t)-\varphi_{1}(s_{1}) +\dots+(-1)^{p+1}\varphi_{1}(s_{p})\bigr)\biggr) \\ &\quad\qquad \times \exp\biggl(\frac1{\varepsilon}\bigl(\varphi_{2}(s_{1})-\varphi_{2}(s_{2}) +\dots+(-1)^{p}\varphi_{2}(s_{p})\bigr)\biggr)\,ds_{1}\dotsb\,ds_{p} \\ &\quad\leqslant e^{\,-\delta t/\varepsilon}\frac{(Mnt)^{p}}{p!}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
| J_{1}(t,\varepsilon)| \leqslant e^{-\delta t/\varepsilon}e^{Mnt}\leqslant e^{MnT} e^{-\delta t/\varepsilon};
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично,
$$
\begin{equation*}
| J_{2}(t,\varepsilon)| \leqslant e^{MnT}e^{-\delta t/\varepsilon} .
\end{equation*}
\notag
$$
b) Для $\operatorname{Re}\lambda_{i}\leqslant 0$, $t\in[0,T]$ справедливо Следовательно, ряды (6.3) сходятся равномерно по $\varepsilon$ и $t$ на $[0,T]\times(\,0,\varepsilon_{0}]$. Кроме того, легко проверяется, что ряды выдерживают действие оператора $\varepsilon{d}/{dt}$ в любой степени. Лемма доказана. § 7. ПримерНаиболее простой случай слабой точки поворота – это точка первого порядка, т.е. $\lambda_2(t)-\lambda_1(t)= ta(t)$, $a(t)\neq 0$. Решение сингулярно возмущенной задачи Коши в этом случае описано в работе [8]. Здесь приведем решение задачи Коши
$$
\begin{equation}
\varepsilon \dot{u}(t,\varepsilon)= A(t)u(t,\varepsilon) + h(t), \qquad u(t,\varepsilon)=u^{0},
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
для которой выполнены следующие условия: 1) условия 1)–3) из (2.1); 2) условие слабой точки поворота
$$
\begin{equation*}
\lambda_2(t)-\lambda_1(t)= t(t-1)a(t), \qquad \lambda_2(t)\neq \lambda_1(t) \quad \forall\,t \in (0,1)\cup (1,T],
\end{equation*}
\notag
$$
причем геометрическая кратность собственных значений равна алгебраической для любых $t \in [0,T]$; 3) $\lambda_i(t)\neq 0$, $\operatorname{Re}\lambda_i(t) = 0$ $\forall\, t \in [0,T]$. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции $f(t)$, заданной в узлах $t_0=0$, $t_1=1 $, имеет вид
$$
\begin{equation*}
K(t)f(t)=(1-t)f(0)+ tf(1), \qquad K_0(t)=1-t, \qquad K_1(t)=t.
\end{equation*}
\notag
$$
Сингулярности описываются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{i}(t) &=\frac{1}{\varepsilon}\int_0^t \lambda_i(s)\,ds, \\ \sigma_{i,0}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{i}(t)}, \qquad i=1,2, \\ \sigma_{1,1}^{(0)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{1}(t)}\int_0^t e^{ \Delta\varphi}(s_1)K_0(s_1)\,ds_1, \\ \sigma_{1,1}^{(1)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{1}(t)}\int_0^t e^{ \Delta\varphi}(s_1)K_1(s_1)\,ds_1, \\ \sigma_{2,1}^{(0)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{2}(t)}\int_0^t e^{-\Delta\varphi}(s_1)K_0(s_1)\,ds_1, \\ \sigma_{2,1}^{(1)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{2}(t)}\int_0^t e^{-\Delta\varphi}(s_1)K_1(s_1)\,ds_1, \\ &\dots \\ \sigma_{1,p}^{(j_1,\dots,j_p)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{1}(t)}\int_0^t e^{\Delta\varphi(s_1)}K_{j_p}(s_1)\int_0^{s_1}e^{-\Delta\varphi(s_2)}K_{j_{p-1}}(s_2) \\ &\qquad\times\dotsb\times\int_0^{s_{p-1}}e^{(-1)^{p-1}\Delta\varphi(s_p)}K_{j_1}(s_p)\,ds_p\dots\,ds_1, \\ \sigma_{2,p}^{(j_1,\dots,j_p)}(t,\varepsilon) &=e^{\varphi_{2}(t)}\int_0^t e^{-\Delta\varphi(s_1)}K_{j_p}(s_1)\int_0^{s_1}e^{\Delta\varphi(s_2)}K_{j_{p-1}}(s_2) \\ &\qquad\times\dotsb\times \int_0^{s_{p-1}}e^{(-1)^{p}\Delta\varphi(s_p)}K_{j_1}(s_p)\,ds_p\dots\,ds_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
здесь $p$ – число интегралов, $ j_s=0,\dots,1$, $\displaystyle\Delta\varphi(t)=\int_0^t(\lambda_2(s)-\lambda_1(s))\,ds $. Решение ищется в виде
$$
\begin{equation}
u(t,\varepsilon)=\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon^k \biggl[\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{1} z_{s,p,k}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)\sigma_{s,p}^{(j_1,\dots,j_p)}(t,\varepsilon)+w_k(t)\biggr].
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Подставив (7.3) в (7.1), получим серию итерационных задач. При $k=0$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (A(t)-\lambda_s(t))z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)=0, \\ A(t)w_0(t)=-h(t), \\ z_{1,0,0}(0)+ z_{2,0,0}(0)=A^{-1}(0)h(0)+u^0, \\ z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(0), \quad p\geqslant 1, \quad s=1,2, \quad j_i=0,1 \quad\text{(определяются в процессе} \\ \text{решения итерационных задач на первом шаге)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Решение (7.4) запишется в виде
$$
\begin{equation}
\widehat z_0=\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p=0}^{1} P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)\sigma_{s,p}^{(j_1,\dots,j_p)}(t,\varepsilon) -A^{-1}(t)h(t).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Неопределенные на данном шаге $P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)$ находятся из теоремы разрешимости на первом итерационном шаге. При $k=1$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (A(t)-\lambda_s(t))z_{s,p,1}^{(j_1,\dots,j_p)}(t) =\dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)) \\ \displaystyle \qquad +\sum_{j_{p+1}=0}^{1}K_{j_{p+1}}(t)P_{3-s}(t)z_{3-s,p+1,0}^{(j_1,\dots,j_{p+1})}(t), \\ A(t)w_1(t)=-\dfrac{d}{dt}(A^{-1}(t)h(t)), \\ \displaystyle z_{1,0,1}(0)+ z_{2,0,1}(0)=\biggl(\biggl(A^{-1}(t)\frac{d}{dt}\biggr)^2\int_0^t h(s)\,ds\biggr)(0), \\ z_{s,p,1}(0), \quad p\geqslant 1, \quad s=1,2, \quad j_i=0,1 \quad\text{(определяются в процессе} \\ \text{решения итерационных задач на втором шаге)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
По теореме разрешимости получим задачи Коши для определения членов нулевого приближения решения:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} p=0 , \\ \dfrac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,0,0}(t))= \dot{P}_s(t)(P_s(t)z_{s,0,0}(t)), \\ P_s(0) z_{s,0,0}(0)= P_s(0)u^0+\dfrac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}, \qquad s=1,2 . \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Решение (7.7) запишется в виде
$$
\begin{equation}
P_s(t)z_{s,0,0}(t)=U_s(t,0)\biggl(P_s(0)u^0+\frac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}\biggr), \qquad s=1,2.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Чтобы найти начальное условие для слагаемого $p=1$, $P_s(t) z^{(j_1)}_{s,1,0}(t)$, распишем первое уравнение (7.6) для понимания более подробно:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (A(t)-\lambda_s(t))z_{s,0,1}(t)&=\frac{d}{dt}(P_s(t)z_{s,0,0}(t)) \\ &\qquad+K_{0}(t)P_{3-s}z_{3-s,1,0}^{(0)}(t)+K_{1}(t)P_{3-s}z_{3-s,1,0}^{(1)}(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda_2(t)-\lambda_1(t)= t(t-1)a(t)$, то, умножив на $P_{3-s}(t)$, положив $t=0$ и переобозначив $ 3-s $ через $s$, получим
$$
\begin{equation*}
P_{s}(0)z_{s,1,0}^{(0)}(0)=\dot{P}_s(0)(P_{3-s}(0)z_{3-s,0,0}(0)), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $t=1$, получим
$$
\begin{equation*}
P_{s}(1)z_{s,1,0}^{(1)}(1)=\dot{P}_s(1)(P_{3-s}(1)z_{3-s,0,0}(1)), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
По индукции получаем, что для $p>1$, $k=0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{s}(0)z_{s,p+1,0}^{(j_1,\dots,j_p,0)}(0) =\dot{P}_s(0)(P_{3-s}(0)z^{(j_1,\dots,j_p}_{3-s,p,0}(0)), \qquad s=1,2, \\ P_{s}(1)z_{s,p+1,0}^{(j_1,\dots,j_p,1)}(1) =\dot{P}_s(1)(P_{3-s}(1)z^{(j_1,\dots,j_p)}_{3-s,p,0}(1)), \qquad s=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находятся слагаемые нулевого приближения решения задачи (7.1)
$$
\begin{equation*}
P_s(t)z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t)=U_s(t,t_{j_p})P_s(t_{j_p})z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t_{j_p}).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате главный член асимптотики решения (7.1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{\mathrm{gl}}(t,\varepsilon) =\sum_{s=1}^{2}U_s(t,0)\biggl(P_s(0)u^0+\frac{P_s(0)h(0)}{\lambda_s(0)}\biggr) e^{({1}/{\varepsilon})\varphi_s(t)} \\ &\qquad +\sum_{s=1}^{2}\sum_{p=1}^{\infty}\sum_{j_1,\dots,j_p =0}^{1} U_s(t,t_{j_p})P_s(t_{j_p})z_{s,p,0}^{(j_1,\dots,j_p)}(t_{j_p}) \sigma_{s,p}^{(j_1,\dots,j_p)}(t,\varepsilon)-A^{-1}(t)h(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Eli21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|